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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL UNIDAD 094 D.F. CENTRO LA ENSEÑANZA DE LA SUSTRACCIÓN EN EL 2° GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA TESINA QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN PRESENTA: MARÍA ELIZABETH GARCÍA HIGUERA ASESOR: LIC. GERARDO JUAN CAMARGO MEJORADA MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DEL 2001
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD 094 D.F. CENTRO
LA ENSEÑANZA DE LA SUSTRACCIÓN EN
EL 2° GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
TESINA
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
LICENCIADO EN EDUCACIÓN
PRESENTA:
MARÍA ELIZABETH GARCÍA HIGUERA
ASESOR: LIC. GERARDO JUAN CAMARGO MEJORADA
MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DEL 2001
ÍNDICE
Dedicatoria Introducción.................................................................................... 1
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Hipótesis........................................................................................... 3
Planteamiento....................................................................... 4
Justificación........................................................................... 6
Objetivos................................................................................ 7
CAPÍTULO II
METODOLOGÍA DEL TRABAJO
Tipo de investigación............................................................. 8
Universo del trabajo......................................................................10
CAPÍTULO III
MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL
EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS Naturaleza de la matemática...............................................................11 Antecedentes históricos del concepto de número...............................11 Definición del concepto de número.....................................................13 Construcción del concepto de número................................................15 Representación gráfica de los números..............................................20 El sistema decimal de numeración......................................................22
LÓGICA ARITMÉTICA Conceptualización Constructivista de la suma Y la resta en 2° grado..........................................................................25 Igualar cantidades...............................................................................31 Resolución de problemas de suma y resta.........................................32
LA RESTA O SUSTRACCIÓN Concepto de sustracción.......................................................41 Hábitos que deben formarse en el aprendizaje De la sustracción...................................................................45 Contenido de 2° grado de primaria referentes a la sustracción........................................................................46
CAPÍTULO IV
SUGERENCIAS Y CONCLUSIONES
Sugerencias metodológicas................................................................52 Conclusiones.......................................................................................63 Anexo...................................................................................................65 Bibliografía...........................................................................................72
1
INTRODUCCIÓN
Según el paradigma constructivista psicogénetico, el alumno es un constructor de
los distintos contenidos escolares a los que se enfrenta.
En principio, el alumno siempre debe ser visto como un sujeto que posee un
determinado nivel de desarrollo cognitivo y que ha elaborado una serie de
interpretaciones o construcciones sobre ciertos contenidos escolares. Esto es,
como un aprendiz que posee un cuerpo de conocimientos e instrumentos
intelectuales, los cuales determinan en gran medida sus acciones y actitudes en el
aula.
No todo puede ser enseñado a todo los niños, pues existen ciertas diferencias
estructurales de carácter cognitivo, que hacen difícil, en un momento dado, la
enseñanza de ciertos contenidos.
Considerando lo anterior el presente trabajo plantea la resolución de la resta en
segundo grado de Educación Primaria ya que a través de mi experiencia
considero que el alumno presenta dificultades en la resolución de la resta y por
ello es el motivo de ésta investigación; en donde pretendo dar cuenta, cuales son
los caminos a seguir para que el docente utilice las estrategias más adecuadas
que ayuden a los alumnos a adquirir confianza en sus propias ideas, que las
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desarrollen y exploren por si mismos y se logre la mejor comprensión de la
sustracción en las diferentes situaciones de su vida cotidiana.
En el trabajo se desarrollan IV capítulos los cuales están estructurados de la
siguiente manera:
1. En el capítulo I, se aborda el planteamiento del problema lo cual
está integrado por el planteamiento central del problema; la
justificación misma que tiene que ver con el por qué y para qué del
asunto que nos compete y los objetivos se pretenden lograr.
2. En el capítulo II, se abordan algunos aspectos de orden
metodológico, respecto a la estructura tácita del trabajo, es decir;
de tipo de investigación, del universo del trabajo, de la hipótesis y
de las técnicas a emplear.
3. En el capítulo III, denominado “Marco teórico y conceptual” se
desarrollan tres temas importantes como: las matemáticas en el
tiempo, la psicogenética constructivista y la resta o sustracción.
4. Finalmente tenemos las conclusiones y sugerencias, las cuales
tienen que ver con el desarrollo general del trabajo de investigación
haciendo énfasis en el aspecto metodológico respecto a la resta o
sustracción.
3
HIPÓTESIS
El desarrollo óptimo de los procedimientos aritméticos por parte de los docentes
proporcionará mayor dinamismo lógico deductivo a los alumnos en su práctica
cotidiana respecto a la resta.
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PLANTEAMIENTO
El Sistema Decimal de Numeración se encuentra relacionado estrechamente con
el concepto de número y con la representación de cantidades (representa a los
números de manera no ambigua, compara a los números a través de su escritura).
Por lo anterior, podemos decir que no es un concepto parcial ni aislado, ya que la
comprensión de algunas de sus propiedades, como la ley de cambio para el
agrupamiento y el desagrupamiento, y el valor posicional de las cifras, permitirá a
su vez la comprensión de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación y división, con cierta facilidad.
Por tal motivo la enseñanza descontextualizada de dichas operaciones y en
particular de la resta da por resultado que los niños las conceptualicen sin
ninguna conexión con la vida diaria, y por ello restrinjan su uso a la escuela, para
“hacer cuentas”. Por ello considero que su adquisición debe plantearse desde una
situación problemática que las implique.
Para su enseñanza, es necesario tener en cuenta que la comprensión del Sistema
Decimal de Numeración es fundamental, lo cual requiere de un recorrido que debe
hacerse poco a poco y de acuerdo con las posibilidades que el desarrollo
cognoscitivo de los alumnos va determinado. De otra manera, los ritmos de la
enseñanza y los del aprendizaje entrarán en un conflicto que probablemente se
traducirá en confusiones o inesplicaciones para los alumnos, y éstas en
obstáculos para la apropiación de la resta, por lo tanto, el maestro tiene que ser un
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formador que confronte a los alumnos pasivos y los involucre en la aritmética, de
forma que puedan enriquecer sus conocimientos. El profesor deberá conocer la
metodología y las estrategias más adecuadas para recuperar a los alumnos que
carecen de bases; rescatarlos y hacerlos coparticipes.
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JUSTIFICACIÓN A través de diversas estrategias la posibilidad de acceder al conocimiento de La
presente propuesta metodológica de la enseñanza de la sustracción en 2° grado
de educación primaria, pretende que el maestro sea el facilitador de dicha
enseñanza de tal manera, qué cada situación didáctica que se plantea, se
convierta en los alumnos en situaciones de aprendizaje con el fin de que alcance
nuevos niveles de información y consoliden su capacidad para realizar la tarea
intelectual que le exige la realización y solución de la resta.
Restar conceptualmente hablando es transformar el valor cuantitativo (cantidad)
de un conjunto a través de quitar elementos de dicho conjunto, en donde tiene el
alumno que hacer una abstracción .
Este proceso de abstracción que puede parecer de gran simplicidad, subyacen
numerosas dificultades como:
El de establecer un orden secuencial del proceso de la resta, tomar conciencia de
la causa de dicha transformación (el quitarle a una cantidad otra y que la primera
disminuya), esta transformación sienta las bases de las relaciones causales que
dan paso a la expresión verbal del proceso, a su simbolización gráfica, conseguir
un uso espontáneo del signo aritmético etc. Estas y otras muchas dificultades son
las que el alumno irá manifestando y superando si se le ofrece la resta.
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OBJETIVOS
Por medio del presente trabajo de investigación se pretende principalmente:
I. Que el docente conozca la forma en que actualmente se propone la
enseñanza de la resta y tome encuenta el desarrollo intelectual de los
alumnos de segundo grado, los procesos intelectuales y las dificultades que
enfrentan.
II. Por medio de las diversas estrategias sugeridas; el docente guié al alumno
para que desarrolle la habilidad para resolver problemas de resta con
números naturales en diversos contextos, en donde pueda utilizar
procedimientos convencionales y el cálculo mental.
III. Que el alumno conozca la sustracción como parte importante del
razonamiento aritmético a través de las diversas estrategias empleadas por
el profesor.
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TIPO DE INVESTIGACIÓN Enfocaré la presente investigación con un corte teórico práctico que me permitirá
dar sugerencias metodológicas susceptibles de ser aplicadas con éxito en el
proceso de enseñanza aprendizaje de la aritmética específicamente en la
enseñanza de la sustracción de segundo grado de educación primaria.
Me apoyare en la investigación documental critica, teórica reflexiva y propositiva.
LA INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL CRITICA
Es la que se realiza con base en la revisión de documentos, manuales, revistas,
periódicos, actas científicas, conclusiones de simposios y seminarios o cualquier
tipo de publicación considerado como fuente de información.
TEORICA REFLEXIVA
En esta parte del discurso teórico, el investigador fija posición respecto a los
principios epistemológicos, que guiaran la acción,. El Investigador debe tener claro
la forma en que se produce el conocimiento y la relación y posición de los sujetos
de investigación, lo que implica elucidar ideológica y políticamente su ubicación en
este aspecto.
Es reflexivo, puesto que parte de entender a los participantes como sujetos de la
acción, con criterios para reflexionar sobre lo que se hace, cómo se hace, el por
qué se hace y las consecuencias de la acción.
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PROPOSITIVA
Es contribuir a la generación de procesos de organización e integración en las
comunidades
Desarrollar la investigación acción siguiendo las fases de un proceso
metodológico que debe ser asumido con el debido rigor conceptual que permita al
investigador participar en las comunidades y desarrollar con éstas, proyectos de
acción con una base autogestionaria.
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UNIVERSO DEL TRABAJO
El presente trabajo se realizo en la escuela primaria “Ignacio Manuel Altamirano” a
las circunstancias académicas en los cuales estoy desarrollando mi práctica
educativa, ésta se encuentra en el municipio de Tultepec, perteneciente a la
región IV, Tepotzotlán zona escolar 02, de la secretaria de Educación Cultura y
Bienestar Social ( SECYBS ), priorizando en el segundo grado de este nivel
educativo, en virtud de que se trata de una investigación de corte documental y
teórico – práctico, en donde desarrollaré mi propuesta.
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LA NATURALEZA DE LA MATEMATICA
la matemática posee en un grado profundo y preciso; el factor de la abstracción,
entendida ésta como actividad intelectual que consiste en considerar un aspecto
de la realidad o un fenómeno en sus estrictas dimensiones y cualidades,
aislándolo del todo con la finalidad de poder conocerlo mejor.
Desde un enfoque constructivista, se considera que la matemática está formada
por un conjunto de nociones, elementos y relaciones: sistemas relacionales que se
influyen mutuamente. Además, se detalla que la complejidad con la que el niño
adquiere dicho conjunto no es un orden total ni lineal, sino progresivo. A tal orden
se le a denominado “aprendizaje por aproximaciones sucesivas” .
Dentro de esta perspectiva, se aborda la matemática en el plano de su desarrollo
como ciencia, para lo cual presentamos en seguida los conceptos de número,
sistema decimal de numeración y operaciones de suma, resta, multiplicación y
división.
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CONCEPTO DE NÚMERO
Un análisis del desarrollo histórico del concepto de número muestra que es
producto de una elaboración lentamente construida.
12
En las civilizaciones primitivas, la numeración sólo llegaba hasta dos o tres,
(Gómez,1995) los números mayores a éstos carecían de nombre; sólo se les
designaba como “muchos” o “incontables”, hasta que fueron incorporándose
nombres distintos para los números.
Las formas de percibir las colecciones de objetos estaban relacionadas con el
tamaño de cada una de ellas. Así, los números eran propiedades de las mismas
colecciones, sin separarlos de los objetos concretos, es decir, sin llegar a
establecer una concepción abstracta.
De esta manera, en algunas culturas la mano fue utilizada para cinco, hombre
para veinte, por la relación de “tantos como dedos” tienen “la mano” o “el hombre”;
es decir, mediante la comparación. Posteriormente se utilizaron diferentes
números según los objetos de que se tratara. Había números distintos para
objetos diferentes, aunque sin ser propiamente números, si no una forma de
llamar a las clases de objetos, sin llegar a la abstracción (Gómez, 1995). Un
ejemplo que ilustra claramente este hecho consiste en comparar el uso de
términos para designar el color de un objeto: decimos que es negro o blanco, pero
no hacemos referencia a la “negrura” o a la “blancura” que son términos más
abstractos.
De similar manera, dice Aleksandrov (1985), el número de objetos de una
colección es una propiedad de ésta, pero el número en sí; el número abstracto, es
una “propiedad abstraída” de la colección concreta y considerada “en sí misma”, a
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la manera de la “negrura” o la “blancura” del ejemplo anterior. La negrura es una
propiedad de todos los objetos que tienen el color del carbón y el número cinco es
una propiedad común de toda colección que posee tantos elementos como dedos
tienen una mano.
DEFINICIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO
Con esta base surge una definición del número: Un número es la propiedad
común a todas las colecciones cuyos objetos puedan ponerse en correspondencia
biunívoca (apareamiento) uno con otros, y que es diferente en aquellas
colecciones para las cuales esa correspondencia no es posible.
El descubrimiento de esta propiedad fue el resultado de muchas comparaciones
de colecciones, por muchas generaciones, hasta llegar a los números y sus
relaciones, los números aparecieron como un sistema con sus relaciones y con
sus reglas, ya que las propiedades de un número tienen sentido o consisten en
sus relaciones entre los números, las imágenes abstractas de las relaciones
cuantitativas reales entre colecciones de objetos.
Las operaciones sin números aparecen como reflejo de las relaciones entre
objetos. Por ejemplo, en algunas culturas el hecho de unir dos colecciones es
equivalente a la adicción de números, que fueron significados a partir de la
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colocación física de los objetos, en donde veintiséis significa “sobre dos dieces
coloco un seis”.
Durante el desarrollo del descubrimiento de los números y sus relaciones, los
hombres fueron estableciendo paulatinamente algunas leyes generales: que la
suma no depende ni del orden de los sumandos, ni del orden en que se cuenten
los objetos de una colección, de donde se desprenden los números ordinales ( 1°,
2°, 3°, ) y cardinales ( 1, 2, 3, ). Así, los números aparecen como entidades
puestas en relación unas con otras, mutuamente. El contenido del concepto de
número abstracto reside en las reglas, en las relaciones mutuas del sistema de
números.
La necesidad de contar y comunicar a otros el resultado de las operaciones hizo
que surgieran los nombres y los símbolos o signos de los números,
materializándose así el concepto de número abstracto y permitiendo la concepción
de números tan grandes como aquellos que no podían descubrirse por
observación o enumeración. Dar esta materialización tangible a los conceptos
matemáticos abstractos fue lo que hizo surgir todas las notaciones matemáticas
que funcionan como medio para la realización de las operaciones, a las cuales se
llegó mediante un devenir de diferentes sistemas y simbolizaciones a través del
tiempo, hasta arribar a las formas simbólicas y al sistema decimal que ahora
utilizamos, llevados por los árabes desde la India hasta Europa en el siglo X.
15
CONSTRUCCÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO
El número es una propiedad de los conjuntos. Los más simples corresponden a
las medidas de los conjuntos de objetos aislables, llamados números naturales.
Éstos son números sin signo o sin forma notacional, que expresan la cantidad de
objetos contados (Vergnaud, 1991).
Construir el concepto de número implica comprender ciertas reglas:
El número no tiene que ver con la naturaleza de los objetos ni de las
colecciones de éstos, ni es una propiedad de los mismos.
El número que designa a una cantidad de objetos será siempre el mismo,
independientemente del ordeno la disposición de los elementos contados.
Al contar, el último número indica la cantidad total de objetos contados y no
sólo el número que le corresponde al último objeto. Esto debido a que en el
conteo se encuentran implicadas la cardinalidad y la ordinalidad del
número.
La cardinalidad es la propiedad numérica de los conjuntos. Así, el número cuatro
es la propiedad común a todos los conjuntos de objetos que tienen cuatro
elementos. Esta propiedad común se basa en la posibilidad de hacer corresponder
dos conjuntos cualesquiera de cuatro elementos (Vergnaud, op. cit.).
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La ordinalidad es una relación de orden de conjuntos. La relación de orden “cuatro
es mayor que dos” expresa el hecho de que el conjunto de dos elementos puede
ser puesto en correspondencia biunívoca solamente con una parte del conjunto de
dos elementos. Así, ordenados jerárquicamente dichos conjuntos, tendrán un
rango determinado por el sentido que se le da al ordenamiento y con base en la
cardinalidad de cada conjunto.
La ordinalidad es la relación que se establece entre las clases de conjuntos a
partir de su propiedad numérica, atendiendo a su equivalencia y a la regla (+1,-1)
de composición de la serie. De esta manera la expresión: “cuatro es mayor que
tres” indica que dentro de la serie el número cuatro tiene un rango mayor al del
número tres.
La construcción del concepto de número ha sido explicada de diversas maneras,
según diferentes posturas y corrientes teóricas. Nuestra concepción es la que
sintetiza el número como la fusión de las operaciones de clasificación y de
seriación, ya que un número es la clase formada por todos los conjuntos que
tienen la misma propiedad numérica y ocupa un lugar o rango en una serie,
también numérica.
Estas nociones de clasificación y de seriación, implícitas en la formación del
concepto de número, dan una idea del proceso psicológico que deben pasar los
niños para adquirirlo y poder servirse de el. Esto predetermina ciertas cualidades
de la intervención didáctica.
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El concepto de clasificación, en su sentido general, es el de una actividad mental,
aunque puede ser también una parte del sujeto que la realiza, de las relaciones de
pertenencia e inclusión de los elementos en clases. Así, un elemento pertenece a
una clase cuando se parece o comparte semejanzas con los otros elementos que
la forman, en función del criterio de clasificación que se decida seguir, es decir, de
sus características cualitativas que van a ser tomadas en cuenta.
En su sentido particular, aplicado a la formación del concepto de número, la
clasificación permite agrupar o desagrupar todos los conjuntos posibles que
comparten la misma característica, por ejemplo: tener cuatro elementos. Es decir,
se considera el criterio cuantitativo para diferenciar a los conjuntos que
“pertenecen” o no a la “clase cuatro”, y pertenecerá a ella cualquier conjunto que
tenga la misma cantidad de elementos, cualquier conjunto que pueda ponerse en
correspondencia término a término con cualquier otro conjunto perteneciente a tal
clase.
La relación de inclusión corresponde a la manera en que es posible determinar la
dimensión mayor de la clase, frente a las subclases que tienen siempre menos
elementos que la primera. Es decir, en la clase del cuatro estarán incluidas las
subclases de uno, dos y tres.
De forma similar, en su relación jerárquica, la clase del cuatro estará incluida en
todas las clases superiores a ella: las clases del cinco, seis, siete, etcétera. De
esta manera, al constituirse las relaciones lógicas de la clasificación operatoria en
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el plano cuantitativo de los objetos, los conjuntos equivalentes y las clases de
conjuntos, se constituye el aspecto cardinal del número.
La otra operación implícita en la formación del concepto de número es la
seriación, que constituye uno de los aspectos fundamentales del pensamiento
lógico.
La seriación consiste en establecer las relaciones entre los elementos que son
diferentes en algún aspecto y en ordenarlos de cierta manera, descendente o
ascendente, creciente o decreciente,
Esta operación posee dos propiedades:
a. La transitividad o relación que se establece entre un elemento de
una serie con el siguiente, y entre éste y el posterior, para deducir la
relación que existe entre el primero y último de los elementos
considerados. Por ejemplo: si A es mayor que B, y B es mayor que
C, podemos deducir que A es mayor que C, (Gómez, 1995).
b. La reciprocidad, que consiste en el establecimiento de las relaciones
entre los elementos de tal manera que al invertir el orden de la
comparación, el orden de la relación también se invierta. Así, por
ejemplo, podemos pensar que si A es mayor que B, e invertimos la
comparación comenzando por B, obtenemos que B es menor que A.
Lo característico es que la afirmación posee igual significado; es la
19
forma de referirse a la relación lo qué varía, dependiendo de la
dirección que se siga al recorrer la serie.
La reciprocidad permite considerar a cada elemento de la serie como el final de
dos relaciones inversas, en donde cada elemento (excepto el primero y el último
de cada serie) es al mismo tiempo mayor y menor que otros que le anteceden o
que le siguen (dos al mismo tiempo mayor que uno y menor que tres). Así, al
ordenarse dentro de la serie las clases de conjuntos equivalentes, bajo el criterio
de su propiedad numérica, se constituye el aspecto ordinal del número.
Al incorporar estos conceptos y operaciones implícitas en la formación del
concepto de número, podemos plantear una definición que la incluya, y decir que
el número es al mismo tiempo clase y relación asimétrica que se deriva de la
clasificación y la seriación fusionadas.
Por otra parte y para establecer la equivalencia de dos conjuntos, se recurre a la
operación de correspondencia, que es el cálculo más simple y directo para la
comparación cuantitativa.
La importancia de la correspondencia radica en que, al realizarla de manera
biunívoca (relación de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos), se
pueden comparar los conjuntos y decidir si son o no equivalentes, y por lo tanto
forman clases con los equivalentes. Después se pueden ordenar dichas clases
mediante su puesta en correspondencia biunívoca, así como construir la serie
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numérica considerando la relación +1 y –1. Así, la fusión de la clasificación y la
seriación se realiza por medio de la correspondencia.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS
Generalmente se ha considerado que la construcción del concepto de número
está íntimamente relacionada con el aprendizaje de la representación gráfica de
los números. Esta idea remitiría a considerar que la memorización y reproducción
de los numerales equivale a la adquisición del concepto.
Sin embargo, como ya se señaló, esto no es así, ya que el concepto de número es
una abstracción de relaciones, factible de ser representada de diversas formas.
Con esta base señalaremos que toda representación gráfica de conceptos
matemáticos involucra siempre la intervención de dos aspectos: significado y
significante (número y numeral). El primero se refiere al concepto o a la idea que
el sujeto ha elaborado sobre algo y existe en él sin necesidad de que lo manifieste
de manera gráfica; el segundo es la forma a través de la cual puede expresarse
gráficamente dicho concepto o significado.
La representación gráfica de los conceptos matemáticos es arbitraria y
convencional. Se dice que es arbitraria ya que no existe en el concepto ninguna
propiedad o característica que determine su representación, por ejemplo: el tres
son dos curvas superpuestas que no guardan ninguna relación con el concepto de
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número tres. La convencionalidad de la representación está dada por el acuerdo
que la comunidad tomó para representar así el concepto del número tres.
En el aprendizaje de la representación gráfica del número se han identificado
diversas manifestaciones mediante las cuales los niños se aproximan
progresivamente a la representación convencional de las cantidades (Moreno,
1983).
Cuando se pidió a niños de entre seis y diez años de edad que representaran la
cantidad de objetos que tenían sobre la mesa, hicieron lo siguiente:
Dibujaron algún objeto sin hacer referencia a la cantidad.
Dibujaron tantos objetos como había en la mesa. Representaron con una
raya o un círculo a cada uno de los objetos de la mesa.
Escribieron la serie numérica completa.
Escribieron algún numeral, sin que éste tuviera correspondencia con el
valor convencional de la cantidad de objetos que había en la mesa.
Emplearon el numeral convencional apropiado para la cantidad de objetos.
Como puede observarse, los niños utilizan, en cantidad significativa, formas no
convencionales para representación de los números. Es importante permitir este
22
tipo de representaciones que sigue el niño para llegar a comprender y usar las
representaciones gráficas convencionales.
EL SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN
La humanidad ha desarrollado a través de su historia un sistema numérico que se
ha venido expresando mediante diferentes sistemas de numeración, entre los
cuales encontramos Sistemas Decimales de Numeración (SDN).
Actualmente, el sistema decimal de numeración es el de mayor relevancia en la
mayoría de las culturas, y esto hace necesario profundizar en su conocimiento. Es
importante, por lo tanto, establecer la diferencia entre sistema numérico y sistema
de numeración.
Se puede decir que un sistema numérico es un conjunto de números que posee
propiedades y características independientes de los signos usados para su
representación. Un sistema de numeración, en cambio, es un conjunto de signos y
reglas que permiten la representación de los números, determinan las formas en
que se combinan para construir los numerales (que son la representación de los
números) y establecen las formas de operar con ellos.
Características y reglas
El sistema de numeración presenta dos características: la base y la posición, en
las cuales se prescinde de la representación de las potencias de la base y se
23
concede un valor variable a las cifras según el lugar que ocupan en la
representación convencional de los números. Antiguamente, en los sistemas de
numeración no existía relación entre la cantidad de signos utilizada y la base del
sistema. Actualmente nuestro sistema de numeración de su base, ellos son: 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,
Otra característica del SDN es el valor posicional, según el cual cada signo tendrá
cierto valor, dependiendo del lugar que ocupe en el numeral y puesto en el
extremo izquierdo (que ocupa otro lugar, el de las centenas), tiene un valor de
setecientas unidades. Es por esta razón que el SDN es un sistema de numeración
posicional.
En relación con el valor de las cifras, este sistema hace referencia a lo que en
términos matemáticos se denomina valor absoluto, dependiendo de su posición, lo
que implica que el orden de escritura de los números modifica la cantidad
representada.
El sistema decimal del numeración posee base 10, lo que significa que se
requieren diez unidades simples para formar una unidad de segundo orden
(decena) y diez decenas (diez unidades de segundo orden) para formar una
unidad de tercer orden (centena), y así sucesivamente; es decir, que cada diez
unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior. A
este proceso se le llama agrupamiento y al proceso inverso desagrupamiento, el
cual consiste en descomponer toda unidad en diez unidades del orden inmediato
anterior, excepto en el caso de las unidades simples. Un caso particular de
24
desagrupamiento es la notación desarrollada, que consiste en escribir la cantidad
como una suma de potencia de la base, en tal caso, en suma de potencias de
diez.
Por ejemplo: 243 escrito en notación desarrollada será:
2,100+4.10+3.0=243 (200 + 40 + 3 = 243).
El agrupamiento y el desagrupamiento se rigen por la ley de cambio. Dicha ley
constituye uno de los ejes centrales en la comprensión del sistema decimal de
numeración. Las potencias de la base determinan el tipo de agrupamiento que
representa dicha base (en este caso, base 10).
Para representar gráficamente el SDN se escribe, y se lee, de izquierda a
derecha, de forma horizontal y en orden decreciente, a partir de las unidades de
mayor orden. Por ejemplo, en 326 se escribe primero el 3 por corresponder a la
posición del orden mayor; después el 2, que corresponde al orden inmediato
inferior; para terminar con el 6, que corresponde a la posición destinada para la
unidad del orden de menor valor.
El cero, según su posición, indica la ausencia de unidades del orden en el cual
aparece.
Cabe señalar que el cero, como concepto, cumple también la función de operador
que multiplica el valor del número al cual le sigue (en cualquier notación), por el
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valor de la base. Por ejemplo: el cero puesto después del cuatro (40) multiplica al
cuatro por la base (por 10).
Otra de las características es la regla de composición interna del sistema: un
sucesivo (+1) y un antecesor (-1), lo cual se identifica como algoritmo del sistema.
El sistema decimal de numeración se encuentra relacionado estrechamente con el
concepto de número y con la representación de cantidades (representa a los
números de manera no ambigua, compara a los números a través de su escritura).
Por lo anterior, podemos decir que no es un concepto parcial ni aislado, ya que la
comprensión de alguna de sus propiedades, como la ley de cambio para el
agrupamiento y el desagrupamiento, y el valor posicional de las cifras, permitirá a
su vez la comprensión de las operaciones aritméticas de suma, resta,
multiplicación y división, con cierta facilidad.
CONCEPTUALIZACIÓN CONSTRUCTIVISTA DE LA SUMA
Y LA RESTA EN EL NIÑO DE 2° GRADO
Sumar y restar es, conceptualmente hablando, transformar el valor cuantitativo de
un conjunto a través de la acción de añadir o quitar elementos de dicho conjunto.
La suma y la resta, por consiguiente, son la abstracción de un proceso secuencial
de una transformación cuantitativa. Este proceso se centra en tres momentos
básicos: un primer momento o estado inicial, en segundo momento que será la
26
acción o transformación aplicada al estado inicial, y un tercer momento o estado
final que reflejará el resultado de la operación realizada.
Bajo este proceso, que puede parecer de gran simplicidad, subyacen numerosas
dificultades: establecer un orden secuencial dentro de un proceso (que tan
fácilmente se reduce o sincretiza en un todo único e indivisible como se centra
únicamente en una de sus partes), tomar conciencia de la acción causante de la
transformación, sentar las relaciones causales subyacentes, dar el paso de la
expresión verbal del proceso a su simbolización gráfica, conseguir un uso
espontáneo de los signos aritméticos, etc. Estas y otras muchas dificultades son
las que el alumno irá manifestando y superando si se le ofrece la posibilidad de
acceder a estos conocimientos a través de un aprendizaje operatorio y
constructivo.
Asimismo, si al hablar del aprendizaje de la noción de cantidad se apreciaban las
dificultades que suponía el abstraer las propiedades cuantitativas de un contexto
empírico, frente a la adquisición de estas nuevas nociones se vuelven a poner de
manifiesto las interferencias entre las propiedades cualitativas, ya que, en
definitiva, estas interferencias subyacen en todo concepto numérico y se hacen
presentes cada vez que se exige un nivel superior de operación y abstracción.
Siendo así, para la organización de este nuevo aprendizaje será necesario partir
de una situación evaluadora que permita conocer cómo interpretan y representan
27
gráficamente los niños de 2° grado una secuencia observada en la que se
produce una transformación de una cantidad inicial.
Una situación que sirvió para tal fin consistió en observar unos conejos que los
niños tenían en la clase y al que ellos mismos alimentaban y cuidaban,
aprovechando como situación de aprendizaje uno de los momentos en que se le
daba la comida.
La observación consistía en cuantificar las zanahorias que se les ponían en la
jaula, ver cómo los conejos comían dos de ellas, y cuantificar las zanahorias que
había dejado sin comer. Si se analiza esta situación se observa un proceso
secuencial en el que, a partir de una cantidad inicial (13 zanahorias), a la que se
aplica una transformación (los conejos comen 4 de ellas), se llega a una cantidad
final (13 zanahorias) que supone una modificación o transformación de la inicial.
Hay que tener en cuenta que este tipo de secuencias, una vez realizadas, lo único
que queda de ellas es el resultado final, por lo que su comprensión conceptual y la
consiguiente abstracción matemática requieren una interiorización coordinada y
reflexiva de los esquemas de acción que explique la modificación del valor
cuantitativo que se ha producido.
De la observación realizada, lo primero que se pidió a los niños fue su
verbalización. La explicación colectiva obtenida se puede resumir en los siguientes
términos: Hemos. “Hemos puesto diecisiete zanahorias a los conejos, se han
comido cuatro y han quedado trece zanahorias en la jaula”.
28
Llegar a esta formulación colectiva supuso intervenir en el diálogo que se
estableció con el fin de regularlo y canalizarlo hasta conseguir; por un lado, la
cuantificación exacta de los elementos, y por otro lado la explicación de la lección
causante de la modificación cuantitativa observada. Las primeras explicaciones
verbales referentes a la secuencia observada se limitaban en algunos casos a
explicar la secuencia total o parcialmente, transmitiendo tan solo los aspectos
cualitativos.
Véanse algunos de ellos:
“Hemos dado zanahorias a los conejos”. y ellos han comido”
“Los conejos han comido zanahorias”
“Hemos dado zanahorias a los conejos”.
“Los conejos comen zanahorias, pero no todas.”
Al hacerles tomar conciencia de que estos mensajes no comunicaban ni
totalmente ni con exactitud la secuencia observada, se produjeron nuevas
experiencias.
“Hemos dado muchas zanahorias a los conejos y ellos han comido cuatro “.
“Los conejos han comido cuatro zanahorias y han dejado trece”.
“Hemos dado diecisiete zanahorias a los conejos y se han comido cuatro”.
“Los conejos han dejado trece zanahorias”.
En estas verbalizaciones se aprende a coordinar y abstraer las propiedades
cuantitativas, a interiorizar y hacer presente la acción que modifica un valor
29
cuantitativo y ha establecer la relación causal que permite llegar a un resultado
final, formulado todo ello en forma de proceso secuencial. No es tarea fácil, pero
se consigue a través de diversas aproximaciones que facilitan la regulación
necesaria para llegar a la explicación colectiva y correcta que anteriormente se ha
expuesto.
Una vez conseguida la formulación verbal correcta de la secuencia observada, se
pidió a los niños que la transmitieran gráficamente, ofreciéndoles para tal fin papel
y lápiz.
Las conductas observadas que a continuación se analizan ponen nuevamente de
manifiesto que pasar del nivel verbal al nivel gráfico requiere de una nueva
reconstrucción intelectual, lo cual debe tenerse en cuenta a fin de facilitar su
aprendizaje.
Dentro de las producciones gráficas se establecerán dos grandes grupos,
atendiendo a si utilizan o no las cifras para representar los aspectos cuantitativos
de la secuencia.
Si se observa a los que no hacen uso de las cifras, que son la mayoría, se ve que
su explicación gráfica es totalmente figurativa, de modo que con el dibujo
transmiten la secuencia vista y verbalizada.
Lo que globalmente ponen de manifiesto todas estas respuestas, tanto las
verbales como las gráficas, que intentan explicar la interpretación hecha de una
30
secuencia donde se ha producido una transformación cuantitativa, es que la
reflexión y abstracción que deberán seguir los alumnos para llegar a explicar dicha
secuencia utilizando el algoritmo matemático correspondiente (17 – 4 = 13),
requerirá un largo proceso de aprendizaje que contemple y ayude a superar todas
las dificultades que se han plasmado en las conductas analizadas. Este proceso
de aprendizaje deberá incluir aspectos de diversa índole, pero concluyentes todos
ellos en los conceptos matemáticos de suma y resta que se pretende enseñar.
Básicamente, estos aspectos serán los siguientes:
1. Las posibilidades de secuenciar un proceso respetando y reproduciendo el
orden temporal y espacial en que se ha producido, tanto en las
reproducciones manipulativas como en las verbales y gráficas.
2. Toma de conciencia de la acción causante de la transformación numérica y
de la necesidad de explicar verbal y gráficamente dicha acción,
estableciendo correctamente la relación entre la cantidad inicial y la final.
3. Distinción y reversibilidad en las transformaciones cuantitativas provocadas
por la suma y la resta.
4. Reconocer la equivalencia cuantitativa de acciones que cualitativamente
son heterogéneas.
5. La necesidad de elaboración de unos signos abstractos que pueden reflejar
gráficamente las relaciones y acciones que producen en los procesos de
31
transformación cuantitativa, a fin de llegar a la comprensión y utilización de
los signos aritméticos y convenciones propias de nuestra cultura.
Estos objetivos, que permitirán elaborar una programación del aprendizaje de la
suma y la resta que incluya las dificultades de abstracción subyacentes a ellas,
deberán desarrollarse atendiendo siempre a los tres niveles de abstracción
manipulativa, verbal y gráfica. Asimismo, deberán abordarse mediante diversas
situaciones empíricas que permitan operar con simbolizaciones aritméticas
equivalentes.
A partir de estas bases o principios, permitirá movilizar el pensamiento infantil,
haciéndolo avanzar en la construcción de los conceptos matemáticos.
IGUALAR CANTIDADES
La situación de aprendizaje que se propone abordar directamente la
transformación de una cantidad provocada por la acción, realizada por los mismos
niños, de quitar o poner elementos de un conjunto con el fin de igualar dos
cantidades, tiene como objetivo principal la toma de conciencia hasta conseguir
una correcta segmentación y abstracción de las secuencias presentadas que
permitan ir sustituyendo las simbolizaciones figurativas por sus correspondientes
simbolismos matemáticos.
32
El proceso metodológico a seguir para ello será el que ya se ha visto en anteriores
situaciones, es decir, establecer diálogos que permitan tomar conciencia a cada
niño de sus propias contradicciones; provocar la transmisión de comunicaciones
entre compañeros, tanto verbal como gráficamente, a fin de constatar si los
mensajes emitidos transmiten realmente el contenido pretendido o, por el
contrario, no son explicativos; y facilitar todas aquellas formas de intervención
posibles que provoquen una autorregulación en las conductas de los alumnos, de
tal forma que sin darles la respuesta que buscan puedan acceder a ella.
Debe considerarse asimismo que la preparación de situaciones de aprendizaje
para abordar estos objetivos debe ubicarse siempre en contextos propios de la
vida real, ya sea a través de relatos como el que se ha analizado, a partir de
actividades lúdicas frecuentes en los niños, actividades cotidianas, etc., ya que
sólo así será posible que el alumno pueda comprender y hacer un buen y amplio
uso de los algoritmos de suma y resta, accediendo con ello a una de las posibles
maneras de formular los fenómenos que ocurren en su entorno físico.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SUMA Y RESTA
En realidad, los tan familiarmente llamados “problemas” no pretenden ser más que
la expresión de una situación real en la que se plantea una incógnita, formulada
en forma de pregunta a la que se debe dar respuesta. La búsqueda de la
33
respuesta a la pregunta formulada provoca supuestamente la necesidad de utilizar
una o varias operaciones aritméticas con los datos aportados por el propio
problema.
De esta forma se convierte a los problemas en agentes que permiten aplicar y
hacer uso de unas nociones aprendidas. Pero este sería un uso muy
estereotipado de las operaciones aritméticas, que las alejaría, mas que acercarlas,
de un contexto empírico.
Del proceso de aprendizaje de la suma y la resta que se ha presentado hasta el
momento, fácilmente se desprende que la resolución de problemas no debe
plantearse como un eslabón final del aprendizaje, como una simple aplicación de
las operaciones aprendidas, sino que los “problemas” se plantea ya desde un
principio; cualquiera de las situaciones expuestas constituye un problema cuya
resolución permite avanzar en la construcción de los conceptos que conlleva.
Es así como, en el marco de un aprendizaje operatorio, la resolución de
problemas nunca se planteará como un apartado concreto del programa, sino
como un instrumento intrínseco al propio proceso de aprendizaje. Desde esta
perspectiva se planteará no sólo la resolución de problemas, sino también su
formulación por parte de los niños.
De la misma forma que se propone al alumno que a partir de un relato formulado
abstraiga su contenido matemático y lo resuelva y exprese a través de los
simbolismos aritméticos, es preciso proponerle también que, a partir de una
34
simbolización aritmética, formule un relato que otorgue contexto empírico del que
se pueda abstraer la operación dada. Situaciones que plantearían este objetivo
serían, por ejemplo, pedir a los niños que formulen un relato o un problema en el
que ocurra lo que significa 15 + 12 = , ó 16 – 4 = , o bien que formulen un relato
donde ocurra una acción equivalente a sumar o a restar.
Frente a estas situaciones es fácil observar que, dado que la expresión con
simbolismos matemáticos es la que supone un más alto nivel de abstracción, partir
de ella para retornar a un contexto empírico del que se pueda haber partido es un
proceso que encierra más dificultades y hace reaparecer errores ya superados en
situaciones de menor dificultad.
Véanse a continuación algunos ejemplos que plasman el tipo de dificultad que
manifiestan los niños tanto al resolver como al formular problemas.
A partir del juego de bolos que habitualmente es utilizado por los niños en sus
actividades lúdicas, la maestra formula el siguiente problema para que los
alumnos lo resuelvan: “Había 18 bolos plantados y un niño, al tirar la pelota, ha
tumbado 8. ¿Cuántos bolos han quedado plantados?”
Se pedía a los niños que resolvieran el problema y dieran respuesta a la pregunta
formulada, explicando gráficamente cómo lo había resuelto.
En la respuesta se observa que no supone gran dificultad resolver mentalmente el
cálculo aritmético que permite dar con la solución. Así, la mayoría responde
correctamente que los bolos que han quedado plantados son 10, utilizando el
35
algoritmo de la resta para indicar el proceso seguido, y representándolo, por
consiguiente, de este modo “18 – 5 = 10 bolos”.
Cuando algunos de ellos, además del algoritmo matemático quieren expresar su
respuesta con un dibujo, reaparecen algunas conductas que ya se habían
superado en los aprendizajes anteriores sobre simbolización de un proceso
secuencial. Es así como aparecen dibujos que pretenden explicar todo el proceso
en un solo momento, o bien distinguen tres momentos, pero sin representar la
acción, o bien un solo dibujo donde aparece la acción de caerse los bolos, pero
sin una correcta cuantificación.
Mayores dificultades aparecen cuando en el problema formulado la incógnita por
la cual se pregunta debe situarse en la acción y no en la situación final como por
ejemplo el siguiente problema:
“En un árbol había ayer 17 manzanas y ahora hay 3. ¿Qué ha ocurrido? “
Si se analiza este problema se verá que los datos que conocemos, aplicados al
esquema de secuenciación que hemos venido desarrollando, corresponden a la
situación inicial (17 manzanas y a la situación final 3 manzanas), y la incógnita
debe situarse en la acción y cuantificación que transforma la cantidad inicial. La
resolución de este tipo de problemas a través de la utilización de la resta como
diferencia (17 – 3 = 14) se deja para más adelante, puesto que ello supone una
nueva y mayor dificultad.
36
Observando las respuestas ofrecidas se ve cómo los niños resuelven
mentalmente el cálculo de la relación que se establece entre 17 y el 3, y
responden correctamente que “han cogido”, o “han caído” 14 manzanas. Ahora
bien, cuando se trata de explicar con el algoritmo matemático correspondiente el
cálculo que han realizado, aparecen “errores” tales como “+17 14 = 3”, o bien “17
– 3 14 +”, ó “3 = 3”; es decir, se manifiesta claramente la dificultad en tomar
conciencia y explicar el proceso que se ha seguido mentalmente para averiguar la
cantidad que se le preguntaba. Será a través de la simbolización figurativa del
proceso secuencial producido cuando se regularán estos errores, comprobándose
que, después de haber dibujado la secuencia correctamente, distinguiendo los tres
momentos esenciales, son capaces de corregir ellos mismos los errores citados y
utilizar adecuadamente el algoritmo matemático 17 – 14 = 3 nuevas dificultades
aparecen cuando el problema formulado sitúa la incógnita en la situación inicial:
por ejemplo: “Un niño jugando a bolos ha tumbado 8 bolos y le han quedado 12
bolos plantados. ¿Cuántos bolos había plantados antes de tirar la pelota?”.
Este problema se resuelve, una vez más, con gran facilidad, realizando el cálculo
mental y dando de inmediato la respuesta correcta diciendo que había 20 bolos.
Sin embargo, cuando deben utilizar el algoritmo matemático para explicar el
proceso seguido, aparecen errores del mismo tipo que en la situación anterior y,
además, surgen divergencias frente al uso de dos algoritmos utilizados, es decir,
mientras algunos utilizan 20 – 8 = 12, otros utilizan 8 + 12 = 20
Para tomar conciencia de las diferencias de los dos algoritmos debe recurrirse
nuevamente al dibujo de la secuencia del proceso que subyace en cada uno de
37
ellos, lo cual remitirá a contextos empíricos distintos. Mientras el algoritmo 20 – 8
= 12 reproduce la secuencia del proceso empírico realizado con el juego de los
bolos, el algoritmo 8 + 12 = 20 reproduce el proceso seguido mentalmente para
averiguar la cantidad de bolos que corresponden a la situación inicial, y lo que el
problema formulaba como acción (tumbar 8 bolos) se ha convertido en situación
inicial.
La posibilidad de realizar este tipo de análisis con los niños ayuda en gran manera
tanto a la elaboración de abstracciones matemáticas de un contexto empírico
como a una toma de conciencia de las abstracciones elaboradas y la posibilidad
de retomar, a partir de ellas, al contexto empírico del cual han surgido.
LA RESTA O SUSTRACCIÓN
La sustracción es la operación que tiene por objeto encontrar la diferencia que
existe entre dos cantidades de la misma especie.
La cantidad mayor, de la que hay que restar, se llama minuendo, la cantidad
menor, la que resta al minuendo, se llama sustraendo, al resultado de la
operación se le llama resta o diferencia. El signo para indicar la operación se llama
menos, y se representa por ( - ).
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Ejempl o:
_ 125 minuendo
15 sustraendo
115 resta o diferencia
Propiedades de la resta
La práctica y empleo de la resta, en las diversas ramas del conocimiento, están
fundamentadas en las siguientes propiedades.
1° El minuendo es igual a la resta más el sustraendo :
Ejemplo: Sea la resta y la propiedad dice:
_ 25 _ M (Minuendo) R, esto es +20
5 S (Sustraendo) +S 5
20 R (Resta) M 25
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2° El sustraendo es igual al minuendo menos la resta .
Ejemplo: Sea la resta y la propiedad dice:
_ 25 _ M (Minuendo) + M, esto es +25
5 S (Sustraendo) R 20
20 R (Resta) S 5
3° Si se aumenta o disminuy e el minue ndo con cierto número, la resta queda
aumentad a a disminuida con el mismo número .
Ejemplo:
_ 25 _ 30 = (25 + 5) _ 25 _ 20 = (25-5)
10 10 10 10
15 20 (15 + 5) 15 10 (15-5)
4° Si se aumenta o disminuy e el su straendo con cierto número, la rest a
queda disminuida o aumentada, resp ectivamente, con el mismo número.
Ejemplo:
_ 35 _ 35 = (10 + 5) _ 35 _ 35 = (10-5)
10 15 10 5
25 20 (25-5) 25 30 (25+5)
40
5° Si se aumentan o disminuy en tanto al minuendo como al sustraendo, con
una misma cantidad, la resto no varía.
Ejemplo:
_ 35 _ 40 = (35 + 5) _ 35 _ 30 = (35-5)
10 15 10 5
25 25 (10-5) 25 25 (10+5)
Regla generales para restar
Para restar dos números enteros, se coloca el menor debajo del mayor, teniendo
cuidado de que coincidan, en columna, unidades con unidades, decenas con
decenas, etc.
Luego se traza una raya horizontal debajo de la cual se escribe el resultado;
enseguida se restan unidades con unidades, decenas con decenas, etc., y la
diferencia se escribe en la columna correspondiente, repitiéndose la operación en
todas las columnas restantes.
Cuando alguna de las cifras del sustraendo es mayor que su correspondiente en
el minuendo, se agregan al minuendo diez unidades de su orden misma que se
41
toman del orden inmediato superior, teniendo cuidado, al continuar la resta, de
aumentarle una unidad al sustraendo o restarle al minuendo esa misma cantidad.
La misma regla se aplica a los números decimales.
Prueba de la resta
La prueba más usada se lleva a cabo sumándole al sustraendo la resta, y si no
hay error, deberá obtenerse el minuendo.
Ejemplo.
45 haciendo la prueba 8
8 37
37 45
CONCEPTO DE SUSTRACCIÓN
La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-)
y es la operación opuesta, o inversa, de la adición. Se podría restar 5 de 11
contando al revés 5 veces empezando por 11 o eliminando 5 objetos de una
colección de 11, hasta encontrar el resto, 6. Sin embargo, las reglas de la
42
aritmética para la sustracción nos ofrecen un método más sencillo para
encontrar la solución.
Observa:
Yo tengo 11 balones
Perdí 5 balones.
¿Cuántos balones me quedaron?
A esa acción de sacar, quitar o de extraer le llamamos sustracción
¿Cómo represento numéricamente la sustracción?
El término mayor de los dos números que se restan al que llamamos minuendo
representa la totalidad de objetos que se tienen, al cual se le va a quitar una
cantidad.
El número menor que aparece en la sustracción al que se le da el nombre de
sustraend o representa la cantidad menor de la sustracción.
43
Al resultado de la sustracción se le llama diferencia.
Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de signo menos.
MINUENDO -11
5
6
SIGNO DE MENOS
SUSTRAENDO
DIFERENCIA
Los números que se restan deben estar colocados correctamente, es decir;
unidades debajo de las unidad es, decen as debajo de las decenas, centenas
debajo de las centenas.
Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas,
perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas
a piñas. Esto quiere decir: objetos de una misma clase y de un mismo género.
El minuendo siempre tiene que ser mayor que el SUSTRAENDO. Es decir, la
primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda
cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad?
44
EJEMPLO:
11-5= 6 D U
__ 1 1 MINUENDO
5 SUSTRAENDO
0 6 DIFERENCIA O TOTAL
90 – 30 = 60 D U
__ 9 0 MINUENDO
3 0 SUSTRAENDO
6 0 DIFERENCIA O TOTA
12 – 9 = 3 D U
__ 1 2 MINUENDO
0 9 SUTRAENDO
0 3 DIFERENCIA O TOTAL
45
HÁBITOS QUE DEBEN FORMARSE EN EL APRENDIZAJE
DE LA SUSTRACCIÓN
Asegura Kamii que el 99% de nuestra conducta aprendida está conformada por
hábitos, hablar, reír, manejar una bicicleta, escribir en máquina, enojarse, etc.,
todo esto se convierten en hábitos a lo largo de nuestra vida.
Los hábitos mentales son formas organizadas o estructuradas de pensar que el
cerebro humano maneja; los hábitos matemáticos se acrecentan en la medida que
los practicamos, los usamos y los proyectamos a nuestro entorno social; un
arquitecto realizará continuamente trabajos teóricos sobre construcción o
modificación de fachadas debido a la practicidad de su modelo mental. En el caso
de un maestro, manejará estrategias que permitan al niño apropiarse fácilmente
de las operaciones suma, resta, multiplicación, división, tablas de operaciones
fundamentales, entre otros.
En general, llamamos aprendizaje a las respuestas aprendidas que se han hecho
automáticas. El psicólogo francés Roustán define el hábito en forma sencilla y
comprensible diciendo que es una disposición duradera y adquirida que tiende a
reproducir los mismos actos o sufrir las mismas consecuencias.
46
Como respuesta a un excitante, los hábitos pueden ser simples o complejos; pero,
cuando han sido bien aprendidos, se ejecutan siempre con seguridad, regularidad
y perfección, sin que se dividan en internos y externos.
A los hábitos internos o implícitos, cuyas manifestaciones no se revelan al exterior,
también se les ha denominado hábitos mentales.
CONTENIDOS DE 2° GRADO DE PRIMARIA REFERENTES
A LA SUSTRACCIÓN
Antecedentes metodológicos
En el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la reforma de los
planes y programas de estudio de la educación primaria. En esas etapa el nuevo
currículum entró en vigor en los grados segundo, cuarto y sexto.
Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio, se inició la
renovación de los libros de texto gratuitos que el gobierno de la República entrega
a todos los alumnos de las escuelas primarias del país.
La reforma del currículum y los nuevos libros de texto tienen como propósito que
los niños adquieran una formación cultural más sólida y desarrollen su capacidad
47
para aprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad se
cumpla, es indispensable que cada maestro lleve a la práctica las orientaciones
del plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma
sistemática, creativa y flexible.
En la vida cotidiana, los niños se enfrentan a diversas situaciones en las que las
matemáticas están presentes. En el mercado ven y usan números y términos
matemáticos ($ 3 Kg., $ 4, 100 g), observan cómo pesan y cómo miden diversas
magnitudes; en la calle, en los medios de transporte, en los diferentes medios de
comunicación ven números que tienen diferentes significados (números de las
casas, números telefónicos, números de las placas de carros, cantidades que
aparecen en las propagandas comerciales, en los billetes de lotería, etcétera.), y
en las conversaciones de los adultos y en sus juegos, continuamente se plantean
diversos problemas que hacen necesario el uso de operaciones.
A través de estas experiencias y los conocimientos adquiridos en el primer grado
de la escuela primaria, los niños avanzan en la construcción de sus conocimientos
y de sus ideas sobre algunos aspectos de las matemáticas, que constituyen la
base sobre la que desarrollarán conocimientos más formales en la materia.
Se busca, a través de las actividades que se propagan en la escuela, que los
conocimientos matemáticos sean una herramienta flexible y adaptable para
enfrentar situaciones problemáticas. Al principio los niños resolverán dichas
situaciones con procedimientos desarrollados a partir de los conocimientos que
48
poseen, apoyándose en la percepción visual, en la manipulación de objetos, en la
observación de los procedimientos iniciales, darán significado a los conocimientos
más formales que la escuela proporciona.
Para que los alumnos manejen y comprendan los conocimientos adquiridos es
necesario relacionar los procedimientos que usualmente se enseñan en la
escuela, por ejemplo el algoritmo convencional de la resta. De esta manera los
alumnos comprenderán que los algoritmos convencionales son herramientas
flexibles y adaptables que les permite resolver de una forma más económica, es
decir, con más facilidad y rapidez, los mismos problemas que resolvían con
estrategias largas y muchas veces más complicadas. Aprenderán a expresar sus
ideas, explicar a sus compañeros cómo logran resolver las situaciones
problemáticas y, asimismo, que aprenderán a defender sus formas de solución y a
reconocer sus errores.
El hecho de que los alumnos expresen sus ideas, permite al maestro entender el
razonamiento que los niños siguen en la resolución de un problema, y así, poder
determinar las actividades que refuercen algún contenido o proponer situaciones
que favorezcan la adquisición de conocimientos.
Si bien antes de terminar la primaria los alumnos conocerán los procedimientos
convencionales para resolver las operaciones, las fórmulas y definiciones propias
de las matemáticas, la forma que se propone para llegar a ellos toma en cuenta el
49
desarrollo intelectual de los alumnos, los procesos que siguen y las dificultades
que enfrentan para adquirirlos.
La escuela primaria está concebida en tres ciclos. Cada ciclo contempla dos
grados. Por esta razón en el segundo grado, si bien se trabajan los mismos
contenidos que se proponen en primero, a excepción de la multiplicación de
dígitos, éstos se amplían y profundizan a través del planteamiento de situaciones
problemáticas más complejas.
Propósitos generales del 2° grado
De acuerdo con el enfoque planteado, se espera que los alumnos:
a) Utilicen y comprendan el significado de los números naturales, hasta tres
cifras, en diversos contextos.
b) Resuelvan problemas de suma y de resta con números naturales hasta tres
cifras, utilizando el procedimiento convencional.
c) Desarrollen la habilidad para realizar estimaciones y cálculos mentales de
sumas y restas, con números hasta de dos cifras.
d) Desarrollen la habilidad para buscar, analizar y seleccionar información
contenida en ilustraciones de su libro u otras fuentes, en tablas y gráficas de barra
sencillas, para resolver e inventar problemas.
50
Organización de los contenidos
Con el propósito de adecuar los contenidos propuestos para el segundo grado al
proceso de aprendizaje de los alumnos y de facilitar al maestro su integración. El
programa se ha organizado de tal forma que los contenidos se introduzcan en el
momento en el que los alumnos tienen las posibilidades para abordarlos.
Los contenidos en el segundo grado de educación primaria están organizados en
cuatro ejes:
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Medición
Geometría
Tratamiento de la información
Los ejes “La predicción y el azar” y “procesos de cambio”, no se trabajan en este
grado.
Los números, sus relaciones y sus operaciones
A través de las actividades con las que se desarrollan los contenidos de este eje,
los alumnos aprenderán a usar los números hasta de tres cifras, en forma oral y
escrita, para comparar y cuantificar colecciones y para ordenar los elementos de
una colección e identificar objetos.
51
Agruparán colecciones en decenas y centenas, y representarán gráficamente los
resultados obtenidos, primero de manera no convencional y después con los
símbolos numéricos convencionales. Comprenderán que para escribir cualquier
número, en particular los de tres cifras, se necesitan únicamente diez símbolos
(del 0 al 9) y, en consecuencia, estarán en posibilidades de comprender que éstos
adquieren valores diferentes según el lugar que ocupan en un número.
Asimismo, desarrollarán la habilidad para estimar y calcular mentalmente el
resultado de problemas de suma y de resta mediante diversos procedimientos
(redondeo, descomposición de números en centenas, decenas y unidades,
etcétera).
También seguirán resolviendo problemas que implican sumar o restar con
distintos significados (agregar, unir, igualar, quitar, y buscar un faltante), utilizando
primero procedimientos no convencionales (uso de material concreto, dibujos, y
conteo por agrupamientos) y después utilizando el algoritmo convencional de la
suma y de la resta.
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SUGERENCIAS METODOLÓGICAS
El papel del maestro en la enseñanza de las matemáticas
La actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho
más allá de la transmisión de conocimientos, definiciones y algoritmos
matemáticos.
Se sugiere que el profesor haga en cuenta a este proceso:
a) Busque o diseñe situaciones problemáticas para propiciar el aprendizaje de
los distintos algoritmos.
b) Elegirá actividades y las irá graduando de acuerdo con el nivel del grupo,
propiciando que los alumnos pongan en juego los conocimientos
matemáticos que poseen.
c) Propicie situaciones que contradigan las ideas “erróneas” de los alumnos,
favoreciendo la reflexión y la búsqueda de nuevas explicaciones.
d) Favorezca la evolución de los procedimientos utilizados inicialmente por los
alumnos, para aproximarlos hacia los procedimientos convencionales de las
matemáticas.
53
e) Promueva el diálogo y la interacción con los alumnos y coordine la
discusión sobre las ideas que tienen acerca de las situaciones planteadas,
mediante preguntas que les permitan conocer el por qué de sus respuestas.
Bajo este paradigma debe tomar en cuenta que su papel no se limita a ser un
facilitador de la actividad. Si bien debe respetar la actividad y creatividad de los
alumnos, también debe intervenir con sus orientaciones, explicaciones y ejemplos
ilustrativos cuando así se requieran. Éste es uno de los momentos más difíciles de
su que hacer profesional, ya que, con base en su experiencia, debe seleccionar el
momento oportuno de su intervención, de tal manera que ésta no sustituya el
trabajo de los alumnos ni obstaculice su proceso de aprendizaje.
Enseñanza y aprendiza je de las matemáticas
Tradicionalmente, los problemas se han utilizado en la escuela para que los
alumnos apliquen los conocimientos que les han enseñado previamente. Sin
embargo, mi experiencia ha mostrado que a pesar de que se dedican muchas
horas de trabajo a este propósito, la mayoría de los alumnos presentan serias
dificultades para aplicar dichos conocimientos en la resolución de problemas u
operaciones.
54
Unas de las principales causas de estas dificultades reside en que los contenidos
se han trabajado de manera aislada, es decir, fuera de un contexto que le permita
al alumno descubrir su significado, sentido y utilidad.
Además, con frecuencia, la manera en que se plantean los problemas no permite
que los alumnos se enfrenten realmente a ellos. Se les dice cómo resolverlos o se
les proponen problemas modelo en los que deben aplicar el conocimiento que se
ha enseñado previamente, anulando la búsqueda personal de soluciones, la
posibilidad de crear procedimientos propios.
Para que la resolución de problemas promueva el aprendizaje matemático y el
desarrollo de la capacidad de razonamiento de los alumnos, es necesario invertir
el orden en el que tradicionalmente se ha procedido; esto es, enfrentar a los
alumnos desde el principio a la resolución de problemas , lo que les permitirá
construir nuevos conocimientos y, más tarde, encontrar la solución de los mismos
cada vez más complejos, utilizando los procedimientos de solución
convencionales.
Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un
problema, por lo general encuentran, al menos, una forma de aproximarse a la
solución. Esto, a su vez, puede generar en el grupo una valiosa diversidad de
procedimientos.
Es de gran utilidad promover que los alumnos conozcan y analicen las formas de
solución que siguieron sus compañeros. Conocer los diferentes procedimientos
55
que se encontraron para resolver un mismo problema tiene un gran valor
didáctico, pues permite que los alumnos se den cuenta que para resolverlo existen
varios caminos, algunos más largos y complicados que otros, pero lo importante
es acercarse a la solución; les permite, también percatarse de sus errores, así
como reconocer y valorar sus estrategias y resultados.
Cuando los alumnos logran comprender los procedimientos que otros siguieron
para resolver algún problema; pueden utilizarlos en otras situaciones: probar,
equivocarse, volver a probar hasta lograr la solución, propicia que los niños
avancen en su aprendizaje, adquieran confianza en el manejo de sus
conocimientos, reconozcan su validez y los utilicen para resolver las diversas
situaciones a las que se enfrentan.
La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos y
duraderos son procesos que deben avanzar en estrecha relación.
Para favorecer el aprendizaje de los procedimientos de soluciones
convencionales, es importante partir de las estrategias utilizadas.
a) Aumentar el grado de complejidad de la situación; es decir, aumentar el
rango de los números o cambiar la estructura del problema.
b) Obstaculizar el procedimiento encontrado para que los alumnos busquen
otras maneras de resolverlo; ejemplo, pedirles que no utilicen material
concreto o que no hagan dibujos.
56
El papel de los problemas en la enseñanza de las matemáticas
Los problemas se utilizan con los siguientes propósitos:
Para que los alumnos construyan su conocimiento a través de la búsqueda
de estrategias convencionales y no convencionales que los resuelvan.
Para que apliquen y profundicen los conocimientos adquiridos.
Para que las situaciones problemáticas favorezcan la construcción de
conocimientos y centren el interés los alumnos en la búsqueda de su solución,
deben cumplir con dos condiciones: presentar un reto, es decir, evitar el
planteamiento de situaciones que los alumnos ya sepan de antemano cómo
resolver, y que las situaciones que se presenten puedan ser abordadas por los
alumnos con los conocimientos que poseen.
A fin de que los alumnos desarrollen su capacidad para explorar y comprender las
relaciones entre los datos de un problema, se propone programar actividades en
las que los alumnos resuelvan problemas de suma, resta, multiplicación o
reparto. Esta forma de trabajo permitirá a los alumnos construir los diferentes
significados de las operaciones al relacionarlas con las acciones que realizan para
resolverlos.
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Además, es conveniente cambiar la estructura de los problemas, proponiendo
otras en los que las operaciones sean diferentes.
En cuanto a los problemas que sirven para aplicar y reforzar conocimientos, es
conveniente que el maestro continúe planteando problemas en diversos contextos
como “La tiendita “, “La maquinita” , ( véase anexo) que son estrategias para
involucrar al niño en la resta; así también podrá utilizar dados, canicas, estampas,
animales, etcétera; o pedir a los alumnos que sean ellos los que inventen
problemas a partir de un texto, de los datos de una ilustración, de una operación
dada, o partir de que inventen un problema con los números 25 y 4 en donde
utilice la resta.
Los errores en la resolución de problemas
Cuando se resuelven problemas matemáticos en la escuela, los alumnos tienden
a depender de la aprobación del maestro para saber si la forma en que los
resolvieron es o no la correcta; sin embargo, es conveniente que sean ellos
mismos quienes reconozcan si el procedimiento que emplearon los llevó a la
solución del problema, verifiquen sus resultados y localicen el error, si es que lo
hay.
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Los intentos fallidos o los errores de los alumnos al resolver un problema, forman
parte de su proceso de aprendizaje y deben ser aprovechados para que, a partir
de ellos, avancen en sus conocimientos.
Se sugiere que se favorezca la socialización de los procedimientos generados por
los alumnos, así como la búsqueda de errores. El uso de material concreto para
verificar sus respuestas y la confrontación de ideas, permite que sean los mismos
alumnos quienes las validen.
¿Qué tipo de problemas conviene plantear en la escuela?
Es común escuchar que en la enseñanza de las matemáticas se debe recurrir a
problemas de la vida real, y con este argumento despertar el interés del niño y
llegar a obtener conocimientos relevantes. Si bien, esto es cierto, no hay que
olvidar que existen situaciones divertidas e interesantes que también se pueden
aprovechar para que los alumnos construyan y avancen en sus conocimientos; por
ejemplo, los juegos matemáticos, situaciones problemáticas asociadas a la
fantasía, a los animales y mascotas, a la literatura infantil, así como los problemas
puramente numéricos o geométricos.
Pueden mostrarse ilustraciones a partir de las cuales el maestro hace preguntas,
por ejemplo, lección 66, p. 100 (véase anexo); algunas veces, el problema puede
consistir en que los alumnos sean quienes elaboren preguntas que puedan
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resolver con la información contenida en un texto o en una ilustración por ejemplo,
lección 63, p. 96 (véase anexo); otras veces el problema puede consistir en que
los alumnos sean quienes los formulen, que se resuelvan con una operación
planteada, o bien, en realizar ciertas acciones sobre un material concreto a partir
de determinadas consignas ejemplo, lección 34, p. 54 (véase anexo).
Se recomienda que el maestro proponga también problemas que tengan
diferentes procedimientos con el propósito de que los alumnos no piensen, como
ha sucedido con la enseñanza tradicional, que todos los problemas tienen
solamente una solución. Por ejemplo, en algunas lecciones del libro de texto se
hacen preguntas como : ¿Qué puedo comprar en la tienda con 50 pesos? Todas
las respuestas que den los alumnos pueden ser correctas si no rebasan la
cantidad fijada
Algoritmo convencional de la suma y de la resta
Hay que recordar que antes de que los alumnos se enfrenten al algoritmo
convencional de la suma y de la resta es necesario que resuelvan numerosos
problemas que impliquen estas operaciones, mediante el agrupamiento y
desagrupamiento de unidades, decenas y centenas representadas con material
concreto como fichas de colores, monedas, etcétera .
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Que los alumnos resuelvan los problemas con material, favorece la comprensión
de las reglas del algoritmo convencional de estas operaciones. Por ejemplo, ayuda
a entender por qué en la suma 343 + 189, cuando se suman las unidades (9+3),
sólo se tiene que anotar el 2 como resultado debajo de la columna
correspondiente y llevar 1 a la columna de las decenas; o por qué, en la resta 343-
189, “se tiene que pedir uno” a las decenas, y por qué “el 3 se convierte en 13” y
no en cuatro.
Después de que los alumnos han resuelto muchas situaciones problemáticas de
suma y resta con material, es necesario que el maestro les ayude a relacionar las
acciones realizadas sobre el material con el algoritmo convencional de la suma y
de la resta, y presentar estos algoritmos como otra forma de resolverlos.
Probablemente, algunos alumnos continuarán utilizando diversos procedimientos
para resolver problemas de suma y resta, aunque ya se les haya enseñado el
algoritmo convencional. En estos casos, se sugiere que el maestro lo permita y
que después de haberlo resuelto, les recuerde que también ese problema puede
resolverse con el procedimiento convencional de la suma o de la resta. Asimismo,
se sugiere que los alumnos verifiquen si obtienen el mismo resultado con los
procedimientos utilizados.
Poco a poco, en la medida que los alumnos comprendan los algoritmos
convencionales de la suma y de la resta y se deben dar cuenta que también sirven
