UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRIDESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALESDepartamento de Automtica, Ingeniera Electrnicae Informtica IndustrialSLAM GeomtricoconModelado BasadoenCurvas SplineTesisDoctoralAutorLuisPedrazaGmaraIngenieroIndustrialDirectoresDiegoRodrguez-LosadaGonzlezDoctor IngenieroIndustrialFernandoMataEspadaDoctor IngenieroIndustrialMadrid,2009Tribunal nombrado por el Magfco. YExcmo. Sr. Rector de la UniversidadPolitcnica de Madrid, el da ..... de ............ de 200...Presidente : ............................Vocales : ....................................................................................Secretario : ............................Suplentes : ........................................................Realizado el acto de defensa y lectura de Tesis el da ..... de ........... de 200... enla E.T.S.I. Industriales de la U.P.M., acuerdan otorgar la calicacin de .................EL PRESIDENTE LOS VOCALESEL SECRETARIOEstelibroestdedicadoamispadres:Esther yAntonio.Por susacricio,por suilusin,por suamor.AgradecimientosMientrasescriboestaslneas,meparececasimentiraquetodoestapuntodeterminar. Se ve la luz al nal de tnel! Han sido unos cuantos aos bastante intensos,y el camino, aunque apasionante, no ha estado exento de obstculos y piedras de lasque cortan; de esas que se meten dentro del zapato, hacen dao al caminar y cuestamucho sacar. Pero no haba ms remedio: haba que seguir movindose.Ahorallegael momentodeparar, tomar aireprofundamenteestefroairedenoviembreyhacerbalance.Losltimosmeseshanestadomarcadosporunaconstante, una idea ja que pesaba como una losa sobre el pecho y la mente: escribirla tesis. El tiempo se agotaba. Pero mi parto, como lo llamo cariosamente, ya estentre tus manos y te dispones a leerlo. Mereci la pena el esfuerzo? T, mejor quenadie, y el tiempo, lo decidiris. Mis objetivos personales, creo, se han cumplido. Yoslo quera hacer algo til, algo nuevo y original, algo que se entendiese. Teniendo encuenta lo complicado que es conseguir todo ello enestodelSLAM, creo que puedoestar razonablemente satisfecho con el resultado. Tambin quera hacer algo que seusara. Pero esto ltimo ya no est en mi manos.Pariresbonito,perocasi siempredoloroso. . . Al echar la vista atrs, me doy cuenta de que este libro no es obra nicamente ma.Mucha gente ha intervenido, de una manera u otra, en el orecimiento de las ideas,el desarrollo de las ecuaciones, la programacin de los algoritmos, la interpretacinde los resultados y, casi, casi, hasta en la redaccin de los captulos y la eleccin delpapel para su impresin. Y no slo desde el punto de vista intelectual, sino tambindel personaly humano.Aunque slo sea por haberme enseado asacar el coraje yla fuerza, no se sabe muy bien de dnde, para decir:Estovaasalir.Pormisnaricesquesale.Ylovoyaterminar.Quisiera comenzar recordando a la gente con la que compart ms de dos aos enel Instituto de Automtica Industrial del CSIC. All di mis primeros y tambaleantespasosenestodelainvestigacin, ydescubr loquesospechaba: quemegustabamucho.Elcaminonosiempreesfcil, amenudoasaltaladuda, ysiempreacechalaincertidumbre.Peroalnalmerecelapenatenerlaoportunidaddehacercosasnuevas y alucinantes; y por ello me siento un privilegiado. Gracias a Manuel Armada,mi primer jefe, siempre comprensivo y de buen humor. Y gracias a mis compaerosde aquel entonces; algunos ya eran amigos, otros lo son desdeentonces, todos elloslo sern siempre.viiExcelente, comosiempre.GraciasalaConsejeradeEducacindelaComunidaddeMadridporlabecaFPI que me concedi en octubre de 2003 y que, durante la mayor parte de los cuatroaos de su duracin, me permiti dedicarme con libertad a la apasionante tarea delainvestigacin. Si algomehaquedadoclaroenestetiempo, esqueparaquelascosasfuncionen, setienenquedarunaseriedecondicionesnecesarias, aunquenosiempre sucientes. Entre ellas estn disponer del suciente tiempo, claridad mental,motivacin y ayuda. Y todas ellas pasan casi siempre por disponer de una adecuadananciacin. Quieropensar queenestepasmolascosasempiezanafuncionarcomo deben, y que cada vez ms gente se da cuenta de que es mejor remar todos enla misma direccin.Gracias a Gamini Dissanayake y a Jaime Valls Mir, que me acogieron en el ARCCentre of Excellence for Autonomous Systems de Australia durante 4 meses en 2006.Allmeescucharon,sesorprendieron,ymeayudaronaencontrareseescurridizoynohilodel cual comenzaratirar. Al principionomeentendantal vezni yomeentenda: Vamosasentarnosynoscuentasdequvaesodelossplines.Qu importante es a veces tener a alguien dispuesto a escuchar, a involucrarse, y adedicar diez minutos de su tiempo a intentar comprender tus ideas. Gracias, GaminiyJaime,pornolimitarosaescucharal espaolitoquellegconcuatromesesparahacermuchascosas.Graciasporacercarosalamesadelrincnypreguntar:Hey,Luis, cmo va eso? Vemos juntos el cdigo?.Yoloharaas.Pero nocreo quetesalga. . . Y al nal sali.Graciasamisdirectoresdetesis, FernandoMatayDiegoRodrguez-Losada.GraciasFernandoporabrirmelaspuertasdelGrupodeControlInteligenteenesemomentoquetantonecesitabauncambiodeaires. Graciasporestarsiempredis-puestoafacilitarmi tarea, yayudarmeaverel ladobuenodelascosas. GraciasDiego por involucrarte, por apasionarte conmigo con esto de los splines, y por suje-tarme por el brazo cada vez que esas malditas piedras en los zapatos comenzaban ahacer insoportable el caminar. Ser un director de tesis es mucho ms que sentarse yescuchar.Muchomsqueayudaraidenticaryresolverunproblema.Muchomsque ser un gua. Ser un director de tesis es ser un incansable compaero de camino.Gracias por haber estado ah los ltimos cuatro aos.Escribe, escribe. . . Gracias tambin a los dos directores del Departamento de Automtica, IngenieraElectrnicaeInformticaIndustrial delaUPMqueheconocido: Rafael Aracil yAgustnJimnez. Graciasasuesfuerzoydedicacinsedanesascondicionesquecomentaba,yquepermitenque,noslomitrabajo,sinoeldetodoslosmiembrosdel departamento, se realice bajo las mejores condiciones posibles; algo que interesaatodos. GraciastambinaRamnGaln, el hombretranquilosiempredispuestoa ayudar. Y un agradecimiento muy especial a las pacientes explicaciones de PabloSan Segundo, gua de lujo en la bsqueda del clique perdido.Luis,qunecesitas?GraciastambinaTere, RosayCarlosporayudarmeadesenvolvermeeneseterreno oscuro y farragoso que me aterra ms que el de las ecuaciones y los teoremas:el de los formularios, las recogidas de rmas, ylainterpretacinde normativasyresoluciones nosiempreclaras. Ygracias por hacerlosiempreconunasonrisadibujada en la boca.EstotelotienequermarAgustn,eh?Gracias amis compaeros duranteestos ltimos cuatroaos. Iaki, Alberto,Javier, Lupe, Kike. . . Con ellos a veces he compartido mucho ms que un despachoo la regleta de los enchufes.Gracias poresos ratos de charla,poresas bromas, porcompartir las mismas preocupaciones, los mismos sueos.Uncaf?Graciasamisamigos, aloscuales(losiento)nohecuidadocomodeberaenlos ltimos tiempos. Casi mejor as. . . que no ha estado el horno para muchos bollos.Gracias por vuestra preocupacin, por escribirme, por preguntar. Nos vemos pronto.Luis,qutalvatodo?Cundoterminas?Gracias a Juanje Gmez por guiarme a travs del mundo del Photoshop, del Illus-trator,delaspaletasdeherramientasqueaparecenydesaparecen.Pormostrarmelos rudimentos del mundodel diseoquetantomeatraeyal queesperopoderdedicar algn da ms tiempo espero que no por necesidad. Sin su ayuda, estatesis habra sido mucho menos bonita.Yoloveobien,pero mejorquedaracentrado.Gracias a mi familia; a mis padres Antonio y Esther y a mi hermana Elena. Ellossonresponsables,parabienoparamal(ycreoquemsbienloprimero),degranparte de lo que soy. Su ejemplo de perseverancia, de sacricio, de ilusin, y de tesnen terminar lo empezado, han sido determinantes para nalizar esta tesis. S que nosiempreoshecontestado.Squeavecesheestadoirascible.Squehabisestadopreocupados, y que ya no os atrevais a preguntar. Pero mi genio tambin os lo deboa vosotros. Gracias, mil gracias siempre.Luis,hijo,estscontento?Ya s. Ya est terminada. Espero leer pronto.Tambin,yaunquemuchosyanoestn,megustaradedicaralgunaslneasdeagradecimiento a todos esos gigantes a cuyos hombros nos subimos los ms pequeos,descubriendonuevoshorizontesymaravillndonosdetodoloqueconpacienciayesfuerzo puede conseguir el intelecto humano. A Hern de Alejandra, a Aristteles,aArqumedes,algrandsimoLeonardo,aZhangHeng,aRenDescartes,aPierreBzier, a Carl de Boor, a Rudolf Kalman. . . A todos aquellos que decidieron que otropunto de vista era posible. A los que que no temieron enfrentarse a un problema yresolverlo con la razn.A quienes se arriesgaron a equivocarse. Gracias.ResumenUno de los retos fundamentales de la robtica actual, consiste en obtener mecan-ismos robustos yecientes paramodelar entornos decrecientecomplejidad, uti-lizandomquinasmvilesensuexploracin. Estoesconocidocomoel problemadelaLocalizacinyModeladoSimultneos, oSLAM(SimultaneousLocalizacionandMapping), enel quelamquinautilizaconcurrentementeel mapaqueestconstruyendo para obtener su propia localizacin.DentrodelassolucionesalproblemaSLAM,destacanlasprobabilsticas;espe-cialmente aquellas que utilizan un Filtro Extendido de Kalman (EKF) para realizarla estimacin del mapa. A pesar de existir gran nmero de soluciones SLAM-EKF enla literatura, an surgen importantes barreras en la aplicacin de los algoritmos. Talvez una de las ms importantes es la que tiene que ver con el modelado geomtricode entornos arbitrariamente complejos, obstculo que se intenta solventar aqu.Enestatesissepropone,porprimeravez,lautilizacindecurvassplinecomoherramientademodelado. Seaprovechaas laecaciayversatilidaddeestasher-ramientascultivadadurantedcadaseneldominiodelosgrcosporcomputa-dor, el diseoylaarquitectura, enel complejoproblemadeobtenerunmodelodelentornocuandonoesposibleextraercaractersticasmssencillascomopuntoso segmentos. Se ampla as considerablemente el mbito de aplicacin de popularessoluciones existentes, yseabrecaminoaotras, yanuevas formas derazonar yobtener informacin sobre el entorno.Sedesarrollanlosmecanismosnecesariosparaextraerinformacindelosdatossuministradosporunsensorampliamenteutilizadoenrobticamvil comoeseltelmetrolser.Sedesarrollanlasecuacionesquepermitenfusionarecazmentelateoramatemticadelascurvassplineconel marcodetrabajodel SLAM-EKF,proponindose adecuados esquemas de asociacin de datos, modelo de observacin,y facilitando algoritmos para extender progresivamente objetos del mapa a medidaque se exploran nuevas reas.Tambin se propone un mtodo para paliar el coste computacional del algoritmo,crecientedemanerainevitableconel tamaodel mapa. Sedescomponeparaelloel problema global en la construccin de distintos mapas de tamao reducido, y seaprovecha el modelado geomtrico para extraer informacin que permita relacionartodos los mapas entre s y actualizar en consecuencia su estructura global.Todos los resultados presentados sonvalidados experimentalmente, tantocondatos simulados como extrados en entornos reales. Se comprueba que las propiedadesxide convergencia y consistencia de los algoritmos son equivalentes a los de cualquierotrasolucinSLAM-EKF. Peroahoraesposibleconstruirmapasgeomtricosenentornos donde esto antes no era posible, con la ventaja aadida de no depender deuna geometra concreta a ser detectada por los sensores del robot.AbstractOneof thefundamental challengesof todaysroboticsistoobtainrobustandecient mechanisms for modeling increasingly complex environments, using mobilerobotsfortheirexploration. ThisisknownastheSimultaneousLocalizationandMapping problem (SLAM), where the robot concurrently uses the map to determineits own position.ProbabilisticsolutionsarethemostpopularfortheSLAMproblem; speciallythose based on the use of an Extended Kalman Filter (EKF) to estimate the map.Despite the large number of SLAM-EKF solutions in the literature, still signicantbarriers arise in the implementation of the algorithms. Perhaps one of the most im-portant is the geometric modeling of arbitrarily complex environments. This obstacleis intended to be solved here.In this Thesis it is proposed, for the rst time, the use of spline curves as modelingtool. This takes advantage of the eciency and versatility of these tools cultivatedduringdecadesintheeldofcomputergraphics,designandarchitecture,inthecomplex problem of obtaining a model of the environment when it is not possible toextractsimplerfeaturessuchaspointsorsegments.Thereby,thescopeofpopularexistingsolutionsissignicantlyextended,andthewayisopentoothersolutionsand new ways of thinking and learning about the environment.The necessary mechanisms to extract information from data supplied by a widelyusedsensorinmobilerobotics,asitisthelaserrangender,aredeveloped.Equa-tions that allow to eectively merge the mathematical theory of spline curves withthe framework of the SLAM-EKF are presented, and appropriate forms of data as-sociation, anobservationmodel, andalgorithmsfor progressivelyextendingmapobjects as new areas are explored, are provided.It is also presented a method to reduce the computational cost of the algorithm,which inevitably increases with the size of the map. This breaks down to the overallproblem in the construction of various maps of small size, and uses geometric mod-eling to extract information that allows all maps to relate to each other and update,accordingly, their overall structure.All the presented results are experimentally validated, both with simulated andreal data. It is foundthat theproperties of convergenceandconsistencyof thealgorithms are equivalent to those of any other SLAM-EKF solution. But now it ispossible to build geometric maps of environments where it was not possible before,withtheaddedadvantageofnotrelyingonaspecicgeometrytobedetectedbyxiiithe sensors of the robot.ndicegeneral1. Introduccin 11.1. Motivacin de la Tesis y Marco de Trabajo. . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. La motivacin histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Los robots interactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3. El problema de la navegacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4. El modelado del entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Tema e Importancia de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Estructura de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182. SLAM-EKF: Estadodel Arte 212.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. SLAM con Tcnicas Probabilsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1. La formulacin Bayesiana del SLAM . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Principales algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Fronteras del Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1. Coste computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2. Representacin del entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3. Asociacin de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393. UnaIntroduccinalasCurvasSpline 413.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Orgenes y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1. El origen del trmino spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44xv3.2.2. De la industria automovilstica al arte y la arquitectura. . . . 453.2.3. B-splines y NURBS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.4. Aplicaciones cientcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Conceptos Sobre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.1. Qu es una curva?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2. Representaciones paramtricas por tramos . . . . . . . . . . . 543.3.3. Propiedades de las curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.4. Una propiedad interesante: la curvatura . . . . . . . . . . . . 573.4. Denicin de B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5. El Vector de Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6. Propiedades de los B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.7. Aproximacin Mediante B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.7.1. Por qu aproximar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.7.2. Splines de aproximacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.7.3. Ajuste de datos con curvas spline . . . . . . . . . . . . . . . . 703.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734. SLAMconModeladoBasadoenCurvasSpline 754.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2. Gestin de los Datos del Lser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.1. Segmentacin de los datos del lser . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.2. Asociacin de datos entre splines . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3. El Modelo de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4. El Modelo de Observacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4.1. Prediccin de la observacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.2. Obtencin de los Jacobianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5. Aplicando el Filtro de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5.1. Etapa de prediccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5.2. Etapa de actualizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.6. Extendiendo el Mapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.6.1. Insercin de nuevos objetos en el mapa . . . . . . . . . . . . . 1124.6.2. Extensin de objetos contenidos en el mapa . . . . . . . . . . 114xvi4.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255. ModeladoBasadoenDescomposicinenMapasLocales 1295.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2. Aligerando el Coste Computacional: Subdivisin del Mapa . . . . . . 1325.3. Asociacin de Datos entre Submapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.1. Resolucin del problema con tcnicas de grafos . . . . . . . . . 1365.3.2. El grafo de correspondencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3.3. El problema del mximo clique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.4. Solucin del MCP utilizando bitboards . . . . . . . . . . . . . 1405.4. Elementos Usados en la Asociacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4.1. Extraccin de caractersticas simples del mapa. . . . . . . . . 1445.4.2. Relaciones invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456. ResultadosExperimentales 1496.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2. Aproximacin de Datos Puntuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.2.1. Inuencia del espaciado internodal . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2.2. Inuencia del orden de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3. Precisin de los Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4. Consistencia de los Algoritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.4.1. Un sntoma de inconsistencia: excesiva ganancia de informacion1596.4.2. Experimentos Monte Carlo de consistencia . . . . . . . . . . . 1606.5. Experimentos con Datos Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.5.1. Mapas obtenidos con un nico ltro. . . . . . . . . . . . . . . 1636.5.2. Tcnica de submapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707. Conclusiones 1737.1. Principales Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.2. Futuros Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179xviiApndice 183A.1. El Mtodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.2. El Filtro Extendido de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2.1. Una Herramienta til . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2.2. El Filtro de Kalman Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.2.3. Ejemplo: Estimacin de una Constante . . . . . . . . . . . . . 187A.2.4. El Filtro Extendido de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.2.5. Ejemplo: Estimacin de la Trayectoria de un Robot . . . . . . 191Bibliografa 195xviiindicedeguras1.1. Algunas de las invenciones descritas por Hern de Alejandra. . . . . 41.2. Odmetros en la antigedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Carro autopropulsado de Leonardo da Vinci . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Monjes mecnicos renacentistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Robots mviles comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Robots de exploracin extraterrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Robots interactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. Ejemplo de mapa de balizas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9. Ejemplo de mapa de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.10. Ejemplo de mapa obtenido con tcnicas de scan-matching. . . . . . . 141.11. Museo Prncipe Felipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12. Edicios con paredes curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1. Ejemplo de mapa obtenido con un Filtro Extendido de Kalman . . . 282.2. Mapa de ocupacin de celdillas del Museo Tecnolgico de San Jos . . 292.3. Mapa de cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Mxima probabilidad incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5. Mapa obtenido con FastSLAM y tcnicas de scan matching. . . . . . 332.6. Ejemplo de tcnica basada en submapas: SLAM jerrquico . . . . . . 352.7. SLAM basado en trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8. Mapa mtrico hbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1. Herramientas utilizadas en el trazado de curvas . . . . . . . . . . . . 453.2. Evolucin histrica del CAD/CAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. El CAD/CAM en el arte y la arquitectura . . . . . . . . . . . . . . . 48xix3.4. Creaciones artsticas de Pierre Bzier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5. Ejemplos de aplicacin de los splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6. Mapa con splines encontrado en la bibliografa . . . . . . . . . . . . . 523.7. Ejemplo de curva paramtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8. Diversas maneras de aproximar curvas de forma libre. . . . . . . . . . 553.9. Varios tipos de continuidad entre dos tramos curvos . . . . . . . . . . 573.10. Curvatura de la funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.11. Diferentes ejemplos de curvas spline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.12. Relaciones funcionales entre funciones bsicas . . . . . . . . . . . . . 613.13. Vectores de nodos enclavado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.14. Vectores de nodos desenclavado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.15. Curvas B-spline cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.16. Propiedad de envolvente convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.17. Ejemplo de aproximacin de datos mediante curvas spline . . . . . . . 724.1. Ejemplo del conjunto de datos adquiridos por un escner lser en unexperimento real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Segmentacin de un conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3. Efecto de la variacin del valor demaxsobre la segmentacin de losdatos del lser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4. Ejemplo de error de segmentacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5. Proceso de asociacin de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.6. Detalle del proceso de asociacin de datos mostrado en la gura 4.5.c 884.7. Detalle del proceso de asociacin de datos mostrado en la gura 4.5.d 884.8. Pseudocdigo que ilustra el proceso de asociacin de datos propuesto. 894.9. Representacin de objetos en presencia de oclusiones . . . . . . . . . 924.10. El mismo objeto aproximado desde diferentes posiciones . . . . . . . 934.11. El modelo de observacin propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.12. El trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.13. Representacin esquemtica de la relacinhxR. . . . . . . . . . . . . 1024.14. Representacin esquemtica de la relacinhyR. . . . . . . . . . . . . 1034.15. Representacin esquemtica de la relacinhR. . . . . . . . . . . . . 1044.16. Validez de los jacobianos obtenidos (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . 106xx4.17. Validez de los jacobianos obtenidos (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.18. Validez de los jacobianos obtenidos (III) . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.19. Inicializacin de objetos en el mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.20. Extensin de un spline del mapa con nuevos datos. . . . . . . . . . . 1154.21. ExtensindeunsplinecbicosegnlaideapropuestaporHuetal.en [103] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.22. Ejemplo de ajuste secuencial de una funcin . . . . . . . . . . . . . . 1255.1. Mltiples soluciones para el proceso de asociacin de datos . . . . . . 1315.2. Diferentes submapas y sus relaciones relativas . . . . . . . . . . . . . 1335.3. Observacin relativa entre dos submapas asociados . . . . . . . . . . 1355.4. Asociacin de datos por el mtodo del mximo subgrafo comn (MCS)1375.5. Asociacin de datos mediante un grafo de correspondencias. . . . . . 1385.6. Concepto de clique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.7. Matriz de adyacencias del grafo de correspondencias. . . . . . . . . . 1405.8. Forma bsica del algoritmo MCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.9. Ejemplo de extraccin de caractersticas simples de un mapa . . . . . 1445.10. Relaciones establecidas entre las caractersticas extradas de un mapa 1465.11. Ejemplo de asociacin de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.1. Inuencia del espaciado internodal en el ajuste de datos . . . . . . . . 1516.2. Importancia del orden del B-spline de aproximacin. . . . . . . . . . 1526.3. Entornos sintticos utilizados en las simulaciones . . . . . . . . . . . . 1536.4. Experimentos de precisin y consistencia para un pasillo cuadrangular 1556.5. Experimentos de precisin y consistencia para un pasillo mixto. . . . 1566.6. Experimentos de precisin y consistencia para un pasillo anular . . . 1586.7. Ganancia de informacin en la orientacin para un vehculo estacionario1606.8. Entorno sinttico utilizado en los experimentos de consistencia . . . . 1606.9. Experimentos Monte Carlo de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . 1626.10. Mapa de la feria Indumtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.11. Mapa de la feria Indumtica con splines cbicos, mostrando los puntosde control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.12. Mapa del Museo de las Ciencias Prncipe Felipe. . . . . . . . . . . 167xxi6.13. Mapa de los laboratorios de Intel en Seattle . . . . . . . . . . . . . . 1686.14. MapadelosLaboratoriosdeInvestigacindeIntel enSeattle, contcnica de submapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.15. Mapa del Museo de las Ciencias Prncipe Felipeconstruido con tc-nica de submapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.1. Concepto de clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.2. Concepto de estrella de reexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.3. Mapasmtricoshbridos[138] adaptadosal modeladomedianteB-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814. Mtodo de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845. Estimacin de una constante con el Filtro de Kalman discreto (I) . . 1886. Estimacin de una constante con el Filtro de Kalman discreto (II) . . 1897. Estimacin de posicin utilizando la odometra . . . . . . . . . . . . . 1928. Prediccin de la medida del lser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949. Trayectoria del robot. Estimacin Filtro de Kalman con balizas . . . 19510. Coordenadas del robot. Estimacin Filtro de Kalman con balizas . . . 196xxiindicedecuadros4.1. Polgonodecontroldelacurvaempleadaenlasguras4.16,4.17y4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2. Posicin angular del robot en las guras 4.16, 4.17 y 4.18 . . . . . . . 1055.1. Tiempo de procesamiento del algoritmo BE-MCP . . . . . . . . . . . 1421. Posicin de las marcas en el terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191xxiiixxivCaptulo1IntroduccinEl objetivo de este primer captulo es el de poner en situacin y guiar al lector dela presente tesis, que tiene por ttulo SLAMGeomtricoconModeladoBasa-doenCurvas Spline. Del propiottuloyasedesprendenalgunasideasfunda-mentales. SLAMes el acrnimo comnmente utilizado por la comunidad cientcapara referirse a las tcnicas empleadas en robtica e inteligencia articial que buscanmodelar el mundo que nos rodea aprovechando los recursos que proporcionan robotsmviles, uotrosvehculosdotadosdelossensoresycapacidaddecmputonece-sarios.Procede,comonopodaserdeotramanera,desudenominacineningls:SimultaneousLocalizacionandMapping(Localizacin y Modelado Simultneos).Aspues,seesperaqueestatesispresentealgunascontribucionesnovedosasalcomplejo problema, como veremos, del SLAM. Adems se tratar un tipo particularde SLAM: aquel que busca describir los entornos a partir de caractersticas geomtri-cas presentes en el mismo, y descriptibles matemticamente. De ah el adjetivo ge-omtrico,quediferencialastcnicastratadasenesteescritodeotrasalternativasque se encuentran en la bibliografa y que son tambin comnmente empleadas.La parte nal del ttulo nos indica que la tcnica de modelado elegida est basadaen la utilizacin de curvas spline. Esta es precisamente la ms importante y funda-mental contribucin de esta tesis: la de mostrar, por primera vez, cmo geometrasde creciente complejidad pueden ser efectivamente modeladas empleando herramien-tas matemticas de gran versatilidad y potencia como son las curvas spline, y cmoestanuevaformaderazonarsobreelentornopuedeserempleadaparaobtenerunmapa compactodelmismo.Alolargodeltexto nosreferiremosalas curvassplinede manera equivalente como splines.Primeramente, la seccin 1.1 supone una breve introduccin, desde un punto devista histrico, tcnico, humano, y casi losco, a los motivos que llevan a empren-derunatesisdeestascaractersticas.Sepretendemostrarcmoelserhumanohabuscado, casi desde el origen de la Historia, imitar la vida, reproducir el movimiento,ypercibir,manipularyconquistarsuentornoutilizandodispositivosarticialesdela ms variada ndole. Todo ello siguiendo un instinto bsico y primario como es laincansable bsqueda de el progreso y la mejora tecnolgica.La seccin 1.2 se acerca an ms al tema de la tesis, anunciando algunas de las1Captulo 1. Introduccinlimitaciones del estado actual de la tcnica que pondrn de relevancia la importanciade las mejoras que aqu se proponen. Estas limitaciones llevarn de manera natural ala presentacin de los objetivos que con este trabajo se han querido alcanzar, y que seenumeran en la seccin 1.3. Dichos objetivos pretenden aportar un pequeo granitodearenaalosmediosdisponiblesparamodelarentornoscadavezmscomplejos,donde mtodos existentes pierden su validez.Finalmente, enlaseccin1.4sedescribelaestructuradelatesis, sirviendodemapa de ruta para el lector que sigue estas lneas.1.1. MotivacindelaTesisyMarcodeTrabajoLarobticaeslacienciaquepersiguelapercepcinymanipulacindelmundofsicoquenosrodeaatravsdedispositivosprogramablesycontrolablesmediantecomputadores [192]. Atales dispositivos los conocemos comorobots. Cuandolosrobots son capaces de desplazarse de manera autnoma a travs de su entorno (i.e.sin intervencin de operador humano alguno), decimos adems que se trata de robotsmviles.Tal vez sean estas mquinas aquellas que a da de hoy se encuentran ms cercadematerializar unodelos sueos ms vehementementeanhelados por el gnerohumano: la creacin de nuevas formas de vida. No en vano, cualquier nocin empricaacercadel conceptodevida vieneligadaenmayor omenor medidaal conceptodemovimiento. Dehecho, labiologaconsideraal movimientocomounade lascaractersticas sustanciales de los seres vivos, y que los diferencia de la materia inerte.El movimiento es aqu entendido como desplazamiento mecnico de alguna o todaslas partes componentes de una entidad; esto incluye el crecimiento de los organismoso los tropismos de las plantas. Tambin es intuitivo pensar en algo vivo como aquelloquerespondeaestmulos externos. Estarespuestaseexpresafrecuentementeenformademovimiento; desdelosgirasolesqueseorientanbuscandolosrayosdelSol, hastael nioquecorretrasunapelota, todoslosseresvivoscompartenunacaracterstica que los hace nicos: se mueven por s mismos.Estaideadevidacomomovimientotambinhasidoadoptadapormuchases-cuelasloscasalolargodelaHistoria.PensemosporejemploenAristteles,ellsofonaturalistaparaquienelalmaeraunprincipiovital.Todoslosseresvivos(seres animados) comparten la caracterstica comn de tener movimiento por s mis-mos(motusaseipso).ParaelsabioestagiritaDiosseraelprimermotorinmvilde todo el Universo.Sin entrar en demasiadas disquisiciones loscas, lo cierto es que el ser humanosiempre ha buscado la manera de reproducir por medios articiales uno de los mis-terios ms fascinantes de la realidad que nos rodea: la propia vida. Sin duda alguna,uno de los caminos que ms y mejor se han acercado a este objetivo es la robtica.21.1. Motivacin de la Tesis y Marco de Trabajo1.1.1. LamotivacinhistricaPero, de dnde surge esta disciplina cientca, y cules son sus motivaciones yobjetivos?Paraencontrarlasracesdelarobtica, tal ycomohoylaconocemos,debemos remontarnos muchos siglos atrs en el tiempo. Ya en el ao 1500 a.C. se sabeque el ingeniero Amenhotep construy una estatua del rey Memn de Etiopa, queemita sonidos al ser iluminada por los primeros rayos solares al amanecer. As, en elAntiguoEgiptoseconstruyerongrancantidaddeartefactosmecnicos,lamayorade ellos asociados al culto religioso, que adoptaban la forma de estatuas de reyes odioses que despedan fuego por sus ojos, o estaban dotadas de articulaciones mvilesque, al seraccionadasporlossacerdotesyservidumbredelostemplos, buscabanasombrar y causar temor a todo aquel que las contemplara.En el sigo I, Hern de Alejandra (aprox. 10 d.C-70 d.C.) dise numerosos inge-nios mecnicos que aplicaban los conocimientos disponibles en la poca en materiadehidrulica, neumtica, mecnica. . . ydejconstanciaescritadel saber acumu-ladoporlosreyesPtolomeosensusbibliotecas. Contribuyal saberantiguoconnumerosasobrascomoMtrica (dedicadaalestudiodelasreasylosvolmenesy a la divisin del espacio en general), Mecnica(que describe mquinas simples,comotornosopalancas, ysusaplicacionesprcticas), Neumtica (donderecogeconocimientos sobre mecnica de uidos) o Catptrico (en el cual describe los prin-cipios de funcionamiento de espejos planos y curvos, y las leyes fundamentales de lareexin).En su obra Autmata, Hern describe algunos de los mecanismos e invenciones,propios y ajenos, creados hasta el momento con propsitos religiosos y, cada vez conmsfrecuencia, ldicos. Todasuertedepiezasmecnicas, engranajes, palancasysistemasdeconduccindeaguaodevapor, danvidaadetalladasreproduccionesdepjarosquealetean, gorjeanybebenaguadeunafuente, gruposescultricosanimados, oquepermitenlaaperturaautomticadelaspuertasdeuntemploalencenderunfuegoasuentrada. AHerntambinseleatribuyelainvencindelaEolpila, dispositivocapazdetransformarenergatrmicaenenergamecnica,yprimerantepasadoconocidodelamquinadevaporquetantarelevanciatuvodurante la Revolucin Industrial.Enel captulo34desulibroDioptra, Herndescribeel funcionamientodeunrudimentarioodmetro1. Estedispositivoyahabasidodescritopor Vitruviohaciaelao25a.C.,aunquesuinvencinseatribuyeaArqumedes(287a.C.-212a.C.) durantelaPrimeraGuerraPnica. Consistaenunsistemadeengranajesacoplado a una rueda de dimetro tal que al dar 400 revoluciones el recorrido linealfueraexactamentedeunamillaromana(unos 1480metros). Cadavezqueestadistanciaera completada,unmecanismo liberabaunapiedrao esfera metlica queera depositada en una caja. Al nal del recorrido no haba ms que contar las piedrasacumuladas para conocer la distancia total recorrida. Leonardo da Vinci intent sinxitoconstruiresteodmetro(aunquesfuecapazdeconstruirsupropiaversin,talycomoaparecedibujadaenelCodexAtlanticus,hoja1a,hacia1503),yhuboque esperar a que el ingeniero Andr Sleeswyk lo consiguiera en 1981 basndose en1Odmetro.Delgriegohods(camino)ymtron(medida)3Captulo 1. Introduccin(a)Eolpila (b)PjarosdeHern (c)HrculesyelDragnFigura 1.1: Algunas de las invenciones descritas por Hern de Alejandra. (a) EolpiladeHerndeAlejandra, antepasadodelamquinadevapor. (b)PjarosdeHern.(c)AutmatadescritoporHernquerepresentaaHrculesluchandoconundragn.CuandoHrculesgolpealacabezadeldragn,esteltimoarrojaaguacontralacaradelhroe.los planos originales [176].El famosocientcoeinventorchinoZhangHeng(78-139d.C.)tambincon-struy un odmetro ciertamente original. El dispositivo, denominado carruaje contambor contador de lis2, consistira en dos guras humanas de madera accionadasmecnicamente. Cada vez que el carruaje recorra un li, la primera de ellas golpeabaun tambor. Cuando se acumulaba una distancia de 10 lis, la segunda de las gurashaca sonar un gong o una campana con su brazo articulado.El grangeniorenacentistaLeonardodaVinci nopudotampocoresistirsealatentacin de crear por s mismo alguna forma de vida articial o semejanza de esta[162]. Un interesante ejemplo de ello es el len mecnico que Francisco I le encargconstruir, hacia1515, ycuyoobjetivonoestdel todoclaro. Segnunasfuenteshabra sido construido con motivo de las conversaciones de paz con el papa Len X,en Bologna, mientras que segn otras su funcin habra sido la de homenajear al reyfrancs a su entrada triunfal en Lyon. Lo cierto es que el len era capaz de caminaren lnea recta para luego detenerse y abrir su pecho, que mostraba estar repleto delirios y otras ores.Leonardopasatambinporserel inventordeunodelosprimerosautmatashumanoidesdelaHistoriay, posiblemente, el quemejorimitabalosmovimientospropiosdeunserhumano. El CaballerodeLeonardo, esunautmatadiseadoalrededor del ao 1495 y que posiblemente nunca se llegara a construir. Parece queel artista, cientco e ingeniero, lo dise para probar que el cuerpo del ser humanopodaserimitadoensufuncionamiento,yparaellopartidelosestudiosinicialessobreanatomaquehabarealizadoenFlorencia. As pues, esparcialmentefrutodelainvestigacinanatmicadel CanondelasProporciones, quesedetallanenel famosodibujodel HombredeVitruvio(hacia1487)conservadoenlaGalleriedellAccademia, enVenecia. As, estacreacinesunaextensindesuhiptesisdequeel cuerpohumanoesunamquinaensuestructura, yquesusmovimientospueden ser imitados utilizando piezas mecnicas como palancas y poleas.2Elli esunamedidadelongitudchina,equivalentea500metros41.1. Motivacin de la Tesis y Marco de Trabajo(a)OdmetrodeZhangHeng (b)OdmetrodeHern(c)OdmetrodeLeonardoFigura1.2: Odmetrosenlaantigedad. (a)Dibujodel odmetrodeZhangHengencontradoenunatumbadeladinastaHan, haciael ao125. (b)Reconstruccindel odmetro de Hern de Alejandra y vista de detalle de sus engranajes. (c) BocetosautgrafosdelodmetrodeLeonardodaVinci.El caballero, enfundado en una armadura de diseo germano-italiano, sera capazde realizar movimientos humanos como sentarse y levantarse, o mover los brazos yel cuello. A pesar de que se ha especulado con la posibilidad de que Leonardo inten-taraconstruirunguerreromecnico, parecemslgicopensarqueel objetivodelcaballero era impresionar y entretener a pblico y cortesanos. Sus diseos aparecendetallados en el Codex Huygens, descubierto en la dcada de los 50 por el estudiosoCarlo Pedretti si bien su existencia ya era conocidadesde antes [140]. Precisamentefueunlibrodeesteltimoloquellamlaatencindel ingenieronorteamericanoMark Rosheim para dedicar 5 aos de su vida al estudio de los bocetos de Leonardo.EstosleinspiraronparacrearunaseriederobotsllamadosArthrobots,queestnsiendoconstruidosporlaempresaRoss-HimeDesigns, Inc.3paralaNASAconelambiciosoobjetivodeservirdeasistenciaenlaEstacinEspacial Internacional, ola posible futura colonizacin del planeta Marte [160, 161].La prolca actividad creativa de Leonardo le sirvi tambin para convertirse enel diseadordel artilugiomsparecidohastaentoncesaloquehoyconsideramosunrobot mvil. Sucarroautopropulsado eraunvehculodetres ruedas capazdemoversedemaneraautnoma, enel quesepodaprogramarsutrayectoriadeantemano. Lafuerzamotriznecesariaseobtenaapartirdeuncomplejosistemaderesortescapacesdealmacenarlaenergamecnicasucienteparadesplazarelmvil alolargodeunoscuantosmetros. Losbocetosdel artefactoseencuentranrepartidosenvariosdocumentos,perolosmsclarospuedenobservarseenelfolio812r del Codex Atlanticus.3http://www.anthrobot.com5Captulo 1. IntroduccinFigura1.3:CarroautopropulsadodeLeonardodaVinci.Bocetosdelartefactotalycomo puede observarse en el folio 812r del Codex Atlanticus (izquierda). Reconstruccintridimensionaldelcarrosegnestosbocetos(derecha).La falta de documentacin hizo imposible durante siglos su reproduccin. Pero,una vez ms, la colaboracin entre Pedretti (considerado el ms importante expertovivo en la gura y obra de Leonardo) y Rosheim hizo posible en 2004 su construc-cin.AesteingeniomecnicosereferaGirolamoCalvien1936comoelFIATdeLeonardo. Sin embargo es poco probable que el carro autopropulsado fuera pensadoparatransportarobjetosopersonas,sinomsbienparaimpresionaralpblicoenespctaculos teatrales o como entretenimiento de la nobleza.Pero los autmatas de Leonardo no son los nicos antepasados de los modernosrobotsquepodemosencontrarenel Renacimiento. Especialmentecuriosoestam-bin el monje mecnico mvil que se conserva en uno de los museos de la InstitucinSmithsonian, en Washington4. Se trata del Hombre de Palo(Fig. 1.4.(a)), la guradeunmonjedeuno40cmdealto,fabricadaenmaderaymetal,ycuyaconstruc-cinseatribuyeaJuaneloTurriano(1501-1585), relojero, matemtico, inventoreingenierodel emperadorCarlosV, ymstardenombradomatemticomayorporFelipeII.Accionadoporunmecanismoderelojera,elmonjecaminaalolargodeun cuadrado mientras golpea su pecho con el brazo derecho. Al mismo tiempo que sedesplaza mueve una pequea cruz de madera y un rosario con la mano izquierda, ascomo la cabeza, los ojos, y la boca. De vez en cuando, el monje acerca la cruz a suboca para besarla. Sorprendentemente, ms de 400 aos despus de su construccin,datada hacia 1560, el ingenio an funciona.Se conoce la existencia de otras dos guras de monjes autmatas, tambindatadashacialasegundamitaddel S. XVI, yquecompartencaractersticassim-4http://www.si.edu61.1. Motivacin de la Tesis y Marco de Trabajo(a) (b) (c)Figura1.4:Monjesmecnicosrenacentistasilaresencuantoadiseoyaccionamiento. Unaseconservaenel MuseodeArtesAplicadasde Budapest5(Fig. 1.4.(b)), mientras que la otra puede ser observada enel DeutschesMuseumde Munich6desde 1985 (Fig. 1.4.(c)).Lalistademecanismosquepodemosencontraralolargodelahistoria, aca-ballo entre el meticuloso trabajo de relojera y el complejo automatismo hidrulicoomecnicoescasi interminable. Todoselloshanbuscadodeunauotramanerareproducirel movimientocaractersticodelasformasdevida, conel objetivodeasombrar, entretener, divertir, o como mera prueba y puesta en prctica de teorascientcas y avances tecnolgicos acumulados en cada poca.Sin embargo, hubo que esperar a la llegada de la revolucin industrial, a partir dela segunda mitad del siglo XVIII, para que las ideas que se haban estado gestandoa lo largode los siglosencontraranverdaderaaplicacinprctica connesproduc-tivos [195]. No se trataba ya simplemente de imitar la vida. Las nuevos desarrollospermitan por vez primera ayudar o sustituir al ser humano en una innidad de tar-eas, especialmente cuando estas eran de carcter repetitivo o peligroso. La mquinadevapor deJamesWatt (1774), diseadacomomejoradelamquinadevaporatmosfrica de ThomasNewcomen (1712),o las diferentes versiones aparecidasdelmotor de combustin interna que culminaran con la invencin del motor de cuatrotiempos por Karl Otto (1876), propiciaran un conjunto de cambios socioeconmicos,tecnolgicos y culturales como no se haban visto desde el Neoltico.Peroalasvetustasmquinasdelarevolucinindustrialanlesfaltabamuchopara convertirse en algo parecido a los modernos robots. Fue con la llegada del sigloXX y tras el nal de la Segunda Guerra Mundial cuando los desarrollos tecnolgicosenelectricidadyelectrnicapermitieronlaaparicindelasmquinasdecontrolnumrico primero y, ms tarde, la llegada al mundo de los primeros manipuladoresrobticos. El primer robot comercial de la historia vio la luz en 1956, y se llam Uni-mate.FuefabricadoporlacompaaUnimation,fundadaporJosephEngelbergery George Devol, y estaba basado en la patente de este ltimo para un manipuladorprogramableobtenida en 1954 [69].Tal vez el primer ejemplo de un autntico robot mvil sea la tortuga desarrollada5http://www.imm.hu6http://www.deutsches-museum.de7Captulo 1. Introduccin(a)iRobotRoomba560 (b)AutomowerSolarHybrid (c)OFROFigura1.5: Robotsmvilescomerciales. (a)El robotdelimpiezaRoomba, dirigidoensuoperacinporfarosdeluzinfrarroja. (b)El robotcortacspedAutomower, ensuversinconpanelessolares.(c)ElrobotdevigilanciaparaexterioresOFRO.porWalter, enel ao1948, queeracapazdedesplazarseexhibiendouncompor-tamiento aparentemente inteligente, al ser capaz de reaccionar ante la presencia deobstculosensuentorno.Desdeentonces,losintentosporcrearmquinasmvilesdotadas cada vez de mayor autonoma han ido en aumento, hasta el punto de que ada de hoy existen numerosas aplicaciones comerciales de robots mviles que asistenal serhumanoennumerosastareas. BastencomoejemplolosrobotsaspiradoresTrilobiteo Roomba(de los fabricantes Electrolux7e iRobot8, respectivamente), losrobots cortacsped como el Automower9desarrollado por la rma sueca Husqvarna10(cuyaltimaversin,elAutomowerSolarHybrid,escapazdefuncionardemane-rahbridaconsusplacassolaresysubatera),losrobotsdomsticosdevigilanciaRoborior11delaempresaniponaTmsuk12,olosmsavanzadosdeusoprofesionalMOSROy OFROde la alemana RoboWatch13.Pero no es slo en la supercie terrestre donde estos nuevos habitantes de nuestroplanetapuedenservirnos deayuda. Hacetiempoqueel ser humanosepropusolametadeconquistar otros mundos y, paraello, los robots mviles constituyenunaherramientade granutilidadcomomensajeropreviooheraldode lavisitadel hombre. El robot soviticoLudokhovI fuepioneroentareas deexploracinextraterrestre. Lleg al Mare Imbrium(Mar de las Lluvias) lunar a bordo del Luna17 el 17 de noviembre de 1970. En la gura 1.6.(a) puede verse el rover14junto conun detalle de la rueda odomtrica que iba colocada en la parte posterior del vehculo.Msrecientementetodosrecordamosal robotdeexploracinlunarSojourner,que lleg a Marte a bordo de la misin MarsPathnderel 4 de julio de 1997 (Fig.1.6.(c)), oal Spirit (MarsExplorationRover-A), roverdeexploracinMarcianaquellegasudestinoel 4deenerode2004(Fig. (d)), tressemanasantesquesuhermano gemelo Opportunity. Ambos robots an se encuentran operativos, y a fecha7http://trilobite.electrolux.com8http://www.irobot.com9http://www.automower.es10http://www.husqvarna.es11http://www.roborior.com12http://www.tmsuk.co.jp13http://www.robowatch.de14Vehculodiseadoespecialmenteparalaexploracinespacial.81.1. Motivacin de la Tesis y Marco de Trabajo(a)ElroverlunarLudokhovI (b)ControlandoelLudokhovI desdelaTierra(c)El robotSojourner (d) El rover de exploracinmarcianaSpirit(e)PanormicadelAresVallis(VayedeAres),enlareginChrysePlanitia(PlaniciesdeOro)Figura1.6:Robots de exploracin lunar y marciana. (a) El robot sovitico LudokhovI. (b)Unoperariosoviticocontrolael LudokhovIdesdelaTierra. (c)El robotdeexploracin Sojourner. (d) El robot Spirit. (e) Panormica del suelo marciano enviadaporlamisinMarsPathnderasullegadaalplanetarojo.del 30 de septiembre de 2008 el odmetro del Spirit haba medido una distancia totalrecorrida de 7.528 metros.1.1.2. LosrobotsinteractivosOtrotipointeresante de robot mvil, congrandes perspectivas de encontraraplicacin prctica de utilidad y popularizar su uso en el futuro ms inmediato, es elrobot interactivo. Se trata de mquinas que han de ser capaces de navegar, dialogar,razonar, aprenderysobrevivirenentornosadaptadosporyparael serhumano.Paraconseguir esteobjetivo, estos robots debentener lahabilidaddecombinarsuconocimientosobreel entornoquelesrodeaconlainformacinqueadquierenatravsdesussistemassensoriales. Setratapuesderobotscapacesdeoperarenentornoshumanos, llevandoacabotareassocialestilescomorobotsinstructores(enmuseosycolegios), robotsdeentretenimiento(enparquesdeatracciones), o9Captulo 1. Introduccinrobots de compaa y asistencia (en el hogar o en hospitales).Existen algunos ejemplos funcionales de esta clase de robot, algunos de los cualesincorporanunacabezacapazdemostrar expresiones faciales reconocibles por elserhumano, einclusodeinteractuarverbalmente. El grupodeinvestigacinenelque se ha desenvuelto esta tesis, desarroll dentro del proyectoUrbano (DPI2001-3652C0201) un robot gua para ferias y museos. Esta plataforma sirve como base ypunto de partida para incorporar en ella los comportamientos sociales y habilidadesnecesarios para interactuar adecuadamente con humanos en el desarrollo de aquellasmisiones que le sean asignadas. Al proyecto Urbano le siguieron los proyectos Robint(DPI-2004-07907-C02) y Robonauta (DPI2007-66846-C02-01), dentro de los cualessehaenmarcadoel desarrollodelapresentetesis doctoral. Setrata, por tanto,deuncampodeaplicacininnovador, degranactualidad, enel cual losavancescientcosytecnolgicosalcanzadosencontrarnaplicacininmediataenbeneciode la sociedad.RobotssimilaresaUrbano, quecombinencapacidadesdenavegacinconuncierto modelado del comportamiento y capacidades de interaccin con personas, ex-isten pocos en la actualidad. El robotRhino, desarrollado por el Computer ScienceDepartment III de la Universidad de Bonn fue concebido como un robot mvil concapacidades de adaptacin y aprendizaje [37,190], y puede ofrecer recorridos guiadosa los visitantes del "Deutsches Museum Bonn"15(Museo Alemn de Bonn, principalmuseo tecnolgico de Alemania).Minerva funciona tambin como robot gua en elMuseoNacional deHistoriaAmericanadelaInstitucinSmithsonian16, enWash-ington,yfuedesarrolladoporelmismogrupocreadordeRHINOencolaboracincon el Robot Learning Laboratory de la Universidad Carnegie Mellon.Otros ejemplos de robot interactivoson Xavier [110, 174], construidocomoplataformadeinvestigacinenlaUniversidadCarnegieMellon, yparaqueestaparticipase en la AAAI Robotics Competition de 1993, oTourbot (Interactive Mu-seum Tele-Presence Through Robotic Avatars), proyecto lanzado en Enero de 2000,cuyoobjetivoerael desarrollodeunrobotguaparamuseos, haciendonfasisenfacilitar acceso individual remoto a travs de Internet.1.1.3. ElproblemadelanavegacinVemosportantoquelosrobotsengeneral, losrobotsmvilesenparticulary,ms concretamente los robots interactivos, parecen decididos a quedarse en nuestrasvidas [80]. Pero adems se les exige cada da un mayor grado de autonoma y nosolamente desde el punto de vista de su consumo energtico, y mayor inteligenciaa la hora de tomar decisiones. Un robot mvil, para ser verdaderamente autnomo(independiente de la intervencin humana en su funcionamiento), deber ser capazde responder a las siguientes tres preguntas que denen el problema bsico y primariode su propia navegacin [115]:1. Dndeestoy?15http://www.deutsches-museum.de/bonn16http://americanhistory.si.edu101.1. Motivacin de la Tesis y Marco de Trabajo(a)Rhino (b)Minerva (c)Xavier (d)UrbanoFigura1.7:Algunosrobotsinteractivos.2. Adndevoy?3. Cmollegoaesedestino?Larespuestaaestaspreguntasresultaparanosotrosloshumanos, comoani-malia17que somos, trivial en la mayora de los casos. As, para solucionar el proble-ma de nuestra propia navegacin disponemos de nuestra percepcin y conocimientodel entorno, ydelacapacidaddedecisinquenosotorganuestrolibrealbedropararesponderanuestrasnecesidades,apetitosyemociones,ydependemosdeloscondicionamientos externos sociales, culturales y geogrcos adaptados al modo derazonardel serhumano. Sinembargo, paramquinastantecnolgicamenteavan-zadascomosonlosmodernosrobotsdel sigoXXI, quecombinancientosdeaosde conocimiento acumulado a travs de generaciones, la respuesta se vuelve an unproblema de considerable envergadura.A la resolucin de la primera y la tercera de las anteriores cuestiones se ha ded-icado ya mucho esfuerzo por parte de la comunidad cientca. La primera preguntaalude al problema de la localizacin del robot. Su respuesta determinar en gran me-dida la que obtendrn las dos siguientes; la posicin actual dar opcin a visitar unabanico de posibles destinos, mientras que la manera de llegar a ellos tambin vendrcondicionadaenparteporlasituacindepartida. Paraobtenerunarespuesta, elrobotdeberemplearlainformacincapturadaporsussensoresyelconocimientodel que disponga acerca de su entorno.Latercerapreguntaintentaser resueltapor los algoritmos existentes dedica-dosaplanicacindetrayectoriasadaptadosalascondicionesparticularesyfun-cionamiento de un robot mvil. En la solucin de este problema tambin intervienenlas diversas tcnicas de control reactivo de bajo nivel y, una vez ms, toma gran im-portancia la informacin disponible en cada instante acerca del entorno y la maneraen que el robot es capaz de percibirlo y razonar sobre el mismo.Finalmente, la segunda de las preguntas permanece como un problema abierto, ocuya resolucin viene impuesta por la accin humana exterior que dene el destino y17Seresvivientesoanimados.11Captulo 1. Introduccinobjetivo de la tarea a ser realizada por el robot. La eleccin autnoma de un destinopor parte de la mquina encuentra an pocas aplicaciones prcticas, quedando rele-gada mayoritariamente a casos de exploracin de entornos desconocidos [33,130,168],y realizndose an a un nivel muy rudimentario.1.1.4. ElmodeladodelentornoResulta evidente que cualquier ser dotado de capacidad de movimiento, sea hu-mano o robot, necesita disponer de algn tipo de modelo de su entorno para resolverel problemabsicodesunavegacin; yaseaparadeterminarsupropiaposicin,denir un punto de destino, o planicar la trayectoria a seguir.Esteobjetivohasidoperseguidoalolargodelasltimasdcadas. Si bienenladcadade1980, lasprimerassolucionespropuestasmantenandesacopladoselproblemadelaconstruccindeunmapa, yel delalocalizacindel robot, prontose descubri que una solucin rigurosa del problema no sera posible sin considerarambos aspectos de manera simultnea. Ello se debe al hecho de que el robot, en suexploracin, realiza medidas del entorno que sita en el espacio teniendo en cuentasu propia posicin, al mismo tiempo que utiliza los objetos previamente detectadospara determinar su localizacin.Puestoquelossensoresnosonperfectossiempreproporcionanmedidascon-taminadas, en mayor o menor medida, por un cierto nivel de ruido, y los modelosmatemticos empleados amenudonosonsinoaproximaciones delarealidadintroduciendosimplicaciones quepermitenlaaplicabilidaddelos algoritmos,seentiendequeel procesodeconstruccindel mapadebaconsiderar, comopartefundamental e integrante de su estructura, todas estas fuentes de incertidumbre.En el artculo seminal de Smith, Self y Cheeseman [178] se sentaron las bases pararesolver ambos problemas simultneamente. Otros se apoyaron en esas ideas, y desde1995 el problema de la construccin de un mapa y localizacin simultnea del robotse ha venido conociendo como SLAM (Simultaneous Localizacion and Mapping) [65].Las soluciones que mejor han sabido lidiar con las particularidades de este problemason sin duda aquellas que emplean tcnicas probabilsticas y, de entre estas, una delas ms populares es la que utiliza un Filtro Extendido de Kalman (Extended KalmanFilter, EKF) para fusionar toda la informacin disponible. A este tipo de solucionesnos referiremos en lo sucesivo bajo la denominacin comn de SLAM-EKF.Tambin se han explorado diferentes estrategias a la hora de describir el mundofsico. Algunos mtodos dependen de la adaptacin previa del entorno. En este casose distribuyen previamente una serie de hitos o balizas fcilmente identicables; porsu color (si el sensor es una cmara), por su reectividad (si se trata de un telmetrolser). . . Puestoquelas posiciones deestos elementos suelenser conocidas, estosmtodos se emplean a menudo en tareas de localizacin y navegacin [23,157], siendoespecialmente adecuados en entornos industriales [105], y no es preciso considerar elproblema de la construccin del mapa como tal.Lanecesidaddeadaptarel entornovaendetrimentodel objetivoperseguidode lograr mayor autonoma para los modernos agentes mviles articiales. Por esta121.1. Motivacin de la Tesis y Marco de TrabajoFigura1.8:Mapadebalizasohitospuntuales[61]Figura1.9:Mapadesegmentos[155]razn se buscan mtodos que intenten describir y modelar el entorno tal cual se pre-senta, e intentar obtener del mismo la informacin necesaria para su representacin.Mientras que unas soluciones intentan extraer caractersticas geomtricas y represen-tar sus posiciones en un mapa, otras preeren discretizar el espacio en retculas cuad-rangulares, yclasicarcadaceldillaindividual comovacauocupada. Laprimeraopcin parece razonable cuando la estructura del entorno y los sensores empleadospermiten extraer con comodidad elementos cuya posicin es fcilmente descriptible.As, noresultaexcesivamentecomplicadodetectartroncosderbolesocolumnas,yrepresentarloscomosi debalizaspuntualessetratara[61, 208], oaproximarlasparedes de corredores y habitaciones mediante segmentos rectilneos [155, 187].Estasltimassoluciones,queatacanelproblemadelmodeladodesdeunpuntodevistageomtrico, permitenobtenermapasmsprximosalavisinqueel serhumanotienedelmundoquelerodea.Estoesbenecioso,porunaparte,desdeelpunto de vista de la interpretacin humana del mapa. Por otro lado, tambin desdela perspectiva del razonamiento articial y de la extraccin de informacin por partede una mquina, la disponibilidad de mapas geomtricos parece ms atractiva.13Captulo 1. IntroduccinFigura 1.10: Modelo obtenido por alineacin de las medidas obtenidas con un escnerlser[95].Existeunaltimacategorademtodos, capacesderepresentarel entornosindepender de ninguna suposicin acerca de las caractersticas geomtricas del mismo.Cuando se dispone de un sensor lser capaz de tomar medidas precisas del entorno,losmtodosdescan-matching buscanlamaneradealinearentres dosmedidasconsecutivas, de manera que la discrepancia obtenida entre ambas sirva para corregirla posicin del robot [121,129]. Posteriormente estas medidas brutas son almacenadasen el mapa, de manera que se consiguen representaciones de muy alta resolucin.Sin embargo, estos modelos que a la vista del ojo humano adquieren pleno signi-cado,paraunamquinaanrequierendeunprocesamientoposteriorquepermitaobtenercaractersticasmscompactascomoplanos[95]. As, paraquelosmode-losobtenidospermitansumximoaprovechamientoyutilidadprcticaenlaboresdenavegacinyconocimientodel entorno, siempreterminamosllegandoal mod-eladogeomtricocomomaneramssencilladerepresentarel mundoentrminosmatemticos, y de un modo compacto.Enestatesissepretendeabordarel problemadelarepresentacingeomtricadeentornosdeinterior,enloscualeslosmodelosgeomtricosactuales,basadosenprimitivas sencillas como puntos o segmentos, pierden su validez.1.2. TemaeImportanciadelaTesisComo ya se ha comentado, esta tesis se enmarca dentro de los proyectos Robint yRobonauta, cuyos objetivos a grandes rasgos persiguen dotar de mayor autonomae inteligencia a un robot autnomo, en su funcin principal de servir de gua en ferias,museos y exposiciones. Uno de los participantes en el proyecto Robint era la CiudaddelasArtesylasCienciasdeValencia18, ungrancomplejodecultural yldicodiseado por los arquitectos Santiago Calatrava y Flix Candela. Fue inaugurado en1998 y est formado por cinco espacios diferenciados:18http://www.cac.es141.2. Tema e Importancia de la TesisLHemisfricMuseo de las Ciencias Prncipe FelipeLUmbracleLOceanogrcPalau de les Arts Reina SofaEl Museo de las Ciencias Prncipe Felipe, inaugurado el 13 de noviembre de 2000,esunediciodeenormesproporcionesquelepermitenalbergardistintostiposdeactividades simultneamente. Se trata de un museo predominantemente interactivo,de estilo abierto y participativo. Obra del arquitecto valenciano Santiago Calatrava,esnicoenel mundoporlageometradel edicio, suestructura, ylosmaterialesque lo conforman. Algunos datos tcnicos sobre el museo:42.000m2construidos, deloscuales26.000m2sonexpositivos, distribuidosen tres plantas. Es el ms grande de Espaa en supercie total.En unos 7.000m2alberga la mayor exposicin acerca del genoma humano.Mide 220 metros de largo, 80 metros de ancho y 55 metros de altura.Lo primero que llama la atencin al observar el interior del museo, es la prcticaausencia de paredes planas (Fig. 1.11). Las distintas zonas se encuentran distribuidasalolargodetodoel recinto, separadasmediantepanelescurvilneosdelongitudvariable. Adems se da la circunstancia de que estas formas caprichosas no puedenseraproximadasmedianteprimitivasgeomtricassencillas. Anenel casodequelofueran, seranecesarioconcatenardiferentestramosdetalesprimitivas, conlaconsiguiente necesidad de determinar con precisin sus puntos de unin.Estenoesel nicoejemplodeediciosintegradosporgeometrascurvasquepodemos encontrar enel mundo. El diseodenuevos museos, estaciones defer-rocarril, ediciosdeocinas, universidades. . . poneapruebalaimaginacindelosarquitectos,quecadavezcuentanconmediosmssosticadosparahacerrealidadsus ideas. En la gura 1.12 se muestran algunos ejemplos.Ningunodelosmtodosdemodeladogeomtricoexistentessoncapacesdeen-frentarseconestetipodegeometras. Enestatesis semuestracmoes posibleconstruir mapas de estas caractersticas, utilizando un punto de vista geomtrico enel proceso de construccin del mapa. Para ello se explotar la potencia y versatilidadde las curvas spline, de amplia aplicacin en el mundo de diseo grco asistido porcomputador, yenaquellassituacionesdondeesnecesarioaproximarconjuntosdedatos contaminados por ruido.15Captulo 1. IntroduccinFigura1.11:MuseodelasCienciasPrncipeFelipe (Valencia).161.3. Objetivos de la Tesis(a) (b) (c)(d) (e)Figura1.12: Algunosejemplosdeediciosconparedescurvas.(a)ExposicinCVI-DA19. (b) MuseoGuggenheimdeNuevaYork20. (c) EstacindeKyoto. (d) MuseoOceanogrcoAlemn(Stralsund).(e)InteriordelSouthDevonCollege21.1.3. ObjetivosdelaTesisEneste apartadosedescribenlospropsitosdelatesis,basadosenlasmotiva-cionesynecesidadesanteriormenteexpuestas, indicandolaoriginalidadyaporta-ciones innovadoras que se derivan de la misma.El objetivofundamental deestatesises extender los lmites actuales delSLAMgeomtrico,desarrollandoherramientasquepermitanlaconstruc-cindemapasdegeometrasdecrecientecomplejidad.Comoyasehaco-mentado,unaalternativaparalaconstruccindemapasconsisteenextraercarac-tersticas fcilmente identicables del entorno, tales como balizas colocadas previa-mente, esquinas, paredes planas o segmentos rectilneos de los elementos decorativos,funcionales, o arquitectnicos, y establecer una parametrizacin que permita su rep-resentacinmatemticaenunmapa. Estaformaderepresentacingeomtricaesdeespecialidadutilidadalahoradeestablecerrelacionesentreloselementosqueconforman el entorno del robot.Elobjetivoltimoyfundamentaldelapresentetesispersiguemejorarsustan-cialmentelosactualesmtodosdelocalizacinymodeladosimultneosalldondese encuentran lasfronterasactualesdelateoraydelatcnica:1. Mejoradelosmtodosderepresentacinactualesmediantelaade-cuada utilizacin de curvas spline para representar las caractersticasgeomtricas delos elementos queconformanel entornodel robot.As, se pretende ampliar el mbitode aplicacinde tcnicas existentes deSLAM geomtrico en los siguientes trminos:Los elementos geomtricos del entorno no necesariamente han de ser pare-des planas u otras primitivas geomtricas sencillas. Se pretende explotar17Captulo 1. Introduccinas la versatilidad y potencia de los splines a la hora de representar formasarbitrariamente complejas.Loselementosdel entornononecesariamentehandeseguirunpatrngeomtricodeterminadoaser identicado. Mediantelaadecuadaseg-mentacinypreprocesadodelas medidas suministradas por el sensorseidenticarnlosdiferenteselementossusceptiblesdeseraproximadosmediante curvas spline.Ser necesario desarrollar las ecuaciones necesarias para conseguir que lateora e implementacindelas curvas splineencajeenunmarco de tra-bajo como el del SLAM-EKF. En concreto, ser imprescindible (i) denirmetodologas parasegmentacinyextraccindecaractersticas delasmedidassuministradasporunsensorlser,(ii)deniralgnmtododeaproximacin o ajuste de los datos obtenidos mediante curvas spline, (iii)establecer lamorfologadelosJacobianosinvolucradosenel ltrodelalgoritmodeSLAM, (iv)sintetizarlasecuacionesdel modelodeobser-vacinparaunrobotquesedesplazaenunmapamodeladomediantesplines.2. Mejoradelosmtodosdeasociacindedatosactualesexplotandolagananciadeinformacinquerepresentaladescripcinparamtricadegeometrasarbitrarias. Parece razonable que, una vez disponible un ma-pa modelado mediante entidades matemticas en forma de curvas paramtric-as, sea posible utilizar informacin como pendientes, curvaturas, dimensiones,orientaciones relativas, puntos de inexin. . . con objeto de mejorar y robuste-cer metodologas de asociacin de datos existentes, o desarrollar otras nuevas.Sepretendeas enriquecerlainformacindisponibleenel mapaconstruido,asunto que no ha sido tratado con la adecuada atencin en la literatura exis-tente.3. Estudiodealternativasdeconstruccindemapasdegrandesdimen-siones, demaneraqueel costecomputacional del algoritmopermi-tasuutilizacinentiemporeal. Paraelloseconsideranespecialmenteadecuadaslastcnicasbasadasensubmapas, decrecientepopularidadenlaliteratura y en la prctica. La ventaja fundamental de estos mtodos es la posi-bilidad de emplear cualquier algoritmo de SLAM disponible en la construccinde los mapas locales, mientras que el ajuste relativo de los diferentes submapasse realiza mediante tcnicas de optimizacin bien conocidas y estudiadas. A es-to se aadira la potencial ventaja que supondra la utilizacin de curvas splineen la asociacin de datos, que permitira una ms robusta deteccin de cierresde trayectoria comparando entre s los diferentes mapas locales construidos.1.4. EstructuradelaTesisLapresentetesis constade6captulos, unapndiceybibliografa. Conesteprimercaptulosehaqueridotransmitiral lectorlamotivacinquehallevadoa181.4. Estructura de la Tesisemprender esta tesis, y mostrar el marco de trabajo en el que se encuadra su desar-rollo. Desde la bsqueda histrica por parte del hombre de formas de vida articialesque le entretuvieran primero, para ms tarde servirle de ecaz ayuda, hasta los ac-tuales retos que pretenden dotar de mayor autonoma a los modernos robots mviles,hacindoles tiles en tareas cada vez ms complejas, se ha visto cmo la obtencinde detallados modelos de los entornos es un objetivo ineludible de la robtica actual.Los dos siguientes captulos tienen un carcter introductorio, y con ellos se pre-tendeguiaral lectorenlaproblemticaqueabordalatesis, as comomostrarlosfundamentos que ms tarde sern de utilidad para obtener las soluciones que con ellase proponen. Los tres ltimos captulos constituyen el ncleo de la tesis, recogiendolas principales contribuciones y resultados experimentales.En el captulo 2 se realiza un repaso del actual estado del arte en el campo dela localizacin y modelado simultneos. Se muestran las principales estrategiasempleadas para modelar entornos explorados mediante robots mviles, de en-trelasquedestacanaquellasbasadasentcnicasprobabilsticas.Seconsiguede este modo dar cabida y modelar en la medida de lo posible, no slo el pro-pioentorno,sinotambinlasincertidumbresyerrorespresentesencualquiermedidaadquiridaporlossensoresdisponiblesadadehoy. Sehaceespecialhincapi en las tres fronteras detectadas en el desarrollo de la tcnica: el costecomputacional de los algoritmos empleados, el problema del modelado ecienteydetalladodel entorno, ylosproblemasqueplantealaasociacindedatos,todos ellos abordados en esta tesis.Enelcaptulo3sepresentaunaintroduccinalaherramientademodeladoescogidaenestetrabajo: las curvas spliney, ms concretamente, surepre-sentacinenformadecombinacinlineal deuntipoespecial defuncionesbsicas. Se mostrar el origen histrico de esta herramienta, comenzando en laindustrianavieraparaterminarenloscomplejosalgoritmosmatemticosdelosmodernosprogramasdeCAD/CAM.Sejusticarqueestaherramienta,queactualmentesirveparamodelarcomplejasestructurasarquitectnicasyescultricas, seaempleadaenel procesoinversodemodelarlarealidadfsi-caquenos rodea. Aqu seintroducenlos fundamentes matemticos delascurvasB-spline, susprincipalespropiedades, ylamaneradeaproximar ge-ometras detectadas por sensores tan populares en la robtica mvil como sonlos telmetros lser.Elcaptulo4constituyeelcaptulocentraldeestatesis.Enlsemuestralamanera de procesar la informacin proporcionada por los sensores de a bordodel robot para:Extraer informacinsobreel entornocircundanteenformadeobjetosindependientes.Modelar cada uno de estos objetos mediante una curva paramtrica.Construir incrementalmente mapas de entornos complejos empleando es-tas curvas como herramienta de modelado.19Captulo 1. IntroduccinAqu se recogen los principales algoritmos matemticos que permiten fusionarlasolucindel modeladode entornos basadaenlautilizacinde unltroextendidodeKalman,conlateoraycomplejidad,perotambinexibilidady potencia, que signica el uso de curvas spline el proceso de construccin delmapa.El captulo 5 presenta una solucin para reducir el coste computacional de laconstruccindemapasdeentornosdegrandesdimensiones.Paraelloseem-plea una tcnica popular, que reduce el problema a la construccin de unidadesdetamaoreducido, quesecombinanparaobtenerlarepresentacinglobaldel entorno. Sinembargo, aqu semuestraunodelosbeneciosdelarepre-sentacinparamtricadegeometrascomplejas: lainterpretacingeomtricadelasestructurascontenidasenosmapas. As, lascurvassplineserevelanno solo como herramienta ecaz y eciente de modelados, sino como una rep-resentacindelaqueesposibleextraerinformacinsinmsqueanalizarlaforma de los objetos representados.El captulo 6 recoge los resultados experimentales que demuestran, sustentan ymuestran la aplicacin prctica de todos los procedimientos y algoritmos pre-sentados en los captulos anteriores. Los resultados incluyen tanto experimen-toscondatossimulados,comoexperimentoscondatosextradosdeentornosreales, conplataformasdisponiblesenel GrupodeControl InteligentedelaUPM, o por otros grupos investigadores.Finalmente, enel captulo7seresumenlasprincipalesaportacionesdeestatesis, ylasconclusionesquesepuedenextraerdeellas, as comoseindicanalgunas lneas de futuros desarrollos.El anexonal delatesisrecogealgunosdesarrollosquesontilesparatenderalgunos aspectos de la tesis, como el mtodo de Newton-Raphson o las ecuaciones in-volucradas en el marco de estimacin que proporciona el ltro extendido de Kalman,junto con algn ejemplo de aplicacin.20Captulo2SLAM-EKF:EstadodelArte2.1. IntroduccinEl problemadelaLocalizacinyModeladoSimultneos(SimultaneousLocali-sationandMapping, SLAM), investigalosproblemasqueplantealaconstruccindemodelosmatemticos, geomtricosolgicosdeentornosfsicos, empleandoco-moherramientaunrobotmvil enocasionesvariosdeellosyel conjuntodesensores y actuadores que lo conforman. Dicho de otra manera, el SLAM busca re-solver los problemas que plantea el colocar un robot mvil en un entorno y posicindesconocidos, yquel mismoseacapazdeconstruirincrementalmenteunmapaconsistente del entorno al tiempo que utiliza dicho mapa para determinar su propialocalizacin. La solucin de dicho problema, objetivo insoslayable si se desea dispon-er de robots mviles verdaderamente autnomos, ha sido objeto de estudio por partede la comunidad cientca durante los ltimos 20 aos.El ruidopresenteenlossistemassensoriales, losinevitableserroresyaproxi-maciones cometidos en los modelos empleados, y la dicultad representativa de losentornos a medida que stos aumentan en complejidad, hacen que la tarea de resolverel mencionado problema sea ardua. Tal complejidad tiene una doble vertiente:Desdeunpuntodevistaconceptualseimponelanecesidadderazonarenunmundoavecesconfuso, enocasionesdinmicoycambiante, aprehendidomediantesensores quedistanmuchodeser perfectos. Enestas condicionessebuscalamaneradeobtenerymanipulardatosacercadelentorno,extraeraquel conocimiento que sea sustancial para la tarea de su representacin, e inte-grar la informacin as obtenida del modo ms conveniente. Muchas preguntassurgenenestenivel decomplejidad: Ques el entorno?Qugeometrascabeesperarencontrarenl?Existenobjetosmviles?Conquprecisinesnecesariorepresentarlo?Qunivel deconocimientopermitirobtenerelmapagenerado?...La otra vertiente de la complejidad del problema tiene que ver con el aspectocomputacionaldelassolucionesplanteadasal problemadel SLAM, yestindisolublemente ligada a la anterior. El modo en que el robot perciba su en-21Captulo 2. SLAM-EKF: Estado del Artetorno,lacantidaddeinformacindisponibleascomolastcnicasempleadasen su procesamiento, interpretacin y combinacin, determinarn los recursoscomputacionalesnecesariosparalaconstruccindelmapa.Estosrecursosnoson ilimitados; menos an si el objetivo es ceirse a los disponibles a bordo dela mquina. Aqu los interrogantes tienen que ver con la idoneidad de los algo-ritmosutilizadosylaposibilidaddeobtenersolucionescuyaimplementacinsea posible en tiempo real.As pues, en la base de cualquier solucin al problema del SLAM nos encontramossiempreconlanecesidaddetrabajarconcantidadesprogresivamentecrecientesdeinformacincontaminadaenmayoromenormedidaporruido, ymanipuladamediante modelos que, la mayora de las veces, no son sino meras aproximaciones alarealidad.Noesdeextraar,porlotanto,quelassolucionesmsexitosashastaelmomentohayanestadobasadasenlautilizacindetcnicasprobabilsticas.Da-doqueesimposibleobtenermedicionesdel entornoydel propioestadodel robotconprecisinarbitrariamente pequeaycertidumbre ilimitada,porqunotratardeemplearaquellastcnicasyalgoritmosmejorpreparadosparalidiarconlain-certidumbre?Elpropiorobotysuestadonosonyasinounconjuntodevariablesestocsticas cuyo valor se pretende estimar con la mayor precisin posible.Los trabajos de Smith y Cheeseman [181] y Durrant-Whyte [64] establecieron lasbases estadsticas para describir relaciones espaciales entre los diferentes elementosdel entorno y manipular las incertidumbres geomtricas asociadas a sus respectivasposiciones. Poco despus, el artculo de Smith, Self y Cheeseman [179] mostr cmoamedidaqueunrobotmvil sedesplazaporunentornodesconocido, realizandoobservaciones de objetos relativas a su propio sistema de referencia, las estimacionesde las posiciones de dichos objetos quedan necesariamente correladas. Esto se debealapartedel errorcomnatodaslasmedidasquetienesuorigenenlapropiaincertidumbre de la estimacin de la posicin del robot.Las implicaciones de este hecho son claras; cualquier solucin completa y consis-tente al problema de localizacin y modelado simultneos requiere de un vector deestado compuesto tanto por la pose1del vehculo como por cada uno de los elemen-tos presentes en el mapa. La necesidad de actualizar tal vector de estado (del ordendel nmerodeelementoscontenidosenel mapa)amedidaqueserealizanuevasobservaciones,hacequeelcostecomputacionaldelosalgoritmosempleadoscrezcacuadrticamente con el tamao del mapa.A pesar de que inicialmente la mayora de la investigacin se centr en aligerarlacargacomputacional delosalgoritmos, prontosedemostrqueel problemadelocalizacin y modelado, formulado como un nico problema de estimacin, era con-vergente [61]. Esto es, la estimacin del mapa, lejos de presentar un comportamientoerrtico en el estadio permanente, tenda a converger asintticamente. Una vez pre-sentadalaestructuradelproblema,suspropiedadesdeconvergenciayacuarseelacrnimoSLAM, unaplyadedegruposinvestigadoresdetodoel mundocentr1Enrobticamvil, sehablageneralmentedepose parareferirsealaposicinyorientacindelrobotconjuntamente,valoresquedeterminancompletamentelasituacindelamquinaenelespaciode23dimensiones.222.2. SLAM con Tcnicas Probabilsticassus esfuerzos en participar en una carrera por alcanzar lo que es considerado el SantoGrialdelarobtica mvil [41, 42, 116, 209].Los trabajos ms recientes se centran en resolver los principales caballos de batal-laconlosqueanseencuentralosalgoritmosexistentes: el costecomputacional,la representacin de entornos de complejidad creciente, y el modo de conseguir unacorrecta asociacin de datos. En las siguientes secciones se enumeran algunas de lassoluciones propuestas hasta la actualidad en cada uno de los tres frentes menciona-dos.2.2. SLAMconTcnicasProbabilsticasLas soluciones que mejores resultados hanobtenidoalahorade abordar elproblema del SLAM son aquellas basadas en tcnicas probabilsticas. Consiguen ashacer frenteatodas las fuentes deincertidumbreinvolucradas enel proceso, yacomentadasanteriormente. Estetipodealgoritmostienensubaseenel teoremadeBayes, querelacionaentres lasprobabilidadesmarginal ycondicional dedosvariables aleatorias.Veremos primerounaintroduccinalaformulacindel SLAMbasadaenelteorema de Bayes, para ms tarde revisar brevemente algunas de las soluciones mspopulares que la utilizan.2.2.1. LaformulacinBayesianadelSLAMElprincipalobstculoalahorademodelarunentornodesconocido,utilizandounrobotmvilparasuexploracines,comosabemos,lainevitableincertidumbreque se deriva de la imperfeccin de los sensores y modelos empleados. Si los sensoresfueranperfectos, proporcionaranmedidas absolutamente precisas delos objetosdetectados, que podran ser insertados en un mapa en su posicin exacta respecto aun sistema de referencia ligado al robot. Del mismo modo, al desplazarse la mquina,una medida exacta del giro de sus ruedas o del avance de sus patas, combinadacon un modelo exacto de su movimiento, nos permitiran determinar exactamente laposicin del robot cuando este realizase una nueva medida. Podramos as construirincrementalmente un modelo perfecto del entorno.Desafortunadamentetantaperfeccinnoexisteenestemundo; oal menosnoenel mundoquenosofrecenuestroactual desarrollotecnolgico. Seimponeportantolanecesidaddeacomodarestasincertidumbresenlassolucionesobtenidas.Lamaneraevidentedehacerloesconsiderarquetantolaposicindelrobotcomoloselementosquemodelansuentornosonvariablesaleatorias. As, losalgoritmosexistentes modelan ambos de manera probabilstica, y utilizan mtodos de inferenciaparadeterminaraquellaconguracinqueesmsprobableteniendoencuentalasmedidas que se van obteniendo.El principiobsicoquesubyaceencualquiersolucinexitosadel SLAMeslaregla de Bayes. Para dos variables aleatorias,x yd, esta regla establece de manera23Captulo 2. SLAM-EKF: Estado del Artemuy compacta lo siguiente [189]:p (x|d) =p (d|x) p (x)p (d)(2.1)La anterior ecuacin constituye un mecanismo bsico de inferencia, cuya simpli-cidadnorestaunpicealapotenciadesusignicado.Supongamosquequeremosobtener informacin acerca de la variablex por ejemplo, el estado de un sistemacompuestoporunmapayunrobotbasndonosenlainformacincontenidaenotravariabledquebienpodraserunconjuntodemedidasadquiridasporunsensor. La anterior regla indica que este problema se puede resolver simplementemultiplicando dos trminos:El modelo generativo p (d|x), que expresa la probabilidad de obtener la medidad bajo la hiptesis expresada por el estadox, yel gradodeconanzaquedamosaquexseaprecisamenteel casoantesderecibir los datos,p (x).Es importante el hecho de que el denominador de la ecuacin (2.1) no depende dela variable que pretendemos estimar, x. Por esta razn p (d)1se suele escribir comounfactordenormalizacinenlaregladeBayes,generalmenteexpresadomediantela letra. Obtenemos as una expresin algo ms compacta para la famosa regla:p (x|d) = p(d|x)p(x) (2.2)El problema del mapeado de un entorno est sujeto a una variable adicional nocontemplada por la formulacin clsica del teorema de Bayes: el tiempo. Durante lalaborexploratoriadeunrobotmvil,losdatosseadquierensecuencialmenteeneltiempo.Tantolasmedidaspropioceptivas,alasquedenominaremosconlaletraulas cuales miden el desplazamiento del robot, como las medidas exteroceptivasobtenidasporlossensoresdisponiblesabordodelamquina, z, sonadquiridasalolargodetodoel proceso. Sinprdidadegeneralidadpodemosasumirqueestainformacin se recibe alternativamente segn la secuencia:z1, u1, z2, u2, . . . , zt, ut, . . . (2.3)donde los subndices expresan un instante temporal concreto. La variable u puede re-presentar desde la seal de control enviada a los actuadores de la mquina, hasta lasmedidas proporcionadas por los encders acoplados a las ruedas o articulacionesdel robot o las suministradas por sensores de navegacin inercial (IMUs) como acel-ermetros ogirscopos. Enel primer caso, serel modelodelamquinael quedetermineel desplazamientorealizado, mientrasqueenel segundoytercercasos242.2. SLAM con Tcnicas Probabilsticasserlapropiamedida, osuintegracinalolargodel tiempo, laqueproporcioneesta estimacin.La generalizacin temporal del teorema de Bayes, en la cual se fundamentan to-das las soluciones probabilsticas del SLAM, recibe el nombre de Filtro de Bayes. Setrata de un estimador recursivo que calcula la secuencia de distribuciones de proba-bilidad a posteriori(tras recibir los datos) de magnitudes que no pueden ser directa-mente observadas, en funcin de otras que s lo son. As, la formulacin genrica delltro de Bayes calcula la probabilidad del estado en un instante dado, xt, utilizandola siguiente ecuacin recursiva:p_xt|zt, ut_ = p (zt|xt)_p (xt|ut, xt1) p_xt1|zt1, ut1_dxt1(2.4)Enestecasoseutilizael superndice t paraindicar el conjuntodetodas lasmedidas acumuladas hasta ese preciso instante:zt= {z1, z2, . . . , zt} (2.5)ut= {u1, u2, . . . , ut} (2.6)Laanteriorecuacin(2.4)expresaunarelacinrecursiva,puestoquelaproba-bilidadp (xt|zt, ut)secalculaencadamomentohaciendousodelamismaproba-bilidadobtenidauninstantetemporalanterior, p (xt1|zt1, ut1).Deestamaneraseevitalanecesidaddemanteneralmacenadastodaslasmedidas{zi, i = 1, . . . , t}y{ui, i = 1, . . . , t} a lo largo del proceso que, segn la anterior expresin, se puedemantener indenidamente en el tiempo.En el problema de la localizacin y modelado simultneos, el estado del sistemaxt est compuesto en cada instante por la posicin del robot, a la que denominaremosst, y por las posiciones del conjunto de objetos incluidos en el mapa,mt.xt {st, mt} (2.7)Porlotanto, el ltrodeBayesadaptadoal problemaquenosocupasepuedeescribir como:p_st, mt|zt, ut_ =p(zt|st, mt)__p(st, mt|ut, st1, mt1)p_st1, mt1|zt1, ut1_dst1dmt1(2.8)Asumiendo que el mundo es esttico o, al menos, la parte de l que se pretendemodelarpodemosomitirelsubndicetemporalalreferirnosalmapa,(mtm).25Captulo 2. SLAM-EKF: Estado del ArtePor otra parte, si asumimos tambin que el movimiento del robot es independientedelmapa(algoperfectamentelgico),podemosescribirlasiguienteexpresinparael ltro de Bayes adaptado al problema del SLAM:p_st, m|zt, ut_ = p (zt|st, m)_p (st|ut, st1) p_st1, m|zt1, ut1_dst1(2.9)Estaexpresin,paraservirdeutilidadprctica,requierededoselementosfun-damentales.Se trata dedos modelosgenerativos quedependendelpropiorobot,yde la relacin perceptual que este establece con su entorno:El modelodepercepcinp (zt|st, m),quedescribeentrminosprobabils-ticoscmosegeneranlasmedidasztenfuncindelaposicindelrobotylaconguracin del mapa.El modelodemovimientop (st|ut, st1), que determina la probabilidad deque el robot llegue a la posicinstdesde otrast1, cuando se aplica la accinut(o, equivalentemente, cuandosemidaundesplazamientodadopor estavariable).Ahora bien, el mecanismo de inferencia propuesto por la ecuacin (2.9), si bien escierto que se adapta a nuestras necesidades desde el punto de vista lgico, presentael graveinconvenientedenoadmitir unasolucincerrada, oqueseafcilmentecalculable utilizando un computador. As pues, es preciso realizar simplicaciones osuposiciones que faciliten su uso prctico.La manera de establecer estas hiptesis adicionales a la hora de implementar elltro de Bayes es el rasgo que diferencia a los mltiples algoritmos de construccinde mapas, que a continuacin se describen brevemente.2.2.2. PrincipalesalgoritmosEl ltroextendidodeKalmanSe trata de una de las soluciones ms extendidas a la ecuacin (2.9), y tambinuna de las que mejores resultados ha proporcionado en la prctica. A esta categoradesoluciones, cuyofundamentoenrazaenlos trabajos introductorios realizadospor Randall Smith, MatthewSelf yPeter Cheesemananales deladcadade1980 [177, 178, 180, 181], se la conoce generalmente como SLAM-EKF.El punto de partida es la suposicin (no siempre prxima a la realidad) de que laprobabilidad del estadop (st, m|zt, ut) se puede modelar mediante una distribucinunimodal gaussiana multidimensional. As, dicha probabilidad puede ser completa-mentedescritautilizandonicamentesuvaloresperado(mediadeladistribucin)ysumatrizdevarianzas ycovarianzas (alaqueenlosucesivodenominaremos,simplemente, matriz de covarianzas):262.2. SLAM con Tcnicas Probabilsticasxt {st, m} x(t) (2.10)x(t) N ( x(t|t) , P(t|t)) (2.11)siendo la media de la distribucin y la matriz de covarianzas: x(t|t) = E [x(t)] (2.12)P(t|t) = E_(x(t) x(t|t)) (x(t) x(t|t))T_(2.13)Porsupropianaturaleza, el SLAM-EKFrequieredisponerdeunmapaenelcual lasentidadesquelocomponenseanfcilmenteparametrizables. Estoes, loselementos que componen el mapa deben poder ser descritos utilizando un conjuntode parmetros que encajen de forma sencilla en el vector de estado del sistema.Alavistadelashiptesisrealizadas,cabeenumerarlassiguientesdesventajasde esta clase de algoritmos:Lapremisadepartidadel algoritmo, quesuponeunadistribucingaussianaparael estadodel sistema, puedenocorresponderseconlarealidad. Enelmejordeloscasos,laslinealizacionesintroducidasenlosmodelosharnqueque las estimaciones de los momentos de esta distribucin (eucaciones (2.12) y(2.13)) degeneren a lo largo del tiempo no correspondindose con sus autnticosvalores.El puntoanterior indicaadems ungraveproblemadeconsistenciadel al-goritmo, quehacequeel nivel deconanzadelaestimacinobtenidanosecorresponda con el autntico error cometido. Esto origina que la exactitud delosresultadosobtenidosporelltroseanamenudoimpredecibles,observn-dose saltos bruscos en la estimacin sin causa aparente alguna. Este hecho hasido estudiado en profundidad en la literatura ms reciente [12, 44, 158].El coste computacional crece al cuadrado con el nmero de objetos contenidosen el mapa. Este hecho limita su aplicacin en tiempo real a mapas formadospor unos pocos cientos de objetos.Nosiempreessencillooinmediatoextraercaractersticasdel entornoasim-ilablesaunaclaseparticulardeobjeto. Enocasionesni siquieraesprecisoextraerinformacinquepuedadescribirseempleandoprimitivasgeomtricassimples como puntos, segmentos, arcos de circunferencia o planos (por ejemplo,en el interior de una mina).Es precisodisponerdeunmtodo deasociacindedatosrobusto quepermi-taemparejarlasobservacionesrealizadasconloselementoscontenidosenelmapa.Unaasociacindedatoserrneaprovocarcasicontotalseguridadladivergencia irrecuperable de la estimacin del ltro.27Captulo 2. SLAM-EKF: Estado del ArteApesardelosinconvenientesquesurgenal emplearestasolucin, setratadelamsextendidaenlaliteraturaypresentainteresantespropiedadesqueresultanmuy atractivas desde el punto de vista de los objetivos perseguidos en esta tesis:El hecho de describir el entorno a partir de entidades geomtricas descriptiblesde manera compacta, se corresponden ms con una visin antropomrca delmundo, querepresentaesteltimoatravsdel conceptodel objeto ysusrelaciones.Estas soluciones cuentan con una larga tradicin [60, 91, 203], lo cual hace quesuestructura,ventajaseinconvenientesseanbienconocidos.Histricamentese han planteado mltiples soluciones que intentan paliar algunos de los prob-lemas anteriormente mencionados, como veremos.Al mantenerselamatrizdecovarianzas del sistemacompleta, es capazdecerrar bucles exitosamente (con las limitaciones que suponen la inconsistenciadel algoritmo o el coste computacional de la actualizacin de la estimacin enmapas de grandes dimensiones).10 0 10 20 30 40105051015202530X(m)Y(m)Figura2.1:Mapade148objetospuntualesobtenidoconlasolucinEKFen[60].ExistenmltiplesimplementacionesdelasolucinSLAM-EKF.TalvezunadelasmspopulareseselmarcodetrabajoqueproponeelSPmap[43], quemodelael vector de estado teniendo en cuenta las simetras y empleando vectores de error.Consigueas unamayorrobustezeinmunidadanteel problemadelaparcialidadde la incertidumbre, que aparece cuandoel nmero de parmetros que es capaz deestimar el ltro, es inferior al de parmetros que denen cada objeto en su totalidad(por ejemplo, alahorade determinar noslolaposicinyorientacinde unapared, sino tambin sus lmites). Una excelente implementacin real de este mtodose puede encontrar en [155].282.2. SLAM con Tcnicas ProbabilsticasQuizlamayordesventajadel SLAMgeomtricobasadoenel EKFessude-pendencia en la existencia de geometras concretas en el entorno. As, cada mtodoexistenteescapazdetrabajarconobjetospuntualesocaractersticasmodelablesmediantesegmentos,comoeselcasodeparedesenentornosdeinterior[113, 156].Loshayqueinclusointentarrepresentarelentornoutilizandopolilneas[199].Sinembargo, noexisteenlaactualidadningnmtododerepresentacingeomtricaque tenga cabida universal en cualquiera de los mtodos de modelado existentes.Con esta tesis se pretender llenar este vaco, proporcionando mtodos de mode-ladomsgenerales,sinperderlaecaciayecienciaquesuponelarepresentacincompacta del entorno mediante caractersticas geomtricas.MapadeocupacindeceldillasEl algoritmodeocupacindeceldillas (OccupancyGridMapping) fueintro-ducidoporlostrabajosdeHansMoravec[131]yAlbertoElfes[66]amediadosdeladcadade1980. Sebasaendiscretizarel espacio, dividindoloenunidadesdetamaopredenido,queseclasicancomoocupadasovacasconundeterminadonivel de conanza o probabilidad.Estas soluciones parten de la hiptesis de que la posicin del robot es conocida.En la prctica, se necesita de algn mtodo de localizacin que estime la posicin delrobot en cada instante que, en este caso, no es considerada una variable estocstica.En la prctica,