Tesis Usac, Geometria en Arquitectura

7/25/2019 Tesis Usac, Geometria en Arquitectura

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Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de Arquitectura

Geometra en Arquitectura,CARLOS DAZ R.


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Geometra en Arquitectura

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE ARQUITECTURA


Tesis Presentada a la Junta Directiva por

arlos No Daz Romero

Al conferirle el Ttulo de:

Arquitecto

Guatemala, Abril de 2005


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JUNTA DIRECTIVA DE LA FACULTAD DE ARQUITECTURA

ARQ. CARLOS ENRIQUE VALLADARES CEREZO DECANOARQ. JORGE ARTURO GONZLEZ PATE VOCAL I

ARQ. RAL ESTUARDO MONTERROSO JUREZ VOCAL IIARQ. JORGE ESCOBAR ORTIZ VOCAL III

BR. HELLEN DENISSE CAMAS CASTILLO VOCAL IVBR. JUAN PABLO SAMAYOA GARCA VOCAL VARQ. ALEJANDRO MUOZ CALDERN SECRETARIO

JURADO EXAMINADORARQ. CARLOS ENRIQUE VALLADARES CEREZO DECANO

ARQ. ALEJANDRO MUOZ CALDERN SECRETARIOARQ. EVERTO N. SANDOVAL EXAMINADOR

ARQ. JUAN GARCA G. EXAMINADORARQ. EDWIN VALDEZ ASESOR- EXAMINADOR


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ACTO QUE DEDICO

A MIS PADRES: CARLOS SAMUEL DAZ MONTERROSOOCTAVILA ROMERO REYES DE DAZ

MIS HERMANOS: MARGARITA Y MANUEL (PADRINOS DE TESIS)

SILVIA Y WALTERANGLICA Y EDWINJUAN PABLO Y BLANCA ESTELA (PADRINOS DE TRAJE)ELGIN.

POR SU PACIENCIA Y AYUDA MUCHAS GRACIAS

A MIS SOBRINOS: PEDRO, FRANCISCO, MNICA, WALTER, REBECA, JOSU, SARA, SERGIO, JIMENA Y ANDREA,PATOJOS POR SU APOYO, GRACIA

A MIS AMIGOS: ALBERTO, NETSER, LUIS, PANCHO, ISAAS, RONEL, DANIEL, EDIN, ANA MERCEDES, HEIDI, TEO, HELLEN, MARLON, MELISSMNICA, ROSYBEL, ENA, YUBITZA, EVELIN, ALEJANDRO, PATTY, KARLA, CINDY, JESSICA, MAJO, BRENDA, CLAUDIA, LIGIASORAYA, MARIO, MIGUEL, RODOLFO, DAYSI, JORGE, MARIA, CARMEN, SANATE, SILVIA, PACO, SOFA, NGEL BERNA, JAIMRIVERA, DOA CARMEN, DON JOS LUIS, DOA THELMA, DON PABLO, A TODOS LOS DE UNIDAD ESTUDIANTIL Y A LOS QUCOMPARTIERON C ONMIGO, (ESTUDIANTES, DOCENTES Y ADMINISTRATIVOS Y COMIT DE HUELGA DE LA FACULTAD DE ARQUITECTUR

USAC). QUE DE ALGUNA U OTRAS FORMA COLABORARON CON ESTE DOCUMENTO, XITOS EN SU VIDA.

A MIS PADRINOS: ARQ. OSCAR HENRYARQ. INGRID SANTACRUZARQ. EDGAR LPEZ.

MI AGRADECIMIENTO ETERNO POR TODA SU AYUDA

A USTED: POR SU PRESENCIA E INTERS EN ESTE DOCUMENTO

A LAS MUJERES: ESPECIALMENTE A LAS MORENAS QUE ME INSPIRARON. (M. A. y A. M.)


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Geometra en Arquitectura1

ndice GeneralIntroduccin ..................................5

CAPITULO I.- Marco Conceptual o Planteamiento del Problema

1.1 Antecedentes .....6

1.2 Importancia......71.3 Planteamiento......8 1.4 Alcances y Limites........................................................................................................8

CAPITULO II.- Marco Metodolgico

2.1. Objetivos....92.2. Variables..102.3 Manual Tcnico..10 2.4 La Educacin ..112.5 Anlisis Estadstico...14

CAPITULO III.- Marco Terico3.1 Organizacin del Curso.......173.2 Programa del Curso.. ..18

Unidad 1

1 Introduccin.....192 Euclides....223 Prueba Cognoscitiva......25

Unidad 21 Conceptos Fundamentales.....272 Generacin del Espacio.....35

3 Entes Geomtricos.........364 Dualidad..38


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Unidad 31 Conceptos Bsicos....411 La Recta y sus Caractersticas....422 Sistemas de Coordenadas.......433 ngulos....484 Sistema de Medicin de ngulos.....53

Unidad 41 Planos o Figuras Planas..592 Tringulos....593 Cuadrilteros...662 Polgonos....70

Unidad 5

1 Figuras Curvas..812 Crculo.813 Figuras Curvas Focales.....854 Curvas Particulares.....915 Curvas de Rodadura...105

Unidad 6

1 Proporciones........111 2 Razn........112 3 Igualdad de Razones.........1124 Proporcin Inconmensurable, Dinmica o Irracional.....1125 Proporcin urea......115

Unidad 7

1 Simetras..1191.1 Isometras.....120

1.2 Homeometra.....120 1.3 Catametra..120 1.4 Ametra...120


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2 Operaciones de Simetra..121 2.1 Identidad.1212.2 Traslacin...121 2.3 Reflexin.1212.4 Rotacin..122 2.5 Extensin.1222.6 Operaciones Combinadas...123

Geom etra del Es pac ioUnidad 8

1. Introduccin ......1252. Descripcin del Espacio Tridimensional..1263. Concepto de Proyeccin..1274. Sistemas de Representacin.....1285. Clasificacin..129 6. Visualizacin..1317. Recta en el Espacio...131

8. Plano en el Espacio132Unidad 9

1. Superficies Geomtricas.....1352. Clasificacin de las Superficies Geomtricas......136 3. Superficies Reglad as..........1364. Superficies Curvadas......143

Unidad 10

1. Cuerpos Geomtricos........150 2. Clasificacin......150 3. Poliedros Rectos...1504. Cuerpos Redondos....158


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Unidad 11

1. Escaleras...163 2. Compensacin de la Escalera171

CAPITULO III.- Marco Operativo

3.1 Resultados Estadsticos de Prueba....175

3.2 Prueba.....176

3.3 Diagnostico.......177

Conclusiones....180

Recomendaciones..181

Bibliografa.182

Anexo...184


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INTRODUCCION:

La elaboracin de un documento de apoyo, es un proceso de enseanza-aprendizaje que depende en gran medida de que se clarifiquen previamente los objetivos y deconsense de forma armonizada y sistemtica el plan de enseanza para la etapa en sus diversos aspectos: qu debe aprender el alumno o alumna (contenidos), en qu(secuencia), para qu (capacidades finales de los alumnos), cmo (metodologa) y con qu medios (otros materiales). Todos estos elementos, junto con el planteamien

atencin a la diversidad del alumnado, la orientacin a la autoformacin, el tratamiento de los temas transversales y criterios de autoevaluacin, configuran este proyec

Se ha elaborado esta propuesta de proyecto, a partir de la reflexin terico-prctica sobre las directrices educativas y la realidad emprica en las aulas, contandoexperiencia de catedrticos. Al ofrecer este material de apoyo, no pretendemos sustituir al docente en sus funciones, sino proporcionarle una plantilla o modelo de refetil para que cada uno estandarice criterios; teniendo como antecedente lo anterior, en este trabajo de tesis se elaboro como un documento terico-practico en el desarrolla un mtodo didctico que facilita el aprendizaje de conceptos y el desarrollo habilidades en la Geometra; a travs de la enseanza de esta materia.

Para la Facultad de Arquitectura de la Universidad de San Carlos de Guatemala es de vital importancia aumentar el rendimiento acadmico de los estudiantes de pingreso, buscando as formar profesional creativos y preparados para enfrentar la problemtica actual y futura de la Arquitectura, as como aumentar efectividadenseanza aprendizaje a travs de la interpretacin efectiva de la practica y teora, estimulando en el estudiante la autoformacin, autoaprendizaje y el desarrollo de juvalores.

De esta manera este trabajo, se ha concebido como un medio auxiliar para mejorar el aprendizaje de la Geometra, tratando de extraer de otros textos, lo esenciaaplicable en la arquitectura, para el estudiante de arquitectura, y pueda comprender sin tener que rebuscar en diferentes textos.

Se desarrollan uno a uno los conceptos mas utilizados en arquitectura, como los de GEOMETRIA PLANA Y GEOMETRIA DEL ESPACIO, adems se incorporlgica, sencillez, claridad y de una forma grafica, para que se tenga una fcil compresin por parte de los estudiantes.

Las definiciones se van dando en un orden lgico para que los estudiantes, comprendan y apliquen de una manera sencilla adems asimile, pues la idea es acostumbrarel lector utilice las mismas, y que las vaya incorporando a su lenguaje.


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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Arquitectura



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MARCO CONCEPTUAL1.1 ANTECEDENTES DEL PROBLEMA

Los estudiantes que culminan sus estudios de diversificado, se ven afectados por diversos factores y en algunos casos de deficiencias que se pueden notar en los prsemestres, de las diferentes carreras universitarias sin excepcin, pues en Arquitectura, se da el caso que los estudiantes, no tienen las nociones bsicas de la GEOMEcausando en ellos algunos inconvenientes o frustraciones. Pues no encuentran ninguna relacin o aplicacin con la ARQUITECTURA.

En la preparacin profesional del estudiante establecido, se le presentan diversos factores que perjudican en el rendimiento acadmico requerido por cada Facultadimpiden que cumpla con el perfil de salida requerido por las mismas, a la vez que no culmine sus conocimientos. Entre estos factores se pueden mencionar:

Debilidades Elementos a fortalecer: Apoyo Rendimientoo. Factores sociales y econmicos, Autoformacin por medio Manual Tcnico -Menos Repitenciao. Factores Acadmicos de este manual tcnico. Menos Desercino. Equivocacin del estudiante en cuanto a su vocacin. Mayor Conocimientoo. Inadecuada preparacin que trae el estudiante Mejorar la Enseanza y -Alto nivel cognoscitivo Diversidad de profesiones del nivel medio que el estudiante tiene. Aprendizajeo Poca asesora personalizada.

Muchos de estos aspectos, estn fuera de alcance de las Facultades y es casi imposible darle una solucin prctica y funcional. En cambio, los factores Acadmicopueden reducir y contribuir a elevar el nivel acadmico del estudiante de Arquitectura.

Al encontrar una opcin al problema de enseanza - aprendizaje de GEOMETRIA, que utilizamos en la arquitectura,se pretende aumentar el rendimiento acadmicoestudiantes con ejemplos y problemas, as como desarrollar habilidades y destrezas en la expresin, interpretacin y definicin de las formas, figuras u objetos geomtlos espacios arquitectnicos.

Adems, este proyecto tiene como propsito fundamental contribuir a la autoformacin del estudiante, con respecto a incrementar el lenguaje arquitectnico y la habiliel manejo interpretacin y representacin del espacio, en dos y tres dimensiones.


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1.2 IMPORTANCIA DEL PROBLEMA

El trabajo se enmarca en las polticas de la Universidad de San Carlos de Guatemala y de la Facultad de Arquitectura, en las cuales esta la de mejorar los siste

enseanza-aprendizaje, que faciliten la labor del docente y del estudiante. Siendo la Geometra la base de la Arquitectura, pues en ella se da la generacin de formas y

Bi y Tridimensionales, que se requieren para crear los espacios arquitectnicos, adems se encontraron dos grandes razones para el presente estudio:

Primero: el desconocimiento de los conceptos bsicos de la Geometra, crea la necesidad de contar con los conocimientos y dominio de esta, esto va dirigido al estud

docente de Arquitectura. Logrando con ello un rendimiento acadmico satisfactorio, en cuanto exista un material de apoyo.

Segundo: Tomando como base la desercin y el alto grado de reprobados se identifica la necesidad de desarrollar un documento especfico al curso de Geometr

satisfaga los propsitos de conocimiento y objetivos planteados en la readecuacin curricular. Hay variedad de documentos de Geometra, sin embargo especficamen

el curso de Geometra de la Facultad de Arquitectura, no lo hay. Afectando tanto al catedrtico como al estudiante que no cuenta con un medio auxiliar en donde re

Por ello no se logra la unificacin de criterios metodolgicos de enseanza.


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1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El desconocimiento de conceptos fundamentales de la Geometra, es y puede ser la causa para que el estudiante no concluya su formacin bsica de Arquitectura, un 56

estos presentan un bajo conocimiento acadmico de los conceptos bsicos de GEOMETRIA, ya que realmente no existe un documento que este orientado especficam

la arquitectura, como se puede ver en los diferentes textos que existen todos aplican la GEOMETRIA, en forma muy general, es por ello que la persona que se inte

saber los trminos y su aplicacin, necesita un texto donde estn unificados todos estos.

1.4 FORMULACIN DEL PROBLEMA

SER LA APLICACION DE UN MANUAL TECNICO, EL QUE DESARROLLE ACTIVIDADES, DESTREZAS Y NIVEL COGNOSCITIVO INTEGRAND

LENGUAJE ARQUITECTONICO Y EL QUE ELEVE EL NIVEL COGNOSCITIVO?

1.5 ALCANCES Y LIMITES

Alcances

Elaborar un documento didctico para que los estudiantes de GEOMTRIA, lo utilicen como consulta y apoyo para su autoformacin.

Este documento elevara el conocimiento acadmico. Permitir superar los bajos niveles de conocimiento cognoscitivo que se presentan en el cuadro No. 2.Esto se logro siguiendo el programa del Curso.

Limites

Este documento es para aplicarlo en la Facultad de Arquitectura y se realiz para que los estudiantes adquieran los conocimientos bsicos de la GEOMTRIAy queadems de apoyo.

El curso se imparte en el Primer Semestre de cada ao y en las Escuelas de Vacaciones de Medio y Final de ao.

I

IEl Mtodo pedaggico que estamos utilizando en este manual es el de Edward Lee Thorndike.


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MARCO METODOLGICO

2.1 OBJETIVOS DE LA TESIS

Generales: Elaborar un Manual Tcnico como un apoyo didctico para que facilite el aprendizaje de conceptos.

Motivar a desarrollar habilidades y destrezas en el lenguaje arquitectnico, utilizando las bases de la GEOMETRIA.

Con el uso de esta tesis, los estudiantes puedan conocer los trminos bsicos de Geometra.

Especficos

La presente tesis sirva de base como documento de consulta y apoyo, para el estudiante y docente del curso de GEOMETRIA, en la Facultad de Arquitectura.

Dar a conocer los trminos bsicos, que en la geometra plana y la geometra del espacio, se utilizan.

Orientar y guiar por medio de este manual tcnico, aplicando los mtodos bsicos de construccin de figuras y formas geomtricas.

Desarrollar cuidadosamente todos los contenidos y ejemplos del curso de GEOMETRIA, para ser utilizados en la Arquitectura, por medio de la ejemplificacin y laaplicacin de los conocimientos en clase y en casa.

Estandarizar criterios del Lenguaje Arquitectnico en Geometra.


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2.2 V A R I A B L E S

Independiente

Desarrollar habilidades conceptuales, manuales y espaciales.

Aumentar o reafirmar el conocimiento Acadmico.

Estandarizar los criterios de los estudiantes.

Dependiente

El desarrollo y uso de un documento didctico terico - prctico correctamente mediado.

2.3 El Manual TcnicoEs un instrumento fcil de utilizar que contiene un conjunto de procedimientos para la construccin y ejecucin de cada tema.

En el proceso de enseanza-aprendizaje, la formacin debe ser de una forma equilibrada, proporcionada e integral, que realmente propicie el conocer los elementofortalecer el proceso del aprendizaje y que el estudiante, se interese realmente en aprender; y no solo las instituciones educativas sean las que tengan este fin y a su que orienten sus recursos en la capacitacin, si existe una buena base se considera que el inters en aprender se dar tambin en el autoaprendizaje, tomando en cuentavive fuera, en donde la realidad, no solo nos exige los conocimientos sino que tambin las habilidades, actitudes y destrezas, para una plena integracin de los sujetosociedad.

Por esta razn es necesario considerar que cuando se realice una actividad, esta sea motivada para que el estudiante, se interese en ella, inculcando siempre el dedescubrir, enriquecer y que le encuentre significado, por lo que se propone que las actividades que se lleven a cabo, el estudiante pueda describir sus experieexpectativas y logros, en la realizacin de las mismas y una integracin del lenguaje orientado a la carrera.


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2.4 LA EDUCACIN

Este es un proceso en el que el estudiante va formando inteligentemente sus sentidos para crear o recrear situaciones o conocimientos que en el mencionado proc

adquiriendo, y con ello incrementando. En un sentido general podemos decir que La educacin es una actividad que tiene por fin formar, dirigir o desarrollar la vida h

para que esta llegue a su plenitud pero tambin la educacin es un elemento que tiene 3 diversas reacciones sobre el ser humano:

Es una forma externa que configura al individuo (heteroeducacin) que quiere decir que el estudiante recibe un estimulo externo.

Es un desarrollo interior que hace que el individuo se configure as mismo (auto-educacin que podemos decir que el estudiante tiene la inquietud de auto formarse)

Es un proceso que proporciona al estudiante los medios para su propia configuracin, que le proporciona al estudiante el criterio necesario para aplicar lo aprendido

Aplicando este trmino a nuestro objeto de estudio, podemos decir que cuando el estudiante se encuentra en el saln de clases esta recibiendo una heteroeducacin,

catedrtico le esta enviando estmulos que contribuyen a su aprendizaje. Despus cuando el estudiante sale del saln y no comprende algn tema o tiene curiosidad en u

particular y lo investiga, podemos decir que s esta autoeducando.

Y por ltimo cuando este estudiante aplica sus conocimientos en algn tema determinado y tiene los medios necesarios en su formacin, podemos decir que tiene los

pare su propia configuracin.


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2.5 EL PROCESO DIDCTICO

La enseanza se define como la orientacin del aprendizaje, aunque conviene comprender que esta orientacin abarca dos procesos: El de comunicacin, en el cutransmisin y recepcin de mensajes entre el educador y el educando. Y el de reaccin, en el cual predominan las actividades de los discpulos, aun cuando las mreciban en mayor o menor escala, estmulos y direcciones docentes, utilizando un proceso de unificacin de Lenguaje.

La enseanza, que comprende como mnimo alguien que ensee y alguien que aprenda, se realiza siempre en situacin social, ya sea que se trate de siindividualizados, socializados o socio individualizados. Y toda situacin social presupone una interaccin mental y social, que pre-exige comunicacin. Segn la deficorriente, la comunicacin es un proceso de transmisin de ideas.

Sin embargo, es preciso considerar que muchas veces la comunicacin toca la sensibilidad, procurando formar actitudes y opiniones.

FUENTE CODIFICADOR MENSAJE CANAL DESCIFRADOR RECEPTOR

(Catedrtico) (Lenguaje Tcnico) (Objetivo) (Medio) (Si se comprende) (El estudiante)

En la comunicacin un mensaje es transmitido mediante un canal, de una fuente emisora y un receptor (es preciso que alguien emita un mensaje y que alguien recimensaje, para que haya comunicacin). La fuente tiene un objetivo.

Este es traducido en un lenguaje o cdigo por un codificador, transformndose en mensaje. A la vez, es necesario que haya en el otro polo un descifrador pera que el msea captado en forma adecuada por el receptor y al final del mismo una retroalimentacin entre la Fuente y el Receptor, con esto se logra un proceso didctico integrad

2.6 LA ENSEANZA

Se puede decir que la enseanza equivale a transmitir conocimientos o a instruir acciones que requieren intencionalidad y relacin de comunicacin, ensear es un actcomunicativo, un acto por el cual el docente pone de manifiesto los o de conocimiento a travs de la aportacin de nueves significaciones. La interrelacin catedrtico-estudiante, el primero intenta establecer el control de la comunicacin poniendo en juego los contenidos acadmicos y estableciendo las actividades acadmicas y las fode participacin. Los estudiantes se implican en el intercambio a partir de sus propios intereses y de sus propias expectativas.

II

II MELLO CARET El Proceso Didctico. Editorial Kapeluz, Buenos Aires, Argentina 1974. pp. 280


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III

2.7 EL APRENDIZAJE

Podemos definir que el aprendizaje es una modificacin de la conducta que incluye la conciencia de ello; es el proceso de adquirir o desarrollar una nueva concieconocimiento; en otras palabras es la adquisicin de nuevos significados Existen tres clases de aprendizaje: la adquisicin de conocimientos, de destreza y de actitudconocimiento es un dato, la destreza es una habilidad y la actitud es una postura ante la vida, un punto de vista. Tomando en cuenta esto podemos decir que el aprendila adquisicin de conocimientos y cambio de ideas, adems de un cambio de actitud.

Entonces, el aprendizaje de Geometra,es cuando el estudiante adquiere conceptos, desarrolla destrezas y habilidades manuales y espaciales, y tiene un cambio de hacia la adquisicin de nuevos conocimientos y tcnicas.

Regularmente para que un aprendizaje sea efectivo se necesita nicamente que el estudiante comprenda el contenido de la actividad a realizar y que tenga voluntallevarla a cabo.

Thorndike considera tres leyes principales o condiciones del aprendizaje: El apresamiento: entendemos que el alumno debe ser colocado en una situacin favorabaprender. El Ejercicio: para aprender es necesaria la practica, pero el ejercicio por si solo contribuye poco al aprendizaje. La repeticin sola no asegura el aprendizaje,repeticin de las condiciones del aprendizaje. Cuando el resultado de un acto consciente es favorable, hay aprendizaje. El Afecto: cuando algo sale bien, de acuerdo cpropsitos o deseos previstos, gusta, y como consecuencia se aprende. Siendo iguales los actos que conducen a consecuencias que satisfacen una condicin motivadaselecciona para ser aprendidas; por lo contrario, aquellas que conducen a consecuencias que no satisface una condicin motivada, tienden a ser eliminadas.

En conclusin podemos decir, que para el aprendizaje es necesaria la prctica, pero con ciertas condiciones: motivacin y el afecto son necesarios; la distribucin ade

de la prctica es una condicin estrictamente necesaria. Otra condicin relacionada con la motivacin es la variabilidad o la novedad. Si un ejercicio se repite en las mcondiciones el estudiante pierde el inters.

2.8 EL RENDIMIENTO ACADMICO

Este se mide por lo general con pruebas o trabajos y actividades, para determinar que grado de aprovechamiento y que capacidad de retencin tiene el estudiante, aunconsidera que las notas no siempre son las mejores medidas, del rendimiento acadmico, se puede decir que en general acepta o reflejan el nivel de aprendizaje del suje

IIIMELLO CARET El Proceso Didctico. Editorial Kapeluz, Buenos Aires, Argentina 1974. pp. 283


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2.9 PROPSITOS DE LA AUTO-EVALUACIN

Uno de los principales propsitos de la auto-evaluacin es la motivacin del aprendizaje. La motivacin ocupa un papel importante en todos los asuntos humanos y,

consecuencia, en la educacin; resulta ser el factor central en el proceso de la enseanza, pues sin ella no podra haber conocimiento del todo.

La auto-evaluacin est relacionada por lo menos con dos aspectos de la motivacin; 1, la evaluacin de la motivacin en s, y 2, la evaluacin de la relacin

motivacin con la enseanza y el aprendizaje. Es importante conocer la diferencia de los individuos en cuanto a la disposicin para la motivacin y la fuerza de los ince

bajo diferentes condiciones.

2.10 ANLISIS ESTADSTICO

En la Facultad de Arquitectura de la Universidad de San Carlos de Guatemala, se puede ver que las situaciones antes mencionadas, se reflejan marcadamente en el primde la formacin del estudiante de arquitectura, se pueden observar problemas en el nivel acadmico, que se reflejan principalmente en los cursos prcticos, por ejemplo

curso de GEOMTRIA, el cual tiene como fin primordial nivelar al estudiante de primer ingreso, y que a pesar de esto el promedio de estudiantes aprobados es del 46%

(Promedio de los cursos impartidos de 2000 a 2004) Fuente: Cuadros de notas Coordinacin Unidad 1.1.2.


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A pesar de estos fines, el estudiante no logra tener el nivel acadmico adecuado para culminar estos cursos satisfactoriamente o bien culminan sus estudios sin la prepa

necesaria para enfrentar las exigencias de la carrera. Esto se refleja en el siguiente cuadro de comportamiento del rendimiento acadmico comprendido en los aos de 2

2004:

CUADRO No. 1 y GRAFICA 1, Total de Alumnos del Curso de Geometra (USAC), por Ao.

Fuente: Listados IBM, del Curso de Geometra 2000-2004.

Fuente: Elaboracin propia en Base Cuadros de Notas

Cuadro Rendimiento Acadmico del Curso de Geometra, por ao de la FarusacAo 2000 % 2001 % 2002 % 2003 % 2004 %

No. Inscritos 799 100 % 947 100 % 1310 100 % 965 100 % 458 100 %No. Evaluados 576 72 % 635 67 % 996 76 % 635 66 % 344 75 %No. Aprobados 358 45% 426 45 % 528 40 % 486 50 % 234 51 %No. Reprobados 218 27 % 209 22 % 468 36 % 179 19 % 110 24 %No. Desercin 223 28 % 312 33 % 314 24 % 330 34 % 114 25 %

Total 799 100 % 947 100 % 1310 100 % 965 100 % 458 100 %

PROYECCION Alumnos PorcentajeDe Cada 10 100 %4 Aprueban 40 %3 Reprueban 30%3 Desertan 30 %

0%

20%

40%

60%

80%

2000 2001 2002 2003 2004

Evaluados

Aprobados

Reprobados

Desercin


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Adems del rendimiento acadmico, que hemos desglosado, tambin se realizo una Prueba Cognoscitiva a 73 estudiantes del curso de Dibujo Proyectual, que tiene comprerrequisito a Geometra y que esta ligado a este, la intencin de la Prueba fue la de conocer el grado cognoscitivo de de Geometra que los estudiantes poseen.

Fuente: Elaboracin propia en Base a Prueba realizada el 30/08/2004

Fuente: Elaboracin propia en Base a Prueba realizada el 30/08/2004Para conocer cada una de las preguntas se deja la ficha de las mismas al final de la Tesis

Para que se tenga una mayor claridad de por de la necesidad de un Manual Tcnico, se hace la siguiente Proyeccin de Alumnos para el siguiente ciclo lectivo, tomcomo base la cantidad de estudiantes que ingresaron en ao 2004, que fueron de 458.

Como se puede observar con la Proyeccin la saturacin de Alumnos ser de un 38% ms la cantidad de nuevo estudiantes, por todo lo anterior, se concluye que es necla utilizacin de un Manual Tcnico, para el curso de Geometra de la Facultad de Arquitectura de la Universidad de San Carlos de Guatemala, elevando el rendimientoacadmico de este curso, para reducir la Repitencia y con ello la aglomeracin del mismo.

No. Pregunta Correcta Incorrecta No ContestoNmero 1 68 4 1Nmero 2 60 13 0

Nmero 3 45 26 2Nmero 4 46 26 0Nmero 5 30 34 9Nmero 6 30 40 3Nmero 7 57 14 2Nmero 8 43 21 8Nmero 9 52 13 8Nmero 10 54 19 0

Resultado Muestra Cognoscitiva de 73 AlumnosPreguntas Acertadas Clasificacin Alumnos %

10 y 9 Excelente 13 18 %8 y 7 Bueno 23 32 %6 Aceptable 16 22 %5 a Cero Malo 21 28 %Total 73 100 %

POBLACION CICLO 2004Situacin Alumnos PorcentajeInscritos 458 100 %Aprobados 182 40 %Reprobados 138 30%Desercin 138 30 %

PROYECCION PARA CICLO 2005Alumnos 2004

RepitentesProyeccin 2005 Total de

Alumnos276 458 734

Universidad deSan Carlos de Guatemala Facultad de Arquitectura


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MARCO TERICO

El Manual Tcnico,como mencionamos anteriormente es un instrumento fcil de utilizar que contiene un conjunto de procedimientos para la construccin y ejecucincada tema,, es por ello que realizamos este cuadro sinptico. Los objetivos, contenidos y ejercicios, se encuentran en cada unidad, para su fcil comprensin yentendimiento.

El contenido del Programa del Curso de Geometra se encuentra en las pginas No. 18 y 19, el de las unidades se describen al inicio de cada una de ellas, as comobjetivos y la duracin que se recomienda por cada unidad, adems de las actividades que se sugieren que se realicen en estas. Adems de los objetivos y ejercicencuentran establecidos en cada unidad de forma clara y efectiva.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1 DESARROLLO:

CONTENIDO POR UNIDAD

2 MANEJO O DURACION:

DE TIEMPOS POR UNIDADEN CLASE Y EN CASA

3 ACTIVIDAD O APLICACIN

EJERCICIOS Y TAREAS

4AUTOEVALUACION YVERIFICACION:

NIVEL COGNOSCITIVOFINAL UNIDAD

RETROALIMENTACION

OBJETIVOS GENERALES

ADQUISICION DE:

1 CONOCIMIENTO

2DESTREZAS

3 ACTITUDES

4UNIFICACION DEL LENGUAJE

PROGRAMA DEL CURSO

1CONTENIDO GENERAL

2 CALENDARIZACION

METODOLOGIA

1APLICACIN

2EJEMPLOS

3REPETICION

4AUTOEVALUACION


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UNIVERSI DAD DE SAN CARLOS DE GU AT EM AL A

FACULTAD DE ARQUITECTURAPROGRAMA DE GEOMETRA 1.01.2

PRIMER SEMESTRE 2,005

1. INFORMACIN GENERALAsignatura: GEOMETRA.Cdigo: 1.01.2Unidad: 1.2 COMUNICACIN Y EXPRESIN GRFICA.rea: 1 Diseo y Comunicacin.

Nive l: Formacin Bsica.Ubicacin: Primer, Ciclo.Carcter: Fundamental.Prerrequisitos: Ninguno.Fecha: 2do. Semestre de 2004.

2. OBJETIVO GENERAL

Reconocer el espacio y la forma geomtrica como base del espacio y la forma arquitectnica,con el propsito de aplicar este conocimi ento en la resolucin de problemas de diseo . 3. CONTENIDO DEL CURSO:3. 1 Introduccin: Conceptos fundamentales, entes geomtricos, generacin del espaciogeomtrico, relaciones de incidencia espacial.3.2 Geometra Bidimensional: Figuras planas (clasificacin, elementos y propiedades de lasfiguras planas), Concepto de modulo, grillas modulares, Teselaciones (saturacin del espacio

bid ime nsi ona l), sim etr as y p rop or cio nes .3. 3 Geometra Tridimensional: Representacin e interpretacin del espacio tridimensional,superficies geomtricas, cuerpos o volmenes (clasificacin, elementos de los volmenes,pro pie dade s, mod ifi caci one s) pla nos y vol me nes ser iado s (tes ela ci n trid imen sion al ysaturacin del espacio).

Conceptos: Elementos del espacio bidimensional, como se conforma y representa el tridimen sional y como estos conocimiento s se aplican al espacio arquitectnico. Habildesarrollar: Reconocer y discriminar formas, sus caractersticas principales as como la pode transformarlas, comprender y representar el espacio t r id imens iona l en v i s ta s p lanas as e lementos de l mismo, sus propiedades y posibilidades de transformacin, aplicar este conoen los procesos de diseo. Destrezas: Trazar con exactitud la forma geomtrica, generarformas a travs de la combinacin y/ modificaciones de las originales.4. METODOLOGAEl mtodo de la geometra es el inductivo, es decir, que va de lo simple a lo complejmanera se desarrolla el curso. Por medio de clase magistral, ejercicios supervisados en

trabajos de investigacin se aprende el conocimiento. Por medio de tareas extra -aula sehabilidades y destrezas.

5. NORMAS DEL RENDIMIENTO ACADMICOLa asistencia mnima al curso es del 80%. Entregar como mnimo el 80% de las tareas asignadas para tener derecho a evaluacin.Not a de pro moc in : 60 puntos.6. CRITERIOS DE EVALUACIN:Ejercicios en Aula: 40 Puntos.Ejercicios extra-aula: 40 PuntosEvaluacin Final: 20 PuntosTotal: 100 Puntos


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TEMA DEESTUDIO Y

CONTENIDOS

OBJETIVOSESPECFICOS

ACTIVIDADES YMATERIALES PARA

ENSEANZA-APRENDIZAJE

CRITERIOS DEEVALUACIN

BIBLIOGRAFA

Introduccin

Que el estudiant e:Conozca la importancia de la geometra ymotivarlo para su estudio y complementacinen forma inde pendiente.

Figuras planas

Conozca y pueda trazar las figuras tanto rectascomo curvas y utilice el vocabulario tcnicocon propiedad.

Simetras yproporciones

Que utilice estos conceptos en el manejo delorden para la definicin de la formaarquitectnica.G

eometraP

lana

Sistemasde Representacin

Que comprenda que el espacio tridimensionalse trabaja y comunica a partir de imgenesbid ime nsi ona les.

SuperficiesGeomtricas.

Que conozca las diferentes formas desuperficies, su generacin y pro piedades.

CuerposGeomtricos

ue sua ce as erentes ormas quepue den adq uir ir e l co nti nen te d el e spa ciotridimensional, su orden propiedades ypos ibi lid ades de mod ifi caci n ytransformacin:

GeometradelEspacio

EscalerasQue conozca las diferentes formas deescaleras, su trazo y calculo

Exposicin oral y grfica por

part e de l do cent e. R evi si n de l

material bibliogrfico por parte

del alumno. Desarrollo de

ejercicios por parte del alumno

baj o la s upe rvi si n del

docente. Elaboracin de Tareas

extra-aula en casa Elaboracin

de modelos. Lectura e

investigacin.

El docente propondr

ejercicios en clase

baj os s u su per vis in .

40 puntos.

Asignarn tareas

extra-aula para cada

uno de los temas

desarrollados. 40

Puntos.

Evaluacin Final: 20

Puntos.

Estudio de lasGeometras. Eves.

Fundamentos deGeometra. Coexeter

Geometra Elemental.Hemmerling.

La Geometra en Arte.Pedoe.

Forma y SimetraWolfling.

El Nmero de OroGhycka.

Fundamentos del DiseoBi Tridimensional Wong.

Simetra. WeylHermann.

La Teora de laProporcin en

Arquitectura. Scholfield.

Universidad de San Carlos de GuatemalaF lt d d A it t


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Facultad de Arquitectura

Geometra en Arquitectura,20

Objetivos:

Que elestudiante al trmino de esta unidad, tenga adquirido el siguiente conocimiento:- Breve resea historia de la Geometra y su significado.

- Los Postulados de Euclides.

- Que conozcan al creador de la Geometra y su obra ms importante

Contenido: Introduccin y Euclides

Duracin: 1/2 Clase

Actividad: Prueba Evaluativa



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Generalidades:

La palabra geometra (del griego GEO,"tierra"; METREIN, "medir") alude a "medir la tierra". Una antigua opinin, transmitida por Herodoto, atribua el o

de la geometra a la necesidad de medir las tierras de labranza despus de cada crecida del ro Nilo, que poda modificar su extensin; con el objeto d

equitativamente el impuesto a pagar al rey. Del mismo modo, la necesidad de comparar las reas y volmenes de figuras simples, la construccin de ca

y edificios, las figuras decorativas, los movimientos de los astros, contribuyeron tambin al nacimiento de esas reglas y propiedades geomtricas q

encuentran en los documentos de las antiguas civilizaciones egipcia y mesopotmica.

En su forma ms elemental, la geometra se preocupa de problemas mtricos como el clculo del permetro, rea y dimetro de figuras planas,

superficie y volumen de cuerpos slidos. En la actualidad ya no cabe hablar de geometra en el antiguo sentido de una rama autnoma de la matemtic

ms bien de un "lenguaje geomtrico", aplicado a un grupo de propiedades integrantes de una matemtica unificada y unificadora. Segn la naturale

esas propiedades se tienen distintas geometras, pero las que mas nos interesan en la arquitectura son: La Geometra Euclidiana y sus derivaciones, co

Geometra Analtica y la Geometra Descriptiva, y en ellas es vlida la propiedad de que por un punto puede trazarse una sola paralela a una recta.

Geometra Plana y del Espacio

Jorge Wentworth y David E. Smith



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Eucl ides

Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemtico ms famoso de la antigedad y quizs el ms nombrado y conocido de la historia de las Matemticasconoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra s es ampliamente conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a travs decomentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivi en Alejandra (Egipto), al parecer en torno al ao 300 A.C. All fund una escuelaestudios matemticos. Por otra parte tambin se dice que estudi en la escuela fundada por Platn. Su obra ms importante es un tratado de geometrarecibe el ttulo de "Los Elementos", cuyo contenido se ha estado y se sigue enseando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las Geometras No Euclidia

"LOS ELEMENTOS":Ha tenido ms de 1.000 ediciones desde su primera publicacin en imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemtico ms lede la historia. Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematizacin, el orden y la argumentacin con la que constituida. Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geomtrico-matemticos de su poca, que ya eran muchos.

Euclides construye su argumentacin basndose en un conjunto de axiomas (principios o proposiciones que se admiten como ciertas por ser evidentespartir de los cuales se deduce todo lo dems) que Euclides llam postulados y los axiomas. Los famosos cinco postulados de Euclides, que se consideraresumen toda su teoria son:

I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une y solo una.

II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma direccin.1

1Axioma: Proposicin tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostracin.Postulado: Proposicin cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base en ulteriores razonamientos.

B ProlongaciRecta

..

Punto

PuntoA

BRecta


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31/191

q


"Los Elementos" consta de trece libros sobre geometra y aritmtica.

LIBROS del I al VI: Geometra plana.

El libro I trata de tringulos, paralelas, incluye postulados, etc.

El libro II trata del lgebra geomtrica.

El libro III trata de la geometra del crculo.

El libro IV de los polgonos regulares.

El libro V incluye una nueva teora de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades conmensurables (racionales) como a las inconmensura(irracionales).

El libro VI es una aplicacin de la teora a la geometra plana.

LIBROS del VII al X:

Del VII al IX: Tratan de la teora de los nmeros (aritmtica), se discuten relaciones como nmeros primos, (Euclides prueba ya en un teorema que nouna cantidad finita de nmeros primos), mnimo comn mltiplo, progresiones geomtricas, etc.

El libro X trata de los segmentos irracionales, es decir, de aquellos que pueden representarse por raz cuadrada.

LIBROS del XI al XIII: Geometra del Espacio.

Geometra Plana y del Espacio,Jorge Wentworth y David E. Smith



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ACTIVIDADES (I)

PRUEBA COGNOSCITIVA

MODO DE EVALUACION: LA PRUEBA CONSTA DE CINCO PREGUNTAS, QUE TIENEN QUE CONTESTAR CORRECTAMENTE,PERO PARA TENER UNA PONDERACION, CONSIDERAMOS QUE AL RESPONDER 3 DE LAS CINCO, LA AUTOEVALUCIONSE CONSIDERARA APROBADA, PERO CON LA MINIMA PONDERACION.

1. Quien fue Euclides y a que se dedicaba.

2. Cuantos axiomas dejo Euclides y menciona por lo menos 3 de ellos.

3. La obra ms importante que Euclides dejo para la posteridad se llama.

4. En cuantos libros se divide la obra de Euclides

5. Los libros once al trece de la obra de Euclides de que trata.



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Objetivos:

Que elestudiante al trmino de esta unidad:- Comprenda los conceptos bsicos de la Geometra y que lo integre a su lenguaje arquitectnico.

- Pueda realizar los ejemplos de esta unidad.

- Observe que los ejemplos que aqu utilizamos son solo algunos de los tantos que existen.

Contenido: Paralelismo, Perpendicularidad, Inclinacin, Unin, Contencin e Interseccin, Entes Geomtricos

Duracin: Clase

Actividad: Prueba Cognoscitiva y Ejercicios



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Conceptos Fundamentales:

Estos conceptos se entendern que su relacin ser de dos, o sea dos puntos, dos lneas dos planos, dos volmenes o la combinacin de cualquiera de

Paralelismo:

Es la continua igualdad de distancia entre lneas o planos, que se encuentran equidistantesentre s. En otras palabras el paralelismo se da en rectas o cualquier forma o figura que sepueda generar, siempre y cuando estn separadas y mantengan la misma distancia, porms que se prolonguen no se unen. El paralelismo se representa mediante el smbolo ||;para representar la paralela se escribe as; la recta AB || a la recta CD lo leeremos as:"la recta AB es paralela a la recta CD".

Para encontrar paralelas existen varios mtodos, pero en este documento solo trabajaremos el mtodo de un punto dado y el mtodo de distancia da

1

2

Postulados de las paralelas:

Se dice que dos rectas son paralelas s estando contenidas en un mismo plano, (coplanares),no tienen ningn punto en comn y la distancia entre las mismas no varia.

1 Geometra, de Meter b. Geltner, Editorial Internacional Thompson Editores, tercera Edicin 1978

A

B

C

D

C

A

D

BEquidistancia

A

B

C

D

1

2

4

3

Distancia

P



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Entre planos paralelos, este concepto de paralelismo es el mismo que el de las rectas paralelas;que siempre mantengan una distancia sin variar y no tengan ningn punto comn.

El paralelismo tiene los siguientes caracteres:

Idntico: Toda recta es paralela a s misma.

Reciproco: Si una recta es paralela a otra, est es paralela a la primera.AB || CD , entonces CD || AB

Transitivo: Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre s.1

1

1 Geometra, de Meter b. Geltner, Editorial Internacional Thompson Editores, tercera Edicin 1978

R 1R 3

R 2

A B

A1 B1

BL1

L2

A

C

D

A

B

C

D

1

2

Plano 1

Plano 2



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Mtodo por un punto dado;

1

1. Mtodo Elaboracin Propia.

A B

C

F

EA B

C

D

PASO 2.- Hacemos centro en C, con radio en A, razamos un arco que oque la reccerca de B, ya tenemos el punto D.

PASO 1.-Tenemos una recta AB y un punto C fuera de larecta.

PASO 3.-Tenemos el punto D, ahora hacemos centro en D,con el mismo radio de AC, trazamos otro arco quetoque la recta cerca de A, ya tenemos el punto E.

A B

C

DED

C

BAE

PASO 4.-Luego hacemos centro en E con radio en el punto C, en donde se intercel arco con el punto C, tendremos el primer punto, de igual forma hacemradio D, y obtendremos el punto F y luego solo tendremos que unir los pC y F, y como resultado nos dar la paralela que buscamos.

C

BADA B

C



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Mtodo de una distancia dada;

1

1. Mtodo Elaboracin Propia.

PASO 1.- Tenemos una recta AB, y una distanciadada CD

PASO 3.-Con la distancia dada, hacemos centro en la interseccin,trazamos un arco que corte a la perpendicular 1, tenemos elpunto G de interseccin, hacemos lo mismo en laperpendicular 2 y hemos encontrado H.

PASO 2.-Trazamos dos perpendiculares sindistancias establecidas.

PASO 4.-Ahora lo tenemos que hacer es unir lospuntos y tendremos la paralela quebuscbamos.

BA

C D

21DC

A B

1 2BA

C DDC

1 2

DC

A B

G H



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Perpendicularidad

Se da cuando una lnea forma un ngulo recto (90) con otra lnea que no necesariamente se intercepten.La perpendicularidad se representa mediante el smbolo ? de esta suerte,

AB ? CD, se lee: "AB es perpendicular a CD".

La perpendicularidad tambin se da o se puede aplicar en los planos cuandose interceptan con otros planos.

En otros textos se utilizan otros signos como estos; ?,? , para representarla perpendicularidad.

Para construir una Perpendicular existen varios mtodos pero aqu solo te presentaremos dosque son los de un punto dentro de la recta y la de un punto exterior a la recta :

1

1 Geometra Analtica, de Joseph H. Kindle, Editorial Schuam+McGraw-Hill, Mxico 1978

A B

C

D

90 90

90 90

A B

C

D



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Mtodo de un Punto dentro de la Recta:

1

1

. Mtodo Elaboracin Propia.

PASO 2.-Del punto C, trazamos dos puntos que se encuentrena la misma distancia de este, puntos D y E.

A BC

PASO 1.- Tenemos una recta AB, y un punto C, no importala ubicacin de este dentro de la recta.

CBA

D E

PASO 3.-Ya tenemos los puntos D y E, ahora abrimos elcomps con centro en C y radio en B, con esteradio y haciendo centro en E, trazaremos un arco.

PASO 4.-Con el mismo radio de C y B, hacemos centro en D, trazamos otroarco y donde se intercepte con el anterior encontraremos el puntoF, luego unimos los puntos F y C y tenemos la perpendicular quebuscamos.

EDA B

CCBA

RADIO

CENTRO

D EC

BA

CENTRO

F

ED D E

F

A BC



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Mtodo de un Punto Exterior a la Recta:

La perpendicularidad, tiene el carcter Reciproco, es decir; Si una recta es perpendicular a otra,sta es perpendicular a la primera. El otro carcter que tiene la perpendicularidad es la de laortogonalidad o sea que se trabaja en ngulo de 90, como se ve en la grafica inicial del tema.

Recta A Recta B

PASO 2.-En el punto C hacemos centro, con un radio cualquiera, siempre y cuando la circunferencia toque a la recta AB, en donde intercepte esta, tendremos puntos D y E.

PASO 1.-Tenemos una recta AB, y un punto C, no importala ubicacin de este fuera de la recta.

PASO 3.-Trazamos otra circunferencia con el radio anterior,solo que ahora hacemos centro en el punto D,luego hacemos lo mismo en el punto E.

PASO 4.-Encontramos dos nuevos puntos el F y el G, ahora solo los unimos haque toque la recta AB, y ya tenemos la perpendicular que buscamos.

BA

C

B

CENTROCRADIO

A A

C

BD E

EDB

C

A A

C

BD E

EDBA

F

C

ED B

C

A

F

G



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Inclinacin

Esta se da cuando las rectas no estn ni perpendiculares, ni paralelos a otra recta . La inclinacin no solose da en las rectas, sino que tambin se puede dar tambin en los planos y volmenes. En algunos textosrepresentan a la inclinacin por medio de la letra minscula (i), de esta manera, CD i AB, se lee; CD esuna recta inclinada a AB. Se indica

Unin

Es la correspondencia, conformidad o composicin que resulta de la unin de algunas cosasque se incorporan entre s. Decimos que cuando en geometra se unen lneas, planos, que dencomo resultado una figura mayor, estamos hablando de la unin y para representarla nosbasamos en el signo ( U), entonces lo siguiente A UBUC, se leer de la siguiente manera"A es la unin de B, y B es unin de C", esto a su vez da como resultado una recta mayor.

Contencin o inclusin

Es la accin de incluir algo dentro de otra cosa o dentro de sus lmites, en Geometra diremosque la inclusin se dar cuando una recta va en un plano. El signo de la contencin es de lasiguiente manera ( ? ), de esta forma todo lo que representemos de

esta manera A ? B se leer as; A esta contenida en B.

Interseccin

Se da cuando dos lneas, dos planos o dos volmenes que recprocamente se cortany que respectivamente tienen en comn, en el caso de las dos lneas un punto, dosplanos una lnea y dos volmenes un volumen menor. Para representarla nosbasamos en el signo ( n ), entonces lo siguiente A n B = Z, se leer de lasiguiente manera A es la interseccin de B, y nos da como resultado Z".

Todos los conceptos anteriores cono se dijo al principio son de relacin de dos.1

1

Matemticas 4, de Editorial Coveas S. A. C., Manuel Coveas Naquiche, Per 1982.

A

B

A B CB

CB

A

A D B

C

VOLUMEN

LINEA

PLANO



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Generacin del espacio

Espacio unidimensional.

Se da cuando un punto, desde su posicin de arranque avanza en una direccin inmutable osea que no cambia y va dejando a su paso un rastro que nosotros veremos o describiremoscomo una Recta, (determinando con ello la dimensin uno), en la cual podremos determinardistancias, hacia la derecha o izquierda, sobre esta la Recta a la que denominaremos "AB".En el espacio unidimensional solo podremos medir las longitudes.

Espacio bidimensional.

Se dar cuando nosotros teniendo una Recta la movemos en una direccin perpendicular a la de su origen, y alrastro que este movimiento vaya formando lo llamaremos Plano, (dando lugar a la segunda dimensin), eneste espacio lo que mediremos ser las longitudes y las anchuras y con ello veremos que ya tenemos dosmovimientos, con los cuales determinaremos un espacio al que llamaremos rea.1

Espacio tridimensional.

Este espacio se crea a partir de que un plano se mueve en una direccin distinta a las anteriores y alrastro que forme nuestro plano lo llamaremos Volumen,(creando con ello, la tercera dimensin), aqupodremos medir longitudes, anchuras y adems alturas, que es el nuevo elemento de medida queobtenemos y con el cual calcularemos el tamao de nuestro Volumen.

11Matemtica Constructiva 9, Enciclopedia Temtica LAROUSSE, Espaa 1985

B

Distancia

A

Longitud

Area

Anchu

ra

Altura

Longitud

Volumen

Anchu

ra



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1Entes Geomtricos

Punto

Decimos que el punto slo tiene posicin, no posee ni longitud, ni anchura, ni espesor y es representadopor medio de un signo que equivale al siguiente (). No obsta nte, es necesario tener presente que elpunto grfico representa el punto geomtrico pero no es el punto geomtrico, pues el puntosolamente es una referencia. El punto se designa por medio de unanotacinque puede

ser una letra mayscula colocada en las proximidades del punto. As: P

La Lnea

La Lnea tiene en su inicio un punto y la sucesin de puntos da como resultado una lnea. Entoncesdecimos que la lnea posee longitud, pero carece de anchura, de espesor y se puede representar pormedio del trazo que puede prolongarse infinitamente en ambas direcciones y sentidos. Una lnea sedesigna con las letras maysculas de dos cualesquiera de sus extremos o por medio deuna letra minscula al centro de la lnea.

Existen dos tipos de lneas: lneas rectas y las lneas curvas.La Lnea recta, se considera engendrada por un punto que se mueve siempre en la misma direccin y sentido, ya sea izquierda o derecha. Tambin decimque son los mnimos conjuntos de puntos entre dos que se limitan en una distancia dada. La lnea recta es de extensin ilimitada: se la puede prolonindefinidamente, en cualquiera de los dos sentidos, en lo sucesivo cuando se diga recta sobreentenderemos la lnea recta.

Las Lneas Curvas; se origina por el desplazamiento de un punto que cambia permanentemente dedireccin. Pueden ser Planas y Espaciales.

11Matemtica Constructiva 9, Enciclopedia Temtica LAROUSSE, Espaa 1985

a

A B

A B

APunto

Notacin

BPunto

Notacin



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P l a n o:

Es el desplazamiento de una lnea sobre otra que esta perpendicular a esta, tambin es ilimitado, poseelongitud y anchura, pero carece de espesor. Otra definicin del plano es que tres puntos no alineadosdeterminan un plano. El smbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompaado de por lomenos, tres puntos o ms. Estas son unas de las tantas definiciones del plano.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar contenidos en ellos, puntos, rectas

y obtener figuras geomtricas.El Volumen:

Se origina por el desplazamiento de un plano en una direccin perpendicular al plano original. Todos losobjetos son tridimensionales, pues tienen longitud, anchura y altura, por mnima que esta sea o se vea.

En la siguiente tabla que a continuacin detallamos veremos como se comportan los diferentes entes geomtricos:

ENTE MOVIMIENTO ESPACIO COORDENADAS DIMENSIONAL DIRECCION MEDICION

CERO CERO

1 UNIDIMENSIONAL SOLO EN X METROLINEAL LONGITUD

2 BIDIMENSIONAL EN X y Y METROCUADRADO

AREA OSUPERFICIE

3 TRIDIMENSIONAL EN X, Yy Z

METROCUBICO

VOLUMENO MASA

Para simplificar solo hacemos los cuadros de cada uno de los espacios dimensionales y sus diferentes sentidos ya que fueron explicados anteriormente.

PUNTO

VOLUMEN

LINEA

PLANO

ARISTA

CARAVERTICE

C

D

B

AREC

TAA-C

RECTAB

-D

RECTAA-

B

RECTA

C-D



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Relaciones de Incidencia espacial

Ley de Dualidad del Espacio

No es ms que las propiedades que tienen los entes geomtricos de generarse unos a partir de otros y estos a travs de los primeros.

Un punto se genera por la interseccin de dos rectas; en tanto que una recta se genera por l a unin de dos puntos.

Un punto se genera por la inter seccin de tres planos; en tanto que un plano se genera por la unin de tres puntos.

Un plano se genera por l a unin de dos rectas no colineales; en tanto que una recta se genera por la interseccin de dos planos.

Se tiene que asegurar que el intercambio de ideas sea completo, pues con ello se obtiene la dualidad, si es incompleto entonces no existe la dualidad.1

1Geometra Analtica, de Joseph H. Kindle, Editorial Schuam+McGraw-Hill, Mxico 1978

punto punto punto

recta

recta

punto

punto

punto

recta

punto



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ACTIVIDAD:PRUEBA COGNOSCITIVA

MODO DE EVALUACION: LA PRUEBA CONSTA DE CINCO PREGUNTAS, QUE TIENEN QUE CONTESTAR CORRECTAMENTE,PERO PARA TENER UNA PONDERACION, CONSIDERAMOS QUE TENDRAN QUE RESPONDER TRES DE LAS CINCO, LA AUTOEVALUCION

SE CONSIDERARA APROBADA, PERO CON LA MINIMA PONDERACION.

1. Como se da la Unin y de un ejemplo de ella

2. Cmo se da la Perpendicularidad y ejemplifquela

3. Como se genera el espacio tridimensional

4. Cuales son los Entes Geomtricos

5.Dar un ejemplo de la Ley de Dualidad


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Concepto de Geometra Plana:Rama de la Geometra E uclidiana que estudia a los entes bidimensionales y sus propiedades.

Notacin:Sistema de signos convencionales (letras), que se usan en Geometra, de varias formas y son los siguientes:

En los Puntos colocaremos una letra.

En las Rectas colocaremos una letra minscula al centro de esta.

Otra forma de nombrar una Recta por medio de puntos extremosEsta recta la llamaremos

El Espacio Bidimensional Horizontal (X, Y)

Es aquel espacio que esta paralelo al horizonte. Lo delimitaremos por medio de dosejes de referencia que se intersecan, a los cuales llamaremos eje X y eje Y,con estos podremos medir profundidades y anchuras.

Y

-X X

-Y

ATRAS

IZQUIERDA DERECHA

ADELANTE

A

a

A BAB



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La Recta y sus caractersticas

La Recta, se considera engendrada por un punto que se mueve siempre en la mismadireccin y sentido. Y en ella tambin podemos encontrar varias caractersticasde esta, las cuales son:

La Longitud:ser la medida que utilizaremos para conocer la distanciay tamao de la recta.

Direccin:es la que nos indica hacia donde se dirige nuestra recta, lo podemosorientar de una mejor forma tomando en cuenta los puntos cardinales, como loson; Norte, Sur, Este Oeste y combinaciones de estos.

Sentido: Es el que nos indicar donde comienza la recta, por ejemplo si la rectainicia en el punto A esta ser , pero si inicia en B, la recta ser , como se veen las graficas. 1

1Matemtica Interactiva, Enciclopedia Virtual, Versin 2.

A B

BA

BA

A B

A B

AB BA

AB

BA



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Sistemas de CoordenadasLa idea bsica de las Coordenadas, es representar la posicin de un punto en el plano o en el espacio. Fue Descartes el primero queutiliz el mtodo de las coordenadas para indicar la posicin de un punto (en el plano o en el espacio). La posicin del punto selograba midiendo sobre los ejes las distancias al punto. Esta idea, la de representar la posic in de un punto mediante coordenadas,es tan simple, solo que hay que seguir los datos que se indican, de la manera que se puede ver en el dibujo.

Coordenadas Cartesianas (o Rectangulares)El sistema de coordenadas cartesianas se le acredita a un reconocido filsofo francs del siglo 17, llamado Rene Descartes. Historiadores cuentanDescartes se le ocurri el sistema de coordenadas mientras trataba de describir la posicin de una mosca que haba quedado atrapada en una tela deOtros historiadores, sin embargo, reconocen la idea del sistema de coordenadas a un griego llamado Apollonius que vivi alrededor de 200 A.C.

Qu es el sistema de coordenadas cartesianas?

El sistema de coordenadas cartesianas es una manera de identificar la posicin de un punto sobre un plano en relacin a dos rectas perpendiculares llaejes. El eje horizontal tambin se llama eje de Xo abscisa, y el eje vertical se llama eje deY u ordenada. El punto de interseccin de los ejes se llamorigen, se representa con la letra O. Sobre cada recta se establece una recta numrica de manera que el valor 0 (cero), corresponde al punto origen, valores positivos corresponden a los puntos a la derecha del eje de x o hacia arriba del eje de y. Y, los valores negativos corresponden a los puntos aizquierda del eje de x o hacia abajo del eje de y.

Si observamos cuidadosamente el sistema de coordenadas cartesianas divide elplano en cuadro regiones llamados Cuadrantes.

Los Cuadrantesnos ayudan a identificar rpidamente la posicin de un punto,si recordamos cmo cambian los signos de las coordenadas en cada uno:

En el cuadrante I las coordenadas son ( +, +) En el cuadrante II las coordenadas son ( -, +) En el cuadrante III las coordenadas son ( -, -) En el cuadrante IV las coordenadas son ( +, -)

1

1Geometra Analtica, Joseph H. Kindle, Schaum+Mc-Hil, 1978

Origen

54321-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1Abcisa

Ordenada


C t bl l d d d t ?


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Cmo se establecen las coordenadas de un punto?

Las coordenadas de un punto es un par ordenado (x, y) que identifica la posicin que este se encuentra con respecto a los ejes.La primera coordenada (x) o abscisa es la posicin del punto con respecto al eje horizontal o eje de X. Es decir, cuantasunidades positivas o negativas se encuentra del punto de origen en el eje horizontal. La segunda coordenada u ordenada, es laposicin del punto con respecto al eje vertical o eje deY. Es decir cuantas unidades positivas o negativas se encuentra delpunto origen en el eje vertical. Por ejemplo tenemos unas coordenadas (3,4), contamos 3 unidades en el eje X y 4 unidadesen Y, ya encontramos nuestro punto, veamos el otro ejemplo; tenemos las coordenadas (-3,-4), no es lo mismo pues el conteolo haremos en los cuadrantes negativos.

Cmo se grafica un punto dado sus coordenadas?

Para graficar un punto dado sus coordenadas, empiece en el origen y proceda a lo largo del eje de X, el nmero deunidades que indique la abscisa. Proceda a la derecha cuando es positiva y a la izquierda cuando es negativa.Luego, cuente las unidades positivas o negativas que indica la ordenada. Cuando sta es positiva suba y cuantoes negativa baje. Por ejemplo, para graficar el punto P, con coordenadas (3,4), contamos a la derecha 3 unidades yluego hacia arriba 4 unidades. Tengamos en cuenta que con el sistema de coordenadas tambin podemosubicar una recta siguiendo los puntos que se nos indiquen y como por lo consiguiente tambin podemosubicar un plano utilizando este mismo mtodo.

Posicionamiento del Punto

El punto puede estar posicionado en cualquier parte del espacio, pero para determinar la posicin nosotros le colocaremosvalores, basndonos en el sistema de referencia, que indicamos anteriormente, en esta nos darn cada uno de los valorespara poder ubicarlo, esto nos ayudara como partida para saber como vamos trabajar con los Sistemas de Coordenadas.

1


P (3,4)

0 54321-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

0 4321-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

A (3,4)

B (-3,4)

C (-3,-3)

D (4,-

-1

-2

-3-4

-5

1

2

3

4

5

-5 - 4 -3 -2 - 1 1 2 3 40

(3,4)

1

2

(-3,-4)

P (3,4)

0 54321-1-2-3-4-5

5

4

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

PUNTO


C d d R l ti P i l


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Coordenadas Relativas o Parciales

Es una manera de identificar la posicin de un punto, con relacin al ltimo punto dado sobre las coordenadas en elplano, por lo tanto se puede decir que estas tambin son coordenadas rectangulares. La diferencia de lasRelativas con las Totales, es que estas se comienzan a trazar a partir del ltimo punto dado en las totales, o bienpodemos decir que las Coordenadas Relativas, son aquellas que medimos a partir de un punto extremo de la rectateniendo siempre como referencia los ejes X y Y. En la grafica vemos los valores de nuestra coordenada relativa

que es en nuestro punto A (5,4) y en nuestro punto B (2,1), aqu unimos los puntos y ya tenemos nuestra recta C.

Coordenadas Polares

El sistema ms utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muyutilizado tambin: el de coordenadas polares. E n lugar de fijar la posicin de un punto del plano en funcin desus distancias a dos rectas perpendiculares este se hace en funcin de la distancia de un punto fijo y de la direccincon respecto a una recta fija que pase por este punto. Las coordenadas de un punto, en esta referencia se llamanCoordenadas Polares. En este mtodo se utiliza la distancia del punto al origen, medido sobre el segmento que losune y el ngulo que forma dicho segmento con uno de los ejes. El punto fijo 0 (cero), se denomina Polo y la recta fija

0 a A (de cero al Punto A), se llama Eje Polar.

Las Coordenadas polares de un punto P se representa por (r; ), siendo r la distancia 0P y el ngulo A, 0, P.La distancia r medida desde 0 (cero) hasta P es positiva. Igual el nguloes positivo cuando se mide en sentidocontrario al de las agujas del reloj; r es positiva cuando se mide desde el polo al punto y negativo en caso inverso.Para entenderlo mejor ver grafica anterior.

1


.

90

r

Apositivo

negativo

0

P(r

0.

EjePolo

Dista

ncia

+

Y'

X'

A (5,4)

0 54321-1-2-3

4

3

2

1

-3

-2

-1

B (2,1)

C

COORDENADASRELATIVAS

Y

X


Coordenadas Horizontales


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Coordenadas Horizontales

Son las que se forman cuando lneas horizontales o paralelas son ubicadas en una superficie.Estas lneas pueden expresarse en rumbos y azimut, adems de indicar distancias entre puntos.Con este tipo de coordenadas podemos representar en arquitectura una planta la topografa deun terreno. Esta se manejan en los ejes X y Y, en este sistema utilizaremos losgrados , minutos y segundos .

Coordenadas Verticales

Son las que se forman en un plano vertical determinado por una lnea verticalo que apunta hacia el centro de la tierra, nosotros en arquitectura las utilizaremosen la construccin de fachadas, puesto que los ejes donde se mueven son los X y Z.

Espacio Bidimensional Vertical (X, Z)

Este se da cuando el plano es perpendicular al horizonte. Su delimitacin la haremos con losejes de referencia que se intersecan, a estos ejes los denominaremos X el que es paraleloal horizonte y el Z perpendicular al horizonte. Aqu podremos medir longitud y altura.

Geometra Analtica, Joseph H. Kindle, Schaum+Mc-Hil, 1978

EJE

Z

EJE X

EJE

Y

EJE X

.

.

.

.

A

B

D

C

77,29

119,87

67,73

95,11A + B + C + D = 3

ABAJO

DERECHAIZQUIERDA

ARRIBA

-Z

X-X

Z



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Pendiente o Grado de Inclinacin: Es la medida de la inclinacin de una recta, la podemos encontrar dividiendo la coordenadadel eje Z entre la del eje X,

Pendiente = distancia Z dividido distancia X y multiplicada por 100

Pendiente Unitaria= distancia Z dividido distancia X

ngulo de Inclinacin: Es medido tomando como referencia el eje horizontal de las coordenadas, o sea el eje X.

Con un transportador mediremos el ngulo, tambin lo podemos calcular por medio de las funciones trigonometricas:Tg-1 = Op/Ad esto equivale o lo siguiente: Tg -1= distancia Z/ distancia X y

Ejemplos de cmo utilizamos las pendientes:

Ejemplo 1. Encontrar una recta, dada la pendiente de 42%;

Primero dividimos la pendiente entre 100, esto nos dar 0.42 que es la pendienteunitaria, la que nos servir para calcular el ngulo de inclinacin, de la siguientemanera; dndole a la pendiente unitaria la tangente inversa nos dar 22.782406,que es la medida del ngulo, pero para darlo de una manera mas correcta, con lacalculadora lo convertimos en 22 46 56.66

Ejemplo 2. Encontrar la pendiente, dada la Recta (1, 2) y (8, 6);

Primero dividimos la distancia vertical entre la distancia horizontal, esto nos dar 0.57,que es la pendiente unitaria, luego la multiplicamos por 100, dndonos 57% que esla pendiente que buscamos, para complementar el ejemplo calcularemos el ngulo deinclinacin, de la siguiente manera; dndole a la pendiente unitaria la tangente inversanos dar 29.744880, que es la medida del ngulo, pero para darlo de una manera mascorrecta, con la calculadora lo convertimos en 29 44 41.57

Recordemos que la Pendiente y la Pendiente Unitariason diferentes. Y que la pendientesiempre tendr su sentido hacia abajo.1

1


Origen

Z

XDistancia "X"

Distanc

ia"Z"

C

D

Pendiente

AngulodeInclinacin

Recta

Pendientede42%

42%= 0.42 100

0.42, Pendiente UnitariaT 0.42= 22.78240622.782406teclacalculadora ' "nosd22 46' 56.66"

Z

XX

Z

X

Z

.

22 46' 56.66"22 46' 56.66".

Z

X X

Z

.

Pendi

ente42%

Pendi

ente42%

2246' 56.66".

Z

X

dv = 4=0.57 dh 70.57 x100 =57%0.57,PendienteUnitariaT0.57=29.74488029.744880tecla calculadora' "nosd29 44' 41.57"

Recta(1,2) y(8, 6)

X

ZZ

X

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 80

(1, 2)

(8,6)

Pendien

te57%

(8, 6)

(1, 2)

087654321

7

6

5

4

3

2

1

X

ZZ

X

Pendie

nte57%

.29 44 '41.57"

ZZ

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 80

(1, 2)

(8, 6


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Los ngulos pueden ser clasificados por:Proporcin, Relacin y Posicin:

Por Proporcin:

Rectos: Es el que mide 90

Agudos: Es el que mide menos que un ngulo recto.

1

Obtusos: Es el que es mayor que un ngulo recto,pero es menor que dos de ellos.


90

31

31

Menor que 90

135



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Llanos: Es aquel en el cual un lado es la prolongacindel otro. Mide 180

Por Relacin:

Complementarios: Son dos ngulos que sumados valen unngulo recto, es decir 90, en este ejemplotendremos 45 + 45 = 90

Suplementarios:Se llama suplemento de un ngulo a lo que le faltaa ste para valer un ngulo llano, en este ejemplotenemos 135 ms el suplemento que es de 45

180

9090

45

M

A+M=90

45

A

135

45

Suplemento


90


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Perigono: Se llama as a dos ngulos que al complementarse formen unacircunferencia completa; es decir que si tenemos un ngulo de 135, paraque se forme el Perigono, necesitaremos otro ngulo que tendr que serde 225. Tambin se puede decir que el Perigono es cuando una rectarealiza una rotacin completa alrededor de un punto dado, es decir, hacergirar la recta hasta traerla a su posicin inicial, formando con ello una

circunferencia.

Por su Posicin:

Adyacentes:Son los que se formas cuando una recta corta a otra,quedando los ngulos del mismo lado de la recta quefue cortada.

Opuestos: Son dos ngulos con el mismo vrtice y los lados de cada uno enla prolongacin de los del otro. Cada ngulo tiene exactamenteexactamente dos ngulos adyacentes y un nguloopuesto por el vrtice. 1

1Geometra Analtica , Joseph H. Kindle, Schaum + McGraw-Hill, Mxico 1978

90

90 90

90

90

180

270

0

Perigono

101

OPUESTO1

0

1

OPUESTO

35

1 4 5



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Bisectriz: Sellaman as a las semirrectas que dividen en dos partes iguales a los ngulos.

Para poder trazar una bisectriz, realizaremos los siguientes pasos;

1

111 Arco; es la porcin continua de una circunferencia o curva .

Geometra Analtica , Joseph H. Kindle, Schaum + McGraw-Hill, Mxico1978

1.- Tenemos un ngulo conocido,

2.- Con un comps y cualquier radio,hacemos centro en A, trazandoun arco que toque a B y C

3.- Ahora tenemos nuestros puntos X y Y,hacemos centro en X, para trazarun arco.

4.- Realizamos el mismo procedimiento del paso

anterior solo que ahora hacemos centro enY tocando el arco X

5.- En donde se interceptan los arcos X y Yencontraremos el punto D, uniendo estepunto con el punto A localizaremos anuestra Bisectriz.

3

0

Angulo

A

B

C

30

RADIO C

B

A

30

y

x

30

A

B

C

30

30

A

B

C

30

D

3

0

D3

0

C

B

A A

B

C

30

D

Bisectriz

30


LOS ANGULOS EN ARQUITECTURA: Se utilizan otros tipos de medidas de ngulos los cuales sirven para medir polgonos y en topografa nos


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LOS ANGULOS EN ARQUITECTURA: Se utilizan otros tipos de medidas de ngulos, los cuales sirven para medir polgonos y en topografa nospara medir terrenos, considerando la orientacin de la tierra. Este tipo de ngulos se superponen en las coordenadas cartesianas sobre los puntos cardinales de laEstos ngulos son; El Rumbo y El Azimut.

Rumbo:Son aquellos que se miden a partir de un eje de referencia y para estos es el eje Norte-Sur, para locual pueden ser horarios y antihorarios. Adems no pueden ser mayores de 90.

Azimut:Son aquellos ngulos horarios que se miden a partir del Norte y siempre en el sentido de las agujas

del reloj, por lo que su valor puede ser desde cero hasta 360.

SISTEMAS DE MEDICIN DE NGULOS

SISTEMA CIRCULAR

Arqumedes,uno de los grandes cientficos griegos, hizo un considerable nmero de aportaciones a la geometra, entre ellos invent formas de medir el rea de cfiguras curvas as como la superficie y el volumen de slidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. Tambin elabor un mtodo para calcuaproximacin del valor de pi (p), la proporcin entre el dimetro y la circunferencia de un crculo y estableci que este nmero estaba entre 3 10/70 y 3 10/71, esto coa desarrollar este sistema de medicin.

Entonces decimos que la circunferencia puede dividirse en un nmero cualquiera de partes, por ejemplo: en 8 partes, en 12 partes,en 24 partes, etc. que nos servirn como medidas de los ngulos. En el Sistema Circular usaremos como medida el Radian.

El Radin, en matemticas, es la unidad de ngulo plano igual al ngulo central formado por un arco de longitud igual al radio delcrculo. La medida en radianes de un ngulo se expresa como la razn del arco formado por el ngulo, con su vrtice en el centrode un crculo, y el radio de dicho crculo. Esta razn es constante para un ngulo fijo para cualquier crculo. La medida en radianes deun ngulo no es la razn de la longitud de la cuerda y el radio, sino la razn de la longitud del arco y el radio.

Como ya veremos el permetro de una circunferencia es 2 x x R = 2 x 3.14 x R = 6.28 x R es decir el Permetro de una circunferenciaes aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos. Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes,es decir: 1 revolucin = 360 = 2radianes

Nota: 2 x x R, esta formula es para circunferencia de radio unitario.

1

1

Guzmn Herrera, Abelardo, Geometra y trigonometra, Mxico: Publicaciones cultural 1996.

Circunferencia = 2Rad.Circunferencia = 6,28... Rad.4 ngulos rectos = 2Rad.

RADIO

RADIA

0=2

23

2


SISTEMA SEXAGESIMAL


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Este Sistema de Medicin tambin se utiliza en la medicin de tiempo por que tiene de base la rotacin que la

Tierra hace alrededor del sol. Pero en Geometra la utilizaremos como medida de ngulos. Otra situacin que se

da con este sistema es que la circunferencia se divide en cuatro cuadrantes de noventa partes cada uno, que se

denominan Grados Sexagesimales, el grado en sesenta partes que se denominan minutos y el minuto en

sesenta partes que se denominan segundos. Tambin las fracciones de grado se suelen expresar comodecimales, particularmente cuando la precisin requerida va ms all del segundo, como por ejemplo

35 17 25, esto se lee as; 35 grados, 17 minutos, 25 segundos, grado.

SISTEMA CENTESIMAL

En este Sistema se considera que la circunferencia tiene 400 partes iguales, o sea que al igual que el sistema

sexagesimal lo dividimos en cuatro cuadrantes, con la diferencia que aqu en vez de tener 90 cada cuadrante,

estos sern de 100 centesimales o tambin llamados Gones o Neogrados. Y sus fracciones sern las

centsimas de gon.

Geometra Analtica , Joseph H. Kindle, Schaum + McGraw-Hill, Mxico1978


1

SISTEMA HORARIO


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Este sistema se emplea para medir el tiempo debido a que se origina en la rotacin que la tierra realiza sobre su eje, dando con ello con su medida totalde 24 horas, tambin lo utilizamos en la medicin de ngulos que los astros describen en el espacio para los observadores de la tierra con marcreferencia en ella divide a la circunferencia en veinticuatro horas de sesenta minutos y sesenta segundos por minuto.

Cuando un reloj marca la h horas y m minutos o abreviadamente h: m el ngulo formado por las manecillas del reloj (el horario y el minutero) se directamente con la siguiente frmula:

? = es la medida del ngulo formado por las manecillas del reloj, sta medida esPOSITIVA y expresada en grados sexagesimales.

h = es la hora de referencia (12 horas meridiano: h =0)m = son los minutos transcurridos a partir de la hora de referencia.

El ngulo ? se refiere al menor ngulo que forman las manecillas, notemos que stas forman unngulo menor (convexo) y un ngulo mayor (cncavo). Ntese que no importa saber si la hora que

marca el reloj es A.M. o P.M.

De la frmula 1, la eleccin de los signos (+, ) o ( , +) se hace teniendo en cuenta que ? es positivo. Adems de acuerdo a (1) el signo negativo acoa la manecilla que se encuentran rezagadas. De este hecho se pueden desprender dos casos:

Caso I (cuando el minutero adelanta al horario): )(30)(211

hm +=

Caso II (cuando el horario adelanta al minutero): De aqu en adelante usaremos estas dos frmulas.

1Geometra Analtica , Joseph H. Kindle, Schaum + McGraw-Hill, Mxico1978

)(30)(2

11hm +=

)(30)(2

11hm m=


1

C i


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Conversiones:

Para poder realizar las conversiones de los diferentes sistemas de medicin de ngulos, debemos de conocer lo siguiente:

Luego de conocer los como trabajan los diferentes sistemas lo que tendremos que realizar para poder hacer una conversin ser hacer una regla de tressimple; como en este ejemplo queremos convertir grados sexagesimales a radianes y representarlo en grados y minutos, lo hacemos y escribimos as:

360 2 radianesx 1 radin

1Guzmn Herrera, Abelardo, Geometra y trigonometra, Mxico: Publicaciones cultural 1996.

SISTEMA MEDICION UNIDAD DE MEDIDA ANGULO NOTABLE

CIRCULAR 6.28 R 1 RADIAN

SEXAGESIMAL 360 1 GRADO 90

CENTESIMAL400g

1gNEOGRADOFRACCION DE GRADO

100g

HORARIO24 H 1 HORA 6 H

.2

RECTO

.

LLANO

2

"48'17572

360=

x

90C

100G

CUADRANTE 1CUADRANTE 2

CUADRANTE 4CUADRANTE 3

180C

200G 400G

360C

270C

300G

SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL

18 H2

3

2

0=2

24 H

6 H

12 H

CIRCULAR Y HORARIO

CUADRANTE4CUADRANTE3

CUADRANTE2 CUADRANTE1


ACTIVIDAD


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ACTIVIDAD:PRUEBA COGNOSCITIVA

MODO DE EVALUACIN: LA PRUEBA CONSTA DE CINCO PREGUNTAS, QUE TIENEN QUE CONTESTAR CORRECTAMENTE,PERO PARA TENER UNA PONDERACIN, CONSIDERAMOS QUE TENDRN QUE RESPONDER TRES DE LAS CINCO, LA AUTOEVALUCIONSE CONSIDERARA APROBADA, PERO CON LA MNIMA PONDERACIN.

1. Cuales son las caractersticas de la Recta

2. Que es un Sistema de Coordenadas

3.Que es un ngulo y como se clasifican

4. Cual es la diferencia entre el Sistema Sexagesimal y el Centesimal

5. El Sistema Horario mide el tiempo, pero adems tambin mide que



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Planos o Figu ras Planas

Objetivos:Que elestudiante al trmino de esta unidad:

- Conozca el concepto de las Figuras Planas

- Que pueda distinguir las diferentes Figuras Planas entre ellos los polgonos

- Que pueda trazar las diferentes Figuras Planas Rectas

- Que pueda comprender las diferentes Figuras Planas

Contenido: Figuras Planas Rectas; Tringulos, Cuadrilteros, Polgonos Regulares, Semirregulares, Modificados, Estrellados e Irregulares

Duracin: Clases

Actividad: Ejercicio y Tarea


Planos o Figuras Planas


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Las figuras planas son aquellas que estn limitadas por segmentos de lneas rectas o curvas, cuyas partes se encuentran en un mismo plano; por los do

de lneas, las figuras planas se dividen en dos, que son; Figuras Planas Rectas y Figuras Planas Curvas.

Figuras Planas Rectas:

Son todas aquellas que estn compuestas por lneas rectas inscritas en un plano, y que forman un contorno a la que llamaremos Permetro. Entre estas

podemos mencionar el Triangulo y el Cuadriltero y estas a su vez forman a los que llamamos Polgonos de los que trataremos mas adelante.

El Tringulo, Figura Plana Indeformable:

Es llamado tambin Figura Plana Menor, y adems son polgonos que tienen elementos fundamentales:

3 lados, 3 vrtices, 3 ngulos interiores y 3 ngulos exteriores; por todo esto se hace necesario clasificar

los tringulos en dos, que puede ser por sus lados y la otra clasificacin por sus ngulos:

1

1

Geometra, Peter B. Geltner, Internacional Thompson Editores, 3era. Edicin 1978


1

La primera clasificacin se hace segn la medida de sus lados y existen 3 tipos de trin

Tesis Usac, Geometria en Arquitectura

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