TERMODINÁMICA

PRINCIPIOS Y FUNDAMENTOS

AREQUIPA, 2016

TERMODINAMICA: PRINCIPIOS Y FUNDAMENTOS

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del editor.

Impreso en Perú / Printed in Perú

Autor- Editor: Ing. David Andrés Sanga Tito Calle 1ro de Mayo Nro. 100, Paucarpata, Arequipa

Primera Edición – Diciembre del 2016 HECHO EL DEPÓSITO LEGAL EN LA BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERU N

o 2016-16997

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Arequipa, febrero del 2017

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Ing. DAVID ANDRÉS SANGA TITO Página I

RESUMEN

La termodinámica es el estudio del calor y de su transformación en energía mecánica. La palabra termodinámica proviene de la palabra griega que significa "movimiento de calor". La ciencia de la termodinámica se desarrolló a mediados del siglo XIX, antes de que se entendiese la naturaleza atómica y moléculas de la materia. Hasta aquí, nuestro estudio del calor se ha concentrado en el comportamiento microscópico de los átomos y moléculas que se agiten. La termodinámica pasa por alto los detalles moleculares de los sistemas y ocupa solo de los aspectos macroscópicos: el trabajo mecánico, la presión, la temperatura y las funciones que estos factores desempeñan en la transformación de la energía Los cimientos de la termodinámica son la conservación de la energía y el hecho de que el calor fluye de los objetos calientes a los fríos, y no de sentido opuesto. Esto nos proporciona la teoría básica de las maquinas térmicas, desde turbinas de vapor hasta reactores de fusión, y la teoría básica de los refrigeradores y las bombas de calor. El cero absoluto: ―A medida que aumenta el movimiento térmico de los átomos, se eleva la temperatura. No parece haber un límite superior de temperatura. En cambio, en el otro extremo de la escala de temperaturas existe un límite bien definido. Si reducimos continuamente el movimiento térmico de los átomos de una sustancia, la temperatura disminuye‖. El cero absoluto ya no se puede extraer más energía de una sustancia ni reducir aún más su temperatura. Esta temperatura límite es de 273 grados bajo cero en la escala de Celsius. El cero absoluto corresponde a cero grados en la escala kelvin, o termodinámica, y se escribe 0 K (que significa "cero kelvin"). A diferencia de la escala Celsius, la escala termodinámica no contiene números negativos. Los grados de la escala kelvin son del mismo tamaño que los de la escala Celsius. Así, el hielo se funde a 0°C, o 273, y el agua hierve a 100°C, o 373 K. la escala kelvin se llama así en honor del físico británico Lord Kelvin, quien acuño la palabra termodinámica y fue el primero en proponer esta escala. En resumen esta ley dice que "si dos objetos A y B están por separado en equilibrio térmico con un tercer objeto C, entonces los objetos A y B están en equilibrio térmico entre Primera ley de la termodinámica En el siglo XVIII se pensaba que el calor que el calor era un fluido invisible, llamado calórico, que fluía como el agua de los objetos calientes a los objetos fríos. El calórico se conservaba en toda interacción; este descubrimiento condujo la formulación de la ley de conservación de la energía. En la década de 1840 se hizo evidente que el flujo de calor no era otra cosa que un flujo de energía. La teoría del calórico fue abandonada poco a poco. Hoy en día consideramos el calor como una forma de energía. "La energía no se crea ni se destruye" fue propuesto por Nicolás Leonard Sadi Carnot en 1824. Cuando la ley de conservación de la energía se aplica a los sistemas térmicos la llamamos primera ley de la termodinámica. En términos generales, se expresa de la siguiente manera: Siempre que un sistema recibe calor, este se transforma en una cantidad igual de alguna otra forma de energía. Por sistema entendemos cualquier grupo de átomos, moléculas partículas u objetos del que deseamos ocuparnos. El sistema puede ser el vapor de agua de una máquina de vapor, toda la atmosfera terrestre, o incluso el cuerpo de un ser viviente. Es importante definir tanto lo que el sistema contiene como lo que está fuera de él. Si suministramos energía calorífica al vapor de agua de una máquina de vapor, a la atmosfera terrestre o al cuerpo de un ser vivo, estos sistema podrán realizar trabajo sobre objetos extremos. La energía suministrada hace una de dos cosas, o ambas: (1) aumenta la energía interna del sistema si permanece en el o (2) realiza trabajo externo si sale del sistema. Así pues, en términos más específicos la primera ley de la termodinámica establece que

Calor suministrado= aumento en la Energía Interna + trabajo externo realizado La primera ley de la termodinámica es razonable. Así pues vemos que si suministramos una cierta cantidad de calor a una máquina de vapor de agua y el resto se transforma en trabajo mecánico. La primera ley de la termodinámica es simplemente una versión térmica de la ley de conservación de la energía. La adición de calor no es la única forma de aumentar la energía interna de un sistema. Si hacemos igual a cero el término de "calor suministrado" de la primera ley, veremos que los cambios de energía interna son iguales al trabajo realizado sobre el sistema o por él. Si realizamos trabajo sobre un sistema (comprimiéndolo, por ejemplo), su energía interna aumenta. De esta manera hemos elevado la temperatura del sistema realiza trabajo (expandiéndose contra su entorno, por ejemplo), su energía interna disminuye el sistema se enfría sin que extraiga calor. Procesos adiabáticos El proceso de compresión o expansión de un gas durante el cual no entra ni sale calor del sistema se describe como adiabático ("impasible", en griego). Se consiguen cambios adiabáticos de volumen llevando a cabo el proceso con rapidez, de modo que haya poco tiempo para para que el calor entre o salga (como en el caso de la bomba para bicicleta), o aislando térmicamente el sistema de su entorno (con espuma de poli estireno, por ejemplo). La comprensión y la expansión se verifican en solo unas centésimas de segundo, un intervalo demasiado breve para que salga una cantidad apreciable de energía calorífica de la cámara de combustión. Cuando la comprensión es muy alta, como en el caso de un motor a diésel, las temperaturas que se alcanzan son lo bastante elevadas como para encender la mezcla de combustible sin necesidad de usar una bujía. Los motores de diésel no tienen bujía. Así pues, cuando se realiza trabajo sobre un gas comprimiéndolo adiabáticamente, el gas gana energía interna y se calienta. Un gas que experimenta una expansión adiabática realiza trabajo sobre su entorno y cede energía interna, así que se enfría. Se puede modificar la temperatura del aire agregado o quitado calor, cambiando la presión del aire, o por ambos medios. El aire absorbe calor de la energía solar, de la radiación terrestre de onda larga, de la condensación de

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humedad o por contacto con el suelo caliente. Existe muchos procesos atmosféricos, que por lo común se lleva a cabo en periodos de un día o menos, en los cuales la cantidad de calor suministrada o extraída es muy pequeña, lo suficiente para que el proceso sea prácticamente adiabático. Tenemos entonces la forma adiabática de la primera ley: Cambio de la temperatura del aire ~ cambio de presión Los procesos adiabáticos atmosféricos se llevan a cabo en grandes masas de aire cuyas dimensiones son del orden kilómetros. Llamaremos burbujas a estas grandes masas de aire. Debido a su gran tamaño, las distintas temperaturas o presiones del aire mezclan solo en sus bordes y no alteran de manera apreciable la composición general de las burbujas. Cuando una burbuja de aire sube por la ladera de una montaña, su presión disminuye y permite que la burbuja se expanda y se enfrié. Un ejemplo extraordinario de este calentamiento adiabático es el "Chinook" un viejo que sopla de las montañas rocallosas sobre la gran planicie. La atmosfera comprime el aire frio que desciende por la ladera de las montañas y este se calienta considerablemente. Segunda ley de la termodinámica Se enuncia de muchas maneras, pero la más sencilla es esta: "el calor jamás fluye espontáneamente de un objeto frio a un objeto caliente". El calor fluye en un solo sentido: cuesta abajo, de lo caliente a lo frio. En invierno, el calor fluye del interior de una casa caliente al frio aire exterior. En verano, el calor fluye del cálido aire exterior al fresco interior de las casas. El sentido de flujo del calor va de lo caliente a lo frio. Se puede hacer que el calor fluya en sentido contrario, pero solo a expensas de un esfuerzo externo, como en el caso de una bomba de calor que eleva la temperatura del aire, o de los acondicionadores de aire que reducen su temperatura. Sin un esfuerzo externo, el flujo de calor va de lo caliente a lo frio. Máquinas térmicas y la segunda ley Todo el trabajo que realizamos para vencer la fricción se convierte en calor. Pero el proceso inverso, la transformación total de calor en trabajo, es imposible. Lo más que se puede hacer es convertir parte del calor en trabajo mecánico. La primera máquina térmica que lo consiguió fue la máquina de vapor, inventada alrededor del año 1700. Una maquina térmica es cualquier dispositivo que transforma energía interna en trabajo mecánico. La idea fundamental tras el funcionamiento de una maquina térmica, ya sea una máquina de vapor, un motor de combustión interna o un motor de reacción, es que se puede obtener trabajo mecánico solo cuando fluye calor de una temperatura elevada a una temperatura baja. En cualquier maquina térmica hablamos de disposición. El calor fluye de un depósito a una temperatura alta hacia un depósito a una temperatura baja. Toda máquina térmica absorbe calor de un depósito a mayor temperatura y aumenta su energía interna, convierte parte de esta energía en trabajo mecánico y cede la energía restante en forma de calor a un depósito a menor temperatura que se conoce en general como sumidero de calor. La segunda ley nos dice que no existe maquina térmica alguna capaz de convertir todo el calor suministrado en energía mecánica. Solo una fracción de calor se puede transformar en trabajo, y el esto se desecha. Podemos enunciar la segunda ley aplicada a maquinas térmicas de la siguiente manera: Cuando una máquina térmica que funciona entre dos temperaturas, TC y TF, realiza trabajo, solo una parte de la energía que suministra TC se puede convertir en trabajo. Y el resto se desecha en forma de calor a TF. Antes de que se entendiese la segunda ley se pensaba que una maquina térmica con muy poco fricción podría transformar casi toda la energía suministrada en trabajo útil. Pero no es así. En 1824 el ingeniero francés Sadi Carnot analizo determinadamente los ciclos de comprensión y, expansión de una maquina térmica y llevo a cabo un descubrimiento fundamental. Carnot demostró que la fracción máxima de calor que se puede transformar en trabajo útil, aun en condiciones ideales, depende de las diferencias de temperatura entre el depósito caliente y el sumidero frio. Su ecuación proporciona la eficiencia ideal, o eficiencia de Carnot de una maquina térmica

c f

c

T -TEficiencia Ideal =

T

La ecuación de Carnot establece el límite superior de eficiencia de toda máquina térmica. Cuando más alta es la temperatura de operación (en comparación de temperatura de escape) de una maquina térmica cualquiera, ya sea el motor de un automóvil ordinario, el de un barco que funciona con energía nuclear o el de un avión a reacción, mayor es la eficiencia de esta máquina. En la práctica hay fracción en todas las máquinas y la eficiencia es siempre inferior a la ideal. Así pues, mientras que la ineficiencia de muchos dispositivos se debe solamente a la fricción, en el caso de las maquinas térmicas el concepto dominante es la segunda ley de la termodinámica; solo una parte del calor suministrado se puede convertir en trabajo, incluso cuando no hay fricción. El orden tiende al desorden La primera ley de la termodinámica afirma que la energía no se puede crear ni destruir. La segunda ley añade que en toda transformación de energía una porción de la misma se degrada y se convierte en energía de desecho. La energía de desecho no está disponible y se pierde. Otra forma de decir esto es que la energía organizada se degrada a energía a desorganizada. La energía de la gasolina es energía organizada y utilizable. Cuando se quema gasolina en el motor de un automóvil, una parte de su energía realiza trabajo útil, para mover los pistones, otra porción calienta el motor y el entorno, y la parte restante sale por el escape. La energía útil se degrada a formas no útiles y no está disponible para usar de nuevo el mismo trabajo, como impulsar otro automóvil. La energía organizada en forma de electricidad que alimenta los sistemas de iluminación eléctrica en nuestros hogares y edificios de oficinas se degrada a energía calorífica. Esta energía es una importante fuente de calor en muchos edificios de oficinas en las regiones de clima templado. La energía organizada tiende a adoptar formas

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desorganizadas. En este sentido más amplio, podemos enunciar la segunda ley de otra manera: "los sistemas naturales tienden a avanzar hacia estados de mayor desorden". Tercera ley de la termodinámica (entropía) La idea de que la anergia ordenada tiende a transformarse en energía desordenada está contenida en el concepto de entropía. La entropía es la medida de la cantidad de desorden. Si el desorden aumenta, la entropía aumenta. La segunda ley estableces que en los procesos naturales la entropía aumenta siempre a la larga. Las moléculas de un gas que escapan de un frasco pasan de un estado relativamente ordenado a un estado desordenado. Con el tiempo, las estructuras organizadas se convierten en ruinas desorganizadas. Las cosas se echan a perder por si solas. Siempre que se permite que un sistema físico distribuya libremente su energía lo hace de tal modo que la entropía aumenta y la energía disponible en el sistema para realizar trabajo disminuye. En los sistemas físicos la entropía aumenta normalmente. Sin embargo, cuando se suministra trabajo en el sistema, como en el caso de los organismos vivos, la entropía disminuye. Todo ser viviente, desde las bacterias y los arboles hasta los seres humanos, extrae energía de su entorno y la utiliza para incrementar sus propio grado de organización. La entropía se puede expresar como una ecuación matemática que dice que el aumento de entropía, s , en un sistema termodinámico ideal es igual a la cantidad de calor suministrado al sistema, Q , dividida entre la temperatura, T, del sistema: S= Q/T. Varios términos que hemos usado aquí: sistemas, equilibrio y temperatura serán definidos rigurosamente más adelante, pero mientras tanto bastará con su significado habitual. En la Termodinámica hay dos leyes básicas, y ambas se pueden enunciar de modo de negar la posibilidad de ciertos procesos. La Primera Ley establece que es imposible un proceso cíclico en el cual una máquina produzca trabajo sin que tenga lugar otro efecto externo, es decir niega la posibilidad de lo que se suele llamar "máquina de movimiento perpetuo de primera especie". La Segunda Ley no se puede enunciar de modo tan preciso como la primera sin una discusión previa. Sin embargo, hecha la salvedad que ciertas definiciones se deben dar todavía, podemos decir que la Segunda Ley establece que es imposible un proceso cíclico en el cual una máquina realice trabajo intercambiando calor con una única fuente térmica. La Termodinámica se ocupa de estudiar procesos y propiedades macroscópicas de la materia y no contiene ninguna teoría de la materia.

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INTRODUCCIÓN

La extracción y generación de energía a partir de productos y procesos naturales, ha sido un aporte importante al desarrollo de nuestra moderna sociedad tecnológica. Es posible controlar o usar el trabajo, la potencia y el calor, a través de la extracción de dicha energía. La termodinámica es la ciencia que explica y determina cuanta energía se puede extraer y con qué eficiencia. Ella se ocupa de la energía y sus transformaciones en los sistemas desde un punto de vista macroscópico. Sus leyes son restricciones generales que la naturaleza impone en todas sus transformaciones. La termodinámica es una teoría de una gran generalidad, aplicable a sistemas de estructura muy elaborada con todas las formas de propiedades mecánicas, eléctricas y térmicas complejas. Puesto que la termodinámica pone énfasis en las propiedades térmicas, es conveniente idealizar y simplificar las propiedades mecánicas y eléctricas de los sistemas que estudiaremos, esto es posible, a través de los modelos matemáticos y físicos que representan cada una de las propiedades, y que por lo tanto hacen posible su tratamiento manual, desde los principios básicos hasta los conceptos y leyes que parecen complejos, pero que estudiados con un profundo sentido de secuencialidad y aplicabilidad, estos nos abren las puertas hacia nuevos descubrimientos y nuevas utilizaciones de la energía en la forma que se presenten y en el estados de agregación que los encontremos. En nuestro estudio de termodinámica idealizaremos nuestros sistemas para que sus propiedades mecánicas y eléctricas sean lo más triviales posibles. Cuando el contenido esencial de la termodinámica haya sido desarrollado, será una cuestión simple extender el análisis a sistemas con estructuras mecánicas y eléctricas relativamente complejas. La cuestión esencial es señalar que las restricciones en los tipos de sistemas considerados no son limitaciones básicas sobre la generalidad de la teoría termodinámica, y sólo se adoptan meramente para la simplificación expositiva. Restringiremos (temporalmente) nuestra atención a sistemas simples, definidos como sistemas que son macroscópicamente homogéneos, isotrópicos, y desprovistos de carga eléctrica, que son lo suficientemente grandes para que los efectos de frontera puedan ser ignorados, y que no se encuentran bajo la acción de campos eléctricos, magnéticos o gravitacionales. En casi todos los eventos de la vida cotidiana es posible encontrar aplicaciones de la termodinámica. Los chips o circuitos electrónicos que encontramos en los computadores, televisores inteligentes, celulares, cámaras digitales de video, etc., se han reducido de tamaño cada vez más, debido a que los ingenieros y técnicos han aplicado los principios de la termodinámica y la transferencia de calor para enfriar tales circuitos, de manera que funcionen correctamente de acuerdo a sus especificaciones, funcionalidades propias del aparato. Finalmente si se quiere evaluar realmente los efectos de la contaminación ambiental, es necesario comprender los principios y fundamentos de la termodinámica.

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INDICE

RESUMEN ................................................................................................................................................................... I INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................................ IV INDICE........................................................................................................................................................................ V CAPÍTULO 1 SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS SI 1.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................. 1 1.2. UNIDADES BÁSICAS ........................................................................................................................................... 2

1.2.1 LONGITUD ................................................................................................................................................. 2 1.2.1.1. HISTORIA DE LA DEFINICIÓN DEL METRO ......................................................................................... 3 1.2.2 MASA ......................................................................................................................................................... 3 1.2.2.1 HISTORIA................................................................................................................................................ 3 1.2.3 TIEMPO ..................................................................................................................................................... 4 1.2.3.1 Uso correcto del símbolo en textos ........................................................................................................... 4 1.2.4 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA ............................................................................................... 4 1.2.4.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................ 4 1.2.4.2 EXPLICACIÓN ......................................................................................................................................... 4 1.2.4.3 PROPUESTA A DEFINICIÓN FUTURA .................................................................................................... 5 1.2.5 TEMPERATURA ......................................................................................................................................... 5 1.2.5.1 FACTORES DE CONVERSIÓN................................................................................................................ 5 1.2.5.2 TEMPERATURA Y ENERGÍA .................................................................................................................. 5 1.2.6 CANTIDAD DE SUSTANCIA ....................................................................................................................... 5 1.2.6.1 HISTORIA................................................................................................................................................ 6 1.2.6.2 ACLARACIONES ..................................................................................................................................... 6 1.2.7 INTENSIDAD LUMINOSA ........................................................................................................................... 6

1.3. UNIDADES DERIVADAS ...................................................................................................................................... 7 1.3.1 NORMAS ORTOGRÁFICAS PARA LOS SÍMBOLOS................................................................................... 7 1.3.2 PREFIJOS DEL SI ...................................................................................................................................... 7 1.3.3 PREFIJOS DECIMALES ............................................................................................................................. 7

1.4. USAR LA NOTACIÓN CIENTÍFICA ....................................................................................................................... 7 1.4.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................................... 7 1.4.2 EJEMPLOS ................................................................................................................................................ 8 1.4.3 USAR LA NOTACIÓN EXPONENCIAL PARA ESTIMAR UN RESULTADO .................................................. 8 1.4.4 PREFIJOS MÁS USADOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES .............................................. 8 1.4.5 EMPLEO FUERA DEL SI ............................................................................................................................ 9 1.4.6 UNIDADES FUERA DEL SI ......................................................................................................................... 9 1.4.7 INFORMÁTICA: PREFIJOS BINARIOS ....................................................................................................... 9 1.4.8 AMPLIACIONES PROPUESTAS ................................................................................................................10 1.4.9 RESUMEN DE LAS REGLAS DE EMPLEO ................................................................................................10 1.4.10 UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS ―SI‖ .............................................................10 1.4.10.1 UNIDADES FUNDAMENTALES.- ..........................................................................................................10 1.4.10.2 UNIDADES DERIVADAS SI CON NOMBRES Y SÍMBOLOS ESPECIALES EXPRESADAS EN

UNIDADES FUNDAMENTALES, SUPLEMENTARIAS Y DERIVADAS ...........................................11 1.4.10.3 PREFIJOS NUMERICOS Y SUS SÍMBOLOS ........................................................................................12 1.4.10.4 PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS ..................................................................12

CAPÍTULO 2 ESTÁTICA DE FLUÍDOS 2.1 LA HIDROSTÁTICA ..............................................................................................................................................15 2.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS LÍQUIDOS ..............................................................................................................15 2.3 PRINCIPIO DE PASCAL .......................................................................................................................................15 2.4 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES .............................................................................................................................15

2.4.1 DENSIDAD ................................................................................................................................................16 2.4.2 Tipos de densidad ......................................................................................................................................16 2.4.3 Cambios de densidad.................................................................................................................................17 2.4.4 Medición ....................................................................................................................................................17 2.4.5 PESO ESPECÍFICO ..................................................................................................................................17 2.4.6 NORMATIVA INTERNACIONAL .................................................................................................................18 2.4.7 MAGNITUD ESPECÍFICA ..........................................................................................................................18 2.4.8 Presión de un gas ......................................................................................................................................19 2.4.9 Propiedades de la presión en un medio fluido .............................................................................................19 2.4.10 Aplicaciones ............................................................................................................................................19

2.5 PRESIÓN EJERCIDA POR LOS LÍQUIDOS ..........................................................................................................20 2.6 PRESIÓN HIDROSTÁTICA Y PRENSA HIDRÁULICA. ..........................................................................................20

2.6.1 Presión en un fluido ...................................................................................................................................20 2.6.2 Presión hidrostática....................................................................................................................................20 2.6.3 Presión media (Aguilar Peris José, 2001), ..................................................................................................20 2.6.4 Presión hidrodinámica ................................................................................................................................21 2.6.5 Principio de Pascal ....................................................................................................................................21

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2.6.6 Prensa hidráulica .......................................................................................................................................21 2.6.7 Prensa hidráulica .......................................................................................................................................22 2.6.8 Presión de vapor ........................................................................................................................................23

2.7 MANÓMETRO METÁLICO O ANEROIDE .............................................................................................................24 2.7.1 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN DE LOS NEUMÁTICOS CON UN MANÓMETRO ..........................................24 2.7.2 MEDICIÓN DE BAJAS PRESIONES ..........................................................................................................24

CAPITULO 3 HIDRODINÁMICA 3.1 CARACTERÍSTICAS Y LEYES GENERALES .......................................................................................................38 3.2 CAUDAL...............................................................................................................................................................38 3.3 FLUIDO ................................................................................................................................................................38 3.4 FLUIDOS IDEALES ..............................................................................................................................................39 3.5 PROPIEDADES ....................................................................................................................................................39 3.6 DESCRIPCIÓN DE LOS FLUIDOS........................................................................................................................39 3.7 AGITACIÓN MOLECULAR ...................................................................................................................................40 3.8 PRINCIPIO DE BERNOULLI .................................................................................................................................40 CAPÍTULO 4 ESTADO GASEOSO 4.1 ESTADO GASEOSO ............................................................................................................................................62 4.2 PLASMA...............................................................................................................................................................62 4.3 PERFIL DE LA IONÓSFERA ................................................................................................................................62 4.4. CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN .................................................................................................................63 4.5. CONDENSADO FERMIÓNICO ............................................................................................................................63 4.6. OTROS ESTADOS DE LA MATERIA ...................................................................................................................63 4.7. CAMBIOS DE ESTADO .......................................................................................................................................63 4.8. CONCEPTO DE ESTADO GASEOSO..................................................................................................................63 4.9. TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR (T.C.M.) .........................................................................................................64 4.10. OTRAS ECUACIONES .....................................................................................................................................64 4.11. ECUACION GENERAL DE LOS GASE IDEALES ..............................................................................................65 4.12. LEY DE LOS GASES IDEALES .........................................................................................................................65 4.13. TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR .....................................................................................................................66 4.14. PROCESOS GASEOSOS PARTICULARES O RESTRINGIDOS .......................................................................66

4.14.1 LEY DE BOYLE-MARIOTTE: ...................................................................................................................66 4.14.1.2 LEY DE JACQUES CHARLES: (Proceso isobárico), donde (n, P constantes) .........................................67 4.14.1.3 LEY DE GAY LUSSAC: Proceso isócoro, isométrico o isovolumétrico, (n, V constantes) .........................68 4.14.1.5 LEY DE AMAGAT VOLÚMENES PARCIALES .......................................................................................69 4.14.1.6 LEY DE GRAHAM .................................................................................................................................69

4.15. VELOCIDAD DE DIFUSIÓN DE LOS GASES ....................................................................................................70 4.16. COMPORTAMIENTO DE LOS GASES..............................................................................................................70 CAPÍTULO 5 SUSTANCIA PURA 5.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES ..........................................................................................................................79

5.1.1 SISTEMA...................................................................................................................................................79 5.1.2 ESTADO DE UN SISTEMA ........................................................................................................................79 5.1.3 SUSTANCIA PURA....................................................................................................................................79

5.2 RELACIÓN H-P-T .................................................................................................................................................79 5.3 PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA .......................................................................................................82 5.4 PROPIEDADES INDEPENDIENTES.- ...................................................................................................................82 5.5 CAMBIO DE FASE O TRANSFORMACIÓN...........................................................................................................82 5.6 DEFINICIONES ....................................................................................................................................................82 5.7 CAMBIO DE FASE LÍQUIDO-VAPOR ...................................................................................................................83 CAPÍTULO 6 TERMOMETRIA Y DILATACIÓN CALORIMETRIA.........................................................................................................................................................98 EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR ................................................................................................................. 101 CAMBIO DE FASE ................................................................................................................................................... 102 EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR ................................................................................................................. 103 CAPÍTULO 7 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................ 105 7.1 HISTORIA .......................................................................................................................................................... 105 7.2DESCRIPCIÓN .................................................................................................................................................... 105 7.3APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY ............................................................................................................... 106 7.4 SISTEMAS ABIERTOS EN ESTADO ESTACIONARIO ........................................................................................ 106 7.5 SISTEMA AISLADO ............................................................................................................................................ 106 7.6 CALOR ............................................................................................................................................................... 106

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7.7 CALOR LATENTE DE UN CAMBIO DE FASE ..................................................................................................... 108 7.8 TRABAJO TERMODINÁMICO ............................................................................................................................ 108 7.9 EL TRABAJO EN UN DIAGRAMA P-V ................................................................................................................ 108 7.10 ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL ........................................................................................................... 109 7.11 PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA .............................................................................................................. 110 7.12 FORMA DIFERENCIAL DEL PRIMER PRINCIPIO............................................................................................. 110 7.13 PROCESO ISOENTRÓPICO ............................................................................................................................ 113 CAPÍTULO 8 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA 8.1 CONCEPTOS PREVIOS ..................................................................................................................................... 123 8.2 REPRESENTACIÓN SINTÉTICA DE UNA MÁQUINA TÉRMICA ......................................................................... 123 8.3 EFICIENCIA DE UNA MÁQUINA TÉRMICA FUENTE .......................................................................................... 124 8.4 MÁQUINA REFRIGERADORA ............................................................................................................................ 124 8.5 REPRESENTACIÓN SINTÉTICA DE UNA MÁQUINA REFRIGERADORA (MR) .................................................. 124 8.6 COEFICIENTE DE OPERACIÓN (βR).................................................................................................................. 124 8.7 BOMBA DE CALOR ............................................................................................................................................ 125 8.8 RENDIMIENTO TÉRMICO .................................................................................................................................. 125 8.9 CÁLCULO DEL RENDIMIENTO PARA LAS DISTINTAS MÁQUINAS TÉRMICAS ................................................ 126 8.10 CLASIFICACIÓN DE LOS MOTORES TÉRMICOS ............................................................................................ 127 8.13 ENUNCIADO DE KELVIN-PLANCK................................................................................................................... 130 8.14 PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES ............................................................................................. 130 8.15. TEOREMA DE CARNOT .................................................................................................................................. 131 8.16. APLICACIÓN A REFRIGERADORES Y BOMBAS DE CALOR .......................................................................... 131 8.17 ENUNCIADO DE CLAUSIUS ............................................................................................................................ 132 8.18 PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES ............................................................................................. 132 CAPÍTULO 9 TRANSFERENCIA DE CALOR 9.1 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN .......................................................................................... 144 9.2 CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE UNA PARED PLANA .......................................................................................... 144 9.3 CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE PAREDES PLANAS EN SERIE .......................................................................... 144 9.4 ANALOGÍA ELÉCTRICA DE LA CONDUCCIÓN .................................................................................................. 145 9.5 MATERIALES DISPUESTOS EN PARALELO ..................................................................................................... 145 9.6 RESISTENCIA DE CONTACTO .......................................................................................................................... 146 9.7 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA .............................................................................................................................. 146 9.8 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ........................................................................................... 146 9.9 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION ............................................................................................... 147 9.10 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN ................................................................................................................... 147 9.11 FLUJO DE CALOR A TRAVÉS DE UN CILINDRO HUECO................................................................................ 148 9.12 FLUJO DE CALOR A TRAVÉS DE UNA ESFERA HUECA ................................................................................ 148 9.13 COEFICENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR .............................................................................. 149 CAPÍTULO 10 ENTROPÍA (GIE) 10.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................. 166 10.2. DESIGUALDAD DE CLAUSIUS ....................................................................................................................... 166 10.3. DEFINICIÓN DE ENTROPÍA ............................................................................................................................ 166

10.3.1 VARIACIÓN DE ENTROPÍA ................................................................................................................... 166 10.3.2 ENTROPÍA ABSOLUTA ......................................................................................................................... 167

10.4 ECUACIONES DE GIBBS ................................................................................................................................. 167 10.4.1 Para la energía interna ........................................................................................................................... 167 10.4.2 DIAGRAMAS T-S ................................................................................................................................... 167 10.4.3 Para la entalpía ...................................................................................................................................... 168

10.5. PRINCIPIO DEL AUMENTO DE ENTROPÍA..................................................................................................... 168 10.5.1 CICLO PARCIALMENTE IRREVERSIBLE .............................................................................................. 168 10.5.2 PRINCIPIO DEL AUMENTO DE ENTROPÍA........................................................................................... 168

10.6. PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA ........................................................................................................................ 169 10.7. VARIACIÓN DE ENTROPÍA EN UNA MÁQUINA TÉRMICA .............................................................................. 169

10.7.1 VARIACIÓN DE ENTROPÍA DE UN FOCO TÉRMICO ............................................................................ 169 10.7.2 VARIACIÓN EN UN CICLO DE LA MÁQUINA ........................................................................................ 169 10.7.2.1 DEL SISTEMA .................................................................................................................................... 170 10.7.2.2 DEL AMBIENTE .................................................................................................................................. 170 10.7.2.3 DEL UNIVERSO ................................................................................................................................. 170 10.7.2.4 RELACIÓN CON OTROS ENUNCIADOS ............................................................................................ 170

10.8. ENTROPÍA Y TRABAJO PERDIDO .................................................................................................................. 170 10.8.1 CASO DE UNA MÁQUINA TÉRMICA ..................................................................................................... 170 10.8.2 CASO DE UN REFRIGERADOR ............................................................................................................ 171

10.9. ECUACIONES DE LA ENTROPIA .................................................................................................................... 172 10.9.1 ECUACIONES TdS ................................................................................................................................ 172

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10.10. TERCER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA............................................................................................. 172 10.10.1 ENUNCIADO DE NERNST................................................................................................................... 172 10.10.2 CONSECUENCIAS FÍSICAS ................................................................................................................ 173 10.10.2.1 CAPACIDADES CALORÍFICAS ......................................................................................................... 173 10.10.2.2 COEFICIENTES TÉRMICOS ............................................................................................................. 173 10.10.3 CÁLCULO DE ENTROPÍAS ABSOLUTAS ............................................................................................ 173 10.10.4 INACCESIBILIDAD DEL CERO ABSOLUTO ........................................................................................ 173

10.11. Máquina térmica que alimenta a refrigerador ................................................................................................... 195 10.12. Variación de entropía con un baño térmico ..................................................................................................... 196 10.13. Entropía de una mezcla de gases ................................................................................................................... 197 10.14. Producción de entropía en un frigorífico real ................................................................................................... 199 10.15. Variación de entropía a volumen y presión constante ...................................................................................... 200 10.16. Producción de entropía en un frigorífico .......................................................................................................... 201 10.17. Variación de entropía de dos cámaras de gas ................................................................................................. 202 10.18 Producción de entropía por descompresión ..................................................................................................... 203 10.19 Variación de entropía por compresión .............................................................................................................. 205 10.20. Producción de entropía en un frigorífico real ................................................................................................... 208 10.21. Ejemplo de máquina térmica (GIE) ................................................................................................................. 210 CAPITULO 11 MODELOS TERMODINÁMICOS DE LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA 11.1. EJEMPLO DE MÁQUINA TÉRMICA ................................................................................................................ 211 11.2. RENDIMIENTO DE UN CICLO RECORRIDO POR UN GAS IDEAL .................................................................. 211 11.3. SOBRECOSTE ORIGINADO POR LA LUZ DE UN FRIGORÍFICO .................................................................... 213 11.4. RENDIMIENTO DE APARATOS HIPOTÉTICOS .............................................................................................. 214 11.5. RENDIMIENTO DE UNA MÁQUINA TÉRMICA REAL ....................................................................................... 215

SOLUCIÓN ...................................................................................................................................................... 215 11.6. EJEMPLO DE FRIGORÍFICO DE CARNOT ...................................................................................................... 215

SOLUCIÓN ...................................................................................................................................................... 216 11.7. RENDIMIENTO DE UN APARATO DE AIRE ACONDICIONADO ...................................................................... 216 11.8. VARIACIÓN DE ENTROPÍA EN EL PASO DE HIELO A VAPOR....................................................................... 217 11.9. INMERSIÓN DE UN BLOQUE METÁLICO EN AGUA ....................................................................................... 219

SOLUCIÓN ...................................................................................................................................................... 219 11.10. COMPARACIÓN DE DOS VARIACIONES DE ENTROPÍA .............................................................................. 220 11.11. VARIACIÓN DE ENTROPÍA CON UN BAÑO TÉRMICO ................................................................................. 221

....................................................................................................... 222 11.13. REFRIGERADOR ALIMENTADO POR UNA MÁQUINA TÉRMICA (Final, Diciembre 2009, P-2) ...................... 224 11.14. EFICIENCIA DE UN CICLO OTTO ................................................................................................................. 226 11.15. CASO PRÁCTICO DE CICLO OTTO .............................................................................................................. 230

SOLUCIÓN ...................................................................................................................................................... 230 11.16. EFICIENCIA DE UN CICLO DIESEL............................................................................................................... 235 11.17. CASO PRÁCTICO DE CICLO DIESEL ........................................................................................................... 235 11.18. EFICIENCIA DE UN CICLO BRAYTON .......................................................................................................... 239 11.19. CASO PRÁCTICO DE CICLO BRAYTON ....................................................................................................... 243 11.20. CASO PRÁCTICO DE CICLO DE STIRLING .................................................................................................. 246 11.21. MÁXIMO APROVECHAMIENTO DEL CALOR ................................................................................................ 250 11.22 CONTACTO REVERSIBLE ENTRE DOS RECIPIENTES ................................................................................. 253

SOLUCIÓN ...................................................................................................................................................... 253 11.23. OTROS PROBLEMAS ................................................................................................................................... 254 11.23.1 EJEMPLO DE BOMBA DE CALOR DE CARNOT.......................................................................................... 254 11.23.2 PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN UN FRIGORÍFICO REAL ........................................................................ 255 11.23.3 CICLO CON UN PROCESO REVERSIBLE Y OTRO IRREVERSIBLE ........................................................... 256 11.23.4 COMPRESIÓN ADIABÁTICA IRREVERSIBLE.............................................................................................. 258 11.23.5 ENTROPÍA DE UNA MEZCLA DE GASES ................................................................................................... 259 11.23.6 TRANSFERENCIA REVERSIBLE DE CALOR .............................................................................................. 261 11.23.7 CASO EXTREMO DE CICLO DIESEL .......................................................................................................... 261 11.23.8 EXERGÍA DE UN VOLUMEN DE AIRE COMPRIMIDO EN UN TANQUE ...................................................... 262 ANEXOS ................................................................................................................................................................. 263

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Capítulo 1

SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS SI

1.1. INTRODUCCIÓN

El presente documento de utilización del Sistema Internacional de Medidas ―SI‖, es una síntesis de las guías e informaciones proporcionadas por ITINTEC (Instituto de investigación tecnológica Industrial y de Normas Técnicas) lo que ahora es INDECOPI. Estas guías e informaciones han sido proporcionadas con el objeto de difundir su uso en las diferentes áreas del conocimiento humano (nos referimos específicamente a la FÍSICA, QUÍMICA) y todas aquellas áreas en las cuales se haga uso de las unidades de medida, con el único objetivo de estandarizar los diferentes sistemas de medidas existentes. Colaborando con este objetivo el autor, pone al servicio de todos los interesados: estudiantes de secundaria, institutos, universidades, profesionales y público interesado la presente guía, la misma que espero sea de utilidad.

Debe tenerse en cuente que el Perú, estableció el uso del SI según Ley No 23560 del 31/12/1982 con el nombre de Sistema Legal de Unidades del Perú (SLUP), por consiguiente y según la ley anteriormente mencionada las unidades del SISTEMA INTERNACIONAL son de uso obligatorio, sobre todo en los colegios, institutos, universidades, en las investigaciones científicas y en la técnica, dejando al comercio cierto margen de tiempo para que adecuen sus sistemas de medida.

Es bastante conocido que hoy en día los sistemas de unidades son: el SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Y EL SISTEMA INGLÉS, este último todavía tiene vigencia en virtud a que las especificaciones técnicas de maquinarias, por ejemplo, todavía consideran unidades nativas o propias del Sistema inglés, las cuales tiene sus correspondientes equivalentes dentro del Sistema Internacional (SI).

A través del tiempo el hombre siempre quiso medir todo lo que está a su vista, a su oído o de alguna manera a su alcance. Es así como miden las distancias, la luz, el calor, el trabajo, el sonido, el peso, la masa, etc., ―es decir todo lo que nuestros sentidos puedan percibir”.

Todas aquellas magnitudes que sean capaces de ser expresadas numéricamente y en magnitudes conocidas, se llaman “cantidades ponderables” y todo aquello que no se puede medir se llaman “cantidades imponderables”, así por ejemplo el amor, el dolor, el sentimiento, la envidia, la alegría.

Para medir las “cantidades ponderables”, la Historia nos dice que desde tiempos remotos el hombre tuvo necesidad de medir, como consecuencia aparecieron muchas medidas arbitrarias, las cuales crearon caos y confusión en el género humano.

Desde hace mucho tiempo se tuvo la idea de contar con un sistema de medidas universal que estuviera basada en fenómenos físicos naturales e invariables. El año de 1790, la Asamblea Francesa, encargó a la Academia Francesa de Ciencias, encontrar o crear un sistema de unidades de medida que sirviese para todo el mundo. Este sistema fue el “Sistema Métrico Decimal”, el mismo que fue adoptado por muchos países; el Perú lo adoptó el 29 de noviembre de 1862 bajo la Presidencia de Miguel San Román.

Para tratar toda clase de medida concerniente al Sistema métrico Decimal (SMD), a nivel internacional, se estableció la creación del “Bureau Internacional de Pesas y Medidas” (BIPM) como organismo técnico y la “Conferencia General de Pesas y Medidas”(CGPM) como organismo de mayor jerarquía.

Tomando como unidad de longitud el metro (m), unidad de masa el gramo (g) y como unidad de tiempo el segundo (s), el año de 1901 el ciudadano italiano Giovanni Giorgi creó un sistema de cuatro unidades, teniendo como unidades fundamentales al metro, kilogramo, segundo y una unidad eléctrica, el Ampere (A) con lo que quedó formado el Sistema MKSA (metro, kilogramo, segundo y ampere).

El Sistema Métrico Decimal a su vez dio origen a una serie de sistemas de unidades derivadas, así: CGS (centímetro, gramo y segundo), MKS (metro, kilogramo y segundo), MTS (metro, tonelada y segundo), MKFS (metro, kilogramo, fuerza y segundo) y MKSA (metro, kilogramo, segundo y ampere).

Para unificar todas estas medidas el año de 1948, Conferencia General de Pesas y Medidas encargó al Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM), determinar un sistema de medidas más simple y práctico. El año de 1954 durante la 10

ma Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), se adoptó un sistema de medidas basado en las

cuatro unidades del sistema MKSA más el grado Kelvin (oK) como unidad de temperatura absoluta y la candela (cd )

como unidad de intensidad luminosa, en el año de 1960, durante la 11ava

CGPM se dio nombre a este nuevo sistema: SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES “SI”.

El año de 1964 la 12ava CGPM, se redefinió el LITRO como un nombre especial dado al decímetro cúbico (dm3). El

año de 1967 durante la 13ava CGPM se sancionó la definición actual del segundo (s), se cambió el nombre de grado Kelvin (

oK) por el de Kelvin (K) y se modificó la definición de candela (cd). El año de 1971, durante la 14

ava CGPM se

adoptó la definición actual de la unidad de cantidad de sustancia (mol) y se incluyó como 7ma

unidad básica fundamental del SI, en esta misma Conferencia se adoptaron los nombres especiales de pascal (Pa) para la unidad de presión del SI, y la unidad Siemens (S) para la unidad SI de conductancia eléctrica.

El año de 1975 durante la 15ava

CGPM, se adoptaron las unidades SI de radiaciones ionizantes Becquerel (Bq) y Gray (Gy) y los prefijos SI penta (P) y exa (E). El año de 1983 durante la 17

ava CGPM se sancionó la definición actual del

metro (m).

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A partir del año 1960 en que se realizó la 11ava

CGPM y se estableció el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES “SI”, muchos países empezaron a adoptar y adaptar sus sistemas tradicionales al nuevo sistema de medidas que en resumen viene a constituir la universalización de un solo sistema de unidades.

El Perú adoptó el nuevo sistema de unidades el año de 1982 con la Ley No 23560 de fecha 31 de diciembre de 1982, la

cual deroga a la Ley dada con fecha 29 de noviembre de 1862 que estableció el uso del Sistema Métrico Decimal. En la actualidad casi todos los países del mundo usan el SI. Algunos como Francia tienen un nivel de implantación muy elevado, otros recién están implementando los cambios al SI, por ejemplo el Perú. Sin embargo en casi todos los países además del SI incluyen otras unidades por convenir a la industria, el comercio, la técnica y su campo científico especial.

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el sistema de unidades más extensamente usado. Junto con el antiguo sistema métrico decimal, que es su antecesor y que ha perfeccionado, el SI también es conocido como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas o fundamentales. En 1971, fue añadida la séptima unidad básica, el mol.

Una de las principales características, que constituye la gran ventaja del SI, es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está definida como la masa del prototipo internacional del kilogramo o aquel cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas.

Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las características de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad.

1.2. UNIDADES BÁSICAS

El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas, también denominadas unidades fundamentales. Son las unidades utilizadas para expresar las magnitudes físicas definidas como fundamentales, a partir de las cuales se definen las demás:

MAGNITUD FÍSICA

FUNDAMENTAL

UNIDAD

BÁSICA O FUNDAMENTAL

SÍMBOLO SÍMBOLO

DIMENSIONAL

OBSERVACIONES

LONGITUD METRO m L Se define en función a la velocidad de la

luz MASA KILOGRAMO kg M Se define en función al ―cilindro patrón‖

(Sevres, Francia)

TIEMPO SEGUNDO s T Se define en función al tiempo atómico INTENSIDAD DE CORRIENTE

ELÉCTRICA

AMPERIO O AMPERE

A I Se define a partir del campo eléctrico

TEMPERATURA TERMODINÁMICA

KELVIN K θ Se define a partir de la temperatura termodinámica del punto triple del agua

CANTIDAD DE SUSTANCIA

MOL mol N Se define en función al Número de Avogadro

INTENSIDAD

LUMINOSA

CANDELA O

BUJÍA

cd J Se define en función a los conceptos

relacionados: Lumen, Lux e Iluminación física

Las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que se expresan mediante prefijos. Así, por ejemplo, la expresión kilo indica "mil" y, por lo tanto, 1 km son 1000 m, del mismo modo que mili indica "milésima" y, por ejemplo, 1 mA es 0,001 A. DEFINICIONES BÁSICAS: UNIDADES BÁSICAS DEL SI El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas o unidades físicas fundamentales, las cuales son descritas por una definición operacional. Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas del SI. La derivación se lleva a cabo por medio del análisis dimensional.Magnitud física que se toma como Magnitudes

1.2.1 LONGITUD

METRO PATRÓN EN PLATINO IRIDIADO.- El metro es la unidad de longitud del Sistema Internacional de Unidades. Se define como la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo (unidad de tiempo) (aprox. 3,34 ns). Inicialmente fue creada por la Academia de Ciencias Francesa en

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1791 y definida como la diezmillonésima parte de la distancia que separa el polo de la línea del ecuador terrestre. Si este valor se expresara de manera análoga a como se define la milla náutica, se correspondería con la longitud de meridiano terrestre que forma un arco de 1/10 de segundo de grado centesimal. Se realizaron mediciones cuidadosas al respecto, hasta que en 1889 se corporizaron en un metro patrón de platino e iridio depositado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (París).

1.2.1.1. HISTORIA DE LA DEFINICIÓN DEL METRO

La línea de tiempo muestra cómo fue cambiando la definición del metro en distintas épocas:

1983-10-21: se define al metro como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299 792 458 segundo.

1960-10-20: se define al metro como 1.650.763,73 oscilaciones en el vacío de onda de la radiación emitida por el salto cuántico entre 2p10 y 5d5 de un átomo de 86 kriptón.

1927-10-06: se define al metro como la distancia entre las dos marcas del patrón de platino con 10% de iridio a 0 °C y 1 atmósfera.

1889-09-28: se define al metro como la distancia entre las dos marcas del patrón de platino-iridio a 0 °C.

1799-12-10: se define al metro con un patrón de plata (el primer patrón, construido el 23 de junio de ese año).

1795: se crea un patrón provisional de latón.

1791-03-30: se define al metro como la diez millonésima parte de un meridiano dentro de un cuadrante (un cuarto de la circunferencia polar de la tierra).

1790-05-08: se define al metro con la distancia recorrida por un péndulo determinado que tiene un hemiperíodo de un segundo.

1.2.2 MASA

Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrón, cilindro compuesto de una aleación de platino-iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón.

El kilogramo es la unidad básica de masa del Sistema Internacional de Unidades (SI) y su patrón. Está definido por la masa que tiene el cilindro patrón, compuesto de una aleación de platino e iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de París.

Es la única unidad que emplea un prefijo, 1 y la única unidad del SI que todavía se define por un objeto patrón y no por una característica física fundamental. Su símbolo es kg (adviértase que no es una abreviatura: no admite mayúscula, ni punto ni plural; se confunde universalmente con K, símbolo del Kelvin). Un kilogramo equivale a 1000 gramos pero, dado que en el SI es la unidad básica de masa, no debe ser considerado derivado del gramo. Es aproximadamente equivalente a 2,205 libras en el sistema de peso americano, así como en el sistema imperial y el sistema acostumbrado de los pesos y medidas usados en los Estados Unidos.

El Prototipo Nacional de Kilogramo de los Estados Unidos es el que actualmente rige como medida estándar en ese país. Se implantó en 1889 y es revisado y vuelto a certificar de forma periódica a partir del estándar internacional primario, que se encuentra en la

Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Francia).

1.2.2.1 HISTORIA

La primera definición, decidida por la Revolución Francesa, especificaba que era la masa de un decímetro cúbico (un litro) de agua destilada a una atmósfera de presión y 3,98 °C, una temperatura singular dado que es la temperatura a la cual el agua tiene la mayor densidad a presión atmosférica normal. Esta definición era complicada de realizar exactamente, porque la densidad del agua depende levemente de la presión, y las unidades de la presión incluyen la masa como factor, introduciendo una dependencia circular en la definición.

Para evitar estos problemas, el kilogramo fue redefinido mediante una masa estándar particular que creó una cantidad exacta para aproximar a la definición original. Desde 1889, el Sistema Internacional de Medidas define que la unidad debe ser igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo, que se hace con una aleación de platino e iridio (en proporción de 90% y 10%, respectivamente, medida por el peso) y se trabaja a máquina en un cilindro derecho-circular (altura = diámetro) de 39 milímetros. El prototipo internacional se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, ubicada en Sèvres, en las cercanías de París. Las copias oficiales del prototipo del kilogramo se hacen disponibles como prototipos nacionales, que se comparan al prototipo de París ("Le Grand Kilo") cada 40 años; este prototipo internacional es uno de tres cilindros hechos en 1879. En 1883, es aceptado para ser indistinguible de la masa del estándar del kilogramo en ese entonces, y ratificó formalmente al kilogramo por la primera Conferencia General de Pesos y Medidas en 1889.3

Por la definición, el error en la capacidad de repetición de la definición actual es exactamente cero; sin embargo, cualquier cambio en un cierto plazo puede ser encontrado comparando el estándar del funcionario a sus copias oficiales. Porque la copia funcionaria y el estándar oficial se hace áspero de los mismos materiales y se guarda bajo mismas condiciones, comparando las masas relativas entre los estándares en un cierto plazo estima la estabilidad del

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estándar. El prototipo internacional del kilogramo parece haber perdido cerca de 50 microgramos en los 100 años pasados y la razón de la pérdida sigue siendo desconocida.

Actualmente están efectuándose experimentos con los cuales podría definirse, por leyes físicas, el kilogramo. Existen dos vías principales de investigación. La primera se basa en fijar el valor del número de Avogadro, para luego materializar la unidad de masa con una esfera de silicio, casi perfecta en su geometría y composición isotópica, cuyas características dimensionales se pueden conocer con gran exactitud; específicamente se determina el volumen ocupado por la esfera y cada uno de sus átomos, y finalmente, con el número de Avogadro, se determina la masa. La otra alternativa consiste en fijar el valor de la carga del electrón o el de la constante de Planck, y luego mediante mediciones eléctricas se materializa el kilogramo utilizando un dispositivo denominado balanza de Watt, desarrollado por Bryan Kibble del National Physical Laboratory (Reino Unido).

Lastimosamente, existen inconsistencias entre los resultados obtenidos por ambos métodos y tampoco han alcanzado una certidumbre que satisfaga a quienes trabajan en metrología de masa; en todo caso, se estima que para la próxima Conferencia General de Pesos y Medidas de 2011 los experimentos hayan mejorado lo suficiente, en sus niveles de repetibilidad y reproducibilidad, de tal forma de adoptar una alternativa de materialización de la unidad de masa confiable.

NOTA SOBRE EL KILOGRAMO

La denominación de esta unidad induce a error dado que se puede interpretar como múltiplo del gramo. Sin embargo, se corresponde con la masa de un objeto "patrón", único caso en el que se mantiene este método, por las grandes dificultades que presenta definirlo de modo semejante a los demás, aunque se está estudiando el modo de hacerlo.

1.2.3 TIEMPO

Un segundo (s) es el tiempo requerido por 9.192.631.770 ciclos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133, (

133Cs), medidos a 0 K. Esto tiene por

consecuencia que se produzcan desfases entre el segundo como unidad de tiempo astronómico y el segundo medido a partir del tiempo atómico, más estable que la rotación de la Tierra, lo que obliga a ajustes destinados a mantener concordancia entre el tiempo atómico y el tiempo solar medio. Esta definición fue adoptada en 1967. El segundo es la unidad de tiempo en el Sistema Internacional de Unidades, el Sistema Cegesimal de Unidades y el Sistema Técnico de Unidades. Un minuto equivale a 60 segundos y una hora equivale a 3600 segundos. Hasta 1967 se definía como la 86.400

ava parte de la duración que tuvo el día solar medio

entre los años 1750 y 1890 y, a partir de esa fecha, su medición se hace tomando como base el tiempo atómico.

1.2.3.1 Uso correcto del símbolo en textos

En textos en español, es frecuente encontrar abreviaturas no oficiales para el segundo, tales como seg o sg. Nótese que el símbolo correcto (según el Sistema Internacional de Unidades) es "s". Igualmente, debe dejarse un espacio entre el número y el símbolo y no debe añadirse un punto tras el símbolo. Ejemplos de uso incorrecto: "13 seg", "13 sg", "13 s.", "13s" El uso correcto para estos casos, sería: "13 s"

1.2.4 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA

El amperio o ampere es la unidad de intensidad de corriente eléctrica. Forma parte de las unidades básicas en el Sistema Internacional de Unidades y fue nombrado en honor de André-Marie Ampère.

1.2.4.1 DEFINICIÓN

El amperio es una corriente constante que, si es mantenido en dos conductores paralelos de largo infinito, circular y colocado a un metro de distancia en un vacío, produciría entre esos conductores una fuerza igual a 2×10

–7 newton por

metro de largo. El amperio es una unidad básica, junto con el metro, el segundo, y el kilogramo: es definido sin referencia a la cantidad de carga eléctrica. La unidad de carga, el culombio, es definido, como una unidad derivada, es la cantidad de carga desplazado por una corriente de amperio en el tiempo de un segundo. Como resultado, las corrientes eléctricas también son el tiempo promedio de cambio o desplazamiento de cargas eléctricas. Un amperio representa el promedio de un culombio de carga por segundo.

C1A = 1

s

1.2.4.2 EXPLICACIÓN

Como es una unidad básica, la definición del amperio no es unida a ninguna otra unidad eléctrica. La definición para el amperio es equivalente a cambiar el valor de la permeabilidad del vacío a μ0 = 4π×10−7 H/m. Antes de 1948, el "amperio internacional" era usado, definido en términos de la deposición electrolítica promedio de la plata.2 La antigua unidad es igual a 0,999 85 A. La unidad de carga eléctrica, el culombio, es definido los términos del amperio: un culombio es la cantidad de carga eléctrica llevada en una corriente de un amperio fluyendo por un segundo.3 Corriente, entonces, es el promedio al cual la carga fluye a través de un alambre o una superficie. Un amperio de corriente (I) es igual a un flujo de un culombio de carga (Q) por un segundo de tiempo (t):

QI =

t

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1.2.4.3 PROPUESTA A DEFINICIÓN FUTURA

Como un culombio es aproximadamente igual a 6.24150948×1018 cargas elementales, un amperio es aproximadamente equivalente a 6.24150948×1018 cargas elementales, como electrones, moviéndose a través de un límite en un segundo. Al igual que otras unidades básicas del SI, ha habido propuestas para redefinir el kilogramo en tal manera como definir algunas constantes físicas recientemente medidas a valores arreglados. Una definición propuesta del kilogramo es: El kilogramo es la masa que debería ser acelerada a, precisamente, 2×10

-7 m/s

2, si sujetado a la fuerza por metro entre

dos conductores paralelos de largo infinito, circulares y colocados a 1 metro de distancia en un vacío, a través del cual fluyera una corriente constante de exactamente 6 241 509 479 607 717 888 cargas elementales por segundo. Esta redefinición del kilogramo tiene el efecto de cambiar la carga elemental a e= 1.60217653×10

-19 C y resultaría en

una funcionalidad equivalente a la definición para el culombio siendo la suma de, exactamente, 6 241 509 479 607 717 888 cargas elementales y el amperio siendo la corriente eléctrica de exactamente 6 241 509 479 607 717 888 cargas elementales por segundo. Esto es consistente con la corriente 2002 CODATA, valor para la carga elemental, que es 1.60217653×10

-19 ± 0,00000014×10

-19 C.

1.2.5 TEMPERATURA

El kelvin es la unidad de temperatura de la escala creada por William Thomson en el año 1848, sobre la base del grado Celsius, estableciendo el punto cero en el cero absoluto (−273,15 °C) y conservando la misma dimensión. William Thomson, quién más tarde sería Lord Kelvin, a sus 24 años introdujo la escala de temperatura termodinámica, y la unidad fue nombrada en su honor. Se toma como la unidad de temperatura en el Sistema Internacional de Unidades y se corresponde a una fracción de 1/273,16 partes de la temperatura del punto triple del agua. Se representa con la letra "K", y nunca "ºK". Además, su nombre no es el de "grado kelvin" sino simplemente "kelvin"; no se dice "19 grados Kelvin" sino "19 kelvin" o "19 K". Coincidiendo el incremento en un grado Celsius con el de un Kelvin, su importancia radica en el 0 de la escala: a la temperatura de 0 K se la denomina cero absoluto y corresponde al punto en el que las moléculas y átomos de un sistema tienen la mínima energía térmica posible. Ningún sistema macroscópico puede tener una temperatura inferior. A la temperatura medida en Kelvin se le llama "temperatura absoluta", y es la escala de temperaturas que se usa en ciencia, especialmente en trabajos de física o química. También en iluminación de vídeo y cine se utilizan los kelvin como referencia de la temperatura de color. Cuando un cuerpo negro es calentado emitirá un tipo de luz según la temperatura a la que se encuentra, por ejemplo 1600 K es la temperatura correspondiente a la salida o puesta del sol. La temperatura del color de una lámpara de filamento de tungsteno corriente es de 2800 K. La temperatura de la luz utilizada en fotografía y artes gráficas es 5000 K y al del sol al mediodía con cielo despejado es de 5200K. La luz de los días nublados es más azul y es de más de 6000 K.

1.2.5.1 FACTORES DE CONVERSIÓN

La escala Celsius se define en la actualidad en función del Kelvin, siendo 0 °C equivalente a 273,15 K.

grados Celsius a kelvin o

K = C + 273,15

Ejemplos de temperaturas notables:

Cero absoluto 0 K ó −273,15 °C

Congelación del agua 273,15 K ó 0 °C

1.2.5.2 TEMPERATURA Y ENERGÍA

La física estadística dice que, en un sistema termodinámico, la energía contenida por las partículas es proporcional a la temperatura absoluta, siendo la constante de proporcionalidad la constante de Boltzmann. Por eso es posible determinar la temperatura de unas partículas con una determinada energía, o calcular la energía de unas partículas a una determinada temperatura. Esto se hace a partir del denominado Principio de equipartición. El principio de equipartición establece que la energía de un sistema termodinámico es:

B

nEc = .k T

2

Donde:

kB es la constante de Boltzmann

T es la temperatura expresada en Kelvin

n es el número de grados de libertad del sistema (por ejemplo, en sistemas monoatómicos donde la única posibilidad de movimiento es la traslación de unas partículas respecto a otras en las tres posibles direcciones del espacio, n es igual a 3).El kelvin (K) se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

1.2.6 CANTIDAD DE SUSTANCIA

Un mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de carbono 12. Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partículas. El mol (símbolo mol) es la unidad con que se mide la cantidad de sustancia, una de las siete magnitudes físicas fundamentales del Sistema Internacional de Unidades.

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Dada cualquier sustancia (elemento químico, compuesto o material) y considerando a la vez un cierto tipo de entidades elementales que la componen, se define como un mol a la cantidad de esa sustancia que contiene tantas entidades elementales como átomos de C

12 hay en 12 gramos de éste.

El número de unidades elementales –átomos, moléculas, iones, electrones, u otras partículas o grupos específicos de éstas existentes en un mol de sustancia es, por definición, una constante que no depende del material ni del tipo de partícula considerado. Esta cantidad es llamada número de Avogadro (NA) y equivale a 6,02214179 × 10

23 unidades

elementales por mol.

1.2.6.1 HISTORIA

Dado el tamaño extremadamente pequeño de las unidades fundamentales, y su número inmensamente grande, es imposible contar individualmente las partículas de una muestra. Esto llevó a desarrollar métodos para determinar estas cantidades de manera rápida y sencilla. Si tuviésemos que crear una unidad de cantidad de sustancia hoy en día, seguramente se utilizaría la "Tera-partícula" (10

12 partículas) o algo similar. Sin embargo, dado que el mol se ha definido hace ya tiempo y en otro contexto de

investigación, se han utilizado diferentes métodos. El primer acercamiento fue el de Joseph Loschmidt, intentando contabilizar el número de moléculas en un centímetro cúbico de sustancias gaseosas bajo condiciones normales de presión y temperatura. Los químicos del siglo XIX usaron como referencia un método basado en el peso y decidieron utilizar unos patrones de masa que contuviesen el mismo número de átomos o moléculas. Como en las experiencias de laboratorio se utilizan generalmente cantidades del orden del gramo, definieron los términos átomo-gramo, molécula-gramo, fórmula-gramo, etc. Actualmente estos términos no se usan y han sido sustituidos por el mol. Más adelante el mol queda determinado como el número de moléculas H2 existentes en dos gramos de hidrógeno, lo que da el peculiar número de 6,022 × 10

23

al que se conoce como número de Avogadro.

1.2.6.2 ACLARACIONES

Dado que un mol de moléculas H2 equivalen a 2 gramos de hidrógeno, un mol de átomos H será entonces un gramo de este elemento. O sea que en un gramo de hidrógeno hay 6,022 × 10

23 átomos.

Para evitar ambigüedades, en el caso de sustancias macroelementales conviene por lo tanto indicar, cuando sea necesario, si se trata de átomos o de moléculas. Por ejemplo: "un mol de moléculas de nitrógeno" equivale a 28 g de nitrógeno. O, en general, especificar el tipo de partículas o unidades elementales a que se refiere. En los compuestos iónicos también puede utilizarse el concepto de mol, aun cuando no están formados por moléculas discretas. En ese caso el mol equivale al término fórmula-gramo. Por ejemplo: 1 mol de NaCl (58,5 g) contiene NA iones Na+ y NA iones Cl–, donde NA es el número de Avogadro. EQUIVALENCIAS

1 mol es equivalente a 6,022 × 1023

moléculas de la misma sustancia

1 mol es equivalente a la masa atómica en gramos.

1 mol es equivalente al peso molecular de un compuesto determinado.

1 mol es equivalente a 22,4 L de un compuesto gaseoso en condiciones normales de temperatura y presión. Tiene que ver con la ley de los gases ideales.

1.2.7 INTENSIDAD LUMINOSA

Una candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática con frecuencia de 540 × 10

12 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la dirección indicada, es de 1/683

W por estereorradián. Esta cantidad es equivalente a la que en 1948, en la conferencia general de pesos y medidas, se definió como: Una sexagésima parte de la luz emitida por un centímetro cuadrado de platino puro en estado sólido a la temperatura de su punto de fusión (2046 K).

UNIDADES DE FOTOMETRIA DEL SI

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD DEL SI ABREV. NOTAS

Energía Luminosa QV Lumen segundo lm.s A veces se usa la unidad talbot

Flujo Luminoso F Lumen (= cd. sr) lm

Intensidad Luminosa IV Candela (= Im/sr) cd Una unidad básica del SI

Luminancia LV Candela por metro cuadrado

cd/m2

Iluminancia EV Lux (= lm/m2) lx Usado para medir la incidencia de la luz sobre una

superficie

Emisión Luminosa MV Lux (= lm/m2) lx Usado para medir la luz emitida por una superficie

Eficiencia Luminosa Lumen por vatio lm.W-1

Ratio de flujo luminoso entre flujo radiante; el

máximo posible es 683 002

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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1.3. UNIDADES DERIVADAS

Con esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes físicas tomadas como fundamentales. Ejemplos de unidades derivadas

Unidad de volumen o metro cúbico, resultado de combinar tres veces la longitud, una de las magnitudes fundamentales.

Unidad de densidad o cantidad de masa por unidad de volumen, resultado de combinar la masa (magnitud fundamental) con el volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramos por metro cúbico y no tiene nombre propio.

Unidad de fuerza, magnitud que se define a partir de la Segunda ley de Newton (Fuerza = masa × aceleración). La masa es una de las magnitudes fundamentales pero la aceleración es derivada. Por tanto, la unidad resultante (kg × m × s

-2) es derivada. Esta unidad derivada tiene nombre propio, Newton.

Unidad de energía, por definición es la fuerza necesaria para mover un objeto en una distancia de un metro, es decir fuerza por distancia. Su nombre es el Joule y se expresa con J. Siendo entonces que J = N × m.

En cualquier caso, siempre es posible establecer una relación entre las unidades derivadas y las básicas o fundamentales mediante las correspondientes ecuaciones dimensionales. El concepto no debe confundirse con los múltiplos y submúltiplos, los que son utilizados tanto en las unidades fundamentales como en las unidades derivadas, sino que debe relacionarse siempre a las magnitudes que se expresan. Si estas son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud fundamental, y todas las demás son derivadas.

1.3.1 NORMAS ORTOGRÁFICAS PARA LOS SÍMBOLOS

Los símbolos de las unidades no deben tratarse como abreviaturas, por lo que se deben escribir siempre tal cual están definidos (p. ej., ―m‖ para metro y ―A‖ para ampere o amperio). Deben usarse preferentemente los símbolos y no los nombres (p. ej., ―kHz‖ y no ―kilohertz‖ o ―kilohertzio‖) y ni unos ni otros deben pluralizarse (p. ej., de resultar imprescindible, se dirá kilohertz, pero no kilohertzs). Pueden utilizarse las denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidos por la Real Academia Española, (ejemplos: amperio, culombio, faradio, voltio, vatio, etc.), pero es preferible evitarlos en pro de la precisión científica y de la uniformidad internacional.[cita requerida]

Los símbolos se escriben en minúsculas, salvo aquéllos cuyo nombre proceda de una persona (W, de Watt, V, de Volta). Asimismo los submúltiplos y los múltiplos hasta kilo (k) inclusive, también se escriben con minúscula; desde mega, se escriben con mayúscula. Se han de escribir en letra redonda independientemente del resto del texto.2 Esto permite diferenciarlos de las variables.

Los símbolos no cambian cuando se trata de varias unidades, es decir, no debe añadirse una "s". Tampoco debe situarse un punto (".") a continuación de un símbolo, salvo cuando el símbolo se encuentra al final de una frase. Por lo tanto, es incorrecto escribir, por ejemplo, el símbolo de kilogramos como ―Kg‖ (con mayúscula), ―kgs‖ (pluralizado) o ―kg.‖ (Con el punto). La única manera correcta de escribirlo es ―kg‖. Esto se debe a que se quiere evitar que haya malas interpretaciones: «Kg», podría entenderse como kelvin·gramo, ya que «K» es el símbolo de la unidad de temperatura kelvin. Por otra parte, ésta última se escribe sin el símbolo de grados ―°‖, pues su nombre correcto no es grado Kelvin (°K), sino sólo kelvin (K).

El símbolo de segundos es ―s‖ (en minúscula y sin punto posterior) y no ―seg.‖ ni ―segs.‖. Los amperios no deben

abreviarse ―Amps.‖, ya que su símbolo es ―A‖ (mayúscula y sin punto). El metro se simboliza con ―m‖ (no ―mt‖, ni "mts.‖).

1.3.2 PREFIJOS DEL SI

Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades básicas o derivadas. Estos prefijos no pertenecen solamente al SI. Muchos de ellos, así como la propia idea de emplearlos, son anteriores al establecimiento del Sistema Internacional en 1960; por lo tanto, se emplean a menudo en unidades que no pertenecen al SI. Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures).

1.3.3 PREFIJOS DECIMALES

El Sistema Internacional de unidades emplea unidades básicas como el metro o el segundo. A dichas unidades se les pueden añadir prefijos correspondientes a la multiplicación o división por potencias de 10, lo que evita el uso de excesivas cifras decimales (por ejemplo, es más cómodo decir 3 centímetros que 0,03 metros).

1.4. USAR LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

A veces necesitamos escribir números muy grandes o muy pequeños, tales como la distancia de la Tierra al Sol, la masa de un electrón, etc. ¿Cuál es la notación que podemos usar para evitar escribir números que contengan un montón de ceros? El uso de la notación científica, llamada también ―Notación Exponencial‖, es la herramienta predilecta y en todo caso la más idónea para escribir números demasiado grandes o en caso inverso si se tiene que escribir cantidades demasiado pequeñas

1.4.1 DEFINICIÓN

La notación exponencial, también llamada notación científica, de un número decimal positivo tiene la forma a × 10b,

donde a es la expresión decimal reducida a un número decimal comprendido entre 1 y 10 (incluido el 1 y excluido el 10) y b es un número entero.

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La notación exponencial para un número decimal negativo viene dada por la escritura del signo ―menos‖ delante del número. Notas:

2,48 × 1023

es un número escrito en notación exponencial.

0,375 × 107 no está escrito en notación exponencial puesto que la parte entera del número decimal ha de ser mayor

que cero (un número entre 1 y 9).

23,124 78 × 10–9

no está escrito en notación exponencial porque la parte entera del número decimal tiene dos dígitos. Es decir, es un número mayor que 9.

3,14 × 100 sí está escrito en notación exponencial.

1.4.2 EJEMPLOS

Queremos escribir en notación exponencial los siguientes números A, B y C:

A = 12.346.789 A = 1,2346789 × 10.000.000 = 1,2346789 × 107

B = 0,00000123 B = 1,23 × 0,000001 = 1,23 × 10–6

C = (–4,5 × 8) × (10–3

× 105) = –36 × 10

2 C = –3,6 × 10 × 10

2 = –3,6 × 10

3

1.4.3 USAR LA NOTACIÓN EXPONENCIAL PARA ESTIMAR UN RESULTADO

En la notación exponencial, el exponente de 10 indica el número de lugares que ha de moverse la coma decimal:

hacia la derecha si el exponente es positivo;

hacia la izquierda si el exponente es negativo. Este exponente nos va a permitir estimar el resultado. Así de este modo, la estrella más cercana al Sol, Alpha Centauri, está a una distancia de 4,16 × 10

13 km. Pero podemos afirmar que 4,16 × 10

13 km es aproximadamente 40 × 10

12 km, lo

cual, expresado en metros sería 40 × 1015

m. Podemos afirmar que Alpha Centauri se encuentra a una distancia aproximada de 40 petámetros (el prefijo peta indica un factor de 10

15).

1.4.4 PREFIJOS MÁS USADOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

PREFIJO SÍMBOLO SIGNIFICADO POTENCIA Deca Hecto

Kilo Mega Giga

Tera Peta Exa

Deci Centi Mili

Micro Nano Pico

Femto Atto

Da H

K M G

T P E

d c m

* n

p f a

Diez Cien

Mil Millón Mil millones (Millardo)

Millón de millones (Billón) Mil millones (Billardo) Millón de millones (Trillón)

Décima Centésima Milésima

Millonésima Milmillonésima Billonésima

Milmillonésima Trillonésima

101

102

103

106

109

1012

10

15

1018

10-1

10

-2

10-3

10-6

10

-9

10-12

10-15

10

-18

* En este caso la letra griega (“mu”) se pronuncia como micro

PREFIJO SÍMBOLO A AUMENTO O DISMINUCIÓN DE LA UNIDAD

exa E 1.000.000.000.000.000.000 (un trillón)

peta P 1.000.000.000.000.000 (mil billones)

tera T 1.000.000.000.000 (un billón)

giga G 1.000.000.000 (mil millones, un millardo)

mega M 1.000.000 (un millón)

kilo k 1.000 (un millar, mil)

hecto h 100 (un centenar, cien)

deca da 10 (una decena, diez)

deci d 0,1 (un décimo)

centi c 0,01 (un centésimo)

mili m 0,001 (un milésimo)

micro µ 0,000001 (un millonésimo)

nano n 0,000000001 (un milmillonésimo)

pico p 0,000000000001 (un billonésimo)

femto f 0,000000000000001 (un milbillonésimo)

atto a 0,000000000000000001 (un trillonésimo)

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Estos prefijos pueden agregarse a la mayoría de las unidades métricas para aumentar o disminuir su cuantía. Por ejemplo, un kilómetro es igual a 1 000 metros. Ejemplos: 5 cm = 5 × 10

−2 m = 5 × 0,01 m = 0,05 m

3 MW = 3 × 106 W = 3 × 1.000.000 W = 3.000.000 W

No se pueden poner dos o más prefijos juntos: por ejemplo, 10−9

metros hay que escribirlos como 1 nm, no 1 mµm.

Hay que tener en cuenta antes los prefijos que las potencias; así, "km²" se lee kilómetro cuadrado, no kilo–metro cuadrado. Por ejemplo, 3 km² son 3.000.000 m², no 3.000 m² (ni tampoco 9.000.000 m²). Es decir, los prefijos del SI, en lugar de miles, se convierten en multiplicadores de millón en el caso de las potencias de 2, de mil millones en el caso de las potencias de 3 y así sucesivamente. Por lo tanto, es probable que se requiera emplear números grandes, aunque se empleen todos los prefijos.

Son mejores los prefijos cuya potencia es múltiplo de tres. Por ello es preferible emplear "100 m" que "1 hm". Hay, sin embargo, algunas excepciones importantes: el centímetro, la hectárea (hecto-área), el centilitro, el decímetro cúbico (equivalente a un litro), el hectopascal y el decibelio (la décima parte de un belio).

Los prefijos myria- y myrio-, que han quedado obsoletos, se abandonaron antes de que el SI entrara en vigor en 1960, probablemente por no seguir el mismo modelo que el resto de prefijos, por no existir símbolos adecuados para representarlos (para entonces ya se empleaban los símbolos M, m y µ) y por ser, en general, poco empleados.

Los micromicrofaradios (picofaradios), los hectokilómetros (100 kilómetros), las milimicras o micromilímetros (ambos nanómetros) y otros prefijos dobles del estilo se abandonaron al adoptarse el SI.

El kilogramo es la única unidad básica del SI que lleva prefijo. Denota la masa de un objeto real. El gramo es la milésima parte (1/1000) de la masa de dicho objeto.

Aunque en principio pueden emplearse, las combinaciones de prefijos y cantidades se emplean poco, incluso en los ámbitos de la ciencia y de la ingeniería:

1. Masa: hectogramo, gramo, miligramo, microgramo y otras unidades más pequeñas se emplean a menudo. El megagramo y otras mayores, en cambio, no se suelen emplear habitualmente; en su lugar se emplea la tonelada o la notación científica. En ocasiones el megagramo se emplea para diferenciar la tonelada métrica de la no métrica.

2. Volumen en litros: litro, decilitro, centilitro, mililitro, mikrolitro y otras unidades más pequeñas se emplean a menudo. Los volúmenes mayores en ocasiones se dan en hectolitros; en otras en metros cúbicos o en kilómetros cúbicos; también en hectómetros cúbicos.Así, por ejemplo, es muy común expresar el volumen de los embalses o lagos en hectómetros cúbicos.

3. Longitud: kilómetro, metro, decímetro, centímetro, milímetro y a menudo unidades más pequeñas. Unidades mayores como el megametro, el gigametro u otras, pocas veces. La unidad astronómica, el año-luz y el parsec se emplean, en cambio, a menudo; en el reglamento del SI, la unidad astronómica figura como una unidad aceptable pero oficialmente fuera del sistema.

4. Tiempo: segundo, milisegundo, microsegundo y otras unidades más pequeñas son habituales. El kilosegundo y el megasegundo también se emplean en ocasiones, aunque son más habituales determinadas formas de notación científica o las horas, los minutos y otras unidades del estilo que denotan tiempos tan largos o más que dichas unidades.

Aunque anteriormente en Reino Unido, Irlanda, Australia y Nueva Zelanda se empleaba la escala larga para nombrar los números, actualmente y cada vez más emplean la escala corta. Hay que tener en cuenta que por encima del millón y por debajo de la millonésima, nombres iguales poseen significados distintos en ambos sistemas corto y largo, con lo que números del orden del billón o del trillón, por ejemplo, pueden resultar confusos a nivel internacional. El empleo de los prefijos del SI puede ser el camino para la superación de este problema.

1.4.5 EMPLEO FUERA DEL SI

El símbolo "k" se emplea a menudo con el significado de múltiplo de mil; por lo tanto, puede escribirse "sueldo de 40K" (de 40.000 euros) o "un problema de hace 2K años". A pesar del empleo habitual, el empleo de la K mayúscula no es correcto en el SI. Este símbolo se suele emplear para representar el prefijo binario kibi (210 = 1024).

1.4.6 UNIDADES FUERA DEL SI

En la década de 1790, cuando se puso en marcha el sistema métrico, ya existían prefijos, mucho antes de que en 1960 entrara en vigor el SI. Los prefijos (incluidos los surgidos tras la puesta en marcha del SI) se emplean con cualquier unidad, incluidas las que no pertenecen al SI (por ejemplo el milidyne). Los prefijos del SI aparecen en muy pocas ocasiones junto a las unidades de los sistemas anglosajones, salvo en casos puntuales (por ejemplo los microinches o el kilofeet). Se emplean también con unidades especiales empleadas en ámbitos muy específicos (por ejemplo los megaelectronvoltios, los gigaparsecs, etc.). En ocasiones también se emplean con unidades de dinero (por ejemplo el gigadolar), sobre todo por parte de quienes lo emplean y proceden del ámbito científico.

1.4.7 INFORMÁTICA: PREFIJOS BINARIOS

"k" y otros prefijos mayores son habituales en el terreno de los computadores, siendo empleados en la información y unidades de almacenamiento tipo bit y byte. Siendo 210 = 1024 y 10³ = 1000, los prefijos del SI se emplean siguiendo la ley de los prefijos binarios, como se observa en las siguientes líneas.

K = 210

= 1.024

M = 220

= 1.048.576

G = 230

= 1.073.741.824

T = 240

= 1.099.511.627.776

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P = 250

= 1.125.899.906.842.624 De todas formas, estos prefijos mantienen el significado de las potencias de 1.000 cuando de lo que se trata es de expresar la velocidad de la transmisión de datos (cantidad de bits): la red Ethernet de 10 Mbps es capaz de transmitir 10.000.000 bps, y no 10.485.760 bps. El problema se acrecienta por no ser las unidades de información bit y byte unidades del SI. En el SI el bit, el byte, el octeto, el baudio o la cantidad de signos se darían en herzios. Aunque es más claro emplear "bit" para el bit y "b" para el byte, a menudo se emplea "b" para el bit y "B" para el byte (en el SI B es la unidad del belio, siendo la del decibelio dB]]). De esta forma, la Comisión Electrotécnica Internacional (International Electrotechnical Commission IEC) eligió nuevos prefijos binarios en 1998, que consisten en colocar un 'bi' tras la primera sílaba del prefijo decimal (siendo el símbolo binario como el decimal más una 'i'). Por lo tanto, ahora un kilobyte (1 kB) son 1.000 byte, y un kibibyte (1 KiB) 2

10 = 1 024 octetos. De la misma forma, mebi (Mi; 2

20), gibi (Gi; 2

30), tebi (Ti; 2

40), pebi (Pi; 2

50) y exbi (Ei; 2

60). Aunque el

estándar del IEC nada diga al respecto, los siguientes prefijos alcanzarían hasta zebi (Zi; 270

) y yobi (Yi; 280

). Hasta el momento el empleo de estos últimos ha sido muy escaso.

1.4.8 AMPLIACIONES PROPUESTAS

Continuando hacia atrás en el alfabeto, tras zetta y yotta, entre las propuestas para nombrar a los siguientes números grandes se encuentran las palabras xenta y xona (entre otras), siendo esta última una modificación del sufijo numérico proveniente del latín nona-; la propuesta para los siguientes números pequeños también comenzaría por "x". Siguiendo la norma de abreviación de los prefijos (las letras mayúsculas del latín para cantidades grandes y las minúsculas para cantidades pequeñas), y a pesar de no haber un acuerdo en el nombre completo, podrían emplearse, sin ambigüedad, los siguientes prefijos: X, W, V, x, w, v. El símbolo del prefijo de las cantidades pequeñas siguiente en ese orden sería la "u", una sustitución de "µ" (símbolo del "micro" o "micra") basada en el (ISO 2955). Aun así, no todos los lectores entienden muchos de los prefijos oficiales, y menos aún sus extrapolaciones. Por ello, y a diferencia de la escritura para uso personal, es conveniente escribir una pequeña explicación cuando se trata de un artículo que han de comprender terceros. Otra propuesta para xenta/xona es novetta, del italiano nove. Sin embargo, esta propuesta no tiene en cuenta el orden alfabético. Existen propuestas para llevar más allá la armonización de los símbolos. Según las mismas, los símbolos de los prefijos deca, hecto y kilo en lugar de "da", "h" y "k" deberían ser "D" o "Da", "H" y "K", respectivamente. De la misma forma, algunos hablan de la supresión de todos aquellos prefijos que no entran en el esquema 10±3 × n, es decir, hecto, deca, deci y centi. El CGPM ha aplazado, de momento, la toma de una decisión concreta sobre ambas propuestas. Una cuestión sin resolver (y probablemente irresoluble) es el empleo de los sufijos con unidades cuyas potencias no son ±1. Antes que la potencia siempre se tiene en cuenta el prefijo, y por ello para medir volúmenes, por ejemplo, aún se emplea el litro, equivalente a la milésima parte de un metro cúbico (0,001 m³) o a un decímetro cúbico (1 dm³), aunque parezca más sencillo denominarlo ―un milímetro cúbico‖ (1 mm³) - un milímetro cúbico (mm³) es la milmillonésima parte de un metro cúbico.

1.4.9 RESUMEN DE LAS REGLAS DE EMPLEO

El Comité Internacional de Pesos y Medidas (CIPM) establece las siguientes reglas que deben ser usadas cuando se apliquen los prefijos antedichos:

Los símbolos de los prefijos deben ser escritos sin espacio entre éste y el símbolo de la unidad.

Los grupos formados por el símbolo del prefijo y el de la unidad constituyen un símbolo nuevo e inseparable (múltiplo o submúltiplo de la unidad en cuestión) que puede ser elevado a una potencia positiva o negativa y combinada con otro símbolo de unidad para formar una unidad compuesta.

No se usarán prefijos formados por la yuxtaposición de más prefijos.

No se usarán prefijos sin unidad para expresar esa potencia.

1.4.10 UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS “SI”

1.4.10.1 UNIDADES FUNDAMENTALES.-

Son 7 las unidades fundamentales y básicas establecidas por el Sistema Internacional de Medidas ―SI‖:

MAGNITUDES FÍSICAS UNIDAD DE MEDIDA

NOMBRE SÍMBOLO SI SÍMBOLO

Longitud Metro m. L

Masa Kilogramo Kg. M

Tiempo Segundo s. T

Intensidad de corriente eléctrica Ampere A. I

Temperatura termodinámica Kelvin K.

Intensidad luminosa Candela cd. o bujía J

Cantidad de materia(sustancia) Mol mol. N

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UNIDADES DERIVADAS SI EXPRESADAS ENTERMINOS DE UNIDADES SI FUNDAMENTALES Y SUPLMENTARIAS

MAGNITUDES FÍSICAS UNIDAD DE MEDIDA

NOMBRE SÍMBOLO SI

Superficie o área Metro cuadrado m2

Volumen Metro cúbico m3

Masa específica Kilogramo por metro cúbico Kg /m3

Velocidad Metro por segundo m/s Velocidad angular Radián por segundo rad/s Aceleración Metro por segundo cuadrado m/s

2

Aceleración angular Radián por segundo cuadrado rad/s2

Viscosidad cinemática Metro cuadrado por segundo m2/s

Luminancia Candela por metro cuadrado cd/m2

Número de onda Uno por metro m-1

Fluido de partículas ionizantes Uno por segundo s

-1

Concentración molar Mol por metro cúbico mol/m3

Densidad de corriente eléctrica Ampere por metro cuadrado A/m2

Intensidad de campo magnético Ampere por metro A/m Densidad lineal, masa lineal Kilogramo por metro Kg/m Densidad superficial, masa superficial Kilogramo por metro cuadrado Kg/m

2

Volumen específico Metro cúbico por kilogramo m3/kg

Gasto de masa, flujo de masa Kilogramo por segundo Kg/s Moméntum Kilogramo- metro por segundo Kgm/s Momento de moméntum angular Kilogramo-metro cuadrado por segundo Kgm

2/s

Coeficiente de expansión lineal Uno por kelvin K-1

Momento de inercia Kilogramo-metro cuadrado Kgm

2

Momento electromagnético, momento magnético Ampere- metro cuadrado Am2

Molalidad Mol por kilogramo mol/Kg. Masa molar Kilogramo por mol Kg/mol Volumen molar Metro cúbico por mol m

3/mol

NOTA.- En la tabla mostrada no se han considerado todas las unidades derivadas SI expresadas en términos de unidades SI

fundamentales y suplementarias (es decir, unidades derivadas sin nombre ni símbolo especial).

1.4.10.2 UNIDADES DERIVADAS SI CON NOMBRES Y SÍMBOLOS ESPECIALES EXPRESADAS EN UNIDADES FUNDAMENTALES, SUPLEMENTARIAS Y DERIVADAS

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD DE MEDIDA NOMBRE SÍMBOLO FUNDAMENTAL

Y DERIVADA EXPRESIÓN

Frecuencia Hertz Hz 1/s s-1

Fuerza, peso Newton N Kgm/s

2

Presión, tensión mecánica, módulo de elasticidad Pascal Pa N/m2 m

-1kgs

-2

Energía, trabajo, cantidad de calor Joule J Nm m2kgs

-2

Potencia, flujo de energía Watt W J/s m2kgs

-3

Cantidad de electricidad, carga eléctrica Coulomb C Sa

Potencial eléctrico, tensión eléctrica, diferencia de potencial, fuerza electromotriz

Voltio V W/A m2kgs

-3A

-1

Capacitancia eléctrica Faradio F C/ V m-2

kg-1

s4A

2

Resistencia eléctrica Ohm Ω V / A m-2

kgs-3

A2

Conductancia eléctrica Siemens S A / V m2kg

-1s

3A

2

Flujo de inducción magnética Weber Wb Vs m2kgs

-2A

2

Inducción magnética, densidad de flujo magnético Tesla T Wb /m2 Kgs

-2A

-1

Inductancia, inducción mutua Henry H Wb / A m2kgs

-2A

-2

Temperatura Celsius Grado

Celsius

oC 1

oC = 1k

Flujo luminoso Lumen Lm cd.sr Iluminación Lux Lx Lm / m

2 m

-2.cd.sr

Dosis absorvida, (de una radiación ionizante), índice de dosis absorbida, Kerma, energía mási- ca (específica) comunicada

Gray Gy J / kg M2s

-2

Actividad de sustancias radiactivas Becquerel Bq 1 / s s-1

Equivalente de dosis Sievert Sv J / kg M2s

-2

Exposición C por kg C / kg Kg-1

.s.A Momento de fuerza N por m N.m M

2kgs

-2

Tensión superficial N por m N / m Kgs-2

Viscosidad dinámica Pa por s Pa.s m-1

kgs-1

Tensión de campo eléctrico V por m V / m mkgs

-3A

-1

Densidad de flujo de energía W por m2 W / m

2 kg.s

-3

Permitibidad F por m F / m m-3

kg-1

s4A

2

Permeabilidad H por m H / m mkgs-2

A-2

Energía específica, entalpía específica J por kg J / kg M

2.s

-2

Capacidad calorífica de una sustancia, entropía de un sistema J por K J / K M2.kg.s

-2.K

-1

Calor específico, entropía específica J por kgK J / kg.K m.kg.s-3

.K-1

Conductividad Térmica W por Mk W / mK m.kg.s

-3.K

-1

Energía molar interna J por mol J / mol M2kgs

-2mol

-1

Entropía molar, capacidad calorífica molar J por molK J / mol K M2kgs

-2K

-1

mol-1

Intensidad radiante W por sr W / sr M2kgs

-3sr

-1

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1.4.10.3 PREFIJOS NUMERICOS Y SUS SÍMBOLOS

Todas las unidades de medida que forman el SI (Sistema Internacional de Medidas) tienen múltiplos y para señalar estos se le

antepone a la unidad de medida el símbolo de un prefijo numérico. El símbolo de un prefijo numérico es una letra que indica un número que es múltiplo o submúltiplo de 10.

NOTA.- En el Sistema Internacional de Medidas existen múltiplos y submúltiplos los cuales para una mayor operatividad

están en base diez (10) elevados a un exponente positivo o negativo. Ejm: 104, 10

-5, 10

1/3. De esta manera se pueden operar

algebraicamente apelando a los teoremas básicos de la TEORIA DE EXPONENTES).

1.4.10.4 PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS

PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS: MÚLTIPLOS Y SUBMULTIPLOS

NOMBRE PREFIJO

SIMBOLO FACTOR EQUIVALENCIA

Exa E 1018

1.000.000.000.000.000.000 MÚLTIPLOS Peta P 10

15 1.000.000.000.000.000

Tera T 1012

1.000.000.000.000 Giga G 10

9 1.000.000.000

Mega M 106 1.000.000

Kilo* K 103 1.000

Mili* M 10-3

0,001 SUBMÚLTIPLOS Micro Μ 10

-6 0,000.001

Nano N 10-9

0,000.000.001 Pico P 10

-12 0,000.000.000.001

Femto F 10-15

0,000.000.000.000.001 Atto A 10

-18 0,000.000.000.000.000.001

NOTA.- Los múltiplos y submúltiplos marcados con un asterisco (*) son los que usan con mayor frecuencia

PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS: POCO USADOS NOMBRE PREFIJO

SIMBOLO FACTOR EQUIVALENCIA

Hecto H 102 100 MÚLTIPLOS

Deca D 10 10

Deci D 10-1

0,1 SUBMULTIPLOS Centi C 10

-2 0,01

Mili M 10-3

0,001

¿CÓMO SE USAN LOS PREFIJOS? El símbolo del prefijo numérico, se antepone al símbolo de la unidad de medida para formar múltiplos o submúltiplos de la unidad de medida que se quiera trabajar. El símbolo de la unidad de medida puede ser de unidades fundamentales, derivadas o suplementarias, pudiendo estar la unidad de medida con nombre simple o con nombre compuesto. Así por ejemplo: Km = kilómetro = 1000 m; el símbolo del prefijo numérico es: K = kilo = 1000 Mm = Megámetro = 1.000.000 m; M = mega = 1.000.000 Tm = Terámetro = 1.000.000.000.000 m; T = tera = 1.000.000.000.000 ¿CUÁNDO SE USAN LOS PREFIJOS? Se usan en la resolución de operaciones que conllevan una gran cantidad de decimales los cuales a su vez se denominan expresiones de NOTACIÓN CIENTÍFICA. Además su uso se da en INGENIERIAS por excelencia, QUÍMICA, FÍSICA. Las operaciones que se pueden realizar (dado que la base es 10) es aplicando los conceptos fundamentales de la TEORIA DE EXPONENTES, aplicando teoremas simples que nos dan soluciones rápidas y sobre todo sin hacer uso de calculadoras, aunque no es prohibido; es aconsejable saber los fundamentos de las operaciones para poder interpretar los resultados que las computadoras, calculadoras u otros medios nos proporcionen. Ejemplos:

1.000.000 W = 1 MW = 1 megawattio (conocido también como megavatio).

0,000 01 m = 0,01 mm = 0,01 milímetro y 0,001 A = 1mA = 1 miliamperio

9.460.000.000.000.000 m = 9460 Tm = 9460 terámetros

0,000.000.000.000.002 m = 2 fm = 2 femtómetros

1 mm = 1 milímetro = 0,001 m

1 μm = 1 micrómetro = 0,000.001 m

1 Kcd = 1 Kilocandela = 1000 cd

1 μA = 1 microamperio = 0,000.001 A

1 pmol = 0,000.000.000.001 mol = 1 picomol

El prefijo se escribe siempre pegado al símbolo, sin dejar espacio ni poner coma ni punto. Al juntar el prefijo con el símbolo se forma un símbolo de una nueva unidad. (Múltiplo o submúltiplo de la unidad original).

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UNIDADES QUE PUEDEN SER USADAS CON LAS UNIDADES DEL SI

MAGNITUD

UNIDAD SIMBOLO COMENTARIO

Intervalo de tiempo Minuto Min Como se viene usando Intervalo de tiempo Hora H Como se viene usando Intervalo de tiempo Día D Como se viene usando Angulo plano Grado

o Como se viene usando

Angulo plano Minuto ‗ Como se viene usando Angulo plano Segundo ― Como se viene usando Masa Tonelada (métrica) T En comercio reemplaza al Mg Energía Electrón voltio Ev Sólo en Física Nuclear Masa Unidad de Masa Atómica

(U.M.A)- Unificada U Sólo en Física

Longitud Unidad Astronómica UA Sólo en Astronomía Longitud Pársec Pc Sólo en Astronomía Longitud Milla náutica M Sólo en navegación marítima y

aérea Velocidad Kilómetro por hora Km / h Solo para tráfico carretero Velocidad Nudo m / h Sólo en navegación aerea y

marítima Superficie Hectárea Ha Sólo en terrenos Temperatura e Intervalo de Temperatura

Grado Celsius oC Sólo cuando el Kelvin no es

imprescindible Frecuencia de rotación Revoluciones por minuto RPM ó rev /

min Para máquinas de taller, motores

Por estas rezones es preferible escribir: 109 mm

3, en lugar de 1.000.000.000 mm

3,lo mismo para 10

6 mm

2, en lugar de

1.000.000 mm2, escribir 2 cm

2 en lugar de 0,02 cm

2, escribir 4 dm

3 en lugar de 0,004 m

3 ó 4.000.000 m

3

ALGUNAS UNIDADES DE OTROS SISTEMAS Y SUS EQUIVALENCIAS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS SI

MAGNITUD UNIDAD / SÍMBOLO A NO USARSE UNIDAD SI A

USARSE

SIMBOLO EQUIVALENCIA

Viscosidad dinámica

Poise (P) Pascal por segundo Pa.s 1p = 100mPa.s = 0,1 Pa.s

Viscosidad cinemática

Stokes (St) Metro cuadrado por segundo

M2 /s 1 St = 100 mm

2 / s = 10

-4

m2 / s

Energía Kilogramo fuerza por metro (kgf.m) Joule J 1 kgf.m = 9,81 J

Energía Ergio (erg) Joule J 1 erg = 100 nJ = 10-7

J Energía Caloría (cal) Joule J 1 cal = 4,186 J Energía Litro-atmósfera (lt-atm) Joule J 1 lt.atm = 101,328 J

Fuerza Kilogramo-fuerza (kgf) Newton N 1 kgf = 9,81 N Fuerza Dina (din) Newton N 1 din = 10 μN = 10

-5 N

Frecuencia Ciclos por segundo (c/s) Hertz Hz 1 c/s = 1 Hz

Iluminación Phot (ph) Lux Lx 1 ph = 10 Klx = 104 lx

Longitud Fermio (f) Metro M 1 f = 1 fm = 10-15

m Longitud Micrón (μ ) Metro M 1 μ = 1 μm = 10

-6 m

Longitud Unidad (X ) Metro M 1 unidad X = 100,2 fm Luminancia Stilb (sb) Candela por metro

cuadrado cd / m

2 1 sb = 10 Kcd/m

2 = 10

4

cd/m2

Inducción magnética, flujo magnético

Gauss (Ga, G) Tesla T 1 G = 100 μT = 10-4

T

Inducción magnética, flujo magnético

Gamma (γ) Tesla T 1 γ = 1 nT = 10-9

T

Intensidad de campo magnético

Oersted (Oe) Ampere por metro A/m 1 Oe = 1000/4Π A / m

Flujo magnético Maxwell (Mx) Weber Wb 1 Mx = 10 nWb = 10-8

Wb

Momento Metro-kilogramo fuerza (m-kgf) Newton-metro N.m 1 mkgf = 981 N.m Potencia Caballo de fuerza (HP) Watt W 1 HP = 745,499 W Presión o tensión Kilogramo fuerza por centímetro

cuadrado (kgf/cm2)

Pascal Pa 1kgf/cm2 = 98,1 Kpa =

9,80665 x 104 Pa = 100

Kpa Presión Torricelli (Torr) Pascal Pa 1 Torr = 133,3224 Pa

Presión Milímetro de Mercurio (mmHg) Pascal Pa 1 mmHg = 133,3224 Pa Presión Atmósfera(atm) Pascal Pa 1 atm = 101,325 Kpa =

101325 Pa

Presión Baria(bar) Pascal Pa 1 bar = 10-1

Pa Torque Metro-kilogramo fuerza(mkgf) Newton por metro N.m 1 mkgf = 9,81 N.m = 10

N.m

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NOTAS: Se recomienda usar los prefijos del SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS SI, evitando en lo posible el uso de

prefijos tradicionales, regionales. En los cálculos científicos y técnicos deben usarse sólo las unidades del SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS SI.

Si hay necesidad de calcular los datos, se multiplicará por un múltiplo de 10, los datos los datos que así lo requieran para

facilitar el proceso de cálculo.

a) Para superficies o áreas

b) Para volúmenes

1 m2 = 10

2 dm

2 1 m

2 = 10

2 dm

2

1 dm2 = 10

2 cm

2

1cm2 = 10

2 mm

2

1 m2 = 10

6 mm

2

1 m3 = 10

3 dm

3

1 dm3 = 10

3 cm

3

1 cm3 = 10

3 mm

3

1m3=10

9mm

3

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Capítulo 2

ESTÁTICA DE FLUÍDOS

2.1 LA HIDROSTÁTICA

Es una rama de la mecánica de fluidos que estudia los líquidos en estado de reposo; es decir; sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. La presión (P) se relaciona con la fuerza (F) y el área o superficie (A) de la siguiente forma: P=F/A. La ecuación básica de la hidrostática es la siguiente:

P = Po +ρ.g.y Siendo:

P: presión

Po: presión superficial

ρ: densidad del fluido

g: intensidad gravitatoria de la Tierra

y: altura neta

2.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS LÍQUIDOS

a) Viscosidad.- Es una medida de la resistencia que opone un líquido a fluir. b) Tensión superficial.- Este fenómeno se presenta debido a la atracción entre moléculas de un líquido. c) Cohesión.- Es la fuerza que mantiene unidas a las moléculas de una misma sustancia. d) Adherencia.- Es la fuerza de atracción que se manifiesta entre las moléculas de dos sustancias diferentes en contacto. e) Capilaridad.- Se presenta cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida, especialmente si son tubos muy delgados llamados capilares.

2.3 PRINCIPIO DE PASCAL

Rotura de un tonel bajo la presión de una columna de agua.

El principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: "el incremento de la presión aplicada a una superficie de un fluido incompresible (generalmente se trata de un líquido incompresible), contenido en un recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo".

Es decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible en un recipiente cerrado, esta se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo, en la prensa hidráulica o en el gato hidráulico; ambos dispositivos se basan en este principio. La condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los cambios en la presión no actúen deformando las paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido.

11 2

2

SF = F .

S

2.4 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

El principio de Arquímedes establece que cualquier cuerpo sólido que se encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido será empujado en dirección ascendente por una fuerza igual al peso del volumen del líquido desplazado por el cuerpo sólido. El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente.

L sE = ρ .g.V

O expresado en función del peso específico se tiene:

L sE = .V

Donde: ρL= densidad del Líquido (Kg/m3); γL= peso específico del líquido afectado por la gravedad (N/m

3); E=empuje

hidrostático (N); Vs=volumen del sólido (m3); g=gravedad promedio (9,8m/s

2).

Número de Arquímedes El número de Arquímedes (Ar) (no debe confundirse con la constante de Arquímedes denominada π) se atribuye al físico griego Arquímedes en su esfuerzo de investigar el movimiento de los fluidos en función de sus diferencias de densidad. Se trata de un número adimensional de la forma:

3

L L2

g.L . . - Ar =

ρ ρ ρ

μ

Donde:

g = aceleración gravitacional (9,81 m/s2),

ρl = densidad del fluido [kg/m3]

ρ = densidad del cuerpo [kg/m3]

μ = viscosidad dinámica [kg/s.m]

L = longitud característica de un cuerpo [m]

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En general se utiliza en transferencia de movimiento y en particular en flotación, fluidización y movimiento debido a diferencias de densidad. Es proporcional a:

Fuerzas Gravitatorias

Fuerzas Viscosas

2.4.1 DENSIDAD

En física y química, la densidad (símbolo ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.

mρ =

V

Si un cuerpo no tiene una distribución uniforme de la masa en todos sus puntos la densidad alrededor de un punto puede diferir de la densidad media. Si se considera una sucesión pequeños volúmenes decrecientes ΔVk (convergiendo hacia un volumen muy pequeño) y estén centrados alrededor de un punto, siendo Δmk la masa contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, la densidad en el punto común a todos esos volúmenes:

Δm dmkρ(x) = lim ΔV dVk k

La unidad es kg/m3 en el SI. Como ejemplo, un objeto de plomo es más denso que otro de corcho, con independencia

del tamaño y masa. A. Historia Según una conocida anécdota,(Historia de las Matemáticas, 1992) Arquímedes recibió el encargo de determinar si el orfebre de Hierón II de Siracusa desfalcaba el oro durante la fabricación de una corona dedicada a los dioses, sustituyéndolo por otro metal más barato (proceso conocido como aleación). Arquímedes sabía que la corona, de forma irregular, podría ser aplastada o fundida en un cubo cuyo volumen se puede calcular fácilmente comparado con la masa. Pero el rey no estaba de acuerdo con estos métodos, pues habrían supuesto la destrucción de la corona. Desconcertado, Arquímedes se dio un relajante baño de inmersión, y observando la subida del agua caliente cuando él entraba en ella, descubrió que podía calcular el volumen de la corona de oro mediante el desplazamiento del agua. Supuestamente, al hacer este descubrimiento salió corriendo desnudo por las calles gritando: "¡Eureka! ¡Eureka!" (Εύρηκα! en griego, que significa: "Lo encontré"). Como resultado, el término "Eureka" entró en el lenguaje común, y se utiliza hoy para indicar un momento de iluminación. La historia apareció por primera vez de forma escrita en De Architectura de Marco Vitruvio, dos siglos después de que supuestamente tuviese lugar. Sin embargo, algunos estudiosos han dudado de la veracidad de este relato, diciendo (entre otras cosas) que el método habría exigido medidas exactas que habría sido difíciles de hacer en ese momento.

2.4.2 TIPOS DE DENSIDAD

Densidad Absoluta La densidad o densidad absoluta es la magnitud que expresa la relación entre la masa y el volumen de una sustancia. Su unidad en el Sistema Internacional es kilogramo por metro cúbico (kg/m

3), aunque frecuentemente

también es expresada en g/cm3. La densidad es una magnitud intensiva.

mρ =

V

Siendo ρ, la densidad; m, la masa; y V, el volumen de la sustancia.

Densidad Relativa La densidad relativa de una sustancia es la relación existente entre su densidad y la de otra sustancia de referencia; en consecuencia, es una magnitud adimensional (sin unidades)

o

ρρ =r ρ

Donde ρr es la densidad relativa, ρ es la densidad de la sustancia, y ρo es la densidad de referencia o absoluta. Para los líquidos y los sólidos, la densidad de referencia habitual es la del agua líquida a la presión de 1 atm y la temperatura de 4°C. En esas condiciones, la densidad absoluta del agua destilada es de 1000 kg/m

3, es decir, 1 kg/dm

3.

Para los gases, la densidad de referencia habitual es la del aire a la presión de 1 atm y la temperatura de 0 °C.

Media y puntual Para un sistema homogéneo, la expresión masa/volumen puede aplicarse en cualquier región del sistema obteniendo siempre el mismo resultado. Sin embargo, un sistema heterogéneo no presenta la misma densidad en partes diferentes. En este caso, hay que medir la "densidad media", dividiendo la masa del objeto por su volumen o la "densidad puntual" que será distinta en cada punto, posición o porción "infinitesimal" del sistema, y que vendrá definida por:

m dmρ = lim

V dVV 0

Sin embargo debe tenerse que las hipótesis de la mecánica de medios continuos sólo son válidas hasta escalas de 10-8

m, ya que a escalas atómicas la densidad no está bien definida. Por ejemplo el núcleo atómico es cerca de 10

13 superior

a la de la materia ordinaria.

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Densidad Aparente y real La densidad aparente es una magnitud aplicada en materiales porosos como el suelo, los cuales forman cuerpos heterogéneos con intersticios de aire u otra sustancia normalmente más ligera, de forma que la densidad total del cuerpo es menor que la densidad del material poroso si se compactase. En el caso de un material mezclado con aire se tiene:

ap r aireap

ap r aire

m m + mρ = =

V V + V

La densidad aparente de un material no es una propiedad intrínseca del material y depende de su compactación. La densidad aparente del suelo (Da) se obtiene secando una muestra de suelo de un volumen conocido a 105 °C hasta peso constante.

ss

s

WDa =

V

Donde:

WSS: Peso de suelo secado a 105 °C hasta peso constante.

VS: Volumen original de la muestra de suelo.

Se debe considerar que para muestras de suelo que varíen su volumen al momento del secado, como suelos con alta concentración de arcillas 2:1, se debe expresar el contenido de agua que poseía la muestra al momento de tomar el volumen.

2.4.3 CAMBIOS DE DENSIDAD

En general, la densidad de una sustancia varía cuando cambia la presión o la temperatura, y en los cambios de estado.

Cuando aumenta la presión, la densidad de cualquier material estable también aumenta.

Como regla general, al aumentar la temperatura, la densidad disminuye (si la presión permanece constante). Sin embargo, existen notables excepciones a esta regla. Por ejemplo, la densidad del agua crece entre el punto de fusión (a 0 °C) y los 4 °C; algo similar ocurre con el silicio a bajas temperaturas. El efecto de la temperatura y la presión en los sólidos y líquidos es muy pequeño, por lo que típicamente la compresibilidad de un líquido o sólido es de 10

–6 bar

–

1 (1 bar =0,1 MPa) y el coeficiente de dilatación térmica es de 10

–5 K

–1.

Por otro lado, la densidad de los gases es fuertemente afectada por la presión y la temperatura. La ley de los gases ideales describe matemáticamente la relación entre estas tres magnitudes:

P.Mρ =

R.T

Donde R es la constante universal de los gases ideales, P es la presión del gas, M su masa molar y T la temperatura absoluta. Eso significa que un gas ideal a 300 K (27 °C) y 1 atm duplicará su densidad si se aumenta la presión a 2 atm manteniendo la temperatura constante o, alternativamente, se reduce su temperatura a 150 K manteniendo la presión constante.

2.4.4 MEDICIÓN

La densidad puede obtenerse de forma indirecta y de forma directa. Para la obtención indirecta de la densidad, se miden la masa y el volumen por separado y posteriormente se calcula la densidad. La masa se mide habitualmente con una balanza, mientras que el volumen puede medirse determinando la forma del objeto y midiendo las dimensiones apropiadas o mediante el desplazamiento de un líquido, entre otros métodos. Los instrumentos más comunes para medir la densidad son:

El densímetro, que permite la medida directa de la densidad de un líquido.

El picnómetro, que permite la medida precisa de la densidad de sólidos, líquidos y gases (picnómetro de gas).

La balanza hidrostática, que permite calcular densidades de sólidos.

La balanza de Mohr (variante de balanza hidrostática), que permite la medida precisa de la densidad de líquidos. Otra posibilidad para determinar las densidades de líquidos y gases es utilizar un instrumento digital basado en el principio del tubo en U oscilante. Cuya frecuencia de resonancia está determinada por los materiales contenidos, como la masa del diapasón es determinante para la altura del sonido

5

Un densímetro automático quien utiliza el principio del tubo en U oscilante.

2.4.5 PESO ESPECÍFICO

Se le llama Peso específico (Aguilar Peris José, 2001), a la relación entre el peso de una sustancia y su volumen. Su expresión de cálculo es:

γ P m.g

= = = ρ.gV V

Siendo: γ , el peso específico;

P, el peso de la sustancia; V, el volumen de la sustancia;

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ρ, la densidad de la sustancia; m, la masa de la sustancia; g, la aceleración de la gravedad. Unidades

En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se lo expresa en newtons sobre metro cúbico: N/m3.

En el Sistema Técnico se mide en kilogramos–fuerza sobre metro cúbico: kg-f/m3.

En el SIMELA se expresa en newtons sobre metro cúbico: N/m3.

Como el kilogramo–fuerza representa el peso de un kilogramo —en la Tierra—, el valor numérico de esta magnitud, expresada en kgf/m

3, es el mismo que el de la densidad, expresada en kg/m

3.

Por ende, está íntimamente ligado al concepto de densidad, que es de uso fácil en unidades terrestres, aunque confuso según el SI. Como consecuencia de ello, su uso está muy limitado. Incluso, en Física resulta incorrecto.

2.4.6 NORMATIVA INTERNACIONAL

Aplicado a una magnitud física, el término específico significa "por unidad de masa". En el contexto del Sistema Internacional de Unidades no se permiten otros usos del término específico. En consecuencia, son reprobables. De acuerdo con la normativa del "Bureau International des Poids et Mesures", la inaceptabilidad de la expresión peso específico se basa en que su significado sería peso por unidad de masa, esto es newtons sobre kilogramo (N/kg), en tanto que el erróneamente asignado es el de peso por unidad de volumen, o sea newtons por metro cúbico (N/m

3).

Su denominación correcta sería densidad de peso. (Aguilar Peris José, 2001),

2.4.7 MAGNITUD ESPECÍFICA

En física, una magnitud específica, es una magnitud referida a la unidad de masa. Es, por lo tanto, el valor o intensidad de la magnitud considerada, correspondiente a cada unidad de masa en el SU (sistema de unidades) utilizado. EJEMPLOS Son denominaciones correctas:

Calor específico: Cantidad de calor necesaria para incrementar en 1 K la temperatura de la unidad de masa de un cuerpo. Se expresa en julios por kelvin y por kilogramo (J K

-1kg

-1)

Energía específica: Energía por unidad de masa. Se expresa en julios por kilogramo (J kg

-1)

Volumen específico: Volumen ocupado por la unidad de masa de una sustancia. Se expresa en metros cúbicos por kilogramo (m

3kg

-1). Su valor

representa el inverso de la densidad. Otros usos del término específico no se permiten en el contexto del Sistema Internacional de Unidades y, en consecuencia, son reprobables. De acuerdo con la normativa, es reprobable el término peso específico, ya que su significado sería peso por unidad de de masa, esto es newtons por kilogramo (N.kg

-1); en tanto que el que

erróneamente se le asigna es el de peso por unidad de volumen, o sea, newtons por metro cúbico (N m-3

) (densidad de peso sería su denominación correcta). 2.4.7 PRESIÓN La presión (símbolo p) es una magnitud física que mide como la proyección de la fuerza en dirección perpendicular por unidad de superficie (esa magnitud es escalar), y sirve para caracterizar cómo se aplica una determinada fuerza resultante sobre una superficie. En el Sistema Internacional la presión se mide en una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un metro cuadrado. En el Sistema Inglés la presión se mide en libra por pulgada cuadrada (pound per square inch) psi que es equivalente a una fuerza total de una libra actuando en una pulgada cuadrada. Distribución de presiones sobre un cilindro que se mueve a velocidad constante en el seno de un fluido ideal.

Esquema; se representa cada "elemento" con una fuerza dP y un área dS.

A. Definición La presión es la magnitud vectorial que relaciona la fuerza con la superficie sobre la que actúa, es decir, equivale a la fuerza que actúa sobre la unidad de superficie. (Aguilar Peris José, 2001), Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme, la presión P viene dada de la siguiente forma:

FP =

A

En un caso general donde la fuerza puede tener cualquier dirección y no estar distribuida uniformemente en cada punto la presión se define como:

AdFP = . n

dA

Donde es un vector unitario y normal a la superficie en el punto donde se pretende medir la presión. La definición anterior puede escribirse también como:

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s

dP = . f.n.dS

dA

Donde:

f, es la fuerza por unidad de superficie.

n, es el vector normal a la superficie.

A, es el área total de la superficie S. a) Presión absoluta y relativa En determinadas aplicaciones la presión se mide no como la presión absoluta sino como la presión por encima de la presión atmosférica, denominándose presión relativa, presión normal, presión de gauge o presión manométrica. Consecuentemente, la presión absoluta es la presión atmosférica (Pa) más la presión manométrica (Pm) (presión que se mide con el manómetro).

P = P + Pabs atm man

b) Presión hidrostática e hidrodinámica En un fluido en movimiento la presión hidrostática puede diferir de la llamada presión hidrodinámica por lo que debe especificarse a cual de las dos se está refiriendo una cierta medida de presión.

2.4.8 PRESIÓN DE UN GAS

Manómetro En el marco de la teoría cinética la presión de un gas es explicada como el resultado macroscópico de las fuerzas implicadas por las colisiones de las moléculas del gas con las paredes del contenedor. La presión puede definirse por lo tanto haciendo referencia a las propiedades microscópicas del gas. En general hay más densidad si las partículas se encuentran en estado sólido, si se encuentran en estado líquido es mínima la distancia entre una y otra y por último si se encuentra en estado gaseoso se encuentran muy distantes. En efecto, para un gas ideal con N moléculas, cada una de masa m y moviéndose con una velocidad aleatoria promedio vrms contenido en un volumen cúbico V las partículas del gas impactan con las paredes del recipiente de una manera que puede calcularse de manera estadística intercambiando momento lineal con las paredes en cada choque y efectuando una fuerza neta por unidad de área que es la presión ejercida por el gas sobre la superficie sólida. La presión puede calcularse como

2rmsNmv

P = 3V

(gas ideal)

Este resultado es interesante y significativo no sólo por ofrecer una forma de calcular la presión de un gas sino porque relaciona una variable macroscópica observable, la presión, con la energía cinética promedio por molécula, 1/2 mvrms², que es una magnitud microscópica no observable directamente. Nótese que el producto de la presión por el volumen del recipiente es dos tercios de la energía cinética total de las moléculas de gas contenidas.

2.4.9 PROPIEDADES DE LA PRESIÓN EN UN MEDIO FLUIDO

1. La fuerza asociada a la presión en un fluido ordinario en reposo se dirige siempre hacia el exterior del fluido, por lo que debido al principio de acción y reacción, resulta en una compresión para el fluido, jamás una tracción.

2. La superficie libre de un líquido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es siempre horizontal. Eso es cierto sólo en la superficie de la Tierra y a simple vista, debido a la acción de la gravedad no es constante. Si no hay acciones gravitatorias, la superficie de un fluido es esférica y, por tanto, no horizontal.

3. En los fluidos en reposo, un punto cualquiera de una masa líquida está sometida a una presión que es función únicamente de la profundidad a la que se encuentra el punto. Otro punto a la misma profundidad, tendrá la misma presión. A la superficie imaginaria que pasa por ambos puntos se llama superficie equipotencial de presión o superficie isobárica.

2.4.10 APLICACIONES

Frenos hidráulicos Muchos automóviles tienen sistemas de frenado antibloqueo (ABS, siglas en inglés) para impedir que la fuerza de fricción de los frenos bloqueen las ruedas, provocando que el automóvil derrape. En un sistema de frenado antibloqueo un sensor controla la rotación de las ruedas del coche cuando los frenos entran en funcionamiento. Si una rueda está a punto de bloquearse los sensores detectan que la velocidad de rotación está bajando de forma brusca, y disminuyen la presión del freno un instante para impedir que se bloquee. Comparándolo con los sistemas de frenado tradicionales, los sistemas de frenado antibloqueo consiguen que el conductor controle con más eficacia el automóvil en estas situaciones, sobre todo si la carretera está mojada o cubierta por la nieve.

Refrigeración La refrigeración se basa en la aplicación alternativa de presión elevada y baja, haciendo circular un fluido en los momentos de presión por una tubería. Cuando el fluido pasa de presión elevada a baja en el evaporador, el fluido se enfría y retira el calor de dentro del refrigerador.

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Como el fluido se encuentra en un ciclo cerrado, al ser comprimido por un compresor para elevar su temperatura en el condensador, que también cambia de estado a líquido a alta presión, nuevamente está listo para volverse a expandir y a retirar calor (recordemos que el frío no existe es solo una ausencia de calor).

Neumáticos de los automóviles (Aguilar Peris José, 2001), Se inflan a una presión de 310263,75 Pa, lo que equivale a 30 psi (utilizando el psi como unidad de presión relativa a la presión atmosférica). Esto se hace para que los neumáticos tengan elasticidad ante fuertes golpes (muy frecuentes al ir en el automóvil). El aire queda encerrado a mayor presión que la atmosférica dentro de las cámaras (casi 3 veces mayor), y en los neumáticos más modernos entre la cubierta de caucho flexible y la llanta que es de un metal rígido.

2.5 PRESIÓN EJERCIDA POR LOS LÍQUIDOS

La presión que se origina en la superficie libre de los líquidos contenidos en tubos capilares, o en gotas líquidas se denomina presión capilar. Se produce debido a la tensión superficial. En una gota es inversamente proporcional a su radio, llegando a alcanzar valores considerables. Por ejemplo, en una gota de mercurio de una diezmilésima de milímetro de diámetro hay una presión capilar de 100 atmósferas. La presión hidrostática corresponde al cociente entre la fuerza normal F que actúa, en el seno de un fluido, sobre una cara de un cuerpo y que es independiente de la orientación de ésta. Depende únicamente de la profundidad a la que se encuentra situado el elemento considerado. La de un vapor, que se encuentra en equilibrio dinámico con un sólido o líquido a una temperatura cualquiera y que depende únicamente de dicha temperatura y no del volumen, se designa con el nombre de presión de vapor o saturación.

2.6 PRESIÓN HIDROSTÁTICA Y PRENSA HIDRÁULICA.

2.6.1 PRESIÓN EN UN FLUIDO

La presión en un fluido es la presión termodinámica que interviene en la ecuación constitutiva y en la ecuación de movimiento del fluido, en algunos casos especiales esta presión coincide con la presión media o incluso con la presión hidrostática. A. Introducción Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión:

La presión media, o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.

La presión hidrostática, es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este. Se define por la fórmula Ph=γ.h donde Ph es la presión hidrostática, γ=ρ.g es el peso específico y "h" profundidad bajo la superficie del fluido.

La presión hidrodinámica, es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, el estado de movimiento del mismo.

2.6.2 PRESIÓN HIDROSTÁTICA

Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes sobre el fondo del recipiente que lo contiene y sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Esta presión, llamada presión hidrostática, provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la superficie del objeto sumergido sin importar la orientación que adopten las caras. Si el líquido fluyera, las fuerzas resultantes de las presiones ya no serían necesariamente perpendiculares a las superficies. Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura del líquido por encima del punto en que se mida. Se calcula mediante la siguiente expresión:

P = ρ.g.h

Donde, usando unidades del SI,

P es la presión hidrostática (en pascales);

ρ es la densidad del líquido (en kilogramos partido metro cúbico);

g es la aceleración de la gravedad (en metros partido segundo al cuadrado);

h es la altura del fluido (en metros). Un líquido en equilibrio ejerce fuerzas perpendiculares sobre cualquier superficie sumergida en su interior

2.6.3 PRESIÓN MEDIA (Aguilar Peris José, 2001),

En un fluido en reposo la presión en un punto es constante en cualquier dirección y por tanto la presión media, promediando en todas direcciones coincide con la presión hidrostática. Sin embargo, en un fluido en movimiento no necesariamente sucede así. En un fluido cualquiera la presión media se define desde que la traza del tensor tensión del fluido:

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1p = .tr(ζ)

3

En un fluido newtoniano la presión media coincide con la presión termodinámica o hidrodinámica en tres casos importantes:

Cuando el fluido está en reposo, en este caso, son iguales la presión media, la presión hidrostática y la presión termodinámica.

Cuando el fluido es incompresible.

Cuando la viscosidad volumétrica es nula. En un fluido en reposo en los puntos donde el fluido está en contacto con una superficie sobre la que ejerce una presión uniforme la presión media obviamente es:

1 F p = .tr(ζ) =

3 A

Donde: F, es la fuerza resultante asociada a las presiones sobre dicha superficie. A, es el área total de la superficie sobre la que actúan las presiones uniformemente.

2.6.4 PRESIÓN HIDRODINÁMICA En un fluido en movimiento general, al medir la presión según diferentes direcciones alrededor de un punto esta no será constante, dependiendo la dirección donde la presión es máxima y mínima de la dirección y valor de la velocidad en ese punto. De hecho en un fluido newtoniano cuya ecuación constitutiva, que relaciona el tensor tensión con el tensor velocidad de deformación:

σ λ .δ λ .

jk ikkij ij ij ij

k j j

vv v= -p + d + 2.μ.d = -p + + μ. +

x x x

Donde:

σij son las componentes del tensor tensión.

dij son las componentes del tensor velocidad de deformación.

vi son las componentes del vector velocidad del fluido.

P es la presión hidrodinámica.

λ;μ son dos viscosidades que caracterizan el comportamiento del fluido. Puede probarse que la presión hidrodinámica se relaciona con la presión media por:

p = p +K .v

Donde:

λK = +2μ/3 ; es la viscosidad volumétrica.

.v, es la divergencia del vector velocidad.

2.6.5 PRINCIPIO DE PASCAL

El funcionamiento de la prensa hidráulica ilustra el principio de Pascal

En física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: ―la presión ejercida por un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido‖. El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma presión. También podemos ver aplicaciones del principio de Pascal en las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos y en los frenos hidráulicos.

2.6.6 PRENSA HIDRÁULICA

La prensa hidráulica es una máquina compleja que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas hidráulicas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la presión P1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma casi instantánea a todo el resto del líquido. Por el principio de Pascal esta presión será igual a la presión P2 que ejerce el fluido en la sección S2, es decir:

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1 2P = P

Con lo que las fuerzas serán, siendo, S1 < S2:

1 1 1 1 2 2 2 2F = P .S P .S = P .S = F<

Y por tanto, la relación entre la fuerza resultante en el émbolo grande cuando se aplica una fuerza menor en el émbolo pequeño será tanto mayor cuanto mayor sea la relación entre las secciones:

11 2

2

SF = F .

S

A. Discusión teórica En un fluido las tensiones compresivas o presiones en el mismo pueden representarse mediante un tensor de la forma:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

ζ ζ ζ

T = ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

..................(1)

Eso significa que fijado un punto P en el seno del fluido y considerando una dirección paralela al vector unitario n la fuerza por unidad de área ejercida en ese puntos según esa dirección o el vector tensión t viene dado por:

t = T.n ..................(2)

El principio de Pascal establece que la tensión en (2) es independiente de la dirección n, lo cual sólo sucede si el tensor tensión es de la forma:

-P 0 1

T 0 -P 1

0 0 -P

.......................(3)

Donde p es una constante que podemos identificar con la presión. A su vez esa forma del tensor sólo es posible tenerlo de forma aproximada si el fluido está sometido a presiones mucho mayores que la diferencia de energía potencial entre diferentes partes del mismo. Por lo que el principio de Pascal puede formularse como: «En un fluido en reposo y donde las diferencias de altura son despreciables el tensor de tensiones del fluido toma la forma dada en (3)". Sin embargo, en realidad debido al peso del fluido hace que el fluido situado en la parte baja de un recipiente tenga una tensión ligeramente mayor que el fluido situado en la parte superior. De hecho si la única fuerza másica actuante es el peso del fluido, el estado tensional del fluido a una profundidad z el tensor tensión del fluido es:

sup peso

-P - ρz 0 1

T = T + T = 0 -P - ρz 1

0 0 -P - ρz

..........(4)

En vista de lo anterior podemos afirmar que "fijado un punto de un fluido incompresible en reposo y contenido en un recipiente bajo presión e indeformable, la presión del fluido, es idéntica en todas direcciones, y su tensor tensión viene dado por (4)".

2.6.7 PRENSA HIDRÁULICA

Antigua prensa hidráulica

Una prensa hidráulica (Aguilar Peris José, 2001),es un mecanismo conformado por vasos comunicantes impulsados por pistones de diferente área que, mediante pequeñas fuerzas, permite obtener otras mayores. Los pistones son llamados pistones de agua, ya que son hidráulicos. Estos hacen funcionar conjuntamente a las prensas hidráulicas por medio de motores. En el siglo XVII, en Francia, el matemático y filósofo Blaise Pascal comenzó una investigación referente al principio mediante el cual la presión aplicada a un líquido contenido en un recipiente se transmite con la misma intensidad en todas direcciones. Gracias a este principio se pueden obtener fuerzas muy grandes utilizando otras relativamente pequeñas. Uno de los aparatos más comunes para alcanzar lo anteriormente mencionado es la prensa hidráulica, la cual está basada en el principio de Pascal. El rendimiento de la prensa hidráulica guarda similitudes con el de la palanca, pues se obtienen presiones mayores que las ejercidas pero se aminora la velocidad y la longitud de desplazamiento, en similar proporción. A. Cálculo de la relación de fuerzas Cuando se aplica una fuerza F1 sobre el émbolo de menor área A1 se genera una presión P1: Esquema de fuerzas y áreas de una prensa hidráulica.

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11

1

FP =

A

Del mismo modo en el segundo émbolo:

22

2

FP =

A

Se observa que el líquido esta comunicado, luego por el principio de Pascal, la presión en los dos pistones es la misma, por tanto se cumple que:

1 2P = P

Esto es:

1 2

1 2

F F

A A y la relación de fuerzas:

1 1

2 2

F A F A

Luego la fuerza resultante de la prensa hidráulica es:

22 1

1

AF = F .

A

2.6.8 PRESIÓN DE VAPOR

Gráfico de la presión del vapor de agua

La presión de vapor es la presión de la fase gaseosa o vapor de un sólido o un líquido sobre la fase líquida, para una temperatura determinada, en la que la fase líquida y el vapor se encuentra en equilibrio dinámico; su valor es independiente de las cantidades de líquido y vapor presentes mientras existan ambas. Este fenómeno también lo presentan los sólidos; cuando un sólido pasa al estado gaseoso sin pasar por el estado líquido (proceso denominado sublimación o el proceso opuesto llamado sublimación inversa) también hablamos de presión de vapor. En la situación de equilibrio, las fases reciben la denominación de líquido saturado y vapor saturado. Esta propiedad posee una relación inversamente proporcional con las fuerzas de atracción intermoleculares, debido a que cuanto mayor sea el módulo de las mismas, mayor deberá ser la cantidad de energía entregada (ya sea en forma de calor u otra manifestación) para vencerlas y producir el cambio de estado. Imaginemos una burbuja de cristal en la que se ha realizado el vacío y que se mantiene a una temperatura constante; si introducimos una cierta cantidad de líquido en su interior éste se evaporará rápidamente al principio hasta que se alcance el equilibrio entre ambas fases. Inicialmente sólo se produce la evaporación ya que no hay vapor; sin embargo a medida que la cantidad de vapor aumenta y por tanto la presión en el interior de la ampolla, se va incrementando también la velocidad de condensación, hasta que transcurrido un cierto tiempo ambas velocidades se igualan. Llegados a este punto se habrá alcanzado la presión máxima posible en la ampolla (presión de vapor o de saturación) que no podrá superarse salvo que se incremente la temperatura. El equilibrio dinámico se alcanzará más rápidamente cuanto mayor sea la superficie de contacto entre el líquido y el vapor, pues así se favorece la evaporación del líquido; del mismo modo que un charco de agua extenso pero de poca profundidad se seca más rápido que uno más pequeño pero de mayor profundidad que contenga igual cantidad de agua. Sin embargo, el equilibrio se alcanza en ambos casos para igual presión. El factor más importante que determina el valor de la presión de saturación es la propia naturaleza del líquido, encontrándose que en general entre líquidos de naturaleza similar, la presión de vapor a una temperatura dada es tanto menor cuanto mayor es el peso molecular del líquido. Por ejemplo, el aire al nivel del mar saturado con vapor de agua a 20ºC, tiene una presión parcial de 23 mbar de agua y alrededor de 780 mbar de nitrógeno, 210 mbar de oxígeno y 9 mbar de argón. Tabla de puntos triples En esta tabla se incluyen los puntos triples de algunas sustancias comunes. Estos datos están basados en los proporcionados por la National Bureau of Standards (ahora NIST) de los EE.UU de América.

Sustancia T (K) P (kPa)

Acetileno 192,4 120

Amoníaco 195,40 6,076

Argón 83,81 68,9

Grafito 3900 10100

Dióxido de carbono 216,55 517

Monóxido de carbono 68,10 15,37

Deuterio 18,63 17,1

Etano 89,89 8 × 10−4

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Etileno 104,0 0,12

Helio-4 2,19 5,1

Hidrógeno 13,84 7,04

Cloruro de hidrógeno 158,96 13,9

Mercurio 234,2 1,65 × 10−7

Metano 90,68 11,7

Neón 24,57 43,2

Óxido nítrico 109,50 21,92

Nitrógeno 63,18 12,6

Óxido nitroso 182,34 87,85

Oxígeno 54,36 0,152

Paladio 1825 3,5 × 10−3

Platino 2045 2,0 × 10−4

Dióxido de azufre 197,69 1,67

Titanio 1941 5,3 × 10−3

Hexafluoruro de uranio 337,17 151,7

Agua 273,16 0,61

Xenón 161,3 81,5

Zinc 692,65 0,065

2.7 MANÓMETRO METÁLICO O ANEROIDE

En la industria se emplean casi exclusivamente los manómetros metálicos o aneroides, que son barómetros aneroides modificados de tal forma que dentro de la caja actúa la presión desconocida que se desea medir y fuera actúa la presión atmosférica. (Aguilar Peris José, 2001),

2.7.1 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN DE LOS NEUMÁTICOS CON UN MANÓMETRO

Hay 3 pasos sencillos en la medición de la presión de un neumático con un medidor de presión: 1. Ponerse en una posición firme para aplicar el manómetro a la válvula. 2. Aplicar la medida, formando un buen sellado entre el indicador y el tallo y la liberación de aire de la llanta en

el medidor. Hay que notar cómo el pasador en el interior de las prensas de calibre en contra de la aguja de la válvula interior del vástago de la válvula para liberar el aire de los neumáticos.

3. Aplicar el manómetro, sellando perfectamente la conexión entre el manómetro, el vapor y el aire liberado de la llanta al manómetro. Se debe notar como el alfiler del mismo presiona contra el alfiler de la válvula de vapor para liberar el aire de la llanta.

Leer la presión obtenida del manómetro.

2.7.2 MEDICIÓN DE BAJAS PRESIONES Pirani construyó el primer aparato capaz de medir presiones muy pequeñas, menores de 10

–5 Torr. Para entender cómo

funciona debemos pensar que en la zona donde se ha producido el vacío tenemos un filamento metálico por el que pasa una corriente. La resistencia eléctrica de ese filamento depende de la temperatura. La temperatura que alcanza el filamento para un voltaje dado depende de la cantidad de moléculas de gas que hay a su alrededor. Esas moléculas actúan como «abrigo» del metal. Por lo tanto, la temperatura del filamento depende del abrigo: más moléculas > más abrigo > más temperatura. Menos moléculas > mayor vacío > menor temperatura. Como la resistencia depende de la temperatura nos basta medirla para saber el nivel de vacío que hay. Para medir la resistencia basta medir el voltaje aplicado y la intensidad resultante. Medidas de ionización Tienen el mismo fundamento que las bombas de ionización, hasta el punto que éstas pueden considerarse como una consecuencia de aquéllas. Cuando se trata de medir presiones de vacío muy bajas, se utilizan las variantes propuestas por Bayard-Alpert de aquellos aparatos capaces de suministrar con gran exactitud presiones de hasta 10

–12Torr. El aire

está compuesto por varios gases; los más importantes son el nitrógeno y el oxígeno, pero también contiene en menores concentraciones gases como dióxido de carbono, argón, neón, helio, criptón, xenón, hidrógeno, metano, óxido nitroso y vapor de agua.

APLICACIONES TÉCNICAS DEL VACÍO

Situación física

Objetivo Aplicaciones

Baja presión Se obtiene una diferencia de presión Sostenimiento, elevación, transporte (neumático, aspiradores, filtrado), moldeado

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Baja densidad

molecular

Eliminar los componentes activos de la

atmósfera

Lámparas (incandescentes, fluorescentes, tubos eléctricos),

fusión, sinterización, empaquetado, encapsulado, detección de fugas

Extracción del gas ocluido o disuelto Desecación, deshidratación, concentración, liofilización,

degasificación, impregnación

Disminución de la transferencia de energía Aislamiento térmico, aislamiento eléctrico, microbalanza de vacío, simulación espacial

Gran recorrido libre medio

Evitar colisiones

Tubos electrónicos, rayos catódicos, TV, fotocélulas, fotomultiplicadores, tubos de rayos X, aceleradores de

partículas, espectrómetros de masas, separadores de isótopos, microscopios electrónicos, soldadura por haz de electrones, metalización (evaporación, pulverización

catódica), destilación molecular

Tiempo largo de formación

de una monocapa

Superficies limpias Estudio de la fricción, adhesión, corrosión de superficies.

Prueba de materiales para experiencias espaciales.

Tabla de descubrimientos sobre la tecnología de vacío

Autor Descubrimiento o trabajo Año

Evangelista Torricelli El vacío en la columna de 760 mm de mercurio

1643

Blaise Pascal Variación de la columna de Hg con la altura

1650

Otto von Guericke Bombas de vacío de pistón.

Hemisferio de Magdeburgo 1654

Robert Boyle Ley presión-volumen de los gases ideales

1662

Edme Mariotte Ley presión-volumen de los gases ideales

1679

A. L. Lavoisier El aire fomado por una mezcla de O2 y N2

1775

Daniel Bernouilli Teoría cinética de los gases 1783

J.A. Charles-J. Gay Lussac

Ley volumen-temperatura de los gases ideales

1802

William Henry

Ley de Henry:a una temperatura

constante, la cantidad de gas disuelta en un líquido es directamente proporcional a la presión parcial que

ejerce ese gas sobre el líquido

1803

Medhurst Propone la primera línea neumática de

vacío entre oficinas de correos 1810

Amadeo Avogadro La densidad molecular de los gases es corriente

1811

Geissler y Toepler Bomba de vacío mediante columna de mercurio

1850

J. K. Maxwell Leyes de la distribución de

velocidades en un gas molecular 1859

Sprengel Bomba de vacío por caída de mercurio 1865

H. Mc Leod Vacuómetro de compresión de mercurio (McLeod)

1874

T. A. Edison Lámpara de incandescencia con

filamento de C 1879

W. Crookes Tubo de rayos catódicos 1879

J. Van der Waals Ecuación de estado de los gases reales

1881

James Dewar Aislamiento térmico bajo vacío 1893

Wilhem Roentgen Rayos X 1895

A. Fleming Diodo de vacío 1902

Arthur Wehnelt Cátodo recubierto por óxido 1904

Wolfgang Gaede Bomba de vacío rotativa 1905

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FUENTE: Las tablas Termodinámicas son del libro: VAN WYLEN, Gordon / SONNTAG, Richard FUNDAMENTOS DE TERMODINAMICA. Versión SI. Ed John Willey

Temperaturas Relativas

Grado Celsius (°C). Para establecer una base de medida de la temperatura Anders Celsius utilizó (en 1742) los puntos de fusión y ebullición del agua. Se considera que una mezcla de hielo y agua que se encuentra en equilibrio con aire saturado a 1 atm está en el punto de fusión. Una mezcla de agua y vapor de agua (sin aire) en equilibrio a 1 atm de presión se considera que está en el punto de ebullición. Celsius dividió el intervalo de temperatura que existe entre éstos dos puntos en 100 partes iguales a las que llamó grados centígrados °C. Sin embargo, en 1948 fueron renombrados grados Celsius en su honor; así mismo se comenzó a utilizar la letra mayúscula para denominarlos. En 1954 la escala Celsius fue redefinida en la Décima Conferencia de Pesos y Medidas en términos de un sólo punto fijo y de la temperatura absoluta del cero absoluto. El punto escogido fue el punto triple del agua que es el estado en el que las tres fases del agua coexisten en equilibrio, al cual se le asignó un valor de 0,01 °C. La magnitud del nuevo grado Celsius se define a partir del cero absoluto como la fracción 1/273,16 del intervalo de temperatura entre el punto triple del agua y el cero absoluto. Como en la nueva escala los puntos de fusión y ebullición del agua son 0,00 °C y 100,00 °C respectivamente, resulta idéntica a la escala de la definición anterior, con la ventaja de tener una definición termodinámica.

Grado Fahrenheit (°F).- Toma divisiones entre el punto de congelación de una disolución de cloruro amónico (a la que le asigna valor cero) y la temperatura normal corporal humana (a la que le asigna valor 100). Es una unidad típicamente usada en los Estados Unidos; erróneamente, se asocia también a otros países anglosajones como el Reino Unido o Irlanda, que usan la escala Celsius.

Grado Réaumur (°Ré, °Re, °R). Usado para procesos industriales específicos, como el del almíbar.

Grado Romer o Roemer. En desuso.

Grado Newton (°N). En desuso.

Grado Leiden. Usado para calibrar indirectamente bajas temperaturas. En desuso.

Grado Delisle (°D) En desuso. Absolutas

Las escalas que asignan los valores de la temperatura en dos puntos diferentes se conocen como escalas a dos puntos. Sin embargo en el estudio de la termodinámica es necesario tener una escala de medición que no dependa de las propiedades de las sustancias. Las escalas de éste tipo se conocen como escalas absolutas o escalas de temperatura termodinámicas. Con base en el esquema de notación introducido en 1967, en la Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM), el símbolo de grado se eliminó en forma oficial de la unidad de temperatura absoluta.

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Kelvin (K).- El Kelvin es la unidad de medida del SI. La escala Kelvin absoluta es parte del cero absoluto y define la magnitud de sus unidades, de tal forma que el punto triple del agua es exactamente a 273,16 K.

3

Aclaración: No se le antepone la palabra grado ni el símbolo º.

Sistema anglosajón de unidades

Rankine (R o Ra). Escala con intervalos de grado equivalentes a la escala Fahrenheit, cuyo origen está en -459,67 °F. En desuso.

Marcelo Pirani Vacuómetro de conductividad térmica 1906

Lee the Forest Triodo de vacío 1907

W. D. Coolidge Lámpara de filamento de tungsteno 1909

M. Knudsen El flujo molecular de los gases 1909

W. Gaede Bomba de vacío molecular 1913

W. D. Coolidge Tubos de rayos X 1915

W. Gaede Bomba difusora de mercurio 1915

Irving Langmuir Lámpara incandescente llena de gas

inerte 1915

Irving Langmuir Bomba difusora de condensación de mercurio

1916

O. E. Buckley Galga de ionización de cátodo caliente 1916

F. Holweck Bomba molecular 1923

W. Gaede El gas-ballast en las bombas rotativas 1935

Kenneth Hickman Bomba difusora de aceite 1936

F. M. Penning Vacuómetro de ionización de cátodo

frío 1937

R. T. Bayard y D. Alpert Galga de ionización para ultra alto vacío

1950

H. J. Schwarz, R. G. Herb Bombas iónicas 1953

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DIMENSIONES Y UNIDADES Cualquier cantidad física se caracteriza mediante dimensiones. Las magnitudes asignadas a las dimensiones se llaman unidades. Algunas dimensiones básicas como masas m, longitud L, tiempo t y temperatura T se seleccionan como dimensiones primarias o fundamentales, mientras que otras como la velocidad V, energía E, y volumen V se expresan en términos de dimensiones primaras y se llaman dimensiones secundarias o dimensiones derivadas. Se conoce varios sistemas de unidades siendo los más comunes 2el sistema inglés y el SI métrico o el sistema internacional. (Aguilar Peris José, 2001), El Sistema Internacional de Unidades SI, es un sistema simple y lógico basado en una relación decimal entre las distintas unidades y se usa para trabajos científicos y de ingeniería. Sin embargo el sistema ingles no tiene base numéricas sistemáticas evidentes y varias unidades de este sistema se relacionan entre sí de manera bastante arbitraria. (12 pulgadas=1pie=1 milla=5280 pies, 4 cuartos=1 galón, etc.) Lo que hace que el aprendizaje sea más confuso.

TABLA 1: UNIDADES BASE DEL SISTEMA INTERNACIONAL (Siete dimensiones fundamentales o primarias) y sus unidades en el SI

DIMENSIÓN UNIDAD SIMBOLO

Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente Eléctrica amperio A Temperatura Termodinámica kelvin K Cantidad de Substancia mol mol Intensidad Luminosa candela Cd

TABLA 2: EJEMPLO DE UNIDADES DERIVADAS EXPRESADAS EN TERMINOS DE UNIDADES BASE.

EXPRESIÓN UNIDAD DE SI

NOMBRE SIMBOLO

Área Volumen Velocidad

Velocidad angular Aceleración

Aceleración angular Número de ondas

Masa específica Densidad de Corriente

Intensidad del campo magnético

Fuerza Presión

Viscosidad Cinemática

Concentración ( de cantidad de substancia) Fluido de Partículas

ionizantes Volumen específico

Luminancia

metro cuadrado metro cúbico metro por segundo

radian por segundo metro por segundo al cuadrado

radián por segundo al cuadrado uno por metro

kilogramo por metro cúbico amperio por metro

cuadrado amperio por metro

kilogramo metro por segundo al cuadrado Newton por metro

cuadrado metro cuadrado por segundo

mol por metro cúbico uno por segundo

metro cúbico por kilogramo

candela por metro cuadrado

m² m³ m/s

rad/s m/s²

rad/s

2

m-1

kg/m³

A/m² A/m

Kg m/s

2

N/m2

m²/s

mol/m³ s

-1

m³/kg

Cd/m

2

FUENTE: Las tablas Termodinámicas son del libro: VAN WYLEN, Gordon / SONNTAG, Richard FUNDAMENTOS DE TERMODINAMICA. Versión SI. Ed John Willey

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FACTORES CONVERSIÓN DE UNIDADES

LONGITUD

1 m = 100cm = 1000mm = 106μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in.

1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm

1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ACELERACIÓN

1 m = 100cm = 1000mm = 106μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in.

1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm

1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ÁREA

1 cm2 = 0,155 in

2

1 m2 = 10

4 cm

2 = 10,76 ft

2

1 in2 = 6,452 cm

2

1 ft2 = 144 in

2

MASA

1 Kg = 103g = 0,0685 slug

1 g = 6,85x10-5

slug 1 slug = 14,59 Kg

1 u = 1,661x10-27

Kg 1 Kg tiene un peso de 2,205 lb cuando g=9,8m/s

2

VOLUMEN 1 litro = 1000 cm

3=10

-3m

3= 0,03531ft

3= 61,02 in

3

1 ft3 =0,02832m

3=28,32 litros= 7,477 galones 1 galón= 3,788 litros

(galón americano)

FUERZA 1 N = 10

5 dinas = 0,2248 lb

1 lb = 4,448 N = 4,448x105 dinas

TIEMPO 1 min= 60 s 1 h= 3600 s

1 día=86400 s 1 año = 365,24 días = 3,156x10

7 s

PRESIÓN 1 Pa = 1N/m

2 = 1,451x10

-4 lb/in

2 = 0,209 lb/ft

2

1 bar = 105 Pa

1 lb/in2 = 6891 Pa

1 lb/ft2 = 47,85 Pa

1 atm = 1,013x105 Pa = 1,013 bar = 14,7 lb/in2

= 2117 lb/ft2

1 mmHg = 1 Torr = 133,3 Pa

ÁNGULO 1 rad.= 57,30

o= 180

o/π

1 litro = 1000 cm3

1o= 0,01745 rad = π/180 rad

1 revolución= 360o = 2π rad.

ENERGÍA 1 J = 107 ergios = 0,239 cal 1 cal = 4,186 J (basado en caloría a 15

o)

1 ft.lb = 1,356 J 1 BTU = 1055J = 252 cal = 778 ft.lb 1 eV = 1,602x10

-19 J

1 KWh = 3,6x106 J

VELOCIDAD 1 m/s = 3,281 ft/s

1 ft/s = 0,3048 m/s 1 mi/min = 60mi/h = 88 ft/s 1 Km/h = 0,2778 m/s =0,6214 Km/h

1 estadio/quincena = 1,662x10-4

m/s N. del E: Estadio: medida de 201 metros

EQUIVALENCIA MASA - ENERGÍA 1 kg = 8,988 x10

16J

1 u = 931,5 MeV 1 eV = 1,074x10

-9 u

POTENCIA

1 watt = 1J/s 1 hp = 746 W = 550 ft.lb/s 1 BTU/h = 0,293W

FUENTE: Las tablas Termodinámicas son del libro: VAN WYLEN, Gordon / SONNTAG, Richard FUNDAMENTOS DE TERMODINAMICA. Versión SI. Ed John Willey

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FLUÍDOS PROBLEMA 1 Un tubo en "U" de ramas iguales contiene mercurio. ¿Qué altura: en mm; de agua se debe verter en una de las ramas para que el mercurio en la otra rama se eleve en 1 milímetro? La densidad del mercurio ρHg=13,6g/cc. PROBLEMA 2 El peso de un cuerpo sólido en el aire es de 5kg-f, y el mismo cuerpo sumergido totalmente en un líquido, cuyo peso específico es de 0,2g-f/cc, es de 4,5kg-f. El volumen del cuerpo sólido en cm

3 es:

PROBLEMA 3 El peso específico de un cuerpo es la mitad en el agua que en el aire, halle el peso específico de este cuerpo, en g/cc. PROBLEMA 4 Halle la relación entre las densidades de dos esferas que en el aire pesan 10 y 20 gramos, pero que sumergidas en cualquier líquido, la mayor pesa el doble que la menor. PROBLEMA 5 ¿Qué peso contiene un depósito de vidrio que al flotar en agua desaloja 0,04m

3 de éste líquido, se sabe que el

depósito vacío pesa 230N? Considere g=10m/s2.

PROBLEMA 6 Un bloque cúbico de hierro, de 10 centímetros de arista y densidad 7,8g/cc, flota sobre mercurio. Si se vierte agua sobre la superficie de mercurio, ¿qué altura; en cm, debe tener la capa de agua para que su superficie alcance justamente la cara superior del bloque de hierro? PROBLEMA 7 ¿Qué volumen máximo de hierro; en cc; se puede adherir a 200 g-f de corcho de manera que el conjunto pueda flotar? Considere Peso específico del corcho: 0,4g-f/cc y Peso específico del hierro: 8g-f/cc PROBLEMA 8 El peso de un bote de madera es 40N, cuando en el viaja un hombre de 80N, a través de un lago, transportando una carga de 300N, ¿qué volumen; en m

3; del bote se sumerge en el agua?

PROBLEMA 9 Una esfera homogénea de volumen "V" flota en el límite de dos líquidos que no se mezclan entre sí. La densidad del líquido superior es "ρ1" y la del líquido inferior es igual a "ρ2". La densidad de la esfera es "ρ" y además se cumple que; ρ1< ρ<ρ2. ¿Qué parte del volumen de la esfera está en el líquido superior? PROBLEMA 10 Una pesa sujeta a un dinamómetro, se suelta en el agua hasta que su nivel en el recipiente se eleve en Δh=5 centímetros. La indicación en el dinamómetro varió en ΔF=0,5N. El área del fondo del recipiente es en cm

2:

PROBLEMA 11 Un sólido suspendido de un resorte produce estiramientos de "X" y "X/3" cuando está en el aire y sumergido en aceite, respectivamente. Relacione las densidades del sólido y el aceite. PROBLEMA 12 En la figura, ¿qué fuerza "F" es necesaria para subir la carga de 4000kg-f? Considere D1=2,5cm; D2=20cm.

4000kg-f

F

20cm

5cm

PROBLEMA 13 Un cuerpo de densidad "ρc" es dejado libre en el interior de un líquido de densidad "ρL"; si ρc=2ρL. ¿Con qué aceleración desciende el cuerpo? Desprecie la viscosidad del líquido. PROBLEMA 14

Un cuerpo de peso específico igual a =1,6g-f/cc se posa suavemente sobre una superficie de agua contenida en un recipiente y se observa que tarda en llegar al fondo un tiempo "t", se repite la experiencia en otro líquido apreciándose que el cuerpo llega al fondo en "2t". Halle su respectivo peso específico.

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PROBLEMA 15 Calcular la aceleración; en m/s

2, con la que asciende una gota de agua en un recipiente de mercurio. Considere

g=10m/s2.

PROBLEMA 16 ¿A qué distancia de "A" sale la esfera cuya densidad es de 400kg/m

3, si ésta ingresa al agua con Vo=50m/s?

Considere g=10m/s2.

A

37o

AGUA

PROBLEMA 17

Se muestra un cilindro de base "A" flotando en un líquido de peso específico "L", halle el trabajo para hundir lentamente el cubo a raz del nivel libre de líquido.

h

AGUA

PROBLEMA 18 En un vaso lleno con agua y cerrado por la parte superior, se encuentra una esferita de madera. El vaso se mueve verticalmente hacia arriba con aceleración "a". En este caso la fuerza de Arquímedes que actúa sobre la esferita crece en: PROBLEMA 19 Se muestra un trozo de madera flotando en agua, si el recipiente acelera hacia arriba, el volumen sumergido del trozo de madera:

AGUA

MADERA

PROBLEMA 20 Se muestra un depósito cuyo líquido tiene mayor densidad que el sólido el cual está sujeto al fondo mediante una cuerda, en reposo la tensión es esta cuerda es "To". ¿Cuál será la nueva tensión cuando el depósito sea acelerado hacia arriba con aceleración "a"?

M

PROBLEMA 21 Una esfera de hierro de 20 kilogramos que se mueve a 100 km/h se debe desacelerar a razón constante de 10m/s

2. ¿Cuál es la fuerza que se requiere para ello?

PROBLEMA 22 El peso normal de un hombre es 800N, halle la presión sobre la planta de sus zapatos cuando está de pie. El área total de apoyo en la planta de sus zapatos es 0,5m

2.

PROBLEMA 23 ¿Cuál es la presión del agua en el fondo de un tanque cuya profundidad es de 2 metros?

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PROBLEMA 24 Las áreas de los pistones de una prensa hidráulica son de 0,5m

2 y 12m

2. ¿Qué fuerza se be aplicar en el pistón

menor para levantar una carga de 3000N colocada en el pistón mayor? PROBLEMA 25 Un objeto tiene un volumen de 0,002m

3 y pesa 120N en el aire. Al ser sumergido completamente en agua: a)

¿Qué empuje recibe el agua? b) ¿Cuánto pesa sumergido? Considere g=10m/s2.

PROBLEMA 26 Una piedra pesa 140N, halle su peso cuando es sumergida completamente en alcohol (ρL=800Kg/m

3). La piedra

tiene un volumen de 0,003m3. Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 27 ¿Cuál es el volumen de un cuerpo cuyo peso disminuye 40N al ser sumergido en agua? Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 28 Un trozo de vidrio pesa 0,8N en el aire y 0,5N en el agua. Halle su respectivo volumen. Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 29 Un bloque de madera flota sobre el agua, como se muestra en el diagrama, su peso es de 80N. Halle el volumen de madera que está bajo la superficie. Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 30 Una boya cilíndrica pesa 180N y ocupa un volumen de 0,04m

3. Determine la densidad del material que

constituye la boya. Considere g=10m/s2.

PROBLEMA 31 Un trozo de hielo flota en el agua con el 90% de su volumen sumergido en ésta. Halle la densidad del hielo. PROBLEMA 32 Una persona de 80 kilogramos viaja en una canoa de 50 kilogramos a través de un lago. ¿Qué volumen de la canoa se sumerge en el agua? Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 33 Una piedra tiene un peso de 120N y ocupa un volumen de 0,004m

3. Si se halla en el fondo de una piscina con

agua, ¿con qué fuerza estará presionando el fondo? PROBLEMA 34 Una esfera sólida de metal flota en mercurio, con la mitad de su volumen dentro de él. Halle la densidad del metal que constituye la esfera. La densidad del Mercurio es ρHg=13600Kg/m

3.

PROBLEMA 35 Un bloque de aluminio cuyo volumen es de 0,1m3 se encuentra completamente sumergido en agua. El bloque está suspendido por medio de un cable. Hállese: a) La masa y el peso del bloque de aluminio. b) El empuje que ejerce el agua. c) La tensión del cable. La densidad del aluminio (Al) es ρAl=2700Kg/m

3.

PROBLEMA 36 Hállese el peso de 0,002m

3 de agua, en N.

PROBLEMA 37 La densidad del cacao es de 1120Kg/m

3. Calcule su peso específico, en N/m

3.

PROBLEMA 38 Una enfermera aplica una fuerza de 40N al pistón de una jeringa cuya área es de 10

-3m

2. Encuentre la presión

que ejerce, en Pa.

PROBLEMA 39 Determine la presión hidrostática; en Pa; sobre el fondo de una piscina de 3 metros de profundidad. Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 40 Se muestra un depósito que contiene mercurio. Calcúlese la presión en el fondo del depósito debido al mercurio; en Pa. Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 41 Un cubo de 2 metros de arista y peso específico 16000 N/m

3 reposa sobre un plano horizontal. Entonces la

presión debido al peso del cubo sobre el plano es: PROBLEMA 42 Un cuerpo homogéneo de 20 kilogramos está sumergido en agua (ρagua=1000kg/m

3), si la densidad del cuerpo

es 200kg/m3, la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es: Considere g=10m/s

2.

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PROBLEMA 43 Un bloque de madera se halla flotando en el agua con la mitad de su volumen fuera de ella, entonces la densidad del bloque es: Considere g=10m/s

2.

PROBLEMA 44 Un recipiente cuya capacidad es 0,2m

3 pesa 200N, cuando está vacío, el recipiente lleno de aceite pesa 16200

N, entonces la densidad del aceite es: Considere g=10m/s2.

PROBLEMA 45 Una esfera de densidad igual a 0,7g/cm

3 flota en un líquido en la forma que se muestra en la figura. Si el empuje

ejercido por el líquido sobre la esfera es de 7KN. Determine el volumen de la esfera en m3.

LÍQUIDO

γL

PROBLEMA 46 Un gran bloque de corcho de 1000 kilogramos flota en agua salada de densidad 1090kg/m

3. Determinar el

empuje del agua en Newtons (N) sobre el corcho en equilibrio y el volumen en m3 del cuerpo sumergido.

AGUA SALADA

γL

CORCHO

PROBLEMA 47 Los radios de los émbolos (1) y (2) de áreas A1 y A2 son de 4cm y 20cm respectivamente. Determine la masa (1) "m1" que equilibra el sistema, considerando que m2=2000 kilogramos. Considere Patm=10

5Pa.

m1m2

VACIO

A1A2

PROBLEMA 48 En un recipiente de 2m

2 de área en su fondo, se tiene inicialmente sólo agua. Si en la superficie se deja un

bloque de madera de 800 kilogramos y se observa que el nivel del agua aumenta en un 50% de la altura inicial. Hallar la cantidad de agua al inicio del proceso.

PROBLEMA 49 En un tubo en "U" de ramas verticales de igual sección, se vierte mercurio (ρHg=13600kg/m

3). Si por una de las

ramas se agrega un líquido desconocido hasta lograr el equilibrio que se muestra en la figura. Calcular la densidad del líquido desconocido en kg/m

3.

A B

Hg

20cm15cm

ρL=?

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PROBLEMA 50 Un cuerpo cuyo volumen es 75cm

3, se sumerge en aceite cuya densidad es 800kg/m

3. ¿Cuál es la pérdida de

peso que experimenta dicho cuerpo? Considere g=10m/s2.

PROBLEMA 51 Un cilindro de madera de 20 centímetros de altura se encuentra flotando con 4 centímetros fuera de una capa de aceite de 10 centímetros de espesor que a su vez flota en el agua. Calcular el peso específico de la madera en N/m

3, teniendo en cuenta que ρaceite=800kg/m

3; ρagua=1000kg/m

3.

4cm

10cm

6cm

ACEITE

AGUA

SEGUNDA PARTE

PROBLEMA 21 Si la cuña de base cuadrangular se encuentra en equilibrio; determine la presión sobre el plano inclinado ejercida por ésta. Considere ρCUÑA=4000Kg/m3; g=10m/s

2.

0,5m

53o

PROBLEMA 22 Sobre una plataforma actúa una fuerza uniformemente distribuida de 100N; tal como se muestra en la figura. Determínese la presión (en 10

4Pa) que se ejerce sobre el piso si la plataforma pesa 80N y tiene un área de

40cm2.

PLATAFORMA PISO

37o

F

PROBLEMA 23 La figura muestra la acción de tres fuerzas de 50N cada una actuando sobre tres superficies de igual área, cuyo valor es 0,25m

2, entonces la presión (en Pa) ejercida sobre cada una es:

60o

FF

F

I

II

III

A

A

A

30o

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PROBLEMA 24 Determine (en N) la fuerza Fo mínima que mantiene el agua (ρ=1000Kg/m

3) en contacto con las seis paredes

internas del tanque cerrado. No hay rozamiento entre el pistón y la tubería horizontal.

PROBLEMA 26 Los efectos del soroche (síndrome de altura) empiezan a manifestarse cuando se realizan cambios de altura, en la atmósfera terrestre del orden de 4 kilómetros. Determine aproximadamente (en atm) en cuanto debe cambiar la presión atmosférica para experimentar soroche. PROBLEMA 27 Se utiliza un barómetro con un líquido de densidad "ρ". si h=70 centímetros para una presión atmosférica de 0,9x10

5Pa, la presión atmosférica (en Pa) para h=60 centímetros es:

H=70cm

LÍQUIDO

PROBLEMA 28 Se tiene un recipiente lleno de agua como se muestra en la figura. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. La presión en el fondo del recipiente es mayor en el centro que en los bordes. II. La fuerza que el líquido ejerce sobre el fondo es mayor a su propio peso. III. La fuerza que ejerce el líquido sobre el fondo es: F=ρg(A1h1 + A2h2).

A2

A1

h1

h2

H=1m

10cm

10cm

A=20cm2

Fo

PROBLEMA 25 Por la manguera delgada fluye agua en forma lenta, si de pronto un joven libera el extremo "A" de la manguera y luego la tapa con su dedo pulgar, notará que queda en reposo una columna de metro de agua atrapada en la manguera vertical. ¿Cuál es la presión entre el pulgar del joven y el interior de la manguera? Considere Patm=101KPa; g=10m/s

2.

A

MANGUERA

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PROBLEMA 29 Un émbolo de 36N de peso tiene un espesor pequeño y la forma de un disco redondo de área 50cm

2, con una

abertura en la cual se coloca un tubo de paredes finas y de 5cm2 de sección; el émbolo se introduce

perfectamente ajustado y sin fricción en un vaso hasta el fondo. ¿A qué altura (en cm) se elevará el émbolo si se vierte por el tubo 700 gramos de agua?

A

A1

h

H=?

ÉMBOLO

VASO

PROBLEMA 30 La presión atmosférica "Patm" (en atm) depende de la altitud "Z" (en Km) según la relación: Patm=Poe

-kZ, donde

"Po" es la presión atmosférica a nivel del mar. Hallar la variación porcentual (en %) de la presión atmosférica entre Z=1 kilómetro y Z=2 kilómetros.

TIERRA

Z

PROBLEMA 31 En el planeta Vulcano la presión dentro de un líquido, contenido en un recipiente abierto, varía con la profundidad según la gráfica que se muestra. Si la densidad del líquido fuera dos veces mayor, ¿cuál sería su presión manométrica (en KPa) a 10 metros de profundidad?

P(KPa)

H(m)

20

100

0 10

PROBLEMA 32 La presión manométrica en el fondo de una piscina es de 105KPa. Si se agrega un desinfectante al agua, la densidad aumenta hasta 1,1g/cm

3. ¿En cuántos kilopascales (KPa) aumentará la presión manométrica en el

fondo de la piscina? PROBLEMA 33 La figura muestra la dependencia de la presión "P" con la profundidad "h" para un líquido contenido en un depósito expuesto a la presión atmosférica "Patm". ¿Cuál es el valor de la "Patm" (en atm) del lugar donde se encuentra el líquido y su densidad (en Kg/m

3)?

P(105N/m

2)

H(m)

1,4

1,8

0 6

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PROBLEMA 34 Determine la fuerza que ejerce el bloque cúbico de 10 centímetros de arista sobre la superficie horizontal, la masa del cubo es 6 kilogramos. Considere que las superficies son lisas y g=10m/s

2.

0,9cm

g

6Kg

AGUA

PROBLEMA 35 La figura muestra un tapón cilíndrico de masa "m" ajustado a un orificio circular de área transversal "A"; determine la fuerza de fricción entre el tapón y el recipiente necesario para que no se deslice el tapón cuando al recipiente se llena un líquido de densidad "ρ" hasta la altura "h"; W=mg.

P

h

LÍQUIDO

PROBLEMA 37 En el sistema mostrado, determinar (en KPa) la diferencia de presiones entre los puntos "A" y "B". Considere los siguientes datos ρ1=1500Kg/m

3; ρ2=1800Kg/m

3 y g=10m/s

2.

A

B

1

2

2m

2m

PROBLEMA 2 En la figura se muestra que se utiliza para sacar agua de una alberca. El conducto que conforma el sifón tiene un diámetro interior de 40 mm y termina con una boquilla de 20 mm de diámetro. Suponiendo que no hay pérdidas de energía en el sistema, calcule la rapidez de flujo de volumen a través del sifón y la presión en el punto B. Considere g=10m/s

2, y π=

3,1416.

CONDUCTO DE 40 mm

DE DIÁMETRO INTERNO

AGUA

1,2m

1,2m

1,8m

A B

C

D

DF

20 mm DE

DIÁMETROFLUJO

PROBLEMA 36 En la figura se muestra un bloque de peso "F" y de área de base "a" (en m

2). Al ubicar dicho peso sobre el

émbolo el incremento de la presión en el fondo del cilindro es:

ρ

a

h A

A: área del émbolo

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PROBLEMA 38

Un émbolo pequeño, unido a un resorte, se encuentra conectado a un recipiente a una profundidad de 2 metros tal como se muestra. Si sobre el émbolo mayor se aplica una fuerza de 400N, determine en cuánto se comprime el resorte (en cm).

2m

K=500N/m

F

AGUA

0,04m2

1cm2

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Capitulo 3

HIDRODINÁMICA

La hidrodinámica estudia la dinámica de los líquidos. Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:

Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases;

Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento;

Se supone que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo. La hidrodinámica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc. Daniel Bernoulli fue uno de los primeros matemáticos que realizó estudios de hidrodinámica, siendo precisamente él quien dio nombre a esta rama de la física con su obra de 1738, Hidrodinámica. Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos. Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.

3.1 CARACTERÍSTICAS Y LEYES GENERALES

La hidrodinámica o fluidos en movimientos presentan varias características que pueden ser descritas por ecuaciones matemáticas muy sencillas. Entre ellas: Ley de Torricelli: si en un recipiente que no está tapado se encuentra un fluido y se le abre al recipiente un orificio la velocidad con que caerá ese fluido será:

v = 2.g.H

La otra ecuación matemática que describe a los fluidos en movimiento es el número de Reynolds (adimensional):

ρ.c.DRe =

μ

Donde es la densidad, c la velocidad, D es el diámetro del cilindro y µ es la viscosidad dinámica. Concretamente, este número indica si el fluido es laminar o turbulento, o si está en la zona de transición. Re < 2300 indica laminar, Re > 4000 indica turbulencia.

3.2 CAUDAL El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el

volumen de líquido V que fluye por unidad de tiempo t. Sus unidades en el Sistema Internacional son los m

3/s y su expresión matemática:

ΔV ΔVG = o Q =

Δt Δt

Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido.

3.3 FLUIDO

En la animación, el fluido de abajo es más viscoso que el de arriba, eso conlleva que al caer un objeto sobre él tengan un comportamiento cualitativamente diferente.

Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas sólo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad definitoria es que los fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restitutivas tendentes a recuperar la forma "original" (lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable, donde sí hay fuerzas restitutivas).

Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen unidas entre sí por fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término engloba a los líquidos y los gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales).

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3.4 FLUIDOS IDEALES

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: Fluido no viscoso: Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido. Fluido estacionario: La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo. Fluido Incompresible: La densidad del fluido permanece constante con el tiempo. Flujo Irrotacional: No presenta torbellinos, es decir no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Características

Movimiento no acotado de las moléculas. Son infinitamente deformables, los desplazamientos que un punto material o molécula puede alcanzar en el seno del fluido no están acotados (esto contrasta con los sólidos deformables, donde los desplazamientos están mucho más limitados). Esto se debe a que sus moléculas no tienen una posición de equilibrio, como sucede en los sólidos donde la mayoría de moléculas ejecutan pequeños movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio.

Compresibilidad. Todos los fluidos son compresibles en cierto grado. No obstante, los líquidos son altamente incompresibles a diferencia de los gases que son altamente compresibles. Sin embargo, la compresibilidad no diferencia a los fluidos de los sólidos, ya que la compresibilidad de los sólidos es similar a la de los líquidos.

Viscosidad, aunque la viscosidad en los gases es mucho menor que en los líquidos. La viscosidad hace que la velocidad de deformación puede aumentar las tensiones en el seno del medio continuo. Esta propiedad acerca a los fluidos viscosos a los sólidos viscoelásticos.

Distancia Molecular Grande: Esta es una de las características de los fluidos en la cual sus moléculas se encuentran separadas a una gran distancia en comparación con los sólidos y esto le permite cambiar muy fácilmente su velocidad debido a fuerzas externas y facilita su compresión.

Fuerzas de Van der Waals: Esta fuerza fue descubierta por el físico holandés Johannes Van der Waals, el físico encontró la importancia de considerar el volumen de las moléculas y las fuerzas intermoleculares y en la distribución de cargas positivas y negativas en las moléculas estableciendo la relación entre presión, volumen, y temperatura de los fluidos.

Ausencia de memoria de forma, es decir, toman la forma del recipiente que lo contenga, sin que existan fuerzas de recuperación elástica como en los sólidos. Debido a su separación molecular los fluidos no poseen una forma definida por tanto no se puede calcular su volumen o densidad a simple vista, para esto se introduce el fluido en un recipiente en el cual toma su forma y así podemos calcular su volumen y densidad, esto facilita su estudio. Esta última propiedad es la que diferencia más claramente a fluidos (líquidos y gases) de sólidos deformables.

Para el estudio de los fluidos es indispensable referirnos a la mecánica de fluidos que es la ciencia que estudia los movimientos de los fluidos y una rama de la mecánica de medios continuos. También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita.

3.5 PROPIEDADES

Las propiedades de un fluido son las que definen el comportamiento y características del mismo tanto en reposo como en movimiento. Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido.

A. PROPIEDADES PRIMARIAS

Propiedades primarias o termodinámicas: Presión Densidad Temperatura Energía interna Entalpía Entropía Calores específicos Viscosidad Peso y volumen específicos

B. PROPIEDADES SECUNDARIAS

Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos. Viscosidad Conductividad térmica Tensión superficial Compresibilidad Capilaridad

3.6 DESCRIPCIÓN DE LOS FLUIDOS

A. Clasificación

Los fluidos se pueden clasificar de acuerdo a diferentes características, de acuerdo con su comportamiento viscoso que presentan en:

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Fluidos perfectos o superfluídos Fluidos newtonianos Fluidos no newtonianos Respecto a su densidad y tipo de movimiento de las moléculas y el estado físico un fluido puede ser clasificado en: Líquido Vapor Gas Incluso el plasma puede llegar a modelarse como un fluido, aunque este contenga cargas eléctricas.

1

B. Descripción matemática

Si bien las moléculas que forman los fluidos pueden cambiar su posición relativa y son elementos discretos y separables unos de otros. La manera de estudiarlos y predecir su comportamiento la mayor parte de situaciones es tratarlos como un medio continuo. De esta forma, las variables de estado del material, tales como la presión, la densidad y la velocidad podrán ser consideradas como funciones continuas del espacio y del tiempo, conduciendo naturalmente a la descripción de los fluidos como un conjunto de campos vectoriales y escalares, que coevolucionan a medida que una masa de fluido se deplaza como un todo o cambia de forma. Las ecuaciones de movimiento que describen el comportamiento macroscópico de un fluidos bajo diversas condiciones exteriores son ecuaciones diferenciales que involucran las derivadas de diferentes magnitudes (escalares o vectoriales) respecto a las coordenadas. La ecuación que relaciona las fuerzas sobre un fluido con el llamado tensor tensión que representa las fuerzas entre diferentes moléculas es común a la de los sólidos deformables:

xyxx xz xx

x y z

yx yy yz yy

x y z

zyzx zz zz

x y z

Dv + + + b = .

Dt

Dv + + + b = . ...... (1)

Dt

Dv + + + b = .

Dt

Aquí ζij representan las componentes del tensor de tensiones, mientras

que Las bi representan las componentes de las fuerzas volumétricas y vi son las componentes del campo de velocidades.

La diferencia entre un fluido y un sólido deformable es que en un fluido dicho tensor tensión no depende de la deformación absoluta sino como mucho de la velocidad de deformación. Así para un fluido newtoniano la ecuación constitutiva que da el tensor tensión en términos del tensor velocidad de deformación es:

kkij ij ij = -p+ d . + 2.μ.d

Que substituida en la ecuación (1) proporciona las ecuaciones de Navier-Stokes.

3.7 AGITACIÓN MOLECULAR

Al dividir la longitud del recorrido libre promedio de las moléculas por la longitud característica del sistema, se obtiene un número adimensional denominado número de Knudsen. Calculando el número de Knudsen es fácil saber cuándo puede describirse el comportamiento de líquidos y gases mediante las ecuaciones de la dinámica de los fluidos. En efecto, si el número de Knudsen es menor a la unidad, la hipótesis del continuo podrá ser aplicada; si el número de Knudsen es similar a la unidad o mayor, deberá recurrirse a las ecuaciones de la mecánica estadística para describir el comportamiento del sistema.

Es por ello que la región de números de Knudsen cercanos o mayores a la unidad se denomina también región de gases raros.

3.8 PRINCIPIO DE BERNOULLI

1h

2P

1A

2A

2v

1v1v

.1 1v t = s1P

1P

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Esquema del principio de Bernoulli.

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

A. La ecuación de Bernoulli

La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido;

potencial o gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea;

energía de presión: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli" (trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

2V .ρ + P + ρ.g.z = constante

2

Donde:

V = velocidad del fluido en la sección considerada.

= densidad del fluido. P = presión a lo largo de la línea de corriente. g = aceleración gravitatoria z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.

Caudal constante

Flujo incompresible, donde ρ es constante.

La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo laminar.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

cabezal de velocidad altura o carga piezométrica

Cabezal o altura hidráulica

Cabezal de presión

2 PV+ z H

2.g + =

También se puede reescribir este principio en forma de

suma de presiones multiplicando toda la ecuación por , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

presión estática

presión

hidrodinámica

2ρ.VP + z = constante

2 +

o escrita de otra manera más sencilla:

oq + p = p

Donde

γ

2

o

ρ.Vq =

2

p = P + .z

P = constante

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Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

ρ

energía cinética

energía potencial2

energía de flujo

PVg.z constante

2 + + =

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la Cantidad de movimiento.

Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica por qué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo

La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extracción de trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir una forma más general que tiene en cuenta fricción y trabajo:

γ γ

2 21 1 2 2

1 f 2

V P V P + + z + W = h + + + z

2g 2g

Donde:

γ es el peso específico ( γ =g). Este valor se asume constante a través del recorrido al ser un fluido incompresible.

W trabajo externo que se le suministra (+) o extrae al fluido (-) por unidad de caudal másico a través del recorrido del fluido. hf disipación por fricción a través del recorrido del fluido. Los subíndices 1 y 2 indican si los valores están dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente. g = 9,81 m/s

2, gravedad utilizada para los cálculos hidrodinámicos.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

Chimenea Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.

Tubería La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.

Natación La aplicación dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión y mayor propulsión.

Carburador de automóvil

En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.

Flujo de fluido desde un tanque

La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi

En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual está basado en el principio de Bernoulli.

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Aviación Erróneamente, se ha atribuido el vuelo de los aviones a tener el extradós (parte superior del ala o plano) más curvado que el intradós (parte inferior del ala o plano), causando que la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminuya su presión, creando así una succión que sustenta la aeronave. Algunas consecuencias de este error, serían que los aviones caerían como plomo contra el suelo al realizar vuelos invertidos, el ángulo de ataque (ángulo entre el eje perpendicular al suelo y las alas de la avión) sería irrelevante, hecho que conocemos falso, pues el ángulo de ataque es decisivo en el vuelo, y además, no serían posibles los vuelos de modelos primitivos como el Curtis 1911 model D type IV pusher. Lo cierto es que el principio de Bernoulli solo es relevante si no hay flotación. El principio en el que se basa el vuelo de los aviones es la segunda ley de Newton, pues las alas de los aviones llegan a desplazar toneladas de aire hacia abajo al alcanzar velocidades altas, produciendo como consecuencia una fuerza de empuje vertical y una aceleración.

FLUIDOS COMPRESIBLES

En el caso de fluidos compresibles, donde la ecuación de Bernouilli no es válida, es necesario utilizar la formulación más completa de Navier y Stokes. Estas ecuaciones son la expresión matemática de la conservación de masa y de cantidad de movimiento. Para fluidos compresibles pero no viscosos, también llamados fluidos coloidales, se reducen a las ecuaciones de Euler.

Esta temperatura extrema evita que el plasma de la corona permanezca cautivo por la gravedad solar y, así, fluye en todas direcciones, llenando el Sistema Solar más allá de los planetas más distantes. El Sol, mediante el viento solar, configura el distante campo magnético terrestre y el rápido flujo del viento (~430 km/s); proporciona la energía que alimenta los fenómenos de la aurora polar, los cinturones de radiación y de las tormentas magnéticas.

La física del plasma es un campo matemático difícil, cuyo estudio requiere minucioso conocimiento de la teoría electromagnética. Algunos textos de electricidad y magnetismo se ocupan de aspectos de la física del plasma, p.e., el capítulo 10 de Classical Electrodynamics de J.D. Jackson.

Flujo compresible

Ondas de choque.

Todos los fluidos son compresibles, incluyendo los líquidos. Cuando estos cambios de volumen son demasiado grandes se opta por considerar el flujo como compresible (que muestran una variación significativa de la densidad como resultado de fluir), esto sucede cuando la velocidad del flujo es cercano a la velocidad del sonido. Estos cambios suelen suceder principalmente en los gases ya que para alcanzar estas velocidades de flujo en líquidos, se precisa de presiones del orden de 1000 atmósferas, en cambio un gas sólo precisa una relación de presiones de 2:1 para alcanzar velocidades sónicas. La compresibilidad de un flujo es básicamente una medida en el cambio de la densidad. Los gases son en general muy compresibles, en cambio, la mayoría de los líquidos tienen una compresibilidad muy baja. Por ejemplo, una presión de 500 kPa provoca un cambio de densidad en el agua de solamente 0,024% (a temperatura ambiente). En cambio, esta misma presión aplicada al aire provoca un cambio de densidad de 250%. Por esto normalmente al estudio de los flujos compresibles se le conoce como dinámica de gases, siendo esta una nueva rama de la mecánica de fluidos, la cual describe estos flujos.

En un flujo usualmente hay cambios en la presión, asociados con cambios en la velocidad. En general, estos cambios de presión inducirán a cambios de densidad, los cuales influyen en el flujo, si estos cambios son importantes los cambios de temperatura presentados son apreciables. Aunque los cambios de densidad en un flujo pueden ser muy importantes hay una gran cantidad de situaciones de importancia práctica en los que estos cambios son despreciables.

El flujo de un fluido compresible se rige por la primera ley de la termodinámica en los balances de energía y con la segunda ley de la termodinámica, que relaciona la transferencia de calor y la irreversibilidad con la entropía. El flujo es afectado por efectos cinéticos y dinámicos, descritos por las leyes de Newton, en un marco de referencia inercial –aquel donde las leyes de Newton son aplicables-. Además, el flujo cumple con los requerimientos de conservación de masa. Es sabido que muchas propiedades, tales como la velocidad del fluido en un tubo, no son uniformes a lo largo de la corriente.

FLUJOS SEGÚN EL NÚMERO DE MACH

Los flujos compresibles pueden ser clasificados de varias maneras, la más común usa el número de Mach (M) como parámetro para clasificarlo.

VM =

a

Donde V es la velocidad del flujo y a es la velocidad del sonido en el fluido.

Prácticamente incompresible: M < 0,3 en cualquier parte del flujo. Las variaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser despreciadas. El gas es compresible pero la densidad puede ser considerada constante.

Flujo subsónico: M > 0,3 en alguna parte del flujo pero no excede 1 en ninguna parte. No hay ondas de choque en el flujo.

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Flujo transónico: 0,8 ≤ M ≤ 1,2. Hay ondas de choque que conducen a un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de hipersónicas dentro del flujo. Debido a que normalmente no se pueden distinguir las partes viscosas y no viscosas este flujo es difícil de analizar.

Flujo supersónico: 1,2 < M ≤ 5,0 Normalmente hay ondas de choque pero ya no hay regiones subsónicas. El análisis de este flujo es menos complicado.

Flujo hipersónico: M > 5,0 Los flujos a velocidades muy grandes causan un calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la frontera del flujo, causando disociación de moléculas y otros efectos químicos.

FLUJOS INTERNOS COMPRESIBLES

Se denomina flujo interno aquel que está delimitado en el interior de un conducto. Este es el caso del flujo en tuberías, toberas o difusores.

Las fórmulas generales para flujo interno compresible dependen de los llamados coeficientes de influencia de forma general. Dichas expresiones generales no tienen soluciones analíticas. Sin embargo, para casos concretos donde ciertas magnitudes son constantes, se dan tipologías de flujos que sí han sido resueltas analíticamente.

Flujo con variación de sección

Flujo con calentamiento

Si se considera que el flujo no es adiabático (es decir, intercambia calor con el exterior) pero se puede despreciar el cambio de área y el efecto de la fricción, se da el modelo de flujo de Rayleigh. Dicho tipo de flujos se utiliza para modelar casos como la circulación de aire en cámaras de combustión de motores de aviación.

El modelo muestra como la adición de calor a un flujo lleva a este hasta la condición crítica de Mach=1. Es en dicho punto donde tiene la máxima entropía. Así, añadir calor acelera un flujo subsónico y decelera uno supersónico. Refrigerar el flujo produce el efecto contrario.

Diagrama H-ΔS. La línea roja marca los posibles estados del flujo al cambiar el número de Mach.

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Flujo con fricción

Para una corriente con un número de Mach superior a 1 en un conducto lo bastante largo, la fricción decelera el flujo hasta causar el bloqueo sónico. Para otra corriente con M<1, la fricción acelera el flujo hasta llegar a la misma situación para un conducto lo bastante largo. Se puede demostrar que para dicha situación de bloqueo, la entropía alcanza un máximo.

Línea característica del flujo de Fanno en el plano H-ΔS.

FLUJO INCOMPRESIBLE

En mecánica de fluidos, un flujo se clasifica en compresible e incompresible, dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo o el fluido son incompresibles. En esencia, las densidades de los líquidos son constantes y así el flujo de ellos es típicamente incompresible.

Cuando se analizan flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach, que se define como

vM =

c

Donde v es la velocidad del flujo en ese medio y c es la velocidad del sonido en ese medio, cuyo valor es de 346 m/s en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma=1, subsónico cuando Ma<1, supersónico cuando Ma>1, e hipersónico cuando Ma>>1. Los flujos de líquidos son incompresibles hasta un nivel alto de exactitud, pero el nivel de variación de la densidad en los flujos de gases y el nivel consecuente de aproximación que se hace cuando se modelan estos flujos como incompresibles depende del número de Mach. Con frecuencia, los flujos de gases se pueden aproximar como incompresibles si los cambios en la densidad se encuentran por debajo de alrededor de 100 m/s. Así el flujo de un gas no es necesariamente compresible.

Fluido incompresible Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido pueden cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior. Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante:

ρ ρo = = constante

La ecuación de la conservación de la masa toma entonces una forma particularmente sencilla bajo la forma integral en una superficie cerrada:

J.dS = 0s ,

donde J representa el flujo de masa, lo que indica la igualdad de masa de fluido que entra y sale bajo una área determinada, o bien bajo forma local:

div v = 0

Cuya condición equivalente es que la divergencia de la velocidad de un fluido se anule. Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambian, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible). La densidad del aire en un día caluroso es más baja que en un día frío. A grandes alturas, donde la presión es más baja, la densidad del aire es también más baja.

LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Y UN CRITERIO PARA EL FLUJO INCOMPRESIBLE Una de las ecuaciones más utilizadas en mecánica de fluidos es la ecuación de Bernoulli:

ρ

2P V + + g.z = constante

2

Se demostrará que en el límite de números de Mach muy pequeños, la ecuación isoenergética e isoentrópica para la presión se vuelve idéntica a la ecuación de Bernoulli, creando un criterio para decidir si el flujo de un gas se puede tratar como incompresible. Considerando un flujo estacionario sin esfuerzo cortante, trabajo en el eje o transferencia de calor. A estas condiciones, la presión de estancamiento es constante. Se supondrá

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que los cambios en elevación son despreciables. Si el fluido es incompresible, la presión en cualquier lugar se puede calcular a partir de la ecuación de Bernoulli en la forma de presión (Flujo incompresible):

2

o

ρ.V P = P -

2

Si el fluido es compresible y un gas ideal, las presiones estática y de estancamiento están relacionadas por medio de (Flujo compresible):

k

k - 12o

k - 1P = P . 1 + .M

2

Si la consideración se restringe a números de Mach menores que 1, se puede desarrollar el binomio que contiene al número de Mach en una serie infinita empleando el teorema binomial de Newton: De la ecuación:

22 V

M = k.P

Se tiene:

k

k - 12 2 4 6o o

22

2 2

o

k - 1 k kP = P . 1 + .M P . 1 + .M + .M + O M

2 2 8

VM =

k.P

V MP P. 1 - . 1 +

2 4

Si el número de Mach es pequeño, entonces M2/4 es pequeño comparado con 1 y se puede escribir que: 2

o

VP P. 1 -

2

En consecuencia, la ecuación Bernoulli es una aproximación a la relación de presión del flujo isoenergetico e isoentropico para números de Mach pequeños. Lo preciso de esta aproximación depende de lo pequeño del número de Mach. La ecuación (5) muestra que a bajos números de Mach el error es proporcional a M2/4. si se deseara limitar el error al emplear la ecuación Bernoulli para el cálculo de la presión a no más del 2 por ciento, entonces:

M 4 x 0,02 0,283

No hay nada especial en el error del 2 por ciento. Para estimaciones gruesas, un error del 5 por ciento podría ser aceptable, en cuyo caso el número de Mach debe ser menor que 0.45. El criterio más ampliamente utilizado para el límite entre el flujo compresible y el incompresible coloca el umbral del número de Mach en 0,3: En general se puede suponer que un flujo con M < 0,3 sea incompresible.

LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES PARA FLUJO ISOTÉRMICO INCOMPRESIBLE Por definición el tensor de esfuerzo es linealmente proporcional al tensor de razón de formación. Para flujo incompresible (ρ = constante), también se supone flujo aproximadamente isotérmico sabiendo que los cambios locales en temperatura son pequeños o inexistentes; esto elimina la necesidad de una ecuación diferencial de conservación de energía. Una consecuencia de la última suposición es que las propiedades del fluido, como viscosidad dinámica μ y la viscosidad cinemática v, también son constantes. Con dichas suposiciones se puede demostrar que el tensor de esfuerzo viscoso se reduce a: Tensor de esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano incompresible con propiedades constantes:

μεij ijT = 2

Donde es el tensor de razón de deformación. La ecuación (7) muestra que el esfuerzo es linealmente proporcional a la deformación. En coordenadas cartesianas, se mencionan las nueve componentes del tensor de esfuerzo viscoso, seis de las cuales son independientes debido a su simetría:

με

xx xy xz

yx yy yzij ij ij

zx zy zz

2 + +

T T T

T = 2 T = T T T = + 2 +

T T T

+ + 2

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

En coordenadas cartesianas, el tensor de esfuerzo de la ecuación de fluidos en movimiento se convierte por lo tanto en:

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ζij

2 + +

-P 0 0

= 0 -P 0 = + 2 +

0 0 -P

+ + 2

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

Ahora se sustituye la ecuación (8) en las tres componentes cartesianas de la ecuación de Cauchy. Considere primero la componente x, se convierte en:

ρ ρ

2

2 = - + + 2 + + + + x

Du P u v u w u. .g . .

Dt x y zx y x zx

Dado que la presión consiste sólo de un esfuerzo normal, únicamente aporta un término a la ecuación (10). Sin embargo, ya que el tensor de esfuerzo viscoso consiste tanto de esfuerzos normal como de corte, aporta tres términos. También en tanto las componentes de velocidad sean funciones suaves de x, y y z, el orden de diferenciación es irrelevante. Par ejemplo, la primera parte del último término en la ecuación (10) se puede reescribir como:

= w w

. .z xx z

Después de cierto reordenamiento inteligente de los términos viscosos en la ecuación:

ρ ρ

ρ ρ

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

= - + + + + + + +

= - + + + + + + +

x

x

Du P u u v u w u. .g . . .

Dt x x x x y x zx y z

Du P u v w u u u. .gDt x x x y z x y z

El término entre paréntesis es cero debido a la ecuación de continuidad para flujo incompresible.

+ + = 0u v w

x y z

También se reconocen los últimos tres términos como el Laplaciano de la componente de velocidad u en coordenadas cartesianas. Por lo tanto, la componente x de la ecuación de cantidad de movimiento se escribe como:

ρ ρ2

= - + + x

Du P. .g u

Dt x

De manera similar se escriben las componentes y y z de la ecuación de cantidad de movimiento como: Y

ρ ρ

ρ ρ

2

2

= - + +

= - + +

y

z

Dv P. .g u

Dt y

Dw P. .g wDt z

Respectivamente. Por último, se combinan las tres componentes en una ecuación vectorial; el resultado es la ecuación de Navier-Stokes para flujo incompresible con viscosidad constante.

Ecuación de Navier-Stokes:

ρ ρ2

= - P + g + DV

. . VDt

Aunque los componentes de la ecuación Navier-stokes se dedujeron en coordenadas cartesianas, la forma vectorial de la ecuación es válida en cualquier sistema coordenado ortogonal. Esta famosa ecuación recibe su nombre en honor al ingeniero francés Louis Marie Henri Navier (1785-1836) y al matemático inglés Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), quienes desarrollaron los términos viscosos, aunque de manera independiente.

La ecuación de Navier-Stokes es la base de la mecánica de fluidos. Puede parecer suficientemente inocua, pero es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, no lineal e inestable. Si fuera posible resolver esta ecuación para flujos de cualquier geometría, sería más sencillo. Por desgracia, las soluciones analíticas no se obtienen excepto para campos de flujo muy simples. La ecuación tiene cuatro incógnitas (tres componentes de velocidad y la presión), aunque sólo representa tres ecuaciones (tres componentes puesto que es una ecuación vectorial). Obvio, es necesaria otra ecuación para solucionar el problema. La cuarta ecuación es la ecuación de continuidad para flujo incompresible:

= 0.V

Antes de intentar resolver ese conjunto de ecuaciones diferenciales, es necesario elegir un sistema coordenado y expandir las ecuaciones en dicho sistema coordenado.

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ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS

La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes se expanden en coordenadas cartesianas (x, y, z) y (u, v, w): Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

+ + = 0u v w

x y z

Componente x de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ ρ g2 2 2

2 2 2 + + + = - + + + +

x

Pu u u u u u u. u. v . w. .

xt x y z x y z

Componente y de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ ρ g2 2 2

2 2 2 + + + = - + + + +

y

Pv v v v v v v. u. v . w . .

yt x y z x y z

Componente Z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ ρ g2 2 2

2 2 2 + + + = - + + + +

z

Pw w w w w w w. u. v . w . .

zt x y z x y z

ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier-Stokes se expanden en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) y (ur, uθ, uz):

Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

1 1 + + = 0

r r

zr uuru. .

r z

Componente r de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

θ rρ ρ gθ θ θ

2 2 2 2θ

2 2 2 2 2

1 1 2 + + - + = - + + + - +

r r r

rr r r r rr z

P ruu u u u u u u u u. u . . u . . . . . .

rrt r r r z r r z

Componente θ de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

θθ θ θ θ θ θ θ r θ

θρ ρ g

θθ θ θ

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 2 + + - + = - + + + - +

r r r r

rr z

P ruu u u u u u u u u u. u . . u . . . . . . .

t r r r z r r z

Componente z de la ecuación de Navier-Stokes de flujo incompresible:

ρ ρ gθ θ

2 2

2 2 2

1 1 + + + = - + + r + +

r r

u Pu u u u u u uz z z z z z z. u . . u . . . . . .r z zzt r r z r r z

Los términos adicionales en ambos lados de las componentes r y θ de la ecuación de Navier-Stokes surgen debido a la naturaleza especial de las coordenadas cilíndricas. De esta manera, conforme se mueve en la dirección θ, el vector unitario er, también cambia de dirección; por lo tanto, las componentes r y θ se acoplan.

A continuación, citaremos las seis componentes independientes del tensor de esfuerzo viscoso en coordenadas cilíndricas:

r θ r r r

rθ

θ r r r θ zθ θθ θ

θ

r

θη η η

η η η ηθ θ r θ

η η η

rr r rz

r zij

zr z zz

2 + +

1 1 1= = + 2 + +

r r r

+

u u u u ur .

r r z r

u u u u u ur . . . . .

r r z

u

z

z θ z z

r θ

1 + 2

r

u u u u.

z z

La aplicación de las ecuaciones diferenciales de movimiento tanto en coordenadas cartesianas como en cilíndricas. Existen dos tipos de problemas para los que son útiles las ecuaciones diferenciales (de continuidad y de Navier-Stokes):

Cálculo de campo de presión para un campo de velocidad conocido.

Cálculo de campos de velocidad y presión para un flujo de geometría conocida y condiciones de frontera conocidas.

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Por simplicidad, sólo se considera flujo incompresible, cuando se eliminan el cálculo de ρ como una variable. Además, la forma de la ecuación de Navier-Stokes sólo es válida para fluidos newtonianos con propiedades constantes (viscosidad, conductividad térmica, entre otras). Para finalizar, se suponen variaciones de temperatura despreciables, de modo que T no es una variable. Quedan cuatro variables o incógnitas (presión más tres componentes de velocidad) y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales.

a) Flujos incompresibles y sin rozamiento

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).

1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:

Caudal: Q = A.V

donde: A= área de la sección transversal; V=velocidad del flujo(m/s)

A1.v1 = A2.v2 = constante. (Consecuencia de la Ecuación del caudal)

Recordar que F

P = F = P.AA

Flujo de volúmen: (caudal).

3A.V mΦ =

t s

Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

2

211 1 2 2

2 2

1 21 21 2

δ.v δ.vP + + δ.g.h = P + + δ.g.h = constante

2 2

v vP P + + g.h = + + g.h

δ 2 δ 2

p/ δ = energía de presión por unidad de masa. g.h = energía potencial por unidad de masa. v²/2 = energía cinética por unidad de masa. Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0

1 1 2 2P + δ.g.h = P + δ.g.h

b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.

El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.

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Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos.

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

2 2

1 21 21 2 o

v vP P + + g.h = + + g.h + H

δ 2 δ 2

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.

c) Flujos de la capa límite

Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos.

La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.

APLICACIONES SUBYACENTES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

A. EFECTO VENTURI

Esquema del efecto Venturi.

Flujo en un tubo de Venturi.

El efecto Venturi consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presión cuando aumenta la velocidad al pasar por una zona de sección menor. En ciertas condiciones, cuando el aumento de velocidad es muy grande, se llegan a producir presiones negativas y entonces, si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una aspiración del fluido de este conducto, que se mezclará con el que circula por el primer conducto. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

EXPLICACIÓN

El efecto Venturi se explica por el Principio de Bernoulli y el principio de continuidad de masa. Si el caudal de un fluido es constante pero la sección disminuye, necesariamente la velocidad aumenta tras atravesar esta sección. Por el teorema de la conservación de la energía mecánica, si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de la presión disminuye forzosamente.

Efectivamente,según el principio de Bernoulli:

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γ γ

2 21 2 21

1 2

vP P v + + z = + + z

2.g 2.g

donde:

V = velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravitatoria, g = 9,81 m/s

2.

P = presión en cada punto de la línea de corriente.

es el peso específico ( = .g). Este valor se asume constante a lo largo del recorrido cuando se trata de un fluido incompresible. z = altura, en vertical, sobre una cota de referencia.

Los subíndices 1 y 2 indican que los valores se toman en un punto 1 y en otro punto 2, a lo largo de la conducción.

Expresado de este modo, cada uno de los sumandos tiene como dimensión una longitud, por lo que se consideran todos alturas:

Altura de velocidad:2iv

2g, altura de presión:

γ

iP, altura geométrica: iz .

A igualdad de los demás factores, y teniendo en cuenta el principio de continuidad, que expresa que al disminuir la sección en un conducto, aumenta la velocidad del fluido que lo recorre, puede deducirse que, en un estrechamiento del conducto, si V aumenta, necesariamente debe disminuir P.

Pero además, si el estrechamiento en el punto 2 es tal, que la velocidad sea suficientemente grande para

que

22

1 2

v z - z

2g, para que se cumpla Bernoulli, la altura

γ

2P tendrá que ser negativa y por tanto la presión.

Cuando por ésta o por otra circunstancia, la presión se hiciera negativa, en teoría traerá consigo la detención del movimiento del fluido o, si se introduce un tubo con otro fluido, este fluido sería aspirado por la corriente del primero.

1

B. TUBO DE VENTURI

Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseñado para medir la velocidad de un fluido aprovechando el efecto Venturi. Efectivamente, conociendo la velocidad antes del estrechamiento y midiendo la diferencia de presiones, se halla fácilmente la velocidad en el punto problema.

La aplicación clásica de medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formado por dos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza consecuentemente a mayor velocidad. La presión en el tubo Venturi puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y la canalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permite medir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad.

En otros casos utiliza este efecto para acelerar la velocidad de un fluido obligándole a atravesar un tubo estrecho con el extremo en forma de cono. Estos modelos se utilizan en numerosos dispositivos en los que la velocidad de un fluido es importante y constituyen la base de aparatos como el carburador.

Cuando se utiliza un tubo de Venturi hay que tener en cuenta un fenómeno que se denomina cavitación. Este fenómeno ocurre si la presión en alguna sección del tubo es menor que la presión de vapor del fluido. Para este tipo particular de tubo, el riesgo de cavitación se encuentra en la garganta del mismo, ya que aquí, al ser mínima el área y máxima la velocidad, la presión es la menor que se puede encontrar en el tubo. Cuando ocurre la cavitación, se generan burbujas localmente, que se trasladan a lo largo del tubo. Si estas burbujas llegan a zonas de presión más elevada, pueden colapsar produciendo así picos de presión local con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo.

Aplicaciones del efecto Venturi

Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y aceleración de fluidos

Hidráulica: La depresión generada en un estrechamiento al aumentar la velocidad del fluido, se utiliza frecuentemente para la fabricación de máquinas que proporcionan aditivos en una conducción hidráulica. Es muy frecuente la utilización de este efecto "Venturi" en los mezcladores del tipo Z para añadir espumógeno en una conducción de agua para la extinción.

Petróleo: La succión o depresión que ocasiona el cambio de área generada por el efecto Venturi, se usa para extraer artificialmente fluidos de pozos petroleros; este tipo de bombas Jet funcionan mediante la inyección de un fluido a alta presión pasando por una sección reducida, llamada boquilla donde se produce un cambio de energía potencial a cinética, originado a la salida de una boquilla, lo que provoca una succión del fluido de formación. Estos fluidos entran en otra zona que ocasiona el efecto inverso llamada garganta, luego la mezcla de fluidos sufre un cambio de energía cinética a potencial a la entrada de un área de expansión llamada difusor, donde la energía potencial es la responsable de llevar el fluido hasta la superficie.

Motor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento.

Neumática: Para aplicaciones de ventosas y eyectores.

Aeronáutica: Interviene en efectos relacionados con la viscosidad del aire que pueden explicarse con

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las Ecuaciones de Navier-Stokes. Además, se utiliza un tubo Venturi para proveer succión a los instrumentos que trabajan con vacío, (Coordinador de giro, Horizonte artificial, etc.) en los aviones que no están provistos de bombas mecánicas de vacío. Aunque el efecto Venturi se utiliza frecuentemente para explicar la sustentación producida en alas de aviones, este efecto realmente no puede explicar la sustentación aérea, pues un perfil alar no actúa como un tubo de Venturi acelerando las partículas de aire: las partículas son aceleradas debido a la conservación de la energía (se explica mediante el principio de Bernoulli, en virtud del cual el aire adquiere mayor velocidad al pasar por la región convexa del ala de un avión), la conservación del momento (se utiliza la tercera ley de Newton para su explicación) y de la masa (se utilizan las Ecuaciones de Euler).

Hogar: En los equipos ozonificadores de agua, se utiliza un pequeño tubo Venturi para efectuar una succión del ozono que se produce en un depósito de vidrio, y así mezclarlo con el flujo de agua que va saliendo del equipo con la idea de destruir las posibles bacterias patógenas y de desactivar los virus y otros microorganismos que no son sensibles a la desinfección con cloro.

Acuarofilia: En las tomas de bombas de agua o filtros, el efecto Venturi se utiliza para la inyección de aire y/o CO2.

Cardiología: El efecto Venturi se utiliza para explicar la regurgitación mitral que se puede dar en la miocardiopatía hipertrófica, y que es causa de muerte súbita en deportistas. La explicación es que el movimiento sistólico anterior (MSA) que realiza la valva anterior de la válvula mitral, se produce porque la hipertrofia septal y el estrechamiento del tracto de salida provocan una corriente de alta velocidad sobre la v. mitral, que debido al efecto Venturi, succiona el extremo de la valva anterior contra el septo, que impide la salida de sangre, por lo que regurgita hacia la aurícula izquierda.

Neumología: El efecto Venturi se utiliza en máscaras para la administración de concentraciones exactas de oxígeno, para controlar la FiO2; se denominan máscaras de Venturi o Ventimask. El oxígeno al 100% suministrado durante cierto periodo de tiempo es tóxico, por lo que se mezcla con aire externo cuya concentración de oxígeno es del 21%, de modo que en función de la cantidad de aire que se mezcle con el oxígeno al 100%, la concentración de oxígeno será mayor o menor, normalmente se suministra entre un 26%-50%. El oxígeno puro al pasar por el conducto con un calibre menor, se produce el efecto Venturi, se genera una presión negativa que permite la entrada del aire procedente del exterior a través de unos orificios circundantes, dependiendo del tamaño de los orificios, entra más o menos aire y por tanto menor o mayor concentración de oxígeno que finalmente el paciente recibirá.

Odontología: el sistema de aspiración de saliva en los equipos dentales antiguos utilizaban tubos finos Venturi. Ahora la aspiración está motorizada.

C. TUBO DE PITOT

Diagrama del sistema Pitot estático. Incluye el tubo Pitot, los instrumentos Pitot estáticos y las tomas de presión estática y dinámica.

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Sección de un tubo de Pitot

Tipos de tubos de Pitot.

Uso de los tubos de Pitot en aviación para medir la velocidad de desplazamiento del avión con relación a la masa de aire circundante.

El tubo de Pitot se utiliza para calcular la presión total, también denominada presión de estancamiento, presión remanente o presión de remanso (suma de la presión estática y de la presión dinámica).

Lo inventó el ingeniero francés Henri Pitot en 1732.1 Lo

modificó Henry Darcy, en 1858.2 Se utiliza mucho para medir la

velocidad del viento en aparatos aéreos y para cuantificar las velocidades de aire y gases en aplicaciones industriales.

Mide la velocidad en un punto dado de la corriente de flujo, no la media de la velocidad del viento.

3

TEORÍA DE FUNCIONAMIENTO

En el sitio 1 del esquema adjunto, embocadura del tubo, se forma un punto de estancamiento. Ahí la velocidad (v1) es nula, y la presión, según la ecuación de Bernoulli, aumenta hasta:

ρ ρ ρ

2

1 t o 2 o

c

vP P P P = = = +

.g .g .g δ 2.g

Por lo tanto:

ρ

2

ot o

c

vP = P + .

2.g

siendo:

P0 y v0 = presión y velocidad de la corriente en el punto 0.

Pt = presión total o de estancamiento.

Aplicando la misma ecuación entre las secciones ❶ y ❷, considerando que v1 = v2 = 0, se tiene:

Anemómetro tipo Pitot con veleta.

ρ ρ

1 21 2

P Py + = y +

.g .g

Y de aquí, despejando la diferencia de alturas:

ρ ρ

1 22 1

P Py - y = -

.g .g

Por lo que, la diferencia de presiones quedaría:

ρ 2 11 2P - P = .g. y - y

Si del dibujo del tubo de Pitot tenemos claro que:

y2 - y1 = L (lectura en el tubo piezométrico)

Se puede simplificar todo el desarrollo matemático en:

ρtP = .g.L

Ésta es la denominada expresión de Pitot.

D. Teorema de Torricelli

El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.

La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio.

Matemáticamente:

2o

t

vV = 2g. h +

2.g

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Donde: Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio vo es la velocidad de aproximación o inicial. h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. g es la aceleración de la gravedad Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

r vV = C . 2.g. h

Donde: Vr es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio Cv es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.

tomando vC = 1

rV = 2.g. h

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad. Caudal descargado El caudal o volumen del fluido que pasa por el orificio en un tiempo, Q, puede calcularse como el producto de Sc, el área real de la sección contraída, por Vr, la velocidad real media del fluido que pasa por esa sección, y por consiguiente se puede escribir la siguiente ecuación:

cc r v

d

Q = S .V = S.C .C . 2.g.h

Q= C .S. 2.g.h

En donde

S. 2.g.h representa la descarga ideal que habría ocurrido si no estuvieran presentes la fricción y

la contracción.

cC es el coeficiente de contracción de la vena fluida a la salida del orificio. Su significado radica en el cambio

brusco de sentido que deben realizar las partículas de la pared interior próximas al orificio. Es la relación entre

el área contraída y la del orificio S . Suele estar en torno a 0,65.

dC es el coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el valor real, y se

conoce como coeficiente de descarga. Numéricamente es igual al producto de los otros dos

coeficientes. .d c vC = C C

El coeficiente de descarga variará con la carga y el diámetro del orificio. Sus valores para el agua han sido determinados y tabulados por numerosos experimentadores. De forma orientativa se pueden tomar valores sobre 0,6. Así se puede apreciar la importancia del uso de estos coeficientes para obtener unos resultados de caudal aceptables.

Energía específica (hidráulica)

Gráfico de la energía específica en 3D Donde: E=energía específica, Q=Caudal, h=Altura de la lámina de agua

La energía específica en la sección de un canal se define como la energía por peso de agua en cualquier sección de un canal, medida con respecto al fondo del mismo. La energía específica de una sección de un canal puede ser expresada como:

2VE = d. cosθ +

2.g

α

Donde:

d = profundidad a partir de la superficie libre de líquido o espejo (SSL) hasta la plantilla o fondo del canal. θ = Ángulo medido a partir de la pendiente del canal respecto a la horizontal.

La energía específica de una sección de un canal con pendiente pequeña (θ≈0) puede ser expresada como:

2VE = y +

2.g

α

Por tanto, la energía total de una sección de un canal (con z≠0), puede expresarse como:

2V H = E + z = + y + z

2.g

α

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Donde:

H = Energía total por unidad de peso. E = Energía específica del flujo, o energía medida con respecto al fondo del canal. V = velocidad del fluido en la sección considerada. y = presión hidrostática en el fondo o la altura de la lámina de agua. g = aceleración gravitatoria. z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. α = coeficiente que compensa la diferencia de velocidad de cada una de las líneas de flujo también conocido como el coeficiente de Coriolis.

La línea que representa la elevación de la carga total del flujo se llama "línea de energía". La pendiente de esta línea se define como el "gradiente de energía".

De acuerdo al principio de la conservación de la energía, la energía total de una sección (A) deberá ser igual a la energía total en una sección (B), aguas abajo, más las pérdidas de energía entre las dos secciones (hf), para canales con una pendiente pequeña.

2 21 1 2 2

1 1 2 2 f

V V + d + z = + d + z + h

2.g 2.g

α α

Esta ecuación se llama "ecuación de energía"

Cuando : α1= α2 = 1 y hf = 0

2 21 1 2 2

1 1 2 2

V V + d + z = + d + z = constante

2.g 2.g

α α

Es la ecuación de la energía de Bernoulli.

E. Teoría de flujo potencial La teoría de flujo potencial pretende describir el comportamiento cinemático de los fluidos basándose en el concepto matemático de función potencial, asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dicho fluido:

V = -

donde el campo de velocidades queda definido como

i j kV = u + v + w

El signo menos en la ecuación de arriba es sólo una convención de signos sobre la definición de . puede definirse sin el signo menos y la formulación que se obtendría sería la misma.

A un fluido que se comporta según esta teoría se le denomina fluido potencial, que da lugar a un flujo potencial.

Una de las primeras personas en aplicar esta formulación para el flujo de un fluido fue D'Alembert. Él estudió la fuerza de resistencia producida por un flujo de fluido sobre un cuerpo que se oponía a éste en dos dimensiones cuando este problema era completamente enigmático y Newton, a pesar de haberlo estudiado, no había llegado a conclusiones satisfactorias.

D'Alembert definió la función de corriente, Ψ, para describir la trayectoria que tuviera cada partícula de un fluido a través del tiempo. Esta función corriente está determinada, en el plano, por dos variables espaciales y

para cada valor de la igualdad x; = y determina un lugar geométrico llamado línea de corriente.

La Naturaleza de y su relación con

Primeramente definiremos la función corriente en el plano, para luego explicar sus características. La función se define como aquella que cumple con las siguientes condiciones:

y x

= u y = - v

Las líneas de corriente determinan la trayectoria de una partícula de fluido que se encuentra sobre éstas. Así, por ejemplo, si una partícula de fluido se encuentra sobre la línea equipotencial de = 1, ésta tendrá una

trayectoria que se situará exactamente sobre el lugar geométrico que determinará la igualdad (x; ) = 3y (línea

de corriente=trayectoria es debido a que contemplamos un movimiento plano independiente de t "ψ(x;y)"). Esta

propiedad de las líneas de corriente exige que las funciones y ϕ estén "sincronizadas" ya que la velocidad

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en cualquier punto del flujo de fluido será siempre tangente a la trayectoria de la línea de corriente, y fácilmente se puede demostrar que la familia de curvas determinadas por la función corriente y la función potencial de velocidades forman una red ortogonal como se verá a continuación:

Partimos del diferencial total de la función ϕ:

.dx .dyx y

d = +

Así en cualquier curva equipotencial se cumplirá que

.dx .dyx y

+ = 0

Esto implica que:

-udy = cte =

vdx

La misma propiedad se aplica a cada línea de corriente:

.dx .dyx y

+ = 0

y

vdy = cte =

udx

por lo cual de determina que:

B

dy dy = cte = - = cte

dx dx

Esta propiedad de ambas funciones permite intercambiarlas para generar otros patrones de flujo y, como las líneas de corriente no pueden cortarse entre sí, no existe ningún caudal que las atraviesa perpendicular a estas. Esto permite suponer a las líneas de corriente límites materiales, es decir, paredes u obstáculos que restringen o determinan el flujo que se desea estudiar. Esto ya lo supuso D'Alembert al estudiar el efecto de empuje de un flujo corriendo sobre un objeto que lo obstaculiza. Él, estudiando las propiedades de la función corriente y la función potencial determinó que podían superponerse para generar así un patrón de fluido que combinara diversos movimientos. Así superponiendo una fuente y un sumidero de igual caudal obtuvo una circunferencia la que combinó con un flujo uniforme para modelar el flujo de fluido sobre un cilindro de largo infinito. Una vez obtenido esto, demostró en la suma de las presiones sobre el cilindro se anulaban, lo cual hacía que la fuerza resultante sobre el cilindro fuera cero, esto es la llamadaparadoja de D'Alembert.

Algunos patrones de flujo simple

Flujo uniforme

Un flujo el cual sea uniforme en una misma dirección cumple con que oV = U n donde n es la dirección del

flujo. Si tomamos esta dirección como la del eje x, obtendremos que el campo de velocidades estará dado por:

oV = U i

Con lo cual podremos encontrar la función potencial integrando:

dx- U + f(y)o

Sabiendo que y

= 0 y que no existe componente vertical de la velocidad en ningún punto del flujo tenemos:

dx o 1 = - U + C

En esta ecuación podemos tomar la constante de integración igual a cero. Quedando las funciones potencial y corriente como:

x = Uo

- y y = Uo

-

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Fuentes y sumideros

Una fuente o un sumidero de algún fluido tienen la particularidad de que el flujo sólo sale o entra, lo que implica que el vector velocidad para cada punto del flujo será colineal al origen para ambos casos. Es mucho más sencillo hallar esta función potencial usando coordenadas polares. Así:

r

θ

Qv =

2πr

v =0

Donde Q es el caudal que sale si es positivo o entra si es negativo. Para hallar la función potencial integramos:

Q

- = .dr + f( )2πr

θ

Como la velocidad en es igual a cero sólo queda una constante de integración la cual podemos hacer cero; entonces:

Q.ln(r)

= - 2π

Para obtener la función corriente podemos realizar un procedimiento análogo considerando la forma del operador gradiente en coordenadas polares:

.

1 Q - =

r 2πr

Q.d = - + f(r)

2π

ψ

θ

θ ψ

entonces:

Q= .

2πψ θ

Tubo de Prandtl

Corte esquemático de un tubo de Prandtl.

Corte esquemático de un tubo de Prandtl.

La idea de Ludwig Prandtl fue la de combinar en un solo instrumento un tubo de Pitot y un tubo piezométrico: El tubo de Pitot mide la presión total; el tubo piezométrico mide la presión estática, y el tubo de Prandtl mide la diferencia de las dos, que es la presión dinámica.

Teoría de funcionamiento

En el croquis se aprecia esquemáticamente, un tubo de Prandtl inmerso en un fluido de densidad , conectado

a un manómetro diferencial cuyo líquido manométrico tiene densidad m.

El tubo de Prandtl, al igual que el tubo de Pitot, al ser introducido en el fluido en movimiento, produce una perturbación que se traduce en la formación en el de un punto de estancamiento, de manera que:

1 t

1

P = P

v = 0

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En el punto 0 la corriente no perturbada tiene la presión Po y la velocidad que es la que se quiere medir.

El punto 1 es la entrada del tubo de Pitot, y el punto 2, donde se indica en la figura. En el punto 2 lo que se tiene es un tubo piezométrico, con varias entradas laterales interconectadas que no perturban la corriente y que por lo tanto miden la presión estática. Despreciando las diferencias de altura de velocidad y geodésica entre los puntos 0 y 2 que suele ser muy pequeña por ser el tubo muy fino, y estar la corriente en 2 prácticamente normalizada después de la perturbación en 1, se tiene, despreciando también las pérdidas:

2 ot

2 o

v = v

P = P

Donde: vot = velocidad teórica en la sección 0. La ecuación de Bernoulli entre 0 y 1 (zo = z1 , v1=0 - punto de estancamiento)

2ot

o 1

vP + . = P

2ρ y expresado de otra forma:

2ot

1 o

vP - P = .

2ρ

Por otra parte yendo de 1 a 2 por el interior del manómetro, estando tanto el fluido principal como el fluido

manométrico en reposo, se puede aplicar laecuación fundamental de la hidrostática entre 1 y 2 ( 1 2z z ) de la

siguiente forma:

1 2 mP = P + . g.a + . g.l - . g.l - . g.aρ ρ ρ ρ

De las ecuaciones anteriores se deduce:

.

2ot

m

v. = - g.l

2ρ ρ ρ (presión dinámica teórica, tubo de Prandtl)

Despejando se tiene:

m ot

2.g.l. - v =

ρ ρ

ρ

En el caso particular de que la medición de velocidad se efectúe en un flujo de agua:

ot v = 2.g.l - 1δ (velocidad teórica de la corriente, tubo de Prandtl)

Donde: - densidad relativa del líquido manométrico. Tubo de Prandtl estandarizado. En la práctica v2 es algo mayor que vo, y por lo tanto según la ecuación general de Bernoulli P2 es algo menor que Po. Adicionalmente, en el punto 1, si el eje del tubo de Prandtl está inclinado con relación a las líneas de corriente, puede producirse una velocidad distinta de cero y por lo tanto una

presión 1 tP P< . Se debe introducir por lo tanto un

coeficiente Cv, llamado coeficiente de velocidad del tubo de Prandtl, que tiene valores próximos a 1, determinados experimentalmente en laboratorio.

La velocidad real será determinada, para el agua, por la expresión:

δo vv = C . 2.g.L -1

HIDRODINÁMICA

PROBLEMA 1

En la figura está fluyendo agua a 10oC de la

sección (1) a la sección (2). En la sección (1) que tiene 25 mm de diámetro, la presión manométrica es de 345 KPa y la velocidad de flujo es de 3m/s. La sección (2), que tiene 50 mm de diámetro, está a 2 metros sobre la sección (1). Suponiendo que no hay pérdidas de energía en el sistema, calcule la presión P2. Considere g=10m/s

2.

(2)

(1)

V2

V1

h2 – h1=2m

P1=345KPa

P2=?

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PROBLEMA 3 Por el tubo horizontal mostrado fluye agua. Si D=15 cm y V1=1,2m/s. Determine V2 y el caudal, en m/s y litros/s.

1

2

D D/2 V2V1

PROBLEMA 4 Una tubería de 15 cm de diámetro por la cual circula agua, tiene un estrangulamiento gradual que reduce su diámetro a 7,5 cm. Si la velocidad del fluido en la parte ancha es 1,2m/s. Calcule la velocidad en el estrangulamiento y el caudal en litros/s.

1

2

1D = 15cm

2V = ??

2D = 7,5cm

1V = 1,2m/s

PROBLEMA 5 De un tubo de 2cm de diámetro fluye agua con una rapidez de 0,25/π m/s. ¿Cuánto tiempo le demorará llenar un recipiente de 10 litros? PROBLEMA 6 La velocidad de flujo de agua a través de una manguera de jardín es de 66 cm

3/s, la manguera y la boquilla

tienen un área transversal de 6cm2 y 1cm

2 respectivamente. Si la boquilla está 10cm del grifo, determine la

diferencia de presión entre el grifo y la boquilla. PROBLEMA 7 El agua que se encuentra en un depósito cerrado está sometida a una presión manométrica de 3x10

4Pa ejercida por el aire comprimido introducido

en la parte superior del depósito. Si en la pared lateral del mismo hay un pequeño orificio situado a 5cm por debajo del nivel del agua. Calcular la velocidad con la cual sale el agua por el orificio. Considere g=10m/s

2.

1

2

AIRE

AGUA

MANÓMETRO

NR

H=5m

Pman=3X104Pa

PROBLEMA 8 Respecto al sistema hidráulico que se muestra, determinar el caudal de agua que sale por la llave ―C‖ de 2cm de diámetro, si la presión manométrica del agua es de 200KPa. Considere g=10m/s

2, π=3,1416

AGUAH=2,05m

MANÓMETRO

LLAVE “C”

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PROBLEMA 9 Por el Tubo de Venturi mostrado, circula agua. El diámetro en la parte ancha es de 10cm y en la garganta es de 5cm. Si la lectura en el manómetro de mercurio es de 20cm. ¿Cuál es el flujo de agua a través del medidor? Considere: ρHg= 13600kg/m

3, g=10m/s

2.

20cm

MERCURIO

1

2

PROBLEMA 10 La figura muestra un tubo horizontal AB por el cual pasa un líquido. Si la diferencia de niveles de líquido en los tubos verticales es 20 cm y g=10m/s

2.

¿Cuánto es la velocidad del líquido en el tubo AB?

1

2

20cm

A B

PROBLEMA 11 A través del tubo AB pasa por una corriente de aire de 15 L/min. El área de la sección transversal de la parte ancha del tubo AB es de 2cm

2, la parte

estrecha del tubo ABC es 0,5cm2. Hallar

la diferencia de niveles que tendrá el agua que hay en el tubo ABC. Considere que la densidad del aire es 1,6Kg/m

3 y g=10m/s

2.

AIRE

V1 V2

AGUA

Δh

A

B

C

PROBLEMA 12 Un tubo de Pitot, como el que mostrado en la figura, va montado en el ala de un avión para determinar la velocidad de éste. Si la densidad del aire es 1,44 kg/m

3, el manómetro contiene alcohol

de densidad 810 kg/m3 e indica una

diferencia de nivel de 0,2 metros, determine la velocidad del avión. Considere que la g=10m/s

2.

AIRE

oh = 0,2m

ALCOHOL

v

LONGITUD 1 m = 100cm = 1000mm = 10

6μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in. 1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm 1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

ACELERACIÓN 1 m = 100cm = 1000mm = 10

6μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in. 1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm 1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

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1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ÁREA 1 cm

2 = 0,155 in

2

1 m2 = 10

4 cm

2 = 10,76 ft

2

1 in2 = 6,452 cm

2

1 ft2 = 144 in

2

MASA 1 Kg = 10

3g = 0,0685 slug

1 g = 6,85x10-5

slug 1 slug = 14,59 Kg 1 u = 1,661x10

-27 Kg

1 Kg tiene un peso de 2,205 lb cuando g=9,8m/s

2

VOLUMEN 1 litro = 1000 cm

3=10

-3m

3= 0,03531ft

3= 61,02 in

3

1 ft3 =0,02832m

3=28,32 litros= 7,477 galones 1

galón= 3,788 litros (galón americano)

FUERZA 1 N = 10

5 dinas = 0,2248 lb

1 lb = 4,448 N = 4,448x105 dinas

TIEMPO 1 min= 60 s 1 h= 3600 s 1 día=86400 s 1 año = 365,24 días = 3,156x10

7 s

PRESIÓN 1 Pa = 1N/m

2 = 1,451x10

-4 lb/in

2 = 0,209 lb/ft

2

1 bar = 105 Pa

1 lb/in2 = 6891 Pa

1 lb/ft2 = 47,85 Pa

1 atm = 1,013x105 Pa = 1,013 bar = 14,7 lb/in2

= 2117 lb/ft2

1 mmHg = 1 Torr = 133,3 Pa

ÁNGULO 1 rad.= 57,30

o= 180

o/π

1 litro = 1000 cm3

1o= 0,01745 rad = π/180 rad

1 revolución= 360o = 2π rad.

ENERGÍA 1 J = 107 ergios = 0,239 cal 1 cal = 4,186 J (basado en caloría a 15

o)

1 ft.lb = 1,356 J 1 BTU = 1055J = 252 cal = 778 ft.lb 1 eV = 1,602x10

-19 J

1 KWh = 3,6x106 J

VELOCIDAD 1 m/s = 3,281 ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/s 1 mi/min = 60mi/h = 88 ft/s 1 Km/h = 0,2778 m/s =0,6214 Km/h 1 estadio/quincena = 1,662x10

-4 m/s

N. del E: Estadio: medida de 201 metros

EQUIVALENCIA MASA - ENERGÍA 1 kg = 8,988 x10

16J

1 u = 931,5 MeV 1 eV = 1,074x10

-9 u

POTENCIA 1 watt = 1J/s 1 hp = 746 W = 550 ft.lb/s 1 BTU/h = 0,293W

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Capítulo 4

ESTADO GASEOSO

4.1 ESTADO GASEOSO

Incrementando aún más la temperatura se alcanza el estado gaseoso. Los átomos o moléculas del gas se encuentran virtualmente libres de modo que son capaces de ocupar todo el espacio del recipiente que lo contiene, aunque con mayor propiedad debería decirse que se distribuye por todo el espacio disponible. El estado gaseoso presenta las siguientes características:

Cohesión mínima.

Sin forma definida.

Su volumen sólo existe en recipientes que lo contengan.

Pueden comprimirse fácilmente. Se denomina gas al estado de agregación de la materia que no tiene forma ni volumen propio. Su principal composición son moléculas no unidas, expandidas y con poca fuerza de atracción, haciendo que no tengan volumen y forma definida, provocando que este se expanda para ocupar todo el volumen del recipiente que la contiene, con respecto a los gases las fuerzas gravitatorias y de atracción entre partículas resultan insignificantes. Es considerado en algunos diccionarios como sinónimo de vapor, aunque no hay que confundir sus conceptos, ya que el término de vapor se refiere estrictamente para aquel gas que se puede condensar por presurización a temperatura constante. Los gases se expanden libremente hasta llenar el recipiente que los contiene, y su densidad es mucho menor que la de los líquidos y sólidos. Dependiendo de sus contenidos de energía o de las fuerzas que actúan, la materia puede estar en un estado o en otro diferente: se ha hablado durante la historia, de un gas ideal o de un sólido cristalino perfecto, pero ambos son modelos límites ideales y, por tanto, no tienen existencia real. En los gases reales no existe un desorden total y absoluto, aunque sí un desorden más o menos grande. En un gas, las moléculas están en estado de caos y muestran poca respuesta a la gravedad. Se mueven tan rápidamente que se liberan unas de otras. Ocupan entonces un volumen mucho mayor que en los otros estados porque dejan espacios libres intermedios y están enormemente separadas unas de otras. Por eso es tan fácil comprimir un gas, lo que significa, en este caso, disminuir la distancia entre moléculas. El gas carece de forma y de volumen, porque se comprende que donde tenga espacio libre allí irán sus moléculas errantes y el gas se expandirá hasta llenar por completo cualquier recipiente.

4.2 PLASMA

Al plasma se le llama a veces «el cuarto estado de la materia», además de los tres «clásicos», sólido, líquido y gas. Es un estado en el que los átomos se han roto, y éste queda formado por electrones e iones positivos (átomos que han perdido electrones y que están moviéndose libremente). En la baja atmósfera, cualquier átomo que pierde un electrón (cuando es alcanzado por una partícula cósmica rápida) lo recupera pronto o atrapa otro. Pero a altas temperaturas, como en el Sol, es muy diferente. Cuanto más caliente está el gas, más rápido se mueven sus moléculas y átomos, y a muy altas temperaturas las colisiones entre estos átomos, moviéndose muy rápido, son suficientemente violentas para liberar los electrones. En la atmósfera solar, una gran parte de los átomos están permanentemente ―ionizados» por estas colisiones y el gas se comporta como un plasma. A diferencia de los gases fríos (p.e., el aire a temperatura ambiente), los plasmas conducen la electricidad y son fuertemente influidos por los campos magnéticos. La lámpara fluorescente, muy usada en el hogar y en el trabajo, contiene plasma (su componente principal es vapor de mercurio) que calienta y agita la electricidad, mediante la línea de fuerza a la que está conectada la lámpara. La línea, positivo eléctricamente un extremo y negativo otro, causa que los iones positivos se aceleren hacia el extremo negativo, y que los electrones negativos vayan hacia el extremo positivo. Las partículas aceleradas ganan energía, colisionan con los átomos, expulsan electrones adicionales y mantienen el plasma, aunque se recombinen partículas. Las colisiones también hacen que los átomos emitan luz y esta forma de luz es más eficiente que las lámparas tradicionales. Los letreros de neón y las luces urbanas funcionan por un principio similar y también se usaron en electrónica. Importante plasma en la naturaleza es la ionosfera (70-80 km encima de la superficie terrestre). Aquí los electrones son expulsados de los átomos por la luz solar de corta longitud de onda, desde la ultravioleta hasta los rayos X: no se recombinan fácilmente debido a que la atmósfera se rarifica más a mayores altitudes y no son frecuentes las colisiones. La parte inferior de la ionosfera, la ―capa D‖ (70-90 km), aún tiene suficientes colisiones para desaparecer después de la puesta del sol. Entonces se combinan los iones y los electrones, mientras que la ausencia de luz solar no los vuelve a producir. Esta capa se reestablece después del amanecer. Por encima de los 200 km las colisiones son tan infrecuentes que la ionosfera prosigue día y noche.

4.3 PERFIL DE LA IONÓSFERA

La parte superior de la ionósfera se extiende en el espacio muchos miles de kilómetros y se combina con la magnetósfera, cuyos plasmas están generalmente más rarificados y también más calientes. Los iones y los electrones del plasma de la magnetósfera provienen de la ionósfera que está por debajo y del viento solar y muchos de los pormenores de su entrada y calentamiento no están claros aún.

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Existe el plasma interplanetario, el viento solar. La capa más externa del Sol, la corona, está tan caliente que no solo están ionizados todos sus átomos, sino que aquellos que comenzaron con muchos electrones, tienen arrancados la mayoría (a veces todos), incluidos los electrones de las capas más profundas que están más fuertemente unidos. En la corona se ha detectado la luz característica del hierro que ha perdido 13 electrones. Esta temperatura extrema evita que el plasma de la corona permanezca cautivo por la gravedad solar y, así, fluye en todas direcciones, llenando el Sistema Solar más allá de los planetas más distantes. El Sol, mediante el viento solar, configura el distante campo magnético terrestre y el rápido flujo del viento (~430 km/s); proporciona la energía que alimenta los fenómenos de la aurora polar, los cinturones de radiación y de las tormentas magnéticas. La física del plasma es un campo matemático difícil, cuyo estudio requiere minucioso conocimiento de la teoría electromagnética. Algunos textos de electricidad y magnetismo se ocupan de aspectos de la física del plasma, p.e., el capítulo 10 de Classical Electrodynamics de J.D. Jackson.

4.4. CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN

Otro estado de la materia es el condensado de Bose-Einstein (CBE), predicho en 1924 por Satyendra Nath Bose y Albert Einstein, y obtenido en 1995 (los físicos Eric A. Cornell, Carl E. Wieman y Wolfgang Ketterle compartieron el Premio Nobel de Física de 2001 por este hecho). Este estado se consigue a temperaturas cercanas al cero absoluto y se caracteriza porque los átomos se encuentran todos en el mismo lugar, formando un superátomo.

4.5. CONDENSADO FERMIÓNICO

El sexto estado de la materia es el condensado fermiónico. Un condensado fermiónico es una fase superfluida formada por partículas fermiónicas a temperaturas bajas. Esta cercanamente relacionado con el condensado de Bose-Einstein. A diferencia de los condensados de Bose-Einstein, los fermiones condensados se forman utilizando fermiones en lugar de bosones. Los primeros condensados fermiónicos describian el estado de los electrones en un superconductor. El primer condensado fermiónico atómico fue creado por Deborah S. Jin en 2003. Un condensado quiral es un ejemplo de un condensado fermiónico que aparece en las teorías de los fermiones sin masa con rompimientos a la simetría quiral.

4.6. OTROS ESTADOS DE LA MATERIA

Existen otros posibles estados de la materia; algunos de estos sólo existen bajo condiciones extremas, como en el interior de estrellas muertas, o en el comienzo del universo después del Big Bang o gran explosión: 1. Coloide 2. Superfluido 3. Supersólido 4. Materia degenerada 5. Neutronio 6. Materia fuertemente simétrica 7. Materia débilmente simétrica 8. Condensado fermiónico 9. Plasma de quarks-gluones 10. Materia extraña o materia de quarks

4.7. CAMBIOS DE ESTADO

Los cambios de estado descriptos también se producen si se incrementa la presión manteniendo constante la temperatura. Así, el hielo de las pistas se funde por la presión ejercida por el peso de los patinadores. Esta agua sirve de lubricante, permitiendo el suave deslizamiento de los patinadores. Para cada elemento o compuesto químico existen determinadas condiciones de presión y temperatura a las que se producen los cambios de estado, debiendo interpretarse, cuando se hace referencia únicamente a la temperatura de cambio de estado, que ésta se refiere a la presión de la atm. (La presión atmosférica). De este modo, en "condiciones normales" (presión atmosférica, 20 ºC) hay compuestos tanto en estado sólido como líquido y gaseoso (S, L y G). Los procesos en los que una sustancia cambia de estado son: la sublimación (S-G), la vaporización (L-G), la condensación (G-L), la solidificación (L-S), la fusión (S-L), y la sublimación inversa (G-S).

4.8. CONCEPTO DE ESTADO GASEOSO

Se caracteriza porque sus moléculas siempre se hallan en continuo movimiento, en forma caótica, para determinar al estado gaseoso se debe conocer cuáles son los valores de los siguientes parámetros: Volumen, Temperatura y Presión, donde la masa del gas debe permanecer constante, entonces cualquier variación en el estado gaseoso se logra calcular aplicando la Ecuación General de los Gases Ideales(GI), por lo tanto se dice que un gas es ideal cuando permanece en el estado gaseoso, a pesar de los cambios de valores de sus parámetros fundamentales (P, V y T). Es uno de los tres estados de agregación de la materia y se encuentran en movimiento caótico (Al azar) y pueden ser:

GAS REAL: Aquel que se encuentra como tal en la naturaleza y se considera las fuerzas de atracción y repulsión que existe entre sus moléculas.

GAS IDEAL (G.I.): Llamado también perfecto; son aquellos que cumplen con los postulados de la Teoría Cinética Molecular (T.C.M.). Un gas real se puede comportar como un gas ideal sólo a presiones bajas y temperaturas elevadas. Se denomina gas al estado de agregación de la materia que no tiene forma ni volumen propio. Su principal composición son moléculas no unidas, expandidas y con poca fuerza de atracción, haciendo que no tengan volumen y forma definida, provocando que este se expanda para ocupar todo el volumen del recipiente que la contiene, con respecto a los gases las fuerzas gravitatorias y de atracción entre partículas resultan insignificantes. Es considerado en algunos diccionarios como sinónimo de vapor, aunque no hay que confundir sus conceptos, ya que el término de vapor se refiere estrictamente para aquel gas que se puede condensar por presurización a temperatura constante. Los gases se expanden libremente hasta llenar el recipiente que los contiene, y su densidad es mucho menor que la de los líquidos y sólidos.

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Dependiendo de sus contenidos de energía o de las fuerzas que actúan, la materia puede estar en un estado o en otro diferente: se ha hablado durante la historia, de un gas ideal o de un sólido cristalino perfecto, pero ambos son modelos límites ideales y, por tanto, no tienen existencia real. En los gases reales no existe un desorden total y absoluto, aunque sí un desorden más o menos grande.

En un gas, las moléculas están en estado de caos y muestran poca respuesta a la gravedad. Se mueven tan rápidamente que se liberan unas de otras. Ocupan entonces un volumen mucho mayor que en los otros estados porque dejan espacios libres intermedios y están enormemente separadas unas de otras. Por eso es tan fácil comprimir un gas, lo que significa, en este caso, disminuir la distancia entre moléculas. El gas carece de forma y de volumen, porque se comprende que donde tenga espacio libre allí irán sus moléculas errantes y el gas se expandirá hasta llenar por completo cualquier recipiente.

VARIABLES DE ESTADO Son las magnitudes físicas como:

VARIABLE SÍMBOLO

TIPO DE VARIABLE

MASA (m) EXTENSIVA VOLUMEN (V) EXTENSIVA

PRESIÓN (P) INTENSIVA TEMPERATURA (T) INTENSIVA ENTALPIA (H) EXTENSIVA

ENTROPÍA (S) EXTENSIVA

PROCESO Es la trayectoria de un estado inicial a otro final.

PROCESO RESTRINGIDO

Cuando se pasa de un estado inicial al final se mantiene una de las variables fundamentales (V, P, T) constante además de la masa.

4.9. TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR (T.C.M.)

Es un modelo que explica el comportamiento de los gases ideales.

POSTULADOS: 1. Un gas ideal está formado por partículas diminutas que se llaman moléculas que son tan pequeñas (masas puntuales) y se encuentran tan alejadas entre si, que el volumen total de todas las moléculas es despreciable comparado con el volumen del recipiente, 2. Los gases se componen de moléculas en movimiento caótico continuo, chocando entre sí y con las paredes de su recipiente. 3. Los choques son perfectamente elásticos es decir la energía cinética total se conserva. 4. Las moléculas no ejercen fuerzas atractivas o repulsivas entre si (son des preciables), excepto durante los choques. 5. La energía cinética promedio délas moléculas gaseosas es directamente proporcional a la temperatura absoluta de la muestra.

3Ec = RT

2; Para un mol de gas:

Donde: Ec= Energía cinética promedio (ergio/mol) R= 8,3 .10

7 ergio.mol

-1. k

-1 (constante universal de los gases)

T= temperatura absoluta en Kelvin (K). 4.10. OTRAS ECUACIONES

1.-

2N.m.V cm

PV=3

; donde: P = presión

V = volumen N = número de moléculas m = masa

2

V cm = velocidad cuadrática media de las moléculas del gas.

2. 2 2

i=NV = Vi

i=1

3. "Ecuación de BOLTZMAN"

3

Ec = k.T2

Donde: k = constante de Boltzman; -16

A

Rk = k = 1, 38.10 (ergio/K)

N

T = temperatura Absoluta (k; R) NA = número de Avogadro: NA = 6,023.10

23

4. 3.k.T

Vcm=m

Para una molécula: A

3.R.T 3.R.TVcm= =

m.N M

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4.11. ECUACION GENERAL DE LOS GASE IDEALES

Para una misma masa gaseosa (por tanto, el número de moles (n) es constante; n=cte), podemos afirmar que existe una constante directamente proporcional a la presión y volumen del gas, e inversamente proporcional a su temperatura. Se aplica para una masa de gas finita, donde el gas puede estar sujeto a cambios de P, V y T; se cumple:

PV = etc

T

Donde: P= presión absoluta V= volumen del gas T= temperatura absoluta Al variar las condiciones de presión, volumen y temperatura (P; V; T) se obtiene la siguiente ecuación:

2 2 n n

2 n

1 1

1

P V P V P V = = ... = = cte

T T T………….(1) ó también

1 1 2 2

1 1 2 2

P V P V =

T .n T .n…………….(2)

Donde n= 1, 2, 3,…, “n” variaciones de condiciones de P; V y T. Además se debe considerar que la Condiciones Normales para los gases son P= 1 atm; V= 22,4 L y T= 273 K EJEMPLO Cierta masa de oxígeno ocupa 20 litros a 27°C y 5atm. ¿Qué volumen ocupara en condiciones normales? SOLUCIÓN

ESTADO (1) V1 = 20 L T1 = 300 k P1= 5 atm

ESTADO (2) * Condición normal P2 = 1 atm T2 = 273 k V = ??

Aplicando la ecuación general:

PV = cte

T

1 1 2 2

1 2

P V P V =

T T

Reemplazando datos tenemos:

21.V5.(20) = V =91 L2300 273

4.12. LEY DE LOS GASES IDEALES

Diagrama presión-volumen a temperatura constante para un gas ideal. La ley de los gases ideales es la ecuación de estado del gas ideal, un gas hipotético formado por partículas puntuales, sin atracción ni repulsión entre ellas y cuyos choques son perfectamente elásticos (conservación de momento y energía cinética). Los gases reales que más se aproximan al comportamiento del gas ideal son los gases monoatómicos en condiciones de baja presión y alta temperatura. Empíricamente, se observan una serie de relaciones entre la temperatura, la presión y el volumen que dan lugar a la ley de los gases ideales, deducida por primera vez por Émile Clapeyron en 1834.

LA ECUACIÓN DE ESTADO.- La ecuación que describe normalmente la relación entre la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad (en moles) de un gas ideal es:

P.V = n.R.T Donde: P = Presión V = Volumen n = Moles de gas R = Constante universal de los gases ideales T = Temperatura en Kelvin.

LA ECUACIÓN DE ESTADO PARA GASES REALES.- Haciendo una corrección a la ecuación de estado de un gas ideal, es decir, tomando en cuenta las fuerzas intermoleculares y volúmenes intermoleculares finitos, se obtiene la ecuación para gases reales, también llamada ecuación de Van der Waals:

2

2

a.nP + . V- n.b = n.R.T

V

Donde: P = Presión del gas ideal V = Volumen del gas ideal n = Moles de gas R = Constante universal de los gases ideales T = Temperatura. a y b son Constantes determinadas por la naturaleza del gas con el fin de que haya la mayor congruencia posible entre la ecuación de los gases reales y el comportamiento observado experimentalmente.

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VALORES DE R EN DIFERENTES UNIDADES

L.KPa

8, 314472 K.mol

L.atm

0,08205746 K.mol

3

-5 m .atm8, 2057459.10

K.mol

L.KPa

8, 314472 K.mol

L.mmHg

62, 3637 K.mol

L.Torr

62, 3637 K.mol

L.mbar

83,14472 K.mol

cal

1,987 K.mol

4.13. TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR

Desarrollada por Ludwig Boltzmann y Maxwell. Nos indica las propiedades de un gas ideal a nivel molecular.

Todo gas ideal está formado por pequeñas partículas esféricas llamadas moléculas.

Las moléculas gaseosas se mueven a altas velocidades, en forma recta y desordenada.

Un gas ideal ejerce una presión continua sobre las paredes del recipiente que lo contiene, debido a los choques de las moléculas con las paredes de éste.

Los choques moleculares son perfectamente elásticos. No hay pérdida de energía cinética.

No se tienen en cuenta las interacciones de atracción y repulsión molecular.

La energía cinética media de la translación de una molécula es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.

4.14. PROCESOS GASEOSOS PARTICULARES O RESTRINGIDOS

También conocidos como procesos Restringidos. Son Procesos realizados manteniendo constante un par de sus cuatro variables (n, P, V, T), de forma que queden dos; una libre y otra dependiente. De este modo, la fórmula arriba expuesta para los estados 1 y 2, puede ser operada simplificando 2 o más parámetros constantes. Según cada caso, reciben los nombres:

4.14.1 LEY DE BOYLE-MARIOTTE: También llamado Proceso Isotérmico. Afirma que, a temperatura y cantidad de materia constante, el volumen de un

gas es inversamente proporcional a su presión: (n, T constantes). "En todo proceso a temperatura constante, el volumen ocupado por una masa constante de un sistema gaseoso varía inversamente proporcional a su presión absoluta". La Ley de Boyle-Mariotte (o Ley de Boyle, como se la conoce a veces), formulada por Robert Boyle y Edme Mariotte, es una de las leyes de los gases ideales que relaciona el volumen y la presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante, y dice que el volumen es

inversamente proporcional a la presión: PV = k Donde k es constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes. Cuando aumenta la presión, el volumen disminuye, mientras que si la presión disminuye el volumen aumenta. El valor exacto de la constante k

no es necesario conocerlo para poder hacer uso de la Ley; si consideramos las dos situaciones de la figura, manteniendo constante la cantidad de gas y la temperatura, deberá cumplirse la relación:

1 1 2 2P .V =P .V

Además se obtiene despejada que:

2 21

1

P * VP =

V

2 21

1

P * VV =

P

1 12

2

P * VP =

V

1 12

2

P * VV =

P

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EJEMPLO Cierta masa de gas se encuentra a la presión de 2 atm y ocupando un volumen de 10 litros, isotérmicamente, pasa a un nuevo estado donde la presión es de 0,5 atm. ¿Cuál será el volumen de este nuevo estado? RESOLUCIÓN ESTADO (1) V1 = 10 L T1 = cte. P1= 2 atm

ESTADO (2) Proceso ISOTERMICO P2 = 0,5 atm V2 = ?

Aplicando la ecuación general: PV = cte

1 1

1

P V

T2 2

2

P V =

T

Reemplazando datos tenemos:

2 22.(10)= 0,5.V V =40 L

4.14.1.2 LEY DE JACQUES CHARLES: (Proceso isobárico), donde (n, P constantes)

"En todo proceso a presión constante, el volumen ocupado por una masa constante de un sistema gaseoso varía directamente proporcional a su temperatura absoluta".

1 2

1 2

V V=

T T

La ley de Charles y Gay-Lussac, frecuentemente llamada ley de Charles o ley de Gay-Lussac, es una de las leyes de los gases ideales. Relaciona el volumen y la temperatura de una cierta cantidad de gas ideal, mantenido a una presión constante, mediante una constante de proporcionalidad directa. En esta ley, Charles dice que a una presión constante, al aumentar la temperatura, el volumen del gas aumenta y al disminuir la temperatura el volumen del gas disminuye. Esto se debe a que "temperatura" significa movimiento de las partículas. Así que, a mayor movimiento de las partículas (temperatura), mayor volumen del

gas. La ley fue publicada primero por Louis Joseph Gay-Lussac en 1802, pero hacía referencia al trabajo no publicado de Jacques Charles, de alrededor de 1787, lo que condujo a que la ley sea usualmente atribuida a Charles. La relación había sido anticipada anteriormente en los trabajos de Guillaume Amontons en 1702. La ley de Charles es una de las más importantes leyes acerca del comportamiento de los gases, y ha sido usada de muchas formas diferentes, desde globos de aire caliente hasta acuarios. Se expresa por la fórmula:

V = k

T

Además puede expresarse como: 1 2

1 2

V V =

T T

Despejando T1 se obtiene: 1 2

12

V * TT =

V

Despejando T2 se obtiene: 2 1

21

V * TT =

V

Donde: V= es el volumen T= es la temperatura absoluta (es decir, medida en Kelvin) K= es la constante de proporcionalidad Siendo la presión constante, si la temperatura aumenta, el volumen lo hará también en la misma proporción (primera ley). Siendo el volumen constante, si la presión aumenta, la temperatura lo hará también en la misma proporción (segunda ley).

1 2

1 2

P P =

T T

EJEMPLO 10 litros de gas se encuentran a la temperatura 27

oC isobáricamente pasa a un nuevo estado donde la temperatura

es de 127oC. ¿Cuál será el volumen de este nuevo estado?

SOLUCIÓN

ESTADO (1) V1 = 10 L

ESTADO (2) Proceso ISOBARICO Aplicando la ecuación general:

V = cte

T

Donde: P1= Presión Inicial P2= Presión Final V1= Volumen Inicial V2= Volumen Final

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T1 = 300 K. P1= cte

P2 = cte V2 = ? T2 = 400 K

1 2

1 2

V V =

T T

Reemplazando datos tenemos:

V10 2 = V =13,3 L

2300 400

4.14.1.3 LEY DE GAY LUSSAC: Proceso isócoro, isométrico o isovolumétrico, (n, V constantes)

"En todo proceso a volumen constante, la presión ejercida por la masa de un sistema gaseoso varía directamente proporcional a la temperatura absoluta del mismo". Segunda ley de Gay-Lussac.- La segunda ley de Gay-Lussac dice: ―Si el volumen se mantiene constante, el cociente entre presión y temperatura (Kelvin) permanece constante:

P = k

T

Esta ley fue enunciada en 1805 por el físico y químico francés Louis Joseph Gay-Lussac. ¿Por qué ocurre esto? : Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las paredes por unidad de tiempo, es decir, aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes fijas y su volumen no puede cambiar. Gay-Lussac descubrió que, en cualquier momento del proceso, el cociente entre la presión y la temperatura tenía un valor constante. Supongamos que tenemos un gas que se encuentra a una presión P1 y a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos la temperatura hasta un nuevo valor T2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá:

1 2

1 2

P P =

T T, que es otra manera de expresar la segunda ley de Gay-

Lussac. Esta ley, al igual que la de Charles, está expresada en función de la temperatura absoluta. Es decir, las temperaturas han de expresarse en Kelvin. EJEMPLO Cierta masa de gas se encuentra a la presión de 8 atm y 127oC de temperatura, manteniendo el volumen constante, pasa a un nuevo estado, donde la presión es de 2 atm. ¿Cuál será la temperatura de este nuevo estado?

SOLUCIÓN ESTADO (1) V1 = cte T1= 400 K. P1= 8 atm

ESTADO (2) Proceso ISÓCORO, ISOMÉTRICO O ISOVOLUMÉTRICO, P2 = 2 atm V2 = cte T2 = ?

Aplicando la ecuación general: P

= cteT

P P1 2 =

T T1 2

Reemplazando datos tenemos: 22

8 2 = V =100 K

400 T

14.1.4 LEY DE AVOGADRO: Esta ley fue expuesta por Amadeo Avogadro en 1811 y complementaba a las de Boyle, Charles y Gay-Lussac. Asegura que en un proceso a presión y temperatura constante (isobaro e isotermo), el volumen de cualquier gas es proporcional al número de moles presente, de tal modo que: (T, P constantes)

1 2

1 2

V V =

n n

“A igualdad de presión y temperatura (condiciones de Avogadro; los volúmenes de los gases están en la misma relación que los números de moléculas que contiene un gas” Esta ecuación es válida incluso para gases ideales distintos. Una forma alternativa de enunciar esta ley es: ―El volumen que ocupa un mol de cualquier gas ideal a una temperatura y presión dadas siempre es

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el mismo”. Un mol de cualquier gas ideal a una temperatura de 0°C (=273,15 K) y una presión de 1013,25 kPa ocupa un volumen de exactamente 22,4 litros.

DEFINICIÓN FORMAL Se puede hacer una definición más formal de la teoría mediante la aplicación de matemáticas, la presión de una mezcla de gases puede expresarse como una suma de presiones mediante:

nP = pitotal

i=1

O igual total 1 2 nP = p + p +...+ p

Donde p1; p2; pn representan la presión parcial de cada componente en la mezcla. Se asume que los gases no tienen reacciones químicas entre ellos, el caso más ideal es con gases nobles.

P = P .mtotali i

Donde: mi es la fracción molar del i-ésimo componente de la mezcla total de los m componentes. La relación matemática así obtenida es una forma de poder determinar analíticamente el volumen basado en la concentración de cualquier gas individualmente en la mezcla.

total ii

P .CP =

1000000

Donde la expresión: Ci es la concentración del i-ésimo componente de la mezcla expresado en unidades de ppm. La ley de las presiones parciales de Dalton se expresa básicamente como que la presión total de una mezcla y esta es igual a la suma de las presiones parciales de los componentes de esta mezcla.

4.14.1.5 LEY DE AMAGAT VOLÚMENES PARCIALES

“En toda mezcla gaseosa, el volumen total es igual a la suma de los volúmenes parciales (de sus componentes) con la condición de que cada gas (componente) y la mezcla se encuentren afectados de la misma presión y temperatura”.

Ejemplo: Mezcla de 2 componentes: A, B

A

V

Pt

B

V

Pt

A

B

Pt

= Vt

A BVt = V +V

Donde: Vt= volumen total VA; VB= volúmenes parciales En general para "n" componentes se cumple:

1 2 3 nVt = V +V +V +......+V

4.14.1.6 LEY DE GRAHAM La Ley de Graham, formulada en 1829 por Thomas Graham, establece que las velocidades de efusión de los gases son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus respectivas densidades.

1υ

υ2

BB

AA

δM= =

δM

Donde: V =velocidad volumétrica

EJEMPLO En cada uno de los extremos abiertos de un tubo de vidrio de 100cm de longitud se pone dos gases "A" y "B" respectivamente; la masa molecular de "B" es 9 veces que el de "A". Si el gas "A" se introduce por el extremo izquierdo, ¿a qué distancia se encuentra con el gas "B"? SOLUCIÓN

XA XB

100cm

A B

Aplicando la ecuación general:

A AB B

B BA A

AA B

B

A B

X XM 9.M = =

X XM M

X=3 X =3.X

X

luego X + X = 100

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SE CUMPLE:

A B

B A

V M =

V M; dato B AM = 9M

VolumenV =

tiempo el área del tubo es constante

escpacio

V = tiempo

y A Bt = t (tiempos iguales)

Reemplazando: A BX = 3.X en B B3.X + X = 100

Se tienen: B AX = 25cm y por diferencia X = 75cm

Siendo las velocidades y δ las densidades. Efusión es el flujo de partículas de gas a través de orificios estrechos o poros. Se hace uso de este principio en el método de efusión de separación de isótopos. Los diferentes procesos que se realizan en las plantas, como lo son: la efusión, la ósmosis y la imbibición vegetal. Se encuentran íntimamente ligados con el transporte de agua y de soluciones desde el punto de origen hasta el medio donde ésta es activada. Cada sustancia se difunde libremente de otras hasta que se difunden todas equitativamente. En la planta la velocidad de efusión depende del gradiente lo cual está determinado por la diferencia entre las concentraciones de las sustancias en las dos regiones y por la distancia que las separa. El fenómeno de efusión está relacionado con la energía cinética de las moléculas. Gracias a su movimiento constante, las partículas de una sustancia, se distribuyen uniformemente en el espacio libre. Si hay una concentración mayor de partículas en un punto habrá más choques entre sí, por lo que hará que se muevan hacia las regiones de menor número: las sustancias se efunden de una región de mayor concentración a una región de menor concentración.

4.15. VELOCIDAD DE DIFUSIÓN DE LOS GASES

De los 5 estados de la materia, los gases presentan la mayor facilidad de efusión de sus respectivas moléculas, como ocurre en el aire, ya que sus moléculas tienen velocidades superiores. Las moléculas de diferentes clases tienen velocidades diferentes, a temperatura constante, dependiendo únicamente de la densidad. Ejemplo: ¿Cuál es la velocidad de efusión del oxígeno con respecto al hidrógeno? Si la masa molar del oxígeno es 32 y la del hidrógeno es 2 (gases diatómicos):

H2

O2

υ32

= = 4υ 2

La velocidad de efusión del hidrógeno es 4 veces mayor que la del oxígeno.

4.16. COMPORTAMIENTO DE LOS GASES

Nombre Fórmula Color Olor Toxicidad

Amoníaco NH3 Incoloro Penetrante Tóxico Dióxido de carbono

CO2 Incoloro Inodoro No tóxico

Monóxido de carbono

CO Incoloro Inodoro Muy tóxico

Cloro Cl2 Verde pálido Irritante Muy tóxico Helio He Incoloro Inodoro No tóxico Neón Ne Incoloro Inodoro No tóxico Hidrógeno H2 Incoloro Inodoro No tóxico Cloruro de hidrógeno

HCl Inodoro Irritante Tóxico

Sulfuro de hidrógeno

H2S Incoloro Fétido Muy tóxico

Metano CH4 Incoloro Inodoro No tóxico Nitrógeno N2 Incoloro Inodoro No tóxico Dióxido de nitrógeno

NO2 Marrón rojizo Irritante Muy tóxico

Oxígeno O2 Incoloro Inodoro No tóxico Se puede observar que los elementos H2, Cl2, O2 y N2 existen como moléculas diatómicas. Un alótropo del oxígeno, el ozono, O3, también es un gas a temperatura ambiente. Todos los elementos del grupo 8 ó gases nobles, son elementos monoatómicos: He, Ne, Ar, Kr, Xe y Rn. Los compuestos iónicos no existen como gases; sin embargo, el comportamiento de los compuestos moleculares es variado, así por ejemplo CO, CO2, HCl, NH3 y CH4 son gases.

Observación La atmósfera terrestre consiste de una mezcla de gases que rodea la Tierra, se mantiene sobre ella gracias a la acción de la gravedad y como es materia, ejerce presión sobre la superficie terrestre. Este hecho fue demostrado por Evangelista Torricelli (1606 - 1647);

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La presión de un gas se define como la fuerza que ejercen las moléculas gaseosas sobre las paredes del recipiente que las contiene. Esta fuerza se produce por el movimiento permanente de las moléculas gaseosas en el interior del recipiente, que colisionan entre sí y con las paredes. En consecuencia, la presión de un gas se determina por el número de colisiones que ejercen las moléculas gaseosas, por unidad de área de la pared del recipiente que lo contiene. Para medir la presión de un gas que se encuentra dentro de un recipiente se usan generalmente manómetros de mercurio, Hg, como se muestran en la figura y que operan de la siguiente manera:

Si la presión del gas es menor que la atmosférica, se emplea un manómetro de tubo cerrado. En este caso la presión es simplemente la diferencia entre los dos niveles, en mm de Hg (h1) Si la presión del gas es algo mayor o menor que la atmosférica, se emplea un manómetro de tubo abierto. En este caso la diferencia de en los niveles de Hg indican la diferencia de presión respecto a la presión atmosférica de referencia.

Recuerda La unidad que usamos comúnmente para la presión, son las atmósferas, atm, aquí algunas de sus equivalencias:

1 atm = 760 mmHg = 760 Torr

1 atm = 101 325 Pa

1 atm = 1,01325 bar

1 atm = 14,6959 PSI (pounds per square inch o libra por pulgada cuadrada)

PROBLEMA 1 Un volumen gaseoso de un litro es calentado a presión constante desde 18°C hasta 58°C, ¿qué volumen final ocupará el gas?. Datos: V1 = 1 L P1 = P2 = P = constante T1 = 18 °C T2 = 58 °C Ecuación: P1.V1/T1 = P2.V2/T2 Si P = constante V1/T1 = V2/T2

Pasamos las temperaturas a temperaturas absolutas. T1 = 18 °C T1 = 18 °C + 273,15 °C T1 = 291,15 K T2 = 58 °C T2 = 58 °C + 273,15 °C T2 = 331,15 K

Despejamos V2: V2 = V1.T2/T1 V2 = 1 l.331,15 K/291,15 K V2 = 1,14 L

PROBLEMA 2

Una masa gaseosa a 32 °C ejerce una presión de 18 atmósferas, si se mantiene constante el volumen, qué aumento sufrió el gas al ser calentado a 52 °C?.

Datos:

T1 = 32 °C

T2 = 52 °C

P1 = 18 atmósferas

V1 = V2 = V = constante

Ecuación:

P1.V1/T1 = P2.V2/T2

Si V = constante:

P1/T1 = P2/T2

Pasamos las temperaturas a temperaturas absolutas.

T1 = 32 °C T1 = 32 °C + 273,15 °C T1 = 305,15 K

T2 = 52 °C T2 = 52 °C + 273,15 °C T2 = 325,15 K

Despejamos P2:

P2 = P1.T2/T1 P2 = 18 atmósferas.325,15 K/305,15 K P2 = 19,18 atmósferas

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PROBLEMA 3

En un laboratorio se obtienen 30 cm ³ de nitrógeno a 18 °C y 750 mm de Hg de presión, se desea saber cuál es el volumen normal.

Datos:

V1 = 30 cm ³ V1 = 0,03 dm ³ = 0,03 l

P1 = 750 mm Hg

T1 = 18 °C T1 = 18 °C + 273,15 °C T1 = 291,15 K

P2 = 760 mm Hg

T2 = 273,15 K

Ecuación:

P1.V1/T1 = P2.V2/T2

V2 = (P1.V1.T2)/(P2.T1) V2 = (750 mm Hg.0,03 l.273,15 K)/(760 mm Hg.291,15 K) V2 = 0,0278 L

PROBLEMA 4

Una masa de hidrógeno en condiciones normales ocupa un volumen de 50 litros, ¿cuál es el volumen a 35 °C y 720 mm de Hg?.

Datos:

V1 = 50 L

P1 = 760 mm Hg

T1 = 273,15 K

T2 = 35 °C T2 = 35 °C + 273,15 °C T2 = 308,15 K

P2 = 720 mm Hg

Ecuación:

P1.V1/T1 = P2.V2/T2

V2 = (P1.V1.T2)/(P2.T1) V2 = (760 mm Hg.50 l.308,15 K)/(720 mm Hg.273,15 K) V2 = 59,54 L

PROBLEMA 5

Un gas a 18 °C y 750 mm de Hg ocupa un volumen de 150 cm ³, ¿cuál será su volumen a 65 °C si se mantiene constante la presión?.

Datos:

T1 = 18 °C T1 = 18 °C + 273,15 °C T1 = 291,15 K

P1 = 750 mm Hg

V1 = 150 cm ³ V1 = 0,15 dm ³ = 0,15 l

T2 = 65 °C T2 = 65 °C + 273,15 °C T2 = 338,15 K

P2 = 750 mm Hg

Ecuación:

P1.V1/T1 = P2.V2/T2

P1 = P2 = P = constante

Si P = constante

V1/T1 = V2/T2

Despejamos V2:

V2 = V1.T2/T1 V2 = 0,15 l.338,15 K/291,15 K V2 = 0,174 L

PROBLEMA 6

Una masa gaseosa a 15 °C y 756 mm de Hg ocupa un volumen de 300 cm ³, cuál será su volumen a 48 °C y 720 mm de Hg?.

Datos:

T1 = 15 °C T1 = 15 °C + 273,15 °C T1 = 288,15 K

P1 = 756 mm Hg

V1 = 300 cm ³ V1 = 0,3 dm ³ = 0,3 L

T2 = 48 °C T2 = 48 °C + 273,15 °C T2 = 321,15 K

P2 = 720 mm Hg

Ecuación:

P1.V1/T1 = P2.V2/T2

V2 = (P1.V1.T2)/(P2.T1) V2 = (756 mm Hg.0,3 l.321,15 K)/(720 mm Hg.288,15 K) V2 = 0,351 L

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TABLA DE CALOR DE LOS GASES

Material

Específico Vaporización

Cp kJ/kg.K

Cv kJ/kg.K

lv kJ/kg

Acetileno Acido Clorhídrico Aire Amoníaco Argón Cloro Dióxido de Azufre Dióxido de Carbono Etileno Helio Hidrógeno Kriptón Metano Monóxido de Carbono Neón Nitrógeno Oxígeno Vapor de Agua

1,67 0,80 1,00 2,22 0,54 0,50 0,63 0,84 1,55 5,23

14,28 0,25 2,22 1,05 1,05 1,05 0,92 1,93

1,34 0,59 0,71 1,72 0,33 0,29 0,50 0,63 1,21 3,18 10,13 0,17 1,72 0,75 0,63 0,75 0,67 1,47

- - -

1410 -

263 402 595

- -

503 - - - -

201 214

-

Equivalencias: 1 kJ/kg.K = 0,2388 kcal/kg.°C

GASES REALES

CÁLCULO DEL FACTOR K DE UNA MEZCLA DE GASES Y SUS PROPIEDADES TERMODINÁMICAS

Sustancia Fórmula Mol kg

Cp J/mol K

Cv J/mol K

k Cp/Cv

Tc K

Pc bar

Vapor de agua: H2O 0.018015 34.769 26.482 1.3129 647.10 220.64 Aire (atmosférico): - 0.028960 29.130 20.800 1.4005 132.42 37.74 Amoniaco: NH3 0.017031 36.953 28.280 1.3067 405.55 112.40 Argón: Ar 0.039948 20.830 12.480 1.6691 150.72 48.64 Benceno: C6H6 0.078108 77.862 69.520 1.1200 561.80 48.54 i-Butano: CH(CH3)3 0.058124 94.163 85.846 1.0969 408.13 36.50 n-Butano: C4H10 0.058124 100.365 92.048 1.0904 425.16 37.97 Ciclohexano: C6H12 0.084161 127.519 119.177 1.0700 553.50 40.73 Ciclopentano: C5H10 0.070134 112.622 104.280 1.0800 511.60 45.08 Cloro: Cl2 0.070906 35.317 27.004 1.3078 417.15 77.10 Criptón: Kr2 0.083800 21.037 12.622 1.6667 209.40 54.90 Decano: CH3(CH2)8CH3 0.142285 286.421 278.079 1.0300 617.70 21.00 Dimetil Eter: (CH3)2O 0.046069 65.690 59.180 1.1100 400.05 52.70 Dióxido de azufre: SO2 0.064063 39.884 30.932 1.2894 430.75 78.84 Dióxido de carbono: CO2 0.044011 37.564 28.541 1.3161 304.19 73.82 Etano: C2H6 0.030070 53.346 44.769 1.1916 305.50 49.10 Eteno (Etileno): C2H4 0.028054 43.428 34.899 1.2444 283.05 51.20 Etino (Acetileno): C2H2 0.026038 44.308 35.915 1.2337 308.35 61.90 Fluor: F2 0.037997 31.449 23.165 1.3576 144.30 52.15 Freón 11: CCl3F 0.137368 77.613 68.321 1.1360 471.15 44.08 Freón 113: CCl2FCClF2 0.187376 126.221 116.871 1.0800 487.25 34.15 Freón 318: C4F8 0.200031 159.017 150.727 1.0550 388.45 27.86 Acido bromhídrico: HBr 0.080912 29.791 20.980 1.4200 362.95 85.10 Acido clorhídrico: HCl 0.036451 29.576 20.976 1.4100 324.55 82.58 Helio:

4He 0.004003 20.967 12.863 1.6300 5.20 2.29

Heptano: CH3(CH2)5CH3 0.100040 175.190 166.847 1.0500 539.20 27.40 Hexano: CH3(CH2)4CH3 0.086177 147.382 139.039 1.0600 506.40 30.30 Acido yodhídrico: HI 0.127913 30.497 21.784 1.4000 423.90 82.10 Hidrógeno: H2 0.002016 28.851 20.535 1.4050 33.24 12.97 Metano: CH4 0.016043 35.941 27.531 1.3055 191.05 46.40 Metanol: CH3OH 0.032042 35.253 26.911 1.3100 512.00 80.97 Monoetilenglicol: C2H6O2 0.062068 54.689 46.346 1.1800 719.70 77.10 Monóxido de carbono: CO 0.028010 29.204 20.794 1.4044 132.92 34.99 Oxido Nitroso: N2O 0.044013 38.635 29.648 1.3031 309.58 72.54 Neón: Ne 0.020183 20.786 12.659 1.6420 44.44 27.20 Nitrógeno: N2 0.028013 28.980 20.600 1.4068 126.26 34.00 Oxido Nítrico: NO 0.030006 29.227 20.891 1.3990 180.25 65.50

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Nonano: CH3(CH2)7CH3 0.128258 216.901 208.559 1.0400 594.70 22.80 Octano: CH3(CH2)6CH3 0.114231 175.190 166.847 1.0500 568.40 24.90 Oxígeno: O2 0.031999 29.472 20.817 1.4158 154.58 50.43 i-Pentano: C(CH3)4 0.072151 118.156 109.854 1.0756 433.75 31.99 n-Pentano: C5H12 0.072150 112.622 104.280 1.0800 469.70 33.65 Propano: C3H8 0.044097 74.010 64.810 1.1420 369.99 42.66 Sulfuro de hidrógeno: H2S 0.034076 34.218 25.806 1.3260 373.56 90.10 Tetrafluoruro de carbono: CF4 0.088005 61.271 52.949 1.1572 227.59 37.40 Tolueno: C6H5CH3 0.092134 101.035 92.693 1.0900 593.80 42.07 Xenón: Xe 0.131300 21.012 12.658 1.6600 289.74 58.38

ESTADO GASEOSO

PROBLEMA 1 Al disminuir el volumen de un gas en un 20% y al aumentar su temperatura en 60% la presión absoluta aumenta en:

PROBLEMA 2 Si se calienta cierta masa de un gas ideal desde 27°C hasta 87°C ¿En qué porcentaje deberla aumentar su presión para que no varíe su volumen?

PROBLEMA 3 Cuando la presión de un gas se incrementa de 3 a 8 atm y la temperatura de 27°C a 127°C. ¿Cuál será el porcentaje (%) de variación del volumen? PROBLEMA 4 Hallar el número de moles de un gas. Sabiendo que se encuentra encerrado en un recipiente de 3 litros a la presión de 0,82 atm y a la temperatura de 27°C. De la respuesta en moles. PROBLEMA 5 ¿Qué presión ejercerá 3,011x10

24 moléculas de amoniaco gaseoso (NH3), sabiendo que se encuentra a 27°C y ocupa

un volumen de 18,72 litros? Masas atómicas: N=14; H=1. De la respuesta en mmHg. PROBLEMA 6 ¿Cuánto será la densidad del aire (g/l) en Ticlio, si en dicho lugar la temperatura es de 2°C y la presión es de 70cmHg?

aireM = 28, 97

PROBLEMA 7 Se tiene 0,1 gramos de gas desconocido XO3 a 127°C ocupando 100ml y ejerciendo una presión de 312mmHg. ¿Cuál es el peso atómico de "X"? PA (O2) = 16. PROBLEMA 8 Un cilindro con tapa móvil encierra a un gas ideal. Cuando la tapa se encuentra a 20cm de la base, la presión es 6atm. ¿Qué sucede con la tapa, si la presión disminuye a 5atm?; se lleva a cabo el proceso a temperatura ambiente.

A) Sube 4cm B) Baja 4cm C) Sube 5cm D) Baja 5cm E) No ocurre nada

PROBLEMA 9 Determinar la temperatura en "x" (en °C) del siguiente gráfico.

x

y

10 15

10

5

P(atm)

V(L)

500K

PROBLEMA 10 Calcular el cero absoluto en la escala relativa "z" según el siguiente gráfico:

200100

1

3

P(atm)

T(zo)

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PROBLEMA 11 En dos recipientes de igual tamaño se tiene 640 gramos de metano (CH4) a las mismas condiciones de presión y temperatura que el nitrógeno que hay en el otro recipiente. ¿Cuál es la masa de N2? P. A:C=12, N=14, H=1. Sin que varíe la temperatura se agregan 10 gramos más de aire a un frasco que contenía a dicho; y se observa que la presión se duplica, si el recipiente se mantiene cerrado. Calcular el peso inicial del aire. De la respuesta en gramos. PROBLEMA 12 ¿Hasta qué temperatura debe calentarse una vasija abierta que está a 100

oR, para que expulse 1/4 de su masa de aire

que contenía inicialmente? PROBLEMA 13 Del siguiente gráfico, hallar los valores de X, Y, Z.

Y4

B C

D

1

X

3

2

A

P(atm)

V(L)

Z

500K250K

PROBLEMA 14 Una burbuja de aire se encuentra a una profundidad de 30,99 metros en un lago de agua dulce. Calcular su nueva profundidad cuando su volumen se duplique, si su temperatura no varía.

PROBLEMA 15 Se tiene una mezcla gaseosa a 760mmHg cuyo contenido porcentual es: N2=65%; O2=15% y CO2=20% en volumen. Hallar la presión parcial del CO2. De la respuesta en mmHg. PROBLEMA 16 Se tiene una mezcla gaseosa a 20

oC que está formado por cuatro componentes cuyas presiones parciales son las

siguientes: O2=200 mmHg; N2=328 mmHg; H2=415 mmHg; CO2=65 mmHg. Hallar el porcentaje en volumen del oxígeno en la mezcla. PROBLEMA 17 Se tiene una mezcla formada por 4,4 gramos de CO2 y 2,8 gramos de CO, la mezcla se encuentra a 17

oC y 2,9atm de

presión. ¿Cuál es su volumen? De la respuesta en litros. PROBLEMA 18 Se tiene una mezcla gaseosa formada por propano (C3H8) y un gas “X” si: %Vpropano - %Vx= 28% y %mx= 28%. Hallar el peso molecular del gas “X” PROBLEMA 19 Un balón de 250cm

3 contiene Kriptón a 350mmHg, otro balón de 450cm

3 contiene Helio a 700mmHg. Se conectan

dichos balones de tal manera que cada gas ocupa el volumen mezclado. Hallar la presión total de la mezcla; si la temperatura es constante, dar la respuesta en mmHg. PROBLEMA 20 La diferencia entre las fracciones molares de dos compuestos de una mezcla gaseosa es 0,2, si la presión parcial del más abundante es 1,2atm ¿Cuál será la presión parcial del otro, en atm? PROBLEMA 21 La composición en presión de una mezcla es: O2=50%; CO2=25%; N2=25%. Hallar el peso molecular de la mezcla. Masas atómicas: N=14; C=12; O=16. PROBLEMA 22 En un balón de acero inoxidable de 2 litros de capacidad se encuentra encerrado oxígeno e hidrógeno a 624torr cada uno de ellos y a 227

oC, una chispa permite la reacción de O2 y H2. Determinar la presión final de la mezcla

gaseosa a 227oC en atmósferas (atm).

PROBLEMA 23 En un balón se mezclan los siguientes gases: O2; N2; CO2; CH4, se observa que las presiones parciales son iguales. Además se introduce 40 gramos de oxígeno más que de nitrógeno. Calcular el peso de la mezcla.

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PROBLEMA 24 Un mol de un gas ideal realiza el siguiente proceso cíclico. Calcular P3; V2; V1.

V2

2

3

V1

P3

61

87OC

27OC

V(L)

P(atm)

PROBLEMA 25 Se tiene una muestra de hidrógeno que es recibido sobre agua en un recipiente de 118cc a 23

oC y 721,1mmHg. ¿Cuál

es el volumen del gas seco a condiciones normales? De la respuesta en cm3.

o23 C V

aguaP = 21,1 mmHg

PROBLEMA 26 En un cilindro de 20 litros de capacidad se mezclan 15 litros de O2 a 5 atm; 8 litros de N2 a 2 atm y 3 litros de CO2 a 3 atm ¿Cuál es la presión total de la mezcla, en atm? PROBLEMA 27 En cada uno de los extremos abiertos de un tubo de vidrio de 100cm de longitud se introducen H2S y SO2 respectivamente. A qué distancia, en cm, más corta hacia uno de los extremos se formará el “S” elemental según la reacción:

2 2 2SO + 2H S 2H O + 3S→

PROBLEMA 28 ¿A qué temperatura tendrán las moléculas de hidrógeno la misma velocidad promedio que las moléculas de nitrógeno a 27

oC?

PROBLEMA 29 En un recipiente se hallan mezclados tres gases de tal manera que la fracción molar del primero es el doble que la del tercero. Si un manómetro instalado en el recipiente arroja una lectura de 20,3 PSIG. Calcular las presiones parciales de cada gas en PSIA. PROBLEMA 30 Respecto a un gas ideal que sigue el proceso abcde, lo incorrecto es:

T(oC)

P(atm) V1

V2

a b

c

d

e

A) b → c: Isotérmico B) c → d: Isócoro C) a → b: Isócoro D) d → e: Isotérmico E) a → b: Isobárico

PROBLEMA 31 En el siguiente gráfico determinar la presión en el punto (2). De la respuesta en atmósferas (atm).

P(atm)

oZ

1

2

-210 -80 150

2

?

A) 4,5 B) 1,8 C) 5,5 D) 8,3 E) 9,2

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PROBLEMA 32 Con el objeto de jugar una broma a unos amigos, un estudiante hace estallar una capsula de gas “mal olor” (H2S) en un salón en el que no hay movimiento de aire. ¿Cuál será el tiempo aproximado en segundos en que uno de los amigos ubicados a 9,374 metros del punto en que estalló la capsula, percibirá el olor si la temperatura del medio es 27

oC?

Masas atómicas: S=32; H=1; R=8,3x107 ergio.mol

-1-K

-1

PROBLEMA 33 Pepito sostiene un globo que contiene H2 a presión atmosférica normal, si suelta el globo. ¿A qué altura el volumen se duplicará? Considere: DAIRE=1,29x10

-3 g/cm

3; temperatura del aire no cambia. De la respuesta en kilómetros (Km)

PROBLEMA 34 ¿Cuántos moles de “A” son necesarios aumentar a una mezcla de gases “A” y “B” para que la fracción molar final de “B” sea igual a la fracción molar inicial de “A”, sabiendo que el número de moles de “B” es 8 y en fracción molar inicial era 0,8? PROBLEMA 35 Cuántos miligramos de vapor acuoso hay contenidos en un frasco de 2 litros lleno de aire al 70% de humedad y a 25

oC.

o25 C V

aguaP = 23,76 mmHg

PROBLEMA 36 En el aire atmosférico se encuentra que el número de moles de vapor de agua por cada mol de aire seco es 0,02. Si la presión atmosférica es normal y la temperatura es de 20

oC. ¿Cuál es la humedad relativa?

o20 C V

aguaP = 17,5 mmHg

PROBLEMA 37 Se sabe que el oxígeno y un gas “X”, a las mismas condiciones de presión y temperatura se encuentran en una relación molar de 3 a 5. Si los dos gases se difunden a través de tuberías diferentes en tiempos iguales. Hallar la masa molecular de “X”. Masas atómicas: O=16. PROBLEMA 38 De los siguientes gases a las mismas condiciones de presión y temperatura. ¿Cuál de ellos se difundirá más rápido? Masas atómicas: C=12; O=16; H=1; N=14 PROBLEMA 39 200 litros de cloro se difunden en 4 minutos a ciertas condiciones de presión y temperatura. ¿Cuánto tardará 1600 litros de metano (CH4) a las mismas condiciones? De la respuesta en minutos. PROBLEMA 40 Si un litro de oxígeno se difunde a través de un pequeño orificio en una hora. ¿Cuánto tardará en difundirse un litro de Helio bajo las mismas condiciones? Masas atómicas: O=16; He=4. Dar la respuesta en minutos. PROBLEMA 41 El gas oxígeno se difunde a través de un orificio en 20 minutos; a las mismas condiciones de presión y temperatura, ¿qué tiempo tardará en difundirse por otro orificio igual peso de metano? Dar la respuesta en minutos. Masas atómicas: C=12; O=16; H=1 PROBLEMA 42 Una bomba para llanta está llena de aire a la presión absoluta de una atmósfera, la longitud de la carrera de la bomba es de 45 cm si la compresión es isotérmica, en qué punto de la carrera del émbolo empezará a penetrar el aire en un neumático en el cual la presión es de 1,5 atm.

PROBLEMA 43 Una vasija abierta cuya temperatura es 27

oC, se calienta a presión constante hasta 127

oC. Hallar el porcentaje (%) de

aire escapado. PROBLEMA 44 Se tiene oxígeno en un recipiente de 6 litros y se le traslada a otro recipiente de 4 litros. Si en el traslado se pierde 12 gramos de gas. Calcular el peso de gas en el primer recipiente, si ambos se encuentran a las mismas condiciones de presión y temperatura. PROBLEMA 45 Del gráfico calcula la relación de V2 entre V1. PROBLEMA 46 La densidad de un gas a determinadas condiciones es 0,1 g/cm

3. Si mantenemos la presión y disminuimos su

4

10

P(atm)

300 1500 T(K)

V1

V2

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temperatura en 30%. ¿Cuál será la nueva densidad del gas en g/cm3?

PROBLEMA 47 En un recipiente de 11 litros se introducen pesos iguales de N2 y CN4. Calcular el peso total introducido, si a 27

oC la

presión en el recipiente es de 6 atm. PROBLEMA 48 Se tiene una mezcla gaseosa de “n” componentes, se sabe que:

(1) (2) (3) (n-1)fm + fm + fm + ...fm = 0,8

Y además que la presión total es de 4 atm. ¿Cuál es la presión del i-enésimo gas? De la respuesta en atmósferas (atm.) PROBLEMA 49 En una mezcla de varios gases se cumple: nc + nx= 12 moles. Si la presión parcial de “x” y la total son de 2 atm y 6 atm, respectivamente. Hallar el valor de nx. PROBLEMA 50 En el aire atmosférico se encuentra que el número de moles de vapor de agua por cada 973 moles de aire es de 27. Si la presión atmosférica es la normal y la temperatura es 27

oC. Cuál es la humedad relativa (HR)?

o27 C V

aguaP = 26,7 mmHg

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Capítulo 5 SUSTANCIA PURA

En este capítulo se cubre el análisis de los procesos con cambio de fase. Se presentan las tablas de propiedades termodinámicas del vapor de agua y refrigerantes y los diagramas termodinámicos que relacionan las variables: presión, temperatura, volumen específico, entalpía, entropía. También se estudia las propiedades de los gases ideales y las ecuaciones que gobiernan su comportamiento: así como los calores específicos y sus relaciones.

5.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

5.1.1 SISTEMA Un sistema termodinámico es una porción de materia homogénea y de masa fija que será materia de estudio y análisis. La superficie de dicha porción se llama "límite del sistema" y es el lindero con el espacio exterior a ella.

Un sistema es de "límite fijo" cuando no cambia de forma: por ejemplo cuando se trata de recipientes rígidos.

Un sistema es de "límite móvil" cuando existe aumento o disminución del volumen del sistema. Por ejemplo cuando el pistón de un cilindro (considerado como un sistema) se desplaza durante el proceso.

GAS

AGUA

SISTEMA A LÍMITE FIJO

Δy

y

GAS

AGUA

SISTEMA A LÍMITE MÓVIL

Un sistema está aislado, cuando ninguna forma de energía cruza el límite del sistema, esto es, ni calor, ni el trabajo.

5.1.2 ESTADO DE UN SISTEMA Se llama "estado de un sistema" a la forma real como se presenta una sustancia pura (conocida como sustancia de trabajo) caracterizados por un conjunto de magnitudes llamadas propiedades que definen dicho estado.

5.1.3 SUSTANCIA PURA Llamada también "sustancia de trabajo", es aquella sustancia que contiene una composición química homogénea o invariable durante los cambios de estado que puede experimentar en un proceso termodinámico. La sustancia pura constituye la "masa del sistema". Para el presente curso los cambios de estado por la que la sustancia pura puede pasar son: Líquido; sólido y gaseoso (vapor). Consideramos como sustancia pura al agua líquida o en su fase líquida, mezcla de agua líquida y vapor; o al aire mientras no sufra cambio de fase. H2O, N2, O2, CH4, C4H10, CF3CH2F, CO2, NH3; refrigerantes como la familia de los FREONES..., son fluidos moleculares sencillos, líquidos y gases de baja masa molar. Los conceptos que más se van a manejar a partir de este momento son: a) Temperatura de saturación.- Es la temperatura a la cual se efectúa la evaporación de una sustancia pura a una presión dada y esta presión se llama "presión de saturación". b) Líquido saturado.- Es cuando la sustancia pura existe como líquido a la temperatura y presión de saturación. Es cuando un estado es tal que empieza a cambiar de fase líquida a fase gaseosa, es decir se inicia la evaporación. Es aquel que se encuentra a la temperatura de saturación correspondiente a su presión. Todos estos estados constituyen la línea de líquido saturado. c) Líquido subenfriado.- Es cuando la sustancia pura existe a una temperatura más baja que la de "saturación" a una presión dada. Líquido comprimido o sub enfriado:(LC o LSE), Es aquel que tiene una temperatura menor que la de saturación a una presión dada. d) Líquido comprimido.- Es cuando la sustancia pura se encuentra como líquido a una presión más alta que la presión de saturación para una temperatura dada. e) Vapor saturado.- Es cuando la sustancia pura existe solamente como vapor a la temperatura y presión de saturación. f) Vapor sobrecalentado.- Es cuando la sustancia pura se encuentra como vapor a una temperatura superior a la saturación. g) Mezcla Líquido-vapor.- Es cuando una parte de la sustancia pura existe en forma líquida y la otra parte en forma de vapor a una temperatura de saturación (por ende a una presión de saturación). Es aquel que contiene líquido más vapor en equilibrio

5.2 RELACIÓN H-P-T El proceso de fusión y evaporación isobara representado en la Figura 3.2 permite también medir la entalpía en función de la temperatura. La energía aportada a presión constante es la entalpía. Dividiendo por la masa, tenemos la entalpía específica h. La curva h-T a presión constante se muestra en la Figura 3.12 para una sustancia pura. Los cambios de fase son líneas verticales; la variación de entalpía se llama entalpía de fusión y vaporización. La pendiente de la línea es el calor específico. En muchos casos se puede hacer la aproximación de que cP es constante. Nótese que para fluidos bifásicos, cP → ∞.

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5.3 PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA

Puede definirse como una cantidad que "depende el estado" de una sustancia pura y es independiente de la trayectoria de todo proceso termodinámico, en otras palabras, un estado se especifica o se describe por sus propiedades, es decir, una propiedad tiene un sólo valor en un estado dado, sin importarle como haya alcanzado dicho valor. Las propiedades pueden ser:

Propiedades Intensivas.- Son aquellas que no dependen de la masa, ejemplo: la presión (p), la temperatura (T), la densidad (ρ).

Propiedades Extensivas.- Son aquellas que varían directamente con la masa, ejemplo: Volumen (V), Energía interna (U), Entalpía (H), Entropía (S).

Las propiedades extensivas por unidad de masa se convierten en propiedades intensivas, tal como el volumen específico (v=V/m), energía interna específica (u=U/m), entalpía específica (h=H/m) y entropía específica (s=S/m).

5.4 PROPIEDADES INDEPENDIENTES.- Son dos propiedades que no guardan ninguna dependencia entre sí, es decir, una de ellas puede variar mientras la otra se mantiene constante. Un estado de una sustancia pura se puede especificar conociendo dos propiedades independientes. Por ejemplo: La presión y la temperatura del vapor sobrecalentado son propiedades independientes entre sí. Si consideramos los estados del Líquido saturado y vapor saturado, estos estados tienen la misma presión y la misma temperatura, pero son estados diferentes, significa que en un estado de "saturación" la presión y la temperatura no son independientes. Finalmente dos propiedades independientes tales como la presión-volumen específica, presión-calidad o temperatura-calidad se requiere para definir el estado de saturación de una sustancia pura. "La relación de las propiedades se encuentran en las tablas termodinámicas estandarizadas en: Tablas para mezcla y tablas para vapor sobrecalentado, el alumno deberá aprender a manejar con rapidez el uso de dichas tablas, las mismas que se utilizarán para la solución de problemas.

5.5 CAMBIO DE FASE O TRANSFORMACIÓN Es el cambio que sufre la sustancia pura a diferentes estados: Sólido, Líquido-vapor y vapor. En nuestro caso por ser aplicativos a los problemas prácticos de ingeniería vamos a referirnos específicamente a: Líquido saturado, en coexistencia líquido-vapor, vapor saturado y vapor sobrecalentado, fases o estados por las que pasará la sustancia pura del sistema. Así veamos las definiciones de conceptos, diagramas p-v y el uso de tablas correspondientes.

5.6 DEFINICIONES a) PROCESO.- Es la trayectoria de la sucesión de estados por las que pasa el sistema. En todo proceso en equilibrio se

puede describir los estados momentáneos del sistema de principio a fin y en procesos de desequilibrio, repentinos y reales no se observará, sino al principio y al final del proceso.

1

2A

B

V(m3)

P(Pa)

v1 v2

Proceso 1-A-2: es un proceso en equilibrio, se le lama también proceso reversible. Proceso 1-B-2: proceso en desequilibrio. Denominado también como Proceso real.

A muchos de los procesos reales se les consideran en equilibrio aproximado o cuasiequilibrio, para poder formular ecuaciones matemáticas de solución, con cierta eficiencia, otras veces aprovechando que una propiedad permanece constante durante el proceso.

T

1 2

v1v2

ISOTERMA

T=cte

V

T

V

ISÓBARA

P=cte

v1 v2dv

1

2

T

Vv1=v2

1

2 T2

T1

P2

P1

ISÓCORA

V=cte

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b) CICLOS.- Es cuando un sistema (sustancia pura) pasa por varios cambios o procesos y finalmente vuelve a su estado inicial. Por lo tanto al concluir el ciclo todas las propiedades tienen el mismo valor que al principio.

P

V

1

2

3

4

T2=T3=cte

T1=T4=cteV1=V2 V3=V4

En el gráfico se muestra un ciclo 1-2-3-4-1 de cuatro procesos. Proceso 1→2 a v=cte Proceso 2→3 a T2=cte Proceso 3→4 a v=cte Proceso 4→1 a T1=cte Donde el punto "1" es el punto de partida y llegada

5.7 CAMBIO DE FASE LÍQUIDO-VAPOR

Consiste en analizar las proporciones de líquido y de vapor de un 100% de la combinación de ambos en una circunstancia Física o estado dado, a determinadas condiciones de temperatura, presión y capacidad volumétricas.

HUMEDAD Se denomina con la letra "Y" y se define como la cantidad de líquido existente, respecto a la masa total de la mezcla líquido-vapor en un estado dado. Se expresa así:

.....................

L L Lt L v

t L v t

L t

m m mY = donde m = m +m Y = =

m m +m m

por lo tanto : m =Y.m .(1)

La ecuación (1) analizada más profundamente se puede expresar de la siguiente manera:

f fgv = v + (1 - Y)(v ) (2) .........

Donde vfg=vg - vf v=volumen específico total v=V/mt

CALIDAD Se denomina con la letra "X" y es la cantidad de vapor existente respecto a la masa total de la mezcla "líquido-vapor". Está dado de la siguiente manera:

.....................

v v vt L v

t L v t

v t

m m mX = donde m = m +m X = =

m m + m m

por lo tanto : m =X.m .(3)

Asimismo se puede demostrar que:

f fgv = v + X.(v ) .........(4)

donde X=Y=1 X= 1 - Y ........(5)

Donde: mv=masa del vapor en la mezcla. mL=masa del líquido en la mezcla. mt=masa total de la mezcla líquido vapor. vf=volumen específico del líquido saturado. vg=volumen específico del vapor saturado.

Además se establecen dos relaciones a modo de resumen:

v t L tm m m m = (1 - Y). y = (1 - X). ................(6)

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CÁLCULO DEL FACTOR K DE UNA MEZCLA DE GASES Y SUS PROPIEDADES TERMODINÁMICAS

Sustancia Fórmula Mol

kg

Cp

J/mol K

Cv

J/mol K

k

Cp/Cv

Tc

K

Pc

bar

Vapor de agua: H2O 0.018015 34.769 26.482 1.3129 647.10 220.64

Aire (atmosférico): - 0.028960 29.130 20.800 1.4005 132.42 37.74

Amoniaco: NH3 0.017031 36.953 28.280 1.3067 405.55 112.40

Argón: Ar 0.039948 20.830 12.480 1.6691 150.72 48.64

Benceno: C6H6 0.078108 77.862 69.520 1.1200 561.80 48.54

i-Butano: CH(CH3)3 0.058124 94.163 85.846 1.0969 408.13 36.50

n-Butano: C4H10 0.058124 100.365 92.048 1.0904 425.16 37.97

Ciclohexano: C6H12 0.084161 127.519 119.177 1.0700 553.50 40.73

Ciclopentano: C5H10 0.070134 112.622 104.280 1.0800 511.60 45.08

Cloro: Cl2 0.070906 35.317 27.004 1.3078 417.15 77.10

Criptón: Kr2 0.083800 21.037 12.622 1.6667 209.40 54.90

Decano: CH3(CH2)8CH3 0.142285 286.421 278.079 1.0300 617.70 21.00

Dimetil Eter: (CH3)2O 0.046069 65.690 59.180 1.1100 400.05 52.70

Dióxido de azufre: SO2 0.064063 39.884 30.932 1.2894 430.75 78.84

Dióxido de carbono: CO2 0.044011 37.564 28.541 1.3161 304.19 73.82

Etano: C2H6 0.030070 53.346 44.769 1.1916 305.50 49.10

Eteno (Etileno): C2H4 0.028054 43.428 34.899 1.2444 283.05 51.20

Etino (Acetileno): C2H2 0.026038 44.308 35.915 1.2337 308.35 61.90

Fluor: F2 0.037997 31.449 23.165 1.3576 144.30 52.15

Freón 11: CCl3F 0.137368 77.613 68.321 1.1360 471.15 44.08

Freón 113: CCl2FCClF2 0.187376 126.221 116.871 1.0800 487.25 34.15

Freón 318: C4F8 0.200031 159.017 150.727 1.0550 388.45 27.86

Acido bromhídrico: HBr 0.080912 29.791 20.980 1.4200 362.95 85.10

Ácido clorhídrico: HCl 0.036451 29.576 20.976 1.4100 324.55 82.58

Helio: 4He 0.004003 20.967 12.863 1.6300 5.20 2.29

Heptano: CH3(CH2)5CH3 0.100040 175.190 166.847 1.0500 539.20 27.40

Hexano: CH3(CH2)4CH3 0.086177 147.382 139.039 1.0600 506.40 30.30

Acido yodhídrico: HI 0.127913 30.497 21.784 1.4000 423.90 82.10

Hidrógeno: H2 0.002016 28.851 20.535 1.4050 33.24 12.97

Metano: CH4 0.016043 35.941 27.531 1.3055 191.05 46.40

Metanol: CH3OH 0.032042 35.253 26.911 1.3100 512.00 80.97

Monoetilenglicol: C2H6O2 0.062068 54.689 46.346 1.1800 719.70 77.10

Monóxido de carbono: CO 0.028010 29.204 20.794 1.4044 132.92 34.99

Óxido Nitroso: N2O 0.044013 38.635 29.648 1.3031 309.58 72.54

Neón: Ne 0.020183 20.786 12.659 1.6420 44.44 27.20

Nitrógeno: N2 0.028013 28.980 20.600 1.4068 126.26 34.00

Óxido Nítrico: NO 0.030006 29.227 20.891 1.3990 180.25 65.50

Nonano: CH3(CH2)7CH3 0.128258 216.901 208.559 1.0400 594.70 22.80

Octano: CH3(CH2)6CH3 0.114231 175.190 166.847 1.0500 568.40 24.90

Oxígeno: O2 0.031999 29.472 20.817 1.4158 154.58 50.43

i-Pentano: C(CH3)4 0.072151 118.156 109.854 1.0756 433.75 31.99

n-Pentano: C5H12 0.072150 112.622 104.280 1.0800 469.70 33.65

Propano: C3H8 0.044097 74.010 64.810 1.1420 369.99 42.66

Sulfuro de hidrógeno: H2S 0.034076 34.218 25.806 1.3260 373.56 90.10

Tetrafluoruro de carbono: CF4 0.088005 61.271 52.949 1.1572 227.59 37.40

Tolueno: C6H5CH3 0.092134 101.035 92.693 1.0900 593.80 42.07

Xenón: Xe 0.131300 21.012 12.658 1.6600 289.74 58.38

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FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES

SUSTANCIA PURA

PROBLEMA 1 Un recipiente rígido contiene H2O como "líquido saturado" a 10bar. ¿Qué porcentaje de su masa (%) inicial debe extraerse sin modificar su presión para que su calidad sea del 10%?

PROBLEMA 2 Un sistema de 2,1606m

3, contiene 2 kilogramos de de agua a 0,1MPa. El agua efectúa un proceso isométrico 1-2, hasta

0,2MPa, luego efectúa una compresión isotérmica 2-3, con V3=0,15m3. Determine:

a) El estado inicial b) El estado luego del proceso isométrico. c) La calidad al final del proceso 2-3, y el volumen del líquido. PROBLEMA 3 Una sustancia pura se encuentra contenida en un recipiente rígido, como se muestra en la figura, a una temperatura "T". Donde mL=1 kilogramo, VL=6dm

3, mv=0,1 kilogramos, al transmitir calor a la sustancia pura alcanza su punto crítico

donde el vc=0,009m3/Kg. Determine:

LONGITUD

1 m = 100cm = 1000mm = 106μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in. 1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm 1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ACELERACIÓN

1 m = 100cm = 1000mm = 106μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in. 1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm 1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ÁREA

1 cm2 = 0,155 in

2

1 m2 = 10

4 cm

2 = 10,76 ft

2

1 in2 = 6,452 cm

2

1 ft2 = 144 in

2

MASA

1 Kg = 103g = 0,0685 slug

1 g = 6,85x10-5

slug 1 slug = 14,59 Kg 1 u = 1,661x10

-27 Kg

1 Kg tiene un peso de 2,205 lb cuando g=9,8m/s2

VOLUMEN

1 litro = 1000 cm3=10

-3m

3= 0,03531ft

3= 61,02 in

3

1 ft3 =0,02832m

3=28,32 litros= 7,477 galones 1 galón=

3,788 litros (galón americano)

FUERZA

1 N = 105 dinas = 0,2248 lb

1 lb = 4,448 N = 4,448x105 dinas

TIEMPO

1 min= 60 s 1 h= 3600 s 1 día=86400 s 1 año = 365,24 días = 3,156x10

7 s

PRESIÓN

1 Pa = 1N/m2 = 1,451x10

-4 lb/in

2 = 0,209 lb/ft

2

1 bar = 105 Pa

1 lb/in2 = 6891 Pa

1 lb/ft2 = 47,85 Pa

1 atm = 1,013x105 Pa = 1,013 bar = 14,7 lb/in

2

= 2117 lb/ft2

1 mmHg = 1 Torr = 133,3 Pa

ÁNGULO

1 rad.= 57,30o= 180

o/π

1 litro = 1000 cm3

1o= 0,01745 rad = π/180 rad

1 revolución= 360o = 2π rad.

ENERGÍA 1 J = 107 ergios = 0,239 cal

1 cal = 4,186 J (basado en caloría a 15o)

1 ft.lb = 1,356 J 1 BTU = 1055J = 252 cal = 778 ft.lb

1 eV = 1,602x10-19

J 1 KWh = 3,6x10

6 J

VELOCIDAD 1 m/s = 3,281 ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/s

1 mi/min = 60mi/h = 88 ft/s 1 Km/h = 0,2778 m/s =0,6214 Km/h 1 estadio/quincena = 1,662x10

-4 m/s

N. del E: Estadio: medida de 201 metros

EQUIVALENCIA MASA - ENERGÍA 1 kg = 8,988 x10

16J

1 u = 931,5 MeV

1 eV = 1,074x10-9

u

POTENCIA 1 watt = 1J/s

1 hp = 746 W = 550 ft.lb/s 1 BTU/h = 0,293W

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a) vg en m3/Kg a la temperatura "T".

b) El Vv, en m3.

mv

mL

Vv

VL

PROBLEMA 4 Un recipiente metálico no rígido contiene en su integridad agua como "líquido saturado" a 2bar, el líquido se calienta hasta lograr un incremento de 60

oC y una calidad de 0,0007. ¿Cuál será el incremento del volumen del recipiente por

dilatación de su estructura, al final del proceso?

PROBLEMA 5 En el recipiente mostrado se tiene 5 kilogramos de agua a 1 bar, para soportar el émbolo sin fricción se requiere una presión de 2 bares. Se transfiere calor al agua, hasta obtener "vapor saturado" a 10 bar, efectuándose un trabajo de 120 KJ en total.

TOPES

SUPERFICIALES

PISTÓN

LÍQUIDO

a) Determine la calidad inicial del agua y el diagrama T-v. b) Calcule la temperatura del agua al alcanzar los topes superiores del pistón. c) Calcule la calidad al alcanzar los topes superiores. d) Calcule el volumen ocupado por el vapor saturado.

PROBLEMA 6 Un kilogramo de agua inicialmente a 2 bar y 40% de calidad, es sometido a un proceso isotérmico, realizándose un trabajo de 72KJ. a) Calcular la calidad final del H2O en %. b) Calcular el calor transferido por el mismo.

PROBLEMA 7 Un recipiente cilíndrico de volumen "V" contiene una mezcla de líquido y vapor en equilibrio de una sustancia pura a una temperatura "T" con vf=12m

3/Kg y vg=60m

3/Kg. Si la relación entre la masa del vapor y la masa del líquido es 1/3.

Hallara el porcentaje de volumen ocupado por el vapor.

PROBLEMA 8 En la figura que se muestra se tiene un cilindro y pistón sin fricción, al ponerse en funcionamiento el agitador, el pistón se desplaza comprimiendo el agua según el proceso pv

0,5=cte., hasta una presión de 0,4 MPa.

RPM

aire

m=2kg

Vapor saturado H2O

P1=0,2MPa; m=2Kg

a) Determine la calidad en %, en el estado final. b) Determine el trabajo realizado por el agua, en KJ. PROBLEMA 9 Un gas ideal (R=0,287KJ/kg.K) se encuentra inicialmente a la temperatura de 280

oK con z=0,6, si realiza un proceso

isobárico triplicando su volumen hasta la temperatura de 900oK:

a) Hallar el factor de compresibilidad en el estado final.

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b) Hallar el trabajo realizado por el gas; en KJ/Kg.

PROBLEMA 10 Un tanque rígido contiene una mezcla en equilibrio de 9 kilogramos de líquido y 3 kilogramos de vapor de agua a 5 bar. Por un pequeño orificio en el fondo del tanque e extrae líquido hasta que el agua en el tanque tenga una presión de 1 bar y 60% de calidad. a) Determine la masa del líquido, en kg; que se extrae por el orificio. b) Calcular los kilogramos de vapor que quedan en el tanque al final del proceso.

PROBLEMA 11 Un tanque de 0,15m

3 contiene una mezcla de agua y vapor saturado. Si la mezcla tiene una masa de 45 kilogramos y

está a 300oC.

a) ¿Cuál es la calidad de la mezcla? b) ¿Qué fracción del volumen total del tanque está llena de agua?

PROBLEMA 12 Un recipiente de 0,085m

3 de capacidad contiene agua y vapor saturados a 340

oC.

a) Calcular la masa de cada uno de ellos si sus volúmenes son iguales. b) Calcular el volumen ocupado por cada uno de ellos si las masas de ambas fases son iguales.

PROBLEMA 13 Determinar el volumen específico del "líquido saturado" si se sabe que cuando X=75%, el volumen específico es de 17,3 y cuando X=100%, el volumen específico es de 20m

3/Kg.

PROBLEMA 14 ¿Cuál es la calidad de una mezcla para la que vf=0,02m

3/Kg y vg=86m

3/Kg; si el 80% del volumen es vapor?

PROBLEMA 15 Considerar el cilindro cerrado por un pistón sin fricción, mostrado en la figura, cuando el pistón descansa en los topes inferiores; el volumen encerrado es de 0,4m3 y cuando alcanza los topes superiores su volumen es de 0,6m

3.

Inicialmente el cilindro contiene H2O a 0,1MPa y X=0,2, el agua recibe calor hasta que X=1, la presión que se necesita para elevar el pistón es de 0,3MPa. a) Trazar, indicando valores del diagrama p-v del proceso. b) Determinar la presión final en el cilindro.

PROBLEMA 16 Dentro de un cilindro cerrado por un émbolo sin fricción de 45 kilogramos de masa y 0,10m

2 de sección se tiene 4

kilogramos de agua a la temperatura de 60oC según se muestra en la figura. Se transfiere calor al agua hasta que el émbolo toca los topes, luego se continúa transfiriendo calor hasta que dentro del cilindro se tenga únicamente vapor saturado. a) Haga el gráfico de los procesos en el diagrama T-v. b) Determine la calidad al alcanzar los topes del pistón. c) Determine la presión y la temperatura final.

PROBLEMA 17 Un recipiente se encuentra dividido en dos partes iguales por medio de un diafragma. Una de las parte ocupa un décimo del volumen del recipiente y contiene agua en el estado de "líquido saturado" a 2 bar. Se retira el diafragma, produciéndose una evaporación de una parte del líquido. La presión en el estado final es de 7,5KPa. Determinar la calidad en el estado final.

PROBLEMA 18 Un cilindro vertical cerrado por un pistón y provisto de topes como se muestra en la figura, tiene una sección de 460cm

2

de superficie y contiene vapor a 2,5 bar y 150oC. El vapor es enfriado por medio de una transferencia de calor al medio

ambiente. a) ¿Cuál es la temperatura en el recipiente cuando el pistón alcance los topes? b) Si se continúa el enfriamiento hasta una temperatura de 35

oC, ¿cuál es la presión dentro del cilindro?

c) ¿Cuál es la calidad en el estado señalado por la pregunta (b)?

PROBLEMA 19 Un recipiente cilíndrico rígido de 0,007m

3 contiene 3,5 kilogramos de agua (líquido más vapor) a 50

oC. El recipiente es

calentado hasta una temperatura de 150oC. Si el área del recipiente es de 1,02m

2. ¿Cuál es la variación del nivel del

líquido durante el proceso de calentamiento?

PROBLEMA 20 Se tiene un recipiente rígido de 0,14m

3 de capacidad el cual se encuentra inicialmente vacío. Este recipiente es

conectado a otro que contiene 4,5 kilogramos de vapor saturado a 3,5 bar. Por medio del desplazamiento mostrado y abriendo lentamente la válvula se va a transferir todo el vapor al recipiente inicialmente vacío. Durante este proceso se supondrá que la presión se mantiene constante en el recipiente del lado derecho. Hallar: a) La calidad del vapor al final del proceso. b) El trabajo realizado.

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PROBLEMA 21 Una mezcla liquido – vapor de agua se mantiene en un recipiente rígido a 60˚C. El sistema se calienta hasta que su estado final es el punto crítico. Determínense: a) la calidad (o título) inicial de la mezcla liquido – vapor. b) la relación inicial entre los volúmenes ocupados por las fases líquido y vapor.

PROBLEMA 22 Un recipiente rígido contiene vapor de agua a 15 bar y a una temperatura desconocida. Cuando el vapor se enfría hasta 180˚C, este comienza a condensar. Estímense: a) la temperatura inicial, en grados Celsius; b) la variación en la energía interna, en kJ/kg.

PROBLEMA 23 Un depósito rígido, cuyo volumen interior es de 8,00 L, contiene refrigerante 134a a 200 kPa en forma de una mezcla liquido – vapor con una calidad del 20,00%. Determínense: a) la masa de vapor inicialmente presente; b) la fracción del volumen total ocupado inicialmente por el líquido.

PROBLEMA 24 Un recipiente rígido contiene inicialmente agua con un volumen específico de 1,694m

3/kg a 0,3000bar, suministrándose

calor hasta que se alcanza una presión de 1,000bar. Determínense: a) el titulo o calidad inicial de la mezcla liquido – vapor; b) las variaciones en la energía interna y en la entalpía del agua, en kJ/kg. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 25 Una cierta cantidad de agua, que se encuentra inicialmente a 10 bar y cuyo volumen específico inicial es de 0,02645 m3/kg, experimenta una expansión isobárica hasta 0,2060 m3/kg. Determínense: a) las temperaturas iniciales y final del agua; b) las variaciones en su energía interna y entalpía específicas, en kJ/kg. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 26 Una cierta masa de refrigerante 134a experimenta un proceso isotermo a 40˚C. La presión inicial es de 4,0 bar y el volumen especifico final de 0,010 m3/kg. Determínense: a) La presión final, en bar. b) Las variaciones en su energía interna y entalpía específicas, en kJ/kg. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 27 Se considera un cilindro fijo y rígido, de paredes metálicas, provisto de un pistón también rígido y que puede desplazarse en el interior del cilindro con rozamiento despreciable. El cilindro contiene una cierta cantidad de agua, que inicialmente, a la presión de 1,0 MPa, ocupa un volumen de 1,234 cm

3, siendo el volumen especifico inicial de 0,2678

m3/kg. El agua se comprime a presión constante, según un proceso cuasiestatico, hasta que se convierte en vapor saturado. Hállense: a) Las temperaturas inicial y final, en grados Celsius. b) Las variaciones en la energía interna y entalpía, en kJ. c) El trabajo desarrollado y el calor absorbido, en kJ. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 28 Un tanque de paredes rígidas, cuyo volumen interior es de 2.560 L, contiene inicialmente vapor de agua saturado a 5,00 bar. Un enfriamiento del agua origina una caída de presión hasta 1,00 bar. Determínense, para el estado final de equilibrio: a) la temperatura, en grados Celsius; b) el titulo o calidad final del vapor; c) el cociente entre la masa de líquido y la masa de vapor; d) la cantidad de calor intercambiada entre el agua y su ambiente. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 29 Una cierta cantidad de refrigerante 134a tiene un volumen especifico de 0,02500m

3/kg a la presión de 0,5000 MPa

(estado 1). Se expansiona a temperatura constante hasta que la presión cae a 0,2800 MPa (estado 2). Finalmente, se enfría a presión constante hasta que se convierte en vapor saturado (estado 3). Para cada una de las etapas del proceso descrito, determínense: a) Las variaciones en el volumen especifico, en m

3/kg.

b) Las variaciones en la energía interna y en la entalpía, en kJ/kg.

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PROBLEMA 30 Se comprime agua líquida saturada a 40˚C hasta una presión de 50 bar y temperatura de 80˚C. Determínense las variaciones en el volumen específico, energía interna y entalpía: a) utilizando la tabla de líquido comprimido; b) utilizando como aproximación los datos de saturación a la misma temperatura. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 31 Se considera un cilindro fijo y rígido, de paredes metálicas, provisto de un pistón también rígido y que puede desplazarse en el interior del cilindro con rozamiento despreciable. El cilindro contiene 1,36 g de agua que inicialmente, a la presión de 2,00bar, ocupan un volumen de 233 cm

3. El pistón está apoyado sobre unos resaltes y sobre el actúa un

muelle, de forma que no puede desplazarse hasta que la presión interior alcance un valor mínimo de 10,0 bar. Se transfiere al agua un flujo de calor constante de 250 kJ/min. Determínense: a) el calor suministrado hasta que el pistón comienza a moverse; b) el tiempo transcurrido, en minutos, hasta que el pistón comienza a moverse. NOTA: Represéntese, esquemáticamente, el proceso en un diagrama P-v.

PROBLEMA 32 Un recipiente de paredes rígidas, insuficientemente aislado, contiene 100 L de nitrógeno en equilibrio, inicialmente a 77,24 K, y está dotado de una capsula de cierre que rompe cuando la presión interior alcanza un valor de 400 kPa. El 91,5 % del volumen esta inicialmente ocupado por líquido. El nitrógeno absorbe calor del ambiente a un ritmo de 300 J/min. Hállese el tiempo, en horas, que debe transcurrir hasta la rotura de la capsula de cierre.

PROBLEMA 33 Un recipiente de paredes rígidas y térmicamente aisladas, contiene 2,000 kg de agua, que inicialmente ocupan un volumen de 1,000 m3 a 30,00˚C. Una rueda de paletas situada en el interior del recipiente, movida por un motor, gira a 50,00 rpm con un par aplicado constante de 50,00 N·m, a la vez que una resistencia eléctrica, también situada en el interior del recipiente, recibe una corriente de 100,0 A desde una fuente de 10,00 V. Determínense: a) el tiempo, en minutos, requerido para evaporar todo el líquido contenido en el recipiente; b) la presión, en bar, en el interior del recipiente en ese instante.

PROBLEMA 34 Un depósito de paredes metálicas, cuyo volumen interior es de 1,0 m

3, contiene agua, inicialmente a 10MPa y 480˚C. El

agua se enfría hasta que la temperatura alcanza los 320 ˚C. Determínense: a) presión final, en bar; b) calor transferido al ambiente, en kJ.

PROBLEMA 35 Un deposito, de paredes rígidas y térmicamente aisladas, esta inicialmente dividido en dos compartimentos mediante un tabique rígido. Uno de ellos contiene 1,0 kg de vapor saturado de agua a 60 bar y el otro está vacío. Se rompe el tabique interior de separación y el agua se expande por todo el depósito, de modo que la presión final es de 30 bar. Determínese el volumen interior total del depósito.

PROBLEMA 36 Un recipiente, de paredes rígidas y térmicamente aisladas, se encuentra dividido en dos compartimentos por medio de un tabique interior, también rígido y adiabático. Una de las cámaras contiene 0,50 kg de agua a 20˚C y la otra contiene vapor saturado de agua, siendo en ambas la presión de 25 bar. Al romper el tabique interior, el estado final del agua es una mezcla liquido vapor con una calidad del 30,00%. Determínense: a) La temperatura final del agua contenida en el recipiente; b) la masa de agua contenida inicialmente en la segunda cámara. NOTA: La presión en el estado final es bastante inferior a 25 bar.

PROBLEMA 37 Se coloca medio kilogramo de helio en un depósito de paredes rígidas, cuyo volumen interior es de 0,500 m

3. Si la

temperatura es de 112˚C y la presión barométrica es de 1,0 bar, determínese la lectura, en bar, que indicaría un manómetro conectado al depósito. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 38 Se necesita almacenar 1,500 kg de propano (C3H8) en un depósito de gas a 42 ˚C y 450 kPa. a) Calcúlese el volumen interior del depósito, en metros cúbicos; b) Si posteriormente se añaden 500 kg de gas, pero la temperatura se mantiene constante, calcúlese la presión final, en kilopascales. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 39 Una determinada cantidad de nitrógeno ocupa inicialmente un volumen de 0,890 m

3 a una presión de 2,00 bar y una

temperatura de 27,0˚C. Si se comprime hasta un volumen de 0,356 m3 y una presión de 12,5 bar, calcúlese:

a) la temperatura final, en grados Celsius;

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b) la masa de gas, en kilogramos; c) la variación en su energía interna, en kilojulios, utilizando datos de la tabla A.3; d) la variación en su energía interna, en kilojulios, utilizando datos de la tabla A.6. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 40 Un depósito rígido de almacenamiento de agua para una vivienda tiene un volumen interior de 400 L. El depósito contiene inicialmente 300 L de agua a 20 ˚C y 240 kPa. El espacio libre sobre el agua contiene aire a las mismas temperatura y presión. Se bombean muy lentamente otros 50 L de agua al depósito, de manera que la temperatura permanece constante. Determínense: a) la presión final en el depósito, en kilopascales; b) el trabajo comunicado al aire en julios.

PROBLEMA 41 Se considera un cilindro fijo y rígido, de paredes metálicas, provisto de un pistón también rígido y que puede desplazarse en el interior del cilindro con rozamiento despreciable. El cilindro contiene 0,0140 kg de hidrogeno, que inicialmente ocupan un volumen de 100 L a 210 kPa. Se El hidrogeno intercambia calor con el entorno muy lentamente, de modo que la presión en el interior del cilindro permanezca constante, hasta que el volumen sea el 80 por 100 de su valor inicial. Determínese: a) La temperatura final, en grados Celsius. b) El calor absorbido por el hidrogeno, en kilojulios, utilizando datos de la Tabla de hidrógeno (H2) gas ideal. c) El calor absorbido por el hidrogeno, en kilojulios, utilizando datos de capacidades térmicas del hidrogeno (H2) gas ideal en función de la temperatura absoluta.

PROBLEMA 42 Un depósito de paredes rígidas contiene inicialmente 0,800 g de aire a 295 K y 1,50bar. Con una fuente de 12,0 V se hace pasar una corriente eléctrica de 600 mA, durante 30,0 s, a través de una resistencia eléctrica situada en el interior del depósito. A la vez, tiene lugar una pérdida de calor de 156 J. Determínense: a) la temperatura final del gas, en kelvin; b) la presión final, en bar. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 43 En el interior del cilindro de un compresor alternativo hay encerrados inicialmente 100 L de aire a 0,950 bar y 67,0 ˚C. El proceso de compresión es cuasi estático y está representado mediante la ecuación P·V

1,3=constante. El volumen final

es de 20,0 L. Determínense: a) La masa de aire, en kilogramos, que se está comprimiendo; b) La temperatura final, en kelvin; c) La variación en la energía interna del aire, en kilojulios; d) El trabajo mínimo necesario, en kilojulios; e) El calor absorbido por el aire, en kilojulios. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 44 En un depósito se almacenan 0,81 kg de nitrógeno a 3,0 bar y 50 ˚C. Mediante una válvula adecuada, este depósito está conectado a un segundo depósito de 0,50 m

3, que inicialmente se encuentra vacío. Ambos depósitos están

perfectamente aislados. Si se abre la válvula y se permite que se alcance el equilibrio, ¿cuál Serra la presión final, en bar? NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 45 Dos depósitos idénticos, ambos térmicamente aislados y con un volumen interior de 1,0 m

3, están comunicados por

medio de una válvula. Inicialmente la válvula está cerrada y el deposito A contiene aire a 10 bar y 350 K, mientras que el deposito B contiene aire a 1,0 bar y 300 K. Se abre la válvula y se permite que se alcance el equilibrio. Determínense la temperatura final, en kelvin, y la presión final, en bar. NOTA: Supóngase comportamiento de gas ideal.

PROBLEMA 46 Se tienen dos depósitos conectados entre sí por medio de una válvula. Inicialmente la válvula está cerrada y el deposito A contiene 2,0 kg de monóxido de carbono gaseoso a 77 ˚C y 0,70 bar, mientras que el deposito B contiene 8,0 kg del mismo gas a 27 ˚C y 1,2bar. Se abre la válvula y se permite que se mezclen los contenidos de ambos depósitos, mientras que el monóxido de carbono intercambia calor con el ambiente. La temperatura final de equilibrio es de 42˚C. Suponiendo comportamiento de gas ideal, determínense la presión final, en bar, y el calor absorbido por el CO, en kilojulios.

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Capítulo 6 TERMOMETRIA Y DILATACIÓN

Este capítulo integro lo he dedicado a hacer un repaso de problemas que tienen que ver con la temperatura, la dilatación, los cambios de fase, y haciendo un repaso completo podemos llegar a tratar el Equivalente mecánico del calor. Los problemas servirán para que el alumno logre cimentar sus conocimientos que ya trae desde el colegio y las definiciones y aplicaciones que ha hecho en Física I y Física II. PROBLEMA 1 Un puente de acero (αACERO=11x10

-6oC

-1) mide 200 metros de largo. Halle el cambio de su longitud debido a la

dilatación térmica cuando la temperatura cambia de 10oC hasta 50

oC.

PROBLEMA 2 Cuando la temperatura de una varilla se incrementa en 100

oC se dilata en un 0,5% de su longitud inicial. Halle el

coeficiente de dilatación lineal de la varilla.

PROBLEMA 3 Un tubo de metal tiene 1 metro de longitud a 20

oC, por él se hace pasar vapor de agua a 95

oC observándose que se

alarga hasta 1,003 metros. Determinar el coeficiente de dilatación lineal del metal.

PROBLEMA 4 Se tiene una esfera de acero (αACERO=12X10

-8oC

-1) y un anillo de bronce, la máxima temperatura ambiental en que la

esfera pasa por el anillo es 20oC. Si la esfera es calentada hasta 60

oC, es necesario que el anillo sea calentado hasta

45oC para que la esfera vuelva a pasar por el anillo. El coeficiente de dilatación del bronce es:

PROBLEMA 5 Un matraz de vidrio de 280cm

3 de capacidad se llena completamente con mercurio a 30

oC. ¿Cuánto de mercurio se

derramará; en cm3; al calentar el conjunto hasta 80

oC? Considere: γVIDRIO=1,2x10-5

oC

-1; γMERCURIO=18x10-5

oC

-1.

PROBLEMA 6 Dos varillas una de cobre y la otra de aluminio, tienen 12 metros de longitud cada una, si la temperatura se aumenta en 100

oC. Determine la diferencia final de sus longitudes. Considere: αCu=10x10

-5oC

-1; αAl=15x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 7 Hallar la densidad de un líquido de temperatura T>0, sabiendo que su densidad a 0

oC es igual a "ρo", en donde el

coeficiente de dilatación cúbica media es "γ".

PROBLEMA 8 Cuando una barra metálica de 2 metros de longitud se calienta en 100

oC, se dilata en 1 mm, encuentre el coeficiente de

dilatación lineal de esta barra. PROBLEMA 9 Un tubo de metal tiene una longitud de 1 metro a 20

oC, se hace pasar a través de él, vapor de agua a 95

oC y se observa

que se alarga hasta 1,003 metros. El coeficiente de dilatación del metal es:

PROBLEMA 10 ¿Cuál es el aumento en tanto por ciento de la superficie de una barra cilíndrica metálica, entre 0oC y 100oC, siendo el coeficiente de dilatación lineal del metal igual a αCu=9x10

-6oC

-1?

PROBLEMA 11 Calcular las longitudes, en cm, de una varilla de latón y de una varilla de hierro para que tengan una diferencia de longitud constante de 5 cm a todas las temperaturas. Los coeficientes de dilatación lineal son αLATON=18x10

-6oC

-1;

αFe=12x10-6o

C-1

respectivamente. PROBLEMA 12 Unos rieles de acero tienen 20 metros de longitud y son colocados en las temporadas de invierno en donde la mínima temperatura es de -10

oC, ¿qué espacio debe dejarse entre los rieles, si la temperatura máxima en el verano es de

38oC?

PROBLEMA 13 Según el stock de un almacén los rieles de acero miden 60,05 metros y los rieles de aluminio 60 metros a la temperatura ambiente de 20

oC, los coeficientes de dilatación son: αFe=12x10

-6oC

-1; αAl=24x10

-6oC

-1.Calcule la

temperatura común en que los rieles tendrán la misma longitud.

PROBLEMA 14 Un alambre tiene un coeficiente térmico de dilatación lineal de 2,5x10

-4oC

-1. ¿En cuántos grados Celsius debe elevarse

su temperatura para que su longitud se incremente en 2,5%?

PROBLEMA 15 Se tiene una varilla de aluminio (αAl=24x10

-6oC

-1), la cual sufre un incremento de temperatura de 80

oC sin cambiar de

fase, ¿qué incremento porcentual de longitud sufre dicha varilla?

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PROBLEMA 16 Se tiene un cubo metálico de arista ―L‖, si se sabe que su volumen se incrementa en 0,9% al aumentar su temperatura en 500

oC. Calcule su coeficiente de dilatación lineal, superficial y volumétrico, en 10

-6oC

-1.

PROBLEMA 17 Al elevar en 100

oC la temperatura de una varilla metálica se encuentra que el área de su sección recta se incrementa en

0,46%. Determine el coeficiente de dilatación lineal, en 10-6o

C-1

. Halle al mismo tiempo la relación α/(γ+).

PROBLEMA 18 Se tiene una varilla de cobre de 1 metro de longitud. ¿Cuál debe ser la longitud de una varilla de fierro tal que produzca la misma dilatación lineal en cada una de las varillas cuando la temperatura aumenta 75oC? Considere αCu=1,6x10

-5oC

-

1; αFe=1,06x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 19 Cuando a un cuerpo metálico homogéneo se le incrementa la temperatura se observa experimentalmente que la

distancia ABo entre dos puntos cualesquiera, A y B, de dicho cuerpo se incrementa proporcionalmente a dicha

temperatura AB=α(T). ABo donde ―α‖ es un cierto coeficiente propio del material considerado, y T, es el incremento de temperatura. Si el incremento de las citadas longitudes es del 1%, entonces el incremento del volumen (de un paralelepípedo por ejemplo) será de: PROBLEMA 20 Determine el coeficiente de dilatación lineal (en 10

-5oC

-1) del alambre que se

muestra en la figura, si la distancia AB aumenta en 2 mm cuando la temperatura se eleva en 40oC. Considere que los tramos rectos se mantienen perpendiculares cuando el alambre se calienta. PROBLEMA 21 Se tiene un alambre (α=25x10

-5oC

-1) doblado como se muestra en la figura. Si

se desea que la distancia entre A y B se incremente en un 25%. ¿En cuánto debe variar su temperatura? PROBLEMA 23 Una plancha cuadrada de 10cm de lado y que se encuentra a 0oC tiene un agujero circular de 28,26cm2 de área. Si el coeficiente de dilatación cúbico del material es γ=1x10

-4oC

-1, determine el incremento de temperatura necesario para

que a través del agujero pueda pasar una esfera de radio πcm.

PROBLEMA 24 Una tubería de acero para conducir vapor posee una longitud de 10 metros a 0

oC, sabiendo que su longitud a 110oC es

10,0132 metros. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal de la tubería?

PROBLEMA 25 Se midieron 500 metros de alambre de aluminio y la misma longitud de alambre de acero a 0

oC. ¿Cuál será la diferencia

entre las longitudes de los alambres a 100oC? Considere: αAl=2,3x10

-5oC

-1; αAc=1,2x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 26 Cierto alambre de un metal cuyo αM=3x10

-6oC

-1 es calentado uniformemente en 80

oC. ¿Cuál será la nueva separación

entre sus extremos "A" y "B" si inicialmente AB=4 metros. PROBLEMA 27 Al maquinar una polea de hierro fundido, la temperatura de la polea se elevó hasta un valor "T", logrando un diámetro de 400,96mm. Hallar el valor de "T" de tal manera que cuando la temperatura se enfríe hasta 0oC, su diámetro sea de 400mm. Considere: αFe=1,2x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 28 Una barra de cierto metal de 30 metros de longitud se encuentra fija por un extremo y apoyada sobre rodillos de 1,5 centímetros de radio, la barra es calentada desde 80

oC hasta 380

oC; el efecto de dilatación de la barra hace girar los

rodillos. ¿Cuántos radianes gira el rodillo que sostiene el extremo libre de la barra? Considere: αM=23x10-5o

C-1

.

PROBLEMA 29 Se muestra una barra AB de 8 metros y una cuerda BC de 9,9 metros cuando el ángulo "θ" mide 10

o. Hallar la variación de la temperatura de tal manera que el ángulo

"θ" disminuya a 0o considerando que la barra y la pared tienen deformación

despreciable. Considere: αCUERDA=1x10-5o

C-1

.

B

6m

8m

θ

A

C

A

B

3m

4m

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PROBLEMA 30 Un calibrador puede ser usado con error máximo de 0,1% y es exacto sólo a 20

oC. Hallar el rango de temperatura en

el que puede trabajar Considere: α=25x10-6o

C-1

.

PROBLEMA 31 Una hoja de hierro que a 0

oC tenía las dimensiones de 2x1 (m

2) se sometió a calentamiento. Su área aumentó en

6000mm2. ¿En cuánto subió su temperatura? Considere: αFe=1,2x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 32 Cuál es el aumento en tanto por ciento de la superficie de una barra cilíndrica metálica entre 0

oC y 100

oC, si α=9x10

-

6oC

-1.

PROBLEMA 33 El área hueca de la figura es 40cm

2, si la placa se calienta desde 20

oC hasta 120

oC y el coeficiente de dilatación lineal

de la placa es α=2x10-6o

C-1

. Hallar la nueva área del agujero de la placa; en cm2.

PROBLEMA 34 Dos placas del mismo material se ubican tal como se muestra en la figura; inicialmente se encuentran a la temperatura "To". ¿Cuál debe ser la temperatura final "Tf" para que ambas tengan contacto, asumiendo que sólo se pueden dilatar horizontalmente? Considere β1=2; β2= β.

PROBLEMA 35 La figura muestra un mecanismo de funcionamiento de una alarma. Determinar la temperatura final para que las barras hagan contacto, en el momento que la alarma funcione. Considere: αA=α

oC

-1; αB=β

oC

-1. El mecanismo se encuentra a

una temperatura "To".

1 2b b

2a a a

A) f o

eT = + T

5aβ

B) f o

eT = - T

aβ

C) f o

2eT = - T

5aβ

D) f o

3eT = + T

aβ

E) f o

5eT = + T

aβ

A

B

L

L/10

2L

A) o

2T = + Tf α+β

B) o

0,1T = - Tf α+β

C) o

0,1T = + Tf α+2β

D)

o

0,5T = - Tf 2α+3β

E) o

0,2T = - Tf α+β

3m

3m

2m

6mA

B

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PROBLEMA 36 Un cubo de acero a la temperatura de 0

oC tiene el volumen de 800cm

3. Calcular su volumen a la temperatura de 200

oC;

en cm3. Considere: α=1,2x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 37 El medio ambiente está a la temperatura de 20

oC, halle esta temperatura en la escala Fahrenheit.

PROBLEMA 38 En una fría mañana se informa que la temperatura es de 50

oF y que hasta el mediodía la temperatura subirá en 8

oC.

Halle: a) La temperatura en la mañana; en oC; b) La temperatura al medio día; en

oC.

PROBLEMA 39 ¿Cuál es la temperatura que en las escalas Celsius y Fahrenheit tienen la misma lectura? PROBLEMA 40 Una tubería de Cobre (αCu=1,7x10

-5oC

-1) mide 6 metros de largo a 10

oC. Si es calentada hasta 70

oC, halle: a) El

aumento de longitud; b) La nueva longitud. PROBLEMA 41 Se instalan rieles de Acero (αAc=1,2x10

-5oC

-1) de 100 metros de largo cuando la temperatura es 10

oC, si la máxima

temperatura que se espera es de 30oC. ¿Cuál debe ser el espacio entre los rieles?

PROBLEMA 42 El área de una hoja de vidrio Pyrex es de 0,4m

2 a 20

oC. ¿Cuál será la nueva área; en m

2; si la temperatura se eleva a

70oC? Considere βPYREX=0,6x10

-5oC

-1.

PROBLEMA 43 El diámetro de un agujero en una placa de Aluminio (αAl=2,4x10

-5oC

-1) es de 50 milímetros a 20

oC. ¿Cuál es el nuevo

diámetro cuando la placa se calienta a la temperatura de 220oC?

PROBLEMA 44 ¿Cuál es el aumento en volumen de 20 litros de Alcohol Etílico cuando su temperatura cambia de 20

oC a 50

oC?

Considere γALCOHOL=11x10-4o

C-1

. PROBLEMA 45 Un tanque de Acero (αAc=1,2x10

-5oC

-1) de 100 litros se llena completamente con gasolina (γGASOLINA=10,8x10

-4oC

-1) a

10oC. Si la temperatura aumenta a 50

oC. ¿Qué volumen de gasolina se derramará; en litros (L)?

PROBLEMA 46 Una tapa redonda tiene un diámetro de 80 milímetros a 32

oC. ¿Hasta qué temperatura debe calentarse la tapa, si se

ajustara exactamente en un agujero con un diámetro de 80,0144 milímetros? Considere αLATÓN=1,8x10-5o

C-1

. PROBLEMA 47 La temperatura de un horno es de 450

oC. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivale esta temperatura?

PROBLEMA 48 La temperatura interior de una habitación es de 20

oC, esta equivale a:

PROBLEMA 49 Halle la temperatura en grados Fahrenheit, si se sabe que equivale a la mitad en grados Celsius. PROBLEMA 50 Una varilla de Latón tiene exactamente 2 metros de longitud a 50

oC. ¿Cuál es su longitud a 150

oC? Considere αLATÓN=

1,9x10-5o

C-1

. PROBLEMA 51 Una tubería de Acero (αAc=1,2x10

-5oC

-1) mide 20 metros a 20

oC. ¿Hasta qué longitud se dilatará cuando por esta

tubería pase vapor de agua a 100oC?

PROBLEMA 52 La densidad del Cobre (Cu) es aproximadamente 9000Kg/m

3. Si un trozo de Cobre (Cu) es colocado en un horno muy

caliente su nueva densidad será: A) Mayor que 9000Kg/m

3.

B) Igual a 9000Kg/m3.

C) Ligeramente menor que 9000Kg/m3.

D) Ligeramente mayor que 9000Kg/m3.

E) No se puede predecir. PROBLEMA 53 Suponga que el área de una lámina de Aluminio (Al), a 40

oC, es de 500m

2. Halle la nueva área a 140

oC. Considere

αAl=2,4x10-5o

C-1

. Use β=2α.

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PROBLEMA 54 A 20

oC el volumen de una lata de Cobre (αCu=1,7x10

-5oC

-1) es de un litro. ¿Cuál es su volumen aproximadamente a

100oC? Use γ=3α.

PROBLEMA 55 Determinar el coeficiente de dilatación lineal de un metal, si un tubo de este metal mide un metro a 20

oC y cuando

transporta vapor de agua a 95oC se estira hasta 1,003 metros.

PROBLEMA 56 El área de una tapa es de 100cm

2, su coeficiente de dilatación es de 5x10

-5oC

-1. Halle el incremento de temperatura que

debe experimentar la tapa para que pueda cubrir un agujero de 100,2cm2.

PROBLEMA 57 Se muestra un alambre torcido de Cobre (Cu). Calcule la nueva separación entre los extremos de éste alambre cuando la temperatura se incrementa en 50

oC. Considere αCu=1,7x10

-5oC

-1.

ALAMBRE

DE COBRE

A) Menos que 100cm B) Igual a 100cm C) 100,85cm D) 100,085 E) 100,042cm

PROBLEMA 58 Un tubo de Hierro (αHIERRO=1,2x10

-5oC

-1) tiene 300 metros de longitud a la temperatura ambiente de 20

oC. Si debe

transportar agua hirviendo, ¿qué tolerancia debe considerarse para la dilatación? PROBLEMA 59 Un matraz de vidrio Pyrex (γ=0,9x10

-5oC

-1) se llena completamente con 50cm

3 de Mercurio (γHg=1,8x10

-4oC

-1) a 20

oC.

¿Qué volumen de Mercurio se derramará si el conjunto calienta uniformemente hasta 60oC?

PROBLEMA 61 Una copa de Acero (αAc=1,2x10

-5oC

-1), está completamente llena con 300m3 de petróleo (γPetróleo=0,9x10

-4oC

-1) a 50

oC.

El sistema se enfría gradualmente hasta 0oC. ¿Qué volumen adicional de petróleo puede agregarse sin que haya

derrama?

PROBLEMA 62 Un alambre de Hierro (αHIERRO=1,2x10

-5oC

-1) se ha doblado en forma circular dejando una luz de 4 milímetros. ¿Cuánto

medirá esta luz en el interior de un horno que se halla a 200oC más caliente que el medio ambiente?

PROBLEMA 63 Una hoja rectangular de Aluminio (αAl=2,4x10

-5oC

-1) mide 30 centímetros por 20 centímetros cuando su temperatura es

10oC. Halle la nueva área cuando la temperatura se eleva hasta 210

oC.

PROBLEMA 64 Al elevar en 100

oC la temperatura de una varilla metálica se encuentra que el área de la sección recta se incrementa en

0,46%. Determine el coeficiente de dilatación lineal. PROBLEMA 65 Un depósito de Acero (γACERO=36x10

-6oC

-1) está con 90 litros de gasolina (γGASOLINA=96x10

-5oC

-1), si el conjunto es

calentado en 5oC. Calcule el volumen de gasolina que se derrama del sistema.

PROBLEMA 66 Se muestran dos varillas a 5

oC. ¿A qué temperatura se juntarán? Considere α1=9x10

-6oC

-1 y

α2=12x10

-6oC

-1.

CALORIMETRIA

PROBLEMA 1 Encuentre el calor necesario para calentar hasta el punto de ebullición 0,5 litros de agua cuya temperatura es 25

oC; en

Kcal. PROBLEMA 2 Señalar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. El cero absoluto es la temperatura a la cual las moléculas de un cuerpo no tienen energía cinética. II. El cero absoluto equivale a 0oC. III. Si la temperatura de un cuerpo se mantiene encima del cero absoluto sus moléculas no cesan de moverse. PROBLEMA 3 Cuatro litros de agua se echan en una olla de aluminio cuya masa es de 1 kilogramo, la temperatura del medio ambiente es 20

oC, colocada la olla en una estufa, ¿qué masa; en gramos, de gas debe ser quemada en esta estufa hasta que el

agua empiece a hervir? Considere Calor específico del aluminio: 0,2cal/goC; Poder calorífico del gas:1120 cal/g.

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Ing. DAVID ANDRÉS SANGA TITO Página 99

PROBLEMA 4 Se colocan 50 gramos de latón a 100

oC dentro de 100 gramos de agua a 20

oC. La temperatura final de la mezcla es

25oC. Halle el calor específico del latón; en cal/g

oC.

PROBLEMA 5 Un sólido de 100 gramos de masa y calor específico 0,2cal/g

oC, está a la temperatura de 100

oC, otro sólido también de

100 gramos de masa y calor específico 0,1cal/goC está a la temperatura de 70

oC. Luego se ponen en contacto ambos

cuerpos. Determinar la temperatura de equilibrio en oC.

PROBLEMA 6 Para obtener 40 gramos de agua a 80

oC se mezclan agua de 30

oC con agua de 90

oC, halle la cantidad de agua de

90oC; en gramos, que fue usada.

PROBLEMA 7 Se calientan 160 gramos de fierro hasta 100

oC y se colocan en 500 gramos de agua que estaban a 20

oC en un vaso de

fierro de 80 gramos. Calcular la temperatura final resultante, si el calor específico del fierro es 0,11cal/goC.

PROBLEMA 8 En un recipiente de hierro de 80 gramos de masa hay 200ml de agua a 10

oC. Un trozo de cobre de 50 gramos que se

encuentra a 250oC se introduce en el agua. La temperatura de equilibrio será: Considere Calor específico del

Cobre=0,095cal/goC; Calor específico del hierro=0,1cal/g

oC.

PROBLEMA 9 Suponga que 176 gramos de aluminio a 100

oC se ponen en un plato de 50 gramos que contiene 100 gramos de agua a

20oC. Si la temperatura final de la mezcla es 40

oC. Calcular el calor específico del aluminio en cal/g

oC. El calor

específico del plato es 0,2cal/goC.

PROBLEMA 10 A; B y C son tres metales diferentes cuyas masas son 100 gramos; 200 gramos y 300 gramos; sus temperaturas son 10

oC; 20

oC y 30

oC y sus respectivos calores específicos en cal/g

oC son: 0,1; 0,2 y 0,3. Calcule la temperatura de

equilibrio que tendría la mezcla de estos metales.

PROBLEMA 11 Se vierten 800 gramos de Mercurio a 15

oC en 700 gramos de agua a 40

oC. Hállese la temperatura de la mezcla; en

oC.

Las tablas dan para el calor específico del mercurio un valor de 0,03cal/goC.

PROBLEMA 12 Si al introducir un cuerpo cuya masa es de 60 gramos en 50 gramos de agua, la temperatura del cuerpo baja 200

oC y la

temperatura del agua se eleva en en 10oC. Calcule el calor específico del cuerpo; en cal/g

oC.

PROBLEMA 13 La masa de un calorímetro de Aluminio es de 2 kilogramos, el calor específico del aluminio es 0,22cal/g

oC, halle el

equivalente de la masa de agua de este calorímetro; en gramos. PROBLEMA 14 Calcule el equivalente en agua de un sistema formado por una masa de cobre de 200 gramos; una de hierro de 300 gramos y una de mármol de 100 gramos. Considere: Calor específico del cobre: 0,09cal/g

oC; Calor específico del

hierro: 0,11cal/goC; Calor específico del mármol=0,22cal/g

oC.

PROBLEMA 15 Con respecto a la temperatura de los cuerpos podemos afirmar correctamente que: I. Mide la energía cinética promedio de las moléculas del cuerpo. II. Si aumenta, aumentará el movimiento molecular. III. Se mide con los termómetros. PROBLEMA 16 Un calorímetro de metal está a 10

oC y tiene un equivalente en agua de 2 kilogramos, si 500 gramos de aceite a 100

oC

es colocado en este calorímetro, la temperatura final del conjunto se estaciona en 20oC. Halle el calor específico del

aceite en cal/goC.

PROBLEMA 17 El equivalente en agua de un calorímetro es de 40 gramos y contiene 100 gramos de agua; cuando el calorímetro recibe adicionalmente 300 gramos de aceite a 80

oC el sistema se equilibra a 60

oC. ¿A qué temperatura se hallaba el agua del

calorímetro? El calor específico del aceite es 0,6cal/goC.

PROBLEMA 18 600 gramos de alcohol a 60

oC se mezclan con 550 gramos de agua a 30

oC contenidos en un vaso de vidrio de 300

gramos; la temperatura de equilibrio se establece en 40oC, si el calor específico del vidrio es 0,2cal/g

oC; halle el calor

específico del alcohol; en cal/goC.

PROBLEMA 19 El calor específico del plomo es igual a 140 J/kg

oC. Halle su calor específico en cal/g

oC.

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Ing. DAVID ANDRÉS SANGA TITO Página 100

PROBLEMA 20 En un vaso de vidrio hay 30 cm

2 de aceite de 0,8 g/cm

3 de densidad. Halle la capacidad calorífica del aceite cuyo calor

específico es 0,6 cal/goC.

PROBLEMA 21 Un depósito contiene 100 gramos de agua a una temperatura de 20

oC. Al interior del mismo se vierten 200 gramos de

agua a 80oC. Suponiendo que todo el calor perdido por el agua caliente haya sido absorbido por el agua fría, halle la

temperatura final de la mezcla.

PROBLEMA 22 400 gramos de Mercurio a 60

oC son sumergidos en 600 gramos de agua a 25

oC. La temperatura de equilibrio es de

25,8oC. Halle el calor específico del Mercurio en cal/g

oC.

PROBLEMA 23 En un recipiente aislado de cobre de 200 gramos de masa se tiene 300 gramos de agua a 20

oC. Se desea introducir en

el agua un líquido cuya temperatura es de 80oC y cuya masa es de 500 gramos, a fin de que la temperatura final del

sistema sea 40oC. El calor específico del sólido en cal/g

oC debe ser: Considere CeCu= 0,09 cal/

oC.

PROBLEMA 24 ¿Qué cantidad de agua a 20

oC se debe mezclar uniformemente con agua a 40

oC para obtener 30 gramos de agua a

35oC?

PROBLEMA 25 En un calorímetro de Cobre se mezclan 50 gramos de agua cuya temperatura es de 40oC con 200 gramos de agua hirviendo, llegado el equilibrio térmico del calorímetro marca 70

oC. Halle el equivalente en agua del calorímetro. La

temperatura inicial del calorímetro era 20oC.

PROBLEMA 26 Un calorímetro cuya capacidad térmica es 42 cal/g

oC, contiene 90 gramos de agua, la temperatura del conjunto es de

20oC. En su interior se coloca un bloque de hierro cuya masa es de 100 gramos y cuya temperatura es de 85

oC. El

termómetro muestra que después de alcanzar el equilibrio térmico, la temperatura del conjunto es de 25oC, halle el calor

específico del hierro en cal/goC.

PROBLEMA 27 En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se mezclan cien volúmenes de agua cuyas masas y temperaturas correspondientes son 1 gramo a 1

oC, 2 gramos a 2

oC, 3 gramos a 3

oC…100 gramos a 100

oC. Hállese la

temperatura de equilibrio.

PROBLEMA 28 Una pieza de acero de 300 gramos muy caliente se deja caer en 200 gramos de agua contenida en un plato de cobre de 400 gramos a 20

oC. La temperatura de equilibrio se logra a 70

oC. Halle la temperatura inicial de la pieza de acero.

Considere CeACERO=0,1 cal/goC; CeCu=0,09 cal/g

oC.

PROBLEMA 29 Un vaso de aluminio tiene una masa de 400 gramos y está a la temperatura de 20

oC, en él se deposita 60 gramos de

aceite cuya temperatura es 30oC y también 40oC de agua calentada hasta 80oC. Hállese la temperatura de la mezcla. Considere CeAl=0,2 cal/g

oC; CeACEITE=0,5 cal/g

oC.

PROBLEMA 30 Se calientan perdigones de plomo, cada uno con una masa de 1 gramos a 200

oC, ¿cuántos perdigones

aproximadamente se deben agregar a 500 gramos de agua inicialmente a 20oC, para que la temperatura de equilibrio

sea 25oC? Considere que el recipiente no cede ni recibe calor y que el CePb=0,0305 cal/g

oC.

PROBLEMA 31 En un calorímetro de Cobre (CeCu=0,093 cal/g

oC) de 1500 gramos de masa se tienen 2000 gramos de agua y 3 gramos

de carbón, la temperatura sube hasta 31oC. ¿Qué cantidad aproximada de calorías ha generado cada gramo de

carbón?

PROBLEMA 32 Un recipiente de Aluminio de 200 gramos contiene 800 gramos de agua a 80

oC. Si el conjunto se enfría lentamente de

manera que la temperatura, disminuye a razón de 1,5oC por minuto. ¿Con qué rapidez (en W) se extrae energía

calorífica? Considere Ce(Al)=900J/kgoC; Ce (H2O)=4186J/kg

oC.

PROBLEMA 33 En un recipiente aislado de Cobre de 200 gramos de masa se tiene 300 gramos de agua a 20

oC de temperatura. Se

desea introducir en el agua un sólido cuya temperatura es de 80oC y cuya masa es de 500 gramos, a fin de que la

temperatura final del sistema sea de 40oC. Calcular el calor específico del sólido en cal/g

oC. Considere CeCu=0,09

cal/goC.

PROBLEMA 34 En un recipiente de Cobre (Ce=0,1 cal/g

oC) cuya masa es de 100 gramos se tiene 500 gramos de agua a 20

oC.

Calcúlese aproximadamente, la masa (en Kg) de una aleación ―x‖ a 100oC, que debe agregarse para lograr el equilibrio térmico del conjunto a 50oC. La aleación ―x‖ tiene 20% de plomo (Ce=0,03cal/g

oC) y 80% de cobre.

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EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR PROBLEMA 1

Conociendo que 1cal= 4,18J, halle aproximadamente el calor específico del agua en J/Kg. ºC. PROBLEMA 2 La masa de un automóvil es 1000 kilogramos y lleva una velocidad de 3m/s, halle las calorías producidas al frenar el auto hasta detenerse. Considere 1J= 0,24cal.

PROBLEMA 3 La temperatura del agua que se vierte en el radiador de un automóvil es 20ºC observándose que cada medio litro hierve al cabo de 30 segundos. ¿Cuál es la potencia, en Kw, que se pierde por ese motivo?

PROBLEMA 4 Un calentador de 209 Watts se sumerge en 400cm

3 de agua a 10ºC en un recipiente debidamente aislado. El tiempo en

minutos, necesario para que el agua llegue a la temperatura de ebullición es: Considere 1cal= 4,18J. PROBLEMA 5 Cuando una bala de plomo (Ce= 0,03cal/ºC) cuya velocidad es 200m/s se incrusta en una pared, el 10% de su energía cinética se convierte en calor y es absorbido por la bala, ¿en cuánto varía la temperatura de la bala? Considere 1J= 0,24cal.

PROBLEMA 6 ¿Desde qué altura se debe dejar caer un trozo de hielo que está a 0ºC para que debido al choque contra el piso se derrita el 1% de la masa del hielo? Considere que el hielo no rebota y que no se transmite calor al medio ambiente. PROBLEMA 7 La masa de un bloque de hielo que está a 0ºC es 20 kilogramos y es soltada desde una altura de 5 metros, si en el choque contra el suelo no se pierde energía, halle la cantidad de hielo que se derrite en el choque. Considere g=10m/s

2 y 1J= 0,24cal.

PROBLEMA 8 Una catarata tiene 100 metros de altura, si toda la energía potencial del agua que cae se convierte en energía térmica interna, en lugar de energía cinética aprovechable. ¿Cuál será el aumento de temperatura del agua en el fondo de la catarata? Considere CeAGUA= 4180J/Kg.ºC y g=10m/s

2.

PROBLEMA 9

¿Con qué velocidad debe lanzarse un trozo de hielo para derretirlo totalmente? La masa del hielo es de 0,5 kilogramos y su temperatura es de -10ºC. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC y 1cal= 4,18J. De la respuesta en

m/s. PROBLEMA 10 La velocidad de un bloque de hielo a 0ºC es de 10m/s, al chocar contra una pared fija el hielo queda quieto mientras que se forma 6 gramos de agua debido al choque, si no hay transferencia de calor con el medio ambiente, halle la masa inicial del hielo. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC y 1cal= 4,18J. De la respuesta en

kilogramos. PROBLEMA 11 Una esfera de aluminio (Ce= 0,2cal/ºC) se deja caer desde una altura de 10 metros y al rebotar llega solamente hasta 1,64 metros de alto, si el piso no absorbe calor, halle el incremento de temperatura de la esfera. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC; 1cal= 4,18J y g=10m/s

2.

PROBLEMA 12 Sobre un plano horizontal áspero se hace resbalar una pieza de plomo (Ce= 0,03cal/ºC) lanzándola con una velocidad de 21m/s, si el plano no absorbe calor. Halle el incremento de temperatura de la pieza de plomo hasta que se detiene. Considere 1cal= 4,2J

PROBLEMA 13 Halle la potencia que debe suministrar una hélice para que inmersa en un litro de agua, en 10 segundos, pueda elevar la temperatura del agua en 1ºC. Considere 1cal= 4,18J.

PROBLEMA 14 Cuando una piedra de 16,8 kilogramos impacta sin rebotar sobre un lago congelado a 0ºC se forman 10 gramos de agua, encuentre la velocidad de impacto; en m/s. La piedra no absorbe calor. Considere 1cal=4,2J. PROBLEMA 15 Cuando un auto frena bruscamente se desplaza en 3 metros hasta detenerse, la fricción cinética con el piso es 4000N, encuentre el calor desarrollado por la fricción en el frenado, en calorías. PROBLEMA 16

Un bloque de hielo de 10 kilogramos a 0ºC se mueve hacia delante y atrás sobre un lago congelado a 0ºC, k=0,06. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el bloque si se produce 15 gramos de líquido? Considere 1cal=4,2J y g=10m/s

2.

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PROBLEMA 17 La fricción por rodadura en un automóvil de tracción posterior, cuando viaja a cierta velocidad, es 250N mientras que la fuerza del viento es 50N. Si consideramos que el motor es ideal y que no hay pérdidas de energía en la transmisión, halle el calor consumido en el motor en un desplazamiento de 16 metros. De la respuesta en calorías.

PROBLEMA 18 En un depósito aislado térmicamente hay 5 litros de agua del cual se extrae 1 litro y levantándolo en “H” es dejado caer al mismo depósito, observándose que la temperatura aumenta en 0,0098ºC. Halle “H”. El calor específico del agua es 4180 J/Kg.ºC. De la respuesta en metros.

PROBLEMA 19 ¿En qué caso(s) podríamos calentar una varilla de hierro? I. Exponiendo al Sol. II. Golpeándolo con un martillo. III. Frotándolo con un cuerpo áspero.

CAMBIO DE FASE

PROBLEMA 1 Calcule el calor necesario para derretir 10 gramos de hielo cuya temperatura es -20ºC. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC. De la respuesta en calorías.

PROBLEMA 2 En un recipiente que no absorbe calor se coloca un trozo de hielo cuya temperatura es -20ºC, colocado el conjunto en un hornillo se observa que en 10 minutos más el hielo empieza a derretirse, ¿en cuánto tiempo más el hielo se derretirá completamente? Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC. De la respuesta en minutos.

PROBLEMA 3 Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. La temperatura de fusión de pende de la presión exterior. II. La evaporación ocurre a cualquier temperatura. III. La velocidad de evaporación disminuye con la temperatura.

PROBLEMA 4 ¿Qué cantidad de calor se debe extraer de 1 gramo de vapor de agua a 100ºC para convertirlo en hielo a -20ºC? Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC y del agua Ce=1 cal/g

oC. De la respuesta en calorías.

PROBLEMA 5 Encuéntrese la temperatura de equilibrio cuando mezclamos 5 gramos de hielo a 0

oC con 25 gramos de agua

hirviendo.

PROBLEMA 6 Calcular la masa de hielo a 0ºC y la masa de vapor a 100ºC que deben mezclarse para obtener 27 gramos de agua a 0ºC. De la respuesta en gramos.

PROBLEMA 7 ¿Cuánto de vapor a 100ºC deberá estar en contacto con 70 gramos de hielo a 0ºC de manera que el sistema se estacione a 40ºC? De la respuesta en gramos.

PROBLEMA 8 Un calorímetro de cobre (Ce=0,09cal/gºC) de 100 gramos contiene 150 gramos de agua y 8 gramos de hielo en equilibrio a la presión de 1 atmósfera, se deja caer dentro del calorímetro 200 gramos de plomo (Ce=0,03cal/gºC). Encuentre la temperatura de equilibrio si el plomo está a 200ºC. De la respuesta en ºC.

PROBLEMA 9 ¿Cuántos gramos de hielo a 0ºC debemos poner en 850 gramos de refresco a 25ºC para enfriarlo hasta 5ºC?

PROBLEMA 10 En un diagrama temperatura-calor se muestra el calentamiento y cambio de fase de una pieza metálica de 150 gramos de masa, calcule el calor latente específico de fusión.

T(oC)

Q(cal)

0

-5

800 1700 2000

20

40

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PROBLEMA 11 Suponga que añadimos 10 gramos de vapor a 100ºC a 200 gramos de agua a 10ºC. Halle la temperatura final de la mezcla.

PROBLEMA 12 Si 10 gramos de hielo a 0ºC se colocan en 200 gramos de agua a 80ºC, que están en un calorímetro de 10 gramos (Ce=0,1cal/gºC) ¿Cuál será la temperatura final de la mezcla?

PROBLEMA 13 Una pieza de cobre (Ce=0,09cal/gºC) está a 200ºC y tiene una masa de 1 kilogramo, si se coloca esta pieza de cobre en un gran bloque de hielo a 0ºC. ¿Cuánto de hielo se derretirá? De la respuesta en gramos.

PROBLEMA 14 ¿Qué cantidad de agua a 60ºC debe ser mezclada con 30 gramos de hielo que está a -20ºC de manera que se logre fundir exactamente todo el hielo? Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC. De la respuesta en gramos.

PROBLEMA 15 Una mezcla de agua y hielo en equilibrio tiene una masa de 100 gramos en un calorímetro de aluminio (Ce=0,2cal/gºC) de 50 gramos, añadiendo 10 gramos de vapor a 100ºC, la temperatura final de la mezcla es de 40ºC. ¿Cuántos gramos de hielo había en la mezcla original?

PROBLEMA 16 Colocando 180 gramos de hielo a 0ºC en 200 gramos de agua a 50ºC, observamos que no todo el hielo llega a derretirse, ¿qué cantidad de hielo se derritió?

PROBLEMA 17 200 gramos de cierto metal recién fundido cayó dentro de 1 litro de agua a 20ºC. Hállese la temperatura de equilibrio. Para el metal considere: Ce=0,04cal/gºC, temperatura de fusión: 500ºC, calor latente específico de fusión: 60cal/g

PROBLEMA 18 ¿Cuál será el estado final de las operaciones cuando a 50 gramos de hielo a -20ºC le suministramos 2900cal? Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC.

PROBLEMA 19 Según la teoría del calor afirmamos que: ―El calor es una forma especial de………..y la temperatura mide el grado de……….molecular‖. A) Movimiento-quietud B) fuerza- perturbación C) Energía- agitación D) Energía- calor E) Trabajo- movimiento

PROBLEMA 20 El diagrama muestra el calentamiento y la fusión de cierto metal, si Lf= 49cal/g, halle el calor específico, en cal/gºC, en la fase líquida.

T(oC)

Q(cal)

0 40 180 260

60

200

EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR

PROBLEMA 1

Conociendo que 1cal= 4,18J, halle aproximadamente el calor específico del agua en J/Kg. ºC. PROBLEMA 2

La masa de un automóvil es 1000 kilogramos y lleva una velocidad de 3m/s, halle las calorías producidas al frenar el auto hasta detenerse. Considere 1J= 0,24cal. De la respuesta en calorías (cal)

PROBLEMA 3 La temperatura del agua que se vierte en el radiador de un automóvil es 20ºC observándose que cada medio litro hierve al cabo de 30 segundos. ¿Cuál es la potencia, en Kw, que se pierde por ese motivo?

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PROBLEMA 4 Un calentador de 209 Watts se sumerge en 400cm

3 de agua a 10ºC en un recipiente debidamente aislado. El tiempo en

minutos, necesario para que el agua llegue a la temperatura de ebullición es: Considere 1cal= 4,18J.

PROBLEMA 5 Cuando una bala de plomo (Ce= 0,03cal/ºC) cuya velocidad es 200m/s se incrusta en una pared, el 10% de su energía cinética se convierte en calor y es absorbido por la bala, ¿en cuánto varía la temperatura de la bala? Considere 1J= 0,24cal.

PROBLEMA 6 ¿Desde qué altura se debe dejar caer un trozo de hielo que está a 0ºC para que debido al choque contra el piso se derrita el 1% de la masa del hielo? Considere que el hielo no rebota y que no se transmite calor al medio ambiente.

PROBLEMA 7 La masa de un bloque de hielo que está a 0ºC es 20 kilogramos y es soltada desde una altura de 5 metros, si en el choque contra el suelo no se pierde energía, halle la cantidad de hielo que se derrite en el choque. Considere g=10m/s

2 y 1J= 0,24cal.

PROBLEMA 8 Una catarata tiene 100 metros de altura, si toda la energía potencial del agua que cae se convierte en energía térmica interna, en lugar de energía cinética aprovechable. ¿Cuál será el aumento de temperatura del agua en el fondo de la catarata? Considere CeAGUA= 4180J/Kg.ºC y g=10m/s

2.

PROBLEMA 9 ¿Con qué velocidad debe lanzarse un trozo de hielo para derretirlo totalmente? La masa del hielo es de 0,5 kilogramos y su temperatura es de -10ºC. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC y 1cal= 4,18J. De la respuesta en

m/s.

PROBLEMA 10 La velocidad de un bloque de hielo a 0ºC es de 10m/s, al chocar contra una pared fija el hielo queda quieto mientras que se forma 6 gramos de agua debido al choque, si no hay transferencia de calor con el medio ambiente, halle la masa inicial del hielo. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC y 1cal= 4,18J. De la respuesta en

kilogramos.

PROBLEMA 11 Una esfera de aluminio (Ce= 0,2cal/ºC) se deja caer desde una altura de 10 metros y al rebotar llega solamente hasta 1,64 metros de alto, si el piso no absorbe calor, halle el incremento de temperatura de la esfera. Considere el calor específico del hielo Ce=0,5cal/g

oC; 1cal= 4,18J y g=10m/s

2.

PROBLEMA 12 Sobre un plano horizontal áspero se hace resbalar una pieza de plomo (Ce= 0,03cal/ºC) lanzándola con una velocidad de 21m/s, si el plano no absorbe calor. Halle el incremento de temperatura de la pieza de plomo hasta que se detiene. Considere 1cal= 4,2J

PROBLEMA 13 Halle la potencia que debe suministrar una hélice para que inmersa en un litro de agua, en 10 segundos, pueda elevar la temperatura del agua en 1ºC. Considere 1cal= 4,18J.

PROBLEMA 14 Cuando una piedra de 16,8 kilogramos impacta sin rebotar sobre un lago congelado a 0ºC se forman 10 gramos de agua, encuentre la velocidad de impacto; en m/s. La piedra no absorbe calor. Considere 1cal=4,2J.

PROBLEMA 15 Cuando un auto frena bruscamente se desplaza en 3 metros hasta detenerse, la fricción cinética con el piso es 4000N, encuentre el calor desarrollado por la fricción en el frenado, en calorías.

PROBLEMA 16

Un bloque de hielo de 10 kilogramos a 0ºC se mueve hacia delante y atrás sobre un lago congelado a 0ºC, k=0,06. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el bloque si se produce 15 gramos de líquido? Considere 1cal=4,2J y g=10m/s

2.

PROBLEMA 17 La fricción por rodadura en un automóvil de tracción posterior, cuando viaja a cierta velocidad, es 250N mientras que la fuerza del viento es 50N. Si consideramos que el motor es ideal y que no hay pérdidas de energía en la transmisión, halle el calor consumido en el motor en un desplazamiento de 16 metros. De la respuesta en calorías.

PROBLEMA 18 En un depósito aislado térmicamente hay 5 litros de agua del cual se extrae 1 litro y levantándolo en “H” es dejado caer al mismo depósito, observándose que la temperatura aumenta en 0,0098ºC. Halle “H”. El calor específico del agua es 4180 J/Kg.ºC. De la respuesta en metros.

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Capítulo 7

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

El primer principio de la termodinámica o primera ley de la termodinámica, es "La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma":

En un sistema cerrado adiabático (que no hay intercambio de calor con otros sistemas o su entorno como si estuviera aislado) que evoluciona de un estado inicial "A" a otro estado final "B", el trabajo realizado no depende ni del tipo de trabajo ni del proceso seguido.

Más formalmente, este principio se descompone en dos partes;

El ―principio de la accesibilidad adiabática‖

El conjunto de los estados de equilibrio a los que puede acceder un sistema termodinámico cerrado es, adiabáticamente, un conjunto simplemente conexo.

y un «principio de conservación de la energía»:

El trabajo de la conexión adiabática entre dos estados de equilibrio de un sistema cerrado depende exclusivamente de ambos estados conectados.

Este enunciado supone formalmente definido el concepto de trabajo termodinámico, y sabido que los sistemas termodinámicos sólo pueden interaccionar de tres formas diferentes (interacción másica, interacción mecánica e interacción térmica). En general, el trabajo es una magnitud física que no es una variable de estado del sistema, dado que depende del proceso seguido por dicho sistema. Este hecho experimental, por el contrario, muestra que para los sistemas cerrados adiabáticos, el trabajo no va a depender del proceso, sino tan solo de los estados inicial y final. En consecuencia, podrá ser identificado con la variación de una nueva variable de estado de dichos sistemas, definida como energía interna.

Se define entonces la energía interna, "U", como una variable de estado cuya variación en un proceso adiabático es el trabajo intercambiado por el sistema con su entorno:

ΔU= +W

Cuando el sistema cerrado evoluciona del estado inicial A al estado final B pero por un proceso no adiabático, la variación de la Energía debe ser la misma, sin embargo, ahora, el trabajo intercambiado será diferente del trabajo adiabático anterior. La diferencia entre ambos trabajos debe haberse realizado por medio de interacción térmica. Se define entonces la cantidad de energía térmica intercambiada Q(calor) como:

Q = ΔU+W

Siendo "U" la energía interna, Q el calor y W el trabajo. Por convenio, Q es positivo si va del ambiente al sistema, o negativo si lo ha perdido el sistema y "W", es positivo si lo realiza el ambiente contra el sistema y negativo si está realizado por el sistema.

Esta definición suele identificarse con la ley de la conservación de la energía y, a su vez, identifica el calor como una transferencia de energía. Es por ello que la ley de la conservación de la energía se utilice, fundamentalmente por simplicidad, como uno de los enunciados de la primera ley de la termodinámica:

La variación de energía de un sistema termodinámico cerrado es igual a la diferencia entre la cantidad de calor y la cantidad de trabajo intercambiados por el sistema con sus alrededores.

En su forma matemática más sencilla se puede escribir para cualquier sistema cerrado:

ΔU= Q - W

Donde:

ΔU es la variación de energía del sistema, ΔU

Q es el calor intercambiado por el sistema a través de unas paredes bien definidas, y

W es el trabajo intercambiado por el sistema a sus alrededores.

7.1 HISTORIA Durante la década de 1840, varios físicos entre los que se encontraban Joule, Helmontz y Meyer, fueron desarrollando esta ley. Sin embargo, fueron primero Claussius en 1850 y Thomson (Lord Kelvin) un año después quienes escribieron los primeros enunciados formales.

7.2DESCRIPCIÓN La forma de transferencia de energía común para todas las ramas de la física -y ampliamente estudiada por éstas- es el "trabajo". Dependiendo de la delimitación de los sistemas a estudiar y del enfoque considerado, el trabajo puede ser caracterizado como mecánico, eléctrico, etc. pero su característica principal es el hecho de transmitir energía y que, en general, la cantidad de energía transferida no depende solamente de los estados iniciales y finales, sino también de la forma concreta en la que se lleven a cabo los procesos.

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El calor es la forma de transferencia de un tipo de energía particular, propiamente termodinámica, que es debida únicamente a que los sistemas se encuentren a distintas temperaturas (es algo común en la termodinámica catalogar el trabajo como toda trasferencia de energía que no sea en forma de calor). Los hechos experimentales corroboran que este tipo de transferencia también depende del proceso y no sólo de los estados inicial y final. Sin embargo, lo que los experimentos sí demuestran es que dado cualquier proceso de cualquier tipo que lleve a un sistema termodinámico de un estado A a otro B, la suma de la energía transferida en forma de trabajo y la energía transferida en forma de calor siempre es la misma y se invierte en aumentar la energía interna del sistema. Es decir, que la variación de energía interna del sistema es independiente del proceso que haya sufrido. En forma de ecuación y teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico esta ley queda de la forma:

ΔU= Q - W

Así, la Primera Ley (o Primer Principio) de la termodinámica relaciona magnitudes de proceso (dependientes de éste) como son el trabajo y el calor, con una variable de estado (independiente del proceso) tal como lo es la energía interna.

7.3APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY Sistemas cerrados

Un sistema cerrado es uno que no tiene intercambio de masa con el resto del universo termodinámico. También es conocido como "masa de control". El sistema cerrado puede tener interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, así como puede realizar "trabajo" a través de su frontera. La ecuación general para un sistema cerrado (despreciando energía cinética y potencial y teniendo en cuenta el "criterio de signos termodinámico") es:

ΔU= Q - W

Donde "Q" es la cantidad total de transferencia de calor hacia o desde el sistema, "W" es el trabajo total e incluye trabajo eléctrico, mecánico y de frontera; y "U" es la energía interna del sistema.

Sistemas abiertos Un sistema abierto es aquel que tiene entrada y/o salida de masa, así como interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, también puede realizar "trabajo" de frontera. La ecuación general para un sistema abierto en un intervalo de tiempo es:

2 2in out sistema

in outin out

1 1Q + W + m h + V + gz - m h + V + gz = ΔU

2 2

O igualmente;

. . in in out out sistemain out

Q + W + m θ - m θ = ΔU

Donde; "in" representa todas las entradas de masa al sistema. "out" representa todas las salidas de masa desde el sistema. "θ" es la energía por unidad de masa del flujo y comprende la entalpía, energía potencial y energía cinética:

21θ = h + V + gz

2

La energía del sistema es:

2

sistema

1E = U + .m.V + mgz

2

La variación de energía del sistema en el intervalo de tiempo considerado (entre t0 y t) es:

o

t

sistema t

dEΔE = dt

dt

7.4 SISTEMAS ABIERTOS EN ESTADO ESTACIONARIO

El balance de energía se simplifica considerablemente para sistemas en estado estacionario (también conocido como

estado estable). En estado estacionario se tiene sistemaΔE = 0 , por lo que el balance de energía queda:

2 2in out

in outin out

1 1Q - W + m h + V + gz - m h + V + gz = 0

2 2

7.5 SISTEMA AISLADO

Es aquel sistema en el cual no hay intercambio ni de masa ni de energía con el exterior.

7.6 CALOR

El calor (representado con la letra Q) es la energía transferida de un sistema a otro (o de un sistema a sus alrededores) debido en general a una diferencia de temperatura entre ellos. El calor que absorbe o cede un sistema termodinámico depende normalmente del tipo de transformación que ha experimentado dicho sistema. Dos o más cuerpos en contacto que se encuentran a distinta temperatura alcanzan, pasado un tiempo, el equilibrio térmico (misma temperatura). Este

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hecho se conoce como Principio Cero de la Termodinámica, y se ilustra en la siguiente figura. Un aspecto del calor que conviene resaltar es que los cuerpos no almacenan calor sino "energía interna". El calor es por tanto la transferencia de parte de dicha energía interna de un sistema a otro, con la condición de que ambos estén a diferente temperatura. Sus unidades en el Sistema Internacional son los julios (J)

La expresión que relaciona la cantidad de calor que intercambia una masa m de una cierta sustancia con la variación de temperatura Δt que experimenta es:

Q = m. Ce.ΔT

Donde "Ce" es el calor específico de la sustancia.

El calor específico (o capacidad calorífica específica) es la energía necesaria para elevar en un 1 grado la temperatura de 1 kg de masa. Sus unidades en el Sistema Internacional son J/kg K.

En general, el calor específico de una sustancia depende de la temperatura. Sin embargo, como esta dependencia no es muy grande, suele tratarse como una constante. En esta tabla se muestra el calor específico de los distintos elementos de la tabla periódica y en esta otra el calor específico de diferentes sustancias.

Cuando se trabaja con gases es bastante habitual expresar la cantidad de sustancia en términos del número de moles n. En este caso, el calor específico se denomina capacidad calorífica molar C. El calor intercambiado viene entonces dado por:

Q = n. Ce.ΔT

Capacidad calorífica Molar de un gas ideal Para un gas ideal se definen dos capacidades caloríficas molares: a volumen constante (CV), y a presión constante (Cp).

CV: es la cantidad de calor que es necesario suministrar a un mol de gas ideal para elevar su temperatura un grado mediante una transformación isocora, o a volumen constante.

Cp: es la cantidad de calor que es necesario suministrar a un mol de gas ideal para elevar su temperatura un grado mediante una transformación isóbara, a presión constante.

El valor de ambas capacidades caloríficas puede determinarse con ayuda de la teoría cinética de los gases ideales. Los valores respectivos para gases monoatómicos y diatómicos se encuentran en la siguiente tabla:

A VOLUMEN CONSTANTE (Cv): Es la cantidad de calor que necesita un mol de una sustancia (gas ideal) para que su temperatura varíe en una unidad de grado térmico, mientras su volumen permanece constante.

vQCv =

n.ΔT; de donde se desprende:

v

v f o

Q = n.Cv.ΔT

Q = n.Cv. T - T

A PRESIÓN CONSTANTE (CP): Es la cantidad de calor que necesita un mol de una sustancia (gas ideal) para que su temperatura varíe en una unidad de grado térmico, mientras su presión permanece constante.

pQCp =

n.ΔT, de donde se desprende:

p

p f o

Q = n.Cp.ΔT

Q = n.Cp. T - T

Consideraciones básicas:

Qp es mayor que Qv, por lo tanto: Cp > Cv

Es importante tener en cuenta la relación adiabática (γ: constante adiabática): γ Cp

= Cv

Cp - Cv= R

Para los gases ideales se cumple:

Monoatómico Diatómico

Cv 3

R2

5

R2

Cp 5

R2

7

R2

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En el Sistema Internacional, las unidades de la capacidad calorífica molar son J/molK.

Criterio de signos: A lo largo de estas páginas, el calor absorbido por un cuerpo será positivo y el calor cedido negativo. Donde R es la constante universal de los gases ideales, R = 8.31 J/mol K.

7.7 CALOR LATENTE DE UN CAMBIO DE FASE

Cuando se produce un cambio de fase, la sustancia debe absorber o ceder una cierta cantidad de calor para que tenga lugar. Este calor será positivo (absorbido) cuando el cambio de fase se produce de izquierda a derecha en la figura, y negativo (cedido) cuando la transición de fase tiene lugar de derecha a izquierda.

Fuente:

7.8 TRABAJO TERMODINÁMICO

El trabajo es la cantidad de energía transferida de un sistema a otro mediante una fuerza cuando se produce un desplazamiento. Vamos a particularizar la expresión general del trabajo para un sistema termodinámico concreto: un gas encerrado en un recipiente por un pistón, que puede moverse sin rozamiento. Por efecto de la presión (p) ejercida por el gas, el pistón sufre una fuerza F que lo desplaza desde una posición inicial (A) a una posición final (B), mientras recorre una distancia dx. A partir de la definición de presión, se puede expresar F y el vector desplazamiento "dl" en función de un vector unitario "u", perpendicular a la superficie de la siguiente forma:

F

P = F = F.u = P.S.u dl = dxuS

Calculamos el trabajo realizado por el gas desde el estado A al estado B en este proceso:

. . B B o

AB A AW = Fdl = Fdl.cos0

El producto Sdx es la variación de volumen (dV) que ha experimentado el gas, luego finalmente se puede expresar:

.B

A

V

AB VW = PdV

En el Sistema Internacional el trabajo se mide en Julios (J). Este trabajo está considerado desde el punto de vista del sistema termodinámico, por tanto: El trabajo es positivo cuando lo realiza el gas (expansión) y negativo cuando el exterior lo realiza contra el gas (compresión).

7.9 EL TRABAJO EN UN DIAGRAMA P-V

Para calcular el trabajo realizado por un gas a partir de la integral anterior es necesario conocer la función que relaciona la presión con el volumen, es decir, p (V), y esta función depende del proceso seguido por el gas. Si representamos en un diagrama p-V los estados inicial (A) y final (B), el trabajo es el área encerrada bajo la curva que representa la transformación experimentada por el gas para ir desde el estado inicial al final. Como se observa en la figura, el trabajo depende de cómo es dicha transformación.

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Es decir, se puede concluir que: El trabajo intercambiado por un gas depende de la transformación que realiza para ir desde el estado inicial al estado final. Cuando un gas experimenta más de una transformación, el trabajo total es la suma del trabajo (con su signo) realizado por el gas en cada una de ellas. Un tipo de transformación particularmente interesante es la que se denomina ciclo, en la que el gas, después de sufrir distintas transformaciones, vuelve a su estado inicial (ver figura inferior). El interés de este tipo de transformaciones radica en que todas las máquinas térmicas y refrigeradores funcionan cíclicamente. Cuando un ciclo se recorre en sentido horario (ver parte izquierda de la figura), el trabajo total realizado por el gas en el ciclo es positivo, ya que el trabajo AB (positivo) es mayor en valor absoluto que el BA (negativo), por lo que la suma de ambos será positiva. Por el contrario, si el ciclo se recorre en sentido antihorario el trabajo total es negativo.

El calor absorbido o cedido en un cambio de fase no se traduce en un cambio de temperatura, ya que la energía suministrada o extraída de la sustancia se emplea en cambiar el estado de agregación de la materia. Este calor se denomina calor latente. Latente en latín quiere decir escondido, y se llama así porque, al no cambiar la temperatura durante el cambio de estado, a pesar de añadir calor, éste se quedaba escondido sin traducirse en un cambio de temperatura. Calor latente (L) o calor de cambio de estado, es la energía absorbida o cedida por unidad de masa de sustancia al cambiar de estado. De sólido a líquido este calor se denomina calor latente de fusión, de líquido a vapor calor latente de vaporización y de sólido a vapor calor latente de sublimación. El calor latente para los procesos inversos (representados en azul en la figura anterior) tiene el mismo valor en valor absoluto, pero serán negativos porque en este caso se trata de un calor cedido. En el Sistema Internacional, el calor latente se mide en J/kg. La cantidad de calor que absorbe o cede una cantidad m de sustancia para cambiar de fase viene dada por: Este calor será positivo o negativo dependiendo del cambio de fase que haya tenido lugar.

Q = m. LT

La magnitud que designa la energía almacenada por un sistema de partículas se denomina energía interna (U). La energía interna es el resultado de la contribución de la energía cinética de las moléculas o átomos que lo constituyen, de sus energías de rotación, traslación y vibración, además de la energía potencial intermolecular debida a las fuerzas de tipo gravitatorio, electromagnético y nuclear. La energía interna es una función de estado: su variación entre dos estados es independiente de la transformación que los conecte, sólo depende del estado inicial y del estado final. Como consecuencia de ello, la variación de energía interna en un ciclo es siempre nula, ya que el estado inicial y el final coinciden:

cicloΔU = 0

7.10 ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL

Para el caso de un gas ideal puede demostrarse que la energía interna depende exclusivamente de la temperatura, ya en un gas ideal se desprecia toda interacción entre las moléculas o átomos que lo constituyen, por lo que la energía interna es sólo energía cinética, que depende sólo de la temperatura. Este hecho se conoce como la ley de Joule. La variación de energía interna de un gas ideal (monoatómico o diatómico) entre dos estados A y B se calcula mediante la expresión: (Çengel, Yunus, 2012)

B AABΔU = n.Cv. T -T Donde "n" es el número de moles y "Cv "la capacidad

calorífica molar a volumen constante. Las temperaturas deben ir expresadas en Kelvin. Para demostrar esta expresión imaginemos dos isotermas caracterizadas por sus temperaturas TA y TB como se muestra en la figura.

Un gas ideal sufrirá la misma variación de energía interna (ΔUAB) siempre que su temperatura inicial sea TA y su temperatura final TB, según la Ley de Joule, sea cual sea el tipo de proceso realizado. Elijamos una transformación isocora (dibujada en verde) para llevar el gas de la isoterma TA a otro estado de temperatura TB. El trabajo realizado por el gas es nulo, ya que no hay variación de volumen. Luego aplicando el Primer Principio de la Termodinámica:

AB AB ABisócora : W = 0 Q = ΔU El calor intercambiado en un proceso viene dado por:

Q = n.Ce.ΔT

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Siendo "Ce" la capacidad calorífica. En este proceso, por realizarse a volumen constante, se usará el valor "Cv "(capacidad calorífica a volumen constante). Entonces, se obtiene finalmente:

B AAB ABQ = n.Cv. T -T ΔU

Esta expresión permite calcular la variación de energía interna sufrida por un gas ideal, conocidas las temperaturas inicial y final y es válida independientemente de la transformación sufrida por el gas. Un sistema termodinámico puede intercambiar energía con su entorno en forma de trabajo y de calor, y acumula energía en forma de energía interna. La relación entre estas tres magnitudes viene dada por el principio de conservación de la energía. Para establecer el principio de conservación de la energía retomamos la ecuación estudiada en la página dedicada al estudio de sistemas de partículas que relaciona el trabajo de las fuerzas externas (Wext) y la variación de energía propia (ΔU) :

extW = ΔU

Nombramos igual a la energía propia que a la energía interna porque coinciden, ya que no estamos considerando la traslación del centro de masas del sistema (energía cinética orbital). Por otra parte, el trabajo de las fuerzas externas es el mismo que el realizado por el gas pero cambiado de signo: si el gas se expande realiza un trabajo (W) positivo, en contra de las fuerzas externas, que realizan un trabajo negativo; y a la inversa en el caso de una compresión. Además, ahora tenemos otra forma de suministrar energía a un sistema que es en forma de calor (Q).

extW + Q = ΔU - W + Q = ΔU

Luego la expresión final queda:

Q = W + ΔU

Este enunciado del principio de conservación de la energía aplicado a sistemas termodinámicos se conoce como Primer Principio de la termodinámica

7.11 PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA

Para aclarar estos conceptos consideremos el siguiente ejemplo: un recipiente provisto de un pistón contiene un gas ideal que se encuentra en un cierto estado A. Cuando desde el exterior se le suministra calor al gas (Q>0) su temperatura aumenta y según la "Ley de Joule", su energía interna también (UB>UA). El gas se expande por lo que realiza un trabajo positivo. El primer principio nos da la relación que deben cumplir estas magnitudes: Si el recipiente tuviera paredes fijas, el gas no podría realizar trabajo, por lo que el calor suministrado se invertiría íntegramente en aumentar la energía interna. Si el recipiente estuviera aislado térmicamente del exterior (Q=0) el gas al expandirse realizaría un trabajo a costa de su energía interna, y en consecuencia esta última disminuiría (el gas se enfriaría).

7.12 FORMA DIFERENCIAL DEL PRIMER PRINCIPIO

Si el proceso realizado por el gas es reversible, todos los estados intermedios son de equilibrio por lo que las variables termodinámicas están bien definidas en cada instante a lo largo de la transformación. En esta situación podemos escribir el primer principio de la siguiente manera:

Q = W + dU

La diferencia de símbolos empleados para designar la diferencial del calor, del trabajo y de la energía interna representa que la energía interna es una función de estado, mientras que el calor y el trabajo dependen de la transformación que describe un sistema. Aplicamos el Primer Principio a los procesos reversibles más importantes, suponiendo siempre como sustancia de trabajo un gas ideal. Calcularemos en cada caso el calor, el trabajo y

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la variación de energía interna. Recordemos que la temperatura se expresa en Kelvin, la presión en Pascales y el volumen en metros cúbicos. Con estas unidades, la constante de los gases ideales es R = 8,31 J/Kmol. Las ecuaciones que vamos a aplicar en cada transformación son entonces:

Primer pricipio Gas ideal

Q= W + ΔU PV= nRT

1.- TRANSFORMACIÓN ISOTERMA

Expansión isoterma de un gas ideal en contacto con un foco. Representación en un diagrama p-V: la presión disminuye y el

volumen aumenta.

En una transformación isoterma la temperatura del sistema permanece constante; para ello es necesario que el sistema se encuentre en contacto con un foco térmico que se define como una sustancia capaz de absorber o ceder calor sin modificar su temperatura. Supongamos que un gas ideal absorbe calor de un foco térmico que se encuentra a una temperatura To y como consecuencia, se expande desde un estado inicial A a uno final B.

El proceso es isotermo por mantenerse el gas en contacto con el foco (TA=TB=T0), por lo que, la variación de "energía interna" será nula:

B AABΔU = n.Cv. T -T = 0

Calculamos el trabajo, sustituyendo el valor de la presión en función del volumen y de la temperatura, según la ecuación de estado del gas ideal:

. B B

A A

V V oAB V V

nRTW = PdV = dV

V.

Integrando, obtenemos la expresión para el trabajo realizado por el gas en una transformación isoterma a T0:

.

BAB o

A

VW = nRT ln

V

Se aplica las siguientes ecuaciones dependiendo de las condiciones del problema que se presente.

. . .

2 2 2 2AB o AB AB 1 1 AB 2 2

1 1 1 1

V V V VW = nRT ln ; W = 2,3n.R.log ; W = P V ln ; W = P V ln

V V V V

Este trabajo es positivo cuando el gas se expande (VB>VA) y negativo cuando el gas se comprime (VA>VB).Se debe tener en consideración: n: número de moles del gas ideal; R: constante universal de los gases (R=8,31J/mol.K (en el SI)); T: temperatura absoluta; V1; V2: volumen inicial y final respectivamente. Aplicamos el Primer Principio para calcular el calor intercambiado:

ABAB ABQ = W + ΔU .

Bo

A

V= nRT ln

V

2

1

VQ = n.R.T.ln

V

Es decir, todo el calor absorbido se transforma en trabajo, ya que la variación de energía interna es nula. En el proceso

inverso tanto el calor como el trabajo son negativos: el gas sufre una compresión y cede calor al foco. 2.- TRANSFORMACIÓN ISÓCORA En una transformación isócora el volumen permanece constante. Imaginemos una cierta cantidad de "gas ideal" encerrado en un recipiente de paredes fijas, al que se le suministra calor por lo que el gas aumenta de temperatura y de presión.

Transformación isócora de un gas ideal al que se le suministra calor. Representación en un diagrama p-V: la presión y la

temperatura aumentan.

a) El trabajo realizado por el gas es nulo, ya que no hay variación de volumen.

.B

A

V

AB VW = PdV = 0

Aplicando el Primer Principio, se deduce que todo el calor intercambiado se invierte en variar la energía interna:

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ABABQ = W AB+ ΔU = ΔU

b) Se aplica la Ley de Gay-Lussac: En todo proceso isócoro o a Volumen constante se cumple: 1 2

1 2

P P = ; V = cte

T T

Recordando la expresión para la variación de "energía interna" de un gas ideal:

B AAB ABΔU = n.Cv. T -T = Q

c) Para el cálculo de del calor Qv: Depende del calor específico a volumen contante (Cv) o de la capacidad calorífica a

volumen constante ( Cv ). 2 1 2 1v vQ = m.Cv. T - T ó Q = n.Cv. T - T

d) Variación de la Energía Interna (ΔU): Es función directa de la temperatura, depende de Cv.

2 1 2 1ΔU = m.Cv. T - T ó ΔU = n.Cv. T - T

Es decir, por tratarse de calor absorbido (Q>0) el gas aumenta de temperatura. En la transformación inversa el gas se enfría cediendo calor al exterior y disminuyendo su presión. 3.- TRANSFORMACIÓN ISÓBARA

En una transformación isóbara la presión del sistema no varía. Supongamos que un gas ideal absorbe calor y, como consecuencia, se expande desde un estado inicial A a uno final B, controlando la presión para que esté en equilibrio con el exterior y permanezca constante.

Expansión de un gas ideal a presión constante. Representación en un diagrama p-V: el

volumen y la temperatura aumentan.

En este caso parte del calor absorbido se transforma en trabajo realizado por el gas y el resto se invierte en aumentar la energía interna. Calculamos el trabajo a partir de la definición integrando a lo largo de la transformación, teniendo en cuenta que la presión no varía: a) Cálculo del trabajo: depende del cambio de volumen que experimenta el gas ideal

.B

A

V

B AAB AVW = PdV = P . V -V

b) Se aplica la Ley de Charles; en todo proceso isobárico o a presión contante se cumple:

1 2

1 2

V V = ; P = cte

T T

c) Cálculo del calor (Qp): Depende del calor específico a presión constante (Cp) o de la capacidad calorífica molar

( Cp ) del gas ideal.

2 1 2 1p pQ = m.Cp. T - T ó Q = n.Cp. T - T

d) Variación de la Energía Interna (ΔU): No depende del proceso, sino de la temperatura; siempre se usa el calor

específico a volumen constante (Cv) o la capacidad calorífica molar a volumen constante ( Cv ). La variación de energía interna se calcula usando la expresión general para un gas ideal:

2 1 2 1ΔU = m.Cv. T - T ó ΔU = n.Cv. T - T Para expresar la relación entre el calor y la variación de temperatura usaremos ahora la capacidad calorífica a presión constante Cp:

B AABQ = n.Cp. T -T

Además, se debe cumplir el Primer Principio, es decir:

B A B A B AAn.Cp. T -T = P . + n.Cv. T -TV -V

Recordando que por ser un gas ideal pV=nRT, el segundo miembro de la ecuación se puede escribir:

B AB A B AnRT - nRT + n.Cv.T - n.Cv.T = n. R + Cv T -T

Esta ecuación nos permite obtener una relación entre las capacidades caloríficas de un gas a volumen y a presión

constante, conocida como Ley de Mayer:

Cp = R + Cv

4.- TRANSFORMACIÓN ADIABÁTICA En una transformación adiabática no se produce intercambio de calor del gas con el exterior (Q = 0). Se

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define el coeficiente adiabático de un gas (γ) a partir de las "capacidades caloríficas molares" tomando distintos valores según el gas sea monoatómico o diatómico:

γ γ γ Cp 5 7

= = y = Cv 3 5

El gas se encuentra encerrado mediante un pistón en un recipiente de paredes aislantes y se deja expansionar. Expansión adiabática de un gas ideal. Representación en un diagrama p-V: el volumen aumenta y la presión y la temperatura disminuyen. En este caso varían simultáneamente la presión, el volumen y la temperatura, pero no son independientes entre sí. Se puede demostrar usando el Primer Principio que se cumple:

γ γγ

A A B BPV = cte P V = P V

Haciendo cambios de variable mediante de la ecuación de estado del gas ideal, obtenemos las relaciones entre las

otras variables de estado: γ γ γ

1- 1- 1-

A A B BP T = cte P T = P T

γ γ

γ

-1 -1-1

A A B BTV = cte T V = T V

El trabajo realizado por el gas lo calculamos a partir de la definición, expresando la presión en función del volumen:

γ. .

B B

A A

V V

AB V V

cteW = PdV = dV

V

Integrando se llega a:

.γ

B B A AAB

1W = . P P

1-V - V

La variación de energía interna se calcula usando la expresión general para un gas ideal:

B AABΔU = n.Cv. T -T

Aplicando el Primer Principio:

ABQ

AB AB AB AB

AB B A

= W + ΔU W = - ΔU

W = -n.Cv. T -T

Resumen: a) En todo proceso adiabático el gas evoluciona desde el estado (1) hasta el estado (2) sin transferencia de calor interna o externa ,por lo tanto se cumple: ΔQ=0. b) Cálculo del trabajo

γ γ

2 12 2 1 1mR T - TP V - P V

W = ; W = 1 - 1 -

c) Cálculo del calor (Q): No hay transferencia de calor por lo tanto: ΔQ=0. d) Variación de la Energía Interna (ΔU): Depende de del calor específico a Volumen constante (Cv) o de la capacidad

molar a volumen constante ( Cv ).

2 1 2 1ΔU = m.Cv. T - T ó ΔU = n.Cv. T - T

En todo proceso adiabático se cumple: γ γ

1 1 2 2P V = P V

Es decir, en una expansión adiabática, el gas realiza un trabajo a costa de disminuir su energía interna, por lo que se enfría. En el proceso inverso, el gas se comprime (W<0) y aumenta la energía interna. En esta tabla encontrarás un resumen de cómo calcular las magnitudes trabajo, calor y variación de energía interna para cada transformación.

7.13 PROCESO ISOENTRÓPICO

En termodinámica, un proceso isoentrópico (combinación de la palabra griega "iso" - igual - y "entropía") es aquel en el que la entropía del fluido que forma el sistema permanece constante. Según la segunda ley de la termodinámica, se puede decir que:

Q TdS

Donde Q es la cantidad de energía que el sistema gana por calentamiento, T es la temperatura de la fuente térmica

que interviene en el proceso (si el proceso es reversible la temperatura de la fuente térmica será igual a la del sistema), y dS es el cambio en la entropía del sistema en dicho proceso. El símbolo de igualdad implicaría un proceso reversible. En un ―proceso isoentrópico reversible‖ no hay transferencia de energía calorífica, y por tanto el proceso es

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también adiabático. En un proceso adiabático irreversible, la entropía se incrementará, de modo que es necesario eliminar el calor del sistema (mediante refrigeración) para mantener una entropía constante. Por lo tanto, un proceso isoentrópico irreversible no es adiabático. Para procesos reversibles, una transformación isoentrópica se realiza mediante el aislamiento térmico del sistema respecto a su entorno (proceso adiabático). La temperatura es la variable termodinámica conjugada de la entropía, de modo que el proceso conjugado será isotérmico, y el sistema estará térmicamente conectado a un baño caliente de temperatura constante. Los procesos isotérmicos no son isoentrópicos. EJEMPLO 1 Una masa de 1,2 kilogramos de aire a 150 KPa y 12 ºC está contenido en dispositivo hermético de gas de cilindro-émbolo sin fricción. Después el aire se comprime hasta una presión final de 600 kPa. Durante el proceso se trasfiere calor desde el aire para que la temperatura en el interior del cilindro se mantenga constante. Calcule el trabajo realizado durante este proceso. SOLUCION Datos generales:

AIREo

F

m = 1,2Kgm =150KPa

T=12 CP =600KPaW=?T= cte; m=cte, R=cte

Calculamos el trabajo:

.

2

1

2

1

2

1

V

V

V 2

V1

mRTW = PdV si PV = mRT P =

Vsustituyendo en P:

mRTW = dV siendo m=cte; R=cte y T=cte

VdV V

W = mRT W = mRT.ln ............(1)V V

Cálculo de V1 :

1

311 1

mRT 1,2x 0,287 x 285,15V = V =

15V =0,6

0547m

P

Cálculo de V2 :

2

322 2

mRT 1,2x 0,287 x 285,15V = V =

60V =0,1

0637m

P

Sustituyendo en la ecuación de W (ecuación 1):

0,1637W = 1,2x 0,287 x 285,15.ln

0,6W =-136,1

54727KJ

(-) Se comprime el aire.

EJEMPLO 2 Un dispositivo de cilindro-émbolo con un conjunto de topes en la parte superior contiene 3 kg de agua líquida saturada a 200 kPa. Se transfiere calor al agua, lo cual provoca que una parte del líquido se evapore y mueva el émbolo hacia arriba. Cuando el émbolo alcanza los topes el volumen encerrado es 60 lts. Se añade más calor hasta que se duplica la presión. Calcule el trabajo y la transferencia de calor durante el proceso. SOLUCION Estado 1

1

13

1 f

1

1 13

1

P = 200KPaX =0

v =v =0,001061 m /Kgu =uf=504,49 KJ/KgV =mv =3x0,001061

V = 0,003183m

Estado 2

22

32

32

V 0,6v = =

m 3v =0,02 m /Kg

V =60L=0,06m

Estado 3

3 2

3

3

P = 2P

P =2x200P =400KPa

Calculamos el trabajo entre 1 y 2

2

2 1

1

V

W = PdV= P V -V

VW=200 0,06 - 0,003183

W=11,3634KJ

Calculamos la calidad en 3

3 f3

g f

3 3

3 3 g 3 f3

-2 -23

3

v -vX =

v -v0,02 - 0,001084

X = X =4,1%0,4625 - 0,001084

u = X .u + (1 - X ).u

u = 4,1x10 .2553,6 + (1 - 4,1x10 ).604,3

u =684,23 KJ/Kg

Por último calculamos el calor:

1-3 1-2 3 1

1-3

1-3

Q - W = m(u - u )

Q = 3 684,23 - 504,49 + 11,3634

Q = 550,6 KJ

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PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA PROBLEMA 1 Encuentre la variación de la energía interna de un gas ideal conociéndose que realizó un trabajo de 60J mientras recibió un calor de 100cal. De la respuesta en Joules (J).

A) 100 B) 60 C) 40 D) 358 E) 418

PROBLEMA 2 Si un gas recibe 50 calorías y realiza un trabajo de 220J podemos decir que su temperatura:

A) Aumenta B) Disminuye C) Permanece constante D) Varía E) NA

PROBLEMA 4 Siguiendo un proceso isobárico un mol de cierto gas ideal es calentado en 30

oK comunicándole un calor de 500

calorías. Calcule el incremento de energía interna; en calorías (cal), del gas. Considere R=2cal/mol.K. PROBLEMA 5 Una masa de gas ideal se expande isotérmicamente realizando un trabajo de 50J, por lo tanto el calor en calorías comunicado al gas es: PROBLEMA 6 El plano P-V muestra el proceso que sigue un gas ideal, la energía interna en "A" es 60J y en "B" es de 75J, halle el calor suministrado; en Joules (J), en el proceso AB.

2 6 V(m3)

P(N/m2)

10

30A

B

PROBLEMA 7 Dos moles de cierto gas diatómico están a 50

oK, si éste siguiera un proceso en el cual el volumen y la presión se

duplicarán, ¿en cuánto cambiará la energía interna; en calorías (cal)?

PROBLEMA 9 Si en un proceso adiabático un gas ideal realiza un trabajo de expansión podemos afirmar que la temperatura del gas: A) Aumenta B) Disminuye C) Permanece constante D) No se puede predecir E) NA

PROBLEMA 3 Un cilindro dispuesto horizontalmente contiene cierto gas ideal y está cerrado por un pistón liso de 40cm

2 de área, si en virtud al calor

recibido el pistón se desplaza lentamente en 10cm, halle el trabajo del gas. Po=10

5Pa.

GAS

Po

PROBLEMA 8 Conociendo que en el proceso AB el gas ideal recibió 100 calorías, encuentre la variación de la energía interna en el mencionado proceso.

0,1 0,3 V(m3)

P(N/m2)

2000A B

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PROBLEMA 11 Indicar si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F): I. En un proceso isotérmico todo el calor entregado es empleado en el trabajo de expansión del gas. II. En un proceso isométrico no hay variación de la energía interna. III. En un proceso adiabático el gas realiza trabajo a costa de una disminución de su energía interna. PROBLEMA 12 La temperatura de dos moles de gas ideal es 17

oC, este gas se expande de 15 litros a 30 litros manteniendo

constante la mencionada temperatura, halle el calor necesario para este proceso; en calorías, aproximadamente.

PROBLEMA 13 En el proceso isobárico AB el gas ideal absorbe 100 calorías, mientras que en el proceso isométrico BC cede 40 calorías. Halle el trabajo que realiza el gas en el proceso AB. Considere que M y N son isotermas, además 1cal=4,18J.

V(m3)

P(N/m2)

N

M

A B

C

PROBLEMA 14 Considerando que la energía interna de un gas ideal monoatómico es 200J, halle su nueva energía interna; en Joules (J), cuando su volumen y presión sean duplicados.

PROBLEMA 15 A sabiendas que el Nitrógeno molecular es diatómico y que una caloría equivale a 4,18J; halle la capacidad calorífica molar a volumen constante (Cv) del Nitrógeno en KJ/Kg.K. PROBLEMA 16 Con respecto a la energía interna de un gas ideal monoatómico señale la afirmación falsa: A) Está ligada al comportamiento microscópico de sus moléculas B) Se debe especialmente a la energía cinética molecular C) Es una función directa de la temperatura D) Puede variar sin que varíe la temperatura E) Su variación es independiente del proceso termodinámico. PROBLEMA 17 Cien calorías son entregadas a 10 gramos de cierto gas, observándose que su temperatura se incrementa en 20K, calcule el trabajo que se realizó en este proceso. Considere Cv=0,57J/g.K. PROBLEMA 18 En un proceso isobárico un gas ideal diatómico realiza un trabajo de 200J, ¿en cuánto varía su energía interna? PROBLEMA 19 En un proceso adiabático la temperatura de 3 moles de cierto gas monoatómico disminuye en 40K, mientras que desarrolla un trabajo W. Halle el trabajo W, en Joules (J). PROBLEMA 20 Siguiendo un proceso isotérmico a 27

oC el volumen de 2 moles de un gas se incrementa de 2 litros a 20 litros,

encuentre el trabajo realizado por el gas; en Joules (J). Considere R=8,31J/mol.K. PROBLEMA 21 Diez kilogramos de nitrógeno son calentados de 20ºC a 150

oC manteniendo constante la presión. Hallar en Kcal.

a) La cantidad de calor que se le suministró.

PROBLEMA 10 En el plano P-V se muestran dos isotermas, la isócora (1→2) y la isóbara (1→3), luego el calor en el proceso (1→2) con respecto al calor en el proceso (1→3) es: A) Igual B) Menor C) Mayor D) Menor o igual E) Mayor o igual

V(m3)

P(N/m2)

1

2

3

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b) El cambio de energía interna. c) El trabajo realizado.

Considere: KcalCp = 0, 25

okg C; KcalCv = 0,18

okg C

PROBLEMA 22 Una vasija contiene dos kilogramos de cierto gas a 6atm de presión y 27ºC. Se calienta a volumen constante hasta 127ºC. Hallar: a) La cantidad de calor entregado (en Kcal) b) El trabajo realizado (en Kcal) c) El incremento de energía interna (en Kcal) d) La presión final del gas (en 10

5 Pa)

PROBLEMA 23 Un sistema realiza 100KJ de trabajo, mientras disipa 50KJ de calor en un proceso. El sistema retorna a su estado original a través de un proceso en el cual se hace 80KJ de trabajo sobre el sistema. Hallar el calor añadido sobre este proceso. De la respuesta en KJ. PROBLEMA 24 Un sistema realiza 40KJ de trabajo mientras transfiere 10KJ de calor al medio ambiente. El sistema retorna a su estado inicial a través de un proceso en el que hacen 15KJ de trabajo sobre el sistema. Determinar el calor transferido al sistema, en KJ, durante el segundo proceso. PROBLEMA 25 Un sistema contiene 10kg de gas de dióxido de carbono (CO2). Se realiza un proceso isobárico disminuyendo su energía interna en 650KJ. Determinar el trabajo efectuado sobre el sistema, en KJ.

Considere: KJCv = 0,65

kgK; KJCp = 0,85

kgK

PROBLEMA 26 Un recipiente rígido de 0,03m

3 contiene aire a 2,87x10

5Pa y 300K. Se suministra calor al recipiente hasta que la presión

sube a 5,74x105Pa. Determinar el calor añadido, en KJ.

Considere: KJR = 287

kgK; KJCv = 0, 7

kgK

PROBLEMA 27 Dos kilogramos de un gas ideal experimenta un proceso politrópico PV

n=cte desde 27 ºC a 127 ºC. El calor transferido

es 43,4KJ. Determine el exponente politrópico del proceso.

Considere: KJ

Cv = 0,717kgK

;KJ

Cp = 1,004kgK

PROBLEMA 28 Dos kilogramos de aire a 1bar y 27ºC son calentados isométricamente hasta que su presión se duplica. Luego isobáricamente hasta que su volumen se duplica. Determinar el calor total transferido, en KJ.

Considere: KJ

Cv = 0, 7kgK

;KJ

Cp = 1,004kgK

PROBLEMA 29 Un dispositivo de cilindro y pistón contiene 1kg de un gas ideal con un R=0,4 KJ/KgK a las condiciones iniciales de 4x10

5Pa y 2m

3. El sistema realiza un proceso de expansión politrópico con γ=2 hasta igualar la presión atmosférica de

105Pa. Determinar:

a) El trabajo realizado, en KJ. b) La variación de temperatura en K. PROBLEMA 30 En el sistema mostrado se tiene una masa de aire encerrada. El pistón es de masa despreciable y se desplaza libremente sin rozamiento. Se realiza un proceso haciendo funcionar el ventilador a la vez que se transfiere calor al sistema. El trabajo neto del sistema es 20KJ y el trabajo realizado por el ventilador es 4,8KJ, la presión atmosférica es 1bar y el área del pistón 0,5m

2. Calcular el desplazamiento del pistón en metros (m).

AIRE

PRESION

ATMOSFERICA

Q

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PROBLEMA 31 Un gas ideal está encerrado por un pistón cuya sección es de 0,4m

2, dicho gas se expande lentamente a presión

constante de manera que el pistón se desplaza 10cm y cada ventilador proporciona un trabajo de 1,2KJ; sabiendo que el trabajo neto es 26000J. Hallar el número de ventiladores que actúan sobre el gas. P=8x10

5Pa.

P

….

PROBLEMA 32 Cuatro kilogramos de aire inicialmente a 25ºC realizan un proceso adiabático. Si el aire realiza un trabajo de 70KJ. Hallar la temperatura final. Considere: Cv = 0,7 KJ/Kg.K

PROBLEMA 33 Se tiene 5m

3 de un gas ideal en un cilindro completamente cerrado que no permite la entrada y salida de calor (proceso

adiabático). El cilindro soporta una presión constante de 30x105Pa, si se sabe que al final del proceso de expansión del

gas su volumen final es 25m3. Hallar el trabajo de dicha expansión, en Joules (J). Considere log5=0,69.

PROBLEMA 34 Una masa de un kilogramo de un gas monoatómico efectúa la transformación ABC indicada en la figura, en dos etapas en las cuales recibe un calor total de 2000J y realiza un trabajo de 800J. Hallar la diferencia de temperaturas

TB – TA. Considere: R = 200 J/Kg.K

P

V

A

B

C

ISOTERMA

PROBLEMA 35 En un proceso adiabático, cinco moles de un gas monoatómico se expanden variando su temperatura desde 600K a 800K. Hallar el trabajo producido por el gas, en Joules (J). PROBLEMA 36 Un gas diatómico recibe una cantidad de calor de 490J durante un proceso isobárico. Hallar el trabajo que dicho gas produce. De la respuesta en Joules (J). Considere Cv=5cal/mol.k; Cp=7cal/mol.K PROBLEMA 37 En un cilindro cerrado por un pistón se tiene 2m

3 de un gas ideal a un bar y 27ºC (Cv=0,6KJ/kg.K) si el volumen final es

8m3 cuando se le suministra 2700KJ de calor. Hallar:

a) La temperatura final, en K. b) La variación de la energía interna, en KJ. c) La masa del gas ideal, en kg. d) El calor específico a presión constante, en KJ/kg.K. PROBLEMA 38 Dos moles de un gas monoatómico se expanden adiabáticamente variando su temperatura desde 400K a 300K. Determinar el trabajo realizado en este proceso, en Joules (J). PROBLEMA 39 Diez moles de un gas ideal se expanden isotérmicamente desde una presión inicial P1=10

5Pa hasta una presión final

P2=0,1x105Pa a una temperatura constante de 300K. Hallar la cantidad de calor absorbido por el gas. Considere

R=8,3J/mol.K. De la respuesta en Joules (J). PROBLEMA 40 En el sistema mostrado el émbolo mantiene una presión interior de 2,87x10

5Pa en el sistema adiabático que contiene 0,5kg de aire. El área

de la sección recta del cilindro es 20cm2. Determinar el valor de la

resistencia “R” por donde circula una corriente de 10A durante un tiempo de 7,896 segundos de tal manera que el émbolo suba 40cm. De la respuesta en ohmios (Ω).

Considere: KJ

R = 287kgK

;KJ

Cv = 0, 7kgK

AIRE

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PROBLEMA 41 En un sistema el trabajo que se necesita para comprimir aire desde un estado inicial hasta un estado final (2), siguiendo la ley PV

1,2=cte es -90KJ. Determinar la variación de la energía interna para este proceso. De la respuesta en KJ.

Cv=1cal/mol.k; Cp=0,7KJ/kg.K PROBLEMA 42 Cinco kilogramos de un gas ideal ocupan un volumen de 10m

3 a 300K. Sobre el sistema se realiza un trabajo para

reducir su volumen hasta 5m3. Si "R" del gas es 300J/kgK. Hallar el trabajo en cada uno de los siguientes casos.

a) En un proceso isobárico, en KJ. b) En un proceso isotérmico; en KJ. c) En un proceso adiabático (γ=1,5), en KJ PROBLEMA 43 En un proceso politrópico realizado por un gas ideal se inicia a P1=3bar y V1=1,2m

3 y termina cuando P2=15bar y

V2=0,6m3. Determinar el trabajo realizado, en KJ.

PROBLEMA 44 La figura muestra el diagrama PV para dos procesos termodinámicos sobre un gas, entonces indique cuál de las siguientes proposiciones son las correctas: I. El proceso 12341, desarrolla mayor trabajo que el proceso 1341. II. El proceso 12341 libera mayor cantidad de calor que el proceso 1341.

P

V

1 2

34

adiabatico

A) I y II son incorrectas B) Sólo i es correcta C) Sólo II es correcta D) I y II son correctas E) FD

PROBLEMA 45 Un gas está contenido en un recipiente térmicamente aislado. Al retirar los topes, su presión varía como se muestra en la gráfica. ¿En cuánto varía su energía interna hasta el instante en que el volumen del gas es 6x10

-3m

3? De la

respuesta en Joules (J).

TOPE

2

1

0,5

0 2 4 6

GAS

P(105Pa)

V(10-3

m3)

PROBLEMA 46 Se comprime un gas a presión constante de 160Kpa desde 8 litros hasta 4 litros. Si el gas disipa 100J de calor, determine la variación de la energía interna del gas, en J.

PROBLEMA 47 Se muestra la gráfica P-V para un gas ideal. Determine el trabajo neto que desarrolla el gas durante un ciclo termodinámico.

P(105Pa)

V(10-3

m3)0

1

3

a b

cT

3T

ISOTERMAS

PROBLEMA 48 El recipiente de capacidad calorífica despreciable, contiene un gas y está tapado con un émbolo liso de área igual a 20cm

2 y de 1kg. Al transferirle una cantidad de calor “Q”, el gas se expande lentamente hasta duplicar su volumen,

variando su energía interna en 20J. Determine “Q”. Considere Patm=105Pa; g=10m/s

2.

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GAS ho=10cm

PROBLEMA 49 Un cilindro de capacidad calorífica despreciable, contiene un gas, al cual se le suministra 20J de calor, con el objetivo de llevar lentamente el émbolo liso de A hasta B. ¿En cuánto varía su energía interna? El émbolo tiene un área de 10cm

2. Considere Patm=10

5Pa; 1cal=4,2J; g=10m/s

2.

GAS

Q EMBOLO

A B8cm

PROBLEMA 50 Un gas ideal se encuentra encerrado en un cilindro de capacidad calorífica despreciable. Si al sistema se le transfiere 100cal en forma de calor y, el gas se expande lentamente en 2x10

-3m

3, determine la variación interna del gas.

Considere Patm=105Pa; 1cal=4,2J; g=10m/s

2.

GAS

Q EMBOLO

PROBLEMA 51 Sobre el pistón de capacidad calorífica y masa despreciable, se coloca un ladrillo de 5 kilogramos. Simultáneamente se transfiere 100 calorías de calor al gas que se encuentra en el cilindro liso, a la vez que el pistón se eleva 0,4 metros lentamente. Determine la variación de la energía interna del gas. Considere 1cal=4,2J; Patm=10

5Pa.

GAS

A=3x10-3

m2

Q

PROBLEMA 52 Halle el trabajo necesario; en Joules (J); para comprimir adiabáticamente 2 moles de un gas ideal monoatómico, si se sabe que existe un cambio de temperatura igual a 100

oC.

PROBLEMA 53 Determine el cambio de la energía interna en la sustancia de trabajo de la máquina térmica, sabiendo que se le entregaron 2000J de calor, realizando el proceso mostrado en el diagrama.

0,4 1,2 V(m3)

P(N/m2)

800

1400

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PROBLEMA 54 Determine el trabajo neto expresado en KJ (kilojoules), considerando los procesos termodinámicos indicados en el diagrama P-V de la figura.

5 8 V(m3)

P(N/m2)

100

200

a b

cd

PROBLEMA 55 Un gas ideal confinado en un cilindro pistón se encuentra en el estado (1) y pasa al estado (2) siguiendo dos procesos (1a2 y 1b2). Determine la diferencia entre el calor neto transferido en el proceso (1a2) y el calor neto transferido en el proceso (1b2) sabiendo que P1=100KPa, Pa=500KPa y V2-V1=0,5m

3.

V(m3)

P(N/m2)

1 b

2a

T1

T2

PROBLEMA 56 La figura muestra el ciclo reversible efectuado por un gas monoatómico ideal. Determine el trabajo, variación de la energía interna y el calor en cada uno de los procesos; respectivamente. Considere 1cal=4,2J.

V(m3)

P(105Pa)

Cb

BA

300K

10 3020

5

2

PROBLEMA 57 Un gas ideal confinado en un recipiente provisto de un émbolo móvil experimenta una expansión tal como lo indica el diagrama P-V de la figura, si la cantidad de calor total suministrada al gas es 7PV y considerando las energías internas U1=U2=PV, U3=2PV. Determine el volumen del gas en el estado "3".

V(m3)

P(105Pa)

C3

1

300K

V

3P

P2

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PROBLEMA 58 En un proceso termodinámico isobárico un gas monoatómico experimenta una expansión de manera que la presión se mantiene en 80KPa durante todo el proceso, si su volumen se incrementa de 1m

3 a 3m

3, determine (en KJ) el calor

entregado al gas.

V(m3)

P(KPa)

1

T1=T

1

2 T2

3

80

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Capítulo 8

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Esta ley experimental axiomática nos permite analizar cualitativamente los procesos o transformaciones de la energía; esta le servirá para definir la posibilidad de realización de un proceso termodinámico y sus limitaciones físicas reales. La Segunda Ley de la Termodinámica será determinante para afirmar la validez de un proceso termodinámico cualquiera y la importancia de producir un trabajo efectivo.

8.1 CONCEPTOS PREVIOS a) FOCO TÉRMICO

Es aquel sistema de masa inmensamente grande al cual se le puede sustraer o entregar calor, sin que su temperatura experimente notables cambios.

b) FUENTE

Es aquel foco térmico que transfiere calor a la sustancia de trabajo. Ejemplo: generadores de vapor, calderos, hornos, etc.

c) SUMIDERO

Es aquel foco térmico en el cual se desfoga el calor previamente utilizado, normalmente recepciona calor. Su temperatura siempre es menor que la temperatura de la fuente. Ejemplo: los condensadores, camisetas de agua, radiadores, etc.

d) MÁQUINA TÉRMICA

Es aquel dispositivo que para su funcionamiento u operación continua requiere de una fuente y un sumidero, la máquina térmica es aquel dispositivo mecánico que se encarga de transformar la energía calorífica que se le transfiere, en energía mecánica. Ejemplo los motores de combustión interna (petróleo, gasolina), las turbinas a vapor, los turbo compresores, etc. Un ejemplo de máquina térmica lo constituye la planta de generación de vapor mostrado en la figura. DESCRIPCIÓN El vapor procedente del caldero se expande adiabáticamente en la turbina, desarrollando trabajo, hasta una presión mucho menor. En el condensador el vapor disipa calor al transformarse en líquido. Puesto que la presión en éste es mucho menor que la presión en el caldero, el líquido se vaporiza y va nuevamente a la turbina completándose así el ciclo termodinámico mostrado. La máquina térmica (turbina), tiene por objetivo transformar el calor en trabajo y también se le denomina máquina de potencia y su ciclo, ciclo de potencia.

CALDERA

TURBINA

CONDENSADOR

BOMBA

QB

WE

QA

T(oC)

WS

QA: Cantidad de calor suministrado al

vapor en la caldera de una fuente de alta temperatura (horno o caldera).

QB: Cantidad de calor liberado del vapor

en el condensador en un sumidero de baja temperatura (la atmósfera, un río).

WS: Cantidad de trabajo entregado por el

vapor cuando se expande en la turbina.

We: Cantidad de trabajo requerido para

comprimir el agua a la presión de la caldera.

8.2 REPRESENTACIÓN SINTÉTICA DE UNA MÁQUINA TÉRMICA

Fuente TA

Fuente TB

MT

QA

QB

WN

CALDEROS, HORNOS

CONDENSADOR

Donde se observa que se cumple:

A N B

N A B

Q = W +Q

por lo tanto : W = Q - Q

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8.3 EFICIENCIA DE UNA MÁQUINA TÉRMICA FUENTE De la ecuación anterior "QB" representa la magnitud de la energía desechada para completar el ciclo. Pero "QB" nunca es cero; así que la salida de trabajo neto de una máquina térmica siempre es menor que la cantidad de entrada de calor. Es decir, sólo la parte del calor transferido a la máquina térmica se convierte en trabajo. Se define eficiencia térmica a la fracción de entrada de calor que se convierte en trabajo neto en la salida.

N A B

A A

N B

A A

W Q - Qη = =

Q Q

W Qpor lo tanto : η = = 1 -

Q Q

8.4 MÁQUINA REFRIGERADORA Es obvio por la experiencia, que el calor fluye en dirección de la temperatura decreciente de medios de alta temperatura a medios de baja temperatura. Este proceso de transferencia sucede en la naturaleza sin requerir ningún dispositivo, Sin embargo, el proceso inverso, no puede ocurrir por sí solo. La transferencia de calor de un medio de baja temperatura a uno de alta temperatura requiere dispositivos especiales llamados "refrigeradores". Los "refrigeradores", como las máquinas térmicas, son dispositivos cíclicos. El fluído de trabajo utilizado en el ciclo de refrigeración se llama "refrigerante". El ciclo de refrigeración que se usa con mayor frecuencia es el "Ciclo de refrigeración por compresión de vapor", que incluye cuatro componentes principales: un compresor; un condensador; una válvula de expansión y un evaporador, como se muestra en la figura:

Componentes básicos de un sistema de refrigeración y condiciones de operación comunes. 8.5 REPRESENTACIÓN SINTÉTICA DE UNA MÁQUINA REFRIGERADORA (MR)

TA

TB

MR

QA

QB

WN

A N B

N A B

Q = W + Q

por lo tanto : W =Q -Q

Wn: Entrada de trabajo neto al refrigerador. QA: Magnitud de calor liberado al ambiente caliente a temperatura "TA". QB: Magnitud de calor extraído del espacio refrigerado a temperatura "TB".

8.6 COEFICIENTE DE OPERACIÓN (βR) La eficiencia de un refrigerador se expresa en términos del coeficiente de operación (COP) denotado por COPR y también conocido como el "coeficiente de performance". El objetivo de un refrigerador es quitar calor (QB) del espacio refrigerado. Para lograrlo requiere de una entrada de trabajo de "WN". De este modo el COP de un refrigerador puede expresarse como:

BR R

N

salida deseada Qβ =COP = =

entrada requerida W

El principio de la conservación de la energía para un dispositivo cíclico requiere de que:

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A N B

N A B

Q = W + Q

por lo tanto : W =Q -Q ; en (KJ)

Observe que el vapor de COPR puede ser mayor que la unidad. La cantidad de calor extraído del espacio refrigerado puede ser mayor que la cantidad de entrada de trabajo. Lo cual contraste con la eficiencia térmica que nunca puede ser mayor que uno (1).

8.7 BOMBA DE CALOR Otro dispositivo que transfiere calor de un medio de baja temperatura a uno de alta temperatura es la "Bomba de de calor" mostrada en forma esquemática en la figura. Los refrigeradores y las Bombas de calor operan en el mismo ciclo aunque difieren en objetivos. El del refrigerador es mantener el espacio refrigerado a baja temperatura quitándole calor. La descarga de éste calor a un medio de mayor temperatura es tan sólo una parte de la operación, no el propósito. El objetivo de una "Bomba de calor" es mantener un espacio calentado a alta temperatura. lo cual consigue absorber el calor de una fuente de baja temperatura como el agua de un pozo o el frío aire exterior del invierno, y suministrándolo a un medio de alta temperatura comouna casa (calefacción y aire acondicionado). Un refrigerador que se pone en la ventana de una casa con su puerta abierta hacia el aire frío del exterior en el invierno, funcionará como una bomba de calor, puesto que tratará de enfriar el exterior absorbiendo calor de él y liberando este calor hacia adentro de la casa a través del serpentín que está detrás de él. La medida del rendimiento de una "bomba de calor" se expresa también en términos del coeficiente de operación (coeficiente de performance) COPB, definido como:

AB B

N

salida deseada Qβ =COP = =

entrada requerida W

También puede expresarse como:

AB

BA B

A

Q 1COP = =

QQ - Q1 -

Q

Y haciendo una comparación de las ecuaciones del COPR y COPB revela la siguiente relación:

B RCOP = COP + 1

Para valores fijos de "QB" y "QA". Esta relación significa que el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor siempre es mayor que la unidad ya que el COPR es una cantidad positiva. Es decir, una "bomba de calor" funcionará, en el peor de os casos como un calentador de resistencia, suministrando tanta energía a la casa como ella consume. En realidad, parte de "QA" se pierde en el aire exterior por las tuberías y otros dispositivos, y el COPB puede disminuir por abajo de la unidad cuando la temperatura del aire exterior es demasiado baja. Cuando esto ocurre, el sistema cambia a un modo de calentamiento por resistencia. La mayor parte de las "bombas de calor" que operan en la actualidad tienen COPB promediados por estación de 2 a 3.

8.8 RENDIMIENTO TÉRMICO

La cantidad de calor que se puede bombear depende de la diferencia de temperatura entre los focos frío y caliente. Cuanto mayor sea esta diferencia, menor será el rendimiento de la máquina. Las bombas térmicas tienen un rendimiento, denominado COP (coefficient of performance), mayor que la unidad. Aunque esto puede parecer imposible, se debe a que en realidad se está moviendo calor usando energía, en lugar de producir calor como en el caso de las resistencias eléctricas. Una parte muy importante de este calor se toma de la entalpía del aire atmosférico. En toda bomba de calor se verifica que el calor transmitido al foco caliente es la suma del calor extraído del foco frío más la potencia consumida por el compresor, que se transmite al fluido.

c FQ = Q + W

Dado que el efecto útil de una bomba de calor depende de su uso, hay dos expresiones distintas del COP. Si la máquina se está usando para refrigerar un ambiente, el efecto útil es el calor extraído del foco frío:

FQCOP =

W

Si la bomba de calor está usándose para calentar una zona, el efecto útil es el calor introducido:

C F Q Q + WCOP = =

W W

Una bomba de calor típica tiene un COP de entre dos y seis, dependiendo de la diferencia entre las temperaturas de ambos focos.

TA

TB

MR

QA

QB

WN

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El rendimiento térmico o eficiencia de una máquina térmica es un coeficiente o ratio adimensional calculado como el cociente de la energía producida (en un ciclo de funcionamiento) y la energía suministrada a la máquina (para que logre completar el ciclo termodinámico). Se designa con la letra griega ηter:

producida salidater

suministrada entrada

E Eη = =

E E

Dependiendo del tipo de máquina térmica, la transferencia de estas energías se realizará en forma de calor, Q, o de trabajo, W.

HISTORIA En 1824, el físico francés Sadi Carnot derivó la eficiencia térmica para una máquina térmica ideal como una función de la temperatura de sus reservorios fríos y calientes:

H Cter

H

T -Tη =

T

Donde TH: es la temperatura del reservorio caliente; TC: es la temperatura del reservorio frío. La ecuación demuestra que se obtienen mayores niveles de eficiencia con un mayor gradiente de temperatura entre los fluidos calientes y fríos. En la práctica, cuanto más caliente el fluido, mayor será la eficiencia del motor.

8.9 CÁLCULO DEL RENDIMIENTO PARA LAS DISTINTAS MÁQUINAS TÉRMICAS

El motor térmico recibe un calor, QC, de un foco o fuente caliente, efectúa un trabajo, W, y debe ceder

calor, Qf, a un foco frío. Para que la energía se conserve debe cumplirse que c FQ = Q + W . El rendimiento es por lo

tanto:

C f fter

C C C

W Q -Q Qη = = = 1 -

Q Q Q

Donde se cumple que: 0< η <1. a) MOTOR TÉRMICO Diagrama de una "máquina térmica" motora.

Un motor térmico es una máquina térmica que transforma calor en trabajo mecánico por medio del aprovechamiento del gradiente de temperatura entre una fuente de calor (foco caliente) y un sumidero de calor (foco frío). El calor se transfiere de la fuente al sumidero y, durante este proceso, algo del calor se convierte en trabajo por medio del aprovechamiento de las propiedades de un fluido de trabajo, usualmente un gas o el vapor de un líquido.

b) POSTULADOS DE LA TERMODINÁMICA 1. Cualquiera que sea el procedimiento empleado para convertir el calor en trabajo o viceversa, existe una relación constante entre el trabajo desarrollado y el calor consumido, siempre que el estado final del sistema sea igual al inicial (ciclo termodinámico). El equivalente mecánico del calor es 427 kgm/kcal o en el sistema de normas internacionales ISO 4184 joule/1000 cal (cal=calorías), siendo un joule igual a 1 N x m ò Newton x metro (Newton en mayúscula por ser un nombre propio). 2. Una máquina térmica sólo puede efectuar trabajo si absorbe calor de un manantial a temperatura superior y lo cede en parte a otro a temperatura inferior. Es decir, el calor no puede transferirse espontáneamente de un cuerpo más frío a otro más caliente.

c) PRINCIPIO BÁSICO DE FUNCIONAMIENTO En un motor térmico se producen una serie de transformaciones que conducen a un estado inicial (es decir, tiene un ciclo cerrado). En el transcurso de estas transformaciones, el motor recibe energía térmica en forma de calor y devuelve energía mecánica en forma de trabajo.

d) EFICIENCIA DE LOS MOTORES TÉRMICOS La eficiencia de varios motores térmicos propuestos o usados hoy en día oscila entre el 3% (97% de calor desperdiciado) para los sistemas de conversión de energía térmica del océano, el 25% para la mayor parte de los motores de automóviles, el 35% para una planta generadora de carbón supercrítico, y el 60% para una turbina de gas de ciclo combinado con enfriamiento de vapor. Todos estos procesos obtienen su eficiencia (o la pierden) debido a la depresión de la temperatura a través de ellos. Por ejemplo, los sistemas de conversión de energía térmica del océano emplean una diferencia de temperatura entre el agua sobre la superficie y el agua en las profundidades del océano, es decir, una diferencia de tal vez 25 grados celsius, por lo que la eficiencia debe ser baja. Las turbinas de ciclo combinado utilizan quemadores de gas natural para calentar aire hasta cerca de 1530 grados celsius, es decir, una diferencia de hasta 1500 grados, por lo que la eficiencia puede ser mayor cuando se añade el ciclo de enfriamiento de vapor.

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8.10 CLASIFICACIÓN DE LOS MOTORES TÉRMICOS

Para la clasificación de los motores térmicos, además de los criterios ya mencionados en el caso de máquinas de fluido, se tienen en consideración dos aspectos adicionales:

Si el fluido es condensable (agua) o no condensable (aire).

Si el proceso es de combustión externa o interna. Máquinas de combustión interna En las máquinas de combustión interna, los gases de la combustión son los que circulan por la propia máquina. En este caso, la máquina será necesariamente de ciclo abierto, y el fluido motor será el aire (no condensable) empleado como comburente en la combustión.

MOTORES DE COMBUSTIÓN INTERNA

Rotativo Turbomáquina Turbina de gas de ciclo abierto

Volumétrico Motor Wankel, Quasiturbina

Alternativo

Encendido por compresión

Motor diésel

Encendido provocado

Motor de explosión (Otto, Miller, de mezcla pobre, de Ciclo Atkinson)

Reacción

Motor cohete Cohete espacial de propulsante líquido/sólido

Aerorreactor sin compresor

Estatorreactor Pulsorreactor

Aerorreactor con compresor

Turborreactor Turbofán Turbohélice

Máquinas de combustión externa Si la combustión es externa, el calor de la combustión se transfiere al fluido a través de una pared, por ejemplo en un intercambiador de calor. Este tipo de máquinas no exige un proceso de combustión, como sucede en las instalaciones nucleares, si bien es el procedimiento usual. Dado que el fluido motor no sufre degradación alguna, estas máquinas pueden ser de ciclo cerrado, a lo que actualmente se tiende por razones económicas.

MOTORES DE COMBUSTIÓN EXTERNA

Fluido condensable

Turbomáquina Turbina de vapor ciclo abierto o cerrado

Alternativo Máquina de vapor ciclo abierto o cerrado

Fluido no condensable

Turbomáquina Turbina de gas de ciclo cerrado

Alternativo Motor Stirling

NOTA: Los motores volumétricos rotativos y de reacción no han sido desarrollados.

La bomba térmica o de calor es capaz de transferir una energía calorífica, QC, a un foco caliente desde una fuente fría de la que absorbe un calor, Qf, si se realiza un determinado trabajo, W, sobre la máquina. Este proceso es justo el opuesto al realizado por el motor térmico, es por ello que también debe cumplirse la

relación c FQ = Q + W . El rendimiento es:

C C Cter

C f f

Q Q Qη = = = 1 -

W Q -Q Q

y se tiene que η>1. 1) BOMBA TÉRMICA

Diagrama de flujo de una bomba de calor.

Una bomba de calor es una máquina térmica que permite transferir energía mediante calor de un ambiente a otro, según se requiera. Para lograr esta acción es necesario un aporte de trabajo acorde a la segunda ley de la termodinámica, según la cual el calor se dirige de manera espontánea de un foco caliente a otro frío, y no al revés, hasta que sus temperaturas se igualen. Este fenómeno de transferencia de energía calorífica se realiza principalmente por medio de un sistema

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de refrigeración por compresión de gases refrigerantes, cuya particularidad radica en una que forma parte del sistema, la cual puede invertir el sentido del flujo de refrigeración, transformando el condensador en evaporador y viceversa.

USOS Bomba de Calor Aire-Aire tipo Roof-Top (Unidad de aire acondicionado de tejado)

El principio de la bomba de calor se utiliza en sistemas de climatización o HVAC, así como en sistemas domésticos de aire acondicionado, dado que el ciclo reversible que tiene este sistema otorga la posibilidad tanto de extraer como de ingresar energía al medio -"enfriar" o "calentar"- con un mismo equipo, controlando arranques, paradas y el ciclo reversible en forma automática. Gracias a su versatilidad, es posible encontrar bombas de calor tanto para calentar una piscina como para controlar el ambiente de un invernadero. En la actualidad, y en pos del ahorro energético, cada vez es más usual encontrar arreglos de bombas de calor asistidos por colectores solares y en sistemas geotérmicos.

FUNCIONAMIENTO Válvula inversora de ciclo o "válvula de cuatro vías".

Una bomba de calor de refrigeración por compresión emplea un fluido refrigerante con un bajo punto de ebullición. Éste requiere energía (denominada calor latente) para evaporarse, y extrae esa energía de su alrededor en forma de calor. El fluido refrigerante a baja temperatura y en estado gaseoso pasa por un compresor, que eleva su presión y aumenta con ello su entalpía. Una vez comprimido el fluido refrigerante, pasa por un intercambiador de calor llamado 'condensador', y ahí cede calor al foco caliente, dado que el fluido refrigerante (que ha salido, recordémoslo, del compresor) está aún más caliente que ese foco caliente. En cualquier caso, al enfriarse el fluido refrigerante en el condensador (gracias a la cesión de calor al foco caliente), cambia su estado a líquido. Después, a la salida del condensador, se le hace atravesar una válvula de expansión, lo cual supone una brusca caída de presión (se recupera la presión inicial). A esa presión mucho menor que la que había en el condensador, el fluido refrigerante empieza a evaporarse. Este efecto se aprovecha en el intercambiador de calor llamado evaporador que hay justo después de la válvula de expansión. En el evaporador, el fluido refrigerante (a mucha menos presión que la que había en el condensador) empieza a evaporarse, y con ello absorbe calor del foco frío, puesto que el propio fluido está más frío que dicho foco. El fluido evaporado regresa al compresor, cerrándose el ciclo. La válvula inversora de ciclo o válvula inversora de cuatro vías se encuentra a la salida (descarga) del compresor y, según la temperatura del medio a climatizar (sensada en la presión de refrigerante antes de ingresar al compresor), invierte el flujo del refrigerante.

RENDIMIENTO La cantidad de calor que se puede bombear depende de la diferencia de temperatura entre los focos frío y caliente. Cuanto mayor sea esta diferencia, menor será el rendimiento de la máquina. Las bombas térmicas tienen un rendimiento, denominado COP (coefficient of performance), mayor que la unidad. Aunque esto puede parecer imposible, se debe a que en realidad se está moviendo calor usando energía, en lugar de producir calor como en el caso de las resistencias eléctricas. Una parte muy importante de este calor se toma de la entalpía del aire atmosférico. En toda bomba de calor se verifica que el calor transmitido al foco caliente es la suma del calor extraído del foco frío más la potencia consumida por el compresor, que se transmite al fluido.

c FQ = Q + W

Dado que el efecto útil de una bomba de calor depende de su uso, hay dos expresiones distintas del COP. Si la máquina se está usando para refrigerar un ambiente, el efecto útil es el calor extraído del foco frío:

FQCOP =

W

Si la bomba de calor está usándose para calentar una zona, el efecto útil es el calor introducido:

C F Q Q + WCOP = =

W W

Una bomba de calor típica tiene un COP de entre dos y seis, dependiendo de la diferencia entre las temperaturas de ambos focos.

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El refrigerador funciona exactamente igual que la bomba térmica pero como el interés de ésta máquina es enfriar, la transferencia de energía deseada es Qf y el rendimiento queda como:

f f ter

c f

Q Qη = =

W Q - Q

Donde ahora η>0.

2) REFRIGERADORES Y BOMBAS DE CALOR (GIE)

Refrigerador Un refrigerador es un dispositivo que extrae calor de un foco que está más frío que el ambiente (como el interior de un frigorífico, a 5°C) y lo vierte en el ambiente (a 22°C, por ejemplo). Para funcionar, un refrigerador requiere un trabajo adicional | W | , que aumenta el calor de desecho Qout que se entrega al ambiente. Un frigorífico o un aparato de aire acondicionado son ejemplos de refrigeradores. Ambos operan sobre el mismo principio. Un compresor eleva la temperatura del fluido de trabajo a base de realizar trabajo sobre él. El fluido, a temperatura superior a la ambiente, es puesto en contacto con éste en un condensador (una rejilla,p.ej.), liberando calor Qout. El fluido enfriado, pasa por una válvula de expansión, donde su temperatura cae por debajo de la del foco frío. Puesto en contacto con este foco (la cámara frigorífica o la habitación) mediante otra rejilla conocida como evaporador, absorbe calor de éste, Qin. De ahí vuelve al compresor, recomenzando el ciclo.

Para los refrigeradores se define el coeficiente de desempeño (COPR) según el mismo principio que para las máquinas térmicas siendo ―lo que se saca‖ el calor | Qf | que se extrae del foco frío y ―lo que cuesta‖ el trabajo | W | necesario para ello

in in R

out in

Q QCOP = =

W Q - Q

A diferencia del rendimiento de una máquina térmica, el coeficiente de desempeño puede ser mayor que la unidad (normalmente lo es, de hecho).

Bomba de calor Una bomba de calor se basa en el mismo principio que un refrigerador, salvo que se emplea para pasar calor del ambiente a un foco más caliente, como una habitación, para caldearla. Para esto el, circuito debe estar situado de manera opuesta al caso del refrigerador. El compresor envía el fluido a alta presión al un condensador en elinterior de la habitación, donde libera calor por estar a más temperatura que el ambiente. Pasa entonces por la válvula hacia el exterior, donde se evapora y cae por debajo de la temperatura exterior, absorbiendo calor en el evaporador. Vuleve entonces al compresor, reiniciando el ciclo. Para que un mismo parato pueda funcionar como aire acondicionado en verano y bomba de calor en invierno, es necesario un sistema de válvulas que permita que el vapor fluya en direccione sopuestas según el uso que se le de. En el caso de una bomba de calor ―lo que se saca‖ es el calor Qout, por lo que el coeficiente de desempeño de una bomba de calor se define como

out out BC

out in

Q QCOP = =

W Q - Q

De esta definición se tiene que el coeficiente de desempeño de una bomba de calor y del refrigerador correspondiente se diferencia en 1.

BC RCOP = COP + 1

Y por tanto el coeficiente de desempeño de una bomba de calor es como mínimo 1. Un valor de 1 quiere decir que no se extrae ningún calor del foco frío, sino que simplemente se transforma trabajo en calor. Esto es lo que hace, por ejemplo, una estufa de resistencia. Para una bomba de calor real el COP puede ser de 4. Esto quiere decir que para aportar 4  J de calor a una habitación solo consume 1  J de energía eléctrica (mientras que una estufa consumiría los 4  J). Las bombas de calor son por tanto más eficientes como sistema de calefacción, pero requieren instalaciones más grandes y poseen problemas de funcionamiento si la temperatura exterior es demasiado baja.

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8.13 ENUNCIADO DE KELVIN-PLANCK

A la hora de aumentar la eficiencia de una máquina, el primer objetivo sería reducir, o eliminar si es posible, el calor de desecho | Qf |. Se plantean dos alternativas

¿Es posible una máquina térmica que no genere calor de desecho, sino que todo el calor absorbido se transforme en trabajo neto? Por ejemplo, podría usarse la turbina para enfriar directamente el vapor y reenviarlo al horno, sin pasar por un condensador donde se ceda calor al ambiente sin realizar trabajo útil

¿Es posible una reutilización del calor de desecho, de forma que se haga recircular y se incluya en el calor absorbido? La idea sería que el calor de derecho contribuya a calentar el vapor, en lugar de arrojarlo al exterior.

La respuesta a ambas preguntas es negativa. El enunciado de Kelvin-Planck del Segundo Principio de la Termodinámica es el siguiente: "Es imposible construir una máquina que, operando en un ciclo, produzca como único efecto la extracción de calor de un foco y la realización de una cantidad equivalente de trabajo". Este enunciado refleja un hecho empírico y no se deduce de ninguna ley previa. El enunciado de Kelvin-Planck afirma que es imposible construir una máquina que tenga un rendimiento del 100%. Siempre habrá calor de desecho que, en la mayoría de los casos equivale a más de la mitad del calor absorbido. Es importante señalar que el enunciado de Kelvin-Planck habla de procesos cíclicos, que dejan al sistema en un estado final igual al inicial. Sí es posible transformar calor en trabajo (por ejemplo, calentando un gas, que se expande como consecuencia) si el estado final es diferente del inicial.

8.14 PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES

El Segundo principio establece a que existen procesos que pueden recorrerse en un sentido, pero no el opuesto. Podemos transformar íntegramente el trabajo en calor (es lo que hace una estufa de resistencias), pero no el calor en trabajo (ya que lo prohíbe el enunciado de Kelvin-Planck). Los ejemplos cotidianos abundan: si colocamos una taza de café caliente en el ambiente, el café se enfría, nunca se calienta más. Si vertemos azúcar en agua, no podemos invertir la disolución. (Çengel, Yunus, 2012)

El Segundo Principio, por tanto, permite clasificar los procesos en reversibles e irreversibles.

Proceso reversible.- Es aquél cuyo sentido puede invertirse mediante un cambio infinitesimal de las condiciones del entorno.

Proceso irreversible.- Es el que no es reversible. Por ejemplo, sea un sistema formado por un recipiente con agua en equilibrio térmico con hielo a 1  atm de presión. El sistema estará a 0.00°C. Supongamos que el conjunto se encuentra rodeado por un baño térmico a +0.01°C. Sabemos que el hielo se irá derritiendo progresivamente, pasando a ser agua líquida. Si ahora cambiamos la temperatura exterior a -0.01°C, el hielo volverá a crecer, a costa de la congelación de agua. Hemos invertido el proceso mediante un cambio infinitesimal del entorno y el proceso es reversible. Si en cambio el baño exterior está a 20.01°C sabemos que el hielo se derretirá. Si ahora pasamos la temperatura exterior a 19,99°C el hielo se seguirá derritiendo, por lo que no se invierte el proceso. Este proceso es irreversible. Más en general, siempre que tengamos una diferencia finita de temperaturas entre un sistema y su entorno o entre diferentes partes de un sistema, tendremos un proceso irreversible.

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Un razonamiento análogo se puede hacer analizando la expansión de un gas frente a una presión exterior. Si hay una diferencia finita de presiones es irreversible, si la diferencia es infinitesimal será reversible. Todos los procesos reales son irreversibles, si bien existen procesos más o menos ideales, que se acercan a la reversibilidad. Los procesos reversibles permiten establecer además criterios de máximos o mínimos para los procesos reales. Por ejemplo, el máximo rendimiento de una máquina térmica se obtiene si esta ópera reversiblemente. Existen numerosas causas de irreversibilidad, mecánicas, térmicas, químicas,… A su vez, pueden ser externas o internas.

Irreversibilidad interna.- Es la que se produce dentro del sistema, debido a que este no se encuentra en equilibrio. Por ejemplo, al comprimir un gas bruscamente, el has próximo al pistón posee una presión mayor que los puntos alejados (produciéndose una onda de sonido). En este momento el gas no se encuentra en equilibrio (no existe la ―presión del sistema‖) y evoluciona de forma irreversible. Otro ejemplo sería la inmersión de un trozo de hielo en agua caliente, la diferencia finita de temperaturas entre partes de un sistema provoca irreversibilidad

Irreversibilidad externa.- Es aquella en la que quizás el sistema evoluciona reversiblemente, por ejemplo, porque su temperatura varía lentamente (como le ocurre a una taza de café caliente puesta en contacto con el exterior), pero aun así el proceso es irreversible porque la interacción con el entorno es irreversible (en el caso de la taza de café, porque existe una diferencia finita de temperaturas entre la café y el ambiente). Así, tenemos:

Irreversibilidad mecánica.- Puede ser:

a) Externa: Se deben a la transformación de trabajo en calor por la interacción del sistema con el entorno. El ejemplo más sencillo es la fricción. Consideremos el movimiento de ida y vuelta de un pistón en un cilindro, que roza tanto a la ida como a la vuelta. Es un proceso cíclico que transforma trabajo en calor. Su inversión significaría la transformación cíclica de calor en trabajo, lo que es imposible. Por ello, todo proceso mecánico que implique fricción (esto es, todos) es irreversible.

b) Interna: Se debe a la conversión de trabajo en calor en el interior del sistema. Puede ser por fricción interna. Otro ejemplo es la expansión libre de un gas (el experimento de Joule). No hay trabajo ni intercambio de calor con el sistema, pero el proceso es irreversible.

Irreversibilidad térmica.- Puede ser:

a) Externa: Se debe al intercambio de calor con el exterior de forma irreversible. El caso más importante es debido a una diferencia finita de temperaturas con el entorno. Su inversión implicaría que el calor debe pasar del cuerpo más frío al más caliente, lo que viola el enunciado de Clausius. Solo cuando es infinitesimal la diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno puede producirse una transferencia reversible de calor.

b) Interna: Debido a las transferencias de calor entre distintas partes de un mismo sistema.

Otras irreversibilidades: Aparte de las mecánicas y térmicas tenemos irreversibilidades químicas (debidas a las reacciones espontáneas), de mezclas y disoluciones, la producción de calor por efecto Joule, etc. Como vemos, son tantas las causas de irreversibilidad que es difícil imaginar un proceso reversible. Debe ser cuasiestático (para que el sistema esté siempre en equilibrio), sin fricción, manteniendo en todo momento la misma temperatura que el exterior, etc. Por ello los procesos reversibles son solo idealizaciones útiles.

8.15. TEOREMA DE CARNOT

El teorema de Carnot es un enunciado alternativo del Segundo Principio de la termodinámica, que se formula a partir de la comparación entre máquinas reversibles y máquinas irreversibles como: "El rendimiento de una máquina térmica M que opere entre dos focos no puede ser superior que el de una máquina reversible que opere entre los mismos focos"

M revη η

Cumpliéndose la igualdad si la máquina M es también reversible y la desigualdad si es irreversible. Puede demostrarse que el teorema de Carnot es equivalente al enunciado de Kelvin-Planck, aunque está formulado de una forma mucho más concreta que éste. El de Kelvin-Planck simplemente nos dice que no existe la máquina perfecta con rendimiento del 100%. El teorema de Carnot nos dice además que existe un máximo para ese rendimiento e incluso establece cómo hallar ese máximo. Basta con calcular el rendimiento de una máquina reversible que actúe entre las dos temperaturas indicadas. Máquinas reversibles puede haber muchas con diferentes soportes (solo gas, agua y vapor, materiales magnéticos,…) por lo que puede resultar sorprendente que el rendimiento de todas ellas sea el mismo si trabajan entre las mismas temperaturas.

8.16. APLICACIÓN A REFRIGERADORES Y BOMBAS DE CALOR

La aplicación del teorema de Carnot a un refrigerador establece que el COP máximo lo da un refrigerador que opere según un ciclo reversible, como el de Carnot. Este valor máximo es

f f

R máxc f c f

Q TCOP = COP =

Q - Q T - T

Para un frigorífico que mantiene los productos a 5°C en una habitación a 22°C este valor máximo es 16.4. Un frigorífico real posee un COP en torno a 4. Para una bomba de calor, el COP máximo lo da también una bomba reversible, siendo su valor máximo

c c

BC máxc f c f

Q TCOP = COP =

Q - Q T - T

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Una bomba de calor que mantiene una habitación a 22°C mientras el exterior está a 5°C tiene un coeficiente de desempeño máximo de 17.4 (uno más que para el frigorífico).

8.17 ENUNCIADO DE CLAUSIUS

El enunciado de Clausius del Segundo Principio de la Termodinámica prohibe la existencia de refrigeradores ideales: "Es imposible un proceso que tenga como único resultado el paso de calor de un foco frío a un foco caliente" Como el enunciado de Kelvin-Planck, el enunciado de Clausius está formulado de manera negativa. Expresa un hecho empírico. En términos llanos, el enunciado de Clausius nos dice que para enfriar algo por debajo de la temperatura ambiente es necesario un trabajo adicional, esto es, que un frigorífico no funciona si no se enchufa Puede demostrarse de forma sencilla que el enunciado de Clausius es equivalente al de Kelvin-Planck y al teorema de Carnot. El enunciado de Clausius establece un sentido para la propagación del calor. Éste fluye de los cuerpos calientes a los fríos, nunca a la inversa. Por ello, una diferencia finita de temperaturas implica siempre una irreversibilidad, ya que su inversión violaría el enunciado de Clausius.

8.18 PROCESOS REVERSIBLES E IRREVERSIBLES

Introducción Un proceso es reversible si, después de que ocurre, tanto el sistema como entorno pueden, por cualquier medio posible, regresar a su estado original. Cualquier otro proceso se conoce como irreversible. Los procesos reversibles son importantes porque proporcionan el trabajo Máximo para dispositivos que producen trabajo, y el trabajo mínimo de entrada a di positivos que absorben trabajo para operar. Para estos dispositivos y muchos otros, los procesos reversibles son normas de comparación. Para determinar si i proceso es reversible, es necesario aplicar la segunda ley. Muchos otros efectos tales como un flujo de corriente eléctrica a través de una resistencia son también irreversibles pero no se describen aquí. En todos los casos, la prueba de reversibilidad involucra la aplicación de la segunda ley de la termodinámica. 1.1. Ilustraciones Examinaremos los procesos irreversibles antes de los reversibles, por dos razones:

Primera, con frecuencia es más fácil demostrar que un proceso es irreversible, que hallar uno que sea reversible.

Segunda, una vez que se identifican cierto fenómenos irreversibles, con frecuencia podemos reconocer procesos reversibles simplemente por la ausencia de estos fenómenos irreversibles.

Cómo podemos identificar a los procesos irreversibles Recuérdese que si un proceso es reversible, entonces tanto el sistema como su entorno pueden ser regresados a sus estados iniciales. Sin embargo, si un proceso irreversible, el proceso inverso es imposible. Por consiguiente, podemos determinar si un proceso es reversible determinando si es posible el proceso inverso. Podemos demostrar que un proceso es imposible de la forma siguiente:

Suponer que el proceso es posible.

Combinar este proceso con otros procesos, que por experiencia se sabe que son posibles, para formar un ciclo que viola la segunda ley. Si puede idearse un ciclo de esta naturaleza, entonces la suposición paso 1 es falsa y el proceso en cuestión es imposible.

Considérese el proceso en que un gas en un tanque cerrado, rígido y térmicamente aislado es agitado por una rueda con paletas ver figura El sistema es gas dentro del tanque. La rueda con paletas es activada por la acción de un cuerpo que cae y que hace girar una polea en un eje. El movimiento de la rueda con paletas es resistido por fuerzas de corte en el gas, y por consiguiente el trabajo es realizado sobre el gas por la rueda con paletas. El gas cambia del estado A al estado B. La aplicación de la primera Ley muestra que durante este proceso aumenta la energía interna del gas. La temperatura del gas aumenta. 1.2. Proceso Reversible Si es reversible, entonces es posible restaurar tanto el sistema como su entorno a sus estados iniciales. Es decir, debe existir algún proceso por el que el cuerpo sea levantado a su posición inicial en tanto que la energía interna del gas y consiguiente su temperatura disminuya. 1.3. Cuáles Son Las Limitaciones No se hizo ningún cambio en el entorno excepto bajar el peso durante el proceso original. Por consiguiente, durante el proceso inverso no puede hacerse ningún cambio en el entorno excepto levantar cuerpo. Si este proceso inverso fuera posible, entonces el proceso de agitado es reversible. Es Posible Este Proceso Inverso Respondamos a esto suponiendo que el proceso inverso es posible. Luego, consideremos un ciclo compuesto de dos procesos.

Proceso 1. El proceso antes descrito, donde se eleva el peso conforme disminuyen la temperatura y energía interna del gas. El sistema cambia de un estado inicial B a u estado inicial A.

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Proceso 2. Es aquel en que se transfiere calor de algún reservorio de energía de temperatura constante en el entorno al gas, en tanto que la rueda con paletas está en reposo. Durante este proceso debe eliminarse parte del aislamiento térmico del tanque. Este proceso continúa hasta que el gas llega su temperatura inicial T.

Los resultados netos de este cielo son los siguientes:

el sistema ejecutó un ciclo y regresó a su estado inicial

el entorno cambió de dos formas

El peso está a un nivel más alto.

La cantidad de energía almacenada en el reservorio de energía disminuye. La aplicación de la primera ley muestra que la disminución de energía en el reservorio es igual al incremento de energía del peso. Por consiguiente el sistema es un dispositivo que opera en un cielo, intercambia calor con un solo reservorio y produce trabajo. Ésta es precisamente la clase de dispositivo que el postulado de Kelvin-Planck de la segunda ley declara como imposible. Puesto que el proceso 1 es imposible, el proceso original de agitado es irreversible. La única alternativa es que la segunda ley sea falsa, y contra esta alternativa hay una tremenda cantidad de experiencia. Mediante razonamientos similares a los que utilizamos en los ejemplos precedentes, puede demostrarse que los procesos que involucran la mezcla, la deformación inelástica de una sustancia, y ciertos otros efectos, son también irreversibles. Utilizamos esta información para concluir que un proceso reversible no debe involucrar

Fricción

Transferencia de calor a través de una diferencia de temperatura finita

Expansión libre

Mezclado

Deformación inelástica Muchos otros efectos (tales como un flujo de corriente eléctrica a través de una resistencia) son también irreversibles pero no se describen aquí. En todos los casos, la prueba de reversibilidad involucra la aplicación de la segunda ley de la termodinámica. Ahora identificaremos algunas características que son comunes a todos los procesos reversibles. Considérese en primer lugar un sistema compuesto de un gas atrapado en un cilindro equipado con un pistón sin fricción y hermético al gas. Supongamos que el cilindro y el pistón están hechos de un material que es un aislante de calor perfecto. Si se empuja lentamente el pistón hacia el cilindro, la presión y temperatura del gas se incrementan uniformemente en todo el gas. Una disminución muy pequeña en la fuerza externa del pistón permitirá que el gas se expanda y, si la expansión es muy lenta, la presión disminuirá uniformemente en todo el sistema. Para cada posición del pistón, la presión durante la expansión es la misma que durante la compresión. En consecuencia, el trabajo realizado por el gas durante la expansión es igual al trabajo realizado sobre el gas durante la compresión. Cuando el gas llega a su volumen inicial, el trabajo neto es cero. Además, no hay transferencia de calor. Por consiguiente, el entorno, así como el sistema, son devueltos a su estado inicial. En consecuencia, el proceso adiabático sin fricción y sumamente lento es reversible. En contraste, si se realiza la compresión adiabática mediante el movimiento rápido hacia dentro del pistón, el proceso no es reversible. Durante el proceso, la presión cerca de la superficie del pistón es más alta que en cualquier otro lugar del cilindro. Se inicia una onda de presión, y viaja a través del gas hasta que la presión se hace uniforme. Entonces, aun si el gas se expande lentamente a su volumen inicial, para cada posición del pistón, la presión cerca de la superficie del pistón es inferior a la que existía durante el proceso de compresión. El trabajo realizado durante la expansión es por consiguiente menor que el realizado sobre el gas durante la compresión. Al final del proceso de expansión, la energía almacenada del sistema es mayor de lo que era inicialmente; pero, dado que el volumen del sistema es igual a su valor inicial, el exceso de energía almacenada no puede eliminarse como trabajo, en tanto que el sistema se restaura a su estado inicial. Supongamos que el exceso de energía almacenada se elimina mediante una transferencia de calor del sistema al entorno mientras que el pistón está estacionario. El sistema ha sido devuelto ahora a su estado inicial. Volviendo ahora nuestra atención al entorno, vemos que se tomó trabajo del entorno para comprimir el gas. Quizás el trabajo fue realizado al hacer bajar un peso o al expandir un resorte en el entorno. Entonces, el sistema realizó menos trabajo sobre el entorno para elevar parcialmente el peso a su posición inicial, o para comprimir parcialmente el resorte. Finalmente, se transfirió calor al entorno. Para que el entorno sea devuelto a su estado inicial, este calor debe convertirse completamente en trabajo para elevar el peso o comprimir el resorte sin causar cualquier otro efecto. Cualquier dispositivo que pudiera realizar esta conversión violaría la segunda ley; por consiguiente, concluimos que el sistema y el entorno no pueden ambos ser restaurados a sus estados iniciales. Por consiguiente, es irreversible la compresión adiabática del gas durante la cual la presión no es uniforme en el gas. Otro ejemplo de un proceso reversible es el flujo estable, adiabático y sin fricción, de un fluido a través de una tobera. La aplicación de la primera ley a un sistema de este tipo demuestra que, conforme aumenta la energía cinética en la dirección del flujo, disminuye la entalpía. Si la tobera es seguida por un difusor sin fricción, como se muestra en la figura el fluido sufre un incremento en la entalpía y una disminución de energía cinética entre las secciones 2 y 3, y puede descargarse en un estado 3 que es idéntico al estado 1. Por consiguiente, luego de que ha ocurrido el proceso de la tobera, es posible restaurar el flujo del fluido y todas las partes del entorno a sus estados iniciales. Especificarnos anteriormente que los procesos reversibles deben realizarse lentamente, sin fricción, y con propiedades uniformes en todo el sistema, si se trata de un sistema cerrado. Éstas son también las condiciones para un proceso cuasiequilibrio. Si el sistema es abierto, un proceso reversible también debe satisfacer las condiciones de un proceso cuasiequilibrio. En consecuencia, todo proceso reversible debe ser un proceso cuasiequilibrio. El estudio de varios procesos reversibles e irreversibles, como los que describimos anteriormente, conduce a varias conclusiones en lo que se refiere a procesos reversibles:

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1. Un proceso reversible debe ser tal que, después de que ocurre, el sistema y el entorno pueden hacerse pasar, en orden inverso, por los estados por los que pasaron durante el proceso original. Todas las transformaciones de energía del proceso original se invertirían en su dirección, pero no se modificarían en forma o magnitud. 2. La dirección de un proceso reversible puede cambiarse haciendo cambios infinitesimales en las condiciones que lo controlan. 3. Durante un proceso reversible, el sistema y el entorno deben estar en todo momento en estados de equilibrio infinitesimalmente cercanos a los estados de equilibrio; es decir, el proceso debe ser cuasiequilibrio. 4. Un proceso reversible no debe involucrar fricción, expansión ¡limitada, mezcla, transferencia de calor a través de una diferencia de temperatura finita, o deformación inelástica. Un proceso reversible debe satisfacer cada una de las condiciones anteriores. Si no se satisface alguna de las condiciones anteriores, el proceso es irreversible. Por consiguiente, podemos aplicar estas condiciones para probar cualquier proceso por reversibilidad sin tener que pasar por la totalidad del proceso de razona- miento a partir del postulado de la segunda ley. El trabajo puede convertirse siempre a calor, pero la medida en que el calor puede convertirse a trabajo está siempre limitada. Por consiguiente, el trabajo es la forma de energía más valiosa en transición. Un proceso que utiliza trabajo para producir el mismo efecto que se produciría por una forma de energía menos valiosa, el calor, es en consecuencia indeseable. El lector puede demostrar que este proceso es siempre irreversible. Por ejemplo, considérese un proceso que hace pasar a un sistema cerrado de un estado 1 a un estado 2, ya sea por añadir calor, o por trabajo de entrada. El calor se añade de un solo reservorio. Si suponemos que el proceso es reversible, podría hacerse pasar al sistema del estado 1 al estado 2 mediante una entrada de calor, y luego devuelto al estado 1 en tanto que produciría trabajo en una cantidad igual a la entrada de calor. El efecto neto sería que el sistema ejecutara un ciclo en tanto que extrajera calor de un solo reservorio de energía, y produciendo una cantidad equivalente de trabajo. Esto sería una violación del postulado de Keivin-Planck de la segunda ley. Por consiguiente, nuestra suposición debe ser falsa y por lo tanto concluimos que un proceso producido por entrada de trabajo en lugar de entrada de calor es irreversible. Todos los procesos reales son irreversibles. Los procesos reversibles nunca ocurren. Sin embargo, los procesos reversibles son extremadamente útiles, y sirven como normas de comparación, puesto que con frecuencia es el caso límite de los procesos reales. Muchos procesos reales son difíciles de analizar completamente; por consiguiente, con frecuencia un ingeniero debe basar su análisis o diseño sobre procesos reversibles, y luego ajustar los resultados para aplicarlos a procesos reales. Esto es similar al uso de sistemas ideales en el análisis o el diseño de sistemas reales. Los ingenieros utilizan procesos reversibles de la misma forma en que utilizan masas de punto, poleas sin fricción, cuerdas sin peso y vigas homogéneas como idealizaciones para simplificar el análisis de sistemas y procesos reales. El concepto de proceso reversible es también importante porque permite la definición de una propiedad sumamente útil, la entropía, que se presentará en el capítulo 6. 1.5. Reversibilidad Interna y Externa Un proceso es irreversible si involucro transferencia de calor a través de una diferencia de temperatura finita entre el sistema y su entorno. Sin embargo, el sistema puede comportarse durante este proceso irreversible como si el calor fuera transferido reversiblemente a través de una diferencia de temperatura infinitesimal. Se dice que este proceso es internamente reversible, porque nada ocurre dentro del sistema para que éste sea irreversible, pero es externamente irreversible. Un proceso satisface nuestra definición de proceso reversible únicamente si es interna y externamente reversible. Los procesos adiabáticos e isotérmicos sin fricción descritos en la sección anterior, son interna y externamente reversibles. Un proceso que involucro fricción u otra irreversibilidad dentro del sistema, y también intercambia calor con el entorno a una temperatura diferente, es interna y externamente irreversible. Algunas relaciones desarrolladas para procesos reversibles involucran única- mente propiedades del sistema, y por consiguiente son válidas para procesos que son internamente reversibles, aun cuando sean externamente irreversibles. Como ejemplo, un gas que se expande en un proceso cuasiequilibrio en un cilindro contra un pistón en movimiento puede tener calor añadido a través de una diferencia de temperatura finita. Esta irreversibilidad externa no afecta de modo alguno ala relación pv, de forma que la relación:

W = p dv Sigue siendo vigente. La restricción sobre esta ecuación, así como sobre la relación análoga para un sistema de flujo estable,

W = p dv - A(v2/2) - gAz Ha sido que la ecuación se cumple para procesos cuasiequilibrio de sustancias simples compresibles. Ahora bien, a la luz de nuestra exposición, a partir de ahora la restricción "cuasiequilibrio" será sustituida por "internamente reversible". 1.6. Ciclos Reversibles Un ciclo compuesto enteramente de procesos reversibles se conoce como ciclo reversible. Si todos los procesos son sólo internamente reversibles, el ciclo es internamente reversible. Como ejemplo de un ciclo reversible, considere un gas ideal atrapado en un cilindro tras un pistón. (Çengel, Yunus, 2012) 1.7. Proceso de Cuasiestático o de Cuasiequilibrio Es un tipo de proceso en el cual el sistema alcanza sucesivos estados de equilibrio los cuales son infinitamente pequeños. Realmente este proceso no ocurre puesto que los efectos del desequilibrio son inevitables, sin embargo el interés en este tipo de proceso es por 2 motivos:

Sirve de proceso comparativo para los procesos reales.

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Mediante este concepto deducen las expresiones para calcular el cambio en las propiedades del sistema a través de un proceso.

1.8. El Proceso Cuasiequilibrio A cualquier transformación en un sistema, desde un estado de equilibrio a otro, se le conoce como proceso. Dicho en otras palabras, es el cambio de estado de una sustancia o un sistema, desde unas condiciones iniciales hasta unas condiciones finales por una trayectoria definida. Para describir completamente un proceso se requiere de los estados de equilibrio inicial y final, así como de la trayectoria o las interacciones del sistema con su entorno durante el proceso. En muchos procesos es común observar que una propiedad permanece constante, y para indicar esto se usa el prefijo Iso; por lo tanto, un proceso a temperatura constante se denomina isotérmico, uno a presión constante, isobárico, uno a volumen constante, isométrico o isicórico, uno a entalpía constante, isoentálpico, y uno a entropía constante, isoentrópico. En general los procesos dependiendo de sus características, trayectoria, o del comportamiento de las propiedades de la sustancia involucrada se pueden clasificar en procesos desarrollados con una propiedad constante y en procesos con características especiales. El primer grupo abarca los procesos Iso, y el segundo grupo enmarca los procesos Adiabáticos (Sin transferencia de calor a los alrededores) y politrópicos (donde ninguna propiedad permanece constante). Para el estudio de los procesos termodinámicos se considera que cualquier estado intermedio entre el inicial y el final se encuentra muy cerca al equilibrio, esto es lo que se denomina proceso en cuasiequilibrio o casi al equilibrio. 1.9. Máquinas De Movimiento Perpetuo

Las máquinas de movimiento perpetuo pueden clasificarse en tres clases:

Una máquina de movimiento perpetuo de la primera clase viola la primera Ley al operar en un ciclo y produciendo un trabajo neto de salida mayor que la cantidad neta de calor que entra a la máquina por consiguiente crea energía. Se han propuesto muchas máquinas de este tipo, y varias de éstas se patentaron, pero ninguna de ellas funciona realmente como una máquina de movimiento perpetuo de la primera clase.

Una máquina de movimiento perpetuo de la segunda clase viola la segunda ley cuando produce trabajo al operar cíclicamente e intercambiando calor únicamente con cuerpos a una temperatura fija única. Un dispositivo de esta clase no viola la primera ley.

No se crea ninguna energía, como sería el caso de la máquina de movimiento perpetuo de la primera clase. Sin embargo, este dispositivo es igual de valioso porque en la atmósfera o los océanos hay un suministro virtualmente ilimitado de energía como entrada para una máquina de este tipo.

Ocasionalmente, el nombre máquina de movimiento perpetuo de la tercera clase se aplica a dispositivos que, una vez puestos en movimiento, continúan moviéndose indefinidamente sin frenarse. Un trompo sobre un pivote sin fricción, o una rueda montada sobre rodamientos sin fricción son ejemplos de este tipo de máquina de movimiento perpetuo.

No violan la primera ni la segunda ley de la termodinámica pero requieren únicamente la eliminación de la fricción. Aunque nadie ha logrado eliminar totalmente la fricción en estos dispositivos, el grado en que puede reducirse la fricción, sin llegar a la completa eliminación, depende únicamente del tiempo y dinero disponible. Nótese que una máquina de movimiento perpetuo de la tercera clase no produce trabajo y, por consiguiente, no sería tan valiosa como una de la primera o de la segunda clase.

Conclusión

En esta pequeña investigación podemos concluir de la siguiente manera:

Es importante conocer que en un proceso reversible es posible restaurar tanto el sistema como su entorno a sus estados iniciales.

La aplicación de la primera ley muestra que la disminución de energía en el reservorio es igual al incremento de energía del peso del objeto.

La deformación inelástica de una sustancia, y ciertos otros efectos, son también irreversibles. Fricción, Transferencia de calor a través de una diferencia de temperatura finita, Expansión libre, Mezclado y Deformación inelástica

Si todos los procesos son sólo internamente reversibles, el ciclo es internamente reversible. Como ejemplo de un ciclo reversible, considere un gas ideal atrapado en un cilindro tras un pistón.

Una máquina de movimiento perpetuo de la segunda clase viola la segunda ley cuando produce trabajo al operar cíclicamente e intercambiando calor únicamente con cuerpos a una temperatura fija única. Un dispositivo de esta clase no viola la primera ley.

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA PROBLEMA 1 En el diagrama mostrado se tiene dos máquinas térmicas tipo Carnot que operan en tres focos de temperaturas. La primera es de 3000K, la segunda 1500K y la tercera es desconocida. Se pide calcular la temperatura de la tercera, en K, sabiendo que la eficiencia de la máquina 2 es la mitad de la máquina 1.

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T1=3000K

T2=1500K

T3=??K

M-1

M-2

PROBLEMA 2 En la máquina térmica mostrada. Determine si la máquina es irreversible; reversible o imposible.

TA=1000K

TB=400K

MT

QA=300KJ

QB=100KJ

W=200KJ

PROBLEMA 3 Una máquina de Carnot entrega un trabajo que es 0,4 veces el calor rechazado. Calcular la temperatura inferior “TB” sabiendo que la diferencia entre los límites es 20K.

PROBLEMA 4 Según la figura mostrada determine la máxima temperatura que puede tener el sumidero para que sean posibles los valores mostrados.

TA=773K

TB=??K

MT

QA=8000KW

QB=400KW

W=400KW

PROBLEMA 5 Determinar la eficiencia térmica de un ciclo de Carnot que opera entre 27ºC y 127ºC. Además si se quiere duplicar la eficiencia elevando la temperatura superior. ¿Qué valor debe tener esta nueva temperatura?

PROBLEMA 6 Una máquina térmica de Carnot opera entre una fuente de 1000K y un sumidero a 300K. Si a la máquina térmica se le suministra calor a razón de 900KJ/min. Hallar: a) Su eficiencia, en %. b) Su potencia de salida, en KW. PROBLEMA 7 El diagrama muestra dos motores térmicos ideales acoplados, hallar los calores cedidos a sus respectivos sumideros.

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T1=1000K

T2=600K

T3=200K

M-1

M-2

Q1=600cal

Q2

Q2

W1

W2

Q3

PROBLEMA 8 Tres máquinas térmicas reversibles trabajan en serie tal como se muestra en la figura. Si los rendimientos de cada máquina son iguales. Hallar T4 sabiendo que T1=4T3=800K. De la respuesta en K.

T1

T2

M-1

T3

T4

M-2

M-3

W1

W2

W3

PROBLEMA 9 Una máquina térmica de Carnot, recibe 1200KJ/min de calor desde un foco térmico que está a 727ºC y rechaza calor a un sumidero térmico que está a 17ºC. Determinar la potencia neta que entrega la máquina, en KW.

PROBLEMA 10 Un refrigerador de Carnot opera en un cuarto en el que la temperatura es de 27ºC. El refrigerador consume 600W de potencia cuando opera y tiene un COP de 5. Determinar: a) El trabajo neto que requiere el refrigerador, en J. b) La temperatura del espacio refrigerado, en

oC.

PROBLEMA 11 Una máquina térmica que cumple con la ley de Carnot funciona entre dos focos de 627ºC y 27ºC. Si el trabajo neto es 100J. Hallar el calor absorbido por el foco y el calor expulsado al sumidero. Considere 1J=0,24cal. De la respuesta en ambos casos en cal.

TA=900K

TB=300K

MT

QA

QB

WN=100J

PROBLEMA 12 La máquina térmica de la figura realiza el ciclo termodinámico mostrado absorbiendo el calor mostrado en la figura según el diagrama P-V. Considere 1cal=4,2J. Hallar: a) El calor que la máquina cede al sumidero, en cal. b) el rendimiento de la máquina, en porcentaje (%)

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FOCO

SUMIDERO

MT

QA=30cal

QB

WN

P(Pa)

V(m3)

3x105

1x105

5x10-5

26x10-5

PROBLEMA 13 Dos máquinas reversibles “R1” y “R2” se conectan entre dos fuentes de temperatura TA=625K y TB=225K, si QA=1250KJ. Determinar: a) El calor transferido al foco térmico de baja temperatura, si las eficiencias de las máquinas son iguales, en KJ. b) La temperatura a la cual el calor es cedido por “R1” y recibido por “R2”

PROBLEMA 14 Una máquina térmica produce 140KJ de trabajo. ¿Cuál debe ser la temperatura “T3” de la fuente fría para que esta máquina sea reversible? De la respuesta en Kelvin (K).

T1=400K T2=300K

T3=??K

R2

Q1=200KJ Q2=300KJ

Q3

W=140KJ

PROBLEMA 15 Dos máquinas térmicas reversibles trabajan entre los mismos límites térmicos, una desarrolla 50KJ y una eficiencia de 40%, la otra recibe 4200KJ del foco de alta temperatura. Determinar el trabajo desarrollado por la segunda máquina y el calor que cada una cede al foco de baja temperatura, en KJ.

PROBLEMA 16 Una máquina refrigeradora de Carnot tiene un coeficiente de performance β=2. Si se le invierte para que trabaje como ciclo de potencia y se le entrega 1200KJ de calor. ¿Qué trabajo producirá, en KJ?

PROBLEMA 17 En la máquina refrigeradora mostrada en la figura se pide calcular el calor cedido al foco térmico superior, el cual se encuentra a una temperatura de 400K.

400K

MR

250K 300K

QA

QB1=400KJ QB2

W=400KJ

1 2

PROBLEMA 18 Un refrigerador de Carnot trabaja entre los límites de temperatura de 300K y 500K. La potencia requerida por el refrigerador la suministra una máquina de Carnot que opera entre los límites de 1000K y 500K. Hallar la relación del calor absorbido por el refrigerador y el calor absorbido por la máquina térmica.

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PROBLEMA 19 A una máquina térmica de gas ideal de tres etapas le corresponde el diagrama P-V mostrado en la figura. Si T1=2T2; T2=2T3 y T3=2T4. ¿Cuál es el rendimiento de dicha máquina térmica?

P

V

T1

T2

T3

T4

1

2

3

5

7

4

6

8

PROBLEMA 20

El ciclo mostrado en la figura, indica dos procesos isotérmicos y dos procesos isobáricos. Hallar la eficiencia realizada por un gas monoatómico que sigue el ciclo. Considere ln(2)=0,69.

V

P

a b

cd

V/2 V

P

2P

PROBLEMA 21 Un gas monoatómico realiza el ciclo mostrado en la figura. Considere ln(2)=0,69. Hallar: a) El trabajo realizado por el gas durante el ciclo. b) La eficiencia del ciclo.

V

P

1 2

3

Vo 4Vo

P3

Po

adia

bátic

a

isoterma

2Vo

PROBLEMA 22 Una máquina térmica que trabaja de acuerdo al Ciclo de Carnot, recibe 800 calorías, parte de los cuales son rechazados a 27

oC. Si la eficiencia es 20%, determine la cantidad de calor rechazado.

PROBLEMA 23 Una máquina térmica sigue el ciclo que se muestra en la gráfica. En el proceso isotérmico "c→a" el gas desarrolla un trabajo de -0,6KJ. Determine su eficiencia, si en cada ciclo absorbe 1KJ de calor.

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V(10-2

m3)

P(103Pa)

a b

c

0,1 0,4

1

4

adia

bátic

a

isoterma

PROBLEMA 24 Una máquina térmica funciona según el ciclo que se muestra en la gráfica, donde TA>TC. Si la cantidad de calor (en valor absoluto) relacionado con los procesos AB, BC y CA son 5Q, 3Q y Q respectivamente, determine la eficiencia de la máquina térmica.

V

P

A

C B

isoterma

PROBLEMA 25 Una máquina térmica sigue el ciclo termodinámico que se muestra en la figura. Si la eficiencia de cada ciclo es de 40%, ¿qué energía absorbió en 100 ciclos consecutivos? Considere PV=1.

V(m3)

P(Pa)

V 2,5V

P

5P

PROBLEMA 26 Dos máquinas de Carnot funcionan entre los mismos límites de temperatura. La primera desarrolla una potencia de 60KW, disipando 7200KJ/min; la otra recibe 3600KJ/min del foco térmico de alta temperatura. Determine la potencia desarrollada por la segunda máquina.

TA

TB

I II

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PROBLEMA 27 ¿Qué cantidad de calor extrae y cede un refrigerador ideal de un sistema que está a -13

oC; si lo expulsa al medio

ambiente que está a 27oC; invirtiendo un trabajo de 50KJ? De la respuesta en KJ.

PROBLEMA 28 Un refrigerador cuyo freezer se mantiene a -15

oC tiene un coeficiente de rendimiento a 4. Si funcionó con 80KJ durante

cierto tiempo. ¿Qué calor extrajo y expulsó dicho refrigerador? De la respuesta en KJ.

PROBLEMA 29 Un refrigerador doméstico con un coeficiente de operación de 2 extrae calor del espacio refrigerado a una relación de 90KJ/min. Hallar: a) La potencia eléctrica consumida por el refrigerador, en KW. b) La transferencia de calor al aire, en KW.

PROBLEMA 30 Determinar el cambio en la entropía de un gas ideal que sufre una expansión libre cuadruplicando su volumen. Considere ln(2)=0,69. PROBLEMA 31 Se muestra un ciclo en el plano P vs V. Halle el trabajo neto que realiza el gas.

P

V

1500

800

O 0,2 0,5

A

PROBLEMA 32 Una máquina térmica desecha al sumidero una cantidad de calor equivalente a la mitad del trabajo que realiza, halle la eficiencia del motor. PROBLEMA 33 El calor que absorbe una máquina térmica es cuatro veces mayor que el trabajo que realiza. ¿Cuál es su eficiencia térmica? y ¿qué fracción del calor absorbido es desechado? PROBLEMA 34 Una máquina de Carnot con una eficiencia del 80%, realiza un trabajo de 1KJ. ¿Qué cantidad de calor (en KJ) es desechado hacia la fuente fría? PROBLEMA 35 Halle la eficiencia de una máquina térmica sabiendo que el calor que se desecha es el 80% del trabajo que realiza.

PROBLEMA 36 Un motor de gasolina recibe 8000J de calor y produce 2000J de trabajo por ciclo. El calor proviene de quemar gasolina con "calor de combustión" Lc=4,6x10

4J/g. ¿Qué masa; en gramos (g); de gasolina se quema en cada ciclo? Determine

su potencia; en Watts; si opera a 80 ciclos/s.

PROBLEMA 37 Se muestra una máquina térmica acoplada, determine la eficiencia neta si se sabe que: W1=100J; QB=200J y QC=150J.

TA

T2=600K

TC

M-1

M-2

QA

QC

QB

W1

W2

TB

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PROBLEMA 38 Una máquina térmica cuyo rendimiento es 46,6%, se acopla a otra máquina de rendimiento 25%, de manera que el calor liberado por la primera es absorbido por la segunda. Halle la eficiencia del sistema de máquinas.

PROBLEMA 39 Una máquina térmica reversible trabaja entre las temperaturas de 127

oC y 27

oC. Halle el rendimiento de la máquina.

PROBLEMA 40 En el diagrama se muestra una máquina térmica, determine si ésta es reversible o irreversible y cuál es su eficiencia. Considere que QA=300cal y QB=200cal. PROBLEMA 41 Una máquina térmica sigue el Ciclo de Carnot trabajando entre las temperaturas de 200K y 800K. Calcule el trabajo que realiza sabiendo que expulsa 120 calorías en cada ciclo. PROBLEMA 42 En un Ciclo de Carnot la expansión isotérmica del gas ideal ocurre a 400K y la compresión isotérmica a 300K. Durante la expansión isotérmica se comunica 500 calorías al gas. Hallar la cantidad de calor expulsado por el gas durante la compresión isotérmica. PROBLEMA 43 La temperatura de la caldera de una máquina de vapor es 500K y la de su condensador es de 300K, sabiendo que su rendimiento es el 20% de su rendimiento ideal. Calcule el rendimiento de la máquina. PROBLEMA 44 Un reservorio térmico a 1000K transfiere 125400J de calor a una máquina térmica de Carnot, durante un ciclo termodinámico. Si el trabajo neto de la máquina es 2x10

4J, la temperatura en K, aproximadamente, es:

PROBLEMA 45 La temperatura de escape de una máquina térmica es 290

oC. ¿Cuál debe ser aproximadamente la temperatura (en

oC)

de la fuente que proporciona el calor si la eficiencia de Carnot de la máquina debe ser de 30%? PROBLEMA 46 La temperatura del foco frío de una máquina térmica reversible con un rendimiento del 24% es 107

oC y en cada ciclo la

máquina cede 100 Kcal a dicho foco frío. ¿Cuál es el calor cedido por el foco caliente? ¿Cuál es la variación de entropía del foco caliente en cada ciclo de funcionamiento? PROBLEMA 47 Para resolver el problema de la calefacción de un edificio que tiene una pérdidas de 8KW, un inventor asegura que ha diseñado un sistema de bomba de calor capaz de mantener una confortable temperatura de 22

oC en invierno,

extrayendo energía de un lago próximo cuyas agua se encuentran a una temperatura de 2oC, todo ello gastando sólo

0,5KW en el funcionamiento de la bomba de calor. ¿Merece la pena acometer la fabricación del invento?

CONDENSADOR

EVAPORADOR

W

ESTE ES EL RECINTO QUE HAY QUE

MANTENER A LA TEMPERATURA DE

22OC

VÁLVULACOMPRESOR

Ta

Qb

Qa

PROBLEMA 48 Un frigorífico doméstico que debe mantener el congelador a una temperatura de -18

oC funciona con un COP igual a la

tercera parte del máximo posible. La potencia consumida es de 2 KW. Puede suponerse que el ambiente que lo rodea está a una temperatura fija de 20

oC. ¿Qué energía se está extrayendo del congelador?

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CONDENSADOR

EVAPORADOR

W

VÁLVULACOMPRESOR

ESTE ES EL RECINTO QUE HAY QUE

MANTENER A LA TEMPERATURA DE

-18OC

Qa

Qb

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Capítulo 9

TRANSFERENCIA DE CALOR

Las leyes de la Termodinámica tratan de la transferencia de energía pero solo se refieren a sistemas que están en equilibrio. Por ello, permiten determinar la cantidad de energía requerida para cambiar un sistema de un estado de equilibrio a otro pero no sirven para predecir la rapidez con que puedan producirse estos cambios. La transferencia de calor complementa la primera y la segunda ley, proporcionando los métodos de análisis que pueden utilizarse para predecir esta velocidad de transmisión. Ejemplo: Calentamiento de una barra de acero colocada en agua caliente: ―Con la Termodinámica se predicen las temperaturas finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad de energía transferida entre los dos estados de equilibrio inicial y final. Con la Transferencia de Calor se puede predecir la velocidad de transferencia térmica del agua a la barra así como la temperatura del agua en función del tiempo‖. La Transferencia de Calor puede ser por conducción, convección y radiación.

9.1 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN

Cuando en un medio sólido existe un gradiente de temperatura, el calor se transmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura. El calor transmitido por conducción por unidad de tiempo qk es proporcional al gradiente de temperatura dT/dx multiplicado por el área A a través del cual se transfiere es decir:

Convenios del signo Fig. 4.13 Representación del convenio del signo

k

dTq . .A.

dx

T: temperatura; x: dirección del flujo de calor El flujo de calor depende de la conductividad térmica k que es la propiedad física del medio [W/m K], luego se tiene:

k

dTq = -k.A. (Ley de conducción de Calor de Fourier)

dx

9.2 CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE UNA PARED PLANA

El calor fluye en dirección perpendicular a la superficie. Si la conductividad térmica es uniforme, la integración de la ecuación queda como:

2 1 1 2k.A k.A

q = - . T -T = . T -T 4.3 k L L

Fig. 4.14 Sección transversal de una pared plana

9.3 CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE PAREDES PLANAS EN SERIE

En estado estacionario el flujo de calor a través de todas las secciones debe ser el mismo. Sin embargo, los gradientes son distintos

1 2 2 3 3 4 kA B C

k.A k.A k.Aq = . T -T = . T -T = . T -T

L L L

Fig. 4.15 Conducción unidimensional a través de paredes planas en serie A partir de la ecuación anterior se tienen las siguientes relaciones

2 k 3

B

3 k 4C

LT = q . + T

A.k

LT = q . + T

A.k

Sustituyendo las siguientes ecuaciones se tine:

1 k k 4kA B C

k.A L Lq = . T - q . + q . + T

L k.A k.A

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Luego el flujo de calor será:

1 4k

A B C

T - Tq =

L L L + +

k.A k.A k.A

Para un conjunto de n paredes en perfecto contacto térmico, el flujo de calor es:

1 n + 1nk

ii=1

T - Tq =

L

k.A

9.4 ANALOGÍA ELÉCTRICA DE LA CONDUCCIÓN

Utiliza los conceptos desarrollados en la teoría de los circuitos eléctricos y con frecuencia se llama analogía entre el flujo de calor y la electricidad. La combinación L/kA equivale a una resistencia y la diferencia de temperatura es análoga a una diferencia de potencial. La ecuación puede escribirse en una forma semejante a la ley de Ohm de la teoría de los circuitos eléctricos

kk

ΔTq =

R

En donde:

1 2

k

ΔT = T - T es un potencial térmico

LR = es una resistencia térmica

k.A

El recíproco de la resistencia térmica se denomina conductancia térmica:

k.A

L

Para tres secciones en serie:

kA B C

ΔT q =

R + R + R

1 4 A B CA B C

L L Len donde ΔT = T - T R = ; R = ; R =

k.A k.A k.A

9.5 MATERIALES DISPUESTOS EN PARALELO

El análisis del circuito supone que el flujo es unidimensional

Fig. 4.16 Analogía eléctrica para paredes en paralelo

k 1 2 q = q + q

1 2 1 21 2k

1 2

1 2

T - T T - T 1 1q = + = + T - T

L L R R

k.A k.A

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Resistencia equivalente

9.6 RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies conductoras distintas se sitúan en contacto, aparece generalmente una resistencia térmica en la interfase de los sólidos. Esta resistencia, llamada resistencia de contacto, se desarrolla cuando los dos materiales no se ajustan exactamente y por ello entre ambos queda atrapada una delgada capa de fluido. A través de los puntos de contacto del sólido, el calor se transmite por conducción mientras que a través del fluido de la interfase el calor se transmite por convección y radiación.

9.7 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

La conductividad térmica de un material varía con la temperatura. Los gases tienen conductividad térmica mas baja que los líquidos. Los metales como el cobre y el aluminio tienen conductividad térmica alta.

9.8 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN

Cuando un fluido se pone en contacto con una superficie sólida a una temperatura distinta, el proceso resultante de intercambio de energía térmica se denomina transferencia de calor por convección. Hay dos tipos de procesos de convección: convección libre o natural y convección forzada. En el primer caso la fuerza motriz procede de la diferencia de densidad en el fluido que resulta del contacto con una superficie a diferente temperatura y da lugar a fuerzas ascensionales. En el segundo caso una fuerza motriz exterior mueve un fluido sobre una superficie a una temperatura mayor o inferior que la del fluido. Para una u otra forma de transferencia de calor por convección, la cantidad de calor es:

. c s f,cq = h A. T - T Ley de Newton del enfriamiento

Donde

ch Conductancia convectiva o coeficiente de Transferencia de calor por convección en la interfase

líquido-sólido.

A: área superficial en contacto con el fluido en m2:

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Ts: Temperatura de la superficie, K Tf: Temperatura del fluido no perturbado lejos de la superficie transmisora del calor El coeficiente de transferencia de calor por convección depende de la densidad, viscosidad y velocidad del fluido, así como de sus propiedades térmicas (conductividad térmica y calor específico). La resistencia térmica en la transferencia de calor por convección viene dada por:

.c

c

1R =

h A

Analogía eléctrica para la convección

9.9 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

Por radiación la energía se transporta en forma de ondas electromagnéticas que se propagan a la velocidad de la luz. La radiación electromagnética que se considera aquí es la radiación térmica. La cantidad de energía que abandona una superficie en forma de calor radiante depende de la temperatura absoluta y de la naturaleza de la superficie. Un radiador perfecto o cuerpo negro emite una cantidad de energía radiante de su superficie por unidad de tiempo qr dada por la ecuación

4

rq = .A.T

donde es la constante de Stefan- Boltzman = 5,67x 10- 8 W / Mζ ζ

Para evaluar la transferencia neta de energía radiante requiere una diferencia en la temperatura superficial de dos o más cuerpos entre los cuales tiene lugar el intercambio. Si un cuerpo negro irradia a un recinto que lo rodea completamente y cuya superficie es también negra (es decir absorbe toda la energía radiante que incide sobre él, la transferencia neta de energía radiante por unidad de tiempo viene dada por

r4 4q = .A. T - T1 2

T1: Temperatura del cuerpo negro en Kelvin T2: Temperatura superficial del recinto en Kelvin Si a una temperatura igual a la de un cuerpo negro emiten una fracción constante de la emisión del cuerpo negro para cada longitud de onda, se llaman cuerpos grises. Un cuerpo gris emite radiación según la expresión

4

rq = . .A.Tε ζ

El calor radiante neto transferido por unidad de tiempo por un cuerpo gris a la temperatura T1 a un cuerpo negro que le rodea a la temperatura T2 es:

4 4r 1 1 1 2

q = . .A . T - Tε ζ

Donde ε1 es la emitancia de la superficie gris, igual a la relación entre la emisión de la superficie gris y la emisión de un radiador perfecto a la misma temperatura. Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto, pero poseen entre sí una determinada relación geométrica, el calor radiante neto transferido entre ellos viene dado por

4 4r 1 1-2 1 2

q = .A . F T - T ζ

Donde F1-2 es un módulo que modifica la ecuación de los radiadores perfectos para tener en cuenta las emitancias y las geometrías relativas de los cuerpos reales.

9.10 ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN

tx y z

2 2 2

=G2 2 2

T T T Tk. + + + q .c.

231

1) Cantidad neta de calor que entra en el volumen de control por conducción en la unidad de tiempo y por unidad de volumen. 2) Cantidad de energía generada en la unidad de tiempo y por unidad de volumen en el interior del volumen de control.

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3) Aumento de la energía interna en la unidad de tiempo en el interior del volumen de control. La ecuación se puede expresar como:

x y z

2 2 2GT T T q 1 T

+ + + = . 4.252 2 2 k tα

Donde a es la difusividad térmica y se expresa como:

k

= 4.26.c

αρ

En coordenadas cilíndricas: T=T(r; f ;z ; t)

. . .

2 2G

2 2 2

1 1 T T q 1 TT r. + + + = . 4.27

r r k tr r z α

En coordenadas esféricas: T=T(r; q ; f ; t)

. . . sen . ..sen .sen

2G2

2 2 2 2 2

1 1 1 T q 1 TT T r . + . + + = . 4.28

r k trr r rθ

θ αθθ θ θ

9.11 FLUJO DE CALOR A TRAVÉS DE UN CILINDRO HUECO

Calor por conducción en un cilindro hueco.

Consideraciones: La distribución de temperaturas es función únicamente de ―r‖ T=T( r ) k es constante q

,,,G es igual a cero

Luego para las condiciones de frontera se tiene:

i 0i 0T r = T T r = T

De la ecuación de conducción (4.27)

d. .

d

luego: .

1

1 i 2

1 TT r. = 0 r. = C

r r rr

T = C ln r + C 4.29

Si se sustituyen las condiciones de frontera se obtienen dos ecuaciones

.

.

ii 1 2

0 1 0

T = C ln r + C

T = C ln r + C

Resolviendo se consigue:

ii

0 i 0

i

rln

rT- T = 4.30

T - T rln

r

Una vez conocida la distribución de temperaturas, con la ley de Fourier en coordenadas cilíndricas, se determina la transferencia de calor.

Fig. 4.20. Calor por conducción en una esfera hueca

d d

. .d d

T Tq = - k.A r = - k. 2. rL 4.31

r rπ

i 0

0

i

T - Tq = 4.32

rln

r2. kLπ

El denominador de esta ecuación corresponde a la resistencia térmica

9.12 FLUJO DE CALOR A TRAVÉS DE UNA ESFERA HUECA

Se considera flujo estable en la dirección r y la ecuación 4.28 quedaría expresada como

. .

22

1 T r . = 0 4.33

r rr

Esta expresión se puede escribir como:

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d.

d

2

2

rT1 = 0 4.34

r r

Consideraciones: La distribución de temperaturas es función únicamente de r T=T( r ) k es constante q

,,,G es igual a cero

Luego para las condiciones de frontera se tiene:

i 0i 0T r = T T r = T 4.35

De la ecuación 4.34 se tiene que 1/r no puede ser cero, luego

d d

dd

2

2 1

rT rT = 0 = C 4.36

rr

Integrando nuevamente la ecuación 4.36

1 2rT = C .r + C 4.37

Resolviendo para las condiciones de frontera, se tiene la siguiente expresión para la distribución de temperaturas

.

i 0 i

0 i 0 i

T- T r r = 1 - 4.38T - T r - r r

Una vez conocida la distribución de temperaturas con la ley de Fourier se determina la transferencia de calor

i 0

0 i

0 i

T - Tq = 4.39

r - r4. k.r .rπ

0 i

0 i

r - rDonde Ri = es la resistencia térmica.

4. k.r .rπ

9.13 COEFICENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Cuando en un problema de transferencia intervienen varias resistencias térmicas en serie, en paralelo, o en combinación de ambas formas, es conveniente definir un coeficiente de transferencia de calor global o conductancia global.

total

q = U.A T 4.40

PROBLEMAS 1) Una chimenea de hormigón armado con diámetro interior D2 = 800 mm, diámetro exterior D3 = 1300 mm, debe ser revestida por dentro con refractario. Determinar el espesor del revestimiento y la temperatura T3 de la superficie exterior de la chimenea, partiendo de la condición de que las pérdidas de calos de un metro de la chimenea no excedan de 2000 W/m, y de que la temperatura T2 de la superficie interior de la pared de hormigón armado no supere 200 °C. La temperatura de la superficie interior del revestimiento es de T1= 425 °C; el coeficiente de conductividad térmica de revestimiento es K1 = 0.5 W/m°C; el coeficiente de conductividad térmica del hormigón es K2 = 1.1 W/m°C.

.

. .

luego:

1 2

2

1

1 22 2

1 1

2 21

1 1

2 1

T - T 2. kq = L r

lnr

T - T 2. k 425 - 200 2. 0,5r r ln = = ln = 0,353429

qr 2000 r

Lr d 800

= = 1,424 d = = 561,4r d 1,424

d - d 800 - 561,8 = =

2 2

π

π π.

calculando la

.. .

3

3

2 3 23 2 3

23

2

o3

= 119 mm

T :

r 1300ln ln

T - T 2. k rq q 800 = T = T - T = 200 - 2000

L L 2. k 2. 1,1rln

r

T = 59,5 C

π

π π.

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2) Calcular las pérdidas de calor de 1m de una tubería no aislada con diámetro d1/d2 = 150/165 mm tenía al aire libre cuando por el interior de ésta corre agua con una temperatura media T1 = 90°C y la temperatura ambiente Ta = -15°C. El coeficiente de conductividad térmica del material del tubo es K = 50 W/m°C. El coeficiente de transferencia de calor para el agua y el tubo es 1000 W/m

2°C y el del tubo y el ambiente es

12 W/m2°C. Determinar también las temperaturas en las

superficies interior y exterior del tubo.

. .

luego:

1 4

2 2

1 1

c1 c2 1 2

1 2

90 - -15T - T q = q =

r dln ln

r d1 1 1 1 + + + +

h .A 2. k L h .A 1000 d L 2. 50 L 12 d L

105 W q = q = 643,43 m1 1

+ 0,0003033 + 471,24 6,2204

T - T q =

1

471,24

π . . . π. . . .

o o2 3 T = 88,63 C y T = 88,44 C

1) TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN La transferencia de calor por convección de un cuerpo comprende el movimiento de un fluido (líquido o gas) en relación con el cuerpo. 2) CONVECCIÓN NATURAL Ocurre debido a diferencias de densidad en el fluido provocadas por un cuerpo a una temperatura diferente que la del fluido que intercambia calor con él. Estas diferencias de densidad provocan una acción de bombeo del fluido con relación al cuerpo. 3) DETERMINACION DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR COVECCIÓN NATURAL La evaluación del coeficiente de transferencia de calor h es bastante difícil puesto que por lo regular comprende fenómenos físicos muy complejos. Usando las técnicas del análisis dimensional puede demostrarse que los parámetros comprendidos en la transferencia de calor por convección natural pueden expresarse según

a b

r ruN = A G P 4.41

Donde:

.

u

pr r

3 2

r r 2

h.L h.DN : Número de Nusselt Nu = = 4.42

k kC .

P : Número de Prandtl P = 4.43k

g.β. ΔT L .ρG : Número de Grashof G = 4.44

μ

μ

En estas ecuaciones las variables son

A,a,b : constantes dependientes del sistema en consideración

b: coeficiente de expansión

r: densidad

m: viscosidad

g: aceleración de la gravedad

D: diámetro

L: longitud

Cp: Calor específico a presión constante La capa límite del fluido será laminar o turbulenta y esto a su vez afectará las constantes de la ecuación 4.41. Para calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección natural, se usa: 4) CONVECCIÓN FORZADA El flujo de convección forzada puede ser laminar o turbulento, interior o exterior a la tubería e involucrar cambios de fase tales como cuando un fluido está calentándose. Solo se estudiará la situación en la que se tenga un líquido o un gas que fluye en el interior de un tubo en un flujo turbulento.

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5) DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN FORZADA Las tablas ( Viscosidad de agua saturada, viscosidad de aire seco ): Dan la viscosidad del agua y el aire y se usan para verificar el número de Reynolds y asegurar que el flujo es turbulento. Es un factor de corrección para la variación del diámetro interior desde 1 pulgada. El coeficiente de transferencia de calor buscado h es entonces simplemente igual a F.h1

PROBLEMAS 1) Por una tubería de 150 m circulan 0.63 kg/s de vapor húmedo con calidad 10% a una temperatura de 250 °F. El diámetro interior de la tubería es 4‖. A la salida de la tubería se tiene líquido saturado. Calcular la temperatura de la superficie interior del tubo. De la tabla de vapor húmedo

.

-4

1 f i 1 2 o

o oe e

1lbm = 0, 45339 kg

1pulg = 2,54 cm

1Joule = 9,478 x 10 BTU

BTU q = h . F. A. T - T ; h = 1500 ; F = 0,08

hr.ft . F kJ

250. F= 121,11 C; h = 0,9 x 508,43 + 0,1x 2707,9 h = 728,377 kg

q = m.

3e s

3

h - h = 0,63. 728,38 - 508,43 q = 138,57x10 W

Convirtiendo a BTU/hora:

Joule q = 138,57x10

s

sx 3600 -4 BTU

x 9,478 x 10 h Joule

2i

oi f i i

1

BTU q = 472812

h15000 4

A = L. . D = x . A = 515,35 ft 2,53x12 12

q 472812 T = T - T = 250 - T = 242,35 F

h .F.A 1500 . 0,08 . 515,35

π π

120 503,71 2706,3

121,11 508,43 2707,9

125 524,99 2713,5

2) Por una tubería de plástico (K = 0.5 W/mK) circula un fluido de modo que el coeficiente de transferencia de calor por convección es 300 W/m

2K. La temperatura media del fluido es 100°C. La tubería tiene un diámetro interno de 3 cm y un

diámetro externo de 4 cm. Si la cantidad de calor que se transfiere a través de la unidad de longitud de tubería por unidad de tiempo es 500 W/m, calcular la temperatura de la superficie exterior de la tubería. Hallar el coeficiente de transferencia térmica global U basado en el área de la superficie exterior de la misma.

.

1 2 1 2

2 2

1 1

i ic i c i

o22

o o

c

q T - T q T - T q = = q = =

r rL Lln lnr r1 1

+ + 2. .k L 2. .kh .2. .r h .2. .r

100 - T500 = T = 36,5 C = 309,7K

2ln1 1,5

+ 300 . 2. . 0,015 2. . 0,5

T U .A . T=

1

h .2. .r

π ππ π

π π

ΔΔ

π

.

..

o 22

1

11

o o2

212

1c 1

o 2

; donde: A = 2. .r Lr

lnr

+ 2. .k LL

1 1 U = U =

r 20,02.lnr .ln 2 1,5rr + +

300 . 1,5 0,5hh .r

W U = 62,69

m .K

π

π

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.

1 2 1 2 2

2 2

1 1

i ic i c i

o2

o o

c 1

q T - T q T - T 100 - T q = = q = = 500 =

r rL L 2lnln ln 1 1,5r r1 1 + + +

300 . 2. . 0,015 2. . 0,52. .k L 2. .kh .2. .r h .2. .r

T = 36,5 C = 309,7K

T U .A . T=

1

h .2. .r

π ππ ππ π

ΔΔ

π

.

..

o 22

1

1

o o2

212

1c 1

o 2

; donde: A = 2. .r Lr

lnr

+ 2. .k LL

1 1 U = U =

r 20,02.lnr .ln 2 1,5rr + +

300 . 1,5 0,5hh .r

W U = 62,69

m .K

π

π

6) TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN La transmisión de calor por radiación se caracteriza porque la energía se transporta en forma de ondas electromagnéticas, que se propagan a la velocidad de la luz. El transporte de energía por radiación puede verificarse entre superficies separadas por el vacío. El sol por ejemplo, transmite energía a la Tierra enteramente por radiación a través de millones de kilómetros de espacio vacío. Un cuerpo negro se define como aquel que emite y absorbe la máxima cantidad de energía a una temperatura determinada. Los cuerpos reales reflejan radiación térmica en la misma forma en que la absorben y la transmiten. Los metales muy pulidos son buenos reflectores de la radiación térmica.

Reflectividad: (r) Es la fracción de calor incidente sobre el cuerpo que se refleja.

Absortividad: (a) Es la fracción que se absorbe.

Transmisividad: (t) Es la fracción de energía incidente transmitida a través del cuerpo.

Emisividad: (ε) Es la efectividad del cuerpo como un radiador térmico a una temperatura. Es la relación de la emisión de calor a una temperatura dada a la emisión de calor desde un cuerpo negro a la misma temperatura.

7) INTERCAMBIO NETO DE CALOR POR RADIACIÓN ENTRE DOS CUERPOS A DIFERENTES TEMPERATURAS Para calcular esta transferencia de calor se puede escribir

.......4 41 2r e Bq = ζ.A.F .F . T -T 4.45

a) INTERCAMBIADORES DE CALOR Los intercambiadores están diseñados para realizar una función específica. Las plantas de generación a vapor usan condensadores, economizadores, calentadores de agua de alimentación, recalentadores, etc. En los intercambiadores la temperatura de uno o ambos fluidos varía en forma continua a medida que los fluidos se transportan a través del intercambiador de calor. Para los intercambiadores de calor, la ley de Newton del enfriamiento es

...... mq = U.A. T 4.46

U: Coeficiente de transferencia de calor total A: Superficie de transferencia de calor DTm: Diferencia de temperatura media

Intercambiadores de calor

Como el coeficiente U no es constante para todas las partes del intercambiador, conviene evaluarlo con base en la media aritmética de las temperaturas de los fluidos. Por analogía con la convección, se tiene 1/UA igual a la resistencia. La diferencia de temperatura media logarítmica se expresa como

A Bm

A

B

θ -θΔT = 4.47

θln

θ

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Otros b) Intercambiadores de calor El problema de calcular la transferencia de calor en los intercambiadores de calor, es que la temperatura de uno o ambos fluidos varía en forma continua a medida que los fluidos se transportan a través del intercambiador de calor. Esto puede observarse en la Figura 4.23, en la que se han trazado en forma gráfica las temperaturas del fluido como una función de la superficie de transferencia de calor para los casos más comunes de flujo paralelo, contraflujo y para un fluido a temperatura constante. El subíndice h denota fluido caliente y el subíndice c, fluido frío. El subíndice 1 denota la temperatura a la entrada de un fluido al intercambiador de calor y 2 representa la temperatura del fluido a la salida del mismo. La dirección de flujo de cada fluido a través del intercambiador se muestra mediante flechas sobre las curvas de temperatura. La diferencia de temperatura más grande entre los fluidos en la unidad (tanto a la entrada como a la salida) se designa como q A, y la diferencia de temperatura menor entre los fluidos (tanto a la entrada como a la salida) se designa como qB. (Çengel, Yunus, 2012)

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Temperatura de los fluidos en diferentes intercambiadores de calor

PROBLEMAS 1) En un horno de 1 m

3, las paredes verticales están hechas de un material

aislante. La resistencia eléctrica fue colocada en la superficie inferior produce una potencia total de 60 W siendo su temperatura 328 K. Determine la temperatura de la cara superior del horno.

ε ε

luego:

A

B 1 2

B

-3 42

2

F = 0,5

F = x = 0,9 x 0,9

F = 0,81

60 = 5,669x10 x1x0,5x0,81. 3284 - T

T = 307,7 K

2) Se necesita conocer la cantidad de calor que una pared de un cuarto irradia sobre el piso. La temperatura de la pared es de 50°C y la del piso 27°C. La dimensiones de la pared son 3 x 6 m y la del piso 6 x 9 m. La emisividad de la pared es 0.8 y la del piso 0.6.

ε ε ε

luego:

4 41 2r piso A B

1 2 A

-8 4 4r

r

q = ζ.A .F .F . T -T

F = . F = 0,1

y 9Y= = Y= 1,5

x 6

z 3Z= = Z= 0,5

x 6

q = 5,67x10 .6x 9 x 0,1 x 0,8 x 0,6. 323 - 300

q = 409 W

INTERCAMBIADORES DE CALOR

PROBLEMAS 1) Un condensador opera con vapor condensante en el lado de la coraza a 27°C. El agua de enfriamiento entra a 5°C y sale a 10°C. Si el coeficiente total de transferencia de calor es de 5000 W/m

2°C con base en la superficie del tubo

exterior. Determine la transferencia de calor por metro cuadrado de superficie de tubo exterior.

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luego:

m m

o oA Bm A B

A

B

om m

qq = U.A. T = U. T

A

θ - θ T = = θ = 22 C y θ = 17 C

θln

θ

22 - 17 T = T = 19,327 C .........(1)

22ln

17

q = 5000 x 19,327 q = 96963,5 W

2) En un intercambiador tubular de calor tipo vapor-agua el vapor de agua seco y saturado cuya presión es P = 3.5 x 10

5 Pa, se condensan en la superficie exterior de los tubos. El agua, que circula por los tubos se calienta desde 20°C

hasta 90°C. Determinar: a) La temperatura media logarítmica en este intercambiador de calor. b) El gasto de vapor en el intercambiador vapor-agua si el gasto del agua es 8 t/h. Suponer que no existe subenfriamiento del condensado.

luego:

o

A Bm m m

A

B

o oA B

m

m

P = 0,35 MPa ; T = 138,88 C

q θ - θq = U.A. T = U. T T = =

A θln

θ

θ = 138,88 - 20 C y θ = 138,88 - 90 C

138,88 - 20 - 138,88 - 90 T =

138,88 - 20ln

138,88 - 90

T = 78,

o

f vp f i fg

3f p f i

v v vfg

76 C .........(1)

. . .C . T - T = . hm m

.. . ..C . T - T 8 x 10 .4,2. 90 - 20m kg

= = = 1095 m m mh 2148,10 h

PROBLEMAS SOBRE CONDUCCIÓN 1) La pared del hogar sin protección de una caldera de vapor está fabricada de chamota alveolada con espesor 125 mm. Y de una capa de ladrillo rojo cuyo espesor es 500 mm. Las capas están bien ajustadas entre sí. La temperatura en la superficie interior del hogar es 1100 ºC y en la superficie exterior 50 ºC. El coeficiente de conductividad térmica de la chamota alveolada es k1=0.28+0.00023T y el ladrillo rojo k2=0.7 W/mºC. Calcular las pérdidas de calor a través de 1m

2 de la pared del hogar y la temperatura en la superficie de contacto de las

capas. 2) Un depósito está formado por una sección central cilíndrica con dos semiesferas en sus extremos. El depósito contiene un fluido caliente que mantiene la superficie interior del depósito a una temperatura de 350 º C. El depósito está fabricado con acero inoxidable, k=14.4 W/m.K, con un espesor de 2.5 cm. El diámetro exterior de la sección cilíndrica es 2 m. y su longitud es de 2 m. El aire que rodea el depósito tiene una temperatura ambiente de 25 ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre el aire y el depósito es 7 W/m

2. K. Determinar la cantidad de calor que deberá adicionarse al fluido que

hay dentro del depósito para mantener su temperatura. Suponer que a través del depósito solo existe conducción radial 3) Una esfera hueca está fabricada de aluminio, (k=202 W/m ºC) con un diámetro interior de 4 cm. Y un diámetro exterior de 8 cm. La temperatura interior es de 100 ºC. La esfera está recubierta por una capa de 1 cm de un material aislante con k=50W/mºC y el exterior del aislante está expuesto a un entorno con h=20 W/m

2ºC y T ¥ =10 ºC. Calcule la transferencia de calor estas condiciones.

4) Una varilla cilíndrica larga de 4 cm de diámetro tiene una temperatura superficial de 200 ºC. La varilla está recubierta con dos tipos diferentes de aislante como se indica en la figura. El plano que separa los dos materiales está

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perfectamente aislado. El espesor de ambos aislantes es de 5 cm. kA=5 W/m K y kB=10 W/m K. La superficie exterior de los sistemas está rodeada por aire a 20 ºC para el cual h=15 W/m

2 K. Considere únicamente conducción radial

estacionaria. Dibujar el circuito térmico e identificar todas las resistencias. Determinar la transferencia de calor total por unidad de tiempo desde la varilla y por unidad de longitud de la misma. Determinar la temperatura de la superficie exterior de ambos aislantes PROBLEMAS SOBRE CONVECCIÓN 1) Un tubo horizontal desnudo con un diámetro exterior de 6 pulgadas tiene su superficie exterior a 140 ºF en un cuarto en el que la temperatura del aire es 65ºF. Determine el coeficiente de transferencia de calor por convección en el lado externo del tubo y la transferencia de calor por cada metro de tubo. 2) Una pared de dimensiones 2.75x2.75 m tiene una temperatura externa de 32,6ºC. La temperatura interna es de 100ºC. El aire atmosférico se encuentra a 27ºC. Calcule la conductividad térmica de la pared en BTU/h.pieºF, si el espesor de la pared es de 10 cm. 3) Agua a una temperatura media de 38ºC y viscosidad absoluta de 6.10

-4Pa.s, fluye a través de un tubo de 2.5 cm de

diámetro interior con una velocidad másica de 0.5 kg/s. Si se impone un flujo de calor constante mediante un elemento de calefacción eléctrica y la temperatura media de la pared es 50ºC, determinar el coeficiente de transferencia de calor en el interior del tubo. 4) La placa del techo de una caseta de 3.05x3.05 metros, alcanza una temperatura exterior de 38,1ºC, cerca del mediodía, en un día cuando la temperatura promedio se puede tomar como 27ºC. Calcule el calor transferido entre la placa y el aire. PROBLEMAS SOBRE RADIACIÓN 1) Calcule el intercambiador de calor por radiación entre dos placas cuadradas que tiene lados de 1 pie si están separadas por ½ pie. Suponga que una placa tiene una emisividad de 0.8 mientras que la otra la tiene de 0.6. La superficie más caliente se encuentra a 1000ºF y la más fría a 100ºF. 2) Una placa de 1 m

2 y emisividad 0.95, irradia 116.7 W de calor a una hilera de tubos de 30 mm de diámetro y con

emisividad 0.8. La temperatura de la placa es 60 ºC y la de los tubos es 30ºC. Determine la distancia entre los tubos. 3) Se tienen 2 esferas concéntricas del mismo material con emisividad 0.9 de diámetro 0,5 y 0,6 m. La esfera interior irradia a una temperatura de 427 ºC a la esfera exterior que se encuentra a 60ºC. Calcular la radiación total recibida por la esfera exterior. 4) Determine la temperatura en ºC de una hilera de tubos, si estos reciben una radiación de 85 W de un plano que se encuentra a 70ºC y cuyas dimensiones son 1x2 m. La emisividad de los tubos es 0.95 y la del plano 0.9. El diámetro de los tubos es 2/3‖ y la separación entre ellos es 2‖. PROBLEMAS SOBRE INTERCAMBIADORES DE CALOR 1) El vapor proveniente de una turbina con calidad 100%, se condensa en la superficie exterior de los tubos de un intercambiador tubular de calor tipo vapor-agua, calor específico de 4.185 kJ/kg K. La diferencia de temperatura media logarítmica es de 78.9 ºC. Determinar: La presión de salida de la turbina. El gasto de vapor en el intercambiador vapor-agua si el gasto de agua es 8 Ton/hr. Suponer que no existe subenfriamiento del condensado. 2) Determinar la superficie de transferencia de calor de un economizador de agua, en el que los agentes de transmisión de calor se mueven por un circuito de contracorriente, si se conocen las magnitudes siguientes: la temperatura de los gases en la entrada Tg1=420ºC ; el gasto de gases 220 ton/h ; el calor específico de los gases Cpg=1.045 kJ /kgºC; la temperatura del agua a la entrada Ta1=105ºC; el gasto de agua 120 ton/h; el calor específico del agua 4.19 kJ/kg ºC; la cantidad de calor transferido 13.5 MW ; el coeficiente total de transferencia de calor es 79 W/m

2 ºC.

3) Un intercambiador de calor de coraza y tubos se usa para enfriar 0.05 kg/s de agua sobre el lado de la coraza. El agua entra como líquido a 25ºC y sale a 10ºC. Los tubos tienen un diámetro exterior de ½ pulgada y un diámetro interior de 0.48 pulgadas. El coeficiente total de transferencia de calor es de 4000 W/m

2ºC con base en el área exterior de los

tubos. El refrigerante utilizado para enfriar el agua es amoníaco, el cual entra con calidad del 20 % y sale como vapor saturado manteniendo una presión constante de 429.44 kPa. Si el largo de los tubos es de 32 cm determine: a) el número de tubos necesarios para enfriar el agua .b) El flujo másico de refrigerante. 4) Determinar el área de transferencia de calor que se necesita para que un intercambiador de calor construido con un tubo de 0.0254 m. de diámetro exterior enfríe 6.93 kg/s de una solución de alcohol etílico (Cp=3810 J/kg K) desde 65.5ºC hasta 39.4 ºC, utilizando 6.3 kg/s de agua a 10 ºC. Suponer que el coeficiente global de transferencia de calor basado en el área exterior del tubo es 568 W/m

2K y considere:

Flujo paralelo Flujo en contraflujo Diga en que caso el intercambiador resulta más económico.

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a) Problemas sobre conducción 1) RESPUESTA 828.5 ºC; 1090 W 2) RESPUESTA 56521.7 W 3) RESPUESTA 55.9 W 4) RESPUESTA 994.5 W/m; 162.4 ºC; 181 ºC Problemas sobre convección 1) RESPUESTA 0.88 BTU/h pie

2 ºF; 340 BTU/h

2) RESPUESTA 0.012 BTU/h pie ºF 3) RESPUESTA 800 BTU/h pie

2 ºF

4) RESPUESTA 1112 BTU/h Problemas sobre radiación 1) RESPUESTA 1550 BTU/h 2) RESPUESTA 90 mm. 3) RESPUESTA 8542 W 4) RESPUESTA 62 ºC. Problemas sobre intercambiadores de calor 1) RESPUESTA 139 ºC; 0.35 MPa; 1091 kg/h 2) RESPUESTA 1112,5 m

2

3) RESPUESTA 4 tubos; 0,0031 kg/s 4) RESPUESTA 65,76 m

2; 41.28 m

2

PROBLEMA 1 Una plancha de corcho transmite 1,5 Kcal/día a través de 0,1m

2 cuando el gradiente de temperatura es 0,5

oC/m. Hallara

la cantidad de calor transmitida por día que tiene lugar en la plancha de corcho de 1x2 metros y 0,5 metros de espesor, si una de sus caras está a 0

oC y la otra a 15

oC.

PROBLEMA 2 Uno de los extremos de una barra de hierro se mantiene a la temperatura de 100

oC, mientras que el otro se apoya en

un trozo de hielo. La barra tiene 14 centímetros de longitud y 2cm2 de área de la sección de aislamiento térmico y por lo tanto las pérdidas de calor a través de las partes laterales se pueden despreciar. Hallar la velocidad con que el calor se propaga a lo largo de la barra y la cantidad de hielo que se funde en 40 minutos. K= 0,14 cal/s.cm.

oC.

PROBLEMA 3 Una mampostería transmite 100 cal/h a través de 0,1m

2 de superficie con gradiente de temperatura de 0,5

oC/cm.

Calcular el calor que transmitirá por día una placa de (1x2)m2 y 0,2 cm de espesor, si las temperaturas de sus caras

opuestas son de 5oC y 20

oC. De la respuesta en Kcal/h.

PROBLEMA 4 Hallar la cantidad de agua a 100

oC que se podrá evaporar por hora y cm

2, con el calor que se transmite a través de una

plancha de acero de 0,2 centímetros de espesor, con una diferencia entre sus caras opuestas de 100oC. La

conductividad térmica del acero es 0,11 cal/s.cm2o

C. PROBLEMA 5 Sobre una estufa se coloca un caldero de Aluminio que contiene agua. Iniciada la ebullición, el agua se evapora a razón de 0,12 Kg/min. Si el área de la parte inferior del caldero es 200cm

2 y su espesor 2mm. ¿Cuál es la temperatura de la

superficie inferior del caldero en contacto con el fuego? Considere: Lv=540cal/g y K= 0,49cal/s.cm.oC.

PROBLEMA 6 Una caja de teknopor se usa para mantener frías las bebidas. El área total de sus lados, incluyendo la tapa es de 0,8m

2

y su espesor es de 2,0 centímetros. La caja está llena de hielo, agua y gaseosas a 0oC. Si la temperatura exterior es de

30oC. Considere: KtK=0,01W/m.K y LfHIELO= 3,34x10

5J/Kg.

Entonces indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes premisas: I. El flujo de calor hacia el interior es de 15W. II. En un día se derrite 3,1 Kg de hielo. III. El flujo de calor por radiación absorbida no es despreciable, no podemos calcularlo, pues no conocemos la emisividad del teknopor. PROBLEMA 7 Una caja de espuma de poliuretano usada para mantener frías unas bebidas, tiene un área total con respecto a las paredes de 0,080m

2 (incluida la tapa), con un espesor de 2cm, y contiene una mezcla de agua y hielo a 0

oC. ¿Cuál es

aproximadamente el flujo de calor (en W) hacia el interior, si la temperatura externa es de 30oC? Considere: K=

0,01W/mK. PROBLEMA 8 Una barra de Cobre con un área de 5 cm

2 tiene 0,85 metros de longitud. Uno de sus extremos está a 405K de

temperatura y el otro a 310K. Considere KCu= 400W/K. I. En la barra la velocidad de propagación del calor es 22W. II. TB= 371,5K, HB= HC.

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III. En un caso real, la barra también debe radiar calor a sus alrededores.

405K 310K

B C

0,3m

0,6m

L=0,85m

PROBLEMA 9 Si todas las varillas son del mismo material y de la misma sección transversal, hallar la temperatura T1. Desprecie las pérdidas por radiación. PROBLEMA 10 Se muestra dos barras metálicas de longitudes L y 2L, de secciones transversales A y 2A; de conductividades térmicas de K y 2K respectivamente, unidas en contacto. La temperatura en la unión en función de To y Tf (To ˃ Tf), que son las temperaturas de los extremos, es: PROBLEMA 11 Una plancha de Níquel de 0,4 cm de espesor tiene una diferencia de temperatura de 32ºC entre sus dos caras opuestas. De una a otra se transmiten 200Kcal/h a través de 5cm2 de superficie. Hallar a Conductividad térmica del níquel. PROBLEMA 12 ¿Qué gradiente térmico deberá existir en una plancha de aluminio que transmite 8 cal/s.cm

2? La conductividad térmica

del aluminio es 0,5 cal/s.cm2o

C. PROBLEMA 13 Una plancha de hierro de 2cm de espesor tiene una sección recta de 5000cm

2. Una de las caras se halla a la

temperatura de 150oC y la opuesta a 140

oC. Calcular la cantidad de calor que se transmite por segundo. La

conductividad térmica del hierro es 0,115 cal/s.cm2o

C. Número de Nusselt El número de Nusselt (Nu) es un número adimensional que mide el aumento de la transmisión de calor desde una superficie por la que un fluido discurre (transferencia de calor por convección) comparada con la transferencia de calor si ésta ocurriera solamente por conducción. Así por ejemplo en transferencia de calor dentro de una cavidad por convección natural, cuando el número de Rayleigh es inferior a 1000 se considera que la transferencia de calor es únicamente por conducción y el número de Nusselt toma el valor de la unidad. En cambio para números de Rayleigh superiores, la transferencia de calor es una combinación de conducción y convección, y el número de Nusselt toma valores superiores. Este número se llama así en honor a Wilhelm Nusselt, ingeniero alemán que nació el 25 de noviembre de 1882 en Núremberg. Se define como:

Lf

h.L Transferencia de calor por convecciónNu = =

k Transferencia de calor por conducción

Ambas transferencias se consideran en la dirección perpendicular al flujo. En la anterior ecuación se define:

L, como una longitud característica. Para formas complejas se define como el volumen del cuerpo dividido entre su área superficial.

T

T/2

2T

T1

L

L

L

2K

2L

L

K

To A2A TF

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kf, como la conductividad térmica del fluido.

h, como el coeficiente de transferencia de calor. El número de Nusselt puede también verse como un gradiente adimensional de temperatura en la superficie. En transferencia de masa el número análogo al número de Nusselt es el número de Sherwood. Existen muchas correlaciones empíricas expresadas en términos del número de Nusselt para, por ejemplo, placas planas, cilindros, dentro de tuberías, etc, que evalúan generalmente el número de Nusselt medio en una superficie. Estas correlaciones tienen la forma de Nu= f(Número de Reynolds o Número de Rayleigh, Número de Prandtl). Computacionalmente el número de Nusselt medio puede obtenerse integrando el número de Nusselt local en toda la superficie. Flujo interno laminar desarrollado Se define flujo interno laminar aquel que discurre en el interior de conductos y con números de Reynolds suficientemente bajos para no ser considerados ni turbulentos ni de transición. Por ejemplo un flujo en el interior de una tubería con un número de Reynolds inferior a 2300. Se entiende como flujo desarrollado aquel que tiene los perfiles de velocidad y temperatura adimensional constantes a lo largo de la longitud del conducto. Esto ocurre más allá de lo que se conoce como región de entrada. Para este tipo de flujos es relativamente fácil obtener analíticamente números de Nusselt como los mostrados en la siguiente tabla. Se diferencian dos condiciones de contorno en la pared: flujo de calor constante y temperatura de pared constante. La longitud característica considerada es el diámetro hidráulico.

Sección transversal NuDh (flujo de calor constante)

NuDh (temperatura de pared constante)

Triángulo equilátero 3 2,35

Cuadrangular 3,63 2,89

Circular 4,364 3,66

Rectangular (Relación de aspecto 4) 5,35 4,65

Dos placas planas de longitud infinita 8,235 7,54

Dos placas planas de longitud infinita y una de ellas aislada térmicamente

5,385 4,86

Flujo interno turbulento desarrollado En cuanto a flujo interno turbulento cabe destacar las siguientes correlaciones: Correlación de Dittus & Boelter:

0,8 n

D DNu = 0,023.Re .Pr

En donde:

NuD es el número de Nusselt considerando como longitud característica el diámetro o diámetro hidráulico.

ReD es el número de Reynolds.

Pr es el número de Prandtl. Consideraciones de utilización:

Esta correlación es válida para los rangos 0,7 < Pr < 160, ReD >10000 y L/D > 10.

El exponente de Pr tiene el valor de n=0,3 cuando el fluido se enfría y n=0,4 cuando el fluido se calienta.

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura del fluido.

Está correlación presenta errores máximos en sus resultados del 40% comparada con datos experimentales.

Se puede utilizar tanto en cálculos en condiciones de temperatura de pared y flujo de calor constantes. Correlación de Sieder & Tate: Esta correlación se utiliza en aplicaciones en donde la influencia de la temperatura en las propiedades físicas es significativa.

0,14

0,8 0,33

oNu = 0,027.Re .Pr .

μ

μ

En donde:

μ es la viscosidad evaluada a la temperatura del fluido.

μ° es la viscosidad evaluada a la temperatura de la pared. Consideraciones de utilización:

Esta correlación es válida para los rangos 0,7 < Pr < 16700 y ReD > 104.

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura del fluido excepto μ0.

Se puede utilizar tanto en cálculos en condiciones de temperatura de pared y flujo de calor constantes. Correlación de Pethukov & Kirilov: Pese a su complejidad merece la pena citar esta correlación por su precisión.

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.

D1/2D 2/3

D

f /8 .Re .PrNu =

1,07 + 900/Re - 0,63/ 1 + 10.Pr + 12,7. f /8 Pr - 1

Consideraciones de utilización:

Esta correlación tiene errores del 5% en el rango 0,5 < Pr < 106 y 4000 < ReD < 5·10

6.

f es el factor de fricción y se puede estimar mediante el diagrama de Moody o la ecuación de Colebrook-White. Flujo externo laminar En mecánica de fluidos flujo externo es aquel en el que las capas límite se desarrollan libremente sin restricciones impuestas por superficies adyacentes. Por tanto siempre existirá una región de flujo fuera de la capa límite en el que los gradientes de velocidad, temperatura y/o concentración son despreciables. Las siguientes correlaciones para el número de Nusselt son aplicables en régimen laminar. Flujo paralelo a una placa plana de temperatura superficial constante:

1/2 1/3

x x

1/2 1/3x x

1/2 1/3x x

Nu = 0,332.Re .Pr para Pr = 1

Nu = 0,664.Re .Pr para Pr 1

Nu = 0,339.Re .Pr para Pr 1

En este caso la longitud característica (x) es la distancia desde el inicio de la placa. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre. Flujo perpendicular a un cilindro de temperatura superficial constante:

1/2 1/34/5

5/8D1/4

2/3

0,62.Re .PrDNu = 0,30 + x 1 + Re /282000 D

1 + 0,40/Pr

En este caso la longitud característica es el diámetro del cilindro. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la corriente libre y de la superficie. Flujo alrededor de una esfera de temperatura superficial constante:

1/40,41/2 2/3

+ D Ds

Nu = 2 + 0,4.Re 0,06.Re .Pr .Dμ

μ

La longitud característica es el diámetro de la esfera. μs es la viscosidad del fluido evaluada a la temperatura superficial de la esfera. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre. Flujo externo turbulento Flujo paralelo a una placa plana de temperatura superficial constante:

0,8

x xNu = 0,029.Re .G

Esta correlación es válida para números de Prandtl turbulentos cercanos a 1. El parámetro G se define como:

1/2 x

PrG =

0,029/Re . 5.Pr + 5.ln 1 + 5.Pr /6 - 5 + 1

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre. Convección natural Se define la convección natural como el movimiento convectivo producido en fluido y debido solamente a la variación de temperatura (densidad) en el interior del fluido. Convección natural desde una superficie vertical: Se puede emplear la correlación de Churchill & Chu válida también para superficies inclinadas cambiando la aceleración de la gravedad (g) de la definición del número de Rayleigh por (g·sin γ) en donde γ es el ángulo de desviación de la superficie respecto al plano vertical. Esta correlación es válida para la condición de contorno de temperatura de la pared constante.

2

1/6 L

L 8/279/16

0,387.RaNu = 0,825 +

0,4921 +

Pr

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Consideraciones de utilización:

Esta correlación es válida para los rangos 0,1 < RaL < 1012

y 0º < γ < 60º.

La longitud característica (L) es la longitud vertical de la pared.

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la pared y el ambiente. Las correlaciones de Vliet & Liu son válidas para la condición de contorno de flujo de calor constante en la pared.

Para flujo laminar:

*

x*

x

*. .x

.

1/55 13

5 11L L

Nu = 0,60. Gr Pr para 10 Gr Pr 10x

Nu = 1,25.Nu para 10 Gr Pr 10

Para flujo turbulento:

*

x*

x

*. .x

.

0,2213 16

13 16L L

Nu = 0,568. Gr Pr para 10 Gr Pr 10x

Nu = 1,136.Nu para 2 x10 Gr Pr 10

En ambas correlaciones Grx* es una definición especial del número de Grashof:

4

2

g. .q x* Gr =

x kv

β

En donde:

g es la aceleración de la gravedad

β es el coeficiente de expansión térmica

x es la longitud característica

k es la conductividad térmica

ν es la viscosidad cinemática Convección natural desde una superficie horizontal: Las correlaciones de McAdams son válidas cuando la temperatura de la superficie es constante:

Superficies calientes mirando hacia abajo (superficies fias mirando hacia arriba) 1/4 5 10

Nu = 0,27.Ra para 10 Ra 10

Superficies calientes mirando hacia arriba (superficies frias mirando abajo) 1/4 4 7

1/3 7 11

Nu = 0,54.Ra para 10 Ra 10

Nu = 0,15.Ra para 10 Ra 10

Fuji & Imura extendendieron la correlación de este último caso para flujo de calor constante en la superficie. 1/3 8

Nu = 0,14.Ra para Ra 2 x 10

Convección natural desde cilindros horizontales: Se recomienda la utilización de la correlación de Churchill & Chu.

21/6

DD 16/9

9/16

RaNu = 0,60 + 0,387.

0,5591 +

Pr

Consideraciones de utilización:

Esta correlación es válida para el rango 10-5 < RaD < 10

12.

La longitud característica (D) es el diámetro del cilindro.

Esta correlación es válida para la condición de contorno de temperatura superficial constante.

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la superficie y el ambiente. Convección natural desde esferas: Se recomienda la utilización de la correlación de Yuge.

1/4

D D Nu = 2 + 0, 43.Ra

Consideraciones de utilización:

Esta correlación es válida para los rangos 1 < RaD < 105 y Pr = 1.

La longitud característica (D) es el diámetro de la esfera.

Esta correlación es válida para la condición de contorno de temperatura superficial constante.

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la superficie y el ambiente.

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TRANSFERENCIA DE CALOR PROBLEMA 1

Una plancha de corcho transmite 1,5 Kcal/día a través de 0,1m2 cuando el gradiente de temperatura es

0,5oC/m. Hallara la cantidad de calor transmitida por día que tiene lugar en la plancha de corcho de 1x2

metros y 0,5 metros de espesor, si una de sus caras está a 0oC y la otra a 15

oC.

PROBLEMA 2

Uno de los extremos de una barra de hierro se mantiene a la temperatura de 100oC, mientras que el otro se

apoya en un trozo de hielo. La barra tiene 14 centímetros de longitud y 2cm2 de área de la sección de aislamiento térmico y por lo tanto las pérdidas de calor a través de las partes laterales se pueden despreciar. Hallar la velocidad con que el calor se propaga a lo largo de la barra y la cantidad de hielo que se funde en 40 minutos. K= 0,14 cal/s.cm.

oC.

PROBLEMA 3

Una mampostería transmite 100 cal/h a través de 0,1m2 de superficie con gradiente de temperatura de

0,5oC/cm. Calcular el calor que transmitirá por día una placa de (1x2)m

2 y 0,2 cm de espesor, si las

temperaturas de sus caras opuestas son de 5oC y 20

oC. De la respuesta en Kcal/h.

PROBLEMA 4

Hallar la cantidad de agua a 100oC que se podrá evaporar por hora y cm

2, con el calor que se transmite a

través de una plancha de acero de 0,2 centímetros de espesor, con una diferencia entre sus caras opuestas de 100

oC. La conductividad térmica del acero es 0,11 cal/s.cm.

oC.

PROBLEMA 5

Sobre una estufa se coloca un caldero de Aluminio que contiene agua. Iniciada la ebullición, el agua se evapora a razón de 0,12 Kg/min. Si el área de la parte inferior del caldero es 200cm

2 y su espesor 2mm.

¿Cuál es la temperatura de la superficie inferior del caldero en contacto con el fuego? Considere: Lv=540cal/g y K= 0,49cal/s.cm.

oC.

PROBLEMA 6

Una caja de teknopor se usa para mantener frías las bebidas. El área total de sus lados, incluyendo la tapa es de 0,8m

2 y su espesor es de 2,0 centímetros. La caja está llena de hielo, agua y gaseosas a 0

oC. Si la

temperatura exterior es de 30oC. Considere: KtK=0,01W/m.K y LfHIELO= 3,34x10

5J/Kg.

Entonces: I. El flujo de calor hacia el interior es de 15W. II. En un día se derrite 3,1 Kg de hielo. III. El flujo de calor por radiación absorbida no es despreciable, no podemos calcularlo, pues no conocemos la emisividad del teknopor. PROBLEMA 7

Una caja de espuma de poliuretano usada para mantener frías unas bebidas, tiene un área total con respecto a las paredes de 0,080m

2 (incluida la tapa), con un espesor de 2cm, y contiene una mezcla de

agua y hielo a 0oC. ¿Cuál es aproximadamente el flujo de calor (en W) hacia el interior, si la temperatura

externa es de 30oC? Considere: K= 0,01W/mK.

PROBLEMA 8

Una barra de Cobre con un área de 5 cm2 tiene 0,85 metros de longitud. Uno de sus extremos está a 405K de temperatura y el otro a 310K. Considere KCu= 400W/K. I. En la barra la velocidad de propagación del calor es 22W. II. TB= 371,5K, HB= HC. III. En un caso real, la barra también debe radiar calor a sus alrededores.

405K 310K

B C

0,3m

0,6m

L=0,85m

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PROBLEMA 9

Si todas las varillas son del mismo material y de la misma sección transversal, hallar la temperatura T1. Desprecie las pérdidas por radiación. PROBLEMA 10

Se muestra dos barras metálicas de longitudes L y 2L, de secciones transversales A y 2A; de conductividades térmicas de K y 2K respectivamente, unidas en contacto. La temperatura en la unión en función de To y Tf (To ˃ Tf), que son las temperaturas de los extremos, es: PROBLEMA 11 Un elemento resistor cilíndrico en un tablero de circuito disipa 0,8 W de potencia. El resistor tiene 1,5 cm de largo y un diámetro de 0,4 cm. Suponiendo que el calor se va a transferir uniformemente desde todas las superficies, determine: a) La cantidad de calor que este resistor disipa durante un período de 24 horas. b) El flujo de calor. c) La fracción de calor disipada desde las superficies interior y superior. PROBLEMA 12 Un chip lógico usado en una computadora disipa 3W de potencia en un medio de 120

oF y tiene un área superficial de

transferencia de calor de 0,08 in2. Suponiendo que la transferencia de calor desde la superficie es uniforme, determine:

a) La cantidad de calor que este chip disipa durante un dia de trabajo de 8 horas, en KWh. b) El flujo de calor sobre la superficie de él, en W/in

2.

PROBLEMA 13 Considere una casa con una superficie de piso de 200 m

2 y una altura promedio de 3 metros, al nivel del mar, en donde

la presión atmosférica estándar es de 101,3 KPa. Inicialmente, la casa está a una temperatura uniforme de 10oC. Ahora,

se enciende el calefactor eléctrico y funciona hasta que la temperatura del aire en la casa se eleva hasta una valor promedio de 22

oC. Determine cuanto calor es absorbido por el aire, suponiendo que algo de éste escapa a través de las

grietas onforme el aire calentado en la casa se expande a presión constante. También determine el costo de este calor, si el precio unitario de la electricidad en esa zona es de 0,075 dólar/KWh.

PROBLEMA 14 Se deja una plancha de 800 watts sobre la tabla de planchar con su base expuesta al aire. Cerca de 85% del calor generado en el área superficial es de 150 cm

2, y el 15% restante a través de otras superficies. Suponiendo que la

transferencia de calor desde la superficie es uniforme, determine: a) La cantidad de calor que la plancha disipa durante un periodo de 2 horas, en KWh. b) El flujo de calor sobre la superficie de la plancha, en W/m

2.

c) El costo total de la energía eléctrica consumida sobre este periodp de 2 horas. Tome el costo unitario de la electricidad como 0,07 dólar/KWh.

PROBLEMA 15 Un tablero de circuitos de de 15 x 20 cm aloja sobre su superficie 120 chips lógicos con poco espacio entre ellos, cada uno disipando 0,12W. Si la transferencia de calor desde la superficie posterior del tablero es despreciable, determine: a) La cantidad de calor que este tablero de circuitos disipa durante un periodo de 10 horas, en KWh. b) El flujo de calor sobre la superficie de este tablero, en W/m

2.

PROBLEMA 16 Se va a calentar una bola de aluminio de 15 cm de diámetro desde 80

oC hasta una temperatura promedio de 200

oC.

Tomando la densidad y el calor específico promedios del aluminio en este rango de temperaturas como = 2700kg/m3 y

Cp= 0,90KJ/KgoC. Determine la cantidad de energía que necesita ser transferida a la bola.

PROBLEMA 17 La infiltración de aire frío en una casa caliente durante el invierno a través de las rendijas alrededor de las puertas, ventanas y otras aberturas es una fuente importante de pérdida de enrgia, ya que este aire frío que entra necesita ser calentado hasta la temperatura del cuarto. La infiltración se expresa a menudo en términos de los cambios de aire por hora (ACH por sus siglas en inglés). Un ACH de 2 indica que todo el aire de la casa se reemplaza dos veces cada hora por el aire frío del exterior. Considere una casa calentada eléctricamente, que tiene una superficie de piso de 150 m

2 y

T

T/2

2T

T1

L

L

L

2K

2L

L

K

To A2A TF

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una altura promedio de 3 metros a una elevación de 1000 m, en donde la presión atmosférica estándar es 89,6 KPa. La casa se mantiene a una temperatura de 22

oC y se estima que las pérdidas por infiltración equivalen a 0,7 ACH.

Suponiendo que la presión y la temperatura en la casa permanecen constantes, determine la cantidad de pérdida de energía de ella, debido a la infiltración, para un día durante el cual la temperatura promedio en el exterior es de 5

oC.

Asimismo, determine el costo de esta pérdida de enrgia para es día, si el costo unitario de la electricidad en esa zona es de 0,082 dólar/KWh. PROBLEMA 18 Considere una lámpara incandescente de 150W. El filamento de la lámpara tiene 5 cm de largo y el diámetro es de 0,5 mm. El diámetro del bulbo de vidrio de la lámpara es de 8 cm. Determine el flujo de calor, en W/m

2:

a) Sobre la superficie del filamento. b) Sobre la superficie del bulbo de vidrio. c) Calcule cuanto costará por año mantener esa lámpara encendida durante 8 horas al día, todos los días, si el costo unitario de la electricidad es de 0,08 dólar/KWh. PROBLEMA 19 Se calienta agua en un tubo aislado de diámetro constante por medio de un calentador eléctrico de resistencia de KW. Si el agua entra en el calentador de manera estacionaria a 15

oC y sale a 60

oC, determine el gasto másico de agua.

PROBLEMA 20 Un cuarto de 4m x 5m x 6m se va a calentar por medio de un calefactor de resistencia instalado en la base de la pared. Se desea que este calefactor sea capaz de elevar la temperatura del aire en el cuarto de 7

oC hasta 25

oC en 15 minutos.

Suponiendo que no existen pérdidas de calor y que la presión atmosférica es de 100 KPa, determine la potencia nominal requerida del calefactor. Suponga calores específicos constantes a la temperatura ambiente. PROBLEMA 21 Se va a calentar 1,2 kg de agua líquida con una temperatura inicial de 15oC a 95oC en una tetera equipada en su interior con un elemento calefactor eléctrico de 1200W. La tetera pesa 0,5 kg y tiene un calor específico promedio de 0,7 KJ/kg.K. Si se asume que el calor específico del agua es de 4,18 KJ/kg.K y se desprecia cualquier pérdida de calor de la tetera, determine cuanto tardará el agua en alcanzar la temperatura deseada. PROBLEMA 22 Un cuarto se calienta por medio de un calefactor de resistencia instalado en la base de la pared. Cuando las pérdidas de calor del cuarto en un día de invierno equivalen a 9000 KJ/h, se observa que la temperatura del aire en el cuarto permanece constante aún cuando el calefactor opera de manera continua. Determine la potencia nominal del calefactor, en KW. PROBLEMA 23 Se va a calentar un cuarto de 5m x 6m x 8m por medio de un calefactor eléctrico de resistencia colocada en un ducto corto en el propio cuarto. Inicialmente el cuarto está a 15

oC y la presión atmosférica es de 98 KPa. El cuarto está

perdiendo calor de manera estacionaria hacia el exterior con una rapidez de 200 KJ/min. Un ventilador de 300W hace circular el aire de manera estacionaria a través del ducto y el calefactor con un gasto promedio de masa de 50 kg/min. Se puede suponer que el ducto es adiabático y no hay fugaz ni filtraciones de aire desde o hacia el cuarto. Si transcurren 18 minutos para que el aire del cuarto alcance una temperatura promedio de 25

oC, encuentre:

a) La potencia nominal del calefactor eléctrico. b) El aumento en la temperatura que experimenta el aire cada vez que pasa a través del calefactor. PROBLEMA 24 Una casa tiene un sistema eléctrico de calefacción que consta de un ventilador de 300W y un elemento eléctrico de calentamiento de resistencia colocado en un ducto. El aire fluye de manera estacionaria a través del ducto a razón de 0,6 kg/s y experimenta un aumento en la temperatura de 5

oC. Se estima que la razón de la pérdida de calor del aire en

el ducto es de 250W. Determine la potencia nominal del elemento de calentamiento. PROBLEMA 25 Una secadora de cabello es básicamente un ducto en el cual se colocan unas cuantas capas de resistores eléctricos. Un ventilador pequeño tira del aire llevándolo hacia adentro y forzándolo a que fluya por los resistores, en donde se calienta. Entra aire en una secadora de cabello a 900W; 100 KPa y 25oC, y sale a 50oC. El área de la sección tranversal de la secadora a la salida es de 60 cm2. Despreciando la potencia consumida por el ventilador y las pérdidas de calor a través de las paredes de la secadora, determine: a) El gasto volumétrico del aire a la entrada. b) La velocidad del aire a la salida. PROBLEMA 26 Los ductos de un sistema de calentamiento de aire pasan por un área no calentada. Como resultado de las pérdidas de calor, la temperatura del aire en el ducto cae 3

oC. Si el gasto masa del aire es de 90 kg/min, determine la razón de la

pérdida de calor del aire hacia el medio ambiente frío.

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PROBLEMA 27 Entra aire en el ducto de un sistema de acondicionamiento a 15 PSI y 50oF, con un gasto volumétrico de 450 ft

3/min. El

diámetro del ducto es de 10 pulgadas y el calor se transfiere al aire de los alrededores a una razón de 2 BTU/s. Determine: a) La velocidad del aire en la admisión del ducto. b) La temperatura de ese aire a la salida. PROBLEMA 28 Se va a acondicionar el aire de un salón de clases que normalmente contiene a 50 personas, con unidades acondicionadoras del aire montadas en las ventanas con una capacidad de enfriamiento de 5KW. Se supone que una persona en reposo disipa el calor a una velocidad de 360 KJ/h. Se tienen 10 focos eléctricos en el cuarto, cada uno con una capacidad nominal de 100 W. Se estima que la razón de transferencia de calor hacia el salón a través de las paredes y las ventanas es de 12000 KJ/h. Si el aire del cuarto se debe mantener a una temperatura constante de 21

oC,

determine el número de unidades como la mencionada que se requieren. PROBLEMA 29 Las dos superficies de una placa de 2 cm de espesor se mantinen a 0

oC y 80

oC, respectivamente. Si se determina que

el calor se transfiere a través de una placa a una razón de 500 W/m2, determine su conductividad térmica.

PROBLEMA 30 Cuatro transistores de potencia, cada uno de ellos disipando 12W, están montados sobre una placa vertical de aluminio delgado que tiene un tamaño de 22 cm x 22 cm. El calor generado por los transistores se va a disipar por las dos superficies de la placa hacia el aire circundante que está a 25

oC, el cual se mueve sobre aquella por medio de un

ventilador. Se puede suponer que toda la placa es isotérmica y que se puede tomar el área superficial expuesta del transistor como igual al área de su base. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es 25 W/m

2.oC, determine la temperatura de la placa de aluminio. Descarte cualquier efecto de radiación.

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Capítulo 10

ENTROPÍA (GIE)

10.1. INTRODUCCIÓN

La entropía es una de las magnitudes más importantes de la termodinámica. Su definición y propiedades poseen importancia en mecánica estadística, teoría de la información,… No obstante, aquí describiremos sólo su definición e interpretación en el marco de la Termodinámica clásica.

10.2. DESIGUALDAD DE CLAUSIUS

La desigualdad de Clausius establece que, para todo proceso cíclico

δQ

0T

Donde cada uno de los símbolos posee la siguiente interpretación

:La integral con el circulito se denomina ―integral cerrada‖ y quiere decir que la suma se efectúa sobre una curva

que se cierra sobre sí misma δQ: representa la cantidad de calor diferencial que entra en el sistema desde un foco situado a la temperatura T. A lo largo de un ciclo habrá ocasiones en que su valor sea positivo y veces en que será negativo, según el sistema absorba o ceda calor. T: es la temperatura del foco que cede el calor. No es la temperatura del sistema. Es más, para empezar la temperatura del sistema probablemente ni estará definida. En algunos puntos tendrá un valor y en otros será distinto. En el caso de que sí tenga un valor definido, T', este valor será menor que el exterior cuando el calor entra (ya que si no, no entraría), y será mayor que el exterior cuando el calor sale. Solo en un proceso reversible T' se diferenciará una cantidad infinitesimal de T (ya que si no, no sería reversible).

0 : La desigualdad de Clausius no nos dice cuántos vale la integral, en general. Solo nos informa de sus signos. Pero

al hacerlo nos proporciona un criterio para clasificar los posibles procesos:

Si la integral es negativa: el proceso es irreversible.

Si la integral es nula: el proceso es reversible.

Si la integral es positiva: el proceso es imposible.

10.3. DEFINICIÓN DE ENTROPÍA

10.3.1 VARIACIÓN DE ENTROPÍA

Para un ciclo reversible, la desigualdad de Clausius se transforma en una igualdad. (Çengel, Yunus, 2012)

rev

δQ= 0

T (Ciclo reversible)

Consideremos ahora un ciclo reversible que pasa por dos estados A y B. Podemos suponer este ciclo como formado por dos caminos C y C' que van de A a B, siendo uno de ellos (C') recorrido de B a A. Para este ciclo la igualdad se convierte en

rev rev rev

B 1

A A

δQ δQ δQ= + = 0

T T T

Y, despejando

rev rev

1 1

C C1A A

δQ δQ = -

T T

Ahora bien, por ser los caminos reversibles, la integral de B a A por C' es igual a la integral de A a B por el mismo camino C', cambiada de signo. Físicamente, esto quiere decir que si vamos de B a A por C' y en un cierto paso entra en el sistema una cantidad de calor δQ

rev, si recorremos el camino en sentido contrario, cuando lleguemos al mismo sitio la

misma cantidad de calor saldrá del sistema (es decir, que en el camino inverso entra − δQrev

). Por tanto

'

rev revB B

C CA A

δQ δQ=

T T

Puesto que este resultado puede extenderse a cualquier otro camino reversible que conecte A con B, concluimos que el valor de la integral es independiente del camino y por tanto solo depende de los estados inicial y final. Por ello, su valor es igual a la diferencia de una cierta función de estado que denominamos entropía

revB

B A A

δQΔS = S -S =

T

O, en forma diferencial rev

δQdS =

T

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Dicho con palabras: el incremento diferencial de entropía entre dos estados vecinos es igual la cantidad de calor que entra reversiblemente entre dichos estados dividida por la temperatura a la que se intercambia el calor. Puesto que estamos hablando de procesos reversibles no es necesario distinguir entre la temperatura del ambiente T y la del sistema T', ya que en un proceso reversible ambas deben diferenciarse como mucho en una cantidad infinitesimal. La entropía cumple que:

Sus unidades en el sistema internacional son el J/K.

Es una propiedad extensiva, proporcional a la cantidad de masa. Puede definirse la entropía específica, s por unidad de masa, por mol o por unidad de volumen. En cualquiera de estos casos, s es una propiedad intensiva.

10.3.2 ENTROPÍA ABSOLUTA

La definición anterior sólo nos da la diferencia de entropía entre dos estados, no su valor absoluto. Podemos definir la entropía respecto a un cierto estado de referencia, O, como la integral

rev

Ao

o 0

QS (A) = S(A) S

T - =

δ

Este estado O, por definición, tendrá entropía nula respecto a sí mismo (SO(O) = 0). Puesto que O es un estado fijo, esta integral solo depende de A. Realmente esta definición lo que nos da es de nuevo una diferencia, pero respecto a un estado estándar, que puede ser establecido por convenio. La IUPAC recomienda definir el estado estándar como el correspondiente a una presión de 100  kPa (0.9869  atm) y 0°C (aunque la mayoría de las tablas dan la entropía del estado estandar a 25°C). El cambio de estado de referencia lo que añade es una constante a la entropía. Por ello, si lo que queremos calcular es la variación de entropía entre dos estados A y B, nos es indiferente el estado de referencia que tomemos, nos basta con hacer la integral directamente por un camino reversible que vaya de A a B. Cuando se formula el Tercer Principio de la termodinámica, que establece que la entropía de un cristal perfecto, a 0  K es nula, se da un verdadero valor absoluto a la entropía, pues fija un estado de referencia universal.

10.4 Ecuaciones de Gibbs

10.4.1 Para la energía interna

Al ser la entropía una función de estado, es posible usarla como variable para describir el estado del sistema, del mismo modo que se hace con la presión, temperatura y volumen. Tenemos que, sustituyendo el Primer Principio en la definición de la entropía

rev revδQ dU - W

dS = = T T

Para un sistema PVT, el trabajo reversible es

rev dU P.dVδW = - P.dV dS = +

T T

Despejando

dU = TdS - P.dV

Esta es la primera ecuación de Gibbs o primera ecuación combinada del primer y segundo principios. Aunque se obtiene aplicando la expresión del trabajo y el calor en procesos reversibles, en realidad vale en cualquier circunstancia, pues solo implica funciones de estado.

10.4.2 DIAGRAMAS T-S

La simetría entre el par (T,S) y el par (p,V) en la primera ecuación de Gibbs sugiere que, del mismo modo que los procesos, en particular los ciclos, se representan en un diagrama pV, también pueden trazarse en un diagrama TS, en el cual el eje de abscisas lo da la entropía del sistema y el eje de ordenadas la temperatura.

Ciclo de Carnot en un diagrama TS

En este diagrama es especialmente sencilla la representación del ciclo de Carnot. En un diagrama TS, los procesos isotermos son simplemente rectas horizontales. Los procesos adiabáticos que, por ser reversibles, son a entropía constante, son rectas verticales. Esto quiere decir que a un ciclo de Carnot le corresponde simplemente un rectángulo, independientemente de que el ciclo sea producido actuando sobre un gas ideal o sobre cualquier otro sistema. En este diagrama el calor absorbido Qin es el área del rectángulo delimitado por el lado superior del ciclo y el eje de abscisas, mientras que el calor cedido Qout es el área del rectángulo definido por el lado inferior del ciclo y el eje de abscisas. El calor neto, Qin − Qout, que entra en el sistema es el área del rectángulo delimitado por el ciclo. Por el Primer Principio, este área equivale al trabajo neto efectuado por el sistema, | W |. Si en vez de una máquina de Carnot tenemos un refrigerador de Carnot, la figura es exactamente la misma, solo que se recorren en sentido opuesto.

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10.4.3 Para la entalpía

La entalpía de un sistema se define como

H = U + P.V

Y la variación de entalpía vale

dH = dU + P.dV+ VdP

Llevando esto a la primera ecuación de Gibbs obtenemos la segunda ecuación de Gibbs:

dH = TdS + VdP

Que también es cierta en cualquier proceso, reversible o irreversible.

10.5. PRINCIPIO DEL AUMENTO DE ENTROPÍA

10.5.1 CICLO PARCIALMENTE IRREVERSIBLE

Supongamos ahora un ciclo irreversible formado por un camino irreversible que lleva del estado A al B y vuelve por un camino reversible. En este caso tenemos la desigualdad

'

revB B

I

C CA A

δQ δQ+ < 0

T T

Cambiando uno de los términos de miembro

'

revB B

I

C CA A

δQδQ - >

T T

A la integral sobre el camino reversible podemos invertirla y cambiarle el signo (cosa que no podemos con el irreversible, precisamente por ser irreversible). Por tanto la desigualdad anterior equivale a decir que la integral por el camino reversible es mayor que por el irreversible

'

revB B

I

C CA A

δQδQ >

T T

Pero la integral por el camino reversible es justamente la diferencia entre la entropía inicial y la final. Por tanto

B

I

B AA

δQΔS = S - S >

T

Combinando este resultado con el del caso reversible obtenemos la relación general

B

I

B AA

δQΔS = S - S >

T

La variación de la entropía es siempre mayor o igual que la integral del calor que entra en el sistema dividido por la temperatura a la que entra. La igualdad se dará en un proceso reversible y la desigualdad en uno irreversible.

10.5.2 PRINCIPIO DEL AUMENTO DE ENTROPÍA

En el caso particular de un sistema aislado, ningún calor entra o sale del sistema, δQ = 0 y por tanto

sis

ΔS 0 (sistema aislado)

Esto es, para un sistema aislado la entropía es una función creciente en todo proceso real. Sólo si el proceso es reversible la entropía permanece constante. Si el sistema no es aislado, lo que establece la desigualdad de Clausius es que la variación de la entropía sea mayor que la integral indicada, que puede ser negativa. Esto permite que la variación de entropía de un sistema en un proceso real sea negativa (por ejemplo, el agua puede congelarse, lo que implica una disminución de entropía). Podemos reescribir la desigualdad de Clausius en la forma

B

sisA

-δQΔS + 0

T

Como se ve más abajo, la variación de entropía de un foco es Q / T, siendo Q el calor que entra en el foco. En la integral anterior − δQ es la cantidad de calor que sale del sistema y por tanto entra en el foco a temperatura T. Al sumar para todos los focos estamos calculando la variación total de entropía del ambiente, Nos queda entonces

sis amb

ΔS + ΔS 0

En termodinámica, al conjunto de un sistema y el ambiente que lo rodea y con el cual intercambia calor o trabajo (y que puede abarcar solo unos cuantos centímetros) se le denomina el ―universo‖, de forma que el principio del aumento de entropía se escribe en general

u sis amb

ΔS = ΔS + ΔS 0

Otra forma de verlo es que si incluimos como parte del sistema a su entorno más inmediato, el resultado es un sistema aislado, y la entropía de éste aumenta. Por tanto, en todo proceso real la entropía del universo (sistema más ambiente) aumenta (si el proceso es irreversible) o permanece estacionaria (si es reversible), pero nunca disminuye. El criterio general es

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u

> 0 proceso irreversible

ΔS = 0 procesoreversible

< 0 proceso imposible

Recordemos que en un proceso real es posible que la entropía del sistema disminuya (es lo que ocurre normalmente si se enfría), pero vemos que esa disminución debe ser compensada por un aumento en el ambiente, que supere con creces dicha disminución.

10.6. PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA

La desigualdad de Clausius en términos de la entropía

B

sisA

δQΔS

T

Puede convertirse en una igualdad introduciendo un nuevo término

B

sis genA

δQΔS = + S

T

Donde "Sgen" es la producción de entropía (medida en el SI en J/K). Representa la cantidad de entropía producida en el sistema como consecuencia de las irreversibilidades internas. La desigualdad de Clausius establece, por tanto, el criterio: Escrita la desigualdad de esta forma podemos entender la variación de entropía como suma de dos términos: lo que entra por las paredes debido al calor intercambiado con el ambiente más lo que se produce en el propio sistema, es decir que, mientras que para la energía interna:

B

AΔU = δQ + δW

y leemos este resultado como que si cambia la energía es porque entra o sale por la frontera del sistema y decimos que por ello la energía interna se conserva, para la entropía:

B

genA

δQΔS = + S

T

Que leemos como que el cambio en la entropía se debe en parte a que fluye a través de las paredes (el primer término), pero también a que aparece de la nada (segundo término) y por tanto la entropia no se conserva. En el caso particular de un sistema aislado:

gen

ΔU = 0 ΔS = S 0 (Sistema Aislado)

La energía interna permanece constante, pero la entropía aumenta. En el caso general, tenemos

B

gen sis sis amb uA

-δQS = ΔS + = ΔS + ΔS = ΔS

T

Con lo que la entropía generada en el sistema y la variación de entropía del universo son cantidades equivalentes. En muchos casos, no interesa tanto cuánta entropía se produce en total, sino su ritmo de producción. Para ello se define la producción de entropía por la unidad de tiempo

.u

gen

dSS =

dt

Esta producción se mide en el SI en J/(K·s).

10.7. VARIACIÓN DE ENTROPÍA EN UNA MÁQUINA TÉRMICA

10.7.1 VARIACIÓN DE ENTROPÍA DE UN FOCO TÉRMICO

En el caso particular de un foco térmico su capacidad calorífica es tan grande que la entrada o salida en él no produce un aumento o disminución de su temperatura. Esto quiere decir que el intercambio de calor con un foco es siempre un proceso reversible (desde el punto de vista del foco), por lo que la variación de entropía del foco es simplemente

foco

δQ 1 QΔS = δQ

T TT =

Aquí Q es el calor que entra en el foco (que normalmente saldrá del sistema).

10.7.2 VARIACIÓN EN UN CICLO DE LA MÁQUINA

Cuando tenemos una máquina térmica que intercambia calor con dos focos a temperatura TC y TF, la variación de entropía del universo será la suma de la de la máquina más la del ambiente.

gen

> 0 proceso irreversible

S = 0 procesoreversible

< 0 proceso imposible

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10.7.2.1 DEL SISTEMA

La máquina realiza un proceso cíclico. Puesto que la entropía es una función de estado su valor al final del ciclo será el mismo que al principio. Por tanto

sisΔS = 0 (proceso cíclico)

10.7.2.2 DEL AMBIENTE

La máquina intercambia calor con dos focos térmicos. Del foco a TC sale una cantidad de calor − Qin (es decir, la que sale del foco es la que entra en el sistema). En el foco a TFentra un calor Qout. Por tanto la variación de entropía del ambiente es

outin

amb

c f

QQΔS = -

T T

Si empleamos el criterio de que todo calor que entra en el sistema es positivo y todo el que sale es negativo, y etiquetamos cada calor según el foco del que procede, entonces

c in f out

Q = Q Q = -Q

Obsérvese que como el calor realmente va del sistema al foco frío, el calor que entra desde el foco frío al sistema es un calor negativo. Empleando esta notación

c f

amb

c f

Q QΔS = - -

T T

Y por la desigualdad de Clausius, esta cantidad será positiva o nula.

10.7.2.3 DEL UNIVERSO

Puesto que la entropía del sistema no cambia en un ciclo, la variación de entropía del universo coincide con la del ambiente

=0

out cin f

u sis amb

c f c f

Q QQ QΔS = ΔS + ΔS = - = - -

T T T T

Para que esta máquina pueda operar, esta variación de entropía debe ser positiva. La reducción de entropía del primer foco debe ser compensada con creces por el aumento en el otro. Este criterio limita la eficiencia de máquinas térmicas y refrigeradores.

10.7.2.4 RELACIÓN CON OTROS ENUNCIADOS

A partir de este principio es inmediato llegar al enunciado de Kelvin-Planck y al de Clausius.

Enunciado de Kelvin-Planck "Si existiera una máquina que convierte todo el calor en trabajo, esa máquina estaría reduciendo la entropía del foco, sin aumentar la de ningún otro sitio, lo que implicaría una disminución neta de la entropía. El proceso es por tanto imposible".

Enunciado de Clausius "Si hubiera un refrigerador ideal que no requiriera trabajo, la misma cantidad de calor saldría del foco frío y entraría en el caliente, pero dada su menor temperatura, la disminución de entropía del foco frío seria mayor que el aumento de la del caliente, produciendo uan disminución neta de la entropía del universo. Este proceso es por tanto también imposible".

10.8. ENTROPÍA Y TRABAJO PERDIDO

10.8.1 CASO DE UNA MÁQUINA TÉRMICA

Si tenemos una máquina que toma un calor Qin de un foco caliente a temperatura TC y entrega un calor Qout a uno a TF, el primer principio de la termodinámica nos dice que

out in outW = Q - Q

Por otro lado, la producción de entropía, según acabamos de ver es

outin

c f

QQΔS = -

T T

De aquí podemos despejar el calor entregado al foco frío

f

out in f

c

TQ = .Q + T .ΔS

T

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Esta ecuación nos dice que:

Existe siempre un calor entregado al foco frío, esto es, se verifica el enunciado de Kelvin-Planck.

Para una cantidad fija que se toma del foco caliente, si se genera entropía, es decir, si la máquina es irreversible, la cantidad de calor de desecho es mayor que si no se generara. Dicho en otras palabras, se desperdicia más energía, pues una vez que va a parar al foco frío (normalmente el ambiente que nos rodea) ya no es útil para producir trabajo adicional.

Sustituyendo este calor en la expresión del trabajo obtenemos la relación

f

out in f

c

TW = 1 - Q - T .ΔS

T

La cantidad entre paréntesis es el rendimiento de una máquina reversible que opere entre las temperaturas TF y TC. Por ello, esta ecuación se puede escribir

revourout fWW = - T .ΔS

Que nos dice que una máquina irreversible produce menos trabajo que una reversible, porque una parte del calor se desperdicia de forma irrecuperable. Este trabajo perdido es proporcional a la entropía creada:

revourper out fWW = - W = T .ΔS

Cuanto más entropía estemos generando, más trabajo potencial se pierde y menos produce la máquina. En términos del rendimiento, podemos escribir la ecuación anterior como

rev fout f f

inin c in

T .ΔSη -

Q

W T T .ΔSη = = 1 - - =

Q T Q

Lo que nos expresa el teorema de Carnot; el máximo rendimiento lo obtenemos con una máquina reversible, y a partir de ahí empezamos a perder eficiencia, proporcionalmente a la entropía generada (para una entrada de calor siempre la misma). También pueden expresarse estos resultados en términos del trabajo que queremos obtener de la máquina

out f outf f

in outrev rev rev rev

c

W T .WT .ΔS T .ΔSQ = + Q = +

η η T .η η

Que nos dice que, si queremos obtener un trabajo dado, cuanto más irreversible sea la máquina más calor necesitamos tomar del foco caliente y más calor de desecho arrojamos al foco frío.

10.8.2 CASO DE UN REFRIGERADOR

El caso de un refrigerador es parecido al de una máquina, salvo algunos signos en la demostración. Las conclusiones son también similares. Un refrigerador extrae un cierto calor Qin a una temperatura TF, para lo cual necesita realizar una cierta cantidad de trabajo Win. El refrigerador entrega una cantidad de calor de desecho Qout a un foco caliente (normalmente el ambiente) a temperatura TC. Una bomba de calor es exactamente lo mismo, salvo que el ambiente es el foco frío y lo que interesa es el calor que entrega al foco caliente. El Primer Pincipio de la termodinámica nos dice que

in out inW = Q - Q

Por lo lado, la producción de entropía corresponde a que extraemos Qin del foco frío y entregamos Qout al caliente:

out in

c f

Q QΔS = -

T T

Despejando el calor entregado al foco caliente

c

out in f

f

TQ = .Q + T .ΔS

T

Esta ecuación nos dice que para una cantidad fija que se extrae del foco frío, la generación de entropía por el refrigerador incrementa la cantidad de calor de desecho. Dicho en otras palabras, se desperdicia más energía, pues una vez que va a parar al ambiente que nos rodea) ya no es útil para producir trabajo adicional. Sustituyendo en la expresión del trabajo

.

c

in in c

f

TW = -1 Q + T .ΔS

T

La cantidad entre paréntesis es la inversa del coeficiente de desempeño de un refrigerador reversible que opere entre las temperaturas TC y TC. Por ello, esta ecuación se puede escribir

rev revf

R in in c

c f

TCOP = W = W + T .ΔS

T - T

que nos dice que un refrigerador irreversible requiere más trabajo para extraer la misma cantidad de calor y que ese trabajo extra se desperdicia como calor de desecho. El trabajo extra es proporcional a la entropía creada

rev

in in cW - W = T .ΔS

Otra forma de verlo es calcular cuánto calor extraemos con la misma cantidad de trabajo.

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f

in out f

c

TQ = .Q - T .ΔS

T

y sustituyendo el calor de desecho en función del trabajo y el calor de entrada:

f cf f

in in in f in in

c c f f c

T .TT TQ = . Q + W - T .ΔS Q = . W - .ΔS

T T - T T - T

El primer término es el calor extraído por un refrigerador reversible. Por tanto

rev f c

in in

f c

T .TQ = Q - .ΔS

T - T

lo que nos dice que, para una cantidad de trabajo dada, cuanto más entropía se produzca, menos calor se extrae, pudiéndose llegar al caso de que no se extraiga calor alguno y el refrigerador deja de funcionar como tal. En términos del coeficiente de desempeño, podemos escribir la ecuación anterior como

rev c in

R R

in in

T .ΔSQCOP = = COP . 1-

W W

Lo que nos expresa el teorema de Carnot para refrigeradores: el máximo coeficiente de desempeño lo alcanzamos con un refrigerador reversible, y a partir de ahí empezamos a perder eficiencia, más cuanta más entropía se produzca (para el mismo trabajo empleado).

10.9. ECUACIONES DE LA ENTROPIA

10.9.1 ECUACIONES TdS En un sistema simple y cerrado podemos expresar la entropía y la energía interna en función de dos variables, bien

T; x , T; X ó x; X , ó. Si expresamos la entropía como S = S T; x obtenemos:

x T

S SdS = dT + dx

T x

que, al aplicar una relación de Maxwell del potencial de Helmholtz nos queda en:

xX

dS = .dT - βXdxT

y multiplicando por "T" a ambos lados obtenemos la ecuación TdS en (T;x):

xTdS = C .dT - βXTdx

Operando de un modo similar, pero empleando una relación de Maxwell del potencial de Gibbs llegamos a la ecuación TdS en (T;X):

XTdS = C .dT - αxTdX

Por último tenemos la ecuación TdS en (X;x):

x XC C

TdS = .dX + .dxβX αx

10.10. TERCER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA Cada vez avanza más la investigación a bajas temperaturas y es de gran interés conocer las propiedades termodinámicas de los sistemas en ese rango de temperaturas. Experimentalmente se comprueba que cuanto más se enfría un sistema más difícil es seguirlo enfriando, de modo que el cero absoluto de temperaturas (0

oK) es prácticamente inalcanzable. Este resultado no se puede justificar a partir del

primer o del segundo principio de la termodinámica, por lo que se introduce un tercero. La necesidad del tercer principio empezó a ser evidente cuando los investigadores intentaban obtener la afinidad química de un sistema (una variable termodinámica que nos indica cuándo dos sustancias reaccionan entre si). Al trabajar con ella se encontraban con que ésta quedaba indeterminada por una constante tras aplicar los principios primero y segundo y, por tanto, debían calcular otros parámetros del sistema. 10.10.1 ENUNCIADO DE NERNST Fue Nernst quien enunció el tercer principio de la forma siguiente: ―Todo sistema condensado en equilibrio estable intrínsecamente que sufra un proceso isotérmico experimenta una variación de entropía que tiende a cero a medida que la temperatura de trabajo tiende a 0 K”. Matemáticamente esto se expresa como:

oTT 0 T 0

lim ΔS = 0 limS = S

Es decir, cuando nos aproximamos al cero absoluto la entropía del sistema se hace independiente de las variables que definen el estado del mismo. Fue Planck quien le dio un valor a la constante So=0. Esta igualdad es el enunciado de Planck del tercer principio y se propuso para que la ecuación de Boltzmann de la mecánica cuántica fuese consecuente con la expresión de la entropía.

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10.10.2 CONSECUENCIAS FÍSICAS He aquí algunas consecuencias sobre coeficientes termodinámicos fácilmente demostrables al expresarlos como dependientes de la entropía. 10.10.2.1 CAPACIDADES CALORÍFICAS

x

T 0lim C = 0;

Lo cual está en contradicción con las conclusiones de la mecánica estadística clásica, que da valores constantes para los sólidos. La justificación de la expresión se da en mecánica cuántica. 10.10.2.2 COEFICIENTES TÉRMICOS

T 0limα = 0

T 0limβ = 0

10.10.2.3 ENTALPÍA Y ENTALPÍA LIBRE A medida que T→0; obtenemos:

ΔH ΔGΔH = ΔG =

T T

10.10.3 CÁLCULO DE ENTROPÍAS ABSOLUTAS El tercer principio de la termodinámica permite obtener valores absolutos de la entropía mediante la siguiente expresión:

x

o

S T Tx x x

xS 0 0

C C CS= dS = .dT S = .dT

T T T T

Ya que So=0 según el enunciado de Planck. 10.10.4 INACCESIBILIDAD DEL CERO ABSOLUTO Si queremos pasar de un punto de coordenadas termodinámicas (T1; X1) a otro de coordenadas (T2; X2) observamos que, debido ha:

X

o

S T TX X X

XS 0 0

C C CS= dS = .dT S = .dT

T T T T

Tenemos que para los dos puntos anteriores:

1

2

TX

1 1 1 10

TX

2 2 2 20

CS (T ;X ) = S(0; X ) + .dT

T

CS (T ;X ) = S(0; X ) + .dT

T

Donde se tiene que dar que 2 1

ΔS = S -S 0 :

2 1T T

X X

0 0

C C.dT - .dT 0

T T

Si hacemos que T2=0, es decir, intentamos alcanzar el cero absoluto, obtenemos:

1 2T T

X X

0 0

C C- .dT 0 .dT 0

T T

Pero CX>0 y T1>0, por tanto la inecuación es imposible y la igualdad sólo se verifica si partimos ya de un sistema a 0oK,

con lo cual no podemos llegar nunca a un sistema en el cero absoluto. 10.10.5 PROBLEMAS DE PRINCIPIO DE INCREMENTO DE ENTROPÍA PROBLEMA 1 Durante un proceso de adición de calor isotérmico de un ciclo de Carnot, se 900 kJ agregan al fluido de trabajo de una fuente que esta a 400

oC. Determine:

a) Cambio de entropía del fluido, b) Cambio de entropía de la fuente, c) Cambio de entropía total para todo el proceso. SOLUCIÓN El proceso es reversible e isotérmico por lo que el cambio de entropía para un proceso a temperatura constante se determina así:

Q

ΔS = T = cte.T

La temperatura del proceso es de 400 oC en grados absolutos seria 400 + 273 = 673 K.

a) Cambio de entropía del fluido: el fluido recibe calor por lo tanto esta transferencia es positiva, entonces:

fluido

fluido

fluido

Q 900KJΔS = = = 1,337 KJ/K

T 673K

b) Cambio de entropía de la fuente: la fuente cede calor por lo tanto la transferencia es negativa, entonces:

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fuente

fuente

fuente

Q -900KJΔS = = = -1,337 KJ/K

T 673K

c) Cambio de entropía total para todo el proceso: podemos considerar un sistema y sus alrededores como dos subsistemas de un sistema aislado, y el cambio de entropía de este durante un proceso resulta de la suma de los cambios de entropía del sistema y los alrededores, la cual es igual a la generación de entropía porque un sistema aislado no involucra transferencia de entropía. Es decir:

generada total sistema alrededores

S = ΔS = ΔS + ΔS 0

Donde la igualdad se cumple para procesos reversibles y la desigualdad para procesos irreversibles. Mientras mas grande sea la entropía de un proceso mas irreversible es, ninguna entropía se genera en los proceso reversible, por lo tanto Sgenerada = 0. El cambio de entropía de un proceso (ΔStotal) puede ser negativo pero la entropía generada no. Lo dicho anteriormente puede resumirse así:

gen

> 0 proceso irreversible

S = 0 procesoreversible

< 0 proceso imposible

Esta relación sirve como criterio decisivo si un proceso es reversible, irreversible o imposible. Tomando en cuenta esto para el problema que nos ocupa tenemos que: ΔStotal = Sistema + Salrrededores = ΔSfluido + ΔSfuente = (1,337 – 1,337) kJ/K = 0, esto implica que la Sgenerada = 0 lo cual concuerda con el enunciado del problema (proceso reversible). PROBLEMA 2 El refrigerante 134ª entra como mezcla saturada de líquido vapor a una presión de 160 kPa en el serpentín de un evaporador de un sistema de refrigeración. El refrigerante absorbe 180 kJ de calor del espacio refrigerado que se mantiene – 5

oC y sale como vapor saturado a la misma presión. Determinar:

a) cambio de entropía del refrigerante, b) Cambio de entropía del espacio refrigerado, c) Cambio de entropía total.

SOLUCIÓN En la zona de mezcla saturada la presión y la temperatura son constantes, por lo tanto la temperatura del refrigerante sea la temperatura de saturación a la presión dada de 160 kPa, por lo que Ts = - 15,62 oC. a) Cambio de entropía del refrigerante:

ref

ref

ref

Q 180KJ 180KJΔS = = = = 0,699KJ/K

T -15,62 + 273 K 257,4K

b) Cambio de entropía del espacio refrigerado:

er

er

er

Q -180KJ -180KJΔS = = = = -0,672KJ/K

T -5 + 273 K 268K

El Qer es negativo ya que el espacio refrigerado cede calor. c) Cambio de entropía total: ΔStotal = ΔSistema + ΔSalrrededores = ΔSref + ΔSer = (0,699 – 0,672)kJ/K = 0,027 kJ/k por el resultado obtenido el proceso es posible e irreversible., ya que Sgenerada = 0,027 kJ/k. PROBLEMA 3 Un recipiente rígido contiene inicialmente 5 kg de refrigerante 134ª a 20

oC y 140 kpa, la sustancia se enfría mientras es

agitado hasta que su presión disminuye a 100 kPa. Determine el cambio de entropía del refrigerante durante el proceso. SOLUCIÓN Análisis: Para determinar el cambio de entropía de una masa especificada en un sistema cerrado usamos la siguiente expresión:

2 1ΔS = m.ΔS = m(S - S )

Por lo tanto requerimos calcular la masa total, m, y los valores de la entropía en los estados 1 y 2, para determinar el valor de la entropía en un estado especifico lo hacemos del mismo modo que cualquier propiedad termodinámica usando la tablas termodinámicas. En diagrama T-s represente el proceso. El recipiente es rígido por cual el volumen es constante durante el proceso v2 = v1, el recipiente es cerrado por lo que no hay transferencia de masa. Estado 1: P1 = 140 kPa T1 = 20

oC

Para la presión dada (1,4 bar) la temperatura de saturación de acuerdo a la tabla de saturación es: Ts = -18,8

oC, si la comparamos con las temperatura dada observamos que T1 > Ts por

que la fase es Vapor Sobrecalentado esto implica que los valores del volumen promedio (v1) y entropía promedio (s1) los leeremos directamente de la tabla de vapor sobrecalentado a la presión de 1,4 bar y a una temperatura de 20

oC, estos valores son v1 = 0,1652 m

3/kg, s1 =

1,0532 kJ/kg.K.

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Estado 2: P2 = 100 kPa v2 = v1 = 0,1652 m

3/kg

Para la presión de 1 bar determinamos los valores vf y vg en la tabla de saturación los cuales son: vf = 0,0007258 m

3/kg

vg = 0,1917 m3/kg

Como podemos observar vf < v2 <vg por lo que fase presente es Mezcla Saturada, para determinar la entropía en este estado debemos usar: s2 = sf + x2(sg – sf), calculamos la calidad de la mezcla

2 f

g f

0,1652 - 0,0007258V - VX = = = 0,861

V - V 0,1917 - 0,0007258

Los valores de sf y sg para 1 bar son: sf = 0,0678 kJ/kg.K y sg = 0,9395 kJ/kg.K s2 = 0,0678 +(0,861)(0,9395 – 0,0678) = 0,8183 kJ/kg.K

Entonces el cambio de entropía del refrigerante es:

2 1

KJ KJΔS = m.ΔS = m(S - S ) = (5Kg).(0,8183 - 1,0532). = -1,1743

Kg.K K

El signo negativo en este caso significa que la entropía del sistema esta disminuyendo, pero esto no esta violando la segunda ley, porque la generación de la entropía no puede ser negativa. Diagrama del proceso:

PROBLEMA 4 Un dispositivo rígido de 1 m

3 de volumen contiene agua a 30 bar y 600

oC. El agua se enfría y la presión baja a 15 bar,

el ambiente que recibe el calor está a 1,1 bar y 27

oC.

Determine: a) Variación de la entropía del agua. b) Producción total de entropía en el proceso. c) Dibujar el proceso en un diagrama T-s.

SOLUCIÓN Análisis: El recipiente es rígido volumen constante, es cerrado, no hay transferencia de masa, la variación de la entropía del agua

será: agua 2 1ΔS = m.ΔS = m(S - S ) .

Para determinar la producción total de entropía en el proceso usamos:

generada total sistema alrededores agua sumidero S = ΔS = ΔS + ΔS = ΔS + ΔS

Como el sumidero está a temperatura constante el cambio de entropía será:

sumidero

sumidero

sumidero

QΔS =

T

a) Variación de la entropía del agua Estado 1 P1 = 30 bar T1 = 300

oC

VT = 1 m3

A la presión de 30 bar la temperatura de saturación es de Ts = 233,9 oC, si la

comparamos con la temperatura dada observamos que T1 > Ts, por lo tanto la fase presente en este estado es Vapor Sobrecalentado, por lo que el volumen especifico promedio (v1) y la entropía promedio (s1) son los obtenidos de la tabla de vapor sobrecalentado a la presión de 30 bar, a la temperatura de 600

oC, dichos valores son:

v1 = 0,1324 m3/kg

s1 = 7,5085 kJ/kg.k

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Estado 2 P2 = 15 bar v2 = v1 = 0,1324 m

3/kg

Para la presión de 15 bar los valores de vf y vg son: vf = 0,0011539 m

3/kg

vg = 0,1318 m3/kg

Como podemos observar v2 > vg, la fase presente en este estado es Vapor Sobrecalentado y al igual que en el estado anterior el valor de s2 los obtendremos de la tabla de vapor sobrecalentado a la presión de 15 bar y a un volumen especifico de 0,1324 0,1325 este valor es: s1 = 6,4546 kJ/kg.k

Calculamos la masa total del sistema: 3

T

3

1

V 1mm = = = 7,553Kg

v 0,1324m /kg

Entonces el cambio de entropía del agua es:

agua 2 1

KJ KJΔS = m.(S - S ) = (7,553Kg).(6,4546 - 7,5085). = -7,96

Kg.K K

Valor obtenido indicativo que la entropía esta bajando. b) Producción total de entropía en el proceso. Primero debemos calcular el cambio de entropía en el sumidero que es;

sumidero

sumidero

sumidero

QΔS =

T

De esta expresión conocemos la temperatura que es de 27 oC que son: 27 + 273 = 300 k, pero el calor recibido del

fluido no lo conocemos, este calor es equivalente al calor cedido por el fluido durante el proceso, para calcular este calor hacemos el siguiente balance energético:

NE NS C PΔE = Q - W = ΔE + ΔE + ΔU como el sistema es estacionario Ep = Ec = 0

NE NSΔU = Q - W , ahora el WNS =

0 y QNE = QE - QS, pero QE = 0, por lo que QNE = - QS, esto implica que: S S 2 1

ΔU = - Q Q = -m. u - u , de esta

ecuación conocemos m, los valores de las energías internas promedios 1 y 2 los determinamos para cada estado de acuerdo la tabla de vapor sobrecalentado, dichos valores son: u1 = 3285 kJ/kg y u2 = 2598,1 kJ/kg.

s sumidero

KJQ = - 7,553 . 2598,1- 32850 = 5188,2 KJ = Q

Kg

sumidero

sumidero

sumidero

Q 5188,1KJΔS = = = 17,29KJ/K

T 300K

generada total sistema alrededores agua sumidero S = ΔS = ΔS + ΔS = ΔS + ΔS = -7,96 + 17,29 = 9,33

De acuerdo a este resultado generada total

KJS = ΔS = 9, 33

K por lo tanto el proceso es posible e irreversible.

PROBLEMA 5 Calcular la eficiencia de una máquina de vapor, cuya caldera trabaja a 100 ºC y su condensador a 30 ºC, expresando el resultado en porcentaje (%). SOLUCIÓN: T1=100+273=373 K T2=30+273=303 K

303ε = 1 - = 0,188x100 = 18,8%

373

PROBLEMA 6 ¿Cuál es la variación de entropía si la temperatura de 1 mol de gas ideal aumenta de 100 ºK a 300 ºK, Cv = (3/2)R. a) Si el volumen es constante. b) Si la presión es constante. c) ¿Cuál sería la variación de la entropía si se utilizan tres moles en vez de uno. SOLUCIÓN: a) T1=100 K, T2=300 K, Cv=3cal/mol K, n=1mol. ds =n.Cv.ln(T2/T1) = (1mol)(3cal/molK)ln(300/100) = 3.3 cal/K b) ds =n.Cp.ln(T2/T1) = (1mol)(5cal/molK)ln(300/100)=5.49 u.e. A volumen constante 3(3.3)=9.9 u.e. A presión constante: 3(5.49)=16.47 u.e.

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I. Cálculos de entropía (GIE)

1. Transferencia de calor El caso más simple de producción de entropía se da cuando tenemos calor que pasa de un cuerpo caliente a uno frío. Si tenemos dos focos a temperaturas T1 y T2 y una cierta cantidad de calor Q pasa del 1 al 2, se produce una disminución de entropía en el primero

Δ 11

QS = -

T

Y un aumento en el segundo

Δ 22

QS = +

T

Resultando una variación neta en el universo

Δ

1 2gen

2 1 1 2

Q. T - TQ QS = S = - =

T T T .T

Para que este proceso sea posible, debe ser T1 > T2, como afirma el enunciado de Clausius. Normalmente las temperaturas de los focos pueden estar cambiando en el tiempo (por ejemplo, un café que se va enfriando tiene una temperatura que se acerca exponencialmente a su valor final). En ese caso debemos considerar el ritmo al que se produce la entropía

gen2 1

.. 1 1 = . - QS

T T

Midiéndose el ritmo de producción en el SI en (J/K)/s = W/K. Como modelo de cómo ocurre esta producción de entropía podemos considerar la conducción de calor. Si los dos focos térmicos están separados por una lámina conductora del calor, para la que se verifica la ley de Fourier

. T = - K.A. Q

x

Estando uno de sus lados a una temperatura T1 y el otro a temperatura T2. Aquí suponemos el sentido del flujo de calor del medio 1 al 2 y ΔT = T2 − T1. En este caso el ritmo de producción de entropía

21 2 1 2

gen1 21 2

. T - T T - T1 1 = K.A. . - = K.A. S

x x.T .TT T

Por ejemplo, a través de una ventana cuyo exterior está a 15°C y cuyo interior a 22°C, siendo las dimensiones de la ventana 1,60×1,20 m² su espesor 5  mm y su conductividad térmica 0,96  W/m·K, el ritmo de producción de entropía es

21 2

gen

. 0,96 x 1,60 x 1,20 x 7 T - T W J/K = . = 0,21. S

0,005 x 288 x 295 K s

2. Cambio de fase

Un cambio de fase es un proceso aproximadamente isotermo, por lo que la variación de la entropía de una sustancia cuando experimenta un cambio de fase es simplemente

Δm. h

S = T

Siendo Δh la entalpía por unidad de masa del cambio de fase (de fusión o de vaporización, por ejemplo, para el agua). Así, en el paso de hielo sólido a agua a 1  atm se produce un aumento de entropía por unidad de masa (s = S / m):

f

kJ 334 kJ/kg Jh = 334 S = = 1221

kg 273,15 K K. kgΔ Δ

Y en el paso de agua a vapor de agua a 1  atm

v

kJ 2257 kJ/kg Jh = 2257 S = = 6049

kg 373,15 K K. kgΔ Δ

Vemos que es mucho mayor el aumento en la ebullición que en la fusión. Esto está asociado con el gran aumento del desorden al pasar de líquido a gas. 3. Calentamiento de una sustancia pura

Cuando se tiene una sustancia pura, como el agua, que experimenta una variación de su temperatura, siendo la presión inicial y la final la misma, la variación de la entropía de la sustancia es, según la definición

revB

A

QS =

T

δΔ

Como proceso reversible podemos imaginar uno en el que la temperatura de la sustancia va variando gradualmente por igual en todos sus puntos, siendo la presión siempre la misma. En este caso

rev

p Q = m.C .dTδ

Y la variación de entropía es

Tf

pTi

dTS = m. C .

TΔ

El calor específico es, en general, una función de la temperatura y debe ser tenido en cuenta a la hora de integrar. No obstante, si el rango de variación de la temperatura es pequeño, usualmente se puede aproximar cp por una constante, su valor medio, y obtener la expresión

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fp

i

TS m.C .ln

TΔ

Combinado este resultado con el anterior, podemos trazar la gráfica de la entropía por unidad de masa, como función de la temperatura, para el agua desde el estado de hielo al de vapor, tomando como referencia el punto de fusión: 4. Inmersión en un baño térmico

Un caso frecuente de cálculo de entropía es aquel en que se tiene una sustancia pura, a una temperatura T1 y se sumerge en un baño a temperatura T2, manteniéndose constante la presión. La sustancia se enfría (o se calienta, según el caso) hasta adaptarse a la temperatura del baño. La variación de la entropía de la sustancia (si el calor específico se supone constante) es, según el apartado anterior

2sis p

1

TS = m.C .ln

TΔ

La entropía del baño también cambia, pues absorbe calor a una temperatura constante. La cantidad de calor que se intercambia con el ambiente es

1 2pQ = m.C . T - T

Este calor sale del sistema y entra en el ambiente, por lo que la variación de entropía del baño es

p 1 2

amb2

m.C . T - TS =

TΔ

Y la variación total de la entropía del universo será

1 2 2u sis amb p

2 1

T - T TS = S + S = m.C . + ln

T TΔ Δ Δ

Puede probarse de forma sencilla que, tanto si T1 > T2 como si T1 < T2, esta variación es siempre positiva, esto es, el sistema siempre adquiere la temperatura del baño. 5. Gas ideal

Para un gas ideal podemos obtener una expresión válida para una presión y temperatura arbitrarias. Antes de dar una expresión general consideraremos algunos procesos característicos: 5.1 Expansión isoterma Supongamos un gas ideal que se expande de manera reversible a temperatura constante T1. En este caso se realiza un trabajo sobre el gas

21

1

VW = - n.R.T .ln

V

Puesto que en este caso la energía interna no cambia, este trabajo debe ser compensado por una cantidad equivalente calor

21

1

VQ = n.R.T .ln

V

Y, dado que el proceso es a temperatura constante, la variación de la entropía del gas vale

2

1 1

Q VS = = n.R.ln

T VΔ

Si el gas se expande su entropía aumenta y si se comprime disminuye. En términos de la presión, usando la ley de Boyle:

21 1 2 2

1

PP .V = P .V S = - n.R.ln

PΔ

5.2 Calentamiento a volumen constante Supongamos ahora una cierta cantidad de gas ideal que se va calentando gradualmente en un recipiente rígido. En este caso, el calor que entra en el gas para producir un incremento de temperaturas dT vale

rev

vQ = n.C .dTδ

Y la variación de entropía correspondiente es rev

v

Q dTdS = = n.C .

T T

δ

El incremento de entropía en una variación finita de temperatura es la suma de los diferenciales

T2 v 2

vT1 1

n.C .dT TS = = n.C .ln

T TΔ

Si la temperatura aumenta, también lo hace la entropía del gas y viceversa. En términos de la presión, teniendo en cuenta que es a volumen constante,

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1 2 2v

1 2 1

P P P = S = n.C .ln

T T PΔ

5.3 Calentamiento a presión constante Un cálculo análogo puede hacerse si suponemos un calentamiento gradual en el que la presión se mantiene constante (por ejemplo, permitiendo un émbolo que puede deslizarse por un cilindro). En este caso (Çengel, Yunus, 2012)

rev

pQ = n.C .dTδ

Siendo el diferencial de entropía rev

p

Q dTdS = = n.C .

T T

δ

Y su incremento

T p2 2

pT1 1

n.C .dT TS = = n.C .ln

T TΔ

De nuevo, si la temperatura aumenta, también lo hace la entropía del gas y viceversa. Puesto que cp > cv en este caso el aumento de entropía es mayor que en el caso isócoro, ya que no solo aumenta la temperatura del gas, sino también el volumen que ocupa. En términos del volumen, teniendo en cuenta que es a presión constante y se cumple la ley de Charles

1 2 2p

1 2 1

V V V = S = n.C .lnT T V

Δ

5.4 Proceso general Supongamos ahora una cantidad de gas que va de un estado en el que tiene una presión p1, una temperatura T1 y ocupa un volumen V1 a uno en que tienen los valores p2, T2 yV2. El proceso para ir de uno a otro es arbitrario, puede ser cuasiestático o no serlo. El proceso no importa, ya que la entropía es una función de estado y para hallar su variación podemos elegir cualquier proceso reversible. Podemos, por ejemplo, considerar un proceso en el que primero variamos su volumen, manteniendo su constante su presión p1 y posteriormente modificamos su presión a volumen constante V2. Esto nos da la variación total de entropía

2 2p v

1 1

V PS = n.C .ln + n.C .ln

V PΔ

Esta es la expresión general de la variación de entropía de un gas ideal entre dos estados cualesquiera. 5.5 Expresiones alternativas Con ayuda de la ley de los gases ideales podemos expresar la variación de entropía en términos de la presión y la temperatura, o de la temperatura y el volumen. Tenemos que

. .

2

2 2 1 1 2 1

22 1 11

TP V P V P T

= = VT T P

V

Sustituyendo y desarrollando el logaritmo

2

2 2 21p vp v v

21 1 11

TV V TT

S = n.C .ln + n.C .ln = n. C - C .ln + n.C .lnVV V T

V

Δ

Aplicando la ley de Mayer

2 2p v v

1 1

V TC = C + R S = n.R.ln + n.C .ln

V TΔ

Si en lugar del cociente entre presiones hallamos el cociente entre volúmenes llegamos a

2 2p

1 1

T PS = n.C .ln - n.R.ln

T PΔ

5.6 Entropía absoluta Para dar un valor a la entropía (y no solo a su incremento), se toma un estado de referencia (las ―condiciones normales‖) caracterizado por una temperatura y una presión fijadas. En ese caso, la entropía de cualquier otro estado es

o

p0 0

T PS T; P = S + n.C .ln - n.R.ln

T P

5.7 Procesos adiabáticos reversibles En la expresión del incremento de entropía en función de la presión y el volumen

2 2p v

1 1

V PS = n.C .ln + n.C .ln

V PΔ

Dividimos por ncv

p2 2

v v1 1

CS V P= .ln + ln donde : =

n.C CV P

Δ γ γ

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Y hallamos la exponencial

.

.

S

n.C 22v2 2

1 1 11

P VV Pe = . =

V P P V

Δγγ

γ

Vemos entonces que si tenemos un proceso en el que en todo momento la entropía es constante

. . 2 12 1

S =0 P V = P Vγ γ

Δ

Que es la ley de Poisson, correspondiente a un proceso adiabático reversible. Esto era de esperar, pues en un proceso de este tipo el intercambio de calor reversible es nulo en todo instante δQ

rev = 0 y por tanto la variación de entropía es

nula. Según esto, un proceso adiabático reversible es uno isoentrópico. 6. Proceso adiabático irreversible

Aunque todos los procesos isentrópicos son adiabáticos, el recíproco no es cierto, por lo que conviene tener claros los dos conceptos:

Proceso adiabático: es aquel en que no hay intercambio de calor entre el sistema y el ambiente.

Proceso isentrópico: aquel en que la entropía del sistema es constante. Para que un proceso adiabático sea isentrópico debe ser además reversible. En un proceso adiabático irreversible la entropía del universo aumenta, como en cualquier otro.

= 0

QS = 0

T

δΔ

6.1 Experiencia de Joule Por ejemplo, consideremos el experimento de Joule en el que un gas se encuentra contenido en una cámara adyacente a una vacía por completo. El conjunto está aislado térmicamente del exterior. Se abre la comunicación entre ambas y el gas se expande, ocupando la cámara vacía. En este proceso no se realiza trabajo, ni se absorbe calor, ni varía la energía interna. Sin embargo, es claramente irreversible (una vez que se ha expandido no puede volver a contraerse sin la intervención de un agente externo). Por tanto, la entropía debe aumentar. La variación de la entropía la da la expresión general, teniendo en cuenta que en este caso la temperatura final es la misma que la inicial, por lo que

= 0

2 2 2v

1 1 1

T V VS = n.C .ln + n.R.ln = n.R.ln

T V VΔ

Siendo positiva ya que el volumen final es mayor que el inicial (nunca podría darse una contracción espontánea). Puesto que no hay intercambio de calor con los focos, la entropía del ambiente no cambia y ésta estoda la variación de la entropía del universo. 6.2 Compresión irreversible Como otro ejemplo de proceso adiabático irreversible, consideremos el caso descrito en un problema en el que se tiene un cilindro adiabático cerrado por un pistón móvil en el que existe un gas en equilibrio con el exterior. Se coloca bruscamente una pesa de masa m en lo alto del cilindro, comprimiendo el gas de manera irreversible. La entropía del sistema aumentará, por tanto. (Çengel, Yunus, 2012) La presión aumenta bruscamente al añadir la masa

1 atm 2 atm

mgP = P P = P +

S

La posición final del pistón la da el que el trabajo de compresión se almacena como energía interna, por lo que

.2n.C . T = - P Vv

Δ Δ

Sustituyendo la ley de los gases ideales

. .

2 12 1 1 2

2 12 2 12

P V - P V P + - 1 .P = P . V - V V = . V

- 1 .P

γ

γ γ

Y sustituyendo en la expresión para la variación en la entropia

2 2v p

1 1

P VS = n.C .ln + n.C .ln

P VΔ

Queda, sustituyendo

.

v p

atm atm

m.g m.gS = n.C .ln 1 - + n.C .ln 1 -

P .S P .S + m.gΔ

γ

7. Mezcla de gases

Supongamos que tenemos nk moles de N gases, todos a la misma temperatura T0 y presión p0, separados por tabiques. Si se retiran los tabiques y los gases se mezclan, se producirá un aumento de entropía, por tratarse de un proceso irreversible. Si suponemos que los gases son ideales e inertes (esto es, que no reaccionan ni se ven afectados por el hecho de mezclarse), la entropía será la suma de las entropías individuales, como corresponde a una propiedad extensiva

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kS = SΔ Δ

A su vez, los incrementos de la entropía para cada gas serán

k kk pk k

0 0

T PS = n .C .ln - n .R.ln

T PΔ

Al mezclarse los gases la temperatura de cada gas es la misma antes y después de la mezcla. En cuanto a la presión, la presión final de la mezcla es la misma que la de cada gas al principio. Sin embargo, la presión final de cada gas no es la misma, sino que se reduce a la presión parcial

k 0 k k 0T = T P = x .P

Ya que, por ser inertes, la variación de la entropía se calcula como si el resto de los gases no estuviera presente. Por tanto, para cada gas, es como si pasara de ocupar un espacio pequeño a uno más grande. Aquí xk es la fracción molar

k

kk

k

nx =

n

Por tanto, la variación de la entropía para cada gas es

kk kS = - n .R.ln xΔ

Y la variación total

.

. . . 0 Tk k k kk k

0k k

P V S = - n .R. x ln x = - x ln x

TΔ

Esta variación es positiva, como corresponde a un proceso irreversible. Supongamos, por ejemplo que la mezcla es de oxígeno y nitrógeno, ambos en la misma cantidad

. ... 2 2

0 T0 TO +N

0 0

P V ln 2P V 1 1 S = - 2. .ln =

T T2 2Δ

El resultado anterior es independiente de qué gases sean los que se mezclan, pero, ¿qué ocurre si mezclamos oxígeno con más oxígeno? La fórmula seguiría siendo la misma. Sin embargo, si se tienen dos volúmenes del mismo gas a la misma presión y temperatura y se elimina la separación entre ellos, la situación antes de la mezcla y después, es exactamente la misma y por tanto el aumento de entropía es nulo. Hay aquí una discontinuidad que parece depender de que uno sepa qué está mezclando. Esta es la conocida como paradoja de Gibbs y su solución no es trivial. 8. Reacciones químicas

Cuando se analiza una reacción química lo que se suele hacer es

Δ

o o o = S - S S S S S productos reactivos reactivos reactivos productos reactivos productos productosS = S - S + - + -

Siendo S0 las entropías medidas y tabuladas en el estado estándar (normalmente a 100  kPa y 298  K). La segunda

diferencia representa la variación de la entropía en la reacción en el estado estándar

Δo o o

reacción productos reactivosS = S - S

Lo que quiere decir esta descomposición en tres sumas es que, para estudiar una reacción a una cierta presión y temperatura, aprovechamos el que la entropía es una función de estado. En lugar de calcular la diferencia directamente a dicha p y T, lo que hacemos es imaginarnos que llevamos los reactivos, sin reaccionar, al estado estándar. Luego analizamos la reacción en el estado estándar, aprovechando los valores tabulados. Por último llevamos los productos a las condiciones originales. 2. Calentamiento ineficiente de una casa

1. Enunciado

En una casa de la que escapa un flujo de calor de 80000  kJ/h cuando la temperatura exterior es de 15°C y la interior se mantiene constante a 22°C se emplean estufas de resistencia eléctrica. Determine el coeficiente de desempeño relativo al máximo posible, la producción de entropía por hora y el consumo extra respecto a una bomba de calor reversible. 2. COP relativo

En una estufa de resistencia eléctrica, todo el calor que se produce proviene exclusivamente del trabajo eléctrico realizado, por lo que su coeficiente de desempeño es simplemente

outBC

in

.Q

COP = = 1,0.

W

El COP máximo que podría alcanzarse con una bomba de calor lo da el de una reversible

rev cBC

c f

T 295COP = = = 42,1

T -T 295 - 288

Por lo que el valor relativo al máximo posible es

ε BCrevBC

COP 1,0 = = = 2,37%

42,1COP

Vemos que la estufa de resistencia es absolutamente ineficiente.

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3. Producción de entropía

La cantidad de entropía generada por la estufa vale teniendo en cuenta que simplemente entrega calor a un foco a 22°C

..

1int

Q 80000 kJ/K kJ/KS = = = 271

T 295 h hΔ

Además de esto podríamos incluir la producción de entropía (inevitable) por el hecho de que el calor escapa al exterior, que está a 15°C, de valor

. ..

2ext int

Q Q kJ/K kJ/K80000 80000S = - = - = 6,6

T T h h288 295Δ

En este caso el total de producción de entropía es el mismo que si el calor de la estufa se arrojara directamente al exterior:

. . .

T 1 2

kJ/K kJ/KS = S - S = 271 - 6,6 = 277,6

h hΔ Δ Δ

4. Consumo extra

La potencia mínima para producir esta cantidad de calor lo realizaría una bomba de calor reversible que operara entre el exterior y el interior. Esta sería

outrevrev inBC

.. Q 80000 kJ kJ/K

W = = = 1900 42,1 h hCOP

Por tanto, calentando con resistencias en lugar de con una bomba de calor estamos consumiendo una potencia extra

rev in in

. .kJ kJ

W - W = 80000 - 1900 = 78100 h h

La sustitución de la estufa por una bomba de calor supone un ahorro del 97.6% del consumo. 3. Calor en una expansión isoterma por un peso

1. Enunciado

Se tiene una balanza formada por un recipiente cilíndrico de 16  cm² de sección lleno de aire (considerado como un gas ideal). El tubo está cerrado herméticamente en su parte inferior por un émbolo que puede deslizarse sin rozamiento y que tiene un gancho en su cara inferior. Las paredes y el émbolo no están aislados térmicamente. Inicialmente el émbolo se encuentra a 15  cm de la pared superior, y el gas en equilibrio mecánico y térmico con el exterior, que se halla a 1  bar y 300  K. Se cuelga bruscamente del pistón un saco de harina de 4  kg.

1. ¿Cuánto desciende aproximadamente el pistón hasta que se alcanza de nuevo el equilibrio? 2. ¿Cuánto vale aproximadamente el calor que entra en el sistema en este proceso? 3. Suponga que el saco tiene un agujero, de forma que la harina se escapa lentamente hasta vaciarse por

completo (despreciamos el peso del propio saco). ¿Cuánto vale el calor que entra en el sistema en este segundo proceso?

Datos: Constante de los gases ideales: 8.314  J/K·mol; Razón de capacidades caloríficas del aire: 1,4. 2. Descenso del pistón

Este problema es muy similar a la compresión por un peso, que se analiza en este problema, con la diferencia de que en este caso la pesa reduce la presión en lugar de aumentarla. Tenemos inicialmente un cilindro que contiene un gas con presión volumen y temperatura:

3 -4 32

A 0 A A 0P = P = 1 bar = 100000 Pa; T = 300 K V = S.h = 16 cm . 15cm = 240 cm = 2, 4 times 10 m

Cuando se cuelga el saco, la presión externa se reduce en la cantidad correspondiente al peso

-4 2ext 0

4 kg . 9,8 N/kgmgP = P - = 100000 Pa - = 75500 Pa

S 16 x 10 m

El nuevo estado de equilibrio se alcanza cuando la presión interior iguala a la nueva presión externa, siendo la temperatura final igual a la inicial, por no estar el sistema aislado térmicamente.

B ext BP = P = 75500 Pa T = 300 K

Aplicando la ley de Boyle obtenemos el nuevo volumen

-4 3A A

A A B B BB

P .V P .V = P .V V = = 3,18 x 10 m

P

Y la nueva distancia del pistón, dividiendo por la sección del tubo

BB

Vh = = 19,9 cm

S

Con lo que el descenso del pistón vale

B Ah = h - h = 4,9 cm 5 cmΔ

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3. Calor en el descenso

En este descenso la temperatura final es la misma que la inicial (puede que las intermedias no lo sean, o ni siquiera existir). Al ser el aire un gas aproximadamente ideal su energía interna depende exclusivamente de su temperatura

B A B AT = T U = U U = 0Δ

Y, por el primer principio de la termodinámica

0 = U = Q + W Q = - WΔ

Para hallar el calor debemos calcular el trabajo sobre en el sistema, según la expresión general

B

extAW = - P .dV

En el descenso la presión exterior es constante, ya que una vez que se cuelga el saco, este ejerce una fuerza constante sobre el émbolo (suponemos que no le da tiempo a vaciarse apreciablemente). Por tanto, el cálculo es trivial

.-4 -4

B AextW = - P V - V = - 75500. 3,18 x 10 - 2,40 x 10 = - 5,88 J

El trabajo es negativo ya que realmente lo realiza el sistema sobre el ambiente al expandirse. El calor será igual, pero cambiado de signo

Q = - W = + 5,88 J

4. Calor en el ascenso

A medida que la harina va cayendo del saco va disminuyendo la fuerza que tira hacia abajo por lo que la presión sobre el gas se incrementa y el pistón vuelve a subir. El estado final es el mismo que teníamos al principio, con el pistón a 15cm de la parte superior y la presión y la temperatura iniciales. Por ser la temperatura final igual a la inicial de nuevo se cumple

U = 0 Q = - WΔ

Este proceso no es el inverso del apartado anterior. El descenso es un proceso no cuasiestático en el que la presión exterior permanece constante. El ascenso es cuasiestático y en él la presión varía progresivamente. Al ir cayendo poco a poco podemos suponer que el aire interior está siempre en equilibrio con el exterior y a la misma temperatura de 300K. Por estar en equilibrio mecánico, en todo momento la presión interior coincide con la exterior

A Aext

P .V P = P =

V

Llevando esto a la integral

.

A

B

A VA

A A A AB VB

dV VW = - P.dV = - P .V = - P .V ln

V V

Numéricamente

.

5 -4 2,40W = - 10 . 2,40 . 10 ln J = + 6,74 J

3,18

Este trabajo es positivo porque al comprimirse el aire se realiza trabajo sobre el sistema. El calor será entonces, negativo, ya que sale del sistema

Q = - W = - 6,74 J

5. Producción de entropía

El proceso de subida es uno cuasiestático e isotermo. Esto quiere decir que el proceso es reversible. Si en un momento dado dejara de caer harina y en su lugar empezara a añadirse harina nueva progresivamente, el pistón volvería a bajar gradualmente. (Çengel, Yunus, 2012) Por tanto, la variación de entropía del universo en este proceso es igual a cero

S = 0Δ

Esto no implica que la variación de entropía del sistema y del entorno sea nulas. Solo que son iguales y opuestas. La del sistema disminuye y la del ambiente aumenta. El cálculo es análogo de otro problema. 4. Variación de entropía por compresión

1. Enunciado

Considere un prisma vertical de 4  cm de lado que contiene aire. El cilindro contiene un pistón que inicialmente está a 10  cm de altura. La temperatura del gas inicialmente es de 300  K, que también es la temperatura ambiente y la presión exterior es de 100  kPa. Calcule la variación en la entropía del gas, del entorno y del universo en los cuatro siguientes procesos: 1. Se coloca bruscamente una pesa de 4  kg encima del émbolo y las paredes son diatermas. 2. Se colocan progresivamente 4  kg de arena, grano a grano y las paredes son diatermas. 3. Se coloca bruscamente una pesa de 4  kg encima del émbolo y las paredes son adiabáticas. 4. Se colocan progresivamente 4  kg de arena, grano a grano y las paredes son adiabáticas. 2. Introducción

En este problema tenemos cuatro variantes del mismo sistema, que son muy similares en apariencia, pero difieren en detalles cruciales que provocan que los resultados sean distintos en cada uno de los casos. Los cálculos analíticos (pero no los valores numéricos) del trabajo y calor en estos cuatro procesos se consideran además en los problemas ―Trabajo en una compresión isoterma por un peso‖ y ―Compresión adiabática de un gas por un peso‖. En todos los casos tenemos inicialmente un gas en un estado A en el que ocupa un cierto volumen a una cierta presión y temperatura iguales a las del ambiente

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3

A 0 A 0 AP = P = 1 bar = 100000 Pa; V = S.h = 160 cm y T = 300 K

Asimismo, en las cuatro situaciones se añade una pesa que incrementa la presión sobre el gas a un valor

B 0

mgP = P + = 1,25 bar

S

(Aproximando ―g‖ por 10  m/s²). La temperatura y volumen final, en cambio, dependen del proceso que consideremos. 3. Compresión isoterma irreversible

En el primer caso, el recipiente no está aislado del exterior, por lo que una vez se deja caer la pesa y se alcanza de nuevo el equilibrio, su temperatura final es igual a la inicial

B AT = T = 300 K

Puesto que tenemos la presión y la temperatura tenemos automáticamente el volumen, por la ley de los gases ideales (o, en este caso particular, la ley de Boyle)

3A A

A A B B BB

P .VP .V = P .V V = = 128 cm

P

En términos de la nueva altura del pistón

A AB

B

P .hh = = 8 cm

P

Para calcular la variación de entropía tenemos que hallar por separado la del sistema y la del ambiente. El ambiente es un foco térmico a temperatura constante T0. Su variación de entropía es la correspondiente a un proceso isotermo reversible

ambamb

0

QS =

TΔ

El calor que entra en el ambiente es el mismo que sale del sistema

in; amb out; sisQ = Q

A su vez el calor que sale del sistema lo da el primer principio de la termodinámica

out; sis in; sisQ = - U + WΔ

Por ser un proceso isotermo de un gas ideal, su variación de energía interna es nula

U = 0Δ

Mientras que el trabajo se halla a parte de la integral de la presión exterior, que es constante (e igual a la final)

.B -6 35

ext B Ain; sis BAW = - P .dV = - P V - V = - 1,25 x 10 . 128 - 160 x 10 Pa.m = + 3,92 J

(Los decimales finales resultan de hacer los cálculos exactos, con g = 9.81N/kg, aunque en su presentación se redondeen los resultados a tres cifras significativas). Es decir, en el sistema entran unos 4 julios en forma de trabajo, que no son almacenados, sino que vuelven a salir en forma de calor, entregando entropía al ambiente. Por tanto, la variación de entropía del ambiente es

amb

3,92 J mJS = = + 13,1

300 K KΔ

La fórmula anterior no nos vale para el cálculo de la variación de entropía del propio gas. No sabemos si la temperatura del sistema ha permanecido constante. Lo único que sabemos es que su temperatura inicial y final es la misma, pero en medio puede haber cambiado, incluso de forma no uniforme (calentándose algunos puntos más que otros). Para hallar la variación de entropía del sistema podemos:

imaginar un proceso reversible que lleve del estado inicial al mismo estado final.

aplicar que la entropía es una función de estado y por tanto solo necesitamos conocer su valor final y su valor inicial. El segundo método solo es aplicable cuando conocemos la entropía como función de las variables de estado. Para el caso de un gas ideal esto es posible. En función de la temperatura y la presión, la variación de entropía es

B BB A p

A A

T PS = S - S = n.C .ln - n.R.ln

T PΔ

Puesto que la temperatura final es la misma que la inicial el primer término se cancela y queda

... .

5 -6

A A Bsis

A A

10 160 x 10P V J mJP 1,25S = - ln = - ln = - 11,7

T 300 K KP 1,00Δ

Vemos que no hay problema en que la variación de entropía del sistema sea negativa. Lo que debe ser positiva o nula es la variación de entropía del universo entero. Sumando las dos contribuciones

u sis amb

mJ mJS = S + S = -11,7 + 13,1 = + 1,37

K KΔ Δ Δ

La variación de entropía del universo es estrictamente positiva, como corresponde a un proceso irreversible. 4. Compresión isoterma reversible

En el segundo caso, la presión y la temperatura finales son los mismos que en el primer caso

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B B AP = 1,25 bar y T = T = 300 K

Y por ello el volumen final también es el mismo que en el primer caso:

3A A

B B A A BB

P .VP .V = P .V V = = 128 cm

P

Puesto que el estado inicial es el mismo que en todos los casos y el estado final coincide con el el apartado anterior, la variación de entropía del sistema (que depende sólo de los estados) es la misma que allí

... .

5 -6

A A Bsis

A A

10 160 x 10P V J mJP 1,25S = - ln = - ln = - 11,7

T 300 K KP 1,00Δ

Para el ambiente la expresión general sigue siendo la misma

in; amb

ambamb

Q S =

TΔ

Pero el calor que entra en el ambiente es diferente del de antes, ya que el trabajo realizado sobre el gas no es el mismo

B

in; amb out; sis in; sis AQ = Q = W = - PdV

Por tratarse de un proceso isotermo cuasiestático

.

Bin; sis A A

A

PW = P .V ln

P

Por lo que la variación de entropía del ambiente es ahora

..

A A Bamb

A A

P V PS = ln

T PΔ

Aplicando las propiedades de los logaritmos vemos que esta variación de entropía es igual en magnitud y de signo opuesto a la del sistema, por lo que

u sis amb

mJ mJS = S + S = -11,7 + 11,7 = 0,0

K KΔ Δ Δ

Aunque la variación de entropía del sistema es distinta de cero (negativa incluso), la del universo es nula, lo que nos indica que el proceso es reversible. 5. Compresión adiabática irreversible

En el tercer caso, el recipiente está aislado térmicamente. Por tanto, en el ambiente no entra ni sale calor y, (Çengel, Yunus, 2012)

amb S = 0Δ

La variación de entropía del sistema, en cambio, no es nula, ya que el proceso es irreversible. Es más, por el principio del aumento de entropía, debe resultar una variación positiva. Para calcular la variación de entropía del sistema debemos conocer su estado final. Este no es el mismo que el dos los dos apartados anteriores, ya que en este caso la temperatura cambia. Al estar aislado del exterior, no se pone en equilibrio térmico con éste. Obtenemos el estado final a partir del primer principio de la termodinámica. Puesto que el proceso es adiabático

Q = 0 W = UΔ

El trabajo que entra en el sistema, al ser la presión externa constante, vale

. B ABW = - P V - V

Donde VB es desconocido. La variación de la energía interna es, por su parte,

B A B B A An.R. T - T P .V - P .VU = n.Cv. T = =

- 1 - 1Δ Δ

γ γ

Igualando y despejando

.

B B A A B AB AB B A

B

P .V - P .V P - P- P V - V = V = 1 - .V

- 1 Pγ γ.

El valor numérico del nuevo volumen, teniendo en cuenta que γ = 1.4 para el aire, es 3

BV = 137,5 cm y h = 8,59 cm

El pistón baja menos que en el caso anterior. La nueva temperatura final la obtenemos de la ley de los gases ideales

B BB A

A A

P .V T = .T = 321 K

P .V

La temperatura del gas aumenta en 21°C. La variación de entropía del sistema es ahora

. .

B Bsis p

A A

T PS = n.C ln - n.R ln

T PΔ

El segundo término es el mismo de los apartados anteriores, pero el primero ya no es nulo, sino que vale

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. .

. . ..

A AB B Bp

AA A A

n.R P .V mJT T T n.C ln = ln = ln = + 12,6

- 1 - 1 T KT T T

γ γ

γ γ

Siendo la variación total de entropía del sistema

sis

mJ mJS = 12,6 - 11,7 = + 0,9

K KΔ

Que de nuevo es positiva, por ser un proceso irreversible. La condición de que la entropía debe aumentar nos establece un valor mínimo para la temperatura final. Debe ser

/

. . .

- 1

B B Bp B A

A A A

T P Pn.C ln - n.R ln 0 T T

T P P

γ γ

6. Compresión adiabática reversible

En el último caso, tenemos de nuevo un proceso adiabático. No se intercambia calor con el ambiente y

in; amb

ambamb

QS = = 0

TΔ

Para el sistema, el cálculo sigue la misma lógica que el del apartado anterior, pero hay que ir grano a grano, es decir, en forma diferencial,

. vQ = 0 W = dU - P.dV = n.C dTδ δ

Aplicando la ley de los gases ideales

.. d P.V d P.V + P dVn.R dT-P.dV = = =

- 1 - 1 - 1γ γ γ

Si aquí agrupamos los términos obtenemos

dP dV + . = 0

P Vγ

Y una vez integrada nos da la ley de Poisson

B BB A

B AA A

P Vln + .ln = 0 P .V = P .V

P V

γ γγ

Despejamos de aquí el nuevo volumen

.

1 11,4

3 3 BAB A B

B

VP 1,00V = V = 160. cm = 136,8 cm h = = 8,55 cm

SP 1,25

γ

Vemos que se comprime un poco más que antes. La nueva temperatura final del gas vale

B BB A

A A

P .VT = .T = 319 K

P .V

Y se calienta un poco menos que en el caso anterior. La variación de entropía del sistema es ahora

.

. ..

A A A AB B B Bamb p

A AA A A A

P .V P .VT P T PS = n.C .ln - n.R.ln = ln - ln

- 1 T TT P T P

γΔ

γ

El segundo término vuelve a valer lo mismo que en los casos anteriores

.

A A B

A A

P .V mJP - ln = - 11,7

T KP

Mientras que el primero vale

.

..

A A B

A A

P .V mJTln = + 11,7

- 1 T KT

γ

γ

De forma que

sis

mJ mJS = 11,7 - 11,7 = 0,0

K KΔ

Puesto que la variación de entropía del ambiente es nula, obtenemos que la entropía del universo permance constante y el proceso es reversible. En general, un proceso adiabático cuasiestático de un sistema es isentrópico. Podíamos haber llegado directamente a este resultado observando que en función de la presión y el volumen

B B B Bsis v p v

A A A A

P V P VS = n.C .ln + n.C .ln = n.C . ln + .ln = 0

P V P VΔ γ

Vemos que la isoentropía se deduce de la ley de Poisson y viceversa.

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5. Calor necesario para evaporar hielo

1. Enunciado

Calcule la cantidad de calor necesaria para llevar un bloque de hielo de 500  g inicialmente a −10  °C hasta el estado de vapor de agua a 115  °C, manteniéndose la presión constante en 101.3  kPa. Halle el aumento de entropía en cada paso y el total del proceso. 2. Calor necesario

El proceso completo se compone de cinco partes: tres aumentos de temperatura y dos cambios de fase. Cada aumento de temperatura sigue la fórmula

Q = m.Ce. TΔ

Donde c es el calor específico (a presión constante), que se supone con un valor constante para todo el rango de temperaturas (aunque diferente en cada fase). Un cálculo muy preciso debería tener en cuenta la variación del calor específico con la temperatura, resultando el calor

T2

T1

Q = m.Ce.dT

Aquí nos quedaremos en la aproximación de que son constantes, con los valores respectivos para el hielo, el agua y el vapor

h a va

kJ kJ kJC = 2,11 C = 4,18 C = 2,09

kg.K kg.K kg.K

En los cambios de fase la temperatura permanece constante y el calor se emplea en pasar el hielo a agua, o el agua a vapor. La cantidad de calor en cada caso es proporcional a la masa

Q = m. hΔ

Donde la entalpía específica de fusión y la de vaporización tienen los valores

f v

kJ kJh = 334 h = 2257

kg kgΔ Δ

Y las temperaturas de los puntos de fusión y de ebullición

f bT = 273 K T = 373 K

Aplicando estas fórmulas, obtenemos los siguientes valores: Hielo hasta el punto de fusión Se trata de un aumento de temperatura de 10°C, hasta los 0°C

. .f 11 hQ = m.C . T - T = 0,500 2,11 10 kJ = 10,55 kJ

Fusión del hielo

.2Q = m. h = 0,500 334 kJ = 167,00 kJΔ

Calentamiento del agua hasta el punto de ebullición Es una subida de la temperatura en 100°C

. .b f3 aQ = m.C . T - T = 0,550 4,18 100 kJ = 209 kJ

Ebullición del agua

.4 vQ = m. h = 0,500 2257 kJ = 1128,50 kJΔ

Calentamiento del vapor hasta la temperatura final El vapor debe calentarse 15°C hasta el estado final

. .2 b5 vaQ = m.C . T - T = 0,500 2,09 15 kJ = 15,7 kJ

Sumando todos los valores obtenemos el siguiente calor total

Paso Q (kJ) Fracción del calor total

Hielo a 0°C 10.6 0.7 %

Fusión 167 10.9 %

Agua a 100°C 209 13.7 %

Ebullición 1128.5 73.7 %

Vapor a 115°C 15.7 1.0 %

Total 1530.7 100

Vemos que, con diferencia, el proceso que requiere más calor es la conversión del agua en vapor de agua. 3. Aumento de entropía

Como en el cálculo del calor, para la entropía tenemos también cinco pasos. En cada cambio de fase, por tratarse de un proceso isotermo

m. hS =

T

ΔΔ

En cada calentamiento a presión constante, suponiendo que la capacidad calorífica es independiente de la temperatura

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TT2 p2 2

pT T1 1 1

m.C .dTQ TS = = = m.C .ln

T T T δ

Δ

Esto nos da los siguientes valores: Hielo hasta el punto de fusión Pasamos de 263K a 273K

. .

f1 h

0

kJ JT 273S = m.C .ln = 0,500 2,11 ln = + 39, 4

K KT 263Δ

Fusión del hielo

f2

f

0,500 . 334m. h kJ JS = = = + 611,7

T 273 K K

ΔΔ

Calentamiento del agua hasta el punto de ebullición La temperatura pasa de 273 a 373

. .

b3 a

f

kJ JT 373S = m.C .ln = 0,550 4,18 ln = + 652,3

K KT 273Δ

Ebullición del agua

v4

b

0,500 . 2257m. h kJ JS = = = + 3025,5

T 373 K K

ΔΔ

Calentamiento del vapor hasta la temperatura final

. .

25 va

b

kJ JT 388S = m.C .ln = 0,500 2,09 ln = + 41,0

K KT 273Δ

Podemos incorporar estos resultados a la tabla anterior

Paso Q (kJ) Fracción del calor total

ΔS (J/K) Fracción de la producción de entropía

Hielo a 0°C 10.6 0.7 % 39.4 0.9 %

Fusión 167 10.9 % 611.7 14.0 %

Agua a 100°C 209 13.7 % 652.3 14.9 %

Ebullición 1128.5 73.7 % 3025.5 69.2 %

Vapor a 115°C 15.7 1.0 % 41.0 0.9 %

Total 1530.7 100 4369.9 100

Vemos que la proporción mayor del aumento de entropía se debe al paso de líquido a vapor, aunque en proporción al aumento de entropía total constituye una fracción menor que el calor necesario respecto al calor total. 6. Comparación de dos producciones de entropía

1. Enunciado

Halle la variación de entropía del sistema, del ambiente y del universo en los dos casos siguientes: 1. Se vierte un litro de agua a 80°C en una piscina a 20°C. 2. Se vierte un litro de agua a 20°C en una piscina a 80°C. 2. Solución general

Los dos fenómenos son del mismo tipo: una cierta cantidad de sustancia a una temperatura Ti es puesta en contacto con un baño térmico a una temperatura Tf. Como resultado, la temperatura de la sustancia cambia hasta igualarse con la del baño. En el proceso se produce una transferencia de calor y una variación en la entropía del universo. Para hallar esta variación separamos en la variación de la entropía del sistema, del baño y la total. 2.1 Variación de entropía del ambiente Cuando el agua del sistema se enfría o se calienta intercambia una cierta cantidad de calor igual a

sisQ = U - WΔ

Puesto que el proceso ocurre a presión constante, el trabajo realizado sobre el sistema no es nulo, sino que vale − pΔV. Para incluirlo en los cálculos, en lugar de la energía interna usamos la entalpía H = U + pV. A presión constante, el calor equivale a la variación de la entalpía, y es proporcional a la variación de la temperatura

. f isis pQ = H = m.C T - TΔ

Siendo Cp=1 cal/g.K el calor específico del agua (por unidad de masa). Este calor es negativo si el sistema se enfría (pues en realidad sale del sistema) y positivo si se calienta. El calor que entra en el ambiente es este mismo, cambiado de signo

. i famb sis pQ = - Q = m.C T - T

Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente) Tf, por lo que el aumento de entropía del ambiente es

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.p i fambamb

amb f

m.C T - TQS = =

T TΔ

2.2 Variación de entropía del sistema El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. Al verter el agua, el cambio de temperatura se producirá en general de una forma complicada. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados. Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el agua vertida se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente diferente al siguiente, de forma que situaríamos al agua en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía. La variación de entropía cuando el agua pasa de una temperatura T a una T + dT es

.prevamb

m.C dTdQdS = =

T T

Si suponemos que el calor específico no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía

.

fsis p

i

TS = m.C ln

TΔ

2.3 Variación de entropía total Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo.

.

i f fu amb sis p

f i

T - T TS = S + S = m.C + ln

T TΔ Δ Δ

La fórmula puede aplicarse tanto al primer caso, de enfriamiento, como al segundo, de calentamiento. Puesto que los dos procesos parecen simétricos, podría pensarse que van a resultar iguales y de signo contrario. Veremos que no es así. 3. Agua caliente en tanque frío

En el primer caso

i f p

kJT = 353 K T = 293 K m = 1,0 kg C = 4,18

kg.K

Lo que nos da para la variación de entropía del sistema

.

fsis p

i

JTS = m.C ln = - 778

KTΔ

Para el ambiente es

.p i f

amb f

m.C T - T JS = = + 856

T KΔ

La del universo es

u amb sis

JS = S + S = + 78

KΔ Δ Δ

La variación de la entropía es positiva, como corresponde a un proceso irreversible. El sistema reduce su entropía al enfriarse, pero al ambiente ve incrementada la suya en una cantidad mayor. 4. Agua fría en tanque caliente

En el segundo caso

i f p

kJT = 293 K T = 353 K m = 100 g C = 4,18

kg.K

Lo que nos da para la variación de entropía del sistema

.

fsis p

i

JTS = m.C ln = + 778

KTΔ

Esta es igual a la del caso anterior, pero cambiada de signo. Esto está de acuerdo con que se trata del mismo proceso reversible recorrido en sentido contrario. Para el ambiente es ahora

.p i f

amb f

m.C T - T JS = = - 710

T KΔ

Que es diferente de la del caso anterior (el denominador es distinto). La del universo es en este caso

u amb sis

JS = S + S = + 68

KΔ Δ Δ

La variación de la entropía vuelve a ser positiva, ya que de nuevo tenemos un proceso irreversible. El sistema aumenta su entropía al calentarse, y la reducción en la entropía del ambiente es más pequeña.

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7. Cálculo de eficiencias máximas

1. Enunciado

Calcule el rendimiento máximo que puede tener una máquina térmica que funcione entre 1. 0°C y 100°C. 2. 100°C y 200°C. 3. 27°C y 1200  K. Halle asimismo el coeficiente de desempeño máximo que pueden tener un refrigerador que funcione entre 4. 4°C y 25°C. 5. 0°C y 100°C. Calcule igualmente los valores máximos del coeficiente de desempeño para una bomba de calor que funcione entre las temperaturas de los dos apartados anteriores. 2. Máquinas térmicas

El rendimiento máximo de una máquina térmica lo da el de una máquina reversible que opere entre las dos temperaturas indicadas, absorbiendo calor a la temperatura más alta y cediéndolo a la más baja. El rendimiento de una máquina reversible es

F

C

T = 1 -

Tη

Donde TF y TC son las temperaturas absolutas del foco frío y del foco caliente, respectivamente. Con esta fórmula obtenemos los rendimientos máximos Entre 0°C y 100°C

273

= 1 - = 0,268 26,8 %373

η

Entre 100°C y 200°C

373

= 1 - = 0,211 21,1 %473

η

Vemos que igual diferencia de temperaturas no implica igualdad de rendimiento, sino que depende de las temperaturas absolutas de los focos. Entre 27°C y 1200  K

300

= 1 - = 0,750 75,0 %1200

η

De esta fórmula se deduce que las únicas formas de aumentar el rendimiento máximo son:

Reduciendo la temperatura del foco frío.

Aumentando la temperatura del foco caliente. 3. Refrigeradores

En el caso de un refrigerador, el equivalente al rendimiento es el coeficiente de desempeño, que para un refrigerador que funcione mediante un ciclo reversible vale

in FR

in C F

Q TCOP = =

W T -T

Con esta fórmula, el valor máximo pedido es Entre 4°C y 25°C

R

275COP = = 13,1

21

Entre 0°C y 100°C

R

273COP = = 2,73

100

Observemos que mientras el rendimiento de una máquina térmica aumenta al crecer la diferencia de temperaturas, el coeficiente de desempeño disminuye, ya que cuanto mayor sea la diferencia de temperaturas que hay que superar, más trabajo se necesita para conseguirlo. 4. Bombas de calor

El coeficiente de desempeño de una bomba de calor es parecido al de refrigerador solo que se considera el calor expulsado, en vez del absorbido. Para uno reversible

out CBC

in C F

Q TCOP = =

W T -T

Se cumple la relación entre los dos coeficientes de desempeño:

BC RCOP = COP + 1

Lo que nos da los valores Entre 4°C y 25°C

BC

298COP = = 1,0 + 13,1 = 14,1

21

Entre 0°C y 100°C

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BC

373COP = = 3,73

100

8. Mezcla de hielo y vapor de agua

1. Enunciado

En un recipiente a presión constante de 101.3  kPa, se ponen en contacto 1.0  m³ de vapor de agua a 115  °C con 500  g de hielo a −10  °C. Determine la temperatura final del sistema. Calcule la variación de entropía en el proceso. Dato: La constante específica de los gases ideales para el vapor de agua vale Rm=461,5 J/kg.k 2. Temperatura final

Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura. Suponemos de entrada que el estado final será un punto intermedio en el que las dos fases se encuentran en el estado de agua líquida. Para convertir el hielo en agua a una temperatura T es necesario proporcionar un calor

f h f1 h h h f h aQ = m .C . T - T + m . h + m .C . T - TΔ

Donde:

el primer término, mh.ch.(Tf − Th), representa el calor necesario para llevar el hielo desde su temperatura inicial, Th a la temperatura de fusión Tf.

el segundo término, mh.hf, es el calor preciso para fundir el hielo

el tercer término, mh.ca.(T − Tf), es el calor que hace falta para elevar la temperatura del agua desde el punto de fusión hasta la temperatura final.

De la misma manera, para el enfriamiento del vapor escribimos

b v b2 v va v b v aQ = m .C . T - T - m . h + m .C . T - TΔ

Siendo Tb la temperatura de ebullición del agua. Los valores numéricos que usaremos para las constantes son, para los calores específicos

h a va

kJ kJ kJC = 2,11 C = 4,18 C = 2,09

kg.K kg.K kg.K

Y para las entalpías de cambio de fase

f b

kJ kJh = 334 h = 2257

kg kgΔ Δ

Las temperaturas que aparecen en las fórmulas anteriores valen o o

h f b vT = - 10 C = 263 K T = 373 K T = 373 K T = 115 C = 388 K

La masa de vapor de agua la calculamos a partir de su presión, volumen y temperatura, empleando la expresión específica de la ley de los gases ideales para el vapor de agua

v m v vm v

P.VP.V = m .R .T m =

R .T

Esto nos da la masa

v

101300 . 1,0m = = 565 g = 0,565 kg

461,5 . 388

Con estos datos obtenemos los siguientes calores: Calentamiento del hielo

. .f h1a h hQ = m .C . T - T = 0,5 2,11 273-263 kJ = 10,6 kJ

Fusión del hielo

.1b h fQ = m . h = 0,5 334 kJ = 167 kJΔ

Calentamiento del agua fría Estando la temperatura expresada en kelvin:

. .f1c h aQ = m .C . T - T = 0,5 4,18 T - 273 kJ = 2,09. T - 273 kJ

Enfriamiento del vapor

. .b v2a v vaQ = m .C . T - T = 0,566 2,09 373 - 388 kJ = - 17,7 kJ

Licuación del vapor

.2b v bQ = - m . h = - 0,566 2257 kJ = - 1276 kJΔ

Enfriamiento del agua caliente

. .b2c v aQ = m .C . T - T = 0,566 4,18 T - 373 kJ = 2,36. T - 373 kJ

Llevando todo esto a la ecuación

1 2Q + Q = 0

Nos queda la ecuación para la temperatura

10,6 + 167 + 2,09. T - 273 - 17,7 - 1276 + 2,36. T - 373 = 0 T = 577 K

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Pero este resultado es absurdo. No es posible que la temperatura final del sistema sea mucho mayor que las dos de partidas (mucho mayor en este caso) y además incompatible con la hipótesis de que el estado final es agua (que debe estar entre 273 y 373 kelvin). No es posible, por tanto, que el estado final sea toda agua a una temperatura intermedia. Lo que ocurre realmente es que, puesto que la entalpía de ebullición del agua es muy elevada, solo con licuar una parte del vapor ya es suficiente para llevar el hielo al estado de agua a 100°C. Una vez ahí, ya se ha alcanzado el equilibrio térmico entre agua a 100°C y vapor de agua a la misma temperatura. La incógnita entonces es saber cuánta masa de vapor se licúa. El cálculo es ahora Calentamiento del hielo

. .f h1a h hQ = m .C . T - T = 0,5 2,11 273-263 kJ = 10,6 kJ

Fusión del hielo

.1b h fQ = m . h = 0,5 334 kJ = 167 kJΔ

Calentamiento del agua fría hasta los 100°C

. .b f1c h aQ = m .C . T - T = 0,5 4,18 373 - 273 kJ = 209 kJ

Enfriamiento del vapor

. .b v2a v vaQ = m .C . T - T = 0,566 2,09 373 - 388 kJ = - 17,7 kJ

Licuación parcial del vapor

2b bQ = - m. h = - 2257.m kJΔ

Y nos queda ahora la ecuación

10,6 + 167 + 209 - 17,7 - 2257.m = 0 m = 0,163 kg = 163 g

Es decir, de los 566 gramos de vapor solo se licúan 163. El resto permanece en estado de vapor. En el estado final tenemos un equilibrio térmico a 100°C en el que hay 663  g en forma de agua y 402 en forma de vapor. 3. Producción de entropía

La variación de entropía del hielo se compone de tres partes, una por cada calentamiento o cambio de fase Hielo hasta el punto de fusión Pasamos de 263K a 273K

. .

f1 h

0

kJ JT 273S = m.C .ln = 0,500 2,11 ln = + 39, 4

K KT 263Δ

Fusión del hielo

f2

f

0,500 . 334m. h kJ JS = = = + 611,7

T 273 K K

ΔΔ

Calentamiento del agua hasta el punto de ebullición La temperatura pasa de 273 a 373

. .

b3 a

f

kJ JT 373S = m.C .ln = 0,550 4,18 ln = + 652,3

K KT 273Δ

Para el vapor tenemos dos procesos: un enfriamiento y una licuación parcial Enfriamiento del vapor

. .

b4 va

v

kJ JT 373S = m.C .ln = 0,566 2,09 ln = - 46,5

K KT 388Δ

Licuación parcial Se licúan 163  g de vapor, lo que nos da la disminución de entropía

v5

b

0,163 . 2257m. h kJ JS = = = - 986,3

T 373 K K

ΔΔ

La variación total de entropía es

J J

S = + 39,4 + 611,7 - 46,5 - 986,3 = + 270,6 K K

Δ

Vemos que los términos positivos asociados al calentamiento del hielo hasta el punto de ebullición compensan con creces la disminución de entropía debida a la licuación del vapor. 9. Mezcla de dos cantidades de agua

1. Enunciado

En un recipiente aislado se ponen en contacto 750  cm³ de agua a 20  °C con 250  cm³ de agua a 80  °C. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla? ¿Cuánto calor ha pasado de un subsistema al otro? ¿Cuánta entropía se produce en el proceso? 2. Calor y temperatura

Tenemos un sistema aislado formado por las dos masas de agua. El único calor fluye de una parte del agua a la otra, pero no con el exterior. Si llamamos ―1‖ al agua caliente originalmente y ―2‖ a la fría, os queda la relación (Çengel, Yunus, 2012)

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1 2Q + Q = 0

O, dicho de otra forma

2 1Q = - Q

El calor que entra en el agua fría es igual al que sale de la caliente. Podemos escribir esto como

in2 2 out1 1 out1 in2Q = Q Q = - Q Q = Q

Por otro lado, el calor que entra en el agua fría es proporcional a la diferencia de temperaturas entre la final y la inicial

f 22 2 eQ = m .C . T - T

Y el calor que entra en el agua caliente (que tendrá un valor negativo, porque en realidad sale) cumple la misma ley

f 11 1 eQ = m .C . T - T

El calor específico del agua, c, depende poco de la temperatura, por lo que podemos suponer el mismo valor para las dos masas de agua. Llevando esto al calor neto

f 1 f 21 e 2 em .C . T - T + m .C . T - T = 0

Y despejando obtenemos la temperatura final

1 1 2 2f

1 2

m .T + m .TT =

m + m

Puesto que a este resultado se llega a partir de diferencias entre temperaturas es válido tanto para temperaturas expresadas en grados Celsius como en kelvin. Para sustituir los valores numéricos observamos que se nos dan los volúmenes, no las masas. Sin embargo, puede suponerse que dentro del rango de temperaturas la densidad del agua permanece constante, por lo que

1 1 2 2 1 1 2 2f

1 2 1 2

.V .T + .V .T V .T + V .TT = =

.V + .V V + V

ρ ρ

ρ ρ

Es decir, también se trata de la media ponderada respecto a los volúmenes. 3/4 l de agua cuentan el triple que 1/4 l. Sustituyendo los valores numéricos en grados Celsius

o o

f

750 . 20 + 250 . 80T = C = 35 C

750 + 250

La cantidad de calor que va del agua caliente a la fría es

. .

f 22 2 e

kJQ = m .C . T - T = 0,750 kg 4,184 15 K = + 47,1 kJ

kg.K

Al mismo resultado se llega, por supuesto, si en lugar del calor que entra en el medio 2, hallamos el que sale del medio 1

. .

f 11 1 e

kJQ = m .C . T - T = 0,250 kg 4,184 - 45 K = - 47,1 kJ

kg.K

3. Producción de entropía

Para hallar la variación de la entropía del sistema debemos considerar un proceso reversible que lleve del estado inicial al final para cada una de las dos masas de agua. La forma de hacerlo es considerar cada parte por separado y suponer que el calor que entra en cada una no procede de la otra, sino de una serie de focos térmicos situados a las temperaturas intermedias, de forma que imaginamos que el agua fría se va calentando gradualmente porque van entrando cantidades diferenciales de calor, de forma que la variación en su entropía es

eQ m.C .dTdS = =

T T

δ

E integrando esta expresión

.

fe

i

TS = m.C ln

TΔ

Esto nos da, para el agua fría

. .

f1 1 e

i

J JT 308S = m .C ln = 0,750 . 4,18 ln = + 0,156

K KT 293Δ

Y para el agua caliente

. .

f2 2 e

2

J JT 308S = m .C ln = 0,250 . 4,18 ln = - 0,143

K KT 353Δ

Siendo la producción total de entropía

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1 2

JS = S + S = + 0,014

KΔ Δ Δ

Esta cantidad es positiva, como corresponde a un proceso posible. 10. Eficiencia de aparatos hipotéticos

1. Enunciado

Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700  kJ de calor desde un foco térmico a 500  K y produce 300  kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290  K. ¿Es razonable? Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el contenido refrigerado a 2°C mientras el ambiente se encuentra a 24°C, siendo su potencia de 12000 frigorías (una frigoría equivale a 1  kcal/h de calor extraído) con un consumo de 1000  W. ¿Le hacemos caso? 2. Motor hipotético

2.1 A partir del teorema de Carnot El rendimiento de la supuesta máquina inventada es

out

in

W 300 KJ 3 = = = = 42,9 %

Q 700 KJ 7η

De acuerdo con el ―teorema de Carnot‖, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es

rev F

C

T 290 K 21 = 1 - = 1 - = = 42,0 %

T 500 K 50η

Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta. 2.2 A partir de la variación en la entropía Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo. La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.

u amb sis S = S + SΔ Δ Δ

La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.

sis S = 0 Proceso cíclicoΔ

La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura TC), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura TF).

C Famb

C F

Q QS = - +

T TΔ

Sustituyendo los valores

FC C in F outT = 500 K Q = Q = 700 KJ T = 290 K Q = Q = 400 KJ

Queda la variación de entropía

amb

700 KJ 400 KJ JS = - + = - 20,7

500 K 290 K KΔ

La variación de entropía del universo será

u amb sis

J J JS = S + S = - 20,7 + 0 = - 20,7 0

K K KΔ Δ Δ

Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible. 3. Refrigerador hipotético

Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el ―coeficiente de desempeño‖, que se define usando la misma lógica que para el rendimiento:

inR

in

QCOP =

W

Esta relación se aplica también al calor extraído en la unidad de tiempo y a la potencia necesaria para hacerlo funcionar

.

.in

R

in

QCOP =

W

A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un refrigerador de Carnot, que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es

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rev F

R C F

TCOP =

T - T

Para los datos del enunciado

rev

R

2751 25COP = = = 12,5

297 - 275 2

El coeficiente de desempeño del enunciado corresponde a un calor extraído por unidad de tiempo

.

. .

inkcal 1 h 4184 J

Q = 12000 = 13,95 kWh 3600 s 1 kcal

El consumo de potencia es

.

inW = 1,0 kW

Lo que nos da un coeficiente de desempeño

R

13,95COP = = 13,95

1,0

Que es claramente superior al COP máximo y por tanto imposible. Puesto que la eficiencia alegada es de 13.5, superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta. 10.11. Máquina térmica que alimenta a refrigerador

1. Enunciado

Un refrigerador que funciona entre una temperatura de -23°C y la temperatura ambiente de 27°C posee un coeficiente de desempeño de 3. Para hacer funcionar este refrigerador se emplea una máquina térmica que funciona entre 327°C y la misma temperatura ambiente, la cual tiene un rendimiento de 0.2. Todo el trabajo producido por la máquina térmica se emplea en hacer funcionar el refrigerador. 1. Definimos la eficiencia del conjunto máquina más refrigerador como el calor extraído del foco frío dividido por el calor

que es necesario extraer del foco caliente, ¿cuál es la eficiencia del conjunto? 2. Si se necesitan extraer 100  J por segundo del foco frío, ¿cuánto calor hay que extraer del foco caliente cada

segundo para hacer funcionar el sistema? ¿Cuánto trabajo realiza en un segundo la máquina sobre el refrigerador? 3. Calcule la producción de entropía por segundo debida a este conjunto. 4. Si tanto el refrigerador como la máquina térmica fueran máquinas de Carnot, ¿cuál sería la eficiencia máxima del

conjunto? ¿Qué calor sería necesario sacar del foco caliente en ese caso para extraer 100 J/s del foco frío? 2. Eficiencia del conjunto

Tenemos dos máquinas acopladas, cada una de las cuales opera entre temperaturas diferentes. Lo que tienen en común es que el trabajo que sale de una es el que entra en la otra.

out1 in2W = W

Tal como indica el enunciado, definimos el rendimiento de esta máquina como el cociente

in2

in1

Q=

Qε

Siendo Qin2 el calor que el refrigerador extrae del foco frío, y Qin1 el que la máquina toma del foco caliente. Ambas cantidades son proporcionales al trabajo común. Para el refrigerador

.in2

R in2 R in2in2

QCOP = Q = COP W

W

Y para la máquina

out1 out1 out2

in1in1

W W W = Q = =

Qη

η η

Dividiendo un calor por el otro

.

.

in2 R in2R

in1 in2

Q COP W= = COP = 3 x 0,2 = 0,6

Q Wε η

η

3. Calor y trabajo necesarios

Una vez que tenemos la eficiencia del conjunto, podemos hallar el calor necesario de forma inmediata

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..

in2in1

Q 100J/s JQ = = = 167

0,6 s

ε

De forma parecida hallamos la potencia intercambiada entre las máquinas

..

in2in2

R

Q JW = = 33

COP s

4. Producción de entropía

La producción de entropía se compone de cuatro términos, dos de los cuales son negativos, pues se extrae calor, y dos positivos, pues se vierte a él.

. . . ..

in2 out2 in1 out1

F M C M

Q Q Q QS = - + - +

T T T TΔ

Siendo

. .

out1 out2Q y Q los calores cedidos al ambiente, en la unidad de tiempo, por la máquina térmica y el refrigerador

respectivamente. Estos calores valen, para el del refrigerador,

. . .

in1out2 in2J

Q = Q + W = 133 s

Y para la máquina térmica

. . .

out1out1 in1J

Q = Q - W = 133 s

El hecho de que salgan iguales es puramente casual, consecuencia de los valores concretos de las eficiencias del refrigerador y la máquina. Las temperaturas absolutas a las que se producen los intercambios son

F M

C

T = 273 - 23 = 250 K T = 273 + 23 = 300 K

T = 273 + 327 = 600 K

Por lo que resulta la producción de entropía

.

J J100 133 166 133S = - + - + = 0,21

s.K s.K250 300 600 300Δ

Esta producción de entropía es positiva, como corresponde a un proceso real. 5. Eficiencia máxima

La eficiencia máxima de un refrigerador la tiene uno que sea una máquina de Carnot reversible. El coeficiente de desempeño de este refrigerador es

rev FR

M F

T 250 KCOP = = = 5

T -T 300 K - 250 K

Una máquina térmica de Carnot reversible posee el rendimiento máximo

rev M

C

T 300 K = 1 - = 1 - = 0,5

T 600 Kη

Un refrigerador de Carnot alimentado por una máquina también de Carnot poseerá también la eficiencia máxima rev rev rev

.R

= COP = 0,5 x 5 = 2,5ε η

Como vemos, nuestro conjunto real tiene una eficiencia muy por debajo del máximo, por lo que es perfectamente posible. Dado el rendimiento máximo, obtenemos el calor necesario para extraer 100  J/s del foco frío

..

rev

in2revout1

Q 100J JQ = = = 40

2,5 s sε

La potencia necesaria para extraer ese calor es ahora

..

rev

in2revout2

R

Q 100J J W = = = 20

5 s sCOP

La producción de entropía en este caso es nula, por tratarse de un proceso completamente reversible. 10.12. Variación de entropía con un baño térmico

1. Enunciado

Un tanque de volumen constante contiene 100 moles de aire a una presión de 100 kPa y una temperatura de 327°C. El aire se enfría hasta la temperatura del ambiente de 27.0°C. Suponiendo que el aire se comporta como un gas ideal diatómico, determine la variación de entropía del aire y del Universo durante el proceso. 2. Variación de entropía del ambiente

Cuando el aire se enfría intercambia una cierta cantidad de calor igual a

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sisQ = U - WΔ

Puesto que el proceso ocurre a volumen constante, el trabajo realizado sobre el gas es nulo y el calor equivale a la variación de la energía interna

=0

f isis vQ = U - W = n.C . T - TΔ

Cuyo valor es

sis

5 calQ = 100 mol . . 2. . 300 K - 600 k = - 150 kcal

2 K.mol

Este calor es negativo pues en realidad sale del sistema El calor que entra en el ambiente es este mismo, cambiado de signo

i famb sis vQ = - Q = n.C . T - T = + 150 kcal

Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente), por lo que el aumento de entropía del ambiente es

v i fambamb

amb f

n.C . T - TQ cal JS = = 500 = 2090

T T K KΔ

Un cálculo más preciso, usando los valores empíricos de la capacidad calorífica del aire da

amb

100 mol . 20,7643 J/K.mol . 300 K JS = = 2076

300 K KΔ

3. Variación de entropía del sistema

El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. En el gas, el enfriamiento se producirá en general de una forma complicada, enfriándose primero las partes en contacto con las paredes y luego, por conducción, difusión o radiación, las partes del interior. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados. Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el gas se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente superior al siguiente, de forma que situaríamos al gas en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía. La variación de entropía cuando el gas pasa de una temperatura T a una T + dT es

rev vdQ n.C .dTdS = =

T T

Si suponemos que la capacidad calorífica no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía

fsis v

i

TS = n.C .

TΔ

Sustituyendo nos queda

sis

cal cal J5 cal 300 1S = 100 mol . . 2. .ln = - 500. ln = - 347 = - 1449

K K K2 K.mol 600 2Δ

La variación es negativa porque al enfriarse el sistema reduce su agitación térmica, ordenándose y disminuyendo su entropía.

De nuevo, un cálculo más exacto usando vC = 20,7643 J / K.mol , da

sis

JS = - 1439

KΔ

4. Variación de entropía total

Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo.

u amb sis

cal cal JS = S + S = 500 . 1 - ln 2 = 153 = 641

K K KΔ Δ Δ

(O, más exactamente, u S = 637J / KΔ ). La variación neta es positiva pues estamos considerando un proceso

irreversible. 10.13. Entropía de una mezcla de gases

1. Enunciado

Un recipiente de 2.00  l tiene una barrera que lo divide por la mitad. Una mitad contiene H2 y la otra O2. Ambos gases se encuentran a una temperatura de 25°C y a la presión atmosférica. Se retira la barrera de separación, permitiendo que los gases se mezclen. ¿Cuál el aumento de entropía del sistema? 2. Entropía de un solo gas

La variación de la ―entropía de un gas ideal‖ en función de la temperatura y el volumen es

2 2v

1 1

T VS = n.C .ln + n.R.ln

T VΔ

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Y, en función de la temperatura y la presión

2 2p

1 1

T PS = n.C .ln - n.R.ln

T PΔ

Si tenemos un conjunto de moles de un gas que se expande de un volumen V a un volumen 2V, siendo la temperatura final la misma que la inicial, la variación en la entropía del gas es

= 0

2p

1

T 2VS = n.C .ln - n.R.ln = n.R.ln 2

T VΔ

Si usamos como variables la temperatura y la presión (que tienen la ventaja de ser ambas variables intensivas), lo que vemos es que la presión se reduce a la mitad

= 0

2p

1

PT 12S = n.C .ln - n.R.ln = n.R.lnT P 2

Δ

Que naturalmente coincide con el resultado anterior. 3. Entropía de una mezcla

La entropía es una propiedad extensiva. Para una sustancia pura esto quiere decir que es proporcional a la cantidad de sustancia, esto es, es proporcional a la masa. Para una mezcla de gases ideales, se comportará como lo hace la masa de la mezcla. Si tenemos N sustancias, con ni moles de cada una, con una masa molar mi, la masa total será

N

i i

i=1

m = n .m

Así que la entropía de la mezcla será

N

i i

i=1

S = n .s

Siendo si la entropía por mol de la sustancia i. Una forma análoga tendremos para el incremento de la entropía.

N

i i

i=1

S = n . sΔ Δ

El incremento de la entropía molar para cada sustancia será

0 0

i i ii pi

i io io

S T Ps = = C .ln - R.ln

n T P Δ

Δ

Donde las pi son las presiones parciales de los gases de la mezcla, es decir,

ii i i

i

nP = x .P x =

ni

Con lo que el incremento de la entropía total es

0 0

N

i ii pi i

io ioi=1

T PS = n .C .ln - n .R.ln

T P Δ

4. Incremento de entropía

En nuestro caso, la temperatura inicial es la misma que la final para los dos gases.

ii io

io

TT = T ln = 0

T

Lo mismo ocurre con la presión total (no con la parcial), ya que inicialmente ambos se encontraban a la misma y al romper la membrana se redistribuyen las moléculas, pero el número de moles total y el volumen total sigue siendo el mismo.

ioP = P

Las presiones parciales sí se ven reducidas pues cada gas pasa a ocupar el volumen total, con el mismo número de moles. Las presiones parciales serán

.i i i ioP = x .P x P

Todo esto deja el aumento de entropía en

. . .

= 0 = 0

i iipii i i

io io

T PS = n C .ln - n R.ln = - n R.ln xi i i

T PΔ

Aplicando la ley de los gases ideales

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...

ii O O H Hi 2 2 2 2

P VP VS = - .ln x = - x .ln x + x .ln x

TTΔ

En nuestro caso, las fracciones molares de los dos gases son la misma: un 50%, ya que a igualdad de presión, volumen y temperaturas iniciales les corresponde el mismo número de moles (nótese que no necesitamos calcular cuántos son estos moles).

O H2 2

1 101,325 J J1 atm. 2Lx = x = S = - . 2 x 0,5.ln 0,5 . = 0, 471

2 1 atm. L K298 KΔ

Vemos que la entropía del universo aumenta, ya que la del sistema lo hace y la del ambiente no se ve afectada (no hay intercambio de calor con el exterior). Por ello, este proceso de mezcla es espontáneo e irreversible. 10.14. Producción de entropía en un frigorífico real

1. Enunciado

Para mantener su interior a 4°C en una habitación que se encuentra a 27°C un frigorífico ha de extraer 360  kJ/min de su interior. Si la entrada de potencia requerida por el frigorífico es 2  kW, determine: 1. Eficiencia del refrigerador. Compárela con la eficiencia de un refrigerador ideal (reversible) que trabaje entre los mismos focos térmicos. 2. Potencia extra que consume este frigorífico respecto a uno ideal que extraiga la misma energía de su interior. 3. Entropía generada por segundo en el universo por la operación del frigorífico real. 2. Eficiencia del refrigerador

La eficiencia de un refrigerador se expresa habitualmente en términos del coeficiente de operación (COP), denotado por COPR. También se utiliza a veces la letra η. Usaremos esta última notación en este problema. La eficiencia de un refrigerador es el calor extraído del foco frío dividido por el trabajo requerido para hacer funcionar el refrigerador. Por supuesto esta definición es igualmente válida cuando se emplea el calor extraido y el trabajo requerido por unidad de tiempo. Entonces para nuestro refrigerador tenemos:

freal

real

kJ 1min360 Q min 60 s

= = = 3W 2 kJ/ s

η

Esta eficiencia se encuentra dentro del rango de valores típicos del COP para refrigeradores reales. Por otra parte, sabemos que para un refrigerador ideal la eficiencia es una función exclusivamente de las temperaturas del foco frío y del foco caliente:

frev

c f

T 277 K = = = 12,0

T -T 23 Kη

Es decir, que la eficiencia del refrigerador real es un 25% de la eficiencia teórica máxima que se podría alcanzar para un refrigerador trabajando entre esos focos térmicos. Esto es lo que suele denominarse eficiencia de la segunda ley ó eficiencia del segundo principio. 3. Potencia extra consumida

Dado que la eficiencia de la máquina real es cuatro veces más pequeña que la eficiencia ideal, la potencia necesaria para extraer la misma energía por unidad de tiempo del foco frío en la máquina real debe ser necesariamente mayor

que para la máquina real. La potencia extra necesaria puede calcularse como

. . .

extra real revW = W - W y asumiendo,

como hemos dicho, que ambas máquinas absorben el mismo calor fQ del foco frío obtenemos:

.. . .

.

rev realextra real real

revreal

WW = W . 1 - = W . 1 - = 2kW. 1 - 0,25 = 1,5 kW

W

η

η

Es decir, que la máquina reversible solamente necesitaría el 25% (0.5 kW) de los 2 kW empleados por la máquina real para obtener el mismo resultado. 4. Entropía generada

El trabajo que se obtiene en un refrigerador es la diferencia entre el calor cedido al foco caliente y el calor absorbido del foco frío.

real c fW = Q - Q

Este trabajo puede relacionarse con el incremento de entropía del universo cuando opera la máquina. Recordemos que la máquina es cíclica y por tanto no existe incremento de entropía por ciclo en su interior, pero sí existe un incremento de entropía asociado a la absorción o cesión de calor de los focos:

c f

c f

Q QS = -

T TΔ

Despejando cQ en esta ecuación y sustituyendo en la expresión del trabajo se obtiene:

. .

cfreal c

f

TW = Q - 1 + T S

TΔ

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Si la máquina es reversible el principio de incremento de entropía establece que ΔS = 0 y por tanto el trabajo que se obtiene es:

.

cfrev

f

TW = Q - 1

T

Que constituye una demostración de la ecuación para la eficiencia ideal que se ha empleado en el primer apartado. Entonces la expresión para el trabajo de la máquina real se podría escribir como:

. real rev cW = W + T S Δ

En virtud del segundo principio de la termodinámica sabemos que el funcionamiento de cualquier máquina real

provoca un aumento de la entropía del universo. Entonces en la ecuación anterior tenemos que S 0Δ y, como la

temperatura absoluta es siempre positiva, se deduce que real revW W . Es decir, que cualquier máquina real operando

entre los mismos focos deberá realizar un trabajo mayor que Wreversible para extraer el mismo calor del foco frío. Por tanto, un refrigerador real, debido a su carácter irreversible, debe realizar siempre un trabajo extra que, en virtud de la ecuación anterior, es:

.extra cW = T SΔ

Este trabajo adicional, que no habría sido necesario gastar si la máquina hubiera sido reversible, se añade al calor total trasvasado por el refrigerador al foco caliente y, por tanto, puede considerarse que es energía que se degrada como consecuencia de la irreversibilidad del refrigerador real. Es importante destacar que el trabajo extra es una magnitud proporcional al incremento de entropía del universo en el proceso. Comprobamos aquí que el incremento de entropía nos da una información cuantitativa del grado de irreversibilidad de un proceso y de la degradación de la energía que conlleva. En definitiva de la anterior ecuación podemos calcular el incremento de entropía del universo a partir de la potencia extra:

..

extra

c

kJ1,5

W JsS = = = 5,0

T 300 K s.KΔ

Nótese que al estar la energía expresada por unidad de tiempo (potencia) lo que obtenemos realmente es el incremento de entropía del universo por segundo (ritmo de generación de entropía). 10.15. Variación de entropía a volumen y presión constante

1. Enunciado

Un cilindro de 20  cm de diámetro contiene aire inicialmente a 300  K, siendo la presión externa de 100  kPa. En el cilindro se encuentra un émbolo situado inicialmente a 15  cm de distancia del fondo. Se sumerge el cilindro en un baño térmico a 450  K. Calcule la variación de entropía del gas, del entorno y del universo si: 1. El émbolo está atornillado en su posición. 2. El émbolo puede deslizarse libremente. 2. A volumen constante

En el primer caso tenemos que el calor se le cede al gas, manteniendo éste constante su volumen. El volumen inicial (y final del gas) vale

.2 -3 32 3V = . r .h = 0,10 . 0,15m = 4,71 x 10 m π π

Y el número de moles de gas es

.

5 -3

1 1

1

10 . 4,7 x 10P .Vn = = mol = 0,189 mol

R.T 8,314 300

Entropía del gas Hallamos la variación de la entropía a partir de la fórmula para un gas ideal en función de T y V (para aprovechar que V no cambia)

= 0

2 2g v

1 1

V TS = n.R. ln - n.C . ln

V TΔ

Por comportarse el aire como un gas diatómico

v

5 J C R = 20,8

2 K.mol

Lo que da la variación de entropía

g

J J450S = 0,189 . 20,8 . ln = + 1,59

K K300Δ

Entropía del entorno El entorno cede el calor a temperatura constante (ya que el baño se mantiene en 450 K), por lo que su entropía disminuye en

v 2 1

e2 2 2

n.C . ln T - T 0,189 . 20,8 . ln 450 - 300Q J JS = = - = - = - 1,31

T T T K KΔ

Variación total Sumando las dos contribuciones

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u g e

J JS = S + S = +1,59 - 1,31 = + 0,28

K KΔ Δ Δ

La variación neta es positiva, como corresponde a un proceso posible. 3. A presión constante

En el segundo caso lo que se mantiene constante es la presión del gas, ya que el émbolo puede desplazarse. Hay que señalar que es posible que en el proceso real de calentamiento la presión puede ser variable y producirse una expansión brusca, por ejemplo. Lo que importa es que el estado final es el mismo que habría si se hubiera expandido cuasiestáticamente y por tanto podemos hallar la variación de la entropía suponiendo un proceso cuasiestático con los mismos estados inicial y final Entropía del gas Hallamos la variación de la entropía a partir de la fórmula para un gas ideal, ahora en función de T y p

= 0

2 2g p

1 1

P TS = - n.R. ln + n.C . ln

P TΔ

Por comportarse el aire como un gas diatómico

p

7 JC R = 29,1

2 K.mol

Lo que da la variación de entropía

g

J J450S = 0,189 . 29,1 . ln = + 2,23

K K300Δ

Esta variación es mayor que en el caso a volumen constante porque ahora aumentan tanto la temperatura como el volumen y los dos factores contribuyen al aumento de entropía. Entropía del entorno El entorno cede el calor a temperatura constante (ya que el baño se mantiene en 450 K), por lo que su entropía disminuye en

p 2 1

e2 2

n.C . ln T - T 0,189 . 29,1 . ln 450 - 300Q J JS = = - = - = - 1,83

T T 450 K KΔ

También es mayor que en el caso a V cte (y en la misma proporción) ya que se cede más calor al gas. Variación total Sumando las dos partes

u g e

J JS = S + S = +2,23 - 1,83 = + 0, 40

K KΔ Δ Δ

De nuevo resulta un valor positivo, correspondiente a un proceso posible. Podemos ver que, en este caso, los dos cálculos son idénticos sin más que cambiar cv por cp. Dado que cp / cv = 1.4 ello quiere decir que en el segundo caso el aumento de entropía es un 40% más que en el primero. 10.16. Producción de entropía en un frigorífico

1 Enunciado

Un frigorífico doméstico mantiene su interior a 3°C, estando la cocina a 24°C, siendo su un coeficiente de desempeño del 25% respecto al máximo y consumiendo una potencia de 150  W. Determine la cantidad de calor extraído por segundo, el calor arrojado al ambiente y la entropía producida por segundo. 2 Solución

Coeficiente de desempeño El valor máximo del coeficiente de desempeño lo da un refrigerador reversible

rev FR

C F

T 276COP = = = 13,1

T - T 297 - 276

Puesto que el de este frigorífico real es un 25% del máximo

RCOP = 0,25 x 13,1 = 3,29

Calor extraído Una vez que tenemos el coeficiente de desempeño hallamos el calor extraído en la unidad de tiempo

. .

inin RQ = COP .W = 3,29 x 150 W = 493 W

Calor desechado El calor expulsado a la habitación es la suma del extraído y del trabajo realizado. Lo mismo para el flujo de calor

. . .

inout inQ = Q + W = 643 W

Producción de entropía Cada segundo el refrigerador extrae una entropía del foco frío

..

in F

F

Q 493 J/K J/KS = = =+ 1,79

T 276 s sΔ

Y cede una entropía al foco caliente

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..

out C

C

Q 643 J/K J/KS = = =+ 2,16

T 297 s sΔ

La entropía del refrigerador no cambia, por operar cíclicamente. Por tanto, la variación de entropía del universo por segundo es

.

J/K J/K

S= 2,16 - 1,79 =+ 0,37s s

Δ

10.17. Variación de entropía de dos cámaras de gas

1 Enunciado

Se tiene un cilindro de 20  cm de diámetro y 60  cm de longitud paredes diatermas en el interior del cual hay dos cámaras de gas. En una hay 4  g de H2 y en la otra 4  g de N2. La temperatura de los dos gases es de 25°C, que también es la temperatura exterior. Separando los dos gases hay un émbolo inicialmente fijado en el centro. Se libera el pistón y se espera hasta que se vuelva a quedar en equilibrio el sistema. Halle el incremento de entropía de cada gas, del sistema, del entorno y del universo. Si en vez de liberar el pistón le hacemos un agujero, ¿cuáles son las variaciones de entropía correspondientes? 2 Desplazamiento del pistón

Este problema es una continuación del problema ―Tubo con dos cámaras de gas‖. Tal como se ve en la solución de dicho problema, inicialmente tenemos diferentes presiones en las cámaras, porque aunque estén a la misma temperatura y ocupen el mismo volumen,

T

1 2 1 2

VT = T = T V = V =

2

El número de moles de cada gas es diferente, siendo el número de moles de cada uni inversamente proporcional al peso molecular

1 2m1 m2

m mn = n =

P P

La presión inicial de cada gas la obtenemos de la ecuación de los gases ideales

i 1i

1 T

n .R.T 2.n .R.TP = = ; i = 1, 2

V V

Cuando se deja que se desplace el pistón y se alcanza de nuevo el equilibrio se igualan las presiones

1 2

P = P = P

Las temperaturas no cambian, por ser las paredes diatermas, y el volumen total sigue siendo el mismo

T1 2

V + V = V

Sustituyendo aquí la ecuación de los gases ideales

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1 2 T

n .R.T n .R.T + = V

P P

Lo que nos da la presión de equilibrio

.1 2

T

n + n R.TP =

V

Podemos hallar el incremento de entropía de cada gas empleando la expresión en términos de la temperatura y la presión

i i p ii

T PS = n .C .ln - n .R.ln

T PΔ

El primer término es nulo. Sustituyendo en el segundo queda

1 2i i

i

n + nS = - n .R.ln

2.nΔ

O, en función de los pesos moleculares

m1 m2 m1 m21 2

m1 m2m2 m1

m.R m.RP + P P + PS = - .ln S = - .ln

P P2.P 2.PΔ Δ

Así, la variación de la entropía del hidrógeno es

1

4 . 8,314 J J2,0 + 28,0S = - .ln = + 10, 4

2,0 K K2 x 28,0Δ

y la del nitrógeno

2

4 . 8,314 J J2,0 + 28,0S = - .ln = - 2, 4

28,0 K K2 x 2,0Δ

Vemos que la entropía del hidrógeno aumenta al expandirse, y la del nitrógeno disminuye al contraerse. En este sistema no varía la energía interna (pues la temperatura permanece constante), ni se realiza trabajo (ya que el trabajo es interno, de un gas contra el otro), por lo que no entra calor desde el exterior. Por tanto, la entropía del ambiente no cambia

ambS = 0Δ

La variación total de la entropía del universo es entonces

1 2 amb

JS = S + S + S = + 8,0

KΔ Δ Δ Δ

Que es naturalmente positiva. 3 Perforamiento del pistón

En el segundo caso, cada uno de los gases se expande a todo el volumen, mezclándose, por lo que la variación de la entropía de cada uno es

= 0

Ti i v i i

T

T VS = n .C .ln - n .R.ln = n .R.ln 2

T V2

Δ

Lo que nos da, para el hidrógeno

1

4 x 8,314 J JS = - .ln 2 = + 11,5

2,0 K KΔ

Y para el nitrógeno

2

4 x 8,314 J JS = .ln 2 = + 0,82

28,0 K KΔ

La variación de entropía del ambiente, como antes, es nula. La variación total de entropía es, en este caso

1 2 amb

JS = S + S + S = + 12,3

KΔ Δ Δ Δ

10.18 Producción de entropía por descompresión

1 Enunciado

Se tiene un cilindro de 20  cm de diámetro tapado por un émbolo situado inicialmente a 14  cm del fondo. En el interior del émbolo se encuentra aire comprimido a 4.0 bares, siendo la presión exterior 100  kPa. La temperatura exterior y la inicial del aire de la cámara es 294  K. Las paredes del cilindro y el pistón son completamente adiabáticos. Inicialmente, el pistón está sujeto por un perno, que se libera bruscamente, produciéndose una expansión abrupta. Calcule la posición final del émbolo, una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio, la temperatura final del aire y la variación de entropía en el proceso. Halle la variación en la exergía del gas en el proceso. 2 Temperatura y volumen

Inicialmente tenemos el gas a una presión p1, ocupando un volumen V1 y con una temperatura T1 = T0 siendo T0 la temperatura exterior. Una vez que se libera el pistón el gas se expande debido a la diferencia de presiones. El estado final se caracteriza porque p2 = p0, siendo p0 la presión exterior. El volumen final será V2. La temperatura final T2 no

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tiene por qué coincidir con la inicial, pues al estar el recipiente aislado térmicamente no se alcanza el equilibrio térmico con el exterior. Se cumple la relación

1 1 0 2

1 0 2 0o 2

P .V P .VT = T P = P = = n.R

T T

Obtenemos el estado final aplicando el primer principio de la termodinámica. La presión exterior es en todo momento la atmosférica, por lo que el trabajo realizado sobre el gas vale

.V

2ext 2 10V

1

W = - P .dV = - P V - V

Este trabajo será negativo, pues en realidad es el gas el que lo realiza. Al ser las paredes adiabáticas, no existe transferencia de calor con el exterior y el calor que entra en el sistema es nulo

Q = 0

Por tanto, el trabajo realizado sobre el sistema corresponde a una variación de su energía interna

2 ovU = n.C . T - TΔ

Cumpliéndose

.

= 0

2 1 2 o0 v Q + W = U - P V - V = n.C . T - TΔ

Podemos poner el segundo miembro en términos de la presión y el volumen del gas

. .

2 o o 2 1 1

2 ov v

R n.R T - n.R T P .V - P .VC = n.C . T - T =

- 1 - 1 - 1γ γ γ

Lo que nos da la ecuación para el volumen final

. .1 0o 2 1 1

2 10 2 10

P + - 1 .PP .V - P .V- P V - V = V = V

- 1 .P

γ

γ γ

Y de aquí obtenemos la temperatura final

.

1 0o 22 o o

1 1 1

P + - 1 .PP .VT = .T = T

P .V .P

γ

γ

El valor numérico de la altura final del pistón es

.1 02

2 10

P + - 1 .P 4,0 + 1,4 - 1,0Vh = = h = .14 cm = 44 cm

S .P 1,4

γ

γ

Y la temperatura final del aire

2

4,0 + 1,4 - 1,0T = .294 K = 231 K

1,4 . 4,0

Vemos que en la expansión la temperatura desciende bruscamente en 63 grados. Este es un ejemplo de enfriamiento adiabático. Siempre que un gas se expande bruscamente como ocurre en la válvula de expansión de un refrigerador, su temperatura cae, quedando, como en este caso, muy por debajo de la del ambiente. 3 Entropía

Normalmente se asocia el cambio en la entropía a la extracción o cesión de calor. Sin embargo, en este caso, la transferencia de calor es nula, por lo que el cambio de entropía no puede deberse a él. Alternativamente, puede pensarse que si la temperatura de un sistema disminuye, también debe disminuir su entropía. Si ese fuera el único factor relevante, en este caso tendríamos una reducción de entropía en el universo, lo cual no puede ocurrir, pues una expansión de un tubo de aire comprimido es perfectamente posible. Para hacer los cálculos correctamente hay que tener en cuenta que la entropía de un gas también depende los cambios en su volumen, de forma que tenemos

0

2 2v

1 1

T VS = n.C .ln - n.R.ln

T VΔ

O, en función de la temperatura y la presión

0

2 2p

1 1

T PS = n.C .ln - n.R.ln

T PΔ

Para los coeficientes tenemos que

.1 1

po

P .Vn.R = n.C = n.R

T - 1

γ

γ

Siendo

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22 -3 3

1 1V = .r .h = . 0,10 m . 0,14 m = 4,40 x 10 m

Esto nos da la variación de entropía

5 -3 5 -3 J J1,4 4 x 10 x 4,40 x 10 231 4 x 10 x 4,40 x 10 1,0S = ln - ln = + 3,24

K K0,4 294 294 294 4,0Δ . . .

4 Exergía

La exergía de un sistema es una función de estado que nos da el máximo trabajo útil que se puede extraer de él. En el caso de un fluido, tiene la expresión

o oo o oX = U - U + P . V - V - T . S - S

Siendo p0 y T0 la presión y temperaturas del entorno y U0, V0 y S0 la energía interna, el volumen y la entropía del sistema cuando alcanza el estado muerto, es decir, cuando llega al equilibrio térmico y mecánico con el ambiente. Puesto que la presión y temperatura externas son constantes, la variación de exergía entre dos estados es igual a

.o oX = U + P V - T . S Δ Δ Δ Δ

En nuestro caso tenemos

. .o oU = W = - P V U + P V = 0Δ Δ Δ Δ

Lo que reduce la variación de la exergía a

oX = - T . S = - 294 x 3,24 J = - 954 J Δ Δ

Puesto que se ha producido entropía en el proceso, se ha desperdiciado trabajo y reducido la exergía. El valor final de la exergía no es nulo, ya que el gas aun no ha alcanzado el estado muerto. Su presión iguala a la exterior, pero su temperatura es diferente. Cuando llega al estado muerto tenemos que

.o o 1 1 1

o 1o 1 o

P .V P .V P = V = V

T T P

Que en este caso significa que el volumen inicial se multiplica por 4.

3 -3 3-3oV = 4. 4.40 x 10 m = 17,6 x 10 m

La energía interna inicial y la del estado muerto tienen el mismo valor, por ser igual la temperatura

o U - U = 0

Mientras que el cambio de entropía respecto al estado inicial es

o 1o p

o

JT PS = S - S = n.C . ln - n.R. ln = - 8,30

KT PΔ

Lo que nos da la exergía inicial

5 -3 -31X = 0 + 10 . 4,40 x 10 - 17,6 x 10 - 294. - 8,30 J = 1119 J

Y tras la expansión

2 1X = X + X = 1119 - 954 J = 165 JΔ

10.19 Variación de entropía por compresión

1 Enunciado

Considere un prisma vertical de 4  cm de lado que contiene aire. El cilindro contiene un pistón que inicialmente está a 10  cm de altura. La temperatura del gas inicialmente es de 300  K, que también es la temperatura ambiente y la presión exterior es de 100  kPa. Calcule la variación en la entropía del gas, del entorno y del universo en los cuatro siguientes procesos: 1. Se coloca bruscamente una pesa de 4  kg encima del émbolo y las paredes son diatermas. 2. Se colocan progresivamente 4  kg de arena, grano a grano y las paredes son diatermas. 3. Se coloca bruscamente una pesa de 4  kg encima del émbolo y las paredes son adiabáticas. 4. Se colocan progresivamente 4  kg de arena, grano a grano y las paredes son adiabáticas. 2 Introducción

En este problema tenemos cuatro variantes del mismo sistema, que son muy similares en apariencia, pero difieren en detalles cruciales que provocan que los resultados sean distintos en cada uno de los casos. Los cálculos analíticos (pero no los valores numéricos) del trabajo y calor en estos cuatro procesos se consideran además en los problemas “Trabajo en una compresión isoterma por un peso” y “Compresión adiabática de un gas por un peso”. En todos los casos tenemos inicialmente un gas en un estado A en el que ocupa un cierto volumen a una cierta presión y temperatura iguales a las del ambiente

3

A 0 A 0 AP = P = 1,0 bar V = S.h = 160 cm y T = 300 K

Asimismo, en las cuatro situaciones se añade una pesa que incrementa la presión sobre el gas a un valor

B B

m.gP = P + = 125 bar

S

(Aproximando g por 10  m/s²). La temperatura y volumen final, en cambio, dependen del proceso que consideremos.

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3 Compresión isoterma irreversible

En el primer caso, el recipiente no está aislado del exterior, por lo que una vez se deja caer la pesa y se alcanza de nuevo el equilibrio, su temperatura final es igual a la inicial

B AT = T = 300 K

Puesto que tenemos la presión y la temperatura tenemos automáticamente el volumen, por la ley de los gases ideales (o, en este caso particular, la ley de Boyle)

. . 3A A

B B A A BB

P .VP V = P V V = = 128 cm

P

En términos de la nueva altura del pistón

A AB

B

P .hh = = 8 cm

P

Para calcular la variación de entropía tenemos que hallar por separado la del sistema y la del ambiente. El ambiente es un foco térmico a temperatura constante T0. Su variación de entropía es la correspondiente a un proceso isotermo reversible

ambamb

0

QS =

TΔ

El calor que entra en el ambiente es el mismo que sale del sistema

= in;amb out;sisQ Q

A su vez el calor que sale del sistema lo da el primer principio de la termodinámica

= out;sis in;sisQ - U+ WΔ

Por ser un proceso isotermo de un gas ideal, su variación de energía interna es nula

U = 0Δ

Mientras que el trabajo se halla a parte de la integral de la presión exterior, que es constante (e igual a la final)

.B -6 35

ext B Ain;sis BA

W = - P .dV = - P . V - V = -1,25 x 10 128 - 160 x 10 Pa.m = + 3,92 J

(Los decimales finales resultan de hacer los cálculos exactos, con g = 9.81N/kg, aunque en su presentación se redondeen los resultados a tres cifras significativas). Es decir, en el sistema entran unos 4 julios en forma de trabajo, que no son almacenados, sino que vuelven a salir en forma de calor, entregando entropía al ambiente. Por tanto, la variación de entropía del ambiente es

amb

3,92 J mJS = = + 13,1

300 K KΔ

La fórmula anterior no nos vale para el cálculo de la variación de entropía del propio gas. No sabemos si la temperatura del sistema ha permanecido constante. Lo único que sabemos es que su temperatura inicial y final es la misma, pero en medio puede haber cambiado, incluso de forma no uniforme (calentándose algunos puntos más que otros). Para hallar la variación de entropía del sistema podemos:

imaginar un proceso reversible que lleve del estado inicial al mismo estado final.

aplicar que la entropía es una función de estado y por tanto solo necesitamos conocer su valor final y su valor inicial.

El segundo método solo es aplicable cuando conocemos la entropía como función de las variables de estado. Para el caso de un gas ideal esto es posible. En función de la temperatura y la presión, la variación de entropía es

B BB A p

A A

T PS = S - S = n.C . ln - n.R. ln

T PΔ

Puesto que la temperatura final es la misma que la inicial el primer término se cancela y queda

5 -6

A A Bsis

A A

10 . 160 x 10P - V J JP 1,25S = - .ln = - .ln = - 11,7

T 300 K KP 1,0Δ

Vemos que no hay problema en que la variación de entropía del sistema sea negativa. Lo que debe ser positiva o nula es la variación de entropía del universo entero. Sumando las dos contribuciones

u sis amb

mJ mJS = S + S = - 11,7 + 13,1 = + 1,37

K KΔ Δ Δ

La variación de entropía del universo es estrictamente positiva, como corresponde a un proceso irreversible. 4 Compresión isoterma reversible

En el segundo caso, la presión y la temperatura finales son los mismos que en el primer caso

B B A P = 1,25 bar T = T = 300 K

Y por ello el volumen final también es el mismo que en el primer caso:

.. .

3A AB B A A B

B

P V P V = P V V = = 128 cm

P

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Puesto que el estado inicial es el mismo que en todos los casos y el estado final coincide con el el apartado anterior, la variación de entropía del sistema (que depende sólo de los estados) es la misma que allí

.

5 -6

A A Bsis

A A

10 . 160 x 10P V J mJP 1,25S = - . ln = - . ln = - 11,7

T 300 K KP 1,0Δ

Para el ambiente la expresión general sigue siendo la misma

in;amb

amb amb

QS =

TΔ

Pero el calor que entra en el ambiente es diferente del de antes, ya que el trabajo realizado sobre el gas no es el mismo

B

in;amb out;sis in;sis AQ = Q = W = - PdV

Por tratarse de un proceso isotermo cuasiestático

.

Bin;sis A A

A

PW = P V . ln

P

Por lo que la variación de entropía del ambiente es ahora

.

A A Bamb

A A

P V PS = . ln

T PΔ

Aplicando las propiedades de los logaritmos vemos que esta variación de entropía es igual en magnitud y de signo opuesto a la del sistema, por lo que

u sis amb

mJ mJS = S + S = - 11,7 + 11,7 = 0

K KΔ Δ Δ

Aunque la variación de entropía del sistema es distinta de cero (negativa incluso), la del universo es nula, lo que nos indica que el proceso es reversible. 5 Compresión adiabática irreversible

En el tercer caso, el recipiente está aislado térmicamente. Por tanto, en el ambiente no entra ni sale calor y

ambS = 0Δ

La variación de entropía del sistema, en cambio, no es nula, ya que el proceso es irreversible. Es más, por el principio del aumento de entropía, debe resultar una variación positiva. Para calcular la variación de entropía del sistema debemos conocer su estado final. Este no es el mismo que el dos los dos apartados anteriores, ya que en este caso la temperatura cambia. Al estar aislado del exterior, no se pone en equilibrio térmico con éste. Obtenemos el estado final a partir del primer principio de la termodinámica. Puesto que el proceso es adiabático

Q = 0 W = UΔ

El trabajo que entra en el sistema, al ser la presión externa constante, vale

B ABW = - P . V - V

Donde VB es desconocido. La variación de la energía interna es, por su parte,

B A B B A Av

n.R. T - T P .V - P .VU = n.C . T = =

- 1 - 1Δ Δ

γ γ

Igualando y despejando

.

B B A A B AB AB B A

B

P .V - P .V P - P- P . V - V = V = 1 - V

- 1 Pγ γ.

El valor numérico del nuevo volumen, teniendo en cuenta que γ = 1.4 para el aire, es 3

BV = 137,5 cm y h = 8,59 cm

El pistón baja menos que en el caso anterior. La nueva temperatura final la obtenemos de la ley de los gases ideales

B B

B A BA A

P .VT = .T T = 321 K

P .V

La temperatura del gas aumenta en 21°C. La variación de entropía del sistema es ahora

B B sis

A A

T PΔS = nCp.ln - n.R.ln

T P

El segundo término es el mismo de los apartados anteriores, pero el primero ya no es nulo, sino que vale

. .

.

A AB B B

AA A A

.n.R .P V mJT T Tn.Cp.ln = ln = ln = + 12,6

- 1 - 1 T KT T T

γ γ

γ γ

Siendo la variación total de entropía del sistema

sis

mJ mJS = 12,6 - 11,7 = + 0,9

K K Δ

Que de nuevo es positiva, por ser un proceso irreversible. La condición de que la entropía debe aumentar nos establece un valor mínimo para la temperatura final. Debe ser

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/

.

- 1

B B Bp B A

A A A

T P Pn.C .ln - n.R.ln 0 T T

T P P

γ γ

6 Compresión adiabática reversible

En el último caso, tenemos de nuevo un proceso adiabático. No se intercambia calor con el ambiente y

in; amb

ambamb

Q S = = 0

TΔ

Para el sistema, el cálculo sigue la misma lógica que el del apartado anterior, pero hay que ir grano a grano, es decir, en forma diferencial,

B vQ = 0 W = dU - P .dV = n.C .dTδ δ

Aplicando la ley de los gases ideales

d P.Vn.R.dT dPV + PdV- P.dV = = =

- 1 - 1 - 1γ γ γ

Si aquí agrupamos los términos obtenemos

.dP dV

+ = 0P V

γ

Y una vez integrada nos da la ley de Poisson

.

B BB B A A

A A

P V ln + ln = 0 P .V = P .V

P V

γ γγ

Despejamos de aquí el nuevo volumen

. .

1 11,4

3 3 BAB A B

B

VP 1,00V = V = 160 cm = 136,8 cm h = = 8,55 cm

SP 1,25

γ

Vemos que se comprime un poco más que antes. La nueva temperatura final del gas vale

..

.

B BB A

A A

P VT = T = 319 K

P V

Y se calienta un poco menos que en el caso anterior. La variación de entropía del sistema es ahora

. . .

. ..

A A A AB B B Bamb p

A AA A A A

P V P VT P T PS = n.C .ln - n.R.ln = ln - ln

- 1 T TT P T P

γΔ

γ

El segundo término vuelve a valer lo mismo que en los casos anteriores

..

A A B

A A

P V mJP- ln = - 11.7

T KP

Mientras que el primero vale

. .

..

A A B

A A

P V mJTln = + 11.7

- 1 T KT

γ

γ

De forma que

sis

mJ mJS = 11,7 - 11,7 = 0,0

K KΔ

Puesto que la variación de entropía del ambiente es nula, obtenemos que la entropía del universo permance constante y el proceso es reversible. En general, un proceso adiabático cuasiestático de un sistema es isentrópico. Podíamos haber llegado directamente a este resultado observando que en función de la presión y el volumen

.

B B B Bsis v p v

A A A A

P V P VS = n.C .ln + n.C .ln = n.C . ln + ln = 0

P V P VΔ γ

Vemos que la isentropía se deduce de la ley de Poisson y viceversa. 10.20. Producción de entropía en un frigorífico real

1 Enunciado

Para mantener su interior a 4°C en una habitación que se encuentra a 27°C un frigorífico ha de extraer 360  kJ/min de su interior. Si la entrada de potencia requerida por el frigorífico es 2  kW, determine: 1. Eficiencia del refrigerador. Compárela con la eficiencia de un refrigerador ideal (reversible) que trabaje entre los mismos focos térmicos. 2. Potencia extra que consume este frigorífico respecto a uno ideal que extraiga la misma energía de su interior. 3. Entropía generada por segundo en el universo por la operación del frigorífico real. 2 Eficiencia del refrigerador

La eficiencia de un refrigerador se expresa habitualmente en términos del coeficiente de operación (COP), denotado por COPR. También se utiliza a veces la letra η. Usaremos esta última notación en este problema.

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La eficiencia de un refrigerador es el calor extraído del foco frío dividido por el trabajo requerido para hacer funcionar el refrigerador. Por supuesto esta definición es igualmente válida cuando se emplea el calor extraido y el trabajo requerido por unidad de tiempo. Entonces para nuestro refrigerador tenemos:

.f

realreal

kJ 1 min360 Q min 60 s

= = = 3,0W 2 kJ/s

η

Esta eficiencia se encuentra dentro del rango de valores típicos del COP para refrigeradores reales. Por otra parte, sabemos que para un refrigerador ideal la eficiencia es una función exclusivamente de las temperaturas del foco frío y del foco caliente:

freversible

c f

T 277 K = = = 12,0

T - T 23 Kη

Es decir, que la eficiencia del refrigerador real es un 25% de la eficiencia teórica máxima que se podría alcanzar para un refrigerador trabajando entre esos focos térmicos. Esto es lo que suele denominarse eficiencia de la segunda ley ó eficiencia del segundo principio. 3 Potencia extra consumida

Dado que la eficiencia de la máquina real es cuatro veces más pequeña que la eficiencia ideal, la potencia necesaria para extraer la misma energía por unidad de tiempo del foco frío en la máquina real debe ser necesariamente mayor

que para la máquina real. La potencia extra necesaria puede calcularse como

. . .

extra real reversibleW = W - W y asumiendo,

como hemos dicho, que ambas máquinas absorben el mismo calor fQ del foco frío obtenemos:

.

. .

reversible realextra realreversible

reversible realreal

..W

W = W 1 - = W 1 - = 2 kW. 1 - 0,25 = 1,5 kW.

W

η

η

Es decir, que la máquina reversible solamente necesitaría el 25% (0.5 kW) de los 2 kW empleados por la máquina real para obtener el mismo resultado. 4 Entropía generada

El trabajo que se obtiene en un refrigerador es la diferencia entre el calor cedido al foco caliente y el calor absorbido del foco frío.

c frealW = Q - Q

Este trabajo puede relacionarse con el incremento de entropía del universo cuando opera la máquina. Recordemos que la máquina es cíclica y por tanto no existe incremento de entropía por ciclo en su interior, pero sí existe un incremento de entropía asociado a la absorción o cesión de calor de los focos:

c f

c f

Q QS = -

T TΔ

Despejando cQ en esta ecuación y sustituyendo en la expresión del trabajo se obtiene:

.

cfreal c

f

TW = Q - 1 + T . S

TΔ

Si la máquina es reversible el principio de incremento de entropía establece que ΔS = 0 y por tanto el trabajo que se obtiene es:

.

cfreversible

f

TW = Q - 1

T

Que constituye una demostración de la ecuación para la eficiencia ideal que se ha empleado en el primer apartado. Entonces la expresión para el trabajo de la máquina real se podría escribir como:

real reversible c W = W + T . SΔ

En virtud del segundo principio de la termodinámica sabemos que el funcionamiento de cualquier máquina real

provoca un aumento de la entropía del universo. Entonces en la ecuación anterior tenemos que S 0 y, como la

temperatura absoluta es siempre positiva, se deduce que Wreal Wreversible. Es decir, que cualquier máquina real operando entre los mismos focos deberá realizar un trabajo mayor que Wreversible para extraer el mismo calor del foco frío. Por tanto, un refrigerador real, debido a su carácter irreversible, debe realizar siempre un trabajo extra que, en virtud de la ecuación anterior, es:

.

extra

.

W = Tc. SΔ

Este trabajo adicional, que no habría sido necesario gastar si la máquina hubiera sido reversible, se añade al calor total trasvasado por el refrigerador al foco caliente y, por tanto, puede considerarse que es energía que se degrada como consecuencia de la irreversibilidad del refrigerador real. Es importante destacar que el trabajo extra es una magnitud proporcional al incremento de entropía del universo en el proceso. Comprobamos aquí que el incremento de entropía nos da una información cuantitativa del grado de irreversibilidad de un proceso y de la degradación de la energía que conlleva. En definitiva de la anterior ecuación podemos calcular el incremento de entropía del universo a partir de la potencia extra:

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.extra

kJ.1,5

W JsS = = = 5,0

T 300 K sKΔ

Nótese que al estar la energía expresada por unidad de tiempo (potencia) lo que obtenemos realmente es el incremento de entropía del universo por segundo (ritmo de generación de entropía). 10.21. Ejemplo de máquina térmica (GIE)

1 Enunciado

Una máquina térmica consume 240  kg de carbón por hora, siendo el poder calorífico de este combustible de 13.0×10³ kcal/kg. Si la máquina tiene un rendimiento del 25% calcule el trabajo suministrado por la máquina y el calor cedido al foco frío en una hora 2 Solución

El calor que produce el carbón (el ―foco caliente‖) en una hora es

.

.

3in

GJkg kcal kJQ = 240 . 13,0x10 4,1866 = 13,1

hh kg kcal

De este calor que entra en el sistema, solo un 25% se va en trabajo realizado

...

in

GJW = 0,25.Q = 3,27

h

Mientras que el resto se pierde en calor desechado al medio ambiente (el ―foco frío‖)

...

outGJ

Q = 0,75.Q = 9,807 h

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Capitulo 11

MODELOS TERMODINÁMICOS DE LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

11.1. EJEMPLO DE MÁQUINA TÉRMICA

Una máquina térmica consume 240 kilogramos de carbón por hora, siendo el poder calorífico de este combustible de 13,0x10

3 kcal/kg. Si la máquina tiene un rendimiento del 25% calcule el trabajo suministrado por la máquina y el

calor cedido al foco frío en una hora. SOLUCIÓN

La figura muestra el esquema de funcionamiento de una máquina térmica. La máquina funciona cíclicamente, y en cada ciclo absorbe una energía | Qc | de un foco térmico a temperatura "Tc" (foco caliente), cede una energía | Qf | a un foco térmico a temperatura "Tf "(foco frío) y produce un trabajo neto | W |. El rendimiento se define como el cociente de lo que obtengo entre lo que me cuesta. En este caso, lo que obtengo es el trabajo neto producido en un ciclo, y lo que me cuesta es el calor absorbido por del foco caliente, que es la energía que hay que suministrarle (podría ser el calor liberado por la combustión de carbón en una planta térmica, el calor liberado por fisión nuclear en una planta nuclear o la energía liberada por la combustión de la gasolina en un coche). Así pues el rendimiento es

c

Wη = = 0,25

Q

Según nos dice el enunciado. En la máquina del problema la energía se obtiene de la combustión de carbón. Nos dice que la máquina consume una masa de carbón mc=240 kilogramos de carbón en una hora, y que cada kilogramo de carbón

produce 3

cP = 13,0x10 Kcal/h . Por tanto, el calor absorbido por la máquina en una hora es:

3 3c cQ = m.P = (240Kg). (13,0x10 Kcal/h. 4,18KJ/Kcal) = 13,0 x 10 MJ

De la definición de rendimiento, obtenemos el trabajo que la máquina produce en una hora 3

W = η. Qc = 3,26 x 10 MJ

Para calcular el calor que cede al foco frío en ese tiempo, aplicamos el Primer Principio de la Termodinámica a la máquina. La variación de energía interna de una máquina en el ciclo es:

c fΔU = Q + W = Q - Q - W

Como la energía interna es una función de estado, en un ciclo su variación ha de ser nula, pues los estados inicial y final coinciden. Entonces:

3f cQ = Q - W = 9,74 x 10 MJ

11.2. RENDIMIENTO DE UN CICLO RECORRIDO POR UN GAS IDEAL

Un gas ideal diatómico recorre el siguiente ciclo: partiendo del el estado de coordenadas, V=4,00L; P=4,00atm; T=600K; se dilata isotérmicamente hasta duplicar su volumen. Después se comprime a presión constante hasta su volumen inicial. Finalmente se calienta a volumen constante hasta que alcanza la presión original. Calcule el rendimiento del ciclo. SOLUCIÓN

La figura muestra el ciclo en el diagrama PV. El rendimiento del ciclo es el trabajo neto obtenido dividido por el calor suministrado al gas. Vamos a calcular el trabajo y el calor absorbido en cada fase del ciclo.

Proceso isotermo 1→2 Los datos de los estados inicial y final son:

1

1

1

Estado 1

P =4,00atm

V =4,00L

T =600K

2

2 1

1 2

Estado 2

P =?

V =2V

T =T

El trabajo realizado por un gas ideal en un proceso isotermo es:

2 2 2 2

12 1 1 1 11 11 1

V VdVW = - PdV = - nRT = - nRT .ln = - P V ln = - 16.ln2 atm.L = -1,12KJ

V VV

Como el proceso es isotermo, la variación de energía interna es nula. Entonces:

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12 12 12 12Q = ΔU - W = - W = 1,12KJ El trabajo es negativo, lo realiza el gas sobre el entorno, y el calor es positivo, es suministrado al gas.

Proceso isóbaro 2→3 En este caso, los datos de los procesos son:

2

2 1

2 1

Estado 2

P = ?

V =2V = 8,00L

T =T = 600K

3 2

3 1

3

Estado 3

P =P =?

V =V =4,00L

T =?

El trabajo realizado en este proceso es:

23 2 3 2 2 1 2 2 1W = -P (V - V ) = -P (V - V ) = P V

Necesitamos el valor de "P2". Para ello aplicamos la ley de Boyle entre los estados 1 y 2:

111 1 2 2 2 1

2

PVP V = P V Þ P = P . =

2V

Por tanto el trabajo es:

1 123

P VW = = 8atm.L = 0,811KJ

2

Al ser el proceso isóbaro, el calor absorbido por el gas es:

3 223Q = n.Cp. T - T

El enunciado dice que el gas es diatómico. Entonces 7R

Cp = 2

. Para averiguar "T3" relacionamos los

estados 2 y 3 con la ecuación de estado del gas ideal:

2 2 3 3 23 3 2 13 2 3

2 3 2 2 2 2

P V P V TP V P V = T = T . = T . = = 300K

T T 2P V P V

El calor es:

2223 2 2 2 1 1

máx máxc

f

f

máx máx

c

7 7 7 7TQ = .n.R - T = - .n.RT = - .P V = - .P V = - 28atm.L = - 2,84KJ

2 4 4 421 1 1 25

COP = = COP = = = 12,5T 297KQ 2f - 1 - 1 - 1 T 275K Qf

η = 1 - = 1- = 0,2.η T 353K

= 25,37% η T 473K

c

f

c f

f f

c

= 5,1%

Q TfCOP = =

Q - Q T - Tc fQ Q273K f f

COP = = 10,5 COP = 26K W 10,5

Q 74,4MJf= = 7,1MJ

10,5 10,5

W Q = = 197KJ

η

k = 1,1W/ m.K k' = 0,025W/ m.K

W

KJQ = mL = 223kg . 333,55 = 74,4MJ W =

Kg

Q = W.

f

. . .

c f máxc

f

.

mín máx

f

c f

. .Q Qf f

Q 4224Wf= 81,4MJ COP = COP = = = = 1056W

. W COP 4 W

1 1= = 5280W COP = =

TQf - 1 - 1 T Qf

.Qf

4224W= = = 142,2W

COP 29,7

Q T 297,15KfCOP = = =

máx Q - Q T - Tc f

+ Q W

Q Q + W

W

. . .

mín máx.

-3

= 29,7307,15K - 297,15K

.Qf

4224W= 913,8W = = 142,2W

COP 29,7

10K= 4224W

5x10 m

ΔT W W Q = k.A

ΔxW

Q = 1,1. x1,6m x 1,2m x m.K

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En este caso el trabajo contribuye se realiza sobre el gas, mientras que el gas cede el calor al entorno.

Proceso isócoro 3→1 Aquí no hay variación de volumen, por lo que el trabajo es nulo:

31W = 0

Como el gas es diatómico, 5R

Cv =2

. Entonces, el calor transferido es

11 3 131 1 1 1

5 5 5TQ = n.Cv T - T = .n.R T - = .n.R.T = .P V = 20atm.L = 2,03

2 4 42

Al ser positivo, este calor es absorbido por el gas.

Rendimiento del ciclo En el rendimiento debemos comparar el trabajo neto proporcionado por el gas y el calor total suministrado. De los apartados anteriores tenemos:

neto 12 23 31W = W + W + W = - 309J

Y

sum 12 31Q = Q + Q = 3,15KJ

Entonces el rendimiento es:

neto

sum

Wη = = 0,0981 10%

Q

Podemos verificar que el resultado es razonable usando que, como el proceso es cíclico, la variación total de energía interna debe ser nulo, esto es, debe cumplirse:

12 23 31 12 23 31W + W + W = - Q + Q + Q

En el diagrama se han añadido los calores y trabajos realizados indicando cómo contribuyen a la variación de energía interna del gas.

Comparación con una máquina de Carnot Podemos comparar el rendimiento obtenido en este ciclo con el que proporcionaría una máquina de Carnot trabajando entre las temperaturas extremas alcanzadas en el ciclo, T1 y T3. Tenemos:

3c

1

Tη = 1 - = 0,5 50%

T

Así pues, el ciclo del enunciado proporciona un rendimiento que es el 20% del máximo que se puede alcanzar trabajando entre estas temperaturas.

11.3. SOBRECOSTE ORIGINADO POR LA LUZ DE UN FRIGORÍFICO

El interruptor de la luz interior de un frigorífico está estropeado, de modo que la luz está siempre encendida. La luz interior consume una potencia de 40.0 W. Si la eficiencia del frigorífico es 1.3, y el coste de la electricidad es de 11.0 céntimos por kWh, calcule el incremento en el consumo del frigorífico y el coste añadido por año si no se arregla el interruptor. SOLUCIÓN

En condiciones normales, la luz interior del frigorífico sólo debe encenderse cuando lo abrimos. El problema aquí es que, al estar el interruptor estropeado, la luz interior está encendida siempre. El sobrecoste proviene del tiempo añadido que la luz está encendida respecto a su funcionamiento normal.

Cuando la luz está encendida, la potencia que consume, luz

.W = 40W , se convierte íntegramente en calor.

Así pues, cuando la luz se enciende la potencia consumida aumenta por dos motivos: la potencia de la

bombilla, luz

.W , y la potencia que debe suministrar el frigorífico para evacuar el calor generado por la

bombilla, Q

.W . Como nos dan la eficiencia del frigorífico, Q

.W es:

luz luz.

r Qr

Q

. .W W

η = = = 30,8W. η

W

W

Así pues, la potencia que debe suministrar el frigorífico a causa de la luz es:

Tot luz Q

. . .W = W + W = 70,8W

Ahora vamos a calcular el número de horas de más que está encendida la luz interior a causa de la avería. El número total de horas en un año es

3

año

365 24 horast = 1 año. . = 8,76x10 h

1 año 1 día

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Ese el tiempo que está encendido la luz durante un año con la avería. Si el funcionamiento es normal, el frigorífico se abre unas 20 veces al día, con una duración media de cada apertura de 30 s. Entonces, el número de horas que está abierto durante el año es:

normal

365 20 aper. 30 s 1 horat = 1 año. . . . = 60,8h

1 año 1 día 1 aper. 3600 s

Por tanto, la energía de más que debe suministrar el frigorífico durante un año es:

Tot año normalsup

.E = W . t - t = 616KWh

El sobrecoste anual debido a la avería se obtiene de multiplicar esta energía suplementaria por el coste del kWh. Obtenemos:

sup

0,11 EuroSobrecoste = E x costo por KWh = 616KWh. = 67,8 Euros

1 KWh

Es una cantidad importante, pues es del orden de magnitud del coste total de la energía consumida por el frigorífico cuando el interruptor no está averiado.

11.4. RENDIMIENTO DE APARATOS HIPOTÉTICOS

Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700  kJ de calor desde un foco térmico a 500  K y produce 300  kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable?. Nuestro inventor vuelve a la carga, esta vez con un refrigerador que, asegura, mantiene el espacio refrigerado a 2°C mientras el ambiente se encuentra a 24°C, teniendo una eficiencia de 13,5. ¿Le hacemos caso? SOLUCIÓN

Motor hipotético 11.4.1 A partir del teorema de Carnot El rendimiento de la supuesta máquina inventada es

c

W 300KJ 3η = = = = 42,9%

Q 700KJ 7

De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es

fmáx

c

T 290K 21η = 1 - = 1 - = = 42,0%

T 500K 50

Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta. 11.4.2 Empleando la desigualdad de Clausius Una forma equivalente de llegar al resultado anterior es partiendo de la desigualdad de Clausius, que nos dice que, en todo proceso cíclico

dQ

0T

En el caso particular de un ciclo que opere solamente entre dos temperaturas, esta desigualdad se transforma en

c f

c f

Q QdQ= + 0

T TT

A partir de los datos proporcionados por el inventor tenemos

f cc c

f f

Q = 700KJ ; T = 500K; Q = Q - W = 400KJ

Q = -400KJ y T = 290K

Sustituyendo todo esto

c f

c f

Q Q 700KJ 400KJ + = - = 20,7 J/K > 0

T T 500KJ 290KJ

Que viola la desigualdad de Clausius y nos permite rechazar el invento. 11.4.3 A partir de la variación en la entropía Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo. Matemáticamente los cálculos son casi idénticos a los que acabamos de hacer, pero su interpretación es distinta. La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.

u sis ambΔS = ΔS + ΔS

La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.

sisΔS = 0 (Proceso cíclico)

La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura Tc), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura Tf).

c f

ambc f

Q QΔS = - +

T T

Sustituyendo los valores

= ; c c f fT 290KT = 500K ; Q = 700KJ; Q = 400KJ

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Queda la variación de entropía

amb

700KJ 400KJΔS = - + = - 20,7 J/K

500K 290K

La variación de entropía del universo será

u sis ambΔS = ΔS + ΔS = 0 J/K - 20,7 J/K < 0

Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible.

Refrigerador hipotético

Para el caso de los refrigeradores, en lugar del rendimiento se usa el coeficiente de desempeño (COP, por las siglas de “coefficient of performance”), que se define usando el mismo principio que para el rendimiento:

lo que se obtieneCOP =

lo que cuesta

Donde en este caso ―lo que se obtiene‖ es la extracción de un calor | Qf | del foco frío y ―lo que cuesta‖ es el trabajo necesario para hacer funcionar el refrigerador:

fQ

COP = W

A diferencia del rendimiento, el COP sí puede ser mayor que la unidad. Puesto que, por el primer principio el trabajo realizado por el sistema es la diferencia entre el calor que entra y el calor que sale, podemos expresar el COP en función del calor solamente

c

f

f

c f

Q1

COP = =QQ - Q

- 1 Q

Como con el rendimiento de las máquinas térmicas, existe un límite al coeficiente de desempeño de un refrigerador. Este límite lo da un refrigerador de Carnot, que es una máquina de Carnot a la que, por ser reversible, se ha hecho funcionar en sentido inverso. El COP de un refrigerador de Carnot es

máxcc

ff

1 1COP = =

TQ - 1 - 1 T Q

Para los datos del enunciado

máx

1 25COP = = = 12,5

297K 2 - 1 275K

Puesto que la eficiencia alegada es de 13,5; superior a la máxima, concluimos que esta invención también es fraudulenta.

11.5. RENDIMIENTO DE UNA MÁQUINA TÉRMICA REAL

Una máquina térmica que funciona entre 200°C y 80,0°C alcanza un 20,0% de su rendimiento teórico máximo. ¿Cuánta energía debe absorber para realizar 10,0  kJ de trabajo? SOLUCIÓN

El rendimiento teórico máximo de una máquina que opera entre estas dos temperaturas es

f

máx

c

η = 1 - = 1- T 353K

= 25,37% T 473K

Puesto que esta máquina funciona al 20% del rendimiento máximo, su rendimiento real es:

máx= 0,2.η = 5,1%η

Esto quiere decir que para realizar un trabajo de 10  kJ requiere un calor

c

WQ = = 197KJ

η

De este calor, casi el 95% se va en calor de desecho.

11.6. EJEMPLO DE FRIGORÍFICO DE CARNOT

Una máquina frigorífica de las que se emplean para fabricar hielo funciona según un ciclo de Carnot reversible absorbiendo calor de un tanque de agua a 0,00°C y cediéndolo al aire en el interior de un local que se mantiene a 26,0°C. La máquina fabrica 223  kg de hielo en un día. Calcule el trabajo consumido y el calor cedido al aire.

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SOLUCIÓN

El coeficiente de desempeño (COP) de un refrigerador que funciona según el ciclo de Carnot es

f

c f

Q TfCOP = =

Q - Q T - Tc f

Que, para este caso, da

273KCOP = = 10,5

26K

Esto quiere decir que para extraer una cantidad de calor | Qf | debe realizar un trabajo

Q Qf f

COP = W 10,5

W

En este caso, el calor que extrae es el de fusión del hielo

f f

KJQ = mL = 223kg . 333,55 = 74,4MJ

Kg

Así que el trabajo necesario es

Q 74,4MJf= = 7,1MJ

10,5 10,5W =

Y la cantidad de calor emitida al ambiente es la que extrae, más el trabajo necesario para hacerlo

c f = 81,4MJQ = W + Q

11.7. RENDIMIENTO DE UN APARATO DE AIRE ACONDICIONADO

Para refrescar una habitación se emplea un aparato de aire acondicionado con un coeficiente de despeño (COP ó η) de 4. El exterior se encuentra a 34°C mientras que el interior del despacho se mantiene a 24°C. El despacho, que esta vacío, tiene una ventana de vidrio por la cual entra calor desde el exterior.

1. Si el calor que entra por la ventana en la unidad de tiempo es Q=4224W, calcule el trabajo por segundo (potencia) que debe realizar el aparato para mantener la temperatura interior y la cantidad de calor que es arrojada al exterior.

2. Determine el COP máximo que podría tener un aparato de aire acondicionado que operara entre estas dos temperaturas.

3. Halle la potencia mínima que se requeriría para extraer la misma cantidad de calor por segundo, así como la potencia extra que requiere el aparato real.

4. Demuestre que el calor que entra por segundo en la habitación coincide con el valor dado en el primer apartado, si las dimensiones de la ventana son de 5mm de espesor, 160cm de ancho y 120cm de alto. La

conductividad calorífica del vidrio es k = 1,1W/ m.K .

5. Si se sustituye el cristal por uno doble, formado por dos láminas de vidrio como la anterior, entre las cuales hay

una capa de aire de 2cm de espesor, con una conductividad térmica efectiva k' = 0,025W/ m.K , ¿cómo

cambian los resultados anteriores? SOLUCIÓN (Septiembre 2009, P-2)

Trabajo y calor expulsado

El coeficiente de desempeño (COP) de una máquina frigorífica es el cociente entre lo que se saca (el calor extraído del foco frío) y lo que cuesta (el trabajo de operación de la máquina), por lo que

QfCOP =

W

Esta relación también se cumple en la unidad de tiempo, por lo que también se aplica al calor extraído por segundo y a la potencia del aparato

.Qf

COP = .

W

De donde la potencia del aparato es

.

.Qf

4224W= = = 1056W

COP 4W

Aquí el calor extraído del foco frío es el que entra por la ventana, ya que para mantener la temperatura interior, hay que ir evacuando todo lo que entra. El calor que sale al exterior (foco caliente) en la unidad de tiempo es

. . .

c f= = 5280WQ Q + W

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Valores máximos

El COP máximo lo obtendríamos con una "máquina de Carnot" que operara entre la temperatura interior y la exterior. El COP de esta máquina sería

f

c f

Q T 297,15KfCOP = = = = 29,7

máx Q - Q T - T 307,15K - 297,15Kc f

Diferencia con el valor máximo

La potencia mínima para extraer esta cantidad de calor por segundo sería

.

mín máx

.Qf

4224W= = = 142,2W

COP 29,7W

Y la diferencia entre la potencia real y la ideal

. .

mín

= 913,8W W W

Vemos que el COP real es solo un 13% del ideal.

Cálculo del calor entrante

El valor del calor que entra por la ventana puede obtenerse a partir de los datos indicados. Al tratarse de un proceso de conducción de calor, el flujo de calor a través de la ventana es

. ΔTQ = k.A

Δx

Y sustituyendo los datos de la conductividad, el área y el espesor nos da .

-3

10K= 4224W

5x10 m

WQ = 1,1. x1,6m x 1,2m x

m.K

Caso de una ventana aislante Cuando tenemos una ventana doble, el calor debe atravesar tres capas: las dos de vidrio y la intermedia de

aire.

La cantidad de calor que atraviesa las tres capas es la misma (pues si no, algo dentro de la ventana se estaría calentando o enfriando), por lo que

ext a a b b int.T -T T -T T -T

k.A. = k'.A. = k.A. = Q l l' l

Siendo Ta y Tb las temperaturas en los dos extremos de la capa de aire y l' el espesor de esta capa (l es el

espesor de las láminas de vidrio). Aquí .

Q no es la entrada de calor del primer apartado, sino la nueva entrada

de calor que queremos calcular. Despejando de las igualdades anteriores

ext a a b b int

. . .l.Q l'.Q l.Q

= = = k.A k'.A k.A

T - T T - T T - T

Sumando las tres ecuaciones

. .

ext int

k.k'.A.ΔT2.l l'= .

2.l.k' + l'.kk.A k'.A ΔT = T - T Q Q =

Sustituyendo los valores numéricos: .

Q = 23,7W

Esto es, la cantidad de calor que entra se ha reducido ¡en un 99.5%! A partir de aquí tenemos la potencia necesario para extraer este calor. Sería solo

.

.

Q

W = = 5,9WCOP

Y si el aparato fuera una máquina de Carnot .

.

mín máx

Q

W = = 0,8WCOP

Con una diferencia entre la ideal y la real de 5,1  W.

11.8. VARIACIÓN DE ENTROPÍA EN EL PASO DE HIELO A VAPOR

Calcule la variación de entropía de un bloque de hielo de 27,0  gramos a −12,0°C cuando pasa reversiblemente al estado de vapor a 115°C, a presión constante.

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Datos: cp (vapor) = 2.08  kJ/kg K, cp (agua) = 4.18  kJ/kg K, cp (hielo) = 2.11  kJ/kg K, Lf = 333.53  J/g, Lv=2257  J/g SOLUCIÓN

Desglose en procesos

Para llegar desde hielo a -12°C a vapor a 115°C, el agua debe experimentar un proceso formado por cinco tramos:

En primer lugar hay que elevar el hielo a una temperatura de 0°C, que es a la que ocurre la fusión (suponiendo que la presión es la atmosférica).

A continuación, hay que fundir el hielo, resultando agua a 0°C.

Luego se calienta el agua desde 0°C hasta 100°C, en que se produce la ebullición.

El agua se transforma en vapor de agua a 100°C.

El vapor se calienta desde 100°C a 115°C. Consideraremos cada uno de estos pasos por separado.

Calentamiento del hielo

El aumento diferencial de entropía se define como

revdQdS =

T

Siendo dQrev la cantidad de calor que entra en el sistema en un proceso reversible. En un calentamiento a presión constante, este calor es proporcional al aumento de temperatura:

rev pdQ = C .dT

Aquí Cp es la capacidad calorífica. Si el dato es, como en este problema, el calor específico (por unidad de masa), la expresión correspondiente será:

rev pdQ = m.C .dT

Y el aumento de entropía:

p

dTdS = m.C .

T

Si el calor específico es independiente de la temperatura en un rango amplio, podemos integrar esta ecuación y obtener un aumento finito de entropía

f

p

i

TΔS = m.C .ln

T

Para el caso del hielo tenemos que

p i f

Jm = 27,0g C = 2,11 T = 261K T = 273K

g.K

Lo que nos da

1

JΔS = 2,56

K

Fusión

La fusión del hielo ocurre a temperatura constante, por ello el aumento de la entropía es simplemente:

rev f

2

Q m.LΔS = =

T T

Siendo:

f

JL = 333,55

g

El calor de fusión (o entalpía de fusión) del hielo. La temperatura de fusión es naturalmente 273  K, por lo que el incremento de entropía es:

2

333,55 J/g JΔS = 27g . = 33,0

273K K

Calentamiento del agua

Si admitimos que el calor específico del agua no varía de 0°C a 100°C, el incremento de entropía por calentamiento del agua tiene la misma expresión que para el hielo

f

3 p

i

TΔS = m.C .ln

T

Con:

p i f

Jm = 27,0g C = 4,18 T = 273K T = 373K

g.K

Resultando

3

JΔS = 35,2

K

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Ebullición

En la ebullición del agua tenemos otro proceso a temperatura constante, con un aumento de entropía

v

4

m.LΔS =

T

Donde

v

JT = 373K y L = 2257

g

Lv es el calor de vaporización (o entalpía de vaporización) del agua. Esto nos da

4

JΔS = 163

K

Calentamiento del vapor

Por último, tenemos el calentamiento del vapor, que tiene una expresión análoga a la del hielo y del agua, con

i f

Jm = 27,0g ; Cp = 2,08 ; T = 373K ; T = 388K

g.K

Resultando

JΔS = 2,21

K

Aumento total de entropía

Sumando las cinco contribuciones obtenemos el aumento total de entropía

J J

ΔS = 2,56 + 33,0 + 35,2 + 163 + 2,21 = 236K K

Vemos que la contribución principal, con diferencia, corresponde a la vaporización del agua. Esto está de acuerdo con la interpretación de la entropía como medida del desorden, ya que sin duda el paso que implica un mayor aumento de éste es la transformación de un líquido (con moléculas muy próximas y parcialmente ordenadas) en un gas (con moléculas alejadas y con movimientos totalmente aleatorios).

11.9. INMERSIÓN DE UN BLOQUE METÁLICO EN AGUA

Un bloque de cobre de 50  kg a 80°C se deja caer en un tanque aislado adiabáticamente que contiene 120  l de agua a 25°C. Determine la temperatura final de equilibrio y la variación total del entropía. Dato: cp(cobre) = 0.095 cal/g·K. SOLUCIÓN

Temperatura final

Al sumergirse, el cobre se enfría, cediendo calor al agua, que se calienta. El equilibrio se alcanza cuando ambos se ponen la misma temperatura. La temperatura de equilibrio la obtenemos igualando el calor cedido por el cobre con el absorbido por el agua

Cu Cu iCu H2O H2O iH2Om .C . T - T = m .C . T - T

Sustituyendo:

o o

o o

cal cal50000g. 0,095 . 80 C- T = 120000g. 1 . T - 25 C

g. C g. C

que tiene por solución oT = 27,0 C

Variación de la entropía

Del Cobre Al enfriarse, la entropía del cobre disminuye. Si el calor específico puede suponerse independiente de la temperatura, la variación de entropía es igual a:

2 2

1 1

T Trev 2

Cu Cu Cu pT T1

dQ TdTΔS = = m .C = m.C .ln

T T T

Siendo su valor numérico:

cal KJcal 273,15 +27,0ΔS = 50000g . 0,095 .ln = -772 = - 3,22

Cu oo K273,15 + 80,0 g. Cg. C

Del agua El agua se calienta, por lo que su entropía aumenta. Suponiendo de nuevo que el calor específico puede suponerse independiente de la temperatura (lo cual es muy razonable dado que el agua se calienta menos de 2 grados), la variación de entropía es

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2

H2O H2O H2O

1

TΔS = m .C .ln

T

Siendo su valor numérico:

H O2

cal KJcal 273,15 +27,0ΔS = 120000g . 1 .ln = +802 = + 3,36

oo K273,15 + 25,0 g. Cg. C

Total Sumando los dos incrementos obtenemos la variación de entropía total

Cu H2O o o o

cal cal cal KJΔS = ΔS + ΔS = -772 + 802 = +30 = +0,13

Kg. C g. C C

La variación neta de entropía es positiva, como corresponde a un proceso irreversible en un sistema aislado (no hay intercambio de calor con el exterior). Hay que señalar que, aunque se calcula la entropía suponiendo un proceso reversible en el que la temperatura de los dos componentes varía gradualmente de su valor inicial al final, no es eso lo que ocurre realmente. La variación es abrupta y puede ser no uniforme (las partes del agua en contacto con el cobre se calientan antes que las alejadas). Lo que hacemos es emplear un proceso reversible que lleve del mismo estado inicial al final ya que, por tratarse la entropía de una función de estado, su incremento es independiente del camino elegido.

11.10. COMPARACIÓN DE DOS VARIACIONES DE ENTROPÍA

Enunciado Calcule la variación de entropía en las dos situaciones siguientes: 1. 100  ml de agua a 80°C son vertidos en un tanque de agua a 20°C. 2. 100  ml de agua a 20°C son vertidos en un tanque de agua a 80°C. Suponga que la presión es la atmosférica en todo momento.

SOLUCIÓN

Solución general

Los dos fenómenos son del mismo tipo: una cierta cantidad de sustancia a una temperatura Ti es puesta en contacto con un baño térmico a una temperatura Tf. Como resultado, la temperatura de la sustancia cambia hasta igualarse con la del baño. En el proceso se produce una transferencia de calor y una variación en la entropía del universo. Para hallar esta variación separamos en la variación de la entropía del sistema, del baño y la total.

Variación de entropía del ambiente Cuando el agua del sistema se enfría o se calienta intercambia una cierta cantidad de calor igual a

sistQ = ΔU - W

Puesto que el proceso ocurre a presión constante, el trabajo realizado sobre el sistema no es nulo, sino que vale − pΔV. Para incluirlo en los cálculos, en lugar de la energía interna usamos la entalpía H = U + pV. A presión constante, el calor equivale a la variación de la entalpía, y es proporcional a la variación de la temperatura

f isist pQ = ΔH = m.C . T - T

Siendo pC = 1cal/g.K el calor específico del agua (por unidad de masa).

Este calor es negativo si el sistema se enfría (pues en realidad sale del sistema) y positivo si se calienta. El calor que entra en el ambiente es este mismo, cambiado de signo

i famb sist pQ = - Q = m.C . T - T

Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente) Tf, por lo que el aumento de entropía del ambiente es

i fambamb

amb f

m.C . T - TQ pΔS =

T T

Variación de entropía del sistema El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. Al verter el agua, el cambio de temperatura se producirá en general de una forma complicada. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados. Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el agua vertida se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente diferente al siguiente, de forma que situaríamos al agua en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía. La variación de entropía cuando el agua pasa de una temperatura T a una T + dT es:

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revm.C .dTdQ p

dS =T T

Si suponemos que el calor específico no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía

fsist p

i

TΔS = m.C .ln

T

Variación de entropía total Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo.

i f famb sist p

f i

T - T TΔS + ΔS = m.C . + ln

T T

La fórmula puede aplicarse tanto al primer caso, de enfriamiento, como al segundo, de calentamiento. Puesto que los dos procesos parecen simétricos, podría pensarse que van a resultar iguales y de signo contrario. Veremos que no es así.

Agua caliente en tanque frío

En el primer caso

f i p

JC = 4,18

g.KT = 353K ; T = 293K ; m = 100g ;

Lo que nos da para la variación de entropía del sistema

fsist p

i

JTΔS = m.C .ln = - 77,8

KT

Para el ambiente es

i f

amb

f

m.C . T - T JpΔS = = + 85,6

T K

La del universo es

U amb sist

JΔS = ΔS + ΔS = +7,80

K

La variación de la entropía es positiva, como corresponde a un proceso irreversible. El sistema reduce su entropía al enfriarse, pero al ambiente ve incrementada la suya en una cantidad mayor.

Agua fría en tanque caliente

En el segundo caso

f i p

JC = 4,18

g.KT = 353K ; T = 293K ; m = 100g ;

Lo que nos da para la variación de entropía del sistema

fsist p

i

JTΔS = m.C .ln = +77,8

KT

Esta es igual a la del caso anterior, pero cambiada de signo. Esto está de acuerdo con que se trata del mismo proceso reversible recorrido en sentido contrario. Para el ambiente es ahora

i f

amb

f

m.C . T - T Jp ΔS = = - 71,0

T K

Que es diferente de la del caso anterior (el denominador es distinto). La del universo es en este caso

U amb sist

JΔS = ΔS + ΔS = +6,80

K

La variación de la entropía vuelve a ser positiva, ya que de nuevo tenemos un proceso irreversible. El sistema aumenta su entropía al calentarse, y la reducción en la entropía del ambiente es más pequeña.

11.11. VARIACIÓN DE ENTROPÍA CON UN BAÑO TÉRMICO

Enunciado Un tanque de volumen constante contiene 100 moles de aire a una presión de 100 kPa y una temperatura de 327°C. El aire se enfría hasta la temperatura del ambiente de 27,0°C. Suponiendo que el aire se comporta como un gas ideal diatómico, determine la variación de entropía del aire y del Universo durante el proceso.

SOLUCIÓN

Variación de entropía del ambiente

Cuando el aire se enfría intercambia una cierta cantidad de calor igual a

sistQ = ΔU - W

Puesto que el proceso ocurre a volumen constante, el trabajo realizado sobre el gas es nulo y el calor equivale a la variación de la energía interna

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=0

f isistQ = ΔU - W = n.Cv. T - T

Cuyo valor es

sist

5 calQ = 100mol. . 2. = -150Kcal.

2 K.mol. 300K - 600K

Este calor es negativo pues en realidad sale del sistema El calor que entra en el ambiente es este mismo, cambiado de signo

amb sist i fQ = - Q = n.Cv. molT - T = 150Kcal.

Esta entrada de calor se produce a una temperatura constante (en el ambiente), por lo que el aumento de entropía del ambiente es

i fambamb

amb f

n.C . T - TQ cal JvΔS = 500 = 2090

T T K K

Un cálculo más preciso, usando los valores empíricos de la capacidad calorífica del aire da

amb

100mol. 20,7643 J/K.mol .300K JΔS = = 2076,43

300K K

Variación de entropía del sistema

El proceso que se describe en este ejemplo es irreversible, ya que se debe a una cesión de calor debida a una diferencia finita de temperaturas. En el gas, el enfriamiento se producirá en general de una forma complicada, enfriándose primero las partes en contacto con las paredes y luego, por conducción, difusión o radiación, las partes del interior. Sin embargo, al ser tanto el estado inicial como el final estados de equilibrio, podemos calcular la variación de entropía suponiendo un proceso reversible que conecte estos dos mismos estados. Este proceso reversible sería una variación gradual y uniforme de la temperatura, de forma que en todo momento el gas se supone en equilibrio térmico. Para realizar este proceso necesitaríamos una cantidad infinita de baños térmicos, cada uno a una temperatura ligeramente superior al siguiente, de forma que situaríamos al gas en contacto sucesivo con cada uno de ellos. Por supuesto, este proceso es irrealizable en la práctica, pero nos basta para hallar el cambio de entropía. La variación de entropía cuando el gas pasa de una temperatura T a una T + dT es

revdQ n.C .dTvdS =T T

Si suponemos que la capacidad calorífica no depende de la temperatura, podemos integrar esta ecuación y obtener el incremento de entropía

fsist v

i

TΔS = n.C .ln

T

Sustituyendo nos queda

.

sist

5 cal 300ΔS = 100mol. 2. .ln = -500.ln 2 = -347

2 K.mol 600

cal cal cal= -1449

K K K

La variación es negativa porque al enfriarse el sistema reduce su agitación térmica, ordenándose y disminuyendo su entropía.

De nuevo, un cálculo más exacto usando vC = 20,7643 J/mol.K , da

sist

JΔS = -1439

K

Variación de entropía total

Sumando las dos contribuciones obtenemos la variación de entropía total del universo.

U amb sist

cal cal JΔS = ΔS + ΔS = 500 1 - ln(2) = 153 = 641

K K K

(ó , más exactamente, UΔS = 637 J/K ). La variación neta es positiva pues estamos considerando un

proceso irreversible.

11.12.

Enunciado

Se tiene un bloque de hielo de masa hm = 500g de hielo sumergido en un volumen de agua de masa am = 500g ,

ambos a una temperatura o

aT = 0,00 C . El conjunto está contenido en un recipiente cilíndrico de vidrio, de

diámetro d =16,0cm y espesor e =1,00cm , abierto por arriba al aire (que se puede suponer un aislante térmico

perfecto). El recipiente está sumergido en un baño de agua a o

bT = 20,00 C .

1. Calcula la superficie de agua en contacto con el recipiente y la cantidad de calor que entra en él en 1.00  s. 2. Halla la cantidad de hielo que se funde en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo tardará en derretirse por

completo? 3. Calcula la variación de entropía en el sistema, en el ambiente y la variación de entropía total en la fusión

completa del hielo.

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4. Supón que en lugar de permitir que el calor fluya directamente desde el baño al sistema se hace pasar por una máquina térmica reversible que opera entre las dos temperaturas. ¿Qué trabajo puede producirse hasta que el hielo se funde completamente? ¿Cuánto calor sale del baño en ese caso? Calcula la variación de entropía del Universo en este proceso.ρH2O=1,00g/cm

3

Datos: Densidad de masa del agua líquida 2

3

H Oρ = 1,00g/cm ; Conductividad térmica del

vidrio k =1,1W/m.K ; Entalpía específica de fusión: f fL = Δh = 333,55 KJ/Kg

SOLUCIÓN

Flujo de calor

Altura del agua La altura a la que llega el agua la obtenemos por simple aplicación del principio de Arquímedes. Tenemos 500  g de agua, que ocupan 500  cm³, y 500  g de hielo. Este trozo de hielo desaloja una cantidad de agua que pesa 500  g (pues el hielo está en equilibrio y su peso se compensa por el empuje del agua). El volumen correspondiente al agua desalojada será por tanto 500  cm³ y el volumen total de agua más volumen desalojado es

500  cm³ + 500  cm³ = 1000  cm³ A medida que el hielo se derrita, ¿el nivel de agua subirá o bajará? Ninguna de las dos cosas. Supongamos que se ha derretido parcialmente y en un momento dado quedan 200  g de hielo. Los 300  g restantes se habrán convertido en agua, con lo que ahora tendremos 800  g de agua. Por su parte, los 200  g de hielo restante desalojan 200  g de agua, que ocupan 200  cm³, con lo que el volumen total es

800  cm³ + 200  cm³ = 1000  cm³ Obviamente, cuando el hielo se funda por completo, tendremos 1000  g de agua que ocupan 1000  cm³. En resumen, tal como se explicó en clase: El nivel del agua con hielo flotando no cambia cuando el hielo se derrite y es igual al que habría si toda el agua fuera líquida. Si tenemos que el agua ocupa un volumen de 1000  cm³ la altura a la que llega la obtenemos dividiendo por el área

3

2 2

V 1000cmh = = = 4,97cm 5cm

π.r π. 8cm

Superficie de contacto Una vez que tenemos la altura a la que llega el área, calculamos la superficie de contacto como la suma de la base (un círculo) + más la cara lateral (un rectángulo), lo que nos da

2 2A = π.r +2.π.r.h 451cm

Flujo de calor El calor entra en el sistema desde el baño por conducción:

. ΔT k.A.

ΔxQ =

En la expresión del flujo de calor ΔT la diferencia de temperaturas entre las dos caras

c fΔT = T - T = 20K

Y Δx el espesor del recipiente (0,01  m). Por tanto .

2W 20K 1,1 x 0,0451m x = 99,2W

K.m 0,01mQ =

Fusión del hielo

Hielo fundido por segundo La cantidad de hielo que se funde por segundo la hallamos dividiendo la cantidad de calor que entra en este tiempo por la cantidad de calor necesaria para fundir un kilogramo de hielo

.

f

.Q 99,23W g

= = 0,298Δh 333,55KJ/Kg s

m =

Tiempo total de fusión A este ritmo se necesita un tiempo

M 500g = = 1680s = 28 min.

. 0,298g/sm

t =

Para fundir el hielo por completo. La cantidad de calor que entra en ese tiempo es .

f M. = 167KJQ.t = Δh

Variación de entropía

En este problema tenemos una variación de entropía en el agua/hielo y otra en el ambiente. Ambas ocurren

a temperatura constante ( f c = 293KT =273K y T , respectivamente) y de forma reversible

Variación en el agua La variación de entropía en el agua durante el proceso completo de fusión será

intf

Q 167KJ J= = +611

T 273K KΔS =

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Esta variación es positiva, como corresponde a que esté aumentando el desorden en el sistema, al pasar de sólido a líquido.

Variación en el ambiente En el ambiente tenemos una salida de calor (que va al recipiente). La variación de entropía por segundo será

extc

-Q -167KJ J= = -569

T 293K KΔS =

Variación neta Sumando ambas variaciones

int ext

J

KΔS + ΔS = + 42

La variación es positiva, lo que quiere decir que el proceso es posible e irreversible. El problema puede aparecer a la hora de ubicar esta producción de entropía. Si el combinado agua/hielo recibe de calor de forma reversible (pues lo hace a temperatura constante) y el baño térmico lo cede también de forma isoterma y reversible, ¿dónde está la irreversibilidad que implica este aumento de entropía? La respuesta es el único sitio que no se ha considerado: el recipiente. Éste no es solo una frontera ideal. Es un sistema en sí mismo, que toma calor a una temperatura (293  K) y lo cede a una inferior (273  K). Así que funciona como una “máquina térmica” que no realiza trabajo alguno, sino que todo se va en producción de entropía.

Máquina térmica

Si el calor no llega directamente, sino a través de una máquina térmica entonces podemos aprovechar parte del calor para producir trabajo. Puesto que la condición es que el hielo se derrita por completo, el calor que llega al foco frío debe ser el mismo que antes

f fQ = M.Δh = 167KJ

El calor que sale del foco caliente es ahora diferente (ya que una parte se emplea en trabajo). De la expresión para el rendimiento de una máquina reversible tenemos

f f f

c f

c c c

Q T T 293 η = 1 - = 1- Q = . Q = 167KJ. = 179KJ

Q T T 273

Y el trabajo realizado por la máquina es

c f W = Q - Q = 12KJ

La producción de entropía es ahora nula, como corresponde a que el proceso sea completamente reversible

c f

c f

Q QΔS = - + = 0

T T

11.13. REFRIGERADOR ALIMENTADO POR UNA MÁQUINA TÉRMICA (Final, Diciembre 2009, P-2)

Enunciado Un refrigerador que funciona entre una temperatura de -23  °C y la temperatura ambiente de 27  °C posee un coeficiente de desempeño de 3. Para hacer funcionar este refrigerador se emplea una máquina térmica que funciona entre 227  °C y la misma temperatura ambiente, la cual tiene un rendimiento de 0,2. Todo el trabajo producido por la máquina térmica se emplea en hacer funcionar el refrigerador.

1. Definimos la eficiencia del conjunto máquina más refrigerador como el calor extraído del foco frío dividido por el calor que es necesario extraer del foco caliente, ¿cuál es la eficiencia del conjunto?

2. Si se necesitan extraer 100J por segundo del foco frío, ¿cuánto calor hay que extraer del foco caliente para hacer funcionar el sistema? ¿Cuánto trabajo realiza en la unidad de tiempo la máquina sobre el refrigerador?

3. Calcule la producción de entropía en la unidad de tiempo debida a este conjunto.

4. Si tanto el refrigerador como la máquina térmica fueran máquinas de Carnot, ¿cuál sería la eficiencia máxima del conjunto? ¿Qué calor sería necesario sacar del foco caliente en ese caso para extraer 100  J/s del foco frío?

SOLUCIÓN

Eficiencia del conjunto

Tenemos dos máquinas acopladas, cada una de las cuales opera entre temperaturas diferentes. Lo que tienen en común es que el trabajo que sale de una es el que entra en la otra. Tal como indica el enunciado, definimos el rendimiento de esta máquina como el cociente

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f

c

Qε =

Q

Siendo | Qf | el calor que el refrigerador extrae del foco frío, y | Qc | el que la máquina toma del foco caliente. Ambas cantidades son proporcionales al trabajo común. Para el refrigerador

f

f

QCOP = Q = COP. W

W

Y para la máquina

c

c

W W η = Q =

Q η

Dividiendo un calor por el otro

f

c

Q COP. Wε = = = COP.η = 3 x 0,2 = 0,6

WQη

Calor y trabajo necesarios

Una vez que tenemos la eficiencia del conjunto, podemos hallar el calor necesario de forma inmediata .

f.

c

Q100J/s J

Q = = = 167 ε 0,6 S

De forma parecida hallamos el trabajo intercambiado entre las máquinas .

f.

QJ

W = = 33COP s

Producción de entropía

La producción de entropía se compone de cuatro términos, dos de los cuales son negativos, pues se extrae calor, y dos positivos, pues se vierte a él.

.. . .

f fc.c

f o c o

QQ Q' Q'

ΔS = - + - +T T T T

Siendo .

cQ' y .

fQ' los calores cedidos al ambiente, en la unidad de tiempo, por el refrigerador y la máquina térmica

respectivamente. Estos calores valen, para el del refrigerador, . . .

fc

J

SQ' = Q + W = 133

Y para la máquina térmica . . .

cf

J

SQ' = Q - W =133

El hecho de que salgan iguales es puramente casual, consecuencia de los valores concretos de las eficiencias del refrigerador y la máquina. Las temperaturas absolutas a las que se producen los intercambios son

f O cT = 273 - 23K = 250k ; T = 273 + 27 = 300k ; T = 273 + 227 = 500K

Por lo que resulta la producción de entropía

. J J100 133 166 133Δ S = - + - + . = 0,156

s.K s.K250 300 500 300

Esta producción de entropía es positiva, como corresponde a un proceso real.

Eficiencia máxima

La eficiencia máxima de un refrigerador la tiene uno sea una máquina de Carnot. El coeficiente de desempeño de este refrigerador es

fmáx

o f

T 250KCOP = = = 5

T -T 300K-250K

Una máquina térmica de Carnot posee la eficiencia máxima

C fmáx

C

T -T 500K - 300Kη = = = 0,4

T 500K

Un refrigerador de Carnot alimentado por una máquina también de Carnot poseerá también la eficiencia máxima

máx máx máxε = η .COP = 0,4x5 = 2

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Como vemos, nuestro conjunto real tiene una eficiencia muy por debajo del máximo, por lo que es perfectamente posible. Dado el rendimiento máximo, obtenemos el calor necesario para extraer 100  J/s del foco frío

.

f.

c

mín máx

J J =

S Sε

Q100

Q' = = . 50.2

El trabajo necesario para extraer ese calor es ahora .

f.

mín máx

COP

Q100J J

w = = = 205 s s

La producción de entropía en este caso es nula, por tratarse de un proceso completamente reversible.

11.14. EFICIENCIA DE UN CICLO OTTO

Un ciclo Otto ideal modela el comportamiento de un motor de explosión. Este ciclo está formado por seis pasos, según se indica en la figura. Pruebe que el rendimiento de este ciclo viene dado por la expresión

-1

1η = 1 -

r

Siendo r = VA / VB la razón de compresión igual al cociente entre el volumen al inicio del ciclo de compresión y al final de él. Para ello, halle el rendimiento a partir del calor que entra en el sistema y el que sale de él; exprese el resultado en términos de las temperaturas en los vértices del ciclo y, con ayuda de la Ley de Poisson, relacione este resultado con los volúmenes VA y VB. SOLUCIÓN

Descripción del ciclo

Un ciclo Otto ideal es una aproximación teórica al comportamiento de un motor de explosión. Las fases de operación de este motor son las siguientes:

Admisión (1) El pistón baja con la válvula de admisión abierta, aumentando la cantidad de mezcla (aire + combustible) en la cámara. Esto se modela como una expansión a presión constante (ya que al estar la válvula abierta la presión es igual a la exterior). En el diagrama PV aparece como la línea recta E→A.

Compresión (2) El pistón sube comprimiendo la mezcla. Dada la velocidad del proceso se supone que la mezcla no tiene posibilidad de intercambiar calor con el ambiente, por lo que el proceso es adiabático. Se modela como la curva adiabática reversible A→B, aunque en realidad no lo es por la presencia de factores irreversibles como la fricción.

Combustión Con el pistón en su punto más alto, salta la chispa de la bujía. El calor generado en la combustión calienta bruscamente el aire, que incrementa su temperatura a volumen prácticamente constante (ya que al pistón no le ha dado tiempo a bajar). Esto se representa por una isócora B→C. Este paso es claramente irreversible, pero para el caso de un proceso isócoro en un gas ideal el balance es el mismo que en uno reversible.

Expansión (3) La alta temperatura del gas empuja al pistón hacia abajo, realizando trabajo sobre él. De nuevo, por ser un proceso muy rápido se aproxima por una curva adiabática reversible C→D.

Escape (4) Se abre la válvula de escape y el gas sale al exterior, empujado por el pistón a una temperatura mayor que la inicial, siendo sustituido por la misma cantidad de mezcla fría en la siguiente admisión. El sistema es realmente abierto, pues intercambia masa con el exterior. No obstante, dado que la cantidad de aire que sale y la que entra es la misma podemos, para el balance energético, suponer que es el mismo aire, que se ha enfriado. Este enfriamiento ocurre en dos fases. Cuando el pistón está en su punto más bajo, el volumen permanece aproximadamente constante y tenemos la isócora D→A. Cuando el pistón empuja el aire hacia el exterior, con la válvula abierta, empleamos la isobara A→E, cerrando el ciclo. En total, el ciclo se compone de dos subidas y dos bajadas del pistón, razón por la que se le llama “motor de cuatro tiempos”. En un motor real de explosión varios cilindros actúan simultáneamente, de forma que la expansión de alguno de ellos realiza el trabajo de compresión de otros.

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Eficiencia en función del calor

Al analizar el ciclo Otto ideal, podemos despreciar en el balance los procesos de admisión y de escape a presión constante A→E y E→A, ya que al ser idénticos y reversibles, en sentido opuesto, todo el calor y el trabajo que se intercambien en uno de ellos, se cancela con un término opuesto en el otro.

Intercambio de calor De los cuatro procesos que forman el ciclo cerrado, no se intercambia calor en los procesos adiabáticos A→B y C→D, por definición. Sí se intercambia en los dos procesos isócoros. En la ignición de la mezcla B→C, una cierta cantidad de calor Qc (procedente de la energía interna del combustible) se transfiere al aire. Dado que el proceso sucede a volumen constante, el calor coincide con el aumento de la energía interna

=0

C BcQ = ΔU - W = n.Cv.ΔT = n.Cv. T - T

El subíndice "c" viene de que este calor se intercambia con un supuesto foco caliente. En la expulsión de los gases D→A el aire sale a una temperatura mayor que a la entrada, liberando posteriormente un calor | Qf | al ambiente. En el modelo de sistema cerrado, en el que nos imaginamos que es el mismo aire el que se comprime una y otra vez en el motor, modelamos esto como que el calor | Qf | es liberado en el proceso D→A, por enfriamiento. El valor absoluto viene de que, siendo un calor que sale del sistema al ambiente, su signo es negativo. Su valor, análogamente al caso anterior, es

D AfQ = ΔU = n.Cv. ΔT = n.Cv. T - T

El subíndice "f" viene de que este calor se cede a un foco frío, que es el ambiente.

Trabajo realizado De forma opuesta a lo que ocurre con el calor, no se realiza trabajo sobre el sistema en los dos procesos isócoros. Sí se realiza en los dos adiabáticos. En la compresión de la mezcla A→B, se realiza un trabajo positivo sobre el gas. Al ser un proceso adiabático, todo este trabajo se invierte en incrementar la energía interna, elevando su temperatura:

=0

B AA B = = n.Cv. ΔT = n.Cv. T - TW ΔU - Q

En la expansión C→D es el aire el que realiza trabajo sobre el pistón. De nuevo este trabajo útil equivale a la variación de la energía interna

=0

D CC D = = n.Cv. ΔT = n.Cv. T - TW ΔU - Q

Este trabajo es negativo, por ser el sistema el que lo realiza. El trabajo útil realizado por el motor será el trabajo neto entregado, igual a lo que produce (en valor absoluto) menos lo que emplea en funcionar

C D B A C D B AC D A B= = n.Cv. T - T -n.Cv. T - T = n.Cv. T - T -T + TW W - W

Por tratarse de un proceso cíclico, la variación de la energía interna es nula al finalizar el ciclo. Esto implica que el calor neto introducido en el sistema debe ser igual al trabajo neto realizado por este, en valor absoluto.

C f C D A BQ Q- = W = W - W

Como se comprueba sustituyendo las relaciones anteriores.

Rendimiento El rendimiento (o eficiencia) de una máquina térmica se define, en general como “lo que sacamos dividido por lo que nos cuesta”. En este caso, lo que sacamos es el trabajo neto útil, | W |. Lo que nos cuesta es el calor Qc, que introducimos en la combustión. No podemos restarle el calor | Qf | ya que ese calor se cede al ambiente y no es reutilizado (lo que violaría el enunciado de Kelvin-Planck). Por tanto

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C

Wη =

Q

Sustituyendo el trabajo como diferencia de calores

C

C

f f

C

Q - Q Qη = 1- = 1-

Q Q

Esta es la expresión general del rendimiento de una máquina térmica.

Eficiencia en función de las temperaturas

Sustituyendo las expresiones del calor que entra en el sistema, | Qc |, y el que sale de él, | Qf |, obtenemos la expresión del rendimiento

A ADf D

C B C BC

n.C . T - T T - TvQ η = 1- = 1- = 1-

n.C . T - T T - TQ v

Vemos que el rendimiento no depende de la cantidad de aire que haya en la cámara, ya que n se cancela. Podemos simplificar estas expresiones observando que B→C y D→A son procesos isócoros, por lo que:

A D B CV = V y V = V

Y que A→B y C→D son adiabáticos, por lo que cumplen la ley de Poisson (suponiéndolos reversibles)

-1 -1 -1 -1

A B D CA B D CT .V = T .V y T .V = T .Vγ γ γ γ

Con γ = 1.4 la relación entre las capacidades caloríficas a presión constante y a volumen constante. Sustituyendo la igualdad de volúmenes

-1 -1 -1 -1

A B D CA B A BT .V = T .V y T .V = T .Vγ γ γ γ

Y dividiendo la segunda por la primera, obtenemos la igualdad de proporciones

D C

A B

T T =

T T

Restando la unidad a cada miembro

D A D C C B

A A B B

T - T T T T - T = - 1= - 1=

T T T T

Intercambiando el denominador del primer miembro, con el numerador del último llegamos a

D A A

C B B

T - T T =

T - T T

Y obtenemos finalmente el rendimiento

D A A

C B B

T - T Tη = 1 - = 1-

T - T T

Esto es, la eficiencia depende solamente de la temperatura al inicio y al final del proceso de compresión, y no de la temperatura tras la combustión, o de la cantidad de calor que introduce ésta. Puesto que TB < TC, siendo TC la temperatura máxima que alcanza el aire, vemos ya que este ciclo va a tener un rendimiento menor que un ciclo de Carnot que opere entre esas las temperaturas TA y TC.

Eficiencia en función de la razón de compresión

Aplicando de nuevo la relación de Poisson

-1 -1A BA BT .V = T .V γ γ

Podemos expresar el rendimiento como -1

A B

-1B A

T V 1η = 1 - = 1- = 1 -

T V r

γ

γ

Con r = VA / VB la razón de compresión entre el volumen inicial y el final. La eficiencia teórica de un ciclo Otto depende, por tanto, exclusivamente de la razón de compresión. Para un valor típico de 8 esta eficiencia es del 56.5%.

Ejemplo práctico

Supongamos un ciclo Otto ideal con una relación de compresión de 8. Al inicio de la fase de compresión, el aire está a 100  kPa y 17°C. En la combustión se añaden 800  kJ/kg de calor. Vamos a determinar la temperatura y la presión máximas que se producen en el ciclo, la salida de trabajo neto y el rendimiento de este motor.

Temperatura máxima

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El aire contenido en el motor se calienta en dos fases: durante la compresión y como consecuencia de la ignición. En la compresión, obtenemos la temperatura final aplicando la ley de Poisson

-1A -1

B A. A.

B

VT = T = T r

V

γ

γ

Sustituyendo los valores numéricos

A BT = 290K r = 8 =1,4 T = 666Kγ El segundo incremento de temperatura se produce como resultado de la combustión de la gasolina. De acuerdo con los datos, la cesión de calor es de 800  kJ por kg de aire, esto es, es un dato relativo. Obtenemos el incremento de temperatura como

C B C BC

m

n.C . T - T C . T - TQ v v = = m m P

Siendo

m

m gP = = 28,97

n mol

El peso molecular medio del aire. Despejando y sustituyendo

c mC B

v

Q /m .P 800 J/g . 28,97 g/molT = T + = 666K + = 1782 K

C 2,5. 8,31 J/K.mol

Vemos que en la combustión la temperatura crece el triple que en la compresión.

Presión máxima La presión también se incrementa en dos fases, pero para hallar la presión máxima no necesitamos calcular los incrementos por separado. Nos basta con hallar la presión en el punto C y esto lo podemos hacer aplicando la ley de los gases ideales

CC

C

n.R.TP =

V

El volumen en C es el mismo que en B y este lo sacamos del volumen A mediante la razón de compresión

.C C

C CB A A

n.R.T n.R.T n.R P = = = r.T

V V /r V

Aplicando de nuevo la ley de los gases ideales obtenemos finalmente

A CC

A

8. 100 KPa . 1782 Kr.P .T P = = = 4,9 MPa = 48,5 atm.

T 290 K

Tanto en el cálculo de la temperatura como en el de la presión máxima hemos usado la aproximación de que la capacidad calorífica molar del aire es la misma a todas las temperaturas. Un cálculo preciso requiere usar las tablas empíricas de variación de cV con T y los resultados correctos pueden diferir en torno a un 10%.

Rendimiento El rendimiento de un ciclo Otto ideal con una razón de compresión de 8 es

-1

1 1η = 1 - = 1 - = 0,565 = 56,5 %

0,4r 8

Cuando se tiene en cuenta que la capacidad calorífica varía con la temperatura, resulta un valor inferior para el rendimiento, en torno al 52%.

Trabajo neto El trabajo neto (por unidad de masa) lo podemos obtener conocidos el calor que entra y el rendimiento del ciclo

QW W KJKJc

η = = η. = 0,565 . 800 = 452 Q m m KgKgc

No obstante, podemos desglosar el cálculo, hallando cuánto cuesta comprimir el aire, y cuanto trabajo devuelve el gas en la expansión. El trabajo de compresión por unidad de masa es

v B AA B

m

C . T -TW KJ = 270

m P Kg =

Y el devuelto en la expansión

C DC D

m

W C . T -Tv = m P

La temperatura en el punto D no la conocemos, pero la podemos calcular sabiendo que los puntos C y D están unidos por una adiabática

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CC BD C C -1

D A

-1 -1TV V

T = T . T . = = 776KV V r

=

Y resulta un trabajo de expansión

C DC D

m

W C . T -T KJv = = 722 m P Kg

El trabajo neto, igual al que desarrolla el gas, menos lo que cuesta comprimirlo es

C D A BW WW KJ= = 452

m m m Kg -

Límites prácticos

El cálculo anterior establece un límite máximo para la eficiencia de un motor de explosión. De acuerdo con esta expresión la forma de aumentar el rendimiento es incrementar la razón de compresión r. Sin embargo, esta razón no se puede incrementar indefinidamente. Uno de los motivos es que al comprimir el gas este se calienta, siendo su temperatura al final de la compresión

TB = TArγ − 1

si esta temperatura es lo suficientemente alta, puede producirse la ―autoignición‖, en la cual la gasolina se quema

espontáneamente (como el gasóleo en un ciclo Diesel) antes de que salte la chispa de la bujía. Esto tiene efectos destructivos para el motor, por lo que debe ser evitado. Para evitar la autoignición puede usarse gasolina de mayor octanaje, o emplear aditivos, como algunos derivados del plomo, hoy prohibidos. Una segunda fuente de limitación lo da el que el ciclo Otto ideal es solo una aproximación al ciclo real. En el ciclo real los procesos son curvas más suaves,

Correspondientes además a procesos irreversibles Entre los efectos irreversibles no considerados en el ciclo ideal destaca la fricción del émbolo con el cilindro. Esta fricción disipa energía por calentamiento (que en ausencia de aceite llega a gripar el motor, por fusión de las piezas). Por todo ello, el rendimiento de un motor de explosión real puede estar en torno al 25% o 30%.

11.15. CASO PRÁCTICO DE CICLO OTTO

Suponga un ciclo Otto ideal con una relación de compresión de 8. Al inicio de la fase de compresión, el aire está a 100  kPa y 17°C. En la combustión se añaden 800  kJ/kg de calor. Determine la temperatura y la presión máximas que se producen en el ciclo, la salida de trabajo neto y el rendimiento de este motor. SOLUCIÓN

Descripción del ciclo

Un ciclo Otto ideal es una aproximación teórica al comportamiento de un motor de explosión. Las fases de operación de este motor son las siguientes:

Admisión (1) El pistón baja con la válvula de admisión abierta, aumentando la cantidad de mezcla (aire + combustible) en la cámara. Esto se modela como una expansión a presión constante (ya que al estar la válvula abierta la presión es igual a la exterior). En el diagrama PV aparece como la línea recta E→A.

Compresión (2) El pistón sube comprimiendo la mezcla. Dada la velocidad del proceso se supone que la mezcla no tiene posibilidad de intercambiar calor con el ambiente, por lo que el proceso es adiabático. Se modela como la curva adiabática reversible A→B, aunque en realidad no lo es por la presencia de factores irreversibles como la fricción.

Combustión Con el pistón en su punto más alto, salta la chispa de la bujía. El calor generado en la combustión calienta bruscamente el aire, que incrementa su temperatura a volumen

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prácticamente constante (ya que al pistón no le ha dado tiempo a bajar). Esto se representa por una isocora B→C. Este paso es claramente irreversible, pero para el caso de un proceso isócoro en un gas ideal el balance es el mismo que en uno reversible.

Expansión (3) La alta temperatura del gas empuja al pistón hacia abajo, realizando trabajo sobre él. De nuevo, por ser un proceso muy rápido se aproxima por una curva adiabática reversible C→D.

Escape (4) Se abre la válvula de escape y el gas sale al exterior, empujado por el pistón a una temperatura mayor que la inicial, siendo sustituido por la misma cantidad de mezcla fría en la siguiente admisión. El sistema es realmente abierto, pues intercambia masa con el exterior. No obstante, dado que la cantidad de aire que sale y la que entra es la misma podemos, para el balance energético, suponer que es el mismo aire, que se ha enfriado. Este enfriamiento ocurre en dos fases. Cuando el pistón está en su punto más bajo, el volumen permanece aproximadamente constante y tenemos la isócora D→A. Cuando el pistón empuja el aire hacia el exterior, con la válvula abierta, empleamos la isobara A→E, cerrando el ciclo. En total, el ciclo se compone de dos subidas y dos bajadas del pistón, razón por la que se le llama motor de cuatro tiempos. En un motor real de explosión varios cilindros actúan simultáneamente, de forma que la expansión de alguno de ellos realiza el trabajo de compresión de otros.

Eficiencia en función del calor

Al analizar el ciclo Otto ideal, podemos despreciar en el balance los procesos de admisión y de escape a presión constante A→E y E→A, ya que al ser idénticos y reversibles, en sentido opuesto, todo el calor y el trabajo que se intercambien en uno de ellos, se cancela con un término opuesto en el otro.

Intercambio de calor De los cuatro procesos que forman el ciclo cerrado, no se intercambia calor en los procesos adiabáticos A→B y C→D, por definición. Sí se intercambia en los dos procesos isócoros. En la ignición de la mezcla B→C, una cierta cantidad de calor Qc (procedente de la energía interna del combustible) se transfiere al aire. Dado que el proceso sucede a volumen constante, el calor coincide con el aumento de la energía interna

C C Bv v

=0

Q = U - W = n.C . T = n.C . T - T Δ Δ

El subíndice "c" viene de que este calor se intercambia con un supuesto foco caliente. En la expulsión de los gases D→A el aire sale a una temperatura mayor que a la entrada, liberando posteriormente un calor | Qf | al ambiente. En el modelo de sistema cerrado, en el que nos imaginamos que es el mismo aire el que se comprime una y otra vez en el motor, modelamos esto como que el calor | Qf | es liberado en el proceso D→A, por enfriamiento. El valor absoluto viene de que, siendo un calor que sale del sistema al ambiente, su signo es negativo. Su valor, análogamente al caso anterior, es

f D Av vQ = U = n.C . T = n.C . T - T Δ Δ

El subíndice "f" viene de que este calor se cede a un foco frío, que es el ambiente.

Trabajo realizado

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De forma opuesta a lo que ocurre con el calor, no se realiza trabajo sobre el sistema en los dos procesos isócoros. Sí se realiza en los dos adiabáticos. En la compresión de la mezcla A→B, se realiza un trabajo positivo sobre el gas. Al ser un proceso adiabático, todo este trabajo se invierte en incrementar la energía interna, elevando su temperatura:

A B B Av v

=0

W = U - Q = n.C . T = n.C . T - T Δ Δ

En la expansión C→D es el aire el que realiza trabajo sobre el pistón. De nuevo este trabajo útil equivale a la variación de la energía interna

D CC D v v

=0

W = U - Q = n.C . T = n.C . T - T Δ Δ

Este trabajo es negativo, por ser el sistema el que lo realiza. El trabajo útil realizado por el motor será el trabajo neto entregado, igual a lo que produce (en valor absoluto) menos lo que emplea en funcionar

C D A B C D B A C D B Av v vW = W - W = n.C . T - T - n.C . T - T = n.C . T - T - T + T

Por tratarse de un proceso cíclico, la variación de la energía interna es nula al finalizar el ciclo. Esto implica que el calor neto introducido en el sistema debe ser igual al trabajo neto realizado por este, en valor absoluto.

C f C D A BQ - Q = W = W - W

Como se comprueba sustituyendo las relaciones anteriores.

Rendimiento El rendimiento (o eficiencia) de una máquina térmica se define, en general como ―lo que sacamos dividido por lo que nos cuesta‖. En este caso, lo que sacamos es el trabajo neto útil, | W |. Lo que nos cuesta es el calor Qc, que introducimos en la combustión. No podemos restarle el calor | Qf | ya que ese calor se cede al ambiente y no es reutilizado (lo que violaría el enunciado de Kelvin-Planck). Por tanto

c

Wη =

Q

Sustituyendo el trabajo como diferencia de calores

c f f

c c

Q - Q Qη = = 1 -

Q Q

Esta es la expresión general del rendimiento de una máquina térmica.

Eficiencia en función de las temperaturas

Sustituyendo las expresiones del calor que entra en el sistema, |Qc |, y el que sale de él, | Qf |, obtenemos la expresión del rendimiento

D Af v D A

c C BC Bv

n.C . T - T T TQ = 1 - = 1 - = 1 -

Q T - Tn.C . T - T

- η

Vemos que el rendimiento no depende de la cantidad de aire que haya en la cámara, ya que n se cancela. Podemos simplificar estas expresiones observando que B→C y D→A son procesos isócoros, por lo que

A D B CV = V y V = V

Y que A→B y C→D son adiabáticos, por lo que cumplen la ley de Poisson (suponiéndolos reversibles)

. . . .- 1 - 1 - 1 - 1

= y = A B D CA B D C

T V T V T V T Vγ γ γ γ

Con γ = 1.4 la relación entre las capacidades caloríficas a presión constante y a volumen constante. Sustituyendo la igualdad de volúmenes

. . . .- 1 - 1 - 1 - 1

= y = A B D C BA B A

T V T V T V T Vγ γ γ γ

Y dividiendo la segunda por la primera, obtenemos la igualdad de proporciones

D C

A B

T T =

T T

Restando la unidad a cada miembro

- - D A D C B

A A B

T T T T T = - 1 =

T T T

Intercambiando el denominador del primer miembro, con el numerador del último llegamos a

- D A A

- C B B

T T T =

T T T

Y obtenemos finalmente el rendimiento

- D A A

- C B B

T T T = 1 - = 1 -

T T Tη

Esto es, la eficiencia depende solamente de la temperatura al inicio y al final del proceso de compresión, y no de la temperatura tras la combustión, o de la cantidad de calor que introduce ésta.

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Puesto que TB < TC, siendo TC la temperatura máxima que alcanza el aire, vemos ya que este ciclo va a tener un rendimiento menor que un ciclo de Carnot que opere entre esas las temperaturas TA y TC.

Eficiencia en función de la razón de compresión

Aplicando de nuevo la relación de Poisson

. .- 1 - 1

= A BA B

T V T Vγ γ

Podemos expresar el rendimiento como

- 1

A B- 1

B A

T 1V = 1 - = 1 - = 1 -

T V r

γ

γ η

Con r = VA / VB la razón de compresión entre el volumen inicial y el final. La eficiencia teórica de un ciclo Otto depende, por tanto, exclusivamente de la razón de compresión. Para un valor típico de 8 esta eficiencia es del 56.5%.

Ejemplo práctico

Supongamos un ciclo Otto ideal con una relación de compresión de 8. Al inicio de la fase de compresión, el aire está a 100  kPa y 17°C. En la combustión se añaden 800  kJ/kg de calor. Vamos a determinar la temperatura y la presión máximas que se producen en el ciclo, la salida de trabajo neto y el rendimiento de este motor.

Temperatura máxima El aire contenido en el motor se calienta en dos fases: durante la compresión y como consecuencia de la ignición. En la compresión, obtenemos la temperatura final aplicando la ley de Poisson

. .

- 1- 1A

B A AB

VT = T = T r

V

γ

γ

Sustituyendo los valores numéricos

=A BT 290 K r = 8 = 1,14 T = 666 K

El segundo incremento de temperatura se produce como resultado de la combustión de la gasolina. De acuerdo con los datos, la cesión de calor es de 800  kJ por kg de aire, esto es, es un dato relativo. Obtenemos el incremento de temperatura como

C B C BC

m

n.C . T - T C . T - T Q v v = =

m m P

Siendo

m

m g P = = 28,98

n mol

El peso molecular medio del aire. Despejando y sustituyendo

. .C m = + C B

v

Q /m P 800 J/g 28,98 g/molT T = 666 K + = 1782 K

c 2,5. 8,31 J/K.mol

Vemos que en la combustión la temperatura crece el triple que en la compresión.

Presión máxima La presión también se incrementa en dos fases, pero para hallar la presión máxima no necesitamos calcular los incrementos por separado. Nos basta con hallar la presión en el punto C y esto lo podemos hacer aplicando la ley de los gases ideales

CC

C

n.R.TP =

V

El volumen en C es el mismo que en B y este lo sacamos del volumen A mediante la razón de compresión

C C CC

AB A

n.R.T n.R.T n.R.r.TP = = =

VV Vr

Aplicando de nuevo la ley de los gases ideales obtenemos finalmente

CA CC

A

8. 100 KPa .Tr.P .TP = = = 4,9 MPa = 48,5 atm

T 290 K

Tanto en el cálculo de la temperatura como en el de la presión máxima hemos usado la aproximación de que la capacidad calorífica molar del aire es la misma a todas las temperaturas. Un cálculo preciso requiere usar las tablas empíricas de variación de cV con T y los resultados correctos pueden diferir en torno a un 10%.

Rendimiento El rendimiento de un ciclo Otto ideal con una razón de compresión de 8 es

- 1 0,4

1 1 = 1 - = 1 - = 0,565 = 56,5 %

r 8γ η

Cuando se tiene en cuenta que la capacidad calorífica varía con la temperatura, resulta un valor inferior para el rendimiento, en torno al 52%.

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Trabajo neto El trabajo neto (por unidad de masa) lo podemos obtener conocidos el calor que entra y el rendimiento del ciclo

.c

c

QW KJ KJ = = = 0,565 . 800 = 452

Q m Kg Kgη η

No obstante, podemos desglosar el cálculo, hallando cuánto cuesta comprimir el aire, y cuanto trabajo devuelve el gas en la expansión. El trabajo de compresión por unidad de masa es

v B AA B

m

n.C . T - T W KJ = = 270

m P Kg

Y el devuelto en la expansión

v C DC D

m

C . T - T W =

m P

La temperatura en el punto D no la conocemos, pero la podemos calcular sabiendo que los puntos C y D están unidos por una adiabática

- 1 - 1

CC B. . - 1D C C

D A

TV VT = T = T = = 776 K

V V r

γ γ

γ

Y resulta un trabajo de expansión

v C DC D

m

C . T - T W KJ = = 722

m P Kg

El trabajo neto, igual al que desarrolla el gas, menos lo que cuesta comprimirlo es

C D A B W W W KJ = - = 452

m m m Kg

Límites prácticos

El cálculo anterior establece un límite máximo para la eficiencia de un motor de explosión. De acuerdo con esta expresión la forma de aumentar el rendimiento es incrementar la razón de compresión r. Sin embargo, esta razón no se puede incrementar indefinidamente. Uno de los motivos es que al comprimir el gas este se calienta, siendo su temperatura al final de la compresión

TB = TArγ − 1

Si esta temperatura es lo suficientemente alta, puede producirse la autoignición, en la cual la gasolina se quema espontáneamente (como el gasóleo en un ciclo Diésel) antes de que salte la chispa de la bujía. Esto tiene efectos destructivos para el motor, por lo que debe ser evitado. Para evitar la autoignición puede usarse gasolina de mayor octanaje, o emplear aditivos, como algunos derivados del plomo, hoy prohibidos. Una segunda fuente de limitación lo da el que el ciclo Otto ideal es solo una aproximación al ciclo real. En el ciclo real los procesos son curvas más suaves, correspondientes además a procesos irreversibles

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Entre los efectos irreversibles no considerados en el ciclo ideal destaca la fricción del émbolo con el cilindro. Esta fricción disipa energía por calentamiento (que en ausencia de aceite llega a gripar el motor, por fusión de las piezas). Por todo ello, el rendimiento de un motor de explosión real puede estar en torno al 25% o 30%.

11.16. EFICIENCIA DE UN CICLO DIESEL

Un motor diésel puede modelarse con el ciclo ideal formado por seis pasos reversibles, según se indica en la figura. Pruebe que el rendimiento de este ciclo viene dado por la expresión

c- 1

c

1 r - 1 = 1 - .

r - 1.r

γ

γ η

γ

Siendo r = VA / VB la razón de compresión y rc = VC / VB la relación de combustión. El método para obtener este resultado es análogo al empleado para el ciclo Otto. Compare los rendimientos del ciclo de Otto y el diésel. ¿Cuáles son las ventajas e inconvenientes respectivos?

11.17. CASO PRÁCTICO DE CICLO DIESEL

Suponga un motor diésel con una capacidad máxima de 1900  cm³. En este motor el aire a la entrada está a una presión de 1  atm y una temperatura de 17°C. Si para este motor la razón de compresión es 18 y la de combustión vale 2, determine los volúmenes, presiones y temperaturas de cada vértice del ciclo, así como su rendimiento y el calor y el trabajo intercambiados por el motor. SOLUCION 1. Enunciado

Un motor diésel puede modelarse con el ciclo ideal formado por seis pasos reversibles, según se indica en la figura. Pruebe que el rendimiento de este ciclo viene dado por la expresión

c- 1

c

1 r - 1 = 1 - .

. r - 1r

γ

γ η

γ

Siendo r = VA / VB la razón de compresión y rc = VC / VB la relación de combustión. El método para obtener este resultado es análogo al empleado para el ciclo Otto. Compare los rendimientos del ciclo de Otto y el diésel. ¿Cuáles son las ventajas e inconvenientes respectivos?

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2. Introducción

Un ciclo Diésel ideal es un modelo simplificado de lo que ocurre en un motor diésel. En un motor de esta clase, a diferencia de lo que ocurre en un motor de gasolina la combustión no se produce por la ignición de una chispa en el interior de la cámara. En su lugar, aprovechando las propiedades químicas del gasóleo, el aire es comprimido hasta una temperatura superior a la de autoignición del gasóleo y el combustible es inyectado a presión en este aire caliente, produciéndose la combustión de la mezcla. Puesto que sólo se comprime aire, la relación de compresión (cociente entre el volumen en el punto más bajo y el más alto del pistón) puede ser mucho más alta que la de un motor de gasolina (que tiene un límite, por ser indeseable la autoignición de la mezcla). La relación de compresión de un motor diésel puede oscilar entre 12 y 24, mientras que el de gasolina puede rondar un valor de 8. Para modelar el comportamiento del motor diésel se considera un ciclo Diésel de seis pasos, dos de los cuales se anulan mutuamente:

Admisión E→A El pistón baja con la válvula de admisión abierta, aumentando la cantidad de aire en la cámara. Esto se modela como una expansión a presión constante (ya que al estar la válvula abierta la presión es igual a la exterior). En el diagrama PV aparece como una recta horizontal.

Compresión A→B El pistón sube comprimiendo el aire. Dada la velocidad del proceso se supone que el aire no tiene posibilidad de intercambiar calor con el ambiente, por lo que el proceso es adiabático. Se modela como la curva adiabática reversible A→B, aunque en realidad no lo es por la presencia de factores irreversibles como la fricción. El punto inicial de esta curva es aquél en el que el pistón se halla lo más bajo posible. A este punto se le conoce como PMI (punto muerto inferior, BDC en inglés). El punto final corresponde a que el pistón esté en el punto más alto. Este es el PMS (punto muerto superior, TDC en inglés).

Combustión B→C Un poco antes de que el pistón llegue a su punto más alto y continuando hasta un poco después de que empiece a bajar, el inyector introduce el combustible en la cámara. Al ser de mayor duración que la combustión en el ciclo Otto, este paso se modela como una adición de calor a presión constante. Éste es el único paso en el que el ciclo Diesel se diferencia del Otto.

Expansión C→D La alta temperatura del gas empuja al pistón hacia abajo, realizando trabajo sobre él. De nuevo, por ser un proceso muy rápido se aproxima por una curva adiabática reversible.

Escape D→A y A→E Se abre la válvula de escape y el gas sale al exterior, empujado por el pistón a una temperatura mayor que la inicial, siendo sustituido por la misma cantidad de mezcla fría en la siguiente admisión. El sistema es realmente abierto, pues intercambia masa con el exterior. No obstante, dado que la cantidad de aire que sale y la que entra es la misma podemos, para el balance energético, suponer que es el mismo aire, que se ha enfriado. Este enfriamiento ocurre en dos fases. Cuando el pistón está en su punto más bajo, el volumen permanece aproximadamente constante y tenemos la isócora D→A. Cuando el pistón empuja el aire hacia el exterior, con la válvula abierta, empleamos la isobara A→E, cerrando el ciclo. En total, el ciclo se compone de dos subidas y dos bajadas del pistón, razón por la que es un ciclo de cuatro tiempos, aunque este nombre se suele reservar para los motores de gasolina.

3. Rendimiento en función de las temperaturas

Un ciclo diésel contiene dos proceso adiabáticos, A→B y C→D, en los que no se intercambia calor. De los otros dos, en el calentamiento a presión constante B→C, el gas recibe una cantidad de calor Qin del exterior igual a

. . C Bin pQ = n C T - T

En el enfriamiento a volumen constante D→A el sistema cede una cantidad de calor al ambiente

. . D Aout vQ = n C T - T

El rendimiento del ciclo será entonces:

.

v D A D Aout

in p C B C B

C . T - T T - TQ = 1 - = 1 - = 1 -

Q C . T - T T - Tη

γ

Con γ = cp / cv la proporción entre las capacidades caloríficas.

4. Rendimiento en función de los volúmenes

La expresión anterior requiere conocer las cuatro temperaturas de los vértices del ciclo. Puede simplificarse teniendo en cuenta las características de cada uno de los procesos que lo componen. Así tenemos, para la compresión adiabática A→B

- 1 - 1

. .A BA B

T V = T Vγ γ

Que, teniendo en cuenta la relación de compresión, podemos reescribir como

.- 1A

=B AB

V r = T T r

V

γ

Para la expansión a presión constante, aplicando la ecuación de estado de los gases ideales

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B C

= B CB C

V VP P =

T T

Introduciendo ahora la relación rc = VC / VB obtenemos

. .- 1

= .C B c A cT T r = T r rγ

Por último, para la temperatura en D aplicamos de nuevo la ley de Poisson y el que el enfriamiento es a volumen constante:

.

- 1- 1 - 1

C = y . . =D A C D D C

C D A

VV V T V = T V T T

V

γ γ γ

Multiplicando y dividiendo por VB y aplicando el valor de la temperatura en C

.

- 1- 1 c

D A c A c

rT = T .r .r = T .r

r

γγ γ

Combinado estos resultados nos queda

. .

. .

- 1- 1 C

= . .D A c Ac

- 1 - 1 - 1 .C B A c A A c

rT T r r = T r

rT - T =T r r - T .r = T .r r - 1

γ γ γ

γ γ γ

Sustituyendo esto en la expresión del rendimiento obtenemos finalmente

.

D A c- 1

C B c

T - T 1 r - 1 = 1 - = 1 - .

T - T r . r - 1

γ

γη

γ γ

5. Caso práctico

Vamos a considerar un ciclo Diésel en la que el aire a la entrada está a una presión de 1  atm y una temperatura de 17°C; la razón de compresión es 18 y la de combustión vale 2. El volumen máximo de la cámara es de 1900   cm³. Vamos a determinar los volúmenes, presiones y temperaturas de cada vértice del ciclo, así como su rendimiento y el calor y el trabajo intercambiados por el motor. 5.1 Estado inicial Como punto de partida del ciclo de cuatro pasos tenemos que el gas a temperatura y presión ambientes llena el cilindro

3

A A AT = 290K ; V = 1900 cm ; P = 101,3 kPa

El número de moles contenidos en el cilindro es

.

.

A A

A

P Vn = = 0,0799

R T

5.2 Compresión adiabática Tras la compresión, el volumen del cilindro se reduce según la razón de compresión

3A

B

Vr = 18 V = = 105,6 cm

r

La temperatura al final la compresión la obtenemos de la ley de Poisson

.-1 -1 -1

B B A A B AT .V = T .V T = T r = 922 Kγ γ γ

Y la presión en este punto la hallamos mediante la ley de los gases ideales

.B A A BB A

B A B

T P V TP = n.R. = . = P .r = 5,79 MPa = 57,9 bar

V T V

γ

5.3 Expansión isóbara En el proceso de calentamiento, la presión se mantiene constante, por lo que

C BP = P = 5,79 MPa

Mientras que el volumen lo da la relación de combustión

.3

C C C Br = 2 V = r V = 211,1 cm

Y la temperatura la ley de los gases ideales (o la ley de Charles, en este caso)

.C B

C C BC B

V V = T = r T = 1844 K

T T

5.4 Expansión adiabática Durante la bajada del pistón el gas se enfría adiabáticamente. La temperatura al final del proceso la da la ley de Poisson, combinada con el que sabemos que el volumen al final es el mismo que antes de empezar la compresión

-13 C

D A D CD

VV = V = 1900 cm T = T . = 765 K

V

γ

La presión en este estado es

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. ..

.

D A A D DD A

D A D A

n.R.T P V T T P = = = P = 0,267 MPa = 2,67 bar

V T V T

5.5 Enfriamiento a V constante En un motor diésel real el aire quemado y caliente es expulsado por el tubo de escape, liberando calor al ambiente y siendo sustituido por nuevo aire frío. En el ciclo Diésel ideal nos imaginamos que el aire recircula, volviendo al estado A, intercambiando sólo el calor con el ambiente. Podemos hacer una tabla con los resultados

Estado p (bar) V (cm³) T (K)

A 1.013 1900 190

B 57.9 105.6 922

C 57.9 211.1 1844

D 2.67 1900 765

5.6 Balance energético 5.6.1 Calor absorbido El calor procedente del foco caliente es absorbido en la expansión a presión constante y es igual a

C B C B C C B Bin pQ = n.C . T - T = . n.R. T - T = . P .V - P .V = 2,14 kJ- 1 - 1

γ γ

γ γ

Donde hemos usado que

p

p p v

pp v

v

CC C C

= = = C - 1R C - C

- 1C

γ

γ

Que para γ = 1.4 da el resultado conocido cp = 3.5R. Un resultado más exacto para un proceso a presión constante, sin hacer uso de la hipótesis de gas ideal, consistiría en igualar el calor a la variación en la entalpía

in C BQ = H = H - HΔ

Y aplicar valores tabulados de la entalpía del aire para las presiones y temperaturas de los estados B y C. 5.6.2 Calor cedido El calor que se intercambia con el foco frío se cede en el enfriamiento a volumen constante

D A D A D D A Aout vQ = n.C . T - T = n.R. T - T = . P .V - P .V = 0,789 kJ - 1

γ

γ

Donde, como antes, hemos empleado la relación

v v

pp v

v

C C 1 1 = = =

C - 1R C - C - 1

C

γ

Que para = 1,4 da cv = 2,5R. Si se quisiera hacer exactamente, habría que aplicar que para un proceso a volumen constante el calor equivale a la variación en la energía interna

out D AQ = U = U - UΔ

5.6.3 Trabajo realizado El trabajo realizado por el sistema durante un ciclo es la diferencia entre el calor absorbido y el cedido (en valores absolutos)

out; neto in outW = Q - Q = 1,35 kJ

5.6.4 Rendimiento El rendimiento de este ciclo Diesel lo podemos hallar como el trabajo realizado dividido por el calor absorbido

out; neto out

in in

W Q = = 1 - = 63,2 %

Q Qη

Vemos que el rendimiento es mucho mayor que para un ciclo Otto que, para valores típicos de motores de explosión, rondaba el 50%. La causa principal de la diferencia es la mucha mayor relación de compresión en el motor diésel. 5.6.5 Rendimiento de la segunda ley El rendimiento de este ciclo Diesel es, por supuesto, inferior al de un ciclo de Carnot que operara entre las Temperaturas TA y TC:

rev A

C

T 290 = 1 - = 1 - = 84,3 %

T 1843η

El rendimiento de la segunda ley nos lo da el cociente del rendimiento real respecto a este máximo.En comparación con este, el rendimiento del ciclo Diesel es:

rev

0,632 = = = 75,0 %

0,843

ηε

η

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Es decir, tiene aproximadamente 3/4 del rendimiento máximo que podría tener. 5.6.6 Trabajo perdido El trabajo perdido de una máquina térmica es la diferencia entre el máximo que podría conseguirse, para la entrada de calor dada y el que se consigue realmente

rev

per outout

W = W - W

En función del calor que entra y los rendimientos

. .rev rev

per in in in

0,632W = Q - .Q = - Q = = 75,0 %

0,843η η η η

Lo que nos da en nuestro caso

perW = 0,843 - 0,632 . 2,14 kJ = 0,211 . 2,14 kJ = 0, 452 kJ

Esto nos dice que 1/5 del calor que entra se desperdicia de más en forma de calor de desecho. 5.6.7 Producción de entropía El trabajo perdido está directamente relacionado con la producción de entropía

per FW = T . SΔ

Por lo que la producción de entropía para este caso particular vale

per

F

W 0,452 kJ JS = = = 1,56

T 290 K KΔ

6. Comparación con el ciclo Otto

Según indicamos en la introducción, el ciclo Diesel ideal se distingue del Otto ideal en la fase de combustión, que en el ciclo Otto se supone a volumen constante y en el Diesel a presión constante. Por ello el rendimiento es diferente. Si escribimos el rendimiento de un ciclo Diesel en la forma

.

c

- 1

c

r - 11= 1 - .

r r - 1

γ

γ

η

γ

Vemos que la eficiencia de un ciclo Diesel se diferencia de la de un ciclo Otto por el factor entre paréntesis. Este factor siempre es mayor que la unidad, por ello, para iguales razones de compresión r:

Diesel Otto η η

Si la eficiencia del ciclo Diesel es menor que la del Otto, podría plantearse cuál es su interés. La ventaja que tiene es la mencionada de que, dado que solo comprime aire, su relación de compresión puede ser muy superior a la de un motor de gasolina, con lo que puede superar un rendimiento del ciclo Otto. Por ejemplo, supongamos una relación de compresión r = 8 para ambos ciclos y una relación de combustión rc = 2 para el Diesel. En este caso, los rendimientos respectivos valen

1,4

0,4 0,4Otto Diesel Otto

1 1 2 - 1= 1 - =0,565 = 1 - . = 0, 490

1,4. 2 - 18 8η η η

Pero si aumentamos la relación de compresión para el ciclo Diesel a 12 obtenemos el rendimiento

1,4

0,4 0,4Otto Diesel Otto

1 1 2 - 1= 1 - =0,565 = 1 - . = 0,567

1,4. 2 - 18 12η η η

11.18. EFICIENCIA DE UN CICLO BRAYTON

Un ciclo Brayton (o Joule) ideal modela el comportamiento de una turbina, como las empleadas en las aeronaves. Este ciclo está formado por cuatro pasos reversibles, según se indica en la figura. Pruebe que el rendimiento de este ciclo viene dado por la expresión

/- 1

1= 1 -

rγ γ

η

Siendo r = pB / pA la relación de presión igual al cociente entre la presión al final del proceso de compresión y al inicio de él. El método para obtener este resultado es análogo al empleado para el ciclo Otto. SOLUCIÓN

Descripción del ciclo

El ciclo Brayton describe el comportamiento ideal de un motor de turbina de gas, como los utilizados en las aeronaves. Las etapas del proceso son las siguientes:

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Admisión El aire frío y a presión atmosférica entra por la boca de la turbina

Compresor El aire es comprimido y dirigido hacia la cámara de combustión mediante un compresor (movido por la turbina). Puesto que esta fase es muy rápida, se modela mediante una compresión adiabática A→B.

Cámara de combustión En la cámara, el aire es calentado por la combustión del queroseno. Puesto que la cámara está abierta el aire puede expandirse, por lo que el calentamiento se modela como un proceso isóbaro B→C.

Turbina El aire caliente pasa por la turbina, a la cual mueve. En este paso el aire se expande y se enfría rápidamente, lo que se describe mediante una expansión adiabática C →D.

Escape Por último, el aire enfriado (pero a una temperatura mayor que la inicial) sale al exterior. Técnicamente, este es un cicloabierto ya que el aire que escapa no es el mismo que entra por la boca de la turbina, pero dado que sí entra en la misma cantidad y a la misma presión, se hace la aproximación de suponer una recirculación. En este modelo el aire de salida simplemente cede calor al ambiente y vuelve a entrar por la boca ya frío. En el diagrama PV esto corresponde a un enfriamiento a presión constante D→A. Existen de hecho motores de turbina de gas en los que el fluido efectivamente recircula y solo el calor es cedido al ambiente. Para estos motores, el modelo del ciclo de Brayton ideal es más aproximado que para los de ciclo abierto.

Motor de turbina de gas de ciclo abierto. Motor de turbina de gas de ciclo cerrado.

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Eficiencia en función del calor

Intercambio de calor De los cuatro procesos que forman el ciclo cerrado, no se intercambia calor en los procesos adiabáticos A→B y C→D, por definición. Sí se intercambia en los dos procesos isóbaros. En la combustión B→C, una cierta cantidad de calor Qc (procedente de la energía interna del combustible) se transfiere al aire. Dado que el proceso sucede a presión constante, el calor coincide con el aumento de la entalpía

C BC p pQ = H = n.C . T = n.C . T - TΔ Δ

El subíndice "c" viene de que este calor se intercambia con un supuesto foco caliente. En la expulsión de los gases D→A el aire sale a una temperatura mayor que a la entrada, liberando posteriormente un calor | Qf | al ambiente. En el modelo de sistema cerrado, en el que nos imaginamos que es el mismo aire el que se comprime una y otra vez en el motor, modelamos esto como que el calor | Qf | es liberado en el proceso D→A, por enfriamiento. El valor absoluto viene de que, siendo un calor que sale del sistema al ambiente, su signo es negativo. Su valor, análogamente al caso anterior, es

f D Ap p Q = H = n.C . T = n.C . T - TΔ Δ

El subíndice "f" viene de que este calor se cede a un foco frío, que es el ambiente.

Trabajo realizado En este ciclo (a diferencia de lo que ocurre en el ciclo Otto) se realiza trabajo en los cuatro procesos. En dos de ellos el trabajo es positivo y en dos es negativo. En la compresión de la mezcla A→B, se realiza un trabajo positivo sobre el gas. Al ser un proceso adiabático, todo este trabajo se invierte en incrementar la energía interna, elevando su temperatura:

= 0

B AA B v vW = U - Q = n.C . T = n.C . T - TΔ Δ

En la combustión el gas se expande a presión constante, por lo que el trabajo es igual a la presión por el incremento de volumen, cambiado de signo:

C BB C B BW = - P V = - P . V - V.Δ

Este trabajo es negativo, ya que es el aire, al expandirse, el que realiza el trabajo. Aplicando la ecuación de los gases ideales y que pB = pC, podemos escribir este trabajo como

B CB C B B C CW = P V - P V = n.R. T - T. .

En la expansión C→D es el aire el que realiza trabajo sobre el pistón. De nuevo este trabajo útil equivale a la variación de la energía interna

= 0

D CC D v vW = U - Q = n.C . T = n.C . T - TΔ Δ

Este trabajo es negativo, por ser el sistema el que lo realiza. En el enfriamiento en el exterior tenemos una compresión a presión constante:

D A D AD A A AW = - P V = P . V - V = n.R. T - T.Δ

El trabajo neto realizado sobre el gas es la suma de los cuatro términos

B A C B D C A D B A D C B A D C v A v A vW = n.C . T - T - P . V - V + n.C . T - T - P . V - V = n.C . T - T + T - T + n.R. T - T + T - T

Aplicando la ley de Mayer

p vC = C + R

Este trabajo se puede expresar como

B A D C p c fW = n.C . T - T + T - T = - Q - Q

Por tratarse de un proceso cíclico, la variación de la energía interna es nula al finalizar el ciclo. Esto implica que el calor neto introducido en el sistema esigual al trabajo neto realizado por este, en valor absoluto.

c fW = Q - Q

Rendimiento El rendimiento (o eficiencia) de una máquina térmica se define, en general como ―lo que sacamos dividido por lo que nos cuesta‖. En este caso, lo que sacamos es el trabajo neto útil, | W |. Lo que nos cuesta es el calor Qc, que introducimos en la combustión. No podemos restarle el calor | Qf | ya que ese calor se cede al ambiente y no es reutilizado (lo que violaría el enunciado de Kelvin-Planck). Por tanto

c

W =

Qη

Sustituyendo el trabajo como diferencia de calores

c f f

c c

Q - Q Q = = 1 -

Q Qη

Esta es la expresión general del rendimiento de una máquina térmica.

Eficiencia en función de las temperaturas

Sustituyendo las expresiones del calor que entra en el sistema, | Qc |, y el que sale de él, | Qf |, obtenemos la expresión del rendimiento

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p D Af D A

c p C B C B

n.C . T - TQ T - T = 1 - = 1 - = 1 -

Q n.C . T - T T - Tη

Vemos que el rendimiento no depende de la cantidad de aire que haya en la cámara, ya que n se cancela. Podemos simplificar estas expresiones observando que B→C y D→A son procesos isóbaros, por lo que

A D B CP = P P = P

Y que A→B y C→D son adiabáticos, por lo que cumplen la ley de Poisson (suponiéndolos reversibles)

A A B B D D C CP .V = P .V P .V = P .Vγ γ γ γ

Con γ = 1.4 la relación entre las capacidades caloríficas a presión constante y a volumen constante. Sustituyendo aquí la ecuación de los gases ideales V = nRT / p nos quedan las relaciones entre presiones y temperaturas

-1 -1 -1 -1

A A B B D D C CP .T = P .T P .T = P .Tγ γ γ γ γ γ γ γ

Sustituyendo la igualdad de presiones

-1 -1 -1 -1

A A B B A D B CP .T = P .T P .T = P .Tγ γ γ γ γ γ γ γ

Y dividiendo la segunda por la primera, obtenemos la igualdad de proporciones

D C

A B

T T =

T T

Restando la unidad a cada miembro

D A D C C B

A A B B

T - T T T T - T = - 1 = - 1 =

T T T T

Intercambiando el denominador del primer miembro, con el numerador del último llegamos a

D A A

C B B

T - T T =

T - T T

Y obtenemos finalmente el rendimiento

D A A

C B B

T - T T = 1 - = 1 -

T - T Tη

Esto es, la eficiencia depende solamente de la temperatura al inicio y al final del proceso de compresión, y no de la temperatura tras la combustión, o de la cantidad de calor que introduce ésta. Puesto que TB < TC, siendo TC la temperatura máxima que alcanza el aire, vemos ya que este ciclo va a tener un rendimiento menor que un ciclo de Carnot que opere entre esas las temperaturas TA y TC.

Eficiencia en función de la relación de presión

Aplicando de nuevo la relación de Poisson

-1 -1

A A B BP .T = P .Tγ γ γ γ

Podemos expresar el rendimiento como

/

- 1

A A- 1

B B

T 1P= 1 - = 1 - = 1 -

T Pr

γ

γ

γ γη

Con r = pB / VA la relación de presión entre la presión final y la inicial. La eficiencia teórica de un ciclo Brayton depende, por tanto, exclusivamente de la relación de presiones. Para un valor típico de 8 esta eficiencia es del 44.8%.

Caso práctico

Como caso concreto, consideraremos una central eléctrica de turbina de gas que opera en un ciclo Brayton ideal y tiene una relación de presión de 8. La temperatura del gas es de 300  K en la entrada del compresor y de 1300  K en la entrada de la turbina. Determinaremos la temperatura del gas a la salida del compresor y de la turbina, y la eficiencia de esta turbina.

Eficiencia La eficiencia de este ciclo es

/ 0,4/1,4 - 1

1 1 = 1 - = 1 - = 0, 448 = 44,8%

8r

γ γη

Esto quiere decir que más de la mitad del calor que entra en el ciclo ideal es disipada al exterior y solo un 45% es aprovechado como trabajo. En una turbina real la eficiencia es aún más baja.

Temperaturas La temperatura a la salida del compresor, TB, puede calcularse empleando la ley de Poisson

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. .

- 1- 1

0,4/1,4-1 -1 BA A B B B A A

A

PP .T = P .T T = T = T r = 300 K. 8 = 543 K

P

γγ

γγγ γ γ γ

Vemos que la compresión incrementa la temperatura en 243  K, mientras que la combustión lo hace en (1300−543)  K = 757  K, más del triple que la compresión. Del mismo modo se calcula la temperatura a la salida de la turbina

. .

- 1- 1

--

- 0,4/1,4DD C C

C

PT = T = T r = 1300 K. 1/8 = 718 K

P

γγ

γγ

El gas a la salida está a una temperatura muy superior a la del ambiente, por lo que la entrega de calor al foco frío es muy importante.

Motores de reacción

El ciclo Brayton descrito aquí sirve para modelar el comportamiento de un motor de turbina que mueve una hélice, pero no para un motor a reacción. La diferencia es que: En un avión de hélice interesa obtener el máximo trabajo neto que puede dar la turbina, para mover la hélice. En el motor a reacción, en cambio, interesa obtener el mínimo, que es el que mantiene en marcha el compresor (y resto de sistemas de la aeronave). El resto de la energía interna aprovechable no se extrae del gas, sino que se mantiene en él, en forma de energía cinética. La cantidad de movimiento que se llevan los gases expulsados es lo que impulsa al avión hacia adelante, de acuerdo con la tercera ley de Newton. Puesto que el trabajo neto en un avión a reacción es cero, su eficiencia se define no por el trabajo realizado, sino por la potencia de propulsión dividida por el calor inyectado por unidad de tiempo.

11.19. CASO PRÁCTICO DE CICLO BRAYTON

Una central eléctrica de turbina de gas que opera en un ciclo Brayton ideal tiene una relación de presión de 8. La temperatura del gas es de 300  K en la entrada del compresor y de 1300  K en la entrada de la turbina. Determine la temperatura del gas a la salida del compresor y de la turbina, y la eficiencia de esta turbina. SOLUCIÓN

Descripción del ciclo

El ciclo Brayton describe el comportamiento ideal de un motor de turbina de gas, como los utilizados en las aeronaves. Las etapas del proceso son las siguientes:

Admisión El aire frío y a presión atmosférica entra por la boca de la turbina

Compresor El aire es comprimido y dirigido hacia la cámara de combustión mediante un compresor (movido por la turbina). Puesto que esta fase es muy rápida, se modela mediante una compresión adiabática A→B.

Cámara de combustión En la cámara, el aire es calentado por la combustión del queroseno. Puesto que la cámara está abierta el aire puede expandirse, por lo que el calentamiento se modela como un proceso isóbaro B→C.

Turbina El aire caliente pasa por la turbina, a la cual mueve. En este paso el aire se expande y se enfría rápidamente, lo que se describe mediante una expansión adiabática C →D.

Escape

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Por último, el aire enfriado (pero a una temperatura mayor que la inicial) sale al exterior. Técnicamente, este es un ciclo abierto ya que el aire que escapa no es el mismo que entra por la boca de la turbina, pero dado que sí entra en la misma cantidad y a la misma presión, se hace la aproximación de suponer una recirculación. En este modelo el aire de salida simplemente cede calor al ambiente y vuelve a entrar por la boca ya frío. En el diagrama PV esto corresponde a un enfriamiento a presión constante D→A. Existen de hecho motores de turbina de gas en los que el fluido efectivamente recircula y solo el calor es cedido al ambiente. Para estos motores, el modelo del ciclo de Brayton ideal es más aproximado que para los de ciclo abierto.

Motor de turbina de gas de ciclo abierto. Motor de turbina de gas de ciclo cerrado.

Eficiencia en función del calor

Intercambio de calor De los cuatro procesos que forman el ciclo cerrado, no se intercambia calor en los procesos adiabáticos A→B y C→D, por definición. Sí se intercambia en los dos procesos isóbaros. En la combustión B→C, una cierta cantidad de calor Qc (procedente de la energía interna del combustible) se transfiere al aire. Dado que el proceso sucede a presión constante, el calor coincide con el aumento de la entalpía

. . C Bc p pQ = H = n.C T = n.C T - TΔ Δ

El subíndice "c" viene de que este calor se intercambia con un supuesto foco caliente. En la expulsión de los gases D→A el aire sale a una temperatura mayor que a la entrada, liberando posteriormente un calor | Qf | al ambiente. En el modelo de sistema cerrado, en el que nos imaginamos que es el mismo aire el que se comprime una y otra vez en el motor, modelamos esto como que el calor | Qf | es liberado en el proceso D→A, por enfriamiento. El valor absoluto viene de que, siendo un calor que sale del sistema al ambiente, su signo es negativo. Su valor, análogamente al caso anterior, es

. .f D Ap pQ = H = n.C T = n.C T - TΔ Δ

El subíndice "f" viene de que este calor se cede a un foco frío, que es el ambiente.

Trabajo realizado En este ciclo (a diferencia de lo que ocurre en el ciclo Otto) se realiza trabajo en los cuatro procesos. En dos de ellos el gtrabajo es positivo y en dos es negativo. En la compresión de la mezcla A→B, se realiza un trabajo positivo sobre el gas. Al ser un proceso adiabático, todo este trabajo se invierte en incrementar la energía interna, elevando su temperatura:

B AA

=0

W = U - Q = n.C . T = n.C . T - TB v v

Δ Δ

En la combustión el gas se expande a presión constante, por lo que el trabajo es igual a la presión por el incremento de volumen, cambiado de signo:

C BB B BB C

W = - P . V = - P . V - VΔ

Este trabajo es negativo, ya que es el aire, al expandirse, el que realiza el trabajo. Aplicando la ecuación de los gases ideales y que pB = pC, podemos escribir este trabajo como

B CB B C CB C

W = P .V - P .V = n.R. T - T

En la expansión C→D es el aire el que realiza trabajo sobre el pistón. De nuevo este trabajo útil equivale a la variación de la energía interna

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D CC D

=0

W = U - Q = n.C . T = n.C . T - Tv v

Δ Δ

Este trabajo es negativo, por ser el sistema el que lo realiza. En el enfriamiento en el exterior tenemos una compresión a presión constante:

D A D AA AD A

W = - P . V = P . V - V = n.R. T - TΔ

El trabajo neto realizado sobre el gas es la suma de los cuatro términos

B A C B D C A D B A D C B C A DB AW = n.C . T - T - P . V - V + n.C . T - T - P . V - V = n.C . T - T + T - T + n.R. T - T + T - Tv v v

Aplicando la ley de Mayer

p vC = C + R

Este trabajo se puede expresar como

B A D C c fW = n.C . T - T + T - T = - Q - Qp

Por tratarse de un proceso cíclico, la variación de la energía interna es nula al finalizar el ciclo. Esto implica que el calor neto introducido en el sistema es igual al trabajo neto realizado por este, en valor absoluto.

c fW = Q - Q

Rendimiento El rendimiento (o eficiencia) de una máquina térmica se define, en general como ―lo que sacamos dividido por lo que nos cuesta‖. En este caso, lo que sacamos es el trabajo neto útil, | W |. Lo que nos cuesta es el calor Qc, que introducimos en la combustión. No podemos restarle el calor | Qf | ya que ese calor se cede al ambiente y no es reutilizado (lo que violaría el enunciado de Kelvin-Planck). Por tanto

c

W =

Qη

Sustituyendo el trabajo como diferencia de calores

c f f

c c

Q - Q Q = = 1 -

Q Qη

Esta es la expresión general del rendimiento de una máquina térmica.

Eficiencia en función de las temperaturas

Sustituyendo las expresiones del calor que entra en el sistema, |Qc |, y el que sale de él, |Qf |, obtenemos la expresión del rendimiento

p D Af D A

c p C B C B

n.C . T -TQ T - T = 1 - = 1 - = 1 -

Q n.C . T -T T - Tη

Vemos que el rendimiento no depende de la cantidad de aire que haya en la cámara, ya que n se cancela. Podemos simplificar estas expresiones observando que B→C y D→A son procesos isóbaros, por lo que

A D B CP = P P = P

Y que A→B y C→D son adiabáticos, por lo que cumplen la ley de Poisson (suponiéndolos reversibles)

A A B B D D C CP .V = P .V P .V = P .Vγ γ γ γ

Con γ = 1.4 la relación entre las capacidades caloríficas a presión constante y a volumen constante. Sustituyendo aquí la ecuación de los gases ideales V = nRT / p nos quedan las relaciones entre presiones y temperaturas

-1 -1 -1 -1

A A B B D D C CP .T = P .T P .T = P .Tγ γ γ γ γ γ γ γ

Sustituyendo la igualdad de presiones

-1 -1 -1 -1

A A B B A D B CP .T = P .T P .T = P .Tγ γ γ γ γ γ γ γ

Y dividiendo la segunda por la primera, obtenemos la igualdad de proporciones

D C

A B

T T =

T T

Restando la unidad a cada miembro

D A D C C B

A A B B

T - T T T T - T = - 1 = - 1 =

T T T T

Intercambiando el denominador del primer miembro, con el numerador del último llegamos a

D A A

C B B

T - T T =

T - T T

Y obtenemos finalmente el rendimiento

D A A

C B B

T - T T = 1 - = 1 -

T - T Tη

Esto es, la eficiencia depende solamente de la temperatura al inicio y al final del proceso de compresión, y no de la temperatura tras la combustión, o de la cantidad de calor que introduce ésta.

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Puesto que TB < TC, siendo TC la temperatura máxima que alcanza el aire, vemos ya que este ciclo va a tener un rendimiento menor que un ciclo de Carnot que opere entre esas las temperaturas TA y TC.

Eficiencia en función de la relación de presión

Aplicando de nuevo la relación de Poisson: 1 - 1 -

A A B BP .T = P .Tγ γ γ γ

Podemos expresar el rendimiento como

/

- 1

A A - 1

B B

T 1P = 1 - = 1 - = 1 -

T P r

γ

γ

γ γη

Con r = pB / VA la relación de presión entre la presión final y la inicial. La eficiencia teórica de un ciclo Brayton depende, por tanto, exclusivamente de la relación de presiones. Para un valor típico de 8 esta eficiencia es del 44.8%.

Caso práctico

Como caso concreto, consideraremos una central eléctrica de turbina de gas que opera en un ciclo Brayton ideal y tiene una relación de presión de 8. La temperatura del gas es de 300  K en la entrada del compresor y de 1300  K en la entrada de la turbina. Determinaremos la temperatura del gas a la salida del compresor y de la turbina, y la eficiencia de esta turbina.

Eficiencia La eficiencia de este ciclo es

/ 0,4/1,4 - 1

1 1 = 1 - = 1 - = 0, 448 = 44,8%

8r

γ γη

Esto quiere decir que más de la mitad del calor que entra en el ciclo ideal es disipada al exterior y solo un 45% es aprovechado como trabajo. En una turbina real la eficiencia es aún más baja. 6.2 Temperaturas La temperatura a la salida del compresor, TB, puede calcularse

empleando la ley de Poisson ( Boyd, Robert, 1983)

- 1- 1

-1 -1 0,4/1,4BA A B B B A A

A

P P .T = P .T T = T . = T .r = 300 K .8 = 543 K

P

γ γ

γγγ γ γ γ

Vemos que la compresión incrementa la temperatura en 243  K, mientras que la combustión lo hace en (1300−543)  K = 757  K, más del triple que la compresión. Del mismo modo se calcula la temperatura a la salida de la turbina

- - 1- 1

- 0,4/1,4DD C C

C

P T = T . = T .r = 1300 K .8 = 718 K

P

γ γ

γγ

El gas a la salida está a una temperatura muy superior a la del ambiente, por lo que la entrega de calor al foco frío es muy importante.

Motores de reacción

El ciclo Brayton descrito aquí sirve para modelar el comportamiento de un motor de turbina que mueve una hélice, pero no para un motor a reacción. La diferencia es que:

En un avión de hélice interesa obtener el máximo trabajo neto que puede dar la turbina, para mover la hélice.

En el motor a reacción, en cambio, interesa obtener el mínimo, que es el que mantiene en marcha el compresor (y resto de sistemas de la aeronave). El resto de la energía interna aprovechable no se extrae del gas, sino que se mantiene en él, en forma de energía cinética. La cantidad de movimiento que se llevan los gases expulsados es lo que impulsa al avión hacia adelante, de acuerdo con la tercera ley de Newton. Puesto que el trabajo neto en un avión a reacción es cero, su eficiencia se define no por el trabajo realizado, sino por la potencia de propulsión dividida por el calor inyectado por unidad de tiempo.

11.20. CASO PRÁCTICO DE CICLO DE STIRLING

100 moles de gas ideal diatómico sufre un ciclo de Stirling internamente reversible, representado en la figura. El ciclo se compone de dos isotermas y

dos isócoras. Las temperaturas de trabajo son fT = 300 K y fT = 2000 K ,

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mientras que las presiones extremas son Pa = 150 KPa y Pb = 3,00 MPa .

En cada uno de los procesos, calcula la variación de energía interna, el trabajo realizado y el calor absorbido por el gas. Calcula el rendimiento del ciclo. Calcula la variación de entropía en cada proceso del ciclo y la variación neta en el ciclo completo. Compara el rendimiento del ciclo con el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las mismas temperaturas. Imagina y describe un experimento que te permita recorrer el ciclo.

Dato: R = 8,31 J/mol.K

SOLUCIÓN

Intercambios energéticos

Presiones, volúmenes y temperaturas Antes de calcular el trabajo y el calor en cada proceso, es conveniente conocer las presiones, volúmenes y temperaturas de los cuatro vértices del ciclo, puesto que necesitaremos estos valores en los cálculos posteriores. Para ello, iremos rellenando progresivamente la tabla con p, V y T para los estados 1, 2, 3 y 4. Comenzamos escribiendo los datos del problema, que son la temperatura de los estados 1 y 2 (que están a la misma, Tf), la de los estados 3 y 4 (que están a Tc), la presión en el estado 1 (que es pa) y la presión en el 3 (que es pb)

Estado p (MPa) V (m³) T (K)

1 0.15 300

2 300

3 3.00 2000

4 2000

Ahora, para cada fila en la que conozcamos dos datos, podemos hallar el tercero despejando en la ecuación de estado de los gases ideales, dado que conocemos el número de moles de gas (n = 100  moles)

P.V = n.R.T Así, obtenemos el volumen inicial, del estado 1,

3 31

1 51

100 . 8,31 . 300 n.R.T V = = m = 1,662 m

P 1,50 x 10

Obsérvese que, puesto que estamos trabajando en el SI, el resultado está en metros cúbicos, que es la unidad SI de volumen. Del mismo modo, hallamos el volumen en el estado 3

3 33

3 63

100 . 8,31 . 2000 n.R.T V = = m = 0,554 m

P 3,00 x 10

Incluimos estos dos datos en la tabla

EEstado p (MPa) V (m³) T (K)

1 0.15 1.662 300

2 300

3 3.00 0.554 2000

4 2000

Ahora, dado que los procesos 2→3 y 4→1 son isócoros, el volumen en el estado 2 es el mismo que en el 3, y el del 4 es el mismo que en el 1. Incluyendo estos dos datos:

EEstado p (MPa) V (m³) T (K)

1 0.15 1.662 300

2 0.554 300

3 3.00 0.554 2000

4 1.662 2000

Por último, hallamos la presión en los estados 3 y 4 empleando de nuevo la ecuación de los gases ideales

2 42 4

2 4

n.R.T n.R.T P = = 0, 45 MPa y P = = 1,00 MPa

V V

Con esto ya tenemos completa la tabla:

EEstado p (MPa) V (m³) T (K)

1 0.15 1.662 300

2 0.45 0.554 300

3 3.00 0.554 2000

4 1.00 1.662 2000

Alternativamente, podemos calcular la presión en los estados 2 y 4 aplicando que los procesos 2→3 y 4→1 son a volumen constante y por tanto

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3 22

3

1 44

1

3,00 . 300 P .T P = = MPa = 0, 45 MPa

T 2000

3,00 . 2000 P .T P = = MPa = 1,00 MPa

T 3000

Ahora procedemos al cálculo de los intercambios energéticos en cada paso.

Trabajo, calor y energía interna

Compresión isoterma 1→2 En el primer paso, tenemos que el volumen de gas se reduce sin variar su temperatura. Por tratarse de un gas ideal, la energía interna no cambia en este proceso

1 22 1vU = n.C . T - T = 0Δ

El trabajo lo calculamos a partir de su expresión para un proceso isotermo reversible a temperatura Tf

.

2

1

2 V1 2 2f f1 V

1

dV V W = - PdV = - n.R.T = - n.R.T ln

V V

Sustituyendo los valores numéricos

.

1 2 1,662 W = 100 . 8,14 . 300 ln = + 0,274 MJ

0,554

El calor en este proceso lo obtenemos a partir del primer principio de la termodinámica 1 2 1 2 1 2

Q = U - W = 0 - 274 kJ = - 0,274 MJΔ

Calentamiento isócoro 2→3 En el segundo proceso, por ser a volumen constante, el trabajo realizado sobre el gas es nulo

32 3

2W = - PdV = 0

El calor en este proceso es el correspondiente a un proceso a volumen constante

2 33 2Q = n.Cv. T - T

Por tratarse de un gas diatómico la capacidad calorífica molar a volumen constante es

v

5C = .R

2

Y el valor numérico del calor es

.2 3

3 2vQ = n.C . T - T = 100 . 2,5 . 8,31 2000 - 300 J = + 3,532 MJ

La variación de la energía interna en este proceso coincide con el calor 2 3 2 3 2 3

U = Q + W = + 3,532 MJΔ

Expansión isoterma 3→4 Cuando el gas se expande a temperatura constante, la energía interna permanece constante

3 44 3vU = n.C . T - T = 0Δ

Y el trabajo es de nuevo el de un proceso isotermo, pero ahora a temperatura Tc

.

3 4 3C

4

V W = n.R.T ln = - 1,826 MJ

V

Vemos que ahora el trabajo es negativo, pues es el sistema el que lo realiza sobre el ambiente. El calor es igual a esta cantidad, con signo contrario

3 4 3 4 3 4Q = U - W = + 1,826 MJΔ

Enfriamiento isócoro 4→1 Por último, el gas se enfría manteniendo su volumen constante. El trabajo en este proceso es nulo

14 1

4W = - PdV = 0

Y el calor es el de un proceso a volumen constante

4 11 4vQ = n.C . T - T = 100 . 2,5 . 8,31 . 300 - 2000 J = - 3,532 MJ

Nótese que resulta el mismo que en el calentamiento, pero con el signo cambiado, por ser un descenso de temperatura exactamente opuesto al ascenso anterior. La variación de energía coincide con el calor en este proceso

4 1 4 1 4 1U = Q + W = - 3,532 MJΔ

Cuadro resumen Curva exacta del ciclo de Stirling

En un ejercicio de contabilidad, podemos tabular todos los resultados y hallar el valor neto para cada magnitud

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Proceso W (MJ) Q (MJ) ΔU (MJ)

1→2 +0.274 −0.274 0

2→3 0 +3.532 +3.532

3→4 −1.826 +1.826 0

4→1 0 −3.532 −3.532

Total −1.552 +1.552 0

El trabajo neto realizado sobre el sistema es negativo, como corresponde a una máquina térmica.

Rendimiento El rendimiento de una máquina térmica es el cociente entre el valor absoluto del trabajo neto realizado por la máquina y el calor absorbido (no el calor neto). En este caso se absorbe calor tanto en el proceso 2→3 como en el 3→4, por lo que el rendimiento es

abs

W 1,552 = = = 0,290 29,00%

Q 3,532 + 1,826 η

Variación de la entropía

Para la entropía tenemos de nuevo cuatro cálculos separados, uno por proceso:

Compresión isoterma 1→2 Este es un proceso reversible isotermo, por lo que la variación de entropía en él es simplemente

1 21 2

f

Q kJS = = - 0,913

T KΔ

Calentamiento isócoro 2→3 El calentamiento no se produce a temperatura constante, obviamente, por lo que la variación de entropía no puede calcularse simplemente dividiendo el calor por una temperatura (¿cuál?). En su lugar es preciso hacer una integral, aprovechando que el proceso es internamente reversible

.

3

2

3 T2 3 r 3v v2 T

2

kJQ dT T S = = n.C = n.C ln = + 3,941

KT T T δ

Δ

Expansión isoterma 3→4 De nuevo tenemos un proceso reversible isotermo, con variación de entropía

.

3 4

3 4

c

Q kJS = = + 0,913

T KΔ

Enfriamiento isócoro 4→1 En el último paso debemos integrar de nuevo

4 1 2v

1

kJVS = n.C .ln = - 3,941

KVΔ

3.5 Variación neta de entropía Sumando los cuatro incrementos obtenemos la variación neta de entropía en el sistema en un ciclo

1 2 1 2 1 2 1 2 kJS = S + S + S + S = - 0,913 + 3,941 + 0,913 - 3,941 = 0

KΔ Δ Δ Δ Δ

Esta variación es nula como corresponde a una función de estado en un ciclo cerrado. Podemos añadir estos resultados a la tabla anterior

Proceso W (MJ) Q (MJ) ΔU (MJ) ΔS (kJ/K)

1→2 +0.274 −0.274 0 −0.913

2→3 0 +3.532 +3.532 +3.941

3→4 −1.826 +1.826 0 +0.913

4→1 0 −3.532 −3.532 −3.941

Total −1.552 +1.552 0 0

Entropía de un gas ideal Las variaciones de entropía calculadas anteriormente pueden hallarse también usando la expresión general de la variación en la entropía de un gas ideal

A B B Bv

A A

T VS = n.C .ln + n.R.ln

T VΔ

En este ciclo de Stirling esta fórmula es especialmente sencilla de utilizar pues en cada paso se anula uno de los dos términos.

Comparación de rendimientos

El rendimiento máximo de una máquina térmica que opere entre las temperaturas Tf y Tc es el correspondiente a una Máquina de Carnot

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f

max c

T 1700 = 1 - = = 0,85 85,0 %

T 2000η

Vemos que es muy superior al obtenido en el primer apartado para este ciclo. El rendimiento relativo (o rendimiento del segundo principio) es

max

0,290 = = = 0,34 34,0 %

0,85

ηε

η

Esto es, el rendimiento es solo un 34% del máximo ideal. Este rendimiento puede mejorarse en un motor de Stirling real introduciendo la recirculación del calor, de forma que no haga falta absorber tanto.

Modelo del ciclo

El modelo más sencillo para este ciclo consiste únicamente en un cilindro de paredes diatermas con un émbolo. El émbolo posee dos posiciones extremas, que pueden fijarse con pernos de forma que pueda mantenerse el volumen constante. El proceso sería el siguiente.

Compresión isoterma Se sumerge el cilindro en un baño a temperatura Tf. Se aumenta lentamente la presión externa sobre el émbolo de forma que el volumen se va reduciendo. A través de las paredes va escapando calor, de forma que la temperatura se mantiene constante.

Calentamiento isócoro Se fija el pistón en su posición final con un perno, de forma que el volumen permanece constante. Se va aumentando gradualmente la temperatura del baño térmico que envuelve al sistema, hasta alcanzar la temperatura final. Alternativamente, podemos imaginar que el calentamiento se produce de forma abrupta, de manera que al gas no le da tiempo a expandirse.

Expansión isoterma El pistón está sometido a una gran diferencia de presiones entre el gas interior y el exterior, por lo que si se retira el perno bruscamente, el pistón saldría disparado. Por ello, primero se aumenta la presión externa hasta igualarla con la interna. Acto seguido se retira el perno. Ahora se va reduciendo la presión externa, sin retirarlo del baño caliente, hasta que el volumen vuelva a ser el inicial. Finalmente, el pistón se fija con otro perno.

Enfriamiento isócoro Se baja la temperatura del baño hasta volver a la temperatura inicial. Para evitar una implosión del gas al retirar el perno, se reduce la presión externa hasta igualar a la inicial. El ciclo está completo. Una forma de conseguir todo esto con un solo dispositivo, sería imaginar que el pisto no se mueve libremente, sino que está sujeto a un tornillo que se puede mover lentamente o dejarlo fijado a voluntad.

¿Por qué es incorrecto el usar las atmósferas?

En principio, la presión se puede medir tanto en atmósferas como en pascales, sin embargo, existen razones de peso para que este problema se resuelva sin mencionar las atmósferas en absoluto:

Porque no hacen falta para nada Si los datos del problema, incluyendo la constante de los gases ideales, ya están en el SI, ¿qué necesidad hay de salirse del SI para luego volver a él?

Porque es causa de errores Una atmósfera son 101325 pascales, no 100000. Pero 8,31/0,062 = 101,341, así que si uno, sin necesidad, pasa de pascales a atmósferas diciendo que un bar (1 HPa) es lo mismo que una atmósfera, pero luego usa como constante de los gases ideales 0,082 atm·l/K·mol, el volumen resultante va a ser incorrecto, ya que se está multiplicando por cantidades diferentes en el numerador y en el denominador. Por ejemplo, para los datos del problema, el resultado correcto es

3151

1

100 mol . 8,314 J/K.mol . 300 Kn.R.T JV = = = 1,6628 = 1,6628 m

P Pa1,5 x 10 Pa

En cambio, si se usan atmósferas transformadas incorrectamente:

311

1

100 mol . 0,082 atm.L/K.mol . 300 Kn.R.TV = = = 1640 L = 1,640 m

P 1,5 atm

Vemos que el error, aunque pequeño, es apreciable (y además cometido innecesariamente). Incluso si se hace la transformación correcta de pascales a atmósferas, se está multiplicando por una cantidad para a continuación dividir por ella misma, lo que puede provocar errores.

Porque el SI es siempre recomendable En la medida de lo posible, siempre es preferible usar unidades SI que otras no estándar. 11.21. MÁXIMO APROVECHAMIENTO DEL CALOR

Suponga que se tiene un bloque de 10  kg de hierro (Cp = 0,46 kJ/kg.K) a una temperatura de 200°C y se quiere usar para caldear una gran habitación a una temperatura To = 22

oC, estando el exterior a 5°C.

1. Si se coloca el bloque directamente en la habitación, calcule el calor que libera al ambiente. 2. Halle la variación de entropía del bloque y del universo en el caso anterior. 3. El calor del bloque puede aprovecharse para producir algún trabajo. Para ello, suponga que cuando el bloque se encuentra a una temperatura T, y libera una cantidad de calor mCpdT, dicho calor se hace pasar por una máquina

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reversible que opera entre la temperatura T y la del ambiente. Calcule el trabajo obtenible en este paso y la cantidad total de trabajo que se podría obtener. 4. Compruebe que el trabajo perdido es igual a T0ΔSu 5. Si ese trabajo se aprovechara para hacer funcionar una bomba de calor reversible que operara entre el exterior y la habitación, ¿cuánto sería el calor total que se liberaría en la habitación? SOLUCIÓN

Calor liberado directamente

Si calentamos la habitación simplemente depositando el bloque en la habitación, la cantidad de calor que libera es la correspondiente al descenso de temperatura desde su valor inicial, que llamaremos T1 a T0, la temperatura de la habitación (que, por ser de gran tamaño supondremos un baño térmico). Este calor es

1 01 pQ = m.C . T - T = 818,8 kJ

Variación de entropía

Existen dos cambios en la entropía, uno en el bloque de hierro, que al enfriarse ve reducida su entropía, y otro en la habitación que al recibir calor la ve incrementada.

Variación en el ambiente La habitación recibe calor a una temperatura constante T0, por lo que su aumento de entropía es simplemente

1amb

0

Q 818,8 kJ kJS = = = 2,78

T 295 K KΔ

Variación en el bloque La variación para el bloque la calculamos suponiendo un proceso reversible, consistente en que su temperatura va bajando gradualmente, siendo uniforme en el bloque en todo momento. En ese caso

T p0 0

R p sis pT1 1

m.C .dT TdQ = m.C .dT S = = m.C .ln

T T Δ

Siendo su valor numérico

0sis p

1

kJTS = m.C .ln = - 2,17

KTΔ

Variación total Sumando los dos incrementos

1 0 0u sis amb p

1 1

JT -T TS = S + S = m.C . - ln = 604

KT TΔ Δ Δ

La variación neta es positiva, como corresponde a un proceso posible e irreversible.

Trabajo perdido

Parecería que colocar el bloque en la habitación es la forma más eficiente de calentar ésta, ya que todo el calor saliente va a parar a ella. Sin embargo, no lo es. Desde el mismo momento que hay producción de entropía y el proceso es irreversible, es claro que debe haber algún proceso más eficiente que sea reversible. La causa de la irreversibilidad es la diferencia finita de temperaturas. El calor se derrama por la habitación como el agua que cae por una cascada. Pero al igual que en la cascada se puede colocar una central hidroeléctrica, entre la salida de calor del bloque y su llegada a la habitación se podría poner una máquina térmica reversible que aprovechara parte del calor para producir trabajo útil. En un momento dado el bloque se encontrará a una temperatura T y cederá reversiblemente un calor − mcpdT (el signo porque la temperatura disminuye, dT es negativo, pero el calor cedido es positivo respecto de la máquina). Con ese calor la máquina hará un trabajo también diferencial

0max p

1

TdW = .dQ = - 1 - .m.C .dT

Tη

Integrando obtenemos el trabajo perdido, que podríamos haber aprovechado con esta máquina térmica

T0 0 0

1 0 0p pT1 1 1

T TW = - m.C . 1 - .dT = m.C . T T - T .ln = 178,1 kJ

T T

Esto es, podríamos haber aprovechado el 21% del calor cedido.

Relación con la entropía

Es inmediato comprobar que el trabajo perdido es igual al incremento de entropía multiplicado por la temperatura ambiente

per 0 uW = T . SΔ

Por tanto, vemos que existe una asociación directa entre la producción de entropía y el trabajo aprovechable que podríamos haber sacado del sistema. Esta ecuación es un caso particular de la relación

per R 0 uW = W - T . SΔ

Que nos dice que el trabajo producido en un proceso irreversible (en nuestro caso, ninguno) es igual al calor que podríamos producir reversiblemente (el máximo, en nuestro caso el que hemos calculado) menos que lo que se pierde producción de entropía (en nuestro caso, todo).

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Cuando la temperatura del foco frío, en nuestro caso la habitación, es la del ambiente y el bloque se considera finalmente en el estado muerto, ese trabajo máximo que podría extraerse es la llamada exergía del sistema.

Calor extra aprovechable

Si extraemos el trabajo aprovechable, la cantidad de calor que el ladrillo mete directamente en la habitación se ve reducido. Pasa a ser

h1 1Q = Q - W = 640,7 kJ

Parece entonces que estamos peor que antes, pues el bloque estaría calentando menos la habitación. No es así, porque ahora tenemos 178  kJ de trabajo a nuestra disposición para aprovechar como queramos. Y la forma más eficiente es usarlo para hacer funcionar una bomba de calor entre el exterior (a T2 = 5

oC) y la

habitación. La cantidad máxima de calor que introducimos la da el coeficiente de desempeño de una bomba de calor reversible

h2 0max

0 2

Q T 295 = COP = = = 17,4

W T -T 295 - 278

Esto quiere decir que podemos bombear al interior una cantidad de calor

.h2 max Q = W COP = 3091,1 kJ

El calor total que introducimos es la suma del de desecho del bloque metálico más el que mete la bomba

h h1 h2 Q = Q + Q = 640,7,1 + 3091,1 kJ = 3731,8 kJ

Esta cantidad es considerablemente superior a la que sacaríamos directamente del bloque

h

1

Q = 4,56

Q

Este valor que hemos indicado es el máximo posible suponiendo el bloque finalmente a temperatura de la habitación, ya que todos los procesos implicados son reversibles. Para este proceso doble (bloque que alimenta una máquina térmica reversible, que mueve una bomba de calor también reversible) la producción de entropía es 0 y no hay trabajo perdido.

Un refinamiento adicional

Todavía podemos mejorar un poco este resultado. El bloque está finalmente a 22°C, pero el exterior está a 5°C. Si no le tenemos especial aprecio al bloque podemos sacarlo al exterior y aprovechar la pequeña diferencia de temperaturas para sacar un poco más de trabajo y bombear algo más de calor al interior. El trabajo extra que podríamos obtener sería

00 2 2p

2

TW = m.C . T T - T .ln = 2,3 kJ

T

Que nos proporciona un calor extra

h max Q = COP . W = 39,93 kJ

Lo que eleva nuestro calor total a

hT h hQ = Q + Q = 3772,2 kJ

Elevando nuestra eficiencia a 4.60 veces el calor original. En términos de la exergía, este refinamiento consiste en variar la naturaleza del estado muerto. Antes considerábamos que era a 22°C, la temperatura de la habitación. A partir de ahí el bloque no podía dar nada más. Sin embargo, la exaergía depende tanto del sistema como del ambiente. Si consideramos que el ambiente es el exterior, a 5°C, un bloque a 22°C aún tiene algo de exergía aprovechable, que es lo que acabamos de hallar.

Un método alternativo

Una vez que hemos visto un método concreto para incrementar el calor introducido en la habitación, pueden pensarse alternativas similares. Una de ellas es la siguiente: Puesto que el rendimiento de una máquina térmica es mayor cuanto menor sea la temperatura del foco frío, ¿por qué no hacerla funcionar entre la temperatura inicial (To = 473 K) y la temperatura exterior (T2 = 278 K)? En este caso, el trabajo que sacaríamos del bloque sería

01 2 2p

2

TW = m.C . T T - T .ln = 217, 4 kJ

T

Esto es, un 22% más de trabajo aprovechable. Con este trabajo hacemos funcionar la máquina de calor entre el exterior y la habitación, introduciendo una cantidad máxima de calor

h maxQ = COP . W = 3772,2 kJ

En este caso este sería el único calor que habría que contar, ya que al usar el exterior como foco frío de la máquina térmica, no estaríamos arrojando el calor de derecho del bloque en su interior (o, para ser precisos, está incluido en el calor bombeado). Vemos que, por este un proceso reversible, la cantidad máxima de calor que obtenemos es exactamente la misma que en el proceso anterior, también reversible, incluyendo el refinamiento. Esto es consecuencia de que la exergía es una

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función de estado. Dado un estado inicial y un estado muerto final, la cantidad máxima de trabajo que podemos extraer es la misma, independientemente del proceso.

11.22 CONTACTO REVERSIBLE ENTRE DOS RECIPIENTES

Se tienen dos recipientes adiabáticos que contienen 400 y 600  g de agua líquida, respectivamente. La temperatura del primer recipiente es de 0,00  °C y la del segundo 100  °C. 1. Los dos recipientes se ponen en contacto térmico a través de una pared diaterma. calcula: a. La temperatura final del agua. b. Las cantidades de calor transferidas en el proceso. c. La variación de entropía en el Universo. 2. Supón ahora que el contacto térmico no se hace poniendo los sistemas en contacto, sino a través de una máquina térmica reversible que usa los recipientes como foco caliente y frío, de modo que sus temperaturas van cambiando en el tiempo. Si todos los procesos son reversibles… a. Calcula la temperatura final del agua en este caso. b. Calcula el calor cedido por el agua caliente y el absorbido por el agua fría. c. Determina la cantidad de trabajo que se puede extraer del sistema con este procedimiento. SOLUCIÓN

Temperatura final (irreversible)

En el estado final la temperatura de ambos recipientes es la misma, T_f. Al estar los recipientes aislados del exterior por paredes adiabáticas, no se intercambia calor con el ambiente. Todo el calor que sale del foco caliente entra en el foco frío. Si etiquetamos el sistema más caliente como 1 y el más frío como 2 tenemos que

1 2 1 2Q = - Q Q + Q = 0

Por ser el calor específico del agua prácticamente constante, el calor es proporcional a la variación de temperaturas. Por tanto

f 1 f 21 e 2 em .C . T - T + m .C . T - T = 0

Despejando de aquí

1 1 2 2f

1 2

m .T + m .TT =

m + m

Sustituyendo los valores numéricos

o

o1 2f f

1 2 1 2

3 . 100 Cm 600 3 m 400 2 = = = = T = = T = 60 C

m + m 1000 5 m + m 1000 5 5

Calor transferido (irreversible)

Conocida la variación de temperaturas, hallamos el calor transferido entre los recipientes de manera inmediata. El calor que entra en el agua fría es

.

of 22 2 e o

1 calQ = m .C . T - T = 400 g . 60 C = 24 kcal

g. C

El calor que entra en el agua caliente es el mismo, cambiado de signo

.

of 11 1 e o

1 calQ = m .C . T - T = 600 g . - 40 C = - 24 kcal

g. C

Aparte, podría haber transferido entre los recipientes y el entorno, pero al ser adiabáticas las paredes exteriores, este calor es nulo.

Producción de entropía

Este proceso es irreversible, por lo que debe producirse un aumento neto de entropía en el Universo. Para hallar la variación de entropía en cada recipiente debemos imaginar un proceso reversible que lleve del estado inicial al final. Este proceso reversible consiste en suponer infinitos focos térmicos de temperatura cada vez más baja (para el agua caliente), de forma que el calor intercambiado con cada uno es

.R 1 edQ = m .C dT

Y la variación diferencial de entropía

.R

1 1 e

dQ dTdS = = m .C

T T

La variación total de entropía para el foco caliente es

. .

Tf f

1 1 e 1 eT1 1

dT TS = m .C = m .C ln

T TΔ

Puesto que la temperatura final es menor que la inicial, esta variación de entropía es negativa. La variación de entropía para el foco frío será análogamente

. .

Tf f

2 2 e 2 eT2 2

dT TS = m .C = m .C ln

T TΔ

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Sustituyendo los valores numéricos y recordando que es preciso emplear las temperaturas absolutas obtenemos, para el agua caliente

1

cal cal333S = 600 .ln = - 68,1

K K373Δ

Y para la fría

2

cal cal333S = 400 .ln = + 79,5

K K273Δ

La variación de entropía del agua será la suma de estas dos

1 2

calS = S + S = + 11, 4

KΔ Δ Δ

A esta variación habría que sumar la del entorno, pero, dado que el sistema es adiabático, no hay entrada de calor en el entorno y su variación de entropía es nula. La variación total de entropía es la que acabamos de indicar. Su signo es positivo, como corresponde a un proceso reversible.

Temperatura final (reversible)

Si los recipientes se conectan a través de una máquina térmica, parte del calor que sale del foco caliente se transforma en trabajo y solo un resto va a aparara al agua fría. Por ello, el agua fría se calentará menos que antes y la temperatura final será inferior a la calculada en el primer apartado (aunque en el equilibrio seguirá siendo igual para los dos recipientes). La forma más sencilla de calcular la nueva temperatura final es observando que, si todos los procesos son reversibles, la variación de entropía es nula, esto es

. .

f f1 e 2 e

1 2

T T0 = S = m .C ln + m .C ln

T TΔ

En este caso particular, sustituyendo los valores numéricos tenemos

f fcal calT T600 .ln + 400 .ln = 0

K K373 273

Simplificando y despejando queda

o

f f

400 .ln 273 + 600 .ln 373ln T = T = 329,2 K = 56,2 C

1000

Calores intercambiados (reversibles)

Conocida la nueva temperatura final, hallamos el calor que entra en cada recipiente de la misma manera que en el caso irreversible. Para el agua caliente

. f 11 1 eQ = m .C T - T = - 26280 cal.

Y para el agua fría

. f 22 2 eQ = m .C T - T = + 26280 cal.

Vemos que ahora no coinciden, porque parte del calor que sale del foco frío se va en trabajo.

Trabajo realizado

De acuerdo con el primer principio de la termodinámica, el trabajo realizado por la máquina será la diferencia entre el calor que entra en ella y el que se deprende como calor de desecho

1 2W = Q - Q = 3800 cal = 15,9 kJ

11.23. OTROS PROBLEMAS

11.23.1 EJEMPLO DE BOMBA DE CALOR DE CARNOT

Una bomba de calor se emplea para mantener caliente una vivienda que se encuentra a 20.0°C siendo la temperatura exterior -5.00°C. Suponiendo que la bomba de calor es una máquina de Carnot invertida, calcule cuantos julios de energía procedentes del medio ambiente exterior serán transferidos al interior de la vivienda por cada julio de energía eléctrica consumida. Explique las ventajas e inconvenientes de este sistema de calefacción frente a uno convencional de disipación de energía en una resistencia eléctrica. SOLUCIÓN

La figura muestra el esquema de una máquina de Carnot funcionando como bomba de calor. En cada ciclo, se realiza un trabajo | W |sobre la máquina, está extrae | Qf | del foco frío (el exterior de la casa) y suministra | Qc | al foco caliente (la habitación que se quiere calentar). El COP de la bomba de Carnot es el cociente entre el calor suministrado al foco caliente y el trabajo realizado sobre la máquina en cada ciclo

cQCOP =

W

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Aplicando el Primer Principio a un ciclo de la máquina podemos escribir

c c

ffc f c f

cc

Q 1 1 TCOP = = = =

TQQ - Q T - T 1 - 1 -

TQ

Hemos usado la relación entre los calores transferidos con los focos obtenidos en el análisis de la máquina de Carnot con un gas ideal

c f

c f

Q Q =

T T

Es importante recordar que estas temperaturas son absolutas. Hay que pasar las temperaturas en Celsius a la escala absoluta. El COP en este caso es

273,15 + 20,0

COP = = 11,7273,15 + 20,0 - 273,15 - - 5,00

De la definición del COP vemos que el calor transferido al foco caliente es: | Qc | = (COP) | W | Es decir, por cada julio de trabajo realizado sobre la máquina ésta aporta 11.7 J de energía térmica al foco caliente. En los calentadores eléctricos, el calor proviene de la energía disipada por efecto Joule en una resistencia eléctrica. Prácticamente toda la energía que se aporta a la resistencia se convierte en calor. Eso quiere decir que un calefactor eléctrico se obtiene 1 J de calor por cada Julio de trabajo aportado, esto es, su coeficiente de desempeño es COPelec =1. Vemos que la bomba de calor de Carnot es mucho más eficiente que un calentador eléctrico. Las bombas de calor reales no proporcionan el COP de una bomba de Carnot. Valores típicos varían entre 2 y 5. Pero en cualquier caso siempre son más eficientes que los calentadores eléctricos. El inconveniente es que son más caras y no son transportables. No podemos llevarnos una bomba de calor del salón al dormitorio de una forma sencilla, pues la bomba de calor tiene que tener siempre una salida al exterior (el foco frío). Los calentadores eléctricos sí se pueden

mover de manera sencilla ( Boyd, Robert, 1983). La eficiencia de la bomba de calor disminuye si la temperatura del foco frío es muy baja. Esto puede verse en la expresión del COP teórico, pues un valor menor de Tf, manteniendo constante Tc hace que el denominador sea mayor y el cociente más pequeño. Por eso las bombas de calor son más eficientes en lugares donde el frío en invierno no sea demasiado intenso. Además, una bomba de calor puede invertir su funcionamiento y servir de refrigerador en verano. Esto se consigue con una válvula reversible. Por ello, se ha extendido su uso en zonas de climas templados (alrededor del Mediterráneo, sur de Estados Unidos, etc). En zonas de climas fríos pueden usarse bombas de calor cuyo foco frío no sea la atmósfera, sino el subsuelo. A unos cuantos metros bajo el suelo la temperatura se mantiene relativamente constante durante el año, y significativamente mayor que en la atmósfera en invierno. Por supuesto, el coste de la instalación de estas bombas de calor aumenta de un modo considerable.

11.23.2 PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN UN FRIGORÍFICO REAL

Para mantener su interior a 4°C en una habitación que se encuentra a 27°C un frigorífico ha de extraer 360   kJ/min de su interior. Si la entrada de potencia requerida por el frigorífico es 2 kW, determine: 1. Eficiencia del refrigerador. Compárela con la eficiencia de un refrigerador ideal (reversible) que trabaje entre los mismos focos térmicos. 2. Potencia extra que consume este frigorífico respecto a uno ideal que extraiga la misma energía de su interior. 3. Entropía generada por segundo en el universo por la operación del frigorífico real. SOLUCIÓN

Eficiencia del refrigerador

La eficiencia de un refrigerador se expresa habitualmente en términos del coeficiente de operación (COP), denotado por COPR. También se utiliza a veces la letra η. USaremos esta última notación en este problema. La eficiencia de un refrigerador es el calor extraído del foco frío dividido por el trabajo requerido para hacer funcionar el refrigerador. Por supuesto esta definición es igualmente válida cuando se emplea el calor extraído y el trabajo requerido por unidad de tiempo. Entonces para nuestro refrigerador tenemos:

freal

real

kJ 1min360 Q min 60s

= = = 3W 2 kJ/s

η

Esta eficiencia se encuentra dentro del rango de valores típicos del COP para refrigeradores reales. Por otra parte, sabemos que para un refrigerador ideal la eficiencia es una función exclusivamente de las temperaturas del foco frío y del foco caliente:

frev

c f

T 277 K = = = 12,00

T - T 23 Kη

Es decir, que la eficiencia del refrigerador real es un 25% de la eficiencia teórica máxima que se podría alcanzar para un refrigerador trabajando entre esos focos térmicos. Esto es lo que suele denominarse eficiencia de la segunda ley o eficiencia del segundo principio.

Potencia extra consumida

Dado que la eficiencia de la máquina real es cuatro veces más pequeña que la eficiencia ideal, la potencia necesaria para extraer la misma energía por unidad de tiempo del foco frío en la máquina real debe ser necesariamente mayor que para

la máquina real( Boyd, Robert, 1983).

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La potencia extra necesaria puede calcularse como

. . .

extra real revW = W - W y asumiendo, como hemos dicho, que ambas

máquinas absorben el mismo calor fQ del foco frío obtenemos:

.. . .

..

rev realextra real real

revreal

WW = W . 1 - = W 1 - = 2 kW. 1 - 0,25 = 1,5 kW

W

η

η

Es decir, que la máquina reversible solamente necesitaría el 25% (0.5 kW) de los 2 kW empleados por la máquina real para obtener el mismo resultado.

Entropía generada

El trabajo que se obtiene en un refrigerador es la diferencia entre el calor cedido al foco caliente y el calor absorbido del foco frío.

c frealW = Q - Q

Este trabajo puede relacionarse con el incremento de entropía del universo cuando opera la máquina. Recordemos que la máquina es cíclica y por tanto no existe incremento de entropía por ciclo en su interior, pero sí existe un incremento de entropía asociado a la absorción o cesión de calor de los focos:

c f

c f

Q QS = -

T TΔ

Despejando cQ en esta ecuación y sustituyendo en la expresión del trabajo se obtiene:

.

cfreal c

f

TW = Q . - 1 + T S

TΔ

Si la máquina es reversible el principio de incremento de entropía establece que ΔS = 0 y por tanto el trabajo que se obtiene es:

cfrev

f

TW = Q . - 1

T

Que constituye una demostración de la ecuación para la eficiencia ideal que se ha empleado en el primer apartado. Entonces la expresión para el trabajo de la máquina real se podría escribir como:

.real rev cW = W + T SΔ

En virtud del segundo principio( Boyd, Robert, 1983), de la termodinámica sabemos que el funcionamiento de cualquier

máquina real provoca un aumento de la entropía del universo. Entonces en la ecuación anterior tenemos que S 0 y,

como la temperatura absoluta es siempre positiva, se deduce que real revW W . Es decir, que cualquier máquina real

operando entre los mismos focos deberá realizar un trabajo mayor que Wrev para extraer el mismo calor del foco frío. Por tanto, un refrigerador real, debido a su carácter irreversible, debe realizar siempre un trabajo extra que, en virtud de la ecuación anterior, es:

.extra cW = T SΔ

Este trabajo adicional, que no habría sido necesario gastar si la máquina hubiera sido reversible, se añade al calor total trasvasado por el refrigerador al foco caliente y, por tanto, puede considerarse que es energía que se degrada como consecuencia de la irreversibilidad del refrigerador real. Es importante destacar que el trabajo extra es una magnitud proporcional al incremento de entropía del universo en el proceso. Comprobamos aquí que el incremento de entropía nos da una información cuantitativa del grado de irreversibilidad de un proceso y de la degradación de la energía que conlleva. En definitiva de la anterior ecuación podemos calcular el incremento de entropía del universo a partir de la potencia extra:

..

extra

c

kJ1,5

W JsS = = = 5,0

T 300 K sKΔ

Nótese que al estar la energía expresada por unidad de tiempo (potencia) lo que obtenemos realmente es el incremento de entropía del universo por segundo (ritmo de generación de entropía).

11.23.3 CICLO CON UN PROCESO REVERSIBLE Y OTRO IRREVERSIBLE

Un mol de un gas ideal sufre en primer lugar una expansión libre desde V1=12,4L y T1=300 K hasta V2=24,6L y T2=300 K. Luego se comprime isoterma y cuasiestáticamente, volviendo a sus estado original. 1. ¿Cuál es la variación de entropía del Universo en el ciclo completo? 2. ¿Cuánto trabajo se desperdicia en este ciclo? 3. Demuestre que este trabajo perdido es TΔSu. SOLUCIÓN

Variación de entropía del Universo

En este problema se nos plantea un sistema que recorre un ciclo, pues el estado final y el estado inicial son el mismo. Este ciclo tiene la particularidad de que tiene una parte irreversible y otra reversible. La parte irreversible es la expansión inicial y la reversible la compresión posterior. Ambos procesos son isotermos. Analicemos cada uno de ellos por separado

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Expansión isoterma irreversible En este proceso el gas no realiza trabajo, pues la expansión es libre y no empuja ninguna pared o pistón. Como las temperaturas inicial y final son iguales, la variación de energía interna del gas es nula. Entonces el calor absorbido por el gas es

g g g

12 12 12Q = U + W = 0Δ

El gas no absorbe calor durante el proceso. La variación de entropía del gas entre los estados 1 y 2 es

g2revg

12

1

dQS =

TΔ

Donde g

revdQ es el calor que el gas absorbe al pasar del estado 1 y 2 a lo largo de un proceso reversible. Como en este

proceso el gas no absorbe calor podríamos estar tentados de decir que su entropía no varía. Pero esto no sería correcto,

pues la expansión libre es irreversible y no puede usarse para calcular la variación de entropía.( Boyd, Robert, 1983)

Para poder calcular g

12SΔ hemos de imaginar un proceso reversible que una los estados 1 y 2. Como tienen la misma

temperatura, este proceso imaginario puede ser una expansión isoterma reversible entre los estados 1 y 2. En este proceso imaginario, la variación de energía interna es nula de nuevo, pero el gas realiza trabajo y absorbe calor de su entorno. De hecho usamos el trabajo que realiza para calcular el calor que absorbe. En cada paso infinitesimal de este proceso tenemos

g g g g g

r r r r r

dVdU = dQ + dW = 0 dQ = - dW = PdV = n.R.T.

V

En cada uno de estos pasos infinitesimales la variación de entropía es grg

dQdV

dS = = n.R. T V

Y la variación de entropía total en el proceso es

2 2g r 2

12 1 11

dQ dV VS = = n.R. = n.R.ln 0

T V V Δ

EL signo es positivo pues se tiene V2 > V1. El gas aumenta su entropía aunque no absorbe calor. Este incremento de entropía proviene de la irreversibilidad del proceso. La variación de la entropía del entorno es 0, pues al no absorber calor del gas ni recibir trabajo de él su estado no se ve alterado. Entonces

e

12S = 0Δ

Y la variación de entropía del Universo es

u g e 212 12 12

1

V J 24,61S = S + S = n.R.ln = 1 mol . 8,31 . ln = 5,69 J / K 0

V mol.K 12,41Δ Δ Δ

La variación total de entropía del Universo es positiva pues el proceso es irreversible.

Compresión isoterma reversible La entropía es una función de estado, por lo que la variación entre dos estados no depende del proceso realizado, ya sea reversible o irreversible. Por tanto tenemos

g g 221 12

1

VS = - S = - n.R.ln 0

VΔ Δ

A diferencia de la expansión irreversible anterior, la variación de entropía proviene del calor cedido por el gas en la compresión isoterma reversible. Ahora el entorno sí que ve variar su entropía, pues absorbe calor del gas. Este proceso es, de hecho, el inverso del proceso reversible imaginario que hemos usado para calcular la variación de entropía del gas en la expansión irreversible. Así pues, la variación de entropía del entorno en el proceso 21 es

e g g1 1 1 1 1g 2

21 2 2 2 2 21

dQ dQ dW P dV VS = = - = = - dV = - n.R. = n.R.ln 0

T T T T V V Δ

El aumento de entropía del entorno proviene del calor que absorbe del gas. Entonces, la variación de entropía del Universo en la compresión es

u g e

21 21 21S = S + S = 0Δ Δ Δ

La variación de entropía del Universo es cero pues el proceso es reversible.

Balance total de entropía La variación total de entropía del gas, el entorno y el Universo en el ciclo completo es

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g g g

12 21

e e e 212 21

1

u u u 212 21

1

S = S + S = 0

VS = S + S = n.R.ln = 5,69 J/K 0

V

VS = S + S = n.R.ln = 5,69 J/K 0

V

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

La variación de entropía del sistema en el ciclo es cero, pues el estado inicial y final coinciden. Pero la variación de entropía del Universo es positiva, pues el ciclo contiene procesos irreversibles.

Trabajo desperdiciado

En la expansión libre el gas no realiza trabajo. Sin embargo, si la expansión se hubiera hecho de manera reversible, habría realizado un trabajo

2

2r 1

1

V W = - PdV = - n.R.ln 0

V

El trabajo lo habría hecho sobre el entorno. Es decir, al realizar el proceso de manera completamente irreversible se ha perdido este trabajo. Wr representa el trabajo máximo que podríamos sacar de la expansión isoterma del gas, Wmax = | Wr |. Un proceso real en el cual el gas se expande contra un pistón no será completamente reversible, y el trabajo obtenido será menor que Wmax.

Relación entre el trabajo perdido y la variación de entropía

La variación de entropía del Universo puede desglosarse en la variación en cada uno de los procesos u u u

12 21ΔS = ΔS + ΔS

El proceso 21 es reversible, por lo que u

21ΔS = 0 . En el proceso 12 el entorno no se ve alterado, por lo que e

12ΔS = 0 .

Por tanto

gu u 2 2 r r máxr1 112

1 Q W WdQrW = TΔS = ΔS = ΔS = = dQ = = - = max T T T TT

Por tanto obtenemos u

maxW = TΔS

Esto nos dice que la irreversibilidad lleva asociada pérdida de trabajo útil, es decir, una degradación de la energía. En general para que un dispositivo sea eficiente hay que diseñarlo de manera que trabaje del modo más reversible posible. Esto quiere decir disminuir el rozamiento, hacer que las transferencias de calor se hagan entre objetos con temperaturas lo más parecidas posible, etc.

11.23.4 COMPRESIÓN ADIABÁTICA IRREVERSIBLE

Se tiene un cilindro de paredes adiabáticas cerrado por un pistón móvil, también adiabático. En el interior del cilindro se encuentra un gas ideal sitiado inicialmente a una presión p0, una temperatura T0 y ocupando un volumen V0. De pronto se aumenta bruscamente la presión externa colocando una pesa sobre el pistón, de forma que la nueva presión externa pasa a ser p1 = rp0 > p0. El gas se comprime hasta que las presiones interna y externa vuelven a coincidir. 1. Halle la temperatura final y el volumen final ocupado por el gas. 2. Calcule el incremento de entropía del sistema 3. Supongamos que se trata de un gas diatómico a una presión inicial de 1  atm, una temperatura inicial 20°C y un volumen inicial de 100  cm³. Si la presión final es de 2  atm. ¿Cuál es el volumen y la temperatura final, el trabajo realizado sobre el sistema y el aumento de entropía? Compárense estos resultados con lo que se obtienen en una compresión adiabática reversible desde 1 a 2  atm. SOLUCIÓN

Temperatura y volumen final

Al no tratarse de un proceso reversible, aunque se trata de un proceso adiabático no podemos usar la ecuación de

Poisson PV = cte, sino que debemos ir a los conceptos básicos. Tenemos que el proceso es adiabático, por lo que en él

Q =0

De acuerdo con el primer principio de la termodinámica, todo el trabajo realizado sobre el sistema se emplea en aumentar la energía interna

W = ΔU

El trabajo lo podemos calcular sabiendo que la presión externa es constante en todo el proceso

.V1

1 1 1Vo

W = - PdV =-P V - Vo

El aumento de la energía interna lo podemos relacionar con el incremento de temperatura. Para un gas ideal

γ

v1 0 1 0 1 1 2 2v

C 1ΔU = n.C T -T = . n.R.T - n.RT = . P .V - P .V

R - 1

Igualando el trabajo al aumento de la energía interna

γ γ

γ γ γ

1 1 o o 1 o1 01 1 o o

1

P V - P V - 1 .P + P - 1 .r + 1-P . V - V = V = .V = .V

- 1 P . r.

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Con r= p1 / p0. Una vez que tenemos el volumen final tenemos la temperatura

γ

γ

1 11 o o

0 0

- 1 .r + 1P .V T = .T = .T

P .V

Aumento de entropía

El aumento de entropía lo calculamos a partir del conocimiento de la entropía de un gas ideal como función de la temperatura y la presión

γ γγ

γ γ γ

1 1 o op p

o o o

ΔS = n.C .ln - n.C .ln - ln r1- .r +1 1- .r +1T P P V

n.R.ln = -n.R.ln r = . .lnT P T - 1

Caso numérico

Tenemos que:

γ-4 3

o o o 1 o

7P = 101325Pa T = 293 K V = 10 m P = 2.P =

5

Sustituyendo obtenemos Volumen El volumen final es

3

1 o

9V = . V = 64,3 cm

14

En un proceso adiabático reversible, este volumen sería 1

γ'

1

3oo

1

PV = .V = 60,9 cm

P

Esto es, la compresión es menor en el proceso adiabático irreversible.

Temperatura Sustituyendo igualmente obtenemos la temperatura final

1 o

9 T = . T = 376 K

7

En un proceso adiabático reversible, la temperatura final sería

γγ

'

1

-1

oo

1

PT = .T = 357 K

P

La temperatura aumenta más en el proceso irreversible que en el reversible.

Trabajo y aumento de energía En el proceso irreversible, el trabajo realizado sobre el sistema es

γ

o o1 o1

P .V . r - 1W = ΔU = - P . V - V = = 7,24 J

En un proceso reversible sería

γ

1 1 o o'P .V - P .V' '

W = ΔU = = 5,54 J- 1

Entropía La variación de entropía en el proceso reversible es:

mJΔS = 6, 44

K

En el proceso reversible alternativo, la variación de entropía es naturalmente nula. 11.23.5 ENTROPÍA DE UNA MEZCLA DE GASES Un recipiente de 2.00  l tiene una barrera que lo divide por la mitad. Una mitad contiene H2 y la otra O2. Ambos gases se encuentran a temperatura ambiente y presión atmosférica. Se retira la barrera de separación, permitiendo que los gases se mezclen. ¿Cuál el aumento de entropía del sistema? SOLUCIÓN

Entropía de un solo gas

La variación de la entropía de un gas ideal en función de la temperatura y el volumen es

2 2v

1 1

T VΔS = n.C .ln + n.R.ln

T V

Y, en función de la temperatura y la presión

p

T P2 2ΔS = n.C .ln - n.R.lnT P1 1

Si tenemos un conjunto de moles de un gas que se expande de un volumen V a un volumen 2V, siendo la temperatura final la misma que la inicial, la variación en la entropía del gas es

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2v

1

=0

T 2VΔS = n.C .ln + n.R.ln = n.R.ln 2

T V

Si usamos como variables la temperatura y la presión (que tienen la ventaja de ser ambas variables intensivas), lo que vemos es que la presión se reduce a la mitad

2p

1

=0

T P/2ΔS = n.C .ln - n.R.ln = n.R.ln 2

T P

Que naturalmente coincide con el resultado anterior.

Entropía de una mezcla

La entropía es una propiedad extensiva. Para una sustancia pura esto quiere decir que es proporcional a la cantidad de sustancia, esto es, es proporcional a la masa. Para una mezcla de gases ideales, se comportará como lo hace la masa de la mezcla. Si tenemos N sustancias, con ni moles de cada una, con una masa molar mi, la masa total será

N

i ii=1

m = n .m

Así que la entropía de la mezcla será

N

i ii=1

S = n .s

Siendo si la entropía por mol de la sustancia i. Una forma análoga tendremos para el incremento de la entropía.

N

i ii=1

S = n . sΔ Δ

El incremento de la entropía molar para cada sustancia será

i i ii pi

i io io

S T PS = = C .ln - R.ln

n T P

ΔΔ

Donde las pi son las presiones parciales de los gases de la mezcla, es decir,

i

i

= i i ii

nP x .P x =

n

Con lo que el incremento de la entropía total es

.

N

i ii pi i

io ioi=1

T PS = n .C ln - n .R.ln

T PΔ

Incremento de entropía

En nuestro caso, la temperatura inicial es la misma que la final para los dos gases.

i = i io

io

TT T ln = 0

T

Lo mismo ocurre con la presión total (no con la parcial), ya que inicialmente ambos se encontraban a la misma y al romper la membrana se redistribuyen las moléculas, pero el número de moles total y el volumen total sigue siendo el mismo.

Pio = P Las presiones parciales sí se ven reducidas pues cada gas pasa a ocupar el volumen total, con el mismo número de moles. Las presiones parciales serán

Pi = xi.P = xi.Pio Todo esto deja el aumento de entropía en

N N N

i ii pi i i i

io ioi=1 i=1 i=1

=0 0

T PS = n .C .ln - n .R.ln = - n .R.ln x

T P Δ

Aplicando la ley de los gases ideales

.

N

iii O O H H

2 2 2 2i=1

0P.VP.V

S = - .ln x = - x .ln x + x ln xTT

Δ

En nuestro caso, las fracciones molares de los dos gases son la misma: un 50%, ya que a igualdad de presión, volumen y temperaturas iniciales les corresponde el mismo número de moles (nótese que no necesitamos calcular cuántos son estos moles).

.O H2 2

1 1 atm. 2 L 101,325 J atm. 2 L Jx = x = S = - 2. 0,5.ln 0,5 . = 0, 471

2 298 K 1 atm. L KΔ

Vemos que la entropía del universo aumenta, ya que la del sistema lo hace y la del ambiente no se ve afectada (no hay intercambio de calor con el exterior). Por ello, este proceso de mezcla es espontáneo e irreversible.

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11.23.6 TRANSFERENCIA REVERSIBLE DE CALOR Se tienen dos recipientes adiabáticos conteniendo 500  g de agua cada uno, a 0°C y 100°C, respectivamente. 1. Se ponen en contacto a través de una pared diaterma. Halle:

a. La temperatura final del agua. b. La cantidad de calor transferida. c. La variación de entropía en el proceso.

2. Suponga ahora que el contacto térmico no se hace directamente sino a través de una máquina térmica reversible que usa los recipientes como foco caliente y foco frío. Teniendo en cuenta que todos los procesos son reversibles a. Halle la temperatura final del agua b. Calcule el calor cedido por el agua caliente y el absorbido por el agua fría c. Determine el trabajo que se puede extraer del sistema.

SOLUCIÓN

Contacto directo

En el primer proceso tenemos una transferencia de calor del foco caliente al foco frío sin producción alguna de trabajo. Todo el calor que cede el foco caliente lo absorbe el foco frío.

Temperatura final Puesto que el único intercambio de calor es interno

o1 of 1 f oe e f

T +T 0 = Q = m. C . T -T + m. C . T -T T = = 50 C

2

Calor transferido El calor que cede el foco caliente es:

1 f 1e

calQ = m. C . T -T = - 500g. 1 . - 50K = - 25,0 Kcal

g.K

Este calor es negativo puesto que sale del sistema. La misma cantidad de calor entra en el foco frío.

Variación de entropía La variación de entropía será la suma de lo que cambia la del agua caliente más lo que lo hace la del agua fría. El resultado es:

2f f f

1 2 e e e1 o o 1

T T TΔS = ΔS + ΔS = m. C . + m. C . = m. C .ln

T T T .T

Sustituyendo los valores numéricos

2 cal cal323,15ΔS = 500.ln = 12,13

K K273,15 . 373,15

Esa variación es positiva, lo que indica que el proceso es posible e irreversible.

Contacto reversible

Temperatura final Lo que caracteriza a un conjunto de procesos reversibles es que en cada uno de ellos la variación de entropía es nula. Por ello, la ecuación que permite calcular la temperatura final es

2f f f

1 2 e e e1 o o 1

T T T0 = ΔS = ΔS + ΔS = m. C . + m. C . = m. C .ln

T T T .T

Y la temperatura final resulta ser la media geométrica de las dos temperaturas intermedias (antes era la media aritmética)

oo 1fT = T .T = 319,26 K = 17,88 C

Esta temperatura es inferior a la calculada anteriormente porque en un proceso reversible no todo el calor del foco caliente va a parar al frío, sino que parte se emplea en producir trabajo.

Calor intercambiado El calor cedido por el foco caliente es

1 f 1eQ = m. C . T -T = 500. 46,1 - 100,0 cal = - 26,9 Kcal

y el calor absorbido por el foco frío:

o f 1e Q = m. C . T -T = 500. 46,1 - 0,0 cal = 23,1 Kcal

Trabajo realizado El trabajo realizado en este proceso es la diferencia entre el calor cedido y el absorbido

1 oW = Q - Q = 3,89 Kcal = 16,3 J

11.23.7 CASO EXTREMO DE CICLO DIESEL

Una máquina térmica funciona con aire (gas ideal) según el siguiente proceso: El gas contenido en una cámara se comprime adiabáticamente de forma reversible desde un volumen máximo VA hasta un volumen VB, siendo la razón de compresión r = VA / VB. A partir de ahí, el gas se pone en contacto con un foco térmico y se calienta a presión constante hasta un estado C, cuyo volumen es igual al inicial.

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Acto seguido, el gas se enfría a volumen constante hasta que la temperatura retorna a su valor inicial. Halle el calor absorbido y cedido por el gas durante el ciclo, así como el trabajo realizado sobre el sistema. Demuestre que el rendimiento de este ciclo es igual a

γ

γγ -1

r -1 = 1 -

.r . r-1

Para el caso concreto de aire con o 3

A A AP = 100KPa, T = 17 C , V = 1900 cm y r = 3 , ¿cuánto valen las temperaturas y

presiones en B y C? ¿Y el calor absorbido, el cedido y el trabajo realizado? ¿Y el rendimiento? Supongamos que el calentamiento se produce a base de poner en contacto el gas con un foco a temperatura constante TC, y el enfriamiento mediante el contacto con el ambiente a TA. ¿Cuánto vale la variación de entropía en el sistema y en el universo en cada paso? ¿Cuál es la variación neta de entropía del universo? ¿Cuánto vale el trabajo perdido en este ciclo si lo comparamos con el máximo posible para el mismo calor absorbido con las temperaturas de trabajo TA y TC?

11.23.8 EXERGÍA DE UN VOLUMEN DE AIRE COMPRIMIDO EN UN TANQUE

Un tanque de 200 m3 de volumen contiene aire a una presión de 1 MPa y temperatura de 300 K. Determine qué cantidad

máxima de trabajo puede obtenerse de él si las condiciones del entorno son P0=100 kPa y T0=300 K. SOLUCIÓN

La exergía es una propiedad que depende de las propiedades termodinámicas del sistema y del entorno. Nos dice cuál es la cantidad máxima de trabajo que podemos obtener del sistema cuando este evoluciona desde su estado inicial hasta quedar en equilibrio con el entorno (estado muerto). En este caso ese trabajo podría provenir de la expansión del gas al abrir una llave en el tanque en el que está contenido. Al expandirse podría mover un pistón o una turbina y producir así trabajo útil. Si el sistema en su estado inicial tiene una energía interna U, un volumen V y una entropía S, y cuando llegue al equilibrio con el entorno tiene unos valores U0, V0 y S0 de esas mismas magnitudes, la exergía es:

X = (U − U0) + P0.(V − V0) − T0(S − S0) Siendo P0 y T0 la presión y la temperatura del entorno, respectivamente. En este problema T0 = T. Examinemos cada una de las contribuciones en nuestro caso.

Variación de energía interna Las temperaturas iniciales y finales del gas son las mismas. Considerándolo un gas ideal, su energía interna es la misma al inicio y al final del proceso, pues sólo depende de la temperatura. Así pues U − U0 = 0

Variación de volumen: Este término se puede escribir como

o oo

o. o o

o

P Pn.R.T n.R.TP V- V = P . = n.R.T. - 1 = PV. - 1 = -180MJ <

P PP P0

Esta contribución es negativa, es decir, es trabajo perdido. Este término representa el trabajo que debe hacer el gas para dejar sitio a su expansión contra la presión del entorno. 1. Variación de entropía Al ser un gas ideal podemos determinar su variación de entropía en función de los cambios de temperatura y presión

o v vo o o oo oo o o

P PT P P - T . S-S = - T . n.C .ln - n.R.ln = - T . n.C .ln1 - n.R.ln = n.R.T .ln = PV.ln = 461 MJ 0

P PT P P

Hemos usado la ecuación de estado del gas ideal para expresar nRT0 = nRT = PV. Esta contribución es positiva. Esto se debe a que el sistema aumenta su entropía al evolucionar hasta el estado de equilibrio con el entorno.

Valor de la exergía Finalmente, la exergía del gas y su entorno es

o

o

P PX = PV. ln + - 1 = 281 MJ

P P

Este el trabajo que podría obtenerse si el sistema evolucionara reversiblemente hasta el estado final. Un proceso real es siempre irreversible, por lo que el trabajo real que podría obtenerse es menor que este valor.

11.23.9 BALA PENETRANDO EN UN BLOQUE DE MADERA, ENERO 2012 (G.I.C.)

Una bala de masa m=10,0 gramos; viaja con velocidad V = 120 m/s . Impacta con un bloque de madera y penetra en él

una distancia s = 2,30 cm . ¿Cuál es el valor aproximado de la fuerza media ejercida por el bloque sobre la bala?

SOLUCIÓN

La energía cinética de la bala antes de impactar con el bloque es:

2

c

1E = .mV = 72,0J

2

Cuando se para su energía cinética es cero. La disminución de energía cinética es igual al trabajo realizado por el bloque sobre la bala. Modelando la fuerza ejercida por el bloque como una fuerza media Fm tenemos

c bloque mΔE = W F .s

De aquí obtenemos c

m

ΔEF = 3,13KN

s

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ANEXOS ANEXO 1: PESOS ESPECÍFICOS

Listado de pesos específicos Pesos unitarios de algunos materiales (g). 1 daN = 1,02 kgf

CUERPOS A GRANEL daN/m3 Mampostería (sin revoques) daN/m

3

Tierra depositada sin compactar seca 1300 De ladrillos cerámicos comunes 1400

Tierra depositada sin compactar húmeda

1800 De ladrillos o bloques cerámicos perforados (huecos < 25%)

1600

Tierra depositada sin compactar saturada

2100 De ladrillos o bloques cerámicos perforados (25%< huecos < 50%)

1500

Arena seca 1600 De ladrillos o bloques cerámicos

perforados (huecos > 50%) 1000

Arena húmeda 1800 Bloque hueco de hormigón liviano 1300

Arena saturada 2100 Bloque hueco de hormigón 1600

Cal 1000 Losetas de hormigón 2200

Cascotes de ladrillo 1300

Cemento suelto 1400

Piedra partida cuarcítica 1400

Piedra partida Granítica 1600

Yeso 1250

Hormigones daN/m3 Morteros daN/m

3

De cemento portland, arena y canto rodado o piedra partida sin armar 2300 De cal y arena 1700

De cemento portland, arena y canto rodado o piedra partida armado 2400 De cal, arena y polvo de ladrillos 1600

De cemento portland, arena y agregado basáltico 2400 De cemento portland y arena 2100

De vermiculita, dosaje 1:6 (cemento, vermiculita) 450 De cemento portland, cal y arena 1900

De vermiculita, dosaje 1:12 (cemento, vermiculita) 300

De cemento portland, arena y cascotes 1800

De cemento portland, arena y mineral de hierro 3600

De cemento portland, arena y arcilla expandida 1800

De cal, arena y cascotes 1600

Maderas daN/m3 Maderas daN/m

3

Abeto Blanco o Rojo 600 Quebracho Blanco 920

Álamo 500 Quebracho Colorado 1300

Ceibo 610 Raulí 580

Ciprés 480 Roble Avellano 650

Curupay Blanco 950 Roble Blanco 750

Curupay colorado y negro 1100 Roble Rojo o Negro 700

Fresno 650 Roble Vivo 950

Incienso Amarillo y Verde 980 Urunday 1220

Incienso Colorado 990 Virapitá 995

Lapacho Negro o Moro 1150 Viraró 970

Ñandubay 960 Otros materiales líquidos daN/m3

Nogal Blanco 450 Agua 1000

Nogal Negro 650 Alquitrán 1200

Pino Americano 800 Asfalto 1300

Pino Blanco 500 Basura 700

Pino de Flandes 700 Libros y documentos apilados 850

Pino Spruce 550 Nafta 750

Pino Tea (resinoso) 900 Papel apilado 1100

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Metales daN/m3 Rocas daN/m

3

Acero 7850 Arenisca 2600

Aluminio 2700 Arenisca Porosa 2400

Bronce 8600 Basalto o Meláfiro 3000

Cobre 8900 Caliza Compacta 2800

Estaño 7400 Caliza Porosa 2400

Fundición de Hierro 7250 Diabasa 2800

Latón 8650 Diorita 3000

Magnesio 1850 Dolomita 2800

Níquel 8900 Gneis 3000

Plomo 11400 Grabo 3000

Zinc 7200 Granito 2800

Acero 7850 Mármol 2800

Aluminio 2700 Pizarra 2800

Pórfido 2800

Sienita 2800

Travertino 2400

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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ANEXO 2: FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES

LONGITUD

1 m = 100cm = 1000mm = 106μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in. 1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm 1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ACELERACIÓN

1 m = 100cm = 1000mm = 106μm = 10

9 nm

1km = 1000 m = 0,6214 millas terrestres 1m = 3,281 ft = 39,37 in. 1cm = 0,3739 in. 1 in. = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm 1yd = 91,44 cm 1 milla terrestre = 5280 ft = 1,609 Km 1 Å = 10

-10 m = 10

-8 cm = 10

-1 nm

1 milla naútica = 6080 ft 1 año luz = 9,461 x10

15m

ÁREA

1 cm2 = 0,155 in

2

1 m2 = 10

4 cm

2 = 10,76 ft

2

1 in2 = 6,452 cm

2

1 ft2 = 144 in

2

MASA

1 Kg = 103g = 0,0685 slug

1 g = 6,85x10-5

slug 1 slug = 14,59 Kg 1 u = 1,661x10

-27 Kg

1 Kg tiene un peso de 2,205 lb cuando g=9,8m/s2

VOLUMEN

1 litro = 1000 cm3=10

-3m

3= 0,03531ft

3= 61,02 in

3

1 ft3 =0,02832m

3=28,32 litros= 7,477 galones 1 galón=

3,788 litros (galón americano)

FUERZA

1 N = 105 dinas = 0,2248 lb

1 lb = 4,448 N = 4,448x105 dinas

TIEMPO

1 min= 60 s 1 h= 3600 s 1 día=86400 s 1 año = 365,24 días = 3,156x10

7 s

PRESIÓN

1 Pa = 1N/m2 = 1,451x10

-4 lb/in

2 = 0,209 lb/ft

2

1 bar = 105 Pa

1 lb/in2 = 6891 Pa

1 lb/ft2 = 47,85 Pa

1 atm = 1,013x105 Pa = 1,013 bar = 14,7 lb/in

2

= 2117 lb/ft2

1 mmHg = 1 Torr = 133,3 Pa

ÁNGULO

1 rad.= 57,30o= 180

o/π

1 litro = 1000 cm3

1o= 0,01745 rad = π/180 rad

1 revolución= 360o = 2π rad.

ENERGÍA 1 J = 107 ergios = 0,239 cal

1 cal = 4,186 J (basado en caloría a 15o)

1 ft.lb = 1,356 J 1 BTU = 1055J = 252 cal = 778 ft.lb

1 eV = 1,602x10-19

J 1 KWh = 3,6x10

6 J

VELOCIDAD 1 m/s = 3,281 ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/s

1 mi/min = 60mi/h = 88 ft/s 1 Km/h = 0,2778 m/s =0,6214 Km/h 1 estadio/quincena = 1,662x10

-4 m/s

N. del E: Estadio: medida de 201 metros

EQUIVALENCIA MASA - ENERGÍA 1 kg = 8,988 x10

16J

1 u = 931,5 MeV

1 eV = 1,074x10-9

u

POTENCIA 1 watt = 1J/s

1 hp = 746 W = 550 ft.lb/s 1 BTU/h = 0,293W

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ANEXO 3: GASES REALES CÁLCULO DEL FACTOR K DE UNA MEZCLA DE GASES Y SUS PROPIEDADES TERMODINÁMICAS

Sustancia Fórmula Mol kg

Cp J/mol K

Cv J/mol K

k Cp/Cv

Tc K

Pc bar

Vapor de agua: H2O 0.018015 34.769 26.482 1.3129 647.10 220.64 Aire (atmosférico): - 0.028960 29.130 20.800 1.4005 132.42 37.74 Amoniaco: NH3 0.017031 36.953 28.280 1.3067 405.55 112.40

Argón: Ar 0.039948 20.830 12.480 1.6691 150.72 48.64 Benceno: C6H6 0.078108 77.862 69.520 1.1200 561.80 48.54 i-Butano: CH(CH3)3 0.058124 94.163 85.846 1.0969 408.13 36.50

n-Butano: C4H10 0.058124 100.365 92.048 1.0904 425.16 37.97 Ciclohexano: C6H12 0.084161 127.519 119.177 1.0700 553.50 40.73 Ciclopentano: C5H10 0.070134 112.622 104.280 1.0800 511.60 45.08 Cloro: Cl2 0.070906 35.317 27.004 1.3078 417.15 77.10

Criptón: Kr2 0.083800 21.037 12.622 1.6667 209.40 54.90 Decano: CH3(CH2)8CH3 0.142285 286.421 278.079 1.0300 617.70 21.00 Dimetil Eter: (CH3)2O 0.046069 65.690 59.180 1.1100 400.05 52.70

Dióxido de azufre: SO2 0.064063 39.884 30.932 1.2894 430.75 78.84 Dióxido de carbono: CO2 0.044011 37.564 28.541 1.3161 304.19 73.82 Etano: C2H6 0.030070 53.346 44.769 1.1916 305.50 49.10

Eteno (Etileno): C2H4 0.028054 43.428 34.899 1.2444 283.05 51.20 Etino (Acetileno): C2H2 0.026038 44.308 35.915 1.2337 308.35 61.90 Fluor: F2 0.037997 31.449 23.165 1.3576 144.30 52.15

Freón 11: CCl3F 0.137368 77.613 68.321 1.1360 471.15 44.08 Freón 113: CCl2FCClF2 0.187376 126.221 116.871 1.0800 487.25 34.15 Freón 318: C4F8 0.200031 159.017 150.727 1.0550 388.45 27.86

Acido bromhídrico: HBr 0.080912 29.791 20.980 1.4200 362.95 85.10 Acido clorhídrico: HCl 0.036451 29.576 20.976 1.4100 324.55 82.58 Helio:

4He 0.004003 20.967 12.863 1.6300 5.20 2.29

Heptano: CH3(CH2)5CH3 0.100040 175.190 166.847 1.0500 539.20 27.40 Hexano: CH3(CH2)4CH3 0.086177 147.382 139.039 1.0600 506.40 30.30 Acido yodhídrico: HI 0.127913 30.497 21.784 1.4000 423.90 82.10

Hidrógeno: H2 0.002016 28.851 20.535 1.4050 33.24 12.97 Metano: CH4 0.016043 35.941 27.531 1.3055 191.05 46.40 Metanol: CH3OH 0.032042 35.253 26.911 1.3100 512.00 80.97

Monoetilenglicol: C2H6O2 0.062068 54.689 46.346 1.1800 719.70 77.10 Monóxido de carbono: CO 0.028010 29.204 20.794 1.4044 132.92 34.99 Oxido Nitroso: N2O 0.044013 38.635 29.648 1.3031 309.58 72.54

Neón: Ne 0.020183 20.786 12.659 1.6420 44.44 27.20 Nitrógeno: N2 0.028013 28.980 20.600 1.4068 126.26 34.00 Oxido Nítrico: NO 0.030006 29.227 20.891 1.3990 180.25 65.50

Nonano: CH3(CH2)7CH3 0.128258 216.901 208.559 1.0400 594.70 22.80 Octano: CH3(CH2)6CH3 0.114231 175.190 166.847 1.0500 568.40 24.90 Oxígeno: O2 0.031999 29.472 20.817 1.4158 154.58 50.43

i-Pentano: C(CH3)4 0.072151 118.156 109.854 1.0756 433.75 31.99 n-Pentano: C5H12 0.072150 112.622 104.280 1.0800 469.70 33.65 Propano: C3H8 0.044097 74.010 64.810 1.1420 369.99 42.66

Sulfuro de hidrógeno: H2S 0.034076 34.218 25.806 1.3260 373.56 90.10 Tetrafluoruro de carbono: CF4 0.088005 61.271 52.949 1.1572 227.59 37.40 Tolueno: C6H5CH3 0.092134 101.035 92.693 1.0900 593.80 42.07

Xenón: Xe 0.131300 21.012 12.658 1.6600 289.74 58.38

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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ANEXO 4: TABLA DE PUNTOS TRIPLES

SUSTANCIA FÓRMULA T (K) P (KPa)

Acetileno C2H2 192,4 120 Amoníaco NH3 195,40 6,076 Argón A 83,81 68,9

Grafito C 3900 10100 Dióxido de carbono CO2 216,55 517 Monóxido de carbono CO 68,10 15,37

Deuterio D2 18,63 17,1 Etano C2H6 89,89 8 × 10

−4

Etileno C2H4 104,0 0,12

Helio-4 He 2,19 5,1 Hidrógeno H 13,84 7,04 Cloruro de hidrógeno HCl 158,96 13,9

Mercurio Hg 234,2 1,65 × 10−7

Metano CH4 90,68 11,7 Neón Ne 24,57 43,2

Óxido nítrico NO 109,50 21,92 Nitrógeno N2 63,18 12,6 Óxido nitroso N2O 182,34 87,85

Oxígeno O2 54,36 0,152 Paladio Pd 1825 3,5 × 10

−3

Platino Pt 2045 2,0 × 10−4

Dióxido de azufre SO2 197,69 1,67 Titanio Ti 1941 5,3 × 10

−3

Hexafluoruro de uranio UF6 337,17 151,7

Agua H2O 273,16 0,61 Xenón Xe 161,3 81,5 Zinc Zn 692,65 0,065

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

ANEXO 5: UNIDADES DE FOTOMETRIA DEL SI

UNIDADES DE FOTOMETRIA DEL SI MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD DEL SI ABREV. NOTAS

Energía Luminosa QV Lumen segundo lm.s A veces se usa la unidad talbot Flujo Luminoso F Lumen (= cd. sr) lm Intensidad Luminosa IV Candela (= Im/sr) cd Una unidad básica del SI

Luminancia LV Candela por metro cuadrado

cd/m2

Iluminancia EV Lux (= lm/m2) lx Usado para medir la incidencia de la luz sobre una

superficie Emisión Luminosa MV Lux (= lm/m

2) lx Usado para medir la luz emitida por una superficie

Eficiencia Luminosa Lumen por vatio lm.W-1

Ratio de flujo luminoso entre flujo radiante; el

máximo posible es 683 002

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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ANEXO 6: TABLA MUESTRA LAS EFICACIAS Y EFICIENCIAS LUMINOSAS DE VARIAS FUENTES DE LUZ

Categoría

Tipo

Eficacia luminosa (lm/W) Eficiencia luminosa

Combustión vela 0.3 0.04%

gas natural 1–2 0.15–0.3%

Incandescente

100–200 W tungsteno incandescente (230 V) 13.86 –15.2

7 2.0–2.2%

100–200–500 W tungsteno halógeno (230 V) 16.78 –17.6

7 –19.8

7 2.4–2.6–2.9%

5–40–100 W tungsteno incandescente (120 V) 5–12.69 –17.5

9 0.7–1.8–2.6%

lámparas fotográficas y de proyección 3510

5.1%

Lámpara LED

LED blanco (sin fuente de alimentación) 4.5–15011

12

13

14

0.66–22.0%

4.1 W lámpara LED de Rosca Edison (120 V) 58.5–82.915

8.6–12.1%

7 W LED PAR20 (120 V) 28.616

4.2%

Lámpara de Arco Faros xenón 30–5017

18

4.4–7.3%

Fluorescente

T12 tubo con balasto magnético 6019

9%

9–32 W fluorescente compacta 46–7520

21

7 8–11.45%

22

T8 tubo con balasto electrónico 80–10019

12–15%

T5 tubo 70–104.223

24

10–15.63%

Lámpara de descarga

1400 W lámpara de sulfuros 10025

15%

Lámpara de haluro metálico 65–11526

9.5–17%

Lámpara de Sodio de Alta Presión 85–15027

7 12–22%

Lámpara de Sodio de Baja Presión 100–20027

28

7 15–29%

Fuentes ideales Cuerpo negro a 5800 K truncado al espectro visible 251 37%

Luz verde a 555 nm (máximo LER posible) 683,002 100%

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

ANEXO 7: TABLAS DE CONSTANTES FÍSICAS

NOTA: A pesar que muchas propiedades de materiales y partículas son constantes, no se muestran en las tablas ya que son

específicas de los respectivos materiales o partículas.

TABLA DE CONSTANTES UNIVERSALES

Cantidad Símbolo Valor Error relativo

Impedancia característica en el vacío o oZ = μ .c 376,730 313 461... Ω definida

Permitividad en el vacío 2oo = 1/ μ .c 8,854 187 817... × 10

-12 F·m

-1 definida

Permeabilidad magnética en el vacío oμ 4π × 10-7

N·A-2

= 1,2566 370 614... × 10-6

N·A-2

definida

Constante de gravitación universal G 6,6742(10) × 10-11

N·m2/kg

2 1,5 × 10

-4

Constante de Planck h 6,626 0693(11) × 10-34

J·s 1,7 × 10-7

Constante reducida de Planck = h / 2 1,054 571 628(18) × 10-34

J·s 1,7 × 10-7

Velocidad de la luz en el vacío c 299 792 458 m·s-1

definida

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

TABLA DE CONSTANTES ELECTROMAGNÉTICAS

Cantidad Símbolo Valor (unidades SI) Error relativo

Magnetón de Bohr B e = e. / 2m 9,27400949(80) × 10-24

J·T-1 8,6 × 10

-8

Magnetón nuclear

N p = e. / 2m 5,050 783 43(43) × 10-27

J·T-1

8,6 × 10-8

Resistencia cuántica

2

oR = h / 2e 12 906,403 725(43) Ω 3,3 × 10-9

Constante de von Klitzing 2

kR = h / e 25 812,807 449(86) Ω 3,3 × 10-9

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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TABLA DE CONSTANTES ATÓMICAS Y NUCLEARES

Cantidad Símbolo Valor1 (unidades SI)

Error relativo

Radio de Bohr α oa = / 4.π.R 0,529 177 2108(18) × 10-10

m 3,3 × 10-9

Constante de acoplamiento de

Fermi

3

FG / c 1,166 39(1) × 10-5

GeV-2

8,6 × 10-6

Constante de estructura fina α 2 2oo = .e .c / 2h e / 4.π.ε . c 7,297 352 568(24) × 10

-3 3,3 × 10

-9

Energía de Hartree

hE = 2.R hc 4,359 744 17(75) × 10-18

J 1,7 × 10-7

Quantum of circulation eh / 2m 3,636 947 550(24) × 10-

4 m

2 s

-1

6,7 × 10-9

Constante de Rydberg

2

eR = .m c / 2h 10 973 731.568 525(73) m-1

6,6 × 10-12

Sección eficaz de Thomson π2

c8. /3 .r 0,665 245 873(13) × 10-28

m2 2,0 × 10

-8

Ángulo de Weinberg 22

w zsin θw = 1 - m /m 0,222 15(76) 3,4 × 10-3

TABLA DE CONSTANTES FÍSICO-QUÍMICAS

Cantidad Símbolo Valor1 (unidades SI)

Error relativo

Constante de masa atómica

u um = 1 1,660 538 86(28) × 10

-27 kg

1,7 × 10-7

Número de Avogadro AN ,L 6,022 14199(47) ×

1023

7,8 × 10

-8

Constante de Boltzmann AF = N .e 1,380 6505(24) × 10

-

23 J·K

-1

1,8 × 10-6

Constante de Faraday 96 485,3383(83)C·mol

-1

8,6 × 10-8

Primera constante de radiación

π

2

1c = 2 hc 3,741 771 38(64) ×

10-16

W·m2

1,7 × 10-7

para radiancia

espectral 1c .L

1,191 042 82(20) ×

10-16

W · m2 sr

-1

1,7 × 10-7

Número de

Loschmidt

a T=273,15 K

y p=101,325 kPa

o A mn = N / V 2,686 7773(47) ×

1025

m-3

1,8 × 10

-6

Constante universal de los gases ideales R

8,314 472(15) J·K-

1·mol

-1

1,7 × 10-6

Constante molar de Planck

AN .h

3,990 312 716(27) × 10

-10 J · s · mol

-1

6,7 × 10-9

Volumen molar de

un gas ideal

a T=273,15

K y p=100 kPa

m

R.TV =

p

22,710 981(40) × 10-

3 m

3 · mol

-1

1,7 × 10-6

a T=273.15

K y p=101.325 kPa

22,413 996(39) × 10-

3 m

3 · mol

-1

1,7 × 10-6

Sackur-Tetrode

constant

a T=1 K

y

p=100 kPa

-1,151 7047(44) 3,8 × 10-6

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a T=1 K

y

p=101,325 kPa

π

3/22

uO

5S / R = + ln 2. .m .k.T/h .k.T/p

2

-1.164 8677(44) 3,8 × 10-6

Segunda constante de

radiación 2c = hc / k 1,438 7752(25) × 10

-

2 m·K

1,7 × 10-6

Constante de Stefan-

Boltzmann

πζ 4 3 22= /60 .k / . c 5,670 400(40) × 10

-

8 W·m

-2·K

-4

7,0 × 10-6

Constante de la ley de

desplazamiento de Wien

energíab = hc/k / 4,965 114 231... 2,897 7685(51) × 10

-

3 m · K

1,7 × 10-6

Constante de la ley de

desplazamiento de Wien de la entropía

entropíab = hc/k / 4,791 267 357 ...

3,002 9152(05) x 10-

3 m · K

1,7 × 10-6

Valor convencional de

la constante de Josephson

J-90K 483 597,9 × 10

9 Hz ·

V-1

definida

ANEXO 8: Coeficientes λ para distintos materiales

Material λ Material λ Material λ

Acero 47-58 Corcho 0,04-0,30 Mercurio 83,7

Agua 0,58 Estaño 64,0 Mica 0,35

Aire 0,02 Fibra de vidrio 0,03-0,07 Níquel 52,3

Alcohol 0,16 Glicerina 0,29 Oro 308,2

Alpaca 29,1 Hierro 80,2 Parafina 0,21

Aluminio 209,3 Ladrillo 0,80 Plata

406,1-418,7

Amianto 0,04 Ladrillo refractario 0,47-1,05 Plomo 35,0

Bronce 116-186 Latón 81-116 Vidrio

0,6-

1,0

Zinc 106-140 Litio 301,2

Cobre 372,1-385,2 Madera 0,13

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry El coeficiente de conductividad térmica (λ) expresa la cantidad o flujo de calor que pasa a través de la unidad de superficie de una muestra del material, de extensión infinita, caras planoparalelas y espesor unidad, cuando entre sus caras se establece una diferencia de temperatura igual a la unidad, en condiciones estacionarias. En el sistema internacional la conductividad térmica se expresa en unidades de W⋅m-1⋅K-1

( J/s⋅m-1⋅°C-1). También

puede expresarse en unidades de British thermal units por hora por pie por grado Fahrenheit ( Btu⋅h-1⋅ft

-1⋅°F

-1). Estas

unidades pueden transformarse a W/(m·K) empleando el siguiente factor de conversión: 1 Btu/(h·ft·°F) = 1,731 W/(m·K).

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ANEXO 9: DIAGRAMA DE MOLLIER h – s

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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ANEXO 10: TABLA DE CALORES ESPECÍFICOS Y SUSTANCIAS

Sustancia

Fase

cp (másico) J·g

−1·K

−1

cp (molar)

J·mol−1

·K−1

cv (molar)

J·mol−1

·K−1

Capacidad calorífica volumétrica

J cm−3

K−1

Gas monoatómico (Ideal)

gas R = 20,8 R = 12,5

Helio

gas 5,1932 20,8 12,5 9,27e-4

Argón

gas 0,5203 20,8 12,5 9,28e-4

Gas diatómico (Ideal)

gas R = 29.1 R = 20.8

Hidrógeno

gas 14,30 28,82 20.4 1,29e-3

Nitrógeno

gas 1,040 29,12 20,8 1,30e-3

Oxígeno

gas 0,918 29,4 21,1 1,31e-3

Aire (en condiciones

típicas de habitaciónnota 3

) gas 1,012 29,19

Aluminio

sólido 0,897 24,2

2,422

Amoníaco

líquido 4,700 80,08

3,263

Antimonio

sólido 0,207 25,2

1,386

Arsénico

sólido 0,328 24,6

1,878

Berilio

sólido 1,82 16,4

3,367

Carbono (diamante)

sólido 0,519

Carbono (grafito)

sólido 0,711

Cobre

sólido 0,385 24,47

3,45

Diamante

sólido 0,5091 6,115

1,782

Etanol

líquido 2,44 112

1,925

Gasolina

líquido 2,22 228

Oro

sólido 0,1291 25,42

2,492

Plata

sólido 0,237 25,56

Grafito

sólido 0,710 8,53

1,534

Hierro dulce

sólido 0,450 25,1

3,537

Níquel

sólido 0,444

Plomo

sólido 0,129 26,4

1,44

Wolframio

sólido 0,133

Titanio

sólido 0,523

Litio

sólido 3,58 24,8

1,912

Magnesio

sólido 1,02 24,9

1,773

Mercurio

líquido 0,1395 27,98

1,888

Neón

gas 1,0301 20,7862 12,4717

cera de parafina

sólido 2,5 900

2,325

Sílice (fundido)

sólido 0,703 42,2

1,547

Uranio

sólido 0,116 27,7

2,216

Agua

gas (100 °C) 2,020 37,47 28,03

Agua

líquido (25 °C) 4,181 75,327 74,53 4,184

Agua

sólido (0 °C) 2,090 38,09

1,938

Alúmina Al2O3

sólido 0,160

MgO

sólido 0,457

SiC

sólido 0,344

Nylon 66

sólido 1,20-2,09

Fenólicos

sólido 1,40-1,67

Polietileno (AD)

sólido 1,92-2,30

Polipropileno

sólido 1,880

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Sustancia

Fase

cp (másico) J·g

−1·K

−1

cp (molar)

J·mol−1

·K−1

cv (molar)

J·mol−1

·K−1

Capacidad calorífica volumétrica

J cm−3

K−1

Politetrafluoretileno

sólido 1,050

Todas las medidas son a 25 °C a menos que se indique lo contrario, Los mínimos y máximos notables se muestran en negrita.

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

1. Divida el calor específico másico del Magnesio entre 8 y comprobará que es muy cercano a ocho veces el del Plomo. El calor específico del agua es igual a 0,99795 cal/g·K.

2. Puede notar que el calor específico (molar) de los gases monoatómicos se comporta de acuerdo a ciertas constantes, mientras que los valores predichos para otros gases no se ajustan con la misma precisión. 3. Suponiendo una altitud de 194 metros (el promedio de la población mundial), una temperatura de 23 °C, un 40,85 % de humedad y

760 mmHg de presión.

MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN

Estos datos son de utilidad al calcular los efectos del calor sobre los materiales que formen un edificio:

Sustancia Estado de agregación

cp J g

−1 K

−1

Asfalto sólido 0,92

Ladrillo sólido 0,84

Hormigón sólido 0,88

Vidrio, sílice sólido 0,84

Vidrio, crown sólido 0,67

Vidrio, flint sólido 0,503

Vidrio, pyrex sólido 0,876

Granito sólido 0,790

Yeso sólido 1,09

Mármol, mica sólido 0,880

Arena sólido 0,835

Suelo sólido 0,80

Madera sólido 0,49

Fuente: Manual del Ingeniero Químico, John Perry

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ANEXO 11: CALOR ESPECÍFICO Y CAPACIDAD CALORÍFICA DE ALGUNOS MATERIALES

Material Calor específico Densidad

Capacidad calorífica

volumétrica

kcal/kg °C kg/m³ kcal/m³ °C

Agua 1 1000 1000

Acero 0,12 7850 950

Tierra seca 0,44 1500 660

Granito 0,19 2645 529

Madera de roble 0,57 750 430

Ladrillo 0,20 2000 400

Madera de pino 0,6 640 384

Piedra arenisca 0,17 2200 374

Piedra caliza 0,22 2847 484

Hormigón 0,16 2300 350

Mortero de yeso 0,2 1440 288

Tejido de lana 0,32 111 35

Poliestireno expandido 0,4 25 10

Poliuretano expandido 0,38 24 9

Fibra de vidrio 0,19 15 2,8

Aire 0,24 1,2 0,29

En la tabla se puede ver que de los materiales comunes poseen una gran capacidad calorífica el agua muros de agua, la tierra o suelo seco compactado (adobe, tapia), y piedras densas como el granito junto a los metales como el acero. Estos se encuentran entre los 500 y 1000 kcal/m³ °C.

Luego se encuentra otro grupo que va de 300 a 500 kcal/m³ °C entre los que se ubica la mayoría de los materiales usuales en l a construcción actual, como el ladrillo, el hormigón, las maderas, los tableros de yeso roca y las piedras areniscas. En un último grupo se encuentra (3 a 35 kcal/m³ °C), los aislantes térmicos de masa como la lana de vidrio, las lanas minerales,

el poliestireno expandido y el poliuretano expandido que por su "baja densidad" debido a que contienen mucho aire poseen una capacidad calorífica muy baja pero sirven como aislantes térmicos. Un caso especial es el aire (0,29 kcal/m³·K; 1,214 J/m³·K), que sirve como un medio para transportar el calor en los sistemas pasivos

pero no para almacenar calor en su interior.

ANEXO 12: CAPACIDAD CALORÍFICA DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS La siguiente tabla muestra la capacidad térmica de los componentes puros individuales tomadas en condiciones de laboratorio (a una

temperatura de 25 °C y una presión de 100 kPa). ("H, N, O, F, Cl, Br, I") son respectivamente H, N, O, F, Cl, Br, y I

Estos valores, expresados en J⋅mol-1⋅K

-1, resultan:

Valor máximo = 37,03 J⋅mol-1⋅K

-1 para el gadolinio

Valor mínimo = 8,517 J⋅mol-1⋅K

-1 para el carbono

H

28,836

He

20,786

Li 24,86

Be 16,443

B 11,087

C 8,517

N 29,124

O 29,378

F 31,304

Ne 20,786

Na 28,23

Mg 24,869

Al 24,2

Si 19,789

P 23,824

S 22,75

Cl 33,949

Ar 20,786

K

29,6

Ca

25,929

Sc

25,52

Ti

25,06

V

24,89

Cr

23,35

Mn

26,32

Fe

25,1

Co

24,81

Ni

26,07

Cu

24,44

Zn

25,39

Ga

25,86

Ge

23,222

As

24,64

Se

25,363

Br

36,057

Kr

20,786

Rb 31,06

Sr 26,4

Y 26,53

Zr 25,36

Nb 24,6

Mo 24,06

Tc

Ru 24,06

Rh 24,98

Pd 25,98

Ag 25,35

Cd 26,02

In 26,74

Sn 27,112

Sb 25,23

Te 25,73

I 36,888

Xe 20,786

Cs 32,21

Ba 28,07

* Hf

25,73 Ta

25,36 W

24,27 Re

25,48 Os

24,7 Ir

25,1 Pt

25,86 Au

25,418 Hg

27,8419 Tl

26,32 Pb

26,65 Bi

25,52 Po At Rn

Fr

Ra 20,786

** Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn Nh Fl Mc Lv Ts Og

* La

27,11

Ce

26,94

Pr

27,2

Nd

27,45 Pm

Sm

29,54

Eu

27,66

Gd

37,03

Tb

28,91

Dy

27,7

Ho

27,15

Er

28,12

Tm

27,03

Yb

26,74

Lu

26,86

** Ac

27,2 Th

26,23 Pa

U 27,665

Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr

Los mismos valores, convertidos en J⋅g-1⋅K

-1, resultan:

Valor máximo = 14,304 J⋅g-1⋅K

-1 para el hidrógeno

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Valor mínimo = 0,094 J⋅g-1⋅K

-1 para el radio

H 14,304

He 5,193

Li 3,582

Be 1,825

B 1,026

C 0,709

N 1,04

O 0,918

F 0,824

Ne 1,03

Na

1,228

Mg

1,023

Al

0,897

Si

0,712

P

0,769

S

0,708

Cl

0,479

Ar

0,52

K 0,757

Ca 0,647

Sc 0,568

Ti 0,523

V 0,489

Cr 0,449

Mn 0,479

Fe 0,449

Co 0,421

Ni 0,444

Cu 0,385

Zn 0,388

Ga 0,373

Ge 0,32

As 0,329

Se 0,321

Br 0,474

Kr 0,248

Rb

0,363

Sr

0,306

Y

0,298

Zr

0,278

Nb

0,265

Mo

0,251 Tc

Ru

0,238

Rh

0,243

Pd

0,246

Ag

0,235

Cd

0,232

In

0,233

Sn

0,227

Sb

0,27

Te

0,202

I

0,214

Xe

0,158

Cs 0,242

Ba 0,204

* Hf

0,144 Ta

0,14 W

0,132 Re

0,137 Os

0,13 Ir

0,131 Pt

0,133 Au

0,129 Hg

0,1388 Tl

0,129 Pb

0,13 Bi

0,122 Po At Rn

Fr

Ra 0,094

** Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn Nh Fl Mc Lv Ts Og

* La

0,195

Ce

0,192

Pr

0,193

Nd

0,19 Pm

Sm

0,197

Eu

0,182

Gd

0,236

Tb

0,182

Dy

0,173

Ho

0,165

Er

0,168

Tm

0,16

Yb

0,155

Lu

0,154

** Ac

0,12 Th

0,118 Pa

U 0,116

Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr

TERMODINÁMICA UNIVERSITARIA TERMODINÁMICA: PRINCIPIOS Y FUNDAMENTOS

Ing. DAVID ANDRÉS SANGA TITO Página 276

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