RAZONAMIENTO LÓGICO Lic. JOSÉ VILLANUEVA CABANILLAS

El cálculo proposicional estudia la estructura de las proposiciones e inferencias; para ello dispone de un procedimiento que permite hallar la verdad o falsedad de la función, dependiendo de los valores que independientemente tomen cada uno de sus variables componentes. Este método o procedimiento mecánico se denomina TABLAS DE VERDAD. Cada variable que represente a una proposición verdadera (V) le daremos el valor 1 y a cada variable falsa (F) se le asignará el valor O. Cada conector lógico posee convencionalmente ciertas reglas, las cuales son derivadas principalmente de tres principios lógicos o fórmulas tautológicas denominadas: “LEYES DEL PENSAMIENTO” I. LAS TRES LEYES DEL PENSAMIENTO 1. Principio de Identidad: (Parménides 515 A.C.) “Si un enunciado es verdadero entonces es

verdadero” Esto significa que toda proposición se implica

así misma: P P Ejemplo : Si América es continente entonces

América es un continente 2. Principio de no contradicción: (Platón 428 A.C.) “Es imposible que un enunciado sea

verdadero y falso a la vez” Esto significa que no puede ser cierto que una

proposición se acepte simultá-neamente con

su contrario : (p p) Ejemplo : No es el caso que un hombre sea

mortal y al mismo tiempo no lo sea. 3. Principio del Tercio Excluido: (Aristóteles 384

A.C.) “Un enunciado es verdadero o falso, no cabe

una tercera posibilidad”

Esto significa que una proposición lógica es de carácter bivalente; solo puede ser verdadera o falsa.

Ejemplo : El número 7 es un número impar o no es impar.

II. REGLA DE LOS CONECTORES LÓGICOS 1. EL NEGADOR “Si una proposición es verdadera, su negación

será falsa y viceversa”

A A A - A

V F 1 0 F V 0 1

2. EL CONJUNTOR

A B A x B

V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F F V 0 0 1 F F F 0 0 0

“Una proposición conjuntiva es verdadera

cuando todos sus componentes son verdaderos. Es falsa cuando por lo menos uno de sus componentes es falso”

3. EL DISYUNTOR DÉBIL

A B A + B

V V V 1 1 1 V V F 1 1 0 F V V 0 1 1 F F F 0 0 0

“Una proposición disyuntiva es falsa cuando

todos sus componentes son falsos. Es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero”

4. EL DISYUNTOR FUERTE

A v B A - B

V F V 1 0 1 V V F 1 1 0 F V V 0 1 1 F F F 0 0 0

“Una fórmula Bidisyuntiva es verdadera

cuando sus componentes tienen valores diferentes. Es falso si sus componentes tienen valores iguales”.

VALORES DE VERDAD FORMAL

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5. EL CONDICIONAL

A B A B

V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F V V 0 1 1 F V F 0 1 0

“Una proposición condicional solo es falsa

cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En los demás casos la proposición será verdadera”.

6. EL BICONDICIONAL A B A B

V V V 1 1 1 V F F 1 0 0 F F V 0 0 1 F V F 0 1 0

“Una proposición Bicondicional es verdadera

cuando todo sus componentes son iguales. Es falsa si sus componentes tienen valores diferentes”.

III. TABLAS DE VERDAD Es una gráfica que sirve para analizar esquemas

moleculares, estos esquemas dependen de los valores de las proposiciones componentes y la correcta aplicación de las reglas veritativas correspondientes a sus conectores. Dichos esquemas pueden ser:

1. TAUTOLOGICOS .- Si su matriz principal está

conformado solo de valores verdaderos. Ejemplo

A B (A B) (A B)

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

0 0 0 1 0

Matriz principal 2. CONTRADICTORIOS .- Si en su matriz principal

todo los valores son falsos. ejemplo :

A B (A B) (-A -B)

1 1 1 0 0

1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

Matriz principal

3. CONTINGENTES.- Si en su matriz principal

aparece por lo menos un valor verdadero y un falso. ejemplo :

A B (A B) (A B)

1 1 1 1 1

1 0 1 0 0

0 1 1 0 0

0 0 0 1 0

Matriz principal NOTA : Una fórmula proposicional será valida si es Tautológica y se dirá que es falsa en toda interpretación si es contradictoria. Como vemos : El método de las tablas de verdad puede ser aplicado en la demostración de la validez de fórmulas proposicionales; sin embargo existen un procedimiento que evita el laborioso trabajo de combinar todos los valores para obtener el resultado veritativo de una fórmula proposicional denominado el método de las tablas abreviadas. IV. EL MÉTODO DE LAS TABLAS ABREVIADAS Gracias a este método podemos averiguar de

manera más directa si una fórmula es tautológica, contradictoria o consistente.

Procedimiento para averiguar si una fórmula es

tautológica o no: 1. Se supone la falsedad del operador o

conector principal de la fórmula proposicional que se está analizando.

2. Asignamos los valores correspondientes a las variables para satisfacer las condiciones de nuestra suposición

3. Se sigue el mismo proceso encadenado hasta obtener el valor veritativo de cada proposición simple teniendo en cuenta el principio del “Tercio Excluido”

4. Se en el resultado final por lo menos una proposición atenta contra el principio de “La no contradicción”; entonces cometimos un error al suponer inicialmente la existencia de la falsedad del operador o conector principal.

5. Como no es posible hacer dicha suposición, entonces todos los valores deben ser verdaderos; es decir las tablas de verdad representaría a un esquema tautológico y la fórmula proposicional será válida.

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Si el paso número 4 no atenta contra el principio citado entonces nuestra suposición fue correcta y la fórmula proposicional por lo menos no sería tautológico; puede ser consistente o contradictorio, para eso hay que empezar suponiendo la verdad del operador o conector principal y seguir cada uno de los pasos anteriores.

Ejemplo: Analizar la validez de la sgte. fórmula proposicional :

rp)rq(qp

Solución: Desarrollaremos los pasos 1,2 y 3

rp)rq(qp

V V V V V

V

F

F

F

V

V

Vemos que el valor de “r” es verdadero dentro

del corchete y falso en el tercer paréntesis atentando al principio de no contradicción; llegamos a un absurdo, luego todos los valores de la matriz principal serán verdaderos, la fórmula proposicional es válida.

Ejemplo : ¿Será contradictoria la sgte. fórmula proposicional?

[p ( q r)] [p (r q)] Ejemplo : Analizar la sgte. fórmula e indique a

qué esquema pertenece

[(p q) (r s) - (q s)] (r - p) V. ¿QUIÉN ES EL MENTIROSO? Un chico y una chica con ganas de hacer una

broma, están sentados uno junto al otro; no se saben nombres, solo se sabe que un individuo tiene los cabellos negros y el otro los cabellos rubios.

“Yo soy un chico” - dice el individuo de cabello

negros “Yo soy una chica” - dice el individuo de

cabellos rubios. Si se sabe que por lo menos uno de los dos

MIENTE; haciendo uso de las tablas de certeza averiguar el sexo de los chicos de cabellos negros y rubios respectivamente.

Rpta. : ......……………………………………