TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS - ORIENTACIÓN EN...

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS -

ORIENTACIÓN EN FÍSICA TECNOLÓGICA

IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS DE MODELODINÁMICO DE UN VEHÍCULO AÉREO NO TRIPULADO

Cabrerizo, Armando ErnestoMaestrando

Ing. Relloso, José (IB, INVAP)Director

Dr. Rojo, Félix (INVAP)Co-director

Miembros del Jurado:Dr. Guillermo Pregliasco (Instituto Balseiro)Dr. Santiago Hernández (Instituto Balseiro)

Ing. Agustín Casquero (INVAP S.E.)

18 de Diciembre de 2017

Grupo de Guiado y Control - Sector de Tecnologías Avanzadas - INVAP SE

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía AtómicaArgentina

A mi familia y amigos que siempre están presentes.

Índice de contenidos

Índice de contenidos v

Índice de �guras ix

Índice de tablas xiii

Glosario xvii

Resumen xix

Abstract xxi

1. Introducción 1

1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Identi�cación de Sistemas 5

2.1. Identi�cación de Sistemas y Estimación de Parámetros . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Elección de un Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2. Diseño de datos entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3. Registro de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.4. Análisis de compatibilidad de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.5. Estimación de parámetros y estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.6. Diagnóstico de colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.7. Validación del Modelo y Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3. Estado Actual de la IDS en VANTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

v

vi Índice de contenidos

2.3.1. VANTs de ala �ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2. Otros tipos de VANTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.3. Métodos de Estimación utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo 17

3.1. Marcos de referencia y Convenciones de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1. Marcos de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Cinemática de una aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1. Dinámica de cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Linealizacion y separación de las Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . 26

3.4.1. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.2. Ecuaciones de movimiento en el espacio de Estados . . . . . . . . . . 28

3.5. Ecuaciones de Movimiento Linealizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1. Ecuaciones Longitudinales en el espacio de estados . . . . . . . . . . 30

3.6. Modos de oscilación longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6.1. Modos de oscilación longitudinales: Periodo Corto . . . . . . . . . . 32

3.6.2. Modos de oscilación longitudinales: Periodo largo - Phugoid . . . . . 33

3.6.3. Ecuaciones Laterales Direccionales en el espacio de estados . . . . . 35

3.7. Modos laterales - direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7.1. Modo de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7.2. Modo Espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7.3. Modo de Dutch-Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Modelado y Simulación 43

4.1. Modelado de una Aeronave de Ala Fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1. Coe�cientes aerodinámicos desde DATCOM . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.2. Propulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Algoritmo implementado para el modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Inicialización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.2. Estado de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3. Obtención de las matrices del espacio de estados del sistema linealizado 46

Índice de contenidos vii

4.2.4. Finalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3. Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1. Algoritmo de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Estimación de Parámetros 55

5.1. Elección de un estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.1. Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.2. Herramientas de evaluación estadística del Estimador . . . . . . . . . 60

5.2.3. Implementación del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario . . 62

6. Datos de Vuelos Experimentales 65

6.1. Caburé: VANT para experimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. Sensórica del Caburé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.1. LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2.2. Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP . . . . . . . . . . . . . 68

6.3. Diseño de Maniobras para la Estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4. Resumen de los Vuelos de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Procedimiento de Vuelos de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. Procesamiento de Datos Experimentales 77

7.1. Mediciones directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2. Mediciones indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.4. Diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.5. Interpolación y Suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.6. Filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.7. Ejemplo del Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8. Análisis de Resultados 91

8.1. IDS con Datos Simulados en Modo Piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.1.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado . . . . . . . . . . . 92

8.1.2. Identi�cación de Derivativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

viii Índice de contenidos

8.1.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema . . . . . . . . . . 97

8.2. IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . 99



8.2.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema . . . . . . . . . . . 105

8.3. IDS con Datos Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107



8.3.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema . . . . . . . . . . . 113

9. Conclusiones 117

9.1. Finalización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2. Experiencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.3. Interpretación de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.4. Investigaciones Pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A. Apéndice: Archivo Ejemplo de Entrada a DATCOM 121

Bibliografía 125

Agradecimientos 129

Índice de �guras

2.1. Elementos generales de un sistema dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Sistemas de coordenadas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Sistemas de coordenadas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Oscilación longitudinal de periodo corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Oscilación longitudinal de periodo largo - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6. Modo de Roll - Dinamica Lateral-Direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7. Modo Espiral - Dinamica Lateral-Direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.8. Modo Dutch-Roll - Dinamica Lateral-Direccional . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1. Modelado y Simulación de un Sistema Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2. Diagrama del algoritmo de modelado implementado . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3. Simulación en el dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4. Diagrama del simulador implementado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5. Simulación de una maniobra sobre el elevador . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6. Simulación de una maniobra sobre el motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.7. Simulación de un giro coordinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1. Árbol de decisión para la elección de un modelo de Estimación de Parámetros 57

5.2. Árbol de decisión para la elección de un Estimador de Parámetros . . . . . 58

6.1. CAD del Caburé y foto en vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3. Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

ix

x Índice de figuras

6.4. Telemetría de la altura de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.5. Telemetría de los actuadores durante el vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.6. Modo de control durante el vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.1. Posicionamiento horizontal de un vuelo de prueba . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2. Ejemplo de la sustracción del estado de equilibrio para obtener las pertur-

baciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3. Ejemplo de la implementación de la diferenciación numérica . . . . . . . . . 81

7.4. Suavizado producido por la interpolación de los datos procesados . . . . . . 81

7.5. Respuesta en frecuecnia del �ltro pasa bajos implementado en el algortimo . 82

7.6. Procesamiento de la velocidad respecto al aire . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.7. Procesamiento del ángulo de ataque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.8. Procesamiento de la velocidad de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.9. Procesamiento del ángulo de cabeceo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.10. Procesamiento de la de�exión del elevador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.11. Procesamiento de la velocidad del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.12. Procesamiento de la derivada de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.13. Procesamiento de la derivada del ángulo de ataque . . . . . . . . . . . . . . 85

7.14. Procesamiento de la derivada de la velocidad de cabeceo . . . . . . . . . . . 85

7.15. Procesamiento del ángulo de deslizamiento lateral . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.16. Procesamiento de la velocidad de alabeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.17. Procesamiento de la velocidad de guiño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.18. Procesamiento del ángulo de alabeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.19. Procesamiento del ángulo de guiño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.20. Procesamiento de la de�exión de los alerones . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.21. Procesamiento de la velocidad del timón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.22. Procesamiento de la derivada del ángulo de deslizamienot lateral . . . . . . 88

7.23. Procesamiento de la derivada de la velocidad de alabeo . . . . . . . . . . . . 88

7.24. Procesamiento de la derivada de la velocidad de guiño . . . . . . . . . . . . 89

8.1. Señal modelo de excitación del sistema para el entrenamiento del modelo . . 92

8.2. Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada . . . 98

Índice de figuras xi

8.3. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada . . . . . 99

8.4. Excitaciones producidas por el autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


8.6. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo

Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.7. Excitaciones de una maniobra extraída de los vuelos experimentales . . . . . 108


8.9. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada con dato

reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Índice de tablas

4.1. Condiciones iniciales de ejecución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1. Resumen de parámetros característicos del Caburé . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2. Especi�caciones de los sensores de la IMU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3. Especi�caciones del GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4. Especi�caciones del Sensor de Presión Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1. Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados

de la Dinámica Longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.2. Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados


8.3. Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados



de la Dinámica Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94





8.7. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre . . 95

8.8. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación 96

8.9. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo . . 96

8.10. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral 96

8.11. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo . . . 97

xiii

xiv Índice de tablas

8.12. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño . . . . 97

8.13. Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada . . . 98

8.14. Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 98

8.15. Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada . . . . . . 98

8.16. Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 99

8.17. Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada . . . . . 99


de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . 101






de la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


de la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102



8.24. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre en

Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.25. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación

en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.26. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo en

Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.27. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral

en Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.28. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo en

Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.29. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño en

Modo Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.30. Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada . . . 105

Índice de tablas xv

8.31. Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada . . . . . . . . 105

8.32. Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada . . . . . . 106


8.34. Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo

Autopiloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


de la Dinámica Longitudinal con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 109











8.41. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre con

datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.42. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación

con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.43. Matriz de correlación de las derivativas del coe�ciente de sustentación. . . . 112

8.44. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo con

datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.45. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral

con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.46. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo con

datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.47. Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño con

datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

xvi Índice de tablas

8.48. Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada con

datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.49. Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada con datos reales114

8.50. Resultados de los modos longitudinales a partir de la matriz identi�cada con

dato reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


8.52. Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada . . . . . 115

Glosario

Acrónimos

VANT: Vehículo Aéreo No Tripulado

UAV: Unmanned aerial vehicle

SARA: Sistema Aéreo Robótico Argentino

GPS: Global Positioning System

IDS: Identi�cación de Sistemas

IDP: Identi�cación de Parámetros

PWM: Pulse Width Modulation

IMU: Inertial Measurement Unit

AHRS: Attitude and Heading Reference System

PDF: Probability Density Function (Función de Densidad de Probabilidad)

CRLB: Cramér-Rao Low Bound (Cota Inferior de Cramér-Rao)

MLE: Maximum Likelihood Estimation (Estimación de Máxima Verosimilitud)

MVUE: Minimum-Variance Unbiased Estimation (Estimación Insesgada de Mínima Va-

rianza)

LSE: Least Squares Estimation (Estimación de Mínimos Cuadrados)

xvii

Resumen

La posibilidad de contar con un sistema aéreo robótico se ha convertido en una necesidad

para todos los países que desean tener un control e�ciente, económico e inteligente de su

territorio. Estas intenciones se vieron re�ejadas en el Estado Argentino con la resolución

Nº 1.484 del Ministerio de Defensa, donde surge el programa Sistema Aéreo Robótico Ar-

gentino (SARA). Encomendada la tarea de gestión del proyecto a la empresa INVAP, nace

entonces la necesidad del diseño de una serie de Vehículos Aéreos No Tripulados (VANTs).

El diseño de una aeronave autómata tiene como principal di�cultad el desarrollo e im-

plementación de un autopiloto robusto, tolerante a las perturbaciones externas y posibles

fallas del sistema. La precisión y e�ciencia de este controlador depende en gran medida de

la capacidad de predicción del modelo aerodinámico que se conozca de la aeronave. Una

técnica muy utilizada para la obtención de un modelo matemático riguroso es la Identi�ca-

ción de Sistemas o Identi�cación de Parámetros. En esta tesis se desarrolla una herramienta

de aplicación general que permita la identi�cación de los parámetros del modelo dinámico

de un VANT a partir de datos de vuelo. Como primer versión de esta herramienta se utiliza

la estimación por Mínimos Cuadrados. En el desarrollo de esta tesis se presenta el modelo

analítico de una aeronave de ala �ja, las bases de la estimación estadística, la generación de

datos simulados y el procesamiento de datos reales. Finalmente se muestran los resultados

de la aplicación de la Identi�cación de Parámetros para obtener un modelo matemático

óptimo de un VANT.

Palabras clave: identi�cación de sistemas, sistemas dinámicos, vehículos aéreos no tripu-

lados

xix

Abstract

The possibility of having a robotic air system has become a necessity for all countries

that wish to have an e�cient, economic and intelligent control of their territory. In Ar-

gentina, these intentions are materialized by the program Sistema Aéreo Robótico Ar-

gentino (SARA) (resolution No. 1.484 of the Ministry of Defense). Within the program

manage by INVAP, the need of designing a series of UAVs(Unmanned aerial vehicles). The

main di�culty during the design of an automaton aircraft is the development and im-

plementation of a robust autopilot, tolerant to external disturbances and possible system

failures. The accuracy and e�ciency of this controller depend to a large extent on the

prediction capacity of the aerodynamic model that is known from the aircraft. System

Identi�cation or Parameter Identi�cation is a technique widely used to obtain rigorous

mathematical models. The main objective of this thesis is to develop a tool of general ap-

plication that allows the identi�cation of the parameters of the dynamic model of an UAV

from �ight data. The estimate for Least Squares is used as the �rst version of this tool. In

the development of this thesis the analytical model of a �xed-wing aircraft is presented, the

bases of the statistical estimation, the generation of simulated data and the processing of

real data. Finally, the results of the application of the Parameter Identi�cation are shown

to obtain an optimal mathematical model of an UAV.

Keywords: System Identi�cation, Dynamic Systems, Unmanned Aerial Vehicle

xxi

Capítulo 1

Introducción

1.1. Motivación

El desarrollo de esta tesis de maestría en el Instituto Balseiro en conjunto con INVAP

S.E., encuentra una de sus principales motivaciones en el marco de desarrollo del Sistema

Aéreo Robótico Argentino (SARA). El proyecto SARA surge gracias a la resolución N°1484

del Ministerio de Defensa, la cual reconoce la necesidad de la implementación de un sistema

de Vehículos Aéreos No Tripulados (VANTs). Esto permitiría a la defensa nacional contar

con una herramienta de control y vigilancia para los grandes territorios que comprenden

el país. Este proyecto necesita la producción de aeronaves de distinto tipo, complejidad y

autonomía para cumplir con los requerimientos operativos propios de este sistema. Por esta

razón en noviembre de 2010, se encomienda entonces a la empresa de tecnología INVAP el

diseño y gestión del SARA. La responsabilidad de INVAP en todo el proceso se estipula

que llegue hasta la plena operación de los prototipos [1].

Por otra parte la aplicación de los VANTs se encuentra en gran crecimiento, ya no

sólo en el ámbito militar, sino que expandiéndose a otros usos comerciales y cientí�cos [2].

Los VANTs, también conocidos como "drones", son aeronaves que componen un sistema

autónomo que cuenta además con una estación terrestre de control y un sistema de co-

municación entre ambos [3]. Los VANTs pueden volar de manera autónoma gracias a un

autopiloto que comanda los actuadores, y de acuerdo a los requerimientos de trayectoria,

implementa soluciones de navegación en base a mediciones en tiempo real de sensores de

vuelo, como acelerómetros, giróscopos y GPSs. Esta serie de características ha transfor-

1

2 Introducción

mado a los VANTs en un recurso óptimo para el sensado remoto necesario en diversas

aplicaciones. Algunas de los empleos actuales son:

Aeroespacial: control y mantenimiento de otras aeronaves.

Militar: útil en misiones de reconocimiento, vigilancia, ataque, defensa u objetivo de

entrenamiento.

Control �scal: se emplean para sobrevolar terrenos que no han sido correctamente

declarados al �sco.

Eventos: se utilizan en recitales, des�les de moda y hasta protestas, los drones abren

toda una nueva gama de posibilidades al periodismo fotográ�co y a los cineastas.

Emergencias: permiten llevar la ayuda necesaria rápidamente o en una fase previa

evaluar la ayuda necesaria en la zona o la forma de arribo al lugar [4].

Vigilancia fronteriza: controlar los ingresos marítimos y fronteras.

Arqueología: permite explorar y descubrir nuevas locaciones de manera rápida [5].

Transporte de cargas: pueden trasportar cargas valiosas a zonas inaccesibles.

Agricultura: donde los productores pueden monitorear grandes dimensiones que de

otra manera sería imposible [6].

Para el correcto funcionamiento e integración de un VANT en el espacio de vuelo civil es

imprescindible el diseño de un autopiloto robusto [2]. La robustez de un automatismo viene

por la capacidad de responder e�cientemente ante situaciones que no sean exactamente las

modeladas. Una etapa fundamental para poder diseñar un autopiloto robusto es el correcto

modelado de las ecuaciones dinámicas. En general para obtener el modelo analítico de una

aeronave se recurre a la segunda Ley de Newton como primer instancia. Posteriormente

para obtener los parámetros que determinan la aerodinámica se utilizan experimentos de

túnel de viento. Esta técnica no es muy utilizada en VANTs ya que suele ser costosa e

ine�ciente para aeronaves de pequeña envergadura.

Como solución ante esta problemática se propone la Identi�cación de Sistemas (IDS),

el cual es un método de obtención del modelo y parámetros del sistema a partir del análisis

1.1 Motivación 3

de la respuesta del mismo a estímulos de entrada. La IDS en VANTs es utilizada satisfacto-

riamente para mejorar la precisión de los modelos que se obtienen de los procesos analíticos

o experiencias en laboratorio, ya que en este caso la información es extraída directamente

de datos de vuelos reales en condiciones reales. Una vez mejorado el modelo, el control

de vuelo autónomo puede ser desarrollado u optimizado. La identi�cación de sistemas nos

ofrece entonces una valiosa herramienta para el modelado, control y simulación de sistemas

dinámicos. Algunas de las aplicaciones directas de la aplicación de la IDS en VANTs son:

Identi�cación de parámetros y modelos dinámicos.

Validación de modelos analíticos y/o experimentales.

Diseño y optimización de sistemas de controles.

Implementación de IDS en tiempo real.

Detección de fallas del sistema.

En esta tesis se pretende desarrollar los métodos y algoritmos necesarios para una iden-

ti�cación de los parámetros dinámicos fundamentales del VANT, a partir de datos de vuelo.

Si bien los métodos a desarrollar se utilizaran en la caracterización de un modelo de VANT,

no se encuentran limitados al modelo indicado, sino que serán de aplicación general. Para

ello la tesis se desarrollará a través de una serie de capítulos con el siguiente orden. En

el capítulo 2 se estudiará la información acerca de la identi�cación de sistemas aplicados

a aeronaves. Posteriormente en el capitulo 3 se desarrollará el modelo matemático de un

VANT. En el capítulo 5 se hará una descripción del método de estimación seleccionado

para la identi�cación. El capítulo 4, explica el modelado analítico e implementación de un

simulador para la prueba del método de identi�cación. El capítulo 6 describe los datos de

vuelos reales obtenidos y su procesamiento. Luego de la descripción de los datos experi-

mentales, en el capítulo 7 se presentan las técnicas de procesamiento de datos utilizadas.

El capítulo 8 presenta los resultados obtenidos acerca del modelo alcanzado y su capacidad

de predicción. Finalmente el capítulo 9 presenta conclusiones y sugerencias de estudios

futuros.

4 Introducción

1.2. Objetivo

El objetivo de la tesis es lograr como resultado una herramienta que permita ser aplicada

en la identi�cación de los parámetros del modelo dinámico de un VANT a partir de datos

de vuelo. Se explorarán distintos métodos y alternativas, tanto de procesamiento batch

post-facto como de tiempo real, este ultimo de utilidad para un futuro control adaptativo,

analizando ventajas y desventajas de cada opción.

La serie de tareas que se plantean para alcanzar este objetivo son:

Desarrollar un modelo teórico del VANT para poder hacer un estudio previo de la

dinámica de vuelo.

Desarrollar un simulador lineal que permita hacer pruebas teóricas.

Desarrollar un algoritmo de estimación por mínimos cuadrados que encuentre los

valores que de�nen la dinámica total de la aeronave.

Comparar los resultados entre las simulaciones y los datos de vuelo reales.

Capítulo 2

Identi�cación de Sistemas

�La identi�cación de sistemas es la determinación, en base a la

observación de entradas y salidas, de un sistema dentro de una

clase especí�ca de sistemas al cual el problema bajo investiga-

ción sea equivalente [7] .�

� Zadeh

Uno de los objetivos más antiguos y fundamentales de las ciencias humanas es desa-

rrollar modelos matemáticos para sistemas físicos basados en observaciones y mediciones

imperfectas. Esta actividad es conocida como Identi�cación de sistemas [8].

En base a las de�niciones anteriores se puede comenzar a dilucidar los conceptos detrás

de la Identi�cación de Sistemas (IDS). Lo primero que se avista es que no existe una única

manera de llegar a un modelo matemático, y que además al no haber una única técnica para

alcanzarlo, se supone también que no existe un modelo único que represente al problema

físico en cuestión.

La importancia de las técnicas de medición quedan también expresadas, es decir, los

modelos matemáticos son tan representativos de la realidad como precisas sean nuestras

observaciones de la realidad. Las imperfecciones que siempre están presentes en la expe-

rimentación, inducen al desarrollo y aplicación de técnicas de �ltrado y de procesamiento

estadístico que nos determinen datos más �ables, para así obtener modelos más e�cientes,

o equivalentes a la realidad.

El concepto de equivalencia entre modelo matemático y sistema físico, tiene mucho que

5

6 Identificación de Sistemas

ver con la e�ciencia que tenga a la hora de ser aplicado. En otras palabras un buen modelo

matemático, tiene que ser un modelo con la mayor simplicidad posible y que a la vez

cumpla con la función de relacionar las variables en estudio de manera que los resultados

sean útiles a la aplicación en cuestión.

La IDS es uno de los tres problemas generales en el estudio de sistemas dinámicos, los

cuales son:

Simulación: dada la señal de entrada u y el sistema S, el problema consta en encontrar

la salida y.

Control: dado el sistema S y la señal de salida y, se procede a encontrar la entrada u que

produzca el efecto deseado.

Identi�cación de sistemas: dada las señales de entrada u y de salida y, encontrar el

sistema S.

Figura 2.1: Elementos generales de un sistema dinámico.

2.1. Identi�cación de Sistemas y Estimación de Parámetros

La IDS como mencionamos es un método para encontrar un modelo matemático que

describa la dinámica de un sistema a partir del análisis de la evolución de las variables de

entrada y en consecuencia de las variables de salida. Por ende primero debemos diseñar o

producir una señal de entrada que excite el sistema y posteriormente grabar los datos de

2.2 Proceso de Identificación de Sistemas para VANTs 7

salida del sistema. Con estos datos y un modelo matemático postulado a priori se puede

establecer una comparación entre los datos de salida reales o mediciones z y los datos

simulados por el modelo y en función de la entrada diseñada. Esta comparación en general

está dada por una función escalar de costos J que indica el nivel de equivalencia entre

realidad y modelo.

J = f(z, y) (2.1)

Dicha función de costos nos permite encontrar el modelo óptimo para el fenómeno en

estudio. Encontrar el mejor modelo puede ser un trabajo tedioso e improductivo, por lo

que para simpli�car la tarea seleccionamos una clase de modelo M∗ dentro de todos los

modelos posibles M , este nuevo subconjunto de modelos tiene una estructura común, es

decir, se encuentra parametrizadoM∗ = M(θ). Por lo que el proceso de identi�cación pasa

a ser un problema de estimación de parámetros θ, donde como mencionamos anteriormente

el mejor modelo es aquel con los parámetros que minimizan la función de costos J , en este

caso:

J = f(z, y(θ)) (2.2)

La reducción del problema a una estimación de parámetros, nos permite concentrarnos

en la selección de un método de estimación en base a la teoría de inferencia estadística y

estimación.

2.2. Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs

Cuando se encara un proceso de identi�cación de sistemas para un vehículo aéreo, uno

de los primeros puntos a enfrentar es la postulación de un modelo matemático que sea

acorde al comportamiento de la aeronave. Esta primera suposición permite formular una

serie de ecuaciones que están de�nidas por variables conocidas como variables de estados,

variables de entrada o variables de salida. Reconocidas las variables de entrada y de salida,

podemos trabajar en el diseño del experimento para para de�nir las maniobras de entrada

y las variables a ser grabadas para el posterior análisis. Para el caso de un VANT de ala

�ja, que es el problema que se trabaja en esta tesis, el modelo matemático que describe al


sistema está de�nido por la segunda Ley de Newton aplicada a un cuerpo rígido. En forma

general el modelo puede ser descripto como:

mV + ω ×mV = FG(ζ) + FT + FA(V, ω, u, θ) (2.3)

Iω + ω × Iω = MT +MA(V, ω, u, θ) (2.4)

Donde:

m: masa del avión.

I: tensor de inercias.

ζ: vector de actitud.

V : vector de velocidades de traslación.

ω: vector de velocidades angulares.

u: vector de entradas o de control.

FG: Fuerza gravitacional.

FT y MT : Fuerza y momento de propulsión.

FA y MA: Fuerza y momento aerodinámicos.

Como se ve en las ecuaciones las únicas variables que dependen de los parámetros a

estimar θ, son las fuerzas y momentos aerodinámicos. La fuerza gravitacional sólo depende

de la actitud del avión (ángulos de dirección), y las fuerzas de propulsión son conocidas,

comúnmente, por el ensayo en tierra del propulsor y su montaje. La identi�cación de

sistemas queda entonces reducida sólo a la estimación de parámetros que de�nan el modelo

aerodinámico de fuerzas y momentos.

El modelo matemático generalmente se expresa en un espacio de estados, que describe

de manera más completa e integral el fenómeno. Para el caso de la aeronave de ala �ja,

debemos tener en cuenta ademas de estas ecuaciones, las ecuaciones que describen la evo-

lución de la actitud del avión. En conjunto el espacio de estados se puede de�nir de la

siguiente manera:

x(t) = f [x(t), u(t), θ];x(0) = x0 (2.5)

y(t) = h[x(t), u(t), θ] (2.6)


z(i) = y(i) + ν(i) (2.7)

Donde la primer ecuación es conocida como ecuación de estados, la segunda es la

ecuación de salida y la tercera es la ecuación de medición, y donde:

x: variables de estados, que engloban en este caso a V , ω y ζ.

u: vector de entrada, dado por la aceleración del motor y el ángulo de las super�cies

aerodinámicas.

y: variables de salida del modelo.

z: mediciones reales de las variables de salida.

ν: ruido de medición.

La IDS para VANTs de ala �ja puede ser sintetizada entonces como la determinación

de un modelo para FA y MA, y la posterior estimación de los parámetros desconocidos θ

que de�nen el modelo seleccionado. En muchos casos prácticos la estructura del modelo

para las fuerzas y momentos aerodinámicos se asume conocida, por lo que la IDS queda

reducida a la estimación de los parámetros. Esta estimación es también denominada como

Identi�cación de Parámetros (IDP). Para encontrar un modelo matemático de la aeronave

de ala �ja es necesario seguir una serie de pasos que comprende a la IDS para esta aplicación

en especial:

Elección de un modelo.

Diseño de datos entrada.

Registro de datos.

Análisis de compatibilidad de datos.

Determinación de la estructura del modelo.

Estimación de parámetros.

Diagnóstico de colinealidad.

Validación del modelo y optimización.


Análisis de compatibilidad de datos

Determinación de la estructura del modelo

Diagnóstico de

colinealidad

Validación del Modelo y Optimización

Estimación de Parámetros

Registro de

datos

Diseño datos de entrada

Elección de un Modelo

Figura 2.2: Proceso de Identi�cación de Sistemas para VANTs

2.2.1. Elección de un Modelo

La elección de un modelo matemático es la primer tarea en la identi�cación de sistemas.

Esta decisión se basa en la información a-priori de la aerodinámica de la nave y el objeti-

vo de la identi�cación. La idea es seleccionar una clase de modelo (dentro de los muchos

posibles) que podamos optimizar para llegar a resultados de utilidad con la mínima com-

plicación. Los riesgos de una elección incorrecta pueden ser producir un modelo que omita

información importante o que sea inútil para las metas buscadas. La elección del modelo

in�uye directamente en el diseño de las maniobras a ser utilizadas para la experimentación,

así como en la información obtenida al �nal del proceso de identi�cación.

La problemática del modelo expuesto por las ecuaciones 2.3 y 2.4, es la de expresar


matemáticamente las fuerzas y momentos aerodinámicos. Para ello se recurre a expresiones

lineales o polinómicas en función de los estados y variables de control, con parámetros

invariantes en el tiempo a ser estimados.

2.2.2. Diseño de datos entrada

El diseño de las señales de entrada que se introducirán al vehículo es una tarea pri-

mordial en la IDS, ya que dicha señal es la encargada de perturbar el sistema en estudio.

El buen diseño de la maniobra de entrada nos permite excitar los modos dinámicos que

estemos buscando y que aparecerán en la información de salidas, la dinámica que no pertur-

bemos no aparecerá entonces en la información �nal que consigamos del experimento. Por

esta razón es importante diseñar una señal de entrada que nos asegure que la información

necesaria para la identi�cación sea expuesta. Para que los modos dinámicos se muestren

en la información de salida debemos tener en cuenta la forma de la maniobra que de�nirá

las el rango de frecuencias, el tiempo de excitación que in�uye en la aparición de los modos

lentos del proceso y el actuador o variable de entrada que modi�quemos ya que cada uno

in�uye en el comportamiento de distintas dinámicas.

2.2.3. Registro de datos

El sistema de adquisición de datos o aviónica seleccionada para el vuelo es la respon-

sable de registrar toda la información necesaria para la identi�cación. Por ello se deben

seleccionar las variables a sensar junto con los sensores para obtener todos los datos de

entrada y de salida necesarios para la estimación, junto con las condiciones de vuelo y

la con�guración de la aeronave. Es necesario tener en cuenta que las mediciones de los

sensores no son perfectas, sino que están perturbadas por una serie de factores que hacen

que la señal registrada sea ruidosa.

Uno de los principales factores a tener en cuenta con los sensores es la capacidad de

muestreo, es decir, la máxima tasa a la que pueden registrar datos. En general podemos

decir que se necesita una frecuencia de muestreo cinco veces superior a la frecuencia de

corte de los �ltros que se utilicen para procesar la información. La frecuencia de corte de los

�ltros tiene que ser a su vez unas cinco veces superior a la máxima frecuencia en estudio,

lo que supone una frecuencia de muestreo 25 veces superior de los sensores respecto a la


máxima frecuencia de la dinámica estudiada [9]. Esta regla es una guía aproximada para

asegurar que los datos obtengan toda la información acerca de la dinámica estudiada. Para

el proceso de IDS es necesario que todas las variables tengan la misma tasa de muestreo, por

lo que si alguna de las variables posee una frecuencia menor la señal puede ser interpolada,

o en caso de que tenga una frecuencia mayor submuestrear la señal.

Como se menciona anteriormente las señales medidas que se obtienen son ruidosas por

lo que es común que los datos deban ser �ltrados. Es por ello que se pide una señal de

muestreo grande que evite pérdida de información y además es recomendable que todas las

señales sean �ltradas con un �ltro idéntico para evitar sesgos o desfases en la identi�cación.

Otra de las características que debemos tener en cuenta de los sensores es el rango y la

resolución, ya que una elección incorrecta puede acarrear pérdida de información, en el caso

de que la señal tenga una excursión muy pequeña o que se salga del rango máximo. Esta

pérdida de información produce nuevamente un modelo con errores que no representaría

la dinámica del VANT.

Por lo general las mediciones que se realizan en una aeronave son los ángulos de actitud,

las velocidades angulares, las aceleraciones traslacionales, la velocidad respecto al aire y

la posición global. Si bien la industria hace que los sensores evolucionen día a día, existen

una serie de sensores que conservan su utilidad y características, como son los giróscopos,

acelerómetros, magnetómetros, tubos de Pitot y GPSs.

2.2.4. Análisis de compatibilidad de datos

En algunos casos, aunque la instrumentación haya sido cuidadosamente seleccionada

al igual que el experimento, existe error en las mediciones del vuelo. Para veri�car que las

mediciones sean precisas, se realiza un análisis de compatibilidad a través de las ecuaciones

cinemáticas que describen el movimiento de una aeronave. Para ello se realiza una estima-

ción de los estados reales a partir del modelo matemático y de las mediciones reales. Se

intenta descubrir sesgos y/o errores de escala de los sensores.

2.2.5. Estimación de parámetros y estados

Una vez seleccionado el modelo y con las mediciones de entrada y salida de�nidas

por el experimento se procede a la estimación de parámetros que de�nan la descripción


matemática del problema. Este es uno de los pasos más importantes de la IDS, y en los

casos en que la estructura de modelo se asume conocida la reducción nos lleva a que sea el

procedimiento fundamental de la IDP. Para realizar la estimación existen diversas técnicas

de inferencia estadísticas que podemos utlizar, en la práctica se suelen utilizar con éxito

y sin mayores di�cultades estimadores de mínimos cuadrados o de máxima verosimilitud.

Estos estimadores buscan minimizar una función de costos que compara las mediciones

reales con las salidas del modelo encontrado.

Muchas veces la estimación de parámetros depende de estados desconocidos o no medi-

dos. También se presenta el caso en que la medición de los estados están perturbados por

condiciones externas y aleatorias, como ruido eléctrico o turbulencias. Para estas ocasiones

que son la mayoría, los estados se vuelven estocásticos y deben ser estimados estadística-

mente. El �ltro de Kalman se utiliza entonces (casi siempre) para solucionar esta di�cultad,

el mismo estima el valor del estado en función del modelo matemático que describe el fe-

nómeno y de una serie de parámetros que de�nen el ruido en las mediciones, la incerteza

del modelo y el error de estimación a priori.

2.2.6. Diagnóstico de colinealidad

Luego de estimar los valores de los parámetros desconocidos, es importante realizar un

estudio de colinealidad entre ellos. En caso de que los niveles de correlación den bajos,

no existe problema ya que se puede decir que la información de cada uno es linealmente

independiente y dirige a una solución única. Pero en el caso de niveles de colinealidad altos

esto trae problemas en la inferencia estadística y el modelo que encontramos es probable

que sea incorrecto, ya que al haber dependencia lineal existen varias combinaciones de

parámetros posibles. Una vez detectada la colinealidad se procede a estudiar cuánto afectan

a los valores de los parámetros y como se puede corregir dicha desviación.

2.2.7. Validación del Modelo y Optimización

Finalizada la de�nición del modelo y estimado sus parámetros se debe hacer una prue-

ba de funcionamiento, este es el último paso de la identi�cación. Para saber si el modelo

identi�cado es correcto, los parámetros deben tener una coherencia física y un orden de

magnitud aceptable. Además el modelo debe tener una capacidad de predicción satisfac-


toria para sus �nes.

Los parámetros obtenidos se recomienda compararlos con predicciones teóricas, me-

diciones en túneles de viento, simulaciones de dinámica de �uidos computacional u otras

estimaciones a partir de datos de vuelos o métodos distintos. La capacidad de predicción se

puede medir a través de la comparación entre las mediciones de salida reales y las salidas

predecidas por el nuevo modelo. Para ello se utiliza un conjunto de datos no utilizados en

la estimación.

Finalmente, comparando la capacidad de predicción podemos aceptar o rechazar el

modelo identi�cado. Es decir si la capacidad de predicción supera un umbral �jado por la

utilidad para una aplicación determinada, la propuesta se acepta. En cambio, si el umbral

de predicción no es superado, rechazamos el modelo, debiendo hacer una re-evaluación del

modelo elegido, el experimento diseñado o el método de estimación.

2.3. Estado Actual de la IDS en VANTs

Puede encontrarse bibliografía de calidad y varias investigaciones acerca de la temática

de IDS en VANTs con aplicaciones variadas. Si bien la aplicación de la IDS en VANTs es

relativamente nueva, debido al reciente auge de los drones, la investigación basada en datos

de vuelos de aeronaves comenzó a mediados del siglo pasado y fue incrementándose cada vez

más con el desarrollo de las computadoras [8]. Hoy en día organizaciones como el Intituto

Americano de Aeronáutica y Astronáutica (AIAA: American Institute of Aeronautics and

Astronautics) ofrecen una amplia información y contribuyen a investigaciones en el ámbito

aeroespacial.

Los VANTs no tienen todos iguales características, por lo que podemos agruparlos de

alguna manera por su forma de vuelo. Uno de los casos (el de esta tesis en particular)

corresponde a los vehículos de ala �ja cuya aerodinámica esta de�nida principalmente por

la forma de sus alas. Por otro lado tenemos las aeronaves de tipo helicóptero, los drones

multirotores, entre otras [10].

2.3.1. VANTs de ala �ja

La IDS aplicada a aeronaves de ala �ja se utiliza en conjunto con estudios analíticos

y experimentos en túneles de viento. En general, las primeras aproximaciones teóricas ba-

2.3 Estado Actual de la IDS en VANTs 15

sadas en principios físicos dan resultados que no siempre tienen la precisión buscada. Y

en el caso de las experiencias en laboratorio suelen ser costosas y no siempre mejoran la

precisión del modelo para ser utilizado en condiciones reales. En la literatura del tema se

encuentra la aplicación de la IDS para mejorar la certeza de algunos parámetros aerodi-

námicos especí�cos o mejorar modelos de ciertas maniobras particulares como el despegue

o aterrizaje. También es ampliamente utilizada para la optimización de los controladores

aeronáuticos.

2.3.2. Otros tipos de VANTs

La IDS también es utilizada para otro tipo de aeronaves como es el caso de los VANTs

tipo helicóptero cuyo modelo matemático es más complejo y menos e�ciente que para el

caso de los aviones, por lo que el análisis de datos reales tiene mucha importancia.

Para el caso de los VANTs multirotores (cuadracópteros, hexacópteros, octacópteros,

etc), el principio de funcionamiento de estos vehículos se basa en el control de velocidad

de cada una de los motores, es decir, los movimientos son consecuencia de la diferencia de

torques de los distintos rotores. Este tipo de VANT es uno de los vehículos más producidos

comercialmente, pero en cuanto a la identi�cación de sistemas no se encuentra mucha

información ya que solamente basta con modelar precisamente los rotores.

Otros VANTs que están siendo investigados actualmente son los de aleteo, estos están

basados en movimientos biológicos de insectos o aves, su desarrollo es novedoso y la iden-

ti�cación de sistemas puede tener especial importancia en el modelado de estos sistemas;

al igual que en el caso de VANTs de tipo dirigibles que han sido pensados para su utiliza-

ción en lugares donde las condiciones atmosféricas no son las normales, como por ejemplo

montañas de gran altura. La identi�cación de estos sistemas lleva a un modelo similar al

de un vehículo submarino.

2.3.3. Métodos de Estimación utilizados

Como se menciona en la sección de estimación de parámetros, existen diversos métodos

de estimación e inferencia estadística, algunos de los estimadores y procesos utilizados son:

Método de Salida-Error


Método de Predicción-Error

Método de Máxima Verosimilitud

Mínimos Cuadrados

Filtro de Kalman Óptimo

Filtro de Kalman Extendido

Filtro de Kalman-Uhlmann

Redes Neuronales

Regresión Lineal

Capítulo 3

Modelo Matemático de la

Aerodinámica de un Vehículo Aéreo

El modelo matemático de una aeronave tiene como objetivo establecer una relación

entre las fuerzas y momentos aerodinámicos y las super�cies aerodinámicas de control,

la velocidad y la orientación del vehículo. En general, un modelo consta de una serie de

parámetros que de�nen la relación matemática, es en la estimación de estos parámetros

que la identi�cación de sistemas es de vital importancia para la correcta modelización.

Para realizar la estimación de parámetros, primero se debe contar con un modelo ma-

temático ya postulado. Afortunadamente, para aeronaves existe un modelo aerodinámico

muy estudiado, el mismo cuenta con las ecuaciones que de�nen la cinemática y dinámica

del problema. Estas ecuaciones se desarrollarán a partir de las leyes de la mecánica de

Newton.

Las ecuaciones son exclusivamente ecuaciones diferenciales de tiempo continuo. Esto

permite obtener un modelo con parámetros que tienen un signi�cado físico para la esta-

bilidad y control de la aeronave, por lo que se puede tener un mejor entendimiento del

problema. El hecho de que los parámetros tengan un signi�cado físico, hace de interés

tener una buena estimación de los mismos y conocer las incertidumbres asociadas.

El modelo con el que se trabajará está pensado para aeronaves convencionales de ala

rígida. Se considera que la misma es un cuerpo rígido, lo cual en general es una aproximación

muy utilizada que logra buenos resultados. Finalmente se presenta el modelo en el espacio

de estados con el que se trabaja para la simulación e identi�cación de la dinámica de las

17

18 Modelo Matemático de la Aerodinámica de un Vehículo Aéreo

aeronaves en estudio.

3.1. Marcos de referencia y Convenciones de signos

Previo al desarrollo de las ecuaciones de movimiento de una aeronave, es necesario

de�nir los marcos de referencia y las convenciones de signos que se utilizan. Los marcos

de referencia que de�niremos a continuación son de suma importancia para comprender la

dinámica del problema. Todos los marcos de referencia poseen ejes ortogonales y siguen la

convención de la mano derecha [8].

3.1.1. Marcos de Referencia

Marco de referencia en el cuerpo (MB)

Este marco de referencia es más conocido como sistema de ejes del cuerpo. Se utiliza

la letra B (Body) como subíndice para indicarlo. Los ejes XB y ZB se encuentran en el

plano de simetría del avión y el origen del correspondiente sistema de coordenadas puede

o no coincidir [11] con el centro de gravedad del avión.

El eje XB es positivo en la dirección que apunta hacia la nariz del avión, ZB en la que

apunta �hacia abajo� y el YB en la que apunta al ala derecha (completa la terna).

Marco de referencia de estabilidad (MS)

Este marco de referencia es más conocido como sistema de ejes de estabilidad. Se utiliza

la letra S (de stability) como subíndice para indicarlo. También es un marco de referencia

solidario al cuerpo y su origen de coordenadas coincide con el centro de gravedad del avión.

La diferencia con el marco MB radica en las orientaciones de los ejes X y Z. El eje XS

es elegido paralelo a la proyección sobre el plano de simetría del vector velocidad. El plano

XB −ZB coincide con el XS −ZS (pero no cada eje en particular necesariamente), y el eje

YB coincide con el YS .

En este marco de referencia se calculan las derivativas de estabilidad.

3.1 Marcos de referencia y Convenciones de signos 19

Marco de referencia de la ruta de vuelo (MW)

Este sistema de referencia también se conoce como ejes del viento. Se utiliza la letra W

(de wind) como subíndice para indicarlo. También es un marco de referencia �jo al cuerpo.

Su origen de coordenadas coincide con el centro de gravedad del avión.

La diferencia con los anteriores radica en que se elige su eje XW de manera que coincida

con la dirección del vector velocidad. El eje ZW coincide con el ZS .

Figura 3.1: Sistemas de coordenadas I [12].

Marco de referencia �jo en tierra (ME)

Se utiliza la letra E (de Earth) como subíndice para indicarlo.

Es un marco de referencia �jo en el espacio y puede ser elegido arbitrariamente. Se lo

elige de manera que los ejes ZE , YE , XE apunten en la dirección local de la aceleración de

la gravedad, hacia el Este y hacia el Norte, respectivamente.

Marco de referencia vertical transportado con el vehículo (MV)

Se utiliza la letra V (de Vehicle - carried) como subíndice para indicarlo. Es un marco

de referencia �jo al cuerpo y cuyo origen coincide con el centro de gravedad del avión.

Los ejes ZV , YV , XV apuntan en la dirección local de la aceleración de la gravedad,

hacia el Este y hacia el Norte, respectivamente. Es decir, es un sistema de referencia

siempre paralelo al �jo en tierra, pero con la diferencia de que se traslada con el avión y

es el marco de referencia inercial para movimientos de corto plazo.


Figura 3.2: Sistemas de coordenadas II [12].

3.2. Cinemática de una aeronave

Para poder entender y derivar el modelo de una aeronave es necesario conocer, primero

que nada, los movimientos que puede realizar la misma. También es importante sumergirse

en el vocabulario técnico que se utiliza para describirlos, ya que será utilizado durante todo

el desarrollo de la presente tesis.

Como ya vimos los marcos de referencia para describir el comportamiento de una

aeronave son varios y cada uno tiene su utilidad especí�ca. Para estudiar la cinemática

de la aeronave nos concentraremos en el sistema body y el sistema Tierra �jo al vehículo.

De la cinematica de un cuerpo rígido tridimensional sabemos que existen seis grados

de libertad o seis movimientos que podemos describir. Los tres movimientos de traslación

en x,y,z, y las tres rotaciones respecto a dichos ejes. Para el caso de los movimiento tras-

lacionales no hay mucho que decir al respecto, más que se pueden referenciar a alguno de

los sistemas de coordenadas descriptos. Para el caso de la rotaciones podemos reconocer

tres movimientos típicos de la aeronáutica:

Alabeo o Balanceo (roll): rotación respecto al eje longitudinal, eje imaginario que se

extiende desde la nariz a la cola del avión.

Cabeceo (pitch): rotación respecto al eje lateral, eje imaginario que se extiende de

punta a punta de las alas del avión.

Guiñada (yax): rotación respecto al eje vertical.

3.2 Cinemática de una aeronave 21

Estos movimientos pueden ser obtenidos matemáticamente de la comparación entre los

marcos de referencia body y el marcoTierra �jo al vehículo, surge entonces el concepto de

actitud. La actitud de una aeronave se de�ne como la orientación angular. Entonces los

ángulos que caracterizan la actitud de la aeronave no son mas que una aplicación particular

de los ángulos de Euler (φ, θ, ψ) [11].

Existe un cierto numero de formas (basadas en el orden de las rotaciones) de realizar

las rotaciones que conectan un sistema con otro. En particular utilizaremos la siguiente:

Empezamos con el sistema Body (x, y, z) alineado con el sistema inercial (X,Y, Z) y

realizamos 3 rotaciones para reorientar el sistema Body (notación: c ≡ cos, s ≡ sin):

1. Rotamos ψ sobre Z, los cual nos lleva a (x′, y′, z′)

x′

y′

z′

=

cψ sψ 0

−sψ cψ 0

0 0 1

X

Y

Z

= T3(ψ)

X

Y

Z

(3.1)

2. Rotamos θ sobre y′, los cual nos lleva a (x′′, y′′, z′′)

x′′

y′′

z′′

=

cθ 0 −sθ

0 1 0

sθ 0 cθ

x′

y′

z′

= T2(θ)

x′

y′

z′

(3.2)

3. Rotamos φ sobre x′′, los cual nos lleva a (x, y, z)

x

y

z

=

1 0 0

0 cφ sφ

0 −sφ cφ

x′′

y′′

z′′

= T1(φ)

x′′

y′′

z′′

(3.3)


Figura 3.3: Ángulos de Euler [13].

Entonces la transformación completa la podemos escribir como:

x

y

z

= T1(φ)T2(θ)T3(ψ)

X

Y

Z

(3.4)

=

cθcψ cθsψ −sθ

−cφsψ + sφsθcφ cφcψ + sφsθsψ sφcθ

sφsψ + cφsθcψ −sφcψ + cφsθsψ cφcθ

X

Y

Z

(3.5)

(3.6)

Dadas las reglas de transformación, para obtener la velocidad angular, tenemos que incluir

tres términos:

ψ alrededor de Z

θ alrededor de y′

3.3 Dinámica 23

φ alrededor de x′′

Es posible ver que la velocidad angular del avión respecto al sistema de referencia

inercial es [11]:

ω =

p

q

r

= T1(φ)T2(θ)

0

0

ψ

+ T1(φ)

0

θ

0

+

φ

0

0

(3.7)

O alternativamente,

p = φ− ψ sin θ

q = θ cosφ+ ψ cos θ sinφ

r = −θ sinφ+ ψ cos θ cosφ

Con inversa:

φ = p+ ψ sin θ

θ = q cosφ− r sinφ

ψ = qsinφ

cos θ+ r

cosψ

cos θ

Ejemplo: Fuerza de Gravedad en Sistema Body

Como ejemplo de transformación podemos considerar la fuerza gravitatoria. La grave-

dad actúa a través del centro de gravedad en dirección vertical (+Z en el marco inercial).

Utilizando lo desarrollado en la sección anterior podemos expresar:

F gB = T1(φ)T2(θ)T3(ψ)

0

0

mg

= mg

− sin θ

sinφ cos θ

cosφ cos θ

(3.8)

3.3. Dinámica

Repasamos a continuación las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido. Salvo

aclaración, en todos los casos los vectores se re�eren a los ejes solidarios al cuerpo rígido

de la aeronave (Sistema Body).


3.3.1. Dinámica de cuerpo rígido

Podemos entonces escribir el conjunto de ecuaciones para el solido rígido (avión). Si

m~v, ~H ,~F , ~T , I y ~ω son el momento lineal del avión, el momento angular, la fuerza total,

el torque total (respecto al centro de masa), el tensor de inercia y la velocidad angular del

sistema Body (respecto al inercial), podemos escribir el conjunto de derivadas (totales en

el sistema inercial),

~F =d(m~v)

dt(3.9)

~T =d ~H

dt=dI~ω

dt(3.10)

Antes de proseguir detallamos algunas suposiciones que nos permitirán simpli�car

(cuando sea necesario) el tratamiento.

La cantidad de masa suponemos que permanece constante al menos durante los in-

tervalos de evaluación de la dinámica (esto nos permite en (3.9) sacar la masa m

fuera de la derivada).En el caso, en el cual los cambios de masa deban incluirse, se-

guiremos suponiendo valida la aproximación de masa cuasiestatica. Pero evaluaremos

los cambios de la misma y lo que ello conlleve (por ejemplo, momentos de inercia,

etc.) como una sucesión de estados de equilibrio.

La aeronave es un cuerpo rígido. Si bien esta hipótesis es fuerte, las deformaciones

siempre pueden incluirse o tratarse como perturbaciones de orden superior, aumen-

tando el espacio de estados de nuestro sistema.

La tierra es un sistema de referencia inercial. Esto claramente no es cierto pero si es

una muy buena aproximación.

Encontrar la solución del conjunto (3.9) no es una tarea fácil si se usa un sistema de

referencia inercial, ya que el tensor de inercia varía en el tiempo a medida que el avión se

traslada y rota. Para solucionar este problema, se utiliza un marco de referencia solidario

al avión y cuyo origen coincide con el centro de gravedad de éste. Bajo estas condiciones

3.3 Dinámica 25

podemos escribir entonces:

~F = m(~v +BI ~ω × ~v) (3.11)

~T = ~HB +BI ~ω × ~H

Si realizamos el mapeo de ~v y BIω en el sistema Body tenemos que (~v)B = ui+vj+wk

y BIω = pi+ qj + rk o (~v)B = [u v w]T y BIω = [p q r]T . En forma similar para el

momento angular podemos escribir, ~HB = [Hx Hy Hz]T

HB =

Hx

Hy

Hz

=

Ixx Ixy Izx

Ixy Iyy Izy

Izx Izy Izz

p

q

r

(3.12)

El conjunto de ecuaciones de movimiento sera entonces (utilizando (3.11)):

1

m

Fx

Fy

Fz

=

u+ qw − rv

v + ru− pw

w + pv − qu

(3.13)

y

Tx

Ty

Tz

=

Ixp+ Ixz r + (Iz − Iy)qr + Ixzpq +

[Iyz(q

2 − r2) + Ixy(q − rp)]

Iy q + (Ix − Iz)pr + Ixz(r2 − p2) + [Ixy(p+ rq) + Iyz(r − pq)]

Iz r + Ixz p+ (Iy − Ix)pq − Ixzrq +[Ixy(p

2 − q2) + Iyz(pr + q)] (3.14)

LA ecuación (3.14) constituye la ecuación general de torques en sistema Body. Para

aeronaves lateralmente simétricas (re�ejadas en xz) es posible mostrar que Ixy = Iyz = 0.

Bajo esta condición podemos expresar (3.14) en la forma:

Tx

Ty

Tz

=

Ixp+ Ixz r + (Iz − Iy)qr + Ixzpq

Iy q + (Ix − Iz)pr + Ixz(r2 − p2)

Iz r + Ixz p+ (Iy − Ix)pq − Ixzrq

(3.15)


3.4. Linealizacion y separación de las Ecuaciones de Movi-

miento

En la sección 3.3 notamos que la descripción del movimiento de la aeronave involucraba

seis ecuaciones simultaneas no-lineales. Si incluimos las ecuaciones cinematicas tenemos que

[12],

Fuerza

u = rv − qw + Fx/m

v = −ru+ pw + Fy/m

w = qu− pv + Fz/m

Cinemática

φ = p+ tan θ (q sinφ+ r cosφ)

θ = q cosφ− r sinφ

ψ = (q sinφ+ r cosφ) / cos θ

Momentos

Γp = Jxz [Jx − Jy + Jz] pq −[Jz(Jz − Jy) + J2

xz

]qr + JzTx + JxzTz

Jy q = (Jz − Jx) pr − Jxz(p2 − r2

)+ Ty

Γr =[(Jx − Jy)Jx + J2

xz

]pq − Jxz [Jx − Jy + Jz] qr + JxzTx + JxTz

Γ = JxJz − J2xz

Para las fuentes ~F , ~T consideramos un esquema de análisis propuesto originalmente

por Bryan [14], quien consideraba que las fuerzas/momentos son debidas a fenómenos

aerodinámicos, efectos gravitatorios, movimiento de los controles aerodinámicos, propulsión

de la aeronave y efectos atmosféricos. Si ~A es una fuerza/momento

~A = ~Aa + ~Ag + ~Ac + ~Ap + ~Ad (3.16)

Cada ~Aj constituye el aporte, aerodinámico, gravitatorio, de control, propulsión y atmos-

férico respectivamente.

La idea original consistía en expandir el conjunto de fuerzas y momentos aerodinámicos

en términos de los parámetros resultantes de las perturbaciones. Para ello consideraba

expansiones de las fuerzas/momentos en la forma,

Aa =∑i

∑j

[∂j

∂ζjiAa

]ζji (3.17)

3.4 Linealizacion y separación de las Ecuaciones de Movimiento 27

Para Aa = Fxa , Fya , . . . una fuerza/momento y ζ = {u, v, w, p, q, r, . . .}.

Si bien la expansión general incluye todos los órdenes, en el esquema de pequeñas

perturbaciones solamente el primer orden (llamado Derivativa de estabilidad) es signi�cante

e inclusive no en todos los casos.

Para las fuerzas y momentos aerodinámicos es usual considerarlos en la forma,

Fx = SqdCx (3.18)

Fy = SqdCy (3.19)

Fz = SqdCz (3.20)

Tx = SqdcCl (3.21)

Ty = SqdcCm (3.22)

Tz = SqdcCn (3.23)

donde S es la super�cie de referencia, qd es la llamada presion dinamica (qd = 0,5ρV 2T , ρ es el

peso especí�co del aire y VT es la velocidad respecto a la atmósfera) y Cj son los coe�cientes

aerodinamicos (los cuales se consideraran para expansion). Para más informacion sugerimos

el capitulo II de la referencia [12].

Los coe�cientes aerodinámicos serán trabajados en esta tesis como expansiones de Tay-

lor de primer orden respecto a las condiciones de vuelo equilibrado. Matemáticamente

podemos expresarlos de manera dimensional o adimensional respectivamente:

Cj = Cj0 + Cju∆u+ Cjv∆v + · · · (3.24)

J = J0 + Ju∆u+ Jv∆v + · · · (3.25)

La expansión de Taylor se hace en función de los estados que de�nen el estado dinámico

del sistema, en este caso del modelo desarrollados tenemos las velocidades traslacionales

u, v y w y las velocidades rotacionales p, q y r, y además en general de los parámetros de

entrada δ. Los coe�cientes:

Cju =∂Cj∂u

∣∣∣0Cjv =

∂Cj∂v

∣∣∣0· · ·

Ju = ∂J∂u

∣∣0Jv = ∂J

∂v

∣∣0· · ·


son las derivadas parciales de los coe�cientes aerodinámicos respecto a las variables de

estado y de entrada evaluadas bajo la condición de equilibrio. También conocidas como

derivativas de estabilidad y control.

3.4.1. Comentarios

Algunas notas para tener en cuenta:

Las expansiones son una aproximación puesto que ignoran �lags� en las fuerzas aero-

dinámicas (se supone que las fuerzas son solo función de sus valores instantáneos)

Si bien la expansión general incluye todos los ordenes, en el esquema de pequeñas

perturbaciones solamente el primer orden es signi�cante e inclusive no en todos los

casos.

Los análisis sobre el aporte dominante en las expansiones, se suelen discutir en tér-

minos de

� Variables Simétricas: u,w, q y fuerzas/torques: Fx, Fy, Ty

� Variables Asimétricas: v, p, r y fuerzas/torques: Fy, Tx, Tz

Para vuelos simétricos, Fy, Tx, Tz = 0 independiente del valor de u,w, q. Por lo que

las derivadas de las fuerzas o torques asimétricos respecto de las variables simétricas

serán nulas.

3.4.2. Ecuaciones de movimiento en el espacio de Estados

El movimiento o estado de cualquier sistema dinámico lineal puede ser descrito por

un conjunto mínimo de variables llamadas variables de estado. El número de variables

necesarias es dependiente en forma directa del numero de grados de libertad del sistema.

La ecuación de movimiento o ecuación de estado del sistema multivariable (invariante

temporalmente) se escribe en la forma:

~x(t) = [A]~x(t) + [B]~u(t) (3.26)

donde

3.5 Ecuaciones de Movimiento Linealizadas 29

~x(t) es el vector columna de n variables de estado llamado vector de estado.

~u(t) es el vector columna de m variables de entrada llamado vector de entrada.

[A] es la llamada matriz de estado (n×n).

[B] es la llamada matriz de entrada (n×m).

Para muchos sistemas algunas de las variables de estado pueden ser inaccesibles o su

valor puede no ser determinado en forma directa. Esto implica la existencia de una segunda

ecuación la cual determina las variables de salida del sistema:

~y(t) = [C]~x(t) + [D]~u(t) (3.27)

donde

~y(t) es el vector columna de r variables de salida llamado vector de salida/resultados.

[C] es la llamada matriz de salida (r×n).

[D] es la llamada matriz directa (r×m).

3.5. Ecuaciones de Movimiento Linealizadas

Se puede mostrar que [12] el conjunto de ecuaciones de movimiento de un aeroplano se

separa bajo ciertas condiciones en dos sets de ecuaciones llamados:

Longitudinales, que involucran: u,w, q y fuerzas/torques: Fx, Fy, Ty

Laterales-Direccionales, que involucran: v, p, r y fuerzas/torques: Fy, Tx, Tz

En las siguientes secciones mostramos las expresiones para cada uno de estos sets.

Un cambio de coordenadas comúnmente aplicado consiste en expresar el vector de

velocidad [uvw]T mediante el módulo de la velocidad respecto al aire VT , el ángulo de

ataque α que indica la forma en que el viento incide respecto al plano longitudinal horizontal

y el ángulo de deslizamiento lateral β que indica la forma en que el viento incide respecto

al plano longitudinal vertical. Además las fuerzas Fx y Fz son reemplazadas en función de

la fuerzas de arrastre (drag) FD y de sustentación (lift) FL.


3.5.1. Ecuaciones Longitudinales en el espacio de estados

Se puede mostrar que el conjunto de ecuaciones de movimiento longitudinales lineali-

zadas satisface [12],

VTe 0 0 0

0 VTe − Zα 0 0

0 −Mα 1 0

0 0 0 1

˙

vT

α

q

θ

=

(XV +XTV cos (αe + αxth) ∗ VTe Xα 0 −g cos γe

(ZV −XTV sin (αe + αxth) ∗ VTe Zα VTe + Zq −g sin γe

(MV +MTV ) ∗ VTe Mα +MTα Mq 0

0 0 1 0

vT

α

q

θ

+

Xδe Xδn cos (αe + αxth)

Zδe −Xδn sin (αe + αxth)

Mδe Mδn

0 0

δeδn

(3.28)

Donde:

vT : variación de la velocidad total respecto a la de equilibrio dividida la velocidad de

equilibrio.

α: variación del ángulo de ataque respecto al equilibrio.

q: velocidad de cabeceo.

θ: variación del ángulo de cabeceo respecto del equilibrio.

δe: de�exión del elevador respecto al punto de equilibrio.

δn: variación de la velocidad del motor respecto a la velocidad de equilibrio.

vTe : velocidad total de equilibrio.

αe: ángulo de ataque de equilibrio.

αxth: ángulo de ataque de la propulsión.

γe: ángulo de trayectoria (path angle) de equilibrio.

El conjunto de derivativas necesarias y su de�nición se explican en la tabla siguiente,

3.6 Modos de oscilación longitudinales 31

Derivativas Dimensionales Longitudinales Derivativas Adimensionales Longitudinales

XV = −qdSmVTe

(2CDe + CDV ) CDV ≡ VTe∂CD∂VT

XTV = qdSmVTe

(2CTe + CTV ) CTV ≡ VTe∂CT∂VT

Xα = qdSm (CLe − CDα) CDα ≡ ∂CD

∂α

Xδe = −qdSm CDδe CDδe ≡

∂CD∂δe

ZV = −qdSmVTe

(2CLe + CLV ) CLV ≡ VTe∂CL∂VT

Zα = −qdSm (CDe + CLα) CLα ≡ ∂CL

∂α

Zα = −qdSc2mVTe

CLα CLα ≡2VTec

∂CL∂α

Zq = −qdSc2mVTe

CLq CLq ≡2VTec

∂CL∂Q

Zδe = −qdSm CLδe CLδe ≡

∂CL∂δe

MV = qdScJyVTe

(2CMe + CMV) CMV

≡ VTe ∂CM∂VT

MVT = qdScJyVTe

(2CMT+ CMT V

) CMT V≡ VTe

∂CMT∂VT

Mα = qdScJy

CMα CMα ≡ ∂CM∂α

Mα = qdScJy

c2VTe

CMα CMα ≡2VTec

∂CM∂α

Mq = qdScJy

c2VTe

CMq CMq ≡2VTec

∂CM∂Q

Mδe = qdScJy

CMδeCMδe

≡ ∂CM∂δe

Notamos que el conjunto de ecuaciones (3.28) implica un sistema de la forma:

[M ]~x(t) = [A′]~x(t) + [B′]~u(t) (3.29)

Para llevar el conjunto de ecuaciones a la forma de�nida (3.26), debemos multiplicar por

la inversa de la matriz M (llamada usualmente matriz de masas - Mass Matrix ),

~x(t) = [M ]−1[A′]~x(t) + [M ]−1[B′]~u(t) (3.30)

3.6. Modos de oscilación longitudinales

Recordemos el conjunto de ecuaciones que describen el estado de nuestro sistema,

~x(t) = [A]~x(t) + [B]~u(t) (3.31)

~y(t) = [C]~x(t) + [D]~u(t) (3.32)


Transformando en Laplace (suponiendo condiciones iniciales nulas) y despejando po-

demos escribir:

~y(s) =(

[C] (s[I]− [A])−1 [B] + [D])~u(s) = [G](s)~u(s) (3.33)

[G](s) es la llamada matriz de funciones de transferencia. En general la función de trans-

ferencia tiene la forma:

[G](s) =1

∆(s)[N ](s) (3.34)

∆(s) es el llamado polinomio característico y es a partir del cual se estudian las caracterís-

ticas de estabilidad de las aeronaves. Básicamente la forma de la respuesta funcional -para

cada variable- es indicada por el comportamiento del polinomio. Para las ecuaciones lon-

gitudinales el polinomio (para una aeronave clásica) es de cuarto orden y se suele escribir

en la forma:

(s2 + 2ζpωps+ ω2p)(s

2 + 2ζsωss+ ω2s) = 0 (3.35)

A partir de (3.35) queda en forma explicita la existencia de dos oscilaciones distintas, una

de periodo corto llamada modo de periodo corto (short - ωs) y una de periodo largo llamado

fugoide (phugoid - ωp).

3.6.1. Modos de oscilación longitudinales: Periodo Corto

El modo de periodo corto es usualmente una oscilación fuertemente amortiguada del

orden de segundos (de periodo) alrededor del eje oy. En cualquier caso, que el equilibrio

en pitch es perturbado, este modo se mani�esta, principalmente en las variables α, q, θ.

Una característica distintiva de este modo es que la velocidad permanece casi constante

∆u ' 0, sumado a que el periodo es pequeño, la inercia del sistema y los momentos

asociados aseguran que la respuesta en el tiempo característico del modo sea despreciable.

La habilidad de una aeronave para auto-amortiguar un pequeña perturbación de este tipo

es uno de los criterios más generales para certi�car una aeronave.

En la aproximación de periodo corto ∆(s) tiene la forma [12]:

∆(s) = (VTe − Zα)s2 − [Zα + (VTe − Zα)Mq + (VTe + Zq)Mα]s

+MqZα − (VTe + Zq)Mα


Figura 3.4: Oscilación longitudinal de periodo corto [11].

A partir de la cual se puede derivar las expresiones,

ω2s =

MqZα −Mα(VTe + Zq)

VTe − Zα(3.36)

−2ζsωs = Mq +Mα(VTe + Zq) + Zα

VTe − Zα(3.37)

3.6.2. Modos de oscilación longitudinales: Periodo largo - Phugoid

El modo de oscilación de periodo largo es llamado fugoide (-phugoid) y contempla una

variación de v, θ, h (para h altitud), pero no variación del ángulo de ataque (α). El modo

phugoid es básicamente un intercambio entre energía cinética y energía potencial y su

periodo es del orden del minuto.

El modelo de Lanchester

Figura 3.5: Oscilación longitudinal de periodo largo - phugoid [11].


Lanchester fue el primero en introducir un análisis en relación a este tipo de oscilación.

Básicamente consideraba:

1. Aeronave en vuelo estable y nivelado.

2. Energía total (de la aeronave) constante.

3. Ángulo de ataque constante y en su valor de compensación.

4. El empuje compensa el arrastre.

5. El movimiento es lento (en el sentido que la tasa de cambio de θ puede ser ignorada).

A partir de 2),mU2

0

2=mU2

2+mgh→ U2 = U2

0 − 2gh (3.38)

Considerando 1) y 3),

Le =ρU2

0SCL2

= mg (equilibrio) (3.39)

L =ρU2SCL

2(perturbado) (3.40)

Lo cual combinado, podemos llevar a la forma L = mg−ρghSCL. Ademas, mh = L cos θ−

mg ' L−mg y �nalmente,

h+

(ρgSCLm

)h = 0→ ωp =

√ρgSCLm

=g√

2

U0(3.41)

Es decir la aproximación de Lanchester nos indica que la frecuencia del modo phugoid

es inversamente proporcional a la velocidad de equilibrio y que su constante de amortigua-

miento es nula.

Aproximación al Modo Phugoid a partir de las Ecuaciones longitudinales

En lineas anteriores comentamos que en el modo fugoide (o phugoid) se cumple α ∼ αe,

es decir que no existe variación del ángulo de ataque. Bajo esta suposición y en un análisis


mas detallado se encuentra que,

ω2p = g

Mα(ZV −XTV sin (αe + αth)− Zα(MV +MTV )

MqZα −Mα(VTe + Zq)(3.42)

−2ζpωp = X∼V

+Xα[Mq(ZV −XTV sin (αe + αth))− (VTe + Zq)(MV +MTV )]

MqZα −Mα(VTe + Zq)(3.43)

X∼V = XV +XTV cos (αe + αth) (3.44)

3.6.3. Ecuaciones Laterales Direccionales en el espacio de estados

Se puede mostrar que el conjunto de ecuaciones de movimiento laterales linealizadas

satisface [12],

[M ]~x(t) = [A′]~x(t) + [B′]~u(t) (3.45)

~y(t) = [C]~x(t) + [D]~u(t) (3.46)

donde podemos identi�car las matrices,

VTe 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

˙

β

p

r

φ

ψ

=

Yβ Yp Yr − VTe −g cos (θe) 0

L′β L

′p L

′r 0 0

N′β N

′p N

′r 0 0

0 cos(γe)cos(θe)

sin(γe)cos(θe)

0 0

0 sin(αe)cos(θe)

cos(αe)cos(θe)

0 0

β

p

r

φ

ψ

+

Yδa Yδr

L′δa

L′δr

N′δa

N′δr

0 0

0 0

δaδr

(3.47)

Donde:

β: ángulo de deslizamiento lateral.

p: velocidad de alabeo.

r: velocidad de guiño.


φ: ángulo de alabeo.

ψ: ángulo de guiño.

δa: de�exión de los alerones.

δr: variación del timón de cola (rudder).

θe: ángulo de cabeceo de equilibrio.

El conjunto de derivativas necesarias y su de�nición se explican en la tabla siguiente,

Derivativas Dimensionales Longitudinales Derivativas Adimensionales Longitudinales

Yβ = qdSm (CYβ ) CYβ ≡ −

(∂CC∂β + CDe

)Yp = qdSb

2mVTeCYp CYp ≡

−2VTeb

∂CC∂PS

Yp = qdSb2mVTe

CYr CYr ≡−2VTeb

∂CC∂RS

Yδr = qdSm CYδr CYδr ≡

−∂CC∂δr

Yδa = qdSm CYδa CYδa ≡

−∂CC∂δa

Lβ = qdSb

J ′xClβ Clβ ≡

∂Cl∂β

Lp = qdSb

J ′x

b2VTe

Clp Clp ≡2VTeb

∂Cl∂P

Lr = qdSb

J ′x

b2VTe

Clr Clr ≡2VTeb

∂Cl∂R

Lδr = qdS

J ′xClδr Clδr ≡

∂Cl∂δr

Lδa = qdS

J ′xClδa Clδa ≡

∂Cl∂δa

Nβ = qdSb

J ′xClβ Clβ ≡

∂Cl∂β

Np = qdSb

J ′z

b2VTe

Cnp Cnp ≡2VTeb

∂Cn∂P

Nr = qdSb

J ′z

b2VTe

Cnr Cnr ≡2VTeb

∂Cn∂R

Nδr = qdS

J ′zCnδr Cnδr ≡ ∂Cn

∂δr

Nδa = qdS

J ′zCnδa Cnδa ≡ ∂Cn

∂δa

3.7 Modos laterales - direccionales 37

Ademas utilizamos las siguientes de�niciones:

J′x = Jx cos(α)2 + Jz sin(α)2 − Jxz sin(2α) (3.48)

J′y = Jy (3.49)

J′z = Jx sin(α)2 + Jz cos(α)2 + Jxz sin(2α) (3.50)

J′xz =

1

2(Jx − Jy) sin(2α)2 + Jxz cos(2α) (3.51)

Γ = J′xJ

′z − J

′xz

2(3.52)

µ =J

′xJ

′z

Γ(3.53)

σ1 =J

′zJ

′xz

Γ(3.54)

σ2 =J

′xJ

′xz

Γ(3.55)

L′β = µLβ + σ1Nβ (3.56)

N′β = µNβ + σ2Lβ (3.57)

L′δa = µLδa + σ1Nδa (3.58)

N′δa = µNδa + σ2Lδa (3.59)

L′p = µLp + σ1Np (3.60)

N′p = µNp + σ2Lp (3.61)

L′δr = µLδr + σ1Nδr (3.62)

N′δr = µNδr + σ2Lδr (3.63)

L′r = µLr + σ1Nr (3.64)

N′r = µNr + σ2Lr (3.65)

(3.66)

3.7. Modos laterales - direccionales

En forma similar a los modos longitudinales, cuando la aeronave es perturbada de

su estado de equilibrio los modos de estabilidad laterales-direccionales son excitados. La

perturbación puede ser iniciada por una acción del piloto, un cambio en la propulsión,

turbulencias, etc.

Para las ecuaciones laterales-direccionales el polinomio característico (para una aero-


nave clásica) es de quinto orden y se suele escribir en la forma [11]:

s(s+1

Ts)(s+

1

Tr)(s2 + 2ζDrωDrs+ ω2

Dr) = 0 (3.67)

De esta forma queda en forma explicita la existencia de distintos comportamientos a partir

del estudio de las raíces:

La primera raíz real (no nula) de (3.67) describe un comportamiento no-oscilatorio

llamado �modo espiral�.

La segunda raíz real (no nula) describe un comportamiento no oscilatorio llamado

�modo de roll�.

Un par de raíces complejas conjugadas que describen un comportamiento oscilatorio,

llamado modo de �Dutch-roll�.

La raíz nula resulta de la adición del ángulo de yaw a la ecuación de estado e indica

estabilidad neutral en yaw.

3.7.1. Modo de Roll

El modo de roll es del tipo no oscilatorio y desacoplado en gran medida de los modos

espiral y dutch-roll. Puesto que es no oscilatorio, es descrito por una única raíz real y se

mani�esta como un retardo exponencial en el movimiento de roll. La idea para el modo es

Figura 3.6: Modo de Roll - Dinamica Lateral-Direccional [11].

la siguiente:


A medida que la aeronave efectúa un movimiento de roll, el ala que se desplaza hacia

abajo incrementa su ángulo de ataque α. Mientas que efecto opuesto se produce para

el ala que se desplaza para arriba.

Se genera consecuentemente una diferencia en la sustentación generada por las dos

alas (mayor en el ala que se desplaza hacia abajo).

La diferencia en la sustentación genera un momento que tiende a recuperar el equi-

librio.

Aproximación de Modo de Roll

En el modo de roll existe un predominio de la variable φ y tanto el ángulo de sideslip β

como yaw ψ cambian muy poco, por lo que podremos considerar β = β = r = r = ψ = 0.

Bajo estas condiciones es posible mostrar que [12],

τ ' 1

L′p

=−bVTe

4J′x

(ρSb)b21

Clp(3.68)

Esta ecuación implica que la constante de tiempo del modo roll calculada varia en

forma inversa al producto de la velocidad y la densidad (supuestos los demás parámetros

constantes).

3.7.2. Modo Espiral

El modo espiral es del tipo no oscilatorio e involucra la segunda de las raíces reales del

polinomio característico. Cuando se perturba este modo en general la dinámica tiene un

desarrollo lento e involucra un movimiento complejo y acoplado en roll, yaw y sideslip. La

idea para el modo es la siguiente:

1. A partir de un vuelo nivelado consideremos una perturbación que altera la actitud

en roll en una cantidad φ > 0. Esta acción genera un pequeño side-slip v (la aeronave

se desliza �pendiente abajo�).

2. Seguidamente la aleta de cola golpea el aire a un ángulo β → mayor sustentación en

la cola → momento positivo en yaw.


Figura 3.7: Modo Espiral - Dinamica Lateral-Direccional [11].

3. El momento en yaw genera un incremento en la tasa de cambio de yaw la cual genera

un momento positivo en roll que incrementa el ángulo de roll y tiende a incrementar

el ángulo de side-slip → volvemos a 1. Es decir las condiciones dinámicas tienden a

realimentarse y eventualmente, sin control, a empeorar.

Aproximación de Modo Espiral

Según comentamos en lineas anteriores, la dinámica de este modo es �lenta�. A partir

de esta suposicion podemos asumir que β = φ = 0, y mostrar que [12],

τesp =−L′

pN′β

L′βN

′r − L

′rN

′β

=−ClpCnβ

ClβCnr − ClrCnβVTeg

(3.69)

La ultima ecuación nos indica que la constante de tiempo del modo espiral es proporcional

a la velocidad (supuestos los restantes parámetros constantes).

3.7.3. Modo de Dutch-Roll

El modo de Dutch-roll se corresponde con una oscilación amortiguada en yaw, alre-

dedor del eje oz, que se acopla en roll y en menor medida con el ángulo de side-slip. De

aquí que el modo de dutch-roll contemple una interacción compleja en los tres grados de

libertad laterales-direccionales. Básicamente el modo Dutch-roll es el equivalente lateral-

direccional del modo de periodo corto longitudinal, salvo en el amortiguamiento, puesto

que el estabilizador vertical es menos efectivo que el alerón de cola. La idea para el modo


Figura 3.8: Modo Dutch-Roll - Dinamica Lateral-Direccional [11].

es la siguiente:

1. A partir de un vuelo nivelado consideremos una perturbación que altera la actitud

en ψ (genera una oscilación - el guiño provee la �rigidez aerodinámica�).

2. La oscilación en ψ induce un movimiento en las alas lo cual genera un comportamiento

oscilatorio en el lift/drag (el ala que se adelanta genera mas lift) → oscilación en roll

φ que retrasa ψ aproximadamente π/2.

3. El ala que se adelanta se desliza hacia abajo → oscilación en roll → sideslip en la

dirección del ala que se encuentra abajo.


Aproximación de Modo Dutch-roll

Anteriormente se dijo que, si bien el timón de cola genera un movimiento de alabeo, el

mismo se va a despreciar por ser pequeño. Es decir, las variaciones de las variables φ y φ

se van a considerar nulas. Esto lleva también a que no se tenga en cuenta la ecuación de

momento de roll y a que se usen las de fuerza en Y y de momento de yaw. Si además se

supone que existe un movimiento de sideslip puro (β = −ψ), la única ecuación que domina

el movimiento es la de momento de yaw. Bajo estas suposiciones, se puede demostrar que

ω2Dr = N

′β +

YβVTe

N′r +

g

VTe

L′β

L′p

−(L

′β +

YβVTe

L′r

)N

′p

L′p

(3.70)

ζDr(2ωDr) = −(N

′r +

YβVTe

)(3.71)

o si utilizamos derivativas adimensionales,

ω2Dr =

qdSb

J ′z

[Cnβ +

ρSb

4mCYβCnr

](3.72)

ζDr = −1

4

((ρSb)b2

2J ′z

)1/2 Cnr + (2J′z/mb

2)CYβ(Cnβ + (ρSb/4m)CnrCYβ

)1/2 (3.73)

A partir del último par de ecuaciones se puede ver que a altitud constante, la frecuencia

se incrementa en proporción a la velocidad y para una dada velocidad, la frecuencia decrece

con la altitud. Para la constante de amortiguamiento, se puede ver que es independiente de

la presión dinámica y que sera en general proporcional a la raíz cuadrada de la densidad.

Capítulo 4

Modelado y Simulación

En este capítulo se describe el trabajo realizado para poder disponer de un simulador

que nos permita estudiar el comportamiento de un VANT. Del capítulo anterior obtuvimos

un modelo matemático que nos permite simular el sistema bajo ciertas condiciones de vuelo.

El mismo es un espacio de estados de nueve grados de libertad que nos brinda información

completa de la dinámica estudiada. Para poder de�nir las ecuaciones, se utilizan técnicas

analíticas que de�nen a los parámetros del modelo en base a las propiedades físicas del

avión y de las condiciones de vuelo. Una vez descripto el modelo se pueden obtener las

condiciones de equilibrio de vuelos en estado estacionario. Con dichas condiciones y el

modelo, se obtienen una series de ecuaciones que describen la dinámica lineal del problema,

dichas ecuaciones son representadas en dos espacios de estados desacoplados que describen

la dinámica longitudinal y lateral de la aeronave. Este modelo linealizado se utiliza para

la generación de datos de vuelo simulados, diseño de controladores y prueba de algoritmos

de identi�cación. En la �gura 4.1 se observa un diagrama de �ujo del proceso descripto.

4.1. Modelado de una Aeronave de Ala Fija

Como se menciona anteriormente, en el capítulo 3 se obtiene un modelo matemático

de la aerodinámica de un VANT de ala �ja. El mismo es un espacio de estados no lineal

de nueve grados de libertad, cuyos parámetros dependen de la geometría del avión, las

condiciones de vuelo y los coe�cientes aerodinámicos, a su vez parametrizados por las

derivativas de estabilidad y control. La información acerca de la geometría del avión es

obtenida de mediciones de la aeronave en estudio, las condiciones de vuelo son parámetros

43

44 Modelado y Simulación

Espacio de EstadosNo lineal

dx/dt = f(x,u)y = g(x,u)

Estado de equilibrio

estacionario

LinealizaciónEspacio de Estados

Lineal

dx/dt = Ax+Buy = Cx+Du

Simulación, Identificación

y Control

Figura 4.1: Modelado y Simulación de un Sistema Dinámico

que podemos suponer y �nalmente los valores de las derivativas son obtenidos mediante el

programa DATCOM (Data Compendium). DATCOM es un programa de computadora que

implementa una serie de métodos de estimación de derivativas a partir de una descripción

geométrica de la aeronave. Este algoritmo nace gracias a la Fuerza Aérea de Estados

Unidos que se encargó de compilar el mejor conocimiento y experiencia en el área control

y estabilidad aerodinámica. Las derivativas de control de la propulsión son obtenidas en

base a las características del motor y la hélice por otros métodos analíticos.

En síntesis, como datos para el modelado analítico se requieren un conjunto de pará-

metros mínimos, los cuales involucran propiedades tales como:

Geometría de la Aeronave.

Masas e Inercias.

Coe�cientes Aerodinámicos.

Propulsión.

4.1.1. Coe�cientes aerodinámicos desde DATCOM

El principal objetivo de utilizar DATCOM, es la de obtener estimaciones de las deriva-

tivas de estabilidad y control de manera rápida y económica, estas estimaciones sirven para

4.2 Algoritmo implementado para el modelado 45

aplicaciones de diseño preliminar. La construcción de un modelo de DATCOM para la ob-

tención de los coe�cientes aerodinámicos, no es un proceso univoco sino que es un proceso

iterativo. La construcción del mencionado modelo se realiza siguiendo los lineamientos del

manual respectivo[15]. Un archivo de con�guración típico puede verse en el apéndice A.

4.1.2. Propulsión

El modelado de la hélice se realiza con datos provistos por el fabricante o utilizando

Aeromatic [16]. Esto permite construir las curvas de thrust y potencia a partir de la cual

se calculan los parámetros de propulsión. El modelado del motor sigue los lineamientos de

[12]. Esto sumado a la información provista por el fabricante permite establecer los limites

de la operación y funcionamiento del mismo.

4.2. Algoritmo implementado para el modelado

Con el �n de obtener el modelo matemático que permita simular el comportamiento

de las aeronaves en estudio, se crea un algoritmo con el que se pueden obtener los valores

de derivativas a ser utilizadas, las condiciones de vuelo equilibrado y el correspondiente

modelo lineal. Para poder correr el algoritmo, debemos de�nir la aeronave a ser analizada

y las condiciones de vuelo crucero. En la �gura 4.2 se observa el diagrama de �ujo del

algoritmo de trimado o de equilibrado, que a partir de una serie de funciones desarrolladas

para esta tesis, obtiene toda la información del modelado analítico de una aeronave. El

algoritmo comienza a ejecutarse con el código de desarrollo propio InitTrim.m.

4.2.1. Inicialización

Para que el programa pueda calcular el modelo matemático de la aeronave, se deben

de�nir en un principio una serie de condiciones iniciales. Estas condiciones restringen el

sistema y permiten obtener una solución de�nida para esas condiciones. En la tabla 4.2.1

se muestran las condiciones iniciales que pueden ser modi�cadas para la ejecución del

programa.


Parámetro Explicación

Init.h Altura a la que se simulará el vuelo.Init.v Velocidad de equilibrio de la simulación.Init.Model De�ne el modelo de aeronave a ser estudiado. Los valores

posibles son: 1(Cabure), 2(Sirius1A),3(Sirius2B), 4(Pulsar).Init.SubModel De�ne submodelos de aeronave. Valores posibles: 1(Cabure

ver0), 2(Cabure ver1), 1(Pulsar),2(Pulsarv1).Init.Propela Posibles valores de propela: 0,1(Cabure), 2(Sirius1A).Init.Motor Posibles opciones de motores: 0,1(Cabure), 2(Sirius1A).Init.rpmVal De�ne una velocidad inicial del motor en rpm.Init.dcgxyz Coordenadas del centro de gravedad de la aeronave.Init.costJdisplay Mostrar la evolución de la función de costo que encuentra el

punto de equilibrio : 0(No), 1(Sí).opt Posibles condiciones de equilibrio. Las opciones son:

1(Steady wings-level �ight), 2(Steady turning �ight),3(Steady pull-up), 4(Steady roll), 5(Quit)

Tabla 4.1: Condiciones iniciales de ejecución

4.2.2. Estado de equilibrio

En base a las condiciones iniciales previamente de�nidas se establecen dos vectores: un

vector de constantes (valores de equilibrio de variables de estado prede�nidos) y uno de

variables (valores de equilibrio de variables de estado a de�nir). Estos dos vectores junto con

una función de costo, que busca anular las derivadas de las variables de estado (condición

de equilibrio para sistemas dinámicos), son introducidos en la función fminsearch() de

MATLAB® la cual devuelve los valores de equilibrio del vector de variables que introducimos.

Cabe destacar que este cálculo se realiza en base a las ecuaciones no lineales del proceso,

por lo cual los valores obtenidos deberían funcionar perfectamente en las simulaciones no

lineales. Esta serie de pasos se produce dentro del código desarrollado actrim.m

4.2.3. Obtención de las matrices del espacio de estados del sistema li-

nealizado

Una vez encontrado el estado de equilibrio alrededor del cual podemos estudiar nuestro

sistema dinámico, se procede a encontrar las matrices que de�nen el sistema lineal en el

espacio de estados. Para ello se recurre a dos procesos, dentro del código getLinMat.m:

Cálculo de las matrices en base a la linealización teórica de las ecuaciones del modelo

no lineal.

4.2 Algoritmo implementado para el modelado 47

Proceso numérico que encuentra las matrices por medio de una aproximación en base

al desarrollo de Taylor de las funciones no lineales.

Es interesante remarcar que con ambos procesos se llega a los mismos resultados.

Algoritmo de Trimado

InitTrimm.m()

actrim.m()

getLinMat.m()

Finalizacion

Fin

Inicializacion de parametros de calculo

fminsearch(): Busquedadel punto de equilibrio

Linealizacion Teorica y Calculo Numerico del Espacio de Estados

Limpieza de memoria y Resultados

Figura 4.2: Diagrama del algoritmo de modelado implementado

4.2.4. Finalización

Una vez �nalizado el ajuste de las condiciones de equilibrio y haber obtenido las ma-

trices del espacio de estados, se obtiene una estructura, dentro de la cual tenemos toda la


información del procesamiento de datos (propiedades geométricas, aerodinámicas, condi-

ciones de vuelo, resultados del trimado, matrices del espacio de estados, etc), información

crucial para la simulación de los sistemas de control de los VANT.

4.3. Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados

Para la investigación y estudio de la dinámica de cualquier sistema es necesario contar

con un modelo matemático que describa la relación entre entradas y salidas del mismo.

Además, dicho modelo también debe tener una descripción especí�ca del comportamiento

de las variables internas de dicho sistema. Para el caso del estudio de la dinámica de

aeronaves es útil desarrollar el modelo lineal simpli�cado, en ciertas condiciones de estado

estacionario, con el cual podemos generar datos y observar el comportamiento dinámico

que desarrollará el vehículo en estudio.

De la sección anterior, obtuvimos una cantidad de datos imprescindibles para armar

el simulador lineal de un vehículo aéreo. El espacio de estados continuo y las condiciones

de equilibrio nos permiten construir y experimentar con un simulador preciso, que simula

y entrega la evolución de todas las variables necesarias para la investigación del fenómeno

en sí.

4.3.1. Algoritmo de simulación

En las secciones anteriores se obtuvieron las condiciones de equilibrio y las matrices

que de�nen el espacio de estados linealizado del VANT en estudio. Con estos datos se

pueden implementar técnicas de integración para determinar la evolución de los estados,

es decir, se obtiene a cada uno de los estados como una función del tiempo [12]. El objetivo

de implementar un simulador dinámico en el tiempo es generar datos para aplicar la IDS

y obtener nuevamente el modelo del sistema que se utiliza para la simulación temporal.

Para obtener los datos del proceso es necesario de�nir un periodo de muestreo con el que

la información será muestreada, es importante notar que dicha tasa debe ser mayor al

tiempo de simulación o de integración ya que en caso contrario los datos extraídos serían

redundantes.

La simulación implementada se realiza en tiempo simulado, es decir, no en tiempo real.

La �gura 4.3 muestra el �ujo del proceso de simulación para la generación de datos en el

4.3 Simulador Lineal y Generador de Datos Simulados 49

dominio del tiempo.

InicializaciónCondición de

Linealización

Discretizar

tiempo y

entradas

Integración

numéricaEspacio de

Estados Continuo

Datos

Figura 4.3: Simulación en el dominio del tiempo.

Simulador

El simulador diseñado para poder llevar a cabo la generación de datos es un prototipo

que utiliza como base el modelo linealizado del avión, el mismo consta de dos espacios de

estados, uno que simula la dinámica longitudinal y otro que de�ne la dinámica lateral-

direccional. Al mismo se le añaden un generador de señales de piloto y un autopiloto con

diversos modos de control. El autopiloto a su vez utiliza como retroalimentación la evolución

de los estados a través de un algoritmo de simulación de sensores ruidosos. Finalmente se

agregan dos módulos responsables de gra�car los datos simulados y otro que los exporta a

la memoria. El simulador como vemos en la �gura 4.4 cuenta entonces con siete bloques.

Cada uno con una función particular que se describe a continuación:

Piloto: el primero de los bloques nos permite diseñar las entradas al sistema, en este caso,

podemos construir una señal de entrada para el ángulo de elevador, el de alerones y

el del timón de cola, también podemos perturbar la velocidad del motor.

Autopiloto: módulo con modos de control para manipular altura, cabeceo, velocidad,


Figura 4.4: Diagrama del simulador implementado

alabeo, guiño, entre otros.

Modelo: el bloque contiene el modelo matemático que de�ne a nuestro vehículo y además

una serie de transformaciones para obtener todas la variables que pueden interesarnos

al analizar un vuelo simulado.

Grá�cos: en el bloque tenemos todas las grá�cas de las variables estudiadas del modelo.

Actuadores: la función es simular la dinámica de los actuadores reales.

Sensores: en este caso se simula el comportamiento de los sensores, agregando ruido y

�ltrando la señal de manera de eliminar dicho ruido lo más posible.

Datos: Y �nalmente en este bloque tenemos un organizador de datos que guarda todas

las variables en un archivo, para luego ser utilizado con algoritmos de estimación de

parámetros.

Para probar el funcionamiento del simulador, se hace un análisis de los datos generados

para una serie de ejemplos. Como primer caso se excita la dinámica longitudinal mediante

una onda cuadrada en el elevador. Dicha onda tiene un periodo de 1 segundo, correspon-

diente a una frecuencia de 1 Hz cercana a los 2 Hz de la frecuencia natural del modo de

periodo corto. Del grá�co 4.5 se observa la forma de la perturbación que llega al elevador

debido a la dinámica del actuador en la primera imagen, y en la segunda imagen se aprecia

el comportamiento del ángulo de cabeceo y del ángulo de ataque. En una primera instan-


cia cuando se produce la perturbación de elevador, vemos como tanto el cabeceo como el

ángulo de ataque se ven perturbados por una dinámica de periodo corto, una vez disipada

la perturbación la dinámica se ve afectada por el modo de periodo largo o el modo fugoide,

que se ve en mayor medida en la variación del cabeceo de la aeronave.

Figura 4.5: Simulación de una maniobra sobre el elevador

Como segundo ejemplo se prueba la reacción del VANT ante una perturbación cua-

drada en el acelerador. En este caso el periodo seleccionado de es de unos 8 segundos,

correspondiente a una frecuecia de 0,125 Hz cercana a la frecuencia de modo fugoide de

0,12 Hz. Nuevamente en la primer grá�ca de la �gura 4.6 se observa la maniobra simulada

en la velocidad del motor, teniendo en cuenta la dinamica propia del actuador. Mientras

que en la segunda se aprecia el comportamiento del ángulo de cabeceo y del ángulo de

ataque. De la �gura se observa que el modo corto no se ve excitado, sino que solo se está


excitando el modo fugoide en ambos casos. También puede observarse que mientras que el

cabeceo sufre una gran excitación, el ángulo de ataque se ve apenas perturbado.

Figura 4.6: Simulación de una maniobra sobre el motor

La dinámica lateral es probada mediante la simulación de un giro coordinado a una

tasa de giro de 0, 16rad/s y con un giro de radio de 100m. En la grá�ca 4.7 se observa la

simulación de un giro perfecto en 40 segundos aproximados de tiempo.


Figura 4.7: Simulación de un giro coordinado

Capítulo 5

Estimación de Parámetros

�La identi�cación de sistemas es el arte y ciencia de construir

modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir de la in-

formación observada de entrada y salida al sistema [17].�

� Ljung

El proceso de estimación de Parámetros, es una parte fundamental dentro de la identi�-

cación de sistemas. Una vez de�nido el modelo matemático, incluyendo la clase de modelo,

sus entradas, salidas, estados y parámetros desconocidos; el siguiente paso es hacer una

estimación correcta de dichos parámetros en base a las mediciones reales que tengamos del

fenómeno.

Como mencionamos anteriormente la estimación de parámetros consiste en encontrar

los valores de una serie de parámetros desconocidos de una estructura de modelo mate-

mático, a los que designaremos con la letra θ, extrayendo dicha información de mediciones

ruidosas de experimentos del sistema, designadas por la variable z. Un estimador es enton-

ces una función de las mediciones z que nos entrega un valor estimado θ. Debido a que la

estimación depende de las mediciones, que son variables aleatorias, el estimador es también

una variable aleatoria.

Para comenzar a trabajar en la estimación de parámetros, es fundamental de�nir pre-

viamente una serie de condiciones a tener en cuenta:

1. Una estructura de modelo con una serie de parámetros θ a ser estimados.

2. Una estructura de modelo para las mediciones experimentales z.

55

56 Estimación de Parámetros

3. Una serie de suposiciones estadísticas acerca de θ y z.

En general el modelo matemático a ser de�nido puede ser de dos tipos, lineal o no lineal

en los parámetros a ser estimados. Las ecuaciones para los casos respectivos son:

y = Hθ (5.1)

y = h(θ) (5.2)

Donde y representa la salida del modelo, es decir el equivalente en el modelo a las

mediciones que puedan ser realizadas experimentalmente.

Los modelos lineales y no lineales para la mediciones quedan entonces de�nidos como:

z = Hθ + ν (5.3)

z = h(θ) + ν (5.4)

Donde la variable ν representa la presencia de ruido en el proceso de medición.

A esta altura nos queda de�nir las suposiciones que podemos realizar respecto a los

parámetros θ y las mediciones z. En base a las incertezas que consideremos podemos

trabajar con tres modelos de estimación [8]:

Modelo bayesiano

� Consideramos a los parámetros θ como variables aleatorias con una función de

densidad de probabilidad p(θ).

� Consideramos al ruido ν como un vector de variables aleatorias con una función

de densidad de probabilidad p(ν).

Modelo de Fischer

� Consideramos a los parámetros θ como una serie de constantes desconocidas.

� Consideramos al ruido ν como un vector de variables aleatorias con una función

de densidad de probabilidad p(ν).

Modelo de Mínimos-Cuadrados

5.1 Elección de un estimador 57

� Consideramos a los parámetros θ como una serie de constantes desconocidas.

� Consideramos al ruido ν como un vector de variables aleatorias.

5.1. Elección de un estimador

La elección de un método de estimación de parámetros, depende fuertemente de la

aplicación en particular y de las propiedades e incertezas del sistema dinámico. Dentro de

los métodos de identi�cación de sistemas se decide un método paramétrico frente a los no

paramétricos esto es debido a que, como demostramos, el conocimiento acerca del modelo

matemático que gobierna una aeronave es bien conocido, por tanto sólo resta conocer las

sutilezas que de�nen a nuestro problema en particular [18].

Dentro de los métodos paramétricos es necesario entonces elegir un método de esti-

mación. Esta decisión en primer lugar se de�ne en general por la información a-priori o

no de los parámetros desconocidos y de su función de densidad de probabilidad. También

importará la información acerca del ruido de las mediciones y de las suposiciones que se

hayan hecho acerca del modelo y sus variables. En la �guras 5.1 y 5.2 se muestran una serie

de árboles de decisiones que ayudan a seleccionar el método de identi�cación y estimación

[19].

Dimensionar un problema

Datos a analizar

Conocimiento a priori

Conocimiento a priori

Obtener más información

Enfoque clásico Enfoque bayesiano

S

S

S

No

No

No

S

Figura 5.1: Árbol de decisión para la elección de un modelo de Estimación de Parámetros


PDF conocida

Estadístcio Completo y

Su�ciente

S

S

No

No

S

CRLB alcanzada

Señal ruidosa

Señal lineal LSEMVUE

Insesgar

MLE

No

S

MVUES

No

No

Figura 5.2: Árbol de decisión para la elección de un Estimador de Parámetros

5.2. Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados

Para el caso de la estimación por un modelo de Mínimos Cuadrados, no utilizamos

funciones de densidad de probabilidad para el vector de parámetros θ ni para el vector de

ruido ν [20]. El estimado de Mínimos-Cuadrados se obtiene minimizando el error cuadrático

que surge de comparar las mediciones z y las salidas del modelo y. Por ende el estimado θ

surge de minimizar la función de costos J(θ), la cual se de�ne como la suma pesada de los

errores cuadráticos:

J(θ) =1

2(z −Hθ)T R−1 (z −Hθ) (5.5)

En este caso la matriz R es una matriz de pesos de�nida positiva, la optimización de

esta función nos dirige al estimador de Mínimos Cuadrados Pesado. Para el caso en que

R = I, se obtiene el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios, con función de costo:

J(θ) =1

2

N∑i=1

[z(i)−H(i)θ]2 (5.6)

Para el caso de que contemos con un modelo no lineal la ecuación queda de la forma que

muestra la ecuación , encontrando el estimador no lineal de Mínimos Cuadrados Ordinario:

J(θ) =1

2

N∑i=1

[z(i)− h(i, θ)]2 (5.7)

5.2 Estimador para el modelo de Mínimos Cuadrados 59

5.2.1. Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario

En general los modelos aerodinámicos y las ecuaciones de regresión que de�nen el

comportamiento de una aeronave pueden ser escritos de la forma:

y = Xθ (5.8)

z = Xθ + ν (5.9)

Donde:

z = [z(1)z(2)...z(N)]T vector de mediciones de dimensión N × 1

θ = [θ1θ2...θn]T vector de parámetros de dimensión n× 1

X = [ζ1ζ1...ζn] matriz de regresores de dimensión N × n

ν = [ν(1)ν(2)...ν(N)]T vector de error de medición de dimensión N × 1

Los vectores de regresores ζi corresponden a funciones conocidas de variables indepen-

dientes. Estas ecuaciones de regresión son equivalentes a las ecuaciones de modelo y de

mediciones vistas al principio. En este caso como no tenemos probabilidades a-priori acer-

ca de los parámetros y de los errores de medición, asumimos que el vector ν tiene media

nula y esta descorrelacionado, matemáticamente:

E(ν) = 0 (5.10)

E(νT ν) = σ2I (5.11)

Como se vio en la sección anterior, la función de costo a minimizar para alcanzar el

mejor estimado de θ es:

J(θ) =1

2(z −Xθ)T (z −Xθ) (5.12)

El estimado que que minimiza esta función de costo es entonces θ y debe satisfacer que

la derivada sea nula, es decir, la condición de mínimo de una función cuadrática:

∂J(θ)

∂θ= −XT z +XTXθ = 0 (5.13)

XTXθ = XT z (5.14)


Despejando de la ecuación anterior, se obtiene el estimador de Mínimos Cuadrados

Ordinario:

θ =(XTX

)−1XT z (5.15)

5.2.2. Herramientas de evaluación estadística del Estimador

Una vez calculado los valores de los parámetros por estimación, es importante conocer

que tan con�ables son. Es decir, analizar su varianza, su correlación, la predictibilidad

que generan en el modelo obtenido, etc. Para esto, se describe como se calculan ciertos

coe�cientes de utilidad.

La matriz de covarianza del vector de parámetros θ, conocida como matriz de covarianza

del error de estimación, nos da información acerca de que tan disperso se encuentran el

valor del parámetro obtenido. La ecuación para calcular la covarianza es:

Cov(θ) = E[(θ − θ)T (θ − θ)]

= E[(XTX)−1XT (z − y)(z − y)TX(XTX)−1]

= (XTX)−1XTE(ννT )X(XTX)−1

(5.16)

Asumiendo que el error de medición es descorrelacionado y tiene varianza constante

σ2. La matriz de covarianza del error de estimación queda:

Cov(θ) = σ2(XTX)−1 (5.17)

La matriz (XTX)−1 es la inversa de la matriz de proyección en los regresores, de ahora

en más la denominaremos D. Por tanto la varianza de cada uno de los parámetros queda

de�nida como:

V ar(θj) = σ2djj = s2(θj) (5.18)

La covarianza entre parámetros queda dada por la ecuación:

Cov(θj , θk) = σ2djk (5.19)


Finalmente el coe�ciente de correlación puede ser calculado como:

rjk =djk√djjdkk

(5.20)

El valor de correlación no dice mucho acerca de la con�abilidad que tienen nuestras

estimaciones. La estimación por Mínimos Cuadrados es una especie proyección de las me-

diciones en cada uno de los regresores o variables independientes que hemos de�nido en

nuestro modelo. Lo que se busca entonces es ortogonalidad entre dichos regresores la cual

se indica con valores de correlación alejados de la unidad. Es posible calcular la matriz de

correlación en lugar de los coe�cientes de la forma:

Corr(θ) =

1s(θ1)

0 · · · 0

0 1s(θ2)

· · · 0

......

. . ....

0 0 · · · 1s(θn)

Cov(θ)

1s(θ1)

0 · · · 0

0 1s(θ2)

· · · 0

......

. . ....

0 0 · · · 1s(θn)

(5.21)

De la ecuación de regresión lineal 5.8 y la ecuación del estimador 5.15 se alcanza la

estimación de la variable dependiente o de salida y. Este vector y representa los datos

simulados por el modelo en base a los regresores utilizados para calcular los parámetros y

el valor obtenido de dichos parámetros, y está dado por la ecuación:

y = Xθ = X(XTX)−1XT z = Kz (5.22)

Donde de�nimos:

K = X(XTX)−1XT (5.23)

La cual es la matriz de predicción de dimensión N × N , cuya utilidad es mapear las

salidas medidas al dominio de la salidas estimadas. La diferencia entre dichas salidas nos

da como resultado el vector de residuos υ de tamaño N × 1:

υ = z − y = (I −K)z (5.24)


Como se puede notar de las ecuaciones anteriores, para el cálculo de la varianza, cova-

riaza y correlación de los parámetros es necesario conocer la varianza del error de medición

σ2. En la práctica este valor usualmente no es conocido a-priori, por lo que debe ser estima-

do en base a los datos de vuelo. Asumiendo que el modelo elegido es correcto un estimador

insesgado para la varianza del error de medición puede ser obtenido en base a los residuos.

σ2 =υTυ

N − n=

∑Ni=1[z(i)− y(i)]2

N − n= s2 (5.25)

Finalmente un parámetro que es importante conocer es el coe�ciente de determinación

R2, el cual representa la parte de información que es explicada por el modelo obtenido.

Donde z es el valor medio de las mediciones z.

R2 =θTXT z −Nz2

zT z −Nz(5.26)

5.2.3. Implementación del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario

En las secciones anteriores se desarrolla el Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinario.

A continuación se muestra la implementación particular a nuestro problema. La estimación

de parámetros se utiliza de dos maneras, en una de ella se busca estimar aquellos elemen-

tos de las matrices del Espacio de Estados que representen la in�uencia de las fuerzas y

momentos aerodinámicos, en el otro caso se busca estimar directamente las derivativas de

estabilidad y control que gobiernan el comportamiento de los coe�cientes aerodinámicos.

Para estimar los elementos de las matrices que de�nen las dinámicas longitudinal y

lateral, presentaremos las matrices obtenidas en el capítulo 3 de manera simpli�cada, in-

dicando con un sombrero los elementos que deben ser estimados ya que están de�nidos

por alguna derivativa no conocida. A continuación se muestran los espacio de estados de

la dinámica longitudinal y lateral respectivamente.

V

α

q

θ

=

A11 A12 0 A14

A21 A22 A23 0

A31 A32 A33 0

0 0 1 0

V

α

q

θ

+

B11 B12

B21 B22

B31 B32

0 0

δeδn

(5.27)


β

p

r

φ

ψ

=

A11 A12 A13 A14 0

A21 A22 A23 0 0

A31 A32 A33 0 0

0 1 A43 0 0

0 0 A53 0 0

β

p

r

φ

ψ

+

B11 B12

B21 B22

B31 B32

0 0

0 0

δaδr

(5.28)

Al aplicar el estimador de mínimos cuadrados, las mediciones serán los valores de

las derivadas de los estados para cada ecuación correspondiente, más los términos de la

matrices A ya conocidos multiplicados por las variables en cuestión, los parámetros a

estimar son los elementos desconocidos de las matrices y �nalmente los regresores son los

estados y entradas que correspondan a los elementos no conocidos. Como ejemplo se deriva

el estimador para la primera ecuación de la dinámica longitudinal, en este caso se obtiene:

z =

[V (1)−A14θ(1) V (2)−A14θ(2) · · · V (N)−A14θ(N)

]T(5.29)

θ =

[A11 A12 B11 B12

]T(5.30)

X =

V (1) α(1) δe(1) δn(1)

V (2) α(2) δe(2) δn(2)

......

......

V (N) α(N) δe(N) δn(N)

(5.31)

Para el caso de la estimación de las derivativas se hace uso de las ecuaciones que de�nen

a los coe�cientes aerodinámicos como una expansión de Taylor de primer orden, alrede-

dor de una condición de vuelo equilibrado. Las ecuaciones para el coe�ciente de arrastre

(drag), fuerza lateral, sustentación (lift), cabeceo, alabeo y guiño son respectivamente las

ecuaciones:

CD = CD0 + CDV∆V

Veq+ CDα∆α+ CDq

cq

2Veq+ CDδ∆δ (5.32)

CY = CY0 + CYβ∆β + CYpbp

2Veq+ CYr

br

2Veq+ CYδ∆δ (5.33)

CL = CL0 + CLV∆V

Veq+ CLα∆α+ CLα

cα

2Veq+ CLq

cq

2Veq+ CLδ∆δ (5.34)


Cl = Cl0 + Clβ∆β + Clpbp

2Veq+ Clr

br

2Veq+ Clδ∆δ (5.35)

Cm = Cm0 + CmV∆V

Veq+ Cmα∆α+ Cmα

cα

2Veq+ Cmq

cq

2Veq+ Cmδ∆δ (5.36)

CY = Cn0 + Cnβ∆β + Cnpbp

2Veq+ Cnr

br

2Veq+ Cnδ∆δ (5.37)

Para este caso al aplicar el estimador de mínimos cuadrados, las mediciones serán

los valores del coe�ciente aerodinámico correspondiente, los parámetros a estimar son las

derivativas y �nalmente los regresores son los términos que acompañas a las derivativas.

Por ejemplo para el coe�ciente de arrastre (drag) queda de la siguiente forma:

z =

[CD(1) CD(2) · · · CD(N)

]T(5.38)

θ =

[CD0 CDV CDα CDq CDδ

]T(5.39)

X =

1 ∆VVeq

(1) ∆α(1) cq2Veq

(1) ∆δ(1)

1 ∆VVeq

(2) ∆α(2) cq2Veq

(2) ∆δ(2)

......

......

...

1 ∆VVeq

(N) ∆α(N) cq2Veq

(N) ∆δ(N)

(5.40)

Capítulo 6

Datos de Vuelos Experimentales

En este capítulo se describen las características del VANT Caburé, su equipamiento y

los vuelos de prueba realizados. El mismo es una aeronave con la cual se realizaron una

serie de vuelos, de los cuales se tiene registro de todas las variables necesarias para la

identi�cación de parámetros. Se detallan además los sensores con los que cuenta el avión

para realizar las mediciones pertinentes. Finalmente se hace referencia a las condiciones de

los distintos vuelos realizados, sus maniobras y procedimientos.

Figura 6.1: CAD del Caburé y foto en vuelo

6.1. Caburé: VANT para experimentación

El Caburé es una aeronave no tripulada de ala alta y cola convencional, propulsado

por un motor eléctrico de alto rendimiento, en con�guración tractora y alimentado por

un pack de baterías Li-Po de grandes prestaciones. La célula, construida íntegramente

en materiales compuestos, tiene la particularidad de ensamblarse y desensamblarse con

65

66 Datos de Vuelos Experimentales

facilidad y, sumado a su bajo peso, permite ser transportada. En la �gura 6.1 se observa al

VANT Caburé. En la tabla 6.1 se muestra un resumen de las características geométricas y

aerodinámicas del vehículo en estudio.

Parámetro Valor UnidadMasa total 5,7 kgMomento de inercia al alabeo 0,41 kg.mMomento de inercia al cabeceo 0,22 kg.mMomento de inercia al guiño 0,62 kg.mLargo del fuselaje 1,15 mEnvergadura del ala 2,20 mCuerda del ala 0,23 mVelocidad crucero 16 m/s

Tabla 6.1: Resumen de parámetros característicos del Caburé

6.2. Sensórica del Caburé

Para el funcionamiento de un control de autopiloto y en general para el seguimiento del

comportamiento de la aeronave en vuelo, es necesario la medición de una serie de variables

características del mismo. Los sensores básicos para un vehículo aéreo no tripulado son :

Acelerómetro de tres ejes: el mismo mide las aceleraciones en los tres ejes del avión.

Giróscopo de tres ejes: con este dispositivo se evalúan las velocidades angulares.

Magnetómetro de tres ejes: sensor utilizado para medir el las direcciones del campo

magnético de la Tierra y por ende calcular los ángulos de actitud.

GPS (sistema de posicionamiento global): con el mismo se obtiene información del

posicionamiento y velocidad del sensor respecto a los ejes terrestres.

En general, el acelerómetro, giróscopo y magnetómetro vienen encapsulados en un

solo dispositivo denominado IMU (unidad de medida inercial) o los también conocidos

AHSR (sistemas de referencia de rumbo y actitud). Además de estos sensores también

son usados medidores de presión diferencial (ayudan a calcular la altura y velocidad del

aire),sensores de ángulo de ataque y de ángulo de deslizamiento lateral. Estos sensores son

menos utilizados, ya que no son imprescindibles pero ayudan a mejorar el rendimiento de

los algoritmos de control.

6.2 Sensórica del Caburé 67

Para el caso del Caburé se cuenta con un sistema AHRS asistido por GPS, el modelo

de dispositivo es el LORD MicroStrain 3DM-GX3-35. Y también se cuenta con un sensor

de presión diferencial modelo MPXV7002DP.

6.2.1. LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS

El sistema de referencia de rumbo y altitud (Attitude and Heading Reference System)

utilizado, pertenece a la familia 3DM-GX3 de sensores inerciales de grado industrial. La

misma esta diseñada para soluciones de navegación aérea en general [21].

El modelo incluye una IMU que cuenta con medida directa de aceleración, velocidad

angular y presión atmosférica. El dispositivo además cuenta con una unidad de cálculo

que corrige errores, sesgos y ruidos para generar mediciones de mayor precisión. Entre las

variables computadas tenemos los ángulos de actitud (alabeo, cabeceo y guiño), y también

posición y velocidad en sistema de referencia terrestre, gracias a la inclusión de un GPS al

sistema AHRS. En resumen las variables de salida que podemos obtener del sensor son:

Aceleración lineal en sistema cuerpo: ax, ay & az.

Velocidad angular en sistema cuerpo: p, q & r.

Campo magnético en sistema cuerpo.

Ángulos de actitud: φ, θ & ψ.

El sistema posee una tasa de muestreo de hasta 30KHz, con una tasa de salida máxima

de 1KHz para la IMU en su conjunto. En el caso del GPS la tasa de salida es mucho menor,

rondando los 4Hz de máxima. En la tabla 6.2 se muestran características generales de la

IMU.

Parámetro Acelerómetro Giróscopo MagnetómetroRango de medición ±5 g ±300 °/s ±2,5 GaussSesgo ±0,04 g 18 °/hr -Factor de escala ±0,05% ±0,05% ±0,1%Tasa de muestreo 30 KHz 30 KHz 7,5 KHz

Tabla 6.2: Especi�caciones de los sensores de la IMU

Como se menciono anteriormente la unidad posee un receptor GPS integrado de alto

rendimiento, lo que permite diseñar un sistema de navegación asistido por GPS. Gracias a

esta inclusión podemos hacer uso de otra serie de mediciones útiles, las cuales son:


Posición Global (LLH): Latitud, Longitud & Altura.

Velocidad Global (NED): Norte, Este & Abajo.

Es importante destacar que la velocidad de muestreo del GPS respecto a la IMU es

mucho menor, debido a los tiempos de conexión y comunicación que conllevan el posicio-

namiento satelital. En el caso del GPS la tasa de muestreo máxima que se permite es de 4

Hz. A continuación se adjunta una tabla con las especi�caciones:

Parámetro Especi�caciónTasa de salida de datos 1 a 4 HzPrecisión de velocidad 0,1 m/sPrecisión de rumbo 0,5 °

Precisión de posición 2,5 m

Tabla 6.3: Especi�caciones del GPS

Figura 6.2: LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS

6.2.2. Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP

Este sensor sirve para medir la presión diferencial del tubo de Pitot, con el que pue-

de calcularse la velocidad respecto al aire que es la que de�ne las fuerzas y momentos

aerodinámicos. El sensor debe ser calibrado en Tierra para una velocidad nula. Luego la

velocidad puede ser calculadas según la ecuación 6.1 que modela el comportamiento de un

tubo de Pitot.

V =

√2∆P

ρ(6.1)

Como se ve de la ecuación anterior, el cálculo de la velocidad es función de la densidad

del aire ρ, esta densidad depende de la temperatura, dato que podemos obtener del sensor

6.3 Diseño de Maniobras para la Estimación 69

que contiene el AHRS. En la tabla a continuación vemos algunas de las características del

sensor descripto [22].

Parámetro Especi�cación

Rango de Presión ± 2 KPa

Sensibilidad 1 V/KPa

Tasa de de salida de datos 20 Hz

Tabla 6.4: Especi�caciones del Sensor de Presión Diferencial

Figura 6.3: Sensor de Presión Diferencial MPXV7002DP

6.3. Diseño de Maniobras para la Estimación

Para la identi�cación de sistemas en aeronaves es necesario excitar el sistema a través

de sus variables de entrada: elevador, motor, alerones y timón. El objetivo de diseñar las

maniobras de vuelo es maximizar el contenido de información que extraemos. Es necesario

tener en cuenta algunas restricciones en el desarrollo como pueden ser:

Si estamos trabajando en base a un modelo lineal, limitar las amplitudes de las

entradas y de las variables dinámicas del avión para asegurarnos de hacer una buena

estimación de los parámetros.

Limitaciones físicas de los actuadores y de los sensores, como son limites de amplitud,

tasas de muestreo, etc.


Tiempo limitado para las maniobras realizadas, al igual que el rango de frecuencias

excitadas.

Existen muchas formas de excitar el sistema. En general, lo que se busca es dejar al

vehículo en condición de equilibrio y generar perturbaciones que exciten distintas dinámi-

cas, esto nos permite considerar el modelo constante durante la maniobra. Las formas de

entradas más comunes para la estimación de parámetros son:

Impulso: esta maniobra busca excitar las bajas frecuencias del sistema. Es una per-

turbación instantánea en alguna de las variables de entrada, muy difícil de generar

en la práctica.

Pulso: esta excitación busca excitar las bajas frecuencias del sistema. En general se

generan dos pulsos con amplitud opuesta para permitirle al sistema volver al estado

de equilibrio.

Barrido de frecuencias: cuando se tiene muy poca información a-priori del sistema,

se suele usar como entrada un barrido de frecuencias, es decir, una onda sinusoidal

que va cambiando su frecuencia con el �n excitar los distintos modos del sistema.

Se comienza con frecuencias bajas y se aumenta, para darle mayor tiempo a las

respuestas lentas del sistema.

Entrada de piloto: el vuelo de un piloto excita los modos que son más representativos

del comportamiento dinámico de la aeronave, por lo que se pueden alcanzar buenos

resultados si la habilidad del piloto es adecuada.

6.4. Resumen de los Vuelos de Prueba

Para la estimación de parámetros a partir de datos reales se cuenta con una serie de

vuelos de pruebas, realizados para el ensayo de un autopiloto desarrollado por INVAP. A

continuación se hace una breve descripción de la serie de datos recolectados agrupados por

la fecha de vuelo y el modo de autopiloto estudiado.

Vuelos realizados el día 12 del mes de julio:

6.4 Resumen de los Vuelos de Prueba 71

1. Relevamiento de condiciones de equilibrio: en modo manual se realiza una vuelo

nivelado, para registrar los valores de equilibrio de las variables del sistema y de los

actuadores.

2. Relevamiento de condiciones de equilibrio: se repite el ensayo para veri�car los valores

obtenidos y corregir inconsitencias.

3. Prueba del control de cabeceo: actuando sobre la velocidad del motor y el ángulo del

elevador se mantiene una referencia para el ángulo de cabeceo.

4. Prueba del control de altura: se sigue una referencia de altura, actuando sobre el

motor y el elevador, realimentando con la medición de altura, el ángulo de cabeceo

y la velocidad de cabeceo.

5. Prueba del control de velocidad: nivelando el elevador y el motor se persigue una

condición de velocidad respecto al aire.


1. Prueba del control de giro coordinado: se efectúa un giro de radio determinado,

actuando sobre el timón de cola, realimentando con la medición de velocidad, ángulo

de alabeo y velocidad de guiño.

2. Prueba del control de alabeo: mediante el control de alerones y timón, se mantiene una

referencia en el ángulo de alabeo. Se realimenta el ángulo de alabeo y su velocidad.

3. Prueba del control de alabeo: se prueba el control de alabeo junto con el control de

altura y de velocidad.

4. Prueba del control de dirección: se realiza un seguimiento de referencia manteniendo

un ángulo de guiñada constante. También se controla velocidad y altura.


1. Prueba del control de cabeceo: se realiza una nueva prueba con las ganancias corre-

gidas.

2. Prueba del control de altura: se realiza una nueva prueba con las ganancias corregidas.


3. Prueba del control de giro coordinado: se realiza una nueva prueba con las ganancias

corregidas.

4. Prueba del control de alabeo y giro coordinado: se realizan virajes controlando el

ángulo de alabeo y el radio de giro. Además se controla altura y velocidad.

5. Prueba del control de guiado por trayectoria: se comandan una serie de puntos de

trayectoria para que el avión los siga secuencialmente, el autopiloto activa el control

de altura, de velocidad de dirección y de giro coordinado.


1. Prueba del control de dirección: se vuelve a probar el control de ángulo de guiñada

2. Prueba del control de velocidad: en este vuelo se prueba nuevamente el seguimiento

de velocidad con ganancias más altas que las originales, junto con el modo de control

de ángulo de cabeceo.

3. Prueba del control de guiado por trayectoria: se prueba nuevamente la navegación

por trayectoria, y en caso de error se vuelve al primer punto.

4. Prueba del control de guiado por trayectoria: se con�guran trayectoria circulares y

en ochos para el seguimiento.

5. Prueba del control de guiado por trayectoria: nuevamente se prueban distintas tra-

yectorias.

Vuelos realizados el día 6 del mes de septiembre:

1. Relevamiento de condiciones de equilibrio: vuelo en modo manual para relevar el

estado de equilibrio en en condiciones de vuelo nivelado.

2. Prueba del control de guiado por trayectoria: vuelo con autopiloto completo siguiendo

puntos de trayectoria.


1. Prueba en modo manual: falla en el modo de seguimiento de trayectoria.

6.5 Procedimiento de Vuelos de Prueba 73

2. Prueba del control de guiado por trayectoria: se realiza un nuevo ensayo con nuevos

�ltros de ruido y ganancias de control.

3. Prueba de control de giro coordinado: prueba del giro coordinado realimentando con

aceleración lateral y velocidad de guiño.

4. Prueba de carreteo: prueba en tierra del control de velocidad del motor.


1. Prueba del control de altura: se realiza un nuevo ensayo con nuevos �ltros de ruido

y ganancias de control.

2. Prueba del control de giro coordinado: se realiza un nuevo ensayo con nuevos �ltros

de ruido y ganancias de control.

3. Prueba de seguimiento de puntos de trayectoria: se realiza un nuevo ensayo con

nuevos �ltros de ruido y ganancias de control.

6.5. Procedimiento de Vuelos de Prueba

El procedimiento de vuelo es descripto a �nes de poder interpretar los datos obtenidos

y sus grá�cas. La aviónica o sensórica del avión es encendida mientras el avión se encuentra

en tierra, para probar y calibrar las funciones de telemetría. El VANT despega en modo

manual y es llevado a una condición de vuelo estable por el piloto a cargo. En el momento

en que se alcanza una condición de equilibrio, se graban todas las variables de estado y de

control de la aeronave. Una vez en estado estacionario se activa una función de autopiloto.

Se mantiene durante un tiempo y en caso de inestabilidad se vuelve al modo manual para

poder ser vuelto a equilibrar. Esta operación es repetida cuantas veces sea necesaria, y

�nalmente el avión aterriza en modo manual por el piloto a cargo. En las imágenes 6.4, 6.5

y 6.6 se muestran algunas de las variables guardadas de un vuelo de prueba.


Figura 6.4: Telemetría de la altura de vuelo

Figura 6.5: Telemetría de los actuadores durante el vuelo

Figura 6.6: Modo de control durante el vuelo

6.5 Procedimiento de Vuelos de Prueba 75

Es importante destacar que los vuelos fueron utilizados para ensayar los algoritmos

de control diseñados para el autopiloto del avión. Por lo que no son las maniobras más

comunes para el estudio y análisis de los parámetros dinámicos. Es por eso que se intenta

obtener resultados con los datos de vuelo en general. En algunos casos se intenta extraer una

maniobra particular de los actuadores, como puede ser pulsos cuadrados, ondas cuadradas,

sinusoides o barrido de frecuencias que alcancen mejores resultados para los valores de

coe�cientes dinámicos.

Capítulo 7

Procesamiento de Datos

Experimentales

�En teoría, no existe diferencia entre teoría y práctica, en la

práctica sí la hay�

� Jan L. A. van Snepscheut

En la teoría, un experimento ideal arroja información precisa y totalmente verídica

acerca del fenómeno físico en estudio. Es decir, los datos recolectados de tal experimento

se encuentran libre de ruido y captan la dinámica del sistema a la perfección, sin retardos

ni pérdida de información. En la práctica, los datos obtenidos de un experimento real no

son tan perfectos, en cambio, se tiene información con ruido de medición y con dinámicas

naturales que no son previstas e inter�eren en el estudio del sistema.

En este capítulo se encaran los problemas al trabajar con datos reales. Al analizar

datos experimentales de vuelos son varias las di�cultades que se enfrentan, por ejemplo

la turbulencia del aire y las vibraciones de los motores introducen ruido en los datos

que perjudican la búsqueda de la aerodinámica natural de la aeronave. Sumado a esto

se presenta el ruido de medición propio de los sensores que se utilizan, los cuales no son

perfectos ni ideales. Otro problema de la información reunida tiene que ver con los múltiples

marcos de referencia con los que se trabaja en aeronáutica, como por ejemplo las mediciones

entregadas por un GPS se encuentran dadas en un sistema inercial relativo a la Tierra,

mientras que una IMU nos arroja datos en un sistema de coordenadas �jo al cuerpo del

77

78 Procesamiento de Datos Experimentales

avión. Debido a estos inconvenientes presentes en la experiencia, es necesario antes de

utilizar los datos crudos, hacer una análisis de coherencia y consistencia de los mismos, y

realizar operaciones de �ltrado, suavizado e interpolado según sea necesario.

A continuación se explica brevemente cuales fueron las condiciones de los experimentos

llevados a cabo, así como también las variables medidas directamente por los sensores.

Se comentan las operaciones elegidas para asegurar que la información de la dinámica

a descubrir se encuentre disponible en los datos evitando pérdidas y además reducir al

mínimo el ruido que afecta a los resultados.

7.1. Mediciones directas

Los datos experimentales utilizados para la estimación de parámetros son resultado de

una serie de vuelos realizados con la aeronave Caburé, los mismos fueron detallados en el

capítulo 6. Los vuelos consisten en una serie de vueltas alrededor del aeródromo, donde

se probaban las condiciones de equilibrio y los distintos modos del autopiloto desarrollado

por la empresa. En la �gura 7.1 se observa la posición horizontal de uno de los vuelos

realizados. De los datos disponible se busca extraer maniobras que comiencen en una

condición de vuelo estacionario que luego se perturbada y �nalmente vuelva a la condición

de equilibrio.

La información de los vuelos es obtenida mediante la telemetría de los sensores descrip-

tos en el capítulo 6. Además de las mediciones de los estados, se cuenta con las señales de

PWMs que excitan a los cuatro actuadores del VANT. En resumen, las variables medidas

directamente que fueron utilizadas en la IDS son:

LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS (IMU)

� Velocidades angulares: p, q y r.

� Ángulos de actitud: φ, θ y ψ.

LORD MicroStrain 3DM-GX3-35 AHRS (GPS)

� Velocidades de traslación: Norte, Este y Bajada.

Tubo de Pitot

7.2 Mediciones indirectas 79

� Velocidad respecto al aire.

PWMs

� Señal de PWMs de los actuadores: elevador, alerón, timón y acelerador.

Figura 7.1: Posicionamiento horizontal de un vuelo de prueba

7.2. Mediciones indirectas

Para el caso de algunas variables necesarias para la IDS que nos son medidas directa-

mente, se estiman a partir de la relación con otras mediciones que se hicieron. Es el caso

de los ángulos de viento: el ángulo de ataque α y el ángulo de deslizamiento lateral β. Las


mediciones que se utilizaron fueron las velocidades del GPS y los ángulos de actitud de

la IMU. Suponiendo una atmósfera estable se aplicaron las relaciones entre estas variables

vistas en el capítulo 3.

7.3. Perturbaciones

El modelo a identi�car es el modelo linealizado alrededor de la condición de equilibrio

de vuelo en estado estacionario. Por ello a la mediciones realizadas debemos sustraerle el

valor de equilibrio para poder trabajar con las perturbaciones alrededor de ese valor. Las

variables que poseen condiciones de equilibrio son la velocidad respecto al aire V, el ángulo

de ataque α, el ángulo de cabeceo θ, la de�exión del elevador δd y la velocidad del motor

δn. En la �gura 7.2 podemos observar un ejemplo.

Figura 7.2: Ejemplo de la sustracción del estado de equilibrio para obtener las perturba-ciones

7.4. Diferenciación

Otro de los problemas que surge la hacer la identi�cación es la necesidad de tener

información acerca de la derivada temporal de algunas de las mediciones. Dichas derivadas

no son mediciones que se realicen por los sensores utilizados comúnmente en aeronáutica.

Por esta razón fue necesario aplicar una diferenciación numérica a las mediciones de los

estados. Las perturbaciones a las que se les aplica derivada numérica son la velocidad V,

el ángulo de ataque α, la velocidad de cabeceo q, el ángulo de deslizamiento lateral β, la

velocidad de alabeo p y la velocidad de guiño r. En la �gura 7.3 mostramos un ejemplo del

7.5 Interpolación y Suavizado 81

resultado de la diferenciación numérica.

Figura 7.3: Ejemplo de la implementación de la diferenciación numérica

7.5. Interpolación y Suavizado

Como se menciona en el capítulo 2 la frecuencia de muestreo de datos nos permite

asegurar que la información de la dinámica del vuelo que nos interesa sea extraída. Para

el caso de estudio las dinámicas en estudio a analizar van hasta unos 2 Hz, y los datos de

telemetría se encuentran muestreados a una tasa de 10 Hz, por lo que con un muestreo 5

veces mayor podemos asegurar que la información buscada está presente en los datos. Sin

embargo, debido a la pérdida de algunos datos y la necesidad de que la información en los

tramos de vuelo recto sea mayor, se decide realizar una interpolación de los datos a 100

Hz. En la �gura 7.4 se muestra un ejemplo de dicha interpolación.

Figura 7.4: Suavizado producido por la interpolación de los datos procesados


7.6. Filtrado

Se implementa un �ltro pasa bajos de 10 Hz, pero luego del suavizado y el interpolado

previo, se observa que no existe ruido de alta frecuencia que �ltrar. Debido a esta razón se

decidió no utilizarlo �nalmente, pero queda como una opción en el algoritmo desarrollado

en caso de ser necesario para otra aplicación. En la �gura 7.5 se observa la respuesta en

frecuencia del �ltro implementado.

Figura 7.5: Respuesta en frecuecnia del �ltro pasa bajos implementado en el algortimo

7.7. Ejemplo del Procesamiento

A continuación se muestran una serie de grá�cos donde se comparan las mediciones

directas contra los datos procesados. Se toma una maniobra típica extraída de un vuelo de

prueba de condiciones de equilibrio. En primer lugar mostramos las variables correspon-

dientes a la dinámica longitudinal (�guras de la 7.6 a la7.14) y posteriormente los estados

que de�nen la dinámica lateral (�guras de la 7.15 a la 7.24).

7.7 Ejemplo del Procesamiento 83

Figura 7.6: Procesamiento de la velocidad respecto al aire

Figura 7.7: Procesamiento del ángulo de ataque

Figura 7.8: Procesamiento de la velocidad de cabeceo


Figura 7.9: Procesamiento del ángulo de cabeceo

Figura 7.10: Procesamiento de la de�exión del elevador

Figura 7.11: Procesamiento de la velocidad del motor


Figura 7.12: Procesamiento de la derivada de la velocidad

Figura 7.13: Procesamiento de la derivada del ángulo de ataque

Figura 7.14: Procesamiento de la derivada de la velocidad de cabeceo


Figura 7.15: Procesamiento del ángulo de deslizamiento lateral

Figura 7.16: Procesamiento de la velocidad de alabeo

Figura 7.17: Procesamiento de la velocidad de guiño


Figura 7.18: Procesamiento del ángulo de alabeo

Figura 7.19: Procesamiento del ángulo de guiño

Figura 7.20: Procesamiento de la de�exión de los alerones


Figura 7.21: Procesamiento de la velocidad del timón

Figura 7.22: Procesamiento de la derivada del ángulo de deslizamienot lateral

Figura 7.23: Procesamiento de la derivada de la velocidad de alabeo


Figura 7.24: Procesamiento de la derivada de la velocidad de guiño

Capítulo 8

Análisis de Resultados

El presente capítulo presenta los resultados obtenidos del procedimiento de IDS aplicado

al Cabure, usando como método de estimación de parámetros el algoritmo de mínimos

cuadrados.

En una primera instancia se muestran los resultados obtenidos para los datos generados

por simulación. En el caso de la simulación se entrena al sistema con dos tipos de manio-

bras. Primero se produce una serie de señales de barrido de frecuencias para los distintos

actuadores de la aeronave en el modo piloto y se analizan los resultados obtenidos, esta

señal de entrada es la recomendada por la bibliografía para la IDS [9].

Posteriormente se prueban distintos modos del autopiloto con sus respectivas señales

de control y se analizan nuevamente los resultados, esta prueba si bien no es la ideal para

la IDS, es similar al caso de los datos de vuelos reales de los que se dispone.

Como segunda instancia se procede al análisis de los vuelos reales, en este caso se

eligen maniobras que exciten varias frecuencias (similar a un barrido) para llevar a cabo el

entrenamiento del modelo.

8.1. IDS con Datos Simulados en Modo Piloto

Como prueba del método aplicado y los algoritmos desarrollados, se generan un lote

de datos para el entrenamiento del modelo. La señal de entrada es un un barrido de

frecuencias en el elevador y el acelerador para el caso de la dinámica longitudinal, y para

la dinámica lateral se aplica un barrido en el timón de cola y en los alerones. En la �gura

8.1 se observa un ejemplo de la señal de entrada impuesta en lo actuadores para excitar el

91

92 Análisis de Resultados

sistema. Esta es la forma óptima de excitar un sistema para obtener la máxima información

sin conocimiento anterior [9].

Figura 8.1: Señal modelo de excitación del sistema para el entrenamiento del modelo. En

este caso se utiliza un barrido de frecuencia entre 0.1 Hz y 2 Hz para excitar los modos

naturales del modelo analítico.

8.1.1. Identi�cación del Espacio de Estados Linealizado

Con los datos generados por simulación podemos implementar el algoritmo de IDS que

hemos diseñado. Se obtiene como resultado los valores de los elementos de las matrices que

de�nen el espacio de estados. Analizaremos �la a �la los resultados obtenidos.

En primer lugar se analiza la dinámica longitudinal. Se presentan los resultados de

los parámetros que de�nen a la primer ecuación del espacio de estados, correspondiente

a la dinámica de la velocidad. En la tabla 8.1 se observan los valores obtenidos por la

modelización analítica de la aeronave y a continuación el valor estimado por el proceso de

identi�cación. La tabla se completa con los valores de desviación estándar de la estimación

y el error entre el valor medio de la estimación y el valor del modelo.

8.1 IDS con Datos Simulados en Modo Piloto 93

Parámetro A11 A12 B11 B12

Modelo -0.0806 0.5731 -0.0053 0.0006

Media -0.0768 0.5745 -0.0077 0.0006

Desviación 0.0006 0.0030 0.0025 0.0000

Error relativo 0.0477 0.0024 0.4622 0.0051

Tabla 8.1: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados de

la Dinámica Longitudinal. Se observa que los valores estimados varían muy pocos de los

utilizados en la simulación.

En la siguiente tabla se presentan los valores obtenidos para la segunda ecuación y la

misma comparación de resultados. Estos valores parametrizan la dinámica del ángulo de

ataque.

Parámetro A21 A22 A23 B21 B22

Modelo -1.2016 -3.7709 0.9537 -0.3690 -0.0001

Media -1.2246 -3.6084 0.9952 -0.0730 -0.0001

Desviación 0.0002 0.0005 0.0002 0.0011 0.0000

Error relativo 0.0192 0.0431 0.0436 0.8021 0.0836

Tabla 8.2: Resultados de los parámetros de la segunda ecuación del Espacio de Estados

de la Dinámica Longitudinal.

En la siguiente tabla se presentan los valores obtenidos para la tercera ecuación del

espacio de estados longitudinal que corresponde a la dinámica de la velocidad de cabeceo.


Modelo 4.2061 -73.9990 -12.2158 -112.2071 -0.0018

Media 2.4109 -57.1475 -8.5262 -83.2411 -0.0011

Desviación 0.0459 0.1273 0.0417 0.2612 0.0001

Error relativo 0.4268 0.2277 0.3020 0.2581 0.3785

Tabla 8.3: Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados de

la Dinámica Longitudinal. Los valores de mayor magnitud se alejan de los valores reales.

A continuación se muestran los resultados obtenidos para las matrices de la dinámi-


ca lateral. En primer lugar mostramos la primer ecuación del espacio de estados lateral

correspondiente a la dinámica del ángulo de deslizamiento lateral.


Modelo -0.2617 0.1375 -0.9905 0.0000 -0.1078

Media -0.2406 0.1345 -0.9947 0.0021 -0.0713

Desviación 0.0003 0.0002 0.0001 0.0004 0.0003

Error relativo 0.0807 0.0218 0.0043 Inf 0.3387

Tabla 8.4: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados

de la Dinámica Lateral. Los valores estimados están en el orden de los valores reales.

Esta dinámica es identi�cada correctamente los valores estimados consiguen una buena

capacidad de predicción.

Los resultados de la estimación de parámetros de la segunda ecuación de la dinámica

lateral, se muestran en la siguiente tabla y grá�co. La ecuación de�ne la dinámica de la

velocidad de alabeo.


Modelo -9.3680 -10.1478 -0.4704 20.2968 -0.9090

Media -7.1733 -7.5146 -0.1280 16.8970 -1.0375

Desviación 0.0319 0.0266 0.0075 0.0438 0.0306

Error relativo 0.2343 0.2595 0.7279 0.1675 0.1413


de la Dinámica Lateral. En esta dinámica se observó un nivel de colinealidad alto, mejores

resultados son alcanzados cambiando la maniobra de entrada.

Los siguientes resultados se obtienen de la estimación de parámetros de la tercera

ecuación correspondiente a la dinámica de la velocidad de guiño.



Modelo 7.2045 -1.9097 -0.8888 3.4672 13.7614

Media 7.5958 -1.3719 -0.5466 2.7505 13.3351

Desviación 0.0481 0.0401 0.0114 0.0661 0.0462

Error relativo 0.0543 0.2816 0.3849 0.2067 0.0310



En general, se observa que los valores estimados para los elementos de las matrices

son aproximados a los utilizados por la simulación. Por lo que el método de estimación e

identi�cación esta funcionando bajo condiciones controladas.

8.1.2. Identi�cación de Derivativas

Otra manera en la que se puede aplicar el algoritmo de IDS es estimando los valores

de derivativas de cada uno de los coe�cientes aerodinámicos. Para ello, utilizando un expe-

rimento similar al del apartado anterior estimamos las derivativas suponiendo un modelo

lineal de comportamiento de los coe�cientes aerodinámicos. Nuevamente representamos los

resultados en una tabla que muestra el valor del modelo analítico, el valor esperado de la

estimación, la desviación estándar y el error.

Primero se presentan los resultados para el coe�ciente de arrastre (drag), que corres-

ponde a la dinámica longitudinal de la aeronave.

Parámetro CD0 CDα CDδe CDV CDδm

Modelo 0.0343 0.0473 0.0071 0.0394 -0.0008

Media 0.0344 0.0477 0.0081 0.1011 -0.0008

Desviación 0.0000 0.0044 0.0037 0.0009 0.0000

Error relativo 0.0024 0.0085 0.1511 1.5658 0.0073

Tabla 8.7: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre. En

la tabla se puede observar que la derivativa correspondiente a la velocidad se aleja de la

utilizada en la simulación. Se debe hacer un estudio más detallado en el simulador para

detectar una posible falla.


Los resultados correspondientes al coe�ciente de sustentación (lift), que corresponde a

la dinámica longitudinal de la aeronave se presentan en la tabla 8.8.

Parámetro CL0 CLα CLα CLq CLδe

Modelo 0.8151 5.0645 1.7368 6.9958 0.4989

Media 0.8151 -0.0302 -186.7512 186.6756 -0.0035

Desviación 0.0000 0.0005 0.0175 0.0116 0.0009

Error relativo 0.0000 1.0060 108.5260 25.6840 1.0070

Tabla 8.8: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación.

Se obtiene una alta correlación entre la velocidad de cambio del ángulo de ataque y la

velocidad de cabeceo, lo que produce la divergencia de los valores estimados, mejores

resultados pueden obtenerse cambiando la maniobra o reestructurando el modelo.

Los resultados correspondientes al coe�ciente de cabeceo (pitch), que corresponde a la

dinámica longitudinal de la aeronave.

Parámetro Cm0 Cmα Cmα Cmq Cmδe

Modelo 0.0012 -1.2157 -6.4347 -17.8273 -1.5964

Media -0.0000 -0.8944 -3.5470 -12.9953 -1.1653

Desviación 0.0000 0.0025 0.0815 0.0540 0.0042

Error relativo 1.0273 0.2643 0.4488 0.2710 0.2700

Tabla 8.9: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo. Se

observa un problema similar al caso anterior.

Así como se hizo para el análisis de las matrices del espacio de estados, en este caso

se analizan los valores de derivativas estimados para la dinámica lateral, se presentan los

datos del coe�ciente de fuerza lateral en la tabla 8.10.

Parámetro Cyβ Cyp Cyδr

Modelo -0.3506 -0.0053 -0.1444

Media -0.3144 0.0147 -0.1028

Desviación 0.0005 0.0055 0.0006

Error relativo 0.1031 3.7659 0.2884

Tabla 8.10: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral.


En la siguiente tabla se pueden observar los resultados de las derivativas de estabilidad

y control del coe�ciente de alabeo (roll) de la dinámica lateral.

Parámetro Clβ Clp Clr Clδa Clδr

Modelo -0.0268 -0.4991 0.0430 0.0625 0.0004

Media -0.0216 -0.3621 -0.0062 0.0509 -0.0031

Desviación 0.0001 0.0013 0.0004 0.0001 0.0001

Error relativo 0.1940 0.2746 1.1434 0.1853 8.6928

Tabla 8.11: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo.

Se presentan los datos del coe�ciente de guiño (yaw) en la tabla 8.12.

Parámetro Cnβ Cnp Cnr Cnδa Cnδr

Modelo 0.0397 -0.0122 -0.0561 -0.0010 0.0620

Media 0.0346 -0.1000 -0.0398 0.0125 0.0607

Desviación 0.0002 0.0029 0.0008 0.0003 0.0002

Error relativo 0.1287 7.1931 0.2901 13.2192 0.0213

Tabla 8.12: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño.

8.1.3. Identi�cación de los Modos dinámicos del sistema

Los modos dinámicos de una aeronave quedan de�nidos por los valores propios de las

matrices que de�nen al espacio de estados. En este caso se calculan los valores propios

resultantes de las matrices obtenidas por la identi�cación del modelo. Se analizan tam-

bién la frecuencia natural y el amortiguamiento de esos polos. La comparación se realizan

nuevamente contra el modelo analítico de simulación.

Primero se analizan los polos que comprenden la dinámica longitudinal, en este caso

como vimos en el capítulo 3 existen dos modos conocidos como modo de periodo corto

y modo de periodo largo o modo fugoide. En la tabla 8.13 se muestran los resultados

obtenidos para el modo de periodo corto y en la tabla 8.14 las características del modo

fugoide.


Parámetro Periodo Corto ωn[rad/s] ζ T [s]

Modelo −7,9938± 7,2724i 10.8069 0.7397 0.5814

Media −6,0706± 7,1430i 9.3742 0.6476 0.6703

Tabla 8.13: Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada

Parámetro Periodo Largo ωn[rad/s] ζ T [s]

Modelo −0,0399± 0,7399i 0.7410 0.0538 8.4793

Media −0,0351± 0,7394i 0.7402 0.0474 8.4885

Tabla 8.14: Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada

La imagen 8.2 muestra el lugar de los polos tanto para el modelo analítico como para

el estimado, en ambos casos podemos ver que los valores se conservan en el semiplano

negativo, lo que permite predecir la estabilidad del sistema identi�cado.

Figura 8.2: Resultados de los modos longitdinales a partir de la matriz identi�cada

Seguidamente se estudian los polos que comprenden la dinámica lateral del modelo. En

el capítulo 3 se explico la existencia de tres modos dinámicos el modo de alabeo, el modo

espiral y el modo de balanceo. En las tablas 8.15, 8.16 y 8.17 se muestran los resultados

respectivamente.

Parámetro Modo Alabeo ωn[rad/s] ζ T [s]

Modelo -10.3448 10.3448 1.0000 0.6073

Media -7.6544 7.6544 1.0000 0.1312

Tabla 8.15: Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada

8.2 IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto 99

Parámetro Modo Espiral ωn[rad/s] ζ T [s]

Modelo 0.0057 0.0057 1.0000 1096.48

Media 0.0369 0.0369 1.0000 27.1254

Tabla 8.16: Resultados del modo espiral a partir de la matriz identi�cada

Parámetro Modo Balanceo ωn[rad/s] ζ T [s]

Modelo −0,4796± 3,0570i 3.0944 0.1550 2.0305

Media −0,3422± 3,0569i 3.3742 0.1112 2.9241

Tabla 8.17: Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada

En este caso, en la �gura 8.3 se observa que la estimación nuevamente se desvía para

el modo de alta frecuencia. Pero en cuanto a la estabilidad e inestabilidad de cada uno de

los modos es respetada.

Figura 8.3: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada

Se observa que con la excitación impuesta se produce una caída en los modos de fre-

cuencia estimados, para obtener mejores resultados se puede variar el rango de frecuencia

del barrido y el tiempo de excitación.

8.2. IDS con Datos Simulados en Modo Autopiloto

El proceso de IDS se prueba en este caso para una simulación de un vuelo nivelado

en condiciones equilibradas con el autopiloto activado. Este modo de obtener datos es

más parecido a la manera en que se obtuvieron los datos experimentales disponibles. La


excitación en este caso se debe al ruido que se introduce en los sensores y que produce

la respuesta del autopiloto para intentar mantener las condiciones de vuelo estacionario.

En la �gura 8.4 pueden observarse las excitaciones producidas por los controladores para

mantener la estabilidad del sistema.

Figura 8.4: Excitaciones producidas por el autopiloto al activar los modos de control

de actitud y velocidad, sumando ruido a las señales de los sensores que realimentan al

autopiloto.


Una vez generados los datos por la simulación con los controladores activados, pro-

cedemos al mismo análisis que se hizo en la sección previa. Analizaremos �la a �la los

elementos de las matrices que debemos estimar, presentando para cada caso la estimación

del valor esperado y una estimación de la desviación estándar, y comparando con el valor

del modelo analítico obtenido para la simulación.

En las tablas 8.18, 8.19 y 8.20 se presentan los datos obtenidos para la dinámica lon-

gitudinal.



Modelo -0.0806 0.5731 -0.0053 0.0006

Media -0.0766 0.5811 -0.0036 0.0006

Desviación 0.0012 0.0004 0.0001 0.0000

Error relativo 0.0503 0.0140 0.3088 0.0001

Tabla 8.18: Resultados de los parámetros de la primer ecuación del Espacio de Estados

de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto.Los valores estimado alcanzan un valor

similar a los del modelos de simulación.


Modelo -1.2016 -3.7709 0.9537 -0.3690 -0.0001

Media -1.2455 -3.7079 1.0066 -0.0214 -0.0001

Desviación 0.0149 0.0051 0.0003 0.0018 0.0000

Error relativo 0.0366 0.0167 0.0555 0.9421 0.2247


de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto.


Modelo 4.2061 -73.9990 -12.2158 -112.2071 -0.0018

Media -19.7753 -175.2455 4.4451 -25.5710 -0.0316

Desviación 17.5851 5.9880 0.3979 2.0683 0.0241

Error relativo 5.7015 1.3682 1.3639 0.7721 16.9479

Tabla 8.20: Resultados de los parámetros de la tercera ecuación del Espacio de Estados

de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto. Se observa un problema de colinealidad

alto entre los regresores.

A continuación se muestran los resultados obtenidos para las matrices de la dinámica

lateral. En las tablas 8.21, 8.22 y 8.23 se presentan los datos obtenidos.

Comenzando con la dinámica del ángulo de deslizamiento lateral, se aprecia un buen

nivel de estimación. Los niveles de colinealidad son bajos y el coe�ciente de determinación

alto.



Modelo -0.2617 0.1375 -0.9905 0.0000 -0.1078

Media -0.2388 0.1353 -0.9943 0.0011 -0.0701

Desviación 0.0006 0.0000 0.0002 0.0000 0.0007

Error relativo 0.0876 0.0155 0.0038 Inf 0.3498


la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto. Los valores que de�nen la dinámica se asemejan

a los del modelo simulado.


Modelo -9.3680 -10.1478 -0.4704 20.2968 -0.9090

Media -4.7992 -4.8740 3.5537 15.2551 11.2186

Desviación 2.8765 0.1877 0.7701 0.1816 3.2590

Error relativo 0.4877 0.5197 8.5543 0.2484 13.3413


de la Dinámica Lateral en Modo Autopiloto. En este caso se ve una excitación ine�caz de

los modos ya que los valores alcanzados no alcanzan la magnitud necesaria.


Modelo 7.2045 -1.9097 -0.8888 3.4672 13.7614

Media 7.8078 -1.0406 0.0644 2.6442 15.3869

Desviación 0.4749 0.0310 0.1271 0.0300 0.5381

Error relativo 0.0837 0.4551 1.0724 0.2374 0.1181


de la Dinámica Longitudinal en Modo Autopiloto. Los valores adquiridos son cercanos a

la dinámica de simulación utilizada.


Se aplica nuevamente el método de IDS para calcular el valor de las derivativas del

sistema. Con los mismos datos utilizados para el caso anterior se calculan los valores de

las derivativs de estabilidad y de control. Nuevamente representamos los resultados en


una tabla que muestra el valor del modelo analítico, el valor esperado de la estimación, la

desviación estándar y el error.

Se comienza mostrando los resultados para el coe�ciente de arrastre (drag), tabla 8.24,

que corresponde a la dinámica longitudinal de la aeronave. Al igual que en el modo piloto,

se ve un error en la derivativa de la velocidad, que puede indicar un posible error en la

simulación.


Modelo 0.0343 0.0473 0.0071 0.0397 -0.0008

Media 0.0346 0.0405 0.0047 0.1003 0.0000

Desviación 0.0000 0.0006 0.0002 0.0022 0.0000

Error relativo 0.0004 0.2082 0.3385 1.5443 0.0043

Tabla 8.24: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre en

Modo Autopiloto.


Modelo 0.8151 5.0645 1.7368 6.9958 0.4989

Media 0.8181 -0.0341 -186.7032 186.7027 -0.0000

Desviación 0.0000 0.0002 0.0074 0.0075 0.0000

Error relativo 0.0000 1.0067 108.4984 25.6878 1.0001

Tabla 8.25: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación

en Modo Autopiloto.

En la tabla 8.25 se mostraron los resultados para el coe�ciente aerodinámico de susten-

tación y se comenta brevemente acerca del problema entre el ángulo de ataque derivado

α y la velociad de cabeceo q. A continuación se presentan los resultados del coe�ciente

aerodinámico de cabeceo en la tabla 8.26.



Modelo 0.0012 -1.2157 -6.4347 -17.8273 -1.5964

Media -0.0007 10.6188 490.8207 -484.9465 -0.2781

Desviación 0.0001 0.6400 23.8484 23.9945 0.0260

Error relativo 1.5853 9.7351 77.2772 26.2025 0.8258

Tabla 8.26: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo en

Modo Autopiloto. En la estimación de esta serie de derivativas se observa un peor resultado

que en el modo piloto, y al igual que en el coe�ciente de arrastre puede estimarse un gran

acople de la dinámica de los regresores en cuestión.

Con respecto a la dinámica lateral se presentan los resultados para el coe�ciente de

fuerza lateral, tabla 8.27. Seguido de los resultados correspondientes al coe�ciente de ala-

beo, tabla 8.28. Y �nalmente se presentan los resultados correspondientes al coe�ciente de

guiño, tabla 8.29.


Modelo -0.3506 -0.0053 -0.1444

Media -0.3250 -0.0544 -0.0874

Desviación 0.0010 0.0008 0.0012

Error relativo 0.0730 9.2709 0.3947

Tabla 8.27: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral

en Modo Autopiloto.


Modelo -0.0268 -0.4991 0.0430 0.0625 0.0004

Media -0.0145 -0.2348 0.1712 0.0459 0.0338

Desviación 0.0087 0.0090 0.0371 0.0005 0.0098

Error relativo 0.4607 0.5295 2.9819 0.2645 82.1846

Tabla 8.28: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo en

Modo Autopiloto.



Modelo 0.0397 -0.0122 -0.0561 -0.0010 0.0620

Media 0.0356 -0.0758 0.0047 0.0120 0.0701

Desviación 0.0022 0.0023 0.0093 0.0001 0.0025

Error relativo 0.1044 5.2145 1.0836 12.7470 0.1293

Tabla 8.29: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño en Modo

Autopiloto.






nuevamente contra el modelo analítico de simulación.

Primero se analizan los polos que comprenden la dinámica longitudinal, en este caso

como vimos en el capítulo 3 existen dos modos conocidos como modo de periodo corto

y modo de periodo largo o modo fugoide. En la tabla 8.13 se muestran los resultados

obtenidos para el modo de periodo corto y en la tabla 8.14 las características del modo

fugoide.


Modelo −7,9938± 7,2724i 10.8069 0.7397 0.5814

Estimado −4,1895± 7,9317i 8.9701 0.4670 0.7005

Tabla 8.30: Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada


Modelo −0,0399± 0,7399i 0.7410 0.0538 8.4793

Estimado −0,0320± 0,7268i 0.7275 0.0440 8.6363

Tabla 8.31: Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada


el estimado, en ambos casos podemos ver que los valores se conservan en el semiplano


negativo, lo que permite predecir la estabilidad del sistema identi�cado.





respectivamente.


Modelo -10.3448 10.3448 1.0000 0.6073

Estimado -4.4830 4.4830 1.0000 1.4016

Tabla 8.32: Resultados del modo de alabeo a partir de la matriz identi�cada


Modelo 0.0057 0.0057 1.0000 1096.48

Estimado 0.4250 0.4250 -1.0000 14.7856



Modelo −0,4796± 3,0570i 3.0944 0.1550 2.0305

Estimado −0,4952± 3,2536 3.2910 0.1505 1.9092

Tabla 8.34: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo

Autopiloto.

En este caso de la �gura 8.6 se observa que la estimación nuevamente se desvía para

8.3 IDS con Datos Experimentales 107



Figura 8.6: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada en Modo

Autopiloto.

8.3. IDS con Datos Experimentales

Para encontrar un modelo a partir de los datos experimentales se tiene la di�cultad que

los vuelos no fueron diseñados ni pensados para el proceso de IDS, por lo que no todas las

dinámicas ni frecuencias serán excitadas en modo óptimo para descubrir toda la informa-

ción del fenómeno. Sin embargo, de los datos experimentales se puede sacar información

para llegar a un modelo que prediga en mayor o menor medida el comportamiento del

VANT. Como se explica en el capítulo 6, las maniobras de vuelo son en general una serie

de vueltas al aeródromo tanto en modo manual como en modo de autopiloto. De estas

pruebas se separan una serie de maniobras que comiencen en un vuelo en condiciones de

equilibrio, posteriormente se produzcan una serie de perturbaciones y vuelva al estado de

vuelo estacionario. En la �gura 8.7 se muestran las perturbaciones en los actuadores para

una de las maniobras ejemplo:


Figura 8.7: Excitaciones de los cuatro actuadores producidas al realizar un maniobra de

giro en semicírculo.


Una vez extraída la información de una maniobra del conjunto de datos de vuelo se

procede a realizar una análisis similar al realizado para los datos simulados, estos datos

son previamente procesados para obtener un formato similar al que se obtiene de las simu-

laciones. Se analiza cada ecuación del espacio de estados para poder de�nir las matrices

del espacio linealizado, tanto de la dinámica longitudinal como lateral. Se presentan a con-

tinuación los resultados obtenidos para una maniobra experimental en la que se intenta

obtener los valores de vuelo equilibrado. Se comienza presentando los resultados para la

dinámica longitudinal en las tablas 8.35, 8.36 y 8.37.



Modelo -0.0806 0.5731 -0.0053 0.0006

Media -0.0087 0.4377 -0.1761 0.0001

Desviación 0.0069 0.0062 0.0332 0.0000

Diferencia 0.0720 0.1353 0.1708 0.0005


la Dinámica Longitudinal con datos reales.


Modelo -1.2016 -3.7709 0.9537 -0.3690 -0.0001

Media 0.0635 -0.1337 0.8040 -1.9436 -0.0000

Desviación 0.0236 0.0211 0.0123 0.1309 0.0000

Diferencia 1.2651 3.6372 0.1496 1.5747 0.0000


de la Dinámica Longitudinal con datos reales. En este caso el valor correspondiente a la

dinámica de la velocidad posee signo contrario, pero su valor es de un orden menor a los

demás, por lo que no es de gran in�uencia en la dinámica.


Modelo 4.2061 -73.9990 -12.2158 -112.2071 -0.0018

Media 1.4395 -1.8707 -4.1618 -30.5501 -0.0014

Desviación 0.3067 0.2741 0.1590 1.6983 0.0004

Diferencia 2.7666 72.1283 8.0541 81.6570 0.0004


de la Dinámica Longitudinal con datos reales. Los valores estimados se alejan en las mag-

nitudes de mayor orden respecto al analítico, probablemente debido a una mala excitación

de los modos dinámicos.

A continuación se muestran los resultados obtenidos para las matrices de la dinámica

lateral, en las tablas 8.38, 8.39 y 8.40.



Modelo -0.2617 0.1375 -0.9905 0.0000 -0.1078

Media -0.4856 0.0190 -0.9231 0.0958 -2.0338

Desviación 0.0360 0.0089 0.0217 0.0510 0.2362

Diferencia 0.2239 0.1184 0.0674 0.0958 1.9259


la Dinámica Lateral


Modelo -9.3680 -10.1478 -0.4704 20.2968 -0.9090

Media -1.6334 -3.7074 5.7742 22.3625 1.0524

Desviación 0.5650 0.1393 0.3401 0.8003 3.7044

Diferencia 7.7346 6.4403 6.2446 2.0657 1.9614


de la Dinámica Lateral


Modelo 7.2045 -1.9097 -0.8888 3.4672 13.7614

Media 2.4818 -1.1580 -1.9317 2.1822 23.2863

Desviación 0.1390 0.0343 0.0837 0.1969 0.9116

Diferencia 4.7227 0.7517 1.0429 1.2850 9.5249



En genera se observa que la estimación de los parámetros tiene el mismo signo que el

predico por el modelo analítico, pero los valores (en mayor medida los de mayor magnitud)

tienen diferencias grandes que pueden deberse a varios factores como un mal diseño de la

maniobra, no linealidades despreciadas, perturbaciones externas durante el vuelo, ruido de

mediciones elevados, entre otros.



En este caso estimamos nuevamente los valores de derivativas de cada uno de los co-

e�cientes aerodinámicos. Para ello, se utilizan en este caso los datos experimentales. se

representan los resultados en una tabla que muestra el valor del modelo analítico, el valor

esperado de la estimación, la desviación estándar y la diferencia.

Primero se presentan los resultados para el coe�ciente de arrastre (drag), que corres-

ponde a la dinámica longitudinal de la aeronave.


Modelo 0.0343 0.0473 0.0071 0.0397 -0.0008

Media 0.0527 0.2217 0.1714 0.0727 -0.0002

Desviación 0.0007 0.0101 0.0479 0.0086 0.0000

Diferencia 0.0184 0.1744 0.1644 0.0330 0.0007

Tabla 8.41: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de arrastre con

datos reales.


Modelo 0.8151 5.0645 1.7368 6.9958 0.4989

Media 0.8182 -0.0494 -186.1377 186.3808 0.0148

Desviación 0.0001 0.0009 0.1182 0.1160 0.0046

Diferencia 0.0031 5.1139 187.8745 179.3850 0.4841

Tabla 8.42: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de sustentación

con datos reales. En este caso vemos que los valores correspondientes a la variación con

la derivada del ángulo de ataque y la velocidad de cabeceo divergen, debido a un nivel de

colinealidad alto, cercano a 0,9.


CL0 CLα CLα CLq CLδe

CL0 1.0000 0.5206 0.2531 -0.221 0.1760

CLα 0.5206 1.0000 0.2090 -0.284 -0.305

CLα 0.2531 0.2090 1.0000 -0.858 0.2986

CLq -0.221 -0.284 -0.858 1.0000 -0.046

CLδe 0.1760 -0.305 0.2986 -0.046 1.0000

Tabla 8.43: Matriz de correlación de las derivativas del coe�ciente de sustentación.


Modelo 0.0012 -1.2157 -6.4347 -17.8273 -1.5964

Media -0.0003 -0.0019 15.5353 -19.4134 -0.1103

Desviación 0.0002 0.0036 0.4944 0.4856 0.0193

Diferencia 0.0015 1.2137 21.9700 1.5861 1.4860

Tabla 8.44: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de cabeceo con

datos reales. Nuevamente se observan problemas con la derivada del ángulo de ataque, esto

se debe a que su medición es indirecta y existen errores que no se han podido sortear.

Con respecto a la dinámica lateral se presentan los resultados para el coe�ciente de

fuerza lateral, tabla 8.45. Seguido de los resultados correspondientes al coe�ciente de ala-

beo, tabla 8.46. Y �nalmente se presentan los resultados correspondientes al coe�ciente de

guiño, tabla 8.47.


Modelo -0.3506 -0.0053 -0.1444

Media -0.6285 -0.5182 -2.8809

Desviación 0.0492 0.1652 0.2870

Diferencia 0.2779 0.5129 2.7365

Tabla 8.45: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de fuerza lateral

con datos reales.



Modelo -0.0268 -0.4991 0.0430 0.0625 0.0004

Media -0.0049 -0.1786 0.2782 0.0673 0.0032

Desviación 0.0017 0.0067 0.0164 0.0024 0.0112

Diferencia 0.0219 0.3205 0.2352 0.0049 0.0028

Tabla 8.46: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de alabeo con

datos reales.


Modelo 0.0397 -0.0122 -0.0561 -0.0010 0.0620

Media 0.0113 -0.0844 -0.1407 0.0099 0.1060

Desviación 0.0006 0.0025 0.0061 0.0009 0.0042

Diferencia 0.0284 0.0722 0.0846 0.0110 0.0440

Tabla 8.47: Resultados de la estimación de las derivativas del coe�ciente de guiño con

datos reales.






nuevamente contra el modelo analítico.


Modelo −7,9938± 7,2724i 10.8069 0.7397 0.5814

Estimado -3.7615 3.7615 1.0000 1.6704

Estimado -0.5234 0.5234 1.0000 12.0045

Tabla 8.48: Resultados del modo de periodo corto a partir de la matriz identi�cada con

datos reales.



Modelo −0,0399± 0,7399i 0.7410 0.0538 8.4793

Estimado −0,0096± 0,1367i 0.1370 0.0701 45.8538

Tabla 8.49: Resultados del modo fugoide a partir de la matriz identi�cada con datos reales.


el estimado, en ambos casos se ve que los valores se conservan en el semiplano negativo, lo

que permite predecir la estabilidad del sistema identi�cado. Pero en este caso los polos del

modo corto han cambiado por dos polos reales negativos, perdiendo el efecto de oscilación,

esto se debe a la mala estimación del ángulo de ataque. La frecuencia de muestreo también

está afectando los resultados ya que aparentemente no se está obteniendo información de

los modos de alta frecuencia.





respectivamente.


Modelo -10.3448 10.3448 1.0000 0.6073

Estimado -5.1159 5.1159 1.0000 1.2282

Tabla 8.50: Resultados de los modos longitudinales a partir de la matriz identi�cada con

dato reales.



Modelo 0.0057 0.0057 1.0000 1096.48

Estimado 0.2579 0.2579 -1.0000 24.3616



Modelo −0,4796± 3,0570i 3.0944 0.1550 2.0305

Estimado −0,3861± 1,3536i 1.4076 0.2743 4.4637

Tabla 8.52: Resultados del modo de balanceo a partir de la matriz identi�cada

En este caso de la �gura 8.9 se observa que la estimación nuevamente se desvía para



Figura 8.9: Resultados de los modos laterales a partir de la matriz identi�cada con dato

reales.

En la dinámica lateral los valores obtenidos tienen la forma del modo analítico, pero

nuevamente parece haber problema con la información de los modos de alta frecuencia

debido a un mal muestreo o a una mala excitación por parte de las maniobras realizadas.

Capítulo 9

Conclusiones

La identi�cación de sistemas y la estimación de parámetros de modelos se presentan

como herramientas fundamentales e invaluables para el determinación precisa de distintos

sistemas dinámicos. En el caso particular de los VANT's, la estimación de parámetros

arroja luz sobre un modelo que resuelto solo analíticamente presenta errores e incertezas

que no pueden ser corregidas teóricamente. Además, en caso de no contar con un estudio

aerodinámico en túnel de viento o con una simulación de dinámica de �uidos precisa, la

estimación a partir de datos de vuelo ofrece una solución práctica y menos costosa para

alcanzar un modelo matemático más representativo y acorde con la realidad. Si bien se

mencionan muchas ventajas, es importante ser conscientes de las di�cultades que presenta

esta técnica para poder llegar a resultados útiles y concretos.

9.1. Finalización de la Tesis

La tesis ha presentado una amplia cantidad de conceptos y herramientas útiles para

al análisis y estudio de la dinámica de cualquier VANT de ala rígida en general. Se rea-

liza una descripción de la identi�cación de sistemas y el estado actual para la aplicación

en aeronaves. Se desarrolla rigurosamente el modelo matemático que describe la dinámica

general de una aeronave, alcanzando dos dinámicas desacopladas: una longitudinal y una

lateral-direccional. Se describe la técnica de estimación de parámetros por mínimos cua-

drados en batch. Se muestra la implementación de un simulador de vuelo en base al modelo

lineal para la producción de datos simulados, así como también el procesamiento de datos

reales a partir de vuelos de prueba. Finalmente, se muestran los resultados alcanzados y

117

118 Conclusiones

se comparan con la dinámica real de la aeronave en estudio. Es importante destacar que

la estimación se efectúa secuencialmente como se comenta en los resultados donde primero

se prueban los algoritmos con datos simulados en condiciones ideales, luego se hace una

simulación �ruidosa� más realista y �nalmente se trabaja con los datos reales, este proce-

dimiento permite una curva de aprendizaje más suave en el desarrollo de los algoritmos de

identi�cación.

9.2. Experiencias

Durante el desarrollo de la tesis se ha alcanzado un aprendizaje que deja un conocimien-

to más profundo y práctico acerca de la estimación de parámetros de vehículos aéreos. Las

experiencias son fruto del constante esfuerzo por obtener un modelo preciso y consistente,

el contraste con los datos reales y su procesamiento para obtener información coherente y

la búsqueda de parámetros que describan la verdadera dinámica del avión. Las enseñanzas

más importantes dadas por la experiencia son:

El método de estimación por mínimos cuadrados devuelve resultados satisfactorios

pero no exactos y depende de varios detalles a tener en cuenta. Esto pudo compro-

barse en primera instancia con las simulaciones hechas en condiciones ideales.

El diseño de la maniobra de excitación afecta mucho en los resultados que se pueden

obtener, es por eso que es recomendable el diseño del experimento, sobre todo en

el caso de querer obtener información precisa y detallada. Nos da la posibilidad de

evitar colinealidad entre los regresores.

Los datos de vuelo deben ser consistentes cinemática y dinámicamente, sino la esti-

mación diverge.

Los resultados obtenidos son siempre estimaciones aproximadas, esto se observa en

la correlación que existe entre los parámetros, debido a la falta de ortogonalidad de

los regresores.

Los datos de vuelo reales deben ser procesados cautelosamente, ya que los sensores,

en general sino son de alta prestaciones, presentan sesgos y ruidos que deben ser

�ltrados.

9.3 Interpretación de Resultados 119

Los acelerómetros producen una señal muy ruidosa, que en algunos casos es mejor

reemplazar por la derivación numérica de la velocidad.

Los sensores MEMS producen mediciones más ruidosas y sesgadas que un GPS, pero

presentan una tasa de medición de mayor frecuencia. Esto es importante al estudiar

los modos de alta frecuencia, ya que una tasa de muestreo baja puede traducirse en

pérdida de información, al igual que una relación de señal-ruido pequeña.

La identi�cación completa del modelo de un VANT es un proceso iterativo, el resul-

tado de esta tesis es una herramienta de identi�cación general, pero el conocimiento

en detalle de cada parámetro debe hacerse de manera especí�ca, tratando de aislar

la dinámica particular en estudio.

9.3. Interpretación de Resultados

La estimación de parámetros en base al estimador de cuadrados mínimos ordinario,

arroja resultados exitosos para la identi�cación de modelo de un avión. Se observa que

los valores estimados por simulación son aproximados a los obtenidos por el análisis de

DATCOM y el modelo teórico. Los errores se deben a la correlación que se produce entre

los distintos parámetros, produciendo errores en los valores �nales. Los resultados obtenidos

por la identi�cación con datos reales, producen resultados que se encuentran en el orden de

los valores teóricos, pero en algunos parámetros la estimación parece divergir respecto de los

valores teóricos. En este caso la implementación de técnicas de suavizado permitió que las

mediciones reales sean suavizadas, y los valores �nales alcanzados sean más representativos.

9.4. Investigaciones Pendientes

La continuación de esta investigación debería concentrarse en:

Prueba con otros vehículos y datos de vuelo.

Utilizar la información analítica o de una primera estimación como datos a priori

para el desarrollo de un estimador bayesiano o estimador mixto.

Utilización de la estimación para un control adaptativo.

120 Conclusiones

Diseño de vuelos de prueba dirigidos a la identi�cación de sistemas.

Implementación y optimización de la identi�cación en tiempo real para una aeronave,

con recursos limitados.

Identi�cación en base a modelos no lineales de la aerodinámica de un avión.

Apéndice A

Apéndice: Archivo Ejemplo de

Entrada a DATCOM

DIM M

DERIV RAD

$FLTCON WT= 5.7000,

LOOP= 3.00000,

NMACH= 5.000,

MACH(1)= 0.029,

0.044,0.058,

0.073,

0.088,

NALT= 1.0,

ALT(1)= 620.0,

NALPHA= 14.00000,

ALSCHD(1)= -5.00000,

-3.00000,

0.00000,

3.00000,

5.00000,

8.00000,

11.00000,

14.00000,

15.00000,

16.00000,

17.00000,

17.50000,

18.00000,

20.00000$

$OPTINS SREF= 0.45920,

CBARR= 0.22960,

BLREF= 2.00000$

$SYNTHS XCG= 0.44220,

ZCG= 0.06160,

XW= 0.36320,

ZW= 0.11160,

ALIW= 0.0,

VERTUP= .TRUE.,

XH= 1.23000,

ZH= 0.0,

ALIH= 0.0,

XV= 1.21000,

ZV= 0.00450$

$BODY NX= 14.00000,

X= 0.04000,

0.04500,

0.05000,

0.05500,

0.06000,

0.07630,

0.12410,

0.17290,

0.21530,

0.27500,

0.50880,

0.61940,

0.72370,

1.23000,

R= 0.00000,

0.00183,

0.00366,

0.00733,

0.01465,

0.02930,

0.03700,

0.04600,

0.04836,

0.07490,

0.07490,

0.03700,

0.02570,

0.02050,

ZU= 0.05300,

0.06000,

0.06000,

121

122 Apéndice: Archivo Ejemplo de Entrada a DATCOM

0.06000,

0.06500,

0.07000,

0.09000,

0.10660,

0.11150,

0.11510,

0.10600,

0.10640,

0.02600,

0.00450,

ZL= 0.05300,

0.04000,

0.04000,

0.04000,

0.04000,

0.00250,

-0.00400,

-0.03600,

-0.07630,

-0.08620,

-0.08620,

-0.05770,

-0.04600,

-0.00450,

BNOSE= 1.00000,

BLN= 0.00100,

BTAIL= 1.00000$

$WGPLNF CHRDR= 0.24500,

CHRDBP= 0.24500,

CHRDTP= 0.17500,

SSPN= 1.0,

SSPNE= 0.95340,

SSPNOP= 0.50000,

SAVSI= 0.0,

SAVSO= 8.00000,

CHSTAT= 0.25000,

TWISTA= 0.00000,

DHDADI= 0.00000,

DHDADO= 7.00000,

TYPE= 1.0$

NACA-W-4-2412

CASEID Cabure: Body, wing

SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Ailerons

$ASYFLP STYPE= 4.0,

SPANFI= 0.05500,

SPANFO= 0.50000,

CHRDFI= 0.05000,

CHRDFO= 0.05000,

NDELTA= 9.00000,

DELTAL(1)= -23.00000,

-18.00000,

-10.00000,

-5.00000,

0.00000,

5.00000,

10.00000,

15.00000,

18.00000,

DELTAR(1)= 18.00000,

15.00000,

10.00000,

5.00000,

0.00000,

-5.00000,

-10.00000,

-18.00000,

-23.00000$

SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Horizontal and vertical stabilizers, elevator

DAMP

NACA-V-4-0009

$VTPLNF CHRDR= 0.21000,

CHRDTP= 0.11000,

SSPN= 0.24994,

SSPNE= 0.24994,

SAVSI= 24.00000,

CHSTAT= 0.25000,

TYPE= 1.0$

NACA-H-4-0012

$HTPLNF CHRDR= 0.19500,

CHRDTP= 0.14930,

SSPN= 0.24994,

SSPNE= 0.24994,

SAVSI= 7.80000,

CHSTAT= 0.25000,

TWISTA= 0.0,

DHDADI= 0.0,

TYPE= 1.0$

$SYMFLP FTYPE= 1.00000,

NDELTA= 9.00000,

NTYPE= 1.00000,

DELTA(1)= -16.00000,

-14.00000,

-10.00000,

-5.00000,

0.00000,

5.00000,

10.00000,

15.00000,

17.00000,

SPANFI= 0.00100,

SPANFO= 0.24800,

CHRDFI= 0.18000,

CHRDFO= 0.14930$

SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Engine eng=electric_Cabure prop=prop_Cabure

$PROPWR AIETLP= 3.00000,

NENGSP= 1.00000,

THSTCP= 0.00000,

PHALOC= 0.04100,

YP= 0.00000,

PHVLOC= 0.05375,

PRPRAD= 0.13970,

ENGFCT= 0.78000,

NOPBPE= 2.00000$

123

SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Second Power setting

$PROPWR THSTCP=0.057$

SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Third Power setting


SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Fourth Power setting


SAVE

NEXT CASE

CASEID Cabure: Fifth Power setting


Bibliografía

[1] INVAP. Sistema aéreo robótico argentino (sara). URL http://

www.invap.com.ar/es/espacial-y-gobierno/proyectos-de-gobierno/

sistema-aereo-robotico-argentino-sara.html.

[2] DeGarmo, M. T. Issues concerning integration of unmanned aerial vehicles in civil

airspace. Center for Advanced Aviation System Development, pág. 4, 2004.

[3] Hajiyev, C., Soken, H. E., Vural, S. Y. State estimation and control for low-cost

unmanned aerial vehicles. Springer, 2015.

[4] Maza, I., Caballero, F., Capitán, J., Martínez-de Dios, J. R., Ollero, A. Experimental

results in multi-uav coordination for disaster management and civil security applica-

tions. Journal of intelligent & robotic systems, 61 (1), 563�585, 2011.

[5] Fernández-Hernandez, J., González-Aguilera, D., Rodríguez-Gonzálvez, P., Mancera-

Taboada, J. Image-based modelling from unmanned aerial vehicle (uav) photogram-

metry: An e�ective, low-cost tool for archaeological applications. Archaeometry,

57 (1), 128�145, 2015.

[6] Xiang, H., Tian, L. Development of a low-cost agricultural remote sensing system

based on an autonomous unmanned aerial vehicle (uav). Biosystems engineering,

108 (2), 174�190, 2011.

[7] ZADEH, L. A. From circuit theory to system theory. PROCEEDINGS OF THE IRE,

50, 856�865, 1962.

[8] Klein, V., Morelli, E. A. Aircraft system identi�cation: theory and practice. American

Institute of Aeronautics and Astronautics Reston, Va, USA, 2006.

125

http://www.invap.com.ar/es/espacial-y-gobierno/proyectos-de-gobierno/sistema-aereo-robotico-argentino-sara.html



126 Bibliografía

[9] Tischler, M. B., Remple, R. K. Aircraft and rotorcraft system identi�cation. 2006.

[10] Ho�er, N. V., Coopmans, C., Jensen, A. M., Chen, Y. A survey and categorization of

small low-cost unmanned aerial vehicle system identi�cation. Journal of Intelligent &

Robotic Systems, 74 (1-2), 129, 2014.

[11] Cook, M. V. Flight Dynamics Principles, Third Edition: A Linear Systems Approach

to Aircraft Stability and Control (Aerospace Engineering). Butterworth-Heinemann,

2012.

[12] Stevens, B., Lewis, F., Johnson, E. Aircraft Control and Simulation: Dynamics, Con-

trols Design, and Autonomous Systems. Wiley, 2015. URL https://books.google.

com.ar/books?id=N4abCgAAQBAJ.

[13] Blakelock, J. H. Automatic Control of Aircraft and Missiles. Wiley-Interscience, 1991.

[14] Bryan, G. Stability in Aviation: An Introduction to Dynamical Stability as Applied

to the Motions of Aeroplanes. Macmillan's sci. monogr. Macmillan and Company,

limited, 1911.

[15] Company, D. A., Hoak, D., Finck, R. USAF stability and control datcom. No parte

4 en USAF Stability and Control Datcom. National Technical Information Service,

1975.

[16] Aeromatic. Aeromatic, 20/08/16. URL http://jsbsim.sourceforge.net/

aeromatic2.html.

[17] Ljung, L. Perspectives on system identi�cation. Annual Reviews in Control, 34 (1),

1�12, 2010.

[18] Farrell, J. A., Polycarpou, M. M. Adaptive approximation based control: unifying

neural, fuzzy and traditional adaptive approximation approaches, tomo 48. John

Wiley & Sons, 2006.

[19] Kay, S. M. Fundamentals of statistical signal processing. Prentice Hall PTR, 1993.

[20] Scharf, L. L. Statiscal Signal Processing. Addison-Wesley, 1991.

https://books.google.com.ar/books?id=N4abCgAAQBAJ

https://books.google.com.ar/books?id=N4abCgAAQBAJ

http://jsbsim.sourceforge.net/aeromatic2.html

http://jsbsim.sourceforge.net/aeromatic2.html

Bibliografía 127

[21] LORD MicroStrain. 3DM-GX3-35: Attitude Heading Reference System (AHRS) with

GPS.

[22] NXP Semiconductors. MPXV7002: Integrated Silicon Pressure Sensor.

Agradecimientos

A todos los me han ofrecido su ayuda para ser quien soy.

129

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS - ORIENTACIÓN EN...

Documents

Transcript of TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS - ORIENTACIÓN EN...