Física IITercera parte: Óptica

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©2017 Departamento de Física

Universidad de Sonora

Dr. Mario Enrique Álvarez Ramos(Responsable)

Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano

Dr. Ezequiel Rodríguez Jáuregui

Dr. Santos Jesús Castillo

Tema 11: Difracción.

i. Introducción a la difracción. Difracción de Fresnel yde Fraunhofer.

ii. Difracción de rendijas estrechas. Resolución deabertura circular.

iii. La rejilla de difracción. Espectrómetros de rejilla.iv. Difracción de rayos X mediante cristales.

Óptica ondulatoria

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Una vez que hemos estudiado los fenómenos ópticos desde el punto devista de la óptica geométrica (que considera a la luz como rayos que sepropagan en línea recta mientras no existe un cambio en las condicionesdel medio de propagación), en esta segunda parte nos vamos a dedicar aestudiar la luz considerándola como una onda, con las implicaciones queconlleva.

La óptica ondulatoria estudia los fenómenos en los cuales la naturalezaondulatoria de la luz es fundamental, ejemplo de ello son: lainterferencia, la difracción y la polarización de la luz.

En lo que sigue daremos un recorrido por cada uno de ellos, en elorden en que han sido mencionados:

1. interferencia;2. difracción; y3. polarización..

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En el caso de las ondas electromagnéticas, como la luz, lo que setiene son campos eléctricos y magnéticos propagándose en una regióndada, de tal forma que al aplicar el principio anterior, el camporesultante es la suma (vectorial) de los campos de cada una de las ondaspresentes.

Uno de los principios fundamentales que rigen el movimientoondulatorio es el llamado principio de superposición, que expresa quedos o mas ondas pueden viajar por la misma región del espacio en formacompletamente independiente, de tal forma que el desplazamiento totalse obtiene por la adición directa de los desplazamientos que produciríacada una de las distintas ondas en ausencia de las demás.

La superposición de ondas puede resultar en una onda duplicada(interferencia constructiva) o anulada (interferencia destructiva), lo cualestá condicionado por el valor de la fase f.

Interferencia de ondas

Ejemplos de superposición de ondas

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sin(x)sin(x+0.5*pi)

sin(x)+sin(x+0.5*pi)

sin(x)sin(x+2*pi)

sin(x)+sin(x+2*pi)

sin(x)sin(x+pi)

sin(x)+sin(x+pi)

Un ejemplo arbitrarioInterferencia constructiva Interferencia destructiva

Condiciones para la interferencia

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Dada la rapidez de oscilación de la luz (del orden de 10-8s), no esposible observar el fenómeno de interferencia de manera generalizada;de tal forma que se deben satisfacer ciertas condiciones para tenerinterferencia (constructiva y/o destructiva).

Las condiciones para tener interferencia son dos:

1. Las fuentes deben ser coherentes, es decir, deben mantener una faseconstante f una respecto a la otra.

2. Las fuentes deben ser monocromática, es decir, de una misma longitudde onda, l.

La pregunta que uno se hace es ¿cómo lograr estas dos condicionesde manera sencilla? Una respuesta a esta interrogante la dio ThomasYoung en 1801.

Experimento de la doble rendija

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Hacia 1801 Young demostró la existencia de interferencia para elcaso de la luz, para ello empleó un arreglo experimental que seesquematiza en la siguiente figura.

Experimento de la doble rendija

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¿Cómo podemos explicar el patrón de difracción? De maneracualitativa, mediante el siguiente esquema podemos visualizar lassuperposiciones que dan lugar a interferencia constructiva (franjasbrillantes) e interferencia destructiva (franjas oscuras)

Experimento de la doble rendija

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El experimento también acepta una explicación cuantitativa. Paraello auxiliémonos del siguiente esquema (que no está a escala):

En este esquema, la diferencia de trayectorias ( d = r2-r1 = d Sen q )permite explicar el fenómeno de la interferencia, dependiendo si d es ono, múltiplo de la longitud de onda de la luz considerada en elexperimento.

Experimento de la doble rendija

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El valor de d determina si las dos ondas están en fase cuando arribanal punto P. Si d es cero o un múltiplo entero de la longitud de onda,entonces estarán en fase y tendremos una interferencia constructiva(franja brillante), lo anterior permite escribir a la condición deinterferencia constructiva como:

donde m recibe el nombre de número de orden, la franja central (quecorresponde a m=0) recibe el nombre de máximo de orden 0, mientrasque las siguientes dos franjas (a cada lado del máximo de orden 0), y quecorresponden a m= +1 y m= -1, se llaman máximos de orden 1, y asísucesivamente.

Experimento de la doble rendija

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Como se mencionó anteriormente, el valor de d determina si las dosondas están, o no, en fase cuando arriban al punto P. Si d es un múltiploimpar de una media longitud de onda, las ondas presentarán un desfasede 1800 y entonces tendremos una interferencia destructiva (franjaoscura), lo anterior permite escribir a la condición de interferenciadestructiva como:

Experimento de la doble rendija

md

Lybrillante

l

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Si consideramosque

y

encontramosque

En este tipo de experimentos es usual obtener expresiones para laposición de las franjas, en este caso la distancia y del punto P, respecto almáximo de orden cero (la franja brillante, justo frente al centro de ambasrendijas).

21 m

d

Lyoscuro

l

y

Cambio de fase por reflexión

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En este experimento se encuentratambién un espectro deinterferencia como en elexperimento de doble rendija,pero con el patrón invertido, esdecir, donde había zona brillanteahora aparece zona de oscuridad.

Un arreglo sencillo, pero ingenioso, para producir interferencia con unafuente luminosa (análogo al experimento de Young) es el llamado espejode Lloyd

Por ejemplo en P’ se tiene una zona de oscuridad, lo que permiteconcluir que una onda electromagnética experimenta un cambio de fasede 1800 en la reflexión de un medio que tiene mayor índice de refracciónque el medio en el cual está viajando la onda.

Cambio de fase por reflexión

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Sin cambio de fase

Cambio de fase de 1800

Difracción y polarización

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Cuando las ondas luminosas pasan por una pequeñaabertura se observa un patrón de interferencia envez de un punto definido de luz, lo que indica quela luz se dispersa mas allá de la trayectoria definidapor la abertura.

Este fenómeno se conoce como difracción ysólo puede explicarse con un modeloondulatorio de la luz.

En lugar de tener dossombras, se tiene unpatrón de difracción

Introducción a la difracción

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La difracción se presenta cuando las ondas pasan por pequeñas aberturas,alrededor de obstáculos o por bordes afilados, originando que no existanfronteras definidas entre una región sombreada y una región iluminada.

En la segunda imagen se presenta el patrón de difracción de una monedapequeña colocada a la mitad entre la fuente de luz y la pantalla, esinteresante notar que el punto brillante al centro del patrón sólo sepuede explicar mediante la óptica ondulatoria que predice interferenciaconstructiva en ese punto.

Introducción a la difracción

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En lo que sigue nos enfocaremos en la llamada difracción de Fraunhofer,la cual ocurre, por ejemplo, cuando los rayos que pasan a través de unarendija angosta son casi paralelos entre sí, tal como se muestra acontinuación

Experimentalmente se logracolocando la pantalla lejos de laabertura usada para crear ladifracción, o usando una lenteconvergente para enfocar losrayos una vez que estos hanatravesado la abertura.

Difracción de rendijas angostas

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Para estudiar la difracción de una rendija angosta podemos hacer uso delesquema mostrado para analizar cuál es la condición requerida para tenerinterferencia destructiva.

si dividimos la rendija en cuatro partesiguales se encuentra que la condición es

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lq sen

a

4 2

asen

lq

y si la dividimos en 2m partes, encontramosque la condición es

2 2

asen

m

lq

Si dividimos la rendija en dos mitades seencuentra que esta condición está dada por

Difracción de rendijas angostas

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Lo anterior se puede esquematizar en la siguiente figura que muestra elpatrón de difracción de Fraunhofer de una rendija de ancho a.

Generalizando el resultado anterior, podemos escribir la condición parainterferencia destructiva como

con 1, 2, 3,sen m ma

lq K

Difracción de rendijas angostas

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Patrón para ondas luminosas de650nm que pasan por dos rendijasde 3.0mm que están separadas18mm.

La envolvente (en color azul)representa el efecto de ladifracción, mientras que las líneasnaranjas corresponden a lasfranjas de interferencia.

Es importante mencionar que cuando tenemos mas de una rendija sedeben considerar dos efectos: la difracción recientemente expuesta y lainterferencia de las ondas que vienen de diferentes rejillas. Lasexpresiones resultante son más complicadas y los espectros también loson, así que sólo presentaremos el patrón obtenido para dos rejillas.

Resolución de abertura circular

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Dos fuentes muy cercanas producen patrones de difracción con susmáximos traslapados, mientras que dos fuentes no tan cercanas permitenla formación de patrones cuyos máximos no se traslapan, permitiendo laformación de dos imágenes resueltas.

La capacidad de los sistemas ópticos para distinguir entre objetos muypróximos es limitada debido a la naturaleza ondulatoria de la luz.

Resolución de abertura circular

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Resolución de abertura circular

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Muchos de los sistemas ópticos emplean aberturas circulares, en vez derendijas. Para estos sistemas, se ha encontrado que la condición es

El criterio de Rayleigh establece que una imagen está resuelta si elmáximo central de una imagen cae sobre el primer mínimo de otraimagen.

Así que la condición para tener una imagen resuelta en una rendija deancho a, empleando luz de longitud de onda l, es

donde q se expresa en radianes.

donde D es el diámetro de la abertura.

La rejilla de difracción

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Un dispositivo muy útil para analizar fuentes luminosas es la rejilla dedifracción que consiste de un gran número de rendijas paralelaigualmente espaciadas, y pueden ser de transmisión o de reflexión.

Las rejilla de difracción se logran cortando líneas paralelas sobre unaplaca de vidrio (rejilla de transmisión) o sobre un material reflejante(rejilla de reflexión), mediante una máquina de rayado de precisión.

La diferencia de caminos d es laresponsable de los fenómenos dedifracción e interferencia, así quela condición para el máximo deinterferencia de una rejilla es

La rejilla de difracción

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Rejilla

ColimadorTelescopio

Rendija

Fuente

Diagrama de un espectrómetro de rejilla de difracción.