7/25/2019 Termodinmica Del Gas de Fonones

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Termodinmica del gas de fonones

Si se considera un slido como un arreglo regular de tomos que forman una estructura

cristalina bien definida, debe existir una energa asociada con las vibraciones de esta red

de tomos. Pero estos tomos estn atados entre s por medio de enlaces, de modo queno pueden vibrar independientemente. Las vibraciones por tanto toman la forma de

modos colectivos, que se propagan a travs del material. Tales vibraciones de la red son

ondas de sonido, su velocidad de propagacin es la velocidad del sonido en el

material. Los modos de vibracin colectiva pueden aceptar energa slo en cantidades

discretas, estos cuantos de energa !an sido etiquetados como "fonones". #l igual que

los fotones, partculas asociadas a la energa electromagntica, los fonones obedecen la

estadstica de $ose%&instein. 'onsiderando un slido como una matri( peridica de

puntos de masa, !a limitaciones tanto en el mnimo como en el mximo de longitud de

onda asociado con un modo vibracional. Peter )ebe desarroll un modelo para

describir las propiedades termodinmicas del estado slido equivalente al modelo de$ose%&instein *que finalmente llega a la le de Planc+ para la radiacin del cuerpo

negro, que trata la radiacin electromagntica como un gas de fotones en una ca-a. &l

modelo de )ebe trata las vibraciones atmicas como un gas de fonones en una ca-a *la

ca-a es el slido. La maor parte del desarrollo terico es idntica.

&l calor especfico a volumen constante de los slidos tiene un valor aproximado de /

tanto a temperaturas medias como a temperaturas altas, sin embargo a medida que la

temperatura tiende a cero el calor especfico de los slidos tambin tiende a cero. La

explicacin a este fenmeno no se logra obtener desde la teora clsica, es otra de las

aplicaciones interesantes e importantes de la termodinmica estadstic. Para comen(ar el

estudio del calor especfico de slidos imaginaremos a los tomos que los componen

ubicados en una red cristalina, estos tomos tienen movimiento de vibracin como un

sistema de osciladores acoplados donde cada uno puede tener una frecuencia de

vibracin diferente.

Figura 1 (a) red cristalina formada por tomos que vibran como osciladores

acoplados (b)

)etalle para los modos de vibracin de un tomo especfico, cada tomo vibra en los

tres e-es de forma independiente.

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&instein supuso que las energas de vibracin en un slido pueden ser tratadas como

osciladores armnicos cunticos por tanto estn cuanti(adas. Los osciladores

armnicos cunticos poseen niveles de energa igualmente espaciados, con separacin

--------------- *0

La energa de cada nivel estada dada por la relacin

----------------- *1

#s los osciladores pueden ganar o perder energa solamente en unidades discretas de

energa

------------------------- *

&sos 2quantum3 de energa se denominan 4onones.

Si bien &instein pudo reproducir aproximadamente el comportamiento de la capacidad

calorfica de los slidos en funcin de la temperatura se encontr que un tratamiento de

los fonones como un gas de partculas era ms apropiado para describir los resultados

experimentales. Por tanto las energas de los fonones no eran las esperadas para un

oscilador sino las esperadas para partculas que no interact5an confinadas en una ca-a de

potencial tridimensional.

Por tanto las frecuencias de los fonones estn dadas por la ecuacin

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *6

La ecuacin 6 representa la velocidad del sonido no la de la lu(.

Para determinar el n5mero de ondas en cualquier intervalo de frecuencias se procede de

modo similar al anlisis efectuado para la radiacin del cuerpo negro captulo para el

n5mero de ondas dentro de un octante de una esfera de radio, encontrando que el

n5mero n total de frecuencias posibles !asta cierto valor es7 n

%%%%%%%%%%%%%%%%%% *8

Para el n5mero total de osciladores no sea infinito, este espectro de frecuencias debe

tener una frecuencia mxima , esto quiere decir que la frecuencias permitidas

para estos osciladores debe estar entre

%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *9

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y

)onde se conoce como la frecuencia de )ebe. &l n5mero total de osciladores

para el slido cristalino vendr dado por la frmula

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *:

)onde es el n5mero de tomos en la red cristalina el por las tres dimensiones

en que oscilan estos tomos. #dems sabiendo que

v=vD %%%%%%%%%%%%%%%%%%% *;

Podemos reempla(ar : ; en 8 dando como resultado

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% * el n5mero de osciladores lineales con frecuencias comprendidas entre

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *01

&stas ondas elsticas se pueden considerar como partculas de un con-unto, cada una de

ellas se considera un fonn el con-unto como un gas de fonones, estos fonones son

indistinguibles no !a restriccin al n5mero permitido de ellos por estado energtico,

por lo tanto pueden ser anali(ados desde la estadstica $ose ? &instein. &l n5meromximo de fonones en un intervalo de energa comprendido entre viene dado por

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%%%%%%%%%%%%%%% *0

/eempla(ando 01 en 0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *06

&sta ecuacin representa el n5mero de fonones con frecuencias comprendidas entrev la v+v la energa total viene representada por la integral evaluada desde

cero !asta la frecuencia de )ebe .

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *08

&n este paso definimos el factor

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *09

)onde se conoce como temperatura de )ebe, la cual es proporcional a la

frecuencia mxima permitida para los fonones *8. Para facilitar el traba-o con la ecuacin

6.08 se reali(an las siguientes sustituciones

*6.0:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *0;

/eempla(ando 0: 0; en 08

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *0

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *1=

> la energa interna es

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *10

Aientras que la capacidad calorfica

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *11

Por otro lado, cuando la temperatura es mu ba-a la integral en 6.1= queda como

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *1

> la energa interna total viene dada por

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *16

> la capacidad calorfica

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *18

Btili(ando la funcin de particin para encontrar los valores de las propiedades

termodinmicas del gas de fonones tenemos que la energa interna viene dada por la

ecuacin

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% *19

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Btili(ando nuevamente las ecuaciones 0: 0; tenemos que la energa interna viene

dada por

*6.1;

Ctese que en el factor que multiplica la integral en la ecuacin 6.1; est implcita la

ecuacin 6.1=.

Para !allar la capacidad calorfica del gas de fotones desde la funcin de particin

seguimos un anlisis similar al efectuado en las ecuaciones 19 a 1;, partimos desde

*6.1

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