Tex Dina Mica

2 DINAMICA DE UNA PARTICULA

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Fsica

2010

ndice general

2. Dinmica de una partcula 12.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Momento lineal o cantidad de movimiento (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1. Conservacin del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Leyes de Newton del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1. Primera ley de Newton o ley de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2. Segunda ley de Newton o ley de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.3. Fuerza neta o resultante de un sistema de fuerzas concurrentes . . . . . . . . 92.3.4. Resultante de un sistema de fuerzas utilizando componentes rectangulares . 102.3.5. Tercera ley de Newton o ley de accin-reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.6. Equilibrio de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Fuerza de friccin entre superficies en contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Fuerza de friccin en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Fuerza elstica de un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7. Dinmica del movimiento curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7.1. Dinmica del movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.2. Movimiento curvilneo en componentes rectangulares . . . . . . . . . . . . . 26

2.8. Vector momento angular de una partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8.1. Variacin del vector momento angular con el tiempo . . . . . . . . . . . . . . 282.8.2. Conservacin del momento angular y fuerzas centrales . . . . . . . . . . . . . 28

2.9. *Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

Captulo2Dinmica de una partcula

ObjetivosEn esta unidad se busca

Identificar y definir las cantidades fsi-cas relacionadas con la dinmica de unapartcula.

Analizar las leyes demovimiento o leyes deNewton, as como sus consecuencias.

Aplicar los conceptos de la dinmica asituaciones fsicas particulares.

CONCEPTOS BASICOSEn esta unidad de dinmica de una partcula, sedefinirn los siguientes conceptos que son bsi-cos en el estudio del movimiento de los cuerpos:Sistema, cuerpo o cuerpos de inters, medio am-biente o alrededores, momento lineal (p), iner-cia, vector fuerza F), par accin-reaccin, equili-brio, friccin, fuerza elstica, fuerza tangencial(FT), fuerza normal (FN),momento angular (L).

2.1. Introduccin

En esta unidad se inicia el estudio de la segundaparte de la mecnica, denominada dinmica, enla cual se consideran las causas por las que cam-bia el estado de reposo de movimiento de uncuerpo, cuando este interacta con otros cuer-pos.Para su estudio, se dispone de los conceptos

cinemticos descritos y analizados en la unidad

anterior. Igual que en la cinemtica, slo se con-sidera el movimiento de traslacin de los cuer-pos, o sea, que estos se pueden tratar bajo elmodelo de partcula, de ah el nombre de launidad.Cuando se va a analizar el comportamiento

dinmico de un cuerpo, lo primero que se hacees llevar a cabo los siguientes pasos:

Definir un sistema, que generalmente estformado por varios cuerpos.

Elegir, del sistema, el cuerpo al cual se le vaa analizar el movimiento, es decir, el cuerpoo partcula de inters.

Delimitar elmedio ambiente o alrededores, for-mado por el resto del sistema, o sea, porlos cuerpos cercanos que interactan con elcuerpo de inters.

Para aclarar los pasos anteriores, se conside-ran las siguientes situaciones

1. Sistema cuerpo-tierra: Proyectil que se lanzadesde el punto A con una velocidad queforma un ngulo con la horizontal.

En el sistema de la figura 2.1, tomando elproyectil como cuerpo o partcula de in-ters, los alrededores lo conforman el airey la tierra.

2. Sistema masa-resorte: Bloque sujeto a un re-sorte y en movimiento sobre una superficieplana. Para el sistema de la figura 2.2.a 2.2.b, si el bloque se toma como cuerpo o

2 CAPTULO 2. DINMICA DE UNA PARTCULA

A

vo

Tierra

q

Figura 2.1: Proyectil lanzado desde el punto A.

partcula de inters, los alrededores lo con-formarn el resorte, la superficie plana, elaire y la tierra.

(a)

(b)

Movimiento

Movimie

nto

Figura 2.2: Bloque sujeto a un resorte sobre una su-perficie a) horizontal, b) inclinada.

3. Sistema satlite-tierra: Satlite que rotaalrededor de la tierra. En el sistema de lafigura 2.3, el cuerpo o partcula de interspuede ser el satlite, o sea que el medio am-biente corresponde a la tierra.

T

v

S

Figura 2.3: Satlite que rota alrededor de la tierra.

En los tres casos anteriores, se observa que losalrededores slo incluyen el medio o los cuer-pos ms cercanos al cuerpo de inters, ya quelos efectos de los cuerpos ms alejados gene-ralmente son insignificantes. De este modo, enestas situaciones o en cualquier otra, lo que sebusca es analizar la forma como es afectadoel movimiento de traslacin del cuerpo de in-ters por los alrededores. As, el movimientodel cuerpo queda determinado por la accin delmedio ambiente sobre l.Como se ver en lo que sigue, el objetivo l-

timo de la dinmica es poder predecir, en unproblema mecnico especfico, cmo se seguirmoviendo una partcula cuando sus alrede-dores y condiciones iniciales se conocen. Unavez realizado lo anterior, se dice que se ha re-suelto completamente el problema dinmico, loque matemticamente equivale a conocer la for-ma como vara el vector posicin con el tiempo,es decir, conocer la forma explcita de r(t).

2.2. Momento lineal o cantidad demovimiento (p)

Antes de analizar las leyes de movimiento oleyes de Newton, es necesario hacer referenciaa las cantidades dinmicas masa y momento li-neal que son el punto de partida de la mayorade los conceptos que se tratarn en adelante.La fsica dispone de una cantidad escalar

que es caracterstica o propia de cada cuerpo yla cual permite conectar la cinemtica de unapartcula con la dinmica de una partcula; es-ta propiedad de los cuerpos es su masa. En loque sigue, no se hace una definicin operacionalde la masa, sino que en su lugar se emplea elconcepto intuitivo que de ella se tiene, esto es,lo que marca una balanza cuando un cuerpo secoloca sobre ella.La masa de un cuerpo, que se representa me-

diante los smbolos M o m, es una cantidad fun-damental cuya dimensin es M. De acuerdo conesta dimensin, las unidades respectivas son: elkilogramo (kg) en el sistema de unidades SI, y elgramo (g) en el sistema gaussiano de unidades.En el sistema ingls la unidad de masa es el

2.2. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 3

slug, que se definir ms adelante.La equivalencia entre estas unidades est da-

da por la identidad: 1kg 103g.La primera cantidad dinmica a definir, es el

momento lineal o cantidad de movimiento, que esde gran importancia en la fsica ya que permiteobtener ms informacin que la velocidad.

O

p

m

y

x

Figura 2.4:Momento lineal de una partcula.

Cuando una partcula de masa m, posee unavelocidad v respecto a determinado observador,se dice que su vector momento lineal est dadopor

p mv. (2.1)

De acuerdo con la definicin dada por laecuacin (2.1), se tiene que el momento lineal esuna cantidad vectorial que apunta en la mismadireccin del vector velocidad, como se ilustraen la figura 2.4.Adems, como la velocidad depende del sis-

tema de referencia, entonces el momento linealtambin depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es tangente a latrayectoria descrita por la partcula, el momen-to lineal tambin es tangente a la trayectoriaque la partcula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definicin de momento li-neal, se tiene que sus dimensiones son igualesa la dimensin de masa por la dimensin develocidad, es decir [p] = [m][v] = MLT1 .Por lo tanto, las unidades en los respectivos sis-temas estn dadas por: kg m s1 en el sistemaSI de unidades, g cm s1 en el sistema gaus-

siano de unidades y lb s en el sistema ingls deunidades.En el ejemplo 2.1, se ilustra el hecho que el

momento lineal permite obtener mayor infor-macin que la velocidad.

Ejemplo 2.1.Los cuerpos de la figura 2.5, que tienenmasas M y m (M > m), se mueven conigual velocidad v respecto al sistema dereferencia mostrado. Cul es ms difcilllevar al estado de reposo?

SolucinLa experiencia muestra que el cuerpo conmayor momento lineal, es ms difcil dellevar al estado de reposo. Lo anterior in-dica que aunque cinemticamente no exis-te diferencia entre el estado de los doscuerpos, velocidades iguales, dinmica-mente se presenta una diferencia comoconsecuencia de la diferencia en sus mo-mentos lineales.

Mm

y

x

v

v

Figura 2.5: Cuerpos de diferente masa se muevencon igual velocidad.

Ejemplo 2.2.Una partcula de masa 2 g, tieneun movimiento circular cuyaposicin angular est dada porq = 2 + 3(t 1) (t 1)2, donde qest dada en rad y t en s. El radio dela trayectoria circular es 0.50m. Hallarla magnitud del momento lineal de lapartcula, en funcin del tiempo.

SolucinMediante la definicin de velocidad an-gular, ecuacin (1.66), y la relacin entrevelocidad y velocidad angular, ecuacin(1.84), se encuentra que la velocidad de lapartcula en cualquier instante est dadapor

v = 2.5 t.


Finalmente, por la ecuacin (2.1), se en-cuentra que la magnitud del momento li-neal en funcin del tiempo, est dada por

p = 2 103(2.5 t),

donde p est dado en kg m s1 y t en s.De acuerdo con el resultado obtenido,

en este caso, se tiene que tanto la mag-nitud de la velocidad como del momen-to lineal de la partcula, disminuyen conel tiempo. Lo anterior, se debe a que lapartcula posee un movimiento circularuniformemente retardado.

Ejercicio 2.1.Una partcula de masa 2 g, tiene unmovimiento circular en el cual la magni-tud de su momento lineal est dada porp = 2 103(2.5 t), donde p est dadoen kg m s1 y t en s. Halle a) el instanteen el cual el momento lineal de la partculase hace cero. b) La magnitud del momentolineal de la partcula a los 2 s de iniciado elmovimiento.

2.2.1. Conservacin del momento lineal

Aunque solo se consideran dos casos par-ticulares, el principio de conservacin delmomento lineal tiene validez general, sin im-portar el nmero de partculas que intervienenen un sistema. Este principio es de gran utili-dad en la fsica, tanto desde un punto de vistaterico como experimental. En los dos casosque se consideran a continuacin, se recurrea los resultados que muestra el experimento,cuando este se lleva a cabo.

1. Como primer experimento se considera lasituacin en la que a una partcula, de masa my en movimiento, se le impide interactuar concualquier otra, como se ilustra en la figura 2.6.Al no interactuar la partcula con ninguna otra,el resultado que se obtiene es que su estado demovimiento no es alterado, esto es, su veloci-dad permanecer constante, o lo que es igual,su momento lineal debe permanecer constante.Lo anterior se puede expresarmatemticamente

en la forma

p = mv = Constante o sea Dp = 0

v

m

Figura 2.6: Conservacin del momento lineal de unapartcula aislada.

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 2.7, se aslan, del resto del uni-verso, dos partculas con masas constantes m1y m2. Decir que se aslan del resto del universo,equivale a afirmar que slo se permiten sus in-teracciones mutuas. A un sistema como este sele llama sistema aislado.

v1

m1

v2

m2

t

t>t'm

1

m2

v1'

v2'

Figura 2.7: Momento lineal de dos partculas ais-ladas.

Cuando a las partculas se les permite in-teractuar entre s, se encuentra que sus mo-mentos lineales individuales pueden cambiar altranscurrir el tiempo. Por otro lado, el momen-to lineal total del sistema formado por las dospartculas, en cualquier instante, est dado porla suma de los momentos lineales de las partcu-las. De acuerdo con lo anterior, en el instante t

2.3. LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO 5

el momento lineal del sistema aislado, est dadopor

P = p1 + p2= m1v1 +m2v2, (2.2)

y en el instante posterior t0 por

P0 = p01 + p02

= m1v01 +m2v02. (2.3)

Cuando se realiza este experimento, se encuen-tra que independientemente de los valores det y t0, el momento lineal total del sistema per-manece constante, o sea,

P = P0 (2.4)

Como la ecuacin (2.4) es vlida para cualquiernmero de partculas que conformen el sistema,se puede enunciar el principio de conservacindel momento lineal, en la forma: El momento li-neal total de un sistema aislado de partculas, per-manece constante.De este modo, el momento lineal ganado

(perdido) por una partcula, es perdido (gana-do) por el resto del sistema.Para la situacin que interesa en este momen-

to, se tiene que elmomento lineal ganado (o per-dido) por una partcula, es perdido (o ganado)por la otra partcula; as, al reemplazar las ecua-ciones (2.2) y (2.3) en la ecuacin (2.4) se tiene

p1 + p2 = p01 + p02

= Constante,

o lo que es igual

Dp1 = Dp2, (2.5)

de donde, el momento lineal que gana unapartcula es igual al momento lineal que pierdela otra.Como consecuencia de este resultado, de

validez general, el cambio en el momento linealde una partcula se debe a su interaccin conotra u otras partculas. En conclusin, toda in-teraccin entre partculas genera cambios en sus mo-mentos lineales individuales.

A diario se presentan situaciones en las que semanifiesta la conservacin del momento lineal.Por ejemplo, cuando un rifle en reposo respec-to a la tierra es disparado, se observa que el ri-fle retrocede. Este retroceso es una consecuenciadel principio de conservacin del momento li-neal, ya que en este caso, el momento lineal totaldel sistema inmediatamente antes del disparo einmediatamente despus del disparo, debe sernulo.

2.3. Leyes de Newton delmovimiento

En esta seccin, se consideran las leyes querigen el cambio en el estado de reposo o demovimiento de un cuerpo. A partir de ellas ycon ayuda de los conceptos vistos en la unidadde cinemtica de una partcula, es posible lle-gar a conocer la forma como vara la posicinde una partcula con el tiempo [r(t)].

2.3.1. Primera ley de Newton o ley deinercia

De acuerdo con la situacin considerada en elprimer experimento de la seccin 2.2.1, todocuerpo permanecer en estado de reposo (mo-mento lineal cero) o de movimiento rectilneouniforme (momento lineal constante), mientrasningn otro cuerpo interacte con l, o lo que esigual, mientras ningn otro cuerpo lo obliguea cambiar dicho estado; cinemticamente, estosignifica que su aceleracin es cero. Cuando sepresenta una de estas dos situaciones, se diceque el cuerpo se encuentra en equilibrio mecnicoy se habla de equilibrio esttico si el cuerpo esten reposo, y de equilibrio dinmico o cintico si elcuerpo tiene movimiento rectilneo uniforme.Tambin puede ocurrir que un cuerpo, inte-

ractuando con otros cuerpos, permanezca en es-tado de equilibrio. En este caso, se presenta unasituacin en la cual las interacciones se anulanentre s, en otras palabras, el efecto de todas lasinteracciones es nulo. Por ejemplo, una lmparasuspendida del techo mediante una cuerda, sepuede encontrar en estado de equilibrio estti-


co, aunque interacta simultneamente con lacuerda y la tierra.En lenguaje matemtico, las situaciones con-

sideradas anteriormente se pueden expresar enla forma

v = 0 v = Constante, es decir a = 0.

Esta es la forma matemtica de expresar laprimera ley de Newton, tambin conocida co-mo la ley de inercia, que en palabras se puedeenunciar en la forma:Todo cuerpo permanecer en un estado de

equilibrio mecnico, mientras no interacte conningn otro cuerpo.Como el movimiento de un cuerpo depende

del observador, esta ley es prcticamente unenunciado relativo a sistemas de referencia,ya que al enunciarla hay que especificar res-pecto a cul sistema de referencia la partcu-la se encuentra en estado de reposo o demovimiento rectilneo uniforme. Se supone queel movimiento de la partcula, est relacionadoa un observador sobre el cual la aceleracin escero; a tal observador se le denomina observadorinercial y a su sistema, sistema de referencia iner-cial.Se acostumbra definir un sistema de refe-

rencia inercial, como aquel que se encuentraen reposo o con movimiento rectilneo uni-forme respecto a la tierra, ya que esta setoma aproximadamente como un sistema dereferencia inercial. La aceleracin normal dela tierra alrededor del sol es del orden de4.4 103m s2 dirigida hacia el sol, mientrasque un punto en el ecuador terrestre, debido ala rotacin de la tierra sobre su eje es del ordende 3.37 102m s2 Como consecuencia deesta definicin, se tiene que todo sistema dereferencia en reposo o con un movimientorectilneo uniforme, respecto a un sistema dereferencia inercial, tambin es un sistema dereferencia inercial.

En sntesis: La ley de inercia nicamentees vlida respecto a sistemas de referenciainerciales.

Pregunta :Por qu se dice que la tierra se compor-ta aproximadamente como un sistema dereferencia inercial?

A los sistemas de referencia con aceleracindiferente de cero, se les conoce como sistemasde referencia acelerados o sistemas de referencia noinerciales. Respecto a estos sistemas, no tienevalidez la ley de inercia.

A continuacin se consideran situaciones co-munes, en las que se manifiesta la ley de inercia.

1. En la figura 2.8, se muestra un cuerpo enreposo respecto a una superficie horizontal.

O

v= 0

y

x

Figura 2.8: Cuerpo en reposo sobre una superficiehorizontal.

Como el cuerpo est en reposo respecto alpiso, su aceleracin es cero. Necesariamente, elcuerpo permanecer en reposomientras ningnotro cuerpo interacte con l, obligndolo acambiar de estado.Si el cuerpo corresponde a un auto con sus

pasajeros, cuando este arranca, los pasajerosejercen presin sobre el espaldar de su silla, yaque por la ley de inercia tienen una rapidezmenor (cero) en el instante que acelera.

2. En la figura 2.9, se tiene un cuerpo sobreuna superficie horizontal completamente lisa ycon movimiento rectilneo uniforme.En este caso, el cuerpo contina movindose

con la misma velocidad mientras no interactecon otro cuerpo.Si el cuerpo corresponde a un auto con sus

pasajeros, cuando este acelera, la ley de inerciase manifiesta cuando el cuerpo aprisiona el es-paldar de la silla, debido a la rapidezmenor quese tenan en el instante de acelerar.


O

v=constante

y

x

Figura 2.9: Cuerpo en movimiento sobre una super-ficie horizontal.

Por otro lado, cuando frena ocurre lo con-trario debido a la ley de inercia, ya que lospasajeros tienen un movimiento involuntarioen el sentido de movimiento, debido a la veloci-dadmayor que se tenan en el instante de frenar.

3. Para no caer al piso, qu debe haceruna persona cuando se baja de un autobs enmovimiento?Cuando una persona desciende de un auto-

bs en movimiento, inmediatamente tiene con-tacto con el pavimento, debe correr en el mis-mo sentido del auto para no caer al piso. Esto sedebe hacer, ya que por la ley de inercia la per-sona contina con la velocidad que tena en elinstante de bajarse. Cuando una persona no lle-va a cabo esta accin, lo ms seguro es que caeal piso.

Pregunta :Suponga que se encuentra en el interiorde un ascensor. Qu se percibe cuandoel ascensor, arranca ascendiendo y arrancadescendiendo? Explique sus respuestas.

La ley de inercia tambin se puede relacionarcon el concepto de masa. Para ello, se consi-deran los cuerpos de masas M y m ( M > m),mostrados en las figuras 2.10 y 2.11.

- Cuando los dos cuerpos se encuentran en re-poso, respecto a un observador inercial, a cules ms difcil cambiarle su estado de reposo?La experiencia muestra que es ms difcil

cambiar el estado del cuerpo que tiene mayormasa. De este modo, el cuerpo de masa Mpresenta ms oposicin o resistencia a cambiarde estado, en otras palabras, el cuerpo de masa

Mm

y

x

v= 0

v= 0

Figura 2.10: Cuerpos en reposo.

M tiene mayor tendencia a continuar en reposo.En conclusin, el cuerpo de masa M tienemayor inercia que el cuerpo de masa m.

- Si los dos cuerpos se mueven con igual ve-locidad, cul es ms difcil llevar al estado dereposo?

Mm

y

x

v

v

Figura 2.11: Cuerpos en movimiento.

Igual que en el caso anterior, el cuerpo demasa M tiene una mayor tendencia a continuarcon movimiento rectilneo uniforme, es decir,que este cuerpo posee mayor inercia.

De estos dos casos, se puede inferir que lamasa es una medida de la inercia de los cuer-pos. Esto es, la masa es una medida de la re-sistencia que presentan los cuerpos al cambio deestado y presenta mayor inercia o resistencia elcuerpo que tiene mayor masa. En este sentido,como se ver en la unidad de gravitacin uni-versal del curso de Fsica 2, se hace distincinentre los conceptos de masa inercial y masa gra-vitacional.

2.3.2. Segunda ley de Newton o ley defuerza

Si en la situacin considerada en la figura 2.7,las partculas interactan durante un intervalode tiempo Dt = t0 t., al dividir la ecuacin


(2.5) por Dt, se tiene

Dp1Dt

= Dp2Dt

. (2.6)

Si, adems, se hace que Dt! 0, la ecuacin (2.6)se puede escribir en la forma

lmDt!0

Dp1Dt

= lmDt!0

Dp2Dt

,

y por definicin de derivada se obtiene

dp1dt

= dp2dt

. (2.7)

La ecuacin (2.7) muestra que las variacionesrespecto al tiempo, del momento lineal de lasdos partculas, son iguales y opuestas.La fuerza que acta sobre la partcula 1, de-

bido a su interaccin con la partcula 2, se de-fine como el cambio con respecto al tiempo delvector momento lineal de la partcula 1, esto es,la fuerza que acta sobre la partcula 1 es

F1 =dp1dt

. (2.8)

La ecuacin (2.8), es la forma matemtica de ex-presar la interaccin de la partcula 2 sobre lapartcula 1, y se conoce como la segunda ley deNewton, ley de fuerza ecuacin de movimiento.Como m1 es la masa de la partcula 1, su mo-

mento lineal es p1 = m1v1 y la ecuacin (2.8) setransforma en

F1 =ddt

(m1v1). (2.9)

Si la masa m1 es constante, la ecuacin (2.9) seconvierte en

F1 = m1dv1dt

= m1a1. (2.10)

Para el caso particular de masa constante, la se-gunda ley de Newton queda dada entonces porla ecuacin (2.10).En el caso particular de un cuerpo de masa

m, que se mueve en cada libre, se sabe que es-t sometido a la aceleracin de la gravedad g.Por consiguiente, la fuerza que la tierra ejerce

sobre dicho cuerpo, comnmente llamada peso,est dada por

F = W = mg

El peso es una propiedad caracterstica de to-do cuerpo, independientemente que se encuen-tre en reposo o en movimiento, respecto a unobservador inercial, como se ilustra en la figu-ra 2.12. Generalmente, la segunda ley de New-

O

O

(a)

(b)

m

m

Movimiento

W g= m

W g= m

v= 0

y

x

y

x

Figura 2.12: Peso de un cuerpo: a) en reposo b) enmovimiento.

ton se refiere al caso de una partcula sobre laque actan varias fuerzas, siendo F la fuerza ne-ta resultante de las fuerzas aplicadas. Si so-bre la partcula actan tres o ms fuerzas, lafuerza F es la resultante de ellas. Adems, cadafuerza representa la interaccin de la partculacon otra.As, cuando el momento lineal de una

partcula, cambia con el tiempo, es porquesobre la partcula acta una fuerza neta di-ferente de cero. En adelante, la interaccin accin del medio ambiente sobre una partculase representa matemticamente mediante elconcepto de fuerza ( F ). A la recta infinita sobrela que acta esta o cualquier otra fuerza se ledenomina lnea de accin de la fuerza.

Dimensiones y unidades fuerzaDe acuerdo con la definicin del vector fuerza,se tiene que sus dimensiones corresponden al


cociente de las dimensiones del vector momen-to lineal con la dimensin de tiempo, es decir[F] = [p]

t1

= MLT2. Por ello, las unidades

correspondientes son kg m s2 en el sistemainternacional de unidades, donde se define elNewton en la forma 1 kg m s2 1N. Enel sistema gaussiano la unidad es g cm s2donde se utiliza la definicin 1 g cm s2 1dina. En el sistema ingls la unidad es la lb ysu relacin con el sistema de unidades SI estdada por 1 lb 4.448N.Otra unidad que es utilizada algunas veces

es el kilogramo fuerza, definido como 1kgf 9.8N.La relacin entre la unidad de fuerza en el sis-

tema SI y el sistema gaussiano est dada por1N 105 dinas.

Ejemplo 2.3.Las coordenadas de posicin para unapartcula, de masa m, estn dadas porx = 2t y y = 3 4t2, donde x, y estndados en cm y t en s. a) Determine latrayectoria seguida por la partcula. b)Calcule la aceleracin de la partcula.c) Halle la fuerza que acta sobre lapartcula, sabiendo que su masa es 0.3 kg.

Solucina)Mediante las expresiones dadas para x yy, se tiene que la ecuacin de la trayectoriaseguida por la partcula es

y = 3 x2,la cual corresponde a una trayectoriaparablica, como se ilustra en la siguientefigura.

F

v

O

y

x

b) Derivando x y y dos veces respectoal tiempo, se encuentra que la aceleracinde la partcula es

a = (8 cm s2)j

c) De acuerdo con la ecuacin 2.10, paramasa constante, la fuerza que acta sobrela partcula est dada por

F = (2.4 103 dinas)j

As, sobre la partcula slo acta unafuerza en la direccin vertical. Esto es ca-racterstico de todo movimiento parabli-co, es decir, mientras en una direccin lafuerza es nula, en la direccin perpendi-cular es diferente de cero. Adems, por serla fuerza negativa, esta apunta en sentidoopuesto a la direccin positiva del eje y,por lo que la concavidad de la parbola eshacia abajo como se muestra en la figuraanterior.

Ejercicio 2.2.Las coordenadas de posicin para unapartcula, de masa m, estn dadas por x =2t y y = 3 4t2, donde x, y estn dados encm y t en s. Halle las dimensiones de loscoeficientes numricos, en las expresionespara x y y.

2.3.3. Fuerza neta o resultante de un sis-tema de fuerzas concurrentes

En la figura 2.14 se supone que sobre un cuer-po actan varias fuerzas aplicadas a la partcu-la A, es decir, las fuerzas son concurrentes. Esposible reemplazar este sistema de fuerzas poruna sola fuerza, llamada resultante, que pro-duce el mismo efecto que las fuerzas concurren-tes simultneamente aplicadas.

A AF

F4

A A

F

F3

F2

F1

Figura 2.13: Fuerza neta o resultante de un sistemade fuerzas.

Esta es la operacin inversa a la descomposi-cin de fuerzas. Matemticamente se opera de


acuerdo con las reglas de la geometra vectorialya que estas cumplen con el principio de super-posicin, esto es

F = F1 + F2 + F3 + . . .= Fi=

dpdt

2.3.4. Resultante de un sistema defuerzas utilizando componentesrectangulares

Suponiendo que sobre la partcula de la figu-ra 2.14, actan varias fuerzas (necesariamenteconcurrentes) y en el mismo plano, es decir sonfuerzas coplanares, se tiene

F = F1 + F2 + F3 + . . .

=dpdt

= Fi= (Fxii+ Fyij)= ( Fxi)i+ ( Fyi)j

A

F

F4

F3

F2

F1

Ax

y

x

y

Fy j

Fx iq

Figura 2.14: Resultante de varias fuerzas.

Como en general se tiene que la resultante es-t dada por

F = Fxi+ Fyj

igualando componentes, por ser los vectoresunitarios i y j linealmente independientes, seencuentra que

Fx = Fxi,Fy = Fyi.

Si se conocen las componentes de cada fuerza,la magnitud de la resultante se obtiene median-te la aplicacin del teorema de Pitgoras

F =q

F2x + F2y

y para su direccin, se acostumbra emplearla definicin de la funcin trigonomtrica tan-gente

tanq =FyFx

No sobra recordar que la resultante F es fsica-mente equivalente a las fuerzas F1, F2, F3 yF4aplicadas simultneamente.

2.3.5. Tercera ley de Newton o ley deaccin-reaccin

De las ecuaciones (2.7) y (2.8) se tiene que

F1 = F2 (2.11)

La ecuacin (2.11), es la forma matemtica deexpresar la tercera ley de Newton y se puedeenunciar en la formaLa fuerza que ejerce la partcula 1 sobre la partcula2 es igual en magnitud pero opuesta en direccin a lafuerza que la partcula 2 ejerce sobre la partcula 1.Es costumbre decir que F1 y F2 forman un par

accin-reaccin.Todo par accin-reaccin, como el mostrado

en la figura 2.13, cumple simultneamente lassiguientes condiciones

F1

F2

1

2

Figura 2.15: Par accin-reacin.

1. Las dos fuerzas aparecen simultneamente.

2. Las dos fuerzas nunca actan sobre el mis-mo cuerpo sino sobre cuerpos diferentes.


3. Las dos fuerzas intervienen mientras loscuerpos interactan.

4. Las dos fuerzas tienen lamisma lnea de ac-cin.

De acuerdo con las condiciones anteriores, sepuede concluir, en el universo no existen fuerzasaisladas, sino que siempre aparecen por parejas(pares accin-reaccin), o sea, un cuerpo no puedeautoacelerarse.

Ejercicio 2.3.Por qu cuando un cuerpo se suelta des-de una altura determinada respecto alpiso, es atrado por la tierra y no se obser-va que la tierra sea atrada por el cuerpo,sabiendo que la magnitud de las fuerzasentre ellos es la misma?

La ley de accin y reaccin se manifiestaen muchas situaciones comunes. Por ejemplo,cuando con el pi se le da a una piedra, si lafuerza que se ejerce sobre ella es la accin, en-tonces la reaccin corresponde a la fuerza quela piedra ejerce sobre el pi y es la responsabledel dolor que puede presentarse una vez queesta situacin ocurre.

Pautas generales a seguir en la solucinde situaciones fsicas, relacionadas con ladinmica de una partcula

1. Tener claridad sobre la situacin plantea-da en el enunciado, identificando las can-tidades dadas y las incgnitas a obtener.

2. Si no es dado, hacer un diagrama ilustrati-vo de la situacin fsica que se ha plantea-do, y en el cual se muestren las condicionesfsicas del problema. A este diagrama se leconoce como diagrama espacial.

3. Elegir el cuerpo de inters y hacer un dia-grama que muestre todas las fuerzas queacten sobre l. A dicho diagrama se leconoce como diagrama de cuerpo libre.

4. Elegir un sistema de referencia adecuadoque facilite la solucin del problema, en lu-gar de generar complejidad.

5. De acuerdo con el sistema de referen-cia elegido, plantear las ecuaciones demovimiento que garanticen la situacinplanteada.

6. Resolver el sistema de ecuaciones si-multneas encontrado, con el fin de obte-ner la informacin solicitada. De ser posi-ble, resolverlo en forma literal, ya que es-to permite hacer un anlisis del resultadoy permite verificar si las dimensiones soncorrectas.

7. Dar los resultados numricos, con lasunidades adecuadas.

Ejemplo 2.4.Sobre una partcula de masa 3.0 kg, actancuatro fuerzas como se indica en la figu-ra. a) Calcular la fuerza neta o resultanteque acta sobre la partcula. b) Calcularla aceleracin de la partcula. c) Escribirlas ecuaciones cinemticas de posicin yvelocidad, si la partcula parte del origencon velocidad inicial cero. d) Obtener laecuacin de la trayectoria seguida por lapartcula.

F 4= 50N

F2=5N F 1= 10N

x

y

37o

30o

50o

20o

F3=100N

Solucina) La fuerza neta o resultante F = F1 +F2 + F3 + F4, se puede obtener hallandosus componentes rectangulares Fx y Fy,de acuerdo con el sistema de referenciamostrado.

De este modo, la componente en x,adquiere el valor

Fx =+! Fix

= 41.53N.

Igualmente, la componente en y, est dada


por

Fy = + " Fiy= 114.6N.

Por lo tanto, la fuerza resultante en com-ponentes rectangulares es:

F = ( 41.53i 114.6j)NDonde su magnitud es F = 121.89N y sudireccin, mostrada en la figura siguiente,es q = 70.08o.

x

y

q

F

Fx i

Fy j

De este modo

F =121.89N 70.08o

b) De acuerdo con la segunda ley de New-ton para masa constante, F = ma, laecuacin de movimiento para la partculaconsiderada, est dada por

( 41.53i 114.6j)N = (3.0 kg)a.As, la aceleracin en componentes rectan-gulares es

a = ( 13.83i 38.2j)m s2,cuya magnitud es a = 40.63m s2 y di-reccin q = 70.08o, como se esperaba, yaque la aceleracin es paralela a la fuerzaresultante. O sea

a =40.63ms-2

70.08o

c) De acuerdo con el enunciado y el resul-tado anterior, las condiciones iniciales es-tn dadas por ax = 13.83m s2, ay =38.2m s2, vxo = 0, vyo = 0 y to = 0.

Como ax y ay son constantes, las ecua-ciones cinemticas de posicin y veloci-dad, adquieren la forma siguiente.

Componente de movimiento en x

x = 6.9t2, vx = 13.8t.

Componente de movimiento en y

y = 19.1t2, vy = 38.2t.

d) Mediante las expresiones para x y y , seencuentra que la ecuacin de la trayectoriatiene la forma

y = 2.8x,

que corresponde a la ecuacin de una lnearecta, con pendiente 2.8 es decir, forma unngulo q = 70.09o con la horizontal, comose muestra en la siguiente figura.

x

y

70.08o

Trayectoria

Mediante este ejemplo se ha cumplidocon el objetivo de la dinmica, ya que fueposible obtener la trayectoria seguida porla partcula, con slo conocer las fuerzasque actan sobre ella y las condiciones ini-ciales impuestas.

Ejercicio 2.4.Sobre una partcula de masa 3.0 kg, actancuatro fuerzas como se indica en la figu-ra siguiente. a) Calcule la fuerza adicionalque es necesario aplicarle a la partcula,para que la resultante de las fuerzas seahorizontal, de magnitud 50N y dirigidahacia la derecha. b) Calcule la aceleracincorrespondiente de la partcula. c) Escribalas ecuaciones cinemticas de posicin yvelocidad, si la partcula parte del origencon una velocidad de 10.0m s1, dirigi-da verticalmente hacia arriba. d) Obtengala ecuacin de la trayectoria seguida por lapartcula y trace una grfica de ella.


F4=50N

F2

=5N F1= 10N

x

y

53o

60o

40o

70o

F3=100N

Ejemplo 2.5.Desde la base de un plano inclinado yliso, que forma un ngulo de 30o con lahorizontal, se lanza un bloque de masa500 g, con una velocidad de 15.0m s1.a) Haga el diagrama de cuerpo libre parael bloque. b) Determine la aceleracin delbloque. c) Halle la fuerza que la superficieejerce sobre el bloque. d) Plantee lasecuaciones cinemticas de posicin yvelocidad, que rigen el movimiento delbloque. e) Cunto tiempo asciende elbloque por el plano inclinado? f) Hastaqu altura, respecto a la base del planoinclinado, asciende el bloque?

SolucinDe acuerdo con el enunciado, las can-tidades dadas son m = 500 g 0.5 kg,q = 30o y vo = 15.0m s1, siendo lacantidad conocida g = 9.8m s2.

a) Diagrama de cuerpo libre: Sobre el bloqueacta la fuerza que ejerce la superficie so-bre l, ms conocida como normal; y lafuerza que le ejerce la tierra, conocida co-mo peso.

q

v

N

mg

x

y

b) La ecuacin de movimiento en la direc-cin paralela al eje x, adquiere la forma

+% Fix = maxmg senq = max.

Como slo hay movimiento en la direc-cin paralela al eje x, se tiene que la ace-leracin del bloque es a = ax, as

a = g senq,cuyo valor es

a = 4.9m s2.c) La ecuacin de movimiento en la direc-cin paralela al eje y, adquiere la forma

+ " Fiy = 0N mg cosq = 0,

donde se ha tomado ay = 0, ya que en estadireccin no hay movimiento; as

N = mg cosq,

encontrndose el valor

N = 4.24N.

d) De acuerdo con el sistema de referencia,el bloque se mueve sobre el eje x con unaaceleracin de 4.9m s2. De este modo,las ecuaciones cinemticas de posicin yvelocidad, estn dadas por

x = 15t 2.45t2 y v = 15 4.9te) Como el bloque tiene un movimien-to rectilneo uniformemente retardado, lle-ga un momento en el cual su velocidadse hace cero. De este nodo, mediante laecuacin cinemtica de velocidad, se en-cuentra que en ese instante

t = 3.06 s.

f) Reemplazando t = 3.06 s en la ecuacincinemtica de posicin, se encuentra queel mximo desplazamiento sobre el planoinclinado es x mx = 22.96m, as, median-te la figura anterior se encuentra que la al-tura mxima alcanzada por el cuerpo es

h = 11.48m.

Ejercicio 2.5.Un bloque, de masa 500 g, parte del re-poso y se mueve sobre un plano incli-nado liso que forma un ngulo de 30o

con la horizontal. El bloque inicia su


movimiento desde una altura de 9.0m res-pecto a la base de plano inclinado. a) Ha-ga el diagrama de cuerpo libre para elbloque. b) Determine la aceleracin delbloque. c) Plantee las ecuaciones cinemti-cas de posicin y velocidad, que rigen elmovimiento del bloque. d) Cunto tiem-po tarda el bloque en llegar a la base delplano inclinado? e) Cul es la velocidaddel bloque cuando llega a la base del planoinclinado?

2.3.6. Equilibrio de una partcula

Una situacin particular se presenta, cuando lafuerza neta o resultante es nula, es decir, F = 0;en este caso, las fuerzas simultneamente apli-cadas no tienen ningn efecto de traslacin so-bre la partcula. Esto significa que los efectos delas fuerzas simultneamente aplicadas se anu-lan entre s. Cuando lo anterior ocurre, se diceque la partcula est en equilibrio, esto es si laresultante de todas las fuerzas que actan sobre unapartcula es cero, la partcula se encuentra en equili-brio. Es decir, que por la ecuacin (2.8) la deriva-da del momento lineal con respecto al tiempo escero, por lo que p = Constante, y la partcula seencuentra en equilibrio esttico si permanece enreposo, o en equilibrio dinmico si permaneceen movimiento. Esta situacin indica que la leyde inercia es un caso particular de la segundaley de Newton.Matemticamente, el equilibrio de una

partcula se puede expresar en la forma

F = Fi= 0

o en componentes rectangulares Fix

i+

Fiy

j+

Fiz

k = 0

Como los vectores unitarios i, j y k son lineal-mente independientes, las condiciones que sedeben satisfacer, para que la partcula est enequilibrio, son

Fix = 0, Fiy = 0, Fiz = 0.

Cuando las fuerzas actan, por ejemplo en elplano xy , se dice que son coplanares y lascondiciones de equilibrio estn dadas por

Fix = 0, Fiy = 0.

Pautas a seguir en situaciones relacionadascon el equilibrio de una partcula.

1. Tener claridad sobre la situacin plantea-da en el enunciado, identificando las can-tidades dadas y las incgnitas a obtener.

2. Hacer un diagrama ilustrativo de lasituacin fsica que se ha planteado y en elcual se muestren las condiciones fsicas delproblema. A este diagrama se le conoce co-mo diagrama espacial.

3. Elegir la partcula de inters y hacer undiagrama que muestre a esta y a todas lasfuerzas que acten sobre ella. A dicho dia-grama se le conoce como diagrama de cuerpolibre (DCL).

4. Elegir un sistema de coordenadas adecua-do, es decir, un sistema que facilite la solu-cin del problema, en lugar de generarcomplejidad.

5. De acuerdo con el sistema de referenciaelegido, plantear las ecuaciones que garan-ticen la situacin de equilibrio que se deseaanalizar.

6. Resolver el sistema de ecuaciones si-multneas encontrado para obtener los re-sultados pedidos; de ser posible, hacerlo enforma literal, con el fin comprobar que lasdimensiones sean correctas y adems, parapoder hacer un anlisis cualitativo de losresultados.

7. Finalmente, dar los resultados numricoscon las unidades adecuadas.

Ejemplo 2.6.Sobre una partcula de masa 3.0 kg, actancuatro fuerzas como se indica en la figurasiguiente. Hallar la fuerza que es necesario


aplicar a la partcula, con el fin de mante-nerla en equilibrio. Comparar el resultado,con el obtenido en el numeral a) del ejem-plo 2.4.

F4= 50N

F2=5N F 1= 10N

x

y

37o

30o

50o

20o

F3=100N

SolucinPara que la partcula permanezca en equi-librio, es necesario aplicar una fuerza F5,tal que cumpla la relacin

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 0,

o en componentes rectangulares

+! Fx = 0; 41.53N+ F5x = 0(1)

+ " Fy = 0; 114.6N+ F5y = 0(2)

Mediante las ecuaciones (1) y (2), se tieneque la fuerza adicional que garantiza elequilibrio, en componentes rectangulares,est dada por

F5 = (41.53i+ 114.6j)N

donde la magnitud y direccin estndadas, respectivamente, por

F5= 121.89 N 70.08

o

como se ilustra en la figura.

F4= 50N

F2=5N

F1= 10N

x

y

37o

30o

50o

20o

F3=100N

40.1o

F5=121.9N

Al comparar estos valores con losobtenidos en el numeral a) del ejemplo

2.4, se encuentra que la fuerza adicionalF5 tiene la misma magnitud pero senti-do opuesto a la fuerza neta o resultante.Este resultado es de esperarse, ya que lafuerza a aplicar debe anular los efectos dela fuerza resultante, pues de lo contrario,no es posible garantizar el equilibrio. Ala fuerza F5, en este caso, se le denominafuerza equilibrante.

Ejemplo 2.7.Un cuerpo de masa M, se suspende me-diante tres cuerdas como se indica en lafigura. a) Hacer los diagramas de cuer-po libre que permitan analizar el estadode la masa M. b) Plantear las ecuacionesque garantizan la posicin del cuerpo enla figura. c) Determinar en funcin de M,q y g, las tensiones en cada una de las cuer-das. d) Calcular la tensin en cada una delas cuerdas, sabiendo que M = 2.3 kg yq = 37o.

A

M

q

Solucina) Diagrama de cuerpo libre paraM y parael punto donde se unen las tres cuerdas

Mg

T1

y

T1'

A

T3

T2 xq

b) Ecuaciones de equilibrioPara M:

+ # Fiy = 0; Mg T1 = 0. (1)Para el punto A

+! Fix = 0; T2 T3cosq = 0, (2)


+ " Fiy = 0; T3senq T1 = 0. (3)Resolviendo el sistema de ecuaciones (1),(2) y (3), se encuentra que las tensiones enlas cuerdas estn dadas por

T1 = MgT2 = Mg cotqT3 = Mg cscq.

d) Remplazando los valores dados, en lasexpresiones anteriores, se llega a

T1 = 22.5NT2 = 29.9NT3 = 37.4N.

Al comparar estos valores, se tiene quela magnitud de las tensiones puede sermayor que la magnitud del peso, pues eneste caso T1 < T2 < T3.

Ejercicio 2.6.Desde la base de un plano inclinado y liso,que forma un ngulo de 30o con la hori-zontal, se lanza un bloque de masa 500 g,con una velocidad de 15.0m s1. Hallarla fuerza adicional que se le debe aplicaral bloque, si se desea que ascienda por elplano inclinado con velocidad constante.

2.4. Fuerza de friccin entre su-perficies en contacto

Es prctica comn, la situacin que se represen-ta en la figura 2.16, cuando se lanza un cuerpode masa m sobre una superficie horizontal ru-gosa, con velocidad inicial vo. Como resultado,se tiene que en un tiempo t posterior el cuerpose detiene. Cinemticamente, lo anterior indicaque mientras el cuerpo desliza experimenta unaaceleracin que se opone al movimiento, ya quela magnitud de la velocidad disminuye hasta elvalor cero.Ahora, de acuerdo con la segunda ley de

Newton, esto indica que la superficie ejerce so-bre el bloque una fuerza en sentido opuesto almovimiento; a esta fuerza se le conoce como

O

x

vO v=0

at

o=0 t >0

m m

Figura 2.16: Movimiento desacelerado debido a lafriccin.

fuerza de friccin o de rozamiento por deslizamien-to, tambin denominado rozamiento seco ya quese supone que las superficies en contacto no es-tn lubricadas. Igualmente, por la tercera ley deNewton, la superficie del cuerpo tambin ejerceuna fuerza de rozamiento sobre la superficie enla cual se mueve, y es igual en magnitud perocon sentido opuesto.La fuerza que acta sobre el bloque, se opone

al movimiento de traslacin y nunca lo ayu-da como se ilustra en la figura 2.17. En la vidadiaria, sin estas fuerzas no sera posible: cami-nar, sostener un lpiz en la mano, el transportecon ruedas, es decir, es una fuerza indispensa-ble aunque en muchos casos es necesario evi-tarla al mximo, por ejemplo en las mquinasindustriales, donde es necesario lubricar sus su-perficies para evitar el desgaste.

Ff

mg

N

Movimiento

Figura 2.17: Fuerza de friccin, opuesta almovimiento.

En lo que sigue, no se considera la fuerza re-sistiva o de friccin que sobre el cuerpo pre-senta el medio (aire, agua, etc.) mientras existemovimiento.Para obtener la ley de rozamiento seco, es de-

cir, sobre superficies no lubricadas, se consideraun bloque inicialmente en reposo sobre una su-

2.4. FUERZA DE FRICCIN ENTRE SUPERFICIES EN CONTACTO 17

F s =0

N

mg

F s

mg

N

F s

mg

N

F

F

Reposo

Reposo

Movimientoinminente

Figura 2.18: La fuerza de friccin esttica aumentahasta un mximo.

perficie horizontal. Como se indica en la figura2.18, si no se le aplica una fuerza externa quetenga una componente paralela a la horizontal,la superficie no presenta friccin. Ahora, se en-cuentra que el bloque no se mueve respecto ala superficie, cuando se le aplica una fuerza pe-quea, o sea, que esta fuerza es contrarrestadapor la fuerza de friccin opuesta a la aplicaday que es ejercida por el piso. Al ir aumentandolentamente la fuerza aplicada, se llega a un cier-to valor lmite para el cual el movimiento delbloque es inminente, es decir, a partir de estevalor de la fuerza externa F, el cuerpo pasa delestado de reposo al estado de movimiento.Adems, si se aumenta an ms la fuerza

externa, como se indica en la figura 2.19, yael cuerpo se mueve respecto a la superficie,la fuerza de friccin se reduce un poco y elmovimiento es acelerado. Si luego de estar elcuerpo en movimiento, se reduce la fuerza ex-terna, es posible obtener movimiento rectilneouniforme, esto es, la fuerza aplicada es compen-sada por la fuerza de rozamiento y la fuerza ne-ta es nula (FK = F).En la figura 2.20, se muestra la forma co-

F k

mg

N

F

Movimientoacelerado

m

( )F >F k

F k

mg

N

F

Movimientouniforme

( )F =F k

m

Figura 2.19: La fuerza de friccin dinmica es prc-ticamente constante.

Reposo Movimiento.

F f

F

Fs mx

45o

Figura 2.20: Variacin de la fuerza de friccin conla fuerza aplicada.

mo vara la fuerza de friccin Ff con la fuerzaexterna aplicada F, desde que no se le apli-ca fuerza externa hasta que el cuerpo adquieremovimiento. Se observa que mientras la fuerzade friccin es prcticamente constante, una vezque el cuerpo adquiere movimiento, vara des-de cero hasta un valor mximo, mientras elcuerpo permanece en reposo; en este rango esvlida la condicin Fs = F q = 45o.La fuerza de friccin que obra entre superfi-

cies que se encuentran en reposo una respecto ala otra, se llama fuerza de rozamiento esttico, Fs,encontrndose experimentalmente que

Fs msN. (2.12)


La fuerza de friccin estticamxima, se obtienecuando

Fs,mx = msN, (2.13)

y corresponde a la mnima fuerza necesariapara que se inicie el movimiento de una super-ficie respecto a la otra.En las ecuaciones (2.12) y (2.13) ms es el coefi-

ciente de rozamiento esttico y N es la magnitudde la normal.Por otro lado, la fuerza de rozamiento que

obra entre superficies en movimiento relativo,se llama fuerza de rozamiento cintico o dinmico,Fk, y experimentalmente se encuentra que

Fk = mkN, (2.14)

con mK coeficiente de rozamiento cintico o dinmi-co.El experimento tambin muestra que la

fuerza de friccin es independiente tanto delrea de contacto como de la velocidad.De acuerdo con las expresiones (2.12) y (2.14),

los valores de los coeficientes de friccin de-penden de la naturaleza de las dos superficiesen contacto, es decir, son una propiedad derelacin entre superficies. Las ecuaciones (2.13)y (2.14), indican que la relacin entre los coe-ficientes de friccin esttico y cintico es de laforma

ms > mk,

ya que en ambos casos N es la magnitud de lanormal.En la tabla 2.1, se muestran los coeficientes

de friccin esttico y dinmico para algunassuperficies. Se observa que estos coeficientesdependen del material de las superficies que seencuentren en contacto, por ello se dice que sonuna propiedad de relacin entre superficies.Igualmente, se aprecia que el coeficiente defriccin esttico es mayor que el coeficiente defriccin dinmico, como se encontr anterior-mente.

Tabla 2.1 Coeficientes de friccin

Superficies ms mkAcero - acero 0.74 0.57

Aluminio - acero 0.61 0.47Cobre - acero 0.53 0.36

Madera - madera 0.25 0.50 0.20Vidrio - vidrio 0.94 0.40

Metal - metal (lubricado) 0.15 0.06Hielo - hielo 0.10 0.03

Caucho - concreto seco 1.20 0.85Caucho - concreto hmedo 0.80 0.60

Es el rozamiento un mal necesario? En la vi-da cotidiana la fuerza de friccin se manifiestade formas diversas; si no se presentara, muchosfenmenos comunes ocurriran de manera dife-rente.En un da lluvioso, cuando se camina so-

bre superficies poco speras, por ejemplo so-bre piso vitrificado, muchas veces cuesta trabajoevitar las cadas; hasta movimientos cmicos, sedeben hacer para evitarlas. Esto permite recono-cer que, comnmente, las superficies por las quese camina poseen una propiedad importante, lafriccin, gracias a la cual se puede conservar elequilibrio sin mucho esfuerzo. Situaciones simi-lares a las anteriores se presentan, cuando seviaja en bicicleta sobre asfalto mojado cuan-do un auto frena sobre piso pantanoso. De estaforma se hace necesario que la superficie pre-sente friccin para evitar los accidentes y con-gestiones ya que el rozamiento permite explicaren parte por qu en das lluviosos el trfico esbastante complicado en las grandes ciudades.Aunque en los casos anteriores es indispen-

sable la fuerza de friccin, en otras situacionesno lo es, como en las mquinas industrialesdonde los ingenieros procuran evitarla al m-ximo, para prevenir un desgaste rpido de laspiezas.O sea que aunque en algunos casos, la friccin

no es deseable, en la mayora de situaciones esindispensable, ya que da la posibilidad de cami-nar, de estar sentados, de trabajar y estudiar sinel temor que los libros o que el escritorio resbale,o que el lpiz se escurra entre los dedos.Si el rozamiento no existiera, los cuerpos con

2.4. FUERZA DE FRICCIN ENTRE SUPERFICIES EN CONTACTO 19

el tamao de una gran piedra, o un pequeograno de arena, es decir, independiente de susdimensiones, no podran apoyarse unos sobreotros, todos empezaran a resbalar; de igualmanera la tierra sera una esfera sin rugosi-dades, igual que una gota de agua. Similarmen-te, sin friccin, los clavos y tornillos se saldrande las paredes, no sera posible sujetar cuerposcon las manos.En sntesis la friccin es un fenmeno nece-

sario en lamayora de las actividades diarias delhombre, aunque en algunos casos es unmal quese debe evitar al mximo.

Ejemplo 2.8.Un bloque de masa m, se encuentra enreposo sobre un plano inclinado que for-ma un ngulo q con la horizontal, comose muestra en la figura. a) Si el coeficientede friccin entre las superficies en contac-to es m, determine el ngulo q a partir delcual el cuerpo inicia su movimiento. b) Sim = 0.1, 0.3, 0.5 y 0.6, hallar los valorescorrespondientes de q.

q

m

SolucinDiagrama de cuerpo libre para el bloque,donde Fs es la fuerza de friccin estticapuesto que el bloque est en reposo.

q

mg

NFs

Ecuaciones que garantizan el estadode reposo para el bloque

+% Fx = 0; Fs mg senq = 0 (1)

- + Fy = 0; N mg cosq = 0, (2)Fs msN. (3)

a) De la ecuacin (1) se tiene que la fuerzade friccin est dada por

Fs = mg senq, (4)

o sea que el ngulo q, para el cual elmovimiento del bloque es inminente, seobtiene si esta fuerza de friccin se hacemxima. Ahora de la ecuacin (3), estacondicin se satisface cuando

Fs,mx = msNmn. (5)

De este modo, mediante las ecuaciones (2),(4) y (5), se llega a la expresin

qmx = tan1ms. (6)

b) Mediante la ecuacin (6) se obtienen losvalores de qmx, mostrados en la siguientetabla para los diferentes valores de m.

ms 0.1 0.3 0.5 0.6qmx(

o) 5.7 16.7 26.6 31

Al comparar los valores de ms y qmx, sepuede concluir que a mayor valor de msmayor es el ngulo a partir del cual elmovimiento del bloque es inminente.

Ejercicio 2.7.Un bloque, de masa m, se sostiene sobreuna pared vertical mediante una fuerzahorizontal F , como se indica en la figura.El coeficiente de friccin entre las superfi-cies en contacto es ms. a) Haga el diagra-ma de cuerpo libre para bloque. b) Planteelas ecuaciones que garantizan el estado delbloque. c) De los trminos que aparecen enla ecuacin (2.12), cules son constantesen este caso? d) Determine la magnitudde la fuerza F, cuando el movimiento delbloque es inminente. Cmo es la magni-tud de la fuerza obtenida?

Ejemplo 2.9.Desde la base de un plano inclinado, queforma un ngulo de 30o con la horizontal,se lanza un bloque de masa 500 g, con unavelocidad de 15.0m s1. El coeficiente de


F m

friccin entre las superficies en contactoes 0.2. a) Dibuje todas las fuerzas queactan sobre el bloque. b) Determine laaceleracin del bloque. c) Halle la fuerzaque la superficie ejerce sobre el bloque.d) Plantee las ecuaciones cinemticasde posicin y velocidad, que rigen elmovimiento del bloque. e) Encuentreel tiempo durante el cual asciende elbloque por el plano inclinado. f) Obtenga,respecto a la base del plano inclinado, laaltura mxima alcanzada por el bloque.

SolucinDe acuerdo con el enunciado, las canti-dades dadas son q = 30o, m = 500 g 0.5 kg,, m = 0.2, vo = 15.0m s1 y la can-tidad conocida g = 9.8m s2.a) Diagrama de cuerpo libre para elbloque, donde Fk es la fuerza de friccindinmica ya que el bloque se encuentra enmovimiento.

q

mg

N

Fk

Movim

iento

b) Ecuaciones de movimiento para elbloque.

+% Fx = ma; mg senq Fk = ma.(1)

- + Fy = 0; N mg cosq = 0. (2)Donde

Fk = mN. (3)

Mediante las ecuaciones (1), (2) y (3), seencuentra que la aceleracin est dada por

a = g (senq + m cosq),

donde al reemplazar los valores corres-pondientes se obtiene

a = 6.6m s2,que es un valor mayor al obtenido en elejemplo 2.5 y menor que la aceleracin dela gravedad como se esperaba.c) Por la ecuacin (2), se tiene que la fuerzanormal es igual a la obtenida en el ejemplo2.5, esto es

N = mg cosq.

d) De acuerdo con el sistema de referen-cia elegido, el bloque asciende paralela-mente al eje x con una aceleracin de6.6m s2. As las ecuaciones cinemti-cas de posicin y velocidad son

x = 15t 3.3t2, y v = 15 6.6t.e) Como el bloque asciende conmovimiento rectilneo uniformementeretardado, llega un momento en el cualsu velocidad se hace cero. Mediante laecuacin cinemtica de velocidad, endicho instante t = 2.27 s, que es un tiempomenor que el encontrado en el ejemplo2.5.f) Reemplazando t = 2.27 s en la ecuacincinemtica de posicin, se encuentra queel mximo desplazamiento sobre el planoinclinado es xmx = 17.05m. As, de lafigura anterior se encuentra que la al-tura mxima alcanzada por el bloque es8.53m,correspondiendo a un valor menorque el obtenido en el ejemplo 2.5.

Ejercicio 2.8.Desde la base de un plano inclinado, queforma un ngulo de 30o con la horizon-tal, se lanza un bloque de masa 0.5 kg,con una velocidad de 15.0m s1. El coe-ficiente de friccin entre las superficiesen contacto es 0.15. a) Dibuje todas lasfuerzas que actan sobre el bloque. b)Determine la aceleracin del bloque. c)Halle la fuerza que la superficie ejerce so-bre el bloque. d) Plantee las ecuacionescinemticas de posicin y velocidad, querigen el movimiento del bloque. e) Cun-to tiempo asciende el bloque por el plano

2.5. FUERZA DE FRICCIN EN FLUIDOS 21

inclinado? f) Hasta qu altura, respectoa la base del plano inclinado, asciende elbloque? Compare los resultados con losobtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.9.

2.5. Fuerza de friccin en fluidos

Los fluidos presentan dos tipos de fuerza comoson el empuje y la fuerza resistiva o de friccinque actan sobre los cuerpos que se muevenen su interior. En esta seccin slo se analiza elefecto de la fuerza resistiva que presentan losfluidos a los cuerpos en movimiento. Cuandoun cuerpo se mueve en un fluido (lquido o gas)y las velocidades no son muy grandes, aproxi-madamente se puede obtener que la fuerza defriccin es proporcional a la velocidad pero consentido opuesto, es decir

Ff = Khv, (2.15)

donde K es el coeficiente de friccin que dependede la forma del cuerpo. En el caso de un cuerpoesfrico de radio R, este coeficiente de friccintiene la forma

K = 6pR,

expresin conocida como ley de Stokes.

h es el coeficiente de viscosidad que depende dela friccin entre las diferentes capas del fluido,que se mueven a velocidades diferentes. A lafuerza de friccin entre las capas del fluido se lellama viscosidad, propiedad que con un aumen-to de temperatura disminuye en los lquidos yaumenta en los gases.

En la tabla 2.2 se dan los valores de viscosi-dad para algunos fluidos. Se observa que el va-lor de la viscosidad depende de la temperaturaa la cual se encuentre el fluido.

Tabla 2.2. Coeficientes de viscosidad.

Lquido h(cP)

Agua (0oC) 1.792Agua (20oC) 1.005Agua (40oC) 0.656

Aceite de castor (20oC) 9.860Glicerina (20oC) 833.0Mercurio (20oC) 1.550

Gas h(mP)

Aire (0oC) 171Aire (20oC) 181Aire (40oC) 190

Hidrgeno (20oC) 93.0Amonaco (20oC) 97.0

Bixido de carbono (20oC) 146

Dimensiones y unidades de hDe acuerdo con la ecuacin (2.15) el coeficientede viscosidad tiene dimensiones ML1T1. As,las unidades en el sistema SI son kg m1 s1,y en el sistema gaussiano g cm1 s1. Se acos-tumbra definir 1 Poise(P) 1 g cm1 s1, osea que 1kg m1 s1 10 P. Igualmente seemplea el centipoise ( 1 cP 102 P) y el mi-cropoise ( 1 mP 106 P).El caso analizado anteriormente correspon-

de a un ejemplo de fuerza variable, ya que de-pende de la velocidad del cuerpo.

Ejemplo 2.10.Un cuerpo de masa m se mueve verti-calmente a travs de un fluido viscoso,sometido a la accin de la fuerza gravi-tacional. a) Haga el diagrama de cuerpolibre para el cuerpo, b) Plantee la ecuacinde movimiento para el cuerpo, c) Deter-mine la velocidad mxima alcanzada porel cuerpo.

Solucin(a) Diagrama de cuerpo libre para el cuer-po(b) Ecuacin de movimiento

En este caso, de acuerdo con la figu-ra (2.21) la segunda ley de Newton oecuacin de movimiento toma la forma

+ # Fy = mamg Khv = ma.


mg

Ff

Movimiento

Figura 2.21: Cuerpo que cae en un fluido viscoso.

(c) Cuando la altura respecto a la tierra noes muy grande, el peso es prcticamenteconstante y la aceleracin produce un au-mento continuo en la velocidad, as, el va-lor de la cantidad Khv aumenta progre-sivamente, por lo que el valor de mg Khv disminuye continuamente hasta quese puede hacer cero, lo que lleva a que laaceleracin sea cero. De acuerdo con la leyde inercia, cuando esto ocurre, la partcu-la contina movindose en la direccin demg con una velocidad constante, llamadavelocidad lmite o terminal, dada por

mg KhvL = 0, vL = mKh g. (2.16)

Si se trata de un cuerpo esfrico de radio Ry densidad r, la ecuacin (2.16), en formavectorial, adquiere la forma

vL =2rR2

9hg. (2.17)

De la ecuacin (2.17) se puede concluirque la velocidad lmite depende del mate-rial que est hecho el cuerpo (r), dependede la forma y tamao del cuerpo (R2)adems de depender del fluido en el cualel cuerpo se mueve (h), en otras palabras,la velocidad depende de las propiedadesfsicas del sistema.

2.6. Fuerza elstica de un resorte

Si como se muestra en la figura 2.22, se estiraun resorte a partir del punto O, de modo que suextremo se mueva hasta una posicin x, la expe-riencia muestra que el resorte ejerce una fuerza

sobre el bloque al que est sujeto y cuyo valor,con buena aproximacin est dado por

Fe = kx,donde k es una constante llamada constante els-tica del resorte, cuyo valor depende de la formadel resorte, de la longitud del resorte y del ma-terial que est hecho el resorte. Esta es la ley defuerza para resortes reales y se conoce como laley de Hooke, que se satisface si el resorte no seestira ms all de cierto lmite. El sentido de lafuerza siempre se opone al sentido en que se de-form el resorte, respecto al origen. Para el sis-tema de referencia de la figura 2.22, cuando seestira el resorte, x > 0 y F es negativo; cuandose comprime x < 0 y F es positiva. Esto llevaa que la fuerza ejercida por el resorte sea unafuerza restauradora en el sentido de que siem-pre est dirigida hacia el origen, es decir, tiendesiempre a llevar el cuerpo a la posicin de noestiramiento. En la ley de Hooke se puede con-siderar que k es la magnitud de la fuerza porunidad de deformacin; as, los resortes muyduros tienen valores grandes de k. Este es otrocaso de fuerza variable, ya que depende de ladeformacin del resorte.

m

Ox

x

O

m

Fe

x

Figura 2.22: Fuerza elstica de un resorte.

Si el cuerpo se suelta, desde la posicin x dela figura 2.22, por la segunda ley de Newton

+! Fx = maFe = ma

con Fe = kx se tiene

ma = kx,as que

a = km x,

2.6. FUERZA ELSTICA DE UN RESORTE 23

de estemodo, la aceleracin es variable y opues-ta a la deformacin del resorte. Este resultado escaracterstico de un movimiento peridico muycomn en la naturaleza, tal como el movimientode los tomos alrededor de la posicin de equi-librio en el caso de un slido cristalino, denomi-nado Movimiento Armnico Simple (MAS). Estetema ser tratado con todo detalle en la primeraunidad del curso de Fsica II.

Ejemplo 2.11.Como se indica en la figura, mediante unbloque de masa m se comprime un resortede constante k y luego se suelta. Supongaque el bloque est adherido al resorte.a)Haga el diagrama de cuerpo libre parael bloque. b) Plantee las ecuaciones querigen el movimiento del bloque. c) De-termine la aceleracin del bloque y hallelas posiciones en las cuales sta adquierela mxima y mnima magnitud. d) Deter-mine la velocidad de la partcula, respec-to a la posicin x, y halle las posicionesdonde su magnitud adquiere los valoresmximo y mnimo. e) Determine, en fun-cin del tiempo, la posicin de la partculay analice dicha solucin

m

x

O

Fe

-xo

xo

Solucina) Diagrama de cuerpo libre para el bloque

Fe

mg

N Movimiento

x

-xo O

b) Ecuaciones de movimiento para elbloque

+! Fix = ma; kx = ma, (1)+ " Fiy = 0, N mg = 0. (2)El signo menos en la ecuacin (1) se

justifica, teniendo en cuenta que mientras

el bloque se encuentra a la izquierda de O,x es negativo y la fuerza elstica es positi-va.c) De la ecuacin (1) se encuentra que laaceleracin est dada por

a = kmx, (3)

donde el sentido de la deformacin esopuesto a la aceleracin del bloque.

De la ecuacin (3) se concluye- La aceleracin es mxima cuando x

es mxima, es decir, cuando x = xoya que como no hay friccin, el mximodesplazamiento corresponde a la defor-macin inicial que sufre el resorte, y se ob-tiene en los extremos de la trayectoria.

- La aceleracin es mnima en magni-tud, cuando la deformacin del resorte esnula, es decir, en x = 0, que corresponde ala posicin donde la fuerza elstica es cero,o sea cuando el bloque pasa la posicin deequilibrio.d) Mediante la ecuacin (3) y utilizando ladefinicin de aceleracin, por integracinse encuentra que la velocidad del bloquees

v = r

km(x2 + x2o). (4)

La ecuacin (4) permite concluir- La velocidad se hace mxima cuando

x2o x2 esmxima, o sea cuando x = 0 quecorresponde a la posicin de equilibrio.

- La velocidad se hace cero cuandox2o x2 = 0, as x = xo que coincide conlos extremos de la trayectoria.e) Con ayuda de la ecuacin (4) y em-pleando la definicin de velocidad, por in-tegracin se encuentra que la posicin dela partcula en funcin del tiempo, est da-da por

x = xo cos(wt), (5)

donde se define w pk/m como la fre-cuencia angular de oscilacin.

La ecuacin (5) indica que la posicinde la partcula depende peridicamentedel tiempo, esto es, el bloque tiene unmovimiento que se repite continuamente,entre las posiciones extremas x = xo,siempre y cuando se puedan despreciarlos efectos debidos a la friccin.

En sntesis, en los puntos de la trayec-toria donde la aceleracin se hacemxima,


la velocidad adquiere su mnimo valor ydonde la aceleracin se hace mnima la ve-locidad se hace mxima.

2.7. Dinmica del movimientocurvilneo

En esta unidad y hasta este momento, se hanconsiderado movimientos rectilneos en los quela fuerza neta F y la velocidad v tienen igual di-reccin, como se indica en la figura 2.23.

Ox

Ox

m

v a

Fm

av

F

Figura 2.23: F y v en el movimiento rectilneo.

Si F y v forman un ngulo diferente a 0o y180o, es decir, v y a forman un ngulo diferentea 0o y 180o, la partcula describe una trayecto-ria curvilnea, donde la aceleracin aN se debeal cambio en la direccin de la velocidad y aTal cambio en la magnitud de la velocidad, comose analiz en la unidad de Cinemtica de unapartcula.Para una masa m, constante, la segunda ley

de Newton, en este caso, tiene la forma

F = ma. (2.18)

De acuerdo con la ecuacin (2.18), la fuerza yla aceleracin son paralelas, por ello, la fuerzatambin debe tener componentes tangencial ynormal igual que la aceleracin, como se indicaen la figura 2.24.Sabiendo que la aceleracin se puede expre-

sar en la forma

a =dvdt

uT +v2

ruN,

F

F uN N

F uT T

m

Figura 2.24: Componentes tangencial y normal deuna fuerza.

la ecuacin (2.18) se transforma en

F = m (aTuT + aNuN) . (2.19)

De este modo, se tiene que

FT = maT = mdvdt

,

corresponde a la componente de la fuerza en ladireccin tangente a la trayectoria y es la res-ponsable (causante) del cambio en la magnitud dela velocidad, por ello, a esta componente se le lla-ma fuerza tangencial.Igualmente,

FN =mv2

r,

corresponde a la componente de la fuerzaen la direccin normal, apuntando siemprehacia el centro de curvatura de la trayectoriay es la responsable (causante) del cambio en ladireccin de la velocidad. A esta componente se ledenomina fuerza normal o centrpeta.

Casos particulares de la ecuacin (2.19)

1. Si sobre una partcula, FN = 0 y FT 6= 0,no hay cambio en la direccin de la veloci-dad y el movimiento es rectilneo acelera-do, ya que FT genera un cambio en la mag-nitud de la velocidad. Si en este caso, FTes constante, se tiene movimiento rectilneouniformemente acelerado (MRUA)

2.7. DINMICA DEL MOVIMIENTO CURVILNEO 25

2. Si sobre una partcula, FN = 0 y FT = 0,no cambia la direccin ni la magnitud dela velocidad y el cuerpo tiene movimientorectilneo uniforme (MRU), o se encuentraen reposo.

3. Si sobre una partcula, FN 6= 0 y FT = 0,no hay cambio en la magnitud de la veloci-dad, slo cambia su direccin como en elmovimiento circular uniforme, que se ana-liza en lo que sigue.

2.7.1. Dinmica del movimiento circular

Cuando una partcula de masa m, describe unatrayectoria circular donde r = R y v = wR, lascomponentes tangencial y normal de la fuerzaadquieren la forma

FT = (maR)uT y FN = (mw2R)uN,

que no son fuerzas aplicadas sino que corres-ponden, respectivamente, a las componentestangencial y normal de la fuerza resultante.En el caso de movimiento circular uniforme,

slo se tiene cambio en la direccin de la veloci-dad, es decir, F = FNuN.

x

y

z

O

F v

r

m

w

Figura 2.25: Vectores v, w y F en un MCU.

En forma vectorial, para movimiento circu-lar uniforme, y de acuerdo con la figura 2.25 setiene

a = w v,o sea, que la segunda ley de Newton adquierela forma

F = ma = mw v = w (mv) = w p.

Ejemplo 2.12.El pndulo simple consiste en una partcu-la de masa m, suspendida de una cuerdade longitud S, como se ilustra en la figura.Suponga que la partcula se suelta desdeuna posicin tal que la cuerda forma unngulo qo con la vertical, como se muestraen la figura siguiente. a) Dibuje las fuerzasque actan sobre la partcula. b) Planteelas ecuaciones de movimiento. c) Deter-mine para la partcula, en funcin de q, laaceleracin angular, la velocidad angulary la tensin en la cuerda. d) Determine co-mo es la magnitud de las cantidades ante-riores en los extremos de la trayectoria yen su centro.

q

o S

m

O

Solucina) Diagrama de cuerpo libre para lapartcula Sobre la partcula, en la posicin

mg

q

TS

Movimiento

general q, las fuerzas que actan son el pe-so y la tensin que ejerce la cuerda sobreella.b) La ecuacin de movimiento en la direc-cin radial o centrpeta, tomando el senti-do de la tensin como positivo, es

Tmg cosq = mw2S, (1)y en la direccin tangencial, tomando co-mo positivo el sentido del movimientosupuesto en la figura, es

mg senq = maS. (2)


c) De la ecuacin (2), la aceleracin angu-lar de la partcula est dada por

a =gSsenq. (3)

teniendo en cuenta la definicin de acele-racin angular, la ecuacin (3) se transfor-ma en

dwdt

=gSsenq, (4)

donde se tienen las variables w, t y q. Conel fin de resolver la ecuacin (4) se hacenecesario eliminar la variable tiempo, yaque interesa obtener w(q). Multiplicandoa ambos lados de la ecuacin (4) por dq, sellega a la expresin

wdw = gSsenq dq, (5)

el signo menos en la ecuacin aparece yaque en la situacin de la figura, a medidaque transcurre el tiempo el ngulo q dis-minuye.

Integrando la ecuacin (5) entre loslmites w = 0 cuando q = qo y w en laposicin angular q, se obtiene

w =

r2gS(cos q cosqo), (6)

mediante las ecuaciones (1) y (6), se llega a

T = mg [3 cosq 2 cosqo] . (7)

d) De las ecuaciones (3), (6) y (7) se obtienepara los extremos A y B, donde q = qo

a =gSsenqo,

w = 0,

T = mg cosqo.

q

o S

B

q

o

A

C

Ahora, en el centro de la trayectoria Ccon q = 0

a = 0

w =

r2gS

(1 cosqo),

T = mg(3 2 cosqo).

De estos resultados, entre las posiciones By C se tiene que al soltar la partcula desdeel punto B, la aceleracin angular dismi-nuye desde un valor mximo hasta cero,mientras que la velocidad angular aumen-ta desde cero hasta un valor mximo y latensin aumenta entre estos dos puntos.Entre las posiciones C y A se presentancambios opuestos en estas cantidades. Enconclusin, donde la aceleracin es mxi-ma (extremos de la trayectoria), la veloci-dad angular es mnima (cero) y vicever-sa. Igualmente, se observa que la tensinadquiere su mximo valor en el centro dela trayectoria y el mnimo en los extremos.

Ejercicio 2.9.a) Analizar los resultados del problemaanterior suponiendo que qo = p/2 b) Porqu razn en el punto C, la tensin en lacuerda no es igual al peso de la partcula?

2.7.2. Movimiento curvilneo en compo-nentes rectangulares

Cuando una partcula de masa m se mueve enel plano xy, la segunda ley de Newton adquierela forma

Fxi+ Fyj = m(axi+ ayj),

donde

ax =dvxdt

, ay =dvydt

,

corresponden a las componentes escalares delvector aceleracin. Las respectivas compo-nentes de la fuerza se muestran en la figura.2.26.

2.8. VECTOR MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTCULA 27

x

y

O i

j

F

Fi

Fj

Figura 2.26: Componentes rectangulares del vectorfuerza.

2.8. Vector momento angular deuna partcula

Para una partcula con masa m y momento li-neal p, el momento angular L respecto al puntoO de la figura 2.27, se define en la forma

L r p = mr v (2.20)

O

L

r pm

Figura 2.27: Momento angular de una partcularespecto al punto O.

De acuerdo con la definicin de momento an-gular dada por la ecuacin (2.20), se tiene queL es un vector perpendicular al plano formadopor el vector posicin r y el vector velocidad v.Teniendo en cuenta la definicin de producto

vectorial o producto cruz, el momento angularde la partcula se puede obtener mediante el de-terminante

L = r p =i j kx y zpx py pz

(2.21)Luego de resolver el determinante dado por laecuacin (2.21), se encuentra que las compo-nentes rectangulares del momento angular de la

partcula, estn dadas por

Lx = ypz zpy,Ly = zpx xpz,Lz = xpy ypx.

Si la partcula se mueve en plano xy, se tienez = 0 pz = 0, por lo que las componentes delmomento angular Lx = Ly = 0 y slo hay com-ponente de momento angular en la direccin z,es decir

L = Lzk= (xpyypx)k,

o en forma escalar

L = Lz= xpyypx.

Dimensiones y unidades de momento angularDe acuerdo con la definicin dada por laecuacin (2.20), el momento angular son tienedimensiones de ML2T1. De este modo, launidad en el sistema SI est dada por kg m2 s1 y en el sistema gaussiano por g cm2 s1.En general, el vector momento angular es una

cantidad fsica que cambia en magnitud y di-reccin mientras la partcula se encuentra enmovimiento curvilneo. En el caso particular deunmovimiento circular, se pueden presentar lassiguientes situaciones, en lo que respecta a la di-reccin:1. Que el punto de referencia O, se encuentre

sobre el eje z pero fuera del plano en el cual semueve la partcula, como se ilustra en la figura2.28.En este caso, el vector momento angular L

vara en direccin ya que el plano formado porel vector posicin r y el vector velocidad v, cam-bia su orientacin mientras la partcula describela trayectoria circular.2. Si el punto de referencia O como se mues-

tra en la figura 2.29, se encuentra sobre el ejez y en el plano de movimiento de la partcu-la, la direccin del vector momento angular Les invariante, ya que en este caso es un vectorperpendicular al plano de movimiento, pues el


z

O

L

r

m

v

w

Figura 2.28: Direccin variable del momento angu-lar L.

vector posicin r y el vector velocidad v estnen el mismo plano.En este caso de movimiento circular con O en

el centro del crculo, el vector posicin r es per-pendicular al vector velocidad v y sus magni-tudes estn relacionadas mediante la expresinv = wr, donde r es el radio de la trayectoria cir-cular. As, la magnitud del momento angular es

L = mrv = mr2w.

z

O

L

w

m

rv

Figura 2.29: Direccin invariante del momento an-gular L.

Como el momento angular L y la velocidadangularw, son vectores paralelos, en forma vec-torial se tiene que

L = (mr2)w.

En el caso ms general de un movimientocurvilneo cualquiera y recordando que el vec-tor velocidad, en coordenadas polares, est da-do por v = vquq + vrur, se tiene que el momento

angular tambin se puede expresar en la forma

L = mr (vquq + vrur) = mvqr uq ,

donde el segundo producto, a la derecha de laprimera igualdad, se hace cero ya que el vectorposicin r es paralelo al vector unitario radialur. Por consiguiente, su magnitud en este casoes

L = mrvq = mr2dqdt

.

2.8.1. Variacin del vector momento an-gular con el tiempo

Ahora se considera la variacin del vector mo-mento angular con el tiempo. Derivando laecuacin (2.20) con respecto al tiempo se tiene

dLdt

= r dpdt

+drdt p

= r F, (2.22)

donde el segundo producto a la derecha de laprimera igualdad es cero, ya que el vector ve-locidad v es paralelo al vector momento linealp, mientras que el segundo producto correspon-de a la forma matemtica de la segunda ley deNewton. De este modo, la variacin del mo-mento angular con el tiempo est relacionadacon la fuerza neta que acta sobre la partcula,mediante la ecuacin (2.22).La ecuacin (2.22) es fundamental cuando se

analiza el movimiento de rotacin, con la condi-cin que L y r F sean evaluados respecto almismo punto. Esta expresin desempea en elmovimiento rotacin, el mismo papel que lasegunda ley de Newton en el movimiento detraslacin.

2.8.2. Conservacin del momento angu-lar y fuerzas centrales

Si en la ecuacin (2.22), el producto vectorial en-tre el vector posicin r y la fuerza resultante F escero, se tiene que el vector momento angular esuna constante del movimiento. Por lo tanto, setiene que el momento angular de una partcu-la es constante si el producto vectorial r F es

2.8. VECTOR MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTCULA 29

cero. Esta situacin se presenta en los dos casossiguientes.1. Si la fuerza neta sobre la partcula es cero,

se tiene una partcula libre, es decir, r F = 0 yla condicin L = Constante se satisface.

O

m

q

Trayector

ia

v

r

d

Figura 2.30: Momento angular en el movimientorectilneo.

En la figura 2.30, se considera una partculade masa m con movimiento rectilneo uniformey con origen de coordenadas O. Por lo tanto

L = m r v , en magnitud

L = mrv senq.

Como muestra la figura 2.30, d = r senq, por loque

L = mvd

con m, v y d son constantes, el vector momentoangular es constante enmagnitud y direccin yaque es un vector que entra perpendicularmenteal plano de la hoja mientras la partcula se en-cuentre en movimiento sobre la trayectoria rec-tilnea.2. Igualmente, el producto vectorial entre el

vector posicin r y la fuerza F se hace cero, sison vectores paralelos con la misma lnea de ac-cin, es decir, si la lnea de accin de la fuerzapasa por un punto fijo, como se ilustra en lafigura 2.31 donde una partcula de masa m semueve sobre una trayectoria curvilnea, siendoO un punto de referencia fijo. Por consiguiente,el momento angular de esta partcula se conser-va.Cuando una fuerza acta sobre una partcula

en movimiento y cumple la condicin de pasar

m

OF

r

v

Trayectoria

Figura 2.31: Fuerza central.

su lnea de accin por un punto fijo, llamadocentro de fuerzas, se dice que la fuerza es unafuerza central.En conclusin, cuando un cuerpo se mueve

bajo la accin de una fuerza central, su momen-to angular no vara, es decir, el momento angu-lar del cuerpo respecto al centro de fuerza esuna constante de movimiento.En la naturaleza se presentan situaciones en

las que se cumple la condicin anterior, comoocurre en los siguientes casos:1. En el movimiento de la tierra alrededor del

sol, el momento angular de la tierra respecto alsol es una constante del movimiento. En este ca-so, el punto fijo se encuentra en el centro del solcomo se muestra en la figura 2.32, pues se ob-serva que la lnea de accin de la fuerza gravi-tacional que el sol ejerce sobre la tierra pasa porel centro del sol independientemente de la posi-cin de la tierra sobre la trayectoria elptica. Deeste modo, la fuerza que el sol ejerce sobre latierra es una fuerza central.

Sol F

Figura 2.32: Movimiento de la tierra alrededor delSol.

2. En el modelo atmico de Bohr elmovimiento del electrn, de masa m, en eltomo de hidrgeno, es tal que su momentoangular es una constante del movimiento,


ya que la fuerza elctrica que el ncleo decarga positiva ejerce sobre el electrn de carganegativa, siempre pasa por el ncleo indepen-dientemente de la posicin del electrn en latrayectoria circular. Esta situacin se ilustra enla figura 2.33.

+

F

v

me

Figura 2.33: Movimiento electrnico en el tomo deBohr.

En sntesis, la fuerza que el ncleo ejerce so-bre el electrn en el tomo de hidrgeno, es unafuerza central.

Ejemplo 2.13.Considere un pndulo simple de masam, donde la longitud de la cuerda es S.Suponga que la partcula se suelta desdeuna posicin tal que la cuerda forma unngulo q con la vertical, como se mues-tra en la figura siguiente. a) Determineel momento angular de la partcula res-pecto al punto de suspensin O. b) Hallela variacin del momento angular de lapartcula, respecto al tiempo. c) Determineel producto vectorial r F, donde r esel vector posicin de la partcula respec-to a O y F es la fuerza neta que acta so-bre la partcula. d) Compare los resultadosobtenidos en los numerales b) y c). Qu sepuede concluir?

q

o S

m

O

Solucina) Por la ecuacin (2.20) y teniendo encuenta que el vector posicin r = Sur esperpendicular a la velocidad se tiene queel momento angular es un vector de mag-nitud

L = mSv, (1)

que incide perpendicularmente al planode la hoja, para la situacin mostrada enla siguiente figura.

mg

q

TS

Movimiento

Tomando la ecuacin

w =

r2gS(cosq cosqo),

obtenida en el ejemplo 2.11, con v = wS,se tiene para la velocidad de la partcula

v =q2gS(cosq cosqo). (2)

Reemplazando la ecuacin (2) en laecuacin (1), la magnitud del momentoangular de la partcula respecto al puntode suspensin O, es

L = mSq2gS(cosq cosqo). (3)

Si se toma el eje z entrando perpendicular-mente al plano de la hoja, en forma vecto-rial la ecuacin (3) se transforma en

L = mSq2gS(cosq cosqo)k. (4)

b) Derivando la ecuacin (4) respecto altiempo donde la nica variable es el ngu-lo q, y empleando la definicin de veloci-dad angular se llega a

dLdt

= (mgS senq)k, (5)

o sea, es un vector que sale perpendicular-mente del plano de la hoja.

2.9. *SISTEMAS DE MASA VARIABLE 31

c) Como r = Sur y F = mg+ TuN, aldescomponer el peso en las componentesradial y transversal con uq = uT y uN =ur, se tiene para el producto vectorial

r F = (mgS senq)k. (6)

Al comparar las ecuaciones (5) y (6), setiene que se cumple la relacin

dLdt

= r F,

resultado coincidente con la ecuacin(2.22) y que tiene validez general.

PreguntaDe acuerdo con el resultado obtenido en el nu-meral d) del ejemplo 2.13, se conserva el mo-mento angular de la partcula? Justifique su res-puesta.

2.9. *Sistemas de masa variable

En las secciones anteriores se consideraronsituaciones donde la masa de los cuerpos esconstante, por lo que la segunda ley de New-ton tiene la forma F = ma, la cual es vlida so-lo para masa constante. Pero a diario se presen-tan situaciones en las cuales la masa del sistemao cuerpo en movimiento no es una constante,por ejemplo un auto, una aeronave, un trasbor-dador espacial, un bloque de hielo que deslizapor un plano inclinado, etc.En lo que sigue, se consideran sistemas en los

cuales la masa es variable y la segunda ley deNewton a utilizar es F = dp

dt, en forma ms

general.Se considera que el sistema de la figura 2.34.a

tienemasa M, velocidad v respecto a un sistemade referencia inercial y que sobre l acta unafuerza externa Fext., en un tiempo t.Igualmente se supone que en un tiempo t +

Dt, la configuracin ha cambiado a la que semuestra en la figura 2.34.b.Al considerar las dos situaciones anteriores,

se tiene que una masa DM ha sido arrojada delcuerpo principal, movindose con velocidad urespecto al mismo sistema de referencia inercial.

x

x

y

y

M

M- MD

v

En t

O

O

D M v+ vDu

En t+ tD

(a)

(b)

Figura 2.34: Sistema de masa variable.

Por lo tanto, la masa del cuerpo principal seha reducido a M DM y la velocidad ha cam-biado a v+ Dv.Se puede imaginar que el sistema de la figu-

ra 2.34 corresponde a un cohete que arroja ga-ses calientes por un orificio a una velocidadelevada, disminuyendo su masa y aumentan-do su propia velocidad. En un cohete, la pr-dida de masa es continua durante el procesode consumo de combustible, la fuerza externaFext. no es el empuje del cohete sino la fuerza degravedad sobre l y la fuerza de resistencia quepresenta la atmsfera.Para el anlisis de la figura 2.34 se conside-

rar al sistema como de masa constante, es de-cir, se consideran simultneamente las masasM DM y DM, as la masa total del sistema esM, lo que permite analizarlo como un sistemade masa constante y as poder obtener la segun-da ley de Newton para sistemas en los que lamasa no es constante.La segunda ley de Newton en forma general

para esta situacin es

F =dpdt

. (2.23)

Para un intervalo Dt pequeo, la ecuacin (2.23)se puede escribir aproximadamente en la forma

F DpDt

=pf piDt

, (2.24)

donde las cantidades de movimiento inicial y fi-nal son, respectivamente,

pi = Mv,pf = (M DM) (v+ Dv) + DMu.(2.25)


Reemplazando las ecuaciones (2.25) en laecuacin (2.24)

Fext. [(M DM) (v+ Dv) + DMu]Dt MvDt

.

Efectuando los productos indicados se obtiene

Fext. MDvDt + [u (v+ Dv)]DMDt

. (2.26)

Si Dt! 0, la configuracin de la figura 2.34.b seaproxima a la configuracin de la figura 2.34.ay los trminos de la ecuacin (2.26) se transfor-man en

lmDt!0

DvDt

=dvdt

= a,

que corresponde a la aceleracin del sistema enla figura 2.34.a.Como DM es la masa expulsada en un tiempo

Dt, se presenta una disminucin de la masa delcuerpo original, esto es

lmDt!0

DMDt

= dMdt

,

el signo menos se debe a que dMdt es intrnse-

camente negativa y para que quede positiva esnecesario colocarle un signo menos.Adems, cuando Dt ! 0 y Dv ! 0, la

ecuacin (2.26) se convierte en

Fext. = Mdvdt udM

dt+ v

dMdt

, (2.27)

o en forma ms compacta

Fext. =ddt

(Mv) udMdt

. (2.28)

La ecuacin (2.28) es la forma que adquierela segunda ley de Newton para analizar lasfuerzas externas que actan sobre un cuerpo demasa variable, respecto a un sistema de referen-cia inercial.Si la masa M es constante, su derivada res-

pecto al tiempo es cero y la ecuacin (2.28) seconvierte en Fest = Ma, que es la forma de lasegunda ley de Newton para masa constante.En la ecuacin (2.27), la cantidad u v =

vrel es la velocidad relativa de la masa arroja-da respecto al cuerpo principal, de este modo laecuacin (2.27) puede escribirse como

Fext. = Mdvdt (u v) dM

dt,

o en la forma

Mdvdt

= Fext. + vrel.dMdt

, (2.29)

siendo vrel.dMdt la fuerza ejercida sobre el

cuerpo principal por lamasa que sale de l o porla que llega a l. Para un cohete esta fuerza sellama empuje. Si esta fuerza se denomina fuerzade reaccin que es ejercida sobre el cuerpo prin-cipal por la masa que sale o llega a l, se tiene

Mdvdt

= Fext. + Freaccin.

Para resolver la ecuacin (2.29), en el caso de uncohete, se hacen las siguientes consideraciones:

1. Se desprecia la resistencia del aire.

2. Se desprecia la variacin de la aceleracinde la gravedad con la altura.

3. Se supone que la velocidad de escape de losgases con respecto al cohete (vrel.) es cons-tante.

4. Se supone que el movimiento es vertical.

Con las suposiciones anteriores y tomando elsentido de movimiento como positivo, se tienev = +vj, Fext. = mgj, vrel. = vrel.j, as laecuacin (2.29) adquiere la forma

dvdt

+vrel.M

dMdt

= g,

donde al integrar y evaluar con to = 0 cuandola masa es Mo, se encuentra

v = vo + vrel.lnMoM

gt.

Por ejemplo, la velocidad del cohete cuando lamasa se reduce a la mitad, habiendo partido delreposo, es

v = vrel.ln2 gt.PREGUNTAS

1. Un cuerpo pesa 147 N sobre la superficie dela tierra y 24.5 N sobre la superficie de la lu-na (la aceleracin de la gravedad en la luna esun sexto de la gravedad en la tierra). Tiene este

2.9. *SISTEMAS DE MASA VARIABLE 33

cuerpomayor inercia en la tierra que

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