Tesis Doctoral Uldarico Malaspina Jurado

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESCUELA DE GRADUADOS Intuición y rigor en la resolución de problemas de optimización. Un análisis desde el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática. Tesis que presenta Uldarico Víctor Malaspina Jurado para optar el grado académico de Doctor en Ciencias Lima, enero del 2008

Transcript of Tesis Doctoral Uldarico Malaspina Jurado

  • PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER

    ESCUELA DE GRADUADOS

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    Tesis que presenta

    Uldarico Vctor Malaspina Jurado

    para optar el grado acadmico de

    Doctor en Ciencias

    Lima, enero del 2008

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  • nnddiiccee

    Introduccin vii Captulo 1

    EL PROBLEMA DE INVESTIGACIN. RELEVANCIA, OBJETIVOS Y METODOLOGA 1 1.1. Relevancia del problema de investigacin 1 1.2. Objetivos y preguntas de la investigacin 4 1.3. Metodologa 5 1.4. Estructura de la memoria de investigacin 8

    Captulo 2 MARCO TERICO 13 2.1. Revisin histrico-epistemolgica de la optimizacin

    matemtica. 13 2.2. Resolucin de problemas 20 2.3. Problemas de optimizacin 24

    2.3.1. Clasificacin de los problemas de optimizacin. 27 2.3.2. Ejemplos y comentarios 29

    2.4. Investigaciones didcticas sobre problemas de optimizacin 32 2.5. El enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin

    Matemtica 34 2.5.1. Resea histrica 34 2.5.2. Conceptos bsicos 36

    i

  • 2.5.3. Significados personales e institucionales de los objetos 38 2.5.4. Objetos que intervienen y emergen de los sistemas de

    prcticas 39 2.5.5. Configuraciones de objetos 41 2.5.6. Facetas duales 43 2.5.7. Procesos matemticos 45 2.5.8. Comprensin 46 2.5.9. Idoneidad didctica 47

    Captulo 3

    INTUICIN Y RIGOR. UNA PERSPECTIVA ONTOSEMITICA 49 Respuesta a la primera pregunta de investigacin. 3.1. La intuicin en la filosofa de las matemticas 50

    3.1.1. El papel de la intuicin en la teora clsica de la verdad matemtica 51

    3.1.2. El intuicionismo 55 3.1.3. Empirismo e intuicin 58

    3.2. La intuicin en la psicologa gentica. 61 3.3. La intuicin en la didctica de las matemticas 66

    3.3.1. La intuicin segn Fischbein 67 3.3.2. La teora de las reglas intuitivas 70 3.3.3. Otras maneras de entender la intuicin 72 3.3.4. Tipos de intuiciones segn el contenido 72

    3.4. Relacin de la intuicin con otros trminos habituales en la didctica de las matemticas 73

    3.5. Existe una intuicin optimizadora? 77 3.5.1. La intuicin optimizadora comprensiva como

    proyeccin metafrica 78 3.6. Una propuesta de encaje de los procesos intuitivos

    en el Enfoque Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin Matemtica 86

    ii

  • 3.7. Problema, rigor, formalizacin e intuicin. Una perspectiva integrada 92

    Captulo 4

    INTUICIN Y RIGOR EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN EN ALUMNOS UNIVERSITARIOS. 97 Respuesta a la segunda pregunta de investigacin. 4.1. Planteamiento del estudio de caso 97 4.2. Problemas propuestos, soluciones y configuraciones

    epistmicas 100 4.2.1. Solucin experta del problema 1 (con variaciones

    continuas). 102 4.2.2. Configuracin epistmica del problema 1 103 4.2.3. Solucin experta del problema 2

    (con variaciones discretas). 104 4.2.4. Configuracin epistmica del problema 2 105

    4.3. Aspectos metodolgicos 106 4.3.1. Criterios para la seleccin de los dos problemas

    del cuestionario 107 4.4. Anlisis de las soluciones individuales 110

    4.4.1. Tipologa de configuraciones cognitivas de los alumnos 125 4.5. Soluciones grupales 127

    4.5.1. Anlisis de las diez soluciones grupales 129 4.6. Conclusiones 133

    Captulo 5 LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN EN LA EDUCACIN SECUNDARIA EN EL PER Respuesta a la tercera pregunta de investigacin 136 5.1. El diseo curricular de matemtica para secundaria en el Per 137 5.2. Problemas de optimizacin en libros de texto para

    secundaria en el Per 141

    iii

  • 5.2.1. Anlisis de la presencia de problemas de optimizacin en los textos revisados 142

    5.2.1.1. Problemas de optimizacin en primer grado 143 5.2.1.2. Problemas de optimizacin en segundo grado 146 5.2.1.3. Problemas de optimizacin en tercer grado 149 5.2.1.4. Problemas de optimizacin en cuarto grado 152 5.2.1.5. Problemas de optimizacin en quinto grado 155 5.2.1.6. Comentarios finales 157

    5.2.2. Algunos problemas de optimizacin encontrados en los textos 158

    5.3. Anlisis epistmico de algunos temas vinculados con problemas de optimizacin 160 5.3.1. Funciones 162 5.3.2. Introduccin a la programacin lineal 167 5.3.3. Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo 170

    5.4. Estudio de algunas percepciones de los ingresantes universitarios acerca de la enseanza y aprendizaje de las matemticas en la secundaria 173

    5.4.1. Metodologa 174 5.4.2. Resultados 176 5.4.3. Comentarios 183

    5.5. Conclusiones 185 Captulo 6

    LINEAMIENTOS PARA LA INCLUSIN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN EN LA EDUCACIN BSICA. Respuesta a la cuarta pregunta de investigacin. 186 6.1. Problemas de optimizacin para la educacin bsica 187

    6.1.1. De la universidad a la educacin bsica 189 6.1.2. Un problema de optimizacin para varios niveles

    educativos 206 6.1.2.1. Algunas soluciones y configuraciones

    iv

  • epistmicas / cognitivas 209 6.1.2.2. Reacciones de alumnas de secundaria 216

    6.2. Lineamientos generales 219 6.2.1. Primer lineamiento 221

    6.2.1.1. Propuestas de problemas para primaria 222 6.2.1.2. Propuestas de problemas para secundaria 232 6.2.1.3. Creacin de problemas 236 6.2.1.4. Algunos mtodos a tener en cuenta 239

    6.2.2. Segundo lineamiento 240 6.2.2.1. Algunas conexiones intramatemticas 244 6.2.2.2. Construir funciones 248

    6.2.3. Tercer lineamiento 250

    Captulo 7 CONCLUSIONES E IMPLICACIONES 260 7.1. Conclusiones relacionadas con la primera pregunta

    de investigacin 260 7.2. Conclusiones relacionadas con la segunda pregunta

    de investigacin 262 7.3. Respuesta a la tercera pregunta de investigacin 263 7.4. Respuesta a la cuarta pregunta de investigacin 265 7.5. Consideraciones finales e implicaciones 267

    Referencias bibliogrficas 269

    Anexos 281 Anexos del Captulo 4

    4A: Dos problemas de optimizacin para resolverlos en grupos, propuestos a alumnos universitarios 282

    4B: Cuestionario sobre percepciones acerca de los problemas propuestos y sus soluciones 283

    v

  • 4C: Cuadro sobre soluciones del problema con variaciones continuas 284

    4D: Cuadro sobre soluciones del problema con variaciones discretas 285

    Anexos del Captulo 5 5A: Cuestionario sobre percepciones de aprendizaje, uso de

    materiales y actitudes ante la matemtica, aplicado a ingresantes a la PUCP en el semestre 2007-1 286

    5B: Cuadro sobre percepciones de los ingresantes a la PUCP en el semestre 2007-1, sobre temas de matemtica en la secundaria 287

    Anexos del Captulo 6 6A: Cuestionario a alumnos de secundaria sobre

    un problema de optimizacin geomtrico 288 6B: Un problema de optimizacin aritmtico (artculo) 292 6C: Solucin de un problema de optimizacin discreto

    y no rutinario (el problema F) 300 6D: Notacin adecuada, rboles y razonamiento recursivo

    al resolver un problema de optimizacin discreto (Artculo sobre las Torres de Hanoi) 303

    6E: Una propuesta adicional de problemas de optimizacin para secundaria 310

    6F: Una introduccin a la teora de juegos (Exposicin en la 2nd ICTM-Grecia) 313

    6G: Problemas de optimizacin y pensamiento matemtico (Artculo en Actas de RELME 17) 322

    vi

  • UUnn mmaatteemmttiiccoo ffrraannccss ddiijjoo UUnnaa tteeoorraa mmaatteemmttiiccaa nnoo ddeebbee sseerr ccoonnssiiddeerraaddaa ccoommpplleettaa hhaassttaa qquuee sseeaa ttaann ccllaarraa ddee eenntteennddeerr qquuee ppuueeddaa

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    EEssttaa ccllaarriiddaadd yy ffaacciilliiddaadd ddee ccoommpprreennssiinn,, qquuee aaqquu ssee llee eexxiiggee aa uunnaa tteeoorraa mmaatteemmttiiccaa,, yyoo llaa eexxiiggiirraa,, aann ccoonn mmss rraazznn,, ppaarraa uunn pprroobblleemmaa mmaatteemmttiiccoo ppeerrffeeccttoo;; ppoorrqquuee lloo qquuee eess ccllaarroo yy ffcciill ddee ccoommpprreennddeerr nnooss aattrraaee,, lloo ccoommpplliiccaaddoo

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    IInnttrroodduucccciinn

    En el presente trabajo se plasma mi inquietud de estudiar integradamente la formalizacin, el rigor y la intuicin al aprender y al ensear matemticas, surgida en mi experiencia como docente de matemticas en el nivel universitario y en numerosos cursos y talleres ofrecidos a profesores de secundaria, de primaria y de nivel superior. Es normal en los estudios de matemtica pura poner el nfasis fundamental en la formalizacin y el rigor, sin embargo la experiencia docente me fue enseando cuan cierto es que se entiende mejor un tema cuando se hace todos los esfuerzos por lograr que los estudiantes lo entiendan y cuan valioso es que para que la enseanza de un concepto o una demostracin vaya ms all de su repeticin en la pizarra y de la explicacin de un ejemplo, busquemos una comprensin intuitiva del concepto o la demostracin. Comprensin

    1 Conferencia en el 2 Congreso Internacional de Matemtica, Pars, Agosto 1900.

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  • intuitiva que interacta con el lenguaje formal y el rigor y que tendra que estar presente en el profesor para que pueda inducirla a los estudiantes. Las experiencias docentes en clases de pregrado y de post grado me fueron enseando que una buena opcin es iniciar las clases proponiendo un problema relacionado con el concepto que se desea introducir. Con problemas adecuadamente seleccionados o creados y apropiadamente presentados por ejemplo como punto importante en una secuencia de problemas de dificultad graduada tuve algunos resultados sorprendentes, pues algunos alumnos encontraron respuestas correctas o muy buenos caminos para resolverlos, sin conocer an los conceptos que se iban a desarrollar. Esto fue particularmente interesante al trabajar temas de optimizacin, especialmente los relacionados con teora de juegos, tanto con los estudiantes de matemtica pura como con los estudiantes de economa. As empec a conjeturar la existencia de una intuicin optimizadora y comenzaron a delinearse mis inquietudes por estudiar interrelacionadamente, con fines didcticos, el rigor, la intuicin y la resolucin de problemas de optimizacin.

    Mis inquietudes didcticas como matemtico se incrementaron al conocer ms de cerca la realidad educativa en nuestro pas y la necesidad urgente de mejorar su nivel de calidad en educacin matemtica. Comprend que la formacin y capacitacin de los docentes de niveles bsicos requiere de matemticos comprometidos con esta tarea y se increment mi entusiasmo al conocer las experiencias de matemticos como Jos Tola y Csar Carranza en el Per, Elon Lima en el Brasil, y Miguel de Guzmn en Espaa, que ya venan trabajando en esta lnea, y conversar ampliamente con ellos. Me involucr en muchas ms actividades relacionadas con la didctica de la matemtica, tanto en la propia universidad como en la Sociedad Matemtica Peruana, y en 1997 empec a participar en las Reuniones Latinoamericanas de Matemtica Educativa (RELME), cuando en la RELME 11, que se realiz en Mxico, se acept mi propuesta de dar un curso corto sobre Aprendizaje y Formalizacin en Matemticas y luego se public como artculo en las actas correspondientes.

    Mi participacin en seminarios doctorales de Economa Matemtica en la Universidad de Bonn me hizo ver ms ntidamente

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  • la importancia de la optimizacin matemtica; y mi tarea docente en la Pontificia Universidad Catlica del Per (PUCP), dando cursos de Matemtica para Economistas, me ayud a comprender la importancia didctica que tiene la contextualizacin, pues, por ejemplo, el teorema de la funcin implcita tiene aplicaciones muy concretas en la esttica comparativa, y los problemas de optimizacin son fundamentales en la teora microeconmica que se ensea en cursos de pregrado y post grado. Ms an, se usa intensivamente la visualizacin y los razonamientos intuitivos para ilustrar el carcter ptimo de las soluciones de los llamados problemas del consumidor y del productor. Me convenc entonces de la importancia de investigar, en una perspectiva didctica y con un marco terico adecuado, las interrelaciones entre la intuicin, el rigor y la resolucin de problemas de optimizacin, que ya las haba expresado sin ese marco terico didctico en el libro Matemticas para el Anlisis Econmico que publiqu en 1994 en el Fondo Editorial de la PUCP.

    Una consecuencia natural de tal convencimiento fue que intensifiqu mis reflexiones y experiencias didcticas sobre estos temas y particip como ponente por invitacin o por aceptacin de mis propuestas de cursos o conferencias en eventos acadmicos relacionados con la educacin matemtica, como las RELMEs realizadas anualmente en diversos pases latinoamericanos; las Mediterranean Conferences on Mathematics Education realizadas en Chipre en el 2000 y en Italia en el 2005; y las International Conferences on the Teaching of Mathematics, realizadas en Grecia en el 2002 y en Turqua en el 2006. Estas fueron ocasiones de ir profundizando reflexiones, tanto al preparar las ponencias, como al escuchar a distinguidos conferencistas y tener la oportunidad de intercambiar ideas con ellos. El Institut de Recherche pour lEnseignement des Mathematiques (IREM) con sede en la PUCP, cuya direccin est a mi cargo, tiene su origen en conversaciones con el doctor Andr Antib en la RELME 14, realizada en el 2000 en Panam. El doctor Antib es Director del IREM de Toulouse y en las conversaciones tenidas posteriormente en Buenos Aires, Lima y Toulouse estimul en m la idea de hacer un doctorado en didctica de las matemticas.

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  • La creacin del IREM-PUCP con un grupo muy valioso de colegas, y el dedicarnos a la organizacin de actividades permanentes sobre enseanza y aprendizaje de las matemticas, enriqueci las oportunidades de reflexin y de experiencias didcticas, tanto en los seminarios internos como en los coloquios inicialmente nacionales y ltimamente internacionales que venimos realizando. Las conferencias, seminarios y talleres que ofrecieron los doctores Juan D. Godino y Vicen Font en sus visitas a la PUCP con motivo de los coloquios internacionales de los veranos del 2006 y del 2007, respectivamente, me permitieron conocer ms de cerca el Enfoque Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin Matemtica (conocido como EOS) y encontr en l un valioso marco terico de tipo holstico para investigar integradamente el rigor, la intuicin y la resolucin de problemas de optimizacin. Mis lecturas sobre el EOS, mi participacin en seminarios sobre este enfoque en las universidades de Granada y de Barcelona y mis amplias conversaciones con los doctores Godino y Font tuvieron como consecuencia el decidirme a escribir esta tesis. Un primer paso en esa lnea de trabajo fue escribir el artculo Intuicin, rigor y resolucin de problemas de optimizacin con el marco del EOS, que luego del arbitraje internacional fue publicado en el nmero 3, volumen 10, de la Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa.

    El presente trabajo -Intuicin y rigor en la resolucin de problemas de optimizacin. Un anlisis desde el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica- proporciona un aporte terico con un estudio de la intuicin, en particular de lo que llamo intuicin optimizadora, en el marco del enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica; y un aporte prctico, con el propsito de contribuir a mejorar la calidad de la educacin matemtica, haciendo propuestas concretas con fundamento matemtico y didctico para la inclusin de problemas de optimizacin en la educacin bsica, de modo que desde la niez se estimule una intuicin optimizadora sin descuidar el rigor, como parte de una formacin cientfica integral. Esta tesis se desarrolla respondiendo a cuatro preguntas de investigacin, como se explica con detalles en la seccin 1.4 del captulo 1.

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  • Este trabajo no habra sido posible sin la influencia y el apoyo de las personas mencionadas anteriormente, de quienes estoy profundamente agradecido. He aprendido y estoy aprendiendo mucho de ellos, por su gran calidad acadmica y humana. Tambin quiero expresar mi agradecimiento a la PUCP por haber posibilitado mi participacin en los diversos eventos acadmicos mencionados y apoyado la realizacin de actividades del IREM y de la Comisin de Olimpiadas de la Sociedad Matemtica Peruana; a los miembros de estas dos instituciones, colegas y alumnos, con quienes he compartido enriquecedoras reflexiones y experiencias didcticas; al doctor Jorge Bazn Guzmn, por su valiosa asesora; y a todas las personas que de una u otra forma me brindaron su apoyo y comparten conmigo actividades cotidianas en la Universidad. No puedo dejar de mencionar mi agradecimiento a mi esposa e hijos, quienes me apoyaron no slo con su cario, comprensin y estmulo sino tambin con diversas tareas concretas que conlleva la edicin final de esta tesis.

    xi

  • CCaappttuulloo 11

    EELL PPRROOBBLLEEMMAA DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIINN.. RREELLEEVVAANNCCIIAA,,

    OOBBJJEETTIIVVOOSS YY MMEETTOODDOOLLOOGGAA

    Resumen En la seccin 1.1 justificamos la relevancia del problema de investigacin; en la seccin 1.2 presentamos los objetivos y las preguntas de la investigacin; en la seccin 1.3 explicamos la metodologa usada; y finalmente, en la seccin 1.4 explicamos la estructura de la presente memoria de investigacin. 1.1 RELEVANCIA DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIN

    En la vida cotidiana con frecuencia estamos afrontando muchos problemas de optimizacin; por ejemplo, buscamos el mejor camino para ir de un lugar a otro, (no necesariamente el ms corto), tratamos de hacer la mejor eleccin al hacer una compra, buscamos la mejor ubicacin cuando vamos a un cine o a un teatro, tratamos de ensear lo mejor posible, escogemos al mejor candidato (o al menos malo) en una eleccin. Evidentemente, en ninguno de estos casos usamos matemtica formalizada y rigurosa para encontrar lo que nos proponemos, pues afrontamos los problemas con los criterios que nos dan la experiencia y la intuicin, aunque no necesariamente encontremos la solucin ptima.

  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    En una perspectiva ms amplia, observamos que los problemas de optimizacin son parte fundamental de la matemtica y ya estaban presentes en los tratados de los griegos de la antigedad. Una muestra de ello es el libro V de la obra sobre cnicas escrita en ocho tomos por Apolonio considerado uno de los griegos ms importantes de la antigedad, que vivi entre los aos 262 y 190 a.C. en el cual se dedica a estudiar segmentos de longitud mxima y longitud mnima trazados respecto a una cnica. Ciertamente, un hito histrico est marcado por el desarrollo del clculo diferencial en el siglo XVII y el uso de derivadas para resolver problemas de mximos y mnimos, con lo cual se ampli an ms las aplicaciones de las matemticas en diversos campos de la ciencia y la tecnologa y gracias, sobre todo, a Euler se cre el clculo de variaciones, considerando la obtencin de funciones que optimizan funcionales, lo cual proporcion valiosas herramientas matemticas para afrontar problemas ms avanzados. Otro hito importante en la historia de la optimizacin se marca en la primera mitad del siglo XX al desarrollarse la programacin lineal. Kantorovich y Koopmans recibieron el premio Nobel de economa en 1975, como reconocimiento a sus aportes a la teora de la asignacin ptima de recursos, con la teora matemtica de la programacin lineal.

    En esta breve mirada histrica, es importante mencionar que Fermat (1601-1665), antes que Newton y Leibinitz publicaran sus trabajos sobre el clculo diferencial, invent mtodos ingeniosos para obtener valores mximos y mnimos; que Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) mostr aproximaciones intuitivas a mtodos de optimizacin actualmente considerados en la programacin lineal; y que el tratamiento riguroso de las ideas de Newton y Leibinitz y de muchos otros anteriores a ellos, que aportaron ideas relevantes al anlisis matemtico fue desarrollado recin en el siglo XIX, con Cauchy, Weierstrass y Dedekind.

    Tenemos as, en la historia de la matemtica y en particular en temas vinculados con optimizacin hechos que nos muestran la relacin estrecha entre intuicin y rigor, y que han llevado a destacados personajes de la matemtica a tomar posicin respecto a este asunto. Baste mencionar a Flix Klein (Alemania, 1849 1925), destacado gemetra, autor del famoso programa de Erlangen, quien afirm que En cierto sentido, las matemticas han progresado ms gracias a las personas que se han distinguido por la intuicin, no por los mtodos rigurosos de demostracin (Perero, 1994, p. 101) y a L.

    2

  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    E. J. Brouwer (Holanda, 1881 1966), matemtico famoso, conocido ampliamente por su teorema del punto fijo y con significativos aportes a la topologa, que es considerado creador de la corriente matemtica del intuicionismo.

    Es entonces importante estudiar e investigar sobre la intuicin y el rigor en las matemticas, y en particular en la resolucin de problemas de optimizacin, desde la perspectiva de la educacin matemtica, y ese es el propsito fundamental de la presente tesis.

    Para ubicar la relevancia de esta investigacin en el marco de la educacin matemtica a nivel internacional, tomamos como referencia fundamental la conferencia A Theory of Mathematical Growth through Embodiment, Symbolism and Proof impartida por David Tall destacado matemtico contemporneo, profesor emrito de la Universidad de Warwick en el International Colloquium on Mathematical Learning from Early Childhood to Adulthood, organizado por el Centre de Recherche sur lEnseignement des Mathmatiques, en Nivelles (Blgica) en julio de 2005, publicada en el 2006 en la revista Annales de didactique et de sciences cognitives. Este destacado investigador plantea como una pregunta de investigacin para la Didctica de las Matemticas la siguiente cuestin:

    What are the respective roles of intuition and rigor? How could the requirements concerning both aspects be modulated?

    (Tall, 2006, p. 205)

    La cuestin que propone investigar Tall (2006) ha sido uno de los temas debatidos en muchos de los congresos que recientemente se han celebrado en el campo de la educacin matemtica. Para citar un solo ejemplo, est prevista la conferencia plenaria Intuition and rigor in mathematics education, en el Symposium on the occasion of the 100th anniversary of ICMI que se celebrar en Roma en marzo del 2008, que estar a cargo de D. Tirosh y P. Tsamir

    Desde que Fischbein (1994) nos leg su original enfoque hacia los problemas educativos centrado en la compleja nocin de intuicin, la comunidad de investigadores en Didctica de las Matemticas ha considerado este legado como una herramienta til para la interpretacin de fenmenos en educacin, que merece ser desarrollado a la luz de los recientes avances realizados en dicha rea del conocimiento.

    3

  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    1.2 OBJETIVOS Y PREGUNTAS DE LA INVESTIGACIN Esta investigacin se enmarca en la pregunta que propone Tall

    (2006), restringida a un cierto tipo de problemas: los problemas de optimizacin. Investigamos una problemtica compleja en la que intervienen tres aspectos relevantes de las matemticas y de su enseanza y aprendizaje. El primer aspecto tiene que ver con lo que se entiende por intuicin y rigor en matemticas. El segundo tiene que ver con el proceso de resolucin de problemas y el tercero con el inters que histricamente ha tenido la matemtica para estudiar las situaciones en las que hay que optimizar. Dada la importancia de estos tres aspectos, existen numerosos trabajos de investigacin sobre cada uno ellos. En la presente investigacin nos proponemos trabajarlos conjuntamente, y consideramos importante hacerlo enmarcndolos en alguno de los programas de investigacin que ltimamente se estn desarrollando en el rea de la didctica de las matemticas, que permita afrontar la complejidad de los factores asociados a estos aspectos. En tal sentido, optamos por tener como uno de los principales marcos tericos de referencia para esta investigacin el Enfoque Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin Matemtica (en algunas ocasiones referida como EOS) que ha sido desarrollado, entre otros, por Godino, Font y Batanero y las investigaciones realizadas en el marco de dicho enfoque han sido publicadas en prestigiosas revistas de investigacin en didctica de las matemticas de Amrica y de Europa (Font, V., 2007; Font, V. y Contreras, A. 2008; Font y Godino, 2007; Godino, J. D., Font, V., Contreras, A. y Wilhelmi, M.R. ,2006; Godino, Batanero y Font, 2007; Godino, Font y Wilhelmi, 2006).

    Con este marco terico global en el campo de la educacin matemtica, los objetivos fundamentales de la presente memoria son responder las siguientes preguntas de investigacin:

    1) Existe una intuicin optimizadora?; cmo se encaja el trmino intuicin en el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica?; permite este enfoque una visin integrada de las nociones intuicin, rigor, problema y formalizacin?

    2) Cul es el papel de la intuicin y el rigor en la resolucin de problemas de optimizacin en alumnos universitarios?

    3) Cmo estn tratados los problemas de optimizacin en los libros de texto de matemticas de secundaria en el Per?

    4

  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    4) Es posible proponer problemas de optimizacin en la educacin bsica del Per, de manera que se estimule una intuicin optimizadora que permita desarrollar las funciones de conjeturar, anticipar y concluir y que simultneamente preste atencin a educar en la formalizacin y el rigor, como una actitud cientfica que complementa la intuicin?

    La primera es una pregunta de carcter terico; la segunda y tercera son de carcter emprico; y la cuarta es de carcter propositivo, pretendiendo aportar a la mejora de la enseanza de las matemticas en la educacin bsica.

    Respondiendo a estas preguntas, esperamos contribuir en la ampliacin del conocimiento sobre la interrelacin entre la intuicin, el rigor y la resolucin de problemas de optimizacin y presentamos anlisis y propuestas, con fundamento matemtico y didctico, con el propsito de contribuir a mejorar la calidad de la educacin matemtica en general y de manera especial en el Per. Por este motivo, en la respuesta a la cuarta pregunta de investigacin, proponemos lineamientos para la enseanza y aprendizaje de los problemas de optimizacin en la educacin bsica, llegando al nivel concreto de problemas y actividades especficos, con fundamentos matemticos y didcticos, que puedan ser de ayuda para los profesores de este nivel educativo y para todas aquellas personas que tienen responsabilidad en la planificacin y gestin del currculum. 1.3 METODOLOGA

    Para responder a la primera pregunta de investigacin (de carcter terico), la metodologa consiste, bsicamente, en un anlisis de fuentes documentales de tipo epistemolgico, histrico, cognitivo, semitico y didctico, adoptando una posicin propia sobre las diferentes fuentes.

    La investigacin para responder a las preguntas 2 y 3 (de tipo emprico), tiene en cuenta bsicamente la metodologa de investigacin propuesta en el enfoque ontosemitico de la cognicin y la instruccin matemtica. En dicho enfoque (Godino, Batanero y Font, 2006) se clasifican las cuestiones de investigacin didctica segn cuatro ejes o dimensiones, que se designan el foco, el fin, la generalizabilidad y el nivel de la investigacin; cada una con varias categoras.

    5

  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    1) Foco: - Epistmico (significados institucionales); - Cognitivo (significados personales); - Mediacional (recursos temporales y tecnolgicos) - Emocional (afectos, motivacin, emociones) - Interaccional (interaccin entre significados institucionales

    y personales) - Ecolgico (relaciones intra e interdisciplinares y sociales)

    2) Fin: - Descripcin de significados, procesos y factores (Qu es

    ...?; Cmo es, ...?) - Explicacin de los procesos de enseanza y aprendizaje y los

    efectos de los factores intervinientes (Por qu ...?) - Actuacin o implementacin de acciones para el logro de un

    fin (Cmo disear, motivar, ...?) - Valoracin de la idoneidad de un proceso de estudio o alguno

    de sus componentes (En qu medida es adecuado o idneo este recurso ...?)

    3) Generalizabilidad: - Exploratorio (no se pretende generalizar a otros contextos o

    poblaciones) - Inferencial (se pretende generalizar los hechos y relaciones

    observadas) 4) Nivel de anlisis:

    - Puntual (hechos y fenmenos ligados al estudio de una cuestin matemtica especfica en un contexto determinado)

    - Temtico (hechos y fenmenos ligados al estudio de una unidad temtica en un nivel educativo determinado)

    - Global (hechos y fenmenos ligados al estudio de un rea temtica en uno o varios niveles educativos)

    Para responder a la pregunta 2, los sujetos investigados han sido estudiantes universitarios que cursaban segundo o tercer ciclo universitario, siguiendo estudios generales de diversas especialidades de ingeniera, en la Pontificia Universidad Catlica del Per. Se trata,

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  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    por tanto, de un estudio de casos. La informacin de campo se obtuvo en el lugar de trabajo de los sujetos investigados que participaron a peticin de su profesor. Los principales instrumentos de recoleccin de los datos para la segunda pregunta (las producciones escritas de los alumnos) han sido cuestionarios a partir de problemas especficamente diseados. Usamos las herramientas tericas configuraciones epistmicas y configuraciones cognitivas del enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica para examinar las soluciones individuales y grupales de los estudiantes.

    Para responder a la pregunta 3 hacemos un anlisis del significado institucional pretendido en el currculum y en los textos. En este caso el foco es epistmico (significados institucionales); el fin es descriptivo, la generalizabilidad es exploratoria y el nivel es global ya que estudiamos los problemas de optimizacin en varios niveles educativos. Adems del currculum, examinamos ampliamente dos colecciones de libros muy utilizados en la enseanza secundaria del Per.

    Tambin hemos hecho un estudio acerca de las percepciones de los alumnos ingresantes a la universidad sobre sus aprendizajes matemticos en la secundaria, seleccionando cuidadosamente una muestra entre los ingresantes a la Pontificia Universidad Catlica en el 2007. En este estudio empleamos un cuestionario para indagar acerca de las percepciones de los temas de la matemtica en la educacin secundaria, el uso de materiales para los cursos de matemtica, y las actitudes frente a la matemtica que tienen los ingresantes. Para los temas de matemticas presentamos la lista de los contenidos considerados en el currculo del ao 2005 y preguntamos acerca de las percepciones de aprendizaje de los ingresantes usando una escala ad hoc.

    Para la cuarta pregunta, que conlleva la propuesta, el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica nos proporciona los principales instrumentos tericos (configuraciones epistmicas y configuraciones cognitivas). La metodologa para responder a esta pregunta es la puesta en funcionamiento de dichos instrumentos tericos en un escenario de investigacin concreto. Utilizamos el anlisis del Diseo Curricular Nacional de Educacin Bsica Regular del Per, los mismos libros de texto usados para la tercera pregunta, textos de otros pases y problemas de optimizacin especficamente diseados, que hemos experimentado con profesores y alumnos de educacin bsica. Sintetizamos nuestras indagaciones

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  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    realizadas en la docencia universitaria en particular en la maestra en enseanza de las matemticas y como profesor en numerosos talleres y cursos a profesores de matemticas de diversos niveles educativos. Varias de ellas expuestas en foros sobre educacin matemtica y en artculos publicados (Malaspina, 2005 a y b, 2006 a y b, 2007 a y b).

    Para Cohen y Manion (1990, p. 331) puede definirse la triangulacin como: (...) el uso de dos o ms mtodos de recogida de datos en el estudio de algn aspecto del comportamiento humano. En esta investigacin consideramos, de acuerdo con Cerda (2000), que el objetivo de la tcnica de la triangulacin es impedir que se acepte con demasiada facilidad la validez de las impresiones iniciales. De acuerdo con este punto de vista, hemos planteado una triangulacin de expertos.

    Para validar los anlisis hemos planificado un proceso de triangulacin, segn el cual el primer tipo de anlisis, realizado por el doctorando asesorado por el director de tesis, se somete al anlisis de especialistas en la resolucin de problemas y al anlisis de especialistas en el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica y, en general, de expertos en didctica de las matemticas interesados tanto en los aspectos semiticos como en la resolucin de problemas, ya que los anlisis parciales realizados los hemos presentado como comunicaciones en diferentes congresos y en el 2007 ha sido publicado un artculo de investigacin en una revista especializada, indexada, en el rea de Didctica de las Matemticas (Malaspina, 2007a). 1.4 ESTRUCTURA DE LA MEMORIA DE INVESTIGACIN

    En esta seccin describimos la estructura general de la presente memoria de investigacin:

    En el Captulo 1, mostramos la relevancia del problema de investigacin, exponemos los objetivos y las preguntas de la investigacin y explicamos la metodologa usada.

    En el Captulo 2 presentamos el marco terico, haciendo en la primera seccin una revisin histrico-epistemolgica de la optimizacin matemtica. Mostramos algunos hechos histricos, desde siglos antes de nuestra era, que nos revelan por una parte la importancia que han tenido desde la antigedad los problemas de optimizacin y no slo dentro de la matemtica misma y por otra,

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  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    la presencia en la historia de las matemticas, de aspectos intuitivos en el desarrollo de esta disciplina al existir soluciones de problemas importantes de optimizacin, sin la formalidad y el grado de rigor que ahora tienen. La segunda seccin la dedicamos a destacar la importancia de la resolucin de problemas en la matemtica y en la didctica de la matemtica, refirindonos a hechos histricos y a investigaciones recientes sobre este aspecto, entre las que destacan los trabajos de Schoenfeld (2006) y el de Trner, Schoenfeld y Reiss (2007), que nos permiten aclarar lo que entendemos por problema en la presente investigacin. En la tercera seccin explicitamos lo que consideramos un problema de optimizacin en esta investigacin, teniendo en cuenta una perspectiva didctica, con el propsito de dar pautas para iniciar el estudio de los problemas de optimizacin desde los niveles ms bsicos de la educacin; presentamos muy resumidamente una clasificacin de los problemas de optimizacin y damos ejemplos de estos, con comentarios didcticos sobre los diversos niveles y contextos en los que se les puede aplicar. En la cuarta seccin hacemos una sntesis de varios trabajos de investigacin didctica, relacionados con problemas de optimizacin, publicados en revistas especializadas internacionales. Finalmente, siendo el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica (EOS) uno de los principales referentes tericos de esta investigacin, en la ltima seccin, hacemos una sntesis de este enfoque, ensamblando o resumiendo prrafos y figuras tomados de diversos artculos de la amplia literatura desarrollada principalmente por J. D. Godino, C. Batanero, y V. Font.

    En el captulo 3 respondemos las tres partes de la primera pregunta de investigacin, en las secciones 3.5, 3.6 y 3.7. En la primera de stas, referida a la existencia de la intuicin optimizadora, exponemos las razones por las que consideramos que tal intuicin (de tipo primario en la terminologa de Fischbein) es de carcter comprensivo y puede entenderse como proyeccin metafrica, en el marco de la ciencia cognitiva de la matemtica (Lakoff y Nez, 2000; Nez, 2000), segn la cual las estructuras matemticas que construyen las personas tienen su origen en los procesos cognitivos cotidianos. En la seccin 3.6 mostramos una manera de encajar el trmino intuicin en el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica, con una metfora vectorial cuyas componentes son tres procesos del EOS; y en la seccin 3.7 evidenciamos que las configuraciones epistmicas y cognitivas permiten una visin que integra las nociones de intuicin, rigor,

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  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    problema y formalizacin. Las secciones 3.1 a 3.4 estn dedicadas a una revisin de las diferentes maneras de conceptualizar la intuicin en la filosofa de las matemticas, en la psicologa gentica y en la didctica de las matemticas. Referencia particularmente importante la constituyen los trabajos de Fischbein, a los que le dedicamos el apartado 3.3.1., como parte de las consideraciones de la intuicin en la didctica de las matemticas.

    En el captulo 4 respondemos a la segunda pregunta de investigacin. Analizamos cualitativa y cuantitativamente las soluciones de 38 estudiantes de ingeniera a dos problemas de optimizacin. Usamos un protocolo ad hoc y las herramientas tericas "configuracin epistmica" y "configuracin cognitiva", propuestas por el enfoque ontosemitico de la cognicin y la instruccin matemtica. Luego de hacer el planteamiento del estudio de caso en la seccin 4.1., en la seccin 4.2 enunciamos los problemas (uno de variaciones continuas y otro de variaciones discretas), mostramos soluciones expertas de tales problemas y elaboramos sus correspondientes configuraciones epistmicas. La seccin 4.3 est dedicada a los aspectos metodolgicos, y las secciones 4.4 y 4.5 al anlisis de las soluciones individuales y grupales respectivamente, empleando configuraciones cognitivas.

    En el captulo 5, respondiendo a la tercera pregunta de investigacin, hacemos un anlisis del significado institucional pretendido para el objeto problemas de optimizacin. Comenzamos con una mirada al primer nivel de concrecin del currculum que se halla en el Diseo Curricular Nacional de Educacin Bsica Regular (Seccin 5.1), y luego analizamos con detalle dos colecciones de libros de texto para los cinco grados de secundaria que concretan dicho currculum, dedicando en ambos casos una atencin especial a los problemas de optimizacin (Seccin 5.2). En la seccin 5.3 focalizamos la atencin sobre la forma en que son tratados tres temas particularmente vinculados con la obtencin de valores extremos: funciones, introduccin a la programacin lineal y mximo comn divisor/ mnimo comn mltiplo. Hacemos un anlisis epistmico global de los enfoques predominantes de estos temas y comentarios y sugerencias para mejorar su tratamiento.

    En la seccin 5.4 presentamos un estudio realizado con alumnos ingresantes a la Pontificia Universidad Catlica del Per, acerca de las percepciones que ellos tienen sobre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en secundaria. Dicho estudio es un indicador indirecto

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  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    que nos da informacin de la brecha que hay entre la enseanza planificada en los libros de texto (el significado pretendido en la terminologa del EOS) y la enseanza realmente implementada (el significado implementado en la terminologa del EOS).

    En el captulo 6 respondemos afirmativamente a la cuarta pregunta de investigacin, sobre la posibilidad de proponer problemas de optimizacin en la educacin bsica. En la seccin 6.1, usando tanto argumentos matemticos como configuraciones epistmicas y la dualidad ejemplar-tipo del EOS, mostramos que algunos problemas que son caractersticos del nivel universitario, por su resolucin usando clculo diferencial, tambin podran proponerse en la secundaria, en el marco de actividades individuales y grupales de dificultad graduada que estimulen la intuicin y enriquezcan la formacin matemtica. Tambin proponemos y examinamos un problema de optimizacin cuyas potencialidades didcticas y matemticas han sido experimentadas en los niveles bsicos y superior. En la seccin 6.2 damos tres lineamientos para la inclusin de problemas de optimizacin en la educacin bsica, teniendo en cuenta nuestras experiencias en la docencia, los criterios de idoneidad del EOS y algunos principios relacionados con la viabilidad de propuestas de cambio en el significado pretendido, formuladas por otros investigadores. Como parte del primer lineamiento, que es incluir problemas de optimizacin en todos los grados de primaria y secundaria, en el apartado 6.2.1. proponemos problemas para estos niveles, damos caractersticas de un buen problema desde el punto de vista didctico, teniendo en cuenta los criterios de idoneidad del EOS, y mencionamos algunos mtodos generales que pueden servir de orientacin al trabajar con problemas de optimizacin. Como parte del segundo lineamiento, que es modificar los contenidos y la metodologa de algunas unidades didcticas, en el apartado 6.2.2. hacemos algunas propuestas especficas para estudiar el concepto de funcin. Finalmente, en el apartado 6.2.3. exponemos el tercer lineamiento, que es incluir nuevos temas matemticos en los currculos de educacin secundaria, vinculados a problemas de optimizacin.

    En el captulo 7 resumimos las conclusiones y enunciamos algunas implicancias de la presente investigacin.

    Finalmente, damos las referencias bibliogrficas usadas y presentamos los anexos correspondientes a los captulos 4, 5 y 6, que

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  • Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y metodologa

    los hemos denominado con un nmero que indica el captulo, seguido de una letra mayscula, que indica el orden en que se estn presentando los anexos de tal captulo (por ejemplo, Anexo 4A, Anexo 4B, etc.).

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  • CCaappttuulloo 22

    MMAARRCCOO TTEERRIICCOO

    Resumen En este captulo presentamos el marco terico de esta memoria de investigacin. Iniciamos con una reflexin histrico-epistemolgica de la optimizacin matemtica, luego hacemos una breve revisin de la investigacin didctica sobre la resolucin de problemas, una exposicin sobre lo que se entiende por problema de optimizacin en este trabajo y una breve revisin de algunas investigaciones didcticas sobre la resolucin de problemas de optimizacin. Finalmente, presentamos una sntesis del enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica, que lo hemos tomado como uno de los principales referentes tericos de la presente investigacin. 2.1. REVISIN HISTRICO-EPISTEMOLGICA DE LA

    OPTIMIZACIN MATEMTICA. En la presente seccin exponemos algunos hechos histricos que

    nos revelan la importancia que los problemas de optimizacin han tenido desde la antigedad, tanto en la matemtica misma como en otros campos del conocimiento.

    Un primer hecho histrico lo constituyen los trabajos de Apolonio, uno de los griegos destacados de la antigedad, que vivi entre los aos 262 y 190 a.C. Apolonio dedic el Libro V de su obra en ocho tomos sobre Secciones Cnicas, a estudiar segmentos de

  • Captulo 2 Marco terico

    longitud mxima y longitud mnima trazados respecto a una cnica. Segn Boyer (1986) Apolonio sostiene en su introduccin, que el tema es de los que parecen ser dignos de ser estudiados por su propio inters (p. 203). Kline (1990), nos dice: Apolonio demuestra que si O es cualquier punto en el interior de una cnica y si OP es el segmento de recta de longitud mxima o mnima desde el punto O a la cnica, entonces la recta perpendicular a OP en P es tangente a la cnica en P; y si O es cualquier punto sobre OP producido fuera de la cnica, entonces OP es el segmento de longitud mnima de O a la cnica. Ahora se enuncia esta propiedad como la perpendicularidad entre la tangente y la normal. (p. 97). Este problema podemos verlo ahora en un marco ms general, como parte del estudio de las condiciones de transversalidad en problemas de clculo de variaciones, que es una teora creada por Euler en el siglo XVIII, en la cual se optimiza una funcional y el objeto optimizante es una funcin.

    Es pertinente recoger la afirmacin de Boyer (1986) sobre el trabajo de Apolonio:

    Al mismo tiempo que uno no puede por menos de admirar al autor por su elevada actitud intelectual, parece procedente hacer notar que lo que en su da fue simplemente una bella teora, sin ninguna posibilidad en absoluto de ser aplicada a la ciencia o la tecnologa de la poca, ha llegado a ser un instrumento terico fundamental en campos tales como la dinmica terrestre o la mecnica celeste. Los teoremas de Apolonio sobre mximos y mnimos son en realidad teoremas sobre tangentes y normales a las secciones cnicas. [] Resulta pues meridianamente claro, dicho en otras palabras, que fue la matemtica pura de Apolonio la que hizo posible la aparicin , unos 1800 aos ms tarde, de los Principia de Newton (p. 203)

    El siguiente es otro prrafo del libro citado de Boyer, que nos refiere un hecho histrico de la antigedad vinculado con problemas de optimizacin y nos recuerda uno de los principios filosficos de Aristteles, que atribuye a la naturaleza un comportamiento optimizador:

    Hern parece haber sido el primero que demostr por medio de un sencillo razonamiento geomtrico, en una obra sobre Catptrica o estudio de la reflexin, que la igualdad de los ngulos de incidencia y de reflexin es una simple

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  • Captulo 2 Marco terico

    consecuencia del principio filosfico de Aristteles de que la naturaleza procede siempre de la manera ms sencilla o econmica. Es decir, si un haz de rayos luminosos parte de un foco S, se refleja en un espejo MM y se dirige despus hacia el ojo E de un observador, entonces la luz deber recorrer el camino ms corto posible SPE, que es exactamente aquel en que los ngulos SPM y EPM sean iguales (Boyer, 1986, p. 229)

    Otro hecho histrico interesante que nos hace ver cmo estaban presentes las ideas de mximo en una perspectiva correcta, aunque no necesariamente rigurosa y formal, es la obra de Pappus de Alejandra, que escribi un libro hacia el ao 320 con el ttulo de Coleccin matemtica:

    Pappus parece haber seguido de cerca una obra Sobre figuras isomtricas escrita casi medio milenio antes por Zenodoro (ca. 180 a.C), de la que nos han llegado algunos fragmentos a travs de los comentaristas posteriores. Entre las proposiciones que aparecan en el tratado de Zenodoro, haba una que afirmaba que de todas las figuras slidas con la misma superficie, la esfera es la que tiene un volumen mximo, pero evidentemente slo se daba una justificacin incompleta (ibid, p.242)

    En lo que se refiere a problemas propuestos de optimizacin, recogemos la informacin que nos proporciona Heinrich Dorrie (1965), acerca del primer problema sobre extremos, encontrado en la historia de las matemticas:

    At what point of the Earth's surface does a vertically suspended rod appear longest? (i.e. at what point is the visual angle at a maximum?). This problem was posed in 1471 by the mathematician Johannes Muller, called Regiomontanus.... The problem, which in itself is not difficult, nevertheless deserves special attention as the first extreme problem encountered in the history of mathematics since the days of antiquity. (p. 369)

    Los problemas isoperimtricos tienen un lugar importante en la historia de las matemticas y en particular de los problemas de optimizacin. Cabe hacer mencin a la leyenda segn la cual la princesa Dido personaje mtico de Fenicia, considerada fundadora de Cartago cuando lleg en el siglo IX antes de Cristo a lo que actualmente es Tnez,

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  • Captulo 2 Marco terico

    y quiso comprar tierras para establecerse con su pueblo, slo se le permiti hacerlo en una extensin tal que pudiera ser encerrada por una inmensa cuerda. Es claro que la princesa y los fenicios que la acompaaban, tuvieron que resolver un problema isoperimtrico: determinar la regin de mayor rea posible, encerrada por la cuerda (el permetro dado). La solucin intuitiva es una regin circular, cuya circunferencia es de longitud igual a la de la cuerda; sin embargo la solucin formal no es simple y fue escrita despus de varios siglos. El destacado matemtico germano-suizo Jacob Steiner (1796-1863) resolvi el problema asumiendo la existencia de la solucin y considerando tres etapas en su demostracin1:

    i) La curva debe encerrar una regin convexa. ii) Cualquier recta que divida por la mitad el permetro

    de la regin, tambin divide a la regin en dos partes que tienen la misma rea.

    iii) La semicircunferencia de longitud P/2 cuyos extremos estn sobre una recta dada, es la curva que encierra una regin de rea mxima, considerando todas las curvas de permetro P/2 que encierran regiones convexas a un lado de la recta y con extremos en ella.

    El clculo diferencial, con los significativos aportes de Newton

    y Leibinitz en el siglo XVII, trata de manera sistemtica los problemas de mximos y mnimos de funciones continuas de una y de varias variables. Es justo recordar las contribuciones con ideas relevantes (intuitivas?) a lo largo de la historia, de personajes como Eudoxo y Arqumedes (antes de Cristo), y de Cavalieri, Kepler, Torricelli y Fermat para la creacin del anlisis infinitesimal. Destacamos de manera especial los aportes de Fermat (1601- 1665) por sus mtodos ingeniosos para resolver problemas de mximos y mnimos, expuestos en su memoria Methodus ad disquirendam maximam et minimam (Mtodo para investigar mximos y mnimos). En el ao 1637 publica su mtodo basado en las siguientes reglas:

    1 Una exposicin detallada de la demostracin puede verse en Honsberger, R (1977, pp. 67 70)

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  • Captulo 2 Marco terico

    I. Sea A un trmino relacionado con el problema.

    II. La cantidad mxima o mnima est expresada en trminos que contienen slo potencias de A;

    III. Se sustituye A por A+E , y el mximo o mnimo queda entonces expresado en trminos de potencias de A y E;

    IV. Las dos expresiones del mximo o mnimo se hacen , lo que significa algo as como >;

    V. Los trminos comunes se eliminan; VI. Se dividen todos los trminos por una misma potencia

    de E de manera que al menos uno de los trminos resultantes no contenga a E;

    VII. Se ignoran los trminos que an contienen E; VIII. Los restos se hacen iguales.

    (Andersen, 1984, p. 38)2

    Los aportes de Lagrange y de Euler, destacados cientficos del siglo XVIII, permitieron tratar los problemas de optimizacin con varias variables y restricciones de igualdad e incursionar en problemas de optimizacin en los cuales el elemento optimizante no es ni un nmero real ni un vector n dimensional, sino una funcin. Nos estamos refiriendo al clculo de variaciones y a la solucin rigurosa de problemas como el famoso e histrico problema de la braquistcrona, segn el cual, se debe hallar la curva plana a lo largo de la cual una partcula se deslizar nicamente por influencia de la gravedad y sin rozamiento, en un tiempo mnimo, de un punto P a otro Q, considerando estos puntos en un plano vertical, Q ms abajo que P pero no ambos en una recta vertical. Ciertamente, hallar tal curva, es hallar la funcin que la define y hubo soluciones muy ingeniosas, con criterios especficos para este problema, como respuesta al reto planteado por quien lo propuso Johann Bernoulli en 1696 a los matemticos de esa poca; entre ellas, la solucin del mismo Johann Bernoulli, la de Leibinitz, la de Jacques Bernoulli (hermano de Johann) y la famosa de Newton. El clculo de variaciones es una teora que permite resolver rigurosamente ste y muchos otros problemas de optimizacin, en los

    2 Tambin se puede encontrar una exposicin detallada de tales mtodos en De la Torre, Suescn y Alarcn, (2005).

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  • Captulo 2 Marco terico

    que el elemento optimizante es una funcin, constituyendo un valioso aporte para otras ciencias.

    Los principios de variacin de Euler en fsica, redescubiertos y difundidos por el matemtico irlands W.R. Hamilton (1805 1865), han demostrado ser una de las herramientas ms poderosas en mecnica, ptica y electrodinmica, con muchas aplicaciones a la ingeniera. Los avances recientes en fsica relatividad y teora cuntica estn llenos de ejemplos que revelan el poder del clculo de variaciones. (Courant y Robins, 2002, p. 421-422)

    Se tienen as modelos de optimizacin dinmica, que en el siglo XX son utilizados en modelos de la teora econmica. Ms an, con los aportes de Pontryagin, Hestenes, y otros distinguidos matemticos, se consolida en el siglo XX la teora del control ptimo, que puede verse como un planteamiento ms general que el del clculo de variaciones, pues introduce una variable adicional a estos problemas (la variable de control) y considera entre las restricciones una ecuacin diferencial que vincula la variable de estado con la de control. Los aportes de Bellman llevan a la formulacin de la programacin dinmica que incluye los problemas de control ptimo en una familia de problemas de control y presta especial atencin al valor ptimo de la funcional, a diferencia del clculo de variaciones y el control ptimo, que focalizan su atencin en las trayectorias ptimas de las variables de estado y de control. Con este enfoque, se tratan rigurosamente problemas de optimizacin dinmica, de variacin continua y de variacin discreta.

    Otro gran captulo de los problemas de optimizacin est en la programacin lineal, desarrollada a partir de la cuarta dcada del siglo XX. La expresin programacin lineal ya est generalizada, aunque ms convendra usar la expresin optimizacin lineal, para evitar confusiones con la acepcin de programacin muy vinculada ahora a la informtica. Los mtodos desarrollados permiten tratar geomtrica y computacionalmente problemas de asignacin ptima de recursos, y en los ms diversos campos, como la economa, las finanzas, el transporte y los juegos competitivos. En estos problemas, la funcin cuyo valor ptimo se busca y las funciones que definen las restricciones de las variables, son todas lineales. En muy corto tiempo la programacin lineal ha sido aplicada en diversos

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  • Captulo 2 Marco terico

    campos y al mismo tiempo ha desarrollado y perfeccionado mtodos de solucin de problemas. Cabe mencionar que ya en 1826, Fourier descubri un mtodo para manipular desigualdades lineales, que est muy relacionado con la solucin de problemas de programacin lineal, como se expone en Williams (1986). A continuacin transcribimos un prrafo del artculo, que da idea de la estrecha interrelacin, a pesar de la gran diferencia en el tiempo.

    The theoretical insight given by this method is demonstrated as well as its clear geometrical interpretation. By considering the dual of a linear programming model it is shown how the method gives rise to a dual method. This dual method generates all extreme solutions (including the optimal solution) to a linear programme. Therefore if a polytope is defined in terms of its facets the dual of Fourier's method provides a method of obtaining all vertices (p. 681)

    Las valiosas contribuciones de George Dantzig, L.V. Kantorovich y T.C. Koopmans3 al desarrollo de la programacin lineal, pronto devinieron tambin en la programacin no lineal. Son histricos los trabajos de Kuhn y Tucker (1950) estableciendo condiciones necesarias y suficientes para la existencia de soluciones ptimas de problemas de programacin no lineal. Se encontraron relaciones importantes entre la dualidad en la programacin lineal, la teora de juegos de Von Neumann y las condiciones de Kuhn-Tucker. Estas condiciones, que consideran funciones diferenciables de n variables no negativas y m restricciones dadas por desigualdades, pueden aplicarse tambin a los problemas de programacin lineal y hacer evidentes las relaciones entre los resultados de los teoremas de dualidad y anlisis de sensibilidad con los multiplicadores de Lagrange. En Malaspina 2004, pp. 243-250, se exponen detalles ilustrativos y con aplicaciones en la teora econmica. Un anlisis histrico y matemtico sobre los orgenes y la evolucin de la programacin lineal y la no lineal hace Hoff Kjeldsen en su tesis doctoral (1999).

    3 Koopmans y Kantorovich recibieron el Premio Nobel en Economa en 1975 por sus contribuciones a la teora de la asignacin ptima de recursos.

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  • Captulo 2 Marco terico

    La riqueza terica en el tratamiento de los problemas de programacin no lineal y las mltiples aplicaciones en diversos campos de la ciencia y la tecnologa aceleraron tremendamente el desarrollo de la optimizacin en general y en la actualidad es un campo muy amplio de las matemticas y con numerosas publicaciones de alto nivel matemtico sobre temas como monotona generalizada, convexidad generalizada, problemas de equilibrio incluyendo optimizacin multiobjetivo y teora de juegos desigualdades variacionales, puntos fijos, Lagrangianos aumentados, tcnicas de regularizaciones, optimizacin discreta, optimizacin estocstica, etc.

    2.2. RESOLUCIN DE PROBLEMAS

    Es natural que los investigadores en educacin matemtica en diversos lugares del mundo hayan dedicado y sigan dedicando mucho tiempo a investigar sobre la resolucin de problemas en la enseanza y en el aprendizaje de las matemticas, pues la resolucin de problemas es esencial en el desarrollo de las matemticas. La inicial y principal fuente de problemas es la realidad, que permanentemente plantea desafos al hombre y ste responde con su inteligencia, su capacidad de abstraccin y su intuicin. Courant y Robins en su famoso libro Qu son las matemticas? , nos dicen

    Sin duda, todos los avances matemticos tienen sus races psicolgicas en requerimientos ms o menos prcticos; pero una vez que algn avance ha comenzado bajo la presin de aplicaciones necesarias, inevitablemente gana impulso por s mismo y trasciende los confines de la utilidad inmediata. (Courant y Robins, 2002, p. 17)

    El trascender los confines de la utilidad inmediata es plantearse y resolver nuevos problemas, ya dentro de un modelo, que se desarrolla o se modifica en interaccin con la realidad o con otros modelos originados en otros enfoques de la realidad. As surgen nuevos problemas y formas de resolverlos y en esta interaccin permanente se va desarrollando la matemtica. Es pertinente recordar lo que al respecto nos dice Dieudonne:

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  • Captulo 2 Marco terico

    La historia de las matemticas muestra que los avances matemticos casi siempre se originan en un esfuerzo por resolver un problema especfico. (citado en Kleiner, 1986, p. 31)

    A manera de ilustracin podemos citar algunos problemas famosos en la historia de las matemticas y algunos hechos vinculados con ellos. Papiro de Rhind: Este papiro fue encontrado a mediados del siglo XIX y lleva el nombre de su descubridor A. H. Rhind. Consta de 110 problemas matemticos que tienen que ver con la vida diaria; y el copista, tal y como aparece en el propio papiro, parece llamarse Ahmose. Est escrito en torno al 1900 a.C. (Foto de Oronoz. Revista MUY ESPECIAL, n33 ene/feb 98) Fuente: http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Egipto/papiros.htm Los 3 famosos problemas griegos: La duplicacin del cubo, la triseccin del ngulo y la cuadratura del crculo, que datan aproximadamente del siglo V antes de Cristo, que estimul la actividad matemtica entre matemticos griegos y cuyos tratamientos rigurosos demostrando la imposibilidad de resolverlos tienen valiosas vinculaciones con el lgebra moderna. Hallar la tangente a una curva y el rea de una regin limitada por una curva. Problemas que en el siglo XVII dieron lugar al clculo diferencial e integral El problema de la braquistcrona, al que ya nos hemos referido antes, planteado por Johann Bernoulli en 1696, que dio origen al clculo de variaciones. El problema de Fermat, conocido en el siglo XVII y resuelto despus de muchos intentos y avances tericos, a finales del siglo XX , por A. Wiles.

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  • Captulo 2 Marco terico

    Los 23 problemas de Hilbert, planteados en 1900 en el Congreso Internacional de Matemticas en Pars, que estimularon grandemente el desarrollo de la matemtica en el siglo XX.

    Hechos como estos y muchos otros en la historia de las matemticas y de la humanidad nos hacen afirmar que la matemtica es una construccin social dinmica; un conjunto estructurado de conocimientos no acabado, ms bien en permanente extensin, no slo con nuevos resultados sino con nuevos mtodos.

    Siendo evidente la importancia de los problemas y de su solucin en el desarrollo de las matemticas, es natural que tambin ocupe un lugar importante en el campo de la educacin matemtica. Destacados matemticos e investigadores en educacin matemtica entre los cuales George Polya es un pionero, por su famosa obra How to solve it, de 1945 han hecho numerosas e importantes publicaciones, sobre todo a partir de 1980 con exhortaciones a dar nfasis especial a la resolucin de problemas en la enseanza de las matemticas. La primera recomendacin del Consejo Nacional de Profesores de Matemticas de Estados Unidos de Norteamrica, en 1980, en su Agenda for action fue: El Consejo Nacional de Profesores de Matemticas

    recomienda que la solucin de problemas sea el principal objetivo de la enseanza de las matemticas en las escuelas en los ochenta (NCTM, 1980, p. 2)

    Y recientes publicaciones confirman la importancia que sigue teniendo en los diversos sistemas educativos a nivel mundial: Mathematical problem solving is a focus of school mathematics internationally (Yeap et al., 2006, p. 213). Sin embargo, el gran consenso sobre la importancia de la resolucin de problemas, no conlleva un consenso sobre lo que significa problema y resolucin de problemas. Recientemente se ha publicado un amplio trabajo Problem solving around the world: summing up the state of the art editado por Trner, Schoenfeld y Reiss (2007) con la colaboracin de distinguidos investigadores de ms de diez pases, en el que esto se hace evidente: The very term problem solving has very different

    meanings in different countries. Indeed, as the essays in this volume demonstrate, the meaning of the term has often changed dramatically in the same country. For some time, problem solving has been a major theme in research and

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  • Captulo 2 Marco terico

    in curricula around the worldsometimes labeled as such, sometimes with an emphasis on applications, sometimes through different pedagogies that emphasize making sense, individually or collectively, of mathematical situations. As a result, it has been difficult to develop a sense what problem solving means around the worlda sense of what is being studied and what is being implemented in classrooms. (ibid, p. 353)

    Ya Schoenfeld (1992, p. 334) haca notar que se tenan diversos significados de solucin de problemas, variando desde trabajo memorstico de ejercicios hasta hacer matemticas como un profesional, incluyendo objetivos tan diversos para la solucin de problemas, como

    formar estudiantes para pensar creativamente preparar estudiantes para las competencias sobre problemas aprender tcnicas estandarizadas en determinados dominios proveer de un nuevo enfoque a las matemticas remediales (habilidades bsicas)

    En la presente investigacin, trabajaremos con un criterio muy amplio de lo que es problema, y en consecuencia de lo que es solucin de problemas. Seguiremos la lnea de Schoenfeld (2006) en su artculo Problem solving from cradle to grave, que lo considera un manifiesto terico en el cual hace una revisin crtica de sus artculos anteriores acerca de estos temas, en particular sobre el libro Mathematical problem solving que escribi en 1985. As,

    un problema para un individuo en cualquier punto del tiempo es algo que el individuo quiere lograr. Puesto de otra manera, resolver problemas se interpretar como trabajar hacia el logro de un objetivo personal de alta prioridad. (Schoenfeld, 2006, p. 44. Traduccin propia)

    En nuestra perspectiva, consideramos que, en trminos generales, ese trabajo hacia el logro de un objetivo personal de alta prioridad se realiza analizando la informacin que se tiene, estableciendo relaciones lgicas y buscando el mejor camino (la solucin ptima), segn las circunstancias especficas. En esta bsqueda de lo ptimo y en la certeza implcita de haberlo conseguido est presente lo que denominamos intuicin optimizadora y que desarrollaremos en el siguiente captulo.

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  • Captulo 2 Marco terico

    Ciertamente, podra no seguirse el mejor camino como consecuencia de las distorsiones que producen los mtodos rutinarios de resolver problemas, y esto puede percibirse ms ntidamente al resolver problemas matemticos, incluyendo los ejercicios de clculo aritmtico. As, al tener que obtener el producto de 52 por 98 el camino natural puede ser efectuar la multiplicacin estndar, desarrollando el algoritmo, sin seguir un camino mejor, que sera multiplicar 52 por 100 y luego restar 104. Puede considerarse mejor porque es ms rpido, no necesita lpiz y papel, y porque, en palabras de Artigue (2006) es una pequea muestra de la belleza de este mundo del clculo, de los tesoros de inteligencia que las prcticas de clculo contienen (p. 7).

    Estimular el desarrollo de la intuicin optimizadora, en la resolucin de problemas matemticos contribuira a que se encuentre un equilibrio en la enseanza y el aprendizaje del clculo entre la automatizacin y la razn, como lo reclama Artigue en el citado artculo; y a que, en general, se siga buscando otras soluciones, cada vez mejores, ante un problema planteado, de modo que la tarea de resolverlo no concluya con encontrar una respuesta correcta, sino que se pase a actividades de matematizacin, entre las que se consideran la generalizacin; el establecimiento de conexiones con otros campos de la matemtica, con otros campos del conocimiento o con la realidad; y el planteamiento de nuevos problemas a partir del problema resuelto.4

    2.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN

    Referirse a problemas de optimizacin en general, es referirse a un mbito muy amplio de las matemticas, y que est avanzando cada vez ms. En diversos campos de las ciencias naturales y sociales se encuentran, se formulan y se resuelven problemas de optimizacin. Los problemas de programacin lineal quizs son los ms conocidos o difundidos, pero existen problemas de programacin no lineal, de programacin dinmica, de optimizacin discreta, de optimizacin combinatoria, optimizacin cncava, optimizacin estocstica, etc.

    4 Estas ideas estn relacionadas con las de matematizar , en Freudenthal (1991)

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  • Captulo 2 Marco terico

    En la presente seccin explicitamos lo que consideramos un problema de optimizacin en esta investigacin, teniendo en cuenta una perspectiva didctica, con el propsito de dar pautas para iniciar el estudio de los problemas de optimizacin desde los niveles ms bsicos de la educacin. Damos una clasificacin y algunos ejemplos con comentarios. Llamaremos problema de optimizacin a todo problema en el cual el objetivo fundamental es obtener un valor mximo o un valor mnimo de alguna variable.

    Observaciones: 1. Esta perspectiva es consistente con la definicin intuitiva que se

    expone en Pinto Carvalho et al (2003): Intuitively, optimization refers to the class of problems that consists in choosing the best among a set of alternatives. Even in this simple, imprecise statement, one can identify the two fundamental elements of an optimization problem: best, that conveys a choice of criterium used to choose the solution; this is usually expressed by means of a function, that should be minimized or maximized; alternatives, that refers to the set of possible solutions that must be satisfied by any candidate solution (p. 17)

    2. En el enunciado de un problema de optimizacin generalmente se usan palabras o expresiones como mximo, mnimo, el ms (o la ms, lo ms), el menos (o la menos, lo menos), el mejor (o la mejor, lo mejor), el peor (o la peor, lo peor), a lo ms, por lo menos, el mayor (o la mayor), el menor (o la menor).

    3. Al referirnos a valores mximos o mnimos de una variable, debemos precisar que se requiere un conjunto C en el cual se consideren los valores de la variable.

    En trminos formales, un primer nivel de problema de optimizacin es la obtencin de un elemento mximo o de un elemento mnimo en un conjunto C en el que se ha definido una relacin de preorden completo; es decir una relacin binaria, que la representamos por , reflexiva y transitiva, que puede establecerse entre cualquier par de elementos de C. Entonces, el problema de optimizacin es:

    25

  • Captulo 2 Marco terico

    Dado el par ordenado (C; ), donde C es un conjunto en el que se ha definido la relacin de preorden completo representada por , determinar cm C tal que c C, cm c (cm el elemento mnimo); o: Dado el par ordenado (C; ), donde C es un conjunto en el que se ha definido la relacin de preorden completo representada por , determinar cM C tal que c C, c cM (cM el elemento mximo).

    Generalmente, tal conjunto es un subconjunto de los nmeros reales y la relacin de preorden es la relacin de orden cannico. As, y* es un valor mximo de la variable y, en el conjunto C, si y* es mayor o igual que y para todo y que pertenece al conjunto C. Si en lugar de mayor o igual se cumple menor o igual, entonces y* es un valor mnimo de y.

    4. Las condiciones del problema permiten establecer el conjunto C en el cual se debe buscar el valor mximo o mnimo de la variable. En muchos casos esta variable es la variable dependiente de una funcin explcita f (la funcin objetivo del problema), digamos y = f (x), cuyo dominio incluye un conjunto factible F que es un subconjunto del dominio de la funcin f y queda determinado por las restricciones que se deducen de la informacin dada en el problema. Ciertamente, el problema queda resuelto si se determina x* en F tal que y* = f(x*) es mximo o mnimo, segn sea el caso. En el grfico se ilustra un caso posible. F puede considerarse un subconjunto del plano (IR2). En tal caso, x es una variable de dos componentes: x = (x1 , x2).

    IRfF

    C

    . y = f(x) . x= (x1 , x2)

    26

  • Captulo 2 Marco terico

    5. Puede ocurrir que sea imposible que se alcance un valor mximo o mnimo en el conjunto C. En tales casos, el problema queda resuelto al demostrar que el valor pedido no existe.

    6. Tambin puede ocurrir que en F haya ms de un elemento maximizante o minimizante; aun casos de infinitos puntos optimizantes.

    7. Otra aclaracin importante es que segn como se considere el subconjunto de F en el cual se analiza el carcter optimizante de un elemento de F, se puede tener un ptimo relativo (en un subconjunto propio de F) o un ptimo absoluto (en todo F).

    2.3.1. Clasificacin de los problemas de optimizacin. Hay varias maneras de clasificar los problemas de optimizacin,

    teniendo en cuenta las caractersticas de la funcin objetivo y las del conjunto factible. Para los fines de esta investigacin, tomaremos como criterio de tipificacin de un problema de optimizacin la naturaleza del conjunto factible, y como referencia el libro de Pinto Carvalho et al (2003). As, desde este punto de vista, hay cuatro clases de problemas de optimizacin: continua, discreta, combinatoria y variacional, que pasamos a describirlos brevemente:

    Problema de optimizacin continua: cuando su conjunto factible es un subconjunto continuo de Rn; es decir, cuando todos los elementos del conjunto factible son puntos de acumulacin. Problema de optimizacin discreta: cuando su conjunto factible es un conjunto discreto; es decir, cuando el conjunto factible no tiene puntos de acumulacin.

    Lo ms frecuente es que tal conjunto discreto sea un subconjunto de Z o de Zn . Problema de optimizacin combinatoria: cuando su conjunto factible es finito.

    Cabe aclarar que en estos problemas los elementos del conjunto factible no estn explcitamente determinados, sino indirectamente especificados mediante relaciones combinatorias. Un problema conocido de este tipo es el del agente viajero, que desea encontrar el camino de mnima longitud que comience en un determinado pueblo, recorra los n pueblos que debe visitar y regrese al pueblo de partida. El estudio de este tipo de problemas

    27

  • Captulo 2 Marco terico

    y de mtodos eficientes de solucin est muy relacionado con los avances en computacin. Problema de optimizacin variacional: cuando su conjunto factible es un subconjunto de dimensin infinita de un espacio de funciones. El problema de la braquistcrona, los del clculo de variaciones y los de la teora de control ptimo son ejemplos de problemas de optimizacin variacional. Un ejemplo sencillo de formular y examinar es la determinacin del camino ms corto sobre una determinada superficie, que una dos puntos dados de tal superficie.

    Otros criterios de clasificacin de los problemas de optimizacin son: Teniendo en cuenta el tipo de restricciones en las variables

    Con restricciones dadas por igualdades Con restricciones dadas por desigualdades

    Teniendo en cuenta las propiedades de la funcin objetivo y de las que definen las restricciones

    lineales no lineales convexas, etc.

    Para trabajar con problemas de optimizacin en la primaria y la secundaria, y teniendo en cuenta los recursos matemticos a usarse en la solucin, podemos considerar

    problemas aritmticos problemas algebraicos problemas geomtricos problemas de geometra analtica problemas de anlisis matemtico problemas mixtos.

    Tambin consideraremos problemas de carcter ldico, que pueden estar en cualquiera de los casos anotados. Los problemas de programacin lineal, podemos considerarlos como problemas de geometra analtica, ya que es en ese marco en el que se tratan en la secundaria.

    28

  • Captulo 2 Marco terico

    2.3.2. Ejemplos y comentarios

    PPrroobblleemmaa 11

    Encontrar dos nmeros cuya suma sea 15 y cuyo producto sea mximo.

    Tal como est planteado, sin restricciones explcitas para los nmeros, es un problema de optimizacin continua; sin embargo, si se plantea en primaria o cuando slo se conocen los nmeros enteros, es un problema de optimizacin discreta.

    Formalizacin Presentado formalmente, este problema es el de maximizar la funcin f(x1 , x2) = x1 x2, sabiendo que x1 + x2 = 15. As, la funcin objetivo est claramente identificada y la variable x tiene dos componentes. Segn el nivel en el que se use el problema, o los objetivos que se busquen, x1 y x2 pueden variar en los nmeros enteros, en los nmeros racionales o en los nmeros reales. En el caso ms amplio, f est definida en el conjunto Rx R ( el plano R 2) , el conjunto factible F es el conjunto de puntos (x1 , x2) del plano, que cumple la ecuacin x1 + x2 = 15 (una recta) y el conjunto C es todo el conjunto R.

    Distintos niveles Segn el nivel en el que se explote didcticamente este problema, puede ser aritmtico, algebraico o de geometra analtica. Como problema aritmtico se usan las operaciones de adicin y multiplicacin y el ensayo y error; como problema algebraico se usan ecuaciones y un sistema de ecuaciones con dos variables que no es lineal; y como problema de geometra analtica, se usan las grficas de una recta y de una familia de hiprbolas equilteras. En el marco ms amplio de la optimizacin matemtica, es un problema de programacin no lineal.

    Contextos Geomtrico o mixto

    Podemos tener un problema de optimizacin continua, geomtrico o mixto:

    Determinar las dimensiones de un rectngulo cuyo permetro sea 30 cm y cuya rea sea mxima.

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  • Captulo 2 Marco terico

    Ciertamente, las ecuaciones que hay que usar para resolver este problema, son las mismas que las del Problema 1.

    Ldico Si para la solucin de este problema se propone el uso de una cuerda que anudada por sus extremos tenga longitud 30 cm, el problema adquiere un carcter ldico, se puede percibir las diversas posibilidades con variaciones continuas de las variables (ancho y largo del rectngulo) jugando con cuatro dedos en la cuerda, y puede encontrarse una solucin intuitiva. Microeconmico Si se tienen conocimientos de microeconoma, este problema puede plantearse como sigue:

    Considerando slo dos tipos de bienes de un consumidor, determinar las cantidades de estos que maximizan su funcin de utilidad. Los precios unitarios de los bienes son de una unidad monetaria cada uno, el consumidor debe gastar 15 unidades monetarias, y su funcin de utilidad est dada por el producto de las cantidades de bienes.

    Usualmente, problemas de este tipo son examinados por mtodos grficos, como puede verse en los libros de nivel introductorio e intermedio de microeconoma. PPrroobblleemmaa 22

    Se tiene dos lminas rectangulares: una de 9 cm de largo por 7 cm de ancho y otra de 6 cm de largo por 2 cm de ancho. Moviendo libremente las lminas en el plano y juntndolas de modo que uno de los lados de una lmina est completamente unido a uno de los lados de la otra lmina, se forman nuevas figuras planas. Dibuja una de esas figuras: la que t consideras que tiene el mayor permetro. Escribe cul es ese permetro y explica por qu consideras que es el mayor.

    2 cm

    6 cm

    9 cm

    7 cm

    30

  • Captulo 2 Marco terico

    Es un problema geomtrico, de optimizacin discreta, pues el conjunto C en el que debe buscarse el valor mximo, es un conjunto finito. Usando material didctico manipulable, es un problema con caractersticas ldicas.

    Formalizacin El conjunto F est formado por las infinitas figuras planas que resultan de juntar las dos lminas, segn lo indicado en el problema. A cada figura corresponde un permetro y as queda definida la funcin objetivo, con valores numricos. Esta definicin no necesariamente es algebraica. Lo importante es que a cada figura formada juntando las lminas, le corresponde un nmero, que es su permetro. Al resolver el problema se van a encontrar situaciones equivalentes, que formalmente determinan dos clases de equivalencia en el conjunto F, en las que se cumple la relacin tener el mismo permetro que.

    Distintos niveles Tal como est planteado, es un problema que se puede usar en clases de primaria. Basta conocer el concepto de permetro de una figura plana y efectuar operaciones aritmticas. Si al problema se le hace la ligera modificacin de permitir que al unir las lminas por sus lados, la parte comn no necesariamente sea de la longitud de uno de los lados, ya tenemos un problema de optimizacin continua. El conjunto C ya no es finito, aunque es acotado superior e inferiormente. Ciertamente este nuevo problema requiere el conocimiento de los nmeros reales. Puede usarse en clases de secundaria. Si ya se conocen funciones, se puede expresar algebraicamente la funcin objetivo:

    f(x) = 48 2x , donde x es la longitud de la parte comn al unir las lminas. 48 es la suma de los permetros de ambas lminas.

    Si a la modificacin explicada en el prrafo anterior se le aade que la parte comn al unir las lminas no puede reducirse a un solo punto, el problema brinda la oportunidad de relacionar conceptos de intervalos semiabiertos, funciones lineales afines, el mximo de funciones lineales afines, etc. y de trabajar con un problema de optimizacin que

    31

  • Captulo 2 Marco terico

    queda resuelto cuando se justifica que no es posible encontrar un valor mximo. Est en juego el concepto de supremo.

    2.4. INVESTIGACIONES DIDCTICAS SOBRE PROBLEMAS

    DE OPTIMIZACIN A continuacin presentamos una relacin de investigaciones

    didcticas relacionadas con problemas de optimizacin, publicadas como libros o como artculos en revistas especializadas, que muestra que este campo ha despertado inters de investigadores en didctica de la matemtica por estudiarlo y hacer propuestas, en diversos lugares y pocas. Ciertamente la lista no es exhaustiva, pero podemos afirmar que en trminos relativos, son pocas las investigaciones en este campo. Cabe mencionar que no hemos encontrado investigacin alguna con el enfoque presentado en esta memoria; es decir, usando una perspectiva holstica como el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica, para hacer un estudio integrado de la resolucin de problemas de optimizacin con la intuicin y el rigor. Tampoco hemos encontrado investigaciones ni propuestas de problemas de optimizacin para el nivel primario.

    A continuacin, la relacin numerada, en orden cronolgico, de una parte de los artculos encontrados, relacionados con problemas de optimizacin.

    1. Guenther, K. (1977) Welche Optimierungsprobleme sind fuer die Hauptschule geeignet. Alternativvorschlaege zum Sachrechnen bzw. linearen Optimieren. Proceedings. Beitraege zum Mathematikunterricht. (pp. 102-105). Hannover, Germany, F.R.: Schroedel. (Alemania)

    2. Geister, D. (1978) Optimierungsaufgaben in der Sekundarstufe I. 12th Federal meeting for didactics of mathematics. Papers. 12. p. 81. Hannover, Germany, F.R.: Schroedel. (Alemania)

    3. Wurz, L. (1982). Kennst du deinen kuerzesten Schulweg. Ein Optimierungsproblem fuer die Mathematik der oberen Hauptschulstufe. Schule. v. 50(10) (pp. 646-651) . (Revista, Alemania)

    4. Schupp, H. (1991) Optimieren als Leitlinie im Mathematikunterricht Mathematik in der Schule, v. 29(2/3) pp. 148-162 (Revista, Alemania)

    32

  • Captulo 2 Marco terico

    5. Villers, C. (1997) Optimisation des les premieres annees du secondaire. Mathematique et Pedagogie. (no.112) pp. 31-43. (Revista de publicacin bimestral, Blgica)

    6. Humenberger, H. (1998). Optimieren im Mathematikunterricht. Praxis der Mathematik. v. 40(3) pp. 101-108 (Revista, Alemania)

    7. Lowther, M. (1999) Optimization: A Project in Mathematics and Communication. The Mathematics Teacher. v. 92(9) pp. 764-67, 812. (Revista oficial del National Council of Teachers of Mathematics. Estados Unidos de Norte Amrica)

    8. Maass, K. (2000). Optimierung und Funktionen in Klasse 6. Flaecheninhalt und Umfang als Thema zur Behandlung von fundamentalen Ideen. Mathematica Didactica. v. 23(1) pp. 83-95. (Revista para didctica de la matemtica, Alemania)

    9. Camacho, M., et al (2001). Una aproximacin a los problemas de optimizacin en libros de Bachillerato y su resolucin con la TI-92. Aula. (no.10) pp. 137-152. (Revista, Espaa)

    10. Driscoll, P. and Kobylski, G. (2002). A method for developing student intuition in nonlinear optimization. PRIMUS. 12(3) p. 277-286. (Revista, Estados Unidos de Norte Amrica)

    11. Crama, Y. (2005). Trente ans de recherche operationnelle et d'optimisation mathematique. Mathematique et Pedagogie, (no.153) pp. 23-39 (Revista de publicacin bimestral, Blgica)

    12. Schuster, A. (2005) Kombinatorische Optimierung als Gegenstand der Gymnasialdidaktik im Umfeld von Mathematik- und Informatikunterricht. Journal fuer Mathematik-Didaktik, v. 26(1) pp. 92-93 (Revista, Alemania)

    La mayora de trabajos encontrados, centran su atencin en el nivel de la secundaria (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9) y los otros en el nivel superior.

    Nueve de los doce trabajos citados, se basan en problemas especficos (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 y 10), y en algunos de ellos hay propuestas especficas de mtodos a emplear para resolver problemas de optimizacin (en el 9, el uso de la calculadora cientfica TI 92 y en el 10, el uso del software MAPLE. En el 2 el uso del mtodo de completar cuadrados; en el 3, un mtodo especfico para examinar el problema cotidiano de encontrar el camino ms corto de la casa a la

    33

  • Captulo 2 Marco terico

    escuela; y en el 5, se dan mtodos algebraicos para resolver problemas de valores extremos en la geometra.).

    Los que consideramos que brindan ms elementos para reflexiones didcticas son el 4 (modelizacin), el 6 (teora de juegos), el 7 (comunicacin), el 8 (aproximacin), el 10 (intuicin y optimizacin no lineal, para nivel universitario) y el 12 (optimizacin combinatoria). En el 1, 3, 6 y 12 predominan los problemas de optimizacin discreta; en el 2, 4, 5, 8, 9 y 10, predominan los problemas de optimizacin continua; y el 11 tiene una perspectiva histrica.

    2.5. EL ENFOQUE ONTOSEMITICO DE LA COGNICIN E

    INSTRUCCIN MATEMTICA En esta seccin presentamos una sntesis de las herramientas

    bsicas del Enfoque Ontosemitico del Conocimiento e Instruccin Matemtica (EOS), ensamblando o resumiendo prrafos y figuras tomados de diversos artculos de la amplia literatura desarrollada principalmente por J. D. Godino, C. Batanero, y V. Font. Nuestras referencias fundamentales sern Godino (2003); Godino Batanero y Font (2007); Font (2007); Godino, Font, Contreras y Wilhelmi (2006); y DAmore y Godino (2007).

    2.5.1. Resea histrica

    Podra decirse que el artculo de Godino y Batanero (1994) Significado institucional y personal de los objetos matemticos, publicado en la revista francesa Recherches en Didactique des Mathmatiques, marca el inicio del EOS en la comunidad internacional de investigadores en didctica de las matemticas, mostrando la intencin de construir un enfoque unificado de