Tema:

Angulos

Definición ...........................................................................................Pág. 2

Semiplano...........................................................................................Pág. 2

Ángulo.................................................................................................Pág. 3

Multilátero..........................................................................................Pág. 3

Clasificación de Ángulos Planos........................................................Pág. 4

Propiedades........................................................................................Pág. 6

Líneas Notable....................................................................................Pág. 8

Mediatriz de un Segmento..................................................................Pág. 8

Bisectriz de un Ángulo......................................................................Pag. 12

Profesora Cruz Teresa AliciaAño 2.011

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Definición

Semiplano

Se considera un plano α y una recta A tal que A ⊂α

La recta A separa al plano α en dos partes.

Cada una de esas partes se llama semiplano

A es el borde de los semiplanos.

Para distinguirlos marcamos un punto en cada semiplano.

Decimos:

Semiplano de borde A que contiene a x.

Semiplano de borde A que contiene a y.

Escribimos en símbolos:

Spl(A,x) y Spl(a,y)

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A

α

A

α

x

y

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Ángulo

Definición: dados tres puntos no alineados a, b, c, se llama ángulo convexo

abc a la intersección del semiplano de borde ab que contiene a c y el

semiplano de borde bc que contiene a a.

en símbolos:

cbaSplSpl abccabˆ

),(),( =∩

cba ˆ Se lee: ángulo abc.

ba y bc son los lados.

b es el vértice.

Multilátero

Dados tres o más segmentos consecutivos se llama multilátero a la figura

formada por la unión de dichos segmentos

Triláteros cuadriláteros multiláteros

Abiertos

cerrados

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b c

a

b c

a

ángulo abc

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Clasificación de Ángulos Planos

Ángulo Agudo

Es el ángulo formado por la unión de

dos líneas rectas en una abertura

mayor de 0º y menor de 90º. A la unión se le llama vértice.

Ángulo Recto

Un ángulo recto es igual a 90º, o Rad.).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí, la proyección

ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con su punto de

intersección.

Ángulo Obtuso

Un ángulo obtuso es superior a 90º e inferior a 180º, esto es entre y

Rad.).

Ángulo Llano

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Un ángulo llano o plano es igual a 180º, o Rad.).

Un ángulo de 180º.

En un ángulo llano los dos lados están alineados uno a continuación de otro

dividiendo el plano en dos semiplanos.

Ángulo Cóncavo

Es el ángulo que mide más de 180º y menos de 360°

Ángulo Perigonal o Completo

Un ángulo perigonal es igual a 360º, esto es Rad.).

Este ángulo se obtiene al hacer girar la semirrecta hasta colocarla en su

posición inicial.

Ángulos Complementarios

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Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es un

ángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.

Ángulos Suplementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de sus grados es igual a

180º.

Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar

restando sus grados a 180.

Propiedades

Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, son

congruentes entre sí mismos.

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Ángulos Opuestos por el Vértice

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son

semirrectas opuestas a los lados del otro.

los ángulos que no cumplen esta condición son aquellos que solamente están

unidos por un vértice en común y sus lados no son rectas proyectadas.

Teorema:

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. (Esta demostración es

adjudicada a Tales de Mileto)

H) α y β opuestos por el vértice

T) α=β

D) Considerando un ángulo adyacente a α y β:

α+γ=180º por ser adyacentes.

β+γ=180º por ser adyacentes.

por consecuencia del corolario de la propiedad transitiva, los primeros

términos deben ser iguales entre sí:

α+γ=β+γ

Y dado que γ es igual a sí mismo, restándolo en ambos miembros de la

igualdad:

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(α+γ)-γ=(β+γ)-γ

α=β

Corolario:

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice, son semirrectas

opuestas.

Ángulos Adyacentes

Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no

comunes son semirrectas opuestas.

α y β son adyacentes

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Líneas Notables

Mediatriz de un Segmento

Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en

dos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar

geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

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En la figura, la recta m es la mediatriz del segmento AB , pues:

ABm ⊥ en o.

Y o es el punto medio de AB , es decir:

OBAO =

Teorema: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos

del mismo y todo punto que equidista de los extremos de un segmento

pertenece a su mediatriz.

H ) m, mediatriz del AB

T ) 1º Todo punto de m equidista de A y de B.

2º Todo punto que equidista de A y de B pertenece a m.

Demostración:

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A B o

m

1º se considera un punto cualquiera de la mediatriz: por ejemplo, el P. uniendo

P con A y B, quedan formados los triángulos ∆POA y

∆POB , rectángulos en o,

por ser ABm ⊥ , y tales que:

Luego estos dos triángulos tienen sus dos catetos iguales, por lo tanto, en

virtud del primer criterio de igualdad de triángulos rectángulos, son iguales, y ,

en consecuencia, las hipotenusas también son guíales, es decir:

PBPA =

Luego, P equidista de A y de B; y como P es un punto cualquiera de la

mediatriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.

2º Se considera un punto R tal que equidista de A y de B, es decir:

RBRA =

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A B o

m

P

y tienen t i e n t i n e t i n e 1 r u

Se une R con el punto medio o del AB , y resultan los triángulos:

Por lo tanto estos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales;

luego, en virtud del tercer criterio de igualdad de triángulos, son iguales, es

decir:

∆AOR =

∆ROB

En consecuencia, todos sus elementos homólogos son iguales; entre ellos:

AOR ˆ = BOR ˆ

Como estos ángulos son adyacentes, al ser iguales las rectas que los

determinan son perpendiculares, es decir:

ABRO ⊥

y como o es el punto medio de AB es RO la perpendicular al AB en su punto

medio. Luego:

RO es mediatriz del AB

o sea:

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1 1 2 . 01 1

=

=

RBRA

OBAO

RO RO 2

RO 2 . 0 1 r uz e r e s a AR

R 2 . 0 1 r

.

R pertenece a la mediatriz del AB

Igual razonamiento podría hacerse con cualquier otro punto que equidistara de

los extremos del segmento, luego queda demostrada la segunda parte de la

tesis.

Bisectriz de un Ángulo

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en

dos ángulos iguales. por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar

geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

Teorema: todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del

mismo, y todo punto interior de un ángulo que equidista de los lados del mismo

pertenece a la bisectriz.

H ) BN bisectriz de CBA ˆ

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T ) 1º todo punto de BN equidista de BA y de BC

2º Todo punto que equidista de BA y de BC pertenece a la

bisectriz BN .

Demostración:

1º se considera un punto cualquiera de la bisectriz, el M , por ejemplo.

Trazando las distancias de M a los lados BA y BC , que son respectivamente

MP y MQ , resultan los triángulos ∆

BPM y ∆

BQM rectángulos en P y en Q por

ser BAMP ⊥ y BCMQ ⊥ , y tales que:

Estos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo

respectivamente iguales; luego, por el tercer criterio de igualdad de triángulos

rectángulos, son iguales y, en consecuencia son iguales los catetos que se

oponen a ángulos iguales entre ellos: MP y MQ , es decir:

MP = MQ

Luego, M equidista de BA y BC , y como M es un punto cualquiera de la

bisectriz, queda demostrada la primera parte de la tesis.

2º sea R un punto tal que equidista de BA y BC del ángulo CBA ˆ , es decir:

RTRS =

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3 3 2 .

= QBMMBP

BM

ˆˆ

ˆ M 2

ˆ M 2 . 0 1 Cr uz Te e s

Uniendo R con B resultan los triángulos:

∆RSB y

∆RTB rectángulos en S y en T

respectivamente, que tienen:

Estos triángulos rectángulos tienen entonces la hipotenusa y un cateto

respectivamente iguales; luego, por el cuarto criterio de igualdad de

triángulos rectángulos, son iguales, y por lo tanto, todos sus elementos

homólogos son iguales; entre ellos los ángulos RBS ˆ y TBR ˆ , que se oponen

respectivamente a los catetos SR y RT , o sea:

RBS ˆ = TBR ˆ

en consecuencia:

BR es la bisectriz del ángulo CBA ˆ ,

Es decir:

R pertenece a la bisectriz del ángulo.

Como igual razonamiento puede hacerse para cualquier punto que equidista

de los dos lados del ángulo, queda demostrada la segunda parte de la tesis.

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4 o 2 . 01 1 uz Te r 4 o 2 . o 2 . 1 o . 1

A

R

S

T

B

C

R

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