UNIVERSIDAD DE MORONFACULTAD DE ARQUITECTURA, DISEÑO, ARTE Y URBANISMO

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TECNO2017

SISTEMAS DE MEDICIÓN “Superficies y volúmenes”

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CÁLCULO DE PORCENTAJESY PROPORCIONES

PORCENTAJE

• El porcentaje es una cierta cantidad por cada cien unidades, o podemos decir, que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien.

• significa que un cierto número x por cada 100 cumple con una condición.

• su símbolo es: %

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La totalidad de un elemento o conjunto de elementos que nosotros definamos es el 100 por ciento de eso mismo, es decir:

100/100 = 1 TODO

mientras que el conjunto nulo o vacio de un elemento, en porcentaje estará dado por el Cero.

es decir: 0 / 100 = 0 NADA

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El concepto de la totalidad estará dado por el limite de un conjunto determinado.

Por ejemplo:

Si la TOTALIDAD de una hormiga corresponde al100 % de esa hormiga;

la masa corporal de sus patas, intuitivamente podemos suponer que equivaldría a un 3 % de su totalidad.

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Pero si debo calcular la masa corporal de las patas de una hormiga con respecto al conjunto de hormigas, entonces, intuitivamente, tal vez ni siquiera sea el 1%.

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1 columna 100% de la columna

Supongamos que tenemos una columna

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1 100%0,9 90%0,8 80%0,7 70%0,6 60%0,5 50%0,4 40%0,3 30%0,2 20%0,1 10%0 0%

es decir que: 0.10 es lo mismo que el 10 %, 0.20 es igual al 20 % y así sucesivamente hasta llegar a que 1 es igual al 100%, o sea la totalidad de la

columna.

Si dividimos esa columna en 10 partes iguales

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¿Y si le incrementáramos

otra columna?

2 200%1,9 190%1,8 180%1,7 170%1,6 160%1,5 150%1,4 140%1,3 130%1,2 120%1,1 110%

1 100%0,9 90%0,8 80%0,7 70%0,6 60%0,5 50%0,4 40%0,3 30%0,2 20%0,1 10%0 0%

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EL INCREMENTO (es decir, cuando crece o aumenta)

ES MAYOR A 1.

INCREMENTO > 1

EL DECREMENTO (es decir, cuando decrece o disminuye)

ES MENOR A 1.

DECREMENTO < 1

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REGLA DE TRES

La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más magnitudes conocidas y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.

Cuando se comparan dos magnitudes se denomina Regla de Tres Simple y puede ser DIRECTA O INVERSA.

Cuando se comparan tres o más magnitudes se denomina Regla de Tres COMPUESTA.

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En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos, y conociendo

un tercer valor, calculamos un cuarto valor X.

A BC X

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La REGLA DE TRES DIRECTA la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B

Por ejemplo:

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

A BC =Xmultiplica

divide

+ +

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Por ejemplo:

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

2 habitaciones 8 litros

5 habitaciones =X

5 habitaciones x 8 litrosX=

+ +

2 habitaciones

X= 20 litros

X= 40

2

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La REGLA DE TRES INVERSA la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más menos.A menos más.

Ejemplos

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 horas

6 obreros =X+ -

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A BC =Xdivide

multiplica

+

3 obreros 12 horas

6 obreros =X+ -

-

3 obreros x 12 horasX= 6 obreros

X= 6 horas

X= 36

6

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SUPERFICIE

Superficie es una palabra de origen latino que puede indicar el límite y extensión de los cuerpos.

En la superficie solo se toman en cuenta la longitud y ancho.En el Sistema Internacional de Medidas, la unidad de medidas de superficie es el metro cuadrado.

•Para medir la superficie de un solado•La cantidad de pintura que necesito •La cantidad de material que necesito para construir un tabique•Etc.

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POLIGONOS REGULARES

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ÁREA DEL RECTÁNGULOEl área del rectángulo se obtiene multiplicando la base "b" por la altura "a“

Área del rectángulo = base x altura

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ÁREA DEL CUADRADOEl cuadrado es un rectángulo con lados iguales, es decir, es un rectángulo equilátero. La base "b" y la altura "a" son iguales al lado del cuadrado. Al ser un rectángulo su área es:

Área del cuadrado = lado2 (L x L)

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ÁREA DEL ROMBOEl cuadrado es un rombo con ángulos iguales, es decir, es un rombo equiángulo. El cuadrado tiene diagonales iguales, y al ser un rombo su área es:

Área del rombo= Diagonal mayor x diagonal menos 2

Si por los vértices del rombo se traza segmentos paralelos a las diagonales mayor "D" y diagonal menor "d" se forma un rectángulo de base "b" y altura "a", en donde la base del rectángulo es igual a la diagonal menor y la altura es igual a la diagonal mayor.

El área del rectángulo es el doble del área del rombo, por lo que el área del rombo es igual al área del rectángulo dividido por dos.

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ÁREA DEL TRIÁNGULOSi al rectángulo anterior se le traza una diagonal, el rectángulo queda dividido en 2 triángulos congruentes, el triángulo N° 1 y el triángulo N° 2.

Por lo tanto el área de un triángulo se obtiene dividiendo el área del rectángulo por dos

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ÁREA DEL PARALELOGRAMO

b = base; a = altura

Transportando el área del triángulo de la parte izquierda a la derecha del paralelogramo, éste se transforma en un rectángulo.

Por lo tanto:Área del paralelogramo = Área del rectángulo

Área del paralelogramo = base x altura

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ÁREA DEL TRAPECIO

a = altura; B=Base mayor; b=base menor

Por lo tanto el área del trapecio es igual:

Transportando la distancia de la Base Mayor y de la base menor, el trapecio anterior se transforma en un paralelogramo cuya área es el doble del mismo.

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Base del paralelogramo = base = B + b, sustituyendo valores en la ecuación anterior se obtiene:

Por lo tanto el área del trapecio es igual:

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ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

a = apotema

Desarrollando el polígono regular y formando un paralelogramo se obtiene:

Donde la base es igual al perímetro del polígono regular y la altura es igual al aponetama. Por lo tanto el área del polígono regular es:

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ÁREA DEL CÍRCULO

El círculo es un polígono regular de infinitos lados, en donde el radio representa la apotema. Por lo tanto el área el círculo es igual al área del polígono regular

El perímetro del círculo es igual a

Donde:

r = radioReemplazando valores y realizando las operaciones respectivas se tiene:

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VOLUMEN

El concepto volumen proviene del latín volumen. El volumen como magnitud es entendido como el espacio que ocupa un cuerpo. La misma posee tres dimensiones: alto, ancho y largo.

Según el Sistema Internacional de Unidades, el volumen es representado por el metro cúbico.

•Para saber el volumen de un espacio, •Calcular la cantidad de un material•Calcular la cantidad de litros de una piscina•Etc.

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PRISMASEn el ámbito de la geometría, se conoce como prisma a un cuerpo cuyos límites lo establecen un par de polígonos iguales y planos, dispuestos de forma paralela, y diversos paralelogramos, de acuerdo a la cantidad de lados que dispongan sus bases. Esto quiere decir que si las bases son triángulos, estaremos hablando de un prisma triangular.

TIENEN LA CARA SUPERIOR E INFERIOR PARALELAS.

VOLUMEN = SUP . ALTURA

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PIRAMIDES

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono (la cara inferior) y por varias caras laterales, que son triángulos con vértices coincidentes en un punto denominado ápice.

VOLUMEN = SUP DE LA BASE . ALTURA 3

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CILINDRO

POSEE dos planos (CIRCULOS) perpendiculares al eje UNO SUPERIOR Y OTRO INFERIOR

VOLUMEN = SUP DE LA BASE . ALTURA

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CONO En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

VOLUMEN = SUP DE LA BASE . ALTURA

3

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