Tesis V3 b - COLPARMEX · de Valores y la aplicabilidad de los principales modelos de fijación de...

I.1.1 T e s i s

Validación de la eficiencia y modelos de fijación de precios en el mercado mexicano de valores

Que para obtener el grado de:

Doctor en Administración (Organizaciones)

Presenta: Raúl Valdivieso Martínez

Director de la tesis: Dr. Juan Danilo Díaz Ruíz

México, D.F. 2004

Universidad Nacional Autónoma de México

Programa de Posgrado en Ciencias de la Administración

Índice

I

Índice General

Introducción............................................................................................................... 1 Planteamiento del problema .................................................................................... 1 Objetivos.................................................................................................................. 2 Hipótesis. ................................................................................................................. 2 Justificación. ............................................................................................................ 3 Alcance y limitaciones.............................................................................................. 3 El periodo analizado. ............................................................................................... 4 Tipo de investigación. .............................................................................................. 5 Secuencia de la investigación.................................................................................. 5

I Antecedentes.................................................................................................... 10 I.1 APT y factores macroeconómicos............................................................... 12 I.2 Pruebas empíricas en México. .................................................................... 13 I.3 Eficiencia del mercado. ............................................................................... 16

II Marco teórico.................................................................................................... 19 II.1 Eficiencia de mercado. ............................................................................. 19

II.1.1 ¿Se puede probar la eficiencia del mercado?...................................... 22 II.1.2 La hipótesis de la caminata aleatoria................................................... 23 II.1.3 El modelo de Martingale. ..................................................................... 24 II.1.4 Caminata aleatoria 1: Incrementos IID................................................. 26 II.1.5 La caminata aleatoria 2: Incrementos independientes......................... 27 II.1.6 La Prueba de Rachas .......................................................................... 28 II.1.7 Reglas de filtro ..................................................................................... 29 II.1.8 La caminata aleatoria 3: Incrementos no correlacionados................... 32 II.1.9 Coeficientes de autocorrelación........................................................... 32 II.1.10 La prueba de la raíz unitaria. ............................................................... 35

II.2 El Modelo de Fijación de Precios de Capital (CAPM). ........................... 37 II.2.1 Revisión del CAPM. ............................................................................. 37 II.2.2 Matemáticas del grupo eficiente. ......................................................... 39

II.3 Modelos de fijación de precios multifactoriales..................................... 46 II.3.1 Bases teóricas ..................................................................................... 46 II.3.2 Utilización de variables macroeconómicas como factores................... 48 II.3.3 Selección de factores........................................................................... 50

III Determinación empírica de la eficiencia del mercado mexicano de valores. . ........................................................................................................................... 55

III.1 Hipótesis .................................................................................................... 55 III.1.1 Prueba de estacionariedad basada en un correlograma. .................... 55 III.1.2 Prueba de raíz unitaria......................................................................... 60 III.1.3 El análisis del estadístico de Durbin - Watson para determinación de correlación serial. ............................................................................................... 61 III.1.4 Análisis de los resultados obtenidos. ................................................... 65

IV Análisis de modelos bivariados de fijación precios. .................................... 67 IV.1 Determinación empírica del portafolio eficiente. El modelo de Markowitz ............................................................................................................. 67

IV.1.1 La selección del portafolio. .................................................................. 67 IV.1.2 Hipótesis .............................................................................................. 67 IV.1.3 Cálculo del rendimiento inicial y final. .................................................. 68

Índice

II

IV.1.4 El rendimiento esperado. ..................................................................... 68 IV.1.5 Cálculo del coeficiente de correlación (ρiI). .......................................... 71 IV.1.6 Cálculo de Beta (β). ............................................................................. 71 IV.1.7 Cálculo y división del riesgo................................................................. 71 IV.1.8 El teorema del grupo o frontera eficiente. ............................................ 74 IV.1.9 Determinación del grupo factible.......................................................... 74 IV.1.10 Determinación de la composición del portafolio T. ........................... 80 IV.1.11 Validación del modelo. ..................................................................... 88 IV.1.12 Análisis de los resultados obtenidos. ............................................... 91

IV.2 Determinación empírica del modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM). ............................................................................................... 93

IV.2.1 La frontera eficiente. ............................................................................ 94 IV.2.2 La línea del mercado de activos. ......................................................... 95 IV.2.3 Determinación del rendimiento del portafolio M y validación del modelo. ............................................................................................................. 96 IV.2.4 Análisis de los resultados obtenidos. ................................................. 100

V Análisis de modelos multivariados de fijación de precios......................... 102 V.1 Análisis de regresión.............................................................................. 102

V.1.1 Planteamiento del problema. ............................................................. 102 V.1.2 Definición de las variables. ................................................................ 102 V.1.3 Elección del modelo a utilizar............................................................. 103 V.1.4 Resolución del problema. .................................................................. 103 V.1.5 Bondad de ajuste. .............................................................................. 103 V.1.6 Heterocedasticidad. ........................................................................... 107 V.1.7 Multicolinealidad: ............................................................................... 111 V.1.8 Normalidad. ....................................................................................... 114 V.1.9 Independencia de los Residuos. ........................................................ 117 V.1.10 Modelos obtenidos............................................................................. 120 V.1.11 Pronóstico. ......................................................................................... 121 V.1.12 Análisis de los resultados obtenidos. ................................................. 121

V.2 Modelo Multifactor. ................................................................................. 122 V.2.1 Rendimiento esperado....................................................................... 123 V.2.2 Determinación de la composición del portafolio T.............................. 126

V.3 Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje............................................ 130 V.3.1 Principio de arbitraje. ......................................................................... 130 V.3.2 Portafolio de arbitraje......................................................................... 131 V.3.3 Efecto precio ...................................................................................... 132 V.3.4 La ilustración gráfica. ......................................................................... 133 V.3.5 Determinación del portafolio de arbitraje. .......................................... 134 V.3.6 Rendimiento esperado....................................................................... 134 V.3.7 Validación del modelo........................................................................ 140 V.3.8 Pronóstico. ......................................................................................... 140

VI Análisis conjunto de los modelos obtenidos. ............................................. 148 VII Conclusiones.................................................................................................. 152 Bibliografía............................................................................................................. 154 Glosario de términos. ........................................................................................... 159 Simbología. ............................................................................................................ 168

Índice

III

Índice de Figuras. Figura 1: Determinación empírica de la Eficiencia del Mercado Mexicano de Valores............6

Figura 2: Fase II. Determinación empírica de modelos bivariados de fijación de precios. ......7

Figura 3: Fase III. Análisis de los Modelos Multivariados de Fijación de Precios. ...................8

Figure 4: Fase IV. Análisis conjunto de los modelos obtenidos y conclusiones.......................9

Figura 5: Portafolio de mínima varianza sin activo libre de riesgo..........................................43

Figura 6: Portafolio de mínima varianza con activo libre de riesgo. .......................................45

Figura 7: Evaluación de la autocorrelación para el IPYC........................................................57

Figura 8: Determinación de la frontera eficiente y portafolio óptimo.......................................79

Figura 9: Rendimientos reales y pronosticados, mayo1998-diciembre 1999. Modelo de

Markowitz............................................................................................................................92

Figura 10: Rendimientos real y pronosticado, mayo 1998 – diciembre 1999. CAPM. .........100

Figura 11: Rendimiento real y pronosticado, mayo 1998 – diciembre 1999. Multifactor. .....129

Figura 12: APT. Evaluación de la cartera de Markowitz, rendimiento real Vs. pronosticado.

.........................................................................................................................................146

Figura 13: APT. Evaluación de la Cartera Multifactor, rendimiento real Vs pronosticado....147

Índice

IV

Índice de tablas

Tabla 1: Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (1994-1999)....56

Tabla 2: Datos utilizados en la prueba de rachas en la determinación de la eficiencia del

mercado. ....................................................................................................................................63

Tabla 3: Precio de cierre para 35 acciones y el IPyC del Mercado de Valores Mexicanos de

enero de 1994 a octubre de 1994. ............................................................................................69

Tabla 4: Rendimientos obtenidos por 11 acciones del Mercado Mexicano de valores entre

enero de 1996 y octubre de 1999. ............................................................................................70

Tabla 5: Resumen del análisis de 35 acciones y el IPyC del Mercado Mexicano de Valores.

...................................................................................................................................................73

Tabla 6: Composición de los portafolios de inversión analizadas. ..........................................75

Tabla 7: Matriz varianza – covarianza......................................................................................77

Tabla 8: Desviación estándar de los portafolios analizados....................................................78

Tabla 9: Composición del Portafolio T, (Método de Markowitz). .............................................86

Tabla 10: Composición de las carteras seleccionadas de octubre de 1998 a diciembre de

1999. ..........................................................................................................................................87

Tabla 11: Rendimiento real semanal por acción de mayo de 1998 a diciembre de 1999. .....89

Tabla 12: Composición de la cartera de inversión determinado por el algoritmo de Gruber y

rendimiento real contra pronosticado........................................................................................90

Tabla 13: Pendiente de la Línea del mercado de activos........................................................96

Tabla 14: Desviación de los rendimientos pronosticados para la acción de Televisa en el

periodo noviembre de 1998 a diciembre de 1999. ...................................................................97

Tabla 15: Desviación total por acción en el periodo analizado. ..............................................98

Tabla 16: Rendimiento esperado, real y desviación de la cartera de inversión......................99

Tabla 17: Variables utilizadas en al análisis de regresión: ....................................................102

Tabla 18: Bondad de ajuste....................................................................................................104

Tabla 19: Análisis de varianza................................................................................................106

Tabla 20: Resultado de la correlación de residuales, Prueba de White................................108

Tabla 21: Resultado de las pruebas Levene y Brown-Forsythe para Homocedasticidad. ...110

Tabla 22: Diagnóstico de colinealidad....................................................................................113

Tabla 23: Prueba de Jarque – Bera y probabilidad obtenida. ...............................................115

Tabla 24: Prueba de Kolmogorov-Smirnov y su conclusión. ................................................116

Tabla 25: Coeficientes de regresión de los modelos obtenidos. ...........................................119

Índice

V

Tabla 26: Variación de los índices macroeconómicos de octubre de 1998 a diciembre de

1999. ................................................................................................................................124

Tabla 27: Rendimiento esperado por acción (RE)..................................................................125

Tabla 28: Composición del portafolio T de octubre de 1998 a diciembre de 1999

(Porcentaje). ....................................................................................................................126

Tabla 29: Rendimiento semanal esperado contra real, octubre 1998 – diciembre 1999.

Modelo Multifactor. ..........................................................................................................128

Tabla 30: Rendimientos esperados y sensibilidades, semana 1, octubre 1998. ..................135

Tabla 31: Sistema de ecuaciones simultáneas......................................................................137

Tabla 32: Validación del modelo obtenido. ............................................................................141

Tabla 33: Desviaciones obtenidas al comparar el rendimiento esperado contra el real. 1998 y

diciembre de 1999. ..........................................................................................................144

Tabla 34: α estimada para la ecuación de Davidson y MacKinnon.......................................149

Índice

VI

Agradecimientos: A la Universidad Nacional Autónoma de México, por

permitirme en sus aulas formarme como persona y

profesionista.

A la Facultad de Química, por darme la oportunidad,

mediante la docencia el poder devolver a mi Universidad y a

la sociedad un poco de lo mucho que me ha dado.

Al Dr. Danilo Díaz Ruíz, por su guía, asesoría y gran

contribución al desarrollo de este trabajo.

A los miembros del jurado:

Dra. Alejandra Cabello Rosales, Dra. María Luisa Saavedra

García, Dr. Gregorio Herrera Santiago, Dr. Martín Abreu

Beristain, Dr. Orestes Gámez Díaz, Dr. Abdolreza

Rashnavady Nodjoumi, por sus sugerencias y tiempo

dedicado al enriquecimiento de este trabajo.

Índice

VII

Dedicatorias A mis dos orgullos: Emma y Raúl

A Uri, por todos estos años y por los que faltan.

A mi familia, por estar siempre a mi lado. A mis alumnos, que me han transmitido su vitalidad,

conocimiento, experiencias y por haberme soportado.

A mis amigos, por su apoyo y sobre todo por la gran

oportunidad de llamarlos mis amigos.

A todos aquellos, que han tomado y tomarán la decisión de

leer este trabajo.

Gracias…

Resumen

En el presente trabajo se analiza empíricamente la eficiencia del Mercado Mexicano

de Valores y la aplicabilidad de los principales modelos de fijación de precios

-Markowitz, Fijación de Precios de Activos de Capital (CAPM), la Teoría de Fijación

de Precios de Arbitraje (APT), y el Modelo Multifactor- en el mismo mercado. Con

este fin, se utilizaron rendimientos semanales de cierre de 35 acciones que formaban

parte del Índice de Precios y Cotizaciones entre 1994 y 1999 y herramientas

matemáticas como la caminata aleatoria, programación cuadrática, análisis de

regresión, álgebra lineal, y análisis de series de tiempo. El estudio muestra en el

periodo analizado un Mercado de débil eficiencia y una moderada relación entre β y

el rendimiento. El Modelo de Fijación de Precios de Arbitraje (APT) presentó mejor

desempeño que el Modelo de Markowitz y el CAPM (modelos bivariados), pero

inferior al Multifactor (modelo multivariado). Lo anterior demuestra la influencia de

factores macroeconómicos sobre el precio de las acciones y entre los más

significativos se encuentran: el Producto Interno Bruto, el rendimiento de CETES, el

tipo de cambio, y la base monetaria.

La conclusión global del estudio es que aunque el rendimiento de los activos o

carteras es un elemento muy importante, su comportamiento en el Mercado Mexicano

de Valores es complejo y no puede ser explicado por un solo factor. Los rendimientos

de los activos y los portafolios son influenciados significativamente por diferentes

fuerzas y su comportamiento únicamente puede ser definido por varios factores o

variables macroeconómicas.

Abstract.

In this work the Mexican Stock Market efficiency and the use of the main pricing

models -Markowitz, Capital Assets Pricing Model (CAPM), Arbitrage Pricing Theory

(APT), and Multifactor Model- in the same market are analyzed empirically. Weekly

closing prices of 35 shares that formed part of the Index of Prices and Quotations

between 1994 and 1999 and mathematical tools as random walk, quadratic

programming, regression analysis, lineal algebra, and time series analysis were

utilized. The study shows in the analyzed period a weak efficiency Market and a

moderate relation between β; and shares return. The Arbitrage Pricing Theory (APT)

had better performance than the Markowitz Model and CAPM, but lower than

Multifactor (multivariate model). This result confirms the macroeconomic factors

influence on the share and portfolios return, being the most significant: Gross Internal

Product, CETES yield, exchange rate, and the monetary base.

The global conclusion of the study is that although the assets return is a very

important element, its behavior in the Mexican Stock Market is complex and cannot be

explained for a single factor. The assets and portfolios returns are significantly

influenced by different forces and its behavior only can be defined by several

macroeconomic factors.

Introducción. Por la importancia que presenta el mercado de valores en la economía tanto nacional como

mundial, se requiere de análisis que permita su mejor conocimiento y control.

Hasta nuestros días la Economía Financiera es una disciplina empírica, tal vez la más

empírica de las áreas de la Economía y de las ciencias sociales en general. Esto no debe

causar sorpresa, ya que los mercados financieros no conllevan una alta abstracción teórica,

sino una gran aplicación práctica que refleja el comportamiento de la economía nacional e

internacional. En virtud de esta gran relevancia práctica demanda de la aplicación de

modelos financieros que la ayuden a su desarrollo y análisis.

Planteamiento del problema Los modelos desarrollados para la fijación de precios de activos; CAPM, APT y Multifactor

principalmente, han sido generalmente probados y desarrollados fuera del contexto nacional

y su nivel de efectividad para determinar el precio de una acción y que de acuerdo a la teoría

depende fundamentalmente del nivel de eficiencia del mercado de capitales. Sin embargo,

en el Mercado Mexicano de Valores existe poca evidencia empírica que permita determinar

el nivel de funcionamiento de estos modelos en él, así como su nivel de eficiencia.

La eficiencia de los mercados de capitales ha sido uno de los puntos más discutidos entre

los estudiosos económicos y financieros por muchos años. Por un lado, se encuentra un

grupo que testimonia que el movimiento de la información a través del mercado es

instantáneo, y luego los precios de los activos tienen que ser justos en cualquier momento.

Inversores de este tipo tratan de no incurrir en gastos innecesarios y por lo tanto aplican

estrategias pasivas de inversión. Por otro lado, hay quienes no creen en la eficiencia de

mercado, sosteniendo que con un buen manejo de fondos de activos, es posible obtener en

periodos consecutivos un rendimiento mayor al del mercado. Asimismo, los adherentes a

este grupo señalan la existencia de diversas “anomalías” en el mercado que demuestra que

los mismos no son totalmente eficientes y por lo tanto se puede ganarle al mercado. En esta

discusión sin fin sobre la eficiencia del mercado y la existencia de estas “anomalías” radica la

motivación de este trabajo, por lo que pretende contestar las siguientes preguntas en forma

general:

Introducción

2

¿Es el mercado de valores mexicano eficiente?

¿Son aplicables los modelos de fijación de precios (CAPM, APT y Multifactor) en el

Mercado Mexicano de Valores?

y en particular:

¿Qué variables macroeconómicas afectan el rendimiento de una acción?

¿Cuál es el efecto individual y en conjunto de estas variables sobre el rendimiento la

acción?

¿Se puede determinar con cierto grado de confianza el rendimiento de una acción

(dependiendo del grado de eficiencia del mercado) en el mercado de valores

mexicano?

Objetivos. Dentro de este contexto se establece como objetivo general de este estudio el “Determinar el

grado en el que modelos matemáticos actuales permiten pronosticar el rendimiento de una

acción así como el nivel de eficiencia del mercado mexicano de valores”.

Hipótesis. Para la consecución de este objetivo es necesario la comprobación de una serie

hipótesis. Dentro de éstas destacan las relacionadas con la eficiencia del mercado y la

aplicabilidad de los modelos actuales de fijación de precio en el mercado de valores nacional

cuyo mecanismo de prueba se presenta en la tabla siguiente.

Hipótesis General: Método de prueba:

H0: El mercado de

valores en México es

eficiente.

Se determina la eficiencia del Mercado Mexicano de Valores

estableciendo, si sigue una caminata aleatoria, de ser así, el

mercado es eficiente. Esta prueba se efectuará con el uso de

Correlogramas, y las prueba de: Box- Pierce, Ljung-Box,

Mackinnon y rachas cuyo objetivo es determinar si la serie de

tiempo es estacionaria, de ser así, se considera que la serie no

sigue una caminata aleatoria, por lo que no refleja la información

del mercado en el rendimiento de la acción y por lo tanto se el

considera ineficiente.

Introducción

3

Hipótesis particulares. Método de prueba:

H01: Los modelos

actuales de fijación

de precios describen

el comportamiento

del rendimiento de

una acción en el

mercado de valores

mexicano.

Se establecen modelos matemáticos tomando como base el

CAPM, la teoría de Fijación de Precios de Arbitraje y Análisis

Multifactorial, utilizando el Análisis de Regresión Multivariado.

H02: Las variables

macroeconómicas

influyen en el

rendimiento de una

acción.

Mediante la Regresión Lineal Múltiple, utilizando las pruebas el

estadístico t y F, para determinar su peso dentro del modelo, su

correlación parcial, y cuantificar la sensibilidad de la cartera a las

principales variables macroeconómicas.

Justificación. Como se establece en la sección de antecedentes, en nuestro país se ha probado con

diferentes resultados, el grado en el que modelos como el CAPM y APT se aplican en el

Mercado Mexicano de Valores. Sin embargo, ninguno de ellos involucra en su estudio la

Eficiencia del Mercado (necesario para la Hipótesis Conjunta) y pruebas de aplicación del

Modelo Multifactor, puntos que diferencian el presente trabajo de los anteriormente

efectuados y en los que se basa su aportación. Este enfoque brindará un mayor conocimiento del mercado, así como bases y puntos de partida para futuras investigaciones.

Alcance y limitaciones. Como se mencionó anteriormente este trabajo de investigación pretende validar

empíricamente la eficiencia y los modelos de fijación de precios, en específico: Markowitz,

CAPM, APT y Multifactor, en el periodo 1994 – 1999, en el Mercado Mexicano Valores. Para

esto se utilizaron los precios de cierre semanal de las 35 acciones que en ese momento

formaban parte del Índice de Precios y Cotizaciones, es decir, acciones de gran bursatilidad

y representatividad del mercado.

Introducción

4

El periodo analizado. Los datos utilizados son rendimientos semanales (de cierre). De una población de 153

acciones, se seleccionó una muestra de 35 acciones del Mercado Mexicano de Valores,

todas ellas componentes de Índice de Precios y Cotizaciones. Esta muestra contiene

empresas de diferentes tamaños y sectores económicos y abarca cerca del 23 por ciento de

la población.

Los rendimientos de las acciones que se utilizarán como base en el presente trabajo

comprenden el periodo de enero de 1994 a diciembre de 1999, el cual es suficiente para

poder establecer los modelos y su posterior análisis. En este periodo, el país ha sufrido tanto

épocas de estabilidad como de inestabilidad económica, que han provocado variaciones en

el rendimiento de las acciones. Debido a este comportamiento, se considera que el análisis

de las variables que provocaron estas fluctuaciones permitirá determinar cual es su grado de

influencia (sensibilidad) sobre la variable dependiente (rendimiento de la acción o cartera,

según el caso) y por lo tanto efectuar un análisis sólido de los modelos, determinando el nivel

en el que describen el pasado y nos ayuden a pronosticar el rendimiento futuro de una

acción.

Las acciones analizadas son de las empresas: Televisa, Apasco, Modelo, Cemex (CPO),

Telmex L, Alfa, Benavides, Herdez, Gissa, Kof, Peñoles, Maseca, TvAzteca, Gruma, Ciel,

Grupo México S.A. de C.V. (Gmex), Autrey, Femsa, Ara, Cemex (A), Cemex (B), Geo, Ica,

Consorcio Hogar S.A. de C.V. (Hogar), Tribasa, Carso, Desc S.A. de CV. (DescA, DescB y

DescC), San Luis Corporación (Sluis), Telmex A, Controladora Comercial Mexicana

(Comerci), Hilasal Mexicana (Hilasal), Elektra y Cifra, empresas que brindan un panorama

amplio del comportamiento del mercado mexicano de valores, mismo que permitirá

determinar si las hipótesis y objetivos planteados para el presente trabajo se cumplen. Por

otro lado, es importante establecer que el estudio se realiza utilizando los rendimientos

semanales (cierre), las variables macroeconómicas que se reportan en forma mensual y

trimestral como son: el PIB, y el Gasto Público entre otras, fueron interpoladas linealmente

para permitir el análisis semanal. Cabe resaltar aquí que esta periodicidad y metodología fue

sugerida por el Dr. Martín Abreu Beristain en base a su experiencia y amplio conocimiento

teórico y del mercado.

Introducción

5

Los datos Origen Bolsa Mexicana de Valores

Periodo de la muestra Enero de 1994 a diciembre de 1999

Criterio de selección Todos los componentes del Índice de Precios y Cotizaciones, sin

datos perdidos durante el periodo, alto índice de bursatilidad.

Sistemática diversificación a través de los sectores industriales y

tamaño de las firmas.

Intervalo de tiempo Rendimientos de cierre semanales.

Tipo de investigación. De acuerdo al planteamiento anterior este estudio es: cuantitativa, descriptiva,

correlacional1 y explicativa2. Epistemológicamente hablando, el objeto de estudio de la

presente investigación es el rendimiento de una acción (cartera) en el Mercado Mexicano de

Valores, que será abordado mediante el “enfoque de sistemas”, estableciendo la relación

existente entre variables micro y macroeconómicas (medio ambiente o suprasistema) con el

rendimiento. La validación de los cuatro modelos de fijación de precios (Markowitz, CAPM,

Multifactor y APT) y la eficiencia del mercado, se efectúa de manera empírica, ya que se

enfrenta a estos modelos teóricos a la realidad con el fin de vislumbrar sus fortalezas y

debilidades. Como resultado se obtendrá el nivel de aplicación de estos modelos, el nivel de

eficiencia de nuestro mercado bajo la influencia de nuestras características económicas y un

mayor conocimiento del mismo mercado.

Secuencia de la investigación Para efectuar dicho análisis, este trabajo se desarrolla en cuatro fases. Secuencia que fue

seleccionada de acuerdo al orden cronológico en el que se fueron desarrollando estas

teorías.

En la primera fase de este trabajo se examina la eficiencia del Mercado Mexicano de Valores mediante la utilización de teorías como: la caminata aleatoria y la Hipótesis de

Martingale, que ayudan a establecer la eficiencia, pero no el grado. Este se establece con la

ayuda de las teorías de fijación de precios antes estudiadas de acuerdo con la Hipótesis

Conjunta de Eficiencia del Mercado. Para lograr el objetivo de probar la eficiencia, se utilizan

1 Este tipo de estudios pretende medir el grado de relación que existe entre dos o más conceptos o variables. 2 Este tipo de estudio está dirigido a responder la causa de eventos fijos o sociales.

Introducción

6

correlogramas, la prueba de la raíz unitaria y otras herramientas matemáticas útiles para tal

fin. Un panorama general de la forma en se efectúa este análisis se presenta en la figura 1.

Figura 1: Determinación empírica de la Eficiencia del Mercado Mexicano de Valores

La segunda fase -presentada en la figura 2-, tiene como objetivo el analizar empíricamente a

los modelos de fijación de precios bivariados (Markowitz y CAPM clásico) y comprende; la

recopilación de información, el establecimiento de ambos modelos, su validación y el análisis

de los resultados obtenidos.

1. Inicio.

2. Recopilación de información.

3. Prueba de estacionariedad 4. Prueba de raíz unitaria

5. Prueba de rachas

6. Análisis de los resultados obtenidos

1

2

3

4

5

6

7

Fase II

7. ¿Siguen los rendimientos una caminata aleatoria?

8. Si: el mercado es eficiente

9. No: el mercado no es eficiente

8

9

Introducción

7

Figura 2: Fase II. Determinación empírica de modelos bivariados de fijación de precios.

En la Fase III, se exploran los modelos multivariados de fijación de precios (Multifactor y la

Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje (APT)), se determina su capacidad para generar

portafolios de arbitraje, y de pronóstico en el mercado nacional. En esta fase se establece

además, que variables macroeconómicas influencian el rendimiento de una acción y/o una

cartera de inversión, el grado en el que lo hacen y el nivel en el que estas teorías logran

describir el comportamiento del rendimiento en el mismo mercado.

La figura siguiente describe esta sección y en ella se puede observar la importancia del

análisis de regresión tanto para el Multifactor como para el APT, de ahí entonces el énfasis

que se le pone en el desarrollo de este trabajo y el cuidado que se le da al cumplimiento de

los supuestos en el que se basa.

1. Inicio.2. Recopilación de información

necesaria para el análisis

3. Selección del portafolio 4. Determinación del grupo factible”

5. Determinación de la composición del portafolio T

6 Validación del modelo.


Inicio de la “fase III”.

1

2

3

4

5

6

7

Fase III

8

9

10

C

A

P

M

Modelo de Markowitz

8. Línea del mercado de activos

9. Línea del mercado de capitales

10. Determinación del rendimiento del portafolio M


CAPM

Introducción

8

Figura 3: Fase III. Análisis de los Modelos Multivariados de Fijación de Precios.

El objetivo planteado en la introducción de este trabajo fue el determinar si los modelos de

fijación de precios (Markowitz, CAPM, Multifactor y APT) son aplicables en Mercado

Mexicano de Valores. En la fase IV, se persigue probarlo, mediante un análisis matemático

conjunto de los modelos obtenidos empíricamente, determinando así cuál de ellos es el que

mejor funciona en este mercado y sus respectivos grados de cumplimiento. Este análisis

permite el obtener las conclusiones generales de este trabajo (ver figura 4).

Esta secuencia del análisis se refleja en los capítulos que a continuación se desarrollan y

que presentan la estructura descrita. Cabe recalcar aquí, que cada una de las fases,

traducida ya a capítulos, incluye conclusiones particulares denominadas análisis de los

resultados obtenidos y que algunos de ellos son retomados en las conclusiones finales de

este trabajo. Por otro lado, en la solapa posterior de este documento, encontrará un disco

que contiene las tablas, figuras y archivos generados durante la investigación.

Fase IV

1

3

6

7

8

2

59

4

1. Inicio.

2. Obtención de los datos necesarios para el análisis.

3. Cálculo de los índices.

4. Determinación del nivel de correlación entre las variables independientes.

5. Análisis de “Regresión Múltiple”.

6. Determinación de la composición del portafolio T

7. Validación del modelo.


9. Determinación del portafolio de arbitraje

10. Validación del modelo

Determinación empírica del modelo Multifactor

Determinación empírica del APT

11. Pronóstico


10

11

12

A

P

T

Introducción

9

Figure 4: Fase IV. Análisis conjunto de los modelos obtenidos y conclusiones.

Fase II Fase III

Fase I

Análisis conjunto

Conclusiones

I Antecedentes. El comportamiento de precio de acciones, y la relación entre el riesgo y el rendimiento en los

mercados financieros, ha sido del interés de los investigadores por mucho tiempo. En 1905,

un joven científico llamado Albert Einstein, buscando demostrar la existencia de átomos,

desarrolló una elegante teoría basada en el movimiento Browniano. Einstein explicó el

movimiento Browniano el mismo año que propuso la teoría de la relatividad. Con el tiempo

sus resultados fueron considerados completamente revolucionarios. Sin embargo, la teoría

del movimiento Browniano había sido descubierta cinco años antes por el joven candidato a

doctoral francés Louis Bachelier3. El estaba tratando de explicar ciertos movimientos

complejos: el precio de las acciones en la Bolsa de París (Paris Bourse). Bachelier fue el

primero en estudiar las fluctuaciones en los precios de las acciones y sus distribuciones de

probabilidad. Su tesis doctoral obtuvo resultados sobresalientes, los que se anticiparon a la

teoría del movimiento Browniano de Einstein y a muchos de los conceptos teóricos de las

finanzas. Bachelier recibió una respetable “mención honorífica”, pero su teoría no recibió

mucha atención y su muerte transcurrió en la oscuridad en 1946 (Holt (1997)4).

El potencial total de la teoría de Bachelier fue explotado 50 años después por Mandelbrot

(1963)5 y Fama (1965)6. Ellos descubrieron que la varianza de los rendimientos no es

constante a través del tiempo (heterocedasticidad) y que la distribución de los cambios de

precios no es una Gaussiana, presenta kurtosis, y estos conceptos se encuentran entre los

fundamentos de la teoría financiera moderna. Fama concluyó que las distribuciones

empíricas de los precios de las acciones no siguen una distribución Gaussiana y sí una de

Pareto con exponente característico menor que 2, esto es, con media finita, pero varianza

infinita. Sin embargo, fue sólo con el Capital Asset Pricing Model (CAPM) desarrollado por

Sharpe (1964)7 que uno de los problemas importantes de la economía financiera moderna

fue formalizado: la cuantificación de la relación entre riesgo y rendimiento esperado.

3 Bachelier, L. “Theory of Speculation,” in Cootner, P. (ed.), The Random Character of Stock Market Prices, Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, MA, 1900, 1964 reprint. 4 Holt, J., “Motion Sickness: a Random Walk from Paris To Wall Street”, Lingua Franca, 1997, in www.linguafranca.com. 5 Mandelbrot, B., “The Variation of Certain Speculative Prices”, Journal of Business, Vol.36, 1963. 6 Fama, E.F., “The Behavior of Stock Market Prices”, Journal of Business, Vol. 38, 1965. 7 Sharpe, W.F., “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk”, Journal of Finance, Vol.19, 1964.

Antecedentes

11

Los gestores de la teoría moderna de la cartera son Markowitz (19528), Sharpe (1964) y

Lintner (1965)9 , quienes simplificaron el problema suponiendo que las preferencias de los

inversionistas sólo dependen de la media y la varianza del valor aleatorio de liquidación de la

cartera. Markowitz señala que para diseñar una cartera eficiente es necesario entender lo

que significa rendimiento esperado y riesgo.

Por otra parte, Black y Scholes en 197210, demostraron que el precio teórico de una opción

de compra sobre una acción, es solución de una ecuación en derivadas parciales.

Los partidarios del CAPM argumentan que la β, una medida del riesgo sistemático relativo al

portafolio de mercado, es el único determinante del rendimiento. Cualquier variabilidad

adicional causada por eventos particulares puede ser “diversificada”: los mercados de

capitales no recompensan riesgos innecesarios.

En 1976, Ross11 introdujo el Arbitrage Pricing Theory (APT) como una alternativa al CAPM.

El APT tiene el potencial de superar las debilidades del CAPM: Se requieren menos y más

realistas supuestos para ser generado por un simple argumento de arbitraje y su poder

explicatorio es potencialmente mejor debido a que es un modelo multifactor. Sin embargo, el

poder y la generalidad del APT son su vez su fuerza y debilidad: el APT permite a los

investigadores elegir que factores utilizar para una mejor explicación de los datos, pero no

pueden explicar la variación del rendimiento de los activos en términos de un número

limitado de factores fácilmente identificables. En contraste, el CAPM es intuitivo y fácil de

aplicar.

Una enorme cantidad de literatura ha sido escrita sobre estos modelos. Es ampliamente

aceptado que el APT se desempeña mejor que el CAPM por lo que se convierte en una

alternativa interesante. Sin embargo, el mundo académico está profundamente dividido entre

los defensores de la beta (Sharpe (1964, 199812), Cheng (1995)13, Grundy y Malkiel

8 Markowitz, H., “Portfolio Selection”, Journal of Finance, Vol.7, p. 71-91, 1952. 9 Lintner J., “The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets”, Review of Economics and Statistics, Vol. 47 p. 13-37, 1965. 10 Black, F., Jensen, M., Scholes, M., “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests”, in Jensen, M., Studies in The Theory of Capital Markets, Praeger, New York, 1972. 11 Ross, S.A., “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing”, Journal of Economic Theory, Vol.13, 1976. 12 Sharpe, W.F., ”Revisiting the Capital Asset Pricing model”, an Interview by Jonathan Burton, Dow Jones Asset Manager, May-June 1998.

Antecedentes

12

(1996)14), los partidarios del APT (Chen (1983)15, Chen, Roll and Ross (1986)16, Fama y

French (1992)17, Groeneworld y Fraser (1997)18) e investigadores que cuestionan la

aplicabilidad de ambos métodos (Roll (1977))19, Shanken (1982)20, Dhrymes, Friend y

Gultekin(1984)21). El enfoque de esta investigación es probar y comparar el CAPM y el APT

en el Mercado Mexicano de Valores.

I.1 APT y factores macroeconómicos El APT por sí mismo no provee guías específicas para elegir los factores macroeconómicos,

y la forma de elegirlos ha sido usualmente arbitraria. La interpretación económica de factores

comunes es probablemente la dirección más importante de futuras investigaciones (Chen

1983).

El primer acercamiento real para encontrar factores macroeconómicos significativos se debió

a Chen, Roll and Ross (1986). Ellos asumieron que las fuerzas sistemáticas 0 λ1 λ2 λ3 λ4

influencian a los rendimientos. Identificaron 5 variables macroeconómicas que afectan los

rendimientos de las acciones en la Bolsa de Valores de Nueva York, durante el periodo

1958-84: la producción industrial, cambios en la inflación esperada, la inflación no esperada,

la prima de riesgo y estructura de las tasas de interés. Utilizaron por primera vez el análisis

factorial para analizar las principales variables macroeconómicas que afectan a la economía

de E.U.

Groenewold y Fraser (1997) eligieron variables macroeconómicas basadas en la hipótesis

general que dice que los rendimientos son influenciados por tres clases de factores: actividad

real doméstica, influencia doméstica nominal y variables externas. Encontraron que los

13 Cheng, A.C.S., “The UK Stock Market and Economic Factors: a New Approach”, Journal of Business Finance and Accounting, Vol.22, 1995. 14 Grundy, K., and Malkiel, B. G., “Reports of Beta’s Death Have Been Greatly Exaggerated”, Journal of Portfolio Management, Vol. 22, 1996. 15 Chen, N. F., “Some Empirical Tests of Arbitrage Pricing”, Journal of Finance, Vol. 38, 1983. 16 Chen, N. F., Roll, R., Ross, S.A., “Economic Forces and the Stock Market”, Journal of Business, Vol. 59, 1986. 17 Fama, E.F., French K.R., “The Cross-section of Expected Stock Returns”, Journal of Finance, Vol. 47, No. 2, 1992. 18 Groenewold, N., Fraser, P., “Share Prices and Macroeconomic Factors”, Journal of Business Finance and Accounting, Dec. 1997. 19 Roll, R., “A critique of the Asset Pricing Theory’s Tests”, Journal of Financial Economics, Vol. 4, 1977. 20 Shanken, J. “ The Arbitrage Pricing Theory: Is It Testable?”, Journal of Finance, Vol. 37, 1982. 21 Dhrymes, P.J., Friend, I., Gultekin, N.B., “A Critical Reexamination of the Empirical Evidence on the Arbitrage Pricing Theory”, Journal of Finance, Vol. 39, 1984

Antecedentes

13

activos en el mercado accionario australiano son afectados principalmente por la tasa

inflacionaria y por variables monetarias.

Un interesante y revolucionario estudio fue el efectuado por Cheng (1995)22. Él, desarrolló un

análisis de factores con muestras de activos y las principales variables macroeconómicas en

el Mercado de Valores del Reino Unido en el periodo 1965-1988. Comparó los dos conjuntos

buscando correlación significativa a través de de técnicas de correlación canónica. En

general, el uso del análisis factorial como herramienta explicatorio utilizando factores

artificiales es una poderosa y relativamente nueva técnica que ofrece considerables

potencialidades.

Arduino Cagnetti (199223), exploró la Mercado Italiano de Valores (MIV), entre enero de 1990

y junio de 2001, encontró que el 40 por ciento de las acciones de una muestra de 30

acciones de ese mercado se encuentran normalmente distribuidos, en contraste con lo

obtenido por Mandelbrot (1963) y Fama (1965). Pruebas empíricas en este estudio muestran

una relación débil entre β y el rendimiento esperado en el MIV y que el CAPM tiene un pobre

poder explicatorio. El APT, muestra de acuerdo a las pruebas desarrolladas en este estudio

un mejor desempeño que el CAPM. Las acciones y portafolios en el MIV son

significativamente influenciadas por algunos factores macroeconómicos. Utilizó el análisis

factorial para reemplazar la controversial búsqueda de factores para el APT. Aunque el

desempeño del APT, es superior al del CAPM, Cagnetti, también demostró, que el APT

explica menos del 44 por ciento de la varianza total del rendimiento de las acciones.

I.2 Pruebas empíricas en México. En nuestro país, Cora Marcela Navarro López (1999)24 realizó una prueba empírica de la

Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje (APT) en el Mercado Accionario Mexicano,

tratando de conocer si el modelo era capaz de explicar la variación en rendimientos de las

acciones mexicanas durante el periodo 1992.01 a 1998.06, a través del reconocimiento de

más de un factor de riesgo, bajo un enfoque teórico de especificación a priori de variables

macroeconómicas, aplicó dos metodologías diferentes, (basadas en los artículos de Cheng

22 Op. Cit. 13 23 Cagnetti, A., Capital Asset Pricing Model and Arbitrage Pricing Theory in the Italian Stock Market: an Empirical Study”, Italia 2002. 24 Navarro López C.M., y López Gaytán M.G., “Prueba empírica de la Teoría de Valuación de Arbitraje (APT) en el Mercado Accionario Mexicano” , ITESM, México, 1999.

Antecedentes

14

(1995) y Koutoulas & Krysanowski (1996)25) para estimar el APT, utilizando en cada una tres

diferentes parámetros para representar al mercado accionario mexicano (el IPyC general,

siete índices sectoriales y primera metodología se basa en el análisis de regresión, mientras

que la segunda utiliza el análisis de factores aunado al de regresión, por lo que se le conoce

como Modelo de Dos Pasos.

En ambos modelos, se encontró que más de un factor de riesgo representa el proceso de

generación de rendimientos, por lo que se concluyó que el Mercado Accionario Mexicano era

consistente con el modelo APT, para el período 1992.01 a 1998.06. De manera particular, los

factores de riesgo más significativos (predominantes) en el mercado mexicano, con un 5%

de significancia, son: variables internacionales como el Dow Jones, los Certificados de la

Tesorería Estadounidense, el tipo de cambio y las exportaciones; así como variables

financieras y monetarias como el Papel Comercial, los CETES91 y M1. La influencia de las

variables extranjeras en el mercado mexicano refleja la relación que existe entre México,

considerado un mercado emergente, y el entorno internacional, principalmente con Estados

Unidos. La sensibilidad de los rendimientos del índice de mercado IPyC y de los índices

sectoriales hacia estos factores de riesgo explicaron significativamente sus variaciones con

unos coeficientes de determinación (R2 ajustada) promedio de 91% en la mayoría de los

casos.

Comparado con otros estudios de APT realizados en distintos países desarrollados, la

investigación no encontró significativas a variables tales como: la inflación, el desempleo y el

Índice del Volumen de la Producción Industrial (IVPI). Este resultado parece sorprendente

puesto que la inflación, por ejemplo, es la variable más común en la mayoría de los estudios

de APT con macrofactores, analizados en el estudio. La razón de este resultado se debe

quizás a que la economía mexicana haya convivido siempre con altos índices de inflación,

por lo que ya no se le considera como una fuente de riesgo importante. Otra razón podría ser

que el efecto de la inflación ya se encuentra contemplado en la emisión monetaria, misma

que sí resultó ser significativa.

25 Koutoulas. G., and Kryzanowski, L., "Macrofactor Conditional Volatilities, Time-Varying Risk Premia and Stock Return Behavior". The Financial Review, 31, No. 1, p. 169-195, 1996.

Antecedentes

15

En investigación posterior el Dr. Gregorio Herrera Santiago (2000)26 analizó la utilidad del

APT en el Mercado Mexicano de Valores, utilizando para su análisis factores como: el Índice

de Precios y Cotizaciones, diferencia de tasas entre CEDES 91 días y CETES 28 días,

Precio del petróleo, el Producto Interno Bruto, Índice Nacional de Precios al Consumidor,

tipo de cambio, tasa PRIME, variación del saldo de la Balanza Comercial, Índice del Volumen

de la Producción Industrial, y la tasa LIBOR. Herrera obtuvo como conclusión de su análisis

que las 4 primeras variables son las que realmente influyen en el rendimiento de una acción

en el mercado mexicano. Sin embargo, concluyó que el APT es poco confiable para el

mismo mercado, ya que con datos mensuales y diarios observó una sobrevaluación en el

rendimiento real de las emisoras que van desde –21.3 hasta el 45.62 por ciento y aunque

presenta mayores bondades que el CAPM, dado que este último sobrevaluó el 100

por ciento los rendimientos.

Vázquez (2001)27 realiza un estudio del APT en México, que va del periodo 1992 a 2000.

Mediante el análisis de componentes principales conforma factores de riesgo y los

rendimientos de las acciones en el periodo, por medio de un modelo de regresión múltiple.

Las variables macroeconómicas utilizadas son: Costo porcentual promedio, inflación,

producto interno bruto, índice de volumen físico, precio del petróleo, tipo de cambio,

circulante, deuda pública, saldo de la cuenta corriente saldo de la cuenta de capital, reservas

internacionales, índice del mercado, y tasa de desempleo. Con las tasas de crecimiento de

estas variables macroeconómicas, se realizó el análisis de componentes principales

obteniendo cinco factores y así se determinó que variables eran representativas de cada

factor y, por lo tanto el riesgo sistemático. Las variables más significativas para la explicación

del riesgo sistemático fueron: las tasas de cambio del circulante, inflación, el precio del

petróleo, el índice del mercado y en las reservas internacionales. En síntesis, el estudio de

Vázquez constituye una prueba estadística favorable al potencial del APT para explicar el

rendimiento de las acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores.

26 Herrera Santiago, G., La Eficiencia del modelo de Evaluación de Precios de Arbitraje: El caso mexicano, Tesis doctoral, FCA UNAM, México, 2000. 27 Vázquez T.F.J., “Validación Empírica del Modelo APT, Arbitrage Pricing Theory, en México para Conformar y Administrar Portafolios de Inversión en Títulos Accionarios”, UNAM, México, 2001.

Antecedentes

16

I.3 Eficiencia del mercado. En 1970 Fama28 estudió la literatura desarrollada en el modelo de mercados eficientes. De

acuerdo a Fama, “un mercado en el cual los precios reflejan completamente la información

disponible es llamado eficiente”. El da definiciones de distintos niveles de eficiencia del

mercado, dependiendo de tres subgrupos de información: Precios históricos, información

públicamente disponible y finalmente, toda la información incluyendo aquella privilegiada que

no está disponible al público.

De acuerdo a Fama, la hipótesis de los mercados eficientes históricamente se subdivide en

tres categorías. “Las pruebas de eficiencia Débil”, analizan si la información contenida en

precios históricos es completamente reflejada en los precios corrientes. Las pruebas de

eficiencia Semi-fuerte”, analizan si la información disponible para el público está

completamente reflejada en los precios de las acciones. Finalmente, las pruebas a la forma

fuerte de eficiencia de los mercados, analizan si toda la información, tanto pública como

privada está completamente reflejada en los precios de los activos y si algún inversor puede

realizar un “rendimiento anormal”.

Fama concluye que las pruebas de la forma “débil” del modelo de mercado son las más

voluminosas y los resultados están a favor de la hipótesis de los mercados eficientes. Más

aún, el encuentra que los las pruebas de “eficiencia Semi-fuerte, en los cuales se asume que

los precios reflejan toda la información disponible, también están a favor de la hipótesis de

los mercados eficientes.

Después del trabajo de Fama, varios autores encontraron evidencia en contra de la hipótesis

de eficiencia del mercado de capitales. De acuerdo a Elton & Gruber (1995)29, “…. se ha

encontrado evidencia de que un número de características de las empresas como tamaño

dividido por el valor libros (M/B Ratio) y Utilidades (Earnings) dividido por el precio (E/P

Ratio) están relacionadas con el rendimiento excedente…”. ... La relación entre las

características de las empresas y el rendimiento excedente son descubrimientos empíricos

difíciles de reconciliar con el concepto de mercados eficientes. Es más, estas son

comúnmente llamados anomalías de mercado, debido a que en un mercado eficiente no

28 Fama, E.F., “Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work”, Journal of Finance, May, p. 383-417, 1970. 29 Elton, E.J. and Gruber, M.J., “Modern Portfolio Theory and Investment Analysis”, Fifth Edition, John Wiley & Sons, inc., 1995.

Antecedentes

17

sería posible obtener un rendimiento excedente basado en características observables de las

empresas. Estas anomalías son comúnmente llamadas “Cross-sectional Anomalies”

Reinganum (1981)30, analiza si los efectos Tamaño y E/P están relacionados con el mismo

grupo de factores. Encuentra que la evidencia indica que la anomalía E/P y el efecto tamaño

son proxies para el mismo grupo de factores que estarían faltando en la especificación del

modelo CAPM. De acuerdo a este autor, la evidencia también revela que el grupo de

factores está más relacionado en el tamaño que con el E/P ratios y concluye que el Efecto

Valor incluye al efecto E/P.

El objetivo de Basu (1983)31 es el de reexaminar la relación entre el E/P ratio, el tamaño de la

empresa y los retornos de las acciones ordinarias del NYSE. En su “paper” intenta

determinar si las conclusiones de Reinganum (1981) son robustas respecto del uso de una

base de datos y una muestra distinta, junto con la utilización de una metodología alternativa.

El encuentra que el efecto tamaño, virtualmente desaparece cuando se controla por

diferencias en Riesgo y en E/P ratios. Encontró además, que la fuerza del efecto E/P varía

inversamente con el tamaño de la compañía. “Los hallazgos empíricos indican que la

anomalía E/P no puede ser atribuida a efectos relacionados con la información de ganancias

de las empresas, lo que avalaría la validez de la hipótesis de Basu, que la anomalía

probablemente implique una falta de especificación del CAPM más que a problemas de

información en el mercado de capitales.

Fama (1991)32 reconoce que los modelos multifactoriales aparentemente trabajan mejor que

el modelo CAPM, pero alerta que estos modelos son licencias para buscar en los datos

variables explicativas que, expost, describen los rendimientos promedio. Por ello no

sorprendería que estas variables tengan poder explicativo en los mismos datos utilizados

para identificarlas.

30 Reinganum, M., “Misspecification of Capital Asset Pricing: Empirical Anomalies Based on Earnings Yields and Market Values”, Journal of Financial Economics”, p. 19-46, 1981. 31 Basu, S., “The Relationship Between Earnings’ Yield, Market Value and Return For NYSE Common Stocks”, Journal of Financial Economics, Vol 12, 1983. 32 Fama, E..F., “Efficient Capital Markets II”, Journal of Finance, Vol. 46, p. 1575-1617, 1991.

Antecedentes

18

Urrutia (1995)33 investiga la hipótesis de la caminata aleatoria (Random Walk) para

Argentina, Brasil, Chile y México. Encuentra que “los mercados de acciones de Argentina,

Brasil, y Chile están abiertos sólo por cuatro horas o menos. [...] (más aún) la capitalización

de mercado, volumen de transacciones, y el número de compañías listadas es relativamente

pequeño comparado con aquellos de los mercados más desarrollados. Además, Los

mercados accionarios de Latino América tienen distintos grados de barreras de entrada para

los inversores internacionales, desde libre entrada en Argentina hasta sólo los fondos

especiales en Brasil”. Sus resultados son que la hipótesis de la caminata aleatoria no es

rechazada para el mercado Latino Americano. Claessens, Dasgupta & Glen (1995)34 incluyen

en su análisis al E/P, Capitalización de mercado, M/B (book-to-market ratio), Tasa de

dividendos y cambio porcentual en la moneda local; encuentran evidencia en contra del

modelo CAPM para 19 mercados emergentes. El M/B ratio (market to book ratio) prueba ser

significativo sólo en seis países y el E/P ratio sólo en siete países, siendo positivo en seis de

ellos. Once países mostraron un efecto tamaño positivo. Ellos concluyen que evidencia

empírica sustancial sugiere que un número de factores ayuda a explicar el comportamiento

cross-seccional de los retornos de los activos.

33 Urrutia, J.L.., “Tests of random walk and market efficiency for Latin American emerging equity markets”, Journal of Financial Research, Vol. 18, No. 3, p. 299, 1995. 34 Claessens, S., Dasgupta, S. and Glen, J., “The Cross-Section of Stock Returns, Evidence from Emerging Markets”, Policy Research Working Paper, World Bank, 1995.

II Marco teórico II.1 Eficiencia de mercado. El origen de Hipótesis de Eficiencia de Mercado (HEM) puede ser determinado a partir de las

contribuciones teóricas de Bachelier (1900)35 y las investigaciones empíricas de Cowles

(1933)36. La literatura moderna en economía se inicia con Samuelson (1965)37, cuya

contribución puede ser resumida por el título de su artículo: “Pruebas que precios anticipados

apropiadamente fluctúan aleatoriamente”38. En un mercado eficiente (desde el punto de vista

de la información) los cambios en los precios no pueden ser pronosticados si incorporan

las expectativas e información de todos los participantes del mercado.

Fama (1970)39 resume esta idea en su clásico de la siguiente forma “Un mercado en el cual

los precios ‘reflejan totalmente’ la información disponible se llama ‘eficiente’”. Los apóstrofes

utilizados por Fama indican que estas palabras deben ser explicadas más ampliamente. Más

recientemente, Malkiel (1992)40 ofreció una definición más explícita:

Se dice que un mercado de capitales es eficiente si refleja total y correctamente la

información relevante en la determinación del precio de una acción. Formalmente, se dice

que el mercado es eficiente con respecto a un conjunto de información si el precio del

activo no es afectado por revelar esa información a todos los participantes. Más aún,

eficiencia con respecto a un conjunto de información implica que es imposible obtener una

utilidad económica por la comercialización de o ese conjunto de información.

La primera afirmación de Malkiel repite la definición de Fama. Su segunda y tercera

sentencia amplían la definición en dos formas alternativas. La segunda sugiere que la

eficiencia de mercado puede ser probada por la revelación de información a los participantes

y medir la reacción de los precios de los activos. Si el precio no se mueve cuando la

información es proporcionada, entonces el mercado es eficiente con respecto a la

35 Op. Cit. 3 36 Cowles, A., “Can Stock Market Forecasters Forecast?,” Econometrica, Vol. 1, p. 309-324, 1933. 37 Samuelson P., “Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly,” Industrial Management Review,

Vol. 6, p. 41-49, 1965. 38 Bernstein, presenta y discute las contribuciones de Bachelier, Cowles, Samuelson, y otros muchos autores. Este artículo reimpreso en Lo (1996) incluye algunos de los más importantes artículos de esta literatura. 39 Op. Cit 21 40 Malkiel, B., “Efficient Market Hypothesis,” in Newman, P., M. Milgate, and J. Eatwell (eds), New Palgrave

Dictionary of Money and Finance, Macmillan, London, 1992.

Marco teórico

20

información. Aunque esto es claro conceptualmente, es difícil de llevar a cabo una prueba en

la práctica (excepto quizá en un laboratorio).

La tercera afirmación de Malkiel sugiere una forma alternativa de probar la eficiencia de

mercado, esta es, cuantificar las utilidades que pueden ser obtenidas por el intercambio de

información. Esta idea está fundamentada en casi todos los trabajos empíricos sobre la

eficiencia del mercado y ha sido utilizada en dos formas principalmente. La primera, muchos

investigadores han tratado de medir las utilidades ganadas por profesionales del mercado

tales como administradores de fondos de inversión. Si obtienen rendimientos superiores

(después de ajustes por riesgo) el mercado no es eficiente con respecto a la información que

poseen los administradores. Este análisis presenta la ventaja de concentrar la

comercialización real de los participantes del mercado, pero tiene la desventaja de no poder

observar directamente la información utilizada por los administradores en sus estrategias de

comercialización41.

Como una alternativa, uno se puede preguntar si una comercialización hipotética basada en

información explícita y específica generaría rendimientos superiores. Para implementar esta

idea, se debe elegir primero la información. La taxonomía de conjuntos de información

proporcionada por Roberts (1967)42, distingue entre

Forma Débil de Eficiencia: La información incluye únicamente la historia de los

precios o los rendimientos.

Forma Semifuerte de Eficiencia: La información incluye toda la información

conocida por todos los participantes del mercado (información publicada disponible).

Forma Fuerte de Eficiencia: Esta incluye toda la información conocida por algún

participante del mercado (información privada).

41 Fama, E.F., “Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work,” Journal of Finance, Vol. 25,

p. 383-417, 1970. 42 Roberts, H., “Statistical versus Clinical Prediction of the Stock Market,” unpublished manuscript, Center for

Research in Security Prices, University of Chicago, May, 1967.

Marco teórico

21

Esta confusión se puede deber a la creencia de que los rendimientos no pueden ser

aleatorios si los precios de los activos pueden ser determinados mediante el descuento de

flujos de caja futuros. Smith (1968)43, por ejemplo escribe: “Sospecho que la caminata

aleatoria sí proporciona una prueba matemática perfecta para la aleatoriedad. Creo que a

largo plazo las utilidades futuras influencian el valor presente.”

De hecho, el modelo de descuento del valor presente del precio de un activo es

totalmente consistente con la aleatoriedad de los rendimientos de un activo. La clave

para entender la llamada Ley de las Expectativas Iteradas. Para establecer este

resultado se definen conjuntos de información It y Jt, donde It ⊂ Jt de tal forma que

toda la información en It se encuentra también en Jt pero Jt es superior porque

contiene información extra. Consideremos las expectativas de una variable aleatoria

X condicionada en estos conjuntos de información escrita E[X | It] o E[X | Jt]. La Ley

de las Expectativas Iteradas dice que E[X | It] = E[E[X | Jt] | It]. En palabras, si una

persona posee información limitada It, el mejor pronóstico que puede hacer de una

variable aleatoria X se dará si utiliza información superior Jt. Esta afirmación puede

ser rescrita de la forma siguiente E[X- E[X | Jt]| It] = 0, la cual tiene una interpretación

intuitiva: No se debe utilizar información limitada It para pronosticar, ya que se podría

cometer un error ya que se cuenta con información superior Jt.

Samuelson44 fue el primero es destacar la relevancia de las Expectativas Iteradas para el

análisis del mercado de activos; LeRoy45 da una fuerte y clara revisión de este

argumento. Suponga que el precio de un activo al tiempo t, Pt, puede ser escrito como la

expectativa racional de algún “valor fundamental” V*, información condicionada It accesible a

un tiempo t. Entonces se tiene que

Pt = E[V* | It] = Et V* 1.

La misma ecuación pero para un periodo de tiempo adelante:

Pt+1 = E[V* | It+1] = Et+1 V* 2.

43 Smith, A., “The Money Game”, Random House, New York, 1968. 44 Samuelson P., “Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly,” Industrial Management Review,

Vol. 6, p. 41-49, 1965. 45 LeRoy, S., “Efficient Capital Markets and Martingales,” Journal of Economic Literature, Vol. 27, p. 1583-1621,

1989.

Marco teórico

22

Las expectativas del cambio en el precio para el periodo próximo son

Et [Pt+1 - Pt ] = Et [ Et+1 [V* ] - Et [V* ]] = 0 3.

Porque It ⊂ It+1, así que Et [ Et+1 [V* ] para la Ley de Expectativas repetidas. Así, los cambios

en los precios no son pronosticables dada la información contenida en el conjunto It.

II.1.1 ¿Se puede probar la eficiencia del mercado? Aunque la metodología empírica resumida en la sección anterior está bien establecida,

existen complicaciones serias en la interpretación de sus resultados. Primero, cualquier

prueba de eficiencia debe asumir un modelo de equilibrio para activos con rendimientos

normales. Si la eficiencia se rechaza, se podría deber a que el mercado es realmente

ineficiente o porque se ha asumido un modelo de equilibrio erróneo. Esta hipótesis conjunta

significa que la eficiencia del mercado nunca pueda ser rechazada.

Segundo, la eficiencia perfecta no es realista. Teóricamente, Grossman and Stiglitz

(1980)46 han establecido que existirán rendimientos anormales si existen costos por

recolectar y procesar información. Estos rendimientos son para compensar a los

inversionistas por los gastos de recolectar y procesar información.

La noción de eficiencia relativa (la eficiencia medida de un mercado contra otro puede ser un

concepto más útil que el todo o nada asumido en la literatura. Las ventajas de la eficiencia

relativa sobre la eficiencia es fácil de ver mediante una analogía. En los sistemas físicos a

menudo se cuantifica la eficiencia como la porción relativa de energía o combustible

convertida a trabajo útil. Por lo tanto, un pistón puede presentar un 60% de eficiencia, lo que

significa que el 60% de energía contenida en el combustible es convertida a movimiento,

mientras que el 40% restante se pierde en otras formas de trabajo como calor, luz o ruido.

Pocos ingenieros considerarían desarrollar una prueba estadística para determinar si la

máquina es perfectamente eficiente, ya que esta sólo existe en un mundo si fricción, es decir

46Grossman, S., and Stiglitz, J. “On the Impossibility of Informationally Efficient Markets,” American Economic

Review, Vol. 70, p. 393-408. 1980.

Marco teórico

23

un mundo ideal. En forma similar la eficiencia del mercado es una idealización difícil de

realizar pero que sirve como una brecha para medir la eficiencia relativa.

Por estas razones, en este trabajo no se establece la eficiencia del mercado por sí

misma, pero se enfoca en los métodos estadísticos que pueden ser utilizados para probar la

hipótesis conjunta de la eficiencia y el equilibrio del mercado. Estas técnicas caminata

aleatoria, CAPM, APT, Multifactor, pueden ser más útiles para medir la eficiencia que para

probarla, y si algún rendimiento de mercado resulta ser ineficiente, se estará preparado para

sacar provecho de esta oportunidad.

II.1.2 La hipótesis de la caminata aleatoria Una forma útil de organizar las diferentes versiones de la caminata aleatoria y modelos de

Martingale que se utilizan en este trabajo es considerar las diferentes clases de dependencia

que pueden existir entre los rendimientos de los activos rt y rt+k a dos datos t y t + k. Para

hacer esto, se definen las variables aleatorias f(rt) y g(rt+k) donde f(•) y g(•) son dos funciones

arbitrarias, y consideran situaciones en las cuales

[ ] 0)(),( =+ ktt rgrfCov 1.

Para toda t y para k ≠ 0. Podemos elegir apropiadamente f(•) y g(•), de tal forma que

virtualmente todas las versiones de la caminata aleatoria e hipótesis de Martingale sean

descritos por la ecuación anterior, la cual puede ser interpretada como una condición de

ortogonalidad.

Por ejemplo, si f(•) y g(•) son restringidas arbitrariamente a funciones lineales, entonces la

ecuación implica que no existe correlación serial entre rendimientos, correspondiendo así a

una caminata aleatoria 3. Por otro lado, si f(•) no está restringida pero g(•) si está restringida

a ser lineal, entonces la ecuación es equivalente a la hipótesis de Martingale. Finalmente, si

la ecuación contiene a todas las funciones f(•) y g(•), implica que los rendimientos son

mutuamente excluyentes, correspondiendo a una caminata aleatoria 1 y caminata aleatoria

2. La tabla siguiente resume esta clasificación.

Marco teórico

24

[ ] 0)(),( =+ ktt rgrfCov g(rt+k)

∀ g(•) lineal

g(rt+k)

∀ g(•)

f(rt), ∀ f(•) lineal Incrementos no

correlacionados

_

f(rt), ∀ f(•) Martingale/Fair Game:

R[rt+krt] = µ

Incrementos independientes,

Caminata aleatoria 1 y 2

proj(rt+k rt)=pdf(rt+k)

Donde:

pdf denota la función de densidad de probabilidad de este argumento y proj (y x] denota la

proyección lineal de y sobre x.

II.1.3 El modelo de Martingale. Quizá el modelo más reciente para determinar precios de activos financieros sea el modelo

de Martingale, el cual tiene su origen en la historia de juegos de oportunidades y el

nacimiento de la teoría de probabilidades. El prominente matemático Girolano Cardano

propuso una teoría elemental de apuestas en su manuscrito de 1565 Liber Ludo Aleae (The

Book of Games of Chance), en el cual escribió.

El principio fundamental en toda apuesta es la simple igualdad de decisión de los

oponentes, por ejemplo: situaciones, dinero, etc. Para explicar porqué se parte de la

igualdad veamos la siguiente situación, si estás a favor de tu oponente eres un tonto, y si

estás a tu favor eres injusto.

Este pasaje contiene la noción del juego justo, un juego en el cual ninguno de los oponentes

tiene algo a su favor, y esta es la esencia del modelo de Martingale, un proceso estocástico

Pt el cual satisface las siguientes condiciones:

E[Pt+1 Pt, Pt-1, .....] = Pt 2.

o, igual a,

E[Pt+1 -Pt Pt, Pt-1, .....] = 0 3.

Marco teórico

25

Si Pt representa triunfos acumulados al día t de un juego de oportunidades en cada periodo

entonces un juego justo es aquel en el que el rendimiento esperado del periodo próximo es

igual al del periodo presente, condicionado a la historia del juego. Alternativamente, un juego

es justo si los incrementos esperados en los rendimientos en cualquier punto del tiempo son

cero cuando se encuentra condicionado a la historia.

Si Pt es el precio de un activo al tiempo t, entonces la hipótesis de Martingale establece que

el precio de mañana será igual al precio de hoy dado los precios históricos. Alternativamente,

si el cambio esperado en el rendimiento del activo es cero, entonces el precio del activo

únicamente crecerá para caer nuevamente. Desde la perspectiva del pronóstico, la hipótesis

de Martingale establece que el mejor pronóstico del precio de mañana es simplemente el

precio de hoy, donde la palabra “mejor” significa el mínimo error medio.

Otro aspecto de la hipótesis de Martingale es que los cambios en los precios no se

encuentran correlacionados en todos los niveles y rezagos, lo que implica la inefectividad de

todas las reglas de los pronósticos lineales de los cambios en los precios futuros basado

únicamente en precios históricos. El hecho de esta implicación podría enmascarar el

importante papel que la hipótesis de Martingale juega en el modelado de la dinámica de

precios.

De hecho, la hipótesis de Martingale fue utilizada durante mucho tiempo como una condición

necesaria para un mercado de activos eficiente, en el cual la información contenida en

precios pasados es instantánea, total y perpetuamente reflejado en los precios de activos de

hoy. Si el mercado es eficiente, entonces no debería ser posible obtener utilidad de la

comercialización de la información contenida en los precios históricos del activo, asimismo,

cambios en los rendimientos esperados de los activos basados en los precios históricos no

pueden ser positivos o negativos (si compras de pequeñas cantidades son permitidas) y por

lo tanto, deben ser cero. El mercado más eficiente, es aquel en el que la secuencia de cambios de precios generado por el mercado es la más aleatoria, e impredecible.

Sin embargo, una de las bases centrales de la economía financiera moderna es la necesidad

de establecer una relación entre riesgo y rendimiento esperado, y aunque la hipótesis de

Martingale aplica una restricción al rendimiento esperado, esta no toma en cuenta el riesgo

para nada. En general, si el cambio en un precio es positivo, puede ser la recompensa

necesaria para hacer que los inversionistas mantengan sus activos a pesar del riesgo que

Marco teórico

26

conllevan. Por lo tanto, a pesar de las fortalezas de la hipótesis de Martingale se ha

demostrado que es una condición necesaria pero no suficiente para determinar el precio de

un activo racionalmente47.

II.1.4 Caminata aleatoria 1: Incrementos IID. Quizá la versión más simple de la hipótesis de la caminata aleatoria sea la de incrementos

independientes e idénticamente distribuidos. (IID), en el que la dinámica de Pt está dada

por la siguiente ecuación:

),0( 21 σεεµ IIDPP ttt ++= − 1.

Donde µ es el cambio en el precio esperado y IID(0, σ2) denota que εt es independiente e

idénticamente distribuida con media 0 y varianza, σ2. La independencia de incrementos µt

implica que la caminata aleatoria es también un juego justo, pero en sentido más fuerte que

el de martinagale: Independencia implica no sólo que los incrementos no se encuentran

correlacionados sino que además cualquier función no lineal de los incrementos tampoco se

encuentra correlacionado. A ésta se le conoce como caminata aleatoria 1 o RW1.

Para desarrollar el modelo RW1, se considera una media no condicionada y varianza al día t

condicionada a algún valor inicial de valor P0 al día 0:

[ ] tt PPPE µ+= 00 2.

[ ] tPPVar t2

0 σ= 3.

La cual sigue la substitución recursiva de los rezagos de Pt en la ecuación 1. De las

ecuaciones 2 y 3 se puede establecer que la caminata aleatoria es no estacionaria y que su

media y desviación estándar son lineales en el tiempo. Esta implicación también se sostiene

para las otras formas de caminata aleatoria.

Quizá el supuesto más común es el de normalidad. Si las εt’s son IID(0 , σ2) entonces la

ecuación 1 equivale a un movimiento Browniano aritmético, a intervalos unitarios

47Leroy S., “Risk Aversion and the Martingale Property of Stock Returns”, International Economic Review, Vol. 14,

p. 436-446, 1973.

Marco teórico

27

regulares. Este supuesto de distribución simplifica muchos de los cálculos de la caminata

aleatoria, pero sufre del mismo problema que afecta a la distribución normal de los

rendimientos: violación o aplicabilidad limitada. Si la distribución condicional de Pt es normal,

entonces existirá siempre la probabilidad positiva que Pt < 0.

Para evitar violaciones y aplicación limitada, podemos utilizar los logaritmos naturales de los

precios Pt ≡ logPt ya que sigue la caminata aleatoria con incrementos normalmente

distribuidos; de tal forma que:

),0(, 21 σεεµ Ν++= − IIDpp tttt 4.

Esto implica que los rendimientos continuos son IID normalmente distribuidos con media µ y

varianza σ2, lo que lleva al modelo lognormal de Bachelier (1900)48 y Einstein (1905)49.

II.1.5 La caminata aleatoria 2: Incrementos independientes. A pesar de la elegancia y simplicidad del RW1, el supuesto de incrementos idénticamente

distribuidos es no sostenible para precios de activos financieros para largos espacios de

tiempo. Por lo tanto, relajaremos los supuestos del RW1 para incluir procesos con

incrementos independientes pero no idénticamente distribuidos (INID), y lo llamaremos

Caminata aleatoria 2 o RW2. Este modelo contiene al RW1 como un caso particular, pero

también contiene un proceso de precios considerablemente más general. Por ejemplo, RW2

permite heterocedasticidad en las εt, particularmente útil cuando existe volatilidad variable en

el tiempo en el rendimiento de activos financieros. Aunque RW1 es más débil que el RW1,

aún contiene la propiedad económica más interesante de la caminata aleatoria IID:

Cualquier incremento arbitrario en los precios futuros no es pronosticable utilizando los incrementos en precios pasados.

La restricción de distribuciones idénticas es claramente no aplicable, especialmente en el

caso de datos financieros de varias décadas. Sin embargo, probar la independencia sin

suponer igualdad en las distribuciones resulta ser muy difícil, principalmente para datos de

series de tiempo. Si no se aplican restricciones de cómo las distribuciones pueden variar en

48 Op. Cit. 2 49 Einstein, A., “Ueber die von der molecular Kinetischen Theorie der Warme geforderte Bewegung von in

ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen”, Annalen der Physik, Vol. 17, p. 549-560, 1905.

Marco teórico

28

el tiempo, se vuelve virtualmente imposible efectuar la inferencia estadística de las

distribuciones muestrales, incluyendo en esta situación a los estadísticos básicos.

Algunos métodos no paramétricos, como lo es la prueba de rachas, no necesitan para ser

efectuadas de la igualdad en las distribuciones.

II.1.6 La Prueba de Rachas Considere una serie histórica Xt para t que varía entre 0 y T. Suponga ahora que a cada

observación Xt que pertenece a la serie se le asocia un 1 si se verifica que Xt ≥ M(Xt) (donde

M(Xt) es el promedio de las observaciones) y un 0 si se verifica que Xt < M(Xt).

Queda así definida una nueva serie integrada sólo por (+) o por (-), que fue construida a

través de la comparación entre el valor observado de la variable (Xt) y su valor promedio

[M(Xt)] (u otro parámetro de referencia a determinar). Sea n1 la cantidad total de (+) mientras

que n2 es la cantidad total de (-) cuya suma algebraica es igual al número de observaciones

que tiene la serie (n1 + n2 = N).

Una corrida se define como una secuencia consecutiva de (-) o de (+) la cual tiene asociada

una longitud que es igual a la cantidad de (-) o de (+) que tenga. Sea R la cantidad total de

rachas observadas en la serie, la misma es el indicador a utilizar para determinar si se trata

de una serie aleatoria o no.

A los efectos de establecer si el número de rachas observadas en la serie histórica se

corresponde con el de una serie aleatoria se utiliza la prueba de rachas. La misma consiste

en comparar la distribución de la serie observada con una teórica de naturaleza aleatoria. Si

la serie histórica es aleatoria (hipótesis de independencia) la media y desviación estándar

vienen dadas por las siguientes expresiones:

12

)(21

21 ++

=nn

nnRE b 1.

)1(N nn 2 N)nn (2)( 2

2121

−=

NRσ 2.

Marco teórico

29

Cuando el número de observaciones es lo suficientemente grande la distribución del número

de corridas es aproximadamente igual a la normal. De modo tal que se puede utilizar la tabla

de la distribución normal para aceptar o rechazar la hipótesis nula de aleatoriedad de la

serie. Para ello se define el valor de Z como:

[ ])(

)(R

RERZσ−

= 3.

que se distribuye en forma normal con media cero y desviación estándar uno.

Si el valor que asume Z es elevado y positivo la serie histórica tendrá demasiados zig zags

mientras que si es alto y negativo se está frente a una serie con escasas corridas (las

observaciones tienden a estar sobre o debajo de la media por períodos considerables que

son más largos que lo que se espera de una serie aleatoria).

Además de la prueba de rachas existen dos tipos de investigaciones empíricas que pueden

ser vistas como una clase de prueba “económica” de la RW2: reglas de filtro y análisis

técnico.

II.1.7 Reglas de filtro Para probar la RW2, Alexander (196150, 196451), aplicó una regla de filtro en la cual un activo

es comprado cuando el precio se incrementa en cierto porcentaje, y vendido cuando el

precio cae en cierto porcentaje. Así la regla se establece como un filtro porcentual por las

razones siguientes.

Suponga que tentativamente se aceptamos la existencia de tendencias en los precios del

mercado de activos, pero creemos que estos se encuentran enmascarados por

especulación del mercado. Podríamos filtrar los movimientos más pequeños que los

especificados y examinar los movimientos restantes.

50Alexander, S., “Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random Walks,” Industrial Management

Review, Vol. 2, p. 7-26, 1961. 51Ibid

Marco teórico

30

La estrategia para el rendimiento total de un portafolio dinámico es determinar qué tan

pronosticable es el rendimiento. Una comparación del rendimiento total contra el rendimiento

de una estrategia de comprar y vender obtenida de promedios industriales Down Jones o

Standard and Poor’s llevaron a Alexander a concluir que “....no hay tendencia en el precio de

mercado de una acción.”

Fama (1965)52 y Fama y Blume (1966)53 presentaron un análisis empírico más detallado de

las reglas de filtro, corrigiendo los dividendos y costos de comercialización concluyeron que

tales reglas no se desempeñan bien bajo estrategias de compra – venta. En ausencia de

costos de transacciones, filtros muy pequeños (1% en Alexander[1964] y entre 0.5% y 1.5%

en Fama y Blume [19666]) obtuvieron rendimientos superiores, pero esto debido a que filtros

pequeños generan negociaciones más frecuentes. Fama y Blume (1966) demuestran que un

costo de transacción del 1% elimina las utilidades generadas por dichos filtros.

Análisis técnico y fundamental. Como una medida de que tanto se puede pronosticar una variable, la regla de filtro tiene una

ventaja práctica, es una específica, real e implementable estrategia de comercialización y la

medida de su éxito es el rendimiento total. La regla de filtro es solamente un ejemplo de las

muchas clases de estrategias de comercialización surgidas del análisis técnico. El análisis

técnico es una clase de administración de inversiones que se basa en la creencia que la

serie de precios históricos, volúmenes comercializados y otras estadísticas de mercado

presentan regularidad, a menudo (pero no siempre) en forma de tendencia geométrica, que

puede ser explotada para extrapolar movimientos futuros en los precios. Edwards and

Magee (1966)54 y Murphy (1986)55 afirman:

El análisis técnico es la ciencia de obtener estadísticas, generalmente en forma gráfica, la

historia real de la comercialización (cambios de precios, volumen de las transacciones,

etc.) en una cierta acción o en los “promedios” y entonces deducir de la fotografía

histórica una tendencia futura probable.

52 Fama, E.F., “The Behavior of Stock and Market Prices”, Journal of Business, Vol. 38, p. 34-105, 1965. 53 Fama, E.F., and Blume, M., “Filter Rules and Stock Market Trading Profits,” Journal of Business, Vol. 39, p. 226-241, 1966. 54 Edwards, R., and Magee, J., “Technical Analysis of Stock Trends”, John Magee, Boston, 1966. 55 Murphy J., “Technical analysis of the Future Markets”, New York Institute of Finance, New York, 1986.

Marco teórico

31

Históricamente, el análisis técnico ha sido una caja negra de la comunidad financiera

económica. Consiste en la búsqueda de caminos recurrentes y predecibles de los precios de

los activos financieros. Se reconoce la importancia de la información sobre la perspectiva

futura de la empresa, pero se estima que la misma no es necesaria para establecer una

estrategia exitosa. El ajuste del precio a las nuevas condiciones del mercado es lento, por

ende es posible “leer” una tendencia que pueda ser explotada a favor del analista más

habilidoso para identificarla. Los analistas técnicos con frecuencia estudian gráficos o

diagramas de los precios históricos de las acciones en la esperanza de encontrar el camino

que los conduzca a obtener un beneficio extra. Aquí queda reflejado uno de los supuestos

básicos del análisis técnico: la historia tiende a repetirse. Por ello, adquiere una gran

importancia el hecho de familiarizarse con las trayectorias pasadas de los comportamientos

de los precios ya que de ese modo se puede llegar a identificar situaciones de probable

repetición (sí esto se da, se dice que los cambios en los precios son dependientes). Otros de

los instrumentos comúnmente utilizados son los niveles de resistencia y de soporte y los

volúmenes negociados. En el primer caso un precio de resistencia es aquel difícil de

sobrepasar mientras que un precio de soporte es aquel por debajo del cual es difícil que se

baje aún más. Esos límites vienen determinados por la psicología del mercado (consideran

que el mercado está regido por emociones o en términos de Keynes por el espíritu

animal). En tanto la idea que hay detrás del volumen transado es que si por ejemplo se

produce una caída del precio acompañada por un elevado monto negociado el mercado

estaría dando una señal bajista y a partir de ahí se construyen indicadores para tomar las

“mejores” decisiones.

El análisis fundamental toma una empresa determinada y considera las proyecciones de

ingresos o de dividendos, las expectativas en torno a la tasa de interés futura, los estados

contables, la calidad de la gerencia, la probable evolución de las principales variables

macroeconómicas, etcétera para determinar su valor intrínseco. El objetivo del análisis

minucioso de la firma es encontrar alguna veta que arroje luz sobre la evolución futura de la

compañía, en la esperanza de que la misma no sea advertida por el resto de los miembros

del mercado. De la comparación entre el valor intrínseco y el precio de mercado surge la

decisión de comprar o vender donde el secreto para obtener ganancias extraordinarias pasa

por identificar firmas que son mejores o peores de lo que otros habían estimado. Este

objetivo suele ser muy difícil de lograr debido a la gran cantidad de profesionales que existen

en el mercado buscando lo mismo, donde todos utilizan la información públicamente

disponible y por lo general suelen tener habilidades analíticas similares. Los esfuerzos se

Marco teórico

32

realizan en virtud de que se cree que el precio de un activo tiende a moverse buscando su

valor intrínseco, por tanto contar con un buen estimador de este último equivale a predecir en

forma exitosa el precio futuro de una acción.

El punto de coincidencia entre los técnicos y los fundamentalistas es que ambos sostienen

que en el presente existen tendencias que generan hechos o señales que pueden guiar al

inversionista a obtener en un futuro inmediato un beneficio extraordinario siempre que las

sepa interpretar en la forma adecuada.

II.1.8 La caminata aleatoria 3: Incrementos no correlacionados. Una versión aún más general de la hipótesis de la caminata aleatoria y la que ha sido más

probada en la literatura empírica más reciente. Puede ser obtenida relajando el supuesto de

independencia de RW2 para incluir un proceso con dependencia pero incrementos no

correlacionados. Esta es la forma más débil de la hipótesis de caminata aleatoria. El RW3,

incluye tanto al RW1 como RW2 como casos particulares. Un ejemplo sencillo de un proceso

que satisface los supuestos de RW3 pero no de RW1 o RW2 es aquel en el que Cov[εt,εt-

k] = 0 para toda k ≠ 0, pero donde Cov[εt2,ε2

t-k] = 0 para toda k ≠ 0. Este es un proceso con

incrementos no correlacionados, tampoco independientes, debido a que el cuadrado de sus

incrementos se encuentran correlacionados.

Una de las pruebas más directas e intuitivas de la caminata aleatoria e hipótesis de

Martingale para una serie de tiempo es determinar si existe correlación serial, correlación

entre dos observaciones de la misma serie a diferentes fechas. Bajo la versión más débil de

la caminata aleatoria RW3, los incrementos o primera diferencias de la caminata aleatoria no

están correlacionados en todos los niveles y rezagos. Por lo tanto podemos probar la RW3

probando la hipótesis nula: los coeficientes de autocorrelación de la primera diferencia de

varios rezagos son cero. Por lo tanto, en este trabajo se prestará una gran atención a las

propiedades de los coeficientes de autocorrelación.

II.1.9 Coeficientes de autocorrelación. Los coeficientes de autocorrelación son una extensión natural de las series de tiempo de la

correlación entre dos variables aleatorias x y y:

Marco teórico

33

[ ] [ ][ ] [ ]yVarxVar

yxCovyxCoor ,, ≡ 1.

Dada una serie de tiempo covarianza – estacionaria rt, la autocovarianza de orden kth y

coeficientes de correlación, γ(k) y ρ(k), respectivamente, están definidas como56

[ ]ktt rrCovk +≡ ,)(γ 2.

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] )0(

)(,,)(γγρ k

rVarrrCov

rVarrVarrrCovk

t

ktt

ktt

ktt ==≡ +

+

+ 3.

Donde la segunda igualdad surge de la covarianza estacionaria rt. Para una muestra dada

Tttr 1= , la autocovarianza y los coeficientes de autocorrrelación pueden ser calculados en

forma natural, reemplazando los momentos de la población con una muestra seleccionada:

TkrrrrT

k Tkt

kt

tTt <≤−−= +

=

=∑ 0),)((1)(ˆ

1γ 4.

)0(ˆ)(ˆ

)(ˆγγρ kk = 5.

∑=

≡T

ttT r

Tr

1

1 6.

El muestro para )(ˆ kγ y )(ˆ kρ depende del proceso de generación de datos para rt. Por

ejemplo, si rt es de orden finito.

∑=

−=M

kktktr

0εα 7.

donde εt es una secuencia independiente de media 0 y varianza σ2, cuatro momentos ησ4 y

un sexto momento finito, entonces Fuller (1976)57 demuestra que el vector de autocovarianza

de los estimadores de los coeficientes son multivariados.

[ ] ),0(')()(ˆ).......1()1(ˆ)0()0(ˆ Vmmt Ν≈−−− γγγγγγ 8.

56 Los requerimientos de una covarianza estacionaria es principalmente por conveniencia notacional. Por otro lado γ(k) y ρ(k) pueden ser funciones tanto de t como de k, pueden no estar bien definidas si el segundo momento es no finito. 57 Fuller, W., “Introduction to Statistical Time Series”, Willey and Sons, New York, 1976.

Marco teórico

34

Donde [ ]ijvV =

[ ]∑∞

−∞=−+++−+−≡

lij iljljilljiv )()()()()()()3( γγγγγγη 9.

Bajo los mismos supuestos Fuller demostró que una distribución asintótica del vector de

autocorrelación de los estimadores de los coeficientes es también una distribución normal:

[ ] ),0(')()(ˆ.......)1()1(ˆ0()0(ˆ GNmmT ≈−−− ρρρρρρ 10.

Donde G = [gij]

Debido a que RW1 implica que todas las autocorrelaciones son cero, una prueba estadística

simple puede ser utilizada en este sentido. La hipótesis alternativa puede ser atacada

utilizando el estadístico Q de Box y Pierce (1970)58.

∑=

=m

km kTQ

1

2 )(ρ 11.

Bajo la hipótesis nula RW1 es fácil observar que )(ˆˆ1

2 kTQm

km ∑

== ρ está distribuida

asintóticamente como X2m. Ljung y Box (1978)59 proveen la siguiente corrección que lleva a

un mejor ajuste de la X2 para pequeñas muestras.

∑= −

+≡m

km

kTkTTQ

1

2

´´' )()2( ρ 12.

Sumando el cuadrado de las autocorrelaciones, el estadístico de Box-Pierce se diseña para

detectar valores de autocorrelación diferentes de cero en cualquier dirección y a cualquier

rezago. Por lo tanto, poder contra el intervalo de confianza de la hipótesis alternativa de la

caminata aleatoria. Si embargo, la selección del número de autocorrelaciones m requiere ser

cuidadoso. Si se utilizan pocos, la prueba no tendría tanta fuerza debido a la insignificancia

de correlaciones de alto orden. Por lo tanto, la mejor prueba de la hipótesis de la caminata

aleatoria se logrará mezclando diferentes pruebas, para poder obtener el mejor resultado

posible.

58 Box, G., and Pierce, “Distribution of Residual Autocorrelation in Autoregressive – Integrated Moving Average

Time Series Models,” Journal of Royal of the American Statistical Association, Vol. 65, p. 1509-1526, 1970. 59 Ljung, G., and Box, G., “On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models,” Biometrica, Vol. 66, p. 67-72,

1978.

Marco teórico

35

II.1.10 La prueba de la raíz unitaria. Una de las pruebas más recientes y especializadas que a menudo provocan confusión en la

determinación de la hipótesis de la caminata aleatoria es la prueba de la raíz unitaria, en la

que la hipótesis nula es:

ttt XX εµ ++= −1 1.

y la hipótesis alternativa:

( )( ) )1,1(11 −Φ+−−Φ=− − εεµµ tttt tXX 2.

donde εt es un proceso estacionario con media cero tal que

∞<⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=< ∑

=∞→

T

ttT T

E1

20

1lim0 εσ 3.

Eurísticamente, la condición 3 requiere que la varianza de la suma parcial ∑=

T

tt

1ε se

incremente aproximadamente a la misma tasa que T, así que cada εt nueva adicionada a la

suma parcial tenga una contribución no trivial a la suma de las varianzas parciales. Esta

condición asegura que los teoremas del límite son aplicables a εt y esta se satisface

virtualmente por todos los procesos estacionarios.

La prueba de la raíz unitaria está diseñada para revelar si Xt es una diferencia estacionaria

(hipótesis nula) o de tendencia estacionaria (hipótesis alternativa); esta distinción se

establece si Φ es igual a uno, de ahí el término de hipótesis de la raíz unitaria. La prueba en

si misma se lleva a cabo comparando el estimador de mínimos cuadrados ordinario Φ con la

unidad dada su distribución muestral bajo la hipótesis nula (1), que fue establecida por

Dickey and Fuller (1979)60. Bajo la hipótesis nula, cualquier impacto sobre Xt será

permanente donde E[Xt+k Xt] = µk+Xt para toda k > 0 y el impacto sobre Xt aparecerá en el

futuro Xt+k. En este caso se dice que Xt sigue una tendencia estocástica donde su valor

esperado depende explícitamente de la variable estocástica Xt. En contraste, bajo la

60Dickey, D. and Fuller, W., “Distribution of the Estimators of Autoregressive Time Series with Unit Root,” Journal

of the America Statistical Association, Vol. 74, p. 427-431, 1979.

Marco teórico

36

hipótesis alternativa (2), un impacto sobre Xt se dice que será temporal, donde E[Xt+k

Xt] = µ(t + k) + Φk(Xt - µt), y la influencia de Xt sobre las expectativas futuras Xt+k disminuye

cuando k se incrementa.

Debido a que se establece que εt es un proceso estacionario arbitrario de media cero bajo

ambas hipótesis de raíz unitaria, el enfoque de esta prueba no es el pronosticar Xt+k sino

establecer si el proceso sigue una caminata aleatoria. Bajo la hipótesis nula (1) Xt+k puede

ser pronosticado. A pesar del hecho que la hipótesis de la caminata aleatoria está contenida

en la hipótesis nula de la raíz unitaria la naturaleza permanente / temporal de los impactos

sobre Xt+k son los que se evalúan en la prueba. Aunque existen también caminatas no

aleatorias alternativas en la hipótesis nula de la raíz unitaria, la prueba de la raíz unitaria no

está diseñada para detectar si un valor es predecible.

Marco teórico

37

II.2 El Modelo de Fijación de Precios de Capital (CAPM). Uno de los más importantes problemas de la economía financiera moderna es la

cuantificación de la relación existente entre riesgo y rendimiento esperado. Aunque el sentido

común sugiere que una inversión riesgosa generará rendimientos más altos que un activo

libre de riesgo, fue solo con el desarrollo del CAPM que los economistas fueron capaces de

cuantificar el riesgo y la recompensa por correrlo. El CAPM implica que el rendimiento

esperado de un activo puede estar relacionado linealmente con la covarianza de este

rendimiento y con el rendimiento del portafolio de mercado.

II.2.1 Revisión del CAPM. Markowitz (1959)61 presentó su trabajo que sirvió de base para el CAPM. En esta fértil

investigación establece el problema de la selección de portafolio en términos del rendimiento

esperado y la varianza del rendimiento. Argumentó que los inversionistas podrían obtener

optimizar la media – varianza de un portafolio eficiente, es decir, un portafolio con el más

grande rendimiento esperado para un nivel dado de varianza. Sharpe (1964)62 y Lintner

(1965)63 construyeron sobre el trabajo de Markowitz y desarrollaron sus amplias

implicaciones económicas. Ellos establecieron que si los inversionistas tenían expectativas

homogéneas y mantenían un portafolio eficiente óptimo, entonces en ausencia de fricciones

de mercado, el portafolio de todos los bienes invertidos, o el portafolio de mercado, será por

sí mismo un portafolio eficiente. La ecuación usual del CAPM es una implicación directa de la

eficiencia del portafolio de mercado.

Las derivaciones de Sharpe and Lintner del CAPM asumen la existencia de prestar y pedir

prestado a una tasa de interés libre de riesgo. Para esta versión de CAPM se tiene que para

el rendimiento esperado de un activo i,

[ ] [ ]( )fmimfi RRERRE −+= β 1.

[ ][ ]m

miim RVar

RRCov ,=β 2.

61 Markowitz, H., “Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments”, John Wiley, New York, 1959. 62 Sharpe, W., “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk,” Journal of

Finance, Vol. 19, p. 425-442, 1964. 63 Lintner, J., “The Evaluation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and

Capital Budgets,” Review of Economics and Statistics, Vol. 47, p. 13-37, 1965.

Marco teórico

38

Donde Rm es el rendimiento del portafolio de mercado. La versión de Sharpe – Lintner puede

ser expresada en forma más compacta en términos del rendimiento excedente sobre la tasa

libre de riesgo o en términos del rendimiento excedente. Si Z representa el rendimiento del ith

activo que presenta exceso sobre la tasa libre de riesgo, Zi ≡ Ri – Rf. Entonces para CAPM

de Sharpe – Lintner se tiene que:

[ ] [ ]mimi ZEZE β= 3.

[ ][ ]m

miim ZVar

ZZCov ,=β 4.

Donde Zm el rendimiento excedente sobre el portafolio del mercado de activos. Porque la

tasa libre de riesgo es tratada como no estocástica, las ecuaciones 2 y 4 son equivalentes.

En implementaciones empíricas, se permite que el activo libre de riesgo sea estocástica y así

las betas puedan diferir. La mayoría de los trabajos empíricos utilizan la versión de Sharpe–

Lintner incluyendo el rendimiento excedente.

Pruebas empíricas del CAPM de Sharpe-Lintner se han enfocado en tres puntos: 1) La

intercepción es cero, 2) Las betas capturan completamente la variación cruzada-seccional de

los rendimientos esperados y 3) la prima del riesgo de mercado, E[Zm] es positiva.

En ausencia de un activo libre de riesgo, Black (1972)64 dedujo una versión más general del

CAPM. En esta versión, conocida como la versión de Black, el rendimiento esperado de un

activo i en exceso sobre el rendimiento cero-beta se encuentra relacionado linealmente a su

beta. Para el rendimiento esperado del activo i, E[Ri], se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )ommimomi RERERERE −+= β 5.

Rm es el rendimiento del portafolio del mercado, y Rom es el rendimiento sobre el portafolio

cero-beta asociado con m. Este portafolio está definido como el portafolio de varianza

mínima65 de todos los portafolios no correlacionados con m. Cualesquiera otro portafolio no

correlacionado tendría el mismo rendimiento esperado, pero una mayor varianza. Para el

64 Black, F., “Toward a Fully Automated Stock Exchange”, Financial Analyst Journal, July-August, p. 444-454,

1972. 65 En la parte experimental de este trabajo se utiliza el término “grupo eficiente” para representar el concepto aquí establecido.

Marco teórico

39

modelo de Black, los rendimientos generalmente se ajustan de acuerdo a la inflación y βim se

define sobre la base de rendimientos reales,

[ ][ ]m

miim RVar

RRCov ,=β 6.

El análisis econométrico de la versión de Black para el CAPM establece al portafolio cero-

beta como una cantidad no observada, haciendo el análisis más complicado que el de la

versión de Sharpe-Lintner. La versión de Black puede ser probada como una restricción del

modelo de rendimiento real del mercado. Para el rendimiento real de mercado se tiene que:

[ ] [ ]mimimi RERE βα += 7.

Y la implicación de la versión de Black es:

[ ] iRE imomim ∀−= )1( βα 8.

En otras palabras, el modelo de Black restringe a la intercepción del activo del modelo de

mercado de rendimiento real a ser igual al rendimiento esperado cero-beta por uno menos la

beta del activo.

El CAPM es un modelo de período sencillo; por lo tanto, 3 y 5 no tienen una dimensión de

tiempo. Para el análisis econométrico de este modelo, es necesario añadir un supuesto

concerniente al comportamiento de las series de tiempo del rendimiento y estimar el modelo

a través del tiempo. Asumiremos que los rendimientos son independientes e idénticamente

distribuidos (IID) a través del tiempo y normalmente distribuidas. Este supuesto aplica al

rendimiento excedente (prima de mercado) para la versión de Sharpe - Lintner y el

rendimiento real de la versión de Black.

II.2.2 Matemáticas del grupo eficiente. Para iniciar el análisis matemático del CAPM, se definen N activos riesgosos con vector

media µ y matriz de covarianza Ω. Se Asume que el rendimiento esperado de al menos dos

activos difiere y que la matriz de covarianza es para todo el intervalo. Se define ωa como el

Marco teórico

40

vector (Nx1) de los pesos o ponderaciones de un portafolio arbitrario a con varianza

aaa ωϖσ Ω= '2 . La covarianza entre dos portafolios a y b es ba ωω Ω' Dada lo población de

activos consideraremos el portafolio de varianza mínima en ausencia de un activo libre de

riesgo.

Definición. El portafolio p es el portafolio de varianza mínima de todos los portafolios con

rendimiento medio µp si el vector peso del portafolio es la solución que optimiza las

siguientes restricciones:

ωωω

Ω'min 9.

Sujeto a:

pµµω =' 10.

1' =ιω 11.

Para resolver este problema, formaremos una función Lagrangeana L diferenciándola con

respecto a ω, igualando la ecuación resultante a cero, resolviéndola para ω. Para la función

Lagrangeana tenemos:

)'1()'(' 21 ιωδµωµδωω −+−+Ω= pL 12.

Donde ι es un vector unitario y δ1 y δ2 son los multiplicadores Lagrangeanos. Diferenciando L

con respecto a ω e igualando el resultado a cero, tenemos

02 21 =−−Ω ιδµδω 13.

Combinando 10, 11, y 13 se encuentra la solución

,pp hg µω += 14.

Donde g y h son vectores (Nx1),

Marco teórico

41

[ ])()(1 11 µι −− Ω−Ω= ABD

g 15.

[ ])()(1 11 ιµ −− Ω−Ω= ACD

h 16.

y A = ι’Ω-1µ, B = µ’ Ω-1µ, C = ι’Ω-1ι, y D = BC – A2.

A continuación se presentan resultados posibles en la determinación del grupo eficiente.

Resultado 1. La frontera de mínima varianza puede ser generada de dos distintos portafolios

de mínima varianza.

Resultado 1’. Un portafolio obtenido a partir de portafolios de varianza mínima es también

un portafolio de mínima varianza.

Resultado 2. Designemos como p y r a dos portafolios de varianza mínima. La covarianza

del rendimiento de p con rendimiento de r es:

[ ]CC

ACA

DCRRCov rprp

1, +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= µµ 17.

Resultado 3. Se define al portafolio g como el portafolio global de mínima varianza. Para

este portafolio se tiene:

ιω 11 −Ω=Cg 18.

CA

g =µ 19.

Cg12 =σ 20.

Resultado 4. Para cada portafolio de mínima varianza p, excepto el portafolio global de

varianza mínima g, existe sólo un portafolio de varianza mínima que tiene covarianza cero

con p. Este portafolio es llamado “portafolio cero-beta” con respecto a p.

Resultado 4’. La covarianza del rendimiento del portafolio global de mínima varianza g con

cualquier activo o portafolio de activos a es

[ ]C

RRCov ag1, = 21.

Marco teórico

42

La figura 5 presenta el grupo de portafolios de varianza mínima en ausencia de un activo

libre de riesgo. Los portafolios de mínima varianza con un rendimiento esperado más grande

o igual al de los rendimientos esperados del portafolio global son portafolios eficientes. Estos

portafolios el rendimiento esperado más grande de todos los portafolios con igual o menor

varianza de rendimiento. En la figura 5, el portafolio de mínima varianza es g. El portafolio p

es un portafolio eficiente. El portafolio op es el portafolio cero-beta con respecto a p . El

rendimiento esperado para el portafolio cero-beta es el mismo que para el portafolio p,

menos la pendiente de la frontera de mínima varianza a p veces la desviación estándar del

portafolio p.

Resultado 5. Consideremos una regresión múltiple de rendimientos para un activo

cualquiera o portafolio Ra sobre el rendimiento de un portafolio de mínima varianza Rp

(excepto para el portafolio global de mínima varianza) y el rendimiento de su portafolio cero-

beta Rop.

ppopa RRR εβββ +++= 210 22.

[ ] 0, =oppp RRE ε 23.

Para los coeficientes de regresión tenemos:

[ ]ap

p

pa RRCovβ

σβ == 22

, 24.

[ ]ap

op

opa RRCovβ

σβ −== 1

,22 25.

00 =β 26.

donde βop es la beta para el activo a con respecto al portafolio p.

Marco teórico

43

Figura 5: Portafolio de mínima varianza sin activo libre de riesgo.

Fuente: The Econometrics of Financial Markets, Campbell (2000, p. 167)

Resultado 5’. Para el rendimiento esperado de a se tiene que:

( ) papopapaR ´1 µβµβ +−= 27.

Ahora se introduce en el análisis el activo libre de riesgo y considerando un portafolio

compuesto por N activos riesgosos y el activo libre de riesgo. Con un activo libre de riesgo

presente, el peso de los activos riesgosos no son restringidos a sumar 1, ya que (1-ω’ι)

pueden ser invertidos en el activo libre de riesgo. Dado un activo libre de riesgo con

rendimiento Rf el portafolio de mínima varianza con rendimiento esperado Rp será la solución

para la optimización con restricciones

ωωω

Ω'min 28.

sujeto a

( ) pfi RRR =−+ ιωω '1' 29.

De la misma forma que se hizo para el caso en el cual no existe un activo libre de riesgo, se

establece la función Lagrangeana L, se diferencia con respecto a ω, se iguala la ecuación

resultante a cero, y se resuelve para ω. Para la función Lagrangeana se tiene

( )( )fip RRRL ιωωδωω '1'' −−−+Ω= 30.

Diferenciando L con respecto a ω e igualando el resultado a cero, se tiene:

R

σ

p

g

op

Marco teórico

44

( ) 02 =−−Ω ιδϖ fi RR 31.

Combinando las ecuaciones 31 y 30

( )( ) ( ) ( )ι

ιω fi

fifi

fpp RR

RRRRRR

−Ω−Ω−

−= −

−1

1' 32.

Cabe hacer notar, que se puede expresar ωp como un escalar que depende de la media de p

veces el vector peso del portafolio el cual no depende de p,

,ωω pp c= 33.

donde

( )( )ιι fif

fpp RRRiR

RRc

i−Ω−

−= −1)'(

34.

y

( )ιω fi RR −Ω= −1 35.

Así, con un activo libre de riesgo todos los portafolios de mínima varianza son

combinaciones de un portafolio riesgoso dado con pesos proporcionales a ω y el activo libre

de riesgo. Este portafolio de activos riesgosos es llamado portafolio tangente y tiene un

vector peso

( ) ( )ιιι

ω fifi

q RRRR

−Ω−Ω

= −−

11'

1 36.

En este trabajo utilizaremos m para identificar al portafolio tangencial. La ecuación 36 divide

los elementos de ω en sus sumas para obtener un vector cuyos elementos suman 1, esto

es, un vector de peso del portafolio. La figura 6 muestra el grupo de portafolios de mínima

varianza en presencia de un activo libre de riesgo. Con un activo libre de riesgo presente,

todos los portafolios eficientes descansan a lo largo de la línea del activo libre de riesgo

hasta el portafolio m.

Marco teórico

45

El excedente de rendimiento por unidad de riesgo es útil para proveer bases a la

interpretación económica de prueba del CAPM. La razón de Sharpe mide esta cantidad. Para

cualquier activo o portafolio a, la razón de Sharpe se define como el rendimiento excedente

medio dividido por la desviación estándar del rendimiento.

i

fii

RRsr

σ−

= 37.

En la figura 6 la razón de Sharpe es la pendiente de la línea que va desde el activo libre de

riesgo (Rf, 0) a el portafolio (Ra, σa). El portafolio tangente m puede ser caracterizado como el

portafolio con la máxima razón de Sharpe.

Figura 6: Portafolio de mínima varianza con activo libre de riesgo.

Fuente: The Econometrics of Financial Markets, Campbell (2000, p. 167)

R

σ

q a

Rf

Marco teórico

46

II.3 Modelos de fijación de precios multifactoriales. La evidencia experimental muestra que la beta del CAPM, no explica totalmente el

rendimiento esperado de una acción. Esta sugiere que uno o más factores adicionales se

requieren para caracterizar el comportamiento del rendimiento esperado de una acción, lo

que nos lleva a los modelos de fijación de precios multifactoriales. Existen dos modelos que

se consideran los más importantes teóricamente hablando: 1) El modelo de fijación de

precios de arbitraje (APT) desarrollado por Ross (1976)66 está basado en la teoría de

arbitraje y 2) El modelo de fijación de precios de activos de capital intertemporal (ICAPM),

desarrollado por Merton (1973)67 basado en argumentos de equilibrio.

II.3.1 Bases teóricas

La teoría de Fijación de Precios de Arbitraje (APT) fue introducida por Ross (1976) como una

alternativa al Modelo de Fijación de Precios de Capital (CAPM). El APT, puede ser más

general que el CAPM y que permite múltiples factores de riesgo. También, a diferencia del

CAPM, el APT no requiere la identificación del portafolio del mercado. Sin embargo, esto

generalmente conlleva un costo. En su forma más general el APT provee una relación

aproximada entre el rendimiento esperado de un activo con un número desconocido de

factores no identificados. A este nivel el refutar la teoría es imposible, (a menos que existan

oportunidades de arbitraje) y como consecuencia el poder probar el modelo depende de

supuestos adicionales.

La Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje asume que los mercados son competitivos, sin

fricción, y que el proceso de generación de rendimientos para un activo es

iiii fbaR ε++= ' 1.

[ ] 0=fE iε 2.

[ ] ∞<≤= 222 σσε iiE 3.

66 Ross, S., “The Arbitrage Pricing Theory of Capital Asset Pricing”, Journal of economics Theory”, Vol. 13, p.

341 - 360, 1976. 67 Merton, R., “An Intertemporal Capital Asset Pricing Model,” Econometrica”, Vol. 41, p. 867-887, 1973.

Marco teórico

47

donde Rf es el rendimiento del activo i, ai es la ordenada al origen, bi es un vector (Kx1) de

sensibilidades para el activo i, f es un vector (kx1) de factores comunes, y εi es el término de error.

Para el sistema de N activos,

ε++= BfaR 4.

[ ] 0=fE ε 5.

[ ] Σ=fE 'εε 6.

En el sistema de ecuaciones, R es un vector (N x 1) con R = [R1 R2.....RN]’, a es un vector (N x 1) con

a = [a1 a2.....aN]’, B es una matriz (N x K) con B = [B1 B2.....BN]’, y ε es un vector (N x 1). Asumiremos

además un número de factores para las variaciones del rendimiento del activo de tal forma

que para una cartera bien diversificada el término de error desaparezca. Esto requiere que

este término se encuentre correlacionado entre los activos.

Dada esta estructura, Ross (1976)68 afirma que en ausencia de arbitraje, en economías

grandes se presenta que:

kp Br λιλ +≈ 0 7.

donde pr es el vector (N x 1) del rendimiento esperado, λ0 es igual al rendimiento del activo

libre de riesgo, ι es igual a 1 y λk es el vector (K x 1) de la prima de riesgo del mercado.

Connor (1984)69 presenta una versión de equilibrio del APT. En este modelo se requiere un

portafolio de mercado bien diversificado y que los factores sean influyentes. El portafolio de

mercado estará bien diversificado si los activos no constituyen una proporción significativa de

los componentes agregados de la economía. El requerimiento de que los factores sean

influyentes permite a los inversionistas diversificar el riesgo sistemático sin restringir su

elección de factores expuestos al riesgo.

68 Ross, S., “The Arbitrage Pricing Theory of Capital Asset Pricing”, Journal of economics Theory”, Vol. 13, p. 341-

360, 1976. 69 Connor, G., “A Unified Beta Pricing Theory,” Journal of Economics Theory, Vol. 34, p. 13-31, 1984.

Marco teórico

48

Dybvig (1985)70 , Grinblatt y Titman (1985)71 asumieron una postura diferente. Estudiaron las

magnitudes potenciales de las desviaciones de factores en la fijación de precios exacto.

Ambos artículos concluyen que una especificación razonable de los parámetros de la

economía, llevará a desviaciones teóricas de factores de fijación de precios exactos

probablemente insignificantes. Como consecuencia trabajos empíricos basados en la fijación

de precios exactos se encuentra justificada.

Los factores de fijación de precios exactos también se pueden obtener en una estructura de

fijación de precios de activos intertemporal. En el ICAPM desarrollado por Merton (1973)

combinó con supuestos sobre la distribución condicional de rendimientos obteniendo un

modelo multifactor. En este modelo, el portafolio de mercado se utiliza como un factor, y

variables de estado como otros factores adicionales. Los factores adicionales surgen de la

demanda de los inversionistas que limitan o disminuyen la incertidumbre de las

oportunidades futuras de inversión.

En esta introducción teórica no diferenciaré el APT del ICAPM. Analizaré los modelos donde

se incluyen factores de fijación de precios exactos, que es:

kp Br λιλ += 0 8.

Existe flexibilidad en la fijación de los factores. La mayoría de las implementaciones

empíricas fijan al portafolio de mercado como un factor. Sin embrago, técnicas diferentes

hacen posible utilizar factores adicionales. En un caso, los factores del APT y las variables

de estado del ICAPM no necesitan ser portafolios comercializados. En otros casos los

factores son rendimientos de portafolios.

II.3.2 Utilización de variables macroeconómicas como factores. Variables macroeconómicas pueden ser utilizadas como factores es este tipo de

modelos. Estos pueden ser el PIB, la inflación, el cambio en los tipos de interés de los bonos

gubernamentales, etc. Ahora consideraremos la fijación de precios exactos mediante la

utilización de dichos factores. 70 Dybvig, P., “An Explicit Bound of Individual Assets’ Deviations from APT Pricing in Finite Economy,” Journal of

Financial Economics, Vol. 12, p. 483-496, 1985. 71 Grinblatt, M., and Titman, “Factor Pricing in a Finite Economy,” Journal of Financial Economics, Vol. 12, p. 97-

507, 1985.

Marco teórico

49

Se define una vez a más a Rt como un vector (N x 1) de rendimientos reales para N activos

(o portafolios de activos). Para un modelo no restringido tenemos el modelo lineal de k

factores:

tktt BfaR ε++= 9.

[ ] 0=tE ε 10.

[ ] Σ=ttE 'εε 11.

[ ] ( )( )[ ] kfkktfkktfkkt ffEfE Ω=−−= ', µµµ 12.

[ ] OfCov tkt =',ε 13.

B es la matriz (N x K) de la sensibilidad de los factores, fkt es el vector de factores (Kx1), y a y

εt son la ordenada al origen y el error respectivamente. Σ, representa la matriz varianza-

covarianza de los errores, y Ωk es la matriz varianza covarianza de los factores (portafolios

de rendimiento excedente). O es una matriz (K x N) de ceros.

Para modelos restringidos es conveniente comparar las expectativas no condicionadas (9)

con (8), las expectativas no condicionadas de (9) son:

,fkBa µµ += 14.

donde [ ]ktfk fE=µ . Igualando el lado derecho de las ecuaciones (8) y (14) se tiene que:

( )fkkBa µλιλ −+= 0 15.

Se define γ0 como el parámetro cero-beta λ0 y γ1 como (λk - µfk) donde λk es el vector (Kx1)

de la prima de riesgo. Para un modelo con restricciones se tiene que:

110 εγιγ +++= ktt BfBR 16.

Los estimadores del modelo restringido son:

( )( ) ( )( )1

111

110

* 'ˆˆ*'ˆˆˆ−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= ∑∑

T

tktkt

T

tktt fffRB γγγγι 17.

Marco teórico

50

( )[ ] ( )[ ]')ˆ(ˆˆ*)ˆ(ˆˆ1ˆ

1*

01

1*

0* γγιγγι +−−+−−=∑ ∑

=ktt

T

tktt fBRfBR

T 18.

[ ] ( )[ ]fkBXXX µµγ ˆˆˆˆ'ˆ'ˆ *1*11* −∑∑= −−− 19.

donde en la ecuación 19 [ ]*BX ι≡ y [ ]'10γγγ = .

La máxima precisión en la estimación se puede obtener mediante iteraciones entre las

ecuaciones 17 y 19.

II.3.3 Selección de factores. La estimación basada en el APT asume que la identidad de los factores a utilizar en el

modelo ha sido identificada. Estos caen en dos categorías básicas: estadísticas y teóricas.

II.3.3.1 Estadísticas El punto de partida para la construcción estadística de factores es el modelo lineal. Se

representa el análisis en términos de rendimiento real. El mismo análisis se aplicará en el

rendimiento excedente en presencia de un activo libre de riesgo. Recordemos que para un

modelo lineal tenemos

ttt BfaR ε++= 1.

[ ] ∑=ttt fE 'εε 2.

Donde Rt es el vector (N x 1) de los rendimientos de un activo por periodo de tiempo t, ft es el

vector (K x 1) de los factores por período de tiempo t, y εt es el vector (N x 1) de los errores

del modelo por período de tiempo t. El número de activos N, normalmente mucho más

grande que el número de períodos de tiempo, T. Existen dos formas de la selección

estadística de factores, el análisis de factores y el de principales componentes.

II.3.3.1.1 Análisis de factores. La estimación utilizando el análisis de factores involucra un procedimiento de dos pasos.

Primero la matriz B de la sensibilidad de los factores y la matriz de covarianza de los errores

Σ son estimadas y entonces utilizadas para medir la influencia de los factores. Para el

análisis estándar de factores se asume que una estricta estructura de factores. Con esta

Marco teórico

51

estructura K factores contabiliza para todos covarianzas de los rendimientos así que Σ es

diagonal72.

Dada esta estructura y K factores, podemos expresar la matriz de covarianza (N x N) de los

rendimientos de los activos como la suma de dos componentes, la variación de los factores

más la variación residual.

DBB k +Ω=Ω ' 3.

donde E[ft ft’] = Ωk y Σ = D para indicar que es diagonal. Con factores desconocidos, existe

una indeterminación rotacional y B se establece sólo para transformaciones no singulares.

Esta indeterminación rotacional restringiendo los factores a ser ortogonales y presentar

varianza unitaria. En este caso tenemos Ωk = 1 y B puede únicamente efectuar una

transformación ortogonal. Toda transformación BG son equivalentes a cualquier matriz de

transformación ortogonal G. Con esta restricción podemos establecer la matriz de covarianza

de los rendimientos como:

DBB +=Ω '

Bajo esta estructura y el supuesto de que los rendimientos de los activos son al mismo

tiempo normales y temporales IID, los estimadores de B y D pueden ser formulados

utilizando el análisis factorial de máxima verosimilitud. Debido a que las condiciones de

primer orden del análisis factorial de máxima verosimilitud son altamente no lineales en los

parámetros, obtener los estimadores mediante iteraciones normales puede resultar lento y

difícil. Joreskog (1967)73 desarrolló algoritmos alternativos para evitar este problema.

Una interpretación de los estimadores de máxima verosimilitud de B dado los estimadores de

máxima verosimilitud de D es que D-1 veces el estimador de B tiene los vectores

característicos de Ω− ˆˆ 1D asociados con los valores característicos de K más grandes así

como sus columnas.

72 Ross impone esta estructura para su desarrollo original del APT. 73 Joreskog, K, “Some Contributions to Maximum Likelihood Factor Analysis,” Psychometrika, Vol. 34, p. 183 –

202, 1967.

Marco teórico

52

El segundo paso consiste en estimar los factores dados B y Σ. Donde los factores se

obtienen de la estructura de la covarianza, Podemos restringir a los factores a tener media

cero y expresar el modelo factorial en términos de sus desviaciones.

ttf BfR εµ +=− )(

Dada esta ecuación un candidato para obtener los factores por período de tiempo t es el

método de mínimos cuadrado (cross-sectional, GLS). Utilizando los estimadores de máxima

verosimilitud de B y D se tiene que para cada t

)ˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ 1'11' µ−= −−−tt RDBBDBf

ft se determina mediante la regresión de (Rt - µ ) sobre B . La serie de factores tf , t = 1......,T,

puede ser utilizada para probar el modelo.

Como los factores son combinaciones lineales de los rendimientos, podemos construir

portafolios que estén perfectamente correlacionados con los factores. Denotando Rk como el

vector (K x 1) de los rendimientos de los portafolios para un período de tiempo t tenemos

tkt AWRRkt=ˆ

donde

( ) 111 ˆ´ˆˆˆ´ˆ −−−= DBBDBW

y A se define como la matriz diagonal con 1 / Wj como el Jth elemento diagonal , donde Wj

es el elemento Jth de Wι.

El peso de los factores del portafolio obtenido para los factores Jth de este

procedimiento equivalen a los que se obtendrían resolviendo el siguiente modelo de

optimización. La suma de los pesos es igual a uno.

jj DMini

ωωω

ˆ´

Marco teórico

53

sujeto a

jkbkj ≠∀= 0ˆ'ω

jkbkj =∀=1ˆ'ω

Esto es el portafolio de pesos de los factores que minimiza la varianza de los residuos sujeto

a las restricciones que cada portafolio de factores, cada portafolio de factores tiene un

rezago con sobre su propio factor y cero con otros factores.

Si se conocen B y D, entonces un estimador de factores basado en GLS con los valores de

la población de B y D tendrán una correlación máxima con la población de factores.

II.3.3.1.2 Principales componentes. El análisis factorial sólo representa un método estadístico para formar un portafolio de

factores. Un método alternativo es el análisis de principales componentes. Este método

reduce el número de variables que están siendo estudiadas sin perder mucha información

contenida en la matriz de covarianza. En la presente aplicación el objetivo es reducir la

dimensión de N rendimientos de activos a k factores. El principal componente es la

combinación lineal (normalizada) de rendimientos de activos con la máxima varianza. El

segundo componente principal es la combinación lineal (normalizada) de rendimientos de

activos con la máxima varianza de todas las combinaciones ortogonales del primer

componente principal y así sucesivamente. La primera muestra del componente principal es

tRx*'1 donde el vector (N x 1) *

1x es la solución del problema siguiente:

1'1

1

ˆ1

xxMaxx

Ω

sujeto a

11'1 =xx

Ω es la matriz de covarianza de los rendimientos. La solución *iX es el vector característico

asociado a los valores característicos de Ω . Para facilitar la interpretación del portafolio de

factores se define el primer factor como tR´1

ω , donde ω1 *iX transformado en escalar por el

recíproco de ι’ *iX de tal forma que la suma de sus elementos sea igual a 1.

Marco teórico

54

El segundo componente principal resuelve el problema arriba planteado para x2 en lugar de

x1 con la restricción adicional 02*'1 =xx . La solución *

2x es el vector característico asociado

con el segundo valor característico más grande de Ω . *2X , puede ser transformado en

escalar por el recíproco de ι’ *2X dado ω2, y entonces el segundo portafolio de factores será

tR´2ω . En general el Jth factor será tj R´ω donde ωj es el vector característico vuelto escalar

asociado con el valor característico Jth más grande de Ω . El primer portafolio obtenido K del

análisis de principales componentes se puede emplear como factor en el APT u otros

modelos multivariados.

Otra forma de determinar los principales componentes fue desarrollada por Connor74 y

Korajczyk75 (1986, 1988). Estos autores proponen utilizar los vectores característicos

asociados con K valores característicos más grandes de matriz de rendimientos (T x T) más

que el procedimiento estándar que utiliza componentes de la matriz de covarianza (N x N).

Establecen que las sección cruzada se convierte en una gran matriz (K x T) con renglones

consistentes en K vectores característicos de matriz producto cruzada la cual convergirá con

la matriz de factores Las ventajas potenciales de esta versión es que permite la variación con

respecto al tiempo de la prima de riesgo del factor y lo conveniente del cálculo.

74 Connor and R, Korajczyk, Performance Measurement with Arbitrage Pricing Theory: A New Framework for

Analysis,” Journal of Financial Economics, Vol. 15, p. 373-394, 1986. 75 Korajczyk, R. and Viallet, C., “An Empirical Investigation of International Asset Pricing,” Review of Financial

Studies, Vol. 2, p. 553-586, 1988.

III Determinación empírica de la eficiencia del mercado mexicano de valores.

III.1 Hipótesis En esta sección tiene como objetivo determinar si el mercado mexicano de valores es

eficiente. Si se retoma lo mencionado en el marco teórico de este trabajo, se puede afirmar,

que un mercado eficiente es aquel que responde bien y rápidamente a la información. Lo

anterior lleva a establecer que un mercado será considerado eficiente si sus rendimientos

a través del tiempo siguen una caminata aleatoria. Esta afirmación será utilizada a

continuación para probar la eficiencia del Mercado de Valores Mexicano, para lo cual se

establece la siguiente hipótesis.

Ho: El Mercado de Valores mexicano es ineficiente.

Ha: El mercado de Valores Mexicano es eficiente.

Donde la regla de decisión, será determinar si los rendimientos de las acciones

(representados por el IPYC) en el Mercado Mexicano de Valores presenta un

comportamiento aleatorio o no. Si los rendimientos siguen una “caminata aleatoria” se rechaza la hipótesis nula y se establece que el Mercado de Valores Mexicano es eficiente.

III.1.1 Prueba de estacionariedad basada en un correlograma.

Una prueba sencilla de estacionariedad está basada en la denominada función de autocorrelación (FAC). Para poder efectuar esta prueba, utilizó el SPSS y los resultados

diarios obtenidos por el Índice de Precios Cotizaciones presentados en la tabla 176:

Una característica importante del correlograma muestral obtenido es que el coeficiente de

correlación para cualquier rezago es cero, aún para el rezago 42 su valor es muy pequeño

(0.07). Este tipo de patrón es, por lo general, una indicación de que la serie de tiempo es estocástica, es decir, puramente aleatoria, por lo tanto, su autocorrelación en cualquier

rezago mayor que cero es cero.

76 Cierre semanal.

Determinación empírica de la eficiencia del mercado mexicano de valores

56

Tabla 1: Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores (1994-1999). Fecha IPYC Fecha IPYC Fecha IPYC Fecha IPYC Fecha IPYC Fecha IPYC

03/01/1994 2502.2 14/12/1994 2401.6 13/11/1995 2254.1 04/11/1996 3247.7 22/09/1997 5278.7 27/07/1998 4473.010/01/1994 2459.1 21/12/1994 2203.7 20/11/1995 2415.0 11/11/1996 3369.7 29/09/1997 5269.7 03/08/1998 4174.317/01/1994 2506.3 28/12/1994 2337.7 24/11/1995 2576.0 18/11/1996 3366.2 06/10/1997 5316.0 10/08/1998 3731.524/01/1994 2693.7 04/01/1995 2269.9 04/12/1995 2689.6 25/11/1996 3246.6 13/10/1997 5252.1 17/08/1998 3533.131/01/1994 2781.4 11/01/1995 2027.9 11/12/1995 2607.8 02/12/1996 3311.1 20/10/1997 5312.6 24/08/1998 3413.007/02/1994 2824.4 18/01/1995 2156.1 18/12/1995 2656.6 09/12/1996 3335.1 27/10/1997 4263.9 31/08/1998 2991.914/02/1994 2778.8 25/01/1995 2056.6 25/12/1995 2829.4 16/12/1996 3175.1 03/11/1997 4849.7 07/09/1998 3194.521/02/1994 2684.1 07/02/1995 1962.3 01/01/1996 2915.7 23/12/1996 3299.2 10/11/1997 4545.5 14/09/1998 3023.928/02/1994 2585.4 13/02/1995 1930.2 08/01/1996 3002.1 30/12/1996 3346.9 17/11/1997 4588.1 21/09/1998 3494.407/03/1994 2601.9 20/02/1995 1766.1 15/01/1996 2908.2 06/01/1997 3492.2 24/11/1997 4720.9 28/09/1998 3717.214/03/1994 2429.9 27/02/1995 1447.5 22/01/1996 3087.5 13/01/1997 3561.6 25/11/1997 4787.1 05/10/1998 3428.021/03/1994 2438.0 01/03/1995 1518.0 29/01/1996 3088.0 20/01/1997 3739.6 26/11/1997 4897.0 12/10/1998 3560.628/03/1994 2446.1 08/03/1995 1498.5 05/02/1996 3019.3 27/01/1997 3685.2 27/11/1997 4957.1 19/10/1998 3813.004/04/1994 2265.5 15/03/1995 1611.7 12/02/1996 2950.6 03/02/1997 3636.5 04/12/1997 5131.1 26/10/1998 3994.511/04/1994 2208.5 22/03/1995 1591.2 19/02/1996 2975.4 10/02/1997 3679.1 15/12/1997 5008.1 02/11/1998 4097.918/04/1994 2137.6 29/03/1995 1810.9 26/02/1996 2955.4 17/02/1997 3850.4 22/12/1997 4931.6 09/11/1998 4201.225/04/1994 2191.1 05/04/1995 1919.1 04/03/1996 2879.7 24/02/1997 3889.8 29/12/1997 5120.6 16/11/1998 3971.502/05/1994 2230.7 12/04/1995 1829.9 11/03/1996 2777.9 03/03/1997 3795.9 05/01/1998 5199.6 23/11/1998 4131.509/05/1994 2147.6 18/04/1995 1791.9 18/03/1996 2874.3 10/03/1997 3844.8 12/01/1998 4686.9 30/11/1998 3769.916/05/1994 2239.8 24/04/1995 2017.2 25/03/1996 3068.0 17/03/1997 3760.6 19/01/1998 4773.4 07/12/1998 3807.023/05/1994 2431.4 01/05/1995 2014.3 01/04/1996 3113.3 24/03/1997 3828.0 26/01/1998 4526.6 14/12/1998 3828.330/05/1994 2485.4 08/05/1995 2011.4 08/04/1996 3020.9 25/03/1997 3837.5 02/02/1998 4673.1 21/12/1998 3909.606/06/1994 2494.8 15/05/1995 2048.2 15/04/1996 3204.7 26/03/1997 3842.9 09/02/1998 4697.5 28/12/1998 3942.713/06/1994 2291.1 22/05/1995 2090.9 22/04/1996 3251.2 27/03/1997 3795.5 10/02/1998 4722.0 04/01/1999 3835.720/06/1994 2283.6 29/05/1995 1969.7 29/04/1996 3200.1 31/03/1997 3748.0 11/02/1998 4729.3 11/01/1999 3592.227/06/1994 2239.2 30/05/1995 1938.7 06/05/1996 3152.7 07/04/1997 3792.8 12/02/1998 4682.6 18/01/1999 3637.804/07/1994 2267.5 31/05/1995 1945.1 13/05/1996 3250.8 14/04/1997 3798.6 16/02/1998 4594.0 25/01/1999 3707.811/07/1994 2292.0 01/06/1995 2011.8 20/05/1996 3316.2 21/04/1997 3758.5 23/02/1998 4561.0 01/02/1999 4030.218/07/1994 2274.3 07/06/1995 1989.8 27/05/1996 3327.2 28/04/1997 3756.2 02/03/1998 4850.7 08/02/1999 4016.825/07/1994 2313.9 14/06/1995 1985.9 03/06/1996 3191.8 05/05/1997 3843.1 09/03/1998 4812.2 15/02/1999 4103.601/08/1994 2473.5 21/06/1995 2018.6 10/06/1996 3242.3 12/05/1997 3930.1 16/03/1998 4723.8 22/02/1999 4243.208/08/1994 2603.9 28/06/1995 2173.7 17/06/1996 3190.7 19/05/1997 3921.4 23/03/1998 5042.1 01/03/1999 4217.715/08/1994 2651.5 11/07/1995 2503.0 24/06/1996 3132.2 26/05/1997 3985.0 30/03/1998 5038.5 08/03/1999 4460.922/08/1994 2759.0 17/07/1995 2516.7 01/07/1996 3177.6 02/06/1997 4002.8 06/04/1998 4924.5 15/03/1999 4769.929/08/1994 2745.9 24/07/1995 2470.1 08/07/1996 3034.9 09/06/1997 4126.3 13/04/1998 4919.1 22/03/1999 4715.305/09/1994 2666.0 31/07/1995 2375.2 15/07/1996 2916.6 16/06/1997 4259.8 20/04/1998 5166.4 29/03/1999 4845.412/09/1994 2708.8 07/08/1995 2565.4 22/07/1996 3014.9 23/06/1997 4436.8 27/04/1998 4909.8 05/04/1999 5101.919/09/1994 2803.6 21/08/1995 2485.1 29/07/1996 2969.9 30/06/1997 4458.0 04/05/1998 5041.4 12/04/1999 5303.326/09/1994 2840.1 28/08/1995 2493.5 12/08/1996 3256.0 07/07/1997 4741.2 11/05/1998 4843.5 19/04/1999 5464.203/10/1994 2686.0 04/09/1995 2590.0 19/08/1996 3324.7 14/07/1997 4777.1 18/05/1998 4646.5 26/04/1999 5405.110/10/1994 2621.6 11/09/1995 2603.9 26/08/1996 3357.2 21/07/1997 4590.2 25/05/1998 4612.3 03/05/1999 5579.117/10/1994 2756.0 18/09/1995 2541.9 09/09/1996 3341.2 28/07/1997 4712.2 01/06/1998 4413.5 10/05/1999 6080.524/10/1994 2633.6 25/09/1995 2458.6 16/09/1996 3320.8 04/08/1997 5135.2 04/06/1998 4592.0 17/05/1999 5851.531/10/1994 2552.1 02/10/1995 2292.0 23/09/1996 3300.4 11/08/1997 5043.6 15/06/1998 4049.0 24/05/1999 5498.807/11/1994 2588.4 09/10/1995 2316.8 30/09/1996 3236.3 18/08/1997 4952.9 22/06/1998 4320.4 25/05/1999 5441.114/11/1994 2486.6 16/10/1995 2325.3 07/10/1996 3345.4 25/08/1997 4996.2 29/06/1998 4184.6 26/05/1999 5618.421/11/1994 2428.2 23/10/1995 2285.4 14/10/1996 3287.4 01/09/1997 4964.8 06/07/1998 4411.9 27/05/1999 5498.928/11/1994 2562.8 30/10/1995 2348.6 21/10/1996 3286.0 08/09/1997 4933.4 13/07/1998 4625.4 07/12/1994 2520.9 06/11/1995 2275.3 28/10/1996 3216.5 15/09/1997 4833.1 20/07/1998 4602.7

Fuente: Bolsa Mexicana de Valores


57

Figura 7: Evaluación de la autocorrelación para el IPYC Auto- Stand. Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob. 1 -.059 .058 .* . 1.053 .305 2 .051 .058 . *. 1.840 .399 3 .027 .057 . *. 2.065 .559 4 .085 .057 . ** 4.240 .374 5 -.068 .057 .* . 5.665 .340 6 -.033 .057 .* . 5.989 .424 7 -.057 .057 .* . 6.981 .431 8 -.001 .057 . * . 6.981 .539 9 -.082 .057 ** . 9.079 .430 10 -.052 .057 .* . 9.909 .449 11 .041 .057 . *. 10.421 .493 12 -.188 .057 **.* . 21.418 .045 13 .157 .056 . *.* 29.167 .006 14 .003 .056 . * . 29.171 .010 15 -.045 .056 .* . 29.797 .013 16 .047 .056 . *. 30.500 .016 17 .070 .056 . *. 32.069 .015 18 .004 .056 . * . 32.075 .022 19 .004 .056 . * . 32.080 .031 20 .038 .056 . *. 32.541 .038 21 .034 .056 . *. 32.920 .047 22 -.118 .056 ** . 37.443 .021 23 -.068 .055 .* . 38.954 .020 24 .072 .055 . *. 40.626 .018 25 -.031 .055 .* . 40.949 .023 26 -.114 .055 ** . 45.233 .011 27 .030 .055 . *. 45.529 .014 28 -.044 .055 .* . 46.165 .017 29 -.030 .055 .* . 46.461 .021 30 -.061 .055 .* . 47.688 .021 31 .021 .055 . * . 47.843 .027 32 .028 .055 . *. 48.098 .034 33 -.043 .054 .* . 48.727 .038 34 .060 .054 . *. 49.933 .038 35 .041 .054 . *. 50.505 .044 36 .055 .054 . *. 51.553 .045 37 -.041 .054 .* . 52.129 .051 38 .083 .054 . ** 54.479 .041 39 -.106 .054 ** . 58.378 .024 40 .048 .054 . *. 59.174 .026 41 .014 .054 . * . 59.247 .032 42 -.022 .054 . * . 59.422 .039 43 -.027 .053 .* . 59.671 .047 44 .033 .053 . *. 60.045 .054 45 .010 .053 . * . 60.078 .066 46 -.040 .053 .* . 60.645 .072 47 -.045 .053 .* . 61.369 .078 48 .070 .053 . *. 63.137 .070 _ Plot Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits . Total cases: 298 Computable first lags: 297

El coeficiente de autocorrelación es una valiosa herramienta para determinar las propiedades

empíricas de una serie de tiempo77, sin embargo, la teoría detrás de este cálculo es

complicada. Existen dos formas de solucionar este problema. Una es el estudio del error

77 Makridakis W.M., “Forecasting, Methods and Applications”, 2nd Ed., New Jersey EU: John Willey and Sons Inc.,

1983, p. 367.


58

estándar, es decir, determinar si éste es significativamente diferente de cero. Barlett (1946)78

ha demostrado que si una serie de tiempo es puramente aleatoria, es decir, presenta ruido blanco79, los coeficientes de correlación muestral están distribuidos en forma

aproximadamente normal con media cero y varianza 1/n, donde n es el tamaño de muestra.

Para este caso n = 298 lo que implica una varianza de 1/298 o un error estándar de

1/ 298 = 0.058. Entonces siguiendo las propiedades de la distribución normal estándar, el

intervalo de confianza al 95 para cualquier ρk será:

±1.96(0.058) a cualquier lado del cero.

Así, si un ρk estimado se encuentra dentro del intervalo:

-0.114 ≤ ρk ≤ 0.114

No se rechaza la hipótesis de que el verdadero ρk es cero. Pero si se encuentra por fuera de

este intervalo de confianza, entonces se puede rechazar la hipótesis de que el verdadero ρk

sea cero. El intervalo de confianza del 95 se muestra como dos líneas punteadas en la

figura 7. En ésta misma, podemos notar que son pocos los valores individuales de la

autocorrelación ρk que se encuentran fuera del intervalo de confianza (rezago 13), es decir,

son significativamente diferentes de cero, por lo que en estos puntos se rechaza la

hipótesis de que el verdadero ρk es cero.

Para probar la hipótesis conjunta de que todos los coeficientes de autocorrelación ρk son

simultáneamente iguales a cero, utilizaremos la estadística Q desarrollada por Box y

Pierce80, que está definida como

∑=

∧

=m

kknQ

1

2ρ

78 Barlett, M.S., “On the Theoretical Specification of Sampling Properties of Autorrelated Time Series”, Journal of

the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 27, 1946, p. 27-41 79 Damodar N.G., “Econometría”, 3ra Ed., México: Mc Graw Hill, 1997, p. 701. 80 Makridakis W.M., “Forecasting, Methods and Applications”, 2nd Ed., New Jersey EU: John Willey and Sons Inc.,

1983, p. 369


59

Donde n = tamaño de la muestra

m = longitud del rezago

La estadística Q está repartida aproximadamente (para grandes muestras) como la

distribución ji - cuadrada con m – p - q grados de libertad. En una aplicación, si la Q

calculada excede el valor Q crítico de la tabla ji - cuadrada al nivel de significancia

seleccionado, se puede rechazar la hipótesis nula de que todos los ρk son iguales a cero;

por lo menos algunos de ellos deben ser diferentes de cero.

299.58)1956.0(29829848

1

2

=== ∑=

∧

kkQ ρ

El valor obtenido en tablas de la ji - cuadrada crítica para 50 grados de libertad es 116.321,

menor que el observado 58.299, por lo que se puede aceptar la hipótesis nula de que

todos los ρk son iguales a cero a un nivel del 0.05 de error.

Una variante de la estadística Q de Box-Pierce es la estadística Ljung-Box (LB) que está

definida como81

2

1

2

)2( m

m

k

k Xkn

nnLB ≈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+= ∑

=

∧

ρ

Aunque en muestras grandes tanto el estadístico Q como la LB siguen una distribución ji-

cuadrada con m grados de libertad, se ha encontrado que la estadística LB posee mejores

propiedades de muestra pequeña que la estadística Q.

En este caso la estadística LB obtenida mediante el SPSS, de 62.37, muestra el mismo

resultado obtenido con la estadística Q.

Con base al correlograma, y al análisis de los estadísticos Q y LB, podemos afirmar que la

serie de tiempo IPYC de mercado de valores mexicano es una serie puramente aleatoria.

81 Ljung, G.M., and Box, G.P.E., “On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models”, Biometrica, Vol. 66, p. 62-

72, 1978.


60

III.1.2 Prueba de raíz unitaria. Una prueba alternativa para determinar la estacionariedad y por lo tanto, la eficiencia del

mercado de valores mexicano, es la prueba de la raíz unitaria. Esta prueba se inicia

mediante el siguiente modelo:

ttt uYY += −1

Donde ut es el término de error estocástico que sigue los supuestos clásicos, a saber, tiene

media cero, varianza constante σ2 y no está correlacionado. La ecuación anterior es una

regresión de primer orden, o AR(1), en la cual, se efectúa la regresión del valor en el tiempo

(t - 1). Ahora bien, si el coeficiente de Yt-1 es igual a 1, surge lo que se conoce como el

problema de raíz unitaria, es decir, una situación de no estacionariedad, por lo tanto, si se

efectúa la regresión:

Yt = ρYt-1+ut

Si se encuentra que ρ = 1, entonces se dice que la variable estocástica Yt tiene una raíz

unitaria. En econometría de series de tiempo, una serie de tiempo que tiene una raíz unitaria

se conoce como una caminata aleatoria82. Para averiguar si el índice de precios y cotizaciones del mercado mexicano de valores es

una serie de tiempo estacionaria, efectuaremos la regresión y determinaremos si 1=∧

ρ y si

0=∧

δ .

Bajo la hipótesis nula:

Ho: ρ = 1

El estadístico t calculado se conoce como el estadístico τ (tau)83. En la literatura la prueba

tau se conoce como la prueba Dickey Fuller (DF). Las tablas elaboradas por

Dickey Fuller (1979)84 han sido ampliadas por MacKinnon (1991)85 a través de simulaciones

de Monte Carlo.

La prueba efectuada a los datos del IPYC del mercado de valores mexicano con el uso del

Econometrics View se presenta a continuación.

82 Damodar N.G., “Econometría”, 3ra Ed., México: Mc Graw Hill, p. 702 1997. 83 Estos valores han sido tabulados por Dickey y Fuller con base a simulaciones de Monte Carlo. 84 Dickey, D.A., and Fuller, W.A., “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root”,

Journal of the American Statistical Association Vol. 74, p. 427-431, 1979. 85 MacKinnon, J.G., “Critical Values of Cointegration Test”, Chapter XIII, Oxford University Press, New York, 1991.


61

ADF Test Statistic -1.881599 1% Critical Value* -3.4582 5% Critical Value -2.8732 10% Critical Value -2.5729

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Para el fin del presente trabajo, lo importante es el estadístico τ de la variable IPYC. Los

estadísticos τ críticos86 al 1, 5 y 10, como han sido calculados por MacKinnon, son -3.4582, -

2.8732 y -2.5729, respectivamente. Puesto que el valor de τ calculado es -1.881599, que en

términos absolutos es menor que los valores críticos al 1, 5 y 10, no se rechaza la hipótesis

nula δ = 0, es decir, la serie IPYC presenta una raíz unitaria, que es otra forma de decir que

la serie IPYC es no estacionaria.

III.1.3 El análisis del estadístico de Durbin - Watson para determinación de correlación serial.

Aunque no hay disponible un procedimiento de prueba exacto, Durbin y Watson han

proporcionado las fronteras inferior (I) y superior (S), de manera que se pueda efectuar una

prueba de correlación serial después de calcular el valor DW. Las reglas de decisión son87:

1. Cuando la estadística de Durbin – Watson es mayor que la frontera superior

(S), el coeficiente de autocorrelación es igual a cero (no existe autocorrelación

positiva.

2. Cuando la estadística de Durbin – Watson es menor que la frontera inferior (I),

el coeficiente de autocorrelación es mayor que cero (existe autocorrelación

positiva).

3. Cuando la estadística de Durbin – Watson se ubica entre las fronteras inferior

y superior, la prueba no ofrece una conclusión (no sabemos si existe

correlación positiva.

Para el caso que nos ocupa la frontera de confianza de Durbin – Watson es:

1.758 ≤ DW ≤ 1.78

86 Los valores críticos son reportados directamente por el Eview. 87 Hanke, J.E., “Pronósticos en los Negocios”, 5a Ed., México: Prentice Hall, 1996, p. 381.


62

El estadístico calculado por el Econometrics View, es 1.9956, que como podemos observar

se encuentra por arriba del límite superior del intervalo de confianza por lo que podemos

afirmar que no existe correlación serial positiva en la muestra analizada.

III.1.3.1 Corridas de prueba. Mientras que las pruebas efectuadas anteriormente utilizan el tamaño de los rendimientos

obtenidos por el mercado, las corridas de prueba o pruebas de rachas examinan la

tendencia de que las pérdidas o ganancias sean seguidas por pérdidas o ganancias

adicionales. Esta prueba se realizará examinando una serie de tiempo de los rendimientos

del Mercado Mexicano de Valores y comprobando si el número de ganancias en precios

consecutivos (o el número de disminuciones consecutivas de precios) forman un patrón. Si

se representa la ganancia de precios mediante el signo (+) y la disminución en precios

mediante el signo (-), se pueden representar los movimientos en precios de un valor

mediante una serie de signos de más y menos. Si los movimientos de los precios siguieran

cualquier regla, se le podría ganar al mercado por lo que éste sería considerado ineficiente.

La tabla 2 muestra los rendimientos semanales obtenidos por el IPYC de la Bolsa Mexicana

de Valores para el primer trimestre de 1999 ilustrando la forma en que se efectuó la prueba.

En la columna Racha se muestra el signo del rendimiento, lo que significa ganancia o

pérdida del precio de las acciones en el mercado.


63

Tabla 2: Datos utilizados en la prueba de rachas en la determinación de la eficiencia del mercado.

Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC)

10/01/1994 -1.72 - 08/03/1995 -1.28 - 22/04/1996 1.45 + 09/06/1997 3.08 + 29/06/1998 -3.14 -

17/01/1994 1.92 + 15/03/1995 7.55 + 29/04/1996 -1.57 - 16/06/1997 3.24 + 06/07/1998 5.43 +

24/01/1994 7.48 + 22/03/1995 -1.28 - 06/05/1996 -1.48 - 23/06/1997 4.15 + 13/07/1998 4.84 +

31/01/1994 3.25 + 29/03/1995 13.81 + 13/05/1996 3.11 + 30/06/1997 0.48 + 20/07/1998 -0.49 -

07/02/1994 1.55 + 05/04/1995 5.97 + 20/05/1996 2.01 + 07/07/1997 6.35 + 27/07/1998 -2.82 -

14/02/1994 -1.61 - 12/04/1995 -4.64 - 27/05/1996 0.33 + 14/07/1997 0.76 + 03/08/1998 -6.68 -

21/02/1994 -3.41 - 18/04/1995 -2.08 - 03/06/1996 -4.07 - 21/07/1997 -3.91 - 10/08/1998 -10.61 -

28/02/1994 -3.68 - 24/04/1995 12.57 + 10/06/1996 1.58 + 28/07/1997 2.66 + 17/08/1998 -5.32 -

07/03/1994 0.64 + 01/05/1995 -0.14 - 17/06/1996 -1.59 - 04/08/1997 8.98 + 24/08/1998 -3.40 -

14/03/1994 -6.61 - 08/05/1995 -0.14 - 24/06/1996 -1.83 - 11/08/1997 -1.78 - 31/08/1998 -12.34 -

21/03/1994 0.33 + 15/05/1995 1.83 + 01/07/1996 1.45 + 18/08/1997 -1.80 - 07/09/1998 6.77 +

28/03/1994 0.33 + 22/05/1995 2.08 + 08/07/1996 -4.49 - 25/08/1997 0.87 + 14/09/1998 -5.34 -

04/04/1994 -7.39 - 29/05/1995 -5.80 - 15/07/1996 -3.90 - 01/09/1997 -0.63 - 21/09/1998 15.56 +

11/04/1994 -2.52 - 30/05/1995 -1.57 - 22/07/1996 3.37 + 08/09/1997 -0.63 - 28/09/1998 6.38 +

18/04/1994 -3.21 - 31/05/1995 0.33 + 29/07/1996 -1.49 - 15/09/1997 -2.03 - 05/10/1998 -7.78 -

25/04/1994 2.50 + 01/06/1995 3.43 + 12/08/1996 9.63 + 22/09/1997 9.22 + 12/10/1998 3.87 +

02/05/1994 1.81 + 07/06/1995 -1.09 - 19/08/1996 2.11 + 29/09/1997 -0.17 - 19/10/1998 7.09 +

09/05/1994 -3.73 - 14/06/1995 -0.20 - 26/08/1996 0.98 + 06/10/1997 0.88 + 26/10/1998 4.76 +

16/05/1994 4.30 + 21/06/1995 1.65 + 09/09/1996 -0.48 - 13/10/1997 -1.20 - 02/11/1998 2.59 +

23/05/1994 8.55 + 28/06/1995 7.68 + 16/09/1996 -0.61 - 20/10/1997 1.15 + 09/11/1998 2.52 +

30/05/1994 2.22 + 11/07/1995 15.15 + 23/09/1996 -0.61 - 27/10/1997 -19.74 - 16/11/1998 -5.47 -

06/06/1994 0.38 + 17/07/1995 0.55 + 30/09/1996 -1.94 - 03/11/1997 13.74 + 23/11/1998 4.03 +

13/06/1994 -8.17 - 24/07/1995 -1.85 - 07/10/1996 3.37 + 10/11/1997 -6.27 - 30/11/1998 -8.75 -

20/06/1994 -0.33 - 31/07/1995 -3.84 - 14/10/1996 -1.74 - 17/11/1997 0.94 + 07/12/1998 0.98 +

27/06/1994 -1.95 - 07/08/1995 8.01 + 21/10/1996 -0.04 - 24/11/1997 2.89 + 14/12/1998 0.56 +

04/07/1994 1.27 + 21/08/1995 -3.13 - 28/10/1996 -2.12 - 25/11/1997 1.40 + 21/12/1998 2.12 +

11/07/1994 1.08 + 28/08/1995 0.34 + 04/11/1996 0.97 + 26/11/1997 2.30 + 28/12/1998 0.85 +

18/07/1994 -0.77 - 04/09/1995 3.87 + 11/11/1996 3.76 + 27/11/1997 1.23 + 04/01/1999 -2.71 -

25/07/1994 1.74 + 11/09/1995 0.53 + 18/11/1996 -0.10 - 04/12/1997 3.51 + 11/01/1999 -6.35 -

01/08/1994 6.90 + 18/09/1995 -2.38 - 25/11/1996 -3.55 - 15/12/1997 -2.40 - 18/01/1999 1.27 +

08/08/1994 5.27 + 25/09/1995 -3.28 - 02/12/1996 1.98 + 22/12/1997 -1.53 - 25/01/1999 1.93 +

15/08/1994 1.83 + 02/10/1995 -6.78 - 09/12/1996 0.73 + 29/12/1997 3.83 + 01/02/1999 8.70 +

22/08/1994 4.05 + 09/10/1995 1.08 + 16/12/1996 -4.80 - 05/01/1998 1.54 + 08/02/1999 -0.33 -

29/08/1994 -0.47 - 16/10/1995 0.37 + 23/12/1996 3.91 + 12/01/1998 -9.86 - 15/02/1999 2.16 +

05/09/1994 -2.91 - 23/10/1995 -1.72 - 30/12/1996 1.45 + 19/01/1998 1.85 + 22/02/1999 3.40 +

12/09/1994 1.60 + 30/10/1995 2.77 + 06/01/1997 4.34 + 26/01/1998 -5.17 - 01/03/1999 -0.60 -

19/09/1994 3.50 + 06/11/1995 -3.12 - 13/01/1997 1.99 + 02/02/1998 3.24 + 08/03/1999 5.76 +

26/09/1994 1.30 + 13/11/1995 -0.93 - 20/01/1997 5.00 + 09/02/1998 0.52 + 15/03/1999 6.93 +

03/10/1994 -5.42 - 20/11/1995 7.14 + 27/01/1997 -1.46 - 10/02/1998 0.52 + 22/03/1999 -1.14 -

10/10/1994 -2.40 - 24/11/1995 6.66 + 03/02/1997 -1.32 - 11/02/1998 0.15 + 29/03/1999 2.76 +

17/10/1994 5.12 + 04/12/1995 4.41 + 10/02/1997 1.17 + 12/02/1998 -0.99 - 05/04/1999 5.29 +

24/10/1994 -4.44 - 11/12/1995 -3.04 - 17/02/1997 4.66 + 16/02/1998 -1.89 - 12/04/1999 3.95 +

31/10/1994 -3.10 - 18/12/1995 1.87 + 24/02/1997 1.02 + 23/02/1998 -0.72 - 19/04/1999 3.03 +

07/11/1994 1.42 + 25/12/1995 6.50 + 03/03/1997 -2.41 - 02/03/1998 6.35 + 26/04/1999 -1.08 -

14/11/1994 -3.93 - 01/01/1996 3.05 + 10/03/1997 1.29 + 09/03/1998 -0.79 - 03/05/1999 3.22 +

21/11/1994 -2.35 - 08/01/1996 2.96 + 17/03/1997 -2.19 - 16/03/1998 -1.84 - 10/05/1999 8.99 +

28/11/1994 5.54 + 15/01/1996 -3.13 - 24/03/1997 1.79 + 23/03/1998 6.74 + 17/05/1999 -3.77 -


64

Tabla 2: Datos utilizados en la prueba de rachas en la determinación de la eficiencia del mercado (Continuación).

Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC) Fecha Re

(IPyC)

07/12/1994 -1.64 - 22/01/1996 6.16 + 25/03/1997 0.25 + 30/03/1998 -0.07 - 24/05/1999 -6.03 -

14/12/1994 -4.73 - 29/01/1996 0.02 + 26/03/1997 0.14 + 06/04/1998 -2.26 - 25/05/1999 -1.05 -

21/12/1994 -8.24 - 05/02/1996 -2.23 - 27/03/1997 -1.24 - 13/04/1998 -0.11 - 26/05/1999 3.26 +

28/12/1994 6.08 + 12/02/1996 -2.28 - 31/03/1997 -1.25 - 20/04/1998 5.03 + 27/05/1999 -2.13 -

04/01/1995 -2.90 - 19/02/1996 0.84 + 07/04/1997 1.20 + 27/04/1998 -4.97 - 07/06/1999 -1.40 -

11/01/1995 -10.66 - 26/02/1996 -0.67 - 14/04/1997 0.15 + 04/05/1998 2.68 + 14/06/1999 -5.61 -

18/01/1995 6.32 + 04/03/1996 -2.56 - 21/04/1997 -1.06 - 11/05/1998 -3.92 - 21/06/1999 13.79 +

25/01/1995 -4.62 - 11/03/1996 -3.53 - 28/04/1997 -0.06 - 18/05/1998 -4.07 - 28/06/1999 -4.28 -

07/02/1995 -4.59 - 18/03/1996 3.47 + 05/05/1997 2.31 + 25/05/1998 -0.74 - 05/07/1999 6.83 +

13/02/1995 -1.64 - 25/03/1996 6.74 + 12/05/1997 2.26 + 01/06/1998 -4.31 - 12/07/1999 -3.13 -

20/02/1995 -8.50 - 01/04/1996 1.48 + 19/05/1997 -0.22 - 04/06/1998 4.04 + 19/07/1999 2.48 +

27/02/1995 -18.04 - 08/04/1996 -2.97 - 26/05/1997 1.62 + 15/06/1998 -11.83 -

01/03/1995 4.87 + 15/04/1996 6.08 + 02/06/1997 0.45 + 22/06/1998 6.70 +

Como inicio de este análisis se establecen la hipótesis nula y alternativa, el nivel de

significancia deseado para el experimento y la región de rechazo:

Ho: Los rendimientos obtenidos por el IPYC del Mercado Mexicano de Valores son

aleatorios.

Ha: Los rendimientos obtenidos por el IPYC del Mercado Mexicano de Valores no son

aleatorios.

Nivel de significancia: Sean α = 0.05, N = 298, n1 = 124 y n2 = 174

Región de rechazo: Ha no predice la dirección de la desviación con respecto al azar,

en consecuencia se usa una región de rechazo de dos colas que abarca todos los

valores de z calculados mediante la ecuación siguiente:

( )( ) ( )1

22

12

212

21

212121

21

21

−++−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

=

nnnnnnnnnn

nnnnr

Z

Donde r = Número de rachas

n1 = Número de resultados –

n2 = Número de resultados +


65

Los valores obtenidos deben ser tan extremos que la probabilidad asociada con su

ocurrencia conforme Ho es igual o menor que 0.05 (significancia deseada), la región de

rechazo por lo tanto incluye todos los valores de z iguales o más extremos que ± 1.9688.

Substituyendo entonces los valores del presente caso en la ecuación:

( )( ) ( )

262.0

1174124174124)174124)174)(124(2)174)(124(2

1174124

)174)(124(2148

2

=

−++−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

=Z

Consultando en tablas podemos determinar que la probabilidad de Z ≥ 0.262 es:

p = 2(0.39789) = 0.795

Como el valor determinado para la probabilidad p, 0.795 es mayor que las significancias

0.025, 0.05, la hipótesis nula se acepta, es decir, los rendimientos obtenidos por el IPYC

de Mercado Mexicano de Valores son aleatorios.

III.1.4 Análisis de los resultados obtenidos. Las pruebas efectuadas al IPYC mediante los diversos métodos en esta sección muestran

que éste es no estacionario, es decir, el IPYC del Mercado Mexicano de Valores sigue un camino aleatorio, por lo que la hipótesis nula con la que inicia esta sección:

Ho: El Mercado de Valores mexicano es ineficiente.

Se rechaza por lo que se afirma con suficiente evidencia estadística que el Mercado

Mexicano de Valores es Eficiente desde el punto de vista económico.

Es importante señalar aquí que la hipótesis del movimiento aleatorio es una hipótesis

estadística, mientras que la hipótesis de los mercados eficientes es una hipótesis

económica. Fundamentalmente, si se rechaza la hipótesis de mercados eficientes es 88 Sidney S., “Estadística no Paramétrica”, 3ra Ed., México: Trillas, .p. 79, 1990 89 El valor de 0.4801 se obtiene de tablas de probabilidades asociadas con valores tan extremos como los valores observados de z en la distribución normal.


66

necesario descubrir reglas de negociación para ganarle al mercado. Al rechazar la hipótesis

del movimiento aleatorio, tan solo se rechaza una hipótesis estadística muy fuerte; no se

demuestra que los mercados sean ineficientes.

IV Análisis de modelos bivariados de fijación precios. IV.1 Determinación empírica del portafolio eficiente. El modelo de Markowitz

IV.1.1 La selección del portafolio. En 1952, Harry M. Markowitz publicó un artículo que es visto generalmente como el origen

de la teoría moderna de portafolios90. En ella establece que su metodología puede ser vista

como un método de periodo sencillo, donde el inicio del periodo se denota como t0 y el final

de periodo como t1. A t0, el inversionista puede tomar la decisión de qué valores en particular

comprará y mantenerlos hasta t1. Esta decisión equivale a seleccionar el portafolio óptimo de un grupo de posibles portafolios.

Al tomar la decisión en t0 el inversionista debería reconocer que el rendimiento del activo (así

como el rendimiento del portafolio) durante el periodo de posesión es desconocido. Sin

embargo, el inversionista puede estimar el rendimiento esperado (o medio) de los activos

que están siendo considerados y entonces, invertir en el que tenga el mayor rendimiento

esperado.

Markowitz hace notar que esta decisión es difícil ya que el inversionista típico desea que el

rendimiento sea alto, pero, también quiere que riesgo sea bajo. Esto significa que el

inversionista buscará maximizar el rendimiento esperado mientras minimiza el riesgo

(incertidumbre). El método de Markowitz, permite determinar como debe el inversionista

tomar esta decisión tomando en cuenta estos dos objetivos. Una consecuencia interesante

de tener este conflicto de objetivos es que el inversionista deberá diversificar su compra y no

comprar únicamente un activo sino varios.

IV.1.2 Hipótesis El método de Markowitz inicia definiendo en forma específica cuál es el rendimiento inicial y

final de la cartera o valores de inversión y finaliza recomendando una cartera al

inversionista. Por lo que el objetivo de esta sección, es el determinar empíricamente la aplicabilidad de esta teoría en el Mercado Mexicano de Valores, es decir, probar las

hipótesis:

H0: El modelo de Markowitz es aplicable en Mercado Mexicano de Valores

90 Sharpe W.F., Alexander, G.J., Bailey, J.V. “Investments”, 5th Ed., New Jersey, EU: Prentice Hall, 1995, p. 167.

El modelo de Markowitz

68

Ha: El modelo de Markowitz no es aplicable en Mercado Mexicano de Valores

IV.1.3 Cálculo del rendimiento inicial y final. Para un periodo como el que fue definido el rendimiento de un activo se calcula mediante la

siguiente ecuación.

0

01

WWWrp

−=

Donde W0 denota el precio del activo (o portafolio) a t0 y W1 al final del periodo de

posesión. De acuerdo con Markowitz, el inversionista deberá observar el rendimiento

asociado con cualquiera de estos portafolios también llamado variable aleatoria, así como

las variables que pueden ser descritas o calculadas durante el periodo de posesión que son:

el valor esperado (o media) y la desviación estándar. Markowitz establece que el

inversionista debe basar su selección del portafolio únicamente en estas variables. Esto es,

el inversionista debe estimar el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada

portafolio y entonces escoger el “mejor” basado en las magnitudes relativas de estos dos

parámetros, ya que el rendimiento esperado puede ser visto como la medida de la

recompensa potencial y la desviación estándar como la medida del riesgo asociada a

cualquier portafolio. Así pues, si la recompensa potencial y el riesgo de todos los portafolios

posibles son calculados el inversionista estará en posición de identificar su portafolio

preferido.

IV.1.4 El rendimiento esperado. La tabla 3 muestra los precios de 31 de las 35 acciones utilizadas en el presente

trabajo. Cabe establecer aquí, que la tabla ya mencionada presenta únicamente una parte de

la muestra utilizada, que en realidad abarca de enero de 1994 a diciembre de 1999 para el

cálculo del portafolio óptimo por el método de Markowitz y su fin es ilustrativo.

Análisis de modelos bivariados de fijación de precios

69

Tabla 3: Precio de cierre para 35 acciones y el IPyC del Mercado de Valores Mexicanos de enero de 1994 a octubre de 1994.

Fecha IPC Televisa Apasco Autrey Cemex CPO

Telmex L Alfa Benavides HERDEZ Gissa KOF Peñoles Maseca

GIBFemsa UBD Cemex A Cemex B ICA Tribasa

03/01/94 2502.23 105.30 29.95 7.24 21.15 9.60 6.77 15.55 4.00 5.49 3.16 6.58 4.47 4.34 7.04 7.48 13.78 53.24

10/01/94 2459.11 101.60 30.14 6.77 20.37 9.44 6.99 14.87 4.17 5.56 3.12 6.08 4.28 4.15 6.89 7.44 13.34 48.31

17/01/94 2506.33 102.70 30.09 7.24 20.75 9.74 7.13 15.75 4.35 5.67 3.32 6.70 4.50 4.00 6.92 7.44 13.31 44.69

24/01/94 2693.71 110.20 34.40 8.13 22.42 10.31 8.00 19.35 4.47 6.03 3.63 7.33 4.92 4.34 7.43 7.88 15.17 54.35

31/01/94 2781.37 109.50 31.86 9.25 23.55 10.83 8.15 19.54 4.43 6.46 3.60 7.87 5.64 4.28 7.87 8.30 16.27 58.88

07/02/94 2824.40 112.20 32.53 9.33 24.37 10.93 8.04 21.78 4.20 6.46 3.43 8.04 5.64 5.10 8.08 8.61 16.16 59.38

14/02/94 2778.83 106.70 31.38 8.86 24.50 10.95 7.87 19.93 3.98 6.57 3.66 8.06 5.35 4.94 8.23 8.70 16.58 60.69

21/02/94 2684.14 102.00 30.24 9.15 23.67 10.55 7.79 19.44 3.76 6.46 3.55 8.08 5.33 5.03 7.94 8.35 15.02 56.46

28/02/94 2585.44 102.00 28.03 9.45 21.87 10.24 7.51 18.61 3.94 6.37 3.26 8.10 5.15 4.30 7.37 7.86 14.32 57.37

07/03/94 2601.89 101.00 28.70 9.64 22.00 10.53 7.65 19.05 4.01 6.37 3.37 8.12 4.98 3.87 7.39 7.90 14.16 55.35

14/03/94 2429.88 94.00 24.88 9.25 20.02 9.94 7.47 18.86 4.08 6.22 3.26 8.11 4.59 3.44 6.75 7.06 13.93 51.83

21/03/94 2438.01 90.20 25.60 8.99 19.82 9.82 7.63 18.66 4.06 6.07 3.27 8.11 4.78 3.59 6.68 6.98 14.17 50.07

28/03/94 2446.15 86.40 26.31 8.74 19.62 9.69 7.79 18.47 4.04 5.92 3.28 8.10 4.98 3.74 6.62 6.90 14.40 48.31

04/04/94 2265.49 82.60 23.82 7.87 18.50 9.05 7.65 17.50 4.02 5.92 3.02 8.34 4.76 3.44 6.25 6.40 12.60 41.06

11/04/94 2208.48 82.00 23.63 7.87 16.47 9.22 7.38 16.14 4.00 5.79 2.90 8.58 4.81 3.31 5.66 5.87 12.04 40.16

18/04/94 2137.62 81.00 23.82 7.87 15.62 8.82 7.16 15.36 3.31 5.54 2.90 8.44 4.90 3.22 5.27 5.42 12.12 36.23

25/04/94 2191.08 81.00 25.83 8.68 17.35 8.95 7.05 14.82 3.51 5.29 2.94 8.42 5.35 3.12 5.75 5.81 11.88 37.19

02/05/94 2230.73 83.80 25.60 8.76 16.45 8.97 7.48 14.97 3.70 5.64 3.33 8.49 5.25 3.12 5.50 5.61 12.61 39.80

09/05/94 2147.58 76.40 23.68 8.85 15.69 8.63 7.24 14.54 3.90 5.22 3.06 8.42 5.00 2.89 5.27 5.45 11.83 40.51

16/05/94 2239.84 76.00 25.12 8.93 17.72 8.84 7.43 14.10 4.10 5.34 3.29 8.49 5.33 2.99 5.85 6.04 12.43 41.21

23/05/94 2431.43 88.10 27.56 10.00 19.40 9.52 7.83 15.36 4.13 5.79 3.42 8.94 5.58 3.37 6.52 6.70 14.00 45.89

30/05/94 2485.41 94.90 27.32 9.25 20.12 9.79 8.00 16.16 4.09 6.03 3.42 8.88 5.43 3.42 6.69 6.98 14.48 47.30

06/06/94 2494.84 95.20 26.98 9.49 19.83 10.01 8.18 15.92 4.04 5.92 3.35 8.81 5.43 3.61 6.68 6.91 14.60 49.31

13/06/94 2291.12 85.50 23.63 9.35 17.55 9.46 7.89 14.35 4.00 5.74 3.10 8.70 5.06 3.20 5.99 6.12 13.07 45.54

20/06/94 2283.61 87.80 23.63 9.37 17.97 9.29 7.81 14.48 3.95 5.74 2.86 8.59 5.02 3.25 5.92 6.16 13.02 43.88

27/06/94 2239.19 83.90 23.92 9.11 18.14 8.97 7.98 14.39 3.90 5.83 2.85 8.47 4.92 3.10 5.92 6.26 13.07 39.00

04/07/94 2267.54 88.00 23.92 8.99 18.15 9.01 8.17 14.78 3.85 5.85 2.92 8.47 4.96 3.74 6.04 6.33 13.26 38.34

11/07/94 2292.00 89.50 24.16 8.86 18.81 8.97 8.36 15.75 3.80 5.86 2.99 8.47 5.19 4.00 6.30 6.57 13.47 43.18

18/07/94 2274.26 90.30 23.92 8.74 18.48 8.99 8.39 15.12 3.78 5.83 3.09 8.31 5.00 3.97 6.07 6.35 13.43 43.48

25/07/94 2313.94 88.00 25.64 9.05 19.07 9.27 8.41 14.48 3.76 5.80 3.17 8.29 5.08 4.11 6.35 6.66 13.83 46.3001/08/94 2473.54 97.10 25.83 9.84 21.05 9.92 8.47 12.68 3.85 5.92 3.42 8.28 5.04 4.34 7.03 7.38 14.81 50.42

Fuente: Bolsa Mexicana de Valores.


70

El rendimiento de las acciones se calcula determinando la variación porcentual de los precios

de las acciones entre dos periodos mediante la ecuación siguiente:

5.33.105

3.1056.101

0

01 −=−

=−

=W

WWrp

En este cálculo se determina el rendimiento del periodo del 3 al 10 de enero de 1994 para las

acciones de Televisa (-3.5%). Algunos de los resultados obtenidos para otras acciones y el

Índice de Precios y Cotizaciones del Mercado Mexicano de Valores (en términos porcentuales)

se presentan en la tabla 4.

Tabla 4: Rendimientos obtenidos por 11 acciones del Mercado Mexicano de valores entre enero de 1996 y octubre de 1999.

Televisa Apasco Autrey Cemex CPO Telmex L Alfa Benavid

es HERDEZ Gissa KOF Peñoles Maseca GIB

-3.5% 0.6% -6.5% -3.7% -1.6% 3.2% -4.4% 4.4% 1.3% -1.0% -7.6% -4.3%1.1% -0.2% 7.0% 1.8% 3.1% 2.0% 5.9% 4.2% 1.9% 6.3% 10.3% 5.2%7.3% 14.3% 12.2% 8.1% 5.9% 12.3% 22.8% 2.8% 6.3% 9.4% 9.3% 9.3%

-0.6% -7.4% 13.8% 5.0% 5.1% 1.9% 1.0% -0.9% 7.1% -0.9% 7.3% 14.6%2.5% 2.1% 0.9% 3.5% 0.9% -1.3% 11.4% -5.2% -4.6% 2.3%

-4.9% -3.5% -5.1% 0.5% 0.2% -2.2% -8.5% -5.2% 1.7% 6.6% 0.2% -5.2%-4.4% -3.7% 3.3% -3.4% -3.6% -1.0% -2.4% -5.5% -1.6% -3.1% 0.2% -0.4%

-7.3% 3.2% -7.6% -2.9% -3.5% -4.3% 4.8% -1.4% -8.1% 0.2% -3.3%-1.0% 2.4% 2.1% 0.6% 2.8% 1.8% 2.4% 1.8% 3.4% 0.2% -3.4%-6.9% -13.3% -4.1% -9.0% -5.6% -2.3% -1.0% 1.7% -2.3% -3.3% -0.1% -7.8%-4.0% 2.9% -2.8% -1.0% -1.2% 2.1% -1.0% -0.5% -2.4% 0.3% 0.0% 4.2%-4.2% 2.8% -2.8% -1.0% -1.3% 2.1% -1.0% -0.5% -2.5% 0.3% -0.1% 4.1%-4.4% -9.5% -9.9% -5.7% -6.7% -1.8% -5.3% -0.5% -7.8% 3.0% -4.3%-0.7% -0.8% -10.9% 1.9% -3.6% -7.8% -0.5% -2.3% -4.1% 2.9% 1.0%-1.2% 0.8% -5.2% -4.3% -3.0% -4.8% -17.3% -4.3% -1.7% 1.8%

8.4% 10.2% 11.0% 1.5% -1.5% -3.5% 6.0% -4.5% 1.6% -0.2% 9.1%3.5% -0.9% 1.0% -5.2% 0.2% 6.2% 1.0% 5.6% 6.4% 13.2% 0.8% -1.8%

-8.8% -7.5% 1.0% -4.6% -3.8% -3.3% -2.9% 5.3% -7.3% -8.3% -0.8% -4.8%-0.5% 6.1% 1.0% 12.9% 2.4% 2.6% -3.1% 5.1% 2.2% 7.5% 0.8% 6.6%15.9% 9.7% 11.9% 9.5% 7.7% 5.3% 9.0% 0.7% 8.4% 4.0% 5.3% 4.7%7.7% -0.9% -7.5% 3.7% 2.8% 2.3% 5.2% -1.0% 4.2% 0.2% -0.6% -2.8%

Una vez obtenidos los rendimientos de las acciones, se determinó la media aritmética, varianza,

covarianza91, correlación, la beta, el riesgo total, sistemático, y no sistemático de estas

acciones. La tabla 5, presenta los resultados obtenidos para el global de las acciones.

91Debemos recordar aquí que la covarianza es una medida estadística de la relación que existe entre dos variables. En este caso los activos y el índice de precios y cotizaciones se “mueven juntos”.


71

IV.1.5 Cálculo del coeficiente de correlación (ρiI). Relacionado fuertemente con la covarianza, el coeficiente de correlación se calcula dividiéndola

entre las desviaciones estándar de las dos variables:

ji

ijij σσ

σρ =

Para el caso de las acciones de Televisa se tiene que:

767.0=ijρ

IV.1.6 Cálculo de Beta (β).

Este es el término con el que se le denomina a la pendiente del modelo de mercado y

representa la sensibilidad de la acción a los cambios en el índice del mercado. Se calcula

mediante la siguiente ecuación:

2I

Ii

σσβ =

Donde σiI denota la covarianza de los rendimientos de una acción I y el índice mercado, y σI

2 la

varianza del mercado. La tabla 5 presenta las betas de las diferentes acciones analizadas y que

fueron calculadas mediante el uso de la ecuación anterior. Para ilustrar este cálculo utilizaremos

las acciones de Televisa:

148.1480.0259.0

2 ===I

Ii

σσ

β

El resultado obtenido nos muestra que las acciones de Televisa presentan una beta superior a

uno, lo que indica que son agresivas. En la misma tabla se presentan los datos obtenidos para

el restante de la muestra.

IV.1.7 Cálculo y división del riesgo. El coeficiente de correlación (o determinación), tiene una interpretación bastante

directa. Tomaremos una vez más como ejemplo las acciones de Televisa. El coeficiente de

correlación obtenido mediante el uso del Excel, indica que el 76.7 por ciento de la variabilidad

de sus rendimientos se puede explicar mediante la variación del Índice de Precios y


72

Cotizaciones. La parte restante, 23.6 por ciento está relacionada con otros factores que no se

especifican en esta ecuación. Para Televisa92 resulta cierta la siguiente ecuación:

Riesgo total = riesgo sistemático + riesgo no sistemático

Utilizando la varianza como una medida de riesgo total también se tiene que:

Var = ρij2 var + (1- ρij

2) var

Utilizando los valores mostrados en la tabla 5, se tiene que:

Riesgo total = Var = (0.767)2(0.480) + (1-0.7672)(0.480) = 0.480%

De donde:

Riesgo sistemático = (0.767)2(0.480) = 0.282%

Y el

Riesgo no sistemático = (1-0.7672)(0.480) = 0.197%.

92 y para cualquier otra acción


73

Tabla 5: Resumen del análisis de 35 acciones y el IPyC del Mercado Mexicano de Valores.

IPyC Televisa Apasco Modelo Cemex

CPO Telmex

L Alfa Bena vides HERDEZ Gissa KOF Peñoles Maseca

GIB TVAZ CPO Gruma Ciel

Media (RE) 0.24 0.14 0.18 0.91 0.26 0.44 0.68 0.20 -0.08 0.71 0.67 0.72 0.35 -1.06 0.17 1.34 Mediana -0.04 -0.24 0.24 1.17 -0.40 0.41 0.38 0.01 -0.65 0.26 0.61 0.37 -0.34 -0.26 0.72

Varianza 0.23 0.48 0.44 0.24 0.59 0.23 0.40 0.33 0.33 0.61 0.30 0.32 0.39 0.96 0.29 0.66 Covarianza 0.23 0.26 0.25 0.15 0.32 0.19 0.21 0.08 0.14 0.19 0.16 0.12 0.19 0.47 0.14 0.23 Correlación 0.77 0.77 0.65 0.86 0.82 0.67 0.28 0.49 0.51 0.59 0.44 0.64 0.79 0.53 0.62 Beta 1.000 1.148 1.097 0.671 1.426 0.859 0.922 0.350 0.610 0.857 0.694 0.542 0.864 2.100 0.613 1.013 Alfa -0.001 -0.001 0.007 -0.001 0.002 0.005 0.001 -0.002 0.005 0.005 0.006 0.001 -0.016 0.000 1.092 Riesgo Total 0.48 0.44 0.24 0.59 0.23 0.40 0.33 0.33 0.61 0.30 0.32 0.39 0.96 0.29 0.659

Riesgo sistemático 0.28 0.26 0.10 0.44 0.16 0.18 0.03 0.08 0.16 0.10 0.06 0.16 0.59 0.08 0.257 Riesgo no sistemático 0.20 0.18 0.14 0.15 0.08 0.22 0.31 0.25 0.45 0.20 0.26 0.23 0.37 0.21 0.402

Autrey Femsa

UBD ARA Cemex A

Cemex B GEO ICA Hogar Tri

basa Carso Desc A

Desc B

Desc C

Sn Luis CPO

Telmex A

Comerci UBC

Hila sal

Elek tra Cifra

Media (RE) 0.14 0.94 0.36 0.24 0.30 0.28 0.10 -1.19 -0.27 0.23 0.70 0.46 1.33 0.57 0.44 0.19 0.62 0.38 0.29

Mediana -0.19 0.44 0.64 -0.68 -0.31 0.80 -0.56 -0.82 0 0 0.46 0.46 0.81 0.08 0.25 -0.24 0.24

Varianza 0.37 0.71 0.38 0.55 0.61 0.78 0.55 0.56 0.69 0.59 0.14 0.50 2.96 1.02 0.22 0.46 0.71 0.68 0.36

Covarianza 0.15 0.34 0.20 0.29 0.32 0.20 0.29 0.23 0.26 0.31 0.06 0.24 0.36 0.06 0.18 0.22 0.22 0.26 0.23

Correlación 0.50 0.84 0.65 0.80 0.85 0.50 0.81 0.52 0.64 0.84 0.37 0.71 0.46 0.13 0.79 0.66 0.55 0.64 0.77

Beta 0.65 1.52 0.88 1.29 1.44 0.89 1.29 1.01 1.14 1.39 0.28 1.08 1.58 0.26 0.80 0.96 0.98 1.15 1.01

Alfa -0.02 0.57 0.15 -0.07 -0.04 0.06 -0.21 -1.43 -0.54 -0.11 0.63 0.20 0.95 0.51 0.25 -0.04 0.38 0.10 0.05

Riesgo Total 0.37 0.71 0.38 0.55 0.61 0.78 0.55 0.56 0.69 0.59 0.14 0.50 2.96 1.02 0.22 0.46 0.71 0.68 0.36

Riesgo sistemático 0.09 0.50 0.16 0.35 0.44 0.20 0.36 0.15 0.28 0.41 0.02 0.25 0.62 0.02 0.14 0.20 0.21 0.28 0.22 Riesgo no sistemático 0.28 0.21 0.22 0.20 0.17 0.58 0.19 0.41 0.41 0.17 0.12 0.25 2.34 1.00 0.08 0.26 0.49 0.40 0.15


74

IV.1.8 El teorema del grupo o frontera eficiente. En el mercado de valores un grupo infinito de portafolios puede ser formado de un grupo de N

activos. Sin embargo, un inversionista elegirá su portafolio óptimo de un grupo de portafolios

que:

1. Ofrezca el máximo rendimiento esperado para variantes niveles de riesgo y

2. Ofrezca el mínimo riesgo para niveles variantes de rendimientos esperados.

El grupo de portafolios que reúne estas dos condiciones se conoce como grupo o frontera

eficiente

IV.1.9 Determinación del grupo factible. Consideremos ahora las 35 acciones del Mercado Mexicano de Valores, y todas las

combinaciones posibles que el consumidor podría adquirir de ellas. Para poder desarrollar la

metodología de Markowitz denotemos como X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9,y X10 X11, X12, X13,

X14, X15, X16, X17, X18, X19, X20 X21, X22, X23, X24, X25, X26, X27, X28, X29, X30, X31, X33, X33, X34, y X35,

las proporciones de fondos que el inversionista estaría dispuesto a gastar en acciones de

Televisa, APASCO, Modelo, Cemex, Telmex L, Alfa Benavides, HERDEZ, GISSA, KOF,

Peñoles, Maseca GIB, TVAZ CPO, Gruma, Ciel, Gmex, Autrey, Femsa UBD, ARA, Cemex A,

Cemex B, GEO, ICA, Hogar, Tribasa, Carso, Desc A, Desc B, Desc C, San Luis CPO,

Telmex A, Comerci UBC, Hilasal, Elektra, y Cifra tomando en cuenta que:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9,y X10 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X19

+ X20 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 + X29 + X30 + X31 + X33 + X33 + X34 + X35, = 1

De esta forma se tiene que si se decide invertir todo el dinero en acciones de Televisa,

entonces X1 será igual a 1 y la proporción invertida en las otras acciones será 0. Las

combinaciones obtenidas se presentan en la tabla 6. En esta misma, se presenta el rendimiento

esperado para los diferentes portafolios analizados y que fueron calculados mediante la fórmula

siguiente:

∑=

=N

iiip rXr

1

_


75

Donde pr representa el rendimiento esperado de la cartera y ir el rendimiento medio de la

acción, de tal forma que para el primer portafolio93 presentado en la tabla 694 que se tiene que:

%180.0)0*29.0()0*38.0()0*62.0()0*19.0()0*44.0()0*57.0()0*33.1()0*46.0()0*70.0()0*23.0()0*27.0()0*19.1()0*1.0()0*28.0()0*30.0()0*24.0(

)0*36.0()0*94.0()0*14.0()0*43.0()0*34.1()0*17.0()0*06.1()0*35.0()0*72.0()0*67.0(

)0*71.0()0*08.0()0*20.0()0*68.0()0*44.0()0*26.0()0*91.0()1*18.0()0*14.0(

=++++++++++−+−++++

+++++++−+++

++−++++++=pr

Tabla 6: Composición de los portafolios de inversión analizadas.

Televisa Apasco Modelo Cemex CPO Telmex L Alfa Bena

vides HERDEZ Gissa KOF

RE X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

0.18% 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.17% 0.2 0.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0.17% 0.4 0.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0.16% 0.6 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0.15% 0.8 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.14% 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.30% 0.8 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0.45% 0.6 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0 0.60% 0.4 0 0.6 0 0 0 0 0 0 0 0.76% 0.2 0 0.8 0 0 0 0 0 0 0 0.91% 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0.24% 0.2 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 0.21% 0.4 0 0 0.6 0 0 0 0 0 0 0.19% 0.6 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0 0.17% 0.8 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0.14% 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.20% 0.8 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0.26% 0.6 0 0 0 0.4 0 0 0 0 0 0.32% 0.4 0 0 0 0.6 0 0 0 0 0 0.38% 0.2 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0.44% 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

93 En este portafolio el 100% de la inversión se hará en acciones de Televisa, por lo que el peso asignado será 1, implicando con esto que las demás acciones su peso es igual a cero. 94 La tabla 4 únicamente presenta una parte de los resultados obtenidos. Sin embargo, el procedimiento para obtener el total de estos, es el presentado anteriormente.


76

Determinación de la desviación estándar: Para calcular la desviación estándar de estos portafolios se utiliza la ecuación:

21

1 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

= =

N

i

N

jijjip XX σσ

Donde ijσ denota la covarianza de los rendimientos entre los activos i y j. Este proceso puede

ser presentado para las acciones analizadas en este trabajo en la siguiente forma algebraica95:

21

235352234342233332232322231312

230302229292228282227272226262225252224242

223232222222221212220202219192218182217172

216162215152214142213132212122211112210102

29922882277226622552244223322222

2112135351134341133331132321131311131301

129291128281127271126261125251124241123231

122221121211120201119191118181117171116161

1151511141411131311121211111111101011991

18811771166115511441133112211111

.......................................... ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++

+++++++++++++++

=

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσσσσσσσσσσσσ

σ

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXX

p

Para facilitar el cálculo utilizaremos una matriz varianza – covarianza. En la tabla 7 la celda (i,j)

denota por la covarianza entre el primer y tercer activo, que en este caso es 0.0014. También la

celda (i, i), denota la varianza del activo i. Por ejemplo, la varianza del activo 2 aparece en la

celda (2,2), y es igual a 0.0044. Utilizando esta matriz varianza - covarianza, obtenida a través

del uso de la ecuación de la doble sumatoria, la desviación estándar de cada uno de los activos

puede ser calculada. Para calcular la desviación estándar de un portafolio compuesto

únicamente por acciones de Apasco, se substituyen los valores de la matriz de covarianzas de

la forma siguiente:

0669.0

21

0.00247*0*0-0.0026*0*00.0019*0*0-0.0026*0*0-0.0014*0*00.0007*0*00.0031*0*0

0.0023*0*00.0007*0*00.0033*0*00.0031*0*00.0019*0*00.0035*0*00.0017*0*0

0.0037*0*00.0035*0*00.0015*0*00.0035*0*00.0015*0*00.0017*0*00.0019

0.0014*0*00.0043*0*00.0021*0*00.0011*0*00.0013*0*00.0019*0*00.0015*0*0

0.0011*0*00.0017*0*00.0015*0*00.0037*0*00.0014*0*00.0044*1*10.0026*0*0

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

++++

+++++++

+++++++

+++++++

++++++

σ

El valor obtenido en este caso es 6.69% y representa el riesgo de este portafolio. Efectuando el

mismo cálculo para los portafolios restantes obtenemos la tabla 8. En esta se presentan

únicamente las primeras combinaciones calculadas para ejemplificar el desarrollo.

95 En esta ecuación se representa por falta de espacio el cálculo para 2 acciones, sin embargo, es fácilmente ampliable a las 35 acciones que componen el análisis.


77

Tabla 7: Matriz varianza – covarianza. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23

X1 0.0048 0.0026 0.0014 0.0032 0.0022 0.0022 0.0007 0.0014 0.0025 0.0023 0.0012 0.0021 0.0054 0.0013 0.0030 0.0018 0.0014 0.0034 0.0022 0.0030 0.0031 0.0023 0.0030X2 0.0026 0.0044 0.0014 0.0037 0.0015 0.0017 0.0011 0.0015 0.0019 0.0013 0.0011 0.0021 0.0043 0.0014 0.0019 0.0017 0.0015 0.0035 0.0015 0.0035 0.0037 0.0017 0.0035X3 0.0014 0.0014 0.0024 0.0018 0.0013 0.0015 0.0003 0.0010 0.0013 0.0009 0.0009 0.0015 0.0024 0.0009 0.0013 0.0011 0.0006 0.0022 0.0013 0.0013 0.0018 0.0013 0.0019X4 0.0032 0.0037 0.0018 0.0059 0.0021 0.0026 0.0016 0.0020 0.0026 0.0017 0.0013 0.0027 0.0069 0.0020 0.0034 0.0019 0.0018 0.0049 0.0029 0.0054 0.0058 0.0033 0.0041X5 0.0022 0.0015 0.0013 0.0021 0.0023 0.0017 0.0003 0.0011 0.0015 0.0015 0.0011 0.0015 0.0040 0.0011 0.0020 0.0012 0.0011 0.0025 0.0017 0.0019 0.0022 0.0016 0.0021X6 0.0022 0.0017 0.0015 0.0026 0.0017 0.0040 0.0002 0.0011 0.0023 0.0015 0.0014 0.0018 0.0061 0.0014 0.0023 0.0019 0.0011 0.0032 0.0026 0.0025 0.0027 0.0022 0.0018X7 0.0007 0.0011 0.0003 0.0016 0.0003 0.0002 0.0033 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0007 0.0001 0.0005 0.0003 0.0001 0.0005 0.0008 0.0004 0.0017 0.0016 0.0007 0.0015X8 0.0014 0.0015 0.0010 0.0020 0.0011 0.0011 0.0005 0.0033 0.0010 0.0010 0.0005 0.0012 0.0045 0.0009 0.0024 0.0007 0.0008 0.0020 0.0016 0.0018 0.0021 0.0015 0.0015X9 0.0025 0.0019 0.0013 0.0026 0.0015 0.0023 0.0005 0.0010 0.0061 0.0012 0.0009 0.0016 0.0054 0.0013 0.0029 0.0017 0.0011 0.0025 0.0024 0.0026 0.0026 0.0028 0.0021X10 0.0023 0.0013 0.0009 0.0017 0.0015 0.0015 0.0005 0.0010 0.0012 0.0030 0.0007 0.0017 0.0038 0.0008 0.0013 0.0012 0.0011 0.0021 0.0009 0.0017 0.0017 0.0009 0.0017X11 0.0012 0.0011 0.0009 0.0013 0.0011 0.0014 0.0005 0.0005 0.0009 0.0007 0.0032 0.0006 0.0022 0.0008 0.0009 0.0014 0.0009 0.0019 0.0012 0.0011 0.0014 0.0008 0.0014X12 0.0021 0.0021 0.0015 0.0027 0.0015 0.0018 0.0007 0.0012 0.0016 0.0017 0.0006 0.0039 0.0047 0.0018 0.0014 0.0013 0.0013 0.0029 0.0012 0.0024 0.0025 0.0011 0.0022X13 0.0054 0.0043 0.0024 0.0069 0.0040 0.0061 0.0001 0.0045 0.0054 0.0038 0.0022 0.0047 0.0096 0.0039 0.0075 0.0030 0.0011 0.0069 0.0045 0.0063 0.0068 0.0079 0.0046X14 0.0013 0.0014 0.0009 0.0020 0.0011 0.0014 0.0005 0.0009 0.0013 0.0008 0.0008 0.0018 0.0039 0.0029 0.0017 0.0010 0.0005 0.0020 0.0014 0.0019 0.0022 0.0015 0.0018X15 0.0030 0.0019 0.0013 0.0034 0.0020 0.0023 0.0003 0.0024 0.0029 0.0013 0.0009 0.0014 0.0075 0.0017 0.0066 0.0013 0.0005 0.0032 0.0033 0.0032 0.0034 0.0050 0.0023X16 0.0018 0.0017 0.0011 0.0019 0.0012 0.0019 0.0001 0.0007 0.0017 0.0012 0.0014 0.0013 0.0030 0.0010 0.0013 0.0032 0.0009 0.0024 0.0010 0.0017 0.0019 0.0008 0.0017X17 0.0014 0.0015 0.0006 0.0018 0.0011 0.0011 0.0005 0.0008 0.0011 0.0011 0.0009 0.0013 0.0011 0.0005 0.0005 0.0009 0.0037 0.0021 0.0006 0.0018 0.0019 0.0006 0.0016X18 0.0034 0.0035 0.0022 0.0049 0.0025 0.0032 0.0008 0.0020 0.0025 0.0021 0.0019 0.0029 0.0069 0.0020 0.0032 0.0024 0.0021 0.0071 0.0033 0.0042 0.0050 0.0025 0.0040X19 0.0022 0.0015 0.0013 0.0029 0.0017 0.0026 0.0004 0.0016 0.0024 0.0009 0.0012 0.0012 0.0045 0.0014 0.0033 0.0010 0.0006 0.0033 0.0038 0.0022 0.0030 0.0040 0.0024X20 0.0030 0.0035 0.0013 0.0054 0.0019 0.0025 0.0017 0.0018 0.0026 0.0017 0.0011 0.0024 0.0063 0.0019 0.0032 0.0017 0.0018 0.0042 0.0022 0.0055 0.0053 0.0030 0.0037X21 0.0031 0.0037 0.0018 0.0058 0.0022 0.0027 0.0016 0.0021 0.0026 0.0017 0.0014 0.0025 0.0068 0.0022 0.0034 0.0019 0.0019 0.0050 0.0030 0.0053 0.0061 0.0034 0.0042X22 0.0023 0.0017 0.0013 0.0033 0.0016 0.0022 0.0007 0.0015 0.0028 0.0009 0.0008 0.0011 0.0079 0.0015 0.0050 0.0008 0.0006 0.0025 0.0040 0.0030 0.0034 0.0078 0.0024X23 0.0030 0.0035 0.0019 0.0041 0.0021 0.0018 0.0015 0.0015 0.0021 0.0017 0.0014 0.0022 0.0046 0.0018 0.0023 0.0017 0.0016 0.0040 0.0024 0.0037 0.0042 0.0024 0.0055X24 0.0022 0.0019 0.0016 0.0030 0.0020 0.0024 0.0000 0.0030 0.0017 0.0014 0.0011 0.0013 0.0037 0.0023 0.0044 0.0013 0.0009 0.0033 0.0032 0.0027 0.0032 0.0044 0.0024X25 0.0028 0.0031 0.0020 0.0034 0.0021 0.0015 0.0012 0.0016 0.0015 0.0019 0.0011 0.0023 0.0038 0.0016 0.0025 0.0014 0.0015 0.0033 0.0022 0.0031 0.0033 0.0016 0.0041X26 0.0033 0.0033 0.0020 0.0044 0.0023 0.0029 0.0011 0.0017 0.0027 0.0018 0.0015 0.0025 0.0062 0.0016 0.0031 0.0023 0.0019 0.0046 0.0026 0.0039 0.0044 0.0027 0.0038X27 0.0007 0.0007 0.0005 0.0009 0.0004 0.0009 0.0006 0.0006 0.0006 0.0003 0.0005 0.0003 0.0014 0.0004 0.0010 0.0003 0.0005 0.0009 0.0015 0.0009 0.0009 0.0012 0.0009X28 0.0026 0.0023 0.0017 0.0031 0.0019 0.0027 0.0007 0.0016 0.0023 0.0018 0.0013 0.0019 0.0052 0.0014 0.0027 0.0015 0.0015 0.0033 0.0024 0.0027 0.0031 0.0027 0.0027X29 0.0045 0.0031 0.0015 0.0040 0.0030 0.0045 0.0006 0.0013 0.0115 0.0023 0.0017 0.0023 0.0044 0.0022 0.0025 0.0035 0.0023 0.0041 0.0027 0.0041 0.0041 0.0027 0.0042X30 0.0005 0.0007 0.0013 0.0007 0.0005 0.0000 0.0002 0.0009 -0.0018 0.0005 0.0002 0.0019 0.0035 0.0002 0.0011 0.0003 0.0004 0.0016 0.0007 0.0001 0.0004 0.0005 0.0008X31 0.0020 0.0014 0.0012 0.0020 0.0021 0.0015 0.0003 0.0009 0.0014 0.0013 0.0011 0.0014 0.0036 0.0011 0.0018 0.0011 0.0010 0.0022 0.0016 0.0018 0.0021 0.0017 0.0021X32 0.0020 0.0026 0.0016 0.0035 0.0013 0.0019 0.0010 0.0015 0.0010 0.0013 0.0006 0.0021 0.0046 0.0013 0.0022 0.0010 0.0011 0.0035 0.0021 0.0031 0.0035 0.0023 0.0027X33 0.0031 0.0019 0.0011 0.0033 0.0016 0.0033 0.0002 0.0017 0.0031 0.0016 0.0011 0.0015 0.0062 0.0022 0.0036 0.0018 -0.0001 0.0037 0.0032 0.0030 0.0034 0.0043 0.0023X34 0.0026 0.0026 0.0018 0.0040 0.0017 0.0027 0.0013 0.0017 0.0027 0.0018 0.0015 0.0021 0.0072 0.0019 0.0039 0.0017 0.0014 0.0041 0.0032 0.0035 0.0041 0.0029 0.0032X35 0.0024 0.0025 0.0012 0.0030 0.0017 0.0016 0.0011 0.0011 0.0017 0.0015 0.0014 0.0019 0.0033 0.0013 0.0016 0.0015 0.0015 0.0034 0.0016 0.0028 0.0030 0.0017 0.0029


78

Tabla 8: Desviación estándar de los portafolios analizados. Televisa Apasco Modelo Cemex

CPOTelmex L Alfa Benavides HERDEZ Gissa KOF Peñoles Maseca GIB TVAZ CPO Gruma Ciel Gmex Autrey Femsa

UBDARA Cemex A Cemex B GEO ICA Hogar Tribasa Carso Desc A Desc B Desc C San Luis CPO Telmex A Comerci

UBCHilasal Elektra Cifra

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27 X28 X29 X30 X31 X32 X33 X34 X35 RE DE

0.0000 0.0044 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.18% 6.61%

0.0006 0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.17% 6.18%

0.0014 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.17% 6.00%

0.0024 0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.16% 6.07%

0.0035 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.15% 6.39%

0.0048 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.14% 6.92%

0.0033 0.0000 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.30% 6.01%

0.0021 0.0000 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.45% 5.26%

0.0011 0.0000 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.60% 4.79%

0.0004 0.0000 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.76% 4.65%

0.0000 0.0000 0.0024 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.91% 4.89%

0.0007 0.0000 0.0000 0.0043 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.24% 7.06%

0.0015 0.0000 0.0000 0.0029 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.21% 6.65%

0.0025 0.0000 0.0000 0.0017 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.19% 6.48%

0.0036 0.0000 0.0000 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.17% 6.58%

0.0048 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.14% 6.92%

0.0034 0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.20% 6.22%

0.0023 0.0000 0.0000 0.0000 0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.26% 5.62%

0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.32% 5.17%

0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0019 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.38% 4.90%

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0023 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.44% 4.84%

0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0029 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.57% 5.89%

0.0013 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.46% 5.72%

0.0023 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.36% 5.85%

0.0034 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.25% 6.27%

0.0048 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.14% 6.92%

0.0032 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.15% 5.84%

0.0019 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.17% 5.08%

0.0009 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0014 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.18% 4.79%

0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0022 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.19% 5.05%

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0033 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.20% 5.79%

0.0004 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0024 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.04% 5.27%

0.0011 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.01% 5.13%


79

Graficando el rendimiento esperado R(E) contra la desviación estándar σ, se obtiene la

frontera o grupo eficiente. En la figura 8, los puntos sobre el interior de la curva

representan activos individuales, mientras que la curva desde M hasta H representa los

portafolios finales que se pueden crear provenientes de los activos analizados. Todos

aquellos portafolios sobre la curva desde L hasta H representan la frontera eficiente, los

puntos del interior el grupo eficiente y M la cartera de riesgo mínimo. Asimismo, podemos

observar que el valor del activo libre de riesgo (Rf) es 0.382, el riesgo (σ) 0.474 para la

primera semana de octubre de 1998.

El grupo y la frontera eficiente tienen una importancia especial para los

inversionistas. Todos ellos desean rendimientos esperados más altos y desean evitar el

riesgo, querrán invertir en portafolios que pertenezcan al grupo eficiente. En otras

palabras, desean portafolios que se encuentran sobre la frontera eficiente. Este deseo es

totalmente razonable debido a que cualquier otro portafolio que el inversionista pudiera

considerar estará dominado por una que se encuentre sobre la frontera eficiente.

Figura 8: Determinación de la frontera eficiente y portafolio óptimo.

Frontera eficiente

-1.50%

-1.00%

-0.50%

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% 12.00% 14.00% 16.00% 18.00% 20.00%

Riesgo

Ren

dim

ient

o

H

M

L


80

IV.1.10 Determinación de la composición del portafolio T.

IV.1.10.1 El algoritmo de Elton, Gruber y Partman. Una vez establecida la frontera eficiente y el rendimiento esperado del portafolio se

utilizó el algoritmo de Elton, Gruber y Partman para determinar la composición de portafolio T. Este algoritmo asume que el rendimiento de los activos puede ser descrito

por el modelo del mercado, y que existe un activo libre de riesgo a una tasa rf. Para poder

determinar la composición de T se construye con los datos obtenidos en la sección

anterior la siguiente tabla:

No. De Acción

Nombre Rendimiento esperado

)( ir

Beta (β)

Riesgo no sistemático

(σ2εi)

1 Televisa 0.14% 1.15 0.20% 2 Apasco 0.18% 1.10 0.18% 3 Modelo 0.91% 0.67 0.14% 4 Cemex CPO 0.26% 1.43 0.15% 5 Telmex L 0.44% 0.86 0.08% 6 Alfa 0.68% 0.92 0.22% 7 Benavides 0.20% 0.35 0.31% 8 HERDEZ -0.08% 0.61 0.25% 9 Gissa 0.71% 0.86 0.45% 10 KOF 0.67% 0.69 0.20% 11 Peñoles 0.72% 0.54 0.26% 12 Maseca GIB 0.35% 0.86 0.23% 13 TVAZ CPO -1.06% 2.10 0.37% 14 Gruma 0.17% 0.61 0.21% 15 Ciel 1.34% 1.01 0.40% 16 Gmex 0.43% 0.69 0.22% 17 Autrey 0.14% 0.65 0.28% 18 Femsa UBD 0.94% 1.52 0.21% 19 ARA 0.36% 0.88 0.22% 20 Cemex A 0.24% 1.29 0.20% 21 Cemex B 0.30% 1.44 0.17% 22 GEO 0.28% 0.89 0.58% 23 ICA 0.10% 1.29 0.19% 24 Hogar -1.19% 1.01 0.41% 25 Tribasa -0.27% 1.14 0.41% 26 Carso 0.23% 1.39 0.17% 27 Desc A 0.70% 0.28 0.12% 28 Desc B 0.46% 1.08 0.25% 29 Desc C 1.33% 1.58 2.34% 30 San Luis CPO 0.57% 0.26 1.00% 31 Telmex A 0.44% 0.80 0.08% 32 Comerci UBC 0.19% 0.96 0.26% 33 Hilasal 0.62% 0.98 0.49% 34 Elektra 0.38% 1.15 0.40% 35 Cifra 0.29% 1.01 0.15%


81

Además de los datos tabulados se tiene que la varianza del IPYC σ2I es 0.225 y que la

tasa libre de riesgo es rf 0.382%.

El algoritmo de Elton, Gruber y Partman (EGP)96, se inicia calculando la pendiente de la

línea que nace de rf y se dirige hacia un portafolio específico denominado p, mediante la

siguiente ecuación.

p

fp rrσ−

=Θ

El algoritmo reconoce que el portafolio es aquel que presenta el máximo valor de θ y es

tangente al portafolio T, así lo busca, hasta identificar el portafolio que maximiza el valor

de θ mediante los siguientes 5 pasos:

1. Se ordenan los activos en forma descendente con base a la magnitud de su radio

recompensa - volatilidad que se calcula de la forma siguiente:

iIfiI rrRVOL β/)( −=−

Donde =_

ir el rendimiento esperado del activo i,

rf = el rendimiento del activo libres de riesgo,

βiI = el cambio en la tasa de rendimiento esperado para el activo i asociado

a un cambio del 1% en el rendimiento del mercado.

El numerador representa la “recompensa” esperada por comprar el activo y el

denominador la beta del activo. Esta tasa también se le conoce como tasa Treynor. El

cálculo se ilustra a continuación, y se presenta en la columna 5 de la tabla, que se

encuentra ordenada de acuerdo a lo indicado.

13.115.1/)382.0(70.0(1 =−=RVOL

94.001.1/))382.0(34.1(2 =−=RVOL

96 Elton, E.J. and Gruber, M.J., “Modern Portfolio Theory and Investment Analysis”, 5TH, John Wiley

& Sons, inc., p. 183, 1995.


82


( ir )

Beta (β)


(σ2εi)

RVOLi

Desc A 0.70% 0.28 0.12% 1.13% Ciel 1.34% 1.01 0.40% 0.94% Modelo 0.91% 0.67 0.14% 0.78% San Luis CPO 0.57% 0.26 1.00% 0.71% Peñoles 0.72% 0.54 0.26% 0.62% Desc C 1.33% 1.58 2.34% 0.60% KOF 0.67% 0.69 0.20% 0.42% Gissa 0.71% 0.86 0.45% 0.38% Femsa UBD 0.94% 1.52 0.21% 0.36% Alfa 0.68% 0.92 0.22% 0.32% Hilasal 0.62% 0.98 0.49% 0.24% Desc B 0.46% 1.08 0.25% 0.07% Telmex A 0.44% 0.80 0.08% 0.07% Gmex 0.43% 0.69 0.22% 0.07% Telmex L 0.44% 0.86 0.08% 0.07% Elektra 0.38% 1.15 0.40% -0.00% ARA 0.36% 0.88 0.22% -0.03% Maseca GIB 0.35% 0.86 0.23% -0.03% Cemex B 0.30% 1.44 0.17% -0.05% Cemex CPO 0.26% 1.43 0.15% -0.08% Cifra 0.29% 1.01 0.15% -0.09% Cemex A 0.24% 1.29 0.20% -0.11% Carso 0.23% 1.39 0.17% -0.11% GEO 0.28% 0.89 0.58% -0.12% Apasco 0.18% 1.10 0.18% -0.18% Comerci UBC 0.19% 0.96 0.26% -0.20% Televisa 0.14% 1.15 0.20% -0.21% ICA 0.10% 1.29 0.19% -0.22% Gruma 0.17% 0.61 0.21% -0.35% Autrey 0.14% 0.65 0.28% -0.37% Benavides 0.20% 0.35 0.31% -0.51% Tribasa -0.27% 1.14 0.41% -0.57% TVAZ CPO -1.06% 2.10 0.37% -0.69% HERDEZ -0.08% 0.61 0.25% -0.76% Hogar -1.19% 1.01 0.41% -1.55%

2. Iniciando por la parte superior de la tabla (ya ordenada), para cada uno de los

activos se calculan los valores de Φi: Este valor representa el punto de corte.

Todos los activos que excedan este punto serán seleccionados como parte del

portafolio T, y los que no lo hagan serán desechados.


83

∑

∑

=

=

−

+

−

=Φi

i i

iII

i

iiI

i

fi

Ii

rr

12

22

12

2

1ε

ε

σβσ

βσ

σ

Donde:

σ2I =varianza del índice del mercado,

σ2εi = riesgo no sistemático. La varianza del movimiento de un activo que no

está asociado a los movimientos del índice del mercado.

Con el fin de ilustrar el uso de esta ecuación a continuación se presenta el cálculo para las dos primeras acciones.

15.0

121.0

2282.0*225.01

282.0*121.0

)382.0(703.0

*225.01 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Φ

41.0

402.0

2013.1121.0

2282.0*225.01

013.1*402.0

)382.0(34.1282.0*121.0

)382.0(703.0

*225.02 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Φ

La columna siete de la tabla muestra los valores calculados de Φi.

No. De Acción


( ir )

Beta (β)


(σ2εi)

RVOLi Φi DiferenciaRVOLI

- Φi

1 Desc A 0.70% 0.28 0.12% 1.13% 0.15 0.99 2 Ciel 1.34% 1.01 0.40% 0.94% 0.41 0.53 3 Modelo 0.91% 0.67 0.14% 0.78% 0.52 0.26 4 San Luis CPO 0.57% 0.26 1.00% 0.71% 0.52 0.19 5 Peñoles 0.72% 0.54 0.26% 0.62% 0.53 0.09 6 Desc C 1.33% 1.58 2.34% 0.60% 0.54 0.06 7 KOF 0.67% 0.69 0.20% 0.42% 0.52 -0.10 8 Gissa 0.71% 0.86 0.45% 0.38% 0.51 -0.13 9 Femsa UBD 0.94% 1.52 0.21% 0.36% 0.45 -0.09 10 Alfa 0.68% 0.92 0.22% 0.32% 0.44 -0.11 11 Hilasal 0.62% 0.98 0.49% 0.24% 0.42 -0.18 12 Desc B 0.46% 1.08 0.25% 0.07% 0.38 -0.31


84

No. De Acción


( ir )

Beta (β)


(σ2εi)

RVOLi Φi DiferenciaRVOLI

- Φi

13 Telmex A 0.44% 0.80 0.08% 0.073% 0.33 -0.26 14 Gmex 0.43% 0.69 0.22% 0.073% 0.32 -0.25 15 Telmex L 0.44% 0.86 0.08% 0.067% 0.28 -0.21 16 Elektra 0.38% 1.15 0.40% -0.002% 0.26 -0.26 17 ARA 0.36% 0.88 0.22% -0.03% 0.25 -0.28 18 Maseca GIB 0.35% 0.86 0.23% -0.03% 0.23 -0.27 19 Cemex B 0.30% 1.44 0.17% -0.05% 0.19 -0.24 20 Cemex CPO 0.26% 1.43 0.15% -0.08% 0.15 -0.24 21 Cifra 0.29% 1.01 0.15% -0.09% 0.13 -0.22 22 Cemex A 0.24% 1.29 0.20% -0.11% 0.12 -0.23 23 Carso 0.23% 1.39 0.17% -0.11% 0.10 -0.21 24 GEO 0.28% 0.89 0.58% -0.12% 0.09 -0.21 25 Apasco 0.18% 1.10 0.18% -0.18% 0.08 -0.26 26 Comerci UBC 0.19% 0.96 0.26% -0.20% 0.07 -0.27 27 Televisa 0.14% 1.15 0.20% -0.21% 0.06 -0.27 28 ICA 0.10% 1.29 0.19% -0.22% 0.04 -0.26 29 Gruma 0.17% 0.61 0.21% -0.35% 0.04 -0.38 30 Autrey 0.14% 0.65 0.28% -0.37% 0.03 -0.41 31 Benavides 0.20% 0.35 0.31% -0.51% 0.03 -0.54 32 Tribasa -0.27% 1.14 0.41% -0.57% 0.02 -0.59 33 TVAZ CPO -1.06% 2.10 0.37% -0.69% -0.03 -0.66 34 HERDEZ -0.08% 0.61 0.25% -0.76% -0.04 -0.72 35 Hogar -1.19% 1.01 0.41% -1.55% -0.06 -1.49

3. Se comparan los valores de Φi calculados con los valores correspondientes de

RVOLi hacia abajo de la lista de activos ordenada. El valor inicial de Φi, será más

pequeño, pero irá creciendo hasta convertirse en un valor mayor al de su

correspondiente de RVOLi. Utilizando k para denotar el número del último anterior

a que esto pase, los activos 1 hasta k tendrán pesos diferentes de cero en T,

mientras que los otros tomarán el valor de cero. Así pues, se puede decir que Φi

es una tasa de corte para RVOLi. En la columna 8 se puede observar hasta que

punto RVOLI es mayor que ΦI, (indicado por el signo positivo), esto sucede para

los cinco primeros renglones. En el sexto renglón la situación se invierte. Esto

indica que cuando RVOLi es igual a 0.52 se presenta el punto de corte. Esto

significa que los activos deben tener una tasa de recompensa por volatilidad

mayor que 0.52 con el fin de tener un peso diferente de cero en el portafolio T.

4. Se calculan ahora los valores de Zi con el fin de determinar el peso de los primeros

k activos mediante la siguiente ecuación:


85

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Φ−

−= k

iI

fi

i

iIi

rrZ

βσβ

ε

_

2

Los valores de Zi para i = k + 1, k + 2,….., N se le asigna el valor de cero. Los

valores de Zi se presentan en la columna 8 de la tabla siguiente. El valor de Z5

hasta Z35 es cero. Mientras que para los valores restantes son positivos.

5. Se Determina ahora el peso de los componentes del portafolio T, haremos esto

dividiendo cada valor de Z entre la suma de las mismas mediante la siguiente

ecuación.

∑=

= N

i

ii

Zi

ZX

1

Esto es importante porque la suma de las Z’s no necesariamente es igual a cero.

La columna 9 de la tabla siguiente muestra los valores obtenidos para X y la

composición del portafolio T.

Como se puede observar en la tabla 9, el portafolio T, para la primera semana de

octubre de 1998, estará compuesto únicamente por seis activos Desc A, Ciel,

Modelo, San Luis CPO, Peñoles y Desc C, con los porcentajes: 44.3, 25.7, 24.6,

0.9, 3.6 y 0.8 respectivamente97.

97 Haciendo iteraciones para diferentes valores del activo libre de riesgo para determinar la composición de T, es posible determinar la composición de muchos portafolios a través de la curva eficiente del modelo de Markowitz. Por lo tanto, este algoritmo puede ser utilizado para identificar la frontera eficiente cuando no se cuenta con un activo libre de riesgo.


86

Tabla 9: Composición del Portafolio T, (Método de Markowitz).

No. De Acción


( ir )

Beta (β)


(σ2εi)

RVOLi Φi Zi Xi

1 Desc A 0.70% 0.28 0.12% 1.13% 0.15 2.298 44.3%2 Ciel 1.34% 1.01 0.40% 0.94% 0.41 1.335 25.7%3 Modelo 0.91% 0.67 0.14% 0.78% 0.52 1.279 24.6%4 San Luis CPO 0.57% 0.26 1.00% 0.71% 0.52 0.049 0.9%5 Peñoles 0.72% 0.54 0.26% 0.62% 0.53 0.189 3.6%6 Desc C 1.33% 1.58 2.34% 0.60% 0.54 0.042 0.8%7 KOF 0.67% 0.69 0.20% 0.42% 0.52 8 Gissa 0.71% 0.86 0.45% 0.38% 0.51 9 Femsa UBD 0.94% 1.52 0.21% 0.36% 0.45

10 Alfa 0.68% 0.92 0.22% 0.32% 0.44 11 Hilasal 0.62% 0.98 0.49% 0.24% 0.42 12 Desc B 0.46% 1.08 0.25% 0.07% 0.38 13 Telmex A 0.44% 0.80 0.08% 0.073% 0.33 14 Gmex 0.43% 0.69 0.22% 0.073% 0.32 15 Telmex L 0.44% 0.86 0.08% 0.067% 0.28 16 Elektra 0.38% 1.15 0.40% -0.002% 0.26 17 ARA 0.36% 0.88 0.22% -0.03% 0.25 18 Maseca GIB 0.35% 0.86 0.23% -0.03% 0.23 19 Cemex B 0.30% 1.44 0.17% -0.05% 0.19 20 Cemex CPO 0.26% 1.43 0.15% -0.08% 0.15 21 Cifra 0.29% 1.01 0.15% -0.09% 0.13 22 Cemex A 0.24% 1.29 0.20% -0.11% 0.12 23 Carso 0.23% 1.39 0.17% -0.11% 0.10 24 GEO 0.28% 0.89 0.58% -0.12% 0.09 25 Apasco 0.18% 1.10 0.18% -0.18% 0.08 26 Comerci UBC 0.19% 0.96 0.26% -0.20% 0.07 27 Televisa 0.14% 1.15 0.20% -0.21% 0.06 28 ICA 0.10% 1.29 0.19% -0.22% 0.04 29 Gruma 0.17% 0.61 0.21% -0.35% 0.04 30 Autrey 0.14% 0.65 0.28% -0.37% 0.03 31 Benavides 0.20% 0.35 0.31% -0.51% 0.03 32 Tribasa -0.27% 1.14 0.41% -0.57% 0.02 33 TVAZ CPO -1.06% 2.10 0.37% -0.69% -0.03 34 HERDEZ -0.08% 0.61 0.25% -0.76% -0.04 35 Hogar -1.19% 1.01 0.41% -1.55% -0.06 ----------- 5.1911 1.0000

Este procedimiento se aplicó a todo el periodo analizado, dando como resultado la tabla

que se presenta a continuación.


87

Tabla 10: Composición de las carteras seleccionadas de octubre de 1998 a diciembre de 1999.


88

IV.1.11 Validación del modelo. En esta sección se determina si los resultados obtenidos mediante la aplicación

del modelo de Markowitz son cercanos a los valores reales obtenidos durante el

periodo de análisis. Tomando como base la composición determinada por el

algoritmo de Gruber para la primera semana de octubre de 1998, tenemos que:

98Rp=0.443RDESCA+0.257RCIEL+0.246RMODELO+0.009RSLUIS+0.036RPEÑOLES+0.008RDESC C

Tomando los rendimientos esperados para estas acciones: Rp= 0.443 (0.70)+ 0.257 (1.34)+ 0.246 (0.91) + 0.009 (0.57) + 0.036 (0.72) + 0.008 (1.33)

De ahí que: Rp = 0.921%

Este mismo procedimiento se utiliza para determinar el rendimiento real de la cartera

reportado en la tabla 11. Para ejemplificar el cálculo del rendimiento real de una acción se

toma el mes de noviembre para el cual la composición de la cartera se determinó

renglones arriba y que se muestran a continuación. Rp= 0.443RDESC A+0.257RCIEL+0.246RMODELO+0.009RSLUIS+0.036RPEÑOLES+0.008RDESC C

Tomando los rendimientos reales para estas acciones:

Rp= 0.443 (3.7)+ 0.257 (-14.2)+ 0.246 (-0.1) + 0.009 (-8.3) + 0.036 (3.1) +0.008 (-7.4)

Por lo que: Rr = –2.06%

La tabla 12: muestra los resultados obtenidos mediante la aplicación del algoritmo de

Gruber99 (composición recomendada de la cartera). En esta se pueden observar

diferentes situaciones. 1) La desviación acumulada para el periodo analizado es 1,405, y

2) La desviación más fuerte se presenta en noviembre de 1998, prácticamente el 50 por

ciento de la variación.

98 Los rendimientos esperados corresponden a los en la columna tres de la tabla 9 y como se definió anteriormente equivales al rendimiento medio. 99 Se utilizó este algoritmo en la determinación para la composición mensual de la cartera debido a que se considera mejor al utilizar en el cálculo la prima de mercado para la acción.


89

Tabla 11: Rendimiento real semanal por acción de mayo de 1998 a diciembre de 1999.


90

Tabla 12: Composición de la cartera de inversión determinado por el algoritmo de Gruber y rendimiento real contra pronosticado.


91

IV.1.12 Análisis de los resultados obtenidos. En la sección correspondiente se estableció mediante algoritmo de Gruber, la composición del

portafolio eficiente. Por lo que el análisis que a continuación se presenta se efectúa tomando

como base sus resultados.

La figura 9, muestra el comportamiento del rendimiento pronosticado bajo la metodología de

Markowitz (Ri) y el rendimiento real de la cartera eficiente. En ella se denotan dos situaciones:

1. Mientras que el rendimiento real de la cartera oscila entre valores positivos y

negativos, los pronosticados presentan una menor variación y son positivos para

el periodo analizado.

2. El modelo determinado bajo este método no es capaz de seguir la tendencia del

rendimiento real de la cartera.

El punto 2 puede ser deducido mediante la separación existente entre la línea que representa

los rendimientos reales y pronosticados. Esta separación está directamente relacionada con la

desviación (ver tabla 12), y la covarianza de los rendimientos, que en este caso alcanza

únicamente un valor de 3.14.

La desviación total es 1,405, resultado que al ser analizado en forma conjunta con la figura 9 y

la covarianza nos ayuda a concluir que el modelo obtenido mediante el Método de Markowitz no es lo suficientemente bueno para ser aplicado como mecanismo para

determinar el precio de una acción en el Mercado Mexicano de Valores y por lo tanto, la hipótesis nula planteada al inicio de esta sección se rechaza.


92

Figura 9: Rendimientos reales y pronosticados, mayo1998-diciembre 1999. Modelo de Markowitz.

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Periodo

Ren

dim

ient

o

Real Pronóstico

IV.2 Determinación empírica del modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM).

El objetivo de esta sección es el probar en el Mercado Mexicano de Valores la hipótesis

siguiente:

H0: El CAPM es aplicable en Mercado Mexicano de Valores

Ha: El CAPM no es aplicable en Mercado Mexicano de Valores

A diferencia del modelo anteriormente descrito, el CAPM no acepta en el equilibrio activos con

pesos iguales a cero. Esto quiere decir que todos los activos tendrán una proporción que los

represente en el portafolio T en el equilibrio. La justificación detrás de esta afirmación descansa

en el teorema de separación, donde se afirma que la proporción de riesgo del portafolio de

cada inversionista es independiente de las preferencias en la relación rendimiento - riesgo del mismo100.

Si cada inversionista compra el portafolio T y ésta no involucra una inversión en cada activo,

entonces nadie, invertiría en aquellos activos cuya proporción en T es cero, Esto significa que el

precio de estos activos disminuirá, provocando con esto que su rendimiento esperado se

incremente hasta que el nuevo portafolio T resultante de esta variación tenga un peso diferente

de cero para estos activos. Por otro lado, si los inversionistas únicamente compraran los activos

cuyo peso es mayor a cero, el precio de ellos se incrementaría como respuesta al aumento en

su demanda, generando una disminución en su rendimiento esperado hasta que su proporción

en el portafolio T resultante sea cero.

Esto sucede en el mercado hasta que finalmente se alcanza el equilibrio. Es decir, la cantidad

demandada de un activo es igual a la cantidad ofertada. Por lo tanto, en el equilibrio, las

proporciones en el portafolio T corresponderán a las proporciones conocidas como el portafolio

del mercado101. La razón del papel central que juega el portafolio de mercado en el CAPM, es que el grupo

eficiente consiste de una inversión en el portafolio de mercado, acoplada con una cantidad

100 Sharpe, W.F., Alexander G.J., Bailey, J.V., “Investments”, 5th Ed., New Jersey, EU: Prentice Hall, 1995, p. 264. 101 El portafolio del mercado es un portafolio que consiste de todos los activos donde la proporción invertida en cada activo corresponde a su valor relativo en el mercado. El valor relativo del mercado de un activo es igual al valor agregado del mercado del activo dividido entre la suma de los valores de mercado de todos los activos.

El modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM)

94

deseada de activo libre de riesgo. Así, en la práctica se refiere al portafolio tangente T como el

portafolio de mercado y se denota M en lugar de T102.

IV.2.1 La frontera eficiente. En el mundo de CAPM, existe una forma simple de determinar la relación entre el riesgo y el

rendimiento de portafolios eficientes. La frontera eficiente del CAPM se conoce como Línea del mercado de capitales (CML). Cualquier portafolio que involucren el portafolio de mercado y un

activo libre de riesgo prestando o pidiendo prestado deben caer debajo de la CML, aunque en

algunos casos podría caer muy cerca de ella.

La pendiente de la curva CML es igual a la diferencia entre el rendimiento esperado del

portafolio de mercado y el activo libre de riesgo dividido entre la diferencia de sus riesgos

(σM - 0)103. Debido a que la ordenada al origen está dada por el activo libre de riesgo rf, la

ecuación que caracteriza al CML viene dada por:

pM

fMfp

rrrr σ

σ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+=

__

Donde pr_

y σp son el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio

eficiente. En la determinación del portafolio eficiente T del modelo de Markowitz asociado a la

tasa libre de riesgo de 0.382, se obtuvo que su rendimiento esperado y su desviación estándar

fueron -7.78 por ciento y 0.475 respectivamente, por lo que la ecuación resultante de la CML es:

pppr σσ 179.17382.0475.0

)382.0(78.7382.0

_−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+=

El equilibrio en el mercado de activos puede ser caracterizado por dos números claves. El

primero es la ordenada al origen de la CML (representado por el activo libre de riesgo), el cual

es conocido como la recompensa por esperar. El segundo es la pendiente que representa a su

vez la recompensa por unidad de riesgo tomado. Graficando la ecuación obtenida para este

trabajo se obtiene la CML para el mercado mexicano.

102 En teoría, M consiste no solo de acciones comunes sino también de otro tipo de inversiones tales como, bonos, acciones preferentes, etc. Sin embargo, en la práctica algunas personas restringen a M únicamente a acciones comunes. 103 La pendiente puede ser determinada si se conocen dos puntos de la línea.


95

IV.2.2 La línea del mercado de activos. La línea del mercado de capitales representa las relaciones de equilibrio entre el rendimiento

esperado y la desviación estándar para portafolios eficientes. Los riesgos para activos

individuales se encontrarán siempre por debajo de esta línea ya que un activo riesgoso en

forma individual será por sí mismo un activo ineficiente. La forma exacta de la relación de

equilibrio entre el riesgo y el rendimiento de un activo riesgoso está dado por:

iMM

fMfi

rrrr σ

σ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+= 2

__

Como la pendiente es positiva, la ecuación indica que para estos activos al incrementarse su

covarianza σiM más grande serán sus precios, y que al disminuir su covarianza su precio

disminuye. Esta relación entre la covarianza y el rendimiento esperado de un activo se conoce

como La línea del Mercado de Activos (SML). Para este estudio se tiene que:

iMir σ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

+=225.0

382.0780.7382.0_

= 0.382 + 32.88σiM

Y la versión β para la SML que se representa por:

iMfMfi rrrr β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

__

iMir β)382.0780.7(382.0 −−+=

iMir β163.8382.0 −=


96

IV.2.3 Determinación del rendimiento del portafolio M y validación del modelo.

Aquí se utilizará la metodología presentada en esta sección con el fin de determinar el

rendimiento de los activos individuales. La tabla 13 muestra los datos necesarios para la

primera fase del análisis. Estos son: rf, (activo libre de riesgo), r (rendimiento de la cartera T

determinado mediante el modelo de Markowitz) y la pendiente de la línea del mercado de

activos (SML).

Tabla 13: Pendiente de la Línea del mercado de activos.

Para ejemplificar los cálculos efectuados y los resultados obtenidos se utilizan las acciones de

Televisa. En la tabla 14, se puede observar las betas para las acciones de Televisa necesarias

para el cálculo del rendimiento. Por otro lado ri, representa el rendimiento esperado para las

acciones utilizando el modelo obtenido104 y rreal el rendimiento real de la acción.

104 El cálculo se efectuó aplicando la ecuación:

iMfMfi rrrr β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

__

Donde:

iMir β163.8382.0 −= Para Televisa en el periodo de noviembre se tiene que el valor de β es 1.15 por lo que el valor del rendimiento esperado para esta acción es: 00.9)15.1(163.8382.0 =−=ir


97

Tabla 14: Desviación de los rendimientos pronosticados para la acción de Televisa en el periodo noviembre de 1998 a diciembre de 1999.

De acuerdo con estos resultados, la desviación de los rendimientos esperados (pronóstico),

presenta un valor real de 1,786.

En la tabla 15 se presentan las desviaciones calculadas para cada una de las acciones. Como

se puede observar, tres presentan una desviación superior a los 5,000 puntos. La mayor

desviación la obtuvo Tribasa (6069), debido a esto se puede afirmar que para estas acciones, el

modelo no funciona adecuadamente. Sin embargo, para el restante los resultados son bastante

aceptables.


98

Tabla 15: Desviación total por acción en el periodo analizado.

Se analiza ahora el comportamiento de la cartera, tomando como base las composiciones

presentada en la tabla 10105. En la tabla 16 se establece que la desviación total de la cartera de

inversión en el periodo analizado es 758. Para determinar que tan buena es esta desviación

será necesario comparar contra las obtenidas por otros modelos, lo que se hará en secciones

posteriores.

105 Esta tabla se obtuvo utilizando el Modelo de Markowitz en la determinación de la composición de la cartera.


99

Tabla 16: Rendimiento esperado, real y desviación de la cartera de inversión.


100

IV.2.4 Análisis de los resultados obtenidos. Los resultados y el comportamiento del CAPM modelado en el presente trabajo son muy

superiores a los obtenidos por el modelo de Markowitz.

A diferencia del modelo de Markowitz el CAPM si pronostica rendimientos de cartera positivos y

negativos (ver figura 10). Sin embargo, los resultados arrojados por el modelo son inferiores a

los rendimientos reales. La desviación de 758 (ver tabla 16) es muy inferior al obtenido

mediante el modelo de Markowitz (1,405). Lo que nos lleva a afirmar que el nivel de riesgo en

su aplicación es inferior.

Como se puede observar en la gráfica, el CAPM logra seguir la tendencia de los datos reales,

pero no con la variabilidad de éstos. La desviación semanal fluctúa siendo la más grande la que

se presentó en noviembre de 1998.

Figura 10: Rendimientos real y pronosticado, mayo 1998 – diciembre 1999. CAPM.

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Periodo

Ren

dim

ient

o

Real Pronóstico


101

Aunado a lo anterior la covarianza y la correlación calculada entre el rendimiento real y el

estimado es 9.7 y 0.69 respectivamente, cifras que demuestran el mejor desempeño del CAPM

clásico, comparado con la metodología de Markowitz. Por otro lado, esta última cifra indica que

el CAPM, soporta el 69% del comportamiento del rendimiento real de la cartera, por lo que

podemos afirmar con suficiente evidencia estadística que el CAPM en el Mercado Mexicano de

Valores presenta un alto nivel explicativo, por lo tanto la hipótesis nula es aceptada.

V Análisis de modelos multivariados de fijación de precios. V.1 Análisis de regresión.

V.1.1 Planteamiento del problema. Como base del desarrollo de este trabajo, el cual incluye la obtención de un portafolio de

inversión mediante el uso de modelos tales como: El modelo de fijación de precios de

arbitraje (APT), y el análisis de factores (Multifactor), que se basan en la influencia de

factores macroeconómicos sobre el rendimiento de una acción, en esta sección se determina

cuáles son estos factores mediante el uso del análisis de regresión.

V.1.2 Definición de las variables.

La variable dependiente es el rendimiento de la acción y las variables independientes factores

macroeconómicos que se supone la afectan. La tabla 17 muestra la descripción de los

regresores utilizados, así como, la nomenclatura para representarla.

Tabla 17: Variables utilizadas en al análisis de regresión:

Variable Descripción Y Rendimiento esperado X2 Índice de precios y cotizaciones X3 Base monetaria X4 Balanza comercial X5 Balanza de pagos: Inversión extranjera directa X6 Balanza de pagos: Cartera mercado accionario X7 Balanza de pagos: Cartera mercado del dinero X8 Pib a precios de mercado (1993=100) X9 Índice de volumen físico de la formación bruta de capital (1993=100) X10 Índice de precios al consumidor : México X11 Gastos del sector público total X12 Tipo de cambio X13 Precio crudo mezcla exportación X14 Tasa activa de los Estados Unidos (PRIME RATE) X15 Utilidad neta de la empresa X16 CETES 28 días X17 Índice Dow Jones

Las variables utilizadas (dependientes e independientes) son variables métricas y el periodo

analizado comprende de enero de 1994 a diciembre de 1999. Por otro lado, el grupo de

Análisis de modelos multivariados de fijación de precios

103

acciones analizadas en esta sección es el mismo que se ha utilizado a lo largo del presente

trabajo.

V.1.3 Elección del modelo a utilizar. El objetivo de este análisis es el cuantificar la variación en el rendimiento de una acción cuando los factores macroeconómicos y financieros varían. En otras palabras se evalúan

las hipótesis:

Ho: Las variables macroeconómicas influyen en el rendimiento de una acción.

Ha: Las variables macroeconómicas no influyen en el rendimiento de una acción

De ahí que se pueda iniciar la investigación definiendo en modelo a ser utilizado:

Y = f(X2, X3,.....Xn)

De donde se establece que Y (variable dependiente) está en función de 1 o más variables

independientes o regresores. Se puede afirmar que este caso es un problema en que se tiene

que aplicar el modelo de Regresión Múltiple.

V.1.4 Resolución del problema. En este análisis se hará uso del programa de computación conocido por SPSS en su versión

11.0. El método utilizado es el conocido como stepwise regression, el cual ayuda a determinar

y eliminar aquellas variables que no tienen gran peso en la correlación.

V.1.5 Bondad de ajuste. Una parte de cualquier procedimiento estadístico al construir modelos a partir de datos, es el

determinar que tan bien se ajusta el modelo a los datos reales, o su bondad de ajuste. Esto

incluye la detección de posibles violaciones a los supuestos en que se basa la regresión. Una

forma de medir la bondad de ajuste de un modelo lineal es calcular R2 o coeficiente de determinación. Este último mide la correlación que existe entre la variable dependiente Y y una

estimación de la misma variable basada en múltiples variables independientes.

Cuando se calcula el coeficiente de determinación tomando en cuenta el número de variables

independientes presentes en el problema (grados de libertad) se conoce como R2

ajustado. Este hecho hace que al incrementarse el número de variables la R2 ajustada no se

Análisis de regresión

104

incremente106, de ahí que este coeficiente sea utilizado para determinar la bondad de ajuste del

modelo.

Los resultados obtenidos al procesar los datos con el SPSS se presentan en la tabla 18, donde

como se puede observar, los valores obtenidos para los coeficientes de regresión R varían

entre 0.38 y 0.94. Sin embargo, la R2 ajustada establece que las acciones de San Luis son las

que muestran una bondad de ajuste inferior (0.12) y las de Telmex L el mayor (0.88). La R2 se

encuentra por debajo del 50% para algunas de las acciones. No obstante esto, serán utilizadas

en el análisis, ya que el objetivo de este estudio no el de obtener un 2R elevado per sé, sino

tener estimados de los verdaderos coeficientes de regresión poblacional de los que se pueda

depender y sea posible efectuar inferencia estadística sobre ellos107.

Tabla 18: Bondad de ajuste.

R R2 AjustadaError

estándarDurbin Watson

Li Ls

Televisa 0.75 0.56 0.56 4.66 2.3 1.63 1.72 Telmex L 0.94 0.88 0.88 1.68 2.0 1.61 1.74 Apasco 0.75 0.56 0.56 4.44 2.2 1.65 1.69 Modelo 0.61 0.38 0.37 3.85 2.4 1.63 1.72 Cemex 0.82 0.67 0.66 4.37 2.3 1.63 1.72 Alfa 0.62 0.38 0.38 5.06 2.4 1.65 1.69 Benavides 0.38 0.14 0.13 5.27 1.7 1.59 1.76 Herdez 0.46 0.21 0.21 6.05 2.1 1.59 1.76 Gissa 0.54 0.29 0.28 4.69 1.9 1.63 1.72 Kof 0.55 0.31 0.30 4.71 1.9 1.63 1.72 Peñoles 0.40 0.16 0.15 4.83 2.0 1.59 1.76 Maseca 0.52 0.27 0.27 5.06 1.8 1.65 1.69 TvAztec 0.67 0.44 0.44 6.70 1.8 1.65 1.69 Gruma 0.44 0.19 0.19 4.67 1.8 1.63 1.72 Ciel 0.64 0.41 0.41 6.02 1.9 1.65 1.69 Gmex 0.53 0.28 0.28 5.02 2.0 1.61 1.74 Autrey 0.49 0.24 0.24 5.76 1.9 1.65 1.69 Femsa 0.80 0.64 0.63 4.82 2.2 1.65 1.69 Ara 0.64 0.41 0.40 4.80 1.9 1.61 1.74

106 La R2 no ajustada se incrementa al incrementarse el número de variables en la ecuación 107 Golderger afirma que el R2 tiene un papel muy modesto en el análisis de regresión, y es una medida de la bondad de ajuste de la regresión lineal de una muestra en un cuerpo de datos. Nada del modelo exige que R2 sea elevado. Por tanto, un R2 elevado no es evidencia a favor del modelo y un R2 bajo no es evidencia en su contra.


105

Tabla 18: Bondad de ajuste. (Continuación)

R R2 AjustadaError

estándarDurbin Watson

Li Ls

Cemex A 0.79 0.62 0.61 4.53 2.3 1.61 1.74 Cemex B 0.82 0.67 0.66 4.37 2.3 1.61 1.74 Geo 0.58 0.33 0.32 9.79 2.2 1.57 1.78 Ica 0.69 0.48 0.47 5.56 2.0 1.61 1.74 Hogar 0.55 0.30 0.29 6.36 2.0 1.63 1.72 Tribasa 0.51 0.26 0.26 7.18 2.1 1.61 1.74 Carso 0.82 0.67 0.67 4.14 2.0 1.65 1.69 DescA 0.53 0.28 0.27 3.08 1.9 1.57 1.78 DescB 0.67 0.45 0.44 5.25 2.2 1.61 1.74 DescC 0.41 0.17 0.16 13.60 2.1 1.65 1.69 Sluis 0.36 0.13 0.12 7.73 2.1 1.63 1.72 Telmex A 0.91 0.82 0.82 2.02 0.91 1.65 1.69 Comerci 0.67 0.44 0.44 4.77 0.67 1.59 1.76 Hilasal 0.51 0.26 0.26 6.61 2.3 1.65 1.69 Elektra 0.65 0.42 0.42 6.41 2.1 1.59 1.76 Cifra 0.74 0.54 0.54 3.88 2.1 1.63 1.72

V.1.5.1 Análisis de varianza. Significancia total, prueba F. Este análisis se efectúa con el fin de probar la hipótesis que establece que no existe relación lineal entre la variable dependiente y los regresores utilizados en el análisis, es decir:

Ho: R2 es cero

La variabilidad total observada en la variable dependiente se subdivide en dos componentes,

las que son atribuibles a la regresión y aquellas que no lo son (residuales). Si la varianza de los

residuales es grande el modelo de regresión no funcionará bien y F se hará más pequeña. Si la

varianza explicada es grande comparada con la no explicada, entonces F se hará más

grande. En otras palabras el valor de F proporciona una prueba de hipótesis nula de que los

verdaderos coeficientes de pendiente son simultáneamente cero.

Si el valor de F calculado excede el valor de F crítico al nivel de significancia α, se rechaza H0,

de otra forma no se rechaza. Alternativamente, si el valor de p del F observado es

suficientemente bajo, se puede rechazar H0.


106

Existe una relación estrecha entre el coeficiente de determinación R2 y la prueba F utilizada en

el análisis de varianza. Estas dos varían en relación directa. Cuando R2 = 0, F es cero. Cuanto

mayor sea R2 mayor será el valor de F, cuando R2 = 1, F es infinito debido a que:

)/()1()1/(

2

2

knRkRF

−−−

=

Así la prueba F, mide la significancia global de la regresión estimada, es también una prueba de

la significancia de R2.

Tabla 19: Análisis de varianza.

F P F crítico

Suma de

cuadrados

Df Mean square

F P F crítico

Suma de

cuadrados

Df Mean square

Televisa 195.9 0.0 3.84 Regresión 8518.8 2 4259.4 Ciel 140.8 0.0 3.89 Regresión 5105.0 1 5105.0 Residual 6676.4 307 21.7 Residual 7361.5 203 36.3 Total 15195.1 309 Total 12466.5 204 Telmex L 777.7 0.0 2.60 Regresión 6622.8 3 2207.6 Gmex 36.3 0.0 2.60 Regresión 2745.4 3 915.1 Residual 868.6 306 2.8 Residual 6910.3 274 25.2 Total 7491.4 309 Total 9655.7 277 Apasco 388.4 0.0 3.84 Regresión 7665.6 1 7665.6 Autrey 99.3 0.0 3.84 Regresión 3300.1 1 3300.1 Residual 6079.5 308 19.7 Residual 10234.2 308 33.2 Total 13745.1 309 Total 13534.3 309 Modelo 84.4 0.0 3.00 Regresión 2504.8 2 1252.4 Femsa 538.4 0.0 3.84 Regresión 12488.0 1 12488.0 Residual 4171.0 281 14.8 Residual 7144.2 308 23.2 Total 6675.7 283 Total 19632.2 309 Cemex 202.9 0.0 2.60 Regresión 11629.8 3 3876.6 Ara 56.2 0.0 2.65 Regresión 2588.4 2 1294.2 Residual 5847.4 306 19.1 Residual 3799.4 165 23.0 Total 17477.2 309 Total 6387.8 167 Alfa 187.4 0.0 3.84 Regresión 4792.0 1.00 4792.0 CemexA 164.3 0.0 2.60 Regresión 10117.9 3 3372.6 Residual 7876.9 308 25.6 Residual 6281.7 306 20.5 Total 12669.0 309 Total 16399.6 309 Benavides 12.6 0.0 2.37 Regresión 1405.9 4 351.5 CemexB 202.9 0.0 2.60 Regresión 11629.9 3 3876.6 Residual 8447.5 304 27.8 Residual 5847.2 306 19.1 Total 9853.4 308 Total 17477.1 309 Herdez 27.7 0.0 2.60 Regresión 3043.7 3.00 1014.6 Geo 21.4 0.0 2.21 Regresión 10282.3 5 2056.5 Residual 11218.4 306 36.7 Residual 20721.3 216 95.9 Total 14262.1 309 Total 31003.7 221 Gissa 61.7 0.0 3.00 Regresión 2715.2 2 1357.6 Ica 94.0 0.0 2.60 Regresión 8709.2 3 2903.1 Residual 6752.3 307 22.0 Residual 9454.7 306 30.9 Total 9467.5 309 Total 18163.9 309 Kof 67.7 0.0 3.00 Regresión 3001.6 2 1500.8 Hogar 28.1 0.0 3.07 Regresión 2277.4 2 1138.7 Residual 6805.2 307 22.2 Residual 5306.2 131 40.5 Total 9806.8 309 Total 7583.7 133 Peñoles 19.5 0.0 3.00 Regresión 1361.5 3 453.8 Tribasa 36.6 0.0 2.60 Regresión 5664.0 3 1888.0 Residual 7137.9 306 23.3 Residual 15791.6 306 51.6 Total 8499.4 309 Total 21455.7 309 Maseca 116.4 0.0 3.84 Regresión 2976.6 1 2976.6 Carso 638.0 0.0 3.84 Regresión 10926.9 1 10926.9 Residual 7876.7 308 25.6 Residual 5275.2 308 17.1 Total 10853.2 309 Total 16202.0 309 TvAzteca 84.8 0.0 3.92 Regresión 3805.3 1 3805.3 DescA 19.2 0.0 2.36 Regresión 912.4 5 182.5 Residual 4758.3 106 44.9 Residual 2319.9 244 9.5 Total 8563.5 107 Total 3232.3 249 Gruma 35.0 0.0 3.00 Regresión 1526.1 2 763.0 DescB 82.6 0.0 2.60 Regresión 6828.8 3 2276.3 Residual 6325.6 290 21.8 Residual 8434.6 306 27.6 Total 7851.7 292 Total 15263.4 309


107

Tabla 19: Análisis de varianza (Continuación). F P F

crítico Suma

de cuadrados

Df Mean square

F P F crítico

Suma de

cuadrados

Df Mean square

DescC 49.7 0.0 3.89 Regresión 9189.6 1 9189.6 Hilasal 62.6 0 3.92 Regresión 2737.2 1 2737.2 Residual 46246.9 250 185.0 Residual 7788.0 178 43.8 Total 55436.5 251 Total 10525.2 179 SLuis 18.0 0.00 3.04 Regresión 2159.0 2 1079.5 Elektra 97.1 0.00 97.1Regresión 7987.2 2 3993.6 Residual 14537.3 243 59.8 Residual 11058.2 269 41.1 Total 16696.3 245 Total 19045.4 271 Telmex A 475.7 0.0 2.42 Regresión 5803.4 3 1934.5 Cifra 361.9 0.00 3.04 Regresión 5461.3 1 5461.3 Residual 1244.5 306 4.1 Residual 4647.9 308 15.1 Total 15459.8 224 Total 10109.1 309 Comerci 122.5 0.0 123. Regresión 5574.1 2 2787.0 Residual 6984.8 307 22.8 Total 12558.9 309

Para el presente estudio se utilizó un nivel de significancia de 0.05 y los valores individuales de

p para cada una de las acciones es inferior a éste. Por otro lado, para todos los casos, los

valores calculados para la F son superiores a los valores críticos (ver tabla 19), lo que indica

que las F calculadas son significativas y por lo tanto, se puede rechazar la hipótesis nula y

establecer que si existe correlación lineal en los modelos obtenidos.

Después de examinar la significancia total de los modelos de regresión se estudió el mismo

concepto pero en forma individual para los coeficientes. En el presente trabajo únicamente se

utilizaron coeficientes significativos (p < 0.05). Sin embargo, debido, a que el análisis de

regresión múltiple utiliza la interdependencia de los regresores para modelar la variable

dependiente, es impropio tratar los coeficientes individuales como si estuvieran solos108, por lo

tanto, se da más peso al análisis de varianza conjunto representado por la prueba F.

V.1.6 Heterocedasticidad.

Uno de los supuestos importantes del modelo clásico de regresión lineal es que la varianza de

cada término de perturbación µi, condicional a los valores seleccionados de las variables

explicativas, es algún número constante igual a σ2. Este es el supuesto de homocedasticidad

(igual dispersión). Para poder determinar si el modelo obtenido presenta heterocedasticidad se

utilizó la prueba de White. Esta prueba se basa en el supuesto de normalidad y se aplica de la

siguiente manera:

1. Dada la información, estímese ininii XXY µβββ +++= ...221 y obténgase los residuales.

108 Makridakis W.M., “Forecasting, Methods and Applications”, 2nd Ed., New Jersey EU: John Willey and Sons Inc.,

p. 263, 1983.


108

2. Efectúese la siguiente regresión auxiliar:

iiiiiii vXXXXX +++++++=∧

236

235

22433221

2

ααααααµ

3. Los residuales al cuadrado de la regresión original son regresados sobre los regresores.

4. Bajo la hipótesis nula de que no hay heterocedasticidad, se demuestra que el tamaño de la

muestra (n) multiplicado por R2 obtenido en la regresión anterior asintóticamente sigue la

distribución ji - cuadrada con grados de libertad (gl) igual al número de regresores

(excluyendo el término constante) en la regresión auxiliar.

5. Si el valor de la ji - cuadrada obtenido excede al valor de ji cuadrado crítico al nivel de

significancia seleccionado, la conclusión es que existe heterocedasticidad.

La tabla 20 presenta los resultados obtenidos mediante el uso del Eview para la prueba de

White. En ella se observa que para la mayoría de las acciones la nR2 reportada es mayor que el

nivel de ji cuadrado crítico. En los casos de las acciones de Herdez, Maseca, Gmex, Ica, Hogar,

Carso y San Luis son los únicos en que la homocedasticidad se confirma, sin embargo, para las

demás acciones, y de acuerdo a esta prueba se puede afirmar que existe heterocedasticidad en estos modelos.

Tabla 20: Resultado de la correlación de residuales, Prueba de White.

F P R2 R2AJ nR2 X2 F P R2 R2

AJ nR2 X2

Televisa 3.90 0.00 0.06 0.04 18.68 12.59 Ara 33.72 0.00 0.51 0.49 85.68 11.07 Telmex L 6.33 0.00 0.16 0.13 49.47 16.92 Cemex A 13.04 0.00 0.25 0.22 76.35 16.92 Apasco 25.85 0.00 0.14 0.14 44.68 5.99 Cemex B 3.85 0.00 0.10 0.08 32.12 16.92 Modelo 2.98 0.01 0.08 0.05 14.20 11.07 Geo 2.86 0.00 0.22 0.14 49.19 31.41 Cemex 3.85 0.00 0.10 0.08 32.12 16.92 Ica 1.42 0.18 0.04 0.01 12.71 16.92 Alfa 25.61 0.00 0.14 0.14 44.32 5.99 Hogar 1.46 0.21 0.05 0.02 7.22 11.07 Benavides 9.05 0.00 0.30 0.27 93.04 23.68 Tribasa 3.14 0.00 0.09 0.06 26.66 16.92 Herdez 1.73 0.08 0.05 0.02 15.28 16.92 Carso 0.55 0.58 0.00 0.00 1.11 5.99 Gissa 4.69 0.00 0.07 0.06 22.20 11.07 Desc A 2.38 0.00 0.17 0.10 43.00 31.41 Kof 2.87 0.02 0.05 0.03 13.98 11.07 Desc B 7.01 0.00 0.17 0.15 53.87 16.92 Peñoles 8.08 0.00 0.20 0.17 60.47 18.31 Desc C 15.71 0.00 0.11 0.10 28.23 5.99 Maseca 1.84 0.16 0.01 0.01 3.67 5.99 Sluis 0.39 0.85 0.01 -0.01 1.99 11.07 TvAztec 9.87 0.01 0.09 0.07 9.87 5.99 TelmexA 4.32 0.00 0.11 0.09 35.54 12.59 Gruma 5.45 0.00 0.09 0.07 25.40 11.07 Comerci 7.37 0.00 0.11 0.09 33.51 23.68 Ciel 7.26 0.00 0.07 0.06 13.75 5.99 Hilasal 18.97 0.00 0.18 0.17 31.77 5.99 Gmex 1.82 0.06 0.06 0.03 16.03 16.92 Elektra 3.37 0.01 0.06 0.04 16.18 25.00 Autrey 17.38 0.00 0.10 0.10 31.52 5.99 Cifra 5.70 0.00 0.04 0.03 11.10 12.59 Femsa 5.56 0.00 0.03 0.03 10.84 5.99


109

Como se mencionó renglones arriba, la prueba de White se basa en el supuesto de normalidad,

misma que no ha sido probada en el presente trabajo. Si el supuesto de normalidad no se

cumple, la prueba de White podría mentir, por lo que se realizarán dos pruebas adicionales que

son robustas ante la no normalidad de los residuos, estas son: 1) La prueba de Levene y 2) La

prueba de Brown-Forsythe.

V.1.6.1 La prueba de Levene. Esta prueba brinda mejores resultados que la de White en presencia de no normalidad, por lo

que es aún más concluyente. Para efectuar esta prueba:

1. Se calculó la media de los datos, Mi para cada uno de los i grupos.

2. Se remplazó cada valor observado, Yij, con una nueva variable Zij, que es igual al valor

absoluto de la diferencia de los valores observados y la media del grupo. Esto es:

Zij = iij MY −

3. Se efectúo un análisis de varianza sobre los nuevos valores, Zij. La F total es una prueba

de hipótesis de que todos los grupos de la población presentan la misma varianza.

Bajo la hipótesis nula de igualdad de las varianzas:

H0: 222

21 ... kσσσ == (para k grupos).

Si la probabilidad de F es mayor que la significancia de la prueba 0.05 se acepta la hipótesis

nula.

En la tabla 21 podemos se observa que las acciones de Televisa, Telmex L, Desc A y Desc B

presentan heterocedasticidad.

V.1.6.2 La prueba de Brown-Forsythe. Esta prueba es robusta ante la no normalidad y es considerada como la prueba de Levene

mejorada. Los pasos son:

1) Calcular la mediana para cada uno de los grupos.


110

2) Reemplazar cada uno de los valores observados, Yij, con una nueva variable Zij, la cual

es igual a la diferencia absoluta de los valores observados y la mediana del grupo. Esto

es:

Zij = iij MdY −

3) Efectuar un análisis de varianza en los datos nuevos, Zij. La F total es una prueba de

hipótesis de que todos los grupos de la población tiene la misma varianza.

Bajo la hipótesis nula de igualdad de las varianzas:

H0: 222

21 ... kσσσ == (para k grupos).

Si la probabilidad de F es mayor que la significancia de la prueba 0.05 se acepta la hipótesis

nula.

En la tabla 21 se muestran los resultados obtenidos al efectuar esta prueba a los residuales. La

probabilidad de F es en todos los casos superior a la significancia de la prueba, indicando con

esto que en ninguno de los casos analizados se presenta heterocedasticidad.

Tabla 21: Resultado de las pruebas Levene y Brown-Forsythe para Homocedasticidad.

Levene Test Brown-Forsythe df Value Prob df Value Prob

Televisa (4, 305) 2.6 0.04 (4, 305) 1.7 0.2Telmex L (5, 304) 2.4 0.04 (5, 304) 1.4 0.2Apasco (4, 305) 2.1 0.08 (4, 305) 1.3 0.3Modelo (3, 178) 1.7 0.17 (3, 178) 0.9 0.4Cemex (3, 306) 2.2 0.09 (3, 306) 1.6 0.2Alfa (3, 306) 0.55 0.65 (3, 306) 0.4 0.7Benavides (5, 303) 1.6 0.17 (5, 303) 1.1 0.4Herdez (4, 305) 1.5 0.2 (4, 305) 1.1 0.4Gissa (4, 305) 1.2 0.3 (4, 305) 0.6 0.7Kof (3, 306) 2.1 0.1 (3, 306) 1.0 0.4Peñoles (3, 306) 0.2 0.9 (3, 306) 0.2 0.9Maseca (4, 305) 1.6 1.3 (4, 305) 1.3 0.3TvAztec (4, 103) 0.9 0.5 (4, 103) 0.5 0.8Gruma (3, 289) 0.9 0.4 (3, 289) 0.6 0.6Ciel (4, 200) 2.0 0.1 (4, 200) 1.5 0.2Gmex (4, 273) 0.9 0.4 (4, 273) 0.7 0.6


111

Tabla 21: Resultado de las pruebas Levene y Brown-Forsythe para Homocedasticidad. (Continuación) Levene Test Brown-Forsythe

df Value Prob df Value Prob

Autrey (2, 307) 0.8 0.4 (2, 307) 0.6 0.5Femsa (4, 305) 1.2 0.3 (4, 305) 0.7 0.6Ara (3, 164) 0.2 0.9 (3, 164) 0.1 0.9CemexA (5, 304) 1.3 0.3 (5, 304) 0.7 0.6CemexB (3, 306) 2.2 0.1 (3, 306) 1.6 0.2Geo (3, 218) 2.1 0.1 (3, 218) 2.3 0.1Ica (2, 307) 1.6 0.2 (2, 307) 1.2 0.3Hogar (4, 129) 1.8 0.1 (4, 129) 1.4 0.2Tribasa (3, 306) 1.2 0.3 (3, 306) 0.6 0.6Carso (4, 305) 1.4 0.2 (4, 305) 1.1 0.3DescA (3, 246) 3.9 0.0 (3, 246) 2.3 0.1DescB (5, 304) 2.6 0.0 (5, 304) 2.2 0.1DescC (3, 248) 1.6 0.2 (3, 248) 1.2 0.3Sluis (5, 235) 0.9 0.5 (5, 235) 0.7 0.6TelmexA (4, 305) 0.7 0.6 (4, 305) 0.5 0.8Comerci (4, 305) 1.1 0.4 (4, 305) 1.0 0.4Hilasal (3, 176) 5.8 0.5 (3, 176) 3.5 0.5Elektra (3, 268) 1.0 0.4 (3, 268) 0.9 0.4Cifra (3, 306) 3.2 0.1 (3, 306) 1.8 0.2

V.1.7 Multicolinealidad: El término colinealidad se refiere a la situación en la que existe una fuerte correlación múltiple

provocada por la existencia de intercorrelación entre las variables independientes.

La multicolinealidad es un problema de grado y no de clase. La distinción importante no es entre

la presencia y la ausencia de multicolinealidad, sino entre sus diferentes grados. Puesto que la

multicolinealidad se refiere a la condición de las variables explicativas las cuales son no

estocásticas por supuestos, ésta es una característica de la muestra y no de la población. Por

consiguiente, no es necesario llevar a cabo pruebas sobre multicolinealidad, pero se puede si

se desea, medir su grado en cualquier muestra determinada109. La tolerancia de una variable

es utilizada generalmente para medirla.

La tolerancia de una variable i se define como 1 – Ri2, donde Ri

2 es el coeficiente de

determinación múltiple cuando la ith variable independiente es determinada a partir de otra

variable independiente. Si la tolerancia de una variable i es pequeña, existe casi una

combinación lineal de las otras variables independientes.

109 Kamenta, J., “Elements of Econometrics”, 2nd. Ed., Macmillan, p. 431, New York, 1986.


112

El factor de inflación de la varianza (VIF) está relacionado de forma muy cercana con la

tolerancia. De hecho, está definido como el recíproco de ésta. Esto es:

)1(1

2iR

VIF−

=

Este término se denomina factor de inflación de la varianza debido a que involucra el cálculo de

la varianza del ith coeficiente de regresión. Cuando el factor de inflación de la varianza se

incrementa, también lo hace la varianza del coeficiente de regresión. Algunos autores afirman

que mientras mayor es el valor de FIV mayor “problema” o colinealidad tiene la variable Xi

¿Pero, que tan grande debe ser el FIV antes de que un regresor se convierta en un problema?

Como regla práctica, si el FIV de una variable es superior a 10 (esto sucederá si Rj excede

0.90), se dice que esta variable es altamente colineal. Por otro lado, si la tolerancia = 1, VIF, también lo es y como consecuencia Xi no está correlacionada con los otros regresores,

mientras que si es cero está perfectamente relacionada con ellos.

El índice de condición (IC), ayuda a diagnosticar la multicolinealidad y está definido como:

kpropiovalorMínimopropiovalorMáximoIC ==

Se tiene esta regla práctica: Si k está entre 100 y 1000, existe una multicolinealidad que va

desde moderada hasta fuerte, mientras que si excede a 1000, existe multicolinealidad severa.

Alternativamente, si el IC está entre 10 y 30, existe multicolinealidad entre moderada y fuerte y

si excede 30 existe una multicolinealidad severa.

La tabla 22 presenta los resultados obtenidos para índice de condición para cada una de las

acciones analizadas. Como se puede observar, en ninguno de los casos los valores obtenidos

se encuentran por arriba del valor de 10. Esto indica que para estas acciones no existe colinealidad en los modelos obtenidos. Sin embargo, para poder sostener esta información

es necesario estudiar las columnas correspondientes a la tolerancia y al valor de la VIF que

muestran valores se encuentran para estos casos por debajo de 10 y generalmente alrededor

del 1.00, que como se estableció renglones arriba son muestra inequívoca que no existe

colinealidad (correlación) entre las variables independientes.


113

Tabla 22: Diagnóstico de colinealidad.

Tolerancia

VIF

Dimen sión

Eigen value

CI Tolerancia

VIF Dimen sión

Eigen value

CI

Televisa (Constant) 1 1.2 1.0 Ara (Constant) 1 1.3 1.0 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1

VAR00008 1.0 1.0 3 0.8 1.2 VAR00012 1.0 1.0 3 0.8 1.3

Telmex L (Constant) 1 1.8 1.0 CemexA (Constant) 1 1.4 1.0 VAR00015 0.4 2.6 2 1.2 1.2 VAR00002 1.0 1.0 2 1.1 1.1 VAR00002 0.4 2.6 3 0.7 1.6 VAR00012 1.0 1.0 3 0.9 1.2

VAR00003 1.0 1.0 4 0.2 2.9 VAR00003 1.0 1.0 4 0.6 1.5

Apasco (Constant) 1 1.1 1.0 CemexB (Constant) 1 1.6 1.0

VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.3

Modelo (Constant) 1 1.2 1.0 VAR00003 0.9 1.2 3 0.8 1.4 VAR00002 1.0 1.1 2 1.0 1.1 VAR00011 0.9 1.2 4 0.6 1.6

VAR00016 1.0 1.1 3 0.7 1.3 Geo (Constant) 1 2.5 1.0

Cemex (Constant) 1 1.6 1.0 VAR00010 1.0 1.0 2 1.3 1.4

VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.3 Ica (Constant) 1 1.3 1.0 VAR00003 0.9 1.2 3 0.8 1.4 VAR00002 1.0 1.0 2 1.1 1.1

VAR00011 0.9 1.2 4 0.6 1.6 VAR00006 1.0 1.0 3 0.9 1.2

Alfa (Constant) 1 1.1 1.0 VAR00012 1.0 1.0 4 0.7 1.4

VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 Hogar (Constant) 1 1.3 1.0

Benavides (Constant) 1 2.0 1.0 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1 VAR00002 1.0 1.0 2 1.2 1.3 VAR00012 1.0 1.0 3 0.8 1.3

VAR00012 1.0 1.0 3 0.9 1.5 Tribasa (Constant) 1 1.2 1.0 VAR00009 0.9 1.2 4 0.8 1.6 VAR00002 0.9 1.1 2 1.1 1.1

VAR00010 0.9 1.2 5 0.2 3.3 VAR00007 1.0 1.0 3 0.9 1.1

Herdez (Constant) 1 1.3 1.0 VAR00016 0.9 1.1 4 0.7 1.3

VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1 Carso (Constant) 1 1.1 1.0 VAR00004 1.0 1.0 3 1.0 1.2 VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1

VAR00012 1.0 1.0 4 0.7 1.4 DescA (Constant) 1 2.0 1.0

Gissa (Constant) 1 1.2 1.0 VAR00010 0.9 1.1 2 1.1 1.4 VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 VAR00002 1.0 1.0 3 1.0 1.4

VAR00006 1.0 1.0 3 0.9 1.1 VAR00012 1.0 1.0 4 0.9 1.5

Kof (Constant) 1 1.2 1.0 VAR00014 1.0 1.0 5 0.8 1.6 VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 VAR00004 1.0 1.0 6 0.2 3.4

VAR00006 1.0 1.0 3 0.9 1.1 DescB (Constant) 1 1.3 1.0

Peñoles (Constant) 1 1.3 1.0 VAR00002 1.0 1.0 2 1.1 1.1 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1 VAR00012 1.0 1.0 3 0.9 1.2 VAR00012 1.0 1.0 3 1.0 1.2 VAR00006 1.0 1.0 4 0.7 1.4

VAR00007 1.0 1.0 4 0.7 1.4 DescC (Constant) 1 1.1 1.0

Maseca (Constant) 1 1.1 1.0 VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1

VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1

TvAztec (Constant) 1 1.0 1.0

VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.0


114

Tabla 22: Diagnóstico de colinealidad. (Continuación)

Tolerancia

VIF

Dimen sión

Eigen value

CI Tolerancia

VIF Dimen sión

Eigen value

CI

Gruma (Constant) 1 1.2 1.0 TelmexA (Constant) 1 1.8 1.0 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1 VAR00015 0.4 2.6 2 1.2 1.2 VAR00008 1.0 1.0 3 0.8 1.2 VAR00002 0.4 2.6 3 0.7 1.6

Ciel (Constant) 1 1.1 1.0 VAR00003 1.0 1.0 4 0.2 2.9

VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 Comerci (Constant) 1 1.2 1.0

Gmex (Constant) 0.7 1 1.3 1.0 VAR00002 0.9 1.1 2 1.0 1.1 VAR00002 0.0 1.0 2 1.0 1.1 VAR00016 0.9 1.1 3 0.7 1.3

VAR00012 0.0 1.0 3 1.0 1.2 Hilasal (Constant) 1 1.1 1.0

VAR00013 0.0 1.0 4 0.7 1.4 VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1

Autrey (Constant) 1 1.1 1.0 Elektra (Constant) 1.0 1.2 1.0

VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 VAR00002 1.0 1.1 2.0 1.0 1.1

Femsa (Constant) 1 1.1 1.0 VAR00016 1.0 1.1 3.0 0.7 1.3

VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 Cifra (Constant) 1 1.1 1.0

Sluis (Constant) 1 1.2 1.0 VAR00002 1.0 1.0 2 0.9 1.1 VAR00002 1.0 1.0 2 1.0 1.1

VAR00015 1.0 1.0 3 0.8 1.2

V.1.8 Normalidad. Los modelos de regresión asumen una distribución normal para los residuos. Este supuesto

permite al modelo deducir apropiadamente las pruebas F y t, así que una violación seria a este

supuesto impedirá que la prueba de significancia tenga validez. Para determinar si existe

normalidad en el modelo se efectuó la prueba de Jarque – Bera.

V.1.8.1 Prueba de normalidad de Jarque-Bera (JB)110.

La prueba JB de normalidad es una prueba de grandes muestras y está basada en los residuos

de mínimos cuadrados. Esta prueba calcula primero la simetría y la curtosis de los resultados de

los residuos y utiliza el siguiente estadístico de prueba:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

24)3(

6

22 KAnJB

Donde A representa la asimetría y K la curtosis. Puesto que para una distribución normal el

valor de la asimetría es cero y el valor de la curtosis es 3, en la ecuación (K – 3) representa la

curtosis excedente. Bajo la hipótesis nula de que los residuos están normalmente distribuidos,

110 Jarque C.M. and Bera, A.K. “A test for Normality of Observations and Regression Residuals”, International Statistical Review, Vol.55, p. 163-172, 1987.


115

Jarque y Bera demostraron que en muestras grandes el estadístico JB sigue una distribución ji cuadrada con 2 g de l. Si el valor de p del estadístico ji cuadrado calculado en

una aplicación es suficientemente pequeño se puede rechazar la hipótesis de que los residuos

están normalmente distribuidos. Pero si el valor de p es razonablemente alto, no se rechaza el

supuesto de normalidad.

Como se puede observar de los resultados obtenidos de la prueba de Jarque – Bera (ver tabla

23) todas las acciones analizadas presentan baja probabilidad. Esto lleva a la conclusión que se rechaza la hipótesis nula de que existe normalidad.

Tabla 23: Prueba de Jarque – Bera y probabilidad obtenida.

Media Jarque Prob Media Jarque Prob Televisa 0.0 362.1 0.00 Ara 0.0 12.2 0.00 Telmex L 0.0 13956.7 0.00 CemexA 0.0 457.6 0.00 Apasco 0.0 80.3 0.00 CemexB 0.0 105.2 0.00 Modelo 0.0 9.2 0.01 Geo 0.0 16.7 0.00 Cemex 0.0 105.2 0.01 Ica 0.0 940.8 0.00 Alfa 0.0 436.5 0.00 Hogar 0.0 22.0 0.00 Benavides 0.0 232.6 0.00 Tribasa 0.0 118.8 0.00 Herdez 0.0 163.4 0.00 Carso 0.0 8134.8 0.00 Gissa 0.0 200.8 0.00 DescA 0.0 142.3 0.00 Kof 0.0 52.7 0.00 DescB 0.0 106.7 0.00 Peñoles 0.0 28.5 0.00 DescC 0.0 228388.9 0.00 Maseca 0.0 544.8 0.00 Sluis 0.0 4979.7 0.00 TvAztec 0.0 25.5 0.00 Telmex A 0.0 133.4 0.00 Gruma 0.0 99.7 0.00 Comerci 0.0 79.5 0.00 Ciel 0.0 39.7 0.00 Hilasal 0.0 1303.3 0.00 Gmex 0.0 72.2 0.00 Elektra 0.0 85.4 0.00 Autrey 0.0 590.8 0.00 Cifra 0.0 38.0 0.00 Femsa 0.0 161.4 0.00

Con el fin de confirmar los resultados obtenidos en la prueba de Jarque-Bera, se utilizó la

prueba de Kolmogorov-Smirnov, que es considerada la más poderosa para muestras

grandes.111 La tabla 24 muestra que no todas las regresiones efectuadas violan el supuesto de

normalidad, únicamente 14 de las 35 acciones analizadas no cumplen con este supuesto. Estas

presentan una significancia inferior al nivel de la prueba (0.05). No es razonable esperar que los

residuales observados sean exactamente normales, algunas desviaciones se deben esperar

debido a las variaciones de la muestra. Se debe considerar que la prueba F utilizada en la

prueba de hipótesis del análisis de regresión es insensible desviaciones moderada a la

111 Siegel S., “Estadística no paramétrica” 1era Ed. Trillas, p. 69, 1991.


116

normalidad112 y que la media de la distribución de los residuales es cero16 y una de las

condiciones de normalidad es que la media tenga este valor, por lo que se puede suponer que

también para estas acciones existe normalidad.

Tabla 24: Prueba de Kolmogorov-Smirnov y su conclusión.

Normal Parameters Most Extreme Differences

N Mean Std.

Deviation Absolute Positive Negative Kolmogorov-

Smirnov Z Asymp.

Sig. (2-tailed) Conclusión

Alfa 310 -7.94E-09 5.0030 0.1130 0.1130 -0.0970 1.99 0.001 No-normal Apasco 310 -1E-09 4.5655 0.0773 0.0773 -0.0607 1.36 0.049 No-normal Ara 310 -7.9E-09 5.0030 0.1132 0.1132 -0.0974 1.99 0.001 No-normal Autrey 310 1.39E-08 5.7550 0.0762 0.0762 -0.0579 1.34 0.055 normal TelmexA 310 5.352E-09 2.0068 0.1446 0.1446 -0.1019 2.55 0.000 No-normal Benavides 309 1.77E-09 5.2371 0.1059 0.1059 -0.0883 1.86 0.002 No-normal Carso 310 -1.2E-08 4.1318 0.0761 0.0718 -0.0761 1.34 0.055 normal Cemex 310 1.84E-09 4.3501 0.0741 0.0741 -0.0737 1.30 0.067 normal CemexA 310 3.68E-09 4.5088 0.0985 0.0985 -0.0809 1.73 0.005 No-normal CemexB 310 1.66E-09 4.3500 0.0738 0.0738 -0.0734 1.30 0.068 normal Ciel 205 9.84E-09 6.0071 0.0758 0.0631 -0.0758 1.08 0.190 normal Cifra 310 -2.8E-09 3.8784 0.0576 0.0576 -0.0469 1.01 0.256 normal Comerci 310 5.02E-09 4.7544 0.0682 0.0682 -0.0609 1.20 0.112 normal DescA 250 1.02E-08 3.0524 0.0818 0.0818 -0.0667 1.29 0.071 normal DescB 310 -6.1E-09 5.2246 0.0584 0.0584 -0.0553 1.03 0.240 normal DescC 252 -2.6E-08 13.5739 0.2494 0.2494 -0.2144 3.96 0.000 No-normal Elektra 272 -1.10E-08 6.7401 0.0730 0.0640 -0.0730 1.21 0.110 No-normal Femsa 310 -1.31E-08 4.8084 0.0810 0.0810 -0.0630 1.42 0.035 No-normal Geo 222 -4.9E-09 9.6831 0.0451 0.0357 -0.0451 0.67 0.757 normal Gissa 310 5.79E-09 4.5634 0.0737 0.0737 -0.0544 1.30 0.069 normal Gmex 278 1.01E-08 4.9947 0.0624 0.0624 -0.0395 1.04 0.229 normal Gruma 293 2.27E-09 4.6544 0.0967 0.0967 -0.0709 1.66 0.008 No-normal Herdez 310 -4.4E-09 5.1961 0.0820 0.0800 -0.0820 1.44 0.032 No-normal Hilasal 180 -1.08E-08 6.5961 0.0960 0.0960 -0.091 1.29 0.071 normal Hogar 134 1.27E-08 6.3164 0.0670 0.0670 -0.0650 0.78 0.582 normal Ica 310 -1.2E-08 5.5315 0.1020 0.0870 -0.1020 1.79 0.003 No-normal Kof 310 1.52E-08 4.6929 0.0680 0.0680 -0.0440 1.20 0.112 normal Maseca 310 4.29E-09 5.0488 0.0610 0.0550 -0.0610 1.07 0.201 normal Modelo 284 9.64E-10 3.8391 0.0360 0.0260 -0.0360 0.61 0.853 normal Peñoles 310 7.94E-09 4.8062 0.0590 0.0590 -0.0420 1.04 0.227 normal Sluis 246 -4.1E-10 7.7030 0.1420 0.1420 -0.0970 2.22 0.000 No-normal Televisa 310 1.68E-10 4.6483 0.0660 0.0660 -0.0630 1.16 0.137 normal Telmex L 310 4.19E-10 1.6766 0.2180 0.2180 -0.1940 3.84 0.000 No-normal Tribasa 310 -1.53E-08 7.1488 0.0730 0.0730 -0.0570 1.29 0.073 normal

Tvazteca 122 3.91E-01 7.4178 0.1000 0.1000 -0.0690 1.11 0.173 normal

112 SPSS for Windows Base System, User Guide Release 6.0, U.S.A., p. 3291993.


117

V.1.9 Independencia de los Residuos113. La “Independencia de los residuos” está también directamente relacionada con la validez de las

pruebas F y t. Si los residuos no son independientes, estas pruebas pierden validez. Para este

análisis se utilizó la prueba de Durbin-Watson, este estadístico prueba la hipótesis de que no

existe autocorrelación en los residuales. Las reglas de decisión son114:

1. Cuando la estadística de Durbin – Watson es mayor que la frontera superior (S),

el coeficiente de autocorrelación es igual a cero (no existe autocorrelación

positiva).

2. Cuando la estadística de Durbin – Watson es menor que la frontera inferior (I), el

coeficiente de autocorrelación es mayor que cero (existe autocorrelación

positiva).

3. Cuando la estadística de Durbin – Watson se ubica entre las fronteras inferior y

superior, la prueba no ofrece una conclusión (no se sabe si existe correlación

positiva).

Determinación de las fronteras de Durbin – Watson: Para encontrar los valores apropiados de S e I, se necesita conocer el tamaño de la muestra, el

nivel de significancia y el número de variables independientes. Por ejemplo, para el caso de

Televisa se tiene que estos valores son: 310, 5 y 2, respectivamente. En las tablas de Durbin

Watson, el tamaño de la muestra aparece en la columna de la izquierda y el número de

variables independientes está determinado a partir de la parte superior de cada columna. Por lo

que al estar utilizando 2 variables independientes, habría que buscar en la columna ρ - 1 = 2.

De tal forma que el resultado obtenido es:

S = 1.63 e I = 1.72

De donde se establece que el intervalo de confianza que da definido como:

1.63 ≥ DW ≤ 1.72

113 Bock, R., “Multivariate Statistical Methods in Behavioral Research”, 1st Ed., McGraw Hill, p. 55, 1970 114 Op. Cit. 37


118

El valor de DW calculado mediante el uso del SPSS, para esta empresa se encuentra por arriba del límite superior del intervalo de confianza por lo que concluimos que los residuos

no están autocorrelacionados.

Durbin Watson

Li Ls

Cemex A 2.3 1.61 1.74 Cemex B 2.3 1.61 1.74 Geo 2.2 1.57 1.78 Ica 2.0 1.61 1.74 Hogar 2.0 1.63 1.72 Tribasa 2.1 1.61 1.74 Carso 2.0 1.65 1.69 DescA 1.9 1.57 1.78 DescB 2.2 1.61 1.74 DescC 2.1 1.65 1.69 Sluis 2.1 1.63 1.72 Telmex A 0.91 1.65 1.69 Comerci 0.67 1.59 1.76 Hilasal 2.3 1.65 1.69 Elektra 2.1 1.59 1.76 Cifra 2.1 1.63 1.72

Esta situación se repite para todos los análisis efectuados. Si en alguno de los casos esta

condición no fuese cumplida, este resultado podría ser ignorado ya que si el número de

residuales es grande comparado con el número de variables independientes, la independencia

entre los residuales puede ser omitida por razones prácticas115.

La tabla 25 presenta un resumen del análisis de la regresión. En ella se listan los regresores de

cada una de las acciones analizadas, que se utilizarán en secciones posteriores.

115 SPSS for Windows Base System, User Guide Release 6.0, U.S.A, p. 325, 1993.


119

Tabla 25: Coeficientes de regresión de los modelos obtenidos.

Cte X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17

Televisa 0.009 1.100 1.531

Telmex L 0.084 0.176 0.176 0.820

Apasco -0.034 1.051

Modelo 0.445 0.636 0.135 Cemex 0.052 1.291 -0.469 0.043 Alfa 0.424 0.831 Benavides -0.507 0.264 -0.449 2.357 -1.091 Herdez 0.145 0.607 -0.026 -0.553 Gissa 0.490 0.619 0.006 Kof 0.447 0.652 0.006 Peñoles 0.244 0.393 0.004 0.631 Maseca -0.111 0.655 TvAztec -1.121 1.080 Gruma -0.227 0.463 -1.489 Ciel 0.893 1.089 Gmex 0.126 0.631 0.505 0.304 Autrey -0.052 0.690 Femsa 0.449 1.341 Ara 0.540 0.792 -1.360

CemexA 0.347 1.187 -0.356 -0.569 CemexB 0.052 1.291 -0.469 0.043 Geo 0.247 1.037 Ica -0.255 1.099 0.008 -0.507 Hogar -0.398 0.709 -2.801 Tribasa -1.102 0.812 -0.006 -0.189 Carso -0.169 1.255 DescA -0.960 0.235 -0.015 3.691 -0.968 -1.740 DescB 0.377 0.944 0.011 -0.763 DescC 0.354 1.259 Sluis 0.058 0.618 0.003 Telmex A 0.118 0.153 0.168 0.778 Comerci 0.133 0.852 -0.15 Hilasal 0.064 0.820 Elektra 0.287 1.043 -0.248

Cifra 0.006 0.887


120

V.1.10 Modelos obtenidos. Una vez efectuado el análisis de regresión para cada una de las acciones y habiendo

verificado que los supuestos en los que se basa el análisis de regresión no han sido en lo

posible violados, se procede a establecer los modelos obtenidos para cada una de las

acciones.

Acción Modelo

Televisa 0.009+1.1X2+1.531X8

Telmex L 0.084+0.176X2+0.176X3+0.82X15

Apasco -0.0341.051X2

Modelo 0.445+0.636X2+0.135X16

Cemex 0.05+21.291X2-0.469X3+0.043X11

Alfa 0.424+0.831X2

Benavides -0.507+0.264X2-0.449X9+2.357X10-1.091X12

Herdez 0.145+0.607X2-0.026X4-0.553X12

Gissa 0.490+0.619X2+0.006X6

Kof 0.447+0.652X2+0.006X6

Peñoles 0.244+0.393X2+0.004X7+0.631X12

Maseca -0.111+0.655X2

TvAztec -1.121+1.08X2

Gruma -0.227+0.463X2-1.489X8

Ciel 0.893+1.089X2

Gmex 0.126+0.631X2+0.505X12+0.304X13

Autrey -0.052+0.69X2

Femsa 0.449+1.341X2

Ara 0.540+0.792X2-1.36X12

CemexA 0.347+1.187X2-0.356X3-0.569X12

CemexB 0.052+1.291X2-0.469X3+0.043X11

Geo 0.247+ 1.037X2

Ica -0.255+1.099X2+0.008X6-0.507X12

Hogar -0.3980.709X20000-2.801X12

Tribasa -1.102+0.812X2-0.006X7-0.189X16

Carso -0.169+1.255X2


121

Continuación Acción Modelo

DescA -0.960+0.235X2-0.015X4+3.691X10-0.968X12-1.74X14

DescB 0.377+0.944X2+0.011X6-0.763X12

DescC 0.354+1.259X2

Sluis 0.058+0.618X2+0.003X15

Telmex A 0.118+0.153X2+0.168X3+0.778X15

Comerci 0.133+0.852X2-0.154X16

Hilasal 0.064+0.0820X2

Elektra 0.287+1.043X2-0.248X16

Cifra 0.006+0.887X2

V.1.11 Pronóstico. Los modelos obtenidos serán utilizados para pronosticar el comportamiento del

rendimiento de las acciones que componen la cartera mediante el uso de modelos

multivariados como el APT y multifactor.

En cada uno de los casos se utilizarán los valores reales de las variables independientes

incluidas en el análisis a tiempo real, buscando con esto una mayor precisión en el

pronóstico del rendimiento de las acciones.

V.1.12 Análisis de los resultados obtenidos. La hipótesis “las variables macroeconómicas influencian el rendimiento de una acción”

planteada al inicio de esta sección ha sido aceptada con suficiente evidencia estadística y

de acuerdo a los resultados obtenidos podemos afirmar que en promedio el rendimiento

de las acciones incluidas en este trabajo son explicados en un 59 por ciento por las

fluctuaciones de las variables macroeconómicas. Por otro lado, las variables más

influyentes son:

• Tipo de cambio • Base Monetaria • Cartera del mercado accionario • Producto Interno Bruto • Utilidad de las empresas y • Cetes a 28 días.

V.2 Modelo Multifactor. Los modelos de factores o “modelos de índices” asumen que el rendimiento de un

activo es sensible a los movimientos de varios factores o índices. En un proceso de

generación de rendimientos el modelo intenta capturar las principales fuerzas económicas

que afectan en forma significativa el precio de las acciones. Dada la creencia de que uno

o más factores influencian el rendimiento de las acciones y probar empíricamente la

hipótesis:

Ho: El modelo Multifactor es aplicable en el Mercado Mexicano de Valores.

Ha: El modelo Multifactor no es aplicable en el Mercado Mexicano de Valores

Para poder alcanzar esta meta se utilizaron los resultados obtenidos en el análisis de regresión, los cuales muestran las sensibilidades de los rendimientos de las acciones a

las variaciones de las principales variables macroeconómicas.

Acción Sensibilidades Televisa 0.009+1.1F2+1.531F8 Telmex L 0.084+0.176F2+0.176F3+0.82F15 Apasco -0.0341.051F2 Modelo 0.445+0.636F2+0.135F16 Cemex 0.05+21.291F2-0.469F3+0.043F11 Alfa 0.424+0.831F2 Benavides -0.507+0.264F2-0.449F9+2.357F10-1.091F12 Herdez 0.145+0.607F2-0.026F4-0.553F12 Gissa 0.490+0.619F2+0.006F6 Kof 0.447+0.652F2+0.006F6 Peñoles 0.244+0.393F2+0.004F7+0.631F12 Maseca -0.111+0.655F2 TvAztec -1.121+1.08F2 Gruma -0.227+0.463F2-1.489F8 Ciel 0.893+1.089F2 Gmex 0.126+0.631F2+0.505F12+0.304F13 Autrey -0.052+0.69F2 Femsa 0.449+1.341F2 Ara 0.540+0.792F2-1.36F12 Cemex A 0.347+1.187F2-0.356F3-0.569F12 Cemex B 0.052+1.291F2-0.469F3+0.043F11 Geo 0.247+ 1.037F2 Ica -0.255+1.099F2+0.008F6-0.507F12 Hogar -0.3980.709F20000-2.801F12 Tribasa -1.102+ 0.812F2- 0.006F7- 0.189F16

Modelo Multifactor

123

Acción Sensibilidades Carso -0.169+1.255F2 Desc A -0.960+0.235F2-0.015F4+3.691F10-0.968F12-1.74F14 Desc B 0.377+0.944F2+0.011F6-0.763F12 Desc C 0.354+1.259F2 Sluis 0.058+0.618F2+0.003F15 Telmex A 0.118+0.153F2+0.168F3+0.778F15 Comerci 0.133+0.852F2-0.154F16 Hilasal 0.064+0.0820F2 Elektra 0.287+1.043F2-0.248F16 Cifra 0.006+0.887F2 Donde:

F2 = X2 = IPyC F3 = X3 = Base monetaria F4 = X4 = Balanza comercial F5 = X5 = Balanza de pagos: Inversión extranjera directa F6 = X6 = Balanza de pagos: Cartera mercado accionario F7 = X7 = Balanza de pagos: Cartera mercado del dinero F8 = X8 = Pib a precios de mercado (1993=100) F9 = X9 = Índice de volumen físico de la formación bruta de capital (1993=100) F10 = X10 = Índice de precios al consumidor: México F11 = X11 = Gastos del sector público total F12 = X12 = Tipo de cambio F13 = X13 = Precio crudo mezcla exportación F14 = X14 = Tasa activa de los Estados Unidos (PRIME RATE) F15 = X15 = Utilidad Neta F16 = X16 = CETES 28 días F17 = X17 = Dow Jones

V.2.1 Rendimiento esperado. Con estas estimaciones se determinó el rendimiento esperado para cada uno de los

activos. Para Televisa se tiene:

Televisa: =ir 0.009+1.1F2+1.531F8

Para efectuar este cálculo se determinan primero los valores esperados para los factores,

que para este caso son: el Índice de Precios y Cotizaciones y el Producto Interno Bruto.

La tabla 26 muestra los valores para los factores que fuero utilizados en la determinación

de los rendimientos esperados.


124

Tabla 26: Variación de los índices macroeconómicos de octubre de 1998 a diciembre de 1999.

Al sustituir los valores esperados para los factores en la ecuación anterior se tiene

que: 8.7)459.0)(531.1()78.7)(1.1(009.0 −=+−+=ir Este mismo procedimiento se utiliza para

determinar el rendimiento esperado para todas las demás acciones y se presentan en la

tabla 27:

Modelo Multifactor

125

Tabla 27: Rendimiento esperado por acción (RE).


126

V.2.2 Determinación de la composición del portafolio T. Una vez establecido lo anterior se procede a determinar la frontera eficiente y el portafolio óptimo T utilizando el método de Gruber. Los

resultados obtenidos se muestran la tabla siguiente.

Tabla 28: Composición del portafolio T de octubre de 1998 a diciembre de 1999 (Porcentaje).

Modelo Multifactor

127

V.2.2.1 Validación del modelo. Utilizando los datos presentados en las tablas 27 y 28 se determinaron los rendimientos

esperados de la cartera de inversión que se enlistan en la tabla 29. En esta se observa

que para algunas semanas del periodo analizado (por ejemplo: 9 y 15), el modelo

recomienda no comprar ninguna de las acciones incluidas en el estudio, es decir, en

estos casos se debe comprar el activo libre de riesgo, ya que de no hacerlo, el

inversionista perdería.

Asimismo, en la tabla 29, se comparan el rendimiento esperado contra el real. El objetivo

de este punto es el establecer el grado o bondad de ajuste de los datos

pronosticados116. Analizando estos resultados se observan tres situaciones interesantes.

1. El desempeño de este modelo es muy superior a su equivalente bivariado

(Markowitz) y al CAPM, ya que la desviación observada -383- es muy inferior .al

obtenido mediante el uso de esos modelos.

2. El modelo es capaz de pronosticar rendimientos de cartera positivos o negativos y

de seguir el comportamiento o tendencia real de los rendimientos del portafolio

(ver figura 11). Esta afirmación se respalda mediante el cálculo de la covarianza

entre ambos rendimientos, cuyo análisis arroja como resultado 9.6, lo que indica

que los rendimientos crecen y/o decrecen a la vez117. Por otro lado, utilizando el

análisis de regresión entre las mismas variables, muestra que el modelo Multifactor soporta el 78 por ciento de los datos reales en el Mercado

Mexicano de Valores.

3. Los resultados presentados en el punto anterior más la bondad de ajuste del

modelo dada por su baja desviación lleva a aceptar la hipótesis nula planteada al

inicio de esta sección, por lo que se puede afirmar con suficiente evidencia

estadística que el Modelo Multifactor es aplicable en el Mercado Mexicano de Valores en el periodo de tiempo analizado.

116 La forma de calcular la desviación es la misma que se utilizó en la sección del portafolio de Markowitz. 117 Si Sxy>0 las dos variables crecen o decrecen a la vez (nube de puntos creciente). Si Sxy<0 cuando una variable crece la otra tiende a decrecer (nube de puntos decreciente).


128

Tabla 29: Rendimiento semanal esperado contra real, octubre 1998 – diciembre 1999. Modelo Multifactor.

Modelo Multifactor

129

Figura 11: Rendimiento real y pronosticado, mayo 1998 – diciembre 1999. Multifactor.

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Periodo

Ren

dim

ient

o

Pronóstico Real

V.3 Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje. El Modelo de Fijación de Precios de Capital (CAPM), es un modelo de equilibrio que describe

porqué diferentes activos tienen distintos rendimientos esperados. En particular, este modelo de

Economía Positiva de precios de activos, afirma que éstos presentan diferentes rendimientos

debido a que cuentan con betas diferentes. Sin embargo, existe un modelo alternativo de

fijación de precios que fue desarrollado por Stephen Ross. Este modelo es conocido Teoría de

Fijación de Precios de Arbitraje (APT), y de alguna manera es menos complicado que el

CAPM.

El CAPM requiere un gran número de supuestos, en contraste, el APT requiere pocos. El

primero de los supuestos del APT es que cada inversionista cuando recibe la oportunidad de

incrementar el rendimiento de su portafolio sin incrementar su riesgo la tomará. El mecanismo

para lograr esto involucra el uso de portafolios de arbitraje.

V.3.1 Principio de arbitraje. El arbitraje se define de manera común como la ganancia (menos riesgosa) que se obtiene

tomando ventaja del precio diferencial del mismo grupo de activos. Como una técnica de

inversión ampliamente utilizada el arbitraje involucra la venta de activos a un precio

relativamente superior que se compran al mismo tiempo a un precio relativamente inferior.

La actividad de arbitraje es un elemento crítico de un mercado de activos eficiente y

moderno. Debido a que las utilidades obtenidas por el arbitraje son menos riesgosas, los

inversionistas se sienten atraídos a tomar esta ventaja una vez que son descubiertas estas

oportunidades. Sin embargo, estas son relativamente pocas y por sus acciones de compra y

venta eliminan estas oportunidades de obtención de utilidades.

La naturaleza del arbitraje es clara cuando se presentan diferentes precios para una acción. Sin

embargo, las oportunidades de arbitraje se pueden presentar tanto a activos como a

carteras. Estas oportunidades pueden ser establecidas de diferentes maneras. Una forma de

hacer esto es el descubrir cual es el factor o factores que afectan el precio de las acciones118.

118 Sharpe, W.F., Alexander, Gordon J.J., Bailey, V., “Investments”, 5th Ed., New Jersey, EU: Prentice Hall, p. 324,

1995,

Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje

131

El modelo de un factor implica que los activos o portafolios con sensibilidad al mismo factor se

comportarán en la misma forma excepto por el riesgo no factorial. Por lo tanto, activos o

portafolios con sensibilidad equivalente al mismo factor deberían ofrecer el mismo rendimiento

esperado. Si no es así entonces existe oportunidad de arbitraje. Los inversionistas tomarán

ventaja de esto, causando su eliminación. Esta es la lógica esencial del APT.

V.3.2 Portafolio de arbitraje. De acuerdo con el APT, un inversionista explorará la posibilidad de formar un portafolio de

arbitraje para incrementar substancialmente el rendimiento esperado de su portafolio sin

incrementar el riesgo. Antes que nada, un portafolio de arbitraje no requiere ningún fondo o

inversión adicional por parte del inversionista. Si X1 denota el cambio en la posesión del activo i

del inversionista (así como el peso del activo en el portafolio), este requerimiento puede ser

descrito de la forma siguiente:

X1 + X2 + X3 = 0

Segundo, un portafolio de arbitraje no presenta sensibilidad a ningún factor. Esto debido a que la sensibilidad de un portafolio a un factor es el promedio ponderado de las sensibilidades de

los activos en el portafolio a un factor, este requerimiento puede ser escrito de la forma

siguiente:

b1X1 + b2X2 + b3X3 = 0

Estrictamente hablando, un portafolio de arbitraje debería tener un riesgo de no factor de cero.

Sin embargo, el APT asume que tal riesgo es lo suficientemente pequeño para ser ignorado.

Bajo estas condiciones un portafolio de arbitraje potencial puede ser identificado. Los

candidatos son simplemente aquellos portafolios que cumplen las ecuaciones presentadas. Se

tienen 3 incógnitas (X1, X2, y X3) y 2 ecuaciones, lo que significa que hay un número infinito de

combinaciones de valores que satisfacen estas dos ecuaciones. Para encontrar una

combinación se asigna arbitrariamente el valor de 0.1 a X1 dando como resultado la disminución

de incógnitas a 2, con lo cual el sistema de ecuaciones puede ser resuelto.


132

Con el fin de determinar si el candidato analizado es un portafolio de arbitraje, se debe

determinar su rendimiento esperado. Si este es positivo, entonces será un portafolio de

arbitraje. Matemáticamente, este tercer requerimiento se representa por:

0332211 >++ rXrXrX

En resumen, el portafolio de arbitraje es atractivo para cualquier inversionista que desee un

rendimiento mayor y que no esté relacionado con un riesgo de no factor. Esto no requiere una

inversión adicional y presenta un rendimiento esperado positivo.

V.3.3 Efecto precio Si cada persona comprara y vendiera una acción, el precio del mercado y el rendimiento

esperado de las acciones se verían afectados. Específicamente el precio de la primera acción

se incrementaría debido al aumento en su demanda provocando que su rendimiento esperado

caiga. Un efecto contrario afectaría a la segunda acción ya que su venta incrementa la oferta,

disminuyendo su precio e incrementado su rendimiento esperado.

Esto se puede ver más claramente examinando la ecuación para calcular el rendimiento

esperado de una acción:

10

1 −=PPr

Donde P0 es el precio actual de la acción y 1P es el precio esperado para la acción al final del

periodo. Al comprar una acción se incrementa su precio disminuyendo su rendimiento

esperado. Contrariamente, al vender una acción se disminuye su precio con lo que su

rendimiento esperado se incrementa.

Esta actividad de compra – venta continuará hasta que todas las posibilidades de arbitraje sean

reducidas significativamente o eliminadas. En este momento existirá una relación lineal entre el

rendimiento esperado y las sensibilidades de la forma siguiente:


133

ibr 101 λλ +=

Donde λ0 y λ1 son constantes. Esta es la ecuación precio–activo del APT cuando el rendimiento

se ve afectado únicamente por un factor119. Esto significa que en el equilibrio habrá una

relación lineal entre el precio esperado y sus sensibilidades.

V.3.4 La ilustración gráfica. La figura ilustra la ecuación precio–activo. Cada activo que tiene un factor sensitivo y un

rendimiento esperado tal que se encuentra fuera de la línea estará depreciado de acuerdo al

APT y presentará una oportunidad para formar un portafolio de arbitraje para el inversionista. El

activo B es un ejemplo. Si un inversionista compra el activo B y vende el activo S en la misma

cantidad de pesos, entonces el inversionista habrá formado un portafolio de arbitraje120.

Primero, vende una cantidad del activo S para pagar la posesión de B, el inversionista no habrá

requerido de nuevos fondos. Segundo, como tanto S como B presentan la misma sensibilidad al

factor, la compra de B y la venta de S constituyen un portafolio sin sensibilidad al

factor. Finalmente, el portafolio de arbitraje tendrá un rendimiento esperado positivo debido a

que el rendimiento esperado del activo B es mayor que el rendimiento esperado del activo S.

Como resultado de la compra del activo B por parte del inversionista su precio se incrementará

provocando que rendimiento caiga hasta situarse sobre la línea precio – Activo del APT.

Fuente: Investments, Sharpe (1995, p. 327).

119 Técnicamente, esta ecuación es sólo una aproximación y puede resultar equivocada para un número pequeño de activos. 120 Si b se encontrara por debajo de la línea de APT, el inversionista tendría que hacer lo opuesto a lo que se describe aquí, es decir, debería comprar S y vendes b.

APT Línea

precio- activo

0λ Sr

Br

ir

S

B

bi

BB=bS


134

V.3.5 Determinación del portafolio de arbitraje. A diferencia de la presentación teórica llevada a cabo renglones atrás, el cual únicamente

contempla una variable independiente, para el presente trabajo es multivariado, es decir, existe

más de un factor que afecta a los rendimientos individuales de las acciones, por lo que, la forma

de tratarlo resulta un poco más complicada. Para efectos de continuar con la nomenclatura de

la parte teórica se establece la siguiente correspondencia121:

b1 = X2 = IPyC

b2 = X3 = Base monetaria

b3 = X4 = Balanza comercial

b4 = X5 = Balanza de pagos: Inversión extranjera directa

b5 = X6 =Balanza de pagos: Cartera mercado accionario

b6 = X7 = Balanza de pagos: Cartera mercado del dinero

b7 = X8 = Pib a precios de mercado (1993=100)

b8 = X9 = Índice de volumen físico de la formación bruta de capital (1993=100)

b9 = X10 = Índice de precios al consumidor: México

b10 = X11 = Gastos del sector público total

b11 = X12 = Tipo de cambio

b12 = X13 = Precio crudo mezcla exportación

b13 = X14 = Tasa activa de los Estados Unidos (PRIME RATE)

b14 = X15 = Utilidad neta

b15 = X16 = CETES 28 días

b16 = X17 = Dow Jones

V.3.6 Rendimiento esperado. La forma de determinar el rendimiento esperado de una acción es la misma que se utiliza en el

modelo multifactor, por lo que en esta sección únicamente se trasladaron los resultados

obtenidos en aquella sección a ésta. La tabla 30 presenta los rendimientos esperados

coeficientes obtenidos en el análisis de regresión (sensibilidad).

121 Las X’s utilizadas aquí provienen de los resultados obtenidos en el análisis de regresión.


135

Tabla 30: Rendimientos esperados y sensibilidades, semana 1, octubre 1998.


136

A continuación se explora la posibilidad de formar un portafolio de arbitraje que contenga

ponderaciones (porcentaje de acciones que serán adquiridos por el inversionista) que

satisfagan las siguientes ecuaciones:

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X

24+X25+X26+X27+X28+X29+X30+X31+X32+X33+X34+X35 = 0

1) 1.1X1 + 0.176X2 + 1.051X3 + 0.636X4 +1.291X5 + 0.831X6 +0.264 X7 +0.607X8 +0.619X9+ 0.652X10+ 0.393X11+

0.655X12+ 1.080X13+ 0.463X14+ 1.089X15 + 0.631X16+ 0.690X17+ 1.341X18+ 0.792X19+ 1.187X20+ 1.291X21+

1.037X22+ 1.099X23 + 0.709X24+ 0.812X25+ 1.255X26+ 0.235X27+ 0.944X28+ 1.259X29+ 0.618X30+ 0.153X31+

0.852X32+ 0.820X33+ 1.043X34+ 0.887X35 = 0

2) 0.176X2 – 0.469X5 – 0.356X20-0.469X21 + 0.168X31= 0

3) -0.026X8 - 0.015X27 = 0

4) 0.006X9 + 0.006X10 +0.008X23 +0.011X28= 0

5) 0.004X11 – 0.006X25 = 0

6) 1.531X1 -1.489X14 = 0

7) -0.449X7 = 0

8) 2.357X7 + 3.691X27 = 0

9) 0.043X5 + 0.043X21 = 0

10) -1.091X7 - 0.553X8 + 0.631X11 + 0.505X16 -1.36X19 -0.569X20 -0.507X23 -2.801X24 -0.968X27 -0.763X28=0

11) 0.304X16 = 0

12) -1.74X27 = 0

13) 0.82X2 -0.003X30 +0.778X31= 0

14) 0.135X4 – 0.189X25 – 0.154X32 = 0

15) -0.248X34 = 0

Las ecuaciones anteriores indican que el portafolio de arbitraje no debe involucrar gastos

adicionales por parte del inversionista y sensibilidad cero a cada factor. Una solución puede ser

encontrada si asignamos a X1 el valor de -0.1122 y se resuelve el sistema de ecuaciones

simultáneas presentado en la tabla 31.

122 Esta selección es meramente arbitraria.


137

Tabla 31: Sistema de ecuaciones simultáneas.


138

La solución que satisface este sistema de ecuaciones involucra las siguientes ponderaciones:

X2=0.66, X3=-0.26, X4=0.73, X5=0.00, X6=-0.08, X7=0.00, X8=0.00, X9=0.18, X10 =0.16,

X11 =-0.70, X12 =0.07, X13 =-0.28, X14 =0.10, X15 =-0.29, X16 =0.00, X17 =0.04, X18 =1.08,

X19 =0.00, X20 =0.00, X21 =0.00, X22 =-0.25, X23 =-0.19, X24 = -0.11, X25 =-0.46,

X26 =-0.43, X27 = 0.00, X28 =-0.07X29 =-0.43, X30 =0.10, X31 =-0.70, X32 =1.20, X33 =-0.07,

X34 =0.00 y X35 =0.12

Estas ponderaciones representan un portafolio potencial de arbitraje123. Calculando el

rendimiento esperado del portafolio se tiene que:

-0.1*(-7.85)+ 0.66*(-8.21)- 0.26*(-4.63)+ 0.73*(-10.46)+ 0.00*(-3.89)- 0.08*(-6.04)+ 0.00*(-1.55)+ 0.00*(-4.55)+ 0.18*(-4.45)+ 0.16*(-4.75)- 0.70*(-2.96)+ 0.07*(-5.21)- 0.28*(-9.52)+ 0.10*(-4.51)- 0.29*(-7.58)+ 0.00*(-5.20)+ 0.04*(-5.42)+ 1.08*(-9.99)+ 0.00*(-5.41)+ 0.00*(-9.25)+ 0.00*(-10.46)- 0.25*(-7.82)- 0.19*(-8.87)- 0.11*(-5.48)- 0.46*(-7.16)- 0.43*(-9.93)+ 0.00*(0.54)- 0.07*(-7.06)- 0.43*(-9.44)+ 0.10*(-4.76)- 0.70*(-3.54)+ 1.20*(-6.35)- 0.07*(-6.32)+ 0.00(-7.83)+ 0.12*(-6.89) = 2.9%

Al ser el resultado obtenido positivo indica que se ha identificado un portafolio de

arbitraje. Este portafolio implica la venta de las acciones de Televisa (X1), Apasco (X3), Alfa (X6), Peñoles (X11), TVAzteca (X13), Ciel (X15), Geo (X22), ICA (X23), Hogar (X24), Tribasa (X25), Carso (X26), Desc B (X28), Desc C (X29), Telmex A (X31), e Hilasal (X33), para con estos fondos adquirir acciones de los demás componentes de la muestra. Consecuentemente, el

proceso de compra – venta empuja los precios de las acciones compradas hacia arriba y las

vendidas hacia abajo. Los inversionistas continuarán creando portafolios de arbitraje hasta que

el equilibrio se alcanza. El equilibrio se obtendrá cuando cualquier portafolio que satisfaga las

condiciones dadas el sistema de ecuaciones simultáneas tenga un rendimiento esperado igual

a cero. Esto ocurre cuando se cumple la siguiente relación lineal entre los rendimientos

esperados y la sensibilidad.

inniii bbbr λλλλ ++++= .....22110

Para obtener esta relación se utiliza el método de Gruber124 el cual consiste en resolver el

siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

-7.847 = 0.009+1.100λ1+1.531λ7

123 Cabe recordar aquí que una condición para que este portafolio sea considerado de arbitraje debe presentar un rendimiento esperado positivo. 124 Elton E.J. and Gruber, M.J., “Modern Portfolio Theory and Investment Analysis”, 5TH, John Wiley & Sons, inc., p.

370, 1995.


139

-3.892 = 0.084+0.176λ1+0.0.176λ2+0.820λ14

-8.210 = -0.034 +1.051λ1

-4.63 = 0.445+0.636λ1+0.135λ15

-10.462 = 0.052+1.291λ1-0.469λ2+0.043λ10

-6.040 = 0.424+0.831λ1

-1.548 = -0.507+0.264λ1-0.449λ8+2.357λ9-1.091λ11

-4.548 = 0.145+0.607λ1-0.026λ3-0.553λ11

-4.45 = 0.490+0.619λ1

-4.748 = 0.447+0.652λ1+0.006λ5

-2.963 = 0.244 + 0.393λ1+ 0.004λ6+ 0.631λ11

-5.205 = -0.111 + 0.655λ1

-9.521 = -1.121 + 1.080λ1

-4.509 = -0.227 + 0.463λ1 – 1.489λ7 -0.927λ15

-7.583 = 0.893 + 1.089λ1 – 0.450λ14

-5.197 = 0.126 + 0.631λ1 + 0.505λ11+ 0.304λ12

-5.417 = -0.052 + 0.690λ1

-9.986 = 0.449 + 1.341λ1

-5.409 = 0.540 + 0.792 λ1- 1.36 λ11

-9.254 = 0.347 + 1.187λ1 - 0.356λ2 – 0.569λ11

-10.462 = 0.052 + 1.291λ1 – 0.469λ2 + 0.043λ10

-7.821 = 0.247 + 1.037λ1

-8.837 = -0.255 + 1.099λ1 + 0.008λ5 – 0.507λ11

-5.484 = -0.398 + 0.709λ1 – 2.801λ11

-7.156 = -1.102 + 0.812λ1 – 0.006λ6 – 0.189λ15

-9.930 = -0.169 + 1.255λ1 -0.074λ3 – 0.796λ11 – 0.763λ15

0.544 = -0.960 + 235λ1 -0.015λ3 + 3.691λ9 – 0.968λ11 – 1.740λ13

-7.062 = 0.377 + 0.944λ1 + 0.011λ5 – 0.763λ11

-9.438 = 0.354 + 1.259λ1 + 0.101λ11 -0.283λ14 – 0.694λ15

-4.768 = 0.058 + 0.618λ1 + 0.003λ14

-3.542 = 0.118 + 0.153λ1 + 0.168λ2 +0.778λ14

-6.349 = 0.133 + 0.852λ1 – 154λ15

-6.316 = 0.064 + 0.820λ1

-5.264 = 0.287 + 1.043λ1 – 0.248λ16

-6.895 = 0.006 +0.887λ1


140

Para este caso, una situación de equilibrio se da al resolver el sistema de ecuaciones y que da

como resultado el siguiente modelo de fijación de precios de arbitraje:

ir = 1.0 -7.780b1 + 1.271b2 + 2.287b3 - 19.319b5 – 13.303b6 + 0.459b7 + 2.789b8 + 0.89b9+ 2.981b10

- 0.154b11 -1.102b12 + 0.038b13 - 3.448b14 - 0.958b15 – 10.337b16

V.3.7 Validación del modelo Para validar el funcionamiento del modelo se evaluó el nivel de reproducción de los

rendimientos. Para esto, se utilizó el método de Gruber. En esto, se utilizan los coeficientes

obtenidos en el modelo de regresión y los obtenidos en el APT. La tabla 32 presenta los

resultados. El procedimiento de obtención es sencillo y cada renglón sigue los siguientes pasos,

multiplicar los coeficientes de APT por su valor correspondiente b y finalmente efectuar su

suma. Como ejemplo utilizaremos el cálculo del rendimiento de Televisa:

Re = 1.00(0.01)-7.780(1.1)+0.46(1.53) = -7.85

Los resultados presentados en la tabla 32, indican que el modelo puede reproducir los

rendimientos de las acciones analizadas. Esto indica, que por lo menos en estos casos funciona

bien y que por lo tanto, el método seguido para su obtención es válido

V.3.8 Pronóstico. Utilizando el modelo obtenido, se efectúa el pronóstico para las carteras de proyectos y se

llevará al cabo en dos etapas: La primera de ellas consiste en determinar el rendimiento

esperado de las acciones en forma individual, calculando la desviación de los datos

pronosticados contra los reales. En la segunda fase se calcula el rendimiento esperado de

equilibrio mediante el uso de la prima de riesgo esperada.


141

Tabla 32: Validación del modelo obtenido.

Re a b1 b2 b3 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14 b15 b16

APT 1.00 -7.78 1.27 2.29 -19.32 -13.30 0.46 2.79 0.89 2.98 -0.15 -1.10 0.04 -3.45 -0.96 -10.34 Televisa -7.85 0.01 1.10 1.53 Apasco -8.21 -0.03 1.05 Modelo -4.63 0.45 0.64 0.13 Cemex -10.46 0.05 1.29 -0.47 0.04 Telmex -3.89 0.08 0.18 0.18 0.82 Alfa -6.04 0.42 0.83 Benavides -1.55 -0.51 0.26 -0.45 2.36 -1.09 Herdez -4.55 0.15 0.61 -0.03 -0.55 Gissa -4.45 0.49 0.62 0.01 Kof -4.75 0.45 0.65 0.01 Peñoles -2.96 0.24 0.39 0.00 0.63 Maseca -5.21 -0.11 0.65 TvAztec -9.52 -1.12 1.08 Gruma -4.51 -0.23 0.46 -1.49 Ciel -7.58 0.89 1.09 Gmex -5.20 0.13 0.63 0.50 0.30 Autrey -5.42 -0.05 0.69 Femsa -9.99 0.45 1.34 Ara -5.41 0.54 0.79 -1.36 CemexA -9.25 0.35 1.19 -0.36 -0.57 CemexB -10.46 0.05 1.29 -0.47 0.04 Geo -7.82 0.25 1.04 Ica -8.87 -0.25 1.10 0.01 -0.51 Hogar -5.48 -0.40 0.71 -2.80 Tribasa -7.16 -1.10 0.81 -0.01 -0.19 Carso -9.93 -0.17 1.25 DescA 0.54 -0.96 0.24 -0.02 3.69 -0.97 -1.74 DescB -7.06 0.38 0.94 0.01 -0.76 DescC -9.44 0.35 1.26 Sluis -4.76 0.06 0.62 0.00 Telmex A -3.54 0.12 0.15 0.17 0.78 Comerci -6.35 0.13 0.85 -0.15 Hilasal -6.32 0.06 0.82 Elektra -7.83 0.29 1.04 -0.25 Cifra -6.89 0.01 0.89


142

V.3.8.1 Rendimiento individual. La Teoría de Fijación de Precios de Arbitraje es considerada una extensión del CAPM, es

decir, el rendimiento de una acción está relacionado con la beta y las sensibilidades a

variables micro y/o macroeconómicas de la forma siguiente:

iMfMfi rrrr β)( −+=−−

221 )()( ifiIffi brbrrr −+−+=−

δδ , donde:

( ) ( )22

22

1 ,,i

M

MiI

M

MiM brFCOVbrFCOV

σσβ += Substituyendo en la ecuación básica del

CAPM se tiene que: ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+=

−−

222

21 ,,)( i

M

MiI

M

MfMfi brFCOVbrFCOVrrrr

σσ

( )2

11

,)(

M

MfM

rFCOVrr

σλ −=

−

( )2

22

,)(

M

MfM

rFCOVrr

σλ −=

−

Esto indica que λ depende de la prima de riesgo del mercado y de la covarianza del factor

con el portafolio del mercado el cual puede ser positivo o negativo dependiendo de la

correlación entre el factor y el portafolio del mercado. Como ejemplo del cálculo, tomemos

el rendimiento de Televisa para la segunda semana de octubre de 1998. Los datos

necesarios son: RM = 3.87%, Rf = 0.41%, ( )

2

,

M

MrIPyCCOVσ

= 1 y ( )

2

,

M

MrCMDCOVσ

= -0.535

donde CMD es la cartera del mercado del dinero y las sensibilidades con respecto al IPyC

y CMD son 1.1 y 1.53 respectivamente.

[ ] 39.1)53.1)(535.0()1.1)(1()41.087.3( =−+−=−

ir

Los resultados obtenidos para cada una de las acciones en periodo analizado se

presentan en la tabla siguiente y los rendimientos reales (necesarios para el cálculo de la

desviación) se presentan en la tabla 11125:

.

125 Esta tabla se presenta en la sección de modelos bivariados.


143


144

Cabe hacer notar que el APT obtenido para las acciones individuales si es capaz de pronosticar rendimientos negativos (Televisa en noviembre de 1998)126. Lo anterior indica

que las variables macroeconómicas incluidas en el estudio realmente influyen sobre el precio de la acción y por esto, la tendencia de los rendimientos pronosticados es similar a

la mostrada por los reales. Sin embargo, la cercanía entre estos, no es lo suficientemente

grande en algunos casos.

En la tabla 33 se puede observar que la magnitud de la desviación varía entre las acciones.

Es importante resaltar, que la menor de estas se presenta en el caso de Herdez seguida por

Desc A, indicando con esto que el modelo obtenido para estas acciones es superior en

funcionamiento que el obtenido para el restante. Sin embargo, esta información no es

suficiente, por lo que a continuación se analizará la cartera en forma conjunta.

Tabla 33: Desviaciones obtenidas al comparar el rendimiento esperado contra el real. 1998 y diciembre de 1999.

Dev. Dev. Dev. Televisa 3 416 TvAztec 4 277 Tribasa 5 710Telmex 698 Gruma 1 930 Carso 1 023Apasco 1 100 Ciel 1 376 DescA 663Modelo 982 Gmex 2 703 DescB 1 758Cemex 1 668 Autrey 4 807 DescC 2 282trAlfa 2 419 Femsa 1 064 Sluis 3 978Benavides 3 214 Ara 2 071 TelmexA 841Herdez 599 CemexA 2 047 Comerci 1 360Gissa 1 938 CemexB 2 123 Hilasal 1 920Kof 1 900 Geo 1 047 Elektra 4 184Peñoles 1 690 Ica 4 794 Cifra 988Maseca 2 341 Hogar 2 521 Total 77 431

126 En este caso únicamente se ejemplifica para el caso de Televisa. Sin embrago una exploración mayor lo llevará a notar más casos de este tipo.


145

V.3.8.2 Rendimiento de la cartera. Para poder hacer a los modelos obtenidos comparables, se evalúa mediante el uso del APT,

las carteras obtenidas utilizando el algoritmo de Gruber, para el modelo de Markowitz, el

CAPM y el modelo Multifactor. Los resultados obtenidos se presentan en la tabla siguiente:

La desviación total de las carteras pronosticadas utilizando el APT fue 721 para CAPM127 y

617 para el Multifactor. En el primero de los casos, la desviación resultante fue inferior a la

obtenida utilizando los modelos con los que se determinó su composición originalmente. En

la figura 12, podemos observar el desempeño del APT al evaluar esta cartera y la baja

desviación de los datos reales.

127 1405 y 758 para Markowitz y CAPM, respectivamente.


146

Figura 12: APT. Evaluación de la cartera de Markowitz, rendimiento real Vs. pronosticado.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Periodo

Ren

dim

ient

o

Rreal Rpronosticado

La covarianza entre los valores pronosticados y los reales de 61.7, y su correlación de

0.7425, resaltan el desempeño del APT, la primera cifra indica el grado en que ambos

rendimientos se mueven en el mismo sentido y la segunda indica que bajo estas

circunstancias el APT logra explicar el 74.25 por ciento del comportamiento del rendimiento

real de esta cartera de inversión.

Los resultados obtenidos al pronosticar el rendimiento de la cartera obtenida con el modelo Multifactor no son tan satisfactorios como los discutidos renglones arriba, el modelo Multifactor obtuvo una menor desviación -382-, lo que indica el mejor

desempeño de este modelo. Sin embargo, el desempeño del APT, es bastante bueno, ya

que logra seguir la tendencia de los datos reales, aunque en la mayoría de los casos

subvalúa los rendimientos de la cartera (ver figura 13).

La covarianza y el coeficiente de correlación son 6.87 y .693, respectivamente para el

periodo analizado. Estos resultados, muestran el alto nivel explicativo por parte del APT, ya

que en este caso soporta el 69 por ciento de los datos reales.


147

Se debe destacar la consistencia del APT, ya que al evaluar ambas carteras logra soportar

por lo menos el 70 por ciento de los rendimientos reales, con una desviación por debajo de

los 800 puntos, resultado que nos ayuda a establecer con suficiente evidencia estadística que el APT es aplicable en el Mercado Mexicano de Valores.

Figura 13: APT. Evaluación de la Cartera Multifactor, rendimiento real Vs pronosticado.

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Periodo

Ren

dim

ient

o

Rreal Rpronosticado

Análisis conjunto de los modelos obtenidos

148

VI Análisis conjunto de los modelos obtenidos. Cabe al final de este trabajo retomar su objetivo principal. En éste, se estableció el

determinar si los modelos actuales de fijación de precios son aplicables al Mercado Mexicano de Valores. En este sentido, se debe definir parámetros o unidades de medida

que ayuden a determinar su grado cumplimiento. Uno de ellos es la magnitud de

desviación. Esta afirmación se basa principalmente en que ningún pronóstico será siempre

igual a la realidad (por lo menos en mercados cambiantes en muy corto plazo). Es decir,

siempre existirá error. De ahí entonces que el inversionista deberá decidir en que grado el

modelo es capaz de auxiliarle en la decisión de comprar o vender un activo o en la formación

de su cartera. En este sentido, el desempeño del APT fue superior al CAPM al evaluar la

cartera formada bajo el modelo de Markowitz (ver tabla siguiente), lo que confirma su mejor

desempeño en el Mercado Mexicano de Valores.

Modelo Desviación

MARKO 1,405.06 CAPM 758.39 MULTIFACTOR 382.11 APT 617.36

Sin embargo, al comparar el desempeño del APT, con el modelo Multifactor en el mismo

mercado, se obtiene un mejor comportamiento de este último, ya que la desviación del APT

(720.77), es 89 por ciento superior al obtenido por el Multifactor (382.11).

Con el fin de reforzar este resultado, en esta sección efectuaremos un análisis matemático

conjunto que permita establecer cuál de los modelos analizados es soportado por los

datos. Para ello utilizaremos el desarrollo utilizado por Chen (1983)128 y que incluye la

ecuación de Davidson y Mackinnon y el radio de cumplimiento posterior (posterior odd).

Ecuación de Davidson and Mackinnon. El CAPM y el modelo de Markowitz pueden ser considerados casos particulares de los

modelos APT y Multifactor respectivamente con k = 1 y b = β. Estos modelos se definen

128 Op. Cit. 15.


149

como no anidados (non nested). Un método utilizado para discriminar entre este tipo de

modelos fue sugerido Davidson and Mackinnon (1981)129.

Para explicar como funciona esta prueba utilizaremos los resultados obtenidos por CAPM y

APT. Definamos a RAPT y RCAPM como los rendimientos generados por APT y CAPM,

respectivamente y consideremos la siguiente ecuación

iCAPMAPTi eRRR +−+= )1( αα

Donde α es una medida de la efectividad de los dos métodos. Cuando α es cercano

a 1, el APT será el modelo correcto relativo al CAPM.

La ecuación de Davidson y Mackinnon (DM) ha sido criticada porque aunque los modelos

sean no anidados, aún puede existir el riesgo de multicolinealidad entre las variables, la β del

CAPM puede estar fuertemente correlacionada con lo factores del APT. Sin embargo, el

método ha sido ampliamente utilizado.

Los resultados de la regresión entre los rendimientos reales y los pronosticados por los

diferentes modelos aquí desarrollados se presentan en la siguiente:

Tabla 34: α estimada para la ecuación de Davidson y MacKinnon.

APT Multifactor CAPM MARKOWITZ 0.491 0.701 0.000 0.000 1.482 -0.473 0.000 1.066 0.168 0.000

Los resultados reportados muestran un valor de alfa cercano a 1 cuando el APT es

comparado con el modelo de Markowitz y el CAPM, lo que indica que el pronóstico y

funcionamiento del APT en el periodo analizado es superior al de su contraparte. Sin

embargo, al realizar la regresión utilizando los rendimientos de APT y Multifactor resulta que

129 Davidson, R., Mackinnom, J., “Several Tests for Model Specification in the Presence of Alternative

Hypotheses”, Econometrica, Vol. 49, 1981.


150

este último presenta un mejor desempeño en el Mercado Mexicano de Valores para el

periodo de tiempo analizado.

Cabe recalcar, que se hicieron pruebas para determinar la existencia de multicolinealidad, y

se concluyó la ausencia de ésta.

Radio de cumplimiento posterior Dado el supuesto de que los residuos de la regresión utilizada en CAPM, Multifactor y APT

satisfacen el supuesto de normalidad, es posible calcular el radio posterior entre dos

modelos. En general, la fórmula para el cumplimiento posterior a favor del modelo 1 sobre el

modelo 0 esta dada por (Zellner (1979))130

2)(2

1

010 kk

N

NESSESSR

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Donde ESS es el error de la suma de cuadrados, N es el número de observaciones y k la

dimensión de los respectivos modelos.

Los valores obtenidos al efectuar esta prueba se inclinan a favor del modelo Multifactor. En

la tabla siguiente se puede corroborar esta afirmación. La razón, que es un método más

sólido que el anterior, comprueba la superioridad del APT, sobre el modelo de CAPM, y del Multifactor sobre el APT.

/ APT Markowitz 1.95X1075

CAPM 6.04X1033

Multifactor 4.33X10-13

130 Zellner, A., “Posterior Odds Ratios for Regression Hypotheses: General Considerations and Some Specific

Results”, Working Paper, University of Chicago, 1979.


151

Comparación de medias. Esta prueba sugerida por el Dr. Gregorio Herrera, busca establecer si los rendimientos

pronosticados por los modelos aquí estudiados, presentan el mismo valor medio que los

rendimientos reales obtenidos por las carteras formadas. Para ello se plantearon las

hipótesis siguientes:

H0= µReal = µRapt = µCAPM = µRmultifactor = µMarkowitz

Ha= µReal ≠ µRapt ≠ µCAPM ≠ µRmultifactor ≠ µMarkowitz

2

22

1

21

021 )(

nn

DXXzσσ

+

−−=

Regla de rechazo: Al utilizar una prueba de dos colas con α = 0.05, se colocará α/2 = 0.025 en cada cola de la

distribución z y se rechaza H0 si z > 1.96 o bien z < -1.96.

z APT 0.12

Multifactor 0.59

CAPM 0.36

Markowitz -0.02

Como se puede observar de los resultados obtenidos por esta prueba, únicamente se

rechaza el modelo de Markowitz, ya que el valor obtenido se encuentra dentro de la zona de

rechazo. Con esto se demuestra, que sin importar el grado de cumplimiento, los tres

primeros modelos enlistados en la tabla anterior son aplicables en el Mercado Mexicano de

Valores.

VII Conclusiones El análisis muestra que en el periodo de tiempo seleccionado, el rendimiento de sólo 7

acciones incluyendo el IPYC se encuentran normalmente distribuidos. El que la distribución

del IPYC sea normal está de acuerdo a los descubrimientos de Mandelbrot (1963)131 y Fama

(1965)132, estudios que son ampliamente aceptados en la teoría financiera moderna. Sin

embargo, existen acciones cuyo rendimiento no presenta esta distribución, como son Herdez

que presenta una distribución del tipo Pareto y otras que presentan distribuciones logísticas.

La relación entre β y el rendimiento de una acción es moderada, por lo que el Modelo de

Fijación de Precios de Capital (CAPM), presenta un alto poder explicativo en el Mercado

Mexicano de Valores ya que soporta el 69 por ciento del rendimiento real de la cartera. Sin

embargo, es difícil establecer qué tanto de la parte nos explicada depende de la

especificación del modelo per sé. El alto nivel de explicación del CAPM y la eficiencia del

mercado también establecida y demostrada en este trabajo, nos llevan a poder afirmar que el

mercado es de débil eficiencia.

El Modelo de Fijación de Precios de Arbitraje (APT) mostró mejor desempeño, comparado

con Markowitz y CAPM (modelos bivariados), pero inferior al Multifactor (modelo

multivariado) en todas las pruebas aplicadas de acuerdo con la evidencia obtenida en este

estudio. Lo anterior demuestra la influencia de variables macroeconómicas sobre el precio de

la acción. La inclusión de estas variables marca la diferencia entre el desempeño de los

modelos bivariados y multivariados.

Las variables macroeconómicas utilizadas, explicaron en promedio el 59 por ciento de la

varianza total de los rendimientos. Entre las variables más significativas en el Mercado

Mexicano de Valores se encuentran: el Producto Interno Bruto, el rendimiento de los CETES,

el tipo de cambio, y la base monetaria, principalmente.

La conclusión global del estudio es, que aunque el rendimiento de los activos o carteras es

un elemento muy importante, su comportamiento en el Mercado Mexicano de Valores es

complejo y no puede ser explicado por un solo factor. Los rendimientos de los activos y los

131 Mandelbrot B., “The Variation of Certain Speculative Prices”, Journal of Business, Vol. 36, 1963. 132 Op. Cit. 3

Conclusiones

153

portafolios son influenciados significativamente por diferentes fuerzas y su comportamiento

únicamente puede ser explicado combinando el poder explicativo de varios factores o

variables macroeconómicas.

Si consideramos que el 74 por ciento del comportamiento de los rendimientos reales es

soportado por el APT, nos podemos preguntar porqué falla en explicar totalmente el

comportamiento del mercado.

Pueden existir muchas razones. Primero, el riesgo y el rendimiento esperado pueden no ser

estacionarios durante el periodo investigado, ya que uno de los supuestos en los que el APT

se basa es que el riesgo y el rendimiento esperado no cambiarán durante el periodo.

Segundo, la relación de fijación de precios del APT, podría mantenerse únicamente en

algunos meses del año.

Tercero, que pudiera existir una relación de precio no lineal. El supuesto de linealidad entre

el APT y factores o variables macroeconómicas es muy fuerte y en ocasiones ignorado. El

modelo lineal es un modelo simple e ideal para explicar las correlaciones observadas. Si el

objetivo es pronosticar el rendimiento medio, podrían existir modelos que den un mejor

resultado, sobre este tipo de modelos pueden llevar a cabo las siguientes investigaciones en

esta área de estudio.

Por su parte el Modelo Multifactor mostró el mejor desempeño en el Mercado Mexicano de

Valores, bajo las condiciones y periodo de tiempo analizado en este estudio. Su

comportamiento es muy superior a los modelo bivariados, ya que la desviación observada -

383- es muy inferior .al obtenido mediante el uso de esos modelos y al APT.

El modelo Multifactor es capaz de pronosticar rendimientos de cartera positivos o negativos y

de seguir el comportamiento o tendencia real de los rendimientos del portafolio. Esta

afirmación se respalda mediante el cálculo de la covarianza entre ambos rendimientos, cuyo

análisis arroja como resultado 9.6, lo que indica que los rendimientos crecen y/o decrecen a

la vez. Por otro lado, el análisis de regresión muestra que este modelo soporta el 78 por ciento de los datos reales en el Mercado Mexicano de Valores.

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Glosario de términos. Acción: Un valor financiero que represente propiedad en una sociedad anónima.

Acciones preferentes: Un valor híbrido que combina las características tanto de acciones

comunes como de pasivo. Los dividendos que se pagan no son deducibles de impuestos

para la empresa, lo cual sí procede como gasto deducible cuando se pagan intereses sobre

el pasivo.

Accionista común: Los poseedores de acciones comunes se consideran los propietarios de

las compañías. Los accionistas comunes eligen a los miembros del consejo de directores

quienes a su vez seleccionan a la alta gerencia.

Activo libre de riesgo: Un activo libre del riesgo de falta de pago, por lo general se refiere a

un valor de la Tesorería de nuestro país.

Agente de piso: Un agente en las instalaciones de una bolsa de valores que cumple

órdenes recibidas por los clientes.

Agentes de bolsa: Participantes en el mercado que negocian con valores en el mercado no

oficial, valores que forman parte de su propia existencias de acciones y obligaciones. Se

considera que son formadores de mercado, ya que siempre están listos para comprar y

vender valores a precios cotizados.

Alfa: La intersección u ordenada al origen de la línea característica del mercado.

Algoritmo: Un grupo sistemático de reglas para resolver un problema en particular. El grupo

de reglas en la aplicación de muchos de los métodos cuantitativos de pronósticos son

algoritmos.

Análisis costo - beneficio: Un estudio de los costos y beneficios incrementales que puede

derivarse de un curso de acción determinado.

Análisis de tendencia: Un análisis de resultados que se lleva a cabo a través de varios

años (periodos de tiempo) para determinar patrones significativos.

Análisis técnico: El intento de pronosticar los precios de los valores de acuerdo a su precio

histórico y al volumen negociado.

Aplicabilidad: Recientemente, la aplicabilidad ha ganado reconocimiento como un criterio

importante en la selección del método de pronóstico. El término aplicabilidad se refiere a que

tan fácil un método puede ser aplicado a una situación dada con un usuario específico del

pronóstico. Si se incrementa la complejidad del método de pronóstico a menudo se reduce

su aplicabilidad.

Glosario de términos

160

Arbitraje. Compra y venta simultánea de la misma o esencialmente similar acción, en dos

diferentes mercados a dos precios ventajosamente diferentes.

ARIMA: Abreviatura de auto regresiva (AR), integrada (I), y promedios móviles (MA).

Describe una clase de modelos de series de tiempo.

Autocorrelación parcial: Esta medida de la correlación es utilizada para identificar entre los

valores de una variable con valores anteriores de la misma variable

Autocorrelación: Este término es utilizado para describir la asociación o mutua

dependencia entre valores de la misma serie de tiempo a diferentes periodos de tiempo. Es

similar a la correlación, pero, relaciona las series a diferentes ciclos de tiempo. Así habría

una autocorrelación para el ciclo 1, otra para el ciclo 2, y así sucesivamente. La tendencia de

los coeficientes de correlación es frecuentemente utilizada para identificar si existe o no

estacionalidad, para poder así identificar el modelo de pronóstico a ser utilizado en una

situación específica.

Autorregresiva AR: La autorregresión es una forma de regresión, pero en lugar de

relacionar la variable en estudio (independiente) con la variable dependiente, esta relaciona

valores pasados de sí misma como variaciones cíclicas en el tiempo. De esta forma un

modelo autorregresivo podría explicar el pronóstico como una función de valores previos de

esa serie de tiempo.

Autorregresiva/promedios móviles (ARMA): Este tipo de modelo de pronóstico por series

de tiempo puede ser autorregresivo (AR) en forma, promedio móvil (MA) en forma, o la

combinación de ambos (ARMA). En un modelo ARMA, las series pronosticadas pueden ser

expresadas como una función de valores previos de las series (autorregresivo) y valores de

los errores previos del pronostico (promedio móvil).

Aversión al riesgo: Una aversión o antipatía al riesgo. Con el fin de inducir a al mayor parte

de las personas a que se asuman mayores riesgos, será necesario que exista un mayor

potencial de rendimiento.

Beta (coeficiente): Medida de la sensibilidad relativa del retorno de una inversión a los

cambios del portafolio de mercado. Matemáticamente, el coeficiente beta de una acción es la

covarianza de la acción con el portafolio del mercado dividido por la varianza del portafolio

de mercado.

Beta: Una medida de la volatilidad de rendimientos en una acción particular relativa al

mercado. Las acciones con una beta de 1.0 se dice que tienen igual riesgo al que prevalece

en el mercado (igual volatilidad). Las acciones con betas superiores a 1.0 tienen mayor


161

riesgo que el prevaleciente en el mercado, en tanto que las acciones con betas inferiores a

1.0 tienen menos riesgo que el prevaleciente en el mercado.

Box-Jenkins (Metodología): George E. Box and G.M. Jenkins han popularizado la

aplicación de autorregresivo/promedio móvil esquema de pronósticos de serie de tiempo a

problemas. Mientras que esta aplicación fue desarrollada en 1930’s, no se hizo conocida

sino por estos cuando su aplicación fue publicada en 1970.

Caminata aleatoria: Término utilizado para describir una filosofía que piensa que los valores

tienen movimientos de precios aleatorios. Por lo tanto, los precios de las acciones no podrán

predecirse con base en información concerniente a precios en el pasado.

CAPM (Fijación de Precios en el Mercado de Capitales): Modelo de la fijación de precios de

equilibrio de una acción o cartera que establece que el retorno esperado de una acción es

una función lineal con pendiente positiva de la sensibilidad de la acción a los cambios en el

rendimiento del portafolio del mercado.

Cartera de mercado: Una cartera en la que se incluye cada activo disponible en el mercado,

en proporción a su valor de mercado.

Cartera de riesgo mínimo: La combinación de los activos disponibles que tengan el menor

riesgo posible.

Cartera de valores: Una colección de inversiones creada con la intención de disminuir el

riesgo mediante la diversificación.

CML: Línea del Mercado de capitales (Capital Market Line): Grupo de portafolios que se

obtiene mediante de combinación del portafolio del mercado con un activo libre de riesgo.

Asume expectativas homogéneas y mercados perfectos, La línea del mercado representa el

grupo eficiente.

Coeficiente de correlación múltiple: Si una medida dependiente “Y” es estimada por varias

variables independientes X1, X2, X3,.....Xn, entonces el valor estimado de Y se designa como

Y tildada. La correlación entre “Y” y “Y” estimada es llamada coeficiente de correlación

múltiple.

Coeficiente de correlación: El grado de movimiento de asociación entre dos o más

variables. Las variables que se mueven en la misma dirección se dice que están

correlacionadas positivamente, en tanto que las variables correlacionadas negativamente se

mueven en direcciones opuestas. Una medida estandarizada de la relación entre dos

variables “X” y “Y”, comúnmente designado como r su rango de valores va de –1 a 1.


162

Coeficiente de variación: Una medida de determinación de riesgo que se calcula dividiendo

la desviación estándar para una serie de números entre el valor esperado. Generalmente,

entre más grande sea el coeficiente de variación, mayor habrá de considerarse el riesgo.

Comisión: Honorarios que un inversionista paga a su firma de corretaje por los servicios

prestados en la comercialización de sus activos.

Corredores: Miembros de las bolsas de valores organizadas quienes están facultados para

comprar y vender valores en el “piso” de sus respectivas bolsas. Los corredores de bolsa

actúan como agentes entre compradores y vendedores de valores.

Correlación parcial: Esta estadística provee una medida de la asociación entre una variable

dependiente y una o más variables independientes cuando el efecto de la relación con otras

variables independientes se mantiene constante.

Costo de flotación: El costo de distribución de colocación de valores entre el público. El

costo incluye la comisión del intermediario y cualquier costo relacionado.

Covarianza: Es una medida de la variación conjunta entre dos variables, “X” y “Y”. El rango

de valores de la covarianza no se encuentra restringido. Si embargo, si las variable “X” y “Y”

son primero estandarizadas, entonces la covarianza es igual a la correlación y el rango de la

covarianza va de –1 a 1.

Cuarto mercado: Un mercado de acciones y obligaciones en el cual existe una negociación

directa entre instituciones financieras tales como banqueros de inversión, compañías de

seguros, fondos de pensión y mutualistas.

Curva de rendimiento: Una curva que revela las tasas de interés a puntos específicos de

tiempo para todos los valores que tengan igual riesgo pero diferentes fechas de vencimiento.

Generalmente los valores gubernamentales se utilizan para construir tales curvas. La curva

de rendimiento también se conoce como estructura a término de las tasas de interés.

Desviación estándar: Una medida de la expansión o dispersión de una serie de números en

torno al valor esperado. La desviación estándar nos dice que también el valor esperado

representa una serie de valores.

División de acciones: Una división de acciones por una razón establecida por el consejo de

directores 2 por 1, 3 por uno y 3 por 2, etc. Las divisiones de acciones indican que las

acciones de las compañías se han incrementado a un nivel en cuanto a precios que los

directores piensan que se ha terminado el atractivo de ventas de las acciones. El valor

nominal se divide por la razón establecida y nuevas acciones son entregadas a los actuales

accionistas, según aparezcan en los registros para aumentar sus participaciones en el nivel


163

establecido. Por ejemplo, una división de acciones de 2 en 1 habría de incrementar sus

posesiones de una acción de dos acciones.

Frontera eficiente: Una línea trazada a través de selecciones de puntos óptimos dentro de

un diagrama que relaciona riesgo-rendimiento. Cada punto representa el mejor equilibrio

entre riesgo y rendimiento (el rendimiento más elevado para un nivel de riesgo determinado

o menor para un nivel de rendimiento determinado).

Heterocedasticidad: Esta condición existe cuando el error no presenta una varianza

constante a través de un rango de valores. Por ejemplo, si los residuales de una serie de

tiempo presentan varianza creciente a través del tiempo se dice, que presentan

Heterocedasticidad.

Hipótesis de mercado eficiente: La hipótesis que sugiere que los mercados se ajustan

rápidamente a nueva información y que es muy difícil para los inversionistas seleccionar

portafolios de valores que superen al mercado.

Homocedasticidad: Esta condición existe cuando la varianza de una serie de tiempo es

constante a través de todos los valores de la serie. Es lo opuesto a la Heterocedasticidad.

Cuando los residuales de una serie presentan varianza constante se dice, que presenta

homocedasticidad.

Indexación: Ajuste por inflación incorporada en la operación de la economía. El proceso de

indexación podrá utilizarse para revaluar activos dentro del balance general y ajustar de

manera automática los salarios, deducciones fiscales, pagos de interese y una amplia

variedad de otros conceptos para efectos de considerar la inflación.

Indicadores económicos: Existen cientos de indicadores. Cada uno de ellos constituye una

serie de datos especializados. Los datos se analizan por su relación con actividad económica

y el indicador se clasifica ya sea como un indicador que sigue o un indicador que predice, o

un indicador coincidente con la actividad económica.

Índice de mercado: Una medida del desempeño del mercado.

Índice de precios al consumidor: Indicador económico que mide el grado de inflación para

bienes de consumo.

Intermediario financiero: Una institución financiera tal como un banco o una empresa de

seguros de vida que orienta el dinero de otras personas hacia tales inversiones como valores

gubernamentales o emitidos por empresas.

Línea del mercado de valores: Línea o ecuación que revela la relación de riesgo -

rendimiento de un valor basado en una tasa libre de riesgo más una prima de mercado

relacionado con el coeficiente beta, un valor.


164

Liquidez: La facilidad relativa para convertir los activos circulantes a efectivo. Por lo tanto,

los valores negociables constituyen activos altamente líquidos, en tanto que los inventarios

no lo son.

Maximización del mercado de valores: Se refiere al concepto de maximización de la

riqueza de los accionistas. Esto no solo implica tomar en consideración las utilidades por

acción, sino también cómo habrán de valorarse en el mercado.

Mercado de Capital: Mercados competitivos para valores representativos de capital o

pasivo con vencimientos superiores a un año. Los mejores ejemplos de valores del mercado

de capitales están representados por las acciones comunes, obligaciones y acciones

preferentes.

Mercado de capitales: Mercado financiero en el cual se intercambian activos (Compra -

venta).

Mercado del dinero: Mercados competitivos para valores con vencimiento a un año o

menos. El mejor ejemplo de instrumentos de mercado de dinero podría estar representado

por certificados de la tesorería, papel comercial y certificados de depósitos negociables.

Mercado informales (no oficiales): Mercado de valores (tanto para acciones como

obligaciones) en que los agentes o formadores de mercado efectúan compras y ventas de

valores negociando con su propio inventario de valores.

Mercado secundario: Un mercado de valores organizado con el fin de intercambiar valores

ya existentes.

Mercado terciario: Un mercado no formal que incluye valores registrados. Este mercado fue

creado en Estados Unidos, durante la década de 1970 por los agentes quienes estaban

intentando comprar y vender valores registrados a menores comisiones de los que se podrán

adquirir en las casas de bolsa.

Modelo de valuación basado en dividendos: Un modelo para determinar el valor de una

acción representativa de capital obteniendo el valor presente de una corriente esperada de

dividendos futuros.

Modelo de valuación de activos de capital: Un modelo que relaciona niveles de equilibrio

riesgo – rendimiento de activos individuales a rendimientos del mercado. Se presume que a

los tenedores de valores se les pagará una tasa de interés libre de riesgo más una prima por

asumir el riesgo.

Modelo: Un modelo es una representación simbólica de la realidad.


165

Modelos de series de tiempo: Un modelo de series de tiempo es una función que relaciona

los valores de una serie de tiempo con sus valores previos, sus errores y otros valores

relacionados con ella.

Multicolinealidad: En el análisis de regresión un problema en el cálculo se presenta si dos o

más estimadores (variables independientes) se encuentran perfectamente correlacionados.

A esto se le conoce como colinealidad perfecta. Si la correlación entre dos estimadores no

es perfecta (+1 o –1) pero cercana, entonces el coeficiente de regresión asociado con estos

dos estimadores será inestable. En grupos grandes de estimadores, la condición de

multicolinealidad (o no multicolinealidad) puede no ser fácilmente detectable. Si una

combinación lineal de un subgrupo de estimadores casi perfectamente relacionada a una

combinación linear de cualquier subgrupo de estimadores, entonces un programa de

multicolinealidad está presente.

Opciones sobre acciones (puts and calls): Los Puts son opciones para vender 100

acciones de una acción determinada a un precio establecido para un periodo determinado en

tanto que los calls son opciones para comprar 100 acciones representativas de capital a un

precio establecido y un tiempo determinado.

Operaciones a mercado abierto: La compra y venta de valores de gobierno en mercado

abierto por parte del Banco de México, constituye la forma más común para administrar la

oferta del dinero.

Papel comercial: Promesa de pago no garantizado que las grandes sociedades anónimas

emiten a favor de los accionistas.

Portafolio de arbitraje: Portafolio que no requiere inversión, no presenta sensibilidad a

ningún factor, y tiene un rendimiento esperado positivo. Más estrictamente, un portafolio que

provee entrada de flujo en algunas circunstancias y no requiere salidas de efectivo bajo

ninguna circunstancia.

Precio de cierre: Precio al que se llevó al cabo el último intercambio del día para un activo

en particular.

Precisión: El criterio más comúnmente utilizado para evaluar el desarrollo de un método de

pronóstico alternativo y otros modelos es la precisión. Se refiere a que tan correcto es el

pronóstico comparado contra el evento real. La precisión puede ser medida utilizando

dimensiones tales como media cuadrada del error (MSE); la media absoluta del porcentaje

de error (MAPE); o la media del porcentaje de error (MPE).

Prima de riesgo de mercado: Una prima por arriba de la tasa libre de riesgo. Está

representada por la diferencia entre el rendimiento de mercado y la tasa libre de riesgo y


166

podrá multiplicarse por el coeficiente beta para determinar el rendimiento adicional ajustado

por riesgo sobre el valor.

Producto Interno Bruto nominal (PIB): Se refiere al Producto interno bruto en pesos

corrientes sin ajuste por concepto de inflación.

Producto Interno Bruto real: Se refiere al Producto interno bruto en pesos constantes, es

decir, precios ajustados por inflación.

Prueba Durbin-Watson: Prueba que recibe este nombre por sus creadores, prueba la

hipótesis que no existe autocorrelación en los residuos obtenidos del análisis.

Regresión múltiple: La técnica de regresión múltiple es una extensión de la regresión

simple, permite que más de una variable independiente sea incluida en la predicción del

valor de la variable dependiente. Para propósitos de pronóstico una ecuación de regresión

múltiple se refiere a menudo como un modelo explicatorio o causal.

Regresión: Modelo que relaciona a la variable dependiente “Y” como una función de un

grupo de variables independientes “X”.

Rendimiento esperado: Rendimiento representativo que surge de una distribución

probabilística y que se obtiene multiplicando cada uno de los resultados por la probabilidad

asociada y luego sumando valores.

Residual: En pronósticos, este término se utiliza comúnmente como un sinónimo de error.

Se calcula mediante la diferencia entre el valor pronosticado y el valor real de la variable

analizada.

Residuos autocorrelacionados: Cuando los residuos o error resultantes después de la

aplicación del método de pronóstico están correlacionados. Esto indica que el método de

pronóstico no ha removido toda la tendencia de los datos.

Riesgo de mercado: El riesgo inherente al mercado en general y que no se puede evitar

mediante la diversificación.

Riesgo diversificable: Riesgo que se puede evitar mediante la diversificación.

Riesgo no diversificable: Riesgo que no se puede evitar mediante la diversificación.

Riesgo total: El riego no sistemático más el riesgo sistemático de un valor o de una cartera

de valores medidos a través de la desviación estándar o la varianza de los rendimientos.

Riesgo: Una medida de la incertidumbre respecto al resultado de un evento determinado.

Entre mayor sea la variabilidad de posibles resultados, tanto en la cúspide como en el nivel

bajo, mayor será el riesgo.

Series de tiempo: Una secuencia ordenada observada de variables a intervalos iguales de

tiempo de una o más series de valores.


167

Tasa libre de riesgo: Tasa de rendimiento sobre un activo que no incluye riesgo. Los

certificados de la tesorería (cetes) frecuentemente se utilizan para representar esta medida,

aun cuando los valores gubernamentales a largo plazo también han resultado apropiados en

algunos estudios.

Teorema de la separación: Un teorema que afirma que la selección de la cartera de activos

riesgosos es separable de la selección del nivel de riesgo a soportar.

Utilidad económica: Para un periodo determinado el monto de los fondos que se puede

retirar de una empresa sin afectar su capacidad de producir un flujo de efectivo futuro.

Utilidad: La satisfacción obtenida de alguna fuente.

Utilidades por acción: Las utilidades disponibles para los accionistas comunes divididas

entre el número de acciones comunes en circulación.

Validación: El proceso de prueba mediante el cual se determina si el modelo es útil para

describir la realidad estudiada. La muestra generalmente se divide en dos partes. Una se

utiliza para estimar los parámetros del modelo y la otra para validar el funcionamiento del

modelo.

Varianza: Parámetro de una muestra o población. Es el promedio de la desviación de la

muestra al cuadrado.

Simbología. σ(R): Desviación estándar de los rendimientos.

α: Proporción del parámetro en el modelo autorregresivo.

θ: Término constante en el modelo ARMA.

γ: Covarianza en el modelo de regresión lineal.

δ: Media del parámetro Y en el modelo autorregresivo.

µ: Media en el modelo de regresión lineal.

β: Medida del riesgo no diversificable.

β: Parámetros ajustados en el modelo de regresión múltiple.

δ: Rendimiento esperado de una cartera de imitación que tiene una sensibilidad

unitaria en la en la teoría de fijación de precios de arbitraje.

Σ: Sumatoria.

λ: Varianza en el modelo Box Jenkings.

(1-w): Porcentaje invertido en el resto de la cartera.

εj: Término de interferencia, aleatorio y con media cero en la teoría de fijación de

precios de arbitraje.

ρXY: Correlación entre dos activos X y Y. ∧

Y : Estimador de la variable Y en el modelo de regresión lineal. ∧

γ : Varianza muestral en el modelo Box Jenkings.

APT: Teoría de fijación de precios de arbitraje.

ARIMA: Proceso autorregresivo integrado de media móvil.

ARMA: Proceso autorregresivo de media móvil.

b: Estimadores de los parámetros ajustados β en el modelo de regresión.

b: Sensibilidad de los rendimientos en la teoría de fijación de precios de arbitraje.

CAPM: Modelo de fijación de precios de capital.

CML: Capital Market Line, Recta del mercado de capitales.

CorrXY: Correlación entre dos activos X y Y.

COV(Rs,Rc): Covarianza de una cartera de activos.

E(R): Media de los rendimientos.

e: Error en modelo de regresión lineal.


169

Fk: Factor con medida de cero común de los rendimientos de todos los activos

considerados en la en la teoría de fijación de precios de arbitraje.

Fs: Factor de rotación en el análisis factorial (Factor analysis).

Pi: Probabilidad de rendimiento de la tasa de rendimiento.

RF: Tasa de rendimiento sobre un activo libre activo libre de riesgo.

Rj: Tasa de rendimiento

Rp: Rendimiento de una cartera de activos.

SML: Security Market Line, Recta del mercado de valores.

t-1: Rezago en el modelo de series de tiempo.

UPA: Utilidades por acción.

ut: Error aleatorio no correlacionado con media cero y varianza constante en el

modelo autorregresivo y la caminata aleatoria.

VAR(R): Varianza del rendimiento.

W: Porcentaje invertido en un valor.

X: Parámetros medidos en el modelo de regresión múltiple.

Ω: Matriz varianza-covarianza para rendimientos de activos.

Σ: Matriz varianza-covarianza para los residuales.

Tesis V3 b - COLPARMEX · de Valores y la aplicabilidad de los principales modelos de fijación de...

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