(Teoria no Relativista) Vol. 3 L. Landau & E. Lifshitz.

TEORIACUANTICA

VOLMEN 3

SEGUNDA EDICINSEGUNDA EDICIN

LANDAU LIFSHITZy

FSICA TERICA

(NO-RELATIVISTA)

C U R S O D E F i S I C A TERICA

Volumen 3

MECNICA CUNTICA NO = RELATIVISTA

L. D . LANDAU E. M. LIFSHITZ Academia de Ciencias, U. R. S. S.

MECANICA CUANTICA NO=RELATIVISTA

Volumen 3 del

CURSO DE FSICA TERICA

EDITORIAL REVERTI?, s. A. BARCELONA-BOGOTB-BUENOS AIRES-CARACAS-NXICO-RIO DE JANEIRO

Ttulo de la obra original

K B A H T O B A H MEXAHkiIfCA HepeJIXTHBHCTCRaS3 TeOpHci

Editada por

MEZHDUNARODNAYA KNIGA, Moscou

Versin espaola directamente del ruso por el

Prof. Dr. Ramn Ortiz Fornaguera Jefe de la Divisin de Fsica Terica de la Junta de Energa Nuclear - Madrid

Propiedad de EDITORIAL REVERT, S. A. Encarnacin, 86. Barcelona (24)

Reservados todos los derechos. Ninguna parte del material cubierto por este ttulo de propiedad literaria puede ser reproducida, almacenada en un sistema de inform- tica o transmitida de cualquier forma o por cualquier medio electrnico, mecnico, fotocopia, grabacin u otros mtodos sin el previo y expreso permiso por escrito del editor.

Edicin en espaol O EDITORIAL REVERT, S. A., 1983 Impreso en Espaa Printed in Spain

ISBN - 84 - 291 - 4079 - 4 ISBN - 84 - 291 - 4083 - 2

obra completa

tomo 3

Dep. Lea. B. 44.225 - 1982 LITOCLUB, S.A. - Ndpoles, 300 - Barcelona-%

DEL PROLOGO A LA PRIMERA EDICION

Junto a los fundamentos de la mecnica cuntica, se exponen tambin en el libro sus nmerosas aplicaciones en grado considerablemente mayor que el normal en los cursos generales de mecnica cuntica. Hemos dejado a un lado tan,slo aquellas cuestiones cuyo estudio exigira de modo esencial el realizar a la vez un detallado anlisis de los datos experimentales, lo que inevitablemente se saldra de los lmites de la obra.

Hemos intentado exponer de la manera lo ms completa posible los diferentes problemas concretos. En relacin con esto hay que decir que se han estimado innecesarias las referencias a los trabajos originales, limitndonos a indicar sus autores.

Como en los tomos precedentes, nos esforzamos en presentar las cuestiones generales de tal manera que, en lo posible, resulte claramente evidente la esencia fsica de la teora y sobre esta base se construye el formalismo matemtico. Esto se advierte particularmente en los primeros prrafos del libro, dedicados a elucidar

En contraste con el esquema de exposicin que se adopta de ordinario, esquema que parte de teoremas matemticos referentes a los operadores lineales, nosotros, al revs, deducimos las condiciones matemticas que se imponen a los operadores y funciones propias partiendo del planteo fsico del problema.

Es imposible dejar de hacer notar que en muchos cursos de mecnica cuntica la exposicin se ha complicado considerablemente en comparacin con los trabajos originales. Aunque esta complicacin se suele justificar por razones de generalidad y de rigor, sin embargo, un examen atento permite advertir fcilmente que en realidad, una y otro, son con frecuencia ilusorios, hasta tal punto que una parte considerable de los teoremas (( rigurosos D es errnea.

Dado que ese complicar la exposicin nos parece algo completamente injus- tificado, hemos tendido a la mayor simplicidad y, en muchos casos, se ha vuelto a los trabajos originales.

Algunos conocimientos puramente matemticos se presentan al final del libro en forma de (( Apndices matemticos , para, en lo posible, no interrumpir la exposicin en el texto con incisos orientados hacia lo que es puramente clculo. Estos apndices persiguen tambin una finalidad informativa general.

s las propiedades generales de los operadores de la mecnica cuntica.

V

PRLOGO A LA SEGUNDA EDICIN

El tercer tomo del Curso de fsica terica est dedicado a la exposicin de la mecnica cuintica no relativista. La teora cuntica relativista, en cambio, formar el contenido del volumen siguiente. Entendemos aqu por teora relativista, en el ms amplio sentido, la teora de todos los fenmenos cunticos que dependen de la velocidad de la luz de manera esencial. De acuerdo con esto, en ella se incluir no slo la teora basada en la ecuacin relativista de Dirac, sino tambin y de modo general toda la teora cuntica de la radiacin.

Para esta segunda edicin, el libro ha sido revisado y ampliado considerablemente, si bien el plan general de la obra, al igual que su carcter, siguen siendo los mismos. La revisin ha afectado a todos 10s captulos. En particular, en las secciones que se refieren a la teora de la composicin de momentos y a la teora de las colisiones se han realizado grandes cambios. Se ha aadido un nuevo captulo acerca de la estructura del ncleo; de acuerdo con el plan general del Curso, estas cuestiones se exponen aqu tan slo en la medida en que es conveniente hacerlo sin entrar a la vez en un anlisis detallado de los datos experimentales.

Quisiramos expresar nuestra sincera gratitud a todos aquellos numerosos compaeros que nos han hecho observaciones referentes a la primera edicin del libro, observaciones que se han tenido en cuenta al redactarlo de nuevo. Una gran cantidad de ellas, relativas a la teora de las colisiones, fueron hechas por la. A. Smo- rodinskii. Agradecemos en particular a L. P. Pitaevskii la gran ayuda prestada en la correccin de frmulas y problemas y en la lectura de las pruebas de imprenta.

L. D. LANDAU y E. M. LIFSHITZ Mosc, enero de 1962.

vii

NOTACIONES

Los operadores se caracterizan por el smbolo Elemento del espacio de configuraciones dq.

Elementos de matriz de la magnitud f (vase la definicin en la pgina 14) Frecuencias de las transiciones Conmutador de dos operadores Hamiltoniano Campo elctrico y campo magntico Corrimientos de fase de las funciones de onda 6, Tenssr unidad antisimtrico

fNDICE DE MATERIAS

CAPTiJLO 1 . CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA MECNICA CUNTICA . . . . . . . . . . . . . . . i El principio de la indeterminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 El principio de la superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Suma y producto de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 El paso al lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 El espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Funcin de onda y medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 11 . ENERGA E IMPULSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 E1 operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Derivacin de los operadores respecto del tiempo ......................

10 Estados estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Transformacin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Los operadores en la representacin de Heisenberg .................... 14 La matriz densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Relaciones de indeterminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 111 . LA ECUACIN DE SCHRODINGER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 La ecuacin de Schrijdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Propiedades fundamentales de la ecuacin de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . 19 Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 El principio variaciona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Propiedades generales del movimiento en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . 22 El pozo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 El oscilador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Movimiento en un campo homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Coeficiente de transmisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO Iv . MOMENTO CITICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Valores propios de) momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Funciones propias del momento cintico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Elementos de matriz de vectores ......................................

1 1 7 9

15 19 24 26

30 30 31 33 36 42 44 45 49 54

59 59 62 66 68 71 75 79 86 88

95

95 1 00 1 04 i 07

xi

................................................ 30 Paridad de un estado 31 Suma de momentos ..................................................

CAP~TULO V . MOVIMIEWTO EN UN CAMPO CENTRAL .............................. 32 Movimiento en un campo central ...................................... 33 Movimiento libre (coordenadas esfricas) .............................. 34 DeBarrollo de una onda plana ........................................

Movimiento en un campo coulombiano (coordenadas parablicas) . . . . . . . .

35 Cada de una partcula hacia un centro de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Movimiento de un campo coulombiano (coordenadas esfricas) . . . . . . . . . . 37

CAP~TULO VI . TEDRA DE PERTURBACIONES .................................... 38 Perturbaciones independientes del tiempo .............................. 39 La ecuacin secular .................................................. 40 Perturbaciones dependientes del tiempo ................................ 41 Transiciones debidas a una perturbacin que acta durante un tiempo finito . .

43 Transiciones en el espectro continuo .................................. 44 La relacin de indeterminacin para la energa ........................

42 Transiciones provocadas por una perturbacin peridica . . . . . . . . . . . . . . . .

45 La energa potencial como perturbacin ..............................

CAP~TULO VI1 . EL CASO CUASICLSICO ........................................ 46 47 48 49 50 51 52 53

La funcin de onda en el caso cuasiclsico Condiciones en los lmites en el caso cuasiclsico ...................... Regla de cuantificacin de Bohr-Sommerfeld ............................ Movimiento cuasiclsico en un campo central .......................... Paso a travs de una barrera de potencial Clculo de los elementos de matriz cuasiclsicos Probabilidad de transicin en el caso cuasiclsico Transiciones debidas a perturbaciones adiabticas

............................

............................ ........................

......................

...................... CAP~TULO VI11 . SPIN ........................................................

54 Spin ................................................................ 55 Espinores ............................................................ 56 Espinores de orden superior .......................................... 57 Funciones de onda de las partculas de spin arbitrario .................. 58 La relacin entre espinores y tensores ................................ 59 Polarizacin parcial de las partculas .................................. 60 Inversin del tiempo y teorema de Kramers . . . ........................

CAPTULO Ix . PARTCULAS IDNTICAS .......................................... 61 Principio de indistinguibilidad de las partculas idnticas . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Interaccin de intercambio ............................................ 63 Simetra respecto de las perturbaciones ................................ 64 Segunda cuantificacin . Estadstica de Bose ............................

Segunda cuantificacin . Caso de la estadstica de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . 65

111 114

118 118 122 130 132 135 146

150 150 154 159 163 170 172 175 178

183 183 186 188 193 198 204 209 213

217 217 221 227 228 231 236 238

242 242 245 250 256 263

xii

CAPTULO x . EL ATOMO ..................................................... 66 Niveles atmicos de energa ..........................................

68 Niveles de energa hidrogenoides ..................................... 69 El campo autoconsistente ............................................ 70 Ecuacin de Thomas-Fermi .......................................... 71 Funciones de onda de los electrones exteriores cerca del ncleo . . . . . . . . . . 72 Estructura fina de ios -niveles atmicos ................................ 73 El sistema peridico de los elementos de D . 1 . Mendeleev ................ 74 Trminos de rayos X ................................................ 75 Momentos multipolares .............................................. 76 Efecto Stark ........................................................ 77 El efecto Stark en el hidrgeno ......................................

67 Estados de los electrones en un tomo ................................

CAPTULO XI . LA MOLCULA DIATMICA ........................................ 78 Trminos electrnicos de una molcula diatmica ...................... 79 La interseccin de trminos electrnicos .............................. 80 Relacin entre los trminos moleculares y los atmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 La Valencia .......................................................... 82 Estructuras de vibracin y rotacin de los trminos singlete de una molcula

d iatmica ........................................................ 83 Trminos multiplete . Caso a ......................................... 84 Trminos multiplete . Caso b ......................................... 85 Trminos multiplete . Casos c y d ..................................... 86 Simetra de los trminos moleculares ................................... 87 Elementos de matriz para una molcula diatmica ...................... 88 Duplicacin A ..................................................... 89 La interaccin de los tomos a grandes distancias ........................ 90 Predkociacin ........................................................

CAPTULO XII . TEOR~A DE LA SIMETRfA ........................................ 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Transformaciones de simetra ........................................

Grupos puntuales .................................................... Representaciones de los grupos ........................................ Representaciones irreducibles de los grupos puntuales .................... Representaciones irreducibles y la clasificacin de los trminos . . . . . . . . . . . .

Grupos de transformaciones ..........................................

Reglas de seleccin para los elementos matriz Grupos continuos .................................................... Representaciones bivalentes de los grupos puntuales finitos . . . . . . . . . . . . . . . .

..........................

CAPTULO XIII . MOLCULAS POLIAT6MICAS .......................... : ......... 100 Clasificacin de las vibraciones moleculares .............................. 101 102 Estabilidad de las configuraciones simtricas de una moltkuia ...............

Niveles de energa de vibracin ........................................

267 267 269 273 274 279 285 286 291 299 302 306 311

320

320 323 327 331

339 347 351 355 358 361 366 369 373

384

384 388 391 400 408 413 415 419 422

428

428 436 439

... Xll l

103 Cuantificacin de la rotacin de un slido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Interaccin de las vibraciones y de la rotacin de un molcula . . . . . . . . . . 105 Clasificacin de los trminos moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO XIV . COMPOSICIN DE MOMENTOS CINTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Smbolos 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Elementos de matriz de los tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Smbolos 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Los elementos de matriz en la composicin de momentos cineticos . . . . . . . .

CAPTULO XV . MOVIMIENTO EN UN CAMPO MACNTICO ............................ 110 111 Movimiento en un campo magntico homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

La ecuacin de Schrodinger en un campo magntico ....................

113 El spin en un campo magntico variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La densidad de corriente en un campo magntico ........................

CAPTULO XVI . ESTRUCTURA DEL NCLEO ATMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 Invariancia isotpica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 16 Fuerzu nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 EL modelo de capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Ncleos no esfricos ................................................ 1 19 El corrimiento isotpico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Estructura hiperfina de los niveles atmicos ............................ 121 Estructura hiperfina de los niveles moleculares ........................

CAPTULO XVII . TEORA DE LAS COLISIONES ELSTICAS .......................... 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138

Teora general de la dispersin ........................................ Estudio -de la frmula general La condicin de unitariedad en la dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Frmula de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El C ~ O cuafkdsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersin para grandes energas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades analticas de la amplitud de dispersin Relaciones de dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................

Dispersin de partculas lentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersin de resonancia para pequeas energas ........................ Resonancia en un nivel cuasidiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frmula de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El sistema de las funciones de onda del espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . Colisiones entre partculas idnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersin de resonancia partculas cargadas ........................ Colisiones elsticas de electrones rpidos con tomos La dispersin con interaccin spin-rbita

.................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 1 449 454

463

463 472 475 483

486

486 489 493 500 502

505 505 510 515 527 533 535 539

542

542 546 549 553 561 565 568 574 578 584 591 597 600 605 608 613 618

riv

CAPTULO XVIII . TEORA DE LAS COLISIONES INELSTICAS ...................... 139 La colicin elstica cuando son posibles los procesos inelsticoo . . . . . . . . . . 140 Dispersin inelstica de partculas lentas .............................. 141 La matriz de dispersin en la. s reacciones ................................ 142 143 Interaccin en el estado final en el caso de reacciones .................... 144 Comportamiento de las reacciones eficaces cerca del umbral de reaccin . . . . 145 Colisiones inelsticas de electrones rpidos con tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Frenado eficaz ...................................................... 147 Choques inelsticos de partculas pesadas con tomos .................... 148 Dispersin por molculas ..............................................

Frmulas de Breit y Wigner ..........................................

APNDICES MATEMTICOS ...................................................... a PolinomioU de Hermite .............................................. b Funcin de Airy ..................................................... c Polinomios de Legendre .............................................. d La funcin hipergeomtrica confluente ................................ e La funcin hipergeomtrica ..........................................

Clculo de integrales que contienen funciones hipergeomtricas confluentes . . . f ...................................................................... NDICE

626 626 633 636 640 649 652 659 670 675 678

685 685 688 691 694 698 70 1

707

xv

CAPTULO 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA MECNICA CUNTICA

0 1 . El principio de indeterminacin

Cuando se intenta aplicar la mecnica y la eiectrodinmica clsicas a la expli- cacin de los fenmenos atmicos, ambas conducen a resultados que se encuentran en abierta contradiccin con la experiencia. Un ejemplo muy claro de esto lo pro- porciona ya la contradiccin a que se llega al aplicar la electrodinmica ordinaria al modelo de tomo en el que los electrones se mueven en torno del ncleo siguiendo rbitas clsicas. En este movimiento, como en cualquier movimiento acelerado de las cargas, los electrones deberan radiar continuamente ondas electromagnticas. Con la radiacin, los electrones perderan su energa y esto debera conducir, en ltimo trmino, a su cada sobre el ncleo. As, pes, segn la electrodinmica clsica el tomo sera inestable, lo que en modo alguno corresponde a la realidad.

Esta profunda contradiccin entre teora y experimento nos dice que la cons- truccin de una teora aplicable a los fenmenos atmicos - esto es, a fenmenos que ocurren con partculas de masa muy pequea y en muy pequeas regiones del espacio -, exige un cambio esencial en las leyes y nociones fundamentales de las teoras clsicas.

Como punto de partida para descubrir cules son estos cambios resulta conveniente adoptar un fenmeno observado experimentalmente, la llamada difraccin de los electrones (l). Cuando un haz homogneo de electrones atraviesa un cristal, a la salida del mismo se observa una figura constituida por mximos y mnimos de intensidad consecutivos del todo anloga a la figura de difraccin que se observa en la difraccin de las ondas electromagnticas, As, en ciertas condiciones el comportamiento de las partculas materiales - de los electrones - presenta rasgos tpicos de los procesos ondulatorios.

El siguiente experimento ideal, que corresponde a una esquematizacin de la

(l) En realidad, el fenmeno de la difraccin de los electrones fue descubierto despus de fundada ya la mecnica cuntica. Sin embargo, en nuestra exposicin no nos atenemos al desarrollo histrico de la teora, sino que tratamos de construida de tal manera que mejor quede de manifiesto cmo los principios fundamentales de la mecnica cuntica estn ligados con fenmenos observados.

2 Conceptos fundamentales de la mecnica cuntica

difraccin electrnica por un cristal, pone claramente de manifiesto hasta qu punto es profunda la contradiccin entre este fenmeno y las nociones ordinarias acerca del movimiento. Imaginemos una pantalla que no se deja atravesar por los electrones y en la cual se han practicado dos rendijas. Si se observa el paso del haz de electrones (l) por una de ellas, cuando la otra rendija permanece cerrada, obtenemos sobre una pantalla plana colocada detrs de la rendija una cierta figura de distribucin de la intensidad; de la misma manera obtenemos otra figura abriendo la segunda rendija y cerrando la primera. En cambio, observando el paso del haz simultneamente por las dos rendijas, de acuerdo con las ideas ordinarias, debera- mos esperar hallar una figura consistente en la simple superposicin de las dos anteriores, ya que cada electrn, movindose en su trayectoria, pasa por una de las- rendijas sin ejercer influencia alguna sobre los electrones que pasan por la otra. El fenmeno de la difraccin electrnica muestra, sin embargo, que en realidad se obtiene una figura de difraccin que, gracias a la interferencia, de ningn modo se reduce a la suma de las figuras dadas por cada una de las rendijas por separado. Es claro que este resultado en manera alguna se puede conciliar con el concepto de movimiento de los electrones a lo largo de una trayectoria.

Resulta as que la mecnica a que obedecen los fenmenos atmicos - la llamada mecnica ondulatoriu o czrntica -, debe basarse en nociones acerca del movimiento diferentes en esencia de las ideas de la mecnica clsica. En la mecnica cuntica no existe el concepto de trayectoria de una partcula. Esta circunstancia constituye el contenido del llamado principio de indeterminacin - uno de los conceptos fundamentales de la mecnica cuntica descubierto por W. HEISENBERG en 1927 (2).

Al rechazar las nociones ordinarias de la mecnica clsica, el principio de indeterminacin posee, por-as decirlo, un contenido negativo. Es natural que de por s es del todo insuficiente para construir, tomndolo como base, la nueva mecnica de las partculas. En la base de una tal teora deben encontrarse, claro est, ciertas proposiciones afirmativas que se considerarn ms adelante (4 2). Sin embargo, para formularlas es necesario examinar previamente cmo se plantean los problemas con que se enfrenta la mecnica cuntica. Para ello analicemos ante todo el carcter peculiar de la relacin que existe entre la mecnica cuntica y la clsica.

De ordinario, la teora ms general se puede formular de manera lgicamente cerrada con independencia de una teora menos general que constituye un caso lmite de la primera. As, la mecdnica relativista se puede construir partiendo de sus principios fundamentales y sin hacer referencia ninguna a la mecnica newto-

(l)

(9

El haz se supone enrarecido hasta tal punto que la interaccin mutua de las partculas que lo constituyen no representa papel alguno.

Es interesante observar que todo el formalismo matemtico de la mecnica cuntica fue establecido por W. HEISENBERG y E. SCHRODINGER en 1925-1926, antes del descubrimiento del principio de indeterminacin, que pone de manifiesto el contenido fsico de dicho formalismo.

El principio de indeterminacin 3

niana. La formulacin de las tesis fundamentales de la mecnica cuntica, en cambio, es en principio imposible sin acudir a la mecnica clsica.

El que un electrn (l) carezca de trayectoria determinada le priva tambin, al mismo tiempo, de cualesquiera otras caractersticas dinmicas ("). Es claro por ello que para un sistema constituido solamente por objetos cunticos sera imposible construir una mecnica lgicamente cerrada. La posibilidad de una descripcin cuantitativa del movimiento de un electrn exige la existencia de objetos fsicos que, con precisin suficiente, obedecen a la mecnica clsica. Si el electrn entra en interaccin con un (( objeto clsico , el estado de ste, en general, cambia. El carcter y la magnitud de este cambio dependen del estado del electrn y pueden as servir para caracterizarlo cuantitativamente.

En tales circunstancias el (( objeto clsico D se suele llamar aparato y del proceso de su interaccin con el electrn se suele decir que se trata de una medicin. Es necesario subrayar, sin embargo, que en modo alguno se trata aqu de un proceso de medicin en el que participa el fsico observador. En mecnica cuntica se entiende por medicin cualquier proceso de interaccion entre objetos clsicos y cunticos que ocurre aparte y con icdependencia de un observador cualquiera. Fue N. BOHR quien puso de manifiesto el profundo papel que desempea el concepto de medicin en la mecnica cuntica.

Hemos definido un aparato como un objeto fsico que obedece con precisin suficiente a la mecnica clsica. Tal es, por ejemplo, un cuerpo de masa suficientemente grande. Con todo, no hay que pensar que el carcter macroscpico constituye una propiedad ineludible de un aparato. En ciertas condiciones puede representar tambin el papel de aparato un objeto evidentemente microscpico, dado que el concepto de G con precisin suficiente D depende del problema concreto planteado. As, el movimiento de un electrn en una cmara de Wilson se observa por la traza de niebla que deja, traza cuyo grosor es grande comparado con las dimensiones atmicas; dentro de este grado de precisin en la definicin de trayectoria, el electrn es un objeto enteramente clsico.

La mecnica cuntica ocupa as una posicin muy particular en el conjunto de las teoras fsicas : contiene la mecnica clsica como caso lmite, y al mismo tiemp.0 tiene necesidad de este caso lmite para su propia fundamentacin.

(l) En este prrafo y en el siguiente hablamos, para abreviar, de un electrn, si bien pensamos en general en un objeto cuntico arbitrario, es decir, en una partcula o un sistema de partculas que obedecen 3 la mecnica cuntica, pero no a la clsica.

Se trata de magnitudes que caracterizan el movimiento del electrn, no de magnitudes que caracterizan a ste como partcula (carga, masa), que son parmetros.

(*)

4 Conceptos fundamentales de la niecnica cuntica

Podemos formular ahora el problema que se plantea la mecnica cuntica. Un problema tpico consiste en predecir el resultado de una medicin, partiendo del resultado conocido de mediciones anteriores. Adems, veremos ms adelante que, en general, la mecnica cuntica limita, por comparacin con la mecnica clsica, el conjunto de valores que pueden tomar las diferentes magnitudes fsicas (por ejemplo, la energa), es decir, los valores que pueden constituir el resultado de la medicin de una cantidad dada. El formalismo de la mechica cuntica debe hacer posible determinar estos valores permitidos.

El proceso de medicin posee en mecnica cuntica una peculiaridad muy importante: ejerce siempre una accin sobre el electrn a que se aplica, y esta accin no se puede hacer, por principio, tan dbil cuanto se quiera para una precisin dada de la medicin. Cuanto ms precisa sta, tanta ms intensa es la accin que se ejerce, y tan slo en las mediciones de precisin muy pequea puede conseguirse que la accin sobre el objeto de la medicin sea dbil. Esta propiedad de las mediciones est lgicamente ligada con el hecho de que las caractersticas dinmicas del electrn se manifiestan tan slo camo resultado de la propia medicin; es claro que si la accin del proceso de medicin sobre el objeto se pudiera debilitar cuanto se quisiera, ello significara que la cantidad medida posee de suyo un vzlor determinado, independiente de la medicin.

Entre los diferentes tipos de medicin representa un papel fundamental la medicin de las coordenadas del electrn. Dentro de los lmites de aplicabilidad de la mecnica cuntica, es siempre posible realizar (l) la medicin de las coordenadas de un electrn con precisin arbitraria.

Supongamos que al 'cabo de determinados intervalos de tiempo At se efectan sucesivas mediciones de las coordenadas de un electrn. Los resultados, en general, no se encuentran sobre una curva lisa. Por el contrario, cuanto ms exactamente se efectan las mediciones, tanto ms discontinua, ms desordenada es la marcha que presentan sus resultados en correspondencia con el hecho de que no existe para un electrn el concepto de trayectoria. Una trayectoria ms o menos lisa se obtiene solamente si se determinan las coordenadas de un electrn con un grado de precisin no ,muy grande, como, por ejemplo, mediante la condensacin de gotitas de vapor en la cmara de Wilson.

Si, en cambio, manteniendo constante la precisin de las medidas, se disminuyen los intervalos At entre mediciones, las medidas vecinas darn, claro est, valores de las coordenadas prximos entre s. Sin embargo, si bien los resultados de una serie de mediciones sucesivas se encontrarn en una pequea regin del espacio,

(t) accion del electrn con un exterior.

Subrayaremos una vez ms que al hablar de una

El principio de indeterminacin 5

se distribuirn en ella de una manera totalmente desordenada, sin situarse en modo alguno sobre una curva lisa. En particular, cuando At tiende a cero, los resultados de mediciones vecinas nunca tienden a colocarse sobre una recta.

Este ltimo hecho indica que en mecnica cuntica no existe el concepto de velocidad de una partcula en el sentido clsico de la palabra, es decir, como lmite al que tiende la diferencia de las coordenadas correspondientes a dos instantes dividida por el intervalo At entre ellos. Sin embargo, veremos ms adelante que en dicha mecnica es posible, COI? todo, dar una definicin razonable de la velocidad de una partcula en un instante dado, definicin que, a pasar a la mecnica clsica, se reduce al concepto clsico de velocidad.

Pero mientras en mecnica clsica una partcula posee en cada instante unas coordenadas y una velocidad determinadas, en mecnica cuntica las cosas ocurren de una manera completamente distinta. Si como resultado de una medida se atri- buyen determinadas coordenadas al electrn, en tales condiciones no posee obsoluta- mente ninguna velocidad determinada. Recprocamente, si el electrn posee una velocidad determinada, no puede tener una posicin determinada en el espacio. En efecto, la existencia simultnea, en un instante arbitrario, de coordenadas y de velocidad significara que existe una determinada trayectoria, trayectoria que el electrn no posee. As, pues, en mecnica cuntica las coordenadas y la velocidad del electrn son cantidades que no se pueden medir Simultneamente con exactitud, es decir, no pueden tener simultneamente valores determinados. Cabe decir que las coordenadas y la velocidad de un electrn son cantidades que no existen a la vez. Ms adelante se deducir una relacin cuantitativa que determina la posibilidad de una medicin no exacta de las coordenadas y de la velocidad en un mismo instante.

Una descripcin completa del estado de un sistema tsico se obtiene en mecnica clsica dando, para un cierto instante, todas sus coordenadas y velocidades; con estos datos iniciales las ecuaciones del movimiento determinan por completo el comportamiento del sistema en cualquier instante ulterior. En mecnica cuntica esta descripcin es imposible por principio, dado que las coordenadas y las correspondientes velocidades no existen simultneamente. De esta manera la descripcin del estado de un sistema cuntico se realiza con un nmero menor de cantidades que en mecnica clsica, es decir, aqulla resulta menos detallada que la descripcin clsica .

De aqu se sigue una consecuencia muy importante acerca del carcter de las predicciones que es posible hacer en mecnica cuntica. Mientras que la descripcin clsica basta para predecir el movimiento de un sistema mecnico en el futuro de manera completamente exacta, la descripcin menos detallada de la mecnica cuntica no puede bastar, evidentemente, para ello. Esto significa que si el electrn se

El principio de superposicin 7

babilidad de los resultados de cualquier medicin ulterior con total independencia de lo que ocurri al electrn antes de la primera medida.

En mecnica cuntica hay que considerar prcticamente tan slo estados descri- tos de manera completa, y en lo que sigue entenderemos siempre (excluido tan slo el 9 14) por estados de un sistema cuntico precisamente dichos estados.

8 2. El principio de superposicin

Expongamos ahora los fundamentos del formalismo matemtico de la mecnica cuntica y convengamos en designar por q el conjunto de las coordenadas del sistema cuntico y por dq el producto de las diferenciales de estas coordenadas. Con frecuencia se llama a dq elemento de volumen del espacio de configuraciones del sistema; para una partcula dq coincide con el elemento de volumen dV del espacio ordinario.

El elemento bsico del formalismo matemtico de la mecnica cuntica consiste en el hecho de que cada estado del sistema se puede describir, en un instante dado, por una determinada funcin (en general, compleja) de las coordenadas Y(q), de forma tal que el cuadrado del mdulo de esta funcin determina la distribucin de probabilidades de los valores de las coordenadas: lY?i2dq es la probabilidad de que al realizar una medicin de las coordenadas del sistema los valores de stas pertenezcan al elemento dq del espacio de configuraciones. La funcin Y se llama funcin de onda del sistema (a veces se la llama tambin amplitud de probabilidad) (l).

El conocimiento de la funcin de onda permite tambin, en principio, calcular las probabilidades de los diferentes resultados de cualquier otra medicin (distinta de la medicin de las coordenadas). En todos estos casos las probabilidades se definen por expresiones que son bilineales respecto de YP y Y*. La forma ms general de una expresin de este tipo es

donde la funcin +(q, q) depende del ghero y del resultado de la medicin y la integracin se extiende a todo el espacio de configuraciones. La propia probabilidad ?Y* de los diferentes valores de las coordenadas es tambin una expresin de este tipo (9.

A medida que transcurre el tiempo, el estado de un sistema, y con l tambin

(l)

(*)

Fue introducida por primera vez en mecnica cuntica por E. SCHRODINGER, en 1926. Se obtiene a partir de (2.1) haciendo &q, 9) = 8(q - qo) 8(q-qo), donde 8 representa ia llamada

funcin4 que se dene ms adelante, en el 0 5 ; con 90 representamos el valor de la coordenada cuya probabilidad buscamos.


cuntca sus valores propios y el conjunto de stos se denomina espectro de valores propios de la magnitud en cuestin. En mecnica clsica las magnitudes toman, en general, valores que constituyen una sucesin continua. Tambin en mecnica cuntica existen magnitudes fsicas (por ejemplo, las coordenadas) cuyos valores propios forman una tal sucesin; en estos casos se habla de un espectro continuo de valores propios. Sin embargo, junto a tales magnitudes encontramos en mecnica cuntica otras cuyos valores propios constituyen una sucesin discreta; en tales casos se habla de un espectro discreto.

Para simplificar, supondremos que la magnitud que aqu consideraremos, f, posee espectro discreto; el caso de un espectro continuo se estudia en el 6 5. Desig- naremos los valores propios de la magnitud f por f,, donde el ndice n toma los valores O, 1, 2, 3, ... Representemos adems por Y, la funcin de onda del sistema en un estado en que la magnitud f toma el valor f,. Las funciones de onda Y, se llaman funciones propias de la magnitud fsica dada f. Cada una de estas funciones se supone normalizada, de forma que

Si el sistema se encuentra en un estado cualquiera caracterizado por la funcin de onda Y, la medicin de la magnitudfefectuada en l dar como resultado uno de los valores propiosf,. En virtud del principio de superposicin podemos afirmar que la funcin de onda Y debe ser combinacin lineal de aquellas funciones propias Y, que corresponden a los valoresf,, que es posible obtener con probabilidad distinta de cero en una medicin realizada en el sistema que se encuentra en el estado considerado. Por esto, en el caso general de un estado arbitrario, la funcin Y se puede representar en forma de serie:

donde la suma se extiende a todos los valores n, y los a, son ciertos coeficientes constantes.

Llegamos as a la conclusin de que toda funcin de onda puede desarrollarse en serie de funciones propias de una magnitud fsica cualquiera. De un sistema de funciones que haga posible efectuar este desarrollo se dice que constituye un sistema completo (o cerrado) de funciones.

El desarrollo (3.2) permite determinar la probabilidad de encontrar en el sistema, supuesto en el estado caracterizado por la funcin de onda Y, uno de los valores f, de la magnitud f (es decir, la probabilidad de obtener el correspondiente resultado en una medicin). En efecto, de acuerdo con lo dicho en el prrafo anterior, estas probabilidades deben determinarse por ciertas expresiones bilineales respecto de Y y Y* y, por consiguiente. deben ser bilineales con relacin a a, y a,*. Adems,

Operadores 11

estas expresiones, claro est, han de ser esencialmente pos tivas. Finalmente, la probabilidad del valorf,, debe reducirse a la unidad si el sistema se encuentra en un estado cuya funcin de onda es Y = y.',, y ha de anularse si en el desarrollo (3.2) de la funcin de onda Y no existe un trmino con la Y,, en cuestin. Esto ltimo significa que la probabilidad buscada debe ser igual, a la unidad si son nulos todos los coeficientes a,, salvo uno (con el valor de n dado), que es igual a la unidad, y debe ser nula si se tiene para el a,, dado a,, = O. La nica magnitud esencialmente positiva que satisface esta condicin es el cuadrado del mdulo del coeficiente a,. Llegamos as al resultado de que el cuadrado del mdulo la,,/2 de cada uno de los coeficientes del desarrollo (3.2) determina la probabilidad del correspondiente valorf, de la cantidadfen el estado caracterizado por la funcin de onda Y. La suma de las probabilidades de todos los valores posiblesf,, debe ser igual a la unidad; con otras palabras, debe cumplirse la relacin

C IaJZ = 1 (3.3) n

Si la funcin Y no estuviese normalizada, tampoco se cumplira la relacin (3.3). La suma ;f;la,,12 debera entonces determinarse mediante una expresin bilineal respecto de u" y Y.* y que se reduzca a la unidad cuando y? est normalizada. La nica expresin de este tipo es la integral J YY* dg. As, pues, debe quedar satisfecha la igualdad

De otra parte, multiplicando por Y el desarrollo Y* = Y*, conjugada compleja de la Y , e integrando, obtenemos:

ai,*Yu* de la funcin

/YY* dq = C a," '',&*Y dq. s Comparando este resultado con (3.4), se tiene:

a,a,* = Z a,* n n

de donde resulta la frmula siguiente que determina los coeficientes a, del desarrollo de la funcin Y en serie de funciones propias Y,:

a,, = "Y," dp. (3.5)

Si substituimos aqui la expresin (3.2), se obtiene:

a, = C a,,, [ Y,,,Yn* dq, m -

de donde se sigue, evidentemente, que las funciones propias deben satisfacer las

12

condiciones

Conceptos fundamentales de la mecnica cuantica

donde a,, = 1 para n = m y a,,, = O para n# m. La anulacin de las integrales de los productos YmYn* con m # n traduce la llamada ortogonalidad de las funciones Y,,. Tenemos as que el conjunto de las funciones propias Y, constituye un sistema completo de funciones normalizadas y ortogonales dos a dos (o, como suele decirse para abreviar, un sistema ortonormal).

Introduzcamos ahora el concepto de valor medio f de una magnitud f en un estado dado. De acuerdo con la definicin ordinaria de valores medios, definiremos rcomo suma de todos los valores propiosf, de la magnitud dada multiplicados cada uno por la correspondiente probabilidad Se tiene as

Escribamosfen la forma de una expresin que contenga, no los coeficientes a, del desarrollo de la funcin Y!, sino la propia funcin. Dado que en (3.7) aparecen los productos anan*, es claro que la expresin buscada debe ser bilineal respecto de Y y Y*. Introduzcamos un operador matemtico, que designaremos por f(l) y que definiremos de la siguiente manera. Sea (fY) el resultado de aplicar el opoadorf a la funcin Y. Definiremosf de tal manera que la integral del producto de (fY) por la funcin conjugada compleja Y* sea igual al valor medio f:

.f-

J = 1 Y"(fY) dq. Es fcil ver que en el caso general el operador! es un operador integral lineal (2).

En efecto, teniendo en cuenta la expresin (3.5) para a,,, podemos escribir la definicin (3.7) del valor medio en la forma

Comparando con (3.8), vemos que el resultado de aplicar el operadorf'a la funcin YP es de la forma:

Si se,substituye aqu la expresin (3.5) para a,, se encuentra quej'es un operador

(') Convenimos en designar siempre los operadores mediante !etras con circunflejo. (9 Un operador se califica de lineal si posee las propiedades siguientes: ;((yl,+Y2) =fq',+&,,

f (aY) = afY-', donde ,, y.', son funciones cualesquiera y a una constante arbitraria.

Operadores 13

integral de la forma:

(3.10)

donde la funcin K(q, 4') (el llamado ncleo del operador) es

Resulta as que a cada magnitud fsica corresponde en mecnica cuantica un determinado operador lineal.

De (3.9) se sigue que si la funcin \k' es una de las funciones propias Y,, (de forma que todos los a,, son nulos, salvo uno), al aplicarle el operadorfesta funcin queda simplemente multiplicada por el correspondiente valor propio fn :

(En lo que sigue, y siempre que ello no pueda conducir a confusin, prescindiremos del parntesis en la expresin (fY), sobreentendiendo que el operador se aplica a la expresin que la sigue inmediatamente.) Podemos as decir que las funciones propias de una magnitud fsica dada f son soluciones de la ecuacin

fi

dondefes una constante, y que los valores propios son precisamente aquellos valores de esta constante para los que dicha ecuacin posee soluciones que satisfacen las condiciones impuestas. Claro est, dado que por el momento el operadorfse ha definido solamente mediante las expresiones (3.10-3.1 1), que contienen las funciones propias Y',,, del resultado obtenido no se pueden deducir consecuencias ulteriores. Sin embargo, conforme veremos ms adelante, la forma de los operadores que corresponden a las diferentes magnitudes fsicas se puede determinar a partir de consideraciones fsicas directas, y entonces aquella propiedad de los operadores hace posible encontrar las funciones propias y los valores propios mediante la reso- lucin de las ecuaciones %y? =fY.

Los valores que pueden tomar las magnitudes fsicas reales son, evidentemente, valores reales. Por esta razn tambin el valor medio de una magnitud fsica debe ser real, cualquiera que sea el estado. Recprocamente, si el valor medio de una magnitud fsica es real cualquiera que sea el estado, reales sern tambin sus valores propios ; basta observar que los valores medios coinciden con los valores propios en los estados caracterizados por las funciones Y,,.

Del hecho de que los valores medios son reales cabe deducir algunas conclusio-


nes relativas a las propiedades de los operadores. Igualando la expresin (3.8) con su conjugada compleja, obtenemos la relacin

donde j* designa el operador conjugado complejo del f(l). Un operador lineal arbitrario no cumple esta relacin, en general, de forma que sta constituye una cierta limitacin impuesta a la posible forma de los operadoresf. Dado un operador cualquiera f se puede encontrar un operador, llamado operador transpuesto del primero,l y definido de forma que se tenga

(3.14)

donde Y, @ son dos funciones diferentes. Si para la funcin @ se elige la funcin Y*, conjugada compleja de la Y, la comparacin con (3.13) prueba que debe tenerse

p = p . (3.15) Los operadores que satisfacen esta condicin se califican de hermticos (2). As, pues, los operadores que en el formalismo matemtico de la mecnica cuntica corresponden a las magnitudes fsicas reales deben ser hermticos.

Desde un punto de vista formal es tambin posible considerar magnitudes fsicas complejas, es decir, magnitudes cuyos valores propios son complejos. Sea f una de estas magnitudes. Cabe entonces introducir la magnitud compleja conjugada f*, cuyos valores propios son conjugados complejos de los valores propios de f. El operador que corresponde a la magnitud f* lo designaremos por j+ . Se le suele llamar operador conjugado del operador f y, en general, es necesario distinguirlo del operador conjugado complejo fi. De la condicin fic = (f)* se obtiene sin ms

N

f+ +, (3.16)

de donde resulta, evidentemente, que f + , en general, no coincide con f*. Para una magnitud fsica real se tienef = f+, es decir, el operador coincide con SU conjugado (los operadores hermticos se llaman tambin autoconjugados).

Veamos cmo se puede demostrar directamente la ortogonalidad dos a dos de las funciones propias de un operador hermtico asociadas a diferentes valores pro-

(l)

()

Por definicin, si para el,operador f tenemos fy = +, el operador complejo conjugado f* ser Para un operador integral lineal de la forma (3.10) la condicin de hermiticidad significa que el

el operador para el que se tiene f *y* = $*. ncleo del operador debe ser tal que K(4, 4) = K*(4, 4).

Suma y producto de operadores 15

pios. Seanf,,f, dos valores propios de la magnitudfdiferentes y Y,, Y, las correspondientes funciones propias :

Multipliquemos los dos miembros de la primera de estas igualdades por Y,*, y la igualdad conjugada compleja de la segunda multipliqumosla por Y?,. Res- tando miembro a miembro estos dos productos, se obtiene:

Integremos los dos miembros de esta igualdad respecto de q. Dado que f* = f: la integral del primer miembro de la igualdad se anula en virtud de (3.14), con lo que resulta

de donde se sigue, dado quef,, #L#l, la propiedad de ortogonalidad buscada de las funciones Y,/ y Y,,*.

Hablamos aqu constantemente de una magnitud fsica f tan slo, cuando debera hablarse, conforme se indic al principio de este prrafo, de un sistema completo de magnitudes fsicas. Encontraramos entonces que a cada una de estas magnitu- desf, g, ... corresponde su operadorf?, 2, ... . Las funciones propias Y,* corresponden en tal caso a estados en los que todas las magnitudes consideradas toman valores determinados, es decir, corresponden a sistemas determinados de valores propios fn, gil, ... y son soluciones del sistema de ecuaciones

$4. Suma y producto de operadores

Sean f y g dos magnitudes fsicas que pueden tomar simultneamente valores determinados y f y 2 sus operadores. Los valores propios de la suma f+g de estas magnitudes son iguales a las sumas de los valores propios de las magnitudes f y g. A esta nueva magnjtud corresponder, evidentemente, un operador igual a la suma de los operaooresfy 2. En efecto, si y.,, son las funciones propias comunes a los operadores f y 8, de fY*,, =JIY,/ , ?Y,, = g,,Y,, se sigue que

es decir, los valores propios del operador f+g son iguales a las sumas L2+gn.


En cambio, si las magnitudes f y g no pueden tomar Simultneamente valores determinados, hablar de su suma en el sentido en que acabamos de hacerlo carece, evidentemente, de significado. En mecnica cuantica, se conviene en tales casos en definir la suma de las magnitudesfy g como aquella magnitud cuyo valor medio en un estado arbitrario es igual a la suma de los valores medios f y 2:

Es claro que a la magnitudf+g as definida corresponder el operadorf+g. En efecto, segn la frmula (3.8) tenemos:

Sin embargo, en lo que concierne a los valores propios y a las funciones propias del operador f+g, en este caso no tendrn, en general, relacin ninguna con los valores propios y las funciones propias de las magnitudes f y g . Evidentemente, si los operadores J y 2 son autoconjugados, tambin ser autoconjugado el operador Jtg de forma que los valores propios de ste sern reales y representarn los valores propios de la nueva magnitud f + g as determinada.

Consideremos el siguiente teorema. Sean f,, g, los valores propios mnimos de las magnitudes J g y ( f + g ) o el correspondiente valor para la magnitud f+g. Cabe afirmar entonces que

El signo de igualdad vale si las magnitudes f y g son simultneamente medibles. La demostracin se sigue del hecho evidente de que el valor medio de una magnitud es siempre mayor o igual que su valor propio mnimo. En un estado en el que la magnitud ( f + g ) toma el valor (f-t-g)o, tendremos ( f + g ) = ( f+g) , y dado que, por otra parte, f+g = 3+2 2 fo+go, llegamos a la desigualdad (4.2).

Consideremos ahora de nuevo dos magnitudes simultneamente medibles, f y g . Junto a su suma, cabe tambin introducir el concepto de su producto, entendiendo por tal una magnitud cuyos valores propios son iguales a los productos de los valores propios de las magnitudesfy g. Es fcil ver que a esta magnitud corresponde un operador tal que su aplicacin consiste en aplicar sucesivamente a una funcin primero un operador (el g ) y despus el otro (elf!. Este operador se representa matemticamente como producto de los operadfresfy 2. En efecto, si y.,, son las funciones propias comunes a los operadores f y g, tendremos :

Suma y producto de operadores 17

(el smbolo& representa el operador cuya aplicacin a la funcin Yr equivale a la aplicacin sucesiva de, primero, el operador a la funcin y.' y, luego, del operadorf a la funcin gy."). De la misma manera podramos formar en vez del operadorfg el operador 2L que difiere del primero en el orden de los factores. Es evidente que el resultado de la aplicacin de ambos operadores a la funcin Y, ser el mismo. Pero dado que cada funcin de onda Y se puede representar como combinacin lineal de funciones y.'n, se sigue de aqu que tambin ser el mismo el resultado de la aplicacin de los operadores & y 2f a una funcin cualquiera. Este hecho se puede traducir en forma de una igualdad simblica &'=ifo ben

jt-gf = o. (4.3) De dos operadores J" y f' que poseen esta propiedad se dice que conmutan entre

s. Llegamos de esta manera a un importante resultado: si dos magnitudes f y g pueden tomar simultneamente valores determinados, sus operadores conmutan entre s.

Se puede tambin demostrar el teorema recproco (vase el $ 11): si los opera- doresfy 2 conmutan, es posible elegir todas sus funciones propias de forma que sean comunes a ambos, lo que fsicamente significa la mensurabilidad simultnea de las correspondientes magnitudes fsicas. As, pues, la conmutabilidad de los operadores es condicin necesaria y suficiente para la mensurabilidad simultnea de las magnitudes fsicas.

Un caso particular de producto de operadores es el de un operador elevado a una potencia. Partiendo de lo que acabamos de decir, se llega a la conclusin de que los valores propios del operador.fp (donde p es un nmero entero) son iguales a las potencias de igual grado de los valores propios del operador f. De una manera general, es posible definir una funcin cualquiera del operador p(f) como el operador cuyos valores propios son iguales a la misma funcin $(f) de los valores propios del operador f Si la funcin +(y) se puede desarryllar en serie de Taylor, en virtud de este desarrollo la aplicacin del operador ~ ( f ) se reduce a la aplicacin de las diferentes potencias f;)

En particular, el operador f-l se llama inverso del operador f. Es evidente que como resultado de la aplicacin sucesiv?,Ade los operadores f y f-l a una funcin arbitraria, esta ltima no vara, es decir, ff-l =f-lf= 1

Si las magnitudes f y g no pueden tomar simultneamente valores determinados, no es posible definir el concepto de producto de la manera antes indicada. Esto se traduce en el hecho de que el operador& no es autoadjunto en este caso y, por consiguiente, no puede corresponder a ninguna magnitud fsica. En efecto, de acuerdo con la definicin de operador transpuesto poderhos escribir

18 Conceptos fundamentales d e la mecnica cuntica

El operadorfse aplica aqu solamente a la funcin Y" y el operador 2 a la funcin @, de forma que en el integrando aparece simplemente el producto de dos funciones

y {Y. Aplicando una vez ms la definicin de operador transpuesto, escribiremos:

Hemos obtenido as una integral en la que, comparada con la primera, las funciones Y y @ han permutado sus papeles. Con otras palabras, el operador @es el operador transpuesto del fg y podemos escribir :

esto es, el operador transpuesto del producto& es el producto de los transpuestos de los factores tomados en orden inverso. Formando la expresin conjugada compleja de ambos miembros de la igualdad (4.4), se encuentra que

Si cada uno de los operadores {y 2 es hermtico, se tendr (fg) = ifi De aqu se sigue que el operador& ser hermtico slo si los factoresfy 2 son conmutables.

Obsrvese que a partir de los productos& y i f d e dos operadores hermticos no conmutables se puede deducir un operador asimismo hermtico formando la combinacin simtrica

A veces conviene utilizar expresiones de este tipo; de ellas se dice que son productos simetrizados.

Es fcil tambin comprobar que la diferencia & - if es un operador (( antiher- mtico )) (es decir, un operador tal que el operador transpuesto es igual al operador conjugado complejo tomado con signo contrario). A partir de l se puede formar un operador hermtico sin ms que multiplicarlo por i; de esta forma

es tambin un operador hermtico. En lo que sigue utilizaremos a veces, para abreviar, la notacin

El espectro continuo 19

para representar el llamado conmutador de dos operadores. Es fcil ver que se tiene la relacin

Obsrvese que si {fi = O) y ( j $ = O 1 de aqu generalmente no se sigue, en modo alguno, la conmutabilidad de f y i. 6 5. El espectro continuo

Todas las relaciones deducidas en os 3-4 relativas a las propiedades de las funciones propias del espectro discreto, se pueden generalizar sin dificultad al caso de un espectro continuo de valores propios.

Sea f una magnitud fsica que posee espectro continuo. Designaremos sus valores propios simplemente por la misma letraf, sin subndice, para expresar el hecho de que f recorre una sucesin continua de valores. La funcin propia que corresponde al valor propiofla representaremos por Y/. De manera anloga a como una funcin de onda arbitraria Y se puede desarrollar en serie (3.2) de funciones propias de una magnitud con espectro discreto, cabe tambin desarrollarla - pero esta vez como integral - tomando como base un sistema completo de funciones propias de una magnitud con espectro continuo. Un desarrollo de esta clase es de la forma

donde la integracin se extiende a todo el dominio de valores que puede tomar la magnitud J:

Ms complicada que en el caso del espectro discreto se presenta la cuestin de la normalizacin de las funciones propias de un espectro continuo. La condicin de que la integral del cuadrado del mdulo de la funcin sea igual a la unidad no se puede cumplir aqu, conforme veremos. En vez de ella, normalizaremos la funcin Y, de tal manera que la/12ddfrepresente la probabilidad de que la magnitud considerada tome valores comprendidos en un intervalo dado , fy f+ df, en el estado descrito por la funcin de onda Y/. Esto constituye una inmediata generalizacin del caso del espectro discreto, en el que el cuadrado la,,i2 determina la probabilidad del correspondiente valorf,,. Dado que la suma de las probabilidades de todos los valores posiblesfdebe ser igual a la unidad, se tiene:

J IQ,12 df = 1 (5.2)


(relacin anloga a la (3.3) para el espectro discreto).

Procediendo exactamente de la misma manera a como se hizo al deducir la frmula (3.5) y apoyndonos en las mismas consideraciones, escribiremos, de una parte,

y, de otra parte:

s Y"* dq = 11 aj*Yj*Y dfdq. Comparando entre s ambas expresiones encontramos la frmula que determina

los coeficientes del desarrollo

exactamente anloga a (3.5).

Para deducir la 'condicin con lo que se obtendr:

de normalizacin, substituyamos ahora (5.1) en (5.3),

af = 1 a f ( J Y f W f * dq) df'. Esta relacin debe cumplirse cualesquiera que sean las af y, por consiguiente,

debe cumplirse idnticamente. Para que as ocurra es necesario, ante todo, que el coeficiente de af en el integrando (es decir, la integral J Y,.Y,* dq) se anule para todo f' #f. Para f' = f este coeficiente debe hacerse infinito (en caso contrario la integral respecto de f' sera, simplemente, igual a cero). As, pues, la integralJ Y,.Y,+ ciq es una funcin de la diferencia f- f' que se anula para todos los valores del argumento distintos de cero y se hace infinita cuando el argumento se anula. Representa- remos esta funcin por S ( f ' - f) :

La manera como la funcin S ( f ' - f) se hace infinita para f' -f = O se determina teniendo en cuenta que debe tenerse

1 S( f ' - f ) aydf' = q. Es claro que para ello ha de ser

1 S(j'-f) df' = 1.


La funcin as definida se llama funcin4 (introducida en la mecnica cuntica por P. A. M. DIRAC). Escribamos una vez ms las frmulas que la definen. Tene- mos:

S(x) = O para x # O, 6(0) = 00, (5.5)

de tal manera que

/S(x) dx = 1. -W

(5.6)

Como lmites de integracin se pueden elegir cualesquiera otros que comprendan entre ellos el punto x = O. Si f(x) es una funcin cualquiera continua para x = O, se tendr

7 Wf(4 dx =m (5.7) -m

Esta frmula se puede escribir en la forma ms general

donde el intervalo de integracin incluye el punto x = a y f ( x ) es continua para x = a. Es evidente tambin que la funcin-6 es par, es decir,

6( -x) = qx), (5.9) Finalmente, escribiendo

dy 1 7 6(m) dx = 6(y) - = - -m -m 1.1 la

llegamos a la conclusin de que

8 ( @ 4 = (111aI) w, (5.10) donde x es una constante arbitraria.

La frmula (5.4) expresa la regla de normalizacin de las funciones propias de un espectro continuo y substituye la condicin (3.6) del espectro discreto. Vemos, pues, que las funciones Yf y conf#f , son ortogonales entre s, como antes. En cambio, las integrales de los cuadrados ]Yf12 de las funciones del espectro continuo son divergentes.

Las funciones Y&) satisfacen adems una relacin anloga a la (5.4). Para deducirla substituyamos (5.3) en (5.1), lo que da:

22 Conceptos f undamentaies de la mecnica cunticrr

de donde se deduce sin ms que debe ser:

(5.1 1)

Una relacin anloga se puede deducir tambin, claro est, para el espectro discreto, en cuyo caso toma la forma

(5.12)

Comparando el par de frmulas (5.1), (5.4) con el par (5.3), (5.11) vemos que, de una parte, las funciones /(q) permiten el desarrollo de la funcin Y(q) con los al como coeficientes del desarrollo y que, de otra parte, se puede considerar la frmlula (5.3) como un desarrollo completamente anlogo de la funcin al = a(f) en funciones Yf*(q), representando Y(q) el papel de coeficientes del desarrollo. La funcin a(fj, como la Y(q), determina completamente el estado del sistema; de ella se dice a veces que es la funcin de onda en la representacin-f (y de la funcin Y(q), que es la funcin de onda en la representacin-q). De manera anloga a como IY(q)I2 determina la probabilidad de que el sistema tenga coordenadas pertenecientes a un intervalo dado dq, la(f)l2 determina la probabilidad de que los valores de la magnitudfse encuentren en un intervalo df. Las funciones Yf(q), en cambio, son, de una parte, funciones propias de la magnitudfen la representacin-q y, de otra, sus conjugadas complejas son las funciones propias de la coordenada q en la representacin--

Sea $(f) una funcin de la magnitud ftal que $ y f estn ligadas entre s de manera biunvoca. Cada una de las funciones f(q) puede entonces considerarse como funcin propia de la magnitud t$ correspondiente al valor $ de esta ltima determinado por la relacin $ = $(f). Sin embargo, es necesario en tal caso cambiar la normalizacin de estas funciones. En efecto, las funciones propias Y4(q) de la magnitud 4 deben normalizarse por la condicin

J\reVI%W* d!2 = W f 1 - + ( . f ) I s mientras que las funciones Y p estn normalizadas de acuerdo con la condicin (5.4). El argumento de la funcin4 se anula para f = f. Para f prximo a f, tenemos :

Teniendo en cuenta (5.10), podemos por ello escribir (l):

(*) frmula

En general, si 4 ( x ) es una funcin uniforme (si bien su funcin inversa puede no serlo) vale la

donde ai son las races de la ecuacin &x) = O.


(5.13)

As, pues, la condicin de normalizacin de la funcin Y$ se puede escribir en la forma

J

Comparando este resultado das entre s por la relacin

con (5.4), vemos que las funciones Y+ y Y.'j estn liga-

(5.14)

Existen magnitudes fsicas tales que en un cierto dominio de sus valores poseen un espectro discreto, y en otra, uno continuo. Para las funciones propias de una tal magnitud valen, claro est, todas las relaciones que se han deducido en los p- rrafos precedentes. Slo hay que observar que el sistema completo de funciones est constituido por el conjunto de las funciones propias de ambos espectros. Por consiguiente, el desarrollo de una funcin de onda cualquiera respecto de las funciones propias de dicha magnitud tiene la forma:

donde la suma se extiende al espectro discreto, y la integral, a todo el espectro continuo.

La propia coordenada q constituye un ejemplo de magnitud que posee espectro continuo. Es fcil ver que el operador que le corresponde es la simple multiplicacin por q. En efecto, dado que la probabilidad de los diferentes valores de las coordenadas est determinada por el cuadrado (Y(q)i2, el valor medio de la coordenada es igual a = J qlY l2 dq. Por otra parte, el valor medio de la coordenada debe definirse en funcin de su operador por Q = J Y*gY! dq. La comparacin de ambas expresiones muestra que el operador q es la mera multiplicacin por 4; esto se puede escribir simblicamente en la forma (l) :

4 = q. (5.16) Las funciones propias de este operador deben determinarse, de acuerdo con la regla general, por la ecuacin qYqo = qoypQo, donde con q,, designamos, por el mo-

(l) En lo que sigue, para simplificar el simbolismo, convendremos en escribir siempre los operadores que se reducen a la multiplicacin por una cierta cantidad utilizando simplemente el mismo smbolo que para dicha cantidad.


mento, los valores concretos de la coordenada para distinguirlos de la variable q. Dado que esta igualdad queda satisfecha bien para 'Yqo = O, bien para q = q,,, es claro que las funciones propias que satisfacen la condicin de normalizacin son (l):

(5.17)

9 6. El paso al lmite

La mecnica cuntica incluye en s la mecnica clsica como un cierto caso lmite. Surge la cuestin de cmo se puede llevar a cabo este paso al lmite.

En mecnica cuntica el electrn se describe mediante una funcin de onda que determina los diferentes valores de sus coordenadas; de esta funcin slo sabe- mos hasta ahora que es solucin de una ecuacin lineal entre derivadas parciales. En mecnica clsica, en cambio, el electrn se considera como una partcula material que se mueve a lo largo de una trayectoria determinada por completo por las ecuaciones del movimiento. Una relacin mutua, en cierto sentido analoga a la existente entre la mecnica cuntica y la clsica, existe en electrodinmica entre la ptica ondulatoria y la geomtrica. En la ptica ondulatoria las ondas electromagnticas se definen por los vectores de los campos elctrico y magntico, vectores que satisfacen un determinado sistema de ecuaciones diferenciales lineales (ecuaciones de Maxwell). En la ptica geomtrica, en cambio, se considera la propagacin de la luz siguiendo determinadas trayectorias : los rayos. Tal analoga permite concluir que el paso al lmite que lleva de la mecnica cuntica a la clsica se efecta de manera anloga al paso de la ptica ondulatoria a la geomtrica.

Recordemos cmo se lleva a cabo matemticamente esta ltima transicin. Sea u una cualquiera de las componentes del campo electromagntico. Podemos escribirla en la forma u = aei# (con a y 4 reales), donde a es la amplitud y 4 la fase de la onda. El caso lmite que constituye la ptica geomtrica corresponde a pequeas longitudes de onda, lo que se traduce matemticamente en el hecho de que la fase C#J (que en ptica geomtrica se llama iconal) vara considerablemente entre puntos separados por pequeas distancias ; esto significa, en particular, que podemos supo- nerla grande en valor absoluto.

(9 LOS coeficientes del desarrollo de una funcin arbitraria respecto de estas funciones propias son iguales a

%o = j V!l)%Z-qo) 4 = Y(!?O). La probabilidad de que los valores de las coordenadas pertenezcan a un intervalo dado dq, es igual a

I aqol dqo = IYko) I dqo, como deba ser.

El paso al lmite 25

De acuerdo con esto, partamos de la hiptesis de que al caso lmite que representa la mecnica clsica corresponden en mecnica cuntica funciones de onda de la forma Y = aei4, donde a es una funcin lentamente variable y $ toma valores que son grandes. Como es sabido, las trayectorias de las partculas se pueden determinar en mecnica mediante un principio variacional, segn el cual la llamada accin S del sistema mecnico debe ser un mnimo (principio de la mnima accin o principio de Hamilton). En ptica geomtrica, en cambio, la marcha de los rayos se determina por el principio de Fermat, segn el cual debe ser mnima la longitud ptica del rayo, es decir, la diferencia entre los valores de la fase en el extremo y en el ori- gen del mismo.

Partiendo de esta analoga, podemos afirmar que la fase $ de la funcin de onda en el caso lmite clsico debe ser proporcional a la accin mecnica S del sistema fsico considerado, es decir, debe tenerse S = const. +. El coeficiente de proporcio- nalidad se llama constante de Planck y se designa con la letra h (l). Su dimensin es la de una accin (puesto que $ carece de dimensiones) y su valor es igual a

ti = 1.054 x erg. s. As, pues, la funcin de onda casi clsica )) (o, como suele decirse, cuasiclsica)

de un sistema tiene la forma:

La constante de Planck representa un papel fundamental en todos los fenmenos cunticos. Su valor relativo (respecto de otras magnitudes de igual dimznsin) determina el ((grado de cuantificacin )) de un sistema fsico. El paso de la mecnica cuntica a la clsica, la cual corresponde a grandes valores de la fase, se puede describir formalmente como paso al lmite para A -+O (de manera anloga a como el paso de la ptica ondulatoria a la geomtrica corresponde al paso al lmite cuando la longitud de onda tiende a cero, A-0).

Hemos establecido la forma lmite de la funcin de onda, pero subsiste todavia la cuestin de cmo est ligada con el movimiento clsico a lo largo de trayectorias. En general, el movimiento descrito por la funcin de onda no se reduce, en modo alguno, al movimiento siguiendo una determinada trayectoria. El vnculo con el movimiento clsico consiste en que si en un cierto instante inicial se da la funcin de onda, y con ella tambin la distribucin de probabilidades de las coordenadas, esta distribucin se (( desplazar )) en instantes ulteriores como suponen las leyes de la mecnica clsica (para ms detalles, vase el final del 9 17).

Para obtener el movimiento a lo largo de una- trayectoria determinada, hay que partir de una funcin de onda de tipo especial (el llamado paquete de ondas),

(') Fue introducida por el fsico M. PLANCK en 1900. La constante ti, que utilizaremos siempre en este libro, es, en rigor, la constante de Planck h dividida por 2n.


que es apreciablemente distinta de cero tan slo en una pequea regin del espacio; las dimensiones de esta regin se pueden hacer tender a cero junto con h. Cabe entonces afirmar que, en el caso cuasiclsico, el paquete de ondas se desplazar en el espacio siguiendo la trayectoria clsica de una partcula.

Finalmente, en lo que concierne a los operadores de la mecnica cuntica, stos deben reducirse en el lmite a la multiplicacin por la correspondiente magnitud fsica.

$ 7. Funcin de onda y medicin

Volvamos de nuevo al proceso de medicin, proceso cuyas propiedades se con- sideraron cualitativamente en el $ 1, y veamos cmo estas propiedades estn ligadas con el formalismo matemtico de la mecnica cuntica.

Consideremos un sistema constituido por dos partes, un aparato clsico y un electrn (considerado como un objeto cuntico). El proceso de medicin consiste en que estas dos partes entran en interaccin mutua, como resultado de la cual el aparato pasa del estado inicial a otro estado, y gracias a este cambio de estado podemos sacar conclusiones acerca del estado del electrn. Los estados del aparato se distinguen por los valores de una cierta magnitud fsica (o de unas ciertas magnitudes) que los caracteriza : las indicaciones del aparato. Convengamos en designar esta magnitud por g y sus valores propios por g,; estos ltimos recorren, de acuerdo con la naturaleza clsica del aparato, una sucesin continua de valores, en general, pero nosotros supondremos - tan slo para simplificar la escritura de las frmulas que siguen - que el espectro es discreto. La descripcin de los estados del aparato se realiza mediante funciones de onda cuasiclsicas, las cuales representaremos por @,(E), donde el subndice n corresponde a la (< indicacin )) g, del aparato, y E representa el conjunto de sus coordenadas. El carcter clsico del mismo se traduce en que, en cada instante dado, es posible afirmar con certeza que se encuentra en uno de los estados conocidos a, con cierto valor determinado de la magnitud g; para el sistema cuntico, claro est, una tal afirmacin no sera legtima.

Sea @,,(E) la funcin de onda del estado inicial del aparato (antes de la medicin) y Y(q) una funcin de onda inicial normalizada artitraria del electrn (q designa sus coordenadas). Estas funciones describen el estado del aparato y del electrn de manera independiente y, por consiguiente, la funcin de onda inicial de todo el sistema es el producto

El aparato y el electrn entran luego en interaccin mutua. Aplicando las ecuaciones de la mecnica cuntica es posible seguir en principio el cambio de la funcin de onda del sistema con el tiempo. Terminado el proceso de medicin, la funcin de onda,

Funcin de onda y medicin 27

claro est, no ser ya un producto de funciones de 5 y de q. Desarrollndola en funciones propias @n del aparato (que forman un sistema completo de funciones), obtenemos una suma de la forma.

5 4 ( 4 ) @ n ( k ) Y ( 7 4 donde las A n ( q ) son ciertas funciones de q.

Entran ahora en escena el carcter (( clsico )) del aparato y el doble papel de la mecnica clsica. como caso lmite y, al mismo tiempo, como fundamento de la mecnica cuntica. Conforme se indic ya, gracias al carcter clsico del aparato, en cada instante la magnitud g (la (< indicacin del aparato ) tiene un valor determinado. Esto permite afirmar que el estado del sistema aparato +electrn despus de la medicin se describir, en realidad, no por toda la suma (7.2), sino solamente por un trmino, el que corresponde a la (< indicacin )) gn del aparato:

An(q)@n(k)- (7.3) Se sigue de aqu que A,(q) es proporcional a la funcin de onda del electrn despus de la medicin. No es an la propia funcin de onda, lo que se reconoce ya en el hecho de que la funcion An(q) no est normalizada. Dicha funcin encierra en s tanto informacin acerca de las propiedades del estado resultante del electrn, como la probabilidad de que se obtenga la n-sima (( indicacin )) del aparato, probabilidad determinada por el estado inicial del sistema.

En virtud del carcter lineal de las ecuaciones de la mecnica cuntica, la relacin entre A n ( q ) y la funcin de onda inicial del electrn Y(q) se expresa, en general, mediante un cierto operador integral lineal :

CUYO ncleo &(q, q') caracteriza el proceso de medicin considerado.

Supondremos que la medida en cuestin es tal que como resultado de la misma se consigue una descripcin completa del estado del electrn. Con otras palabras (vase I), en el estado resultante las probabilidades de todas las magnitudes deben ser independientes del estado precedente del electrn (el estado antes de la medicin). Esto significa matemticamente que la forma de las funciones A n ( q ) ha de venir determinada por el mismo proceso de medicin y no debe depender de la funcin de onda inicial del electrn Y(q).

As, pues, las A,, deben tener la forma:

An(q) = anAl(Q)> (7.5) donde tp,, son ciertas funciones, que supondremos normalizadas, y slo las constan-


tes a, dependen del estado inicial y(q). En la relacin integral (7.4), a este caso corresponde un ncleo Kn(q, q) que se descompone en el producto de una funcin de q por una funcin de q:

Kn(4, 4) = +n(q)%*(Sr>; (7.6)

con lo que la relacin lineal de las constantes a, con la funcin Y(q) viene dada por frmulas del tipo:

donde Yn(q) son determinadas funciones que dependen del proceso de medicin.

Las funciones #&) son las funciones de onda normalizadas del electrn despus de la medicin. Vemos as cmo el formalismo matemtico de la teora refleja la posibilidad de obtener, mediante una medicin, el estado de un electrn descrito por una determinada funcin de onda.

Si la medicin se efecta en un electrn con funcin de onda dada Y(q), las constantes a, tienen un simple significado fsico: en virtud de las reglas generales,

es la probabilidad de que la medicin d el n-simo resultado. La suma de las probabilidades de todos los resultados es igual a la unidad:

La licitud de las frmulas (7.7) y (7.8) para una funcin de onda arbitraria (normalizada) Y(q) equivale (cf. 8 3) a afirmar que una funcin arbitraria Y(q) se puede desarrollar en funciones Y,(q). Esto significa que las funciones y n ( q ) constituyen un sistema completo de funciones normalizadas y ortogonales dos a dos.

Si la funcin de onda inicial del electrn coincide con una de las funciones yn(q), la correspondiente constante a, ser, evidentemente, igual a la unidad y todas las dems sern nulas. Con otras palabras, si la medicin se efecta en un electrn que se encuentra en el estado Y,(q), sta da con certeza un resultado determinado (el n-simo).

Todas estas propiedades de las funciones Yn(q) muestran que son funciones propias de una cierta magnitud fsica caracterstica del electrn (representmosla por f), y de la medicin considerada podemos decir que es una medicin de esta magnitud.

Es muy importante el hecho de que las funciones Yn(q) no coinciden, en general, con las funciones #,>(q) (estas ltimas, en general, incluso ni son ortogonales dos a dos, ni forman un sistema completo de funciones propias de un cierto operador).

Funcin de onda y medicin 29

Esta circunstancia expresa, ante todo, la no reproducibilidad de los resultados de las mediciones en mecnica cuntica. Si el electrn se encontraba en el estado \k",(q), al efectuar en l una medida de la magnitud .f se obtiene con certeza el valor f,. Pero despus de la medicin el electrn se encuentra en un estado $,(q) distinto del inicial, estado en el cual la magnitudfno posee en absoluto ningn valor determinado, cualquiera que sea. Por consiguiente, si inmediatamente despus de la primera medicin del electrn se efecta una segunda, obtendramos paraf un valor que no coincide con el obtenido como resultado de la primera medida (l). Para predecir (en el sentido de calcular su probabilidad) el resultado de la segunda medicin cuando se conoce el resultado de la primera, es necesario deducir de sta la funcin de onda $,(q) del estado originado por ella, y de la segunda medicin, la funcin de onda Y,(q) del estado cuya probabilidad nos interesa. Esto significa lo siguiente: partiendo de las ecuaciones de la mecnica cuntica determinamos la funcin de onda +,(q, t ) que en el momento de la primera medicin es igual a $,(q). La probabilidad del m-simo resultado en la segunda medicin, realizada en el instante t, viene dada por el cuadrado del mdulo de la integral

Vemos as que el proceso de medicin en mecnica cuntica presenta (( dos caras )) : su papel respecto del pasado y del futuro no coinciden. Con relacin al pasado, dicho proceso (( verifica )) las probabilidades de los diferentes resultados posibles predichos por el estado resultante de la medicin anterior. En cambio, en relacin al futuro, da lugar a un nuevo estado (vase tambin el 8 44). En la propia naturaleza del proceso de medicin se encierra as una profunda irreversibilidad.

Esta irreversibilidad tiene un importante significado fundamental. Como veremos ms adelante (vase el final del 8 lS), las ecuaciones bsicas de la mecnica cuntica poseen de suyo un carcter simtrico con relacin al cambio de signo de la variable tiempo; en este respecto la mecnica cuntica no difiere de la clsica. La irreversibilidad del proceso de medicin, en cambio, introduce en los fenmenos cunticos una no equivalencia fsica de los dos sentidos del tiempo, es decir, conduce a la aparicin de una diferencia entre futuro y pasado.

(l) Es necesario observar, sin embargo, que existe una importante excepcin a la no reproducibilidad de las mediciones: la nica magnitud cuya medicin se puede repetir es una coordenada. Dos mediciones de una coordenada del electrn efectuadas despus de transcurrido un intervalo de tiempo suficientemente corto deben dar valores prximos entre s; lo contrario significara que el electrn posee una velocidad infinita. Esta circunstancia est relacionada matemticamente con el hecho de que una coordenada con- muta con el operador de energa de interaccin entre el electrn y el aparato, operador que (en la teora no relativista) es funcin slo de las coordenadas.

CAPTULO 11

ENERGA E IMPULSO

8 8. El operador de Hamilton

La funcin de onda Y determina completamente el estado de un sistema fsico en mecnica cuntica. Esto significa que dar esta funcin para un cierto instante no slo define'todas las propiedades del sistema en el mismo, sino que determina tambin su comportamiento en los instantes futuros - tan slo, claro est, hasta el grado de definicin que permite en general la mecnica cuntica. Desde el punto de vista matemtico esto se traduce en que el valor de la derivada de la funcin de onda respecto del tiempo debe quedar determinado en cada instante por el valor de la propia funcin Y correspondiente al mismo, debindo ser adems esta dependencia, segn el principio de superposicin, una dependencia lineal. En la forma ms general se puede escribir

ia\r/at = Y, donde 2 es un operador lineal; el Iactor z se introduce aqu por conveniencia.

Veamos algunas propiedades del operador L. Dado que la integral J Y"* dq es una constante que no depende del tiempo, tenemos:

d ay* aY - 1 1YI2dq = /Y- dq+ / ? P X d q = O. dt at

Substituyendo aqu aY?/at = 4LY, aY*/at = ZL*???* y aplicando a la primera integral la definicin de operador transpuesto, escribiremos :

= JY*(i*-Z)Y dq = O.

Dado que esta igualdad debe quedar satisfecha cualquiera que sea la funcin Y, de ella se sigue que ha de tenerse idnticamente L*-L = O , o bien

= *.

Derivacin de los operadores respecto del tiempo 31

El operador e es as hermtico. Examinemos a qu magnitud clsica corresponde. Utilicemos para ello la expresin lmite (6.1) de la funcin de onda y escribamos:

no es necesario derivar la amplitud lentamente variable a. Comparando esta igualdad con la definicin aY/at = -&Y, vemos que en el caso lmite el operador 2 se reduce a la simple multiplicacin por la cantidad - ( i / h ) aS/at. Esto significa que esta ltima es precisamente la magnitud fsica a la que se reduce el operador hermtico 2.

Conforme ensea la mecnica, la derivada - aS/at no es sino la funcin de Ha- milton H del sistema mecnico. As, pues, el operador h 2 es el operador que corresponde en mecnica cuntica a la funcin de HAMILTON; este operador, que representaremos por fi, se llama operador hamiltoniano o, ms brevemente, hamiltoniano del sistema. La relacin entre y Y toma la forma:

iA arpt = Aur. (8.1) Si se conoce la forma del hamiltoniano, la ecuacin (8.1) determina las funciones de onda del sistema fsico dado. Esta ecuacin fundamental de la mecnica cuntica se llama ecuacin de onda'

$9. Derivacin de los operadores respecto del tiempo

El concepto de derivada respecto del tiempo de una magnitud fsica no se puede definir en mecnica cuntica en el mismo sentido que tiene en la mecnica clsica. En efecto, la definicin de derivada est ligada en mecnica clsica con la considera- cin de los valores de una magnitud en dos instantes prximos, pero distintos. Ahora bien, en mecnica cuntica una magnitud que en cierto instante posee un valor determinado no posee en general ningn determinado valor en los instantes siguientes; de esto se trat con mayor detalle en el $ 1 .

El concepto de derivada respecto del tiempo, por consiguiente, debe definirse en mecnica cuntica de otra manera. Es natural definir la derivadafde una magnitud fcomo aquella magnitud cuyo valor medio es igual a la derivada respecto del tiempo del valor mediof Tenemos as, por definicin:

f=3* Partiendo de esta definicin no es difcil obtener la expresin del operador f

que corresponde a la magnitudfen la mecnica cuntica. Dado que f = J Y*jY dq, ser

32 Energa e impulso

Aqu af/at es el operador que se obtiene al derivar el operadorfrespecto del tiempo, variable sta de la que el operador puede depender en forma paramtrica. Subs- tituyendo en vez de las derivadas aY?/at, aY?*/at sus expresiones dadas por (8.1), obtenemos :

Dado que el operador l? es hermtico, es

y as tenemos:

f=

Por otra parte, dado que por la definicin de valores medios ha de tenerse $ = S Y?*{Ydp, de ah se sigue que la expr?sin que aparece en el integrando entre parntesis representa el operador buscado f(l) :

(9 En mecnica clsica, para la derivada total respecto del tiempo de una magnitudf, que es funcin de las coordenadas generalizadas qi y de los impulsos p i del sistema, se tiene:

es el llamado parntesis de Poisson para las magnitudes f y H (vase tomo 1, Mecnica, 0 42). Comparando con la expresin (9.2), vemos que, al pasar al lmite clsico, el operador i(l?f-fm se reduce a cero en primera aproximacin, como era de esperar, y que en la siguiente aproximacin (respecto de h) se reduce a la magnitud h [ H . f [ . Este resultado es tambin vlido para dos magnitudes cualesquierafy g : el operador

i ( f g - 3 ) se reduce en el lmite a la magnitud h [ f , g ] , donde [f, g] es el parntesis de Poisson.

Esto ltimo se sigue inmediatamente de que siempre podemos imaginar formalmente un sistema cuyo hamiltoniano coincide con g.

Estados estacionarios 33

dJ 2 p = -+-(Bf-fB). at A

(9.2)

Obsiervemos que si el operador f no depende explcitamente del tiempo, el operador f se reduce, salvo un factor, al resultado de la conmutacin del operador f con el hamiltoniano.

Una categora muy importante

(Teoria no Relativista) Vol. 3 L. Landau & E. Lifshitz.

Documents

Transcript of (Teoria no Relativista) Vol. 3 L. Landau & E. Lifshitz.