7/31/2019 Teora y Actividad 2

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Sea la funcin cuadrtica = 2 + + 1, de la cual sabemos que su grfica es una parbola queabre hacia arriba, que pasa por (0,1) y que tiene su vrtice en 1

2,

3

4; su grfica se ve as:

Nos interesa estudiar esta funcin en el intervalo 1,1, hagamos un acercamiento:

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Digamos que queremos calcular el rea comprendida entre la grfica de la funcin y el eje x para el

intervalo mencionado, en otras palabras, se intenta saber el valor del rea marcada en azul en la figura

anterior.

Tratemos de aproximar el rea buscada, usando nuevamente la idea de inscribir o circunscribir n

rectngulos de la misma base dentro de dicha rea, es decir, dividir el intervalo [-1,1] enn

partesiguales, empecemos por dividirlo en cinco y tracemos los rectngulos inferiores:

En primer lugar determinamos que la base de cada rectngulo es2

5; es decir 0.4. El primer rectngulo de

izquierda a derecha, obviamente tiene por base 0.4, para determinar la altura, debemos sustituir en la

funcinf(x) la coordenada en x del punto A, es decir -1+0.4=-0.6; as la altura del primer rectngulo

de izquierda a derecha es:

1 + 25 = 1 + 2

52 + 1 + 2

5+ 1 = 3

52 3

5+ 1 =

9

25 15

25+

25

25=

19

25= 0.76

Es decir, la altura del primer rectngulo es la coordenada en y del punto B que est sobre la curva de

la funcin y es uno de los vrtices del primer rectngulo.

Entonces la primera rea es:1 = 25 19

25 = 38

125= 0.304

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Qu pasa con el rectngulo 2? Resulta que como por esta zona est el vrtice de la parbola, es decir.

La curva cambia de concavidad si queremos trazar el rectngulo dos usando la divisin del punto C

el rectngulo quedara por arriba y no por abajo, esto se puede resolver si trazamos dicho rectngulo

pensando en que uno de sus vrtices no est sobre la curva, si no que solamente exigimos que la base

superior del rectngulo sea tangente a la grfica de la funcin, como se observa en el siguiente sper

acercamiento a esa zona:

Para resolver el problema de calcular entonces el rea de este segundo rectngulo, podemos animarnos

a utilizar un valor intermedio entre las divisiones hechas por los puntos A y C, es decir, el valor

promedio entre 1 + 25

y 1 + 45; es decir, tomar el valor entre 3

5 1

5(-0.6 y -0.2); es decir 2

5o sea

(-0.4), este es el valor que sustituiremos en la funcin para tratar de calcular la altura del segundo

rectngulo que es el que nos est dando problemas:

25 = 2

52 2

5+ 1 =

4

25 10

25+

25

25=

19

25= 0.76

Es decir, que podemos considerar que la altura del segundo rectngulo es igual a la del primero y por lo

tanto en rea 2 es igual al rea 1.

2 = 0.304

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Para las reas 3,4 y 5 no hay mayor problema en determinar de manera similar las alturas respectivas

usando la funcin, para calcular la altura del rectngulo 3, se debe evaluar la funcin en 1 + 45

= 15

=

0.2; entonces la altura es:

1

5 = 1

52

1

5 + 1 =

1

255

25 +

25

25 =

21

25 = 0.84

Que de hecho es correcto porque corresponde a la coordenada eny del punto D

El rea del rectngulo 3 es entonces:3 = 25 21

25 = 42

125= 0.336

Ahora lo plantearemos una vez ms para el rectngulo 4 (el que queda determinado por los puntos E y

F, observa la grfica):

Primero determinemos la altura:

1 + 3 25 = 15 =0.2 = 152

+ 15

+ 1 = 125

+ 525

+ 2525

= 3125

= 1.24

Lo cual se puede verificar al observar que es la coordenada y del punto F

4 = 25 31

25 = 62

125= 0.496

Para el quinto rectngulo determinamos la altura evaluando la funcin en1 + 4 25 = 3

5= 0.6

3

5=

3

5

2

+3

5

+ 1 =49

25

= 1.96

Que es la coordenada en y del punto H

El rea 5 es:5 = 25 4925 = 98125 = 0.784El rea estimada por sumas inferiores para cinco particiones iguales es:

=1 +2 +3 +4 +5 = 38125

+38

125+

42

125+

62

125+

98

125=

278

125= 2.2242

De forma anloga, se puede calcular el rea por rectngulos superiores, es decir, te puedes apoyar en la

siguiente figura para plantear el clculo y comparar ambas reas:

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En este caso de nueva cuenta hay que tener cuidado con el segundo rectngulo, pues se debe usar el

punto C para determinar su altura, es decir, evaluar la funcin en 1 + 45. En el caso del primer

rectngulo, observa que se evala directamente en x=-1, es decir,f(-1)=1

= 251 + 1 + 4

5 + 1 + 6

5+ 1 + 8

5+ 1 + 10

5

Solo restara calcular el ltimo sumando, es decir, 1 + 105 =1 = 3 con lo cual se puede concluir

que:

= 2525

25+

21

25+

31

25+

49

25+

75

25 = 402

125= 3.22

Por lo tanto el rea real est acotada entre278

125y

402

125; es decir:

278

125

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Si queremos una mejor aproximacin del rea calculada, debemos aumentar el nmero de particiones,

de 5 a 10 por ejemplo o a 50 particiones.

Ahora es tu turno:

Trabajando con la misma funcin, pero cambiando los valores del intervalo en el que se debe trabajar y

el nmero de particiones, resuelve o solicitado.

Actividad

Encuentra el rea aproximada bajo la curva de la funcin = + + en el intervalo ,para:

a) 10 particiones igualesb) 50 particiones igualesc) n particiones iguales