TESIS DEFINITIVA

7/13/2019 TESIS DEFINITIVA

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA

DESSAROLLO DE UN CONTROLADOR BASADO EN

PREDISTORSION ADAPTATIVA Y SU APLICACIN EN LA

FLOTACIN DE CONCENTRADO DE COBRE.

FABIN ESTEBAN SEGUEL GONZLEZ

Profesor Gua: Dr. Ismael Soto

Santiago de Chile Chile

2013


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NDICE

LISTA DE FIGURAS ............................................................................................... 5

LISTADO DE VARIABLES ...................................................................................... 5CAPITULO 1. INTRODUCCION .............................................................................. 7

1.1 Motivacin .................................................................................................. 9

1.2 Objetivos ...................................................................................................... 10

1.2.1 Objetivo general .................................................................................... 10

1.2.2 Objetivos especficos ............................................................................ 10

1.3 Alcances y limitaciones ................................................................................ 10

1.4 Metodologa ................................................................................................. 11

CAPITULO 2. REVISION BIBLIOGRAFICA .......................................................... 13

2.1 Circuitos de flotacin.................................................................................... 14

2.2 Instrumentacin y control de celdas de flotacin ......................................... 17

2.2.1 Variables manipulables ...................................................................... 17

2.2.2 Problemas para el control automtico ............................................... 18

2.2.3 Objetivos de control ........................................................................... 18

2.2.4 Aplicacin de control de celdas de flotacin ...................................... 19

CAPITULO 3. METODOS ..................................................................................... 23

3.1 Modelacin de celdas de flotacin ............................................................... 23

3.1.1 Clasificacin de modelos ....................................................................... 23

3.1.2 Adhesin burbuja-partcula ................................................................... 24

3.1.3 Niveles en las celdas de flotacin ......................................................... 26

3.1.4 Modelos de dos fases ........................................................................... 26

3.1.5 Zona de la espuma ................................................................................ 27

3.1.6 Holdup de gas ....................................................................................... 29


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3

3.1.7 Velocidad superficial de gas .................................................................. 29

3.1.8 Flujo superficial de superficie de burbujas ............................................ 30

3.1.9 Overall rate constant ............................................................................. 31

3.1.10Tiempo de residencia de espuma ........................................................ 32

3.1.11 Modelos probabilsticos ....................................................................... 32

3.1.12 Modelos de balance poblacional ......................................................... 34

3.1.13 Modelos cinticos ................................................................................ 35

3.2 Ecuaciones del modelo ................................................................................ 36

3.2.1 Balance de masas ............................................................................. 37

3.2.2 Tasa de flotacin total ........................................................................ 38

3.2.3 Flotabilidad del mineral ...................................................................... 39

3.2.4 Flujo superficial de superficie de burbujas ......................................... 39

3.2.5 Factor de recuperacin de la espuma ............................................... 40

3.2.6 Arrastre .............................................................................................. 40

3.2.7 Adicin de aire ................................................................................... 40

3.2.8 Alimentacin (entrada de lodo) .......................................................... 41

3.3 Interfaz en MATLAB ................................................................................. 41

3.4 Consideraciones del modelo .................................................................... 42

3.5 Pre distorsin ........................................................................................... 44

3.6 Redes neuronales .................................................................................... 46

3.7 Entrenamiento o aprendizaje ................................................................... 48

3.7.1 EKF (Extended Kalman Filter) para el entrenamiento de redes

neuronales ..................................................................................................... 50

CAPITULO 4. PREDISTORSION BASADA EN REDES NEURONALES ............. 53

CAPITULO 5. OPERACIN DEL PREDISTORSIONADOR ................................. 58


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ANEXO A: CONCEPTOS BASICOS ..................................................................... 60

ANEXO B: Resumen de variables y ecuaciones ................................................... 63


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LISTA DE FIGURAS

Figura 2. 1 Adhesin burbuja-partcula ngulo de contacto .................................. 25

Figura 2. 2 Tipos de circuitos de flotacin ............................................................... 9Figura 2. 3 Circuitos bsicos de flotacin .............................................................. 16

Figura 2. 4 Balance de masas por una celda de flotacin ..................................... 61

Figura 3. 1 Curvas de recuperacin vs ley ............................................................ 19

Figura 3. 2 Jerarquizacin de sistemas de automatizacin para el proceso de

flotacin (laurilla et al, 2002).................................................................................. 21

Figura 4. 1 Caminos de transporte de mineral en el interior de la celda ............... 27

Figura 4. 2 Transferencia de material entre la zona de pulpa y la zona de

recuperacin .......................................................................................................... 28

Figura 4. 3 Modelo de Kelsall para operacin Batch ............................................. 34

Figura 4. 4 Analoga flotacin y reaccin qumica (Yiannatos, 64,) ....................... 36

Figura 5. 1 Ecuacin (4.22) en Simulink 42

Figura 5. 2 Ecuacin (4.3) en Simulink 42

LISTADO DE VARIABLES

: :

: : ::


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6

: ::: : : ::

:

: ::

: : : :

: []:


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CAPITULO 1. INTRODUCCION

La flotacin es un mtodo de procesamiento de minerales que se utiliza para

obtener mineral ricamente concentrado desde finas partculas de tierra. Las bases

de la flotacin se sientan en las propiedades fisicoqumicas superficiales de laspartculas de inters para la separacin. Estas propiedades superficiales son

usualmente alteradas por la adicin de reactivos qumicos tales como colectores,

activadores y depresores. Las partculas de inters tienen caractersticas hidrfobas

y tendern a unirse con las burbujas de aire (aeroflicas). Estas burbujas de aire con

el mineral atrapado en ellas subirn a la superficie donde son removidas como

espuma de concentrado.

La flotacin puede ser llevada a cabo tanto en columnas como en celdas. En lascolumnas de flotacin, la agitacin es provista por el aire que es esparcido desde el

fondo de la columna. En la flotacin en celdas mecnicas la agitacin es provista

mecnicamente y esta agitacin es utilizada adems para romper el flujo de aire en

burbujas. Las celdas son conectadas en serie para dar forma a los bancos de

flotacin. Los bancos a su vez son conectados de diversas formas para dar vida a

los circuitos de flotacin.

La flotacin es uno de los mtodos ms utilizados por la industria procesadora deminerales hoy en da. Es por ello que la tecnologa relacionada tiene un impacto

global y por sobre todo nacional en la economa. El porcentaje de minerales

obtenidos a travs de este mtodo es aproximadamente el 95% del total de los

minerales producidos mundialmente, de ah la importancia de desarrollar un mtodo

que mejore los resultados obtenidos a travs de la flotacin ya que esto afecta de

manera significativa en la produccin de concentrado.

El proceso de flotacin puede ser caracterizado como flotacin colectiva o flotacinselectiva. Este primero es donde el concentrado contiene dos o ms elementos de

inters y estos elementos son separados del mineral sin valor econmico. La

segunda se efecta una separacin donde los productos no contengan ms de una

especie individual. Este trabajo se concentrar en la flotacin colectiva.


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8

En este captulo se entregar una descripcin general de conceptos relacionados a

la flotacin. Los conceptos de recuperacin y ley sern aclarados, los reactivos

qumicos utilizados sern detallados, la configuracin de circuitos de flotacin y los

mecanismos mediante los cuales se lleva a cabo la flotacin.

La flotacin es un mtodo utilizado para separar un mineral de inters de un mineral

sin o con poco valor econmico llamado ganga. Previo a que los minerales sean

flotados y se transformen en concentrado no son ms que lodo fabricado por

chancadoras y molinos gigantes de gran capacidad los cuales muelen las partculas

de mineral y son mezcladas con agua. El desempeo de los molinos afecta el

desempeo de la flotacin ya que es aqu donde las partculas son llevadas a

tamaos tpicos en la industria chilena del cobre que es dentro del rango de los 45-

75 [m] (Yiannatos, pag 15). El funcionamiento del molino es una fuente de

perturbaciones para la celda de flotacin debido a que es quien proporciona el

tamao de las partculas que sern flotadas y que es quien determina el flujo de

material de entrada a la celda.

El objetivo de la flotacin no es alcanzable en un solo paso. Es por ello que las

celdas de flotacin son usualmente conectadas en serie en forma de bancos de

flotacin. Estos bancos son conectados en varias configuraciones para dar forma a

un circuito de flotacin.

Existen distintos tipo de circuitos de flotacin.


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Figura 2. 1 Tipos de circuitos de flotacin

El circuito Rougher o primario se encarga de la obtencin del mineral valioso demanera colectiva. El Scavenger se encarga de recuperar la cola proveniente del

Rougher por lo tanto es el encargado de recuperar el mineral valioso que proviene

del flujo desperdiciado por el recuperador primario. Estos sern detallados en la

seccin 1.4.2.

1.1 Motivacin

Evaluando el estado del arte del proceso de flotacin y las necesidades de mejorar

la recuperacin de concentrado de cobre para obtener un mayor beneficio

econmico se ha visto la oportunidad de disear un controlador basado en tcnicas

ampliamente utilizadas en el mbito de las telecomunicaciones.

Circuitos

Recuperadores

Circuito

Rougher

Circuito

Scavenger

Limpiadores

Cleaner

Recleaner


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Para el pas la recuperacin de concentrado de cobre es una variable de crtica

importancia para el desarrollo econmico del pas ya que esta industria es

responsable del 14,2% del PIB nacional (2012). Chile satisface el 36% del mercado

mundial de cobre y representa el 30% de las exportaciones nacionales. Una mejora

en el control automtico de las celdas de flotacin aumentara la recuperacin de

mineral valioso lo que trae consigo un mayor beneficio econmico del proceso.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo general

Utilizar la tcnica de Pre-distorsin para controlar una celda de flotacin. Disminuir

el efecto de las perturbaciones en la entrada y aumentar la ley y recuperacin del

concentrado.

1.2.2 Objetivos especficos

Desarrollar estudio de la teora del proceso de flotacin

Revisar el estado del arte del desarrollo del control aplicado a las

celdas de flotacin.

Desarrollar un modelo computacional de una celda de flotacin.

Desarrollar estudio de la teora del pre distorsionador adaptativo

basado en redes neuronales. Sintonizar un controlador basado en redes neuronales mediante datos

obtenido de la operacin del modelo computacional de la celda de

flotacin simulada..

Realizar simulacin de la planta controlada por la red sintonizada

Analizar comparativamente los resultados

Evaluar los beneficios obtenidos al simular la solucin propuesta

1.3 Alcances y limitacionesEl presente trabajo propone la utilizacin de una red neuronal artificial utilizada como

un pre distorsionador adaptativo para el control de una celda de flotacin de cobre

simulada a travs del software MATLAB.


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Este controlador debe compensar las perturbaciones provocadas por el flujo de lodo

variable a la entrada y el grado de este. Para la compensacin se utilizar la adicin

de colector y el flujo de aire como variable a controlar ya que esta variable influye

en la especificidad de la recuperacin.

En cuanto a limitaciones el sistema al ser solamente simulado no acreditar la

precisin en un ambiente minero real. Pero la simulacin intentar obtener

resultados que estn cercanos a la realidad utilizando modelos matemticos.

1.4 Metodologa

Para el desarrollo de este trabajo de investigacin se utilizar el mtodo analtico-

sinttico, se estudiarn en profundidad el proceso de flotacin y sus variables ms

relevantes, se estudiar tambin la tcnica de predistorsin, esto, para desarrollarun controlador que sirva para la estabilizacin y el aumento del rendimiento en la

obtencin de concentrado de cobre mediante una ceda mecnica de flotacin.

El origen del tema nace como un aporte a la investigacin de un proyecto del

laboratorio de gestin de tecnologas de la informacin (Lab GETIC). Proyecto

desarrollado en el marco de un proyecto anillo con colaboracin de mltiples

planteles y profesores de universidades nacionales y extranjeras. Dicho proyecto se

encuentra en desarrollo por el investigador responsable Dr. Ismael Soto.

Las etapas a desarrollar para la ejecucin de este trabajo sern las siguientes:

Estudiar la bibliografa referente a la pre distorsin.

Proponer una arquitectura de pre distorsin basada en redes neuronales

para desarrollar un controlador para la adicin de reactivos.

Plantear y modelar un algoritmo de entrenamiento para las redes neuronales.

Revisar la bibliografa referente a las variables que afectan al proceso de

flotacin.

Revisar la bibliografa que d cuenta del estado del arte de control automtico

de celdas de flotacin (AFC).

Proponer un modelo ceda de flotacin que utilice estas variables.


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Realizar la sintonizacin del controlador basado en pre distorsin y obtener

el los resultados de su aplicacin mediante simulacin.

Concluir con respecto a las curvas y simulaciones obtenidas de la operacin

del predistorsionador.


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CAPITULO 2. REVISION BIBLIOGRAFICA

En el mundo, la mquina de flotacin neumtica fue patentada en 1914 por J.M.

Calow. Las primeras celdas industriales empleadas en Chile fueron de tecnologa

experimental de la Mineral Separation Company. En los aos posteriores seinstalaron celdas Galigher modelo Agitair 48 de 40 piey celdas Denver N 30 y 24de 100 y 50 pierespectivamente. En la dcada del 30 se usaron las celdas WemcoFagergren 66 de 51pie.El avance ms importante en los llamados colectores tilicos ocurri en 1925

cuando C. Keller patent los alquil xantatos; en 1926 F. Whitworth los alquil

ditiofosfatos, y en 1928 A. Fischer los xantoformiatos. Por su parte, los principales

espumantes fueron patentados en 1908 y 1909 por E. Sulman et al., incluyendo losalcoholes de cadena larga, aceite de pino y cido creslico.

En Chile la primera celda de flotacin fue implementada en 1911 por la mina El

Teniente le seguiran en 1927 la operacin de la planta de flotacin de Potrerillos y,

en 1952 la de Chuquicamata. Durante los 90 aos de historia de la flotacin en

Chile, las tendencias predominantes han sido el aumento de la capacidad de las

plantas, la disminucin del consumo especfico de energa de los equipos, la

simplificacin en los diagramas de flujos y el desarrollo de la automatizacin. Elespecialista y acadmico del Departamento de Ingeniera Metalrgica de la

Universidad de Concepcin, Sergio Castro, plantea que las capacidades de las

plantas han crecido desde 3.000 a 160.000 tpd; el volumen de las celdas ha

aumentado desde alrededor de 40 hasta 4.500 pie; y la configuracin de circuitosse ha simplificado considerablemente.

Las tecnologas de punta en flotacin corresponden al uso de celdas gigantes de

4.500 pie, -pero ya hay disponibles en el mercado de 5.500 piey mayores-, elempleo de celdas columnares de 11-14 m de alto, y numerosos avances en elcontrol automtico, tales como: control de nivel y de aireacin, analizadores de leyes

en lnea con monitor en terreno, empleo de cmaras de video con analizadores de

imgenes para optimizar los flujos de evacuacin de concentrados en celdas

unitarias de gran volumen, etc.. Las columnas operan bajo control automtico,


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normalmente con la estrategia de control ms simple, es decir, la de control de nivel

de la interfaz pulpa/espuma (regula el espesor de la capa de espuma). Emplea un

lazo de control, cuyo actuador es la vlvula de control dispuesta en la descarga

inferior de la columna; mientras que el agua de lavado se maneja

independientemente. Las parrillas de agua de lavado operan frecuentemente

suspendidas sobre la espuma. La inyeccin de aire se hace por burbujeadores

removibles tipo lanza con insertos de orificio pequeo, del tipo externo de Control

International; o bien con sistemas neumticos regulables como el burbujeador

Minovex.

El objetivo de la celda de flotacin es realizar una serie de funciones de forma

simultnea. Las caractersticas de diseo de una celda son geometra,

hidrodinmica y suspensin de slidos.

Geometra: Las nuevas generaciones poseen una geometra simtrica. El

estanque redondo ofrece condiciones simtricas y estables en toda la celda y

reduce la existencia de puntos muertos (Yiannatos, 38). Adems el volumen de

estas ha aumentado y este aumento permite reemplazar a muchas celdas

pequeas ahorrando energa, espacio, mantenimiento y disminuyendo el costo

de la automatizacin para la celda.

Flujo especfico de aire: El flujo especfico de aire depende del rea transversal

y del volumen de la celda. De este depende la capacidad de transporte y rebalse

de las celdas.

Impulsor: El impulsor en las celdas de flotacin auto aspirantes cumple las

siguientes funciones.

-Suspensin de partculas

-Aspiracin y dispersin de aire

-Circulacin de pulpa.

(Yiannatos, 39)

2.1 Circuitos de flotacin


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En la figura 1.3 se muestran las formas bsicas en las que son conectadas las

celdas de flotacin. La mayor parte del mineral valioso es recuperado por las

primeras celdas. El objetivo de las ltimas celdas es flotar el mineral con menorprobabilidad de flotar.


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Figura 2. 2 Circuitos bsicos de flotacin


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2.2 Instrumentacin y control de celdas de flotacin

En el presente capitulo se recompilar la informacin disponible en la literatura

acerca del control y la instrumentacin existentes para las celdas de flotacin as

como un anlisis de las variables que afectan al proceso y pueden ser controladas.

Dado que el objetivo fundamental del control del proceso de flotacin de minerales

es reducir la variabilidad de la recuperacin y la ley de concentrado producida por

la naturaleza del flujo de entrada.

2.2.1 Variables manipulables

Las variables ms comnmente manipuladas por los sistemas de control de

recuperacin y grado en las celdas son

Adicin de reactivos qumicos tales como colectores y espumeantes

Flujo de aire hacia las celdas

Nivel de la pulpa

(Perrez-Correa et al, 1998),(Lynch et al, 1981: 17).

Ambos, recuperacin y grado son afectados por el nivel de la pulpa en las celdas.

Mientras mayor es el nivel de la celda mayor es el tiempo de residencia dentro de

la celda lo que implica un aumento en la recuperacin. Sin embargo, mayor nivel dela pulpa implica menor nivel de espuma debido a que el nivel de espuma es la

diferencia entre el alto de la celda y el nivel de la pulpa (wills, 1997:313). Menores

niveles de espuma producen una disminucin en el tiempo de residencia de la

espuma lo que implica que la ganga no es separada del mineral valioso lo cual

produce una disminucin en la ley del concentrado (Jamsa-jounela et al, 2003). El

control de niveles en una celda de flotacin se realiza mediante tcnicas avanzadas

de control, sin embargo, un buen control del nivel es una meta difcil de lograr.

El colector como ya fue descrito en el captulo 1.4 incrementa la recuperacin de

mineral valioso peor llega a haber un punto en donde una mayor adicin de colector

no asegura una mayor recuperacin de mineral valioso pero la recuperacin de

ganga se incrementa (wills, 1997:312). El uso de control de la adicin de

espumeantes es complicado debido a que la accin de los espumeantes es una


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funcin compleja que involucra muchos factores tales como la qumica del agua.

Una excesiva adicin de espumeantes en una parte del circuito de flotacin puede

ocasionar problemas hacia abajo.

El flujo de aire que entra a las celdas es una variable importante para el control delas celdas. Los efectos del flujo de aire tienden a ser ms rpidos que los efectos

producidos por el control del nivel de la pulpa y no tiene efectos secundarios si es

usado en exceso (wills, 1997:313). Incrementar el flujo de aire reduce el tiempo de

residencia de la espuma, lo que reduce el tiempo que tiene la ganga de despegarse

de la espuma y caer. Un mayor flujo de aire tambin incrementa el rea superficial

de las burbujas lo que incrementa la coleccin de partculas en fase de pulpa.

2.2.2 Problemas para el control automticoEn el diseo de los equipos y la instrumentacin asociada para el proceso

constituyen restricciones y a veces problemas para el control de una instalacin.

Instrumentos para la medicin en lnea de las variables de inters (leyes, flujos,

recuperaciones) en general existen pero son de baja disponibilidad y confiabilidad

por falta de instrumentacin adecuada o bajo mantenimiento. Entre los problemas

ms comunes que poseen estos elementos se encuentran la calibracin, instalacin

y contrastacin.

En el mbito de las celdas de flotacin existe una gran variabilidad en las

condiciones de operacin (leyes, granulometra, flujos, etc) lo que dificulta un

adecuado control. (Yiannatos et al, 122).

2.2.3 Objetivos de control

La ley del concentrado y su recuperacin son las variables que indican el

rendimiento del circuito de flotacin. Idealmente, un circuito de flotacin la flotacin

proporcionar un concentrado que contenga la totalidad del mineral valioso

ingresado al sistema. Sin embargo, esta separacin ideal no es realizable en la

realidad y una decisin entre ley y recuperacin debe ser hecha como se muestra

en la figura 2.1


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Figura 3. 1 Curvas de recuperacin vs ley

El fin de la estrategia de control a escoger debe operar la planta en un punto que

debe ser determinado por factores econmicos (Hodouin et al, 2001).

2.2.4 Aplicacin de control de celdas de flotacin

En el control de las celdas de flotacin se ha desarrollado en diferentes reas tales

como medicin, modelos, estrategias de control y algoritmos.

La falta de conocimiento del proceso y la compleja interaccin entre las variables

hacen que el control sea de baja calidad.

Desde la dcada de los 70s uno de los principales avances en control de flotacin

est relacionado con el uso de mediciones en lnea de leyes lo que ha posibilitado

el control basado en

Medicin directa de un objetivo metalrgico

Uso de sistemas de control supervisor experto


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El monitoreo en lnea tambin puede realizarse a variables como

Flujo volumtrico y la densidad de pulpa de alimentacin

Flujo de aire

Nivel de pulpa pH

Medicin de leyes en las corrientes de alimentacin, concentrado y colas

Otras variables como el hold-up de gas, tamao de burbujas o bisa de agua en las

columnas no son de uso comn en la gran minera.

Incluso con estos avances an los circuitos de flotacin son difciles de controlar. El

proceso tiende a ser altamente no lineal y tiene una fuerte interaccin entre las

variables (Perez-Correa et al, 1998). Esto limita la utilizacin de PID SISO (single

input single output). Y hace que la aplicacin de tcnicas de control avanzadas. El

control avanzado es tambin atractivo desde un punto de vista econmico. Debido

al gran rendimiento econmico de las celdas incluso un incremento en la

recuperacin de 0,5% puede ser econmicamente significativo (Ferrerira &

Loveday, 2000).

Segn (laurilla et al, 2002) el principio del control de las celdas de flotacin puede

ser representada por una pirmide de jerarquas. En el nivel ms bajo se encuentra

la instrumentacin que es la base para el control del proceso. La mantencin de la

instrumentacin es entonces tambin una de las bases para el correcto

funcionamiento del proceso.

Los controles de niveles bsicos estn orientados a mantener las variables en sus

set points. Estos incluyen nivel de pulpa, aireacin y adicin de reactivos qumicos.

Normalmente el control es realizado mediante PID SISO pero mtodos de control

ms avanzado se estn utilizando en la actualidad. Normalmente el control de estas

variables es realizado en cada celda individualmente por los controladores PID y los

controles avanzados son utilizados para controlar el banco completo (por ejemplo

control de nivel de pulpa).


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Figura 3. 2 Jerarquizacin de sistemas de automatizacin para el proceso deflotacin (laurilla et al, 2002)

Dos grandes tipos de control para la flotacin han sido desarrollados AFC (control

avanzado de flotacin) y OFC (control de flotacin optimizada). AFC es utilizado

para disminuir los efectos de las perturbaciones de las entradas (cambios en la ley

de la alimentacin o en el flujo de alimentacin) y mantener el desempeo de grado-

recuperacin. OFC por otro lado intenta maximizar la viabilidad econmica

(comnmente aumentado el grado y la recuperacin). Ambos, AFC y OFC intentan

conseguir sus objetivos mediante la manipulacin de las variables controlables.

Numerosos estudios en el rea de la automatizacin de celdas de flotacin han sido

conducidos con el fin de aumentar la eficiencia del proceso. Diversos autores han

desarrollado estudios acerca del estado del arte del proceso de flotacin y como su

evolucin en el tiempo ha contribuido a la implementacin de nuevas tecnologas

en el rea del control automtico.

Cada proceso de flotacin es nico, esto debido a que cada operacin posee su

propia instrumentacin, qumica del mineral, etc., es por ello que un controlador

universal no puede ser desarrollado, sin embargo, las tcnicas pueden ser

Optimizacin

Maximizar el beneficio

Control avanzadoCanceladores de perturbacnes,

control de la recuepracin y ley

Control bsico de nivel

Control de cola, aireacin, reactivos

Instrumentacion

Vlvulas, sensores de medicin,

XRF,...


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utilizadas de manera correcta si son sintonizadas especficamente para el lugar

donde sern implementadas.

Para llevar a cabo el control de una celda de flotacin la instrumentacin necesaria

para la medicin de variables relevantes y actuacin para las variables controladasdebe ser revisada.

Para el caso del flujo de lodo entrante al sistema de flotacin flujmetros magnticos

son comnmente usados y estn basados en el principio de Faraday de induccin.

Este mtodo es no intrusivo y los flujmetros modernos pueden realizar 30

mediciones por minuto.

De acuerdo con Gupta y Yan (2006) (Gupta, A., Yan, D.S., 2006. Mineral

processing design and operation, First edition.pp. 622671. Chapter 18) existen dos

tipos de AFC utilizados para el procesamiento de minerales (una mezcla entre

ambos tambin es posible).

Model-based: Pueden ser clasificados en empricos y en fenomenolgico

segn Polat y Chander (2000) (Polat, M., Chander, S., 2000. First-order flotation

kinetics models and methods for estimation of the true distribution of flotation rate

constants. International Journal of Mineral Processing 58, 145166). Los modelos

empricos utilizan mtodos estadsticos para relacionar las entradas y las salidas de

la planta como un modelo multivariable relacionando las variables dependientes e

independientes utilizadas para establecer un control predictivo. El control

adaptativo es de esencial importancia, esto, debido a que el comportamiento de la

planta es no lineal y complejo. Muchos controladores predictivos contienen control

adaptativo, sin embargo, no siempre se utiliza este mtodo. A pesar de la

popularidad de estos controladores, autores como Desbiens (1994) (Desbiens, A.,

Hodouin, D., Najim, K., Flament, F., 1994. Long-range predictive control of a rougherflotation unit. Mineral Engineering 7 (1), 2137) y Gupta y Yan (2006) hallaron

problemas con la estabilidad del control adaptativo ya que se saturan despus de

un periodo de tiempo.


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Los modelos fenomenolgicos que capturan la relacin causa y efecto entre las

variables involucradas entendiendo la fsica del proceso- para realizar control

predictivo tambin son utilizados. Normalmente los modelos fenomenolgicos son

divididos en 3 grupos: Cintico, balance de poblacin de minerales y modelo

probabilstico.

A pesar de la investigacin de modelos empricos y fenomenolgicos autores como

Bergh y Yianatos (2011) (Bergh, L.G., Yianatos, J.B., 2011. The long way toward

multivariate predictive control of flotation processes. Journal of Process Control 21,

226234) y Mckee (1991) (McKee, D.J., 1991. Automatic flotation control a review

of 20 years of effort. Minerals Engineering 4 (711), 653666plantean que para ser

aplicable sin perder sus beneficios, buenas medidas, regulacin aceptable de

objetivos como el nivel, modelos dinmicos confiables y mtodos ms robustos son

requeridos. La flotacin tiene debilidades en la mayora de esos aspectos. Es por

ello que el control experto, donde la decisin de los operadores es automatizada

mediante el uso de inteligencia artificial es ms utilizada.

Control experto: El potencial de los sistemas expertos en la industria de

procesamiento de minerales fue identificado en la dcada de los 80 s por Bearman

y Milne (1992) (Bearman, R.A., Milne, R.W., 1992. Expert systems: opportunities in

the minerals industry. Minerals Engineering 5 (1012), 13071323). Debido a que la

modelacin del proceso de flotacin es altamente complicada por su carcter no

lineal y multivariable mtodos de inteligencia artificial han sido utilizados para la

construccin de mtodos de control. Tres importantes tcnicas utilizadas son ANN

(artificial neural networks), Inductive machine learning y lgica difusa.

CAPITULO 3. METODOS

3.1 Modelacin de celdas de flotacin3.1.1 Clasificacin de modelos

Existen diversos tipos de modelos de celdas de flotacin o circuitos de celdas de

flotacin en la actualidad. Los tipos ms comunes de modelos son

Modelos a micro escala


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24

Modelos a macro escala

o Emprico

o Fenomenolgico

Cintico

Prbabilstico

Balance poblacional

En los modelos a micro escala, la flotacin es modelada identificando todos los sub

procesos y relaciones fsicas para predecir el comportamiento del proceso. Este

modelo es difcil de concebir debido a la complejidaddel sistema y de las

interacciones entre las variables qumicas y fsicas del proceso. (Polat y chander,

2000)

Los modelos a macro escala relacionan las respuestas totales de los parmetros

operacionales en un set de ecuaciones. Estos modelos pueden ser divididos en

empricos y fenomenolgicos. En los modelos fenomenolgicos el proceso es

descrito mediante ecuaciones sin significado fsico que siguen la trayectoria del

proceso, en cambio, los modelos fenomenolgicos consisten en un set de

ecuaciones que describen la naturaleza fsica y qumica de la flotacin. Los modelos

fenomenolgicos pueden ser cinticos, probabilsticos y de balance poblacional de

minerales que describan la interaccin entre las burbujas y las partculas de mineral.

Para definir ms detalladamente estos modelos definiciones de sub procesos y

variables deben ser revisados.

3.1.2 Adhesin burbuja-partcula

El principio bsico de la flotacin es que esta ocurre cuando una partcula de mineral

se adhiere a la superficie de una burbuja debido a las caractersticas hidrfobas de

esta. Para que este fenmeno ocurra una interfaz aire-solido debe ser creada y unainterfaz aire-agua y agua-slido deben ser destruidas. Esto requiere que la suma de

las tensiones superficiales de las interfaces aire-gua y agua-solido debe ser

mayores que la tensin superficial de la interfaz aire-slido. Esto se presenta en la

ecuacin (1.1).


25/67

25

(1.1)El trabajo requerido para romper la interfase partcula-burbuja se denomina trabajo

de adhesin,, y es igual al trabajo requerido para separar la interfase slido-gas

y producir interfaces separadas slido-agua y agua-gas conocido como Trabajo deRuptura. El trabajo de adhesin se puede obtener de la ecuacin (1.2).

(1.2)Las tensiones superficiales del slido-agua y aire-slido no pueden ser medidas.

Sin embargo, esas variables pueden ser eliminadas de la ecuacin (1.2)

introduciendo el ngulo de contacto entre el slido y la burbuja. Las fuerzas en el

plano superficial del solido deben sumar cero. Para conocer el ngulo de contacto

que se debe alcanzar para producir la adhesin de la partcula de slido a la burbuja

se realiza un balance de fuerzas entre las tensiones superficiales el cual se detalla

en la ecuacin (1.3) y en la figura 1.1.

cos (1.3)

Figura 2. 3 Adhesin burbuja-partcula ngulo de contacto

Sustituyendo la relacin (1.3) en la (1.2) se obtiene una nueva ecuacin para

representar el trabajo.

1 c o s (1.4)La ecuacin tambin indica una medida del trabajo requerido para romper la interfaz

aire-slido entrega un indicio de la fuerza de la adhesin entre la partcula de mineral

y la burbuja. Si el ngulo de contacto es cero no existe tendencia a la adhesin y si


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el ngulo es de 90 la tendencia de adhesin alcanza su mximo. Ambos, y elngulo de contacto pueden ser medidos experimentalmente y han sido utilizados

extensamente en la teora de flotacin y es un parmetro que describe la flotabilidad

de un mineral.

Un reactivo qumico llamado colector es usualmente utilizado para aumentar la

probabilidad de la adhesin burbuja-partcula.

3.1.3 Niveles en las celdas de flotacin

En aplicaciones industriales las celdas de flotacin tpicamente son conectadas en

serie formando complejos circuitos de flotacin. La pulpa o lodo es quien alimenta

la entrada de la primera celda del circuito y seal de cola de esta primera celda es

la encargada de alimentar la celda sucesiva. La magnitud del flujo que entra a la

siguiente celda depende de la diferencia de presin existente entre ambas celdas y

de la apertura de la vlvula de control y de la viscosidad y densidad de la pulpa

(Kampjarvi y Jamsa-Jounela, 2003). La diferencia de presin depende de la

diferencia de altura de las celdas.

3.1.4 Modelos de dos fases

Los modelos de una fase aumen una fase perfectamente mezclada, sin embargo,

muchos otros autores (Hemphill y Loveday, 1002) (Lynch, 2981) (Vera, 2002)

sostienen que la fase de espuma debe ser tambin considerada para modelar de

manera adecuada la flotacin. Los modelos de dos fases incluyen el

comportamiento de ambos, la zona de la pulpa y la zona de espuma.

Existe una serie de procesos de transferencia entre ambas fases. El traspaso entre

estas dases es mostrado en la figura 3.1


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27

Figura 4. 1 Caminos de transporte de mineral en el interior de la celda

Muchas cosas pueden suceder dentro de la celda a las partculas atrapadas por una

burbja una vez entra a la fase de la espuma. Esta puede despegarse de la burbuja

debido al rompimiento de esta o al ser desplazada por otra partcula. Una vez que

la partcula del mineral es despegada esta puede re adherirse a otra burbuja o

retornar a la zona de pulpa (hemphill y Loveday, 2003). Una parte de la espuma

puede tambin colapsar devolviendo el mineral atrapado en las burbujas hacia lazona de la pulpa. Las partculas arrastradas (las que no estn adheridas a una

burbuja) pueden ser transportadas hacia el concentrado o ser devueltas a la pulpa.

Todos estos procesos contribuyen a aumentar la complejidad del proceso y deben

considerarse en el modelo.

3.1.5 Zona de la espuma

Slo una parte del material que ingresa a la celda es recuperado y colectado en el

concentrado. El factor de recuperacin es utilizado para medir el desempeometalrgico del proceso (Vera, 2002). La transferencia entre la pulpa y la fase de

espuma se esquematiza con la figura 3.2 sin incluir las partculas arrastradas.


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Figura 4. 2 Transferencia de material entre la zona de pulpa y la zona de

recuperacin

La fraccin del material que entra a la zona de recuperacin mediante transporte

por burbujas . Una parte de las partculas retornan a la zona de la pulpa. Estaspartculas son llamadas drop-back y la fraccin que queda en la zona de espuma

corresponde a la recuperacin de la zona espuma .

La eficiencia de la zona de coleccin normalmente vara entre el 60 y 90% mientras

que la eficiencia de la zona de espuma se encuentre entre el 10 y el 90%. Una baja

recuperacin en la zona de la espuma tiene un impacto altamente negativo en el

desempeo de la celda. (Vera, 2002)

Se ha investigado la relacin entre el tiempo de residencia y la recuperacin totaly se ha encontrado una relacin exponencial dada por la ecuacin (3.1) (Gorian,

1998)

(3.1)

La funcin exponencial describe el nmero de partculas que se mantienen

atrapadas en las partculas de burbujas en la zona de espuma. es un parmetrorelacionado a la condicin de la espuma (Vera, 2002).


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Las partculas que se despegan de las burbujas son devueltas a la zona de la pulpa

o atrapadas por el agua que se encuentra entre las burbujas. Este mecanismo es

similar al arrastre. Las partculas que inicialmente ingresaron a la zona de la espuma

mediante burbujas tambin son consideradas.

+ (4.2)

Combinando las ecuaciones se puede obtener una expresin para la recuperacin

en la zona de coleccin. La fraccin de burbujas que se despegan de las burbujas

corresponden a 1 . La relacin resultante se expresa como

(1 ) + (4.3)

3.1.6 Holdup de gas

Cuando un gas es introducido en un liquido o lodo un volumen de liquido es

desplazado. La fraccin volumtrica desplazada corresponde al holdup de gas

(Finch y Dobby, 1990). El holdup de gas se incrementa con un incremento en el flujo

de gas y decrece cuando el con el tamao de las burbujas (Gorain, 1997). No existe

una relacin significante entre el holdup de gas y la constante de flotacin.

El flujo superficial de gas y el holdup de gas estn relacionados mediante unarelacin lineal. Para un mismo flujo de aire una gran poblacin de burbujas de

pequeo tamao da como resultado un holdup de gas grande y viceversa. El holdup

de gas es ms fcilmente medible que el fjujo superficial de gas.

3.1.7 Velocidad superficial de gas

Esta propiedad se define como el flujo volumtrico del aire que ingresa a la celda

dividido por el rea de la seccin transversal de esta. La ecuacin 3.4 muestra esta

relacin

(3.4)

Esta velocidad puede ser medida. Usualmente es la diferencia entre la velocidad

superficial de gas y la velocidad del gas calculada por la ecuacin (3.4).


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30

La velocidad superficial del gas es medida en distinto puntos de la celda. Existe una

diferencia entre la velocidad superficial calculada y la medida no describe

completamente la distribucin de velocidades en el rea total de la celda. Valores

de dispersin cercanos a 100 indican una buena dispersin de aire. Este ndice no

posee una significancia fsica importante pero se utiliza para medir el rendimiento

del agitador utilizado.

100 ,,, 100 (3.5)

La relacin de este parmetro con la constante de flotacin es significativa. Esta

relacin se deteriora a medida que la velocidad superficial de gas se incrementa

demasiado.

3.1.8 Flujo superficial de superficie de burbujas

Esta expresin es definida por la ecuacin (3.6). El dimetro de Sauter es calculado

por la ecuacin (3.7).

(3.6)

(3.7)

El efecto que poseen el tamao de las burbujas, el holdup de gas y la velocidad

superficial de aire en la constante de flotacin no estn relacionadas

individualmente. Sin embargo, estas propiedades estn relacionadas en la flujo de

rea superficial de burbujas y se ha encontrado una relacin lineal entre este

parmetro y la constante de flotacin.

Esta relacin de , y puede ser expresada como la ecuacin (3.8) donde corresponde a la flotabilidad del mineral lo que depende de la composicin de la

partcula y las condiciones de superficie

, (3.8)


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31

La estimacin de este parmetro es fundamental para describir el proceso, sin

embargo su medicin es complicada debido a que es necesario medir el tamao de

las burbujas (Finch, 2000).

En las celdas mecnicas el tamao de las burbujas depende del diseo del agitadory su velocidad adems del flujo de aire (Gorian, 1999). La concentracin de

espumeante en la celda tambin afecta el tamao de las burbujas. El tamao medio

de la burbuja tiende a disminuir al incrementar la velocidad del agitador. El tamao

de las partculas y la densidad de la pulpa tambin tienen un efecto sobre el tamao

de las burbujas y, en consecuencia, en el flujo superficial de burbujas.

El agitador puede ser caracterizado por la razn de velocidad del agitador obtenida

por la ecuacin (3.9).

(3.9)

El dimetro del agitador es medido de asta a asta y la altura es la altura vertical de

las astas o cuchillas del agitador.

En resumen la expresin para el flujo de rea superficial de burbujas se muestra en

la ecuacin (3.10)

(3.10)

Donde , , ,son parmetros del modelo sacados de data obtenida por (Gorian,2000).

3.1.9 Overall rate constant

En las secciones anteriores se ha discutido y caracterizado la relacin entre la tasa

con que las partculas son colectadas desde la fase de la pulpa y entran en la fase

de espuma. La tasa con la que las partculas en la son colectadas en la zona de la

espuma puede tambin ser descrita como una ecuacin diferencial de primer orden.

La relacin entre esta tasa es inversamente proporcional con la profundidad dela espuma. La tasa es mayor para profundidades grandes de espuma. Para zonas


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32

de espuma poco profundas la constante tiende a ser igual a la constante de la zona

de coleccin ,.

(3.11)

()+() (3.12)

Esta una relacin no lineal debido a las no linealidades contenidas en visto en laseccin 3.4.

3.1.10Tiempo de residencia de espuma

Puede ser definido de diversas formas como se muestra en las ecuaciones (3.13),

(3,14) y (3.15)

Definido segn el tiempo de residencia del aire

, (3.13)

Definido segn el flujo de lodo

, (3.14)

Definido segn el tiempo de residencia de las partculas en la espuma

, (3.15)

3.1.11 Modelos probabilsticos

Estos modelos son utilizados para realizar un diagnstico de la operacin, comparar

reactivos, etc (Yiannatos, 62, ao). Los modelos probabilsticos caractizan el

comportamiento del mineral frente a distintas condiciones de operacin como lo

pueden ser dosificacin de reactivos, PH, etc. Dentro de los modelos probabilsticos

ms importantes se encuentran los modelos propuestos por Schuhmann (1942),

Tomlinson y Flemming (1942) y Kelsall (1961)


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33

Schuhmann: propone que la velocidad de flotacin puede descomponerse en

una serie de eventos de naturaleza probabilstica (Yiannatos, 63)

(3.1)

Donde

: : : :

Tomlinson y Flemming

(3.2)

Donde:

:

[]:

Kelsall

1 (3.3)Donde:

: Si se considera que el flujo de concentrado es proporcional a la masa de la

pulpa se tiene la situacin descrita por la figura 3.1


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34

Figura 4. 3 Modelo de Kelsall para operacin Batch

Cuando se inicia la recuperacin de concentrado, cuya masa corresponde a

la masa que queda en la celda corresponde a 1 que corresponde ala cantidad inicial en el proceso de tipo Batch menos la cantidad recuperada. Si seconsidera el proceso hasta una duracin de n periodos de tiempo se obtiene que la

masa al interior de la celda ser:

1 (3.4)3.1.12 Modelos de balance poblacional

Los modelos de balance poblacional describen el comportamiento de la flotacin

prediciendo el nmero de burbujas en la celda y sus tamaos. Debido a que la

recuperacin de un mineral est estrechamente relacionada con la el tamao y la

distribucin de las partculas que afectan directamente a la constante cintica de

flotacin.

La prediccin es realizada en trminos de sub procesos tales como rompimiento de

las burbujas y coalescencia. La celda de flotacin es usualmente modelada como

dos zonas separadas:

La zona del agitador

La zona de recuperacin

El rompimiento de las burbujas ocurre en la primera zona, la del agitador, mientras

que la coalescencia ocurre principalmente en la zona de recuperacin o espuma.


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35

Las burbujas formadas en la zona del agitador suben a la zona de coleccin donde

puede ser recirculadas hacia el agitador o puede subir para formar la espuma

(Deglon, 1999).

En la zona del agitador se provee de la energa necesaria para mantener laspartculas en suspensin. Permite la generacin de burbujas pequeas y mantiene

las condiciones hidrodinmicas necesarias para una eficiente interaccin burbuja-

partcula. Tambin es en esta zona donde se alimenta la celda que provee una

fuente continua de material al proceso.

3.1.13 Modelos cinticos

En cuanto a la aparicin de estos modelos su primera aparicin fue realizada por

Garca-Ziga en 1935. En este modelo se plantea un comportamiento exponencialde primer orden para la determinacin de la constante cintica de flotacin. La

formacin y la colisin burbuja partcula se produce en la zona de coleccin se

puede asimilar a una reaccin qumica como la mostrada en la figura 3.4


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36

Figura 4. 4 Analoga flotacin y reaccin qumica (Yiannatos, 64,)

Estos modelos se basan en el balance de masas y el movimiento de esta a travs

de la celda (balance de masas entre la alimentacin de lodo y la salida de

concentrado o cola).

3.2 Ecuaciones del modelo

Para desarrollar el modelo en la seccin anterior (3) se explicaron las complejas

relaciones existentes entre las variables ms importantes del proceso de flotacin y

Mineral

Burbuja

AgregadoBurbuja-

partcula


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37

el desempeo de este. En este captulo se resumirn las ecuaciones

fenomenolgicas y empricas para la formulacin de un modelo computacional

realizado en MATLAB.

3.2.1 Balance de masasEl material entra a la celda en la fase de pulpa como alimentacin posee varios

caminos de salida. Uno de ellos es dejar esta fase mediante la seal de cola

(tailings). El mineral valioso puede dejar la fase de pulpa mediante la flotacin

(adhesin burbuja-partcula) y ambos, ganga y mineral valioso pueden dejar la pulpa

por arrastre. Estos minerales pueden ingresar nuevamente a la pulpa desde la zona

de coleccin por el colapso de las burbujas, drenaje de la espuma y mecanismos

similares. La ecuacin 4.1 resume este balance (Ruanne Delport, 2004).

, , , (4.1)

El flujo msico de cada componente que sale de la celda en la seal de cola es

calculado por la concentracin de cada componente en la pulpa y el total de flujo

volumtrico

, , (4.2)

Para las celdas conectadas en un banco el flujo volumtrico de una celda a lasiguiente puede ser calculado por la expresin (4.3) donde es el nivel de pulpaen la siguiente celda y es el nivel de pulpa en la propia celda. El volumen total depulpa en la celda es la suma de los minerales y el agua que esta contiene. El nivel

de una celda puede ser superior al nivel de la pulpa debido a que la celda se

compone de una fase de pulpa y otra de espuma. El volumen total de la celda puede

ser calculada por la expresin (4.6) y el nivel depulpa en la celda se calcula por la

ecuacin (4.7)

(4.3)

, , (4.4)

, ,

= (4.5)


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38

, (4.6)

L , (4.7)

Se asume una densidad constante y las densidades en las dos celdas sonaproximadamente las mismas. La contribucin del aire en la fase de pulpa para la

densidad es obviada.

El flujo de pulpa desde la ltima celda puede ser manipulada por una vlvula de

control en la lnea de salida del banco. El flujo a travs de esta vlvula es dado por

la ecuacin (4.8). Se asume que la presin de salida corresponde a la presin

atmosfrica por lo que la diferencia de presin en la vlvula corresponde a la presin

generada por la ltima celda.

Qtlng Kvlvfx (4.8)

El balance de masas puede ser tambin calculado para el agua. El agua deja la

celda por la seal de cola o por la del concentrado. Se asume que la constante de

recuperacin es proporcional a la concentracin de agua en la celda. El efecto de la

altura de la espuma en la proporcionalidad de la constante tambin debe ser

incluido. En este caso se asume que no es funcin de la altura de la espuma. , , , (4.9)

mw,tlng Cw,Qtlng (4.10)

, , (4.11)

, (4.12)

, , (4.13)

3.2.2 Tasa de flotacin total

En la fase de la pulpa el balance de masa dado anteriormente incluye trminos para

material dejando la fase de pulpa a travs de flotacin y material re ingresando a la


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39

pulpa debido al drop-back. Es posible combinar ambos trminos y modelar una tasa

a la que el material deja la fase de pulpa. Esta tasa est dada por la ecuacin (4.15).

La constante de la zona de coleccin (utilizada para modelas la tasa a la que las

partculas se adhieren a las burbujas en la fase de la pulpa) es producto de laflotabilidad del mineral, y el flujo superficial superficie de burbujas . No todas laspartculas que dejan la zona de coleccin son colectadas en el concentrado. La

porcin de este mineral que deja la celda en el concentrado est dada por el factor

de recuperacin. Estas variables estn relacionadas en la tasa de flotacin total

dada en la ecuacin (4.14). El flujo msico desde la celda hacia la flotacin es dado

por la ecuacin (4.16)

(4.14) , (4.15)

, (4.16)

3.2.3 Flotabilidad del mineral

Es un parmetro que depende del timo de mineral y del tamao de las partculas

(Vera, 2002). Lo rangos medidos de flotabilidad varan entre 10a 2,710para

material valioso. Se asume que la flotabilidad de la ganga es cero.

3.2.4 Flujo superficial de superficie de burbujas

Esta relacin emprica entregada por (Gorian, 1999) es utilizada para calcular el

flujo superficial de superficie de burbujas.

(4.17)

Los valores de las constantes a hasta e son dados por (Gorain, 1999). Adems de

la velocidad perifrica del agitador y para distintos tipos de plantas as como el80% del tamao de la alimentacin. Los valores fueron seleccionados y mostrados

en el resumen del modelo.


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40

3.2.5 Factor de recuperacin de la espuma

De la relacin dada por (Vera, 2002). Esta relacin requiere el tiempo de retencin

en la espuma el cual es calculado del flujo volumtrico de aire y del volumen de la

espuma en la celda. El nivel de la espuma es la diferencia entre la altura de la celda

y el nivel de la fase de pulpa. El parmetro de drenaje, , vara entre 7 y 75 1/mientras que tiene un valor de 4 1/.

, (1 ) + (4.18)

(4.19)

(4.20)

3.2.6 Arrastre

El arrastre describe la tasa neta con la cual las partculas dejan la fase de pulpa.

Depende de la tasa que las partculas entran a la zona de coleccin y la tasa con

que las partculas son devueltas a la pulpa.

El flujo de agua desde la celda se expresa en masa de agua por unidad de tiempo

. La tasa de recuperacin del agua es proporcional a la masa de agua

contenida en la fase de pulpa (Lynch, 1981: 74). La ecuacin (4.22) puede serescritas en trminos de ,. La funcin de clasificacin es dada por la ecuacin(4.21).

+ (4.21)

, ,, (4.22)

, (4.23)

3.2.7 Adicin de aire

Muchas de las ecuaciones dadas anteriormente depende de variables relativas al

flujo de aire. Estas incluyen tiempo de retencin en la espuma y holdup de aire. No

es realista asumir que un cambio en el flujo de aire canbiar instantneamente


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cualquiera de estos, sin embargo se puede asumir que estas cambiarn

gradualmente luego de unos cuantos segundos. Este cambio se consigue

adhiriendo un retardo de primer orden para describir el cambio efectivo del flujo de

aire en la celda.

3.2.8 Alimentacin (entrada de lodo)

La entrada a un circuito de flotacin corresponde a un espectro de distintos tipos de

partculas en tamao y composicin. Si se quiere predecir cuantitativamente la

recuperacin y la ley del concentrado final la alimentacin a la celda debe ser

dividida en muchas clases dependiendo del tamao y composicin de las partculas

teniendo, cada una su propia flotabilidad. Para el anlisis dinmico y cumplir con el

objetivo de este modelo las partculas fueron divididas en dos clases: Mineral valioso

y ganga. El mineral valioso tiene una alta flotabilidad mientras que la ganga tiene

flotabilidad cero y solo es recuperado en el concentrado debido al arrastre.

En general la alimentacin contiene una baja cantidad de mineral valioso. El material

que entra al sistema lo hace en forma de pulpa que es una mezcla de mineral y

agua.

3.3 Interfaz en MATLAB

La serie de ecuaciones mencionadas en el punto anterior son dispuestas en laplataforma MATLAB para crear la simulacin de un banco de celdas de flotacin.

Las ecuaciones son desarrolladas en Simulink como se muestra en las figuras 4.1

y 4.2.


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Figura 5. 1 Ecuacin (4.22) en Simulink

Figura 5. 2 Ecuacin (4.3) en Simulink

3.4 Consideraciones del modelo

Se utiliza el modelo para ver la respuesta de este a variaciones en la entrada de

mineral como su respuesta al escaln y entradas aleatorias de distribucin normal

con el fin de generar una base de datos del comportamiento del proceso.


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Con el fin de crear una base de datos utilizable por la todas las entradas y salidas

fueron escaladas en el rango de 0 a 1.

La normalizacin de variables es necesaria cuando intervienen variables con

diferentes unidades y, por lo tanto, amplitudes a veces de varios ordenes demagnitud diferentes. Para la normalizacin de variables en el conjunto comprendido

entre 0 y 1 se utiliza la siguiente ecuacin

(4.24)

El valor de es 1,1 veces el mximo valor de la variable y es 0,9 veces elvalor mnimo de la variable.

Los valores de entrada y salida del modelo estarn dados en torno al punto deoperacin entregado en el apndice A.

Imgenes y grficos de respuesta de la planta


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3.5 Pre distorsin

Generalmente el modelo que representa un fenmeno natural no es una funcin

lineal. Sin embargo como los modelos lineales son ms fciles de analizar, se puede

tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es

posible. A este procedimiento se le denomina linealizacin.

Actualmente se puede considerar que la teora bsica de sistemas lineales e

invariantes est plenamente desarrollada, en el sentido de que es global (aplicablea cualquier sistema lineal) y dispone de potentes herramientas de diseo y

evaluacin. Sin embargo, no ocurre lo mismo con los sistemas no lineales. En stos,

las soluciones que se obtienen suelen ser particulares y slo aplicables a clases

especficas de no linealidades. Adems, con la dificultad aadida de no disponer de

mtodos sistemticos de anlisis y diseo, siendo muchos de ellos simples

extrapolaciones de los tpicos en sistemas lineales, y por ello poco adecuados al

problema no lineal.Consecuencia de todo lo anterior es que en los mbitos de Procesado de Seal y

de Teora de Control son ampliamente usados tanto los filtros como los

controladores lineales, dejndose los diseos basados en estructuras no lineales

para aplicaciones especficas. De entre estos cabe destacar el empleo de algoritmos


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adaptativos, que se basan en leyes de adaptacin implcitamente no lineales,

aunque su diseo se ha venido haciendo hasta hace poco extrapolando

experiencias de diseos lineales y de parmetros constantes.

Como ejemplo de algunos de los problemas que supone la presencia de nolinealidades en canales de comunicacin cabe decir que en transmisiones digitales

a alta velocidad una de la mayores causas de que aumente la probabilidad de error

es la presencia de no linealidades (Benedetto, S., E. Biglieri and V. Castellani, Digital

Transmission Theory, Prentice-Hall International, 1987). Hay aplicaciones en

comunicaciones en los que se exige a los amplificadores que trabajen cerca de

saturacin para un mayor rendimiento de potencia, logrando as disminuir la

distorsin que esto va a originar. Este es el caso de los repetidores a bordo de

satlites de enlace. Una solucin que se aplica es la de predistorsionar la seal a

transmitir, de modo que la predistorsin compense a la distorsin.

Tambin es importante la linealizacin de amplificadores de RF en sistemas de

comunicaciones mviles, donde es necesario un alto rendimiento en potencia, lo

que hace que se trabaje cerca de saturacin. Esto es una limitacin para el uso de

modulaciones tipo QAM, que son deseables por ser eficientes espectralmente pero

son ms sensibles al efecto de las no linealidades que otras modulaciones menos

eficientes (Ariyavisitakul, S. and T.P. Liu, Characterizing the Effects of Nonlinear

Amplifiers on Linear Modulation for Digital Portable Radio Communications, IEEE

Transactions on Vehicular Technology, Vol. 39, No. 4, pp. 383-389, November

1990).

En la linealizacin por pre distorsin, objetivo principal de este trabajo, es un mtodo

ampliamente usado. Trabaja distorsionando la seal antes de que llegue al sistema

no lineal, de manera que el efecto global sea el de un sistema lineal, pues el efecto

de la pre distorsin trata de ser el efecto inverso al de la no linealidad.

A lo largo de este trabajo la idea que se quiere dar a entender con la palabra

linealizar o predistorsionar el cmo conseguir que un sistema dinmico no lineal se

comporte, es decir responda, como si fuera lineal. Adems, el problema que se

considera no es de modelado (aproximar un sistema no lineal por uno lineal), ni


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tampoco de filtrado (eliminar no linealidades a la salida de un sistema), sino que lo

que se pretende es modificar (controlar) el sistema no lineal y hacer que su

comportamiento sea lineal.

3.6 Redes neuronalesUna red neuronal es un sistema que permite establecer una relacin lineal o no

lineal entre las salidas y las entradas. Sus caractersticas estn inspiradas en el

sistema nervioso lo que les da varias ventajas tales como su capacidad de

aprendizaje adaptativo, son auto-organizativas, pueden funcionar en paralelo en

tiempo real y ofrecen tolerancia a fallos por la codificacin redundante de la

informacin.

Desde el punto de vista de solucionar problemas, las redes neuronales sondiferentes de los computadores convencionales que usan algoritmos secuenciales,

mientras que las redes neuronales actan como el cerebro humano, procesando la

informacin en paralelo, y tambin pueden aprender y generalizar a situaciones no

incluidas en el proceso de entrenamiento. Las redes neuronales pueden procesar

informacin de forma ms rpida que los computadores convencionales, pero tienen

la desventaja de que no podemos seguir su respuesta paso a paso como se puede

hacer al ejecutar un programa convencional en un ordenador por lo que no resulta

fcil detectar los errores.

Las redes neuronales artificiales son muy efectivas para resolver problemas

complicados de clasificacin, reconocimiento de patrones y mapeo de funciones.

Los mtodos de entrenamiento basados en el gradiente descendente convergen de

manera muy lenta cuando existen grandes cantidades de datos a ser procesados,

debido a esto, es necesario una formular un mtodo alternativo para el

entrenamiento. La figura 5.4 muestra una red neuronal feedforward con dos capasocultas y dos salidas. El nmero de entradas es directamente dependiente de la

informacin disponible para ser clasificada o de las variables de entrada de un

proceso, mientras que el nmero de neuronas de salida es igual al nmero de clases

a ser separadas o de salidas del sistema dependiendo si la red es utilizada para

clasificacin o mapeo de funciones. Las unidades de una capa se conectan


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unidireccionalmente con las de la siguiente, en general todas con todas, sometiendo

a sus salidas a la multiplicacin por un peso que es diferente para cada una de las

conexiones. Luego de ser computado es pasado por una funcin de activacin (.)

se computa la salida de cada una de las capas.

Figura 6. 1 Esquema de una red neuronal feedfoward

Las funciones de activacin tpicamente usadas son mostradas en la figura 5.5 para

el caso de las redes neuronales artificiales utilizadas para mapeo de funciones en

las capas ocultas deben contener funciones diferenciables tal como lo son

sigmoidal, tangente hiperblica, etc. En el caso de la capa de salida es comn

utilizar una funcin lineal no saturada para darle a la red neuronal rango libre.


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FFigura 6. 2 funciones de activacin tpicamente utilizados en las redesneuronales

3.7 Entrenamiento o aprendizaje

Para producir el aprendizaje en la figura 5.7 se muestra el proceso que lleva a cabo

la red neuronal para almacenar conocimiento

Figura 6. 3 Modelo simplificado de aprendizaje

El aprendizaje o entrenamiento es la clave para la plasticidad de una red neurona yesencialmente es el proceso en el que se adaptan las sinapsis para que la red

responda de un modo distinto a los estmulos del medio. En una red neuronal toda

informacin adquirida se guarda en el valor de cada peso sinptico. De hecho, las

neuronas de la mayor parte de los seres vivos son iguales y su diferencia reside en

Datos de

entrenamientoEntrenamiento Pesos Salida de la red


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el concepto de organizacin, nmero y modo de cambio entre las interacciones

sinpticas. El aprendizaje se divide en dos tipos:

i) Aprendizaje supervisado: Es una tcnica para deducir una funcin a

partir de datos de entrenamiento. Los datos de entrenamiento consisten

de pares de objetos (normalmente vectores): una componente del par son

los datos de entrada y el otro, los resultados deseados.

ii) Aprendizaje no supervisado: Se distingue del Aprendizaje supervisado

por el hecho de que no hay un conocimiento a priori. En el aprendizaje no

supervisado, un conjunto de datos de objetos de entrada es tratado. As,el aprendizaje no supervisado tpicamente trata los objetos de entrada

como un conjunto de variables aleatorias, siendo construido un modelo

de densidad para el conjunto de datos.

Por lo general las redes neuronales artificiales feedforward son entrenadas con el

clsico algoritmo backpropagation propuesto por Rumelhart(D.E. Rumelhart, G.E.

Hinton y R.J. Williams,learning internal representations by error propagation in D.E.Rumelhart y J.L. McClelland, editors, Parallel distributed processing, volumen 1,

chapter 8, The MIT Press, Cambridgem MA, 1986).

Este algoritmo es til para redes de tamao pequeo o problemas simples pero

tiende a converger deficientemente si el nmero de nodos es grande o si el

problema es complejo. Para solucionar este problema, otros mtodos de

entrenamiento han sido propuestos.

Una red neuronal feedforward puede ser adaptada utilizando el algortimo basado

en el Filtro Extendido de Kalman (EKF) (Sharad Singhal, Lance Wu, traininig

multilayer perceptrons with the extended Kalman algorithm,Bell Communicarions

Research, Morristown, NJ) Este es un mtodo para calcular recursivamente la


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actualizacin de los pesos para todos los pesos de la red. Las ventajas y detalles

del mtodo sern explicados en el captulo 5.3.1.

3.7.1 EKF (Extended Kalman Filter) para el entrenamiento de redes

neuronalesEl filtro de Kalman (R. E. Kalman, a new approach to linear filtering and prediction

problems, J. Basics Eng., Trans.ASME, Series D, Vol 82, No.1, 1960, pag 35-45)

es una herramienta ideal para trabajar con ruidos, tanto de planta como de medicin.

Adicionalmente su costo computacional es relativamente bajo al requerir solo

informacin de estados anteriores para la realizar una estimacin.

Existe una gran cantidad de mtodos de aprendizaje o entrenamiento. El filtro

extendido de Kalman constituye la base del entrenamiento de segundo orden paralas redes neuronales. El cual, es una prctica y efectiva alternativa para los

entrenamientos de tipo batch.

La esencia del EKF es que durante el entrenamiento, adems de actualizar los

pesos de la red neuronal de manera secuencial, una matriz de covarianza del error

tambin es creada y actualizada.

La idea del filtro es linealizar el modelo de espacio estado no lineal en cada instante

de tiempo alrededor del ltimo estado conocido, luego, una vez conocido el modelo

se aplican las ecuaciones de filtro de Kalman que proveen un medio recursivo

computacional eficiente para estimar el estado de un proceso, tomando como base

la minimizacin del error cuadrtico medio.

Una de las ventajas que posee el filtro de Kalman sobre otros mtodos de

entrenamiento radica en que los clculos a realizarse no son complejos. El modelo

que se pretende minimizar est siendo linealizado en el punto de operacin donde

se encuentre y, adems, es posible hacer correcciones de las predicciones

realizadas mediante un monitoreo constante del proceso.

Si se considera el comportamiento de una red neuronal como un sistema no lineal

discreto con la siguiente representacin


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Figura 6. 4 Representacin en diagrama de bloques de una red neuronal deltipo feedforward que entrega un mapeo entre el vector de entrada y el vector

de salida .

+ (5.1) , , (5.2)La primera ecuacin es la ecuacin de proceso y simplemente especifica que el

estado una red neuronal ideal es caracterizado como un proceso estacionarioafectado por ruido . El estado del sistema est dado por el valor de los pesos .La segunda ecuacin es conocida como observacin o ecuacin de medida y

representa la respuesta deseada del vector como una funcin no lineal del vectorde entrada , el vector de pesos y, para redes neuronales recurrentes, el nodorecurrente de activacin y una medida de ruido randmico . La medida de ruidoes tpicamente caracterizada por ruido blanco de media cero con covarianza dada

por ,. Similarmente el ruido del proceso es tambin caracterizadocomo ruido blanco de media cero con covarianza dada por ,.

Ahora el problema de entrenamiento utilizando la teora del filtro de Kalman puede

ser descrito como encontrar el mnimo error cuadrtico medio estimado del estado

utilizando los datos observados. Se asume una arquitectura de red con pesosy nodos de salidas. La solucin del EKF para el problema de entrenamiento esdada por la siguiente recursin de ecuaciones (ver anexo 2).

(5.3) (5.4)

+ (5.5) (5.6)


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El vector representa la estimacin del estado (pesos) del sistema en laactualizacin k-sima. Esta estimacin es funcin de la matriz de ganancia de

Kalman y el vector de error , donde es el vector de objetivo e es la salida de la red neuronal en la k-sima iteracin del entrenamiento. La matriz

de ganancia de Kalman es una funcin de la matriz de covarianza de error estimado

, la matriz de derivadas de las salidas de la red con respecto a los pesos y lamatriz de escalamiento . La matriz se calcula mediante el algoritmobackpropagation. La matriz de escalamiento es funcin de la matriz de ruido as como de las matrices y . Finalmente, la matriz de covarianza de errorestimado se actualiza recursivamente junto con el vector de pesos estimados.Este algoritmo intenta encontrar los valores de los pesos que minimicen la suma de

error cuadrtico . Se debe notar que este algoritmo requiere medir la saliday las matrices de covarianza de ruido, y sean especificadas para todo eltranscurso del entrenamiento. De forma similar, la matriz de covarianza de error debe ser inicializada al principio del entrenamiento.

Cada uno de los pasos de entrenamiento consiste en los siguientes pasos:

1) Una entrada de entrenamiento es propagada a travs de la red paraproducir un vector de salida . La propagacin hacia adelante e s funcin dela activacin de los nodos . El vector de error es tambin obtenido eneste paso.

2) La matriz de derivadas es obtenida mediante Backpropagation. En estecaso, se realiza un backpropagation por separado para cada componente del

vector de salida .3) La matriz de ganancia de Kalman es calculada como funcin de la matriz de

derivadas , la matriz de covarianza de error y la medida de la matriz decovarianza de ruido . En este paso se incluye el clculo de la matriz deescalamiento.

4) El vector de pesos se actualiza utilizando la matriz de ganancia de Kalman

, el vector de error y los valores actuales de los pesos


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5) La matriz de covarianza de error es actualizada utilizando la matriz de

ganancia de Kalman , la matriz de derivadas y los valores actuales dela matriz de covarianza de error . En este paso tambin la matriz decovarianza de error aumenta debido a la matriz de covarianza de ruido del

proceso .

CAPITULO 4. PREDISTORSION BASADA EN REDES

NEURONALES

La predistorsin ser el objetivo para linealizar y controlar nuestro sistema elegidoen este proyecto. Es, como se ha mencionado un poco ms arriba, una tcnica que

pretende modificar las caractersticas de la seal de inters antes de pasar por la

parte no lineal de nuestro sistema, i.e. el amplificador de potencia, planta de

flotacin o cualquier otro proceso no lineal. Generalmente, se trata de un algoritmo

que acta sobre la seal que queremos transmitir en base a unos parmetros de un

modelo supuesto para la parte no lineal. En efecto, estos sern los dos

componentes fundamentales a la hora de disear un pre distorsionador: elmodelado de la parte no lineal (y con memoria, si procede) del sistema; y el mtodo

de ajuste de los parmetros de ese algoritmo para conseguir un resultado global

lineal.

Una vez escogido el modelo con el que trabajar, se procede a una identificacin de

parmetros. Para ello, se aplica el algoritmo, desde un estado inicial, a la seal y se

hace pasar por la parte no lineal. A continuacin, se recoge la salida y se realiza

algn procedimiento de ajuste de los parmetros del algoritmo para conseguir unalinealizacin lo mejor posible. Esto se suele hacer mediante algn tipo de regresin

matemtica, por ejemplo mnimos cuadrados, y, en algunas ocasiones, se tiene en

cuenta la estadstica de la seal de entrada para conseguir un ajuste ms rpido.

La forma de ajustar ser por iteracin entrada-distorsin-recuperacin-ajuste. Estas

iteraciones sesuelen hacer de dos formas:


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(i) Mtodo continuo y adaptativo

(ii) Entrenamiento a priori

El mtodo adaptativo se realiza de manera continua durante toda la transmisin de

la seal. De esta forma, cambios en las caractersticas del canal en general pueden

ser recogidos por el algoritmo, consiguiendo un ajuste bueno para infinidad de

situaciones. Esto, siempre y cuando la velocidad de convergencia del algoritmo

reajuste sus parmetros lo suficientemente rpido como para adaptarse a los

cambios del canal.

Por otro lado, los mtodos basados en entrenamiento, consiguen el ajuste de los

parmetros del algoritmo mediante seales de entrenamiento que se transmiten al

comienzo de la vida de la transmisin y, ocasionalmente, en distintos momentosdespus de la puesta a punto inicial. Esto puede parecer peor que el caso anterior,

pero es muy vlido para canales en los que se preve que la no linealidad cambie

poco, o en los que el modelo de no linealidad se ajuste muy bien al comportamiento

del sistema.

El anlisis y diseo de filtros no lineales tiene en la actualidad muchas aplicaciones,

especialmente en comunicaciones, control y procesado de imagen y voz. En estas

reas de conocimiento son populares filtros no lineales tales como los filtros deestadstica de orden superior, los filtros polinmicos y los filtros de Volterra.

Los mtodos adaptativos se dicen adaptativos por la forma en que consiguen la

convergencia de sus parmetros, en contraposicin con los mtodos basados en

entrenamiento. La mayora de los mtodos adaptativos confan en una tcnica

basada en tabla de datos (look up table). Esta se rellena a partir de muestras

discretas proveniente de la aplicacin de algn algoritmo de modelado, por ejemplo

series de Volterra, a la seal que queremos transmitir. Es decir, usando un modelo,generamos una correspondencia entre valor de la seal de entrada y valor de la

seal que debe pasar por el sistema, de forma que la seal a la salida del sistema

tenga un comportamiento lineal con respecto a la seal que queremos transmitir.


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Figura 6. 5 Esquema demtodo entrenamiento adaptativo utilizando TablaLook-up b) Diagrama de sistema operacin donde x _k corresponde a la

entrada del sistema luego de haber sido predistorsionada.

Esto funciona bien para seales de banda estrecha. Sin embargo, consideramos

sistemas de banda ancha, el amplificador de potencia presenta memoria, la tabla

con las muestras pre-computada se hace muy grande y el procedimiento para la

seleccin de la muestra siguiente se hace muy complejo. Adems, si el amplificador

cambia sus caractersticas, toda la tabla debe actualizarse y la estrategia de

seleccin cambia de nuevo.

Un desarrollo alternativo es la utilizacin de un esquema de control no lineal

adaptativo, figura 4.4, basado en el Modelo de Referencia Adaptativa de Control.

Los parmetros del controlador (predistorsionador) son ajustados de manera


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adaptativa, para conseguir la mnima desviacin con respecto al resultado objetivo,

en nuestro caso, un comportamiento lineal.

Las dificultades de este esquema no son triviales: una estructura de control

especfica junto con un algoritmo de control robusto deben ser diseados.

Figura 6. 6 Esquema de control basado en predistorsin adaptativa y modelode referencia. La sintonizacin del controlador es realizada en linea con la

operacin.

Rodriguez, Nibaldo plantea en su trabajo (S. I. a. C. R. Rodriguez N., , "Adaptivepredistortion of COFDM for mobile Satellite Channel", International Journal of

Communication systems, vol. 16, no. 10, pp. 137-150, 2003.) la utilizacin de redes

neuronales artificiales para la creacin de un predistorsionador adaptativo.

En el modo de entrenamiento la seal de salida de la red neuronal corresponde a la

entrada del sistema. Debido a que la seal no presenta un considerable retardo no

existe un modelo de referencia. Los pesos son actualizados con el algoritmo EKF

(Extended Kalman Algorithm).

Por carcter no lineal que poseen las celdas de flotacin, una red neuronal con al

menos 1 capa oculta es utilizada. Segn el teorema de aproximacin universal una

red neuronal con al menos una capa oculta y un nmero finito de neuronas es un

aproximador universal de funciones sobre subconjuntos compactos de . La


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primera versin de este postulado fue entregada por George Cybenko en 1989

(Cybenko., G. (1989) "Approximations by superpositions of sigmoidal functions",

Mathematics of Control, Signals, and Systems, 2 (4), 303-314) para redes

neuronales que en su capa oculta contenan funciones de activacin sigmoidales.

Luego, en 1991 Kurt Hornik demostr que no solo una funcin sigmoidal posea

estas caractersticas, sino que la arquitectura de la red de propagacin hacia

adelante (feedfoward) le entrega el potencial a la red de ser un aproximador

universal. Gracias a esta propiedad, la red neuronal propuesta ser capaz de

aproximar la funcin . que corresponde a la funcin inversa al sistema acontrolar. El entrenamiento y la descripcin de la red neuronal artificial utilizada se

describen en las siguientes secciones.

Para esta tesis se ha utilizado el controlador adaptativo utilizando un modelo de

referencia el cual corresponde a un retardo puro como se muestra en la figura 4.5.

Figura 6. 7 Diagrama de sistema propuesto para el control del banco deflotacin


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CAPITULO 5. OPERACIN DEL PREDISTORSIONADOR

Determinacin nmero de neuronas en capa intermedia

Curvas de entrenamiento de la red neuronal, velocidad de convergencia y error en

la aproximacin Tablas de

Indice de adecuacin

Error RMS

RSD (relative standard deviation)

Grficos de celda con ruido a la entrada sin control y su respuesta

Grfico de respuesta con control

Tablas de RSD con y sin control y comparacin (disminucin de la perturbacin)

Tabla de aumento de recuperacin con y sin control (aumento de beneficio)


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ANEXO A: CONCEPTOS BASICOS

Para el anlisis y la modelacin del proceso de flotacin es necesario conocer

algunos conceptos bsicos que estn involucrados en el proceso.

1.5.3.1 Densidad

Cociente entre la masa del cuerpo y su volumen

1.5.3.2 Densidad aparente

Se aplica a slidos granulares donde el volumen medido no solo contiene al slido

en estudio sino que tambin existe aire contenido entre las partculas. Si se

considera que el volumen total corresponde a y considerandoque: al dividir esta expresin por vtotal se obtiene:

(1.5)

Para slidos granulares de tamao de partcula mas o menos parejo el factor de

hueco se estima en torno al 45% por lo que la parte slida granular ocupa el restante

55%.

1.5.3.3 Densidad de pulpas

Las pulpas son una mezcla entre slido y agua. Una de sus caractersticas ms

importantes es el porcentaje de slido que viene dado por la ecuacin (1.6).

% 100 (1.6)

De esta relacin y de la ecuacin de balance de masas se puede obtener la

expresin (1.7)

%

% (1.7)


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1.5.3.4 Balance de masa

Se deben definir los siguientes trminos para realizar un balance de masas en un

equipo de flotacin:

1) Alimentacin del sistema (, feed)2) Ley de alimentacin de la celda i-sima ()3) Producto valioso o concentrado obtenido de la i-sima celda (,

Concentrate)

4) Ley correspondiente del concentrado obtenido en la i-sima celda (5) Relave o ganga obtenida en la i-sima celda ()6) Ley correspondiente a la seal de cola o ganga (

La figura 1.4 muestra de manera esquemtica la relacin del balance de masas enuna celda de flotacin

Figura 2. 4 Balance de masas por una celda de flotacin

1.5.3.5 Balance de masa global

EL escenario a considerar para el balance de masas considera que todo lo que entra

en un sistema debe ser igual a lo que sale, siempre y cuando se haya alcanzado el

estado estacionario. El balance de masa global estar dado por la ecuacin (1.8).

(1.8)


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1.5.3.6 Balance de masa por componente

Adems del balance de masas global puede realizarse un balance de masas por

componente dado por la ecuacin (1.9)

(1.9)1.5.3.7 Recuperacin

La recuperacin mide la eficiencia del proceso. En el proceso el objetivo es

recuperar la mxima cantidad de mineral valioso. Uno de los principales problemas

de esta premisa es que a medida que se aumenta la recuperacin disminuye la ley

del mineral recuperado. La recuperacin se expresa como un cuociente entre el

mineral valioso en el concentrado (recuperado) y el la masa de mineral valiosa con

el que la celda es alimentado como expresa la ecuacin (1.10)

(1.10)

Considerando la figura 1.4 esta expresin puede ser representada por la ecuacin

(1.11).

(1.11)

Considerando que en el balance de masa global se puede expresar la recuperacinen funcin de las leyes de minerales en las seales de entrada, cola y concentrado

como

(1.12)


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ANEXO B: Resumen de variables y ecuacionesTabla 1 Variables utilizadas para el modelo

Variable Smbolo Unidad

Flujo alimentacin

,

Flojo alimentacin de agua ,

Flujo de aire a la celda

Fraccin de control de vlvula Masa del mineral i en la celda Masa de agua en la celda Flujo msico de mineral i en la cola ,

Flujo msico de agua en la cola ,

Flujo volumtrico de cola

Volumen de pulpa en la celda

Volumen de la fase de pulpa en la celda , Concentracin de mineral en la fase de pulpa ,

Concentracin de agua en la fase de pulpa

, Nivel de pulpa Nivel de espuma Flujo msico que sale en concentrado (por flotacin) ,

Flujo msico que sale en concentrado (por arrastre) ,

Tasa total de flotacin

Constante de flotacin 1Factor de recuperacin de espuma Flujo superficial de superficie de burbuja

Tiempo de residencia en espuma Funcin de clasificacin

7/13/2019 TESIS DEF

TESIS DEFINITIVA

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