TEORIAS DE FALLAS O DE COMPARACIÓN -...

ESTABILIDAD II CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

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4 TEORIAS DE FALLAS O DE COMPARACIN

4.1 CONCEPTOS COMPLEMENTARIOS SOBRE ENERGIA ESPECIFICA DE DEFORMACION

4.1.1 Energa total de deformacin La energa especfica de deformacin en un punto de un slido sujeto a un estado de tensin cualquiera, es una funcin tanto de las tensiones actuantes como de las deformaciones. En los captulos anteriores ya hemos analizado el valor de la energa de deformacin por unidad de volumen para algunos casos simples:

21u:puroCorte

21u:axialEsfuerzo

Las expresiones anteriores surgen de la consideracin del comportamiento del material como elstico lineal, es decir, que vale la Ley de Hooke. En el caso ms general de un estado triple tendremos que considerar la energa especfica de deformacin correspondiente a cada tensin.

2yz2xz2xyzyzxyx2z2y2x

yzyz

xzxz

xyxyyxzz

zxyyzyxx

yzyzxzxzxyxyzzyyxx

G212

2E1u

G21

G21

G21

E1

21

E1

21

E1

21u

21

21

21

21

21

21u

(4.1)

En el caso particular de un estado doble, la expresin anterior se reduce a la siguiente:

2xyyx2y2x G212

2E1u (4.2)

y en el estado lineal

2x2E

1u (4.3)


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4.1.2 Relacin entre las constantes elsticas 4.1.2.1 Relacin entre E y G Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencial en una determinada posicin, la energa de deformacin por unidad de volumen correspondiente al mismo deber mantenerse si lo suponemos rotado.

Si tenemos un prisma elemental sometido a corte puro, sabemos que a 45 de esa posicin nos encontraremos que el elemento estar sometido a tensiones de traccin y compresin, las que en valor absoluto sern iguales entre s e iguales a la tensin tangencial. Si evaluamos la energa de deformacin por unidad de volumen en ambos casos obtendremos:

12EG

G21

E1

G21

E1u

22E212

E21u

G21u

22

2221

22

21

2

De esta manera hemos encontrado la relacin existente entre E, G, y , relacin de la que ya habamos hablado anteriormente.

4.1.2.2 Relacin entre mdulos E y K Consideramos un cubo inicialmente de lados unitarios, sometido a tensiones normales x, y, z.

Fig. 4.2

La longitud final de cada lado del cubo ser:

lx = (1 + x) ly = (1 + y) lz = (1 + z)

Volumen final Vf = (1 + x) (1 + y) (1 + z)

Por ser las deformaciones i pequeas, se desprecian los trminos de productos de 2 y 3 orden: Vf = 1 + x + y + z

1

2

1 2 Fig. 4.1 (4.4)


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Calculando la deformacin especfica volumtrica

zyxi

ifv V

VV

Reemplazando los i en funcin de las tensiones normales:

21E1

zyxv

Para el caso particular en que x = y = z = p (Estado de tensin hidrosttica)

pctte21Ep3v

Anteriormente llamamos K a la constante que vincula a la tensin con la deformacin especfica volumtrica.

213EKKp v mdulo de elasticidad volumtrico

Conclusin: Como 0 , el valor entre parntesis: (1 2) 0 , o sea, 0,5

Como casos extremos podemos considerar el corcho, que tiene un coeficiente de poisson cercano a 0 y el caucho que tiene un coeficiente cercano a 0.5.

Para el caso visto en la seccin 4.1.2.1, relacin entre E y G supusimos un caso de corte puro,

busquemos la variacin de volumen v para dicho caso

1

2

321i

ifv V

VV

1EE

1 1211

1EE

1 1122 v = 0

0E 213

Conclusin: Las tensiones tangenciales no producen variacin de volumen

1 2 1= - 2


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4.1.3 Energa por variacin de volumen y por variacin de forma La energa especfica de deformacin puede considerarse compuesta de dos partes:

FV uuu (4.5)

uv = energa necesaria para producir el cambio de volumen del elemento diferencial infinitsimo considerado. uF = energa que origina el cambio de forma o distorsin del elemento, tambin llamada energa de distorsin. Ya hemos indicado que las distorsiones angulares no provocan cambio de volumen, slo de forma. Por otro lado, las deformaciones especficas producen cambios de volumen y forma. De la expresin correspondiente a u vamos a separar la parte inherente a las tensiones tangenciales y la que depende de las tensiones normales.

2yz2xz2xy2yz2xz2xy E1

G21u (4.6)

zyzxyx2z2y2x 22E1u (4.7)

Consideramos a continuacin un elemento sometido exclusivamente a tensiones normales x, y, z y llamamos:

3zyx

p

(4.8)

En la figura 4.3 hemos expresado este caso como suma de los dos estados all indicados.

Fig. 4.3

PZXPZ

PZXPYpZYpxVC

ppppVB

zyxV

2E1

2E12

E1

E2132

E33

(4.9)

VAVBp

3

zyxVC 03E21

p

(4.9)

De la ecuacin 4.9 puede verse que el estado C no presenta cambio de volumen. El estado B, donde todas las caras estn sometidas a la misma tensin, se denomina estado de tensin hidrosttica.

Ay

z

xx

zy

= p

Bp

p

p

p

p

+x-p

C

y-p

y-p

x-p

z-p

z-p


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zyzxyx2z2y2xV

2zyx2

p2pVBV

222E621u

3E221363

E21uu

(4.10)

zyzxyx2z2y2xF

zyzxyx2z

2y

2x

zyzxyx2z

2y

2xF

VF

E31u

222E621 -

2E21u

uuu

(4.11)

Para el caso general donde adems de tensiones normales existen tensiones tangenciales, resulta:

2yz2xz2xyzyzxyx2z2y2xF 3E31u (4.12)

La importancia de la energa por cambio de forma estriba en que a ella se le atribuye la fluencia, o sea, el escurrimiento plstico.

En funcin de las tensiones principales:

232231221F )()()(E61u

4.2 TEORIAS DE COMPARACION TEORIAS DE FALLA. 4.2.1.1 Introduccin. En lo que vimos de la materia hemos definido las tensiones para los siguientes estados simples de solicitaciones: Si tuviramos una viga sometida a cargas:

a) por Estabilidad I sabemos b) por Estabilidad II, en Cap. 6 y 7, veremos que

= Q / Q

N

N

= N /

QMf

Z dZ

P

dZ

Q

Q M+dM M

t


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Si tenemos un cilindro de paredes delgadas, cerrado en los extremos, al cual podemos someter a diferencias de presiones entre interior y exterior, debido a ello tendramos tensiones normales c = p.r/e: tensin circunferencial y L = c/2 : tensin longitudinal. En su momento mencionamos que el valor de la presin interior de la pared del cilindro era tan pequeo respecto de los valores de c y de L, que podamos despreciarlo. Si adems de la diferencia de presin, imaginemos que al cilindro podemos aplicarle un Esfuerzo Axial, de traccin o de compresin, ese esfuerzo normal N producir modificaciones en el valor de la componente de tensin longitudinal producida por la presin interna. (tendremos que sumar o restar al valor de L debido a p, el valor debido a N). Imaginemos que al cilindro tambin podemos aplicarle Mto. Torsor, lo veremos en el captulo 5, el Mt producir en la pared tensiones tangenciales . Bajo las condiciones sealadas, un pequeo elemento en la pared, variando las relaciones entre p, N y Mt, estar sometido a diferentes estados tensionales. Cabe ahora una pregunta: Si tengo distintos estados tensionales, por ejemplo estados dobles o triples de tensiones, es vlido comparar los valores de estas tensiones con la tensin lmite definida en un ensayo de traccin simple como hacamos en el captulo 1? Trataremos de contestar la pregunta anterior apoyndonos en resultados experimentales que se ilustran en los cuatro ejemplos siguientes. Asumamos que el comportamiento del material es el de un metal dctil, que el comportamiento del mismo se aproxima al lineal elstico, perfectamente plstico (recordar cap. 1). Ejemplo 4.13a: El ensayo de traccin uniaxial, proporciona el mdulo de elasticidad E, y la tensin de fluencia f. (Ver fig. 4.13.a) Ejemplo 4.13b: Asumamos ahora que aplicamos tambin una compresin transversal de igual valor que la traccin; en este caso experimentalmente se observa que la tensin y necesaria para causar la fluencia del material es de alrededor de la mitad del valor del ensayo de traccin simple. (ver fig. 4.13b) Este resultado es fcilmente verificable realizando un simple ensayo de torsin en un tubo hueco de pared delgada, donde el estado de tensiones deseado existe para una orientacin e 45 respecto del eje del tubo. (ver fig. 4.14)

Fig. 4.14

L C

N N Mt Mt

p

45

1= 2=- 3=0


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Fig. 4.13.a Fig. 4.13.b Fig. 4.13.c Fig. 4.13.d

Fig. 4.13 Ejemplo 4.13c: Consideremos ahora otro caso; la traccin transversal x de igual magnitud que y. Como la compresin transversal disminuye la resistencia a fluencia, la intuicin sugiere que la traccin la incrementa. Pero experimentalmente se puede demostrar que el efecto de la traccin transversal prcticamente no influye sobre la fluencia. El experimento podra ser realizado presurizando una esfera hueca de pared delgada hasta la fluencia, o por una combinacin de presin y traccin en un tubo de pared delgada. (ver fig. 4.13c) Si se cambia el material por uno frgil, por ejemplo fundicin de acero gris, ni tensiones transversales de traccin ni de compresin tienen mucho efecto sobre su fractura. Ejemplo 4.13d: Un hecho experimental adicional de inters es que, es difcil y casi imposible, hacer llegar a la fluencia a un material si es ensayado bajo presiones hidrostticas, donde x = y = z, tanto en traccin como en compresin. La traccin hidrosttica es difcil de lograr experimentalmente, pero la compresin hidrosttica consiste en colocar una muestra del material en una cmara presurizada. Los cuatro ejemplos citados, en los cuales se consideran los resultados cambiantes del comportamiento de un metal dctil, permiten sealar que si por las acciones a los cuales es sometido un material, en un cierto punto se producen tensiones en ms de una direccin, ser difcil determinar para una determinada relacin de valores, si tal combinacin tensional puede causar la fluencia o la fractura del material, an cuando individualmente no alcancen los valores de falla. Es por ello que se necesitan Criterios o Teoras de Falla, que sean capaces de reflejar tales efectos de tensiones combinadas, ya sea para la fluencia o la fractura. Una alternativa a los criterios de falla basado en tensiones, es analizar especficamente fisuras en el material utilizando los mtodos especiales de la mecnica de fractura, tema que escapa la formacin de grado.

y

Traccin Uniaxial

y

x

x =x Traccin Biaxial

z

y

x

x =y =z=-p Compresin Hidrosttica

y f

y

y

E 1-

1

-y

-y

E 1-2

1

f

y

x

x =-y Traccin con Compresin Transversal

E

y

y

f

1 E/(1+)

1

y

y

y f /2


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Los criterios de fluencia considerados en este captulo predicen el comienzo de la deformacin plstica, ms all de donde la Ley de Hooke cesa de describir completamente el comportamiento tensin-deformacin. 4.2.1.2 Forma general del criterio de falla. Un estado multiaxial de tensiones en un cuerpo, es el estado ms general que puede presentarse ante una condicin de solicitacin. Componentes ingenieriles pueden estar sujetos a cargas complejas de presin, traccin, compresin, torsin, o una combinacin de ellas, de forma tal que para un cierto punto del material se producen tensiones en ms de una direccin. En la prctica, suele ser complejo y hasta a veces imposible idear experimentos que puedan cubrir cada detalle y cada particular combinacin de tensiones, atento a las dificultades para poder concretarlo como al extraordinario costo que el procedimiento implica. Por tal razn se necesitan Hiptesis, Teoras o Criterios que permitan evaluar, comparar y relacionar un estado de tensin cualquiera con los resultados experimentales del ensayo tpico de traccin, cuyo costo es relativamente bajo. En la materia consideraremos dos posibilidades de falla: a) Falla para materiales Dctiles. b) Falla para materiales Frgiles. En la aplicacin de un criterio de falla para materiales dctiles, la resistencia del material est dada por su resistencia de fluencia, en cambio para un criterio de falla para materiales frgiles la tensin lmite ser la tensin de rotura a la traccin. Los criterios de falla para materiales isotrpicos pueden ser expresados en la forma matemtica siguiente:

fallalaen),,(f L321 ( 4.13) El lado izquierdo de la ecuacin es una funcin matemtica especfica, f, que depende del estado tensional (valores de 1, 2, 3) al que est sometido el punto que estamos analizando y cuya expresin depender del criterio de falla que se aplique. Dicha funcin predice que ocurre la falla cuando el resultado numrico de la misma es igual a la resistencia de falla o rotura del material, L, en un ensayo de traccin simple. El resultado numrico mencionado puede considerarse como una tensin efectiva, , o tambin llamada tensin de comparacin, c, la cual es un valor numrico simple que caracteriza el estado de tensiones aplicadas.

En particular c = f (1,2,3) ( 4.14 ) Luego, la falla ocurre cuando:

c = L ( 4.15) No se espera la falla si:

c < L (4.16) Asimismo el factor de seguridad contra la falla es:

= L /c (4.17)

En otras palabras, las tensiones aplicadas pueden ser incrementadas por el factor antes de que la falla ocurra. NOTA: al factor de seguridad es preferible expresarlo en trminos de cargas aplicadas. Si cargas y tensiones son proporcionales, como es frecuente, el factor de seguridad en tensiones es idntico al factor en cargas. Un requerimiento para que sea vlido el criterio de falla es que debe dar el mismo resultado sin importar la eleccin del sistema de coordenadas original del problema. Por este motivo, la expresin matemtica de la funcin de falla tambin puede ser presentada en funcin de componentes de tensin segn un sistema de ejes cartesianos que no sea el de las tensiones principales.


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Veremos ms adelante que si graficamos la funcin f en el espacio de tensiones principales, esto es, en el sistema de coordenadas tridimensional, 1,2,3, la misma conforma una superficie que es llamada superficie de falla. Procederemos ahora a discutir varios criterios de falla, es decir consideraremos varias funciones especficas f, algunos de los cuales son apropiados para materiales dctiles y otros para materiales frgiles. Los subndices para las tensiones principales se asumirn que estn asignados en cualquier orden particular relativo a sus magnitudes. CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION NORMAL (o Teora de Rankine) Quizs el ms simple de los criterios es aquel en que se espera la falla cuando la mayor de las tensiones principales alcanza la resistencia uniaxial del material. Como esta aproximacin ha tenido gran suceso en la prediccin de la fractura de materiales frgiles debera ser considerado como un criterio de fractura distinguindolo del criterio de fluencia. El criterio de fractura de la mxima tensin normal puede ser especificado por una funcin particular, f, como sigue:

MAX (|1| ,|2|, |3|) = L (en la fractura) (4.18) Dnde la notacin mxima indica que, de los valores separados por comas, el elegido es el mayor de los mismos. Se consideran valores absolutos de forma tal que puedan ser considerados tensiones de compresin, y se asume que la resistencia ltima L es la misma en traccin que en compresin. Un conjunto particular de tensiones aplicadas puede ser caracterizado por la siguiente tensin de comparacin o efectiva:

c N = MAX (|1| ,|2|, |3|) (4.19) Dnde el suscrito N especifica el criterio de la mxima tensin normal. As, se espera la fractura cuando c N = L, pero no cuando es menor, y el factor de seguridad contra la fractura es:

= L /c N (4.20)

Como esta teora predice la falla de materiales frgiles, la tensin lmite L en este caso es la tensin de rotura del material en traccin simple R. Para el estado plano de tensiones, en trminos de las tensiones cartesianas, podemos escribir que:

22 min, 4)(2

1)(21

xyyxyxmx

Para el estado de traccin simple, resulta: admRflL Resultando la tensin efectiva o de comparacin:

L2xy

2yxyxc 4)(2

1)(21

4.2.2.2 Representacin grfica del criterio de la mxima tensin normal Hemos mencionado en el inciso 4.2.1.2 que si graficamos la funcin f en el espacio de tensiones principales, obtenemos la superficie de falla. Para EPT, tal que 3= 0, este criterio puede ser representado grficamente en una grfica de 1 versus 2 por un cuadrado (Fig. 4.16(a)).


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Cualquier combinacin de 1 y 2 que caiga dentro del rea cuadrada es segura y cualquiera en su permetro corresponde a la fractura. Ntese que el cuadrado es la regin que satisface:

MAX(|1|,|2|) R (4.21) Graficando la funcin de ecuacin (4.21) obtenemos las cuatro lneas rectas que forman los bordes de esta regin segura (ver Fig. 4.16.b)

1=R, 1= -R (4.22)

2=R, 2= -R

a) b)

Fig. 4.16: Localizacin de falla para el criterio de la mxima tensin normal para EPT Para el caso general, dnde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, la Ec.4.19 indica que la regin segura es la acotada por:

1= R, 2= R, 3= R (4.23) Cada una de las cantidades de arriba representa un par de planos paralelos normales a uno de los ejes principales e interceptan cada uno en +R y -R. La superficie de falla es asimismo un simple cubo (ver Fig. 4.17). Si uno de los valores de 1, 2 3 es cero, entonces slo necesita considerarse la regin bidimensional formada por la interseccin del cubo con el plano de las dos restantes tensiones principales. Tal interseccin es mostrada para el caso de 3= 0, y el resultado es por supuesto el cuadrado de la Fig. 4.16.

Fig. 4.17: Superficie de falla tridimensional para el criterio de la mxima tensin normal.

2

1

R

-R R

-R

DN D (1, 2)

fractura

1

2= -R

2= R

1= -R 1= -R

2

3

R 2

3=0

1

R

(1, 2, 3)

R

0

DN

D


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4.2.2.3 Interpretacin grfica del factor de seguridad Consideremos un punto en la superficie de una pieza o componente, dnde prevalece EPT, de forma tal que 3= 0. Adems, asumamos que incrementando la carga aplicada, dicho incremento de carga provoca un aumento en las tensiones 1 y 2, mantenindose constante la relacin 2/1, est situacin se conoce como carga proporcional. Por ejemplo, para cargas de presin en un tubo de pared delgada, con extremos cerrados, las tensiones mantienen la relacin 2/1 =0.5, dnde 1 es la tensin circunferencial y 2 la longitudinal. En tal caso, la interpretacin grfica del factor de seguridad, puede ser hecha como es ilustrada en la figura 4.16 (a). Sea D la distancia desde el origen al punto correspondiente a las tensiones aplicadas (12). Luego extendemos la lnea recta hasta que toque la lnea de fractura, y denotamos la distancia resultante como DN. El factor de seguridad contra la fractura es la relacin entre dichas longitudes.

= DN / D (4.24) Para el caso particular de EPT, y asumiendo por conveniencia que 1 tiene el mayor valor absoluto y es positivo, ec. 4.24 puede verificarse como sigue:

121cN ,MAX (4.25) Por semejanza de tringulos en la Fig. 4.16 (a)

DDNR

1 (4.26)

Como el factor de seguridad es = R /cN, las dos ecuaciones de arriba se combinan para dar la (4.24). Extendiendo el procedimiento, la ecn. 4.24 es fcil de aplicar teniendo en cuenta los signos y magnitudes relativas de 1 y 2. Tal representacin grfica del factor de seguridad, y especficamente la de la ecuacin 4.24, tambin se aplica al caso general tridimensional ilustrado en la figura 4.17. Las distancias D y DN, son medidas an sobre una lnea recta, pero en este caso la lnea puede estar inclinada con respecto a los tres ejes principales. Tal interpretacin del coeficiente de seguridad en trminos de longitudes de lneas para carga (tensiones) proporcional, es vlida para cualquier superficie de falla fsicamente razonable, tales como las discutidas ms adelante. 4.2.3.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA TENSION DE CORTE La fluencia de materiales dctiles, normalmente ocurre cuando la mxima tensin de corte en cualquier plano alcanza un valor crtico f ,el cual es una propiedad del material .

f = mx. (en la fluencia) (4.27) Esta es la base del criterio de la mxima tensin tangencial, tambin conocido como CRITERIO DE GUEST o de TRESCA. Para metales, tal aproximacin es lgica, basada en el hecho que los mecanismos de fluencia en una escala microscpica son deslizamientos de planos de cristales, la cual es una deformacin por corte que se espera sea controlada por las tensiones de corte.


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4.2.3.2 Desarrollo del Criterio de Falla de la Mxima Tensin Tangencial De captulos anteriores recordemos que la mxima tensin tangencial es la mayor de las tres tensiones principales de corte, la cual acta en planos orientados a 45 con respecto a los ejes de tensiones principales. Para el estado mltiple de tensiones, en trminos de las tensiones principales, podemos escribir que:

221

2-1 mx

; 2

323-2 mx

;

231

3-1 mx

(4.28)

Por lo tanto, este criterio de fluencia puede plantearse como sigue:

2,

2,

2MAX 313221f en la fluencia (4.29)

La tensin de fluencia en corte, f, para un cierto material podra ser obtenida directamente de un ensayo de corte simple, tal como un tubo cilndrico hueco sometido a torsin. Como generalmente se dispone de la resistencia de fluencia f de ensayos de traccin, resulta ms conveniente calcular f a partir de f en un ensayo uniaxial. Ntese que en un ensayo uniaxial, la mxima tensin de corte ocurre en planos orientados a 45 con respecto al eje de la tensin aplicada. Ver crculo de Mohr de Fig.4.18.

Fig. 4.18: plano de la mxima tensin de corte en un ensayo uniaxial. Luego:

1 = f , 2 = 3 = 0, (4.30) Sustituyendo estos valores en el criterio de fluencia (Ec. 4.29) tendremos: f = f / 2 (4.31) La ec. 4.29 puede entonces escribirse en trminos de f.

3

12

2

1 23

13

1 1

= 1/2 .

= 1/2

0

90o

(1 , 0)

( , ) 1

45o


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fluencialaen 2

,2

,2

MAX2

133221f

(4.32)

fluencialaen ,,MAX 133221f (4.33)

La tensin efectiva o de comparacin es definida ms convenientemente como en la ec. 4.15, de forma tal que iguale a la resistencia uniaxial f en el punto de fluencia.

133221C ,,MAXS (4.34) Dnde el subndice s especifica el criterio de la mxima tensin tangencial. (S de Shear) El factor de seguridad contra la fluencia es:

SC

F

(4.35)

Para el estado plano de tensiones, en trminos de las tensiones cartesianas, podemos escribir que:

2xy

2yx mx 4)(2

1

Para el estado de traccin simple, resulta:

2

L mx

con ADMRflL

Resultando la tensin efectiva o de comparacin:

L2xy

2yxC 4)(S

4.2.3.3 Representacin grfica del criterio de la mxima tensin tangencial Para EPT, en el que 3=0, el criterio de la M.T.T. puede ser representado en un grfico 1-2 (Ver 4.19 (a)). Los puntos sobre el hexgono distorsionado corresponden a la fluencia, y los puntos dentro del mismo son seguros. El lugar de falla puede obtenerse sustituyendo 3 = 0 en el criterio de fluencia de ecuacin.

1221 ,, MAXf (4.36) La regin de no fluencia, dnde c s < f , es as la regin acotada por dos lneas:

1 - 2 = f ; 2 = f ; 1 = f (4.37) Estas lneas son mostradas en la figura 4.19 (b). Ntese que la primera ecuacin de arriba da un par de lneas paralelas con pendiente unitaria, y los otros dos pares dan lneas paralelas a los ejes coordenados. Para el caso general, dnde las tres tensiones principales normales son distintas de cero los contorno de la regin de no fluencia son obtenidas de la ecuacin 4.33.

1 - 2 = f , 2 - 3 = f , 1-3 = f (4.38) Cada uno de los cuales da un par de planos inclinados los cuales son paralelos a la direccin de la tensin principal que no aparece en la ecuacin.


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Por ejemplo, la primera ecuacin representa un par de planos paralelos a la direccin de 3

Fig. 4.19: Localizacin de la falla para el criterio de la mxima tensin tangencial para EPT.

Estos tres pares de planos forman un tubo con una seccin transversal hexagonal (ver Fig. 4.20). El eje del tubo es la lnea:

1 = 2 = 3 (4.39)

El diagrama de la siguiente figura es particularmente interesante pues permite visualizar a escala un estado de tensin tridimensional.

(a) (b) Fig. 4.20: Superficie de falla tridimensional para el criterio de fluencia de la mxima tensin tangencial. a) El lmite del principio de fluencia est representado por un prisma hexagonal del cual el eje es la diagonal (1 = 2 = 3). b) El sistema de ejes 1, 2, 3 est ilustrado segn una proyeccin isomtrica. 4.2.3.4 Las Tensiones Hidrostticas y el Criterio de la Mxima Tensin de Corte Consideremos el caso especial de un estado tensional en el que las tensiones principales son todas iguales:

1 = 2 = 3 = h (4.40) De forma tal que es un estado de tensin hidrosttica h . Por ejemplo, el material podra estar sujeto a una presin p, de forma tal que h =-p. Este caso corresponde a un punto sobre el eje del cilindro hexagonal, de fig 4.20. Para tal punto, la tensin

f

1

2

f

-f

-f 0

1 - 2= f

1- 2= - f

1

2

f

-f

-f 0

2= f

1= f

1= - f

2= -f

3

3 = 0 2

1

eje 3

2 1

(1,2,3) DS D


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efectiva o de comparacin cs de ecuacin 4.34 es siempre cero, y entonces, el factor de seguridad contra la fluencia es infinito. As, el criterio de la M.T.T. predice que presiones hidrostticas actuando solas no producirn la falla. Esto parece ser sorpresivo, pero de hecho concuerda con resultados experimentales en metales bajo compresin hidrosttica. Los ensayos en traccin hidrosttica son esencialmente imposibles, pero probablemente ocurrira la fractura frgil, sin fluencia, para altos niveles de tensiones, an en materiales normalmente dctiles. La interpretacin del factor de seguridad en trminos de longitud de lneas desde el origen en un espacio de tensiones principales es tambin vlida para el criterio de la MTT. Para los casos tridimensionales, pueden usarse las proyecciones de las longitudes normales al eje. Esto es debido a que se espera que las tensiones afecten la fluencia slo en la medida en que ellas se desvan del eje del tubo hexagonal.

= Ds /D (4.41) Donde Ds es la distancia proyectada correspondiente a la fluencia, y D a las tensiones aplicadas (ver fig. 4.20 b). Ejemplo 1: Un punto de una pieza de material cuyo f = 3030 kg/cm2, es sometido al siguiente estado de tensiones: x = 500; y = 1000; xy = 600 kg/cm2. Cul es el factor de seguridad contra la fluencia? Solucin: Primero, notemos que estamos en un caso de EPT, determinamos las tensiones principales normales a partir del crculo de Mohr o de ecuaciones ya conocidas:

xyyxyx 22

21 22,

1 ; 2 = 1400 ; 100 kg/cm2

La tercer tensin principal normal es: 3 = 0

La ecuacin 4.34 da entonces la tensin efectiva o de comparacin para el criterio de M.T.T.

2CS

1221CS

133221CS

kg/cm 01401400;100;1001400MAX

;;MAX

;;MAX

Por lo tanto el factor de seguridad contra la falla es:

16,214003030

cs

f

Ejemplo 2: Consideremos un tubo hueco de pared delgada cerrado en sus extremos y con una presin externa p. El espesor de la pared es t, el radio interno es r, y el material dctil tiene una resistencia de fluencia f. Encontrar una ecuacin para el espesor requerido correspondiente a los valores de r y un factor de seguridad de contra la fluencia. Solucin: De acuerdo a lo que vimos en la materia:

radialdireccionpallongitudindirecciont2r.pgencialtandireccin

tr.p

zyx


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Asumiendo que r/t es relativamente grande, z es pequea comparada con x y y, de forma tal que el problema puede simplificarse adoptando z = 0 como una aproximacin. Debido a que no hay tensiones tangenciales aplicadas, las tensiones de arriba son tensiones principales.

0 ,t2r.p ,

tr.p

z3y2x1

De la ecuacin 4.34, la tensin efectiva para el criterio de la M.T.T. es:

133221CS ;;MAX

tr.p

tr.p0;0

t2r.p;

t2r.p

tr.pMAXCS

El factor de seguridad contra la fluencia es:

r.pt.f

CS

f

el cul da el espesor requerido: f

r.p.Xt

4.2.4.1 CRITERIO DE FALLA DE LA MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION. (tambin conocido como teora de Hubert-Mises-Hencky) Este es otro criterio comnmente empleado para metales dctiles, y dice que el principio de fluencia se produce cuando la energa de distorsin alcanza un valor crtico. De acuerdo a lo visto anteriormente en este captulo, la energa de distorsin (o energa por variacin de forma) por unidad de volumen en base a las tensiones principales viene dada por: u = 1 + [(1 2)2 + (1 3)2 + (2 3)2 ] (4.42) 6E Para el caso de carga uniaxial, y el valor de la tensin de fluencia u* = 1 + [ 2 2f] (4.43) 6E Podemos considerar que u* constituye el valor crtico como la cuestin sealada en el enunciado del criterio de Von Mises para el caso del ensayo uniaxial. De ah: f = 1 [(1 2)2 + (1 3)2 + (2 3)2 ] (4.44) 2 Para el caso de EPT donde 1 0 ; 2 0 ; 3 = 0 , la expresin queda 2f = 21 + 22 - 1 2 (4.45) Para el estado plano de tensiones, en trminos de las tensiones cartesianas, podemos escribir que:

222 3E 3

1xyyxyxfu


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Para el estado de traccin simple, resulta:

2Lf E3)1(u con ADMRflL

Resultando la tensin efectiva o de comparacin:

L2

xyyx2

y2

xc 3 4.2.4.2 Representacin grfica del criterio de mxima energa de distorsin. La expresin (4.45) es la ecuacin de una elipse con su eje mayor a lo largo de la lnea 1 = 2 la cual cruza los ejes en los puntos f. Ntese que la elipse tiene inscripto dentro el hexgono distorsionado del criterio de la mxima tensin tangencial.

Fig. 4.21: Localizacin de falla para el criterio de fluencia de la mxima energa de distorsin para EPT y su comparacin con el criterio de la mxima tensin de corte.

Para el caso general, dnde las tres tensiones principales pueden ser distintas de cero, el contorno de la regin de no falla como la especificada por la ecuacin 4.44 representa una superficie cilndrica circular con su eje a lo largo de la lnea 1 = 2 = 3. (ver fig. 4.22). La vista a lo largo del eje del cilindro da un crculo. Si cualquiera de la tensiones 1 , 2 , 3, es cero, entonces la interseccin de la superficie cilndrica con el plano de las dos tensiones principales restantes da la elipse de la fig 4.21

Fig. 4.22: Superficie de falla tridimensional para el criterio de fluencia de la mxima energa de distorsin.

1

2

f

-f

-f 0

eje 1

3

3 = 0

2

eje

a)

b)

D(1, 2, 3)

3

DH 1

2


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El factor de seguridad contra la fluencia puede interpretarse similarmente en trminos de las distancias desde el eje del cilindro (ver fig. 4.22 b). La superficie de fluencia de forma de tubo hexagonal del criterio de la mxima tensin de corte, es de hecho inscripta dentro de la superficie cilndrica del criterio de energa de distorsin. Ejemplo de Aplicacin. Un punto de una pieza est solicitado segn el siguiente estado tensional: x = -500 kg/cm2 ; y = +1000kg/cm2 ; xy = +600 kg/cm2 . Si el material tiene una tensin de fluencia f = 3030 kg/cm2, determinar el Coeficiente de Seguridad aplicando: a) Criterio de Guest-Tresca (mx). b) Criterio de Von Mises (Energa de distorsin) Clculo de tensiones principales:

22

21 )600(21000500

21000500,

1 = 1210 kg/cm2 2 = -710 kg/cm2 Para cada criterio, calculamos el valor de la tensin efectiva = f(1 2 3), tal como se indica en la teora del captulo. En base a ello el factor de seguridad contra la falla = falla/c = f/c a) s/ criterio de mx Para nuestro caso las tensiones principales tienen distinto signo; calculamos en base a: c = 1 - 2 = 1210 + 710 = 1920 kg/cm2 = 3030 = 1,578 1920 b) s/ criterio de Von Mises. En este caso recurrimos a la expresin 2 = 21 + 22 1 2 2 = (1210)2 + (710)2 + 1210 x 710 ; = 1681 kg/cm2 = 3030 = 1,802 1681 Los valores calculados nos indican que el criterio de las tensiones tangenciales mximas es ms conservativo que el de la energa de distorsin. Ayuda a interpretar el significado de los factores de seguridad, recurrir a los grficos con los cuales representamos los criterios de falla. 4.2.5 Discusin y comparacin de los criterios de falla bsicos. Los tres criterios de falla discutidos hasta aqu, pueden considerarse como bsicos entre la cantidad de criterios disponibles. Tanto el criterio de la mxima tensin de corte como el de la mxima energa de distorsin, son ampliamente utilizados para predecir la fluencia en materiales dctiles, especialmente metales. Recordemos que en ambos criterios la presin hidrosttica no afecta la fluencia, y que la superficie de fluencia del tubo hexagonal del criterio de la mxima tensin tangencial est inscripto dentro de superficie del cilindro circular del criterio de la energa de distorsin. Por ello estos dos criterios nunca dan predicciones dramticamente diferentes para el comportamiento en fluencia bajo tensiones


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combinadas, no existiendo estado de tensiones donde las diferencias excedan el 15%. Esto puede verse en la fig. 4.23, dnde la distancia del eje del cilindro a las dos superficies de fluencia difieren en su cantidad mxima en los puntos dnde el crculo est ms alejado del hexgono.

Fig. 4.23 De la geometra, la distancia en esos puntos tiene una relacin de 2 /3 = 1,155. Debido a esto el factor de seguridad y las tensiones efectivas para un estado de tensiones dado, no puede diferir en ms de esa cantidad. Para EPT, 3 = 0, tal desviacin mxima ocurre para corte puro, dnde 1 = -2 = , y tambin para 1 = 2 2, como en la carga de presin de un tubo de pared delgada con sus extremos cerrados. De cualquier manera ntese que en algunas situaciones el criterio de la mxima tensin tangencial y el de la energa, dan predicciones sobradamente diferentes que el de la mxima tensin normal. Comparemos la superficie de fluencia tubular de ambos con el cubo de la fig. 4.17, y consideremos estados de tensiones cercanas al eje del tubo (1 = 2= 3 ) pero bien mas all de los contornos del cubo. Para EPT, se comparan los tres criterios en fig. 4.24. Dnde ambas tensiones principales tienen el mismo signo, el criterio de la mxima tensin tangencial es equivalente al de la mxima tensin normal. As mismo, si las tensiones principales tienen distinto signo, el criterio de la mxima tensin normal difiere considerablemente de los otros dos.

Fig. 4.24 Localizacin de falla para EPT para los tres criterios El mtodo ms conveniente para comparar experimentalmente criterios de falla es ensayar tubos huecos de pared delgada bajo varias combinaciones de esfuerzo axial, torsin y presin, produciendo as varios estados planos de tensiones. Algunos datos obtenidos de esta manera para fluencia de material dctil y fractura de material frgil se muestran en la figura 4.24. El acero de fundicin gris sigue el criterio de la tensin normal, mientras que los datos de fluencia tienden a caer entre los dos criterios de fluencia, quizs coincidiendo mejor en general con el criterio de la energa de distorsin mxima.

Al

Acero, Ni, Cr, Mo

Fundicin de hierro gris

1

1

-1

-1

2/c

1/c

Mx. Ega.Dtsin distorsinoctadricas

Mx. tensin de corte

0

0 0

DH

Mxima tensin de corte

3

1 2

Energa de distorsin

DS


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El criterio de la mxima tensin tangencial es ms conservador. Basado en datos experimentales para metales dctiles similares a los de la figura 4.24, este criterio parece presentar un lmite inferior que es raramente violado. La diferencia mxima del 15% entre los dos criterios de fluencia es relativamente pequea comparado con los factores de seguridad comnmente utilizados y las incertidumbres usualmente involucradas en el diseo mecnico, de esa forma la eleccin entre los dos carece de mayor importancia. Si se desea ser conservador, debera elegirse el criterio de la mxima tensin tangencial. 4.2.6 Teora de Mohr Los lmites de fluencia y de rotura de un material quedan definidos por las tensiones que desarrollan en los planos de deslizamientos y fractura. La tensin tangencial en el plano de fractura o escurrimiento alcanza para el estado lmite un valor mximo, que es funcin de la correspondiente tensin normal y de las caractersticas del material. Supongamos un punto sujeto a un determinado estado de tensin y hagamos crecer las tensiones principales 1 y 2 hasta alcanzar la rotura si se trata de un material frgil, o el comienzo de la fluencia si es dctil. Alcanzando el estado de rotura dibujemos la circunferencia de Mohr. Repitiendo el concepto para otros estados de tensin obtendremos toda una familia de circunferencias que corresponden a estados de rotura. La curva envolvente se denomina envolvente de Mohr o curva de resistencia intrnseca.

Fig. 4.25

Dado un estado de tensin, el mismo ser determinante de la rotura o fluencia si la circunferencia de Mohr corta la curva o es tangente a la misma.

La dificultad de esta teora radica en que la curva intrnseca puede conocerse en forma experimental. Sin embargo, tiene una ventaja importante en cuanto a que es mas general que las anteriores, siendo aplicable tanto a materiales dctiles como frgiles, aunque responde ms a las caractersticas de rotura de los ltimos.

Una de las aplicaciones ms importantes que tiene la teora de Mohr es en la Mecnica de Suelos, para el estudio de la capacidad portante de los mismos.

2

1

M5 M4

M3

M 2

M1


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Aplicacin Teoras de Falla. Hasta aqu el tema ha sido expuesto considerando que sobre el elemento sometido a un estado de tensiones combinado (circunstancia que genera dudas respecto a su condicin de resistencia), actan tensiones principales que las identificamos como 1, 2 3. Mediante distintas hiptesis comparamos dicho estado de tensiones combinado, con la capacidad del mismo material en un ensayo de traccin simple al momento de la falla, tomando como dato la tensin fl si fuera dctil o la rot si fuera frgil. Desde el punto de vista del dimensionamiento o de la verificacin, normalmente lo que pretendemos es que con sus dimensiones el elemento en estudio sea capaz de resistir los esfuerzos a los que va a ser sometido, con un cierto grado de seguridad. Para ello lo que se hace es tomar como referencia un valor admisible como valor mximo para las tensiones (en lugar del valor de falla); es decir, tomar como tensin de comparacin c = adm. En determinadas circunstancias, puede resultar conveniente disponer de ecuaciones donde el estado de tensiones combinado, est referido a la nomenclatura general (Ej: x , y , xy), en lugar de las tensiones principales. En base a los prrafos anteriores, dado un Estado Plano de Tensiones, para cada Hiptesis las ecuaciones a utilizar seran:

a) Teora de la Mxima Tensin Normal (Rankine)

xy22yxyx21 421

2,

admc ,

b) Teora de la Mxima Tensin Tangencial (Guest- Tresca) b1) Para tensiones principales de distinto signo

xy22yx21mx 421)(

21

2c

mx

xy22yxadmc 4 b2) Para tensiones principales del mismo signo

21

mx

22

mx

En este caso debemos tomar la tensin de mayor valor absoluto, con lo cual la ecuacin a utilizar es la misma que en la teora anterior

xy22yxyxadm 421

2

c) Teora de la Mxima Energa de Distorsin (H. M. Hencky)

xy2yx2y2xF 3E31u

2cF E3

1u

xy2

yx2y

2xadm 3

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