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15 de mayo de 2007 23:29 Tesis de Edward Reyes edward

Tesis de Edward


Aqui no va nada


Esta tesis tuvo la fortuna de haber sido guiada por el Dr. Alfredo Raya, a

quien quiero expresar mi ms sincero agradecimiento, por todas las enseñan-

zas que me ha dado, su inagotable paciencia, pero sobre todo, su amistad.

Agradezco a mi familia, muy especialmente a mis padres y hermanos, a

todos mis amigos y compañeros, por su apoyo y cariño incondicionales, sin

cuya ayuda este proyecto y muchas otras cosas no hubieran sido posibles.

Gracias a Alejandro Ayala, Peter Hess, Gabriela Murgúıa, Manuel Tor-

res, Lúıs Quintanar, Lúıs Flores y Maria Anguiano por la ayuda brindada

y sus valiosos comentarios y sugerencias sobre este trabajo.

También quiero agradecer, a la facultad de ciencias, el Instituto de Cien-

cias Nucleares, a la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo y

al Espacio Común de Ecuación Superior por las facilidades y atenciones

prestadas para la elaboración del presente trabajo.

Y finalmente agradezco a todos aquellos que han ayudado directa o

indirectamente a que este trabajo pudiera realizarse, a quienes no menciono,

no por falta de memoria sino por falta de espacio.


vi El Factor de Llenado en el Efecto Hall Cuántico a Campo Cero


Prefacio

El Efecto Hall Cuántico (EHC) es uno de los fenómenos más destacados

en el campo de la materia condensada descubiertos en el siglo XX. Éste y la

superconductividad (SC) son las más claras manifestaciones de la mecánica

cuántica a niveles macroscópicos. Las observaciones básicas son la casi nula

disipación, al igual que en la SC y la cuantización de la conductancia Hall

en un dispositivo bidimensional, sometido a un intenso campo magnético

perpendicular al sistema y bajas temperaturas. El Efecto Hall Cuántico En-

tero (EHCE) fue descubierto en 1980 por K. von Klitzing, Dorda y Pepper

[1]. Ellos encontraron que el tensor de conductividad toma la forma

σ =

(0 −ν e2hν e

2

h 0

),

donde e es la carga del electrón, h la constante de Planck y ν es un en-

tero pequeño, llamado factor de llenado. Éste es el número que cuantiza

el fenómeno como función del número de electrones que participan. Por

esté descubrimiento, von Klitzing obtuvo el premio Nobel de F́ısica en 1985.

Experimentalmente, en un sistema que exhibe EHC podemos hacer una

medida muy precisa de la conductividad Hall, ya que aunque las mesetas

de la conductancia Hall se observan mejor entre menor sea la temperatura,

éstas ocurren bajo una gran variedad de condiciones experimentales y son

independientes del material utilizado, por lo que el EHC sirve para estable-

cer estándares de medida de resistencia. También se utiliza para obtener

un valor preciso de la constante de estructura fina, α = 2πe2/hc ≈ 1/137,una de las constantes adimensionales más importantes en la f́ısica, ya que

la velocidad de la luz tiene un valor bien definido.

En 1982, Tsui, Störmer y Gossard descubrieron que bajo ciertas condi-

ciones, ν puede tomar valores fraccionarios, ν = p/q [2], donde q es un entero

impar, descubrimiento llamado efecto Hall cuántico fraccionario (EHCF).

vii


viii El Factor de Llenado en el Efecto Hall Cuántico a Campo Cero

En 1983, Laughlin explicó el EHCF a través de la interacción de todos los

electrones del sistema. Störmer, Tsui y Laughlin recibieron el premio Nobel

de F́ısica en 1998.

En esta tesis, estudiamos las diferencias entre la f́ısica en sistemas (3+1)

dimensionales y sus contrapartes en (2+1) dimensiones, enfocándonos a des-

cribir el EHC. En el Caṕıtulo 1 de este trabajo, se hace una revisión de

las similitudes y diferencias entre el EHCE y el EHCF.

En los años 90’s, al reducir la temperatura a unas decenas de mili kelvin,

se encontró un nuevo tipo de EHC, en el cual el factor de llenado es ν = 1/2

y se ha sugerido que, bajo ciertas condiciones, puede persistir en ausencia

del campo magnético [3], por lo que es llamado EHC a campo cero. Este

fenómeno no puede ser explicado por medio del mecanismo que provoca

el EHCF, ya que éste necesariamente implica un denominador impar; y

mucho menos por el mecanismo que provoca el EHCE. Además de esto, en

el 2005 se descubrió, en un material llamado grafeno, el llamado EHC no

convencional [4], donde el factor de llenado es ν = 4(n+1/2), con n entero.

El factor 1/2, puede sugerir que existe una relación entre éste y el EHC a

campo cero [5].

Mientras que el EHCE y el EHCF están descritos en el marco de la

mecánica cuántica no relativista, en el grafeno, los participantes son elec-

trones “relativistas”, donde la velocidad de Fermi juega el papel de c [6].

Esto hace deseable entender lo que sucede en los sistemas que exhiben EHC

en el régimen relativista, para tratar de dar una explicación al EHC a cam-

po cero y al EHC no convencional. Por esta razón, el Caṕıtulo 2 esta

enfocado a estudiar el grupo de Lorentz, que es la estructura teórica donde

descansan las ideas de la relatividad especial de Einstein y el Caṕıtulo 3

a las ecuaciones que gobiernan la dinámica de part́ıculas relativistas, tanto

en (3+1) como en (2+1) dimensiones espaciotemporales. Aunque podŕıa es-

perarse que la f́ısica en ambos casos fuera igual, veremos que esto no sucede,

ya que en el plano aparecen fenómenos que no tienen otros equivalentes en

el espacio.

En el Caṕıtulo 4 construiremos el Lagrangiano general de la Elec-

trodinámica Cuántica (QED), siempre notando las diferencias entre sis-

temas en (3+1) y (2+1) dimensiones. Observando primeramente las dife-

rentes representaciones para las matrices de Dirac en el plano, las simetŕıas

del Lagrangiano general de la Electrodinámica Cuántica en (2+1) dimen-

siones (QED3), dan lugar a un término de masa para los electrones que

no es invariante bajo paridad e inversión temporal y que no tiene análo-

go en (3+1) dimensiones. Aśımismo, veremos la aparición del término de


Prefacio ix

Chern-Simons, que induce un término de masa invariante de norma para el

fotón, cuyo origen es completamente topológico. Finalmente, veremos el La-

grangiano general en QED3 en las diferentes representaciones que podemos

tener.

Considerando los mecanismos que producen el Efecto Hall Cuántico, uti-

lizamos la teoŕıa de respuesta lineal, concretamente la fórmula de Kubo, que

derivamos en el Caṕıtulo 5. Esta es una herramienta utilizada para encon-

trar el cambio de un observable bajo perturbaciones pequeñas. Utilizando

la fórmula de Kubo en términos del propagador de Dirac, en el Caṕıtulo

6 calculamos el factor de llenado ν para las diferentes representaciones de

las matrices de Dirac, sin tomar en cuenta el campo magnético externo en

el sistema. Esto, contrario a lo que podŕıa esperarse, nos da un factor de

llenado diferente de cero. Finalmente, en el Caṕıtulo 7, interpretamos este

resultado y presentamos nuestras conclusiones.

De la investigación conducida en esta tesis, se desprende el art́ıculo

“Massive Dirac fermions and the zero field quantum Hall effect”, por A.

Raya y E. Reyes, sometido a su publicación en Physical Review B.

México, D.F., Abril de 2007.

P. Fis. Edward Daniel Reyes Ramı́rez


x El Factor de Llenado en el Efecto Hall Cuántico a Campo Cero


Índice general

Prefacio vii

1. Efecto Hall y Efecto Hall Cuántico 1

1.1. Sistema Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Efecto Hall Cuántico Entero (EHCE) . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Niveles de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Densidad de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Efecto Hall Cuántico fraccionario (EHCF) . . . . . . . . . 13

2. Grupo de Lorentz 17

2.1. Grupo de Lorentz en (3+1) dimensiones . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Propiedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2. Subconjuntos del grupo de Lorentz . . . . . . . . 18

2.2. Rotaciones y Boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Generadores de Rotaciones y Boosts en (3+1) di-

mensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Grupo de Lorentz en (2+1) dimensiones . . . . . . . . . . 22

2.3.1. Generadores de Rotación y Boosts en (2+1) di-

mensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Ecuaciones de Onda Relativistas 25

3.1. Ecuación de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Ecuación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1. Ecuación de Dirac en (3+1) dimensiones . . . . . 26

3.2.2. Ecuación de Dirac en (2+1) Dimensiones . . . . . 29

3.2.3. Representación reducible y mo . . . . . . . . . . . 33

xi


xii El Factor de Llenado en el Efecto Hall Cuántico a Campo Cero

3.3. Propagadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. El propagador de Klein-Gordon . . . . . . . . . . 35

3.3.2. El propagador de Dirac en (3+1) dimensiones . . 36

3.3.3. El propagador de Dirac en (2+1) dimensiones . . 37

3.3.4. Representación reducible . . . . . . . . . . . . . . 38

4. El Lagrangiano de la Electrodinámica Cuántica (QED) 39

4.1. Lagrangiano de QED en (3+1) dimensiones . . . . . . . . 39

4.1.1. Lagrangiano de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.2. Lagrangiano de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.3. Lagrangiano de QED . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2. Lagrangiano de QED3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Lagrangiano de Dirac “Heredado” . . . . . . . . . 45

4.2.2. Lagrangiano de Dirac “Extendido” . . . . . . . . 46

4.2.3. Lagrangiano de Dirac “Reducible” . . . . . . . . . 47

4.2.4. Lagrangiano de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.5. Lagrangiano de Chern-Simons . . . . . . . . . . . 49

4.2.6. Lagrangiano(s) de QED3 . . . . . . . . . . . . . . 51

5. Fórmula de Kubo y el factor de llenado 53

5.1. Fórmula general de Kubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1. Imágenes en la mecánica cuántica . . . . . . . . . 53

5.1.2. Teoŕıa de la respuesta lineal . . . . . . . . . . . . 55

5.2. Factor de llenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6. El factor de llenado con la fórmula de Kubo 61

6.1. Representación irreducible heredada . . . . . . . . . . . . 61

6.1.1. Caso no masivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2. Representación irreducible extendida . . . . . . . . . . . . 64

6.3. Representación reducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7. Discusión y Conclusiones 71

Apéndice A Términos de Masa y Paridad 75

A.1. Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.2. Término de masa usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.3. Término mo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


Contenido xiii

Apéndice B Cálculo de las trazas de la fórmula de Kubo 77

B.1. Trazas en la representación irreducible . . . . . . . . . . . 77

B.2. Trazas en la representación reducible . . . . . . . . . . . . 79

Bibliograf́ıa 81


Caṕıtulo 1

Efecto Hall y Efecto Hall Cuántico

1.1. Sistema Hall

El efecto Hall, descubierto en 1879, ocurre cuando una corriente eléctri-

ca, con densidad de corriente jx asociada a un campo Ex y con portadores

de carga moviéndose en promedio a una velocidad ~v, es sometida a un cam-

po magnético perpendicular ~B = Bẑ como muestra la Figura 1.1. Esto

provoca que los portadores experimenten una fuerza de Lorentz

~FL = q ~E − q~v × ~B = qExx̂− q(Bvyx̂+Bvxŷ),

donde q es su carga, en unidades naturales (c = 1, ~ = 1, kB = 1), que serán

las usadas a lo largo de esta tesis. Si despreciamos el campo eléctrico, éstas

ecuaciones junto con la segunda ley de Newton nos dan las soluciones:

x(t) =vm

qBcos

(qB

m

)t+ x0,

y(t) =vm

qBsen

(qB

m

)t+ y0.

Aśı que tenemos part́ıculas moviéndose en ćırculos, donde el radio r =

vm/qB y la frecuencia ω = qB/m, se llaman radio de Larmor y frecuencia

de ciclotrón, respectivamente, y dependen del campo magnético, la veloci-

dad inicial y la carga y masa de la part́ıcula. Si tomamos en cuenta el campo

eléctrico, éste acelera las part́ıculas en una dirección, aśı que en lugar de

tener ćırculos, tendremos espirales desplazándose en la dirección del campo

eléctrico. Cuando consideramos el material sobre el cual está pasando la

corriente, observamos que los portadores serán desviados hacia su borde,

por la fuerza vxBz en la dirección y, por lo que hay una acumulación de

carga en un extremo de la muestra (Figura 1.2). Cuando el sistema llega a

1


2 El Factor de Llenado en el Efecto Hall Cuántico a Campo Cero

un estado estacionario, el campo eléctrico formado por esta acumulación de

carga será tal que equilibra a la fuerza producida por el campo magnético,

esto es, en equilibrio, la fuerza sobre los portadores en la dirección y será:

Fy = mÿ = −qBvx + qEH = 0,

por lo que el campo que se forma debido a la carga acumulada es EH = vxB.

Si consideramos a la densidad de corriente J = −nqv = I/A, donde n es ladensidad de portadores, I es la corriente y A es el área que atraviesa esta

corriente, entonces podemos escribir a este campo como

EH =VHw

= − 1nqJB = − IB

qnA,

por lo tanto, la densidad de portadores de carga es

n =IB

VHdq,

donde w y d son medidas del tama o de la muestra (Figura 1.1). VH se

llama voltaje Hall (un buen recuento histórico puede encontrarse en [7]), y

es el voltaje que produce este campo. Podemos observar que clásicamente

este voltaje vaŕıa linealmente con la corriente y el campo magnético. La

Figura 1.1 Dispositivo de efecto Hall.


Efecto Hall y Efecto Hall Cuántico 3

Figura 1.2 Acumulación de carga en un dispositivo Hall.

conductancia asociada a este voltaje, llamada conductancia Hall, está dada

por:

σH ≡ σxy =jxEy

= nevxvxB

=ne

B,

donde σxy es la componente xy del tensor de conductividad. En la década

de los 70’s, debido al progreso de la ciencia de materiales, nuevos semi-

conductores fueron desarrollados, en los cuales se pueden formar capas con

interfases en las que podemos tener un gas de electrones bidimensional. En

1980, utilizando estos materiales, von Klitzing descubrió que al aumentar

la intensidad del campo magnético y bajar la temperatura del sistema, la

conductividad de Hall exhibe mesetas como función del número de elec-

trones participando en el efecto. El tensor de conductividad se vuelve anti-

simétrico, con valor cero para sus componentes diagonales y ±νe2/h en lascomponentes fuera de la diagonal:

σ =

(0 −ν e2hν e

2

h 0

),

donde ν es un entero pequeño, llamado factor de llenado, que podemos

escribir como:

ν = −hσxye2

=hσxye2

. (1.1)

Además se presentan mesetas en la resistencia Hall en valores h/νe2,

ρ =

(0 hνe2

− hνe2 0

),

lo que ocurre a temperaturas bajo los 4K. Las mesetas se vuelven más

anchas y planas entre menor sea la temperatura y la resistencia longitudinal



cae a valores cercanos a cero. La Figura 1.3 muestra una gráfica t́ıpica de

la variación de la resistencia Hall y la resistencia longitudinal con el campo

magnético. En las zonas donde se forman las mesetas en la resistencia Hall,

la resistencia longitudinal cae a cero. En estos puntos, los elementos en la

Figura 1.3 Resistencia Hall y resistencia longitudinal como función del campomagnético a una temperatura constante en el EHCE.

diagonal del tensor de conductividad son nulos, por lo que el sistema no

exhibe disipasión, como en el caso de la superconductividad y superfluidez

y los elementos fuera de la diagonal están dados en términos de constantes

fundamentales y tienen magnitud cuantizada. El hecho de que la resistencia

tienda a cero en una dirección, naturalmente hace pensar en la relación que

pudiera tener el EHC con la SC. Aunque estos dos fenómenos comparten

ciertos aspectos, los mecanismos por los cuales aparecen son diferentes. En

la Tabla 1.1 podemos ver algunas de las similitudes y diferencias entre estos

dos fenómenos [8].

Si las imperfecciones del material o el campo magnético aumentan mu-

cho, la SC desaparece, mientras que el EHC permanece, pero el punto prin-

cipal es que los portadores de carga son compuestos diferentes, aśı que estos

dos fenómenos se deben a mecanismos diferentes.

Un sistema Hall que se encuentra a una baja temperatura pasa por tres

reǵımenes como función de la intensidad del campo magnético. Cuando ésta

es pequeña, el sistema se comporta como en el caso clásico. Si aumentamos

la intensidad del campo al orden de unos Teslas, observamos el régimen



Tabla 1.1 Similitudes y Diferencias entre SC y EHC.SUPERCONDUCTIVIDAD EFECTO HALL CUANTICO

Los portadores de carga Los portadores de carga son electronesson Pares de Cooper dentro de un campo magnético

Resistencia cero Resistencia cero en la dirección

longitudinal y planicies cuantizadasen la resistencia transversal

Persiste en un campo Se da en presencia de unmagnético pequeño que los campo magnético intenso y se

electrones excluyen mantiene en un rango de éste

Persiste en materiales con Cierta cantidad depocas imperfecciones imperfecciones en el material

ayuda a que se observe mejor

cuántico donde la resistencia Hall se cuantiza y la resistencia longitudinal

cae a cero. Entre estas dos etapas se encuentra una zona llamada régimen

de oscilaciones de Shubnikov-de Haas, donde la resistencia Hall aún vaŕıa

linealmente, como en el caso clásico, pero la resistencia longitudinal tiene

oscilaciones, como muestra la Figura 1.4.

Figura 1.4 Curva de los estados que aparecen en un dispositivo Hall.

Experimentalmente los electrones que participan en el EHC se restringen

a moverse en una capa delgada cuasi-plana, que tiene un grosor de entre



50 y 100 Å. El campo magnético que tiene que ser aplicado es del orden de

10 T, perpendicular al plano en el que están restringidos los electrones. A

lo lago de la muestra se aplica un voltaje para generar una corriente y a lo

ancho se mide el voltaje Hall del orden de 100 mV. El sistema se restringe

para que no haya flujo de corriente entre las terminales de voltaje Hall.

La enerǵıa para excitar el sistema a un nivel de enerǵıa más alto o nivel

de Landau (que corresponde a una órbita ciclotrónica mayor) es del orden

de 10 meV; la enerǵıa para excitar un subnivel electrónico más alto (un

estado excitado del electrón asociado con el movimiento paralelo al campo

magnético) es un poco mayor.

La capa cuasi-bidimensional donde tiene lugar el EHC es una capa de

inversión con una interfase semiconductora. Los más utilizados son [9]:

MOSFET (metal-oxide semiconductor field-effect transistor) de si-

licio: La capa de inversión se produce aplicando un puente de volta-

je (10-50 V) a través de una capa fina de SiO2 que se adjunta al

sustrato de silicio. El sistema actúa un tanto como un capacitor con

la capa de inversión funcionando como una de las láminas. La den-

sidad de portadores de carga en la capa vaŕıa cambiando el puente

de voltaje.

Heteroestructura GaAs-AsAlxGa1−xAs: Tiene densidad de porta-

dores de carga fija, por lo que para observar el EHC se vaŕıa el

campo magnético. El número nominal de electrones por cent́ımetro

cuadrado es del orden de 1011. Se le insertan impurezas al galio-

arsénico, que por lo general son átomos de silicio, para que actúen

como donadores de carga y la superficie del aluminio-galio-arsénico

los retiene en la superficie de contacto.

Entre más pequeña sea la resistencia longitudinal, las mediciones son más

precisas. Esto se logra cuando la masa efectiva del electrón es muy pequeña,

lo cual se puede lograr utilizando un imán más pequeño. También mejoran

las mediciones cuando la movilidad a campo cero de los electrones es muy

grande, del orden de 10,000 cm2/Vs. Para el EHCF se requieren movilidades

mayores.

Para entender la dinámica del EHC, necesitamos conocer la f́ısica de los

electrones, part́ıculas cargadas, en presencia de un campo magnético. Esto

lo haremos a continuación.



1.2. Efecto Hall Cuántico Entero (EHCE)

1.2.1. Niveles de Landau

Considerando electrones sin interacción entre ellos, moviéndose en el

plano xy sometidos a un campo magnético uniforme, perpendicular al plano,~B = Bẑ, el Hamiltoniano correspondiente tiene la forma:

H =1

2m

(~P − e ~A

)2, (1.2)

y considerando el potencial vectorial en la norma de Landau

~A = Bxŷ,

que no depende de y y por lo tanto tampoco el Hamiltoniano, por lo que

éste conmuta con el operador Py. Podemos escribir las soluciones como

eigenestados de Py con eigenvalor py:

Ψ(x, y) = φ(x)e(ikyy),

donde hemos puesto ky = −py/~. Utilizando esto, podemos rescribir elHamiltoniano como

H =1

2m

(P 2x + (py − eBx)2

).

Ya que py es sólo un número, podemos considerar el segundo término como

el potencial de oscilador armónico

H =P 2x2m

+1

2mω2

(x− py

eB

)2,

con

ω =eB

m.

Entonces, el Hamiltoniano es como el de un oscilador armónico centrado en

x = py/eB, cuyas soluciones son del tipo

Ψ(x, y) ∝ Hn(x+ kyl

2B

lB

)exp

(− (x+ kyl

2B)

2

2l2B

)exp(ikyy),

con n=0,1,2,..., lB =√

1/eB es llamada la longitud magnética y Hn son

los polinomios de Hermite [10]. Podemos observar que tenemos estados de-

generados, ya que las eigenenerǵıas

En = (n+ 1/2)ω, (1.3)

no dependen de py y por lo tanto hay muchas soluciones con diferentes pyque tienen las mismas enerǵıas. Estos niveles de enerǵıa son conocidos como



niveles de Landau [11]. La degeneración de los niveles es igual al número

total de valores de py para los cuales existen soluciones. La densidad de

estados es:

dN

dpy=Ly2π, (1.4)

donde Ly es el tamaño de la muestra en la dirección y. Ya que considera-

mos py/eB como el centro de oscilación, y puesto que queremos que éste se

encuentre dentro de la muestra, tenemos la siguiente restricción para py

0 < py < eBLx ,

de modo que integrando la ecuación (1.4) sobre estos ĺımites tenemos el

número de estados con la misma enerǵıa:

N =eBLyLx

2π.

La muestra tiene un número n de electrones libres por unidad de área. El

número de estos, entre el número de estados accesibles definen el factor

de llenado ν. Si el número de electrones libres llena completamente los

niveles de Landau, el sistema mostrará poca disipación. Experimentalmente

se observa que variando el campo magnético, esto sucede cuando

ν =2πn

eB= entero. (1.5)

Tomando en cuenta que, por el principio de exclusión de Pauli, cada estado

sólo puede ser ocupado por un electrón, esto se da cuando un nivel de

enerǵıa esta completamente lleno, con lo que tenemos el EHCE.

1.2.2. Densidad de estados

Para entender mejor este resultado, comparemos con el caso en que tene-

mos nuestro sistema de electrones bidimensional sin campo magnético. La

función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger para una part́ıcula

libre y la condición de periodicidad en una caja bidimensional de longitudes

Lx y Ly es una onda plana:

Ψ(x, y) =1√LxLy

e(ikxx+ikyy),

donde kx y ky son múltiplos enteros de 2π/Lx y 2π/Ly, respectivamente.

En el estado base, los electrones del sistema pueden ser representados como



puntos dentro de un ćırculo en el espacio k. La enerǵıa del borde del ćırculo

es la enerǵıa de Fermi

EF =k2F2m

, (1.6)

donde m es la masa efectiva del electrón y kF es la magnitud del vec-

tor de onda en el ćırculo de Fermi. El elemento de área del espacio k es

(2π/Lx)(2π/Ly). Aśı que si dividimos el área total del ćırculo de Fermi por

el elemento de área y multiplicamos por 2 (debido a la degeneración del

esṕın), obtenemos el número de electrones

N = 2πk2F

(2π/Lx)(2π/Ly)=Ak2F2π

donde A = LxLy es el área total del sistema. Ya que ns = N/A es la

concentración de electrones, obtenemos que kF =√

2πns, que si sustituimos

en (1.6), obtenemos:

EF =πnsm

.

Para obtener la distribución de enerǵıa o la densidad de estados, hay que

obtener la derivada de ns con respecto a E

D(E) =∂ns∂E

=m

π,

por lo que la densidad de estados es independiente de la enerǵıa dada y

tenemos una relación de dispersión parabólica E ∝ k2 como se observa enla Figura 1.5 .

Si ahora tomamos en cuenta el campo magnético normal al plano, la

densidad de estados, que sin éste teńıa un valor constante y era continuo

en las enerǵıas, colapsa a los niveles de Landau dados por las enerǵıas (1.3)

que se ven como una serie de funciones δ. Estas funciones aparecen sólo

en un sistema ideal, tomando en cuenta que es la enerǵıa promedio de los

electrones en el sistema. F́ısicamente, esperamos que esta función δ se vea

como una Gaussiana, tal como se muestra en la Figura 1.6.

Los ćırculos sucesivos en el espacio k, corresponden a valores sucesivos

de n, donde el área entre estos es

π∆(k2) = 2πk(∆k) = (2πm)∆E = 2πmω = 2πeB ,

que si dividimos por el elemento de área en el espacio k, encontramos que

NL, el número de electrones por nivel de Landau, es

NL = 22πeB

(2π/Lx)(2π/Ly)= 2

LxLyeB

2π,



Figura 1.5 Densidad de estados de un sistema bidimensional de electrones sin campomagnético. (a) La enerǵıa total es una constante mas la enerǵıa cinética, lo cual es unparaboloide. (b) densidad de estados correspondiente. (c) Los puntos en el ćırculo deFermi representan los electrones bidimensionales en el espacio k.

donde el factor 2 viene considerando que no hay separación entre los estados

debido al esṕın. Entonces el número de electrones en cada nivel de Landau

por unidad de área es

nL =eB

π.

Este es el factor de degeneración de los niveles de Landau. Podemos observar

que es independiente de los parámetros del semiconductor utilizado, como

la masa efectiva, aśı como del número cuántico n.

Si consideramos el esṕın de los electrones, es claro que el espectro de

enerǵıa se vuelve

En =

(n+

1

2

)ω ± 1

2gµBB, (1.7)

donde ±1/2 es debido a la proyección del esṕın del electrón a lo largo de ~B yµ = eB/2m es el magnéton de Bohr [7]. El número g es el factor efectivo de

Landé, el cual, en general, es un número pequeño, que depende del material

utilizado. Aśı que si tuviéramos un campo muy intenso, podŕıamos esperar

que cada nivel de Landau se separara en dos subniveles.

Ahora que sabemos la forma de los niveles de enerǵıa, es fácil explicar

el EHCE. La enerǵıa de Fermi EF es la enerǵıa del nivel más alto que



Figura 1.6 Densidad de estados de un sistema bidimensional de electrones en un campomagnético. (a) Enerǵıas accesibles. (b) Los niveles de Landau se ven como funciones δ.(c) Cada ćırculo de Landau tiene la misma cantidad de electrones.

llenan los electrones a temperatura cero sin campo magnético, por lo que

es una constante en el eje E. En cambio, el potencial qúımico es la ener-

ǵıa del nivel más alto que llenan los electrones a un temperatura y campo

magnético dados, aśı que es una función de estos dos parámetros. En la

Figura 1.7 podemos ver la densidad de estados como función de la enerǵıa,

o sea, la forma de los niveles de Landau. Cuando vamos aumentando el

campo magnético, la enerǵıa del sistema va aumentando. El voltaje Hall

es provocado por la acumulación de electrones en la pared de la muestra

y clásicamente la densidad de estados es continua, aśı que al aumentar el

campo magnético, el voltaje Hall aumenta linealmente ya que el número de

electrones aumenta linealmente. Pero en el caso cuántico, cuando tenemos

niveles de Landau, a una temperatura fija, si variamos el campo magnético,

iremos llenando un nivel de Landau. Cuando el nivel de Landau este com-

pletamente lleno, habrá una brecha de enerǵıa en la cual, aunque las enerǵıa

en el sistema va aumentando, no hay estados accesibles para ser ocupados

por más electrones. Aśı que al no haber un aumento de carga que parti-

cipa en el fenómeno, el voltaje Hall permanecerá constante en este rango.

Igualmente, en la dirección de la corriente, los electrones tienen una mis-

ma enerǵıa. Pero como tenemos un nivel cuántico completamente lleno, los

electrones no podrán saltar de su estado a otro superior o inferior ya que



Figura 1.7 Densidad de estados y el factor de llenado.

todos están ocupados. Aśı que los electrones se comportan como si estu-

vieran ordenados y al estar sometidos a un campo eléctrico externo, que

provocaba la corriente originalmente, estos viajaran sin exhibir disipación.

Por ejemplo, si regresamos a la Figura 1.7(a), tenemos un factor de

llenado ν = 2 cuando dos niveles de Landau n = 0 y n = 1 están comple-

tamente llenos. La Figura 1.7(b) muestra dos niveles de Landau llenos, y

la mitad de otro, por lo que está en un rango donde no se observa EHC.

La Figura 1.7(c) muestra el sistema poco después de que la planicie Hall

desaparece, cuando de estar un nivel de Landau lleno, los electrones que

se incorporan saltan al siguiente nivel. Las Figuras 1.7(d), 1.7(e) y 1.7(f)

muestran situaciones similares, pero con separación de enerǵıa diferente, lo

cual podŕıa pasar al tener una temperatura diferente o un material distin-

to, pero los valores de ν a los cuales se observa el EHC son los mismos, ya

que cada nivel de Landau está separado del siguiente por la enerǵıa (1.3).

También observamos cómo se separaŕıan estos en dos subniveles debido al

esṕın. La separación viene dada por (1.7). Tanto ésta como la separación

de los niveles de Landau son proporcionales al campo magnético, ya que ω

es proporcional a B, pero el segundo término en la ecuación (1.7) es muy

pequeño en comparación con el primero. Aśı que experimentalmente no se

llega a medir la separación debida al esṕın, por lo que puede ser omitida.



Figura 1.8 Efecto Hall Cuántico Fraccionario (EHCF). Al aumentar el campo magnticoy disminuir la temperatura, ν puede tomar valores fraccionarios.

1.3. Efecto Hall Cuántico fraccionario (EHCF)

Todo lo anterior explica el EHCE, pero no el EHCF donde el factor de

llenado es ν = p/q con q impar, como se observa en la Figura 1.8. Para

explicar este fenómeno, se tiene que observar que los niveles de Landau de

la sección anterior fueron encontrados tomando en cuenta el Hamiltoniano

(1.2) de un electrón. Pero en un sistema Hall existen muchos electrones

que participan y además interactúan entre ellos por medio de la fuerza de

Coulomb. Por lo tanto el Hamiltoniano será

H =∑

j

{| − i∇j − e ~Aj |2 + V (zj)} +∑

j>k

e2

|zj − zk|. (1.8)

Para resolver este problema, en 1983 Laughlin [12] propuso una función de

onda de la forma

Ψ =

∏

j



y la conservación del momento angular implica que Σj



de Lorentz, que es el marco que nos permite estudiar fenómenos dentro de

la relatividad espacial.


Caṕıtulo 2

Grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz es la estructura teórica de la relatividad especial y es

necesaria para la construcción de las ecuaciones y Lagrangianos relativstas.

A continuación estudiaremos el grupo de Lorentz, tanto en (3+1) como en

(2+1) dimensiones, que es el espacio en el que aparece el EHC. Además

estudiamos las transformaciones continuas que hay dentro del grupo de

Lorentz: las rotaciones y los boosts.

2.1. Grupo de Lorentz en (3+1) dimensiones

En (3 + 1) dimensiones, sabemos que xµ = (t, ~x) , xµ = (t,−~x) y comoconsecuencia de una transformación de Lorentz tenemos la invariancia:

t2 − x2 − y2 − z2 = t′2 − x′2 − y′2 − z′2.Es importante señalar que el conjunto de estas transformaciones forman

un grupo y podemos definir a las transformaciones de Lorentz como todas

las transformaciones Λµν de xν

x′µ = Λµνxν

de tal forma que cumplan xµxµ = x′µx′µ, es decir, x

µxµ es invariante.

2.1.1. Propiedades Importantes

Algunas propiedades importantes de estas transformaciones se pueden

derivar de la siguiente manera:

x′µx′µ = gµνx′µx′

ν

= gµνΛµαx

αΛνβxβ

= gµνΛµαΛ

νβx

αxβ .

17



Por otro lado, la invariancia xµxµ = x′µx′µ implica

x′µx′µ = xµxµ = gαβx

αxβ .

Comparando estas últimas ecuaciones,

gαβ = ΛµαgµνΛ

νβ

= Λµα(gΛ)µβ

= (ΛT ) µα (gΛ)µβ

= (ΛT gΛ)αβ,

obteniendo

(ΛT )gΛ = g, (2.1)

la cual es una propiedad fundamental de las transformaciones de Lorentz.

Buscando su determinante, es trivial obtener

det(Λ) = ±1 . (2.2)

2.1.2. Subconjuntos del grupo de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz, por su estructura matemática, for-

man un grupo, llamado de Lorentz SO(3,1). Este grupo se denota por L y

es tal que preserva distancias. Los elementos de L pueden clasificarse en la

unión del grupo propio restringido ortocronos L↑+, el conjunto propio no or-

tocronos L↓+, el conjunto impropio ortocronos L↑− y el conjunto impropio no

ortocronos L↓−, cada uno de los cuales tiene las siguientes propiedades [19]:

L↑+ con Λ00 ≥ 1 y detΛ = 1.L↓+ con Λ00 ≤ −1 y detΛ = 1.L↑− con Λ00 ≥ 1 y detΛ = −1.L↓− con Λ00 ≤ −1 y detΛ = −1.

Es importante señalar que sólo el conjunto propio restringido ortocronos

L↑+ forma un grupo y, como veremos a continuación, contiene las transfor-

maciones continuas.

2.2. Rotaciones y Boosts

Dada la restricción que impone la ecuación (2.1), tenemos sólo seis pa-

rámetros independientes de las matrices Λ, aśı que tendremos seis matrices

linealmente independientes: las rotaciones alrededor de cada eje R1(θ1),


Grupo de Lorentz 19

R2(θ2), R3(θ3) y las transformaciones asociadas las velocidades relativas

respecto a cada uno de los ejes espaciales L1(v), L2(v), L3(v), conocidas

como boosts. Rotaciones y boosts pertenecen al grupo L↑+, y expĺıcitamente

encontramos que los boosts están representados por las matrices:

L1(v) =

γ −γv 0 0−γv γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

L2(v) =

γ 0 −γv 00 1 0 0

−γv 0 γ 00 0 0 1

,

L3(v) =

γ 0 0 −γv0 1 0 0

0 0 1 0

−γv 0 0 γ

,

donde

γ =(1 − v2

)− 12 ,

y las matrices de rotación como:

R1(θ1) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cosθ1 senθ10 0 −senθ1 cosθ1

,

R2(θ2) =

1 0 0 0

0 cosθ2 0 −senθ20 0 1 0

0 senθ2 0 cosθ2

,

R3(θ3) =

1 0 0 0

0 cosθ3 senθ3 0

0 −senθ3 cosθ3 00 0 0 1

.

Si ahora escribimos

γ = coshφ, , γv = senhφ ,



podemos escribir las matrices de boost de la siguiente manera:

L1(φ1) =

coshφ1 −senhφ1 0 0−senhφ1 coshφ1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

L2(φ2) =

coshφ2 0 −senhφ2 00 1 0 0

−senhφ2 0 coshφ2 00 0 0 1

,

L3(φ3) =

coshφ3 0 0 −senhφ30 1 0 0

0 0 1 0

−senhφ3 0 0 coshφ3

,

aśı que los boosts son rotaciones por ángulos imaginarios.

2.2.1. Generadores de Rotaciones y Boosts en (3+1) di-

mensiones

En tres dimensiones, tendremos tres rotaciones independientes, una para

cada eje. En general, la rotación se verá como:

R(~θ) = e−i~J·~θ ,

donde ~J es el generador de rotación en el espacio y ~θ consiste de tres pa-

rámetros θ1, θ2 y θ3. Si consideramos por ejemplo, una rotación alrededor

del eje z, podemos escribir

R3(~θ3) = e−iJ3θ3 .

Derivando parcialmente, tenemos

∂R3(θ3)

∂θ3= −iJ3e−iJ3θ3 .

Como J3 es independiente de θ3, podemos escoger un valor conveniente de

θ3 para evaluar a J3. Sea θ3 = 0, entonces

J3 = i∂R3(θ3)

∂θ3

θ3=0

.

Una representación matricial para este generador es,

J3 =

0 0 0 0

0 0 i 0

0 −i 0 00 0 0 0

,


Grupo de Lorentz 21

Análogamente obtenemos a J1:

J1 = i∂R1(θ1)

∂θ1

θ1=0

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 i

0 0 −i 0

,

que es el generador de rotación alrededor del eje x. Finalmente,

J2 = i∂R2(θ2)

∂θ2

θ2=0

=

0 0 0 0

0 0 0 −i0 0 0 0

0 i 0 0

,

es el generador de rotación alrededor del eje y. Para calcular ahora los

generadores de los boosts usamos la relación:

L(~φ) = e−i~K·~φ .

Mediante un razonamiento similar, obtenemos las representaciones paraK1,

K2 y K3 (generadores de boosts):

K1 = i∂L1(φ1)

∂φ1

φ1=0

=

0 −i 0 0−i 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0

,

es el generador de boost a lo largo del eje x. Ahora,

K2 = i∂L2(φ2)

∂φ2

φ2=0

=

0 0 −i 00 0 0 0

−i 0 0 00 0 0 0

,

es el generador de boost a lo largo del eje y. Finalmente,

K3 = i∂L3(φ3)

∂φ3

φ3=0

=

0 0 0 −i0 0 0 0

0 0 0 0

−i 0 0 0

es el generador de boost a lo largo del eje z. Es fácil verificar que los gene-

radores satisfacen el álgebra [19]:

[Ji, Jj ] = −i�ijkJk ,[Ji,Kj] = −i�ijkKk ,[Ki,Kj] = i�ijkJk , (2.3)



Notamos que el álgebra de los generadores de rotaciones es cerrada, pero

no la de boosts. Si definimos:

Mi =1

2(Ji + iKi), Ni =

1

2(Ji − iBi), i = 1, 2, 3.

entonces podemos unir las expresiones (2.3) en las siguientes:

[Mi,Mj ] = −i�ijkMk , [Ni, Nj ] = −i�ijkNk , (2.4)

que contienen toda el álgebra que involucra a las transformaciones del sub-

grupo de Lorentz L↑+ en (3+1) dimensiones. Podemos ver que cada una

de estas expresiones es una representación del grupo SU(2), aśı que hemos

obtenido que el grupo L↑+ es isomorfo a SU(2) ⊗ SU(2).Aparte de estas seis transformaciones continuas de Lorentz que

pertenecen a L↑+, existen transformación discretas que pertenecen a otros

conjuntos, que veremos adelante.

2.3. Grupo de Lorentz en (2+1) dimensiones

Si nos restringimos al plano xy, las transformaciones de Lorentz pueden

describirse con matrices de 3 × 3, ya que eliminamos una coordenada es-pacial. Nos damos cuenta de que sólo existen los boosts que involucran

direcciones x y y y además únicamente tenemos una rotación, la que es

alrededor del eje z. Por lo tanto, podemos hablar únicamente de L1(φ1),

L2(φ2) y R3(θ3) y los podemos representar de la siguiente manera:

L1(φ1) =

coshφ1 −senhφ1 0−senhφ1 coshφ1 0

0 0 1

,

L2(φ2) =

coshφ2 0 −senhφ2

0 1 0

−senhφ2 0 coshφ2

,

R3(θ3) =

1 0 0

0 cosθ3 senθ30 −cosθ3 cosθ3

.

Observamos que en el plano tenemos únicamente tres tipos de transfor-

maciones continuas dentro del grupo de Lorentz.


Grupo de Lorentz 23

2.3.1. Generadores de Rotación y Boosts en (2+1) dimen-

siones

Análogamente al caso de (3 + 1) dimensiones, obtenemos que el genera-

dor de rotación en (2 + 1) dimensiones está dado por

J3 = i∂R3(θ3)

∂θ3

θ3=0

=

0 0 0

0 0 i

0 −i 0

.

Ahora, para los boosts encontramos a

K1 = i∂L1(φ1)

∂φ1

φ1=0

=

0 −i 0−i 0 00 0 0

,

como el generador de boost a lo largo del eje x, y a

K2 = i∂L2(φ2)

∂φ2

φ2=0

=

0 0 −i0 0 0

−i 0 0

,

como el generador de boost a lo largo del eje y. Estos generadores satisfacen

[J3,Kj ] = −i�3jkKk , [Ki,Kj] = i�ij3J3 .

Si definimos:

M1 = iK1, M2 = −iK2, M3 = J3,

obtenemos que:

[Mi,Mj ] = i�ijkMk .

Esta expresión contiene toda el álgebra de las transformaciones del sub-

grupo de Lorentz L↑+ en (2+1) dimensiones, de donde podemos ver que éste

es isomorfo al grupo SU(2), a diferencia de (3+1) dimensiones, donde lo era

a SU(2)⊗SU(2).Habiendo sentado las bases para la descripción relativista en el plano,

nos enfocaremos en el siguiente caṕıtulo a resolver las ecuaciones de onda

relativistas, a saber, la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac.


Caṕıtulo 3

Ecuaciones de Onda Relativistas

Sabemos que una propiedad fundamental de las part́ıculas es su mo-

mento angular intŕınseco o esṕın. En (3+1) dimensiones, el esṕın de las

part́ıculas puede ser sólo entero o semientero. Las part́ıculas con esṕın en-

tero se llaman bosones porque obedecen la estad́ıstica de Bose-Einstein,

mientras las part́ıculas con esṕın semientero se llaman fermiones y obede-

cen a la estad́ıstica de Fermi-Dirac. En el campo de la mecánica cuántica

relativista, las part́ıculas con diferentes esṕınes, también obedecen difer-

entes ecuaciones de movimiento. Las part́ıculas con esṕın cero satisfacen la

ecuación de Klein-Gordon, las part́ıculas con esṕın 1, satisfacen las ecua-

ciones de Proca o Maxwell en el caso no masivo y las part́ıculas con esṕın 1/2

satisfacen la ecuación de Dirac. En este caṕıtulo estudiamos las ecuaciones

de Klein-Gordon y Dirac. Como los electrones, que son los conductores de

carga en el EHC, son fermiones, nos enfocamos a resolver la ecuación de

Dirac en el caso en que no hay un campo externo.

3.1. Ecuación de Klein-Gordon

Si partimos de la enerǵıa de una part́ıcula libre de masa m, tenemos

E =~p 2

2m, (3.1)

donde ~p es el momento de la part́ıcula, e identificamos la enerǵıa y el mo-

mento con los operadores

E → i ∂∂t

, ~p→ −i~∇ ,tenemos que la ecuación (3.1) da lugar a la ecuación de Schrödinger:

i∂ψ(~r, t)

∂t+

∇2ψ(~r, t)2m

= 0 . (3.2)

25



Si la relación (3.1) la remplazamos por la ecuación relativista E2 =

~p 2 +m2, e identificamos con los operadores correspondientes, tenemos:

−∂2φ(~r, t)

∂t2+ ∇2φ(~r, t) = m2φ(~r, t) .

Ésta es la ecuación de Klein-Gordon. Si ahora utilizamos

∂µ = (∂t,−∇) , ∂µ = (∂t,∇) ,de modo que el operador D’ Alambertiano toma la forma

∂µ∂µ =

∂2

∂t2−∇2 = �2 ,

la ecuación de Klein-Gordon se puede escribir covariantemente como:[�

2 +m2]φ(~r, t) = 0 .

Pero esta ecuación nos lleva a que los eigenvalores para la enerǵıa son:

E = ±√p2 +m2 ,

lo cual tiene un problema ya que existen soluciones con enerǵıa negativa, lo

cual implica densidades de probabilidad negativa, que puede ser interpre-

tada como densidad de probabilidad de antipartculas

Ante esta dificultad, Dirac buscó una nueva ecuación de onda relativista,

como veremos a continuación.

3.2. Ecuación de Dirac

3.2.1. Ecuación de Dirac en (3+1) dimensiones

En 1927, Dirac, tratando de encontrar una solución al problema de

las probabilidades negativas, propone una ecuación para la enerǵıa, que

sea lineal en las derivadas espaciotemporales o, equivalentemente, en las

componentes del cuadrimomento, de la forma (γλpλ−m) = 0. Multiplicadapor (βkpk +m), i.e.,

(βkpk +m)(γλpλ −m) = 0 , (3.3)

ésta debe satisfacer la relación relativista de enerǵıa-momento. Esta restric-

ción impone las siguientes condiciones para los β′s y γ′s:

βk = γk

γµγν + γνγµ = 0 µ 6= ν(γ0)2 = 1

(γ1)2 = (γ2)2 = (γ3)2 = −1 .


Ecuaciones de Onda Relativistas 27

En forma compacta

γµγν + γνγµ = 2gµν , (3.4)

donde gµν = diag (1,−1,−1,−1).La ecuación (3.4) no se puede satisfacer con números ordinarios, sino

con matrices. Es fácil probar que la representación matricial mı́nima que

satisface la expresión (3.4) para γ es 4× 4. Una manera de escribirlas es larepresentación de Dirac-Pauli:

γ0 =

(I 0

0 −I

), ~γ =

(0 ~σ

−~σ 0

),

donde ~σ son las matrices de Pauli. La ecuación de Dirac para una part́ıcula

libre es

(iγµ∂µ −m)ψ(x) = 0.Para resolverla, proponemos una solución del tipo:

ψ(x) = e−i(Et−~x·~p)u(p) . (3.5)

Entonces:

∂µψ(x) = −ipµψ(x) .Como la exponencial nunca es cero, la ecuación de Dirac se puede escribir

de la siguiente manera:

(γµpµ −m)u(p) = 0 .Ésta es la ecuación de Dirac en el espacio de momentos y u(p) se llama

espinor de Dirac. Ahora, si sustituimos γµpµ = γ0p0−~γ ·~p y simplificamos,

llegamos a la siguiente expresión:(E −m −~σ · ~p~σ · ~p −E −m

)(uA(p)

uB(p)

)= 0 ,

donde hemos descompuesto el espinor en sus componentes

u(p) ≡(uA(p)

uB(p)

).

Como resultado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(E −m)uA(p) − ~σ · ~p uB(p) = 0,~σ · ~p uA(p) − (E +m)uB(p) = 0, (3.6)

donde

~σ · ~p = σ1px + σ2py + σ3pz =(

pz px − ipypx + ipy −pz

).



El sistema tiene 4 soluciones linealmente independientes:

u(s) = N

(χ(s)

~σ·~pE+mχ

(s)

), E > 0 ,

u(s+2) = N

(−~σ·~p|E|+mχ

(s)

χ(s)

), E < 0 ,

con

s = 1, 2, χ(1) =

(1

0

), χ(2) =

(0

1

).

Expĺıcitamente, las soluciones son:

ψ1(x) =

1

0pz

E+mpx+ipyE+m

e−ip·x = u1(p)e

−ip·x ,

ψ2(x) =

0

1px−ipyE+m−pzE+m

e−ip·x = u2(p)e

−ip·x ,

ψ3(x) =

pzE−mpx+ipyE−m

1

0

e−ip·x = u3(p)e

−ip·x ,

ψ4(x) =

px−ipyE−m−pzE−m

0

1

e−ip·x = u4(p)e

−ip·x .

Si definimos:

v1(E, ~p) ≡ u4(−E,−~p) , v2(E, ~p) ≡ u3(−E,−~p) ,

es decir

v1(p) =

px−ipyE+m−pzE+m

0

1

, v2(p) =

pzE+mpx+ipyE+m

1

0

,



las cuatro soluciones de la ecuación de Dirac se pueden escribir como:

ψ1(x) = u1(p)e−ip·x ,

ψ2(x) = u2(p)e−ip·x ,

ψ3(x) = v2(p)eip·x ,

ψ4(x) = v1(p)eip·x , (3.7)

todas con enerǵıa positiva. Interpretamos estas soluciones de tal manera que

u1 y u2 corresponden al fermión (por ejemplo electrón) mientras que v1 y

v2 corresponden al anti-fermión (por ejemplo, positrón). Las dos soluciones

para cada caso representan a las dos direcciones que puede tener el esṕın

de la part́ıcula.

3.2.2. Ecuación de Dirac en (2+1) Dimensiones

La ecuación de Dirac en el plano, simplemente se obtiene de eliminar

la tercera componente espacial de la ecuación en (3+1) dimensiones. Si

hacemos esto, es fácil ver que en (2+1) dimensiones se necesitan únicamente

tres matrices γ. Además, para satisfacer la forma en que está factorizada

la ecuación de Dirac, nos basta utilizar matrices 2 × 2, aśı que podemosconstruir esta representación utilizando las matrices de Pauli. Si hacemos

esto, encontramos que existen dos representaciones inequivalentes de las

matrices γ [20]. Podemos escogerlas de las siguientes formas:

γ0 = σ3, γ1 = iσ1, γ

2 = iσ2 , (3.8)

γ0 = σ3, γ1 = iσ1, γ

2 = −iσ2 . (3.9)Es fácil ver que en (2+1) dimensiones:

P ≡ γ0γ1γ2 = ±iI ,por lo tanto, una de las matrices γ se puede escribir en términos de las

otras. Por ejemplo

γ2 = ±iγ0γ1 .Si dos matrices son equivalentes o tenemos dos representaciones equiva-

lentes matemáticamente, significa que, f́ısicamente, ambas tienen el mismo

contenido. Esto es, ambas matrices nos darán la misma información del sis-

tema, aśı que podemos usar cualquiera de las dos y obtendremos los mismos

resultados. Cuando las representaciones son matemáticamente inequivalen-

tes, no se puede obtener una a partir de transformaciones elementales de

la otra. F́ısicamente esto quiere decir que la información que nos dan es

diferente. Ahora debemos estudiar las dos representaciones matriciales y

cada una nos dará diferente información del sistema.



3.2.2.1. Primera representación irreducible

Partiendo de la ecuación de Dirac, en esta sección trabajamos con la

representación dada en (3.8). Como antes, proponemos una solución de la

forma (3.5) y resolvemos la ecuación en el espacio de momentos. Escribiendo

u(p) =

(uAuB

), tenemos

[(E 0

0 −E

)−(

0 ipx + pyipx − py 0

)−(m 0

0 m

)](uAuB

)= 0 ,

de lo cual resulta el sistema de ecuaciones

(E −m)uA − (py + ipx)uB = 0 ,(py − ipx)uA − (E +m)uB = 0 .

Si escogemos uA = 1, obtenemos

uB =py − ipxE +m

.

Ahora, si escogemos uB = 1, obtenemos

uA =py + ipxE −m ,

por lo que la solución propuesta toma la forma

ψ1(x) =

1

py−ipxE+m

e−ip·x ≡ u1(p) e−ip·x ,

ψ2(x) =

py+ipxE−m

1

e−ip·x ≡ u′1(p) e−ip·x .

Para interpretar la solución para enerǵıa negativa, notamos como antes que

u′1(−E,−~p) también satisface la ecuación de Dirac:

(γµpµ +m)u′1(−E,−~p) = 0 .

Interpretando la solución u′1(p) para enerǵıa negativa como la antipart́ıcula

con enerǵıa positiva, definimos para la segunda solución:

v1(p) ≡ u′1(−E,−~p) =

(py+ipx)E+m

1

.



3.2.2.2. Segunda representación irreducible

Si trabajamos ahora con la representación dada en (3.9), es fácil obtener

las soluciones a partir de las encontradas en la sección anterior, porque

cambiar el signo de γ2 es equivalente a cambiar el signo de py y podemos

resolver de la misma forma que antes. Haciendo esto, las soluciones son:

ψ1 (x) =

1

−py−ipxE+m

e−ip·x ≡ u2(p)e−ip·x ,

ψ2 (x) =

−py+ipxE−m

1

e−ip·x ≡ u′2(p)e−ip·x .

Análogamente al caso anterior, la solución u′2(p) para enerǵıa negativa co-

rresponde a la solución de antipart́ıcula con enerǵıa positiva, para la cual

definimos:

v2(p) ≡ u′2(−E,−~p) =

−py+ipxE+m

1

.

3.2.2.3. Representación reducible

Aunque la dimensionalidad mı́nima que se necesita para construir las

matrices γ en (2+1) dimensiones es 2×2, podemos usar matrices de mayordimensionalidad para resolver la ecuación de Dirac. En particular, podemos

usar una representación de matrices 4×4 definiendo para la representaciónreducible las matrices:

γ0 =

(σ3 0

0 −σ3

), ~γ =

(i~σ 0

0 −i~σ

), (3.10)

donde ~γ contiene componentes γ1 y γ2 únicamente. Partiendo de la ecuación

de Dirac en el espacio de momentos, descomponemos el espinor de 4 com-

ponentes en biespinores, y llegamos al sistema de ecuaciones:

(σ3E − i(σ1px + σ2py) −m)uA(p) = 0,(−σ3E + i(σ1px + σ2py) −m)uB(p) = 0 .

Es importante notar que, a diferencia del caso de (3+1) dimensiones, estas

ecuaciones no son acopladas. Escribimos ahora uA(p) y uB(p) como

uA(p) ≡(uA1(p)

uA2(p)

), uB(p) ≡

(uB1(p)

uB2(p)

), (3.11)



con lo que obtenemos el sistema de ecuaciones

(E −m)uA1(p) − (py + ipx)uA2(p) = 0 ,(py − ipx)uA1(p) − (E +m)uA2(p) = 0 ,

− (E +m)uB1(p) + (py + ipx)uB2(p) = 0 ,−(py − ipx)uB1(p) + (E −m)uB2(p) = 0 .

Como antes, tenemos cuatro soluciones linealmente independientes

ψ1(x) =

1py−ipxE+m

0

0

e−ip·x = u1(p)e

−ip·x ,

ψ2(x) =

py+ipxE−m

1

0

0

e−ip·x = u2(p)e

−ip·x ,

ψ3(x) =

0

0

1py−ipxE−m

e−ip·x = u3(p)e

−ip·x ,

ψ4(x) =

0

0py+ipxE+m

1

e−ip·x = u4(p)e

−ip·x .

Por la forma no acoplada de las soluciones, podemos unir soluciones de

enerǵıa positiva y de enerǵıa negativa de la siguiente manera:

ψP (x) =

1py−ipxE+mpy+ipxE+m

1

e−ip·x ,

ψN (x) =

py+ipxE−m

1

1py−ipxE−m

e−ip·x ,

donde los ı́ndices P y N indican que se trata de soluciones de enerǵıa

positiva y negativa respectivamente. Cambiando ~p → −~p en las soluciones



de enerǵıa negativa, tenemos

ψP (x) =

1py−ipxE+mpy+ipxE+m

1

e−ip·x ≡ uP (p)e−ip·x ≡

(ψPA(x)

ψPB(x)

),

ψN (x) =

py+ipxE+m

1

1py−ipxE+m

eip·x ≡ uN(p)eip·x ≡

(ψNA (x)

ψNB (x)

),

Estas soluciones han sido encontradas al unir los dos campos fermiónicos

de las dos representaciones irreducibles en uno solo que utiliza una represen-

tación reducible para las matrices de Dirac. En (2+1) dimensiones, además

del término de masa usual de los fermiones, puede aparecer otro término

de masa que no es invariante bajo paridad ni inversión temporal, que lla-

maremos mo. Esta asimetŕıa, aśı como el origen y otras propiedades de moserán estudiadas con detalle en el caṕıtulo siguiente. Pero las soluciones a

la ecuación de Dirac con esta masa son fáciles de encontrar, análogamente

a como encontramos las soluciones con el término de masa ordinario. Esto

haremos a continuación.

3.2.3. Representación reducible y mo

Al utilizar una representación reducible para las matrices de Dirac, surge

un nuevo término de masa que se puede agregar a los fermiones que no

es invariante bajo paridad ni inversión temporal. Este término se escribe,

utilizando la matriz τ

τ =

(I 0

0 −I

), (3.12)

de modo que la ecuación de Dirac en el espacio de momentos es ahora

(γµpµ −me −moτ)u(p) = 0 .

Si descomponemos al espinor en biespinores, obtenemos el siguiente sistema

de ecuaciones:

(σ3E − i(σ1px + σ2py) − (me +mo)) uA(p) = 0 ,(−σ3E + i(σ1px + σ2py) − (me −mo)) uB(p) = 0 .



Notamos que las ecuaciones no están acopladas. Escribiendo las soluciones

uA(p) y uB(p) de la forma (3.11), obtenemos que

(E − (me +mo))uA1(p) − (py + ipx)uA2(p) = 0,(py − ipx)uA1(p) − (E + (me +mo)) uA2(p) = 0,

− (E + (me −mo)) uB1(p) + (py + ipx)uB2(p) = 0,−(py − ipx)uB1(p) + (E − (me −mo)) uB2(p) = 0,

donde las cuatro soluciones linealmente independientes, surgen de los si-

guientes casos:

uA1 = 1 implica uA2 =py−ipx

E+(me+mo).

uA2 = 1 implica uA1 =py+ipx

E−(me+mo).

uB1 = 1 implica uB2 =py−ipx

E−(me−mo).

uB2 = 1 implica uB1 =py+ipx

E+(me−mo).

Expĺıcitamente, las soluciones a la ecuación de Dirac con mo son:

ψ1(x) =

1py−ipx

E+(me+m0)

0

0

e−ip.x = u1(p)e

−ip·x,

ψ2(x) =

py+ipxE−(me+m0)

1

0

0

e−ip.x = u2(p)e

−ip·x ,

ψ3(x) =

0

0

1py−ipx

E−(me−m0)

e−ip.x = u3(p)e

−ip·x ,

ψ4(x) =

0

0c(py+ipx)

E+(me−m0)

1

e−ip.x = u4(p)e

−ip·x .

A continuación estudiaremos las funciones de Green para las ecua-

ciones de onda relativistas, llamadas propagadores. Éstas contienen todas

las propiedades de propagación de las part́ıculas, por lo que serán útiles

para nuestros objetivos.



3.3. Propagadores

Las funciones de Green de las ecuaciones de onda relativistas, llamadas

propagadores, nos sirven para resolver dichas ecuaciones en presencia de in-

teracciones mediante el método de Green. A coninuación veremos el propa-

gador para las ecuacones de Klein-Gordon y Dirac en (3+1) dimensiones y

el de Dirac en (2+1) dimensiones con todas sus variantes.

3.3.1. El propagador de Klein-Gordon

Si consideramos la ecuación de Klein-Gordon en presencia de un campo

electromagnético descrito por el cuadripotencial Aµ, ahora el operador de

momento pµ debe reemplazarse mediante la sustitución mı́nima pµ → pµ−eAµ, de forma que obtenemos

[(pµ − eAµ)(pµ − eAµ) −m2

]φ = 0,

o análogamente,[∂µ∂µ +m

2]φ = −V φ,

con

V φ = ie(∂µAµ +Aµ∂µ)φ− e2AµAµφ.

Si tratamos de resolver esta ecuación con el método de Green, debemos

construir GKG(x, y) tal que(�

2 +m2)GKG(x, y) = δ

4(x− y),

φ(x) = φ0(x) −∫d4yGKG(x, y)V (y)φ(y),

donde φ0 satisface la ecuación homogénea de Klein-Gordon. Para verificar

que efectivamente GKG nos resuelve la ecuación en presencia del campo,

aplicamos el operador de Klein-Gordon a φ,

(�

2 +m2)φ(x) = −

∫d4y

(�

2 +m2)GKG(x, y)V (y)φ(y),

= −∫d4yδ4(x− y)V (y)φ(y) = −V (x)φ(x),

lo que lo demuestra. Para encontrar entonces GKG(x, y), tomamos su trans-

formada de Fourier SKG(p):

GKG(x, y) = −∫

d4p

(2π)4SKG(p)e

−ip·(x−y).



Aplicando(�

2 +m2), tenemos

(�

2 +m2)GKG(x, y) = −

∫d4p

(2π)4SKG(p)

(�

2 +m2)e−ip·(x−y)

=

∫d4p

(2π)4SKG(p)

(p2 −m2

)e−ip·(x−y) = δ4(x − y) ,

Si SKG(p)(p2 − m2) = 1, tenemos la representación integral de la δ4 que

buscamos al definir GKG(x, y). Por lo tanto,

SKG(p)(p2 −m2) = 1 ⇒ SKG(p) =

1

p2 −m2 .

SKG(p) es el propagador de Klein-Gordon.

Encontrar el propagador, o la función de Green en la ecuación diferen-

cial de la dinámica, nos permite conocer las propiedades de propagación de

las part́ıculas cargadas, considerando sus interacciones con un campo elec-

tromagnético. En la siguiente sección aplicaremos el mismo método para

ver cuál es el propagador en la ecuación de Dirac.

3.3.2. El propagador de Dirac en (3+1) dimensiones

Si ahora tomamos la ecuación de Dirac en presencia de un campo elec-

tromagnético, obtenemos

((i 6∂ + e 6A) −m)ψ = 0 , (i 6∂ −m)ψ = −e 6Aψ.donde hemos utilizado la notación 6A ≡ γµAµ. Tomamos una ψ0 que satis-faga la ecuación homogénea y construimos G(x, y) tal que:

(i 6∂ −m)G(x, y) = δ4(x− y),donde

ψ(x) = ψ0(x) −∫d4y G(x, y) e 6Aψ(y).

Verifiquemos que G(x, y) resuelve la ecuación de Dirac:

(i 6∂ −m)ψ(x) = −∫d4y (i 6∂ −m)G(x, y)e 6Aψ(y),

= −∫d4y δ(x− y) e 6Aψ(y) = −e 6Aψ.

Igual que antes, tomamos la transformada de Fourier de G(x, y)

G(x, y) = −∫

d4p

(2π)4S(p)e−ip·(x−y).



Aplicamos el operador de Dirac a G(x, y) y encontramos que

(i 6∂ −m)G(x, y) =∫

d4p

(2π)4S(p)[6p−m]e−ip·(x−y) = δ4(x− y).

Como en el caso anterior, si (6p−m)S(p) = 1, tendŕıamos la representaciónintegral de la δ4, por lo tanto

S(p)[6p−m] = 1; ⇒ S(p) = 16p−m. (3.13)

Esto último es un abuso de notación, ya que 6p es una matriz y no podemostenerla en el denominador, pero lo que śı tiene sentido y está bien repre-

sentando es:

S(p) =1

6p−m6p+m6p+m =

6p+mp2 −m2 , (3.14)

ya que 6 p2 = p2. De aqúı en adelante, cuando haya términos de la forma(3.13), estaremos pensando en que se tiene que operar de la forma que se

hizo en (3.14).

3.3.3. El propagador de Dirac en (2+1) dimensiones

3.3.3.1. Representaciones irreducibles

En (2+1) dimensiones, podemos saber la forma del propagador fácil-

mente, ya que todo lo que hemos hecho anteriormente seguirá funcionando,

con la única diferencia de que en este caso nuestras matrices γ cambian.

Aśı que nuestros propagadores se verán como:

SA(p) =1

6pA −m, SB(p) =

1

6pB −m,

donde 6pA corresponde a la representación (3.8) y 6pB a la (3.9).La diferencia entre las dos representaciones, es un signo en la tercer

matriz γ, por lo que podemos poner a ambos propagadores en términos de

las matrices de la primera representación (3.8) [20]. Tenemos que nuestros

dos propagadores son

SA(p) =1

6p−m, SB(p) =1

6p+m.



3.3.4. Representación reducible

Tomando en cuenta el término mo, es fácil obtener que el propagador

en este caso es

S(p) =1

6p−meI −moτ.

Recordemos que el término moτ viola paridad e inversión temporal. Es muy

útil separar las proyecciones positiva y negativa, respecto a la paridad, de la

ecuación de Dirac, y por lo tanto del propagador, en este caso en el espacio

Euclideano. Es fácil demostrar que en el espacio de Euclides, 6p2 = −p2, demodo que podemos escribir el propagador como

S(p) = −{[ 6p+m+

p2 +m2+

]χ+ +

[ 6p+m−p2 +m2−

]χ−

},

donde los operadores de proyección χ±, están definidos como [21]

χ± =1

2(I ± τ) ,

donde I es la matriz identidad 4 × 4.En este caṕıtulo hemos revisado las soluciones a las ecuaciones de on-

da relativistas y sus respectivos propagadores, particularmente la ecuación

de Dirac en (3+1) y (2+1) dimensiones. Hemos encontrado que en plano

existen diferentes representaciones para las matrices de Dirac y diferentes

términos de masa para los fermiones que podemos considerar. Estas dife-

rencias juegan un papel fundamental cuando consideramos las interacciones

entre los electrones y los fotones, y sus simetŕıas tienen implicaciones muy

profundas en el Lagrangiano correspondiente. Éste es el tema del siguiente

caṕıtulo.


Caṕıtulo 4

El Lagrangiano de la ElectrodinámicaCuántica (QED)

En el caṕıtulo anterior, desarrollamos la ecuación de Dirac tal como fue

descubierta históricamente y estudiamos las diferentes representaciones y

términos de masa que podemos escribir en (2+1) dimensiones, aunque no

profundizamos en sus propiedades de transformación bajo ciertas simetŕıas.

En f́ısica, las simetŕıas juegan un papel fundamental en la descripción de

cualquier sistema. El marco idóneo para estudiar las simetŕıas de un sis-

tema es el formalismo Lagrangiano. En este formalismo, las simetŕıas se ven

como transformaciones que dejan el Lagrangiano o la acción correspondien-

te invariantes. En este caṕıtulo, estudiaremos los Lagrangiano general en

(3+1) y (2+1) dimensiones de la electrodinámica cuántica o QED, aśı como

sus simetŕıas [22]. QED3, ha sido una teoŕıa muy útil en diferentes campos

de la f́ısica, como la ruptura dinámica de simetŕıa quiral [21; 23], supercon-

ductividad de alta Tc [24] y el efecto Hall cuántico [3; 6; 18; 25; 26; 27].

Una de las diferencias más importantes que aparecen entre sistemas de

tres y dos dimensiones espaciales, es que en estos últimos, el acoplamien-

to entre fotones y fermiones genera un término de Chern-Simons (TCS)

en el Lagrangiano, que actúa como un término de masa para el fotón.

La utilización del TCS en f́ısica es basta. Abarca desde sistemas de ma-

teria condensada, como superconductividad de alta temperatura, anyones

y efecto Hall cuántico fraccionario, hasta gravedad cuántica y teoŕıas de

cuerdas [28].

4.1. Lagrangiano de QED en (3+1) dimensiones

QED es la teoŕıa que da cuenta de las interacciones a nivel cuántico entre

las part́ıculas cargadas y los campos electromagnéticos. Su Lagrangiano

consta de 3 partes: materia, campo electromagnético e interacciones. A

39



continuación describiremos cada una de estas partes en detalle, con énfasis

especial en sus simetŕıas.

4.1.1. Lagrangiano de Dirac

Como en el caso de la mecánica clásica y la mecánica cuántica no rela-

tivista, en la electrodinámica cuántica podemos obtener las ecuaciones que

rigen nuestros sistemas a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange:

∂µ

(∂L

∂(∂µψ̄)

)− ∂L∂ψ̄

= 0 ,

donde el Lagrangiano para el caso de la ecuación de Dirac, es

LDirac = ψ̄ (i 6∂ −m)ψ . (4.1)

Enfatizamos que estamos trabajando en (3+1) dimensiones.

4.1.1.1. Simetŕıas del Lagrangiano de Dirac

Las soluciones a la ecuación de Dirac poseen ciertas propiedades bajo

transformaciones globales (de fase y quirales) y discretas (Conjugación de

Carga C, Paridad P e Inversión Temporal T ) que hacen que el Lagrangianosea invariante bajo ellas. Revisamos los pormenores de cada una de ellas.

Transformaciones Globales de Fase: Es una observación obvia que

si transformamos la función de onda como

ψ → ψeiχ , ψ̄ → ψ̄e−iχ ,

con χ una constante, el Lagrangiano (4.1) es invariante. Esta

aparente trivialidad tiene grandes consecuencias, pues de acuer-

do al Teorema de Noether, por cada simetŕıa continua del La-

grangiano existe una corriente conservada. La corriente asociada

con esta transformación es

jµ = −eψ̄γµψ ,

que es la densidad de corriente del electrón. En particular, esta

simetŕıa implica que la carga eléctrica

Q =

∫d3xj0 = −e

∫d3xψ†ψ ,

es constante, debido a la constancia de la norma de ψ.


El Lagrangiano de la Electrodinámica Cuántica (QED) 41

Simetŕıa Quiral: Existe otro tipo de transformaciones de fase que

podemos aplicar a ψ:

ψ → eiχγ5ψ , ψ̄ → ψ̄e−iχγ5 . (4.2)

Recordando las propiedades de la matriz γ5 = iγ0γ1γ2γ3,

(γ5)†

= γ5,(γ5)2

= I, {γ5, γµ} = 0 , γ5 =(

0 I

I 0

),

en la representación de Pauli-Dirac, que es la que utilizaremos en

esta discusión, podemos construir una corriente

jµ5 = ψ̄γµγ5ψ ,

que satisface

∂µjµ5 = 2imψ̄γ5ψ ,

es decir, la transformación (4.2) es una simetŕıa del Lagrangiano

(4.1) sólo cuando los fermiones son no masivos, m = 0. En este

caso la corriente conservada se llama corriente vectorial axial.

Conjugación de Carga: Esta simetŕıa intercambia los papeles de los

espinores de part́ıcula y antipart́ıcula. El efecto de esta transfor-

mación sobre la función de onda es

ψ(x) → ψc(x) = Cγ0ψ∗(x) = Cψ̄T (x) ,

donde T denota transposición matricial. Ambas, ψ y ψc, satisfacen

la ecuación de Dirac en un campo electromagnético externo, pero

con carga opuesta. La matriz de conjugación de carga se construye

de modo que CγµC−1 = (γµ)T . Es fácil ver que C tiene las siguien-tes propiedades:

C−1 = C† = CT = −C ,

y en esta representación C = iγ2γ0. La operación de Conjugaciónde Carga cambia el signo del momento, momento angular orbital,

esṕın y la enerǵıa.

Paridad: También se llama inversión espacial y consiste en invertir

precisamente las componentes espaciales del cuadrivector xµ. Bajo

esta transformación

ψ(t, ~x) → ψ′(t,−~x) = Pψ(t, ~x) = γ0ψ(t, ~x) . (4.3)

La transformación de Paridad deja la ecuación de Dirac y todas las

observables f́ısicas sin cambios.



Tabla 4.1 Simetŕıas del Lagrangianode Dirac en 4D. Aqúı (−1)µ = 1 paraµ = 0 y (−1)µ = −1 para µ = 1, 2, 3.

Simetŕıa ψ̄ψ ψγµψ ∂µ

C +1 −1 +1

P +1 (−1)µ (−1)µ

T +1 (−1)µ −(−1)µ

CPT +1 −1 −1

Inversión Temporal: Esta transformación consiste en la inversión

del argumento temporal

ψ(t, ~x) → ψt(−t, ~x) = T ψ∗(t, ~x) = iγ1γ3ψ∗(t, ~x) .La operación deja formalmente invariante a la ecuación de Dirac.

Tenemos que la matriz T satisface las siguientes propiedades:T † = T −1 = T .

El significado f́ısico de la Inversión Temporal no es tan intuitivo

como el de la Paridad o la Conjugación de Carga.

CPT : El Lagrangiano de Dirac es invariante separadamente bajoC, P y T y la simetŕıa conjugada CPT .

La Tabla 4.1 resume las propiedades de simetŕıa de cada término de este

Lagrangiano y la corriente asociada.

4.1.2. Lagrangiano de Maxwell

Los fenómenos electromagnéticos en el vaćıo se describen por dos cam-

pos vectoriales, el campo eléctrico ~E y el magnético ~B, que satisfacen las

ecuaciones de Maxwell, que en términos del tensor de intensidad de campo

electromagnético

Fµν =

0 −E1 −E2 −E3E1 0 −B3 B2E2 B3 0 −B1E3 −B2 B1 0

,

se pueden escribir como

∂µFµν = jν , ∂λFµν + ∂νFλµ + ∂µF νλ = 0 ,

y en las que la corriente electromagnética es una cantidad conservada, es

decir, ∂µjµ = 0, con jµ = (ρ,~j).



Los campos ~E y ~B se pueden derivar si introducimos el cuadripotencial

Aµ = (A0, ~A), a partir de las relaciones

~B = ∇× ~A , ~E = −∂~A

∂t−∇A0 ,

lo que nos permite escribir

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ .

El Lagangiano de Maxwell es

LMaxwell = −1

4FµνF

µν . (4.4)

4.1.2.1. Simetŕıas

El Lagrangiano de Maxwell posee simetŕıas muy relevantes para la f́ısica

moderna. Posee la llamada simetŕıa local de norma, por lo que la teoŕıa

de las interacciones electromagnéticas es el primer ejemplo de teoŕıas de

norma que se estudian en la f́ısica. El alcance, elegancia y poder de las

teoŕıas de norma es tan basto, que se busca una descripción de las teoŕıas

que describen las interacciones fundamentales en términos de teoŕıas de

norma. Éste es el eje central de la construcción del celebrado Modelo

Estándar de part́ıculas elementales. El Lagrangiano de Maxwell también

posee propiedades especiales bajo las transformaciones de las simetŕıas disc-

retas, de las que daremos cuenta a continuación.

Simetŕıa Local de Norma: Es fácil convencerse que Fµν y por lo

tanto el Lagrangiano de Maxwell, son invariantes bajo la transfor-

mación

Aµ(x) → Aµ′(x) = Aµ(x) + ∂µΛ(x) ,

donde Λ(x) es una función escalar arbitraria, llamada función de

norma. Esta propiedad de invariancia de norma introduce compli-

caciones en el estudio cuántico del campo electromagnético. Para

calcular cantidades de interés, uno obliga al potencial vectorial a

satisfacer ciertas condiciones, es decir, uno fija la norma. Nosotros

estamos interesados en el caso donde la norma se fije de manera

covariante, considerando la condición de Lorentz ∂µAµ = 0. En

este caso, la ecuación de onda para el fotón se reduce a

�Aµ = jµ ,



y el Lagrangiano de Maxwell se modifica como

LMaxwell = −1

4FµνF

µν − 12ξ

(∂µAµ)

2, (4.5)

donde ξ es llamado el parámetro que fija la norma y puede tomar

valores reales. Algunos casos particulares son ξ = 0, la llamada

Norma de Landau y ξ = 1, llamada Norma de Feynman.

Conjugación de Carga: Bajo Conjugación de Carga, las compo-

nentes del potencial vectorial se transforman como

Aµ(x) → −Aµc ,

por lo que el Lagrangiano de Maxwell es invariante bajo C.Paridad: Bajo Paridad, Aµ se transforma como

A0(t, ~x) → A0(t,−~x) , ~A(t, ~x) → − ~A(t,−~x) ,

por lo que el Lagrangiano de Maxwell es invariante bajo C.Inversión Temporal: Bajo la Inversión Temporal, las componentes

de Aµ se transforman como

A0(t, ~x) → A0(−t, ~x) , ~A(t, ~x) → − ~A(−t, ~x) ,

por lo que el Lagrangiano de Maxwell es invariante bajo C.CPT : Siendo invariante separadamente bajo las transformacionesdiscretas, el Lagrangiano de Maxwell también lo es bajo la trans-

formación conjunta CPT .

Ya contamos con los Lagrangianos para electrones y fotones libres. Pro-

cedemos ahora a incluir interacciones y construir el Lagrangiano de QED.

4.1.3. Lagrangiano de QED

Las interacciones de los electrones con el campo electromagnético, en di-

mensiones arbitrarias del espacio-tiempo, se obtienen acoplando la densidad

de corriente con el campo electromagnético:

Lint = −eψ̄γµψAµ .

Con estos ingredientes, el Lagrangiano de QED se construye de la siguiente

manera :

LQED = LDirac + LMaxwell + Lint= ψ̄ (i(6∂ + ie 6A) −m)ψ − 1

4FµνF

µν − 12ξ

(∂µAµ)

2. (4.6)



Este Lagrangiano es invariante bajo las simetŕıas discretas y bajo las trans-

formaciones de norma locales

Aµ → Aµ + ∂µΛ(x) , ψ → ψ exp {−ieΛ(x)} , ψ̄ → ψ̄ exp {ieΛ(x)} ,

La estructura de norma de QED es independiente del número de dimen-

siones espacio-temporales. Por lo tanto, en la construcción del Lagrangiano

más general de QED3 sólo nos enfocaremos en las simetŕıas discretas de

cada término.

4.2. Lagrangiano de QED3

Ahora vamos a restringir la dinámica de electrones y fotones a un plano,

QED3. En este caso construiremos el Lagrangiano más general posible.

Debemos enfatizar que la transformación de Paridad en el plano es distinta

a la del espacio: Paridad en el plano corresponde a invertir sólo un eje

espacial y no ambos, porque esto seŕıa equivalente a una rotación del plano

por un ángulo π. El resto de las simetŕıas discretas heredan su estructura

del espacio al plano.

4.2.1. Lagrangiano de Dirac “Heredado”

Supongamos que el Lagrangiano de QED3 es funcionalmente idéntico

a (4.1), i.e.,

L = ψ̄(i 6∂ −m)ψ , (4.7)

y consideremos la dimensionalidad más baja para las matrices γµ. En el

plano la dimensionalidad más baja es 2 × 2, por lo que las matrices dePauli pueden representar a las matrices de Dirac. Existen dos representa-

ciones irreducibles, dadas en (3.8) y (3.9). Elijamos sólamente la primera

representación (3.8), aunque la discución es válida si elegimos cualquiera

de ellas.


Consideremos ahora las simetŕıas de este Lagrangiano [20].

Simetŕıa Quiral: Se puede verificar que si heredáramos la definición

de γ5 = iγ0γ1γ2 = I, no hay una definición en esta representación

de la transformación quiral.



Conjugación de Carga: Bajo esta transformación,

ψC = eiφγ2ψ̄T ,

por lo que el Lagrangiano es invariante bajo C.Paridad: Bajo una transformación de paridad (t, x, y)P →(t,−x, y),

ψ̄ψP → −ψ̄ψ,

por lo que el término de masa, y consecuentemente el Lagrangiano,

no son invariantes bajo P .Inversión Temporal: Bajo una inversión temporal (t, ~x)T → (−t, ~x),

ψ̄ψT → −ψ̄ψ,

por lo que el término de masa, y consecuentemente el Lagrangiano,

no son invariantes bajo T , ver [29].CPT : El término de masa, que viola P y T , es invariante bajo latransformación combinada PT y por lo tanto CPT .

Para restaurar las simetŕıas del Lagrangiano de Dirac en QED3, es necesario

considerar un campo fermiónico extra, como veremos enseguida.

4.2.2. Lagrangiano de Dirac “Extendido”

Existen en el plano dos representaciones irreducibles para las matri-

ces de Dirac [20], como vimos antes. Podemos entonces considerar un se-

gundo “tipo” de electrones, descritos en términos de la segunda repre-

sentación (3.9). La diferencia entre las dos representaciones es sólamente

el signo de la matriz γ2, por lo que podemos tratar de escribir las dos re-

presentaciones sólo en términos de una de ellas. Si llamamos ψA al campo

fermiónico de la primera representación y ψB al de la segunda, la única

diferencia que encontramos es el signo de las masas para los dos campos.

Aśı, tenemos que el Lagrangiano extendido es

LDirac = ψ̄A (i 6∂ −m)ψA + ψ̄B (i 6∂ +m)ψB , (4.8)

cuyas simetŕıas veremos a continuación.


Las simetŕıas del Lagrangiano (4.8) son [20]:



Simetŕıa Quiral: Este Lagrangiano permite definir, en realidad, dos

tipos de transformaciones quirales:

ψA → ψA + αψB , ψB → ψB − αψA yψA → ψA + iαψB , ψB → ψB + iαψA ,

donde α es un escalar. Éstas transformaciones conducen, en el caso

no masivo, a las siguientes corrientes quirales conservadas:

jµ1 = (ψ̄AγµψB − ψ̄BγµψA) y jµ2 = (ψ̄AγµψB + ψ̄BγµψA) .

Conjugación de Carga: Bajo la operación de Conjugación de Carga,

(ψA)C = eiψ1γ2(ψ̄A)

T y (ψB)C = eiψ2γ2(ψ̄B)

T ,

como era de esperarse. Este Lagrangiano es invariante bajo C.Paridad: Bajo Paridad,

(ψA)P → −ieiφ1γ1ψB y (ψB)P → −ieiφ2γ1ψA ,

es decir, esta transformación mezcla los espinores de ambas repre-

sentaciones. Este Lagrangiano es invariante bajo P .Inversión Temporal: Bajo I

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