(Stein & Wysession, 2003)Teora OndulatoriaIntroduccin.Sin lugar a dudas, los mtodos geofsicos son una herramienta importante para deducir algunas de las condiciones de los materiales trreos importantes para su estudio. Los fenmenos fsicos asociados al desarrallo de estos mtodos se han examinado con profundidad en las ltimas dos dcadas, logrando grandes avances en trminos de las propiedades fsicas obtenidas a partir de su aplicacin en reas tan diversas como la geologa, la ingeniera civil, la ingeniera de minas, de petrleos e incluso en campos de la medicina. Uno de los mtodos que se utiliza con frecuencia en el mbito de la ingeniera civil son los de Sondeo de Velocidad de Onda. Estos incluyen las tcnicas: borehole, downhole, crosshole, uphole y en general todos aquellos que se consideran de Prospeccin ssmica cuyo fenmeno fsico observado son las ondas elsticas y de donde se obtiene como resultado velocidades de onda elsticas. La aplicacin de estos mtodos ssmicos se concentran particularmente en el anlisis o evaluacin de la estructura y caractersticas dinmicas del material trreo (suelo o roca). En esta seccin se mostrarn los aspectos conceptuales ms importantes que deben ser estudiados para interpretar de forma adecuada los resultados de los ensayos geofsicos tanto en campo como en laboratorio.Ondas elsticas.La propagacin de ondas elsticas puede ocurrir en una dimensin como una onda transversal en una cuerda, en dos dimensiones como cuando dejamos caer un objeto a un estanque y en su superficie se generan ondas concntricas, o en tres dimensiones como el sonido a travs del aire o las ondas ssmicas. Estos ejemplos nos llevan a pensar que una onda elstica es una alteracin o perturbacin que se transmite por un medio sin producir un efecto permanente en l. Las ondas elsticas son un tipo de perturbacin que irradian energa a travs de desplazamientos elsticos de las partculas que conforman el medio en el cual se propagan; por ello las ondas ssmicas se consideran elsticas que se difunden por zonas al interior de la Tierra. Ecuacin de onda ssmica.Para construir la ecuacin de onda ssmica es fundamental usar la teora de esfuerzo y deformacin (stress & strain). En principio debemos considerar que el medio es infinito, presenta un comportamiento elstico, isotrpico (mismo comportamiento en todas las direcciones) y homogneo. Inicialmente consideremos las fuerzas en un cubo infinitesimal en un sistema de coordenadas :

Figura 1. Sistema coordenado y fuerzas en un cubo infinitesimal

Las fuerzas, por lo tanto, sern el producto del vector de traccin y el rea de la superficie en la que actan. De esta forma, la fuerza en el plano que es normal a es:

Donde es el vector de fuerza, es el vector de traccin y es el tensor de esfuerzos. En un campo de esfuerzos homogneos no existe fuerza neta actuante en el cubo porque las fuerzas que actuan en caras opuestas se cancelan, en otras palabras: . Para que exista un fuerza neta actuante en el cubo es necesario que en el campo de esfuerzos existan gradientes espaciales. Si aplicamos este ltimo requisito al plano normal de resulta:

Al extender este anlisis a las diferentes caras del cubo y usando la notacin de suma e ndices para expresar la fuerza total que acta en el campo de esfuerzos tendremos:

Podemos incluir una fuerza de cuerpo sobre el cubo proporcional al volumen de material:

Y la masa del cubo viene dada por la siguiente expresin:

Donde es la densidad del cubo. Ahora podemos usar la expresin para la segunda Ley de Newton empleando las ecuaciones 3, 4 y 5 e incluir la aceleracin del cubo dada por la segunda derivada del desplazamiento, , con respecto al tiempo para obtener:

Se puede observar que ambos lados de la ecuacin tienen factor comn por lo que podemos simplificar y reducirla a la siguiente expresin:

Esta ecuacin se conoce como la ecuacin de momento o ecuacin de movimiento para un continuo. El trmino implica, en el caso de ondas ssmicas, una componente de gravedad y otra debida a la fuente . En nuestro caso, el trmino debido a la gravedad no se considerar ya que este es usado para trabajos de baja frecuencia y por otro lado el trmino es fundamental cuando se estudia la dinmica de la fuente. Por lo tanto al despreciar ambos trminos obtenemos:

Esta ecuacin gobierna la propagacin de ondas ssmicas en regiones exteriores a la fuente. Para resolverla es indispensable usar la relacin entre el tensor stress y el tensor strain (tensor de esfuerzos y tensor de deformaciones). Al usar la ecuacin constitutiva de la Ley de Hoke para un slido isotrpico

Donde y son los parmetros de Lam que caracterizan el comportamiento elstico de un slido isotrpico y es definido como:

Al sustituir 9 en 8 se obtiene:

Con esta ecuacin representa un conjunto acoplado de relacin esfuerzo-deformacin.Al sustituir 7 en 10 tenemos:

Para escribir esta ecuacin en notacin vectorial debemos introducir el trmino:

Con lo cul nos queda:

Y usando las propiedades vectoriales del gradiente:

Obtenemos finalmente:

La ecuacin 13 se conoce como la ecuacin vectorial de onda ssmica. Para nuestro estudio podemos ignorar los dos primero trminos debido a que al involucrar gradientes de los parmetros de Lam nos implica el estudio de material heterogneo. El modelo a tratar en el presente artculo es mucho ms sencillo y como ya lo hemos mencionado se considera homogneo por las siguientes dos consideraciones:1. La velocidad es funcin de la velocidad, por lo tanto el material puede ser idealizado como una serie de capas homogneas.2. Se considera que el anlisis se centra en condiciones de altas frecuencias por lo que estos trminos donde existen gradientes de propiedades no se toman en cuenta puesti que varan segn 1/, y como las frecuencias son altas este trmino tiende a cero.La ecuacin de onda ssmica para medios homogneos, isotrpicos y de comportamiento lienal en forma vectorial resulta en conclusin ser la siguiente:

Tambien llamada ecuacin estndar de la ecuacin de onda para medios homogneos. Ntese que los parmetros de Lam actuan como factores de una operacin de gradiente y no en sentido contrario como en la ecuacin 13. Ondas de cuerpo, superficiales y de barra. Las ondas ssmicas pueden clasificarse como ondas de cuerpo (Ondas P y S) y superficiales (Ondas Love y Rayleigh). Las ondas de barra hacen referencia a las que se determinan en laboratorio mediante la utilizacin de especmenes cilndricos (Torres, 2005). Las partculas de una onda P, longitudinal o de compresin oscilan en la direccin de propagacin de la onda, en trminos fsicos hablamos de un fenmeno de dilatacin sin rotacin o simplemente divergencia. La ecuacin 14 se puede estudiar o analizar tanto en conjunto como en dos partes. La primera de ellas hace mencin a la onda P al tomar la divergencia a ambos lados de la ecuacin obtenemos:

Donde es la velocidad de onda P, dada por

Cuya expresin en el entorno ingenieril es ms fcil de entender si la expresamos de la siguiente manera:

Las partculas de una onda S, de corte, transversal o de cizalla osiclan perpendicularmente a la direccin de propagacin, en trminos fsicos hablamos de distorsin sin diltacin o simplemente el rotacional. Esto se traduce matemticamente si aplicamos a la ecuacin 14 el rotacional a ambos lados, obteniendose de esta forma la siguiente expresin:

Al considerar las siguientes identidades vectoriales:

Se llega finalmente a la segunda parte mediante la cual se puede estudiar la ecuacin 14:

Donde es la velocidad de la onda S, dada por :

Cuya expresin en el entorno ingenieril es ms fcil de entender si la expresamos de la siguiente manera:

Las ondas superficiales, son un tipo especial de ondas que se estudian tomando en consideracin medios semi-infinitos, las ondas Love en espacios o medios divididos en capas y las ondas de barra son las que se analizan en muestras simtricas en un solo eje. La ecuacin que describe la velocidad de onda longitudinal en barras o estructuras cilndricas es la siguiente:

Donde es el mdulo de Young y la densidad de la probeta.