TESTES · 2019-10-11 · TESTES 06. Calcule a distância do ponto A (0,2) a reta x+y-3=0 05....

geometria analítica

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matemÁtica aapostila 03

Matemática A - Apostila 03

07. Determinar o comprimento da altura relativa a base BC, sendo A (-2,4); B (3,4) e C (1,0).

Fórmula do ângulo agudo entre duas retas

Tg θ = a2 – a1

1 + a2 . a1

Observações:

• O módulo nos dá o valor do ângulo agudo θ.• O ângulo obtuso α = 1800 - θ

TESTES01. Determine o ângulo formado pelas retas:r: 2x - y + 1 = 0 e s: 3x + y - 2 = 0

02. Determinar o valor de K de modo que as retasr: 2x + Ky – 1 = 0 e s: 4x + 3y + 4 = 0 sejam paralelas.

03. Determinar o valor de K de modo que as retasr: 2x + Ky - 1 = 0 e s: 4x + 3y + 4 = 0 sejam perpendiculares.

04. Determinar a equação da reta que passa pelo pontoP (4, 1) e é paralela à reta r; 3x - 4y + 1 = 0

• •

d

r y

x

TESTES06. Calcule a distância do ponto A (0,2) a reta x+y-3=0

05. Determinar a equação da reta que passa pelo pontoP (4, 1) e é perpendicular à reta r; 3x – 4y + 1 = 0

Distância de Ponto à RetaDenomina-se que a distância d entre o ponto P (x0, y0) e a reta r de equação Ax + By + C = 0 é dada pela fórmula:

5Matemática C - Apostila 03

matemÁtica capostila 03geometria analítica

18. (UFPR) As equações das retas que passam pelo ponto (3, -5) e são; uma paralela e outra perpendicular à reta 2x - y + 3 = 0, são:

a) 2x – y – 11 = 0 e x + 2y + 7 = 0b) 2x + y – 11 = 0 e x + 2y + 7 = 0c) 2x + y + 11 = 0 e x + 2y + 7 = 0d) 2x + y – 11 = 0 e x – 2y – 7 = 0e) n.d.a.

19. (UEL) As retas r e s, de equações:2x + 3y = 0 e 2x – 3y + 3 = 0 são:

a) Ortogonais.b) Coincidentes.c) Perpendiculares.d) Paralelas não coincidentes.e) Concorrentes não perpendiculares.

20. (UFSC) Calcule o valor de P para que as retas r, dada pela equação (2P + 1)x + 3y - 12 = 0, e s, dada pela equação 3x - 37y + 3 = 0, sejam perpendiculares entre si.

08. Dadas as retas r1: 3x + 4y - 17 = 0 e r2: 3x + 4y + 8 = 0 determinar:

a) à distância entre elas:

b) a área do quadrado, onde dois de seus lados estão contidos nas retas:

09. (PUC-SP) Para que 2x - y + 4 = 0 e ax - 2y = -c sejam equações da mesma reta, os valores de a e c devem ser, respectivamente, iguais a:

a) -4 e -8b) -2 e -4c) 1 e 2d) 2 e 4 e) 4 e 8

10. (UFRGS) Sabe-se que a reta , de equação ax + by = 0 é paralela à reta t, de equação 3x – 6y + 4 = 0. Então, a/b vale:

a) -2b) -1/2c) 1/2d) 1e) 2

11. (PUC-SP) As retas de equações y = 3x + 1 e y = 4x + 3m são concorrentes em um ponto do eixo x. o valor de m é:

a) 9/4b) 4/3c) 1d) 0e) 4/9

12. (FATEC-SP) Dadas as retas r e s definidas porr: kx - (k + 2)y = 2 e s: ky - x = 3k, podemos afirmar que elas são:

a) Concorrentes, se k ≠ 1 ou k ≠ -2.b) Paralelas, se k = -1 ou k = 2.c) Sempre concorrentes, para qualquer k, k ϵ IR.d) Paralelas, se k = 0 ou k = -1.e) Não-concorrentes, para qualquer k, k ϵ IR.

13. Determinar o ângulo agudo em graus entre as retasr: 2x + y - 5 = 0 e s: 3x - y + 5 = 0

14. (UFSM) As retas r: y = x - 1 e s: y = mx formam um ângulo θ cuja tangente é igual a 2. Então a equação de s é:

a) y = -2x ou y = - 1x 2b) y = 2x ou y = 1x 2 c) y = 3x ou y = 1x 3d) y = -3x ou y = -1x 3e) n.d.a.

15. Dê a distância do ponto B(0,0) à reta x = 5.

16. A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A : (2, 1) e B : (3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são

01) (-1/2, 0) ou (5, 0).02) (-1/5, 0) ou (3, 0).04) (-1/2, 0) ou (4, 0).08) (-1/3, 0) ou (4, 0).16) (-1/3, 0) ou (5, 0).

17. (PUC-PR) As retas (m - 2)x + 3y – 1 = 0 e x + my + 2 = 0 são; paralelas somente se:

a) m = 3b) m = -1c) m = 1d) m = 2e) m = 3 ou m = - 1


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21.(UNIFOR-CE) A intersecção das retas de equações y = 3x + 2 e y = -2x – 5 é:

a) inexistente.b) um ponto pertencente ao eixo das abscissas. c) um ponto pertencente ao terceiro quadrante.d) um ponto pertencente ao segundo quadrante. e) um ponto pertencente ao primeiro quadrante.

22.(VUNESP) Seja A a interseção das retas r, de equação y = 2x e s, de equação y = 4x – 2. Se B e C são as interseções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é:

a) 1/2b) 1c) 2d) 3e) 4

23.(FESP-SP) Qual a área do triângulo limitado pelo eixo das abscissas, a reta y = 2x e a reta y = (-1/2)x + 5?

a) 8 u.a.b) 10 u.a.c) 16 u.a.d) 20 u.a.e) 14 u.a.

24.(VUNESP) Os pontos O, A e B, do plano cartesiano da figura, são os vértices de um triângulo equilátero, cuja medida dos lados é dada por √3. Determine as equações das retas AB e OB.

25.(UECE) Sejam P(1; y1) e Q(x2; 1)pontos da reta 5x + 2y – 17 = 0. Se M(xm¬; ym) é o ponto médio do segmento PQ, então 7xm + 6ym é igual a:

a)34b)35c)36d)37

26.(UEL) São dados os pontos A(- 2; 1), B(0; - 3) e C(2; 5). A reta suporte da mediana do triângulo ABC pelo vértice A tem equação:

a)y = 1b)x = yc)x + y = 1d)x = 1 e)x – y = 1

27.(UFMG) Observe afigura.

Nessa figura, M = (a; a) é o ponto médio do segmento AC, A = (2; 6), B = (0; a) e C = (c; 0).

A equação da reta BC é:

a) 2y – 3x = 6b) 2y + 3x = 6c) 3x + 4y = 12d) 3x – 4y = 12e) 4x + 2y = 9

28.(FUVEST) Os coeficientes angulares dos lados de um triângulo são 1; -1 e 0. Conclui-se que o triângulo é:

a) equiláterob) retânguloc) escalenod) acutânguloe) obtusângulo

29.(FGC) Determinar a equação da reta r da figura:

a) y = 3xb) y = (3/4)xc) y = 3x + 5d) y = 4x + 2e) y = (5/18)x



30.(ITA) Dadas as retas r: x + 2y – 5 = 0; s: x – y – 2 = 0; t: x – 2y – 1 = 0; podemos afirmar que:

a)são 2 a 2 paralelas.b)r e t são paralelas.c)r é perpendicular à t.d)s é perpendicular à t.e)as três retas são concorrentes num mesmo ponto.

31.(UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, A = (2; 3) e BC = √10.

A equação da reta AB é:

a) x + 4y – 14 = 0b) x – 4y + 14 = 0c) 4x + y – 14 = 0d) 4x – y + 14 = 0e) x + 2y – 7 = 0

32.(FUVEST) Na figura a seguir, A, B e D são pontos colineares e o valor da abscissa m do ponto c é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5/2, determine o valor de m.

33. A equação de uma reta que é paralela à reta x – 2y + 3 = 0 e que determina com as retas x – y = 0 e x + y = 0 um triângulo de área igual a 12 é:

a)x + 2y + 12 = 0b)x + 2y + 4 = 0c)x – 2y – 12 =0d)x – 2y – 6 = 0e)x – 2y – 4 = 0

36. (UEM) Sejam os pontos A(-1, -1), B(-1, 3) e C(3, 3). É correto afirmar que:

01) A, B, C são vértices de um triângulo retângulo.02) A, B, C são vértices de um triângulo equilátero.04) A, B, C são vértices de um triângulo isósceles.08) A, B, C são pontos de uma mesma reta.16) A área do triângulo ABC é 8 u.a.32) A distância do ponto B à origem é 4 u.c.64) A distância do ponto B à reta determinada por A e C é 2 2u.c.

37. (MACK) A distância do ponto P(0, k) à reta(r) 4x + 3y – 2 = 0 é igual a 2 unidades. Então a soma dos possíveis valores de k vale:

a) 4

b) 32

c) 34

d) 9

e) 45

38. (UFPR) A distância entre as retas paralelas de equações 2x + 3y – 5 = 0 e 2x + 3y = 0 é:

a) 3 unidades de comprimento.b) 10 unidades de comprimento.

c) 135

unidades de comprimento.

d) 133

unidades de comprimentoe) n.d.a.

13

13

34. (UEPG) A equação da mediatriz do segmento determinado pela reta x - 3y - 6 = 0 sobre os eixos coordenados é:

a) 3x – y – 8 = 0b) 3x – y + 8 = 0c) 3x + y + 8 = 0d) 3x + y – 8 = 0e) n.d.a.

35. (MACKENZIE) A equação da reta perpendicular à reta y = x e que passa pela intersecção das retas 2x - 3y - 1 = 0 e 3x - y - 2 = 0 é:

a) –2x + 2y + 5 = 0b) –2x + 2y – 5 = 0c) –7x + 7y – 6 = 0d) –5x + 5y – 4 = 0e) –5x + 5y – 6 = 0


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39. (UFPR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:

a) (21,7).b) (22,8).c) (24,12).d) (25,13).e) (26,15).

REVISANDODistância entre dois pontos

dAB = (xb – xa)2 + ( yb – ya)2

Ângulo entre duas retasTg θ = a2 – a1

1 + a2 . a1

Paralelismo e Perpendicularismo

Paralelismoar = as

Perpendicularismoar . as = -1

Distância de Ponto à Reta

A CIRCUNFERÊNCIADefinição

Dado um ponto C de um plano (CENTRO) e uma distância r não nula (RAIO), chama-se circunferência o conjunto dos pontos do plano que distam r do ponto C.

Equação reduzida (ou cartesiana)

Seja a circunferência de centro C (a, b) e raio r e seja P(x, y) um ponto do plano.

y

y b

b

x

P (x,y)

•

•

a

a

x

C

Dpc = r = (x – a)2 + (y – b)2

Portanto:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Caso particular:

Se C(0,0) então a equação reduzida será:

x2 + y2 = r2

Equação normal (ou geral)

Desenvolvendo-se a equação reduzida

(x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2

x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

TESTES40. Escreva a equação da circunferência de raio 4 e concêntrica com a circunferência λ: (x + 1)2 + y2 = 1



41. A equação da reta que passa pelo centro da circunferência 2x2 + 2y2 - 8x - 16y - 49 = 0 e é paralela à reta 6x - 3y - 2 = 0 é

x

y

42. Determinar a equação da circunferência que tem um dia-metro determinado pelos pontos A(5; -1) e B(-3; 7)

RECONHECIMENTO DE CIRCUNFERÊNCIA

Note que, como visto anteriormente, a equação de uma circunferência de centro (a, b) e raio r vai ser dada das seguintes formas:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Onde, abrindo os termos quadráticos, obtemos a equação da forma geral:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Agora, note que, os coeficientes de x2 e y2 devem ser SEMPRE IGUAIS. Também, não existe nenhum termo com “xy” simultaneamente.

RECONHECIMENTO DE CENTRO E RAIO

Agora, dada uma equação de circunferência, como identificar o centro e o raio? Veja a seguir:

Exemplo 1: (x – 5)2 + (y + 1)2 = 9

Bom, a equação que mais se assemelha a essa é a (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Queremos então descobrir que é a, b e r.

Note que a está sendo subtraído de x, o número subtraído de x em nosso exemplo é 5, ou seja a = 5.

Analogamente, b está sendo subtraído de y, mas não temos nada sendo subtraído de y mas sim somando, podemos então fazer o seguinte: igualar os termos dentro do “ao quadrado”, sendo assim:

y + 1 = y – b onde, simplificando obtemos b = – 1.

Para o raio, basta saber qual número ao quadrado chega em 9 (segundo nosso exemplo), o que neste caso nos dá r = 3. Lembrando que o raio é sempre POSITIVO.

Sendo assim dada a equação de circunferência (x – 5)2 + (y + 1)2 = 9, seu centro é (5, – 1) e seu raio é r = 3.

Exemplo 2: x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0

Neste caso, a equação que mais se assemelha é x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 e queremos encontrar a, b e r.

Para a, basta olharmos os coeficientes que multiplicam x em ambas as equações e compará-los, no caso, obtemos:

– 2a = – 2, que implica em a = 1.

Analogamente para b, olhamos para os coeficientes de y em ambas as equações e obtemos:

– 2b = – 4, que implica em b = 2.

Agora, para encontrar o raio, note que em nossa equação genérica ele se encontra com a2 + b2 – r2, que é exatamente a parte da equação que não depende de x nem de y, ou seja, o termo independente. Sendo assim, basta comparar os termos independentes de ambas as equações:

a2 + b2 – r2 = 4, como já sabemos quem é a e b, substituímos:

(1)2 + (2)2 – r2 = 4, onde fazendo os cálculos, obtemos r = 1.

Sendo assim, nossa equação de circunferência x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0 tem centro (1, 2) e raio r = 1.

TESTES43. Qual das equações abaixo representa uma circunferência?

a) x2 + 3y2 - 5x - 7y - 1 = 0b) x2 + y2 + xy - 4x - 6y - 9 = 0c) 3x2 + 3y2 + 4x - 6y + 15 = 0d) x2 + y2 - 2x - 2y + 2 = 0e) 2x2 + 2y2 - 4x - 6y - 3 = 0

POSIÇÕES RELATIVASPonto (P) e circunferência (λ)

Três casos possíveis:

P é interno P pertence P é externo P

C

C

P P

C

dcp < raio dcp = raio dcp > raio


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TESTES

Regra prática

Substituir as coordenadas do ponto P no 1° membro da equação da circunferência λ. O resultado será um número real N, tal que:

> 0 P é externo a λ Se, N for = 0 P pertence a λ

< 0 P é interno a λ

44. Determine a posição do ponto P (3, -5) em relação a circunferência λ: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9

Reta e circunferênciaA posição de uma reta (r) Ax + By + C = 0 e uma circunferência (λ) (x – a)2 + (y – b)2 = r2, é determinada através da resolução do sistema (INTERSECÇÃO) formado pelas duas equações, que se reduz a uma equação do 2° grau e uma incógnita.O discriminante (∆ = b2 – 4ac) da equação resultante, define o número de soluções do sistema.

Três casos são possíveis.

C

∆ > 0

duas soluções

r

C

∆ = 0

uma única solução

r

C

∆ < 0

não tem solução

r

SECANTES TANGENTES EXTERIORES

duas soluções dcr < raio

não tem solução dcr > raio

uma única soluçãodcr = raio

Observação:

A posição de reta em relação a circunferência pode ser obtida comparando-se a distância da reta ao centro com o raio. (mais trabalhoso).

TESTES45. Obtenha a equação da circunferência de centro C (-1,5) e que é tangente à reta t: 3x – 5y + 9 = 0

y

x

0

Duas circunferênciasDetermina-se a intersecção entre duas circunferências da seguinte maneira:

Casos possíveis:

Esses são os únicos casos possíveis em um plano bidimensional.

d(C1, C2) < | r1 - r2 |



TESTES46. Qual é a equação da circunferência que passa pela origem e tem o ponto C(-1, -5) como centro?

a) x2 + y2 + 2x + 10y = 0b) x2 + y2 - 2x - 10y = 0c) x2 + y2 - 26 = 0d) x2 + y2 + 2x + 10y + 2 = 0e) n.d.a.

47. Qual deve ser o valor de m, para que a circunferência da equação x2 + y2 + 4x - my - 6 = 0 passe pelo ponto P(0, 1)?

a) m = 5b) m = -5c) m = 2d) m = -2e) m = 0

48. (PUC-RS) O ponto P(-3, b) pertence à circunferência de centro C(0, 3) e raio r = 5. Quais são os valores de b?

a) -14 e 20b) -20 e 14c) 8 e 2d) -7 e 1e) 7 e -1

49. (UFPE) A circunferência de centro (4, 4) e que é tangente a reta x - y + 16 = 0 tem equação:

a) x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0b) x2 + y2 - 8x - 8y - 24 = 0c) x2 + y2 - 8x - 8y = 0d) x2 + y2 - 8x - 8y+ 40 = 0e) n.d.a.

50. (SANTA CASA-SP) Sejam as proposições:

I) Se uma circunferência tangencia os dois eixos cartesianos 0x e 0y, as coordenadas (a, b) de seu centro são sempre iguais:

II) x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0 é a equação da circunferência de centro (-1, 2) e de raio 2 . Assinalando V ou F para cada proposição, vamos encontrar:

a) V, Vb) V, Fc) F, Vd) F, Fe) n.d.a.

51. (MACK-SP) O segmento de extremidade P(2, 8) e Q(4, 0) é o diâmetro de uma circunferência cuja equação cuja equação é:

a) (x + 13)2 + y2 = 289b) (x + 5)2 + (y - 2)2 = 85c) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 34d) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 17e) (x - 7)2 + (x - 5)2 = 34

52. (FESP-SP) Dada a circunferência de equaçãox2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 e o ponto A(p, -1), podemos afirmar que o valor de p, para que o centro da circunferência, o ponto A e a origem dos eixos estejam alinhados, é:

a) -3/2b) 3/2c) -2/3d) 2/3e) n.d.a.

53.(UFRS) A circunferência de equação x2 + y2 + 4x – 2y + k = 0 é tangente à reta de equação x = 3. O valor de k é:

a) -80b) -20c) 0d) 1e) 3

54.(FUVEST) Dados:

C: x2 + (y – 2)2 = 9r: y = x – 5;

Pedem-se: a) a equação da reta que passa pelo centro C e é perpendicular a r;

b) o ponto de C mais próximo de r.

55.(FUVEST) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que passa pelo ponto (3; 4)?

56.(FUVEST) A reta y = (√3/3)x é tangente a uma circunferência de centro (2; 0). Calcule o raio da circunferência.

57.(ITA) Uma circunferência passa pelos ponto A(0; 2), B(0; 8) e C(8; 8). Então, io centro da circunferência e o valor do seu raio, respectivamente, são:

a) (0; 5) e 6b) (5; 4) e 5c) (4; 8) e 5,5d) (4; 5) e 5e) (4; 6) e 5

58.(UFPR 2018) Em quantos pontos do plano cartesiano a circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 e y = -2x2 + 8x – 6 se intersectam?

a) 0.b) 1.c) 2.d) 3.e )4.


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59.(UFPR) Considerando a circunferência C de equação (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas:

1.O ponto P(4, 2) pertence a C.2.O raio de C é 5.3.A reta y = (4/3)x passa pelo centro de C.

Assinale a alternativa correta.

a)Somente a afirmativa 1 é verdadeira.b)Somente a afirmativa 2 é verdadeira.c)As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.d)Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.e)Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

60.(UFPR) Um círculo, com centro na origem do plano cartesiano, é tangente à reta de equação y = 2x + 2. Qual é o raio desse círculo?

a)√2b)2c) √10/2d)2/5e)2√5/5

61. (CESGRANRIO) Os pontos de intercessão das retas x - y = 0, x + y = 4 e x = 4, tomadas duas a duas, são vértices de um triângulo. A área do triângulo é:

a) 6b) 0c) 8d) 4e) 2

62. A circunferência da equação x2 + y2 + kx – y2k

+ k = 0 passa

pelo ponto A(2, -4); então o raio dessa circunferência é:

a) 2b) 5c) 3d) ½e) n.d.a.

63. Determinar a posição relativa entre as circunferências λ1 e λ2, nos seguintes casos:

a) λ1 : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 1 e λ2 : (x - 5)2 + (y + 1)2 = 9

b) λ1 : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 9 e λ2 : x2 + (y + 3)2 = 4

c) λ1 : (x - 6)2 + (y + 10)2 = 196 e λ2 : x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0

d) λ1 : (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25 e λ2 : x2 + y2 - 4x - 5 = 0

e) λ1 : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 e λ2 : x2 + y2 - 2x - 4y - 31 = 0

f) λ1 : 3x2 + 3y2 + 6y - 9 = 0 e λ2 : x2 + (y + 1)2 = 4

64. Obter a intersecção da reta s: x - y + 1 = 0 com a circunferência λ : (x - 2)2 + (y - 3)2 = 2.

65. Determinar a intersecção da circunferênciaλ : (x - 1)2 + (y + 4)2 = 10 com o eixo das ordenadas.

66. Determinar a intersecção da reta s: x - y = 0 com a circun-ferência λ : (x - 5)2 + y2 = 1.

67.(UFPR) Qual das seguintes retas passa pelo centro da circunferência x2 + y2 + 4y - 3 = 0?

a) x + 2y = 4.b) 5x – y = 2.c) x + y = 0.d) x – 5y = –2.e) 2x + y = 7.

68. (UFPR) Com base nos conhecimentos de geometria analítica, considere as seguintes afirmativas:

1. Os pontos de coordenadas cartesianas A(0,2), B(2,3) e C(4,4) não são colineares.

2. A equação da reta que passa pelos pontos de coordenadas cartesianas D(1,– 2) e E(2,2) é y+6=4x.

3. Um dos pontos de intersecção da circunferência (x–3)2+y2= 2 com a circunferência (x–1)2+(y+1)2 = 5, tem coordenadas cartesianas (2, 1).

4. A equação da reta que é paralela à reta x– 3y = – 14 e que tangencia a circunferência (x–2)2+(y+1)2 = 10 é x = 3y – 5.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.



69.(UFPR) - Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, a equação de uma circunferência C é x2 + y2 – 2y – 7 = 0. Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto (2, 3), e que r contém o centro da circunferência C. Assim, é correto afirmar:

01) O ponto (2, 3) pertence à circunferência C.02) A reta s é tangente à circunferência C.04) A circunferência C intercepta o eixo y nos pontos de ordenadas 1+ 22 e 1 .22−08) A reta s tem coeficiente angular menor que –1. 16) A reta t, paralela à reta s e que passa pela origem do sistema de coordenadas, não intercepta a circunferência C

70.(ENEM 2018) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos o plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0;4), B(4;4), C(4;0), D(2;2) e E(0;2).

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

a)x = 0b)y = 0c)x2 + y2 = 16d)x2 + (y – 2)2 = 4e)(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8

71.(ENEM 2016)Na figura estão representadas três retas no plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.

Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e duas incógnitas que

a)Possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam.b)Possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas.c)Possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um ponto.d)Não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente às três retas.e)Possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se intersectam.

72.(ENEM 2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são

a)(290;20).b)(410;0).c)(410;20).d)(440;0).e)(440;20).


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73.(ENEM 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x,y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I – É a circunferência de equação x2 + y2 = 9;II – É a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de – 1 a 1;III – É o quadrado formado pelos vértices (-2,1), (-1,1), (-1,2) e (-2,2);IV – É o quadrado formado pelos vértices (1,1), (2,1), (2,2) e (1,2);V – É o ponto (0,0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

74.(ENEM 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

a)(65;35).b)(53;30).c)(45;35).d)(50;20).e)(50;30).

75.(ENEM 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância



ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

a)(-5,0).b)(-3,1).c)(-2,1).d)(0,4).e)(2,6).

76.(ENEM 2010) Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu a posição (6,6,7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em quilômetros.

Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do eixo-z, então o foguete atingiu a posição

a)(17,3,9).b)(8,3,18).c)(6,18,3).d)(4,9,-4);e)(3,8,18).

77.(ENEM-2010) Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico que indica o desperdício de uma torneira:

Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é

a)y = 2xb)y = (1/2)xc)y = 60xd)y = 60x + 1e)y = 80x + 50

78.(ENEM 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.

De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011?

a)4,0b)6,5c)7,0d)8,0e)10,0


16



01 45o 11 E

02 3/2 12 B03 -8/3 13 45o

04 * 14 D05 * 15 506 * 16 16

07 * 17 E

08 * 18 A

09 E 19 E

10 B 20 18

21 C 31 A22 A 32 *23 D 33 D24 * 34 D

25 B 35 C

26 A 36 2127 C 37 C28 B 38 C

29 E 39 C30 E 40 *

41 * 51 D42 * 52 D43 E 53 B44 * 54 *

45 * 55 *

46 A 56 *47 B 57 D

48 E 58 D

49 E 59 E

50 D 60 E

61 D 71 D

62 C 72 E

63 * 73 E

64 * 74 E

65 * 75 B

66 * 76 B

67 B 77 C

68 D 78 E

69 7

70 E

GABARITO

TESTES

04. 3x - 4y - 8 = 005. -4x - 4y + 19 = 0 06. √2/207. 2√5

8. a) 5b) 25

24. y = √3x – 3 e y = √3x

32. 2 + 5√2/2

40. (x + 1)2 + y2 = 16

41. y = 2x

42. (x – 1)2 + (y – 3)2 = 32

44. Interno

45. (x + 1)2 + (y – 5)2 = 361/34

54.a) y = - x + 2b) (3√2/2 ; 2 - 3√2/2)

55. x2 + (y – 25/8)2 = 625/64

56. r = 1

63. a) exteriores b) tangentes exterioresc) tangentes interiores d) secantese) a circunferência de menor raio é interna a de maior raio.

64. (3, 4) e (1, 2)

65. (0, -1) e (0, -7)

66. Não há interseção, a reta é externa.

TESTES · 2019-10-11 · TESTES 06. Calcule a distância do ponto A (0,2) a reta x+y-3=0 05....

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