Teórico Método de Elementos Finitos
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Clculo Estructural II Dpto. Estructuras FCEFyN UNC
2014
-
Introduccin al Mtodo de los Elementos Finitos
(FEM)
Clculo Estructural II FCEFyN Dpto. Estructuras
Juan Gir - 2014
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3
Orgenes del Mtodo de los Elementos Finitos
Collar, Duncan y Frazer plantearon a la aeroelasticidad en forma matricial (1934-1938). Propusieron la formulacin y terminologa para la discretizacin del continuo utilizada actualmente.
Argyris sistematiz el concepto del ensamble de sistemas estructurales a partir de componentes elementales y algebra matricial (1954).
Turner desarroll un modelo de un ala delta para su estudio areoelastico con elementos tringulos (1953 a 1956).
Clough denomin FEM al nuevo mtodo (1960). UNC FCEFyN
CE II - 2014
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4
Orgenes del Mtodo de los Elementos Finitos
Zienkiewicz impuls la difusin del mtodo a travs de la publicacin de su reconocido libro (1960).
Wilson y Bathe contribuyeron a la utilizacin practica del mtodo con la difusin, sin costo, de excelentes programas de calculo, tales como el SAP Structural Analysis Program (1965).
La NASA inici el proyecto que condujo al NASTRAN (1965).
Westinghouse envi al mercado el programa ANSYS (1969).
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Campos de aplicacin de los Elementos Finitos
Estructuras aeronuticas Diseo de elementos de mquinas Estructuras civiles y mecnicas Transferencia de calor Aerodinmica y mecnica de los fluidos Geomecnica Hidrulica Mquinas elctricas y electromagnetismo. Bioingeniera.
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Desarrollo de modelos discretos
Sistema Fsico
Modelo Conceptual
Modelo Matemtico
Modelo Discreto
Solucin Discreta
Idealizacin Discretizacin Solucin
Errores de la Solucin
Errores de la Discretizacin y Solucin
Errores de la Formulacin Matemtica, Discretizacin y Solucin
Errores de la Idealizacin, Formulacin Matemtica, Discretizacin y Solucin
Verificacin
Validacin
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Desarrollo de modelos discretos
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Desarrollo de un elemento
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Funciones de Aproximacin
Las funciones de aproximacin de los desplazamientos son claves en la definicin de
los elementos, ya que son las que permiten representar el comportamiento en el interior del dominio en funcin del desplazamiento de unos
pocos nudos. Estas deben ser: 1) Continuas y derivables 2) Integrables 3) Representar correctamente los
desplazamientos en todo el dominio 4) Representar el movimiento de cuerpo rgido.
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Coordenadas Triangulares
(j) P
AK
AJ Ai
I
J
K
(i)
(k)
a1i
a2i
x1
x2
1 1 2 2 2 11 2
1 1 2 2 2 11 2
1 1 2 2 2 11 2
( ) ( )( , )2
( ) ( )( , )2
( ) ( )( , )2
j i j ii
i
k j k jj
j
i k i kk
k
A x x a x x ax xA AA x x a x x ax xA AA x x a x x ax xA A
= =
= =
= =
1 2 3
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
1 1 2 2
1 1 1( , ) ( ) 0 ( ) ( )2 2 2
0
i i j i j ii
j j
t t tA x x JK JP a a x x a x x a
x x x x = = =
1 2 3
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
1 1 2 2
1 1 1( , ) ( ) 0 ( ) ( )2 2 2
0
j j k j k jj
k k
t t tA x x KI KP a a x x a x x a
x x x x = = =
1 2 3
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
1 1 2 2
1 1 1( , ) ( ) 0 ( ) ( )2 2 2
0
k k i k i kk
i i
t t tA x x IJ IP a a x x a x x a
x x x x = = =
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Coordenadas Triangulares
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Funcin de aproximacin lineal
(j) P
AK
AJ Ai
I
J
K
(i)
(k)
a1i
a2i
x1
x2
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
i j ki j k
i j ki j k
u x x u x x u x x u x x
u x x u x x u x x u x x
= + +
= + +
I
J
K
I
J
K
I
J
K
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Ecuaciones Fundamentales
11 211
1 2
12 222
1 2
0
0
Fx x
Fx x
+ + = + + =
11 222
122
1 2
1
1 2
1
12
;
+
u ux x
u ux x
= =
=
11 11
22 222
12 12
1 01 0
(1 ) 10 02
E
=
Ecuaciones de Equilibrio
Ecuaciones Cinemticas
Relaciones constitutivas
111 1 1
1 1 1 1
1
ji k
i j k
u u u ux x x x
= + +
=
1 211 1 2 1 2 1 2
2 122 2 1 2 1 2 1
1 1 2 212
12 2
12 2
4
= + + =
= + + =
=
m mi i j j k k
m mi i j j k k
m m m m
u au a u a u aA A
u au a u a u aA A
u a u aA
Deformaciones en funcin de los desplazamientos
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Energa de Deformacin de un elemento ( )11 11 22 22 12 12
1 2 .2n A
W h dA = + +2 2 2 2
11 22 12 12 122 2 2(1 ) .2(1 )n A
EW h dA
= + + +
( )2 2 2 211 22 12 12 122. . 2 2(1 )2(1 )nh E AW
= + + +
Potencial de las cargas exteriores ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2n
A S
U F u F u dA f u f u dS= + + +
( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2i j k i j kn i j k i j kA A
U F u u u dA F u u u dA = + + + +
1 2 3 3A A A
AdA dA dA = = =
( ) ( )1 21 1 1 2 2 23 3i j k i j k
nF A F AU u u u u u u= + + + +
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Mnima Energa Potencial Total
n n nW U = +
1 1
N N
n nn n
W U W U= =
= + = + 1 1 1
2 2 2
0 ; 0 ; 0
0 ; 0 ; 0
i j k
i j k
u u u
u u u
= = =
= = =
211 22 22 11 1211 22 11 22 122
1 1 1 1 1 1 1
. . 2(1 )2(1 )i i i i i i i
h E A Uu u u u u u u
= + + + + +
211 22 22 11 1211 22 11 22 122
2 2 2 2 2 2 2
. . 2(1 )2(1 )
= + + + + +
i i i i i i i
h E A Uu u u u u u u
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 121
2 1 1 2 2 1 2 1 1 222
1( ) ( ) ( )4 (1 ) 2 3
1 1( ) ) ( )4 (1 ) 2 2 3
= + + = + +
m m i m m i m m m m i ii
m i m m i m m i m i ii
AFEh a u a a u a a u a u au A
AFEh u a a a a u a a a au A
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Matriz de Rigidez del Elemento Tringulo 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
ii ii ij ij ik ik
ii ii ij ij ik ik
ji ji jj jj jk jk
ji ji jj jj jk jk
ki ki kj kj kk kk
ki ki kj kj kk kk
k k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k kk k k k k k
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
3
=
i i
i i
j j
j j
k k
k k
u Fu Fu F Au Fu Fu F
112 2 1 12
121 2 2 12
212 1 1 22
221 1 2 22
14 (1 ) 2
14 (1 ) 2
14 (1 ) 2
14 (1 ) 2
= + = + = +
= +
m i m iim
m i m iim
m i m iim
m i m iim
Ehk a a a aA
Ehk a a a aA
Ehk a a a aA
Ehk a a a aA
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Ejemplo del clculo de la Matriz de Rigidez
[ ]
1 1 4 4 4 4 3 5 2 3 5 2 2 24 4 2 2 1 1 2 2 1 12
1 2 4 4 4 444 1 2 2 12
2 1 4 4 4 444 2 1 1 22
1 ( ) ( ) ( 80) ( 60)4 (1 ) 2
1 ( 60).( 80). ( 80).( 60).4 (1 ) 2
14 (1 ) 2
Ehk a a a a x x x xA
Ehk a a a aA
Ehk a a a aA
= + = + = + = + = + = + =
[ ]
2 2 4 4 4 4 3 5 2 3 5 2 2 24 4 1 1 2 2 1 1 2 22
( 80).( 60). ( 60).( 80).
1 ( ) ( ) ( 60) ( 80)4 (1 ) 2
Ehk a a a a x x x xA
+
= + = + = +
11 12 11 12 11 1233 33 34 34 35 3521 22 21 22 21 2233 33 34 34 35 3511 12 11 12 11 1243 43 44 44 45 4521 22 21 22 21 2243 43 44 44 45 4511 12 11 12 11 1253 53 54 54 55 5521 22 21 22 21 2253 53 54 54 55 55
A
k k k k k kk k k k k kk k k k k k
Kk k k k k kk k k k k kk k k k k k
=
3 4
5
20 80
10
90
A
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Otros elementos
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Tringulos de Tensin Lineal y Cuadrtica Cuadrilteros Tetraedros de Tensin Constante Prismas rectangulares Elementos placa y slidos regulares Elementos isoparamtricos Elementos axil simtricos. Bandas finitas Elementos de compuestos Elementos prismticos rectos y curvos
Tipos de elementos de dos y tres dimensiones
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Complejidad de elementos y grados de libertad
I
J
K
L
M
N
I
J
K
L M
N O
P
Q
Grado de la funcin de aproximacin
Grado de la funcin de deformacin Cantidad de Nudos
Grados de libertad
Lineal Constante 3 6 Cuadrtica Lineal 6 12
Cbica Cuadrtica 9 18
I
J
K
L
I
J K
L
Otros elementos
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Otros elementos finitos
Axil simtricos Bandas Finitas
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22 UNC FCEFyN CE II - 2014
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Tipo
s de
ele
men
tos
Grados de libertad
Funciones de aproximacin
de los desplaza-mientos
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Ensamble de elementos
UNC FCEFyN CE II - 2014
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Armado de la Matriz de Rigidez
global
11 12 11 12 11 1211 11 12 12 14 1421 22 21 22 21 22
11 11 12 12 14 1411 12 11 12 11 1221 21 22 22 24 2421 22 21 22 21 2221 21 22 22 24 24
11 12 11 12 1141 41 42 42 44 44
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
K K K K K KK K K K K KK K K K K KK K K K K K
KK K K K K K
=12
21 22 21 22 21 2241 41 42 42 44 44
0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K K K K K K
1
2
3 5
4 6
A C B D
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-
26
Armado de la Matriz de Rigidez
global
11 11 12 12 11 12 11 12 11 11 12 1211 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 1421 21 22 22 21 22 21 22 21 21 22 22
11 11 11 11 12 12 13 13 14 14 14 1411 12 11 12 11 1221 21 22 22 24 2421 22 21 22 221 21 22 22 24
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0 00 0
K K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K K K
K K K K K KK K K K K
K
+ + + ++ + + +
=
1 2224
11 12 11 12 11 1231 31 33 33 34 3421 22 21 22 21 2231 31 33 33 34 34
11 11 12 12 11 12 11 12 11 11 12 1241 41 41 41 42 42 43 43 44 44 44 4421 21 22 22 21 22 21 22 2141 41 41 41 42 42 43 43 44 4
0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0
KK K K K K KK K K K K K
K K K K K K K K K K K KK K K K K K K K K K
+ + + ++ + + 21 22 224 44 44 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K K
+
1
2
3 5
4 6
A C B D
-
27
Armado de la Matriz de Rigidez
global
1
2
3 5
4 6
A C B D
11 11 12 13 14 14
21 22 24
31 33 33 33 34 34 35 36 36
41 41 42 43 43 44 44 44 46
53 55 56
63 63 64 65 66 66
0 00 0 0
00
0 0 00 0
A B A B A B
A A A
B B C D B C D C D
A B A B C A B C C
D D D
C D C D C D
K K K K K KK K KK K K K K K K K K
KK K K K K K K K K
K K KK K K K K K
+ + + + + +
= + + + +
+ +
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
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Criterios para el ensamble de elementos generacin
de mallas
UNC FCEFyN CE II - 2014
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Criterios para la generacin de mallas
Objetivos Facilidad para la definicin del modelo y sus
datos. Adecuada representacin de las caractersticas
elsticas del objeto estudiado. Ausencia de problemas numricos Reduccin del esfuerzo de clculo (tiempo de
proceso) Facilidad para la interpretacin de los
resultados.
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Criterios para la generacin de mallas
Recomendaciones a) Utilizar elementos de forma regular. b) La malla debe respetar fielmente los contornos
del objeto representado. c) Las mallas deben densificarse en las zonas
donde se espera el mayor gradiente de tensiones.
d) Las mallas deben densificarse gradualmente, y no en forma brusca, evitndose que elementos finitos de tamaos muy diferentes compartan un mismo nudo.
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Criterios para la generacin de mallas
Recomendaciones e) Las mallas deberan ser regulares en el
sentido de que cada nudo sea compartido por una cantidad similar de elementos.
f) En un proceso de refinamiento es recomendable que las mallas mas densas estn incluidas en las anteriores.
g) Las mallas densas son costosas y deben evitarse. Solo densificar las mallas de manera localizada y no general.
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Criterios para la generacin de mallas
UNC FCEFyN CE II - 2014
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Criterios para la generacin de mallas
UNC FCEFyN CE II - 2014
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Criterios para la generacin de mallas
UNC FCEFyN CE II - 2014
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Criterios para la generacin de mallas
Malla 1 Malla 2
Malla 3 Malla 4
Malla 5
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Convergencia
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Condiciones de Consistencia
Completitud Las funciones de desplazamiento deben ser
capaces de representar los desplazamientos del cuerpo rgido y los estados de deformacin
constante. Compatibilidad
Dentro de los elementos, y a travs de sus bordes, las funciones de desplazamiento deben ser
continuas. No deben presentarse aberturas entre elementos bajo condiciones de carga.
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Condiciones de Convergencia
Consistencia Debe haber consistencia entre el modelo fsico y
el modelo discreto que lo representa. Estabilidad
A medida que se afina la malla la solucin tiende en forma asinttica a un cierto valor, a condicin
de que no haya excesiva distorsin en los elementos. Exactitud
La aproximacin asinttica tiene a valores correctos de la solucin del problema
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Convergencia
Completitud Compatibilidad
Consistencia Estabilidad
Convergencia
Exactitud UNC FCEFyN
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40
Convergencia
d
e
f
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Modelo Elementos Nudos Grados de Libertad 14.d 96 65 120 14.e 150 96 180 14.f 600 341 660
Convergencia
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-
Convergencia
UNC FCEFyN CE II - 2014
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43
Implementacin: Contexto Sistema MEF
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Implementacin: Ncleo de Calculo
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Sistemas de clculo ms difundidos
SAP (Structural Analysis Program), SAP4, SAP 6, NONSAP, SAP7 y SAP 2000, desde 1970. STRUDL (STRUctural Design Language), 1967. NASTRAN (Nasa STRuctural ANalysis), 1964. ANSYS (Analysis System), 1969. ASKA, 1970 NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis), 1978. ABAQUS, 1978. CATIA (Computer Aided Three-Dimensional Interactive), 1980. SOLIDWORKS, 1995.
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Ejemplo: chasis de auto de frmula 2
Elementos .....: 550 Nodos..........: 193 Grados Libertad: 1.000 Elementos: Vigas y TTC
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47
Ejemplo: chasis de un camin
Elementos .....: 1.400 Nodos..........: 4.400 Grados Libertad: 24.000 Elementos: General shell 8 nodos
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48
Ejemplo: anlisis de mltiple de escape
Elementos .....: 234 Nodos..........: 1.488 Grados Libertad: 4.464 Elementos: Thick Shell 16 nodos
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49
Ejemplo: modelo de carcaza de diferencial
Elementos .....: 192 Nodos..........: 1.308 Grados Libertad: 7.800 Elementos: Thick Shell 16 nodos, slidos de 20 nodos y general shell de 8 nodos
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