Termómetro

Laboratorio de TermodinámicaVariación de la resistencia de un conductor y de un semiconductor con la temperatura

Pareja 6Álvaro Riobóo de Larriva, Julio Marchamalo Amado19/12/2013

Laboratorio II (Termodinámica). 2º A CC FÍSICAS UCM. Termómetro.

INTRODUCCIÓN:

El objetivo de esta práctica es la calibración de un conductor y un semiconductor (termistor), obteniendo sus respectivas sensibilidades y su curva de ajuste para las temperaturas. De esta forma podríamos usar estos materiales, por el proceso inverso, para, a partir de la resistencia que presentan, hallar la temperatura a la que se encuentran. Aún así, veremos que debemos tener en cuenta ciertas aproximaciones para los rangos de temperatura y compararemos ambos materiales.

RESULTADOS:

Conectamos el instrumental debidamente al multímetro, marcamos la unidad de medida en que queremos medir (kilohmios para el semiconductor y ohmios para el conductor). Iremos tomando pares de valores (T, R), donde T será la variable dependiente (que mediremos grado a grado en el termómetro patrón de Hg), y R la mediremos en el multímetro. Sus precisiones son:

∆T=0,1K

∆ R=0,01Ω

Por las precisiones de los instrumentos de medida.

4.1 Tabule y represente gráficamente los pares {Resistencia-Temperatura} para el semiconductor y el conductor, junto con los ajustes a las ecuaciones (2) y (4) respectivamente.

Datos y ajustes en Anexo.

4.2 Determine los valores de las constantes de calibrado, con su error, para el termistor a partir de los parámetros de ajuste de la ecuación(2). Calcule la anchura de la banda de energías prohibidas (en eV) del semiconductor con el que está fabricado el termistor.

El ajuste de la resistencia frente a la temperatura en el semiconductor lo realizamos en el apartado 4.1 y puede verse en el anexo, junto con los valores tabulados R-T. El ajuste es un ajuste no lineal, que sigue la ecuación f(T)=r*exp(B/T). Si comparamos este ajuste con la ecuación del termistor que expresa la variación de la resistencia con la temperatura,

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R (T )=R∞ exp (BT ) podemos obtener los valores de las constantes de

calibrado B y R∞ .

R∞=r= (10,8±2,3 )10−6 kΩ

B=(4918±63 ) K

La anchura de la banda de energías prohibidas, Δϵ, se calcula con la siguiente fórmula:

Δϵ=B2k

donde B es la constante de calibrado obtenida anteriormente y k es la constante de Boltzmann , que es la constante física que relaciona

temperatura absoluta y energía (k=(1,3806504)10−23 JK )

Entonces, para nuestro termistor:

Δϵ=(1,358±0,017 )10−19 J=(0,849±0,011) eV

4.3 Ajuste los datos del conductor a una recta. A partir del ajuste, determine el coeficiente de temperatura de la resistividad del Pt a 0ºC y compare con el valor tabulado.

El ajuste de la resistencia frente a la temperatura lo hemos hecho en el apartado 4.1 y puede consultarse en el anexo, junto con las tablas de datos. Para temperaturas relativamente altas se obtiene la siguiente expresión lineal para la temperatura:

R (T )=R0+R0α oT

donde R0 es la resistencia del conductor a 0 °C y α 0 es el coeficiente de temperatura de la resistividad a 0 °C, cuyo valor numérico coincide con la sensibilidad (tasa de cambio de la resistencia con respecto a la temperatura) del termómetro a esta temperatura.

A partir del ajuste lineal que hemos realizado, y=a+bx, podemos obtener los valores de R0 y α o comparándolos con los valores obtenidos de la pendiente (b) y la ordenada en el origen (a).

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a=R0=(99,100±0,034)Ω

Luego, a partir del valor obtenido de la ordenada en el origen hemos obtenido la resistencia del conductor a 0°C.

Con este valor y el de la pendiente del ajuste podemos obtener el valor del coeficiente de temperatura de la resistividad del Pt a 0ºC:

b 0,3966 5,70959E-4

α 0=bR0

=ba=0,00400203149K−1

Y su incertidumbre se calcula por derivadas parciales al ser una medida indirecta:

Δα0=α 0[( Δbb )2

+( ΔR0

R0 )2]12=0,000005925162163K−1

Luego, el valor de α 0 del platino (Pt) correctamente expresado es el siguiente:

α 0=(400,20±0,59)10−5K−1

El valor tabulado del coeficiente de temperatura de la resistividad del Pt a 0ºC es el siguiente:

α 0tabulado=0,00385K−1

Si lo comparamos con el valor obtenido a partir del ajuste de nuestras medidas:

α 0experimental−α0tabuladoα 0tabulado

=0,00400−0,003850,00385

=0,000150,004

=3,9%

La diferencia entre los dos valores es del 3,9%, por lo que concluimos que la obtención de estas constantes por un ajuste lineal de pares de datos R-T es un método preciso, pues las incertidumbres son pequeñas con respecto al valor, y exacto, pues se obtienen valores muy similares a los tabulados, con un error entre experimental-tabulado en las centésimas.

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4.4 Calcule y compare la sensibilidad de los dos termómetros a 0ºC (273K). Determine el error relativo del multímetro utilizado en la medida de la resistencia eléctrica. ¿Cuál será el mínimo incremento de temperatura detectable para cada uno de los termómetros?

Determine la temperatura a partir de la cual el mínimo incremento de temperatura detectable por el termistor empieza a ser mayor que 0,1 K

Termistor

La sensibilidad del conductor ( α(T)) está calculada en la cuestión anterior.

La del semiconductor (termistor) la podemos hallar de la siguiente forma:

Ahora, sustituyendo los datos experimentales y tomando valor absoluto:

B=(4918±63 ) K

T=273K

α=(6,599±0,085 )∗10−2K−1

Entonces, las sensibilidades de los materiales son:

α=(6,599±0,085 )∗10−2K−1

Conductor

Dado que

t=273+T

dtdT

=1

Por lo tanto

dRdT

=dRdt

dtdT

=dRdt

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Así que:

α= 1R

d Rdt

α= 1R

dRdt

= 1R

R0α 0=α 0

1+α 0t=¿ ( t=0 )=¿

α 01+α 0

∆ α=∆ α0

(1+α0 )2

α=(398,61±0,59)10−5K−1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dado que la sensibilidad térmica es un valor que nos indica cómo cambia una propiedad física acorde con las variaciones de temperatura, se puede decir que el termistor será mucho más sensible a un cambio de ésta que el conductor, pues su sensibilidad es un orden de magnitud mayor. Este hecho es lo que caracteriza a los materiales llamados termistores.

El error absoluto del multímetro será su incertidumbre, es decir:

e|¿|=precisión=0,001¿

R(273K )termistor=719,19kΩ

R(0ºC )conductor=99,1Ω

erel=∆ RR

=e|¿|

valor= 0,01719,19

=1 ,39∗10−5 ¿ (Termistor)

erel=∆ RR

=e|¿|

valor=0,00199,1

=1∗10−5 ¿ (Conductor)

Si suponemos que la precisión para las medidas de las resistencias es del 0,1%(hay que tener en cuenta que a partir de un determinado valor pasa de 0,1%, pero lo hemos tomado del 1%) y tomamos pequeños incrementos basándonos en la fórmula (1), el incremento mínimo de temperatura detectable con el termómetro se puede hallar así:

α=∆ RR

1∆T

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A 0ºC(273K)

Termistor → ∆T=0,00021K

Conductor → ∆T=0,0025K

Podemos ver que en cualquier caso es más bajo el del termistor, debido a su mayor sensibilidad.

Si tomamos ∆ RR

=0,1% (precisión), entonces:

Para calcular la temperatura límite a partir de la cual el mínimo incremento de temperatura detectable por el termistor es mayor que 0,1 K volvemos a usar la expresión (1)

B

T2=0,001

∆T

T=701,28K

4.5 ¿Es aceptable el método experimental?¿Es homogénea la termperatura del matraz? ¿Influye esto en las medidas? Razonen las respuestas.

El método experimental es perfectamente aceptable, porque, aunque la temperatura del matraz no es homogénea (y tampoco poseemos un agitador para homogeneizarla), nosotros colocamos el termómetro en un punto de ese matraz, si ese punto sigue la misma progresión y el mismo ritmo de calentamiento que los demás puntos restantes del matraz, podemos considerar que el método experimental es aceptable. La diferencia de temperaturas del matraz se debe a que para calentarlo usamos una manta calefactora que solo actúa en la parte inferior. Dado que sumergimos los termómetros en glicerina, un material con capacidad calorífica baja y alta conductividad térmica, nos permite suponer que la temperatura dentro del sistema es igual en todos sus puntos. Influirá muy poco o nada en las medidas que hemos tomado.

4.6 ¿Por qué debemos poner la temperatura en Kelvin cuando ajustamos los datos del semiconductor? Y en el caso del conductor, ¿en qué unidades es más conveniente trabajar?¿Por qué?

Es conveniente trabajar en Kelvin con el semiconductor por ser la unidad de medida en la escala internacional de temperaturas, así los científicos miden correctamente y en

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concordancia los valores de la sensibilidad para los distintos materiales y pueden ordenarlos atendiendo a ello. Otra razón es la simplificación de la fórmula para valores en el sistema internacional de la resistencia (ohmios). En el caso de medir en otra escala de temperaturas, estos valores de la sensibilidad podrían ser muy diferentes. En el conductor es conveniente trabajar en grados (ºC) dado que se simplifica el desarrollo asintótico de la fórmula de Debye y es bastante aproximado. Nótese que siguen dando los mismos valores de la resistencia (en S.I) con la ecuación en ºC que en K, y dado que la ecuación en Cº es más sencilla de manejar, conviene trabajar en esta escala de temperaturas.

DISCUSIÓN:

Para empezar, haremos una breve discusión del método experimental. En primer lugar, para que el método fuera más directo y la realización del experimento más rápida tomamos como termómetro patrón un termómetro de Hg. Esto no es lo ideal, pues el termómetro de Hg puede no ser del todo preciso y marcar una temperatura no del todo exacta ,y también lo ideal sería medir la resistencia de las dos sondas (termistor y sonda Pt-100) en distintos puntos fijos de la escala de temperaturas. Sin embargo, a pesar de que haciendo esto se obtendrían medidas más precisas y exactas, el método sería también mucho más largo y, como veremos más adelante, los errores que introduce el no medir esos datos y el considerar el termómetro de Hg como patrón no son significativos.

En segundo lugar, discutiremos los resultados para el termistor y después para la sonda Pt-100.

Al representar los pares de valores R-T para el termistor hemos visto que siguen una tendencia exponencial, por lo que vemos que se comporta como se predice teóricamente. La discusión básica del termistor como buen termómetro es justamente que la resistencia no sigue una tendencia lineal con la temperatura sino una exponencial, lo que implica que la razón de cambio de la resistencia con la temperatura no es aproximadamente constante. Esto implica que, a ciertas temperaturas, sobre todo a bajas y altas temperaturas la razón de cambio es muy brusca, pues la función R-T presenta carácter asintótico, y las medidas de la temperatura pueden no ser correctas. Esto conlleva a que el termistor no sea el mejor elemento sensor en la termometría.

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En cuanto a la sonda PT-100, hemos visto que la representación de pares de valores R-T sigue una clara tendencia lineal, como predice la teoría, que, unido a que el valor del coeficiente de temperatura de la resistividad a 0°C obtenido por el ajuste es completamente compatible con el tabulado, indica que el experimento fue realizado correctamente. Dado que el Pt presenta una relación lineal de la resistencia con la temperatura, la razón de cambio de la resistencia con la temperatura es prácticamente constante para cualquier temperatura, lo que, unido a otras características del material como su alto punto de fusión, su resistencia a la oxidación a altas temperaturas, que es químicamente inerte a temperaturas altas y su coeficiente de resistividad bastante alto, hacen de la sonda Pt-100 uno de los mejores termómetros que existen.

Luego, en resumen concluimos que el experimento ha sido realizado correctamente con resultados satisfactorios y que en el rango de temperaturas en el que se trabaja, ambos termómetros pueden utilizarse sin que causen medidas erróneas (aunque la sonda Pt-100 es mejor) pero que para otras temperaturas es mucho mejor utilizar la sonda Pt-100.

CONCLUSIÓN:Haciendo un repaso de todo el experimento y de los resultados obtenidos: Introdujimos los dos termómetros, junto con el termómetro patrón de Hg, dentro de un tubo de ensayo con glicerina para que se perdiera el menor calor posible y se conservara la temperatura. Este tubo lo introdujimos en un matraz con agua fría, que empezamos a calentar después de conectar uno de los dos termómetros de prueba al multímetro. Cuando la temperatura era homogénea en el matraz comenzamos a medir pares de valores R-T con el multímetro y el termómetro de Hg respectivamente. Tomadas medidas de grado en grado hasta aproximadamente unos 80 °C repetimos el proceso con el otro termómetro después de haber cambiado el agua caliente por fría.

En cuanto a los cálculos, mediante los ajustes de las representaciones de R frente a T obtuvimos las constantes de calibrado en el termistor y el coeficiente de temperatura de la resistividad del Pt a 0ºC para la sonda Pt-

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100, que comparamos con el valor tabulado. Después calculamos las sensibilidades de ambos medidores a 0°C y discutimos algunas consideraciones físicas del experimento y de su realización.

Por último, concluimos que la sonda Pt-100, como se explica detalladamente en el apartado ''Discusión'', es el mejor termómetro que se puede utilizar sin importar la temperatura.

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ANEXO:

4.1

SEMICONDUCTOR CONDUCTORT (K) R (kΩ) TºK) R (Ω)

302 102,61 305 111,78303 101,41 306 112,2304 99,03 307 112,6305 97,22 308 112,96306 94,55 309 113,3307 92,62 310 113,72308 90,32 311 114,11309 86,22 312 114,64310 85,03 313 115,03311 82,26 314 115,36312 78,49 315 115,78313 76,65 316 116,25314 72,32 317 116,64315 68,39 318 117,1316 65,34 319 117,46317 62,71 320 117,8318 60,02 321 118,17319 56,27 322 118,5320 53,76 323 118,9321 50,53 324 119,3322 47,18 325 119,78323 45,1 326 120,05324 42,43 327 120,5325 40,08 328 120,84326 38,02 329 121,3327 36,04 330 121,66328 34,18 331 122,03329 32,46 332 122,48330 30,14 333 122,8331 29,3 334 123,26332 28,07 335 123,66333 26,94 336 124,05334 25,51 337 124,47335 24,58 338 124,9336 23,46 339 125,28337 22,38 340 125,58338 21,37 341 125,92339 20,47 342 126,4340 19,58 343 126,8341 18,86 344 127,19342 18,05 345 127,58343 17,654 346 128,06

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344 16,184 347 128,49345 15,998 348 128,85346 15,161 349 129,27347 14,548 350 129,62348 14,047 351 130,09349 13,546 352 130,5350 13,066 353 130,88351 12,473 354 131,35352 11,902 355 131,7353 11,496 356 132,05

TERMISTOR

Model Termistor (User)

Equation r*exp(B/T)

Reduced Chi-Sqr 44740,8941977687

Adj. R-Square 0,993569642448105

Value Standard Error

Resistencia B 4917,67999781116 63,2592623237929

Resistencia r 1,08382077842704E-5 2,26266764445869E-6

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CONDUCTOR

Equation y = a + b*x

WeightInstrumental

Residual Sum of Squares 2061,92251

Pearson's r 0,99995

Adj. R-Square 0,99989

Value Standard Error

Resistencia Intercept 99,09967 0,03425

Resistencia Slope 0,3966 5,70959E-4

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BIBLIOGRAFÍA:[1] Introducción a la Termodinámica, C.Fernández-Pineda y S.Velasco. Ed. Síntesis (2009)

[2] Termodinámica, J.Aguilar. Ed. Pearson Educación (2006)

[3] Solid State Physics, Ashcorft y Mermin. (Ver Ec.(8.20) y su justificación).

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