I. INTRODUCCIÓN.

1.1 GENERALIDADES.

Uno de los aspectos esénciales en el planeamiento, diseño y operación de los recursos

hidráulicos es el conocimiento de la variabilidad de los eventos hidrológicos, tales como

lluvias, caudales, niveles de embalse, etc., son eventos estocásticos porque, de un lado tienen

un patrón medio (componente determinística) de comportamiento a largo plazo, y por el otro

el pronóstico de sus magnitudes en un momento dado tiene un menor o mayor grado de

incertidumbre (componente aleatoria), Villón [27]. Es así que el modelamiento estocástico

de series hidrológicas trata de lograr una representación matemática para poder expresar su

variabilidad de estos eventos.

El modelamiento estocástico de series hidrológicas tales como caudales, ha logrado

producir series sintéticas que dependen de los parámetros estadísticos de las series originales

o llamadas series históricas. Es así que la generación de series sintéticas, ha logrado

solucionar el problema de la falta y escasez de datos de las series hidrológicas originales.

Las series sintéticas generadas a partir de las series originales antes de ser aplicadas en

el planeamiento, diseño y operación de los recursos hidráulicos; tienen que ser verificadas

con pruebas estadísticas que validen sus parámetros estadísticos. Estas pruebas de validación

consisten en verificar que las series sintéticas generadas de un modelo estocástico, sean

estadísticamente iguales a las series originales; con una probabilidad de confianza

significativa.

1.2 JUSTIFICACION.

Se justifica la realización del presente trabajo porque promueve y profundiza el

conocimiento de la generación sintética de series hidrológicas, en especial de los datos

hidrométricos; con la finalidad de utilizar estas series como alternativa en los diseños de

estructuras hidráulicas y a la vez contribuir a la solución de problemas generados por las

series hidrológicas históricas que algunas veces son incompletas y escasas, lo cual constituye

una de las herramientas básicas para la planificación y operación de sistemas de recursos de

aguas en general.

1

Mayormente en nuestro país se ha aplicado la técnica estocástica empleando modelos

autorregresivos de primer, segundo y tercer orden o también llamados modelos

Markovianos; pero se ha visto que la inclusión de una componente media móvil hace

disminuir notoriamente el número de parámetros, encontrando de esta forma modelos más

parsimoniosos (simplificados), simples y más manejables. La aplicación de esta técnica de

generación estocástica para generar caudales será contrastada con pruebas estadísticas que

validen los resultados sintéticos de caudales generados, con los caudales originales.

1.3 OBJETIVOS.

Los objetivos de la presente tesis son:

Generar caudales sintéticos mensuales mediante el modelo

estocástico ARMA (Autoregressive-Moving Average - Autorregresivo con Media

Móvil).

Generar series de caudales empleando el modelo calibrado,

verificando la bondad de los valores generados en la producción de las

características estadísticas de la serie histórica.

Validar los caudales sintéticos generados por el modelo ARMA

con los caudales históricos de los ríos de la cuenca del Río Santa, a través de

pruebas estadísticas.

2

II. REVISION BIBLIOGRAFICA

2.1 ANALISIS DE CONSISTENCIA DE DATOS HIDROLOGICOS.

La inconsistencia de una serie de tiempo hidrológica, está dada por la producción de

errores sistemáticos (déficit en la toma de datos, cambio de estación de registro o cambio de

ubicación de la estación hidrométrica, etc.); y la no homogeneidad es una serie de tiempo

hidrológica, se debe a factores humanos (tala indiscriminada de una cuenca, construcción de

estructuras hidráulicas, etc.) o a factores naturales de gran significancia como los desastres

naturales. Esta inconsistencia y no homogeneidad se manifiesta con la presencia de saltos y/o

tendencias en las series, afectando las características estadísticas de dichas series, tales como

la media, desviación estándar y correlación serial. Villón [27].

2.1.1 ANALISIS DE SALTOS.

Los saltos son formas determinísticas transitorias que permiten a una serie hidrológica

periódica o no periódica pasar desde un estado a otro, como respuesta a cambios hechos por

el hombre debido al continuo desarrollo de los recursos hídricos en la cuenca o a cambios

naturales que pueden ocurrir. Aliaga [3], ejemplo: deficiencia y error en la toma de datos de

las estaciones hidrométricas, cambio de la ubicación de la estación, cambio en la posición de

la instrumentación de recopilación de datos.

1. IDENTIFICACIÓN.

La identificación del salto tiene por objeto detectar la presencia del mismo y

evaluar la causa que puede ser por errores naturales u ocasionados por la intervención de

la mano del hombre. La identificación se realiza mediante la combinación de los

siguientes criterios:

i. Análisis Visual de la Serie Histórica.

3

Esta fase consiste en analizar visualmente la distribución temporal de toda la

información, mediante el análisis visual de la serie histórica es posible detectar

regularidades como irregularidad de los mismos. Se debe aclarar que este análisis es

únicamente con fines de identificación de las posibles inconsistencias, las mismas que

deberán ser evaluadas estadísticamente mediante el test respectivo. Aguirre [1].

ii. Análisis Doble Masa.

Este análisis se utiliza para tener una cierta confiabilidad en la información, así

como también, para realizar la consistencia en lo relacionado a errores, que pueden

producirse durante la obtención de los mismos; y no para corrección a partir de la recta

doble masa. Villón [27].

Para construir el patrón se convierten los caudales en magnitudes que sean

comparables (gastos por unidad de área, escorrentía en mm o en porcentaje del gasto

medio). Chereque [7].

Un quiebre de la recta de doble masa o un cambio de pendiente, puede o no ser

significativo, ya que si dicho cambio está dentro de los límites de confianza de la

variación de la recta para un nivel de probabilidades dado, entonces el salto no es

significativo, el mismo que se comprobará mediante la prueba estadístico. Chereque [7].

2. EVALUACION Y CUANTIFICACION.

La evaluación y cuantificación de los errores detectados en la forma de saltos, se

realiza mediante un análisis estadístico; vale decir un proceso de inferencia estadística

para las medias y desviación estándar de ambos períodos identificados en la fase

anterior.

i. Consistencia en la Media.

Este análisis consiste en probar, mediante la prueba t (prueba de hipótesis), si los

valores medios de las sub muestras, son estadísticamente iguales y diferentes con una

probabilidad del 95% de confiabilidad o con 5% de nivel de significación. Villón [27].

Media de los períodos 1 y 2 respectivamente.

Desviación estándar de los períodos 1 y 2 respectivamente

, tamaño de la muestra.

Determinación de t calculada según: …(2.1)

Donde:

4

, por hipótesis.

Quedando: … (2.2)

Desviación de las diferencias de los promedios: … (2.3)

Desviación estándar ponderada: …(2.4)

Comparación del t calculado (tc) con el t tabular (tt) con n1 + n2 -2 grados de libertad.

Si , resultara diferente se debe corregir.

ii. Consistencia en la Desviación Estándar.

Consiste en probar, mediante la prueba F (prueba de hipótesis), si los valores de

las desviaciones estándar de la submuestras son estadísticamente iguales o diferentes con

una probabilidad del 95% de confiabilidad o con 5% de nivel de significación. Villón

[27].

Los F calculado (Fc) se calcula de la siguiente forma:

…(2.5)

… (2.6)

Comparación del Fc con el F tabular (Ft) con los siguientes grado de libertad:

Grado de libertad del numerador = (n1-1)

Grado de libertad del denominador = (n2-1)

Si:

Grado de libertad del numerador = (n2-1)

Grado de libertad del denominador = (n1-1)

Si:

3. CORRECCION DE DATOS.

En los casos en que los parámetros media y desviación estándar de las sub

muestras de series de tiempo, resultan estadísticamente iguales, la información no se

5

corrige, por ser consistente; aun cuando se observen quiebres en el doble masa. En caso

contrario, se corrige los valores con la siguiente ecuación: Villón [27].

…(2.7)

…(2.8)

Donde:

= valor corregido de saltos.

Xt = valor a ser corregido.

La ecuación 2.7, se utiliza cuando se deben corregir los valores de la submuestra

de tamaño n1, y la ecuación 2.7, si se deben corregir la submuestra de tamaño n2.

2.1.2 ANALISIS DE TENDENCIA.

Las tendencias son componentes determinísticas transitorias que se definen como un

cambio sistemático y continuo sobre una muestra de información hidrometeorológica en

cualquier parámetro de la misma, que afecta las distribuciones y dependencias de las series.

Aliaga [2]. Ejemplos: deforestación o reforestación de árboles en una cuenca., construcción

de estructuras hidráulicas de regulación en las cabeceras de las cuencas, construcción de

canales, ampliación de áreas de cultivo. Antes de realizar el análisis de tendencia, se realiza

el análisis de saltos con series libres de saltos.

1. IDENTIFICACION.

Tiene por objetivo identificar los períodos que presentan tendencias, para la

identificación se procede con:

i. Análisis Visual de la Serie Histórica.

Obtenido la serie libre de saltos, se procede a identificar los posibles períodos con

tendencias.

2. EVALUACION Y CUANTIFICACION.

La evaluación y cuantificación de los errores detectados en la forma de

tendencia, se realiza mediante un análisis estadístico: vale decir un proceso de inferencia

estadística para las medias y desviación estándar del período identificado en la fase

anterior. Villón [27].

6

i. Tendencia en la Media.

La tendencia en la media Tm, puede ser expresada en forma particular por la ecuación

de regresión lineal simple:

…(2.9)

Donde:

t = tiempo en años, tomado como la variable independiente de la tendencia.

t= 1, 2, 3, …, n

Tm = tendencia en la media

Am, Bm = coeficiente de la ecuación a ser estimados.

Para averiguar si la tendencia es significativa, se analiza el coeficiente de correlación R

con el estadístico tc calculado:

…(2.10)

Donde:

tc= valor del estadístico t calculado.

n= numero total de datos.

R= coeficiente de correlación.

Comparación del tc con el t tabular (tt) con (n-2) grados de libertad.

ii. Tendencia en la Desviación Estándar.

La tendencia en la desviación estándar Ts, se expresa en forma particular por la

ecuación de regresión lineal simple:

…(2.11)

Donde:

t = tiempo en años, tomado como la variable independiente de la tendencia.

t= 1, 2, 3, … , n

Ts = tendencia en la desviación estándar, que es el valor corregido de tendencia en

la media.

As , Bs = coeficiente de la ecuación a ser estimados.

Para calcular y probar si la tendencia en la desviación es significativa se calcula la

desviación estándar de cada año, y luego, se calcula los parámetros de la ecuación de

regresión 2.10; luego se realiza la evaluación de Ts siguiendo el mismo proceso descrito

para Tm. Villón [27].

7

3. CORRECCION DE DATOS.

Si la prueba R resulta significativo, la tendencia en la desviación estándar es

significativa, por lo que se debe eliminar de la serie, aplicando la siguiente ecuación:

…(2.12)

Donde:

Zt = serie sin tendencia en la media ni en la desviación estándar. Las demás

variables han sido definidas anteriormente.

Para que el proceso preservando la media y la desviación estándar constante, la

ecuación toma la forma:

…(2.13)

Donde:

: son los promedios de la tendencia en la desviación y media

respectivamente.

La serie Zt es una serie homogénea y consistente al 95% de probabilidad.

2.2 COMPLETACION DE DATOS.

La extensión de información, es el proceso de transferencia de información desde una

estación con largo registro a otra con corto registro. La completación de datos, es el proceso

por el cual se llenan huecos que existen en un registro de datos. La completación es un caso

particular de la extensión. La extensión de datos, es más importante que la completación, por

cuanto modifican sustancialmente a los estimadores de los parámetros poblacionales.

El proceso de completación y/o extensión de datos se realiza en las series consistentes,

vale decir, después de haber analizado la confiabilidad de los mismos. Aliaga [2].

2.2.1 TECNICAS DE COMPLETACION DE DATOS.

Las técnicas que se utiliza para la completación, en orden de prioridades son:

Regresión lineal simple, entre estas:

o Correlación cruzada entre dos o más estaciones.

o Autocorrelación.

Relleno con criterios prácticos: promedio simple, razones normales,

proporciones)

8

Completación mediante métodos numéricos (generación de números aleatorios).

2.3 MODELOS MATEMÁTICOS DE SERIES DE TIEMPO.

Un modelo de serie de tiempo tiene una estructura matemática y un conjunto de

parámetros, y es representado por una función de distribución de probabilidades única. Salas

de la Cruz et al. [20].

Se tienen diversas definiciones de modelos matemáticos en series de tiempo o de

modelos de simulación hidrológica, tales como:

Según Chow un modelo matemático es una formulación matemática que simula un

fenómeno hidrológico, el cual es considerado como un proceso o como un sistema.

Según Clarke un modelo matemático es una representación simplificada de un

sistema complejo, en el cual, el comportamiento del sistema está representado por

una serie de ecuaciones y sentencias lógicas que expresan relaciones entre variables

y parámetros.

Para Haan la modelación hidrológica es una colección de leyes físicas y

observaciones que están escritas en términos matemáticos y se combinan de forma

tal que producen una serie de resultados (salidas) basadas en una serie de

condiciones asumidas y/o conocidas (entradas).

2.3.1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS.

Los procesos estocásticos, representados por modelos, son abstracciones matemáticas

de un proceso físico real, cuyo desarrollo es gobernado por leyes probabilísticas. Los

procesos hidrológicos pueden ser caracterizados como procesos estacionarios o una

combinación de procesos determinísticos y estocásticos. Yevjevich [30].

En los procesos estocásticos se observa una cierta estructura de dependencia en el

tiempo a diferencia de un proceso probabilístico, donde los eventos son independientes. Box

et al [5].

Si la causa de ocurrencia de las variables es tomada en cuenta y el concepto de

probabilidad se introduce en la formulación del modelo, el proceso y su modelo son descritos

como estocásticos. En otras palabras, si es que se toma en cuenta la secuencia cronológica de

las variables y si estas variables están asociadas a una distribución de probabilidad, entonces

su proceso es llamado estocástico. Chow [8].

Según Yevjevich [30], un proceso estocástico aplicado a recursos de agua, tiene tres

componentes fundamentales:

9

Componente periódica o determinística, como la media, la desviación estándar,

y covarianza principalmente.

Componente de estructura dependiente, en donde la dependencia de un dato con

respecto a los datos previos se da en forma sucesiva.

Componente aleatoria, que es descrita en términos de su distribución de

probabilidad.

El proceso estocástico puede ser analizado en el tiempo por la función de

autocorrelación representada por el correlograma. Chereque [7].

2.3.2 PROCESOS ESTACIONARIOS.

Si durante un proceso estocástico al ser removida la componente periódica se observa

que no hay cambio sistemático en la media y varianza; se dice, entonces que esta nueva serie

removida es estacionaria. Chatfield [6].

Para Sadeh [17], la estacionariedad es importante en series hidrológicas por dos

razones principales: una porque las técnicas matemáticas para el análisis de estas series están

bien desarrolladas, y otra porque la mayoría de las componentes estocásticas de las series

hidrológicas pueden ser consideradas estacionarias una vez que la parte determinística ha

sido definida, sus parámetros estimados y removidos desde la serie.

En conclusión, una serie es estacionaria cuando las propiedades de la serie no cambian

en el tiempo (Tiempo invariante), caso contrario son no estacionarias (tiempo variante).

Aliaga [3].

2.4 ANÁLISIS UNIVARIADO DE SERIES DE TIEMPO.

Un modelo de serie de tiempo puede ser escrito como:

…(2.14)

Donde:

xt : es la serie normal con media μ y varianza σ2

zt : es normal estandarizada con media cero y varianza unitaria

z1, z2, … : son independientes.

Si los parámetros μ y σ son constantes, el modelo es estacionario. La estructura del

modelo es simple ya que la variable xt es una función solamente de la variable independiente

zt y así xt es también independiente, este es el caso de algunas series de precipitación y

caudales anuales. Salas de la Cruz et al. [20].

Un modelo de serie de tiempo con estructura puede ser:

10

…(2.15)

Donde:

zt-1 : es una serie independiente

Ø1 : es el parámetro del modelo.

εt : es una serie normal e independiente con media cero y varianza (1-Ø12).

Ejemplo de εt para modelo AR de primer orden, , ξt es la

componente estocástica independiente. Según Aliaga [3].

En la ecuación 2.15 zt es una serie dependiente porque además de ser una función de εt

es una función de la misma variable z en el tiempo t-1. Si zt de la ecuación 2.15 es

representada por el modelo dependiente de la ecuación 2.14 entonces xt resultan en un

modelo dependiente. En este caso los parámetros del modelo de xt serían μ, σ y Ø1 . Esta

forma de representación se emplea para series con intervalos dentro del año como series

trimestrales, mensuales, semanales, diarias. Salas de la Cruz et al. [20].

Desde que los parámetros de la ecuación de serie de tiempo 2.14 son constantes, el

modelo es estacionario, representando series de tiempo estacionarias o procesos estocásticos

estacionarios. Modelos no estacionarios resultan, sí tales parámetros varían con el tiempo.

2.4.1 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN (FA)

La función de autocovarianza mide el grado de autodependencia lineal de una serie de

tiempo. La autocovarianza ck de retardo k entre xt y xt+k puede determinarse por:

,0 ≤ k ≤ N …(2.16)

Donde:

: Media muestral

k : Representa el tiempo de retardo (o distancia) entre el par correlacionado (xt,

xt+k).

N : Es el tamaño muestral.

Para el caso particular de k=0, co resulta ser la varianza s2. La autocovarianza muestral

ck es un estimado de la función de autocovarianza poblacional γk..

Una medida adimensional de dependencia lineal se obtiene dividiendo ck por co. Tal

operación resulta:

11

…(2.17)

Donde:

rk :es llamado coeficiente de autocorrelación de retardo k, coeficiente de correlación serial o función de autocorrelación (FA).

Al ploteo de rk versus k se le denomina correlograma. El coeficiente de autocorrelación

muestral rk es un estimado del coeficiente poblacional ρk. La medida más simple usada para

expresar la dependencia en el tiempo es el primer coeficiente de correlación serial r1 o ρ1

para la muestra o la población respectiva.

Un estimado alternativo de la FA ρk es: según Salas De la Cruz et al. [20]

…(2.18)

Donde:

: Media muestral

k : Representa el tiempo de retardo entre el par correlacionado (xt, xt+k).

N : Es el tamaño muestral.

: Es la media de los primeros N-k valores x1, … xN-k

: Es la media de los últimos N-k valores xk+1, … xN.

Las ecuaciones 2.17 y 2.18 dan rk=1 para k=0, por tanto el correlograma empieza con

la unidad en el origen, y -1≤ rk ≤ 1.

En una serie independiente los valores de los puntos rk en el correlograma poblacional

es igual a cero para k<>0 ; Sin embargo, muestras de series de tiempo independientes tienen

a rk fluctuando alrededor de cero debido a la variabilidad muestral, pero ellos no son

necesariamente iguales a cero. Por tal motivo, es útil determinar límites de probabilidad para

el correlograma de una serie independiente, Anderson da los siguientes límites.

, para 95% …(2.19)

, para 99% …(2.20)

Con N como tamaño muestral.

Un modelo AR de serie de tiempo puede ser representado de la siguiente forma, según

Fiering and Jackson según Salas de la Cruz et al. [20]:

12

…(2.21)

La FA ρk de la variable yt se obtiene multiplicando ambos miembros de la ecuación

(2.21) por yt-k , tomando esperanza matemática término a término. Esto permite plantear la

ecuación:

Que resulta en: , k>0 En general

, k>0 …(2.22)

La cual se debe a Yule (1927) y Walker (1931), según Salas de la Cruz et al. [20]. Esta

ecuación es comúnmente usada para estimar los parámetros del modelo por el método de

momentos, así como para determinar el correlograma ρk para un conjunto dado de

parámetros øj, j=1…p. Es importante conocer la forma que adopta ρk para un modelo dado

porque servirá para identificar su orden en una serie de tiempo, así como para comparar el

correlograma muestral con el correlograma típico del modelo. Salas de la Cruz et al. [20].

En el capitulo III de Materiales y Métodos, se indica la obtención de la función de

autocorrelación con un ejemplo que se aplicó a las series, de las estaciones analizadas.

2.4.2 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL (FAP)

La función de autocorrelación parcial (FAP) o correlograma parcial es otra forma de

representar la estructura de dependencia en el tiempo de una serie o de un modelo dado. Es

útil para ayudar a identificar el tipo y orden del modelo cuando se investiga una serie de

tiempo muestral. Salas de la Cruz et al. [20].

Si se denota por øj(k) el coeficiente autorregresivo de un modelo AR(k), tal que øk(k)

es el último coeficiente, entonces la ecuación 2.22 resulta:

…(2.23)

Para: j=1, …, k

La función de autocorrelación parcial øk(k) se calcula resolviendo sucesivamente la

ecuación 2.22 para cada k=1,2,…

En general, se demuestra que para un modelo AR (p) la ecuación (2.23) da:

øk(k)<>0 , k ≤ p

øk(k)=0 , k > p …(2.24)

13

En el capitulo III de Materiales y Métodos, se indica la obtención de la función de

autocorrelación parcial con un ejemplo que se aplicó a las series de estaciones analizadas.

2.4.3 MODELAMIENTO ESTOCÁSTICO DE SERIES HIDROLÓGICAS

Se denomina modelo estocástico o modelo de serie de tiempo en hidrología al modelo

matemático que representa a un proceso estocástico. Aliaga [4].

Las técnicas y procedimientos para estimar los modelos y sus parámetros desde los

datos disponibles se denominan “modelamiento estocástico” de series hidrológicas o

modelamiento de series de tiempo, lo cual constituye una de las herramientas básicas para la

planificación y operación de sistemas de recursos de aguas en general. Salas de la Cruz [19].

Las series hidrológicas disponibles constituyen sólo una realización finita de todas las

posibles realizaciones de la población, vale decir, solo se dispone de una muestra a partir de

la cual se trata de obtener un conocimiento de la población mediante el proceso de inferencia

estadística. Aliaga [4].

Los modelos estocásticos son construidos para reproducir o semejar las características

estadísticas de las series hidrológicas históricas, en el sentido estadístico. Esto trae consigo la

pregunta ¿cuáles son las características a ser reproducidas por el modelo y cómo deben ser

interpretadas o entendidas?.

Desgraciadamente las características estadísticas de las series poblacionales nunca son

conocidas, porque sólo se estiman las características sobre una muestra finita, y segundo, por

la definición e interpretación de las características estadísticas derivadas de la muestra, que

puede ser: La media, desviación estándar, coeficiente de autocorrelación, simetría,

normalidad.

Una aproximación sistemática del proceso de modelamiento estocástico de series

hidrológicas, presentada según Salas [19], está constituida por 6 fases principales, que son:

Identificación de la Composición del Modelo, esta fase consiste en decidir si el

modelo sería univariado, multivariado o una combinación de ambos, o usar un

modelo de flujos anuales y luego uno de desagregación para obtener descargas

mensuales, lo cual depende del sistema de recursos de agua, de las características de

las series hidrológicas, del modelo empleado, y de la experiencia del modelador.

Selección del tipo de Modelo, una vez identificada la composición, entonces se

puede seleccionar el tipo de modelo a usarse, así pueden aplicarse modelos

autorregresivos AR, con media móvil ARMA, o autorregresivos con media móvil

integrado ARIMA, Broken-line (línea rota) para preservar explícitamente el

14

fenómeno de Hurst o cualquier otro de acuerdo a las características del proceso

físico y de la serie hidrológica.

Identificación de la Forma del Modelo, se refiere a la determinación del orden del

modelo seleccionado, que depende principalmente de las características de las series

hidrológicas en el tiempo. Así por ejemplo para series de descargas no anuales

utilizando modelos autorregresivos, pueden identificarse modelos de primer,

segundo o tercer orden, pudiendo ser de parámetros constantes o periódicos.

Estimación de los Parámetros del Modelo, consiste en estimar los parámetros del

modelo desde la serie de datos históricos utilizando los métodos más comunes y

disponibles como el método de momentos y el de máxima verosimilitud.

Bondad de Ajuste del Modelo, las hipótesis del modelamiento de series

hidrológicas establecen que la componente residual es una serie independiente y

normalmente distribuida. Se efectúa la prueba del correlograma de la serie residual

para probar la independencia y se dispone de otras pruebas para verificar la

normalidad.

Evaluación de la Incertidumbre, establecido el modelo de generación sintética, se

generan series artificiales con la condición de que se mantengan las propiedades de

las series históricas, esta evaluación de incertidumbre del modelo se realiza

probando diferencias significativas entre las características estadísticas de las series

generadas y las características de las series muéstrales históricas.

2.5 MODELO AUTORREGRESIVO MEDIA MÓVIL ARMA.

2.5.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO ARMA.

Los modelos autorregresivos han sido satisfactoriamente aplicados en el modelamiento

de series de tiempo hidrológicas. Los bajos flujos en estaciones secas resultan principalmente

de aporte subterráneo. Estos tienen relativamente poca variación. Durante la recesión, los

flujos en un tiempo particular son una fracción de flujo del tiempo previo, pudiendo ser

representado por un esquema autorregresivo. Los flujos altos están formados principalmente

por grandes precipitaciones o deshielos, o ambos. Este comportamiento mixto puede ser

modelado adicionando una componente media móvil (MA) a una componente autorregresiva

(AR). Más específicamente, considerando la descarga superficial y el aporte subterráneo para

una escala de tiempo anual, y usando la ecuación de balance de masa para el

almacenamiento subterráneo, la descarga anual puede representarse por un proceso mixto

autorregresivo y media móvil (ARMA). Cabe indicar que los modelos ARMA pueden contar

15

con menor número de parámetros que los estimados para un modelo autorregresivo de alto

orden.

2.5.2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO ARMA.

Se asume que la serie hidrológica a ser modelada por un proceso ARMA es

estacionaria y aproximadamente normal. De no ser así, deben realizarse transformaciones

apropiadas a la variable original. Consideremos la serie de tiempo hidrológica yt, yt+1, yt+2, …

igualmente espaciadas en el tiempo t, t+1, t+2, … la desviación desde la media (µt) será:

…(2.25)

La serie puede representarse como la suma infinita de variables aleatorias

independientes εt, εt-1, εt-2, …y coeficientes ψ1 , ψ2 , ψ3 , …

Ut = εt + ψ1εt-1 + ψ2εt-2 + … …(2.26)

Si hacemos Ut dependiente solamente de un número finito “q” de variables aleatorias

previas εt , entonces resulta un “proceso media móvil” (MA) de orden “q”, que puede ser

escrito

como:

Ut = εt - θ1εt-1 - θ2εt-2 - … - θqεt-q …(2.27)

Usualmente llamado modelo MA (q). Este también puede ser escrito como:

…(2.28)

ó

…(2.29)

Con la convención θ0 = -1. Los parámetros del modelo son la media, μ , la varianza σε2

de la variable independiente εt y los coeficientes θ1, θ2, …, θq, para un total de “q+2”

parámetros deben estimarse desde los datos.

Combinando un modelo autorregresivo de orden “p” y un modelo media móvil de

orden “q” obtenemos el modelo autorregresivo-media móvil (ARMA) de orden (p,q),

definido por:

Ut = ø1Ut-1 + … + øp Ut-p + εt - θ1εt-1 - … - θqεt-q …(2.30)

Que puede ser expresado como:

…(2.31)

Con la convención θ0 = -1. Los parámetros del modelo son: μ, σε2, ø1, … øp, θ1, …, θq,

debe evaluarse un total de “p + q + 2” parámetros desde los datos. El modelo autorregresivo

y media móvil de orden “p” y “q” es usualmente llamado el modelo ARMA (p,q).

16

2.5.3 PROPIEDADES GENERALES DEL MODELO ARMA (p,q).

Las propiedades generales del proceso ARMA (p,q) se dan en términos de la

covarianza cruzada entre U y ε:

Diferente de cero para k≤0 y cero en otros casos, por ser U dependiente solo de valores

εt previos. Con la convención θ0 = -1, formulando el producto Ut.Ut-k y tomando esperanza

término por término, la autocovarianza del proceso ARMA (p,q) está dada por:

…(2.32)

Para k = 0, la varianza es:

…(2.33)

y la función de autocorrelación es:

, k ≥ q + 1 …(2.34)

La función de autocorrelación parcial øk(k) se obtiene ajustando a la serie dando

procesos AR de ordenes k = 1, 2, …

Ut = ø1(k) Ut-1 + ø2(k) Ut-2 + … + øj(k) Ut-j + … + øk(k) Ut-k …(2.35)

Donde:

øk(k): función de autocorrelación parcial

El ploteo de øk(k) versus k da la función de autocorrelación parcial muestral (FAP), la

FAP se origina de la ecuación 2.22 de Yule-Walker.

Entonces, para un proceso autorregresivo de orden “p”, la función de autocorrelación

øk(k) se interrumpe en el retardo “p”. Un proceso media móvil es equivalente a un modelo

autorregresivo de orden infinito, teniendo una función de autocorrelación parcial infinita en

extensión y que se atenúa como una combinación de ondas suaves y/o decaimiento

exponencial. Para un proceso combinado de FA y la FAP se atenúa como ondas suaves o

decaimiento exponencial.

2.5.4 MODELAMIENTO ARMA(p,q) DE SERIES DE TIEMPO PERIODICAS

Las series hidrológicas periódicas de tiempo son aquellas para los cuales el intervalo

de tiempo son menores a un año. Por ejemplo series estacionales, mensuales, semanales o

diarias son series periódicas, ya sea con algunas o todas sus características estadísticas que

17

son variantes en tiempos periódicos fijos. La estructura de correlación de las series

periódicas puede ser el resultado de un proceso ARMA (p,q) con algunas constantes o

coeficientes periódicos. Salas De La Cruz et al. [20].

1. MODELO PERIODICO ARMA (p,q).

Consideremos la serie periódica original , donde υ, es denotado por los

años, τ= 1, 2, 3, …, y es el numero de intervalos de los años (12 meses).

Asumiendo esto como una distribución de series sesgadas, una apropiada

transformación debe ser usada para transformar las series a series normales .

Entonces el modelo periódico ARMA (p,q) para puede ser escrito como:

…(2.36)

Donde:

: es la media mensual del mes τ (media periódica).

: es la desviación estándar del mes τ (desviación estándar periódica).

: es representado por un modelo ARMA (p,q) con coeficientes constantes o

con variables en el tiempo (periódico).

El modelo ARMA (p,q) con coeficientes constantes, según Salas de la Cruz et al. [20]; se

representa por.

…(2.37)

Donde:

, y son los coeficientes del modelo

: es la variable normal independiente.

Tao y Delleur (1976), según Salas et al. [20]; usaron el modelo ARMA (p,q) con

coeficientes variables de tiempo como:

…

(2.38)

Donde:

: Parámetros autorregresivos.

: Parámetros media móvil.

: es una variable aleatoria independiente con una distribución normal.

18

Reemplazando la ecuación 2.38 en 2.36, se tiene el modelo periódico ARMA

(p,q) con la media de datos, desviación estándar, componente autorregresiva,

componente media móvil y variable aleatoria independiente.

…(2.39)

2. LA ESTIMACION DE PARAMETROS DE LOS MODELOS PERIODICOS

ARMA(p,q)

Si , representa una serie hidrológica periódica, tal como se ha definido

anteriormente, donde:

υ = 1, …, N

τ = 1, …,

N : es el número total de años.

: es el número total de intervalos dentro del año (12 meses)

Antes de estimarse los parámetros del modelo dados en las ecuaciones 2.36 y

2.37, las series deben ser transformadas a series normales con las siguientes

transformaciones. Salas de la Cruz et al. [20].

i. Normalización de Series Periódicas de Tiempo.

En caso donde las series observadas no están normalmente distribuidas, los datos tienen

que ser transformados en normales antes de ser aplicado el modelamiento.

Para normalizar los datos se disponen de las siguientes transformaciones: según Salas

et al. [21].

La transformación Logarítmica: …(2.39)

La transformación exponencial: …(2.40)

La transformación Box-Cox: …(2.41)

Donde:

Y : es la serie hidrológica normalizada.

19

Modelo Periódico

Media Periódica

Variable aleatoria independiente

Componente Media Móvil

Desviación estándar Periódica

Componente Autorregresiva

X : es la serie hidrológica original observada

a y b : son los coeficientes de la transformación.

Las variables Y e X pueden representar los datos anuales o estacionales. Para los

datos estacionales a y b pueden escogerse para variar con la estación.

En el capitulo III de Materiales y Métodos, se tiene un ejemplo para la

normalización de series analizadas.

ii. Eliminación de la Periodicidad dentro del Año.

Los datos normalizados pueden luego ser estandarizados substrayendo la

media y dividiendo por la desviación estándar (opción). Por ejemplo, para las series

estacionales, la estandarización puede expresarse como:

…(2.42)

Donde:

: es la serie estandarizada.

y : es la media y la desviación estándar de las series transformadas a

normal para el mes dado .

Luego el modelo estocástico puede ser adaptado a las series estandarizadas .

Salas de la Cruz et al. [21].

En el capitulo III de Materiales y Métodos, se tiene un ejemplo para la

estandarización de series analizadas.

3. IDENTIFICACIÓN Y SELECCIÓN DEL MODELO.

Los instrumentos para la identificación del modelo son la muestra visual de la

serie original, el comportamiento de la función de autocorrelación (FA) y la función de

autocorrelación parcial (FAP). La inspección visual de la muestra de la serie original

puede revelar la presencia de una tendencia.

La medida de dependencia lineal entre observaciones separadas por un retardo k

está dada por el estimado rk de la función de autocorrelación ρk. Para usar la FA en la

identificación del modelo se plotea rk versus k para N/4 valores aproximadamente,

donde N es la longitud de la serie. Salas de la Cruz et al. [20].

Es útil mostrar los límites de probabilidad en el ploteo, y como rk es

aproximadamente normal con media cero y varianza 1/N, los límites para el 95% de

probabilidad se dan en la ecuación 2.19. Si los valores de rk caen dentro de los límites

20

más haya de un retardo “q” se podría formar que el proceso puede ser un modelo con

media móvil de orden “q”. Si la FA se atenúa, se podría afirmar que el proceso es

autorregresivo. Cuando no es claro, es decir la FA se trunca, es útil analizar la FAP.

Las características del comportamiento de las funciones FA y FAP se resumen

en el cuadro 2.1 Salas de la Cruz et al. [20].

CUADRO 2.1: Identificación de propiedades para un proceso AR, MA, ARMA:

Proceso Autocorrelación Autocorrelación ParcialAR (p)

MA (q)

ARMA (p,q)

Infinito en extensión, consiste de ondas amortiguadas y/o decaimiento exponencial. Se atenúa como:

Finito en extensión, máximo en retardos de 1 hasta q. Luego se interrumpe.

Infinito en extensión, primeros q - p retardos es irregular, luego decrece exponencialmente con ondas amortiguadas. Luego se atenúa como.

Finito en extensión, máximos retardos de 1 hasta p, luego se interrumpe.

Infinita en extensión, decrece en forma exponencial y/o de ondas amortiguadas.

Infinita en extensión, primeros p-q retardos irregulares, luego decrece de forma exponencial y/o se amortigua en ondas.

4. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO ARMA (p,q).

Los ajustes del modelo ARMA (p,q), se harán con los siguientes pasos (según

Salas et al. [20]), una vez identificado el orden tentativo del modelo en el paso anterior,

el procedimiento es aplicable para series anuales y estacionales que en este caso es

mensual:

i. Cálculo de las Funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial.

Calculo y ploteo de la función de autocorrelación ck, los coeficientes de autocorrelación, rk = ck/s2, y los coeficientes de autocorrelación parcial para un retardo k que va de 1 hasta 0.15* N pero menos N.

Salas et al. [20], indica las siguientes ecuaciones como formas generalizadas para

obtener los coeficientes de las funciones de autocorrelación parcial:

, las ecuaciones siguientes

muestran las formas generalizadas.

21

...

(2.43)

...

(2.44)

Donde:

Гk: Coeficiente autocorrelación

: Coeficiente autocorrelación parcial con retardo k.

ii. Estimación Lineal de los “p” Parámetros Autorregresivos (AR).

Se obtienen los estimados iniciales de los “p” parámetros autorregresivos

, resolviendo las “p” ecuaciones dadas por Yule-Walker y presentadas por

Salas et al. [21], dadas en términos de covarianza a partir de la ecuación 2.22,

obteniéndose la siguiente ecuación generalizada ; en forma

extendida se tiene la siguiente ecuación:

...(2.45)

Donde:

C0, C1, ..., Cq: Función de autocovarianza.

: Parámetros autorregresivos.

Formas generalizadas de las ecuaciones de Yule-Walker, a partir de las ecuaciones

2.43 y 2.44, para una estimación aproximada de Φk, t , y θk, t presentadas por Salas et al.

[21] que son aplicadas en el programa SAMS.

ARMA (1,0) … (2.46)

ARMA (2,0) …

(2.47)

22

ARMA (1,1) …(2.48)

iii. Estimación Inicial de las “q” Parámetros Media Móvil (MA) de la Serie

Modificada:

...(2.49)

Luego se calcula la función de autocovarianza (C’k) de la serie z’t y sus parámetros

residuales con las ecuaciones propuestas por Box y Jenkins:

...(2.50)

Donde:

...(2.51)

Los C’j, los parámetros θ y la Varianza residual σ2ε se obtienen resolviendo

iterativamente las siguientes ecuaciones:

...(2.52)

Esto completa la estimación inicial de los parámetros Φ1, Φ2, …, Φp, θ1, θ2, …, θq,

σ2ε y θ00. Entonces el modelo inicial estimado será:

...(2.53)

iv. Parámetros Estimados por la Suma de Cuadrados.

Los estimados por el método de máxima verosimilitud o probabilidad son

esencialmente los mismos que los estimados por el método de mínimos cuadrados.

...(2.54)

23

Siendo N la extensión de la serie residual. La suma de los cuadrados se calcula

mediante: ...(2.55)

Varianza de las residuales: ...(2.56)

Donde:

: es la suma de cuadrados.

: es la varianza de las residuales.

5. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO.

En esta etapa se verifica si el modelo estimado es adecuado o no. Se necesita

verificar dos hipótesis del modelo: La independencia y la normalidad, para lo cual se

dispone de varias pruebas estadísticas.

En el modelamiento de series de tiempo hidrológicas se asume que la

componente estocástica, después de haber eliminado la componente periódica y la

estructura de dependencia en el tiempo, es una serie independiente y distribuida

normalmente. Salas de la Cruz et al. [20].

i. Prueba de Independencia en el Tiempo.

Usualmente se aplican las pruebas del correlograma de Anderson y la Falta de

Ajuste de Porte Monteau para probar la independencia de las serie de tiempo.

Prueba de Anderson:

En una serie independiente el correlograma es igual a cero para k<>0, sin

embargo, si un modelo estocástico ARMA (p,q) es adecuado para presentar la

dependencia de una serie de tiempo, entonces la variable aleatoria del modelo es

independiente y rk =0 para k≠0; pero muestras de series de tiempo

independientes tienen a rk fluctuando alrededor de cero debido a la variabilidad

muestral, pero ellos no son necesariamente iguales a cero. Por tal motivo es útil

determinar límites de probabilidad para el correlograma de una serie

independiente, Anderson da los siguientes límites:

...(2.57)

Donde:

Гk: Limite de probabilidad para el Correlograma.

24

N: Tamaño muestral.

K: Retardo en el tiempo.

Prueba de Falta de Ajuste de Porte Monteau.

En esta prueba también se verifica si ε t es una serie independiente. Para tal

fin se usa el siguiente estadístico:

...(2.58)

Donde:

Q: Estadístico de ajuste de Porte Monteau.

N: Número de años.

L: Máximo retardo.

Гk(ε): Función de autocorrelación de residuales εt con retardo L.

εt: Serie independiente.

El estadístico Q es aproximadamente la distribución Chi-cuadrado con L-

p-q grados de libertad. La bondad del modelo puede verificarse comparando el

estadístico Q con el valor Chi-Cuadrado X2 (L-p-q) para un nivel de significancia de

95 % de probabilidad. Si Q < X2 (L-p-q), εt es una serie independiente.

ii. Prueba de Normalidad.

Se disponen de varias pruebas para probar la hipótesis que una serie de tiempo

dada es normal. Una prueba gráfica consiste en el ploteo de la distribución empírica de la

serie en un papel de probabilidad normal y verificar si los puntos ploteados siguen

aproximadamente una línea recta. Se describen a continuación dos pruebas estadísticas,

las pruebas de normalidad Chi- cuadrado y de asimetría.

Consideremos la serie de tiempo xt, t=1, …, N con media x y desviación estándar

σ, donde N es el tamaño de la muestra. Asumiendo que la distribución de frecuencias de

xt se ajusta a una distribución normal de probabilidades con parámetros x y σ se probara

la bondad del ajuste usando la prueba de Chi-Cuadrado. La serie se ordena en orden

creciente de magnitud y se seleccionan k intervalos de clase con probabilidad 1/k para

cada intervalo. De la función de distribución normal, obtenemos los valores u1, u2, …,

uk-1, correspondientes a las probabilidades acumuladas 1/k, 2/k, …, (k-1)/k, por lo tanto

los valores para los intervalos de clase serán x’1 = x + σ u1, x’2 = x + σ u2, …, x’k-1 = x + σ

uk-1 . La frecuencia absoluta de la serie muestral ordenada que cae dentro del intervalo i

25

se denota por Ni , i = 1, …, k. por lo tanto, el numero esperado de puntos que caen en

cada intervalo será N/k. El estadístico X2 está dado por:

... (2.59)

Donde:

N: tamaño de la serie.

Ni: Frecuencia absoluta.

k: Intervalos de clase.

Tiene una distribución Chi-Cuadrado con k-2 grados de libertad. Por lo tanto,

considerando un nivel de probabilidad el se obtiene de la función Chi-

cuadrado, si se acepta la hipótesis de normalidad de la serie xt. De otro

modo se rechaza la hipótesis.

La Prueba de Asimetría de Normalidad se basa en el hecho que el coeficiente de

asimetría de una variable normal es cero. Un estimado del coeficiente de asimetría de la

serie de tiempo xt, t=1, …, N es:

... (2.60)

Donde:

N: Tamaño de la serie.

x, µ: Media muestral.

xt: Observación mensual.

Si la serie viene de una distribución normal, esta distribuida asintóticamente

normal con media cero y varianza 6/N (Snedecor y Cochran, según Aliaga [3]). Entonces

los limites de probabilidad (1-α) sobre pueden definirse por el siguiente límite:

... (2.61)

Por tanto, si de la ecuación 2.60 cae dentro de los límites de la expresión 2.61 se

acepta la hipótesis de normalidad. De otro modo es rechazada.

iii. Criterio de Información de Akaike (AIC).

Una práctica corriente en la generación de series de tiempo hidrológicas es

preservar exactamente o muy estrechamente los estadísticos de la muestra histórica, aun

26

cuando estos estadísticos puedan estar sujetos a grandes variaciones muestrales. Una vez

que se toma la decisión sobre qué estadísticos preservan como generalmente es la media

y la desviación estándar, entonces el problema del modelamiento es buscar un modelo

con el mínimo número de parámetros que reproduzcan adecuadamente tales estadísticos.

Esto se conoce con el principio de parsimonia de parámetros o se dice que el modelo es

parsimonioso.

Una formulación matemática que considere el principio de parsimonia en la

elaboración del modelo es el Criterio de Información de Akaike (AIC) propuesto por

Akaike (1974) según Salas et al. [20]. Para comparar entre modelos ARMA (p,q) uso:

...(2.62)

Donde:

N: Tamaño de muestra.

σε 2: Máxima verosimilitud de la varianza de la residual.

p,q: Parámetros autorregresivo y media móvil del modelo ARMA.

Bajo este criterio el modelo que da el mínimo AIC es el primero a ser

seleccionado.

2.6 GENERACION DE SERIES SINTÉTICAS.

Luego de realizado los pasos anteriores, con los datos Hidrométricos se realiza la

generación sintética de los datos mediante la siguiente ecuación que se muestra a

continuación.

...(2.63)

ó

...(2.64)

Donde:

Φj: Coeficiente de autocorrelación (AR) de orden p.

θ j: Coeficiente media móvil(AM) de orden q.

εt: Variable aleatoria independiente estocástica.

σε: Varianza de las residuales.

ξt: Variable normal independiente con media cero y varianza uno.

: Modelo ARMA (p,q) con coeficientes constantes o variables.

Luego se realiza la transformación inversa de la estandarización transformada.

27

...(2.65)

Donde:

μτ : media del mes “τ” o media periódica de las series históricas.

στ : desviación estándar del mes “τ” o desviación estándar periódica de las

series históricas.

El modelamiento de series hidrológicas permite obtener una componente estocástica

independiente o una variable normal independiente. Así la generación de una serie de tiempo

sintética comenzaría con la generación de variables normales independientes con media cero

y varianza uno.

Varias técnicas de generación de números aleatorios normales independientes son

presentadas en varias bibliografías de Estadísticas e Hidrología Estadística; y actualmente en

hojas de cálculo como Excel y software de estadística como el Minitab y el SPSS presentan

diferentes técnicas de generación de números aleatorios entre las cuales están los números

aleatorios con distribución definidas. Como una ilustración de generación numérica de

números aleatorios normales Box and Muller (1958) propone las ecuaciones siguientes:

…(2.66)

…(2.67)

Donde:

y : son números aleatorios normales estandarizados.

y : son números aleatorios de distribución uniforme (0,1).

Sí una transformación inicial fue usada como una transformación logarítmica,

potencial, Box-Cox, etc., es necesario obtener la serie en forma original. Por ejemplo, si

ha sido transformado por una transformación logaritmo natural, el proceso se

puede obtener de por aplicación de la siguiente transformación inversa que fueron

aplicadas anteriormente:

… (2.68)

Donde:

: Serie estacional generada con transformación inversa.

: Serie estacional generada con transformación logarítmica, obtenida del programa SAMS.

: Coeficiente de la transformación aplicada (transformación logarítmica)

2.6.1 PROCEDIMIENTO.

28

El procedimiento para la generación de series sintéticas para un período de N años

recomendado por Vito Aliaga es el siguiente: Aliaga [3].

Seleccionar y estimar los parámetros del modelo estocástico para series anuales

o no anuales, según sea el interés.

Definir el orden del modelo autorregresivo para la componente estocástica

dependiente y su respectiva distribución de probabilidad para la componente

independiente.

Generar números aleatorios uniformemente distribuidos según el ajuste de la

componente estocástica independiente con media cero y varianza unitaria.

Generar números aleatorios independientes con la distribución seleccionada y

con sus respectivos parámetros.

Generar números aleatorios dependientes según el modelo autorregresivo

seleccionado anteriormente.

Generar datos de descargas anuales o mensuales sumando las componentes

determinísticas a los valores obtenidos en el punto anterior.

Realizar dos generaciones: La primera para comprobar la bondad del modelo

obteniendo series de la misma longitud que la serie histórica, y la segunda, de

una longitud dada, de acuerdo a los objetivos de la generación, los mismos que

serán utilizados en el análisis y determinación de los parámetros de interés.

2.6.2 VERIFICACIÓN DEL MODELO.

Existen muchas formas y criterios para verificar la bondad del modelo, dependiendo

del interés particular de cada caso.

El criterio principal para determinar la bondad de estos modelos estocásticos consiste

en analizar los resultados generados y comprobar la preservación y reproducción de las

características estadísticas de interés de la serie histórica, en la misma longitud de datos.

Las características estadísticas que se pueden analizar en las series generadas y

comprobarlas con las mismas de la serie histórica, dependen del objetivo del estudio y puede

ser la reproducción y preservación de lo siguiente: (según Aliaga [3]).

La media y desviación estándar de la serie histórica, principalmente.

La estructura de dependencia.

La distribución de probabilidades.

La persistencia de los años húmedos y secos.

29

La longitud, intensidad y duración del run1 negativo, como descriptor de sequías

en general y de la sequía crítica en particular.

El rango como descriptor de la capacidad de almacenamiento entre otras.

2.6.3 GENERACIÓN DE INFORMACIÓN SINTÉTICA PARA SU UTILIZACIÓN.

Una vez verificado la bondad del modelo para preservar las características estadísticas

deseadas con las pruebas de bondad de ajuste del modelo como son la prueba de

independencia en el tiempo, la prueba de normalidad y el criterio de información de Akaike;

entonces se procederá a generar tantas muestras como sea requerido, cada una de una

longitud muestral variable, que puede ser igual a la vida útil de los proyectos, el mismo que

es considerado en la mayoría de los casos igual a 50 años. Aliaga [3].

2.7 VALIDACIÓN DE RESULTADOS.

Al usar la simulación para estudiar un sistema complejo, encontramos varios tipos de

errores como indica R. Azarang et al. [15].

Errores de diseño.

Errores en la programación.

Errores en los datos utilizados.

Errores en el uso del modelo.

Errores en la interpretación de los resultados.

Evaluar un modelo significa desarrollar un nivel aceptable de confianza de modo que

las inferencias obtenidas del comportamiento del modelo sean correctas y aplicables al

sistema del mundo real. La validación y verificación es una de las tareas más importantes y

difíciles que enfrenta la persona que desarrolla un modelo de simulación.

Verificación se refiere a la comparación del modelo conceptual con el código

computacional que se generó, para lo cual es necesario contestar preguntas

como: ¿Esta correcta la codificación?, ¿Es correcta la entrada de datos y la

estructura lógica del programa?

Validación es la demostración de que el modelo es realmente una representación

fiel de la realidad. La validación se lleva a cabo, generalmente, a través de un

proceso comparativo entre ambas partes y usa las diferencias para lograr el

objetivo.

Una vez generadas las series se comparan las características estadísticas de la serie

histórica con las características derivas de las series generadas. Usualmente se considera para

1 Run: sucesión de eventos similares precedidos y sucedidos por eventos diferentes como run negativos que son asociados a sequías y run positivos que son asociados con demasías. Aliaga [3]

30

comparación a la media, desviación estándar, coeficiente de correlación y coeficiente de

asimetría

En el proceso de validación usualmente se emplean las pruebas estadísticas siguientes:

Prueba de estimación de parámetros de la población asumiendo una distribución

de probabilidad (pruebas estadísticas con aplicación de las funciones de

probabilidad de Fisher-Snedecor, t-Student y distribución normal “z”).

Pruebas para determinar la distribución de probabilidad apropiada para la

muestra (pruebas de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov (K-S) o Chi

cuadrado χ2).

2.7.1 OPTIMIZACIÓN.

La finalidad de cualquier análisis de sistemas es optimizar la medida de afectividad,

describiendo normas para las variables de decisión a la vista de variables no controlables.

Así pues, el tomador de decisiones desea encontrar ese conjunto de variables de decisión. R.

Azarang et al [15].

Desde el uso generalizado de la computación en la solución de ecuaciones complejas,

estas han mejorado los cálculos y los resultados de diferentes problemas de interpretación de

fenómenos reales en las áreas de hidráulica, hidrológica, estructuras u otras. En hidrológica

Estocástica se ha dejado de lado el uso de tablas estadísticas, formatos como papel

logarítmico, ábacos u otras herramientas que en algún tiempo eran necesarias por no estar al

alcance el uso de programas de computo; ahora todo eso paso a ser obsoleto debido a que

existen programas creados para acciones especificas como la hoja de calculo Excel que tiene

incorporada todas las funciones de probabilidad y otras funciones más, y los programas para

estadística como el SPSS y el Minitab; y programas como el SAMS, los programas Hec

(Hec-Ras, Hec Hms, Hec-Fda) y otros mas, que teniendo en cuenta los principios de cálculos

básicos y aplicando nuevas teorías de cálculos, se obtienen resultados mas acertados a la

realidad. A este proceso de cálculos asistidos por computadora con programas adecuados

según los requerimientos, podemos decir que el proceso de cálculo ha sido optimizado.

2.7.2 SENSIBILIDAD Y EXPERIMENTACIÓN.

Es el último paso dentro del proceso de simulación y puede efectuarse antes o durante

la implantación de las soluciones en el proceso real. Consiste en jugar o experimentar con el

modelo ante situaciones nuevas o imprevistas, que tengan cierta probabilidad de ocurrencia,

con el objeto de encontrar una solución óptima ante ese posible escenario. Esto es útil pues

los sistemas reales son dinámicos y de esta manera podemos adelantarnos y ser capaces de

31

hacerles frente con anticipación. El análisis de sensibilidad se enfoca principalmente a

estudiar las variables no controlables por el tomador de decisiones dentro del proceso real. R.

Azarang et al. [15].

2.7.3 MONITOREO.

Como se acaba de mencionar, los sistemas reales son dinámicos, esto significa que se

debe llevar un estricto control de los cambios ocurridos en ellos y para inmediatamente

implantarlos en el modelo y para que pueda seguir siendo un fiel reflejo de la realidad. R.

Azarang et al. [15].

2.7.4 TÉCNICAS DE COMPROBACIÓN PARA LA VALIDACIÓN.

Para la validación de las series sintéticas generadas, con las series históricas (que son

las originales), es necesario la realización de pruebas estadísticas en los parámetros más

importantes como la media y desviación estándar.

Se realizarán pruebas de hipótesis para dos muestras, pruebas de verificación del

intervalo de confianza y pruebas de bondad de ajuste; de las cuales cada una de estas pruebas

se realizarán la contrastación de hipótesis mediante un estadístico de prueba y regla de

decisión con un nivel de significancia y el estadístico de prueba adecuado, que decidirá si se

acepta o se rechaza la hipótesis. Menendez R. [12] y Mitacc [13].

1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS MUESTRAS.

Existen dos versiones diferentes para este tipo de prueba. Una de estas pruebas

se utiliza cuando una muestra se selecciona independientemente de la otra. En este caso

se habla de una prueba para muestras independientes. Si la selección de una muestra

depende de la selección de la otra, se habla de una prueba para muestras dependientes.

i. Prueba de Hipótesis de las Varianzas de dos Poblaciones Normales.

Para determinar la homogeneidad de varianzas (si las varianzas de las dos

poblaciones son iguales) es necesario hacer la prueba de homogeneidad de varianzas.

En esta prueba se comparan las varianzas de las poblaciones en la hipótesis nula.

H0: (σ1)2 = (σ2)2

H1: (σ1)2 ≠ (σ2)2 …(2.69)

La estadística en que se basa esta prueba de hipótesis es la razón de las varianzas

de las dos muestras: …(2.70)

Donde:

32

Fc : Estadístico F (Fisher Snedecor) calculado.

: Varianzas muestrales.La distribución F depende de dos conjuntos de grados de libertad, uno para el

numerador y otro para el denominador donde (n1 - l) son los grados de libertad del

numerador y (n2 - l) son los grados de libertad del denominador. Por lo tanto,

considerando un nivel de probabilidad 95% en la función de probabilidad se

obtiene de la función F tabular (Fisher Snedecor), si se acepta la

hipótesis de homogeneidad de varianzas. De otro modo se rechaza la hipótesis.

ii. Prueba de “t” para Muestras Independientes

Se presentan dos casos para este tipo de prueba estadística, que son:

1.º.- Prueba de “t” para la Diferencia entre dos Medias Cuando las Varianzas

son Homogéneas.

Cuando las varianzas de las poblaciones son homogéneas (Pooled Variance t-

test).

Las hipótesis no direccionales o prueba de dos colas:

H0: μ l = μ 2 ó μ l - μ 2 = 0

H1: μ l ≠ μ 2 ó μ l - μ 2 ≠ 0 …(2.71)

El error estándar de la diferencia se obtiene con la varianza combinada

(pooled variance). La varianza combinada incorpora las varianzas de las

muestras a través de la siguiente fórmula:

…(2.72)

El error estándar de la diferencia es: …(2.73)

Los grados de libertad: n1 + n2 - 2.

La estadística t se computa de la siguiente forma:

…(2.74)

Donde:

tc : Estadístico t-Student calculado

: Medias de las muestras

μ1 y μ 2 : Medias de las poblaciones

33

 : Error estándar de la diferencia

n1 y n2 : Tamaño de las muestras

El estadístico tc es aproximadamente la distribución t-Student con n1 + n2 -

2 grados de libertad. Por lo tanto, considerando un nivel de probabilidad 95% en

la función de probabilidad se obtiene de la función t tabular (Student),

si se acepta la hipótesis de homogeneidad de medias

cuando las varianzas son iguales. De otro modo se rechaza la hipótesis.

2.º.- Prueba de “t” para la Diferencia entre dos Medias cuando las Varianzas no

son Iguales.

Cuando las varianzas de las poblaciones no son iguales (Separate Variance

t-test). Las hipótesis en esta prueba se trabajara con la forma direccional o

de dos colas; y se presentan de la siguiente forma:

H0: μ l = μ 2 ó μ l - μ 2 = 0

H1: μ l ≠ μ 2 ó μ l - μ 2 ≠ 0 …(2.75)

Teniendo los siguientes cálculos como el error estándar de la diferencia es:

…(2.76)

Los grados de libertad para este caso, fueron aproximados por Welch, B-L

según Mitacc [13] dado por la siguiente expresión:

…(2.77)

Donde:

Δ : Grados de libertad.

: Varianzas muestrales.

n1 y n2: tamaño de las muestras

Δ siempre se aproxima a la parte entera del resultado (nunca se redondea).

La estadística tc se computa de la siguiente forma:

…(2.78)

34

Donde:

tc : Estadístico t-Student calculado.

= medias de las muestras.

μ1 y μ 2 = medias de las poblaciones.

  = error estándar de la diferencia.

El estadístico tc es aproximadamente la distribución t-Student con Δ grados de

libertad. Por lo tanto, considerando un nivel de probabilidad 95% en la función

de probabilidad se obtiene de la función t tabular, si se

acepta la hipótesis de homogeneidad de medias cuando las varianzas no son

iguales. De otro modo se rechaza la hipótesis.

iii. Pruebas de t para Muestras Dependientes.

En el caso de que un par de observaciones puedan ser relacionadas de alguna

manera, tal como una observación tomada antes de un tratamiento y otra después de un

tratamiento, reciben el nombre de observaciones apareadas. Mitacc [13].

Las hipótesis en esta prueba son no direccional o prueba de dos colas; y se

presentan de la siguiente forma:

H0: μD = 0

H1: μD ≠ 0 …(2.79)

Teniendo los siguientes cálculos como el error estándar de la diferencia es:

…(2.80)

La estadística t se computa de la siguiente forma:

…(2.81)

Donde:

tc: Estadístico t-Student calculado.

SD : Desviación estándar de las diferencias

: Media de las diferencias de los pares en las muestras

μD : Media de las diferencias de los pares en las poblaciones

n : Tamaño de los pares de muestras

El estadístico tc es aproximadamente la distribución t-Student con (n-1) grados de

libertad. Por lo tanto, considerando un nivel de probabilidad 95% en la función de

35

probabilidad se obtiene de la función t tabular, si se acepta la

hipótesis de que las muestras son similares. De otro modo se rechaza la hipótesis.

2. INTERVALO DE CONFIANZA A PARTIR DE LAS SERIES GENERADAS.

Basado en el modelo seleccionado y en los parámetros estimados se generan M

secuencias de serie de la misma longitud de la muestra histórica; se determina las

características estadísticas bajo análisis, denotadas como Ug(i) de cada una de las series

generadas i = 1, 2, 3, …, M. se calcula la media Ug y la desviación estándar S(Ug) de

Ug(i) determinándose el intervalo: Salvatierra R. [22]:

…(2.82)

…(2.83)

…(2.84)

Donde c es la variable estándar histórica Ug cae dentro del intervalo dado por la

expresión 2.79. Si es así, se concluye que el modelo preserva el estadístico Ug. De otra

forma el modelo no preserva Ug y en tal caso se procede a modificar los parámetros del

modelo, cambiar el orden, o el tipo del modelo.

3. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

Pruebas para determinar la distribución de probabilidad de la cual proviene la

muestra como las series sintéticas generadas por el modelo ARMA (p,q), se utilizan las

siguientes pruebas conocidas:

Prueba de Chi – Cuadrado (χ2)

...(2.85)

Tiene una distribución Chi-cuadrado con g.l. = k-h-1.

Donde:

N: tamaño de la serie.

Ni: Frecuencia absoluta.

k: Intervalos de clase.

g.l.: grados de libertad.

H: número de parámetros a estimarse.

36

Así h=2 para la distribución normal.

h=3 para la distribución log-normal de 3 parámetros, etc.

Tiene una distribución Chi-Cuadrado con k-3 grados de libertad. Por lo

tanto, considerando un nivel de probabilidad de α=5%, el se

obtiene de la función Chi-cuadrado, si se acepta la hipótesis

de que el ajuste es bueno al nivel de significancia seleccionado, ajustándose a

una distribución de normalidad de la serie xt. De otro modo se rechaza la

hipótesis. Según Villón [27].

Prueba de Smirnov – Kolmogorov

∆ = máx │F(x) – P(x)│ ...(2.86)

Donde:

∆ : Estadístico de Smirnov – Kolmogorov, cuyo valor es igual a

la diferencia máxima existente entre la probabilidad ajustada y

la probabilidad empírica.

F(x) : Probabilidad de la distribución teórica a partir de datos

normalizados.

P(x) : Probabilidad experimental o empírica de los datos,

denominados también frecuencia acumulada usando la

formula de Weibull.

Por lo tanto, considerando un nivel de probabilidad el α (0.05 ó 0.01) se

obtiene un valor Δ tabular de la tabla de Kolmogorov, si Δmáx < Δtabla, entonces el

ajuste es bueno, pero si Δmáx < Δtabla, entonces el ajuste no es bueno al nivel de

significancia seleccionado. Según Villón [27].

37

III. MATERIALES Y METODOS

3.1 LUGAR DE REALIZACIÓN.

3.1.1 UBICACIÓN.

El área de ejecución del proyecto es la Cuenca del Río Santa; y con mayor interés las

Sub Cuencas de sus principales ríos, que cuentan con mayor cantidad de registros

hidrométricos históricos.

38

La cuenca del Río Santa abarca partes de los departamentos de Ancash y La Libertad

entre los paralelos 7° 59’ y 10° 12’ de latitud sur, y los meridianos 77° 11’ y 78° 38’ de

longitud Oeste (Anexos M-1); formando parte de la vertiente del pacífico (Fig. Anexos D-1).

Presenta como limites: por el norte las cuencas de los ríos Marañón y Moche, por el

sur las cuencas de los ríos Pativilca y Fortaleza, por el este las cuencas de los ríos Marañón y

Pativilca y por el oeste las cuencas de los ríos Virú, Chao, Moche, Lacramarca, Nepeña,

Casma, Huarmey y Fortaleza. (Fig. Anexos D-2)

La cuenca del río Santa tiene una extensión de 12 200 Km2, de la cual el 83%, es decir

10 200 Km2, corresponden a la cuenca imbrífera o húmeda, denominada seca, a partir de la

cual puede considerarse que la precipitación pluvial es un aporte efectivo al escurrimiento

superficial (Fig. Anexo D–3).

La Cordillera Blanca, que conforma parte del límite oriental de la cuenca, es una de las

fuentes más importantes de los recursos hídricos del río Santa, se extiende en una longitud de

180 Km, desde la laguna de Conococha por el Sur, hasta el nevado de Champará por el

Norte, y sigue una dirección paralela al río. El pico más importante de esta cadena de

nevados, es el Huascarán, que alcanza una altura de 6 768 m.s.n.m., dominando todo este

macizo, además, existen otros importantes nevados, entre los cuales cabe mencionar, de Sur

a Norte: Rajutuna, Caullaraju, Tuco, Huaiyacu, Pongos, Yanamarey, Uruashraju, Cashan,

Rurec, Huantsan, Pucaranra, Oeshpalca, Palcaraju, Hualcan, Huandoy, Aguja Nevada,

Pucahirca, Santa Cruz, Alpamayo, Pilanco, Millua Kocha y Champará. El área total de

nevados cubre una extensión de 616 Km2.

3.1.2 DISPONIBILIDAD DE DATOS DE LA RED HIDROMETRICA.

El escurrimiento superficial del río Santa se origina de las precipitaciones que ocurren

en su cuenca alta, y además con mucha incidencia, de los aportes glaciares de los nevados

(5.3 % de la superficie de la cuenca) del flanco occidental de la Cordillera Blanca, cuyo

aporte contribuyen a mantener una considerable descarga, aún en época de estiaje, lo cual

hace del Río Santa uno de los ríos más regulares de la Costa del Perú (Ver Fig. 3.1).

El río Santa recibe el aporte de numerosos afluentes, la mayoría de los cuales bajan de

la Cordillera Blanca, siendo el más importante el río Tablachaca, el cual tiene una cuenca

colectora total de 3 184 Km2., aproximadamente, el 26% de la cuenca total. Los otros

afluentes importantes, de Sur a Norte son: Tuco, Queullish, Pachacoto, Querococha, Negro,

Pariac, Quillcay, Ishinca, Qda. Honda, Ulta, Llanganuco, Parón, Colcas, Cedros, Quitaracsa,

Corongillo y Manta.

39

CAUDAL PROMEDIO INTER ANUALESTACION PUENTE CARRETERA

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

SET OCT NOV DIC ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO

CAU

DAL

m3/

s

Fig 3.1. Caudal promedio del Río Santa en la estación de Puente Carretera, en la desembocadura del Río Santa (promedio interanual 1931-1999). Los 50 m3/s que llegan al mar en época de estiaje se deben por gran parte al la

fusión de los glaciares de la cuenca alta. Se nota la graduación en año hidrológico, de setiembre (inicio de la temporada de lluvias en la cuenca alta) a agosto.

La característica hidrográfica de la cuenca del río Santa, expresada por la presencia de

la Cordillera Blanca por el Este y la Cordillera Negra por el Oeste, determina que este río

reciba aportes permanentes sólo por la margen derecha, es decir, de los afluentes que se

originan en la Cordillera Blanca como consecuencia del aporte de sus numerosos glaciares.

En cambio, la Cordillera Negra no cuenta normalmente con glaciares, motivo por el cual el

aporte que ella puede brindar depende casi exclusivamente de las precipitaciones pluviales.

Ver Anexos D-4

Debido a la importancia que tienen los tributarios en las descargas del río,

antiguamente la Corporación Peruana del Santa instalo estaciones de aforo tipo limnigráfico,

en los afluentes como en el cauce principal de río santa, siendo las siguientes (ver Anexos D-

4):

Sobre el río Santa, como estaciones permanentes, Condorcerro, La Balsa y

Recreta.

Sobre los tributarios, las estaciones de Chuquicara, Manta, Quitaracsa,

Cedros, Colcas, Parón, Llanganuco, Chancos, Quillcay, Olleros, Querococha y

Pachacoto.

Implantado el gobierno militar la Corporación Peruana del Santa fue desmembrada y

las estaciones de aforo pasaron a manos de Electro Perú, que luego del proceso de

privatización pasaron finalmente a la empresa Duke Energy EGENOR, que actualmente ha

instalado otras estaciones y maneja muy pocas estaciones instaladas, y el resto de las

estaciones están abandonadas. El INRENA esta iniciando la implementación de estaciones

hidrométricas en la parte alta de la cuenca (micro cuencas glaciares). Ver cuadro 3.1.

Actualmente están funcionando solo 6 estaciones hidrométricas de EGENOR (La

Balsa, Condorcerro, Quitaracsa, Los Cedros, Colcas, Parón), más las 4 estaciones de la

Unidad de Glaciología del INRENA instalados en las lagunas de origen glaciar

(Artesoncocha y Yanamarey, Parón y Llanganuco activadas recientemente en el 2003). Ver

cuadro 3.2 y 3.3

40

41

CUADRO N° 3.1 UBICACIÓN EN COORDENADAS GEOGRAFICAS DE LAS ESTACIONES HIDROMÉTRICAS DE LA CUENCA DEL RÍO SANTA

SENAMHI EGENOR GPS BP 07-10/2001

NOMBRE RIO, QUEBRADA O LAGUNA

AREA CUENCA

(Km2)

AREA GLACIAR

(Km2)

% AREA GLACIAR

LATITUD(°Sur)

LONGITUD(°Oeste)

ALTITUD (m.s.n.m.)

LATITUD(°Sur)

LONGITUD(°Oeste)

ALTITUD (m.s.n.m.)

LATITUD(°Sur)

LONGITUD(°Oeste)

ALTITUD (m.s.n.m.)

CONOCOCHA SANTA 10°07’09’’ 77°17’00’’ 4068 10°07’09’’ 77°17’00’’ 4068RECRETA SANTA 295 5.6 0.02 10°01’37’’ 77°19’36’’ 3990 10°02’19’’ 77°19’29’’ 3990 10°02’27’’ 77°19’33’’ 4018MIRAFLORES SANTA 2390 226 0.09 9°29’21’’ 77°32’19’’ 3000 9°29’32’’ 77°32’18’’ 2970 9°29’46’’ 77°32’29’’ 2994LA BALSA SANTA 4840 563 0.12 8°52’55’’ 77°49’50’’ 1880 8°52’27’’ 77°49’47’’ 1880 8°52’39’’ 77°49’38’’ 1861CONDORCERRO SANTA 10353 631 0.06 8°39’14’’ 78°15’29’’ 450 8°39’30’’ 78°15’43’’ 477PUENTE CARRETERA SANTA 11910 631 0.05 8°58’12’’ 78°37’48’’ 18 8°58’12’’ 78°37’48’’ 18HUACAMARCANGA HUACAMARCANGA 8°06’00’’ 78°18’00’’ 4000 8°06’00’’ 78°18’00’’ 4000CHUQUICARA CHUQUICARA 2836 0 0.00 8°38’42’’ 78°13’35’’ 500 8°38’51’’ 78°13’55’’ 532HUILLCA SAFUNA 8°47’29’’ 77°36’29’’ 3970 8°47’29’’ 77°36’29’’ 3970QUITARACSA QUITARACSA 391 35.8 0.09 8°47’50’’ 77°50’46’’ 1480 8°47’52’’ 77°51’08’’ 1480 8°47’52’’ 77°51’08’’ 1480MANTA MANTA 599 5.9 0.01 8°37’34’’ 77°54’03’’ 1920 8°36’31’’ 77°53’03’’ 1920 8°36’31’’ 77°53’03’’ 1920LOS CEDROS LOS CEDROS 117 25.9 0.22 8°51’50’’ 77°49’05’’ 1990 8°51’51’’ 77°49’14’’ 1990 8°52’18’’ 77°49’43’’ 1878COLCAS COLCAS 238 50.8 0.21 8°55’08’’ 77°50’23’’ 2050 8°55’10’’ 77°50’20’’ 2050 8°55’24’’ 77°50’33’’ 2048PARON PARON 45.1 21.6 0.48 8°59’47’’ 77°41’02’’ 4100 8°59’48’’ 77°41’15’’ 4100 8°59’48’’ 77°41’15’’ 4100ARTESONCOCHA ARTESONCOCHA 7.9 6.2 0.78 8°58’26’’ 77°38’36’’ 4300 8°58’26’’ 77°38’36’’ 4300CHACRARAJU CHACRARAJU 5.7 4.2 0.74 8°58’55’’ 77°38’25’’ 4300 8°58’55’’ 77°38’25’’ 4300LLANGANUCO LLANGANUCO 90.2 33.7 0.37 9°04’35’’ 77°39’05’’ 3850 9°04’40’’ 77°38’45’’ 3850 9°04’43’’ 77°39’05’’ 3916CHANCOS QDA. HONDA 266 90.8 0.34 9°18’52’’ 77°34’26’’ 2940 9°19’05’’ 77°33’48’’ 2940 9°19’15’’ 77°34’47’’ 2872QUILLCAY QUILLCAY 250 92.5 0.37 9°31’14’’ 77°31’28’’ 3052 9°31’12’’ 77°31’41’’ 3042 9°31’24’’ 77°31’39’’ 3091OLLEROS NEGRO 176 28.9 0.16 9°39’50’’ 77°28’00’’ 3550 9°40’03’’ 77°27’27’’ 3550 9°40’01’’ 77°27’49’’ 3456URUASHRAJU URUASHRAJU 4.8 3.6 0.75 9°35’41’’ 77°19’28’’ 4610 9°35’41’’ 77°19’28’’ 4610QUEROCOCHA QUEROCOCHA 63.7 4.0 0.06 9°43’31’’ 77°19’53’’ 3980 9°43’18’’ 77°19’40’’ 3980 9°43’35’’ 77°19’55’’ 4037YANAMAREY YANAMAREY 2.2 1.6 0.73 9°39’25’’ 77°16’32’’ 4600 9°39’25’’ 77°16’32’’ 4600PACHACOTO PACHACOTO 204 24.3 0.12 9°50’58’’ 77°23’53’’ 3700 9°50’55’’ 77°24’01’’ 3700 9°50’55’’ 77°24’01’’ 3700Fuente: IRD (Instituto Para Investigación y el Desarrollo de Francia [4])

42

NOMBRE RIO LATITUD(°Sur)

LONGITUD(°Oeste)

ALTITUD(m) INICIO FIN GESTION

RECRETA SANTA 10°02’27’’ 77°19’33’’ 4018 1953 1995 EGENOR

MIRAFLORES SANTA 9°29’46’’ 77°32’29’’ 2994 1987 1997 EGENOR

LA BALSA SANTA 8°52’39’’ 77°49’38’’ 1861 1954 2001 EGENOR

CONDORCERRO SANTA 8°39’30’’ 78°15’43’’ 477 1956 1997 EGENOR

PUENTE CARRETA SANTA 8°58’12’’ 78°37’48’’ 18 1931 1988 SENAMHI

HUACAMARCANGA HUACAMARCANGA 8°06’00’’ 78°18’00’’ 4000 1977 1995 EGENOR

MANTA MANTA 8°36’31’’ 77°53’03’’ 1920 1968 1997 EGENOR

CHUQUICARA CHUQUICARA 8°38’51’’ 78°13’55’’ 532 1954 1997 EGENOR

QUITARACSA QUITARACSA 8°47’52’’ 77°51’08’’ 1480 1953 1999 EGENOR

LOS CEDROS LOS CEDROS 8°52’18’’ 77°49’43’’ 1878 1952 2002 EGENOR

COLCAS COLCAS 8°55’24’’ 77°50’33’’ 2048 1953 1998 EGENOR

ARTESONCOCHA ARTESONCOCHA 8°58’38’’ 77°38’41’’ 4300 1996 2002 UGRH

PARÓN PARÓN 9°00’14’’ 77°41’20’’ 4112 1953 2002 EGENOR

LLANGANUCO LLANGANUCO 9°04’43’’ 77°39’05’’ 3916 1953 1997 EGENOR

CHANCOS QDA. HONDA 9°19’15’’ 77°34’47’’ 2872 1953 1999 EGENOR

QUILLCAY QUILLCAY 9°31’24’’ 77°31’39’’ 3091 1953 1998 EGENOR

YANAMAREY YANAMAREY 9°39’36’’ 77°16’38’’ 4600 2001 2002 UGRH

OLLEROS OLLEROS 9°40’01’’ 77°27’49’’ 3456 1970 1998 EGENOR

QUEROCOCHA QUEROCOCHA 9°43’35’’ 77°19’57’’ 4037 1953 1998 EGENOR

PACHACOTO PACHACOTO 9°51’09’’ 77°24’08’’ 3745 1953 1997 EGENOR

CONOCOCHA SANTA 10°07’09’’ 77°17’00’’ 4068 ? ? EGENOR

HUILLCA SAFUNA 8°47’39’’ 77°36’47’’ 3980 ? ? EGENOR

Estación Hidrométrica operativa, administrada por EGENOR

Estación Hidrométrica operativa, administrada por INRENA

Estación hidrométrica Abandonada

Fuente: Bernard Pouyaud y colaboradores, 2003

CUADRO N° 3.2: ESTACIONES HIDROMETRICAS EN LA CUENCA DEL RIO SANTA

43

CUADRO N° 3.3DISPONIBILIDAD DE DATOS DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES EN LA CUENCA DEL RIO SANTA.

NOMBRE19

51-5

219

52-5

319

53-5

419

54-5

519

55-5

619

56-5

719

57-5

819

58-5

919

59-6

019

60-6

119

61-6

219

62-6

319

63-6

419

64-6

519

65-6

619

66-6

719

67-6

819

68-6

919

69-7

019

70-7

119

71-7

219

72-7

319

73-7

419

74-7

519

75-7

619

76-7

719

77-7

819

78-7

919

79-8

019

80-8

119

81-8

219

82-8

319

83-8

419

84-8

519

85-8

619

86-8

719

87-8

819

88-8

919

89-9

019

90-9

119

91-9

219

92-9

319

93-9

419

94-9

519

95-9

619

96-9

719

97-9

819

98-9

919

99-0

020

00-0

120

01-0

2

RECRETA

MIRAFLORES

LA BALSA

CONDORCERRO

PUENTE CARRETERA

HUANCAMARCANGA

MANTA

CHUQUICARA

QUITARACSA

LOS CEDROS

COLCAS

ARTESONCOCHA

PARON

LLANGANUCO

CHANCOS

QUILLCAY

YANAMAREY

OLLEROS

QUEROCOCHA

PACHACOTO

Faltan Datos en Algunos Meses del AñoDatos Completos en Todo el AñoFaltan Datos Durante el Año

44

3.2 MATERIALES.

Los materiales empleados para el presente trabajo de tesis son los siguientes

3.2.1 INFORMACION HIDROMETRICA DE CAUDALES MENSUALES.

La cuenca del Río Santa cuenta con registros históricos de 20 estaciones hidrométricas

distribuidos en la cuenca. En el cuadro 3.3 se muestra la disponibilidad de datos de caudales

medios mensuales para cada año desde su funcionamiento hasta el cierre de algunas

estaciones.

3.2.2 INFORMACION CARTOGRAFICA DE LA CUENCA DEL RIO SANTA.

Base cartográfica para la cuenca del Río Santa del Instituto Geográfico Nacional, en

base a cartas nacionales digitales a escala 1/100 000.

3.2.3 SOPORTE INFORMATICO.

Para el procesamiento rápido de los diferentes cálculos que en la mayoría, son

complicados, y la edición de los mapas y cuadros; se emplearon lo siguiente:

Ordenador con Software: Office XP, SAMS 2000, Minitab 13.1, SPSS 11.0, Auto Cad

Map2000i, Auto Cad 2002, Adobe Photo Shop 6.0, Adobe Acrobat 5.0, Map Scan, Corel

Draw 10.0, SIH, Panorama Maker, Arc View 3.3.

El programa SAMS (Stochastic Analysis, Modeling, and Simulation): Programa para

el Análisis Estocástico, Modelamiento y Simulación; elaborado por el Doctor José D. Salas

de la Cruz et al [21] en la universidad del estado de Colorado, elaborado en lenguaje C y

Fortran y corre bajo sistemas operativos modernos como Windows 98 y NT. El programa,

contiene módulos que consiste en trazado de datos, verificación de la normalidad,

transformación de datos y características estadísticas; en el segundo modulo contiene el

ajuste de modelos estocásticos, incluyendo la estimación de parámetros y comprobación del

modelo para alternativas unitarias y multivariadas de los modelos estocásticos, los siguientes

modelos son incluidos:

Modelo Univariado ARMA (p,q) donde p y q pueden variar de 1 a 10.

Modelo Univariado GAR (1)

Modelo Univariado Periódico ARMA (p,q)

Modelo de Desagregación Estacional Univariada.

Modelo multivariado Autoregresivo MAR (p)

Modelo Multivariado Contemporáneo CARMA (p,q) donde p y q pueden

variar de 1 a 10.

45

Modelo Multivariado Periódico MPAR (p)

Modelo de Desagregación Multivariada Anual (espacial)

Modelo de Desagregación Multivariada (temporal).

El tercer modulo de aplicación es la Generación de Series Sintéticas, los modelos para

la generación pueden ser aquellos que se estiman por el SAMS ellos pueden ser

proporcionados por el usuario.

El programa SIH (Sistema de Información Hidrológica), elaborado por el Mag. Ing.

Mario Aguirre Núñez [1]; es un programa de almacenamiento, gestión, análisis y

modelación de la información relacionada con los recursos hídricos en las cuencas del país.

El programa ha sido creado con la finalidad de brindar una eficiente ayuda a los

profesionales en hidrología y administración de los recursos hídricos. Este programa

conlleva las más modernas técnicas de la ciencia Hidrológica, Estadística e Informática.

En concordancia con los procedimientos de gestión de la información hidrológica el

programa se ha organizado modularmente en:

Sistema de Base de Datos

Análisis de consistencia y corrección de la información

Completación y extensión de la información.

Pruebas de bondad de ajuste

Modelación estocástica

Análisis de frecuencia de máximas avenidas

Complementariamente a los respectivos módulos de programa se ha desarrollado la

conexión con los programas o software de uso estándar en hidrología: HEC4 y SAMS para la

completación y modelación estocástica de las series de tiempo hidrológicas.

3.3 MÉTODOS.

La metodología seguida para la validación de series sintéticas generadas por el modelo

estocástico ARMA (p,q), consistió en los siguientes pasos:

3.3.1 RECOPILACIÓN DE DATOS.

Se recopilaron datos hidrológicos históricos de descargas medias mensuales (de las

estaciones hidrométricas de la cuenca del Río Santa), de las siguientes fuentes:

Estudio de vulnerabilidad y Evaluación de Riesgo de las Lagunas de Cancaraca..

Constructora, Consultora y contratistas Generales J.C. & R.F. S.R.L., Diciembre

2001.

46

Estudio Hidrológico Integral de la Sub Cuenca Pariac Embalse Rajucolta –

Afianzamiento Hídrico Río Santa. Consult Control S. A., Octubre 1995.

Estudio Integral para el Aprovechamiento de la Cuenca del Río Santa 1° etapa,

Informe de Inventario, Anexo G: Hidrológica. Hidroservis, setiembre de 1984.

Tesis: Los Modelos ARIMA y Broken Line Aplicados a las Descargas Mensuales de

los Ríos Santa y Tablacacha, Análisis Critico. [22]

Estos estudios tuvieron como fuente Hidrológica EGENOR, SENAMHI, etc; de los

cuales se seleccionaron las estaciones que cuenten con la mayor cantidad de registros

históricos para trabajar con un período común en las estaciones seleccionadas.

En el cuadro N° 3.3 se muestra la disponibilidad de datos hidrométricos de descargas

medias mensuales, de las cuales se seleccionaron las estaciones que cuentan con mayor

número de años de registros históricos de caudales medios mensuales; estas estaciones

hidrométricas son: Recreta, Pachacoto, Querococha, Cedros, Colcas, Quitaracsa,

Condorcerro, Puente Carretera, La Balsa, Chancos, Llanganuco y Parón; el período común

entre las estaciones seleccionadas es desde 1956 hasta 1995. El cuadro N° 3.4 muestra las

estaciones seleccionadas y la disponibilidad de datos de descarga media mensual.

47

CUADRO N° 3.4DIPONIBILIDAD DE DATOS DE LAS ESTACIONES SELECCIONADAS Y PERÍODOS DE ESTUDIO (1956 A 1995)

Nota: El área achurada corresponde a las estaciones, seleccionadas.

NOMBRE19

51-5

219

52-5

319

53-5

419

54-5

519

55-5

619

56-5

719

57-5

819

58-5

919

59-6

019

60-6

119

61-6

219

62-6

319

63-6

419

64-6

519

65-6

619

66-6

719

67-6

819

68-6

919

69-7

019

70-7

119

71-7

219

72-7

319

73-7

419

74-7

519

75-7

619

76-7

719

77-7

819

78-7

919

79-8

019

80-8

119

81-8

219

82-8

319

83-8

419

84-8

519

85-8

619

86-8

719

87-8

819

88-8

919

89-9

019

90-9

119

91-9

219

92-9

319

93-9

419

94-9

519

95-9

619

96-9

719

97-9

819

98-9

919

99-0

020

00-0

120

01-0

2

RECRETA

PACHACOTO

QUEROCOCHA

COLCAS

LOS CEDROS

QUITARACSA

CONDORCERRO

PUENTE CARRETERA

LA BALSA

CHANCOS

LLANGANUCO

PARON

Faltan Datos Durante el Año Datos Completos en Todo el Año Datos Incompletos en Algunos Meses del Año

48

3.3.2 PROCESAMIENTO DE DATOS.

Se realizó el procesamiento de datos hidrométricos como son: análisis de consistencia

de saltos y tendencias de las series hidrométricas, completación y extensión de datos.

Permitiendo así identificar, estimar y eliminar los saltos y tendencias tanto en la media como

en la desviación estándar.

Para un mejor análisis de consistencia y completación de datos, las series se agruparon

teniendo encuenta la ubicación de sus estaciones y a partir de ella evaluar las características

geomorfológicas, cercanías y semejanzas de pisos altitudinales y semejanzas en el monitoreo

de volúmenes de agua.

Para realizar los cálculos, se elaboraron hojas de cálculo en Excel, que automatizaron

el proceso de cálculo. Estas hojas de cálculo fueron de elaboración propia.

1. ANALISIS DE CONSISTENCIA.

Se realizó el análisis de consistencia de las series, permitiendo así identificar,

cuantificar, evaluar y corregir las inconsistencias en los saltos y tendencias.

i. Identificación de los Saltos.

Agrupadas las series hidrométricas, se realizó el análisis visual para identificar

los posibles saltos. La visualización de las series en los hidrogramas hace posible una

primera identificación de los saltos; a partir del grafico de doble masa se pueden

apreciar e identificar los quiebres que representan inconsistencias y en qué períodos

(años) se han presentado estas inconsistencias.

ii. Evaluación, Cuantificación y Corrección de Saltos.

Identificado los quiebres a partir de los gráficos doble masa, se procedió a

cuantificar si la inconsistencia es significativa, para la cuantificación se utilizaron las

ecuaciones 2.2, 2.5 y 2.6 descritas en la sección 2.1.1 (consistencia en la Media y

Desviación Estándar), obtenido los resultados de los estadísticos de contraste en la

prueba de homogeneidad de varianzas y prueba de “t” para la diferencia de 02 medias

que fueron descritas en la sección 2.1.1; se procedió a corregir las series que presentaran

saltos significativos, según el análisis estadístico con las pruebas antes mencionadas

utilizando las ecuaciones 2.7 y 2.8 descritas en la sección 2.1.1.

iii. Identificación de Tendencias.

Obtenida las series libre de saltos en la media y desviación estándar, se realizaron

49

las identificaciones visuales con los hidrogramas a cada serie; esto sirvió para que las

series sean evaluadas y corregidas las tendencias significativas en la media y desviación

estándar.

iv. Evaluación, Cuantificación y Corrección de Tendencias.

Se realizaron los cálculos para cuantificar la tendencia en la media y

desviación estándar utilizando las ecuaciones 2.9 y 2.11 descritas en la sección 2.1.2,

identificando las series que presentaron tendencias significativas tanto en la media y

desviación estándar de acuerdo a la contrastación de hipótesis de la prueba de R2 . Se

corrigieron las series que presentaron tendencias significativas, utilizando las ecuaciones

2.10 y 2.13 para corregir dichas series, estas ecuaciones fueron descritas en la sección

2.1.2.

2. COMPLETACION Y EXTENCION DE DATOS.

Obtenida las series libre de saltos y tendencias, se tiene una serie homogénea

lista para realizar la completación de datos, se tomo en cuenta la completación de datos

más no la extensión, debido a que en la extensión de datos se pierden características

estadísticas de las series originales.

La completación de datos se realizaron en grupos definidos anteriormente,

asegurando la adecuada completación, tomando las series índices o series que

presentaban menores quiebres en los gráficos de doble masa; estas series sirvieron de

estaciones bases para realizar la completación de las otras series que los acompañan en

sus respectivos grupos.

Para el proceso de completación, se preparo una hoja de cálculo de elaboración propia,

para que complete datos teniendo en cuenta:

1° completar datos de la serie índice o completa, a la serie incompleta con

ecuaciones de regresión lineal, se incorporaron varios modelos de ecuaciones de

regresión como lineal simple, logarítmica, potencial, exponencial e inversa; de las cuales

se evaluaron cada ecuación con la prueba de R2 , la ecuación que presentará el valor

más significativo de la prueba, era la adecuada para realizar la completación.

2° si R2 no es significativo, se completaron los datos con el método de las

proporciones.

50

Análisis del Modelo

Declaración de Parámetros y Variables del Programa

Impresión de Grafico de

Serie Residual

Subrutina de Datos de Descargas Hist. de la

Cuenca del Río Santa.

Transformación Logarítmica

Subrutina calcula FA y FAP

Subrutina Toma Logaritmos de datos y calcula parámetros estadísticos.

Selección identificación del modelo en base a FA y FAP

Desestacionalización Serie Histórica Mediante Transformaciones

Subrutina desestacionalización quitando la media

Impresión de Grafico de

Componente Estacional

Impresión de Grafico Componente Estacional

Transformación Estandarización

Subrutina calcula estadística media, desv. Est. histórica

Subrutina desestacionalización y halla serie residual.

Impresión de Grafico de

Componente Residual.

Impresión de Grafico de FA y FAP, para las series de Transf. Logarítmica y estandarización.

SI

NO

SI

NO

14 3

FIG. N° 3.2 DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL ANALISIS ESTOCASTICO ARMA (p,q)

51

Bondad de Ajuste.

Impresión coefs. Autorregresivos y media móvil.

Subrutina entrada de datos p, q, del modelo ARMA.

En base FA y FAP estimar ordenes del Modelo

Estimación de parámetros

Subrutina calcula serie aleatoria Et=f(AR, MA)

Subrutina calcula parámetros mediante método de Momentos

Subrutina calcula ajuste de parámetros por max. Verosimilitud.

Impresión resultados Prueba de Porte Monteau.

Subrutina realiza Prueba de Porte Monteau, selección de los primeros modelos ARMA generados.

Impresión resultados de la prueba de Anderson.

Subrutina realiza Prueba de Anderson.

Subrutina calcula FA de serie residual estocástica.

1

24 3

4 3

52

Impresión resultados de modelos seleccionados.

Subrutina halla modelo parsimonioso según AIC, de los modelos pre seleccionado.

Impresión resultados prueba de ajuste de normalidad.

Subrutina calcula ajuste de distribución de probabilidad Normal de serie residual Estocástica.

Prueba del Modelo

satisfactoria?

Probar otra serie

F I N

2

SI

NO

34

53

3.3.3 DESESTACIONALIZACION.

En esta etapa se inicia los procesos para el análisis estocástico del modelo, como es

descrito en el diagrama de flujo en la figura 3.2.

Las componentes aleatoria y no aleatoria tienen que ser identificada y modelada

previamente. Varias transformaciones son disponibles (estandarización, transformación

logarítmica, etc.), para alcanzar aproximadamente una separación entre la llamada

componente estacional o variación determinística y la componente aleatoria.

En general se considera a la variable hidrológica como normal; si es que la serie es

No-normal, una transformación adecuada es usada para hacerla normal:

...(3.1)

Donde:

q: es la función de transformación siendo Yt la variable normal.

Para convertir las series hidrométricas a series normales, se realizó la transformación

logarítmica que ha sido usada en el modelamiento estocástico de modelos ARIMA [22, 1999

y 23, 1991], dando buenos resultados.

El procesamiento de datos para la transformación y estandarización, se elaboró una

hoja de cálculo en Excel de elaboración propia.

1. TRANSFORMACION LOGARITMICA.

Si la desviación estándar aparenta ser directamente proporcional a la media, es

útil una transformación logarítmica, un modelo multiplicativo estabiliza la desviación

estándar y de esa manera se alcanzará una varianza constante a través del tiempo. Para

realizar la transformación se utilizaron las ecuaciones condicionadas a partir de la

ecuación 2.39 descrita en la sección 2.5.4 (Normalización de series Periódicas de

tiempo).

...(3.2)

o por su equivalente:

Ln xt = mk + yt …(3.3)

, k= 1,2,…,12 …(3.4)

E[yt] = 0

Donde:

xt : Observación mensual.

Ln xt : Logaritmo natural de la observación t.

mk : Media aritmética estimada de Ln xt, histórica mensual k.

54

yt : variable aleatoria.

N : número de años.

2. ESTANDARIZACION.

La varianza estacional en la media y la desviación estándar mensual pueden ser

eliminadas estimando los dos primeros momentos y luego normalizando a un proceso de

media cero y varianza unitaria.

Para la estandarización de la serie transformada se aplicó la formula 2.42

descrita en la sección 2.5.4 (Eliminación de la periodicidad dentro del año)

Ejemplo:

Procedimientos para determinar la componente residual y estacionaria para la

normalización con transformación logarítmica (Cuadro N° 3.5) y estandarización de

datos (cuadro lado derecho). La grafica de las componentes residual y estacional se

muestra en las figuras 4.25 al 4.48.

Cuadro N° 3.5 Ejemplo de cálculo para determinar la Transformación Logarítmica y

la Estandarización.

CAUDAL LOG. NATURAL COMPONENTE COMPONENTE LOG. NATURAL COMPONENTE COMPONENTE

MEDIO CAUDAL ESTACIONAL RESIDUAL CAUDAL ESTACIONAL RESIDUAL

AÑOS QmLn(Qm)

=Q'AÑOS Q'

1956 4.848 1.579 6.1127 -0.2318 1956 1.58 1.8104 -0.62061957 3.673 1.301 6.1127 -0.5094 1957 1.30 1.8104 -1.36371958 6.248 1.832 6.1127 0.0219 1958 1.83 1.8104 0.05861959 4.682 1.544 6.1127 -0.2667 1959 1.54 1.8104 -0.71391960 8.517 2.142 6.1127 0.3317 1960 2.14 1.8104 0.88801961 6.022 1.795 6.1127 -0.0150 1961 1.80 1.8104 -0.04001962 9.657 2.268 6.1127 0.4573 1962 2.27 1.8104 1.22431963 10.161 2.319 6.1127 0.5082 1963 2.32 1.8104 1.36051964 6.286 1.838 6.1127 0.0279 1964 1.84 1.8104 0.07481965 3.891 1.359 6.1127 -0.4517 1965 1.36 1.8104 -1.20931966 9.075 2.206 6.1127 0.3951 1966 2.21 1.8104 1.05791967 4.160 1.426 6.1127 -0.3849 1967 1.43 1.8104 -1.03031968 4.445 1.492 6.1127 -0.3186 1968 1.49 1.8104 -0.85291969 3.549 1.267 6.1127 -0.5437 1969 1.27 1.8104 -1.45561970 11.404 2.434 6.1127 0.6236 1970 2.43 1.8104 1.66951971 7.969 2.076 6.1127 0.2652 1971 2.08 1.8104 0.70991972 5.553 1.714 6.1127 -0.0960 1972 1.71 1.8104 -0.25711973 7.368 1.997 6.1127 0.1868 1973 2.00 1.8104 0.5000

PROMEDIO 6.53 1.81 6.11 0.0000 PROMEDIO 1.81 1.8104 0.0000Zt : variable normalizada con media cedo y varianza uno DESV. EST. 0.37 0.0000 1.0000

Para el modelamiento de los datos de caudales históricos corregidos y

completados en el programa SAMS, este presenta opciones para normalización de datos

con varias trasformaciones e ingreso de coeficientes “a” para el mejor ajuste. En las

55

Fig. N° 3.3-1: Se muestra el ploteo de datos promedio mensuales de la serie de Pachacoto, el ploteo de datos caen fuera de los límites de confianza para que la serie se normal.

siguientes figuras (3.3-1 al 3.3-4) se muestran el proceso de transformación logarítmica

que se realiza en el programa SAMS.

Fig. N° 3.3-2: Se muestras las diferentes opciones para normalizar los datos, entre estas se encuentra la transformación logarítmica.

Fig. N° 3.3: se muestra las diferentes transformaciones para normalizar los datos, en este caso se aplico la transformación logarítmica.

Fig. N° 3.4: después de la transformación, los datos ploteados mejoraron de ajuste que se puede ajustar mejor dando valores al coeficiente “a”

56

Fig. N° 3.3-4: con a=0.25, se tiene mejor ajuste de datos, que los mostrados en la figura anterior, con este parámetro, los datos han quedado normalizados.

Fig. 3.3-3: Después de aplicar transformación logarítmica a los datos, estos han mejorado en el ploteo ajustándose mejor dando valores al coeficiente “a”.

57

3.3.4 IDENTIFICACION O SELECCIÓN DEL MODELO.

Los instrumentos para la identificación del modelo son la muestra visual de la serie

original, el comportamiento de la función de autocorrelación (FA) y la función de

autocorrelación parcial (FAP). La inspección visual de la muestra de la serie original puede

revelar la presencia de una tendencia.

1. FUNCION DE AUTOCORRELACION (F.A.).

El análisis de la estacionariedad de las series aleatorias obtenidas a partir de la

transformación logarítmica, se obtiene de la función de autocorrelación definida en la

sección 2.4.1 con la ecuación 2.17. Para los límites de Anderson se aplicó la ecuación

2.57 de la sección 2.5.4. Para la determinación de la Función de Autocorrelación de las

series con transformación logarítmica y estandarizada se utilizó el programa Minitab

13.1; en los programas de SPSS 11.0 y Statgraf también se encuentra disponible.

Ejemplo: Obtención de la función de autocorrelación, calculando el coeficiente de

correlación entre: Xt, Xt+1; Xt+1,Xt+2, ; … ; Xt+3, Xt+4. Ver cuadro N° 3.6 y Fig N° 3.4.

Cuadro N° 3.6: Ejemplo para el cálculo de la Función de Autocorrelación.

Γk 0.747 0.781 0.747 0.787 0.525 T Xt Xt+1 Xt+2 Xt+3 Xt+4 Xt+5 Retardo Función

CorrelaciónLimite

superiorLimite inferior

58

1 -0.2279 0.0883 -0.1142 0.1610 -0.1502 -0.4971 k Γk

2 0.0883 -0.1142 0.1610 -0.1502 -0.4971 -0.8847 1 0.747 0.507 -0.749

3 -0.1142 0.1610 -0.1502 -0.4971 -0.8847 -1.1074 2 0.781 0.462 -0.706

4 0.1610 -0.1502 -0.4971 -0.8847 -1.1074 -0.7160 3 0.747 0.410 -0.652

5 -0.1502 -0.4971 -0.8847 -1.1074 -0.7160 4 0.787 0.356 -0.599

6 -0.4971 -0.8847 -1.1074 -0.7160 5 0.525 0.283 -0.519

7 -0.8847 -1.1074 -0.7160

8 -1.1074 -0.7160

9 -0.7160

10 -0.6538

2. FUNCION DE AUTOCORRELACION PARCIAL (F.A.P.)

La Función de Autocorrelación Parcial (F.A.P.) es otra forma de representar la

estructura de dependencia en el tiempo, y es útil para identificar el orden del modelo,

esta función se obtiene de la ecuación 2.23 descrita en la sección 2.4.2. Para los límites

de Anderson se aplicó la ecuación 2.56 de la sección 2.5.4. Para la determinación de la

Función de Autocorrelación de las series con transformación logarítmica y estandarizada

se utilizó el programa Minitab 13.1, en los programas de SPSS 11.0 y Statgraf también

se encuentran disponibles.

Ejemplo: Para la obtención de la función de autocorrelación parcial, se resuelve el

sistema de ecuaciones, donde son las funciones de autocorrelación

parcial y , son las funciones de autocorrelación obtenidas anteriormente.

Función de Autocorrelación

-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.00

1 2 3 4 5

Retardos

Γk

Limite superior

Limite inferior

Fig. N° 3.4: Ploteo de la Función de Autocorrelación y los límites de confianza.

59

3.3.5 ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO ARMA (p,q).

El propósito es estimar los parámetros de los modelos seleccionados en la sección

anterior. La estimación de estos parámetros se realiza inicialmente por el método de los

momentos, para luego continuar con el método de la máxima verosimilitud. Para la

determinación de los parámetros autorregresivos y media móvil del modelo ARMA (p,q) se

utilizó el programa SAMS 2000 (Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos).

Para obtener los parámetros del modelo ARMA (p,q), se siguen los siguientes pasos:

Paso 1: Se obtienen los estimados iniciales de los “p” parámetros autorregresivos ø1, ø2, …,

øp, resolviendo las “p” ecuaciones de Yule-Walker.

Paso 2: Obtener los estimados iniciales de los “q” parámetros de media móvil θ1, θ2, …, θq,

de la serie modificada.

Luego la función de autocovarianza C’k de la serie z’k. Alternativamente Box y Jenkins

(1976) dan la formula siguiente para los C’k de la serie zt utilizando los ø disponibles del

paso 1:

Donde:

dj = Cj+1 + Cj-1 , j= 0, 1, …, q , ø0= -1

Los C’j, los parámetros θ y la Varianza residual σ2ε se obtienen resolviendo

iterativamente las siguientes ecuaciones:

60

Esto completa la estimación inicial de los parámetros , , …, , , , …, , .

Entonces el modelo inicial estimado será:

Paso 3: Se fija el estimado por el principio de máxima verosimilitud. Se calculan las

residuales:

Siendo N la extensión de la serie residual. La suma de los cuadrados se calcula

mediante:

Para varias combinaciones de θ y ø se fijan aquellos en los cuáles S es mínimo. Para

obtener los parámetros autorregresivos y media móvil se usó del software SAMS

(Simulación y Análisis de Modelos estocásticos), que modela series con el método ARMA

de Box y Jenkins, el SAMS tiene 02 presentaciones del modelo ARMA, para series anuales y

para series estacionales, que en este caso se denomina PARMA (Periódico ARMA).

Se aplicó el modelamiento ARMA periódico (en el SAMS esta definido como

PARMA) que es para series estacionales. Inicialmente el software presenta opciones para

realizar transformaciones para aproximar a una serie normal (transformación logarítmica,

potencia y Box-cox), para luego elegir la opción de realizar la estandarización de las series;

luego determina los parámetros estadísticos, seguidamente calcula los “p” parámetros

autorregresivos y luego los “q” parámetros de media móvil; los parámetros de los modelos

son calculados por el método de los momentos y de la suma de cuadrados.

3.3.6 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO ARMA (p,q).

Después de remover las componentes periódicas y la estructura dependiente en el

tiempo, el modelo aplicado debe probarse para determinar sí el modelo obedece las

asunciones ejemplares y si el modelo es capaz de reproducir las propiedades estadísticas

históricas de los datos, esencialmente las asunciones importantes de los modelos se refieren a

las características subyacentes de los residuos como normalidad e independencia.

El programa SAMS presenta entre sus bondades, las pruebas de Residuales: como las

pruebas de Normalidad de Residuales y la prueba de Independencia de residuales. Para la

verificación de la bondad de ajuste del modelo se realizaron las siguientes pruebas:

61

1. PRUEBA DE INDEPENDENCIA EN EL TIEMPO.

Se aplican las pruebas de falta de ajuste de porte Monteau con juntamente con el

correlograma de Anderson, para probar la independencia de las series de tiempo.

i. Prueba de Ajuste de Porte Monteau.

Esta prueba es para verificar si la variable residual εt es normal e independiente.

Con el estadístico propuesto, en la sección 2.5.4 (Prueba de Bondad de ajuste del

Modelo) aplicando la ecuación 2.58, comparamos el valor de el Q-estadístico con el

valor Chi-cuadrado de (L-p-q) grados de libertad, con un nivel de significación 0.05, y si

es que Q < χ(L-p-q)2 entonces εt es independiente normal y el modelo seleccionado es

adecuado.

ii. Prueba de Anderson.

La hipótesis de que las residuales no se correlacionan, es decir que constituyen

series independientes, se comprueba por la prueba del correlograma de Anderson. El

correlograma rk (ε) de los residuales εt se determina por la ecuación 2.17 y los límites de

95% para el correlograma de serie independiente se calcula con la ecuación 2.57.

2. PRUEBA DE NORMALIDAD.

El programa SAMS realiza el Test de Residuales para el modelo ARMA (p,q),

de tal manera que realiza la Prueba de Chi-cuadrado y Asimetría de Normalidad

(Skewness Test of Normaliti) realizando una prueba gráfica consistente en el ploteo de

la distribución empírica de la serie en un papel de probabilidad normal y verificar si los

puntos ploteados siguen aproximadamente una línea recta, se utilizan las ecuaciones

2.59 y 2.60 respectivamente.

3. PARSIMONIA DE PARAMETROS.

Una regla para seleccionar entre modelos ARMA (p,q) competentes es aplicando el

criterio de Información Akaike (ver ecuación 2.61) se selecciona el modelo que tiene el

menor valor del AIC(p,q).

3.3.7 GENERACION SINTETICA DE SERIES HIDROLOGICAS CON EL

MODELO ARMA (p,q).

62

Teniendo los modelos seleccionados según el criterio de Información Akaike, que

toma en cuenta la parsimonia de parámetros, se procede a la generación de series sintéticas

mensuales, para ver si el modelo reproduce series con características estadísticas similares a

la serie histórica muestral, puesto que se supone que ellas derivan de una misma población, y

de esta forma poder seleccionar un modelo entre los modelos competentes hallados para cada

serie.

La generación de series es hecha para cada modelo a través de sus respectivos

parámetros autorregresivos (AR) y medias móviles presentes (MA), para la generación de

series se ha empleado la ecuación 2.63; luego si la serie fue estandarizada una

transformación inversa será necesario utilizando la ecuación 2.65, como las series fueron

normalizadas con la transformación logarítmica, una transformación inversa será necesaria

aplicando la ecuación 2.68

El programa SAMS genera las series sintéticas en función a los parámetros del modelo

ARMA (p,q) establecido en el capitulo II de la siguiente manera:

Generar datos con el modelo ARMA (p,q) que tiene la siguiente estructura

,

Si se realizó la estandarización, una transformación inversa es aplicada con:

.

Se obtiene los caudales generados de la siguiente formula

, que depende de la media y desviación estándar histórica

de los datos transformados (transformación logarítmica), y el parámetro

estocástico estandarizado.

Si una transformación a sido aplicada, como la logarítmica, una

transformación inversa es aplicada con: ; a partir de esta

se obtiene los caudales sintéticos medios mensuales generados.

Según recomendación del manual del usuario del SAMS 2000 [14], que recomienda

realizar 100 generaciones de series de caudales; se realizaron esta cantidad de series

generadas para realizar las pruebas estadísticas de validación. Ejemplo la aplicación del

modelo ARMA (2,1) es mostrado en el cuadro N° 3.7.

63

Cuadro N° 3.7: modelo periodico ARMA (p,q)υ: años τ: mes cualquiera de 1 a 12 (Ene a Dic)

1

2

3

4… …υ

1. ANALISIS COMPARATIVO DE SERIES HISTORICAS Y GENERADAS.

Seleccionado los modelos de la serie por transformación logarítmica y

estandarización según el Criterio de Información de Akaike, son generados 100 series

mensuales de longitud igual a los tramos establecidos, el programa SAMS determina la

Media, Desviación Estándar, Coeficiente De Asimetría, Coeficiente De Variación,

Máximos y Mínimos mensuales respectivamente; de las series generadas e históricas,

de esta manera tomamos los estadísticos mas representativo como la media y desviación

estar para realizar las pruebas de validación.

3.3.8 VALIDACION DE RESULTADOS Y CONTRASTACION DE HIPOTESIS.

Para la validación de las series sintéticas generadas por el programa SAMS 2000, a

partir de las series históricas que son las originales, será necesaria la realización de pruebas

estadísticas descritas en la sección 2.7.4 utilizando las ecuaciones 2.74 y 2.78 para muestras

independientes y la ecuación 2.81 para muestras dependientes; con la finalidad de verificar la

semejanza estadística que tiene los estadísticos más significantes como la media y desviación

estándar. Los cálculos se realizaron en una hoja automática de cálculo Excel de elaboración

propia. Para la validación de series, se realizaron las siguientes pruebas:

1. PRUEBA DE HIPOTESIS REFERENTE A 02 MUESTRAS.

Esta prueba consistente en evaluar la semejanza estadística de dos muestras, realizando

las siguientes pruebas:

i. Prueba de Hipótesis de las Varianzas de 02 Poblaciones.

Prueba necesaria para determinar si las varianzas de dos poblaciones son

homogéneas, para esto se aplicó la ecuación 2.70 descritas en la sección 2.7.4, esta

prueba se realizó estación por estación (mes por mes), teniendo en cuenta el numero de

datos de cada serie (estación hidrométrica), tanto para el promedio mensual de las 100

series generadas, como para cada serie generada.

64

Esta prueba es necesaria para identificar si las varianzas, son iguales o no,

teniendo la evaluación de esta prueba se procede a la siguiente prueba estadística.

ii. Prueba de “T” para Muestras Independientes.

Identificado si las varianzas son homogéneas o no, se realiza la prueba de la

diferencia de dos medias con los estadísticos de prueba de la distribución t student, esta

prueba tiene dos formas, la primera es cuando las varianzas resulten iguales y la

segunda, para cuando las varianzas resulten diferentes. Para la cuantificación y

evaluación de estas pruebas se utilizaron las ecuaciones 2.73 y 2.77 descritas en la

sección 2.7.4.

iii. Prueba de “T” para Muestras Dependientes.

Relacionando las medias y varianzas de las series históricas y generadas, para la

relación se determinó la diferencia, se realizaron las pruebas estadísticas para series

dependientes; consistentes en pruebas de media y pruebas de varianza para cada serie

(estación hidrométrica) aplicando la ecuación 2.81 para la media y desviación estándar

de la diferencia de la serie histórica y la generada.

2. INTERVALO DE CONFIANZA A PARTIR DE LAS SERIES GENERADAS.

Otra prueba es la cuantificación y evaluación de la serie histórica, en el intervalo

de confianza calculado a partir de las series generadas, para esto se aplicaron las

formulas descritas en la sección 2.7.4 (Intervalo de Confianza a partir de las Series

Generadas), ecuaciones 2.82, 2.83 y 2.84.

3. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

Para verificar si las series históricas y las generadas se ajustan a una distribución

de probabilidad normal, se cuantificaron y evaluaron con las pruebas de Chi- Cuadrado

y Kolmogorov Smirnov descritas en la sección 2.7.4 (Pruebas de bondad de Ajuste) y

utilizando las ecuaciones 2.85 y 2.86 respectivamente.

Para la realización de estas pruebas se determina una serie generada optima

teniendo en cuenta como criterio, las pruebas de de hipótesis para dos muestras, se

evaluaron cada una de las 100 series sintéticas generadas con las series históricas

respectivamente, de las cuales se simulo con varios valores de nivel de significancia (α

probabilidad de error) para que de esta manera quede una sola serie que es la mas

representativa.

65

IV. RESULTADOS

66

4.1 INFORMACIÓN HIDROMÉTRICA.

De los registros históricos se seleccionaron 12 estaciones que cuentan con mayor

cantidad y continuidad de datos hidrométricos; las estaciones seleccionadas se agruparon

para un mejor análisis de consistencia y completación de datos. Los grupos de estaciones

seleccionadas fueron agrupadas teniendo en cuenta características geomorfológicas,

cercanías y semejanzas de pisos altitudinales, semejanza en el monitoreo de volúmenes de

agua.

A continuación se muestra en el cuadro 4.1, las estaciones seleccionadas en grupos

para los análisis posteriores y el período de registro que se ha considerado para realizar el

análisis.

GRUPO Estaciones Hidrométricas Seleccionadas

Datos disponibles en años

GRUPO IRecreta 1956 – 1995Pachacoto 1956 – 1995Querococha 1956 – 1995

GRUPO IIColcas 1956 – 1995Cedros 1956 – 1995Quitaracsa 1956 – 1995

GRUPO IIICondorcerro 1956 – 1995Puente carretera 1956 – 1995La Balsa 1956 – 1995

GRUPO IVChancos 1956 – 1995Llanganuco 1956 – 1995Parón 1956 – 1995

Los datos de descargas medias mensuales históricas de las estaciones

seleccionadas se muestran en el anexo B-1.

4.2 ANALISIS DE CONSISTENCIA.

4.2.1 IDENTIFICACION VISUAL.

1. ANÁLISIS DE HIDROGRAMAS.

Cuadro N° 4.1. Estaciones hidrométricas seleccionadas y ordenadas por grupos

67

Se plotearon los valores de caudales medios mensuales versus tiempo, para las

estaciones hidrométricas en estudio, dichos gráficos se muestran en las figuras 4.13 al

424.

2. ANALISIS DOBLE MASA.

Para el análisis de doble masa, se tomo en cuenta las agrupación de estaciones,

mostradas en el cuadro 4.1, en las figuras 4.1 al 4.4 muestran las rectas de doble masa de

las series históricas seleccionadas por grupos, de las cuales para cada grupo se identifico

las estaciones que tienen menos puntos de quiebre, determinando las estaciones índices

en cada grupo (ver cuadro 4.2):

Cuadro N° 4.2: Estaciones Índices en los grupos de estaciones Hidrométricas

GRUPO DE ESTACIONES HIDROMÉTRICAS ESTACION INDICE

GRUPO I PACHACOTO

GRUPO II CEDROS

GRUPO III LA BALSA

GRUPO IV LLANGANUCO

En las figuras 4.5 al 4.8 muestran las rectas doble masa, ploteadas con las

estaciones índices e identificando los puntos de quiebre y los períodos confiables y

dudosos mostrados en el cuadro 4.3.

4.2.2 ANALISIS DE CONSISTENCIA EN SALTOS.

Tomando en cuenta las consideraciones de análisis visual de los datos originales

(análisis de hidrogramas y análisis doble masa), e identificado los períodos dudosos y

confiables de las series de estaciones analizadas teniendo en cuenta que los períodos

confiables son los que tienen mayor longitud y realizando el análisis estadístico en la media

y desviación estándar según las pruebas estadísticas t de Student y F de Fisher Snedecor

indicadas en al sección 2.1 (análisis de consistencia de datos hidrológicos), permitiendo

identificar, cuantificar, evaluar y corregir los períodos dudosos a partir de los períodos

confiables; aumentando así, la bondad de ajuste. Los resultados se muestran en el cuadro N°

4.5, donde la parte resaltada indica los períodos donde el análisis estadístico de tendencia en

la media resulto no significativo.

68

Cuadro N° 4.3 períodos confiables y dudosos en las series de estaciones seleccionadas.

SERIE ESTACION

PERÍODOS

CONFIABLE LONGITUD (AÑOS) DUDOSO LONGITUD

(AÑOS)

RECRETA 1956-1976 21

1977-19801981-19841985-19891990-1993

4454

QUEROCOCHA 1956-1968 13

1969-19741975-19811982-19851986-1993

6748

COLCAS 1956-1976 21 1977-19831984-1992

79

QUITARACSA 1956-1992 37 1993-1995 3

LA BALSA 1956-1978 23 1979-1995 17

PUENTE CARRETERA 1956-1971 16

1972-19791980-19851986-1989

864

CHANCOS 1956-1977 22 1978-1986 9

LLANGANUCO 1956-1976 21 1977-1995 19

PARON 1956-1976 211977-19841985-19891990-1995

856

4.2.3 ANALISIS DE CONSISTENCIA EN TENDENCIAS

Las tendencias se analizan tanto en la media como en la desviación estándar utilizando

la prueba de R2, siendo evaluada con el estadístico t de Student para el ajuste, teniendo como

resultado final una muestra de datos homogéneos, consistentes y libres de tendencias. Se

analizaron las series libres de saltos, realizando el análisis de tendencia en toda la longitud de

la serie y en algunos períodos donde presentaron visualmente tendencias, de las cuales estos

períodos fueron evaluados y corregidos mostrando los resultados, ver cuadro N° 4.6. Las

filas resaltadas indican los períodos donde el análisis estadístico en tendencias, resulto

significativo.

4.3 COMPLETACION DE DATOS.

Obtenida series homogéneas libres de saltos y tendencias, se completaron datos

faltantes en algunos meses de las estaciones en estudio. La completación se realizo con un

programa de elaboración propia en hoja de calculo Excel XP, donde el programa realiza la

verificación de los coeficientes de correlación “R2” en 7 diferentes modelos de ecuaciones

lineales, de donde se selecciona el mejor valor de R2 con la prueba de t de Student; si los

69

coeficientes “R2” no cumplen con la prueba de t Student, se realiza la completación con el

método de proporciones. Las series hidrológicas de caudales medios mensuales corregidos

y completados se presentan en el anexo B-2. En las figuras 4.9 al 4.12 se muestran las rectas

doble masa de los caudales corregidos y completados, y en las figuras 4.13 al 4.24 se

muestran hidrogramas comparativos de caudales históricos y corregidos.

Cuadro N° 4.4: Modelos de ecuación de regresión para la completación de datos.

N° Ecuaciones de Completación

1 Y = a*X + b

2 Y = a*LnX + b

3 Y = b*exp(a*X)

4 Y = b*X^a

5 Y = a/X + b

6 Y = X/(a + b*X)

7 Y = exp(b+X*Lna)

Donde:

Y : valor completado de la estación incompleta correspondiente al mes

y año que se quiere completar.

X : datos de la estación completa correspondiente al mes y año que se

quiere completar.

a,b : coeficientes de la ecuación obtenidas por regresión lineal.

70

CUADRO N° 4.5RESULTADO DE LOS ANALISIS DE CONSISTENCIA EN LOS SALTOS

CUADRO N° 4.5RESULTADO DE LOS ANALISIS DE CONSISTENCIA EN LOS SALTOS

PERIODOS

N1 X1 S1 N2 X2 S2 Tcal T95% Comp Dif.Sig. Fcal F95% COMP. D.SIG. COEF. A COEF. B

1956 1976 1977 1980 252 3.174 3.774 48 1.651 1.897 2.729 1.968 Tc>Tt SI 3.959 1.492 Tc>Tt Si 1.98977 -0.11091

1956 1980 1981 1984 300 3.174 3.768 48 3.348 4.317 0.291 1.967 Tc>Tt NO 1.313 1.404 Tc>Tt NO 0.87284 0.25174

1956 1984 1985 1989 348 3.198 3.842 60 2.427 2.510 1.499 1.966 Tc>Tt NO 2.344 1.422 Tc>Tt Si 1.53097 -0.51788

1956 1989 1990 1993 408 3.198 3.837 48 1.605 2.086 2.825 1.965 Tc>Tt SI 3.383 1.479 Tc>Tt Si 1.83926 0.24551

1956 1968 1969 1974 155 1.607 1.157 72 1.864 1.388 1.456 1.971 Tc>Tt NO 1.439 1.382 Tc>Tt Si 0.83375 0.05359

1956 1974 1975 1981 227 1.607 1.154 84 1.777 1.298 1.113 1.968 Tc>Tt NO 1.265 1.334 Tc>Tt NO 0.88914 0.02725

1956 1981 1982 1985 311 1.653 1.195 48 2.072 1.407 2.204 1.967 Tc>Tt SI 1.386 1.403 Tc>Tt NO 0.84954 -0.10697

1956 1985 1986 1993 359 1.653 1.194 95 1.466 1.106 1.380 1.965 Tc>Tt NO 1.164 1.327 Tc>Tt NO 1.07878 0.07173

1956 1976 1977 1983 243 5.739 2.921 84 6.885 2.863 3.113 1.967 Tc>Tt SI 1.041 1.363 Tc>Tt NO 1.02036 -1.28539

1956 1983 1984 1992 327 5.739 2.916 91 5.014 2.890 2.104 1.966 Tc>Tt SI 1.018 1.338 Tc>Tt NO 1.00905 0.68031

QUITARACSA 1956 1992 1993 1995 419 10.672 5.541 36 14.823 14.985 3.536 1.965 Tc>Tt SI 7.314 1.451 Tc>Tt Si 0.36977 5.19102

CONDORRCERRO 1956 1984 1985 1993 348 146.631 120.996 108 118.396 111.371 2.158 1.965 Tc>Tt SI 1.180 1.308 Fc>Ft NO 1.08642 18.00241

1956 1971 1972 1979 192 148.12 137.89 96 158.70 163.91 0.576 1.968 Tc>Tt NO 1.413 1.330 Tc>Tt Si 0.84128 14.61128

1956 1979 1980 1985 288 148.12 137.65 70 259.94 255.96 5.017 1.967 Tc>Tt SI 3.457 1.345 Tc>Tt Si 0.53780 8.32615

1956 1985 1986 1989 358 148.12 137.46 46 281.70 242.25 5.581 1.966 Tc>Tt SI 3.106 1.406 Tc>Tt Si 0.56744 -11.72550

CHANCOS 1956 1977 1978 1986 257 7.885 3.781 108 9.771 4.710 4.034 1.967 Tc>Tt SI 1.552 1.297 Tc>Tt Si 0.80277 0.04103

1956 1976 1977 1984 245 1.590 0.602 96 2.127 0.779 6.792 1.967 Tc>Tt SI 1.675 1.313 Tc>Tt Si 0.77255 -0.05272

1956 1984 1985 1989 341 1.590 0.601 60 2.476 0.714 10.225 1.966 Tc>Tt SI 1.413 1.361 Tc>Tt Si 0.84120 -0.49247

1956 1989 1990 1995 401 1.590 0.600 57 2.253 1.940 5.310 1.965 Tc>Tt SI 10.459 1.363 Tc>Tt Si 0.30921 0.89356

NOTA: X1: PROMEDIO DEL GRUPO 1 T cal: ESTADISTICO T DE STUDENT CALCULADO COEF. A: COEFICIENTE DE REGRESION A

X2: PROMEDIO DEL GRUPO 2 T 95%: ESTADISTICO T DE STUDENT TABULAR CONST. B: TERMINO CONSTANTE DE REGRESION B

S(X1): DESVIACION ESTANDAR DEL GRUPO 1 Fcal: ESTADITICO F DE SNEDECOR CALCULADO N1: NUMERO DE DATOS DEL GRUPO 1

S(X2): DESVIACION ESTANDAR DEL GRUPO 2 F 95%: ESTADISTICO F DE SNEDECOR TABULAR N2: NUMERO DE DATOS DEL GRUPO 2

CONFIABLES DUDOSOS

PERIODO CONFIABLE CONSISTENCIA EN LA DESV. ESTANDAR ECUACIONPERIODO DUDOSO CONSISTENCIA EN LA MEDIA

COLCAS

PUENTE CARRETERA

PARON

ESTACION

RECRETA

QUEROCOCHA

71

CUADRO N° 4.6RESULTADO DE ANALISIS DE TENDENCIA EN LA MEDIA Y DESVIACION ESTANDAR

INICIO FINAL Am Bm Tc Tt (95%)1956 1995 MEDIA -0.00014 3.22604 -0.10951 1.96494 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.00060 3.57067 0.02970 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1961 MEDIA 0.01913 3.78773 1.21243 1.99444 Tc>=Tt NO

1956 1961 DES. ESTANDAR 0.04643 2.61614 0.40912 2.77645 Tc>=Tt NO

1962 1964 MEDIA -0.10357 7.08711 -1.86075 2.03224 Tc>=Tt NO

1962 1964 DES. ESTANDAR -0.46582 4.51212 -0.88294 12.70615 Tc>=Tt NO

1968 1970 MEDIA 0.06189 2.79202 1.57983 2.03224 Tc>=Tt NO

1968 1970 DES. ESTANDAR 0.52418 1.27766 4.00999 12.70615 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA -0.00218 4.76769 -2.22823 1.96496 Tc>=Tt SI

1956 1995 DES. ESTANDAR -0.01352 3.12928 -1.18879 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA -0.00002 1.63241 -0.04819 1.96496 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.00536 1.07724 1.03447 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA 0.00134 5.57188 1.32129 1.96523 Tc>=Tt NO

1993 1994 MEDIA -0.24745 10.21818 -2.73613 2.07388 Tc>=Tt SI

1956 1995 DES. ESTANDAR -0.00206 2.86858 -0.16052 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA -0.00327 11.47305 -1.77735 1.96521 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR -0.03707 5.87665 -1.47932 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA -0.00055 3.61762 -1.21782 1.96510 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.00902 1.04094 1.31683 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA 0.01218 143.45298 0.30510 1.96494 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.05814 109.76259 0.08421 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA 0.03430 141.49410 0.72666 1.96521 Tc>=Tt NO

1956 1965 MEDIA -0.80793 204.78879 -2.29287 1.98027 Tc>=Tt SI

1956 1995 DES. ESTANDAR -0.13978 126.48320 -0.19539 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA -0.03950 94.58298 -1.92749 1.96494 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR -0.37616 67.30793 -1.28253 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA 0.00013 7.86623 0.10168 1.96501 Tc>=Tt NO

1978 1992 MEDIA -0.01437 9.01481 -2.48362 1.97346 Tc>=Tt SI

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.02491 3.28282 1.81144 2.02439 Tc>=Tt NO

1956 1995 MEDIA 0.00089 2.79873 2.43804 1.96505 Tc>=Tt SI

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.00667 0.91028 2.30245 2.02439 Tc>=Tt SI

1956 1995 MEDIA -0.00014 1.62258 -0.66393 1.96518 Tc>=Tt NO

1956 1995 DES. ESTANDAR -0.00485 0.63333 -1.82622 2.02439 Tc>=Tt NO

Tc: ESTADISTICO T DE STUDENT CALCULADO Am COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL SIMPLETt (95%): ESTADITICO T DE STUDENT TABULAR Bm COEFICIENTE CONSTANTE DE CORRELACION SIMPLE

LA BALSA

CHANCOS

LLANGANUCO

PARON

QUITARACSA

CEDROS

CONDORCERRO

PUENTE CARRETERA

RECRETA

QUEROCOCHA

COLCAS

PACHACOTO

ESTACION COMPROVACION TENDENCIA SIGNIFICATIVAPERIODO

TENDENCIACOEFICIENTE ESTADISTICO T

72

CUADRO N° 4.7: ECUACIONES DE COMPLETACION DE DATOS FALTANTES ENTRE ESTACIONES

ESTACION DE COLCAS COMPLETA CON LA ESTACION LA BALSA

MES FORMA DE ECUACIÓN SIGNIFICATIVO PRUEBA R2 R2 a b

ENE Y = a*X + b SI 0.2139 0.0300 4.4842

FEB Y = a*X + b SI 0.2314 0.0184 6.4364

MAR Y = a*X + b SI 0.3280 0.0235 5.1236

ABR Y = b*X^a SI 0.2290 0.3729 1.1168

MAY Y = b*X^a SI 0.1368 0.3518 1.0607

JUN completado con el método de proporciones

JUL completado con el método de proporciones

AGO completado con el método de proporciones

SET Y = X/(a + b*X) SI 0.1781 6.9124 0.1383

OCT Y = X/(a + b*X) SI 0.2317 7.5656 0.1151

NOV Y = b*X^a SI 0.1719 0.4784 0.6727

DIC Y = X/(a + b*X) SI 0.1945 4.4012 0.1072

ESTACION DE QUITARACSA COMPLETADA CON LA ESTACION LA BALSA

MES FORMA DE ECUACIÓN SIGNIFICATIVO PRUEBA R2 R2 a b

ENE Y = a/X + b SI 0.5233 -1125.3084 23.6419

FEB Y = a*X + b SI 0.4947 0.0626 7.6528

MAR Y = b*X^a SI 0.5499 0.5653 1.0165

ABR Y = X/(a + b*X) SI 0.6451 5.0618 0.0270

MAY Y = b*X^a SI 0.5978 0.6762 0.5680

JUN Y = X/(a + b*X) SI 0.2804 3.2516 0.0556

JUL Y = X/(a + b*X) SI 0.0907 2.1006 0.1020

AGO Y = X/(a + b*X) SI 0.0874 1.7645 0.1224

SET Y = X/(a + b*X) SI 0.1604 1.8996 0.1157

OCT Y = X/(a + b*X) SI 0.2254 3.1223 0.0656

NOV Y = b*X^a SI 0.1789 0.3014 2.5275

DIC Y = b*exp(a*X) SI 0.3692 0.0054 6.1012

ESTACION DE LOS CEDROS COMPLETADA CON LA ESTACION DE LA BALSA

MES FORMA DE ECUACIÓN SIGNIFICATIVO PRUEBA R2 R2 a b

ENE Y = exp(b+X*Lna) SI 0.1776 1.0028 1.0743

FEB Y = a*X + b SI 0.2718 0.0124 2.7872

MAR Y = a*X + b SI 0.2895 0.0114 3.0248

ABR Y = a*X + b SI 0.3042 0.0154 2.4233

MAY Y = a/X + b SI 0.2680 -70.3681 4.3370

JUN Y = a/X + b SI 0.2391 -61.1357 4.1631

JUL Y = a*X + b SI 0.2247 0.0554 0.6423

AGO Y = X/(a + b*X) SI 0.2448 8.6535 0.1357

SET Y = a/X + b SI 0.2257 -43.3563 3.7416

OCT Y = a*X + b SI 0.3780 0.0320 1.1976

NOV no presento datos faltantes

DIC no presento datos faltantes

ESTACION DE PUENTE CARRETARA COMPLETADA CON LA ESTACION DE LA BALSA

73

MES FORMA DE ECUACIÓN SIGNIFICATIVO PRUEBA R2 R2 a b

ENE Y = a*X + b SI 0.48713 1.81351 -29.27953

FEB Y = a*X + b SI 0.19642 0.79455 170.50581

MAR Y = b*X^a SI 0.38900 0.69950 9.14637

ABR Y = b*exp(a*X) SI 0.19421 0.00389 156.94583

MAY completado con el método de proporciones

JUN Y = a/X + b SI 0.10286 4497.06107 -25.76121

JUL Y = a/X + b SI 0.08185 2215.82631 -8.64677

AGO completado con el método de proporciones

SET completado con el método de proporciones

OCT completado con el método de proporciones

NOV Y = a*X + b SI 0.24097 0.98324 7.63934

DIC Y = a*X + b SI 0.59513 2.21077 -68.89471

ESTACION DE LLANGANUCO COMPLETADA CON LA ESTACION DE CHANCOS

MES FORMA DE ECUACIÓN SIGNIFICATIVO PRUEBA R2 R2 a b

ENE Y = exp(b+X*Lna) SI 0.322176916 1.036344466 0.960952534

FEB Y = a*LnX + b SI 0.204788014 1.518250905 0.546333839

MAR no presento datos faltantes

ABR Y = X/(a + b*X) SI 0.241533605 0.922911865 0.182740579

MAY Y = a*X + b SI 0.155135376 0.103892208 2.05057354

JUN completado con el método de proporciones

JUL Y = a*LnX + b SI 0.244706166 1.021244853 0.632261426

AGO no presento datos faltantes

SET Y = b*exp(a*X) SI 0.304720155 0.138302023 1.016054011

OCT Y = a*LnX + b SI 0.357029773 1.129907275 0.159818493

NOV completado con el metodo de proporciones

DIC no presento datos faltantes

ESTACION DE PARON COMPLETADA CON LA ESTACION DE LLANGANUCO

MES FORMA DE ECUACIÓN SIGNIFICATIVO PRUEBA R2 R2 a b

ENE no presento datos faltantes

FEB no presento datos faltantes

MAR Y = a*X + b SI 0.119536969 0.225814785 1.153181206

ABR Y = a/X + b SI 0.09488374 -3.22315229 2.894830779

MAY Y = b*exp(a*X) SI 0.125719344 0.15577521 1.088293008

JUN Y = b*exp(a*X) SI 0.084470884 0.150854022 0.945756356

JUL completado con el método de proporciones

AGO completado con el método de proporciones

SET Y = b*X^a SI 0.10180336 0.440871607 0.813895089

OCT Y = a*X + b SI 0.107857095 0.173320085 0.741665637

NOV completado con el método de proporciones

DIC Y = b*X^a SI 0.118135859 0.455020161 0.884847988

4.4 PROCESO DE DESESTACIONALIZACIÓN.

74

4.4.1 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LAS SERIES DE TIEMPO.

De las series de descargas mensuales de las estaciones hidrométricas de la Cuenca del

Río Santa que fueron seleccionadas y estas, cuentan con registro histórico de 40 años (1956

– 1995), tal como se indica en el cuadro 4.1. Estas series de caudales, han sido tratadas y

homogenizadas para luego ser transformadas a series normales como se indica, a

continuación.

4.4.2 TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA.

La componente residual para las series fueron normalizadas con la transformación

logarítmica utilizando la ecuación 2.38 descrita en la sección 2.5.4 y las ecuaciones 3.2 al 3.4

descrita en la sección 3.3.3, los resultados se presentan en las figuras 4.25 al 4.36.

4.4.3 STANDARIZACIÓN.

La componente residual para las series con transformación logarítmica fueron

estandarizadas con las formulas de la sección 2.5.4, los resultados se presentan en las figuras

4.37 al 4.48.

4.4.4 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN (FA).

Los gráficos de retardos de las residuales de las funciones de autocorrelación para las

series normalizadas con transformaciones logarítmicas y estandarizadas fueron calculados

con la ecuación 2.17 de la sección 2.4.1 y utilizando el programa Minitab, los resultados se

presentan en las figuras 4.49 al 4.60 y 4.61 al 4.72.

Los cuadros 4.8 y 4.9 muestran en resumen los retardos que caen fuera de los limites

del correlograma de Anderson para un 95 % de nivel de probabilidad, tanto para las series

con transformación logarítmica (Cuadro N° 4.8) y estandarización (Cuadro N° 4.9).

4.4.5 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL (FAP).

Los resultados de los retardos de las residuales de las series con transformación

logarítmica y estandarizada fueron calculados con la ecuación 2.22 de la sección 2.4.2 y

utilizando el programa Minitab, los resultados se muestran en los gráficos 4.73 al 4.84 y 4.85

al 4.96.

Los cuadros 4.10 y 4.11 muestran en resumen los retardos que caen fuera de los

límites del correlograma de Anderson para un 95 % de nivel de probabilidad, tanto para las

series

con transformación logarítmica (Cuadro N° 4.10) y estandarización (Cuadro N° 4.11).

75

CUADRO N° 4.10

CUADRO N° 4.9

Numero de retardos que caen fuera de la banda de confianza para la Función de Autocorrelación de las Series Históricas Corregidas y completadas, con

transformación Logarítmica Fig. Serie Pts. Fuera del Limite4.49 Recreta-Ln 284.50 Pachacoto-Ln 144.51 Querococha-Ln 64.52 Colcas-Ln 274.53 Cedros-Ln 114.54 Quitaracsa-Ln 234.55 Condorcerro-Ln 194.56 Puente carretera-Ln 264.57 La Balsa-Ln 84.58 Chancos-Ln 254.59 Llanganuco-Ln 394.60 Parón-Ln 25Nota: Ln, corresponde a series con transformación logarítmica

Numero de retardos que caen fuera de la banda de confianza para la Función de Autocorrelación de las Series Históricas Corregidas y completadas, con

transformación Logarítmica y EstandarizadasFig. Serie Pts. Fuera del Limite4.61 Recreta-Stand 324.62 Pachacoto-Stand 164.63 Querococha-Stand 74.64 Colcas-Stand 284.65 Cedros-Stand 134.66 Quitaracsa-Stand 264.67 Condorcerro-Stand 174.68 Puente Carretera-Stand 304.69 La Balsa-Stand 84.70 Chancos-Stand 254.71 Llanganuco-Stand 374.60 Parón-Ln 25Nota: Stand, corresponde a series estandarizadas

Numero de retardos que caen fuera de la banda de confianza para la Función de

CUADRO N° 4.8

76

Autocorrelación Parcial de las Series Históricas Corregidas y completadas, con transformación Logarítmica

Fig. Serie Pts. Fuera del Limite4.73 Recreta-Ln 54.74 Pachacoto-Ln 54.75 Querococha-Ln 24.77 Colcas-Ln 44.76 Cedros-Ln 64.78 Quitaracsa-Ln 54.79 Condorcerro-Ln 24.80 Puente Carretera-Ln 74.81 La Balsa-Ln 44.82 Chancos-Ln 24.83 Llanganuco-Ln 34.84 Parón-Ln 7

Nota: Ln, corresponde a series normalizadas

Numero de retardos que caen fuera de la banda de confianza para la Función de Autocorrelación Parcial de las Series Históricas Corregidas y completadas, con

transformación Logarítmica y Estandarizadas.Fig. Serie Pts. Fuera del Limite4.85 Recreta-Stand 44.86 Pachacoto-Stand 64.87 Querococha-Stand 24.89 Colcas-Stand 44.88 Cedros-Stand 64.90 Quitaracsa-Stand 64.91 Condorcerro-Stand 54.92 Puente Carretera-Stand 54.93 La Balsa-Stand 34.94 Chancos-Stand 34.95 Llanganuco-Stand 34.96 Parón-Stand 10

Nota: Ln, corresponde a series normalizadas

4.5 IDENTIFICACIÓN DEL MODELO.

De las Funciones de Autocorrelación y Funciones de Autocorrelación Parcial

obtenidas con el programa Minitab y del cuadro 2.1 de la sección 2.5.4, fueron seleccionados

CUADRO N° 4.11

77

como modelos tentativos ARMA (1,0), ARMA (2,0), ARMA (1,1) y ARMA (2,1); que serán

modelados en el programa SAMS.

Podemos resumir en el cuadro siguiente los modelos seleccionados para las series que

se modelaran.

Cuadro N° 4.12

Modelos seleccionados para las series desestacionalizadas de las estaciones hidrométricas de la cuenca del Río Santa.

Serie Residual N = w*N (w = 12) Modelo ARMARecreta-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Pachacoto-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Querococha-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Colcas-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Cedros-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Quitaracsa-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Condorcerro-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Puente carretera-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

La Balsa-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Chancos-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Llanganuco-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

Parón-Stand y Ln 480 (1,0), (2,0), (1,1) y (2,1)

4.6 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO ARMA (p,q).

Para las diferentes series normalizadas con transformación logarítmica y después

estandarizadas, se han simulado modelos ARMA (1,0), ARMA (2,0), ARMA (1,1) y ARMA

(2,1) con el programa SAMS.

A continuación se presentan los resultados de los parámetros estimados de los modelos

establecidos, para las componentes autorregresivas (AR) y las componentes media móvil

(MA) tanto para las series normalizadas con transformación logarítmica (cuadros 4.13, 4.14

y 4.15) y estandarizadas (cuadros 4.17, 4.18 y 4.19); además se muestra la varianza de las

residuales para las series estandarizadas y con transformación logarítmica (cuadros 4.16 y

4.20 respectivamente).

CUADRO N° 4.13

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (1,0) 0.7867 0.5974 0.6674 0.5868 0.4807 0.4211 0.6704 0.7291 0.9215 1.3000 0.4895 1.1236

ARMA (2,0) 0.9745 0.4661 0.6744 0.5934 0.4719 0.4070 0.7346 1.0207 0.7156 1.1382 0.6103 1.1648

ARMA (1,1) 0.5668 0.7524 0.6468 0.5806 0.4910 0.4290 0.6393 0.6683 0.9705 1.3855 0.2415 0.9386

ARMA (2,1) 1.2752 0.6395 1.3563 1.0658 1.2659 0.3053 2.3936 0.8003 0.8775 3.5412 0.7544 1.0619

ARMA (1,0) 0.7082 0.4357 0.4179 0.6150 0.5005 0.7733 0.7904 0.6309 0.7090 0.4044 0.7475 0.6866

ARMA (2,0) 0.8114 0.1959 0.4288 0.5171 0.4870 0.8273 0.9185 0.3679 0.6415 0.2859 0.5089 0.6846

ARMA (1,1) 0.6149 0.7589 0.3761 0.9915 0.5341 0.7168 0.6361 0.9137 0.7645 0.4967 1.8999 0.6906

ARMA (2,1) -14.2598 -1.0155 0.0006 1.6646 0.0386 0.6605 3.9683 1.1195 0.2649 -0.2524 -1.1928 0.6950

ARMA (1,0) 0.6024 0.5603 0.4472 0.4681 0.2360 0.4657 0.7412 0.6756 0.6850 0.3664 0.7975 0.8423

ARMA (2,0) 0.6286 0.2814 0.4534 0.4310 0.3144 0.4872 0.5972 0.8151 0.5879 0.1981 0.7650 0.8390

ARMA (1,1) 0.5739 0.8288 0.4237 0.5782 0.1223 0.2661 0.8614 0.5943 0.7484 0.9241 1.3344 0.8497

ARMA (2,1) 0.3504 -2.4500 0.4025 -4.9039 0.7353 1.0303 0.7811 0.8880 0.4753 2.4916 0.3166 1.7682

ARMA (1,0) 0.6374 0.7198 0.3726 0.5897 0.4033 0.7138 0.7557 0.8633 0.7004 0.6882 0.8157 0.6849

ARMA (2,0) 0.4632 0.7714 0.5090 0.6485 0.4391 0.9337 0.6180 0.8554 0.5705 0.8114 0.5927 0.7897

ARMA (1,1) 0.8599 0.5669 0.1804 0.2422 0.3529 0.4609 0.8984 0.8707 0.7932 0.5741 1.0241 0.5833

ARMA (2,1) 0.3413 -0.1211 -0.0664 0.8883 -0.0985 0.8530 1.2348 0.5701 -1.0353 0.3475 -0.0250 2.0750

ARMA (1,0) 0.6832 0.3959 0.4377 0.2816 0.5670 0.5173 0.8470 0.8808 0.7105 0.7302 0.6221 0.4645

ARMA (2,0) 0.7113 0.3432 0.5983 0.2958 0.5548 0.6685 0.7629 0.8407 0.8590 0.7731 0.8474 0.3303

ARMA (1,1) 0.5955 0.4891 -0.2741 0.1837 0.6649 0.3316 1.2476 0.9018 0.6715 0.6847 0.4774 0.6353

ARMA (2,1) 1.4732 -5.1465 0.6859 -0.0050 0.0540 -3.8483 0.7756 0.6348 8.2700 1.5663 1.7721 0.5099

ARMA (1,0) 0.5990 0.4534 0.4083 0.5796 0.6283 0.6781 1.0387 0.9645 0.6646 0.3507 0.1612 0.5999

ARMA (2,0) 0.5748 0.4349 0.4003 0.5282 0.6391 0.7015 1.1865 1.0525 0.7276 0.4126 0.2090 0.6534

ARMA (1,1) 0.7066 0.5103 0.4306 0.8522 0.6120 0.6533 0.9228 0.9061 0.6435 0.3047 -0.1761 -0.2724

ARMA (2,1) 0.7754 -0.3473 -1.0654 -0.6671 0.9178 0.2549 0.6543 1.0108 0.6688 -2.3013 -0.1984 1.3411

ARMA (1,0) 0.4923 0.5121 0.5233 0.5826 0.4266 0.5870 0.6706 0.7474 0.4947 0.2530 0.7003 1.1782

ARMA (2,0) 0.4101 0.3875 0.5182 0.6013 0.3320 0.5798 0.3833 0.8005 0.6991 0.1736 0.6454 1.2078

ARMA (1,1) 0.5237 0.6988 0.5470 0.5202 0.5595 0.5971 0.8235 0.6985 0.4263 0.5635 2.0876 1.0869

ARMA (2,1) -0.8800 -2.5136 0.4987 4.3883 -1.3123 0.0912 1.1528 0.7794 -0.3603 -0.3671 -0.1057 1.2032

ARMA (1,0) 0.7069 0.4519 0.5789 0.3282 0.6099 0.7361 0.6874 0.5778 0.7672 0.7812 1.0107 0.9534

ARMA (2,0) 0.7328 0.3685 0.4097 0.5026 0.6901 0.8135 0.9668 0.7955 1.0413 1.1649 1.0752 1.2657

ARMA (1,1) 0.6674 0.5373 1.0595 -0.0573 0.1805 0.5340 0.5104 0.4612 0.5596 0.5989 0.9664 0.7621

ARMA (2,1) 0.4484 0.9743 -0.1976 0.6253 0.3551 0.6430 -0.1914 0.8533 1.0663 1.3962 0.9287 5.9342

ARMA (1,0) 0.4998 0.5622 0.5601 0.4840 0.4744 0.3585 0.7265 0.9861 0.4403 0.3794 0.5423 0.8111

ARMA (2,0) 0.3726 0.5182 0.6266 0.4362 0.4736 0.2822 0.8358 1.0879 0.8567 0.4320 0.4528 0.8487

ARMA (1,1) 0.7035 0.6931 0.3302 0.6156 0.4762 0.4415 0.5596 0.9220 0.2162 -0.1483 1.0508 0.7020

ARMA (2,1) -2.1618 0.9478 -0.2642 -0.6234 0.5417 1.5151 0.6745 2.0393 0.8254 0.3885 1.0824 0.3290

ARMA (1,0) 0.6216 0.4791 0.4297 0.3192 0.6626 0.7323 0.7854 0.8722 0.3655 0.5984 0.7535 0.5474

ARMA (2,0) 0.5287 0.5267 0.4139 0.2877 0.6139 0.8488 0.7640 0.8291 0.3727 0.4827 0.8236 0.4592

ARMA (1,1) 0.7719 0.4282 0.4643 0.4841 1.2029 0.5006 0.8027 0.8932 0.3646 1.2730 0.6037 0.6916

ARMA (2,1) 0.6360 0.9033 2.6994 0.7237 1.5226 0.9858 1.6400 0.8041 2.2055 5.2955 1.3491 0.9783

ARMA (1,0) 0.6710 0.4183 0.5727 0.4543 0.5977 1.0190 0.4146 0.8473 0.8342 0.7444 0.6800 0.3658

ARMA (2,0) 0.7036 0.3007 0.6093 0.4846 0.6938 0.9854 0.0140 0.8452 1.2186 0.7229 0.7882 -0.1188

ARMA (1,1) 0.5114 0.6537 0.4415 0.3842 0.3044 1.0711 1.0029 0.8541 0.7452 0.7602 0.6146 0.7131

ARMA (2,1) 0.2823 0.3934 -0.4684 -0.6715 1.8798 0.8203 -1.0411 0.8844 1.6265 0.9027 1.9451 -0.7189

ARMA (1,0) 0.9540 0.7014 0.6666 0.8622 0.5168 0.4238 0.8739 1.0437 0.7040 0.6249 0.7623 0.7770

ARMA (2,0) 1.2765 0.9216 0.6642 0.8880 0.7062 0.8166 0.9600 1.1791 0.7621 0.8589 1.1283 1.1390

ARMA (1,1) 0.5604 0.4950 0.6696 0.8363 0.4735 0.0752 0.3160 0.8707 0.6888 0.5676 0.6363 0.5943

ARMA (2,1) 1.4577 2.4944 0.6342 -0.7128 3.4004 -0.6933 1.6983 2.0215 0.6212 1.1304 1.5879 2.5179

CHANCOS - Ln

LLANGANUCO - Ln

PARON - Ln

SERIE

QUITARACSA - Ln

CONDORCERRO - Ln

PUENTE CARRETERA - Ln

PACHACOTO - Ln

QUEROCOCHA - Ln

CEDROS - Ln

COLCAS - Ln

PARAMETROS AUTORREGRESIVOS (AR) DE ORDEN 1 - Ø 1

RECRETA - Ln

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

LA BALSA - Ln

78

CUADRO N° 4.14

CUADRO N° 4.15

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (2,0) -0.4581 0.2252 -0.0165 -0.0085 0.0112 0.0106 -0.0401 -0.2363 0.1859 0.2278 -0.4794 -0.1107

ARMA (2,1) -0.7953 0.0888 -0.4238 -0.3238 -0.4547 0.0594 -0.7387 -0.0885 0.0679 -1.9865 -0.6668 -0.0603

ARMA (2,0) -0.1349 0.3987 -0.0229 0.1982 0.0290 -0.0553 -0.2184 0.4314 0.0776 0.1495 0.5626 0.0045

ARMA (2,1) 10.2160 1.2633 0.1636 -0.2812 0.3047 0.0282 -2.5769 -0.1626 0.3152 0.5311 1.2508 -0.0033

ARMA (2,0) -0.0461 0.3297 -0.0166 0.0658 -0.0899 -0.0522 0.1230 -0.1637 0.1085 0.4973 0.2086 0.0085

ARMA (2,1) 0.1872 1.9797 0.0119 2.4515 -0.2871 -0.1803 0.0374 -0.2177 0.1845 -1.0737 0.3729 -0.7325

ARMA (2,0) 0.2717 -0.1303 -0.2365 -0.1514 -0.0509 -0.1907 0.2001 0.0115 0.1922 -0.1662 0.2968 -0.1683

ARMA (2,1) 0.3661 0.4396 0.1777 -0.2408 0.2661 -0.1582 -0.2401 0.2272 1.5786 0.1587 0.7219 -1.2167

ARMA (2,0) -0.0538 0.0996 -0.3454 -0.0491 0.0310 -0.1910 0.2508 0.0517 -0.1651 -0.0628 -0.2702 0.1898

ARMA (2,1) -0.4077 3.8503 -0.3800 0.0826 0.1720 2.3701 0.2442 0.2261 -6.6930 -0.6263 -0.9453 0.0780

ARMA (2,0) 0.0791 0.0452 0.0137 0.1323 -0.0157 -0.0303 -0.1788 -0.1521 -0.0811 -0.0717 -0.1351 -0.1492

ARMA (2,1) -0.0360 0.5148 0.6782 0.6203 -0.1772 0.2503 0.1820 -0.1088 -0.0244 1.7320 0.0078 -0.2600

ARMA (2,0) 0.1338 0.1533 0.0148 -0.0424 0.1326 0.0074 0.2584 -0.0684 -0.2039 0.1929 0.3649 -0.0847

ARMA (2,1) 1.6539 1.5816 0.0248 -2.0243 1.0906 0.2158 -0.1933 -0.0542 0.5879 0.4603 0.5550 -0.0814

ARMA (2,0) -0.0624 0.1193 0.2936 -0.3242 -0.1672 -0.1704 -0.3359 -0.2299 -0.2783 -0.4342 -0.0850 -0.5090

ARMA (2,1) 0.2087 -0.3089 0.5680 -0.3952 -0.0573 -0.0665 0.5166 -0.2696 -0.2928 -0.6117 0.0294 -5.2273

ARMA (2,0) 0.2684 0.0874 -0.1666 0.1005 0.0012 0.0756 -0.0990 -0.1206 -0.6316 -0.2555 0.2269 -0.0796

ARMA (2,1) 2.3266 -0.1287 0.3342 0.6939 -0.0317 -0.5093 -0.0412 -0.8118 -0.6008 -0.2363 -0.0120 0.2022

ARMA (2,0) 0.1331 -0.0612 0.0241 0.0844 0.1880 -0.2307 0.0283 0.0503 -0.0071 0.2889 -0.1316 0.1751

ARMA (2,1) 0.0745 -0.2954 -1.0709 -0.1029 -0.1020 -0.3214 -0.6132 0.0700 -1.6057 -1.4701 -0.4460 -0.2160

ARMA (2,0) -0.0703 0.2368 -0.0702 -0.0575 -0.1769 0.0512 1.0076 0.0037 -0.4011 0.0311 -0.1292 0.5657

ARMA (2,1) 0.0841 0.1751 0.3806 0.6046 -0.7157 0.1499 2.0828 -0.0126 -0.7468 -0.1189 -0.9904 0.9737

ARMA (2,0) -0.5564 -0.4070 0.0038 -0.0345 -0.2006 -0.3831 -0.2729 -0.2696 -0.0765 -0.2050 -0.3075 -0.4153

ARMA (2,1) -0.7042 -1.9079 0.0249 1.0325 -2.5235 0.3971 -0.5858 -1.0058 0.0706 -0.3962 -0.5947 -1.4665

RECRETA - Ln

PACHACOTO - Ln

LLANGANUCO - Ln

PARON - Ln

PARA "PARON - Ln" Y EL RESTO DE LAS SERIES, INDICA QUE LA SERIE HA SIDO NORMALIZADA CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

CONDORCERRO - Ln

PUENTE CARRETERA - Ln

LA BALSA - Ln

CHANCOS - Ln

QUEROCOCHA - Ln

CEDROS - Ln

COLCAS - Ln

QUITARACSA - Ln

SERIEPARAMETROS AUTORREGRESIVOS (AR) DE ORDEN 2 - Ø 2

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (1,1) -0.4101 0.3036 -0.0283 -0.0128 0.0191 0.0220 -0.0955 -0.3601 0.2978 0.2542 -0.3703 -0.2327

ARMA (2,1) 0.3029 0.1840 0.6960 0.4809 0.7980 -0.1031 1.6622 -0.2294 0.1889 2.4630 0.1468 -0.1058

ARMA (1,1) -0.1965 0.5712 -0.0592 0.4749 0.0490 -0.1107 -0.2836 0.5625 0.1622 0.2141 1.4111 0.0082

ARMA (2,1) -15.0753 -1.2313 -0.4915 1.1863 -0.4855 -0.1750 3.0657 0.8072 -0.5331 -0.5835 -1.7496 0.0149

ARMA (1,1) -0.0547 0.5486 -0.0317 0.1472 -0.1946 -0.2252 0.2719 -0.2342 0.1675 0.7291 0.5951 0.0110

ARMA (2,1) -0.3025 -2.7602 -0.0564 -5.3383 0.4449 0.5589 0.1974 0.0773 -0.1171 2.3030 -0.4719 0.9471

ARMA (1,1) 0.4051 -0.2116 -0.3327 -0.4201 -0.0909 -0.4780 0.3142 0.0160 0.2227 -0.2437 0.4462 -0.2235

ARMA (2,1) -0.1338 -0.9264 -0.6005 0.2504 -0.5636 -0.0852 0.6897 -0.3102 -1.6163 -0.4842 -0.6448 1.4040

ARMA (1,1) -0.1206 0.1464 -0.8787 -0.1233 0.1105 -0.3379 0.4958 0.0680 -0.1883 -0.0893 -0.3722 0.3269

ARMA (2,1) 0.8032 -5.6698 1.0535 -0.3495 -0.5123 -4.5898 0.0153 -0.2264 7.4950 1.0611 1.3701 0.2960

ARMA (1,1) 0.1387 0.0756 0.0303 0.3241 -0.0279 -0.0482 -0.2641 -0.1500 -0.0856 -0.1084 -0.3864 -0.9634

ARMA (2,1) 0.2093 -0.7853 -1.4731 -1.2064 0.2934 -0.4494 -0.5339 -0.0427 -0.0598 -2.7251 -0.4150 0.7197

ARMA (1,1) 0.1143 0.3135 0.0294 -0.0811 0.2281 0.0182 0.4405 -0.1141 -0.2776 0.3959 1.4662 -0.1304

ARMA (2,1) -1.2977 -2.9444 -0.0213 3.7876 -1.6546 -0.5354 0.8306 -0.0248 -1.0745 -0.5510 -0.7649 -0.0049

ARMA (1,1) -0.0684 0.1692 0.6579 -0.6328 -0.6107 -0.3038 -0.4854 -0.4262 -0.5620 -0.7681 -0.1460 -0.5072

ARMA (2,1) -0.3119 0.6127 -0.6170 0.1387 -0.3804 -0.1792 -1.2174 0.0825 0.0278 0.2905 -0.1781 4.7042

ARMA (1,1) 0.3326 0.1813 -0.2982 0.1827 0.0026 0.1593 -0.2854 -0.1765 -0.6494 -0.6102 0.6315 -0.1584

ARMA (2,1) -2.5842 0.4951 -0.9130 -1.0986 0.0730 1.2341 -0.1674 1.0086 -0.0331 -0.0457 0.6517 -0.5571

ARMA (1,1) 0.2501 -0.1022 0.0506 0.1966 0.5918 -0.3596 0.0415 0.0641 -0.0082 0.7903 -0.2450 0.2360

ARMA (2,1) 0.1133 0.3901 2.3087 0.4533 0.9181 0.1425 0.9354 -0.0272 1.8503 4.8354 0.6767 0.5579

ARMA (1,1) -0.2620 0.3595 -0.1761 -0.1012 -0.3908 0.0904 0.9902 0.0153 -0.4736 0.0400 -0.1738 0.8501

ARMA (2,1) -0.5734 0.0996 -1.1286 -1.2338 1.3220 -0.2261 -1.0606 0.0681 0.4101 0.1928 1.1614 -0.6170

ARMA (1,1) -0.8134 -0.5290 0.0061 -0.0517 -0.2336 -0.7680 -0.7364 -0.3435 -0.0817 -0.2937 -0.5471 -0.6651

ARMA (2,1) 0.2421 1.8701 -0.0519 -1.6022 2.7226 -1.6672 0.9389 1.0280 -0.2305 0.2796 0.5123 1.6783

LA BALSA - Ln

CHANCOS - Ln

LLANGANUCO - Ln

PARON - Ln

PARA "PARON - Ln" Y EL RESTO DE LAS SERIES, INDICA QUE LA SERIE HA SIDO NORMALIZADA CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

COLCAS - Ln

QUITARACSA - Ln

CONDORCERRO - Ln

PUENTE CARRETERA - Ln

RECRETA - Ln

PACHACOTO - Ln

QUEROCOCHA - Ln

CEDROS - Ln

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

SERIEPARAMETROS MEDIA MOVIL(Movie Averag - MA) DE ORDEN 1 - θ 1

79

CUADRO N° 4.16

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (1,0) 0.1093 0.2106 0.1175 0.0992 0.0235 0.0056 0.0016 0.0012 0.0028 0.0279 0.0446 0.0807

ARMA (2,0) 0.1031 0.2065 0.1174 0.0992 0.0235 0.0056 0.0016 0.0010 0.0027 0.0278 0.0434 0.0803

ARMA (1,1) 0.1030 0.2059 0.1174 0.0992 0.0235 0.0056 0.0016 0.0010 0.0027 0.0278 0.0434 0.0802

ARMA (2,1) 0.1026 0.2065 0.1154 0.0987 0.0232 0.0056 0.0016 0.0010 0.0027 0.0274 0.0434 0.0802

ARMA (1,0) 0.0625 0.0791 0.0670 0.0797 0.0293 0.0412 0.0507 0.0320 0.0278 0.0501 0.0693 0.0439

ARMA (2,0) 0.0616 0.0706 0.0669 0.0766 0.0292 0.0411 0.0492 0.0247 0.0275 0.0494 0.0526 0.0439

ARMA (1,1) 0.0616 0.0703 0.0669 0.0766 0.0292 0.0410 0.0492 0.0243 0.0273 0.0494 0.0512 0.0439

ARMA (2,1) 0.0625 0.0627 0.0648 0.0759 0.0277 0.0412 0.0474 0.0225 0.0256 0.0488 0.0484 0.0439

ARMA (1,0) 0.0270 0.0655 0.0492 0.0209 0.0182 0.0037 0.0026 0.0021 0.0082 0.0236 0.0364 0.0401

ARMA (2,0) 0.0269 0.0614 0.0491 0.0206 0.0179 0.0036 0.0024 0.0020 0.0082 0.0226 0.0359 0.0401

ARMA (1,1) 0.0269 0.0614 0.0491 0.0206 0.0179 0.0035 0.0024 0.0020 0.0081 0.0226 0.0356 0.0401

ARMA (2,1) 0.0266 0.0596 0.0489 0.0198 0.0177 0.0033 0.0024 0.0020 0.0082 0.0224 0.0357 0.0395

ARMA (1,0) 0.0321 0.0313 0.0440 0.0252 0.0081 0.0080 0.0083 0.0092 0.0100 0.0092 0.0123 0.0150

ARMA (2,0) 0.0311 0.0310 0.0426 0.0242 0.0080 0.0071 0.0080 0.0092 0.0097 0.0089 0.0114 0.0147

ARMA (1,1) 0.0310 0.0310 0.0425 0.0239 0.0080 0.0071 0.0079 0.0092 0.0097 0.0089 0.0114 0.0147

ARMA (2,1) 0.0309 0.0300 0.0421 0.0240 0.0076 0.0071 0.0076 0.0091 0.0096 0.0088 0.0113 0.0128

ARMA (1,0) 0.0413 0.0449 0.0725 0.0527 0.0234 0.0542 0.0245 0.0146 0.0375 0.0249 0.0314 0.0378

ARMA (2,0) 0.0412 0.0446 0.0663 0.0526 0.0234 0.0530 0.0223 0.0145 0.0371 0.0248 0.0293 0.0365

ARMA (1,1) 0.0412 0.0446 0.0660 0.0525 0.0234 0.0530 0.0220 0.0145 0.0371 0.0248 0.0293 0.0363

ARMA (2,1) 0.0400 0.0037 0.0625 0.0516 0.0231 0.0453 0.0223 0.0144 0.0280 0.0168 0.0191 0.0359

ARMA (1,0) 0.1278 0.0962 0.1158 0.0694 0.0483 0.0339 0.0553 0.0431 0.0564 0.1146 0.0555 0.0940

ARMA (2,0) 0.1275 0.0960 0.1157 0.0674 0.0483 0.0338 0.0539 0.0424 0.0562 0.1142 0.0534 0.0913

ARMA (1,1) 0.1275 0.0960 0.1157 0.0674 0.0483 0.0338 0.0539 0.0424 0.0562 0.1142 0.0533 0.0894

ARMA (2,1) 0.1273 0.0956 0.1148 0.0657 0.0480 0.0338 0.0539 0.0424 0.0562 0.1125 0.0530 0.0901

ARMA (1,0) 0.0730 0.1472 0.1640 0.1017 0.0447 0.0140 0.0167 0.0065 0.0248 0.0504 0.0792 0.0554

ARMA (2,0) 0.0725 0.1443 0.1640 0.1014 0.0425 0.0140 0.0149 0.0064 0.0244 0.0496 0.0752 0.0552

ARMA (1,1) 0.0725 0.1443 0.1640 0.1014 0.0425 0.0140 0.0149 0.0064 0.0244 0.0496 0.0734 0.0551

ARMA (2,1) 0.0718 0.1317 0.1641 0.1011 0.0412 0.0130 0.0143 0.0064 0.0243 0.0495 0.0746 0.0552

ARMA (1,0) 0.1006 0.1152 0.1153 0.0965 0.1113 0.0529 0.0345 0.0250 0.0162 0.0211 0.0324 0.1187

ARMA (2,0) 0.1004 0.1138 0.1027 0.0852 0.1074 0.0504 0.0278 0.0225 0.0129 0.0176 0.0323 0.1136

ARMA (1,1) 0.1003 0.1138 0.1021 0.0805 0.1024 0.0497 0.0271 0.0214 0.0120 0.0157 0.0322 0.1136

ARMA (2,1) 0.0994 0.1134 0.1020 0.0850 0.1059 0.0503 0.0241 0.0224 0.0129 0.0174 0.0322 0.1082

ARMA (1,0) 0.0707 0.1033 0.1150 0.0836 0.0294 0.0111 0.0061 0.0083 0.0459 0.0413 0.0414 0.0587

ARMA (2,0) 0.0682 0.1028 0.1130 0.0826 0.0294 0.0107 0.0058 0.0082 0.0437 0.0399 0.0392 0.0584

ARMA (1,1) 0.0682 0.1027 0.1129 0.0825 0.0294 0.0107 0.0057 0.0081 0.0436 0.0391 0.0384 0.0584

ARMA (2,1) 0.0612 0.1008 0.1109 0.0778 0.0294 0.0107 0.0057 0.0078 0.0437 0.0399 0.0387 0.0576

ARMA (1,0) 0.0434 0.0422 0.0595 0.0801 0.0763 0.0496 0.0334 0.0100 0.0682 0.0610 0.0833 0.0650

ARMA (2,0) 0.0420 0.0420 0.0595 0.0798 0.0740 0.0465 0.0333 0.0099 0.0682 0.0548 0.0823 0.0633

ARMA (1,1) 0.0419 0.0420 0.0595 0.0798 0.0738 0.0462 0.0333 0.0099 0.0682 0.0548 0.0820 0.0632

ARMA (2,1) 0.0419 0.0418 0.0572 0.0793 0.0733 0.0465 0.0308 0.0099 0.0678 0.0474 0.0775 0.0616

ARMA (1,0) 0.0266 0.0250 0.0242 0.0218 0.0161 0.0403 0.0382 0.0083 0.0225 0.0178 0.0156 0.0245

ARMA (2,0) 0.0265 0.0239 0.0240 0.0218 0.0153 0.0403 0.0222 0.0083 0.0210 0.0177 0.0153 0.0182

ARMA (1,1) 0.0261 0.0238 0.0240 0.0218 0.0153 0.0403 0.0222 0.0083 0.0210 0.0177 0.0153 0.0180

ARMA (2,1) 0.0249 0.0239 0.0227 0.0196 0.0118 0.0401 0.0220 0.0082 0.0210 0.0177 0.0152 0.0181

ARMA (1,0) 0.0221 0.0294 0.0230 0.0078 0.0100 0.0247 0.0278 0.0142 0.0083 0.0057 0.0065 0.0142

ARMA (2,0) 0.0188 0.0273 0.0230 0.0078 0.0096 0.0218 0.0265 0.0130 0.0082 0.0051 0.0055 0.0130

ARMA (1,1) 0.0178 0.0264 0.0230 0.0078 0.0096 0.0216 0.0250 0.0127 0.0082 0.0051 0.0053 0.0125

ARMA (2,1) 0.0186 0.0170 0.0230 0.0077 0.0090 0.0194 0.0228 0.0087 0.0080 0.0051 0.0053 0.0103

LLANGANUCO - Ln

PARON - Ln

CONDORCERRO - Ln

PUENTE CARRETERA - Ln

LA BALSA - Ln

CHANCOS - Ln

QUEROCOCHA - Ln

CEDROS - Ln

COLCAS - Ln

QUITARACSA - Ln

SERIE VARIANZA DE LAS RESIDUALES

RECRETA - Ln

PACHACOTO - Ln

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

PARA "PARON - Ln" Y EL RESTO DE LAS SERIES, INDICA QUE LA SERIE HA SIDO NORMALIZADA CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

80

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (1,0) 0.6772 0.5048 0.7192 0.6766 0.8016 0.8209 0.9095 0.8986 0.8088 0.5723 0.4268 0.6787

ARMA (2,0) 0.8389 0.3939 0.7268 0.6842 0.7870 0.7933 0.9967 1.2580 0.6281 0.5011 0.5320 0.7036

ARMA (1,1) 0.4879 0.6358 0.6970 0.6695 0.8188 0.8362 0.8673 0.8236 0.8519 0.6099 0.2105 0.5670

ARMA (2,1) 2.6010 0.3482 1.3023 0.6157 -2.1801 9.0476 1.3349 1.5335 0.2992 -0.0266 -2.3971 0.8271

ARMA (1,0) 0.6526 0.4553 0.4543 0.5347 0.6988 0.6736 0.6941 0.7409 0.7499 0.4141 0.5727 0.7247

ARMA (2,0) 0.7478 0.2047 0.4661 0.4496 0.6800 0.7206 0.8067 0.4320 0.6785 0.2927 0.3899 0.7226

ARMA (1,1) 0.5666 0.7930 0.4089 0.8621 0.7458 0.6244 0.5587 1.0730 0.8086 0.5086 1.4556 0.7290

ARMA (2,1) -12.9887 -1.0344 0.0015 1.4379 0.0450 0.5755 3.4813 1.3141 0.2801 -0.2588 -0.9130 0.7336

ARMA (1,0) 0.7137 0.4568 0.5019 0.6389 0.3122 0.7382 0.7950 0.7776 0.4815 0.2390 0.5518 0.6930

ARMA (2,0) 0.7449 0.2294 0.5089 0.5883 0.4159 0.7723 0.6406 0.9383 0.4132 0.1292 0.5293 0.6904

ARMA (1,1) 0.6800 0.6758 0.4756 0.7892 0.1618 0.4217 0.9239 0.6840 0.5261 0.6028 0.9233 0.6992

ARMA (2,1) 0.4152 -1.9972 0.4516 -6.6801 0.9725 1.6337 0.8376 1.0221 0.3341 1.6256 0.2191 1.4550

ARMA (1,0) 0.5024 0.6443 0.3805 0.6441 0.6820 0.7007 0.7199 0.7637 0.7206 0.7189 0.7125 0.6627

ARMA (2,0) 0.3651 0.6905 0.5197 0.7083 0.7425 0.9166 0.5888 0.7568 0.5870 0.8476 0.5178 0.7640

ARMA (1,1) 0.6778 0.5075 0.1842 0.2645 0.5967 0.4524 0.8558 0.7702 0.8161 0.5997 0.8946 0.5644

ARMA (2,1) 0.2705 -0.1096 -0.0712 0.9678 -0.1632 0.8370 1.1763 0.5043 -1.0649 0.3630 -0.0217 2.0077

ARMA (1,0) 0.6006 0.4291 0.3561 0.3333 0.6699 0.4166 0.8108 0.8901 0.6967 0.7804 0.6633 0.4923

ARMA (2,0) 0.6253 0.3720 0.4868 0.3501 0.6554 0.5383 0.7303 0.8496 0.8423 0.8263 0.9036 0.3500

ARMA (1,1) 0.5235 0.5301 -0.2231 0.2174 0.7855 0.2670 1.1943 0.9112 0.6585 0.7318 0.5091 0.6733

ARMA (2,1) 1.2951 -5.5784 0.5581 -0.0060 0.0638 -3.0986 0.7425 0.6415 8.1097 1.6741 1.8896 0.5404

ARMA (1,0) 0.4944 0.5154 0.3983 0.6323 0.6969 0.7486 0.7751 0.8656 0.7575 0.3526 0.2403 0.4289

ARMA (2,0) 0.4744 0.4944 0.3905 0.5762 0.7089 0.7744 0.8854 0.9445 0.8293 0.4149 0.3116 0.4671

ARMA (1,1) 0.5832 0.5802 0.4200 0.9298 0.6789 0.7212 0.6886 0.8131 0.7335 0.3064 -0.2625 -0.1947

ARMA (2,1) 0.9008 0.0490 -1.3185 -0.4369 1.2306 0.8220 2.4735 0.9756 0.5754 -1.0451 -1.1044 0.8528

ARMA (1,0) 0.6326 0.4222 0.4798 0.6447 0.6440 0.8078 0.7218 0.8657 0.4514 0.1950 0.4951 0.8510

ARMA (2,0) 0.5269 0.3195 0.4751 0.6654 0.5012 0.7980 0.4125 0.9272 0.6380 0.1338 0.4563 0.8724

ARMA (1,1) 0.6728 0.5761 0.5015 0.5757 0.8448 0.8218 0.8864 0.8091 0.3890 0.4343 1.4759 0.7850

ARMA (2,1) -1.2543 -2.0517 0.4817 19.7099 0.2240 -0.0016 1.2134 0.6795 0.7638 -0.6863 0.0088 0.7893

ARMA (1,0) 0.7037 0.5140 0.5612 0.3956 0.5256 0.7834 0.8049 0.7582 0.8221 0.7703 0.7870 0.6317

ARMA (2,0) 0.7314 0.4214 0.3956 0.6090 0.5946 0.8646 1.1373 1.0366 1.1212 1.1432 0.8388 0.8387

ARMA (1,1) 0.6620 0.6084 1.0223 -0.0686 0.1538 0.5707 0.5958 0.6070 0.6009 0.5914 0.7515 0.5045

ARMA (2,1) 0.4495 1.0530 -0.1974 0.7559 0.3053 0.6750 -0.2383 1.1152 1.1481 1.3711 0.7203 3.7548

ARMA (1,0) 0.4972 0.4736 0.5138 0.5533 0.6949 0.6306 0.7846 0.8050 0.3108 0.3879 0.5033 0.6156

ARMA (2,0) 0.3690 0.4378 0.5741 0.4978 0.6928 0.4966 0.9012 0.8881 0.5929 0.4453 0.4194 0.6444

ARMA (1,1) 0.7073 0.5824 0.3050 0.7081 0.6996 0.7742 0.6079 0.7532 0.1577 -0.1493 0.9769 0.5309

ARMA (2,1) -2.2391 0.8103 -0.2740 -0.6273 0.8218 2.4630 0.7745 1.6397 0.6193 0.3905 0.9775 0.2619

ARMA (1,0) 0.6953 0.5600 0.4004 0.2875 0.5785 0.7438 0.8201 0.9413 0.3826 0.5648 0.6159 0.6182

ARMA (2,0) 0.5913 0.6157 0.3857 0.2591 0.5360 0.8621 0.7977 0.8949 0.3901 0.4556 0.6732 0.5186

ARMA (1,1) 0.8634 0.5006 0.4326 0.4360 1.0502 0.5085 0.8381 0.9640 0.3816 1.2015 0.4934 0.7811

ARMA (2,1) 0.7121 1.0559 2.5170 0.6511 1.3291 1.0007 1.7127 0.8680 2.3060 5.0025 1.1028 1.1041

ARMA (1,0) 0.5771 0.4674 0.5499 0.4969 0.6258 0.6365 0.4834 0.9011 0.7597 0.7898 0.7632 0.4120

ARMA (2,0) 0.6052 0.3360 0.5851 0.5301 0.7264 0.6155 0.0163 0.8989 1.1098 0.7670 0.8848 -0.1338

ARMA (1,1) 0.4399 0.7304 0.4239 0.4203 0.3187 0.6690 1.1694 0.9084 0.6786 0.8065 0.6899 0.8031

ARMA (2,1) 0.2429 0.4394 -0.4497 -0.7348 1.9680 0.5124 -1.2147 0.9406 1.4818 0.9577 2.1831 -0.8099

ARMA (1,0) 0.7162 0.6473 0.6942 0.8838 0.7326 0.4337 0.6154 0.8813 0.8962 0.8471 0.7948 0.6426

ARMA (2,0) 0.9446 0.8445 0.6828 0.9086 0.9207 0.7979 0.6955 0.9798 0.9929 1.2122 1.1462 0.9025

ARMA (1,1) 0.3913 0.4602 0.7100 0.8572 0.6799 0.1193 0.2697 0.7196 0.8684 0.7577 0.6566 0.4910

ARMA (2,1) 1.0581 2.1789 0.6446 0.5622 6.5545 -1.3689 0.8982 2.3417 0.9800 -1.6116 0.8018 2.2585

CHANCOS - Estand

LLANGANUCO - Estand

PARON - Estand

Para "PARON - Estand" y el resto de las series, indica que las serie ha sido primeramente normalizada con transformación logarítmica y luego estandarizada

QUITARACSA - Estand

CONDORCERRO - Estand

PUENTE CARRETERA - Estand

QUEROCOCHA - Estand

CEDROS - Estand

COLCAS - Estand

SERIEPARAMETROS AUTORREGRESIVOS (AR) DE ORDEN 1 - Ø 1

RECRETA - Estand

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES ESTANDARIZADAS

LA BALSA - Estand

PACHACOTO - Estand

CUADRO N° 4.17

81

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (2,0) -0.238 0.164 -0.015 -0.011 0.022 0.034 -0.106 -0.395 0.201 0.088 -0.184 -0.058

ARMA (2,1) -1.434 0.195 -0.306 0.039 2.029 -6.582 -0.384 -0.646 0.497 0.515 1.492 -0.111

ARMA (2,0) -0.131 0.384 -0.026 0.187 0.035 -0.067 -0.167 0.445 0.096 0.162 0.441 0.004

ARMA (2,1) 9.826 1.199 0.185 -0.262 0.375 0.034 -1.969 -0.167 0.392 0.576 0.981 -0.003

ARMA (2,0) -0.045 0.319 -0.015 0.101 -0.162 -0.109 0.209 -0.202 0.088 0.228 0.094 0.005

ARMA (2,1) 0.182 1.912 0.011 3.749 -0.518 -0.378 0.064 -0.269 0.149 -0.492 0.168 -0.417

ARMA (2,0) 0.207 -0.092 -0.216 -0.169 -0.094 -0.317 0.187 0.010 0.175 -0.179 0.271 -0.142

ARMA (2,1) 0.278 0.311 0.165 -0.268 0.489 -0.262 -0.225 0.191 1.437 0.171 0.659 -1.028

ARMA (2,0) -0.050 0.095 -0.305 -0.047 0.043 -0.182 0.193 0.050 -0.164 -0.066 -0.308 0.214

ARMA (2,1) -0.380 3.669 -0.335 0.080 0.241 2.255 0.188 0.219 -6.632 -0.656 -1.077 0.088

ARMA (2,0) 0.047 0.042 0.015 0.141 -0.019 -0.037 -0.147 -0.102 -0.083 -0.082 -0.202 -0.159

ARMA (2,1) 0.114 0.086 0.030 0.354 -0.031 -0.053 -0.197 -0.135 -0.098 -0.109 -0.576 -0.689

ARMA (2,0) 0.124 0.162 0.011 -0.043 0.222 0.015 0.383 -0.085 -0.216 0.136 0.199 -0.043

ARMA (2,1) 1.640 1.662 0.008 -9.181 0.400 0.530 -0.264 0.093 -0.324 0.506 0.286 -0.002

ARMA (2,0) -0.044 0.132 0.322 -0.380 -0.174 -0.154 -0.424 -0.346 -0.394 -0.454 -0.067 -0.263

ARMA (2,1) 0.134 -0.313 0.627 -0.463 -0.060 -0.055 0.653 -0.409 -0.415 -0.641 0.024 -2.558

ARMA (2,0) 0.208 0.072 -0.127 0.108 0.004 0.193 -0.185 -0.106 -0.350 -0.185 0.216 -0.057

ARMA (2,1) 1.816 -0.115 0.274 0.686 -0.068 -1.174 -0.105 -0.696 -0.372 -0.168 0.000 0.135

ARMA (2,0) 0.168 -0.080 0.026 0.071 0.148 -0.205 0.030 0.057 -0.008 0.285 -0.102 0.162

ARMA (2,1) -0.134 0.263 0.896 0.544 -0.349 -0.070 -1.336 -0.126 0.137 1.024 0.297 -0.252

ARMA (2,0) -0.068 0.228 -0.075 -0.060 -0.203 0.034 0.734 0.005 -0.388 0.030 -0.154 0.715

ARMA (2,1) 0.081 0.168 0.408 0.635 -0.820 0.098 1.517 -0.016 -0.724 -0.115 -1.179 1.231

ARMA (2,0) -0.356 -0.275 0.018 -0.036 -0.213 -0.497 -0.185 -0.160 -0.110 -0.407 -0.415 -0.327

ARMA (2,1) -0.434 -1.231 0.042 0.205 -5.192 1.090 -0.273 -0.998 -0.098 2.123 -0.123 -1.405

RECRETA - Estand

PACHACOTO - Estand

LLANGANUCO - Estand

PARON - Estand

Para "PARON - Estand" y el resto de las series, indica que las serie ha sido primeramente normalizada con transformación logarítmica y luego estandarizada

CONDORCERRO - Estand

PUENTE CARRETERA -

Estand

LA BALSA - Estand

CHANCOS - Estand

QUEROCOCHA - Estand

CEDROS - Estand

COLCAS - Estand

QUITARACSA - Estand

PARAMETROS AUTORREGRESIVOS (AR) DE ORDEN 2 - Ø 2SERIE

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES ESTANDARIZADAS

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (1,1) -0.353 0.257 -0.030 -0.015 0.032 0.043 -0.130 -0.444 0.261 0.112 -0.323 -0.141

ARMA (2,1) 1.771 -0.049 0.587 -0.069 -2.968 8.276 0.422 0.298 -0.385 -0.545 -2.955 0.136

ARMA (1,1) -0.181 0.597 -0.064 0.413 0.068 -0.096 -0.249 0.661 0.172 0.219 1.081 0.009

ARMA (2,1) -13.740 -1.259 -0.533 1.021 -0.687 -0.152 2.689 0.947 -0.564 -0.598 -1.340 0.016

ARMA (1,1) -0.065 0.447 -0.036 0.201 -0.257 -0.357 0.292 -0.270 0.118 0.476 0.412 0.009

ARMA (2,1) -0.358 -2.250 -0.063 -7.273 0.588 0.887 0.211 0.089 -0.082 1.503 -0.326 0.779

ARMA (1,1) 0.319 -0.189 -0.340 -0.459 -0.154 -0.469 0.299 0.014 0.229 -0.255 0.390 -0.216

ARMA (2,1) -0.104 -0.831 -0.617 0.271 -0.949 -0.084 0.657 -0.274 -1.663 -0.506 -0.563 1.359

ARMA (1,1) -0.106 0.159 -0.715 -0.146 0.131 -0.272 0.475 0.069 -0.185 -0.095 -0.397 0.346

ARMA (2,1) 0.706 -6.146 0.857 -0.414 -0.605 -3.696 0.015 -0.229 7.350 1.134 1.461 0.314

ARMA (1,1) 0.114 0.086 0.030 0.354 -0.031 -0.053 -0.197 -0.135 -0.098 -0.109 -0.576 -0.689

ARMA (2,1) 0.442 -0.450 -1.716 -1.023 0.545 0.048 1.591 0.032 -0.258 -1.467 -1.428 0.407

ARMA (1,1) 0.147 0.258 0.027 -0.090 0.344 0.025 0.474 -0.132 -0.253 0.305 1.037 -0.094

ARMA (2,1) -1.791 -2.409 0.007 19.047 -0.297 -0.846 0.854 -0.287 0.130 -0.832 -0.458 -0.088

ARMA (1,1) -0.073 0.188 0.634 -0.767 -0.529 -0.320 -0.575 -0.549 -0.606 -0.748 -0.117 -0.337

ARMA (2,1) -0.309 0.639 -0.602 0.166 -0.329 -0.199 -1.445 0.113 0.030 0.286 -0.144 2.940

ARMA (1,1) 0.340 0.150 -0.271 0.214 0.007 0.278 -0.303 -0.143 -0.441 -0.625 0.590 -0.123

ARMA (2,1) -2.656 0.429 -0.870 -1.168 0.138 1.969 -0.132 0.795 0.028 -0.058 0.579 -0.410

ARMA (1,1) 0.280 -0.119 0.047 0.177 0.517 -0.365 0.043 0.069 -0.009 0.746 -0.200 0.267

ARMA (2,1) 0.128 0.456 2.153 0.408 0.801 0.144 0.977 -0.029 1.934 4.568 0.553 0.629

ARMA (1,1) -0.225 0.402 -0.169 -0.111 -0.409 0.056 1.155 0.016 -0.431 0.042 -0.195 0.957

ARMA (2,1) -0.493 0.111 -1.084 -1.350 1.384 -0.141 -1.237 0.072 0.374 0.205 1.303 -0.695

ARMA (1,1) -0.606 -0.473 0.030 -0.051 -0.242 -0.693 -0.499 -0.284 -0.137 -0.462 -0.555 -0.488

ARMA (2,1) 0.153 1.592 -0.059 -0.347 5.653 -2.335 0.311 1.470 -0.025 -2.863 -0.427 1.602

Para "PARON - Estand" y el resto de las series, indica que las serie ha sido primeramente normalizada con transformación logarítmica y luego estandarizada

COLCAS - Estand

QUITARACSA - Estand

CONDORCERRO - Estand

PUENTE CARRETERA -

Estand

LA BALSA - Estand

CHANCOS - Estand

LLANGANUCO - Estand

PARON - Estand

RECRETA - Estand

PACHACOTO - Estand

QUEROCOCHA - Estand

CEDROS - Estand

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES ESTANDARIZADAS

SERIEPARAMETROS MEDIA MOVIL(Movie Averag - MA) DE ORDEN 1 - θ 1

CUADRO N° 4.18

CUADRO N° 4.19

82

CUADRO N° 4.20

MES 01 MES 02 MES 03 MES 04 MES 05 MES 06 MES 07 MES 08 MES 09 MES 10 MES 11 MES 12

ARMA (1,0) 0.5414 0.7452 0.4827 0.5422 0.3575 0.3261 0.1728 0.1925 0.3458 0.6725 0.8179 0.5393

ARMA (2,0) 0.5108 0.7306 0.4826 0.5421 0.3572 0.3257 0.1691 0.1655 0.3380 0.6698 0.7951 0.5366

ARMA (1,1) 0.5104 0.7287 0.4825 0.5421 0.3572 0.3257 0.1691 0.1648 0.3364 0.6697 0.7948 0.5361

ARMA (2,1) 0.5191 0.7320 0.4777 0.5422 0.3566 0.2613 0.1595 0.1644 0.3345 0.6666 0.7438 0.5353

ARMA (1,0) 0.5741 0.7927 0.7936 0.7141 0.5116 0.5462 0.5182 0.4511 0.4376 0.8285 0.6721 0.4748

ARMA (2,0) 0.5659 0.7081 0.7931 0.6862 0.5108 0.5439 0.5029 0.3486 0.4335 0.8170 0.5107 0.4748

ARMA (1,1) 0.5659 0.7052 0.7928 0.6861 0.5106 0.5439 0.5028 0.3420 0.4310 0.8167 0.4971 0.4748

ARMA (2,1) 0.5738 0.6296 0.7679 0.6802 0.4835 0.5458 0.4843 0.3171 0.4043 0.8072 0.4701 0.4748

ARMA (1,0) 0.4906 0.7913 0.7481 0.5918 0.9025 0.4551 0.3681 0.3953 0.7682 0.9429 0.6955 0.5197

ARMA (2,0) 0.4895 0.7415 0.7479 0.5842 0.8869 0.4443 0.3481 0.3803 0.7651 0.9029 0.6872 0.5197

ARMA (1,1) 0.4895 0.7413 0.7478 0.5842 0.8864 0.4423 0.3471 0.3789 0.7649 0.9022 0.6806 0.5197

ARMA (2,1) 0.4841 0.7202 0.7437 0.5611 0.8791 0.4169 0.3470 0.3801 0.7650 0.8959 0.6824 0.5119

ARMA (1,0) 0.7476 0.5848 0.8553 0.5851 0.5349 0.5090 0.4818 0.4167 0.4807 0.4832 0.4924 0.5608

ARMA (2,0) 0.723504 0.578526 0.827927 0.560744 0.529748 0.455387 0.463927 0.416673 0.467961 0.46786 0.456901 0.550877

ARMA (1,1) 0.7223 0.5777 0.8271 0.5550 0.5291 0.4541 0.4595 0.4167 0.4680 0.4671 0.4545 0.5492

ARMA (2,1) 0.7197 0.5604 0.8190 0.5582 0.5066 0.4552 0.4432 0.4140 0.4605 0.4629 0.4507 0.4806

ARMA (1,0) 0.639284 0.815901 0.873163 0.888927 0.551251 0.826485 0.342609 0.207697 0.514607 0.390955 0.559994 0.757661

ARMA (2,0) 0.6374 0.8101 0.7975 0.8870 0.5496 0.8083 0.3117 0.2068 0.5090 0.3887 0.5229 0.7319

ARMA (1,1) 0.6371 0.8101 0.7945 0.8855 0.5495 0.8082 0.3077 0.2067 0.5090 0.3887 0.5226 0.7277

ARMA (2,1) 0.6190 0.0678 0.7518 0.8691 0.5425 0.6904 0.3117 0.2054 0.3847 0.2638 0.3398 0.7188

ARMA (1,0) 0.7556 0.7344 0.8413 0.6001 0.5143 0.4396 0.3992 0.2508 0.4262 0.8757 0.9423 0.8161

ARMA (2,0) 0.7538 0.7330 0.8412 0.5835 0.5141 0.4389 0.3896 0.2467 0.4244 0.8728 0.9064 0.7923

ARMA (1,1) 0.7533 0.7330 0.8412 0.5834 0.5141 0.4389 0.3896 0.2465 0.4244 0.8728 0.9054 0.7755

ARMA (2,1) 0.7534 0.7251 0.8360 0.5721 0.5074 0.4388 0.3879 0.2467 0.4242 0.8685 0.8919 0.7843

ARMA (1,0) 0.5998 0.8218 0.7698 0.5843 0.5852 0.3474 0.4790 0.2506 0.7962 0.9620 0.7549 0.2759

ARMA (2,0) 0.5956 0.8060 0.7697 0.5829 0.5565 0.3472 0.4281 0.2472 0.7846 0.9473 0.7168 0.2744

ARMA (1,1) 0.5955 0.8057 0.7697 0.5829 0.5564 0.3472 0.4281 0.2464 0.7843 0.9462 0.7002 0.2740

ARMA (2,1) 0.5913 0.7575 0.7697 0.5448 0.5535 0.3257 0.4133 0.2425 0.7845 0.9393 0.7122 0.2741

ARMA (1,0) 0.5048 0.7358 0.6851 0.8435 0.7237 0.3863 0.3521 0.4251 0.3242 0.4066 0.3806 0.6010

ARMA (2,0) 0.5036 0.7271 0.6088 0.7444 0.6980 0.3690 0.2826 0.3830 0.2581 0.3399 0.3788 0.5746

ARMA (1,1) 0.5035 0.7270 0.6053 0.7030 0.6653 0.3635 0.2755 0.3649 0.2391 0.3048 0.3777 0.5743

ARMA (2,1) 0.4990 0.7247 0.6048 0.7425 0.6884 0.3676 0.2456 0.3820 0.2580 0.3356 0.3776 0.5485

ARMA (1,0) 0.7528 0.7758 0.7360 0.6938 0.5172 0.6024 0.3845 0.3519 0.9034 0.8496 0.7467 0.6210

ARMA (2,0) 0.7258 0.7719 0.7234 0.6852 0.5171 0.5831 0.3639 0.3476 0.8602 0.8187 0.7070 0.6186

ARMA (1,1) 0.7255 0.7713 0.7231 0.6847 0.5171 0.5831 0.3622 0.3472 0.8593 0.8023 0.6914 0.6178

ARMA (2,1) 0.6525 0.7562 0.7090 0.6497 0.5163 0.5800 0.3635 0.3351 0.8602 0.8186 0.6970 0.6108

ARMA (1,0) 0.5166 0.6863 0.8396 0.9174 0.6654 0.4468 0.3275 0.1139 0.8536 0.6810 0.6207 0.6178

ARMA (2,0) 0.4991 0.6830 0.8392 0.9131 0.6453 0.4190 0.3271 0.1128 0.8536 0.6115 0.6137 0.6016

ARMA (1,1) 0.4978 0.6828 0.8392 0.9131 0.6442 0.4162 0.3270 0.1128 0.8536 0.6115 0.6112 0.6010

ARMA (2,1) 0.4986 0.6794 0.8075 0.9080 0.6394 0.4185 0.3017 0.1128 0.8496 0.5289 0.5775 0.5857

ARMA (1,0) 0.6669 0.7816 0.6976 0.7531 0.6084 0.5949 0.7663 0.1880 0.4229 0.3762 0.4175 0.8303

ARMA (2,0) 0.6631 0.7470 0.6932 0.7506 0.5775 0.5942 0.4459 0.1880 0.3945 0.3759 0.4085 0.6168

ARMA (1,1) 0.6549 0.7451 0.6922 0.7505 0.5771 0.5941 0.4449 0.1879 0.3945 0.3758 0.4085 0.6088

ARMA (2,1) 0.6232 0.7464 0.6537 0.6756 0.4444 0.5918 0.4412 0.1870 0.3943 0.3747 0.4060 0.6114

ARMA (1,0) 0.4871 0.5809 0.5181 0.2189 0.4633 0.8119 0.6213 0.2234 0.1968 0.2824 0.3683 0.5871

ARMA (2,0) 0.4129 0.5440 0.5179 0.2182 0.4534 0.6974 0.5936 0.2075 0.1941 0.2497 0.3197 0.5477

ARMA (1,1) 0.3958 0.5275 0.5179 0.2182 0.4533 0.6927 0.5682 0.2035 0.1938 0.2491 0.3106 0.5361

ARMA (2,1) 0.4152 0.3859 0.5169 0.2182 0.4295 0.5284 0.5786 0.1159 0.1940 0.2276 0.3117 0.4249

Para "PARON - Estand" y el resto de las series, indica que las serie ha sido primeramente normalizada con transformación logarítmica y luego estandarizada

LLANGANUCO - Estand

PARON - Estand

CONDORCERRO - Estand

PUENTE CARRETERA - Estand

LA BALSA - Estand

CHANCOS - Estand

QUEROCOCHA - Estand

CEDROS - Estand

COLCAS - Estand

QUITARACSA - Estand

SERIE VARIANZA DE LAS RESIDUALES

RECRETA - Estand

PACHACOTO - Estand

COEFICIENTES DE LOS PARAMETROS ESTABLECIDOS PARA LAS SERIES ESTANDARIZADAS

83

4.7 BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO.

84

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes 7 Mes 8 Mes 9 Mes 10 Mes 11 Mes 12

ARMA (p,q) Valor Tab. Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.654

ARMA (2,0) 0.654

ARMA (1,1) 0.654

ARMA (2,1) 0.654

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

NO SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL

LLANGANUCO-Ln

PARON-Ln

CONDORCERRO-Ln

PUENTE CARRETERA-Ln

LA BALSA-Ln

CHANCOS-Ln

QUEROCOCHA-Ln

CEDROS-Ln

COLCAS-Ln

QUITARACSA-Ln

RECRETA-Ln

PACHACOTO-Ln

EstaciónGrado del Modelo

CUADRO N° 4.21TEST DE RESIDUALES – PRUEBA DE ASIMETRIA DE NORMALIDAD PARA LAS SERIES

NORMALIZADAS CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

Realizado la corrida del programa SAMS para la simulación de los diferentes modelos

ARMA (p,q) y calculado las pruebas de ajuste de los modelos, los resultados se indican en

los cuadros que se presentan a continuación.

4.7.1 PRUEBA DE INDEPENDENCIA EN EL TIEMPO.

El programa SAMS realiza la prueba de Porte Monteau cuyos resultados se muestran

en los cuadros 4.22 y 4.24 correspondientes para las series con transformación logarítmica y

series estandarizadas respectivamente; estos cuadros son el resumen de los resultados que

presenta el SAMS para todos los meses de cada modelo ARMA (p,q) de las series

transformadas (normalizadas y estandarizadas).

El programa determina los valores de los estadísticos tabular y calculado de la prueba

de Porte Monteau y con el correlograma de Anderson; se determinan si la residual de las

series es independiente y se ajustan a una distribución normal.

4.7.2 PRUEBA DE NORMALIDAD.

El programa SAMS realiza el Test de Residuales para el modelo ARMA (p,q), de tal

manera que realiza la Prueba de Asimetría de Normalidad (Skewness Test of Normality)

cuyos resultados se muestran en los cuadros 4.21 y 4.23 que es un resumen del ploteo que

realiza el SAMS para esta prueba.

85

86

CUADRO N° 4.22TEST DE RESIDUALES – PRUEBA DE PORTE MONTEAU PARA LAS SERIES NORMALIZADAS CON

TRANSFORMACION LOGARITMICA

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes 7 Mes 8 Mes 9 Mes 10 Mes 11 Mes 12

ARMA (p,q) Valor Tab. Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

NO SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL

EstacionGrado del Modelo

RECRETA-Ln

PACHACOTO-Ln

QUEROCOCHA-Ln

CEDROS-Ln

COLCAS-Ln

QUITARACSA-Ln

CONDORCERRO-Ln

PARON-Ln

PUENTE CARRETERA-Ln

LA BALSA-Ln

CHANCOS-Ln

LLANGANUCO-Ln

87

CUADRO N° 4.23TEST DE RESIDUALES – PRUEBA DE ASIMETRIA DE NORMALIDAD PARA SERIES NORMALIZADAS

Y ESTANDARIZADAS

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes 7 Mes 8 Mes 9 Mes 10 Mes 11 Mes 12

ARMA (p,q) Valor Tab. Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.654

ARMA (2,0) 0.654

ARMA (1,1) 0.654

ARMA (2,1) 0.654

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

ARMA (1,0) 0.587

ARMA (2,0) 0.587

ARMA (1,1) 0.587

ARMA (2,1) 0.587

NO SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL

LLANGANUCO-Stan

PARON-Stan

RECRETA-Stan

Estacion

COLCAS-stan

QUITARACSA-Stan

CONDORCERRO-Stan

PUENTE CARRETERA-Stan

LA BALSA-Stan

CHANCOS-Stan

Grado del Modelo

PACHACOTO-Stan

QUEROCOCHA-Stan

CEDROS-Stan

88

CUADRO N° 4.24TEST DE RESIDUALES – PRUEBA DE PORTE MONTEAU PARA LAS SERIES NORMALIZADAS Y

ESTANDARIZADAS

Grado del Modelo Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes 7 Mes 8 Mes 9 Mes 10 Mes 11 Mes 12

ARMA (p,q) Valor Tab. Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech Acep/Rech

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

ARMA (1,0) 16.92

ARMA (2,0) 15.51

ARMA (1,1) 15.51

ARMA (2,1) 14.07

NO SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL SE AJUSTA A UNA DISTRIBUCION NORMAL

Estacion

RECRETA-Stan

PACHACOTO-Stan

QUEROCOCHA-Stan

CEDROS-Stan

COLCAS-stan

QUITARACSA-Stan

CONDORCERRO-Stan

PARON-Stan

PUENTE CARRETERA-Stan

LA BALSA-Stan

CHANCOS-Stan

LLANGANUCO-Stan

89

4.7.3 AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA DE LA COMPONENTE

RESIDUAL ESTOCÁSTICA.

En los cuadros 4.21 y 4.23 se muestran los resultados de las pruebas de ajuste de

normalidad, y es la comprobación de las residuales que se ajustan a una distribución normal.

4.7.4 PARSIMONIA DE PARÁMETROS.

Una regla para seleccionar entre modelos ARMA (p,q) competentes es aplicando el

criterio de Información Akaike (AIC(p,q)), la aplicación de esta regla de decisión con la

varianza de las residuales de cada mes y de c/u de las series modeladas, se selecciona el

modelo que tiene el menor valor del AIC(p,q). Los cuadros 4.25 y 4.26 muestran los

resultados de los valores de AIC (p,q) tanto para las series normalizadas con transformación

logarítmica y estandarizadas. El cuadro 4.27 muestra el resultado del AIC (p,q) que es el

menor valor calculado para cada serie modelada tomados de los cuadros 4.25 y 4.26, donde

se han seleccionados los modelos ARMA(p,q) adecuados y calibrados para realizar la

generación de descargas medias mensuales sintéticas.

El cuadro 4.28 muestra los modelos estocásticos ARMA (p,q) adecuados para la

generación de caudales sintéticos en cada estación hidrométrica que se ha estudiado, en el

anexo C-1 se muestra el reporte del programa SAMS de los parámetros determinados para

las series seleccionadas.

90

CUADRO N° 4.25VALORES DE AIC (Criterio de Información de Akaike) PARA LAS SERIES QUE HAN SIDO NORMALIZADOS CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

La serie resaltada indica que es el menor valor del AIC de los modelos tentativos ARMA (p,q)

91

CUADRO N° 4.26VALORES DE AIC (Criterio de Información de Akaike) PARA LAS SERIES QUE HAN SIDO NORMALIZADOS CON TRANSFORMACION LOGARITMICA Y

ESTANDARIZADASLa serie resaltada indica que es el menor valor del AIC de los modelos tentativos ARMA (p,q)

92

CUADRO N° 4.27SERIES SELECCIONADAS CON EL AIC (Criterio de Información de Akaike) PARA LAS SERIES NORMALIZADAS CON TRANSFORMACION LOGARITMICA Y

ESTANDARIZADAS

93

GRUPO ESTACION HIDROMETRICA

SERIE NORMALIZADA CON TRANSFORMACION

LOGARITMICA

MODELO ESTOCASTICO Y

ORDEN

LONGITUD DE LA SERIE

GRUPO I

RECERTA RECRETA - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

PACHACOTO PACHACOTO - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

QUEROCOCHA QUEROCOCHA - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

GRUPO II

LOS CEDROS CEDROS - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

COLCAS COLCAS - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

QUITARACSA QUITARACSA - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

GRUPO III

CONDORCERRO CONDORCERRO - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

PUENTE CARRETERA PUENTE CARRETERA – Ln ARMA ( 2 1 ) 480

LA BALSA LA BALSA - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

GRUPO IV

CHANCOS CHANCOS - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

LLANGANUCO LLANGANUCO - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

PARON PARON - Ln ARMA ( 2 1 ) 480

Los modelos estacionales obtenidos para la generación son los siguientes:

Formula General (Ecuación 2.64, Sección 2.6):

Donde: Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos correspondientes a la Estación Recreta:

Enero : U1,1 = 1.275231U1,0 - 0.795323U1,-1 - 0.302897*0.102567ξ1,0 + 0.102567ξ1,1

Febrero : U1,2 = 0.639511U1,1 + 0.088803U1,0 - 0.183988*0.206473ξ1,1 + 0.206473ξ1,2

Marzo : U1,3 = 1.356250U1,2 - 0.423804U1,1 - 0.696041*0.115398ξ1,2 + 0.115398ξ1,3

Abril : U1,4 = 1.065753U1,3 - 0.323782U1,2 - 0.480911*0.098704ξ1,3 + 0.098704ξ1,4

Mayo : U1,5 = 1.265946U1,4 - 0.454749U1,3 - 0.797988*0.023199ξ1,4 + 0.023199ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.305337U1,5 + 0.059410U1,4 + 0.103050*0.005636ξ1,5 + 0.005636ξ1,6

Julio : U1,7 = 2.393603U1,6 - 0.738725U1,5 - 1.662154*0.001562ξ1,6 + 0.001562ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.800330U1,7 - 0.088542U1,6 + 0.229447*0.001022ξ1,7 + 0.001022ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 0.877491U1,8 + 0.067852U1,7 - 0.188918*0.002712ξ1,8 + 0.002712ξ1,9

Octubre : U1,10 = 3.541234U1,9 - 1.986462U1,8 - 2.463045*0.027387ξ1,9 + 0.027387ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 0.754409U1,10 - 0.666787U1,9 - 0.146821*0.043389ξ1,10 + 0.043389ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 1.005339U1,11 - 0.187302U1,10 - 0.111579*0.279153ξ1,11 + 0.279153ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Querococha:

Enero : U1,1 = 0.350435U1,0 + 0.187155U1,-1 + 0.302454*0.026639ξ1,0 + 0.026639ξ1,1

Febrero : U1,2 = -2.449985U1,1 + 1.979661U1,0 + 2.760159*0.059609ξ1,1 + 0.059609ξ1,2

CUADRO N° 4.28Resultados de la bondad de Ajuste de la Simulación Estocástica de Modelos ARMA (p,q)

con la Prueba de Akaike AIC (p,q), estos modelos están aptos para la generación sintética

94

Marzo : U1,3 = 0.402457U1,2 + 0.011914U1,1 + 0.056422*0.04887ξ1,2 + 0.04887ξ1,3

Abril : U1,4 = -4.903899U1,3 + 2.451504U1,2 + 5.338287*0.019788ξ1,3 + 0.019788ξ1,4

Mayo : U1,5 = 0.735263U1,4 - 0.287139U1,3 - 0.444853*0.017721ξ1,4 + 0.017721ξ1,5

Junio : U1,6 = 1.030299U1,5 - 0.180263U1,4 - 0.558947*0.003345ξ1,5 + 0.003345ξ1,6

Julio : U1,7 = 0.781067U1,6 + 0.037382U1,5 - 0.197354*0.00242ξ1,6 + 0.00242ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.887997U1,7 - 0.217707U1,6 - 0.077347*0.002001ξ1,7 + 0.002001ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 0.475321U1,8 + 0.184505U1,7 + 0.117082*0.008151ξ1,8 + 0.008151ξ1,9

Octubre : U1,10 = 2.491649U1,9 - 1.073709U1,8 - 2.302979*0.022433ξ1,9 + 0.022433ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 0.316634U1,10 + 0.372911U1,9 + 0.471879*0.035694ξ1,10 + 0.035694ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 1.768222U1,11 - 0.732520U1,10 - 0.947080*0.039544ξ1,11 + 0.039544ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Pachacoto:

Enero : U1,1 = -14.259809U1,0 + 10.216033U1,-1 + 15.075256*0.062516ξ1,0 + 0.062516ξ1,1

Febrero : U1,2 = -1.015503U1,1 + 1.263260U1,0 + 1.231293*0.062673ξ1,1 + 0.062673ξ1,2

Marzo : U1,3 = 0.000559U1,2 + 0.163641U1,1 + 0.491547*0.064801ξ1,2 + 0.064801ξ1,3

Abril : U1,4 = 1.664556U1,3 - 0.281217U1,2 - 1.186298*0.075939ξ1,3 + 0.075939ξ1,4

Mayo : U1,5 = 0.038643U1,4 + 0.304687U1,3 + 0.48548*0.027705ξ1,4 + 0.027705ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.660521U1,5 + 0.028189U1,4 + 0.174985*0.041199ξ1,5 + 0.041199ξ1,6

Julio : U1,7 = 3.968258U1,6 - 2.57686U1,5 - 3.065717*0.047387ξ1,6 + 0.047387ξ1,7

Agosto : U1,8 = 1.119457U1,7 - 0.162633U1,6 - 0.807247*0.022495ξ1,7 + 0.022495ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 0.264935U1,8 + 0.315171U1,7 + 0.533141*0.025647ξ1,8 + 0.025647ξ1,9

Octubre : U1,10 = -0.252367U1,9 + 0.531097U1,8 + 0.583504*0.048836ξ1,9 + 0.048836ξ1,10

Noviembre : U1,11 = -1.192815U1,10 + 1.250792U1,9 + 1.749567*0.048439ξ1,10 + 0.048439ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 0.695028U1,11 - 0.003279U1,10 - 0.014882*0.043922ξ1,11 + 0.043922ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Los Cedros:

Enero : U1,1 = 0.341340U1,0 + 0.366061U1,-1 + 0.133840*0.030906ξ1,0 + 0.030906ξ1,1

Febrero : U1,2 = -0.121092U1,1 + 0.439605U1,0 + 0.926421*0.030034ξ1,1 + 0.030034ξ1,2

Marzo : U1,3 = -0.066416U1,2 + 0.177682U1,1 + 0.600489*0.042107ξ1,2 + 0.042107ξ1,3

Abril : U1,4 = 0.888301U1,3 - 0.240751U1,2 - 0.250379*0.024049ξ1,3 + 0.024049ξ1,4

Mayo : U1,5 = -0.098452U1,4 + 0.266145U1,3 + 0.563552*0.007632ξ1,4 + 0.007632ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.853000U1,5 - 0.158172U1,4 + 0.085213*0.007118ξ1,5 + 0.007118ξ1,6

Julio : U1,7 = 1.234795U1,6 - 0.240132U1,5 - 0.689653*0.007636ξ1,6 + 0.007636ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.570067U1,7 + 0.227151U1,6 + 0.310231*0.009115ξ1,7 + 0.009115ξ1,8

Setiembre : U1,9 = -1.035296U1,8 + 1.578571U1,7 + 1.61633*0.009577ξ1,8 + 0.009577ξ1,9

Octubre : U1,10 = 0.347533U1,9 + 0.158692U1,8 + 0.484230*0.008822ξ1,9 + 0.008822ξ1,10

Noviembre : U1,11 = -0.024999U1,10 + 0.721949U1,9 + 0.644816*0.011258ξ1,10 + 0.011258ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 2.074982U1,11 - 1.216691U1,10 - 1.404008*0.012821ξ1,11 + 0.012821ξ1,12

95

Modelos correspondientes a la Estación Los Colcas:

Enero : U1,1 = 1.473188U1,0 - 0.407716U1,-1 - 0.803156*0.039998ξ1,0 + 0.039998ξ1,1

Febrero : U1,2 = -5.146542U1,1 + 3.850284U1,0 + 5.669818*0.003729ξ1,1 + 0.003729ξ1,2

Marzo : U1,3 = 0.685881U1,2 - 0.380029U1,1 - 1.053483*0.062457ξ1,2 + 0.062457ξ1,3

Abril : U1,4 = -0.005046U1,3 + 0.082598U1,2 + 0.349470*0.051554ξ1,3 + 0.051554ξ1,4

Mayo : U1,5 = 0.053970U1,4 + 0.172036U1,3 + 0.512260*0.023056ξ1,4 + 0.023056ξ1,5

Junio : U1,6 = -3.84829U1,5 + 2.370136U1,4 + 4.589796*0.045260ξ1,5 + 0.04526ξ1,6

Julio : U1,7 = 0.775642U1,6 + 0.244175U1,5 - 0.015284*0.022298ξ1,6 + 0.022298ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.634774U1,7 + 0.226125U1,6 + 0.226366*0.014387ξ1,7 + 0.014387ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 8.269968U1,8 - 6.693006U1,7 - 7.494999*0.028026ξ1,8 + 0.028026ξ1,9

Octubre : U1,10 = 1.566293U1,9 - 0.626341U1,8 - 1.061067*0.016825ξ1,9 + 0.016825ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 1.77205U1,10 - 0.945320U1,9 - 1.370130*0.019058ξ1,10 + 0.019058ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 0.509892U1,11 + 0.07804U1,10 - 0.295991*0.035893ξ1,11 + 0.035893ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Quitaracsa:

Enero : U1,1 = 0.775367U1,0 - 0.036030U1,-1 - 0.209321*0.127277ξ1,0 + 0.127277ξ1,1

Febrero : U1,2 = -0.347329U1,1 + 0.514801U1,0 + 0.785297*0.095612ξ1,1 + 0.095612ξ1,2

Marzo : U1,3 = -1.065385U1,2 + 0.678215U1,1 + 1.473110*0.114761ξ1,2 + 0.114761ξ1,3

Abril : U1,4 = -0.667054U1,3 + 0.620337U1,2 + 1.206380*0.065729ξ1,3 + 0.065729ξ1,4

Mayo : U1,5 = 0.917815U1,4 - 0.177214U1,3 - 0.293361*0.047974ξ1,4 + 0.047974ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.254893U1,5 + 0.250317U1,4 + 0.449447*0.03378ξ1,5 + 0.03378ξ1,6

Julio : U1,7 = 0.654330U1,6 + 0.182033U1,5 + 0.533949*0.053904ξ1,6 + 0.053904ξ1,7

Agosto : U1,8 = 1.010816U1,7 - 0.108758U1,6 + 0.042728*0.042398ξ1,7 + 0.042398ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 0.668791U1,8 - 0.024356U1,7 + 0.059837*0.056158ξ1,8 + 0.056158ξ1,9

Octubre : U1,10 = -2.301311U1,9 + 1.732041U1,8 + 2.725095*0.112537ξ1,9 + 0.112537ξ1,10

Noviembre : U1,11 = -0.198447U1,10 + 0.007845U1,9 + 0.415036*0.053027ξ1,10 + 0.053027ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 1.341076U1,11 - 0.260029U1,10 - 0.719701*0.09008ξ1,11 + 0.09008ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Condorcerro:

Enero : U1,1 = -0.880032U1,0 + 1.653935U1,-1 + 1.297747*0.071843ξ1,0 + 0.071843ξ1,1

Febrero : U1,2 = -2.513644U1,1 + 1.581582U1,0 + 2.944449*0.131667ξ1,1 + 0.131667ξ1,2

Marzo : U1,3 = 0.498656U1,2 + 0.024764U1,1 + 0.021283*0.164072ξ1,2 + 0.164072ξ1,3

Abril : U1,4 = 4.388260U1,3 - 2.024282U1,2 - 3.787577*0.101061ξ1,3 + 0.101061ξ1,4

Mayo : U1,5 = -1.312318U1,4 + 1.090613U1,3 + 1.654560*0.041173ξ1,4 + 0.041173ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.091230U1,5 + 0.215781U1,4 + 0.535437*0.013007ξ1,5 + 0.013007ξ1,6

Julio : U1,7 = 1.152786U1,6 - 0.193265U1,5 - 0.830559*0.014297ξ1,6 + 0.014297ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.779400U1,7 - 0.054245U1,6 + 0.024753*0.006406ξ1,7 + 0.006406ξ1,8

96

Setiembre : U1,9 = -0.360302U1,8 + 0.587908U1,7 + 1.074540*0.024325ξ1,8 + 0.024325ξ1,9

Octubre : U1,10 = -0.36706U1,9 + 0.460349U1,8 + 0.550992*0.049513ξ1,9 + 0.049513ξ1,10

Noviembre : U1,11 = -0.105687U1,10 + 0.554963U1,9 + 0.764866*0.074644ξ1,10 + 0.074644ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 1.203173U1,11 - 0.081433U1,10 + 0.004895*0.055159ξ1,11 + 0.055159ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Puente Carretera:

Enero :U1,1 = 0.448426U1,0 + 0.208747U1,-1 + 0.311946*0.099424ξ1,0 + 0.099424ξ1,1

Febrero :U1,2 = 0.974287U1,1 - 0.308908U1,0 - 0.612668*0.113370ξ1,1 + 0.113370ξ1,2

Marzo :U1,3 = -0.197558U1,2 + 0.568035U1,1 + 0.617048*0.101972ξ1,2 + 0.101972ξ1,3

Abril :U1,4 = 0.625297U1,3 - 0.395175U1,2 - 0.138715*0.085012ξ1,3 + 0.085012ξ1,4

Mayo :U1,5 = 0.355067U1,4 - 0.057292U1,3 + 0.380365*0.105896ξ1,4 + 0.105896ξ1,5

Junio :U1,6 = 0.643019U1,5 - 0.066487U1,4 + 0.179177*0.050281ξ1,5 + 0.050281ξ1,6

Julio :U1,7 = -0.191391U1,6 + 0.516615U1,5 + 1.217389*0.024144ξ1,6 + 0.024144ξ1,7

Agosto :U1,8 = 0.853274U1,7 - 0.269551U1,6 - 0.082536*0.022442ξ1,7 + 0.022442ξ1,8

Setiembre :U1,9 = 1.066282U1,8 - 0.292775U1,7 - 0.027832*0.012920ξ1,8 + 0.012920ξ1,9

Octubre :U1,10 = 1.396230U1,9 - 0.611719U1,8 - 0.290506*0.017350ξ1,9 + 0.017350ξ1,10

Noviembre :U1,11 = 0.928732U1,10 + 0.029424U1,9 + 0.178089*0.032195ξ1,10 + 0.032195ξ1,11

Diciembre :U1,12 = 5.934198U1,11 - 5.22733U1,10 - 4.704155*0.108239ξ1,11 + 0.108239ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación La Balsa:

Enero : U1,1 = -2.161793U1,0 + 2.326589U1,-1 + 2.584195*0.061221ξ1,0 + 0.061221ξ1,1

Febrero : U1,2 = 0.947828U1,1 - 0.128701U1,0 - 0.495127*0.100792ξ1,1 + 0.100792ξ1,2

Marzo : U1,3 = -0.264165U1,2 + 0.334172U1,1 + 0.912974*0.110929ξ1,2 + 0.110929ξ1,3

Abril : U1,4 = -0.623404U1,3 + 0.693918U1,2 + 1.098608*0.077827ξ1,3 + 0.077827ξ1,4

Mayo : U1,5 = 0.541660U1,4 - 0.031676U1,3 - 0.073043*0.029371ξ1,4 + 0.029371ξ1,5

Junio : U1,6 = 1.515051U1,5 - 0.509324U1,4 - 1.234077*0.010687ξ1,5 + 0.010687ξ1,6

Julio : U1,7 = 0.674542U1,6 - 0.041213U1,5 + 0.167376*0.005744ξ1,6 + 0.005744ξ1,7

Agosto : U1,8 = 2.039335U1,7 - 0.811803U1,6 - 1.008556*0.00782ξ1,7 + 0.007820ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 0.825438U1,8 - 0.600774U1,7 + 0.033084*0.043682ξ1,8 + 0.043682ξ1,9

Octubre : U1,10 = 0.388525U1,9 - 0.236349U1,8 + 0.045695*0.039901ξ1,9 + 0.039901ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 1.08236U1,10 - 0.011976U1,9 - 0.651675*0.038659ξ1,10 + 0.038659ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 0.329027U1,11 + 0.202242U1,10 + 0.557148*0.057644ξ1,11 + 0.057644ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Chancos:

Enero : U1,1 = 0.635961U1,0 + 0.074506U1,-1 - 0.113307*0.041927ξ1,0 + 0.041927ξ1,1

Febrero : U1,2 = 0.903291U1,1 - 0.295369U1,0 - 0.390052*0.041813ξ1,1 + 0.041813ξ1,2

Marzo : U1,3 = 2.699411U1,2 - 1.070878U1,1 - 2.308711*0.057222ξ1,2 + 0.057222ξ1,3

Abril : U1,4 = 0.723701U1,3 - 0.10294U1,2 - 0.453326*0.079324ξ1,3 + 0.079324ξ1,4

97

Mayo : U1,5 = 1.522611U1,4 - 0.102041U1,3 - 0.918065*0.073279ξ1,4 + 0.073279ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.985752U1,5 - 0.321437U1,4 - 0.142525*0.046491ξ1,5 + 0.046491ξ1,6

Julio : U1,7 = 1.640028U1,6 - 0.613171U1,5 - 0.935373*0.030752ξ1,6 + 0.030752ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.804080U1,7 + 0.069961U1,6 + 0.027187*0.009871ξ1,7 + 0.009871ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 2.205526U1,8 - 1.605662U1,7 - 1.850287*0.067838ξ1,8 + 0.067838ξ1,9

Octubre : U1,10 = 5.295460U1,9 - 1.470138U1,8 - 4.835355*0.047400ξ1,9 + 0.047400ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 1.349062U1,10 - 0.446040U1,9 - 0.676700*0.077479ξ1,10 + 0.077479ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 0.978273U1,11 - 0.215973U1,10 - 0.557869*0.061607ξ1,11 + 0.061607ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Llanganuco:

Enero : U1,1 = 0.282289U1,0 + 0.084115U1,-1 + 0.573378*0.024882ξ1,0 + 0.024882ξ1,1

Febrero : U1,2 = 0.393441U1,1 + 0.175072U1,0 - 0.099570*0.023868ξ1,1 + 0.023868ξ1,2

Marzo : U1,3 = -0.468441U1,2 + 0.380604U1,1 + 1.128575*0.022671ξ1,2 + 0.022671ξ1,3

Abril : U1,4 = -0.671531U1,3 + 0.604592U1,2 + 1.233791*0.019585ξ1,3 + 0.019585ξ1,4

Mayo : U1,5 = 1.879793U1,4 - 0.715654U1,3 - 1.321960*0.011750ξ1,4 + 0.011750ξ1,5

Junio : U1,6 = 0.820286U1,5 + 0.149920U1,4 + 0.226076*0.040110ξ1,5 + 0.040110ξ1,6

Julio : U1,7 = -1.041144U1,6 + 2.082803U1,5 + 1.060618*0.021995ξ1,6 + 0.021995ξ1,7

Agosto : U1,8 = 0.884448U1,7 - 0.012575U1,6 - 0.068140*0.008242ξ1,7 + 0.008242ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 1.626528U1,8 - 0.746773U1,7 - 0.410148*0.020954ξ1,8 + 0.020954ξ1,9

Octubre : U1,10 = 0.902745U1,9 - 0.118930U1,8 - 0.192847*0.017690ξ1,9 + 0.017690ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 1.945081U1,10 - 0.990405U1,9 - 1.161448*0.015211ξ1,10 + 0.015211ξ1,11

Diciembre : U1,12 = -0.718941U1,11 + 0.973711U1,10 + 0.617043*0.018061ξ1,11 + 0.018061ξ1,12

Modelos correspondientes a la Estación Parón:

Enero : U1,1 = 1.457650U1,0 - 0.704197U1,-1 - 0.242105*0.018595ξ1,0 + 0.018595ξ1,1

Febrero : U1,2 = 2.494381U1,1 - 1.907901U1,0 - 1.870081*0.016984ξ1,1 + 0.016984ξ1,2

Marzo : U1,3 = 0.634205U1,2 + 0.024858U1,1 + 0.051895*0.023022ξ1,2 + 0.023022ξ1,3

Abril : U1,4 = -0.712753U1,3 + 1.032537U1,2 + 1.602161*0.007737ξ1,3 + 0.007737ξ1,4

Mayo : U1,5 = 3.400401U1,4 - 2.523458U1,3 - 2.722571*0.009030ξ1,4 + 0.009030ξ1,5

Junio : U1,6 = -0.693262U1,5 + 0.397127U1,4 + 1.667248*0.019420ξ1,5 + 0.019420ξ1,6

Julio : U1,7 = 1.698345U1,6 - 0.585800U1,5 - 0.938861*0.022811ξ1,6 + 0.022811ξ1,7

Agosto : U1,8 = 2.021529U1,7 - 1.005772U1,6 - 1.027956*0.008672ξ1,7 + 0.008672ξ1,8

Setiembre : U1,9 = 0.621159U1,8 + 0.070606U1,7 + 0.230483*0.008038ξ1,8 + 0.008038ξ1,9

Octubre : U1,10 = 1.130424U1,9 - 0.396217U1,8 - 0.279647*0.005082ξ1,9 + 0.005082ξ1,10

Noviembre : U1,11 = 1.587948U1,10 - 0.594719U1,9 - 0.512312*0.005327ξ1,10 + 0.005327ξ1,11

Diciembre : U1,12 = 2.517921U1,11 - 1.466479U1,10 - 1.678349*0.010291ξ1,11 + 0.010291ξ1,12

4.8 GENERACIÓN DE SERIES.

98

Terminada la parte de modelamiento estocástico de los diferentes modelos ARMA

(p,q) y obteniendo los parámetros adecuados según las pruebas de ajuste del modelo que

realizó previamente el programa SAMS y mostrando en los cuadros anteriores de donde se

obtuvieron los mejores modelos parsimoniosos; el programa SAMS realiza la generación de

series sintéticas en funciona a los parámetros calculados por el programa para los modelos

ARMA (p,q) adecuados, según el cuadro 4.28 y con los modelos correspondientes a cada

estación; luego, el programa realiza las transformaciones inversas, a las realizadas

inicialmente como es la transformación logarítmica.

4.8.1 ANALISIS COMPARATIVO ENTRE SERIES HISTORICAS Y

GENERADAS.

Seleccionado los modelos de la serie por transformación logarítmica y estandarización

según el Criterio de Información de Akaike (mostrados en el cuadro 4.28), se generaron 100

series mensuales de longitud igual a los tramos establecidos (40 años para todas las series

con transformación logarítmica y estandarización), el programa SAMS calcula la Media,

Desviación Estándar, Coeficiente De Asimetría, Coeficiente De Variación, Máximos y

Mínimos mensuales respectivamente; las series generadas e históricas se presenta en el

anexo C-2.

4.9 VALIDACIÓN DE RESULTADOS.

Obtenido los resultados de las medias y desviaciones estándar de cada serie generada,

para cada mes con el programa SAMS; se realizaron las pruebas estadísticas para verificar si

las series generadas con el modelo estocástico ARMA (p,q) para cada serie hidrológica,

reproducen valores de caudales medios mensuales que sean estadísticamente iguales a las

series hidrológicas históricas.

4.9.1 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS MUESTRAS.

La verificación estadística de las dos muestras, como son las series históricas y las

series generadas, se realizaron con las siguientes pruebas:

1. PRUBA DE HIPOTESIS DE LAS VARIANZAS DE 02 POBLACIONES.

La hipótesis de verificación si las varianzas son iguales o diferentes se evaluaron

con el estadístico de F (Fisher Snedecor), los resultados de esta prueba se muestra en el

anexo C-3 y en el cuadro 4.29 se muestra en resumen cada una de las pruebas incluida

esta prueba.

99

2. PRUEBA DE “t” PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES.

Evaluado si las varianzas son homogéneas o no, se realiza la prueba de “t” para

muestras independientes, consistente en la prueba de diferencia de dos medias que

presenta dos casos: para vainazas homogéneas y no homogéneas. Los resultados se

muestran en el anexo C-3 y en el cuadro 4.29 se muestra en resumen esta prueba.

3. PRUEBA DE “t” PARA MUESTRAS DEPENDIENTES.

La diferencia entre las muestras históricas y generadas, para cada serie

hidrológica de una estación, fueron evaluadas tanto en la media como en la desviación

estándar; en el anexo C-3 se muestran los resultados y en el cuadro 4.29 se presenta un

resumen de esta prueba.

4.9.2 INTERVALO DE CONFIANZA A PARTIR DE LAS SERIES GENERADAS.

La verificación del intervalo de confianza de las series históricas a partir de las series

generadas se muestran en el anexo C-3, y en el cuadro 4.29 se muestra un resumen de esta

prueba.

4.9.3 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

Para determinar la distribución de probabilidad de la cual provienen las muestras

históricas y generadas, estas fueron evaluadas con las pruebas de bondad de ajuste de Chi

Cuadrado y Kolmogorov Smirnov; para determinar una serie adecuada, de las 100 que se han

generado, se realizaron las pruebas de comprobación de las medias y la varianza con

respecto a la serie original; simulando con varios valores del nivel de significancia (“α”

probabilidad de error) para que quede una sola serie. El cuadro 4.30 se muestran los

diferentes valores de α que se utilizaron para simular el comportamiento de la media y

desviación estándar y así determinar la serie más óptima. En el anexo B-3, se muestra las

series sintéticas generadas de caudales medios mensuales en cada una de las estaciones

hidrométricas seleccionadas.

Definida la serie optima, se realizaron las pruebas de Chi cuadrado y Kolmogorov

Smirnov para evaluar si las series generadas ajustan a una distribución de probabilidad

normal, en el cuadro 4.31 se muestran los resultados.

100

CUADRO N° 4.29RESUMEN DE LAS PRUEBAS ESTADISTICAS DE VALIDACION Y CONSTRASTACION DE HIPOTESIS

1. Prueba de Varianzas: Verificación si las varianzas son iguales o diferentes.2. Prueba de t para la diferencia entre dos medias, prueba para muestras independientes.3. Prueba de t para la diferencia de dos medias apareadas, prueba para muestras dependientes. 4. Intervalo de Confianza Obtenidos a partir de los datos Generados.

SERIES SINTETICAS GENERADAS. Según

Cuadro N° 4.24

ORDEN DEL MODELO

ARMA (p,q)

LONGITUD DE LA SERIE

PRUEBAS ESTADISTICAS1 2 3 4

RECRETA-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media en los 12 meses, y 11 meses en la Desviación Estándar.

PACHACOTO-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presenta relación en la media mas no en la varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

QUEROCOCHA-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

CEDROS-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presenta relación en la media mas no en la varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. estándar para los 12 meses.

COLCAS-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media en los 12 meses, y 10 meses en la Desviación Estándar.

QUITARACSA-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media en los 12 meses; y 11 meses en la Desviación Estándar.

CONDORCERRO-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

PUENTE CARRETERA-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

LA BALSA-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

CHANCOS-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original no presentan relación en la media y en la varianza si tiene relación.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

LLANGANUCO-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media y desv. Estándar para los 12 meses.

PARON-Ln ARMA (2,1) 480 La serie presentó tener varianzas iguales en los 12 meses

La serie tiene medias iguales en los 12 meses

La serie sintética y original presentan relación en la media y varianza.

La serie sintética se encuentra dentro del intervalo de confianza para la media en los 12 meses; y 11 meses en la Desviación Estándar.

Aceptación absoluta de las pruebasRechazo parcial de las pruebas

101

CUADRO N° 4.30SELECCIÓN DE LA SERIE GENERADA MÁS ADECUADA

SERIES SINTETICAS GENERADAS. Según Cuadro

N° 4.24

ORDEN DEL MODELO ARMA

(p,q)

LONGITUD DE LA SERIE

CANTIDAD DE SERIES ADECUADAS SEGÚN NIVEL DE SIGNIFICANCIA “α”

0.05 0.1 0.25 0.50 “α” optimo para selección de una serie

RECRETA-Ln ARMA (2,1) 480 53 47 30 19 0.930

PACHACOTO-Ln ARMA (2,1) 480 72 59 42 20 0.967

QUEROCOCHA-Ln ARMA (2,1) 480 89 79 61 39 0.982

CEDROS-Ln ARMA (2,1) 480 81 73 57 29 0.965

COLCAS-Ln ARMA (2,1) 480 86 78 64 40 0.878

QUITARACSA-Ln ARMA (2,1) 480 79 68 51 34 0.965

CONDORCERRO-Ln ARMA (2,1) 480 64 60 49 18 0.883

PUENTE CARRETERA-Ln ARMA (2,1) 480 74 66 52 35 0.973

LA BALSA-Ln ARMA (2,1) 480 82 73 58 40 0.970

CHANCOS-Ln ARMA (2,1) 480 93 85 62 36 0.983

LLANGANUCO-Ln ARMA (2,1) 480 23 11 2 0 0.400

PARON-Ln ARMA (2,1) 480 75 68 42 20 0.958

102

ESTACION SELECCIONADA POR EL AIC (p,q). Según Cuadro

N° 4.18

ORDEN DEL

MODELO ARMA (p,q)

LONGITUD ANUAL

DE LA SERIE

RESUMEN PRUEBA AJUSTE DE NORMALIDAD

Serie Generada

Prueba Chi -Cuadrado Prueba Smirnov-KolmogorovAjuste

Valor Tabular Valor Calculado Valor Tabular Valor Calculado

RECRETA-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.55 0.21 0.1023 si se ajusta

PACHACOTO-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.64 0.21 0.1536 si se ajusta

QUEROCOCHA-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.59 0.21 0.0899 si se ajusta

COLCAS-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.25 0.21 0.0608 si se ajusta

QUITARACSA-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 32.86 0.21 0.1197 si se ajusta

CEDROS-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.22 0.21 0.0717 si se ajusta

CONDORCERRO-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 38.10 0.21 0.1086 si se ajusta

PUENTE CARRETERA-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.63 0.21 0.1222 si se ajusta

LA BALSA-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 38.14 0.21 0.1171 si se ajusta

CHANCOS-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 38.54 0.21 0.1256 si se ajusta

LLANGANUCO-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.80 0.21 0.1721 si se ajusta

PARON-Ln ARMA (2,1) 40 52.1923 39.68 0.21 0.0882 si se ajusta

CUADRO N° 4.31RESUMEN DE LAS PRUEBAS ESTADISTICAS DE VALIDACION Y CONTRASTACION DE HIPOTESIS

PRUEBA DE AJUSTE DE NORMALIDAD PARA LAS SERIES GENERADAS

103

V. DISCUSION DE RESULTADOS

5.1 INFORMACION HIDROMETRICA.

De las estaciones hidrométricas de la cuenca del río Santa, se seleccionaron 12

estaciones, las cuales han sido agrupadas en 4 grupos para el análisis respectivo, esta

agrupación simplifico e identifico rápidamente las inconsistencias.

5.2 ANALISIS VISUAL.

Para la identificación de inconsistencias se plotearon las series de caudales en

hidrogramas y rectas doble masa; las rectas doble masa, se obtuvieron del ploteo que se

realizó utilizando lamina escurrida para series de caudales en las estaciones analizadas,

resultando una rápida identificación de los quiebres. Los quiebres en la recta doble masa

probablemente, representan las inconsistencias de los datos y la identificación del tipo de

inconsistencia se tuvo en cuenta observando las rectas doble masa de cada grupo, y también

de los hidrogramas.

De los gráficos de rectas doble masa (figuras 4.1 al 4.4) se seleccionaron las estaciones

índices aquellas que presentan menores puntos de quiebre en las rectas doble masa, y en las

figuras 4.5 al 4.8 se identificaron los períodos confiables y dudosos, que con el análisis

estadístico se comprobaron si estos son significativos o no, teniendo lo siguiente en cada

grupo:

Para el Grupo I: de la figura 4.1 se identificó que la serie de Pachacoto tiene menos

puntos de quiebre, definiendo a esta serie como estación índice; en la figura 4.5 se

muestra el ploteo de la estación índice en el eje de las abcisas y las estaciones de

Recreta y Querococha en el eje de las ordenadas; de esta grafica se identificaron los

períodos dudosos y confiables (cuadro 4.3), considerando como período confiable

aquella que tiene un período mayor de años con respecto a los períodos dudosos; los

períodos dudosos serán evaluados estadísticamente. Las series de Recreta y

Querococha se identificaron 4 períodos dudosos.

Para el Grupo II: de la figura 4.2 se identificó que la serie de Cedros tiene muy

pocos puntos de quiebre, definiendo a esta serie como estación índice, en la figura

104

4.6 se muestra el ploteo de la estación índice en el eje de las abcisas y las estaciones

de Colcas y Quitaracsa en el eje de las ordenadas; de esta gráfica se identificaron los

períodos dudosos y confiables (cuadro 4.3), considerando como período confiable

aquella que tiene un mayor período de años con respecto a los períodos dudosos; los

períodos dudosos serán evaluados estadísticamente. Las series de Colcas se

identificaron dos períodos dudosos y en la serie de Quitaracsa se identifico un

período dudoso.

Para el Grupo III: de la figura 4.3 se identifico que la serie de la Balsa tiene pocos

puntos de quiebre definiendo a esta serie como estación índice. De la figura 4.7 se

muestra el ploteo de la estación índice en el eje de las abcisas y las estaciones de

Condorcerro y Puente Carretera en el eje de las ordenadas, de esta gráfica se

identificaron los períodos dudosos y confiables (cuadro 4.3), considerando como

período confiable aquella que tiene un mayor período de años con respecto a los

períodos dudosos; los períodos dudoso serán evaluados estadísticamente. La serie de

Condorcerro presento un período dudoso y otro confiable, y la serie de Puente

Carretera presento 3 períodos dudosos y 1 confiable.

Para el Grupo IV: de la figura 4.4 se identificó que la serie de Llanganuco tiene

pocos puntos de quiebre, definiendo a esta serie como estación índice, de la figura

4.8 se muestra el ploteo de la estación índice en el eje de las abcisas y las estaciones

de Chancos y Parón en el eje de las ordenadas; de esta gráfica se identificaron los

períodos dudosos y confiables (cuadro 4.3), considerando como período confiable

aquella que tiene un mayor período de años con respecto a los períodos dudosos; los

períodos dudosos serán evaluados. La serie de Chancos presento 1 punto de quiebre

y la serie de Parón presento 3 puntos de quiebre.

5.3 ANALISIS DE CONSISTENCIA

5.3.1 ANALISIS DE CONSISTENCIA EN SALTOS.

Identificado el período confiable aquellos períodos que tiene mayor longitud de años y

los períodos dudosos, se realizaron las pruebas estadísticas para identificar salto en la

media y desviación estándar para corregir los períodos dudosos que resultaran

significativos según las pruebas estadísticas de “t-Student” y “F-Fisher Snedecor”. De

los grupos de estaciones hidrométricas seleccionadas resultaron corregidos los períodos

dudosos como son:

105

Del Grupo I: las estaciones de Recreta y Querococha presentaron los siguientes

periodos confiables y dudosos, siendo evaluados y cuantificados para que resulte

una ecuación lineal de corrección de periodos dudosos que resultaron

significativos en una de las pruebas estadísticas de “t” y “F” para la media y

desviación estándar; de esta evaluación, resultaron significativos 3 periodos de los

4 identificados en la estación Recreta y 2 periodos de los 4 identificados en la

estación de Querococha. En el siguiente cuadro se muestra los periodos

significativos con las ecuaciones de corrección.

CUADRO N° 5.1: Periodos que resultaron significativos y las ecuaciones de corrección.

ESTACIONPERIODOS Y LONGITUD EN AÑOS Diferencia

SignificativaDiferencia

Significativa ECUACION DE CORRECCION

CONFIABLES LONGITUD DUDOSOS LONGITUD MEDIA DESV. EST.

RECRETA

1956 1976 21 1977 1980 4 SI Si X't = 1.99 * X - 0.111

1956 1980 25 1981 1984 4 NO NO

1956 1984 29 1985 1989 5 NO Si X't = 1.531 * X - 0.518

1956 1989 34 1990 1993 4 SI Si X't = 1.839 * X + 0.246

QUEROCOCHA

1956 1968 13 1969 1974 6 NO Si X't = 0.834 * X + 0.054

1956 1974 19 1975 1981 7 NO NO

1956 1981 26 1982 1985 4 SI NO X't = 0.85 * X - 0.107

1956 1985 30 1986 1993 8 NO NO

Del Grupo II: las estaciones de Colcas y Quitaracsa presentaron los siguientes

periodos confiables y dudosos, siendo evaluados y cuantificados para que resulte

una ecuación lineal de corrección de periodos dudosos que resultaron

significativos en una de las pruebas estadísticas de “t” y “F” para la media y

desviación estándar; de esta evaluación, todos los periodos dudosos identificados

resultaron significativos. En el siguiente cuadro se muestra los periodos

significativos con las ecuaciones de corrección.

CUADRO N° 5.2: Periodos que resultaron significativos y las ecuaciones de corrección.

ESTACIONPERIODOS Y LONGITUD EN AÑOS Diferencia

SignificativaDiferencia

Significativa ECUACION DE CORRECCION

CONFIABLES LONGITUD DUDOSOS LONGITUD MEDIA DESV. EST.

COLCAS1956 1976 21 1977 1983 7 SI NO X't = 1.02 * X - 1.285

1956 1983 28 1984 1992 9 SI NO X't = 1.009 * X + 0.68

QUITARACSA 1956 1992 37 1993 1995 3 SI Si X't = 0.37 * X + 5.191

Del Grupo III: las estaciones de Condorcerro y Puente Carretera presentaron los

siguientes periodos confiables y dudosos, siendo evaluados y cuantificados para

que resulte una ecuación lineal de corrección de periodos dudosos que resultaron

significativos en una de las pruebas estadísticas de “t” y “F” para la media y

106

desviación estándar; de esta evaluación, todos los periodos dudosos identificados

resultaron significativos. En el siguiente cuadro se muestra los periodos

significativos con las ecuaciones de corrección.

CUADRO N° 5.3: Periodos que resultaron significativos y las ecuaciones de corrección.

ESTACIONPERIODOS Y LONGITUD EN AÑOS Diferencia

SignificativaDiferencia

Significativa ECUACION DE CORRECCION

CONFIABLES LONGITUD DUDOSOS LONGITUD MEDIA DESV. EST.

CONDORRCERRO 1956 1984 29 1985 1993 9 SI NO X't = 1.086 * X + 18.002

PUENTE CARRETERA

1956 1971 16 1972 1979 8 NO Si X't = 0.841 * X + 14.611

1956 1979 24 1980 1985 6 SI Si X't = 0.538 * X + 8.326

1956 1985 30 1986 1989 4 SI Si X't = 0.567 * X - 11.726

Del Grupo IV: las estaciones de Chancos y Parón presentaron los siguientes

periodos confiables y dudosos, siendo evaluados y cuantificados para que resulte

una ecuación lineal de corrección de periodos dudosos que resultaron

significativos en una de las pruebas estadísticas de “t” y “F” para la media y

desviación estándar; de esta evaluación, todos los periodos dudosos identificados

resultaron significativos. En el siguiente cuadro se muestra los periodos

significativos con las ecuaciones de corrección.

CUADRO N° 5.4: Periodos que resultaron significativos y las ecuaciones de corrección.

ESTACIONPERIODOS Y LONGITUD EN AÑOS Dif.Sig. D.SIG. ECUACION DE

CORRECCIONCONFIABLES LONGITUD DUDOSOS LONGITUD MEDIA DESV. EST.

CHANCOS 1956 1977 22 1978 1986 9 SI Si X't = 0.803 * X + 0.041

PARON

1956 1976 21 1977 1984 8 SI Si X't = 0.773 * X - 0.053

1956 1984 29 1985 1989 5 SI Si X't = 0.841 * X - 0.492

1956 1989 34 1990 1995 6 SI Si X't = 0.309 * X + 0.894

5.3.2 ANALISIS DE CONSISTENCIA EN TENDENCIAS.

Corregido la inconsistencia en los saltos de períodos dudosos, se identificaron las

tendencias en los hidrogramas, teniendo la serie de Pachacoto con el mayor numero de

períodos de posibles tendencias, y el resto de las series presentan entre 2 y 3 períodos de

posibles tendencias; de estos períodos se evaluaron y cuantificaron, resultando las series de

Pachacoto, Colcas, Puente Carretera, Chancos y Llanganuco con un período (cada uno) de

presencia de Tendencias; la presencia de inconsistencias en tendencia para las series

evaluadas resultó significativa en la media, en su mayoría, y en la desviación estándar.

Todas las series fueron analizadas en los posibles períodos que presentaran tendencias

y en la totalidad de la longitud de la serie, no encontrándose tendencias significativas. La

serie de Puente Carretera presenta tendencias notorias y significativas en los períodos de

107

1956 a 1965 la que resulto notoria y fue corregida, el período de 1990 a 1995 no resulto

significativa pese a que en el hidrograma de esta serie, se puede identificar la presencia de

tendencia en este período. En el siguiente cuadro se muestra los periodos de las series

analizadas que presentaron tendencias significativas según el cuadro 4.5 con las

ecuaciones de corrección.

CUADRO N° 5.5: Periodos que resultaron significativos y las ecuaciones de corrección.

ESTACIONPERIODO

TENDENCIACOEFICIENTE TENDENCIA

SGINIFICATIVA ECUACION DE CORRECCIONINICIO FINAL Am Bm

PACHACOTO 1956 1995 MEDIA -0.00218 4.76769 SI X't = -0.002175 * X + 4.767694

COLCAS 1993 1994 MEDIA -0.24745 10.21818 SI X't = -0.247455 * X + 10.218185

PUENTE CARRETERA 1956 1965 MEDIA -0.8079 204.7888 SI X't = -0.80793 * X + 204.788791

CHANCOS 1978 1992 MEDIA -0.0144 9.0148 SI X't = -0.014367 * X + 9.014807

LLANGANUCO1956 1995 MEDIA 0.0009 2.7987 SI X't = 0.000893 * X + 2.798725

1956 1995 DES. ESTANDAR 0.0067 0.9103 SI X't = 0.006667 * X + 0.910276

5.4 COMPLETACION DE DATOS.

La completación se realizó con un programa de elaboración propia, y en otros casos de

forma manual; la completación de datos en las series analizadas y agrupadas se realizó con

los siguientes criterios.

Para el Grupo I, la estación Recreta no presenta datos faltantes y las estaciones de

Pachacoto y Querococha presentan datos faltantes en dos meses, esto llevo a

completar los datos faltantes con el promedio simple de toda la serie.

Para el Grupo II, las estaciones agrupadas presentan algunos datos faltantes por lo

que se completaron con una estación cercana que es la estación de la Balsa, este

criterio se tuvo en cuenta por que las estaciones a completar y la estación índice

completa, se encuentran en la parte media y baja; además la estación de la Balsa

presento mejor significancia en la prueba de R2 a comparación con la estación de

Parón que es la mas cercana, los meses faltantes fueron completados con ecuaciones

de regresión adecuadas para cada mes.

Para el Grupo III, la estación de la Balsa y Condorcerro tiene datos completos y la

estación de Puente Carretera tiene algunos datos incompletos por lo que se

completaron, teniendo en cuenta la estación de la Balsa que es una estación que

registra datos de la parte media y alta de la cuenca y esta ubicada en el río santa y

también se comparada con la estación de Condorcerro, teniendo mejores resultados

con la estación de la Balsa en la prueba de R2, de la completación algunos meses

(mayo, agosto, setiembre y octubre) no resultaron significativos según la prueba

108

estadística de R2, por lo que se completaron esos datos con el método de

proporciones..

Para el Grupo IV, la estación de Llanganuco presentaron algunos datos faltantes con

lo que fueron completados con la estación de Chancos y la estación de Parón fue

completada con la estación de Llanganuco por presentar mejores resultados que la

estación de Chancos según la prueba estadística de R2; la estación de Chancos se

completaron los datos con el promedio simple de toda la serie por presentar

menores datos faltantes. En la estación de Llanganuco solo se completo con el

método de proporciones en los meses de junio y noviembre, el resto de meses

fueron completados con ecuaciones de regresión; y en la estación de Parón se

completo con el método de proporciones en los meses de julio, agosto y noviembre,

en el resto de meses la completación se realizo con ecuaciones de regresión.

5.5 PROCESO DE DESESTACIONALIZACIÓN.

5.5.1 ANALISIS PRELIMINAR DE SERIES DE TIEMPO.

En las series libres de saltos y tendencias de Recreta, Querococha, Quitaracsa,

Condorcerro, Puente Carretera y la Balsa, se aprecia claramente que presentan una

importante característica de estacionalidad, de tal forma que las componentes aleatorias

parecieran ser pequeñas, a diferencia que las series de Pachacoto, Cedros, Colcas, Chancos,

Llanganuco y Parón que presenta una característica casi aleatoria donde la periodicidad es

difícil de ajustar.

5.5.2 TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA.

Los gráficos de componentes residuales para series normalizadas con transformación

logarítmica, son los más representativos para realizar las últimas verificaciones de

periodicidad, estacionalidad y tendencias, preservando comportamientos de estacionalidad y

periodicidad que son característicos con el comportamiento del régimen de descarga de esta

cuenca y no mostrando tendencias significativas que no sean confundidas con el

comportamiento de las residuales. Los gráficos de componentes estacionales solamente

representan el comportamiento constante de la componente estacional, por lo que no ha sido

considerado en la presentación.

Para el modelamiento se consideran todos los datos de las series de descargas

mensuales de las estaciones hidrométricas seleccionadas.

109

CUADRO N°5.6: SERIES NORMALIZADAS CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

Fig. Serie Comportamiento

4.25 Recreta-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.26 Pachacoto-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.27 Querococha-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.28 Colcas-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.29 Cedros-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.30 Quitaracsa-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.31 Condorcerro-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.32 Puente carretera-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.33 La Balsa-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.34 Chancos-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.35 Llanganuco-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.36 Parón-Ln No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

5.5.3 ESTANDARIZACIÓN.

Los gráficos de componentes residuales, para series normalizadas y después

estandarizadas, no presentaron comportamientos de fuerte periodicidad y el

comportamiento estacional que son característicos de esta cuenca se manifestaron,

considerando para el modelamiento, a todas las series de descargas mensuales de las

estaciones hidrométricas. Los gráficos de componentes estacionales solamente representan

el comportamiento constante de esta componente, por lo que no se ha considerado en los

resultados.

CUADRO N°5.7: SERIES NORMALIZADAS CON TRANSFORMACION LOGARITMICA Y ESTANDARIZADAS

Fig. Serie Comportamiento

4.37 Recreta-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.38 Pachacoto-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.39 Querococha-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

110

4.40 Colcas-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.41 Cedros-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.42 Quitaracsa-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.43 Condorcerro-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.44 Puente Carretera-Stand

No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.45 La Balsa-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.46 Chancos-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.47 Llanganuco-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

4.48 Parón-Stand No presenta comportamientos de fuerte periodicidad en toda la serie y en algunos tramos, la influencia del comportamiento residual no es notoria.

5.5.4 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN (F.A.).

1. F.A. PARA SERIES NORMALIZADAS CON TRANSFORMACION

LOGARITMICA.

Las Funciones de Autocorrelación para series normalizadas con transformación

logarítmica presentan primeros retardos positivos con lento decaimiento exponencial e

incompleto comportamiento sinusoidal y ondas amortiguadas, interrumpiéndose después

con retardos negativos perdiéndose dentro de la banda de confianza; solo la serie de

Parón presenta primeros retardos positivos con decaimiento y comportamiento

sinusoidal en un tramo luego se interrumpe.

Las series aleatorias de residuales normalizadas con transformación logarítmica

no presentan una función de autocorrelación totalmente periódica, aun que las series no

se han desestacionalizado aun y que es no estacionaria. Esto demuestra que la corrección

que se hizo para homogenizar los datos influencia en las series residuales obtenidas en

las transformaciones. En el cuadro 5.1 se muestra las características de cada serie

analizada.

Prueba de Anderson para la Función de Autocorrelación de las Series Históricas Corregidas y Completada, con Transformación Logarítmica.

Fig. Serie Comportamiento

4.49 Recreta-Ln Primeros retardos positivos con lento decaimiento exponencial y comportamiento sinusoidal de ondas amortiguadas, interrumpiéndose después con retardos negativos.

CUADRO N° 5.8

111

CUADRO N° 5.9

4.50 Pachacoto-Ln Primeros retardos positivos con lento decaimiento exponencial y ondas amortiguadas, luego interrumpiéndose con retardos negativos y comportamiento sinusoidal no definido.

4.51 Querococha-Ln Primeros retardos positivos con lento decaimiento exponencial y luego se interrumpe con retardos negativos y comportamiento sinusoidal no definido.

4.52 Colcas-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y luego se interrumpe con retardos negativos y comportamiento sinusoidal no definido.

4.53 Cedros-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y ondas amortiguadas, luego interrumpiéndose con retardos negativos y positivos y comportamiento sinusoidal no definido.

4.54 Quitaracsa-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y ondas amortiguadas, luego interrumpiéndose con retardos negativos y positivos y comportamiento sinusoidal no definido.

4.55 Condorcerro-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y comportamiento sinusoidal interrumpiéndose con ondas amortiguadas de retardos negativos.

4.56 Puente carretera-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento y comportamiento sinusoidal interrumpiéndose con ondas amortiguadas de retardos negativos.

4.57 La Balsa-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y se interrumpe con retardos positivos y negativos con comportamiento sinusoidal no definido y ondas amortiguadas.

4.58 Chancos-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y ondas amortiguadas interrumpiéndose con retardos negativos de ondas amortiguadas.

4.59 Llanganuco-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y comportamiento sinusoidal y luego interrumpido con algunas ondas amortiguadas.

4.60 Parón-Ln Primeros retardos positivos con decaimiento y comportamiento sinusoidal definido que es notorio a otras series.

2. F.A. PARA SERIES NORMALIZADAS Y LUEGO ESTANDARIZADAS.

Las Funciones de autocorrelación para series normalizadas y después

estandarizadas presentan lo primeros retardos positivos, decrece en forma exponencial y

con ondas amortiguadas interrumpiéndose con retardos negativos de ondas

amortiguadas; la serie de Parón presenta primeros retardos positivos con decaimientos y

comportamiento sinusoidal en un tramo que luego es interrumpido.

Las series aleatorias de residuales normalizadas y luego estandarizadas no

presentan funciones de autocorrelación totalmente periódicas, presentando

comportamientos semejantes a las funciones de autocorrelación normalizadas con

transformación logarítmica mostrando las series no se han desestacionalizado aun y que

es no estacionaria. Esto demuestra que la corrección que se hizo para homogenizar los

datos influencia en las series residuales obtenidas en las transformaciones. En el cuadro

4.2 se muestra las características de las series.

Prueba de Anderson para la Función de Autocorrelación de las Series Históricas Corregidas y completadas, con transformación Logarítmica y Estandarizadas

Fig. Serie Comportamiento4.61 Recreta-Stand Primeros retardos positivos, decrece en forma exponencial y ondas amortiguadas interrumpiéndose con

retardos negativos de ondas amortiguadas.

4.62 Pachacoto-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y ondas amortiguadas seguidos de comportamiento sinusoidal irregular de retardos positivos y negativos.

112

CUADRO N° 5.10

4.63 Querococha-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento y luego se interrumpe con retardos positivos y negativos de comportamiento sinusoidal irregular no definido.

4.64 Colcas-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento y luego interrumpida con retardos positivos negativos y positivos de comportamiento sinusoidal no definido.

4.65 Cedros-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y pequeños amortiguamientos seguido de irregular comportamiento sinusoidal.

4.66 Quitaracsa-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y amortiguamientos interrumpidos con retardos negativos y positivos de comportamiento amortiguado.

4.67 Condorcerro-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y pequeños amortiguamientos interrumpidos con retardos negativos de comportamiento amortiguado.

4.68 Puente Carretera-Stand

Primeros retardos positivos con decaimiento exponencial y ondas amortiguadas interrumpidos con retardos negativos.

4.69 La Balsa-Stand Primeros retardos positivos y decaimiento con pequeños amortiguamientos interrumpiéndose con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular.

4.70 Chancos-Stand Primeros retardos positivos y decaimiento exponencial considerable seguido de pequeños amortiguamientos de comportamiento sinusoidal.

4.71 Llanganuco-Stand Primeros retardos positivos y decaimiento exponencial considerable y comportamiento sinusoidal seguido de pequeños amortiguamientos.

4.72 Parón-Stand Primeros retardos positivos con decaimiento y comportamiento sinusoidal definido que es notorio a otras series.

5.5.5 FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL (FAP).

1. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL PARA LAS SERIES

NORMALIZADAS CON TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA.

Las F.A.P. para las series con transformación Logarítmica presentan el primer

retardo positivo y significativamente alto, interrumpido por retardos positivos y

negativos que se pierden dentro de la banda de confianza. Los retardos no presentan

patrones definidos en su comportamiento para los 4 grupos y sus respectivas series, esto

hace marcar un comportamiento no estacionario en los retardos con marcada

aleatoriedad entre los grupos de series para el análisis. En el cuadro 5.3 se muestra las

características de las series.

Prueba de Anderson para las Funciones de Autocorrelación Parcial de las Series Históricas Corregidas y completadas, con Transformación Logarítmica.

Fig. Serie Comportamiento

4.73 Recreta-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.74 Pachacoto-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

113

CUADRO N° 5.11

4.75 Querococha-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.77 Colcas-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.76 Cedros-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.78 Quitaracsa-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.79 Condorcerro-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.80 Puente Carretera-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.81 La Balsa-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.82 Chancos-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.83 Llanganuco-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.84 Parón-Ln Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

2. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL PARA LAS SERIES

ESTANDARIZADAS.

Las F.A.P. de las series estandarizadas, el primer retardo es positivo y altamente

significativo seguido de retardos positivos y negativos que se pierden dentro de la banda

de confianza. Al igual que las series de función de autocorrelación parcial de series

normalizadas, presentan comportamientos semejantes marcando comportamiento no

estacionario en los retados con marcada aleatoriedad entre los grupos de series. En el

cuadro 5.4 se muestra las características de la serie.

Prueba de Anderson para las Funciones de Autocorrelación Parcial de las Series Históricas Corregidas y completadas, con Transformación Logarítmica y Estandarizadas.

Fig. Serie Comportamiento

4.85 Recreta-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.86 Pachacoto-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.87 Querococha-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

114

4.89 Colcas-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.88 Cedros-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.90 Quitaracsa-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.91 Condorcerro-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.92 Puente Carretera-Stand

Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.93 La Balsa-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.94 Chancos-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.95 Llanganuco-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

4.96 Parón-Stand Primer retardo positivo luego se interrumpe con retardos negativos y positivos de comportamiento irregular perdiéndose dentro de la banda de confianza.

5.6 IDENTIFICACIÓN DEL MODELO.

De acuerdo al análisis realizados de los cuadros 4.4 al 4.7 en las Funciones de

Autocorrelación y Funciones de Autocorrelación Parcial y de acuerdo al cuadro 2.1 para las

series normalizadas con transformación logarítmica y estandarizadas es evidente la presencia

de que los primeros o primer retardo es significativo, seguido de decaimiento exponencial

consistente de ondas amortiguadas y retardos que se pierden dentro de la banda de confianza,

estas características se presentan con mayor énfasis en las Funciones de Autocorrelación,

mostrando comportamiento típico de modelos autorregresivos AR. De las Funciones de

Autocorrelación Parcial, presentan un máximo retardo luego se interrumpe y en otras series

(Chancos y Llanganuco) decrecen, y luego se pierden en la banda de confianza mostrando

una marca presencia de la componente media móvil en todas las series.

Del análisis de las Funciones de Autocorrelación y Funciones de Autocorrelación

Parcial indicados en 4.4.4 y 4.4.5 seleccionamos como modelos a ARMA (1,0), ARMA

(2,0), ARMA (1,1) y ARMA (2,1); que serán modelados en el programa SAMS.

5.7 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DEL MODELO ARMA (p,q).

Para obtener los parámetros autorregresivos y media móvil se usó del software SAMS

(Simulación y Análisis de Modelos estocásticos), que modela series con el método ARMA

de Box y Jenkins, el SAMS tiene 02 presentaciones del modelo ARMA, para series anuales y

para series estacionales, que en este caso se denomina PARMA (Periódico ARMA).

Se aplicó el modelamiento ARMA periódico (en el SAMS esta definido como

PARMA) que es para series estacionales. Inicialmente el software presenta opciones para

realizar transformaciones para aproximar a una serie normal (transformación logarítmica,

potencia y Box-Cox), para luego elegir la opción de realizar la estandarización de las series;

luego determina los parámetros estadísticos, seguidamente calcula los “p” parámetros

autorregresivos y luego los “q” parámetros de media móvil; los parámetros de los modelos

115

son calculados por el método de los momentos y de la suma de cuadrados que da

aproximaciones.

En la estimación de parámetros se tuvo en cuenta que la varianza de residuales de los

modelos, sean positivos; esto implicaba que si los valores resultan negativos, el programa no

generaba valores. En estos casos se determinó los parámetros con el método de la suma de

cuadrados que presentaba valores adecuados para realizar la generación.

5.8 BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO.

5.8.1 PRUEBA DE INDEPENDENCIA EN EL TIEMPO.

1. DE LA SERIES

CON TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA

De la prueba de porte Monteau mostrada en el cuadro 4.22 se observa que

presenta pocos recuadros resaltados con color verde indicando estos el rechazo de la

prueba. Esto hacer notar que la mayoría de las series con transformación logarítmica

mantienen la independencia de las residuales de cada una de las series generadas por el

modelo ARMA (p,q), la prueba de Porte Monteau es evaluada con los limites de

Anderson, las series preservaron mantenerse dentro del rango de confianza sin presentar

inconvenientes en momentos que el programa realizaba la generación de datos, el

programa SAMS no realiza la generación de datos si es que no cumple con estas

pruebas.

2. DE LA SERIES ESTANDARIZADAS.

De la prueba de Porte Monteau mostrada en el cuadro 4.24 se observa que al

igual que para las series transformadas, presenta pocos recuadros resaltados con color

verde, indicando rechazo de la prueba. Esto hace notar que las series estandarizadas

mantiene la independencia de las residuales de cada serie generada con el modelo

ARMA (p,q), en la prueba de Anderson, las series preservaron mantenerse dentro del

rango de confianza, razón por la cual el programa SAMS ha generados los caudales

sintéticos normalmente.

5.8.2 PRUEBA DE NORMALIDAD.

1. DE LAS SERIES CON TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA.

116

De la prueba de asimetría de normalidad para las diferentes series estocásticas

ARMA (p,q) mostrado en el cuadro 4.21 se observa que presenta pocos recuadros

resaltados con color verde, indicando los meses de rechazo de esta prueba, y el resto de

meses preserva las características de ajuste de normalidad. Esto hace definir que las

residuales de las series normalizadas con transformación logarítmica se ajustan a una

distribución normal en la mayoría de los meses.

2. DE LAS SERIES ESTANDARIZADAS.

De la prueba de asimetría de normalidad mostrada en el cuadro 4.23 para las

diferentes series estocásticas ARMA (p,q), se observa que las series presentan pocos

recuadros resaltados con color verde, indicando rechazo de la prueba a excepción de la

serie de Parón que presenta en la mayoría de los meses rechazos; al igual que en series

normalizadas con transformación logarítmica, la mayoría de meses preserva las

características de ajuste de normalidad; haciendo definir que las residuales en las series

normalizadas y luego estandarizadas se ajustan una distribución normal en la mayoría de

los meses.

5.8.3 AJUSTE DE LA DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA DE LA COMPONENTE

RESIDUAL ESTOCÁSTICA.

Una vez probada la independencia de la serie residual εt, se ajusta la distribución

empírica a la función de distribución simétrica normal. El programa SAMS verifica en forma

general que la función de distribución acumulada empírica de la serie residual tiende a seguir

aproximadamente una normal, llegando así a la conclusión de aceptar la hipótesis de que los

registros residuales se aproximan o distribuyen probabilísticamente a la función de

distribución normal, si una serie no cumple con los limites de confianza de Porte Monteau, el

programa no realiza la generación de datos; indicando así que no ha cumplido con una de las

pruebas y automáticamente no realiza la generación de datos.

5.8.4 PARSIMONIA DE PARÁMETROS.

Se puede notar claramente que los valores del criterio de información de Akaike

para todas las residuales de los modelos ARMA (p,q) generados para cada serie hidrológica

con las transformaciones logarítmicas y estandarizadas, presentan pocas diferencias en los

mismos tipos de series; determinando así que los modelos ARMA (2,1) para todas las series

tiene un mejor valor de esta prueba y comparando entre series normalizadas con

117

transformación logarítmica y estandarizadas las series con transformadas logarítmica

presentan mejores valores.

Se aceptará entonces estos modelos para la generación de series, y se vera en las

pruebas de validación, que es el motivo de la tesis, qué modelo reproduce mejor las

características estadísticas de la serie original

5.9 GENERACIÓN DE SERIES.

De los modelos estocásticos ARMA (p,q) que son los más competentes según la

prueba de Akaike y son presentados en el cuadro 4.28, se generaron 100 series de caudales

medios mensuales, de longitudes iguales a 40 años, para realizar las pruebas de validación de

resultados.

5.9.1 ANALISIS COMPARATIVO ENTRE SERIES HISTORICAS Y

GENERADAS.

El programa SAMS, presenta el reporte de la comparación de estadísticos como la

Media, Desviación Estándar, Coeficiente De Asimetría, Coeficiente De Variación, Máximos

y Mínimos mensuales, para series históricas y generadas; de las cuales se evaluaron los

parámetros mas importantes que son la media y desviación estándar, mostrando visualmente

semejanzas entre si. De estos resultados obtenidos por el SAMS, se analizaran los

estadísticos más representativos como son la Media y Desviación Estándar.

Del Grupo I, de las series seleccionadas (Recreta, Pachacoto y

Querococha) muestran apreciable semejanza en la media para todas las series, y en

la desviación estándar las series en análisis presentan 2 puntos de alejamientos

pequeños que no son tan notorias pero si mantiene el comportamiento del

estadístico; esto indica que los dos parámetros conserva el mismo comportamiento

a del régimen de descarga. Estas series mantienen un comportamiento estacional

definido, mostrando así que las series generadas con sus respectivos modelos

ARMA (p,q) preservan las características estadísticas de las series originales.

Del Grupo II de las series seleccionadas (Cedros, Colcas y Quitaracsa)

muestran apreciable semejanza en la media y mantiene el mismo régimen, en la

desviación estándar las series presentan pequeños saltos en 3 puntos, manteniendo

un comportamiento definido; mostrando así que las series generadas con sus

respectivos modelos ARMA (p,q) preservan las características estadísticas de las

series originales.

118

Del Grupo III de las series seleccionadas (Condorcerro, Puente Carretera

y La Balsa) muestran apreciable semejanza en la media, manteniendo el mismo

régimen de descarga, en la desviación estándar las series presentan pequeños

alejamientos en 2 puntos que no son notorios porque siguen preservando el

comportamiento del estadístico. Estos estadísticos mantienen un comportamiento

estacional definido; mostrando así que las series generadas con sus respectivos

modelos ARMA (p,q) preservan las características estadísticas de las series

originales.

Del Grupo IV de las series seleccionadas (Chancos, Llanganuco y

Parón) muestran apreciable semejanza en la media, manteniendo el mismo

régimen de descarga; y en la desviación estándar la serie de Parón presenta un

salto significativo, y en las demás tiene saltos no significativos. Los valores de la

serie generada e histórica mantienen un comportamiento estacional definido;

mostrando así que las series generadas con sus respectivos modelos ARMA (p,q)

preservan la característica estadística de la media y la desviación estándar con

algunos saltos.

Por lo tanto las series generadas a partir de las series históricas, en su mayoría,

preservan las características estadísticas tanto en la media y la desviación estándar, con

mayor énfasis en la media, como ha sido mostrado en el anexo C-2; se realizara las pruebas

estadísticas para la verificar si los estadísticos calculados de las series generadas son

estadísticamente iguales con la serie histórica.

5.10 VALIDACIÓN DE RESULTADOS.

5.10.1 PRUEBA DE HIPOTESIS DE 02 MUESTRAS.

1. PRUBA DE HIPOTESIS DE LAS VARIANZAS DE 02 POBLACIONES.

Según el cuadro 4.29, las series sintéticas generadas preservan absoluta

aceptación en la mayoría de los meses de cada serie generada, indicando que las

varianzas entre las series históricas y generadas son estadísticamente iguales.

2. PRUEBA DE “t” PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES.

Según el cuadro 4.29, las series sintéticas generadas presentan absoluta

aceptación de esta prueba, indicando que las medias son estadísticamente iguales entre

los dos grupos de muestra que son las series históricas y generadas.

119

3. PRUEBA DE “t” PARA

MUESTRAS DEPENDIENTES.

Según el cuadro 4.29, las series sintéticas generadas presentan aceptación en las

pruebas de hipótesis en la media y desviación estándar en muestras apareadas, en las

series de Pachacoto y Cedros no presenta relación en la prueba de varianzas y en la serie

de Chancos no tiene aceptación en la prueba de medias; de esta manera las series

históricas y generadas presentan relación de dependencia.

5.10.2 INTERVALO DE CONFIANZA A PARTIR DE LAS SERIES GENERADAS.

Según el cuadro 4.29, las series sintéticas generadas presentan aceptación en la

prueba de verificación del intervalo de confianza en la media y desviación estándar para la

mayoría de los meses de cada serie generada, indicando así que las series generadas se

encuentran dentro del intervalo de aceptación.

5.10.3 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.

La verificación de que las series generadas se ajustan a una distribución de

probabilidad normal ha sido evaluada, resultando aceptable en la totalidad de las series

generadas según los resultados obtenidos en el cuadro N° 4.31.

120

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 CONCLUSIONES

a) Para el modelamiento estocástico de las series, con el modelo ARMA, se

emplearon registros históricos de caudales medios mensuales de las estaciones

hidrométricas de Recreta, Pachacoto, Querococha, Cedros, Colcas, Quitaracsa,

Condorcerro, Puente Carretera, La Balsa, Chancos, Llanganuco y Parón; con un

periodo de registro histórico común de 40 años (1956 – 1995)

b) Los modelos estocásticos ARMA que han sido seleccionados para la generación

de descargas medias mensuales sintéticas son de orden (2,1), que previamente han

sido normalizados mediante transformación logarítmica. Los modelos

seleccionados para la generación son:

ESTACION HIDROMETRICA

SERIE CON TRANSFORMACION LOGARITMICA

ORDEN DEL MODELO ARMA (p,q)

RECRETA RECRETA-Ln ARMA (2,1)

PACHACOTO PACHACOTO-Ln ARMA (2,1)

QUEROCOCHA QUEROCOCHA-Ln ARMA (2,1)

CEDROS CEDROS-Ln ARMA (2,1)

COLCAS COLCAS-Ln ARMA (2,1)

QUITARACSA QUITARACSA-Ln ARMA (2,1)

CONDORCERRO CONDORCERRO-Ln ARMA (2,1)

PUENTE CARRETERA PUENTE CARRETERA-Ln ARMA (2,1)

LA BALSA LA BALSA-Ln ARMA (2,1)

CHANCOS CHANCOS-Ln ARMA (2,1)

Llanganuco LLANGANUCO-Ln ARMA (2,1)

PARON PARON-Ln ARMA (2,1)

c) Los modelos estocásticos para generar caudales medios mensuales seleccionados,

correspondientes a series de caudales para las estaciones hidrométricas

seleccionadas son:

121

Donde:Xν,1: caudal medio mensual generadoUν,1: componente estocástica normalizadaξ1,10: Variable aleatoria con media cero y varianza uno.

Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Recreta:Enero : Xν,1= exp (1.5872 + 0.4493(1.275231U1,0 - 0.795323U1,-1 - 0.302897*0.102567ξ1,0 + 0.102567ξ1,1)) - 1.5Febrero : Xν,2= exp (1.9850 + 0.5316(0.639511U1,1 + 0.088803U1,0 - 0.183988*0.206473ξ1,1 + 0.206473ξ1,2)) - 1.5Marzo : Xν,3= exp (2.2292 + 0.4933(1.356250U1,2 - 0.423804U1,1 - 0.696041*0.115398ξ1,2 + 0.115398ξ1,3)) - 1.5Abril : Xν,4= exp (1.7740 + 0.4278(1.065753U1,3 - 0.323782U1,2 - 0.480911*0.098704ξ1,3 + 0.098704ξ1,4)) - 1.5Mayo : Xν,5= exp (1.1672 + 0.2565(1.265946U1,4 - 0.454749U1,3 - 0.797988*0.023199ξ1,4 + 0.023199ξ1,5)) - 1.5Junio : Xν,6= exp (0.8743 + 0.1316(0.305337U1,5 + 0.059410U1,4 + 0.103050*0.005636ξ1,5 + 0.005636ξ1,6)) - 1.5Julio : Xν,7= exp (0.7822 + 0.097(2.393603U1,6 - 0.738725U1,5 + 1.662154*0.001562ξ1,6 + 0.001562ξ1,7)) - 1.5Agosto : Xν,8= exp (0.7210 + 0.0787(0.800330U1,7 - 0.088542U1,6 + 0.229447*0.001022ξ1,7 + 0.001022ξ1,8)) - 1.5Setiembre : Xν,9= exp (0.7047 + 0.0897(0.877491U1,8 + 0.067852U1,7 - 0.188918*0.002712ξ1,8 + 0.002712ξ1,9)) - 1.5Octubre : Xν,10= exp(0.8296 + 0.2037(3.541234U1,9 - 1.986462U1,8 - 2.463045*0.027387ξ1,9 + 0.027387ξ1,10 )) -1.5Noviembre : Xν,11= exp(0.9675 + 0.2336(0.754409U1,10 - 0.666787U1,9 - 0.146821*0.043389ξ1,10 + 0.043389ξ1,11)) – 1.5Diciembre : Xν,12= exp (1.2469 + 0.3868(1.005339U1,11 - 0.187302U1,10 - 0.111579*0.279153ξ1,11 + 0.279153ξ1,12)) - 1.5

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Querococha:Enero :Xν,1= exp (1.1442 + 0.2346(0.350435U1,0 + 0.187155U1,-1 +0.302454*0.026639ξ1,0 + 0.026639ξ1,1)) – 0.8Febrero :X ν,2 =exp (1.3180 + 0.2877(-2.449985U1,1 + 1.979661U1,0 +2.760159*0.059609ξ1,1 + 0.059609ξ1,2)) – 0.8Marzo :X ν,3= exp (1.3900 + 0.2563(0.402457U1,2 + 0.011914U1,1 +0.056422*0.04887ξ1,2 + 0.04887ξ1,3)) – 0.8Abril :X ν,4= exp (1.1200 + 0.1878(-4.903899U1,3 + 2.451504U1,2 + 5.338287*0.019788ξ1,3 + 0.019788ξ1,4)) – 0.8Mayo :X ν,5= exp (0.6850 + 0.1420(0.735263U1,4 – 0.287139U1,3 - 0.444853*0.017721ξ1,4 + 0.017721ξ1,5)) – 0.8Junio :X ν,6= exp (0.3902 + 0.0896(1.030299U1,5 – 0.180263U1,4 - 0.558947*0.003345ξ1,5 + 0.003345ξ1,6)) – 0.8Julio :X ν,7= exp (0.2504 + 0.0835(0.781067U1,6 + 0.037382U1,5 - 0.197354*0.00242ξ1,6 + 0.00242ξ1,7)) – 0.8Agosto :X ν,8= exp (0.2483 + 0.0726(0.887997U1,7 – 0.217707U1,6 - 0.077347*0.002001ξ1,7 + 0.002001ξ1,8)) – 0.8Setiembre :X ν,9= exp (0.3549 + 0.1032(0.475321U1,8 + 0.184505U1,7 + 0.117082*0.008151ξ1,8 + 0.008151ξ1,9)) – 0.8Octubre :X ν,10= exp (0.6281 + 0.1582(2.491649U1,9 – 1.073709U1,8 - 2.302979*0.022433ξ1,9 + 0.022433ξ1,10)) – 0.8Noviembre :X ν,11= exp (0.8080 + 0.2287(0.316634U1,10 + 0.372911U1,9 + 0.471879*0.035694ξ1,10 + 0.035694ξ1,11)) – 0.8Diciembre :X ν,12= exp (0.9910 + 0.2779(1.768222U1,11 – 0.732520U1,10 - 0.947080*0.039544ξ1,11 + 0.039544ξ1,12)) – 0.8

122

Donde:Xν,1: caudal medio mensual generadoUν,1: componente estocástica normalizadaξ1,10: Variable aleatoria con media cero y varianza uno.

Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Pachacoto:Enero :Xν,1= exp (1.8490 + 0.3300(-14.259809U1,0 + 10.216033U1,-1 + 15.075256*0.062516ξ1,0 + 0.062516ξ1,1)) - 0.25Febrero :Xν,2= exp (2.0479 + 0.3158(-1.015503U1,1 + 1.263260U1,0 + 1.231293*0.062673ξ1,1 + 0.062673ξ1,2)) - 0.25Marzo :Xν,3= exp (2.1666 + 0.2905(0.000559U1,2 + 0.163641U1,1 + 0.491547*0.064801ξ1,2 + 0.064801ξ1,3)) - 0.25Abril :Xν,4= exp (1.7801 + 0.3341(1.664556U1,3 - 0.281217U1,2 - 1.186298*0.075939ξ1,3 + 0.075939ξ1,4)) - 0.25Mayo :Xν,5= exp (1.1394 + 0.2393(0.038643U1,4 + 0.304687U1,3 + 0.48548*0.027705ξ1,4 + 0.027705ξ1,5)) - 0.25Junio :Xν,6= exp (0.7105 + 0.2747(0.660521U1,5 + 0.028189U1,4 + 0.174985*0.041199ξ1,5 + 0.041199ξ1,6)) - 0.25Julio :Xν,7= exp (0.5138 + 0.3128(3.968258U1,6 - 2.57686U1,5 - 3.065717*0.047387ξ1,6 + 0.047387ξ1,7)) - 0.25Agosto :Xν,8= exp (0.5267 + 0.2664(1.119457U1,7 - 0.162633U1,6 - 0.807247*0.022495ξ1,7 + 0.022495ξ1,8)) - 0.25Setiembre :Xν,9= exp (0.7079 + 0.2518(0.264935U1,8 + 0.315171U1,7 + 0.533141*0.025647ξ1,8 + 0.025647ξ1,9)) - 0.25Octubre :Xν,10= exp (1.1370 + 0.2460(-0.252367U1,9 + 0.531097U1,8 + 0.583504*0.048836ξ1,9 + 0.048836ξ1,10)) - 0.25Noviembre :Xν,11= exp (1.3813 + 0.3210(-1.192815U1,10 + 1.250792U1,9 + 1.749567*0.048439ξ1,10 + 0.048439ξ1,11)) - 0.25Diciembre :Xν,12= exp (1.6338 + 0.3042(0.695028U1,11 - 0.003279U1,10 - 0.014882*0.043922ξ1,11 + 0.043922ξ1,12)) - 0.25

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Los Cedros:Enero :Xν,1= exp (1.714 + 0.2072(0.341340U1,0 + 0.366061U1,-1 + 0.133840*0.030906ξ1,0 + 0.030906ξ1,1)) – 1.3Febrero :Xν,2= exp (1.7647 + 0.2315(-0.121092U1,1 + 0.439605U1,0 + 0.926421*0.030034ξ1,1 + 0.030034ξ1,2)) – 1.3Marzo :Xν,3= exp (1.8506 + 0.2267(-0.066416U1,2 + 0.177682U1,1 + 0.600489*0.042107ξ1,2 + 0.042107ξ1,3)) – 1.3Abril :Xν,4= exp (1.7343 + 0.2076(0.888301U1,3 – 0.240751U1,2 - 0.250379*0.024049ξ1,3 + 0.024049ξ1,4)) – 1.3Mayo :Xν,5= exp (1.4946 + 0.1228(-0.098452U1,4 + 0.266145U1,3 + 0.563552*0.007632ξ1,4 + 0.007632ξ1,5)) – 1.3Junio :Xν,6= exp (1.3404 + 0.1250(0.853000U1,5 – 0.158172U1,4 + 0.085213*0.007118ξ1,5 + 0.007118ξ1,6)) – 1.3Julio :Xν,7= exp (1.2786 + 0.1313(1.234795U1,6 – 0.240132U1,5 - 0.689653*0.007636ξ1,6 + 0.007636ξ1,7)) – 1.3Agosto :Xν,8= exp (1.3065 + 0.1484(0.570067U1,7 + 0.227151U1,6 + 0.310231*0.009115ξ1,7 + 0.009115ξ1,8)) – 1.3Setiembre :Xν,9= exp (1.3176 + 0.1442(-1.035296U1,8 + 1.578571U1,7 + 1.61633*0.009577ξ1,8 + 0.009577ξ1,9)) – 1.3Octubre :Xν,10= exp (1.4312 + 0.1381(0.347533U1,9 + 0.158692U1,8 + 0.484230*0.008822ξ1,9 + 0.008822ξ1,10)) – 1.3Noviembre :Xν,11= exp (1.5144 + 0.1580(-0.024999U1,10 + 0.721949U1,9 + 0.644816*0.011258ξ1,10 + 0.011258ξ1,11)) – 1.3Diciembre :Xν,12= exp (1.6259 + 0.1633(2.074982U1,11 – 1.216691U1,10 - 1.404008*0.012821ξ1,11 + 0.012821ξ1,12)) – 1.3

123

Donde:Xν,1: caudal medio mensual generadoUν,1: componente estocástica normalizadaξ1,10: Variable aleatoria con media cero y varianza uno.

Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Colcas:Enero :Xν,1= exp (2.1249 + 0.2542(1.473188U1,0 - 0.407716U1,-1 - 0.803156*0.039998ξ1,0 + 0.039998ξ1,1)) – 0.5Febrero :Xν,2= exp (2.2545 + 0.2345(-5.146542U1,1 + 3.850284U1,0 + 5.669818*0.003729ξ1,1 + 0.003729ξ1,2)) – 0.5Marzo :Xν,3= exp (2.2776 + 0.2882(0.685881U1,2 - 0.380029U1,1 - 1.053483*0.062457ξ1,2 + 0.062457ξ1,3)) – 0.5Abril :Xν,4= exp (1.9883 + 0.2436(-0.005046U1,3 + 0.082598U1,2 + 0.349470*0.051554ξ1,3 + 0.051554ξ1,4)) – 0.5Mayo :Xν,5= exp (1.6242 + 0.2062(0.053970U1,4 + 0.172036U1,3 + 0.512260*0.023056ξ1,4 + 0.023056ξ1,5)) – 0.5Junio :Xν,6= exp (1.3870 + 0.2560(-3.84829U1,5 + 2.370136U1,4 + 4.589796*0.045260ξ1,5 + 0.04526ξ1,6)) – 0.5Julio :Xν,7= exp (1.2381 + 0.2675(0.775642U1,6 + 0.244175U1,5 - 0.015284*0.022298ξ1,6 + 0.022298ξ1,7)) – 0.5Agosto :Xν,8= exp (1.2237 + 0.2647(0.634774U1,7 + 0.226125U1,6 + 0.226366*0.014387ξ1,7 + 0.014387ξ1,8)) – 0.5Setiembre :Xν,9= exp (1.2786 + 0.2699(8.269968U1,8 - 6.693006U1,7 - 7.494999*0.028026ξ1,8 + 0.028026ξ1,9)) – 0.5Octubre :Xν,10= exp (1.4983 + 0.2525(1.566293U1,9 - 0.626341U1,8 - 1.061067*0.016825ξ1,9 + 0.016825ξ1,10)) – 0.5Noviembre :Xν,11= exp (1.7368 + 0.2368(1.77205U1,10 - 0.945320U1,9 - 1.370130*0.019058ξ1,10 + 0.019058ξ1,11)) – 0.5Diciembre :Xν,12= exp (1.9323 + 0.2235(0.509892U1,11 + 0.07804U1,10 - 0.295991*0.035893ξ1,11 + 0.035893ξ1,12)) – 0.5

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Quitaracsa:Enero : Xν,1= exp (0.2766 + 0.4113(0.775367U1,0 - 0.036030U1,-1 - 0.209321*0.127277ξ1,0 + 0.127277ξ1,1)) + 3Febrero : Xν,2= exp (2.5986 + 0.3618(-0.347329U1,1 + 0.514801U1,0 + 0.785297*0.095612ξ1,1 + 0.095612ξ1,2)) + 3Marzo : Xν,3= exp (2.7648 + 0.3709(-1.065385U1,2 + 0.678215U1,1 + 1.473110*0.114761ξ1,2 + 0.114761ξ1,3)) + 3Abril : Xν,4= exp (2.4617 + 0.3400(-0.667054U1,3 + 0.620337U1,2 + 1.206380*0.065729ξ1,3 + 0.065729ξ1,4)) + 3Mayo : Xν,5= exp (1.8375 + 0.3065(0.917815U1,4 - 0.177214U1,3 - 0.293361*0.047974ξ1,4 + 0.047974ξ1,5)) + 3Junio : Xν,6= exp (1.4112 + 0.2776(0.254893U1,5 + 0.250317U1,4 + 0.449447*0.03378ξ1,5 + 0.03378ξ1,6)) + 3Julio : Xν,7= exp (1.0264 + 0.3720(0.654330U1,6 + 0.182033U1,5 + 0.533949*0.053904ξ1,6 + 0.053904ξ1,7)) + 3Agosto : Xν,8= exp (0.8978 + 0.4146(1.010816U1,7 - 0.108758U1,6 + 0.042728*0.042398ξ1,7 + 0.042398ξ1,8)) + 3Setiembre : Xν,9= exp (1.0424 + 0.3638(0.668791U1,8 - 0.024356U1,7 + 0.059837*0.056158ξ1,8 + 0.056158ξ1,9)) + 3Octubre : Xν,10= exp (1.6098 + 0.3618(-2.301311U1,9 + 1.732041U1,8 + 2.725095*0.112537ξ1,9 + 0.112537ξ1,10)) + 3Noviembre : Xν,11= exp (1.8033 + 0.2427(-0.198447U1,10 + 0.007845U1,9 + 0.415036*0.053027ξ1,10 + 0.053027ξ1,11)) + 3Diciembre : Xν,12= exp (1.9140 + 0.3395(1.341076U1,11 - 0.260029U1,10 - 0.719701*0.09008ξ1,11 + 0.09008ξ1,12)) + 3

124

Donde:Xν,1: caudal medio mensual generadoUν,1: componente estocástica normalizadaξ1,10: Variable aleatoria con media cero y varianza uno.

Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Condorcerro:Enero : Xν,1= exp (5.2073 + 0.3489(-0.880032U1,0 + 1.653935U1,-1 + 1.297747*0.071843ξ1,0 + 0.071843ξ1,1))Febrero : Xν,2= exp (5.4378 + 0.4232(-2.513644U1,1 + 1.581582U1,0 + 2.944449*0.131667ξ1,1 + 0.131667ξ1,2))Marzo : Xν,3= exp (5.7450 + 0.4616(0.498656U1,2 + 0.024764U1,1 + 0.021283*0.164072ξ1,2 + 0.164072ξ1,3))Abril : Xν,4= exp (5.4786 + 0.4171(4.388260U1,3 - 2.024282U1,2 - 3.787577*0.101061ξ1,3 + 0.101061ξ1,4))Mayo : Xν,5= exp (4.6386 + 0.2763(-1.312318U1,4 + 1.090613U1,3 + 1.654560*0.041173ξ1,4 + 0.041173ξ1,5))Junio : Xν,6= exp (4.2079 + 0.2007(0.091230U1,5 + 0.215781U1,4 + 0.535437*0.013007ξ1,5 + 0.013007ξ1,6))Julio : Xν,7= exp (3.9724 + 0.1865(1.152786U1,6 - 0.193265U1,5 - 0.830559*0.014297ξ1,6 + 0.014297ξ1,7))Agosto : Xν,8= exp (3.9231 + 0.1610(0.779400U1,7 - 0.054245U1,6 + 0.024753*0.006406ξ1,7 + 0.006406ξ1,8))Setiembre : Xν,9= exp (4.0407 + 0.1764(-0.360302U1,8 + 0.587908U1,7 + 1.074540*0.024325ξ1,8 + 0.024325ξ1,9))Octubre : Xν,10= exp (4.4253 + 0.2289(-0.36706U1,9 + 0.460349U1,8 + 0.550992*0.049513ξ1,9 + 0.049513ξ1,10))Noviembre : Xν,11= exp (4.6997 + 0.3238(-0.105687U1,10 + 0.554963U1,9 + 0.764866*0.074644ξ1,10 + 0.074644ξ1,11))Diciembre : Xν,12= exp (4.9673 + 0.4483(1.203173U1,11 - 0.081433U1,10 + 0.004895*0.055159ξ1,11 + 0.055159ξ1,12))

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Puente Carretera:Enero : Xν,1= exp (5.3234 + 0.4457(0.448426U1,0 + 0.208747U1,-1 + 0.311946*0.099424ξ1,0 + 0.099424ξ1,1)) – 33Febrero : Xν,2= exp (5.7218 + 0.3947(0.974287U1,1 - 0.308908U1,0 - 0.612668*0.113370ξ1,1 + 0.113370ξ1,2)) – 33Marzo : Xν,3= exp (5.9414 + 0.4093(-0.197558U1,2 + 0.568035U1,1 + 0.617048*0.101972ξ1,2 + 0.101972ξ1,3)) – 33Abril : Xν,4= exp (5.7027 + 0.3385(0.625297U1,3 - 0.395175U1,2 - 0.138715*0.085012ξ1,3 + 0.085012ξ1,4)) – 33Mayo : Xν,5= exp (5.0899 + 0.3923(0.355067U1,4 - 0.057292U1,3 + 0.380365*0.105896ξ1,4 + 0.105896ξ1,5)) – 33Junio : Xν,6= exp (4.7623 + 0.3691(0.643019U1,5 - 0.066487U1,4 + 0.179177*0.050281ξ1,5 + 0.050281ξ1,6)) – 33Julio : Xν,7= exp (4.5408 + 0.3145(-0.191391U1,6 + 0.516615U1,5 + 1.217389*0.024144ξ1,6 + 0.024144ξ1,7)) – 33Agosto : Xν,8= exp (4.4045 + 0.2409(0.853274U1,7 - 0.269551U1,6 - 0.082536*0.022442ξ1,7 + 0.022442ξ1,8)) – 33Setiembre : Xν,9= exp (4.4041 + 0.2244(1.066282U1,8 - 0.292775U1,7 - 0.027832*0.012920ξ1,8 + 0.012920ξ1,9)) – 33Octubre : Xν,10= exp (4.5363 + 0.2277(1.396230U1,9 - 0.611719U1,8 - 0.290506*0.017350ξ1,9 + 0.017350ξ1,10)) – 33Noviembre : Xν,11= exp (4.6762 + 0.2922(0.928732U1,10 + 0.029424U1,9 + 0.178089*0.032195ξ1,10 + 0.032195ξ1,11)) – 33Diciembre : Xν,12= exp (4.9876 + 0.4431(5.934198U1,11 - 5.22733U1,10 - 4.704155*0.108239ξ1,11 + 0.108239ξ1,12)) – 33

125

Donde:Xν,1: caudal medio mensual generadoUν,1: componente estocástica normalizadaξ1,10: Variable aleatoria con media cero y varianza uno.

Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica La Balsa:Enero : Xν,1= exp (4.8176 + 0.3074(-2.161793U1,0 + 2.326589U1,-1 + 2.584195*0.061221ξ1,0 + 0.061221ξ1,1))Febrero : Xν,2= exp (5.0311 + 0.3650(0.947828U1,1 - 0.128701U1,0 - 0.495127*0.100792ξ1,1 + 0.100792ξ1,2))Marzo : Xν,3= exp (5.2431 + 0.3960(-0.264165U1,2 + 0.334172U1,1 + 0.912974*0.110929ξ1,2 + 0.110929ξ1,3))Abril : Xν,4= exp (4.8957 + 0.3468(-0.623404U1,3 + 0.693918U1,2 + 1.098608*0.077827ξ1,3 + 0.077827ξ1,4))Mayo : Xν,5= exp (4.1960 + 0.2376(0.541660U1,4 - 0.031676U1,3 - 0.073043*0.029371ξ1,4 + 0.029371ξ1,5))Junio : Xν,6= exp (3.6854 + 0.1355(1.515051U1,5 - 0.509324U1,4 - 1.234077*0.010687ξ1,5 + 0.010687ξ1,6))Julio : Xν,7= exp (3.4354 + 0.1256(0.674542U1,6 - 0.041213U1,5 + 0.167376*0.005744ξ1,6 + 0.005744ξ1,7))Agosto : Xν,8= exp (3.4188 + 0.1536(2.039335U1,7 - 0.811803U1,6 - 1.008556*0.00782ξ1,7 + 0.007820ξ1,8))Setiembre : Xν,9= exp (3.5931 + 0.2246(0.825438U1,8 - 0.600774U1,7 + 0.033084*0.043682ξ1,8 + 0.043682ξ1,9))Octubre : Xν,10= exp (4.0123 + 0.2204(0.388525U1,9 - 0.236349U1,8 + 0.045695*0.039901ξ1,9 + 0.039901ξ1,10))Noviembre : Xν,11= exp (4.3122 + 0.2361(1.08236U1,10 - 0.011976U1,9 – 0.651675*0.038659ξ1,10 + 0.038659ξ1,11))Diciembre : Xν,12= exp (4.5037 + 0.3088(0.329027U1,11 + 0.202242U1,10 + 0.557148*0.057644ξ1,11 + 0.057644ξ1,12))

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Chancos:Enero : Xν,1= exp (2.2483 + 0.2900(0.635961U1,0 + 0.074506U1,-1 - 0.113307*0.041927ξ1,0 + 0.041927ξ1,1)) + 1Febrero : Xν,2= exp (2.4075 + 0.2481(0.903291U1,1 - 0.295369U1,0 - 0.390052*0.041813ξ1,1 + 0.041813ξ1,2)) + 1Marzo : Xν,3= exp (2.4809 + 0.2662(2.699411U1,2 - 1.070878U1,1 - 2.308711*0.057222ξ1,2 + 0.057222ξ1,3)) + 1Abril : Xν,4= exp (2.2058 + 0.2956(0.723701U1,3 - 0.10294U1,2 - 0.453326*0.079324ξ1,3 + 0.079324ξ1,4)) + 1Mayo : Xν,5= exp (1.6417 + 0.3385(1.522611U1,4 - 0.102041U1,3 - 0.918065*0.073279ξ1,4 + 0.073279ξ1,5)) + 1Junio : Xν,6= exp (1.1932 + 0.3333(0.985752U1,5 - 0.321437U1,4 - 0.142525*0.046491ξ1,5 + 0.046491ξ1,6)) + 1Julio : Xν,7= exp (1.0648 + 0.3192(1.640028U1,6 - 0.613171U1,5 - 0.935373*0.030752ξ1,6 + 0.030752ξ1,7)) + 1Agosto : Xν,8= exp (1.1194 + 0.2958(0.804080U1,7 + 0.069961U1,6 + 0.027187*0.009871ξ1,7 + 0.009871ξ1,8)) + 1Setiembre : Xν,9= exp (1.2151 + 0.2826(2.205526U1,8 - 1.605662U1,7 - 1.850287*0.067838ξ1,8 + 0.067838ξ1,9)) + 1Octubre : Xν,10 =exp (1.6638 + 0.2994(5.295460U1,9 - 1.470138U1,8 - 4.835355*0.047400ξ1,9 + 0.047400ξ1,10)) + 1Noviembre : Xν,11 =exp (1.8797 + 0.3663(1.349062U1,10 - 0.446040U1,9 - 0.676700*0.077479ξ1,10 + 0.077479ξ1,11)) + 1Diciembre : Xν,12 =exp (2.0731 + 0.3243(0.978273U1,11 - 0.215973U1,10 - 0.557869*0.061607ξ1,11 + 0.061607ξ1,12)) + 1

126

Donde:Xν,1: caudal medio mensual generadoUν,1: componente estocástica normalizadaξ1,10: Variable aleatoria con media cero y varianza uno.

Los valores de U1,0 ,U1,-1 ,ξ1,0 , son iguales a cero

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Llanganuco:Enero : Xν,1= exp (1.3496 + 0.1998(0.282289U1,0 + 0.084115U1,-1 + 0.573378*0.024882ξ1,0 + 0.024882ξ1,1))Febrero : Xν,2= exp (1.4514 + 0.1788(0.393441U1,1 + 0.175072U1,0 - 0.099570*0.023868ξ1,1 + 0.023868ξ1,2))Marzo : Xν,3= exp (1.4755 + 0.1862(-0.468441U1,2 + 0.380604U1,1 + 1.128575*0.022671ξ1,2 + 0.022671ξ1,3))Abril : Xν,4= exp (1.2977 + 0.1703(-0.671531U1,3 + 0.604592U1,2 + 1.233791*0.019585ξ1,3 + 0.019585ξ1,4))Mayo : Xν,5= exp (0.9876 + 0.1626(1.879793U1,4 - 0.715654U1,3 - 1.321960*0.011750ξ1,4 + 0.011750ξ1,5))Junio : Xν,6= exp (0.7582 + 0.2603(0.820286U1,5 + 0.149920U1,4 + 0.226076*0.040110ξ1,5 + 0.040110ξ1,6))Julio : Xν,7= exp (0.6830 + 0.2233(-1.041144U1,6 + 2.082803U1,5 + 1.060618*0.021995ξ1,6 + 0.021995ξ1,7))Agosto : Xν,8= exp (0.6581 + 0.2099(0.884448U1,7 - 0.012575U1,6 - 0.068140*0.008242ξ1,7 + 0.008242ξ1,8))Setiembre : Xν,9= exp (0.6387 + 0.2305(1.626528U1,8 - 0.746773U1,7 - 0.410148*0.020954ξ1,8 + 0.020954ξ1,9))Octubre : Xν,10= exp (0.7851 + 0.2173(0.902745U1,9 - 0.118930U1,8 - 0.192847*0.017690ξ1,9 + 0.017690ξ1,10))Noviembre : Xν,11= exp (1.0635 + 0.1936(1.945081U1,10 - 0.990405U1,9 - 1.161448*0.015211ξ1,10 + 0.015211ξ1,11))Diciembre : Xν,12= exp (1.2419 + 0.1719(-0.718941U1,11 + 0.973711U1,10 + 0.617043*0.018061ξ1,11 + 0.018061ξ1,12))

Modelos ARMA (2,1) Estacionales Correspondientes a la Estación Hidrométrica Parón:Enero : Xν,1= exp (0.9073 + 0.2138(1.457650U1,0 - 0.704197U1,-1 - 0.242105*0.018595ξ1,0 + 0.018595ξ1,1)) – 1.5Febrero : Xν,2= exp (1.0102 + 0.2278(2.494381U1,1 - 1.907901U1,0 - 1.870081*0.016984ξ1,1 + 0.016984ξ1,2)) – 1.5Marzo : Xν,3= exp (0.9930 + 0.2147(0.634205U1,2 + 0.024858U1,1 + 0.051895*0.023022ξ1,2 + 0.023022ξ1,3)) – 1.5Abril : Xν,4= exp (0.9360 + 0.2051(-0.712753U1,3 + 1.032537U1,2 + 1.602161*0.007737ξ1,3 + 0.007737ξ1,4)) – 1.5Mayo : Xν,5= exp (0.8204 + 0.1456(3.400401U1,4 - 2.523458U1,3 - 2.722571*0.009030ξ1,4 + 0.009030ξ1,5)) – 1.5Junio : Xν,6= exp (0.6598 + 0.1688(-0.693262U1,5 + 0.397127U1,4 + 1.667248*0.019420ξ1,5 + 0.019420ξ1,6)) – 1.5Julio : Xν,7= exp (0.5749 + 0.2227(1.698345U1,6 - 0.585800U1,5 - 0.938861*0.022811ξ1,6 + 0.022811ξ1,7)) – 1.5Agosto : Xν,8= exp (0.5428 + 0.2612(2.021529U1,7 - 1.005772U1,6 - 1.027956*0.008672ξ1,7 + 0.008672ξ1,8)) – 1.5Setiembre : Xν,9= exp (0.5292 + 0.2052(0.621159U1,8 + 0.070606U1,7 + 0.230483*0.008038ξ1,8 + 0.008038ξ1,9)) – 1.5Octubre : Xν,10= exp (0.5378 + 0.1487(1.130424U1,9 - 0.396217U1,8 - 0.279647*0.005082ξ1,9 + 0.005082ξ1,10)) – 1.5Noviembre : Xν,11= exp (0.6473 + 0.1390(1.587948U1,10 - 0.594719U1,9 - 0.512312*0.005327ξ1,10 + 0.005327ξ1,11)) – 1.5Diciembre : Xν,12= exp (0.7741 + 0.1610(2.517921U1,11 - 1.466479U1,10 - 1.678349*0.010291ξ1,11 + 0.010291ξ1,12)) – 1.5

127

d) Para las estaciones modeladas, se generaron 100 series de longitudes iguales al

periodo de registró de 40 años.

e) Las series sintéticas generadas preservan las características de igualdad en la

media y varianzas con respecto a las series históricas, esta igualdad se manifiesta

en los 12 meses.

f) De las 12 estaciones hidrométricas modeladas, 9 de ellas presentan que las pruebas

de medias y varianzas, para muestras dependientes, fueron aceptadas; en el resto

de las estaciones, presentaron aceptación relativa tanto en la media y/o varianza.

g) Se verificó el intervalo de confianza a partir de las series generadas, para evaluar si

las series históricas están en el rango de confianza que condicionan las series

generadas, se tiene aceptación en 8 estaciones para los 12 meses en la verificación

de intervalos para la media y desviación estándar; en el resto de las estaciones la

verificación de los intervalos en la media es aceptable en los 12 meses y para la

desviación estándar esta entre 11 y 10 meses.

h) De la prueba de ajuste de normalidad que se realizó mediante las pruebas de Chi-

Cuadrado y Kolmogorov Smirnov, para las series sintéticas generadas, resultaron

significativas en ambas pruebas, por lo que las series sintéticas se ajustan a una

distribución de probabilidad normal.

i) Las pruebas estadísticas de validación cumplen satisfactoriamente las expectativas,

corroborando así que los modelos ARMA (2,1) para las sub cuencas seleccionadas

de la cuenca del río Santa, preservan las características estadísticas de las series

históricas cumpliendo satisfactoriamente los objetivos específicos de la tesis.

6.2 RECOMENDACIONES.

a) Para el análisis estocástico de series de tiempo se recomienda realizar el análisis de

consistencia en saltos y tendencias, realizar la completación y extensión de la

información, luego realizar la normalización de datos con transformación

logarítmica, otras transformaciones son presentadas en el programa SAMS como

transformación potencial, Box Cox y estandarización; las cuales deben ser

aplicadas y evaluadas en otros trabajos.

b) Para la generación de descargas medias mensuales en las estaciones hidrométricas

de la cuenca del río Santa, se recomienda emplear los modelos estocásticos

ARMA (2,1) obtenidas en la presente tesis.

128

c) Se recomienda emplear la metodología utilizada en la presente tesis para

determinar los parámetros estocásticos del modelo y la calibración de los mismos;

se sugiere utilizar el programa SAMS como herramienta de trabajo para el análisis

estocástico y generación de series.

d) Para la validación de las series generadas, se recomienda emplear las pruebas de

hipótesis para la varianza de dos poblaciones como son la prueba de

homogeneidad de varianzas, prueba de “t” para muestras independientes y la

prueba de “t” para muestras dependientes; intervalo de confianza a partir de las

series generadas y las pruebas de bondad de ajuste de Chi-Cuadrado y Smirnov

Kolmogorov.

e) Impulsar las investigaciones en la escuela de Ingeniería Agrícola referente a

modelos hidrológicos funcionales para la cuenca del río Santa, que es la cuenca

tropical que cuenta con características muy particulares a otras cuencas del Perú y

además es la cuenca con más área glaciar en el mundo.

129

VII. BIBLIOGRAFIA

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2. Aliaga Araujo, S. Vito. “Tratamientos de Datos Hidrometeorológicos”. Lima – Perú,

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Grado” San José, Costa Rica, Marzo 1982.

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