1.- ALGUNOS CONCEPTOS

(1) Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito

de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida.

(2) Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, exime de ambigüedades, seguidas en

su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico

(3) Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en

numérico y resolver este último.

El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema

matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida.

Los pasos a seguir son:

1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.

2. Aproximación:

Crear una solución para un número finito de valores existencia y unicidad

Estabilidad y convergencia

3. Resolución:

Elección de un algoritmo numérico.

Elección del algoritmo: Costo y estabilidad Codificación del algoritmo

Ejecución del programa

2.- FUENTE Y PROPAGACIÓN DE ERRORES

Sistemas numéricos. Aritmética del computador. Fuentes de errores. Errores de redondeo y discretización. Propagación de errores. Estabilidad e inestabilidad numérica.

3.- SISTEMAS NUMÉRICOS

Los sistemas numéricos más antiguos son: Babilónico: base 60 Romano: (I, V, X, L, C, D y M) Hindú y árabe: decimal El extendido uso del sistema decimal oculta la existencia de otros sistemas numéricos: Binario: base 2 Octal: base 8 Hexadecimal: base 16

SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

Nombre Abrev. Factor Valor

kilo K 210 1024

mega M 220 1048576

giga G 230 1073741824

tera T 240 1099511627776

peta P 250 1125899906842624

exa E 260 1152921504606846976

zetta Z 270 1180591620717411303424

yotta Y 280 1208925819614629174706176

bronto B 290 1237940039285380274899124224

geop Ge 2100 1267650600228229401496703205376

4.- Teoría Errores de redondeo y aritmética de un computador

El cálculo numérico es aquel aplicado a métodos obtiene resultados numéricos que se

aproximan a resultados exactos.

Estos resultados pueden ser hallados con la precisión que se desee o precisando márgenes

de error.

Los Métodos numéricos se utilizan para resolver problemas que presentan dificultad para

hallar soluciones por métodos analíticos tradicionales.

Los métodos numéricos proporcionan una sucesión de valores que se aproximan a una

solución del problema.

¿Cómo podemos representar un número racional?

Un numero racional se puede expresar en forma decimal. Se da a menudo el caso que hace

falta una cantidad infinita de cifras.

13

= 0,333333,… Ec (1)

13

= 0,3 Ec (2)

Podemos abreviar la Ec (2) por la serie

S= (0,3)+(0,03)+(0,003)+(0,0003)+…

S= (3*10-1)+(3*10-2) +(3*10-3) +(3*10-4)+...

S=310

+3100

+31000

+3

10000+…

S=∑K=1

∞

3(10)−K=13

Si usamos una cantidad finita de cifras, entonces obtenemos una aproximación de 13

Por Ejemplo

13= (0,3)+(0,03)+(0,003)+Xerror

13= (3*10-1)+(3*10-2) +(3*10-3) + Xerror

13=

310+

3100+

31000+ Xerror

13=

3331000+ Xerror

13-3331000 = Xerror

Xerror = 1000−9993000

Xerror = 13000

El error de aproximación es 13000 , podemos comprobar que:

13=0,333+ 1

3000 = 3331000+

13000

5.- Notación Científica

Una forma estándar de representar un numero real muy grande o muy pequeño, es llamado “Notación Científica”. Consiste en desplazar la coma decimal a la vez una potencia de base diez adecuada. El numero entero que multiplica la potencia diez debe estar entre 1 y 9.

Ejemplo

(1) 0,0000747 = 7,47x10-5

(2) 31,4159265 = 3,14159265x10+1

(3) 9700000000 =97x10+9

ARITMETICA DE LA COMPUTADORA

Los errores surgen al usar calculadoras o computadoras para cálculos de números reales,

la aritmética de la maquina sólo utiliza números con cantidades finitas de cifras.

Los cálculos se realizan únicamente con una cantidad aproximadas de cifras .

La computadora solo usa un sub-conjunto relativamente pequeño del sistema de los

números reales.

En 1985 el Instituto for Electrical and Electronic Engineers, IEEE (Instituto para

Ingenieros Eléctricos y Electrónicos) público un informe llamado Binary Floating Point

Aritmetic Standard 744-1985. Especificaron formatos para precisiones simple, doble y

extendida; en general los fabricantes de microcomputadoras utilizaban los estándares para

el hardware de punto flotante..

Las computadoras no usan sistema decimal en calculo ni en memoria, usan sistema

Binario.

Se precisan formatos para las precisiones simples, dobles y extendidas.

Los fabricantes de microcomputadoras utilizan estas especificaciones para el harware de

punto flotante.

Este sistema de memoria que utiliza el computador consiste en un enorme número de

registros magnéticos y electrónicos, en los que cada elemento tiene los estados “encendido”

y “apagado”.

Si examinamos el lenguaje de la maquina utiliza otros lenguajes como Octal y Hexadecimal

(estos son parientes del binario).

El sistema Hexadecimal proporciona el uso más eficiente en el espacio de memoria de la

maquina.

6.- RANGO DE LAS CONSTANTES NUMERICAS

Las constates numéricas que se usan en los programas se clasifican en tres categorías:

(a) Números Enteras

(b) Números Reales

(c) Números Complejas

En el lenguaje de programación no siempre se puede manipular de manera directa los números

complejos. Las constantes que se usan en los programas son decimales a menos que se

indique lo contrario

En cuanto a la mayor o menor longitud de un numero real que se puede representar en una

computadora varía de acuerdo al diseño del hardware como también del software utilizado.

RANGO APROXIMADO

En la IBM PC, la diferencia entre 1 y el menor número mayor que uno (1) pero distinguible es

1,19x10 -7 este intervalo se llama épsilon de la maquina.

El intervalo entre cualquier número real y el siguiente

(épsilon de la maquina) x R R= número real

PC IBM 2,9x10-39 hasta 1,7x10 38

IBM 70 5,4x10-79 hasta 7,2x10 75

FORTRAN IB 231-1 hasta -(231-1 )

7.- NUMEROS DENTRO DEL HARDWARE DE LA MAQUINA

Las formas que se usan los bits para valores enteros de puntos flotantes varían de acuerdo

al uso de la computadora

Se utiliza los digitos o signos “1” y “0” y su base es dos.

Bit : del ingles Binary diglt, representa el digito binario. Además, el bit es la unidad mínima

de información empleada en la teoría de información. Representa el elemento de memoria

que consta de las posiciones de “encendido” y “ apagado”, a la manera de un dispositivo

semiconductor o punto magnético en una superficie de registro.

Byte u Octeto: Es un conjunto de 8 bits. Formalmente es una secuencia de 8 bits

contiguos, cuyo tamaño depende del código del información o caracteres que se esté

usando.

1 BYTE ___________8 Byts

8.- PRECISION DE LAS VARIABLES EN LA COMPUTADORA

Existen variantes del sistema de numeración binario

Binario puro: Solamente se puede representar por enteros positivos.

Signo Magnitud: El bit más significativo representa el signo (0= +) y el (1= -) y los (n-1)

números restantes representan el valor absoluto del numero.

El computador almacene una cantidad binaria tal como:

X ≈ ± q x 2 n

Donde : ± , el signo se representa con 1 para (-) y 0 para ( +)

q , representa la mantisa

2, es la base de binario

N, es el exponente que llamaremos también característica

Complemento a la Base Disminuida: En los números negativos cada dígito se escribe como

[d]b = (b − 1) − (di)b

Complemento a la Base: [N]b de un número (N)b se define como:

[N]b = bn − (N)b,

donde, n es el número de dígitos de (N)b

En 1985 el Instituto for Electrical and Electronic Engineers, IEEE (Instituto para

Ingenieros Eléctricos y Electrónicos) público un informe llamado Binary Floating sobre

formatos standard. Los formatos para representar números cortos 2 Bytes es decir 16 bytes ,

puntos flotantes y de precisión simple con 4 Bytes o 32 bits y con doble precisión con 8

Bytes, es decir 64 bits

Los números se distribuyen de forma exponencial en la recta real

(−1)S2E−127(1 + 0.F) (−1)S 2 E−1023 (1 + 0.F)donde, S representa el bit de signo, E el exponente y F la parte fracción binaria del número.

Enteros cortos

Shorts

2 Bytes 16 bits Signo

1bit

4 exponente o

característica

11 la mantisa 3 cifras

Enteros

Largos

Precisión

Simple

4 Bytes 32 bits Signo

1bit

8 exponente o

característica

23 la mantisa 7 cifras

Enteros

Puntos

Flotantes

Float

4 Bytes 32 bits Signo

1bit

8 exponente o

característica

23 la mantisa 7 cifras

Precisión

Doble

Double

Precisión

8 Bytes 64 bits Signo

1bit

11 exponente o

característica

52 la mantisa 16 cifras

Los resultados que en valor absoluto son menores que el valor mínimo que soporta se les

llaman underflows, mientras los mayores que están por el máximo se le llaman overflows.

9.- ERRORES

Los métodos numéricos presentan errores inevitables, por lo tanto se debe considerar tal

situación como algo inherente al cálculo numérico.

LAS FUENTES DE ERRORES

En datos de entrada

En los códigos

Temperamento del computador “El programa no quiere correr”.

Cuantización del sistema de numeración de redondeo o de truncamiento.

2(13

) –(23

)≠0,6666666- 0,6666667= -0,0000001

Aproximación de los algoritmos

ex =∑n=0

∞xn

n!≈∑n=0

∞xn

n!

(9.1) ERROR ABSOLUTO:

Definición 1.1. Si p ∈Rn, y p es una aproximación p (, se define el Error absoluto como:

Eabs = |p−p|

En forma práctica puede representarse el valor verdadero con V v y el valor aproximado conV a

esto es por el excesivo uso de la ( en este material, por lo tanto, el error absoluto también

puede definirse como la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado y se

representarse por:

Eabs = |V v−V a|

Ejemplo 1.1.

Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número

aproximado 2,1.

Solución

Sea la cantidad exacta 5 y el número aproximado 5,3. El error absoluto es: 0,3.

Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. El error absoluto es: 0,1

Luego: 5 – 2 1 3; diferencia entre las cantidades exactas.

5,3 – 2,1 = 3,2; diferencia entre las cantidades aproximadas.5 – 2 = 3,0; diferencia entre los errores absolutos.

El error absoluto de la diferencia es 0,2, y 0,3 es el mayor error absoluto de uno de susTérmino

Eabs = |5−5,3| = 0,3

Eabs = |2−2,1| = 0,1

Eabs = |3−3,2| = 0,2

Ejemplo 1.2.

Sean: 8, 2 y 10 los números exactos y su suma: 8 +2 + 10 = 20

Sean: 8,2; 2,1 y 10,2 los números aproximados y su suma: 8,2 + 2,1 + 10,2 = 20,5.

Hallar el error absoluto.

Solución

Eabs = |V v−V a| = |20 – 20,5| = 0,5

La suma algebraica de los errores absolutos es: 0,2 + 0,1 + 0,2 = 0,5

Ejemplo 1.3.Sea el resultado de una operación en donde se comprueba que el valor exacto es 8 y El valor

aproximado hallado es 8,2. Calcular el error absoluto.

Solución

Eabs = |V v−V a| = | 8 – 8,2 | = 0,2

(9.1.1)Cota del Error Absoluto

m es una cota del error absoluto si: m > 0 y |V v−V a| ≤ m

(9.2) ERROR RELATIVO:

Definición 1.2. Si p ∈Rn, y p es una aproximación p (, se define el Error relativo como:

ER = |p−p|

|p| |p|≠0

En forma práctica, el error relativo se define como el cociente entre en error absoluto y el

valor verdadero, se representa por:

ER = |V v−V a|

|vv| |vv|≠0

(9.2.1)Cota del Error Relativo

m es una cota del error relativo si: m > 0 y |V v−V a|

|vv| ≤ m; m,vv≠0

Teorema 1.

El error relativo de una suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el

mayor de los errores relativos de los sumandos, mientras tales números presenten errores

relativos del mismo sentido.

Ejemplo 1.4.

Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados

respectivamente.

Solución

Sean: 2, 10 y 5 los números exactos y su suma: 2 +10 + 5 = 17

Sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados y su suma: 2,1 + 10,2 + 5,3 = 17,6

El error absoluto de la suma es: Eabs = |17 – 17,6| = 0,6

El error relativo de la suma es: Er =¿17 –17,6∨ ¿

¿17∨¿¿¿

= 0,617 = 0,035294

Ejemplo 1.5.

Solución

Sean: 5 y 10 los números exactos (verdaderos) y sean 5,3 y 10,2 los números aproximados,

respectivamente.

Solución

Sean: 5, 10 los números exactos y su suma: 10 + 5 = 15

Sean: 5,3; 10,2 y su suma: 5,3 + 10,2 = 15,5

El error absoluto : Eabs = |15 –15,5|

El error relativo es: Er =|15 –15,5|¿15∨¿¿ =

0,515 = 0,0333

El error relativo entre 5 y 5,3 es: Er =|5 –5,5|¿5∨¿¿ =

0,55 = 0,01

El error relativo entre 10 y 10,2 es: Er =|10 –10,2|¿10∨¿¿ =

0,210 = 0,02

Luego: 0,01 + 0,02 =003

(9.3) ERRORES INHERENTES

Estos errores se deben principalmente a aquellos datos obtenidos experimentalmente y que

corresponden a los datos de entrada de un problema, debido principalmente al instrumento de

medición empleado, como a las condiciones de realización del experimento.

(9.4) ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Estos errores son originados por aproximación de soluciones analíticas de un determinado

problema por medio de métodos numéricos. Por medio de la serie de Taylor se evalúa la

función exponencial, que dicho sea de paso, es una serie infinita. Siendo imposible tomar todos

los términos de la serie, se requiere cortar o truncar dicha serie después de cierto número de

términos. Esta situación introduce a un error, que es el error de truncamiento, que depende del

método numérico empleado e independiente de la manera de realizar los cálculos.

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usara ya

que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tendera a cortar el numero de

términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se

supone es exacta).

(9.5) ERROR NUMÉRICO TOTAL

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento

introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan

que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por

otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación,

disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente

mayor error de redondeo).

Entonces, que criterio debemos utilizar…?. Lo ideal sería determinar el punto en que los

errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.

En la práctica se debe considerar que actualmente las computadoras tienen un manejo de

cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza

enormemente, aunque no se debe dejar de considerar su aporte al error total.

(9.6) ERRORES DE REDONDEO

Estos errores se presentan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico

requieren y se deben a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones

aritméticas como productos y cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de

cifras que permita el instrumento de cálculo, normalmente, una calculadora.

En este tipo de error existen dos situaciones que pueden perjudicar la precisión de la operación

y son:

a- Cuando se suman una sucesión de números, especialmente si estos decrecen en

valor absoluto.

b- Cuando se halla la diferencia entre dos números casi idénticos, ya que se cancelan los

dígitos principales.

Cuando las cantidades estudiadas pertenecen a los números irracionales las calculadoras y los

computadores cortan los números decimales introduciendo así un error de redondeo. Para

ilustrar,

Ejemplo 1.7

El valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito.

83

Si se corta el numero en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) se está

obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...

Sin embargo, considerando que el numero que seguia al corte era mayor que 5, entonces

conviene dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error seria solo de

E = 2.718281828 -2.71828183 = -0.000000002. , que en términos absolutos es mucho menor

que el anterior.

En general, el error de corte producido por las computadoras será muy inferior al error

introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo

puede tener incidencia importante en el cálculo final.

Ejemplo 1.8.

Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos:

a) 27,0670 b) 37,23 c) 7,415

Solución

a) 27,0670 = 27,1 b) 37,23 = 37,2 c) 7,415 = 7,42

Ejemplo 1.9.

Redondea las siguientes cantidades a números enteros:

a) 23,617 b) 237,21 c) 7,5

Solución

a) 23,617 = 24 b) 237,21 = 237 c) 7,5 = 8

Ejemplo 1.10.

Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales:

a) 57,2367 b) 0,789 c) 92,3341

Solución

a) 57,2367 = 57,24 b) 0,789 = 0,79 c) 92,3341 = 92,33

(9.7) ERROR PORCENTUAL

Este tipo de error consiste simplemente en el error relativo expresado en por ciento %. Se

expresa matemáticamente por:

E% =ERx100% = |V v−V a|

|vv| 100% |vv|≠0

REDONDEO TRUNCADO

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras

significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí se redondea37

a cuatro cifras significativas

se tiene 0.4285.

REDONDEO SIMÉTRICO

El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra

descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada está entre 0 y 4. Por

ejemplo sí se redondea 37 a 4 cifras significativas tenemos 0.4286.

Para verificar estos dos tipos de errores, se realiza la siguiente operación:

37+47 = 1

Empleando únicamente 4 cifras significativas y usando los dos tipos de redondeo.

Se obtiene:

0.4285 + 0,5714 = 0.9999 “Redondeo truncado”

0.4286 + 0.5714 = 1.0000 “Redondeo simétrico”

Se concluye que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos.

Y=P1(x)= f(a)+ f´(a)(x-a)

Y = f(x)

APROXIMACIONES POR LA SERIE DE TAYLOR

Una función puede aproximarse cerca de un punto a mediante una recta tangente a través de

un punto (a, (a)). Llamemos esta recta la aproximación Lineal a f cerca de a

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y

x, entonces el valor de la función esta dado por:

x

y

a

f(a)(a,f(a))

x

1 2

y

f(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)22!

+…+f´´´´(a)(x−a)3

3 ! +f Iv (a)

(x−a)4

4 ! +f v (a)

(x−a)5

5 !+…f n

(x−a)n

n!

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi

expresando la serie de Taylor como:

Después de estudiar la serie de Taylor hagamos algunos ejemplos que ilustren la definición.

Ejemplo1.11

Calcule P 1 (x) con base (alrededor) a=1 para f(x) = Ln(x) y uselo para aproximar Ln(0,9) y

Ln(1.5).

Observe que la función Logaritmo cumple con las condiciones dirigidas a aproximaciones

analíticas

(a) f(x) es continua es continua en [ a,b]

(b) Diferenciable en las sus n+1 derivada

Condiciones que cumple la función logaritmo, así que se puede representar en la

representación del polinomio de Taylor de orden =2 con base a=1

f(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2

2 !+…+f´´´´(a)

(x−a)3

3 ! +f Iv (a)

(x−a)4

4 ! +f v (a)

(x−a)5

5 !+…f n(x−a)

n

n!

Orden F(x) = ln(x) Evaluada en x=1 F(1) =Ln(1)= 0

Orden 1F´(x) =

1x

Evaluada en x=1F´(1)=

11

= 1

Orden 2F´´(x) =

−1x2

Evaluada en x=1F´´(x) =

−112

=-1

Por tanto la representación del polinomio de Taylor de la función alrededor de a=1 es

P(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2

2 !

P2(x) = 0 +1(x-1)- 1 (x−1)2

4

Ln(x)≅ (x-1)-(x−1)2

2

Para calcular aproximación de Ln (0,9)

(1) Utilizando calculadora Ln(0,9)= -0,105360515

(2) Utilizando la aproximación de la serie Taylor:

Ln(0,9))≅ (0.9-1) -(0.9−1)2

2

Ln (0,9))≅ (-0,1) -(−0,1)2

2 = -0,1 –

0,0012

=- 0,1005

(a) Si buscamos el error absoluto, debemos aplicar la siguiente fórmula:

Eabs = |V v−V a|

El error tomando 4 cifras significativas

Eabs =|−0,1053−(−0,1005)|= |-0,0048| = 0,0048

Eabs = 0,0048

(b) Si buscamos el error Relativo, debemos aplicar la siguiente fórmula

ER = |V v−V a|

|vv| |vv|≠0

ER = E|¿||v v|

¿

ER = 0 ,00480 ,1053

ER = 0,0455

( c ) Finalmente, si buscamos el error porcentual, utilizamos la siguiente formula:

E% =ERx100% = |V v−V a|

|vv| 100%

E% =0,0455 100%

E% =4,55 %

Cuando a=0, el polinomio de Taylor de orden n se simplifica como un polinomio de

Mac claurin particularmente útil cerca de x=0.

Ejemplo 1.12

Calcular la función sen(x)=2 por métodos numéricos y hallar su error absoluto, el error relativo

y el error porcentual. Considera el cálculo para seno de x para S 4 mediante su serie de Taylor.

La serie de Taylor de la función seno es:

Vemos cual es la condición necesaria para hacer una aproximación por la serie de Taylor

f(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2

2 !+…+f´´´´(a)

(x−a)3

3 ! +f Iv (a)

(x−a)4

4 ! +f v (a)

(x−a)5

5 !+…f n(x−a)

n

n! Alrededo de a=0

Orden F(x) = sen(x) Evaluada en x=1 F(x) = sen(1) = 0

Orden 1 F´(x) = cos(x) Evaluada en x=1 F´(x) = cos(1)= 1

Orden 2 F´´(x)= -sen(x) Evaluada en x=1 F´´(x)= -sen(1)= 0

Orden 3 F´´´(x)=-cos(x) Evaluada en x=1 F´´´(x)= -cos(1)= -1

Orden 4 Flv(x)= sen(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= sen(1)= 0

Orden 5 Fv(x)= cos(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= cos(1) = 1

Orden 6 Fvl(x)= sen(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= -sen(1)= 0

Orden 7 Fvll(x)= cos(x) Evaluada en x=1 Flv(x)= -cos(1) = - 1

P4(x)= f (a)+f´(a)(x-a) + f´´(a) (x−a)2

2 !+ f´´´(a)

(x−a)3

3 ! + flv(a)

(x−a)4

4 ! + flv(a)

(x−a)5

5 !

+flv(a) (x−a)6

6 !+ flv(a)

(x−a)7

7 !

P4(x)= 0+1(x-0) + 0 (x−0)2

2 !-1

(x−0)3

3 ! + 0

(x−0)4

4 ! +1

(x−0)5

5 !- 1

(x−0)7

7 !

P4(x)= 0+1x -1 (x )3

6 + 1 (x )

5

120-1 (x )

7

840

Para calcular aproximación de sen(2)

(1) Utilizando calculadora sen(2) = 0,034899496

(2) Utilizando la aproximación de la serie Taylor:

Sen (2) ≅ 0+1(2) -1 (2)3

6 + 1 (2)

5

120 -1 (2)7

5040

≅ 2-1,33333 + 0,266666−0,02540≅ 0,90796

vv=0,03489Va= 0 ,90796

(a) Calcular el error absoluto tomando 5 cifras significativas, debemos aplicar la siguiente fórmula:

Eabs = |V v−V a| = |0 ,034899−0 ,90796|=0 ,87307

(b) Calcular el error absoluto tomando 5 cifras significativas, debemos aplicar la siguiente fórmula:

ER = |V v−V a|

|vv| = =

0 ,873070,90796

= ER = 0,961573

( C ) Calcular el error porcentual tomando 5 cifras significativas, debemos aplicar la siguiente fórmula:

E% =ERx100% = |V v−V a|

|vv| 100 %

E% =0,961573x100% =96,157%

Conclusión:

Al comparar los resultados hallados en los ejemplos 2.10 y 2.11, se verifica que la precisión del

valor hallado es consistente con el valor real o verdadero, sin embargo se nota que con una

sola iteración mas, la precisión aumentó enormemente, pasando de un error porcentual de

4,56% , que puede considerarse valor totalmente apropiado para la función buscada. Cada

caso presenta situaciones particulares, puede suceder que, como en el caso 2.11, con muy

pocas iteraciones se pueda conseguir un resultado óptimo; sin embargo hay otros casos

similares en que no sucede tal cosa.

ESTABILIDAD Y CONDICIÓN

Los algorítmos numéricos debe dar resultados precisos y exactos. Estabilidad: Un algoritmo

es estable si cambios pequeños en los datos iniciales producen cambios pequeños en los

resultados

Condición: Algunos algoritmos son estables solamente para un conjunto de condiciones

iniciales. Estos algoritmos son condicionalmente estables

Crecimiento del error: Si ϵ 0 denota el error inicial y ϵ n el error después de n iteraciones,

decimos que el error crece:

Linealmente si ϵ n ≈ knϵ 0

Exponencialmente si ϵ n≈ knϵ 0 Hay que evitarlo Por lo general es inevitable el

crecimiento lineal del error.