F12

-F21

Tercera Ley:

• Dos cuerpos A y B diferentes !!

• Acción y reacción

Remember

FA = - FB

12 F

Remember

12

MESA

x

yBloque 2

x

y

F

Análisis de fuerzas Remember

Fuerzas especiales:

• Normal

• Rozamiento

• Muelle

• Centrípeta (Movimiento circular)

Ejemplos, ejemplos y ejemplos

Leyes de Newton (el regreso)

Fuerza de rozamiento :

G.F. Goya

𝑓𝑟

Fuerza de rozamiento :𝑓𝑟

𝑓𝑟𝑓𝑟𝑒𝑚á𝑥

𝑓𝑟𝑑 = 𝜇𝑑𝐹𝑁

𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐

1,3

1,3 2,6

2,6

𝑓𝑟𝑒𝑚á𝑥

Rozamiento I:

G.F. Goya

Qué pasa aquí??

Tips:

Inercia: La tendencia de un objeto a resistir aceleraciones. Fr dinámica vs. estática.

𝑭 =∆𝒑

∆𝒕

Rozamiento II:

G.F. Goya

Trabajo tutelado ??

Fuerza de rozamiento :

G.F. Goya

𝑓𝑟

Una superficie ejerce fuerzas que descomponemos en:

G.F. Goya

𝑓𝑟

𝑁 F

Si fr=0, la única fuerza que puede ejercer la

superficie es Normal a la superficie.

Fuerza Normal y fuerza de rozamiento :

G.F. Goya

𝑓𝑟 , N

Radians

For a full circle.

r

sradians )(

rad22

r

r

r

sfullcircle

rad23601 0 rev

rad2

360rad1rad1

0

rs

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//cinematica/curvilineo/curvilineo/curvilineo1.html

𝑎 =𝑑v

𝑑𝑡=𝑑v

𝑑𝑡 𝒖𝑡 +

v2

𝑅 𝒖𝑛

Remembering…

𝑎𝑡 𝑎𝑛𝑎𝑡 = 𝛼𝑅

𝑎𝑛 =v2

𝑅

http://enc.edu/~john.u.free/PY%20201%202011-12/Frameset.htm

𝑎 =𝑑v

𝑑𝑡 𝒖𝑡 +

v2

𝑅 𝒖𝑛

𝐹𝑡𝑚

𝐹𝑅𝑚

𝑎𝑡 𝑎𝑅

Remembering…

http://enc.edu/~john.u.free/PY%20201%202011-12/Frameset.htm

Entonces hay una aceleración!

𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚v2

𝑅𝐹𝑡 = 0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚 𝑎 𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥=0

𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔 =

𝑚𝑎𝑦=0

𝑵 = 𝒎𝒈

En este caso

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚 𝑎 𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥=0

𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔 =

𝑚𝑎𝑦=0

𝑵 = 𝒎𝒈

En este caso

y

x

N

Ny

Nx

mg

y

x

Ny

Nx

mg

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚 𝑎 𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑐=

𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔 =

𝑚𝑎𝑦=0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝑎𝑛

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 = 𝑁𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝑎𝑡

y

x

Ny

Nx

mg

𝑵 ≠ 𝒎𝒈En este caso

𝑁 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑚v2

𝑅𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑡 = 0

Pero además

𝑁 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚v2

𝑅𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝑔

𝑡𝑔𝛽 =v2

𝑅𝑔

Particularidades de la fuerza T (tension en una cuerda):

G.F. Goya

𝑇La cuerda ideal que consideramos:

• Es inextensible pero compresible (sólo ‘tira’).

• No tiene masa (por ahora).

Particularidades de la fuerza T (tension en una cuerda): 𝑇

??

Particularidades de la fuerza T (tension en una cuerda): 𝑇

T T

T T

Fuerza gravitacional.

Fuerza viscosa.

Fuerza elástica.

Fuerzas Especiales (Cont.)

𝐹 ( 𝑟)

F (v)

F (x)

𝐹𝐺~M

𝐹𝐺~m

𝐹𝐺~1

𝑅2

𝐹𝐺~𝑀.𝑚

𝑅2

𝐹𝐺= ??

𝐹𝐺= GM.m

𝑅2G = 6,6738x10-11 N (m/kg)2

𝐹𝐺= GM

𝑅2𝑚 = 𝑔 𝑚

𝑔 =6,67x10−11 × 5,98x1024

6,37x106 2𝑚/𝑠2 ≅ 9,8 𝑚/𝑠2

𝐹𝐺= 𝐹 𝑟 o bien F = mg

https://phet.colorado.edu/en/simulation/gravity-and-orbits

Fuerza viscosa.

Fuerzas Especiales (Cont.)

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/stokes/stokes.html

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 =𝑚𝑔 − 𝐸 − 𝐹𝑆 = 𝑚𝑎

𝑚𝑔 −𝑚𝑙𝑔 − 𝐹𝑆 = 𝑚𝑎

𝐹𝑆 = −𝑏v𝐸 = 𝑚𝑙𝑔 = 𝜌𝑙𝑉𝑙𝑔 = 𝜌𝑙

4

3𝜋𝑅3 𝑔

𝜌𝑒𝑉𝑒𝑔 − 𝜌𝑙𝑉𝑙𝑔 − 𝑏v = 𝑚𝑎

𝜌𝑒4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝜌𝑙

4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝑏v = 𝑚

𝑑v

𝑑𝑡

𝜌𝑒4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝜌𝑙

4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝑏v = 𝜌𝑒

4

3𝜋𝑅3 𝑑v

𝑑𝑡

Si despreciamos el Empuje

𝑚𝑔 − 𝑏v = 𝑚𝑑v

𝑑𝑡

𝑔 −𝑏

𝑚v =

𝑑v

𝑑𝑡𝑑𝑡 =

𝑑v

𝑔 −𝑏𝑚 v

𝑏

𝑚= 𝛽 𝑑𝑡 =

𝑑v

𝑔 − 𝛽v

0

𝑡

𝑑𝑡 = 0

v 𝑑v

𝑔 − 𝛽v

v = v𝑙 1 − 𝑒−𝛽𝑡 v𝑙 =𝑚𝑔

𝑏donde

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/stokes/stokes.html

Felix Baumgartner

supersonic stratosphere freefall

Fuerzas Especiales (Cont.)

It took Baumgartner about 90 minutes to reach the target altitude and

his free fall was estimated to have lasted three minutes and 48

seconds before his parachutes were deployed.

On 14 October 2012, Baumgartner flew approximately 39 kilometres

(24 mi) into the stratosphere over New Mexico, United States, in a

helium balloon before free falling in a pressure suit and then

parachuting to Earth.

He sought to be the first free-falling human to break the sound barrier,

which he did handily. His top speed was calculated at 833.9 miles per

hour, or Mach 1.24. (The speed of sound is measured at 761.2 miles per

hour at sea level.)

Fuerzas Especiales (Cont.)

https://www.wired.com/2012/07/analysis-of-a-red-bull-stratos-practice-jump/

I made some more assumptions:

• The drag coefficient (C) for the

jumper was constant.

• I calculated the product of the drag

coefficient (C) and object surface

area (A) based on the terminal speed

of a skydiver at about 120 mph. It

was just a guess.

• The density of air (ρ) decreased with

altitude based on this model

described in Wikipedia.

• I originally used the universal (1/r2 )

model for the gravitational force, but

I am pretty sure you could just use a

constant mass times

little g where g is about 9.8 N/kg.

Fuerza elástica.

Fuerzas Especiales (Cont.)

La fuerza restauradora es

𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0)

𝐹 = −𝑘∆𝑥 𝑘 > 0

Qué significa F = -kDx ?

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

−𝑘𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 𝐹𝑅 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =𝑁 −𝑚𝑔 = 0

𝐹𝑅

𝐹𝑅

𝐹𝑅

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑥 =0

Si llamo𝑘

𝑚= 𝜔2…

Esta es la ecuación diferencial

del movimiento del bloque

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+𝜔2𝑥 =0

Ecuación diferencial del

oscilador armónico

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria deberá ser una función cuya

segunda derivada sea la misma función con el signo invertido.

Las únicas funciones (no complejas) que satisfacen esta condición son sen(x) y cos(x).

Pero estas dos opciones están relacionadas ya que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 = cos(𝑥)Por eso, escogemos arbitrariamente cos(x), sabiendo que podremos cambiar a sen(x) sumando una

constante.

La solución se escribe:

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿

𝑑

𝑑𝑡𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 = −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛿

Comprobemos que es una solución de la ecuación diferencial:

𝑑2

𝑑𝑡2𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 =

𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛿 =

= −𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿

−𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿 + 𝜔2 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 = 0

Entonces𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑥 = 0

Se cumple para todo valor de t.

EJEMPLO I

∆𝑦 = (𝑦𝑓 − 𝑦0)

𝑦

𝑦0

𝒚𝒇

EJEMPLO I

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 0 + 0 + 0 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =− 𝑘𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑦

∆𝑦 = (𝑦𝑓 − 𝑦0)

N

P

-ky

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 =0

−𝑘𝑦𝑓 −𝑚𝑔 = 0

𝒚𝒇 = −𝒎𝒈

𝒌𝒚𝒇 < 𝟎

𝑆𝑖 𝑀 = 2𝑚, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 =0

−𝑘𝑦𝑓𝑀 −𝑀𝑔 = 0

𝒚𝒇𝑴 = −𝟐𝒎𝒈

𝒌 𝒚𝒇𝑴 = 𝟐𝒚𝒇𝒎

−𝑘𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑦 + 𝑔 =0

𝑘

𝑚= 𝜔2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =− 𝑘𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑦∆𝑦

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+𝜔2𝑦 + 𝑔 =0

−𝑘𝑦′ = −𝑘 𝑦 + ∆𝐿 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2

𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑦′ =0 𝑘

𝑚= 𝜔2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =− 𝑘𝑦′ − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑦

∆𝐿

𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑦′ =0

𝑦′ 𝑦′ = 𝑦 + ∆𝐿

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 − 𝑘∆𝐿 − 𝑚𝑔 = 0

= −𝑘𝑦 − 𝑘∆𝐿 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2

Entonces

EJEMPLO II

Utilizar la estrategia del

Problema I y elegir el sistema

de coordenadas en la

posicion de equilibrio del

bloque.