Texto Guia teoria Control 2009 - Ingeniería ... · Circuito análogo serie 22 Tabla 5. Circuito...

CONTENIDO Pág.

INTRODUCCIÓN 12 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 13 1.1 INTRODUCCION 13 1.2 SISTEMA DE CONTROL Y TERMINOLOGÍA 13 1.3 CONCEPTOS DE REALIMENTACIÓN 14 1.3.1 Lazo abierto. 14 1.3.2 Lazo cerrado. 15 1.4 MODELOS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 16 1.4.1 Componentes del sistema de control. 16 1.4.2 Circuitos eléctricos y electrónicos. 16 1.4.3 Circuitos mecánicos de traslación. 18 1.4.4 Circuitos mecánicos de rotación. 20 1.4.5 Analogía eléctrica-mecánica. 22 1.4.6 Circuitos electromecánicos. 23 1.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 24 2. RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS 26 2.1 INTRODUCCION 26 2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMAS DE BLOQUES 26 2.2.1 Definición de la función de transferencia. 26 2.2.2 Elementos de diagramas. 28

2

2.2.3 Reducción de diagramas de entrada simple y salida simple. 29 2.2.4 Reducción de diagrama de entrada múltiple y salida múltiple. 29 2.3 GRAFICA DE FLUJO DE LA SEÑAL 34 2.3.1 Regla de la ganancia de Masón. 35 2.4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS 38 2.4.1 Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos. 40 2.5 SISTEMAS MECÁNICOS 45 2.5.1 Conceptos principales. 45 2.6 SISTEMAS ELÉCTRICOS 48 2.7 SISTEMA DE NIVEL DE LÍQUIDOS 49 2.7.1 Resistencia y capacitancia de sistema de nivel de líquidos. 49 2.8 SISTEMA TERMICO 52 2.8.1 Resistencia y capacitancia térmica. 53 2.9 SISTEMA NEUMATICO 54 2.9.1 Sistemas neumáticos 55 2.9.2 Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión 55 2.10 LINEALIZACION DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES 58 2.10.1 Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. 58 2.10.2 Variables de desviación. 60 2.11 PROBLEMAS PROPUESTOS 62 3. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA 64 3.1 INTRODUCCION 64 3.2 SISTEMA DE PRIMER ORDEN 64

3

3.2.1 Respuesta escalón unitaria de sistema de primer orden. 64 3.2.2 Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. 66 3.2.3 Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. 67 3.3 SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 69 3.3.1 Respuesta escalón de sistema de segundo orden. 72 3.3.2 Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. 77 3.3.3 Sistemas de segundo orden y especificaciones de las respuestas transitoria. 78 3.4 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR 81 3.4.1 Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior 81 3.5 RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE 83 3.5.1 Caracterisitica de la respuesta en estado estable. 83 3.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 86 4. ACCIONES BASICAS DE CONTROL Y RESPUESTA DE SISTEMA DE CONTROL 88 4.1 INTRODUCCION 88 4.1.1 Acciones básicas de control. 88 4.2 EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVO SOBRE EL DESEMPEÑO DE UN SISTEMA 92 4.2.1 Acción de control integral. 92 4.2.2 Acción integral de los sistemas de control de nivel de líquidos. 93 4.2.3 Acción de control derivativa. 94 4.3 CRITERIO DE ESTABILIDAD ROUTH-HURWITZ 95 4.3.1 Casos especiales. 97 4.3.2 Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control 99

4

4.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 101 5. COMPONENTES ESPECIFICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL 103 5.1 INTRODUCCION 103 5.2 TRANSMISORES NEUMÁTICOS 103 5.2.1 Conjunto tobera obturador. 103 5.2.2 Relevadores (amplificador de potencia). 105 5.2.3 Transmisor neumático (de tipo Fuerza-Distancia). 106 5.2.4 Análisis dinámico del transmisor neumático. 107 5.2.5 Transmisor neumático (de tipo Fuerza-Balance). 109 5.2.6 Análisis dinámico de transmisor (Fuerza-Balance). 110 5.2.7 Velocidad de respuesta de los transmisores neumáticos. 111 5.2.8 Otras configuraciones de transmisores neumáticos. 113 5.3 TRANSMISORES ELECTRÓNICOS 114 5.3.1 Transmisor electrónico de equilibrio de fuerzas. 114 5.3.2 Trasmisor electrónico de equilibrio de fuerza LVDT. 115 5.3.3 Análisis dinámico del transmisor electrónico. 116 5.3.4 Velocidad de respuesta del transmisor electrónico. 116 5.4 TRANSMISORES DIGITALES 116 5.4.1 Capacitivo. 116 5.4.2 Semiconductor. 116 5.4.3 Análisis dinámico del transmisor digital. 117 5.4.4 Velocidad de respuesta del transmisor digital. 118 5.5 COMPARACION DE LOS TRANSMISORES UTILIZADOS 118

5

5.6 CONTROLADORES NEUMÁTICOS 119 5.6.1 Controladores neumáticos proporcionales y su acción proporcional. 119 5.6.2 Principio básico para obtener una acción de control derivativa. 121 5.6.3 Acción de un control neumático P-I. 122 5.6.4 Acción de control neumático P-I-D. 123 5.7 CONTROLADORES ELECTRÓNICOS. 124 5.7.1 Controlador P (Proporcional). 125 5.7.2 Controlador I (Integrativo) 125 5.7.3 Controlador P-D (Proporcional-Derivativo) 126 5.7.4 Controlador P-I (Proporcional – Integrativo) 127 5.7.5 Controlador P-I-D (Proporcional-Integrativo-Derivativo) 128 5.8 CONTROLADORES DIGITALES 129 5.8.1 Algoritmos 130 5.9 VALVULAS DE CONTROL 131 5.9.1 Dimensionamiento de las válvulas de control. 131 5.9.2 Cv con los líquidos. 131 5.9.3 Características del flujo de la válvula. 133 5.9.4 Ganancia de la válvula de control. 134 5.10 PROBLEMAS PROPUESTOS 134 6. SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES 135 6.1 INTRODUCCION 135 6.2 METODO DE LAZO CERRADO 135 6.3 METODO DE LAZO ABIERTO 136

6

6.3.1 Método de Ziegler-Nichols a lazo abierto. 138 6.3.2 Método de Dahlin. 138 6.4 PROBLEMA PROPUESTO 145 BIBLIOGRAFIA

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LISTA DE TABLAS Pág.

Tabla 1. Relación voltaje-corriente. 17 Tabla 2. Circuitos mecánicos de traslación. 19 Tabla 3. Guía de rotación 21 Tabla 4. Circuito análogo serie 22 Tabla 5. Circuito análogo paralelo 23 Tabla 6. Errores relativos en estado estable 85 Tabla 7. Comparación de transmisores. 118 Tabla 8. Ecuaciones para ajuste de controladores. 136 Tabla 9. Parámetros de sintonización de Ziegler-Nichols a lazo abierto. 138 Tabla 10 Parámetros de sintonización de un controlador por Dahlin. 139

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LISTA DE FIGURAS Pág.

Figura 1. Lazo de control. 13

Figura 2. Ciclo abierto. 14

Figura 3. Ciclo cerrado. 15

Figura 4. Circuitos RLC. 17

Figura 5. Circuitos mecánicos de traslación . 19

Figura 6. Diagrama de cuerpos libres 20

Figura 7. Circuito rotativo 21

Figura 8. Cuerpo libre rotacional 22

Figura 9. Analogía eléctrica-mecánica. 23

Figura 10. Modelos electromecánicos. 23

Figura 11. Circuito mecánico serie. 25

Figura 12. Circuito mecánico paralelo. 25

Figura 13. Circuito mecánico mixto. 25

Figura 14. Elementos de diagrama. 29

Figura 15. Diagramas de bloques. 29

Figura 16. Diagrama para el ejemplo. 30

Figura 17. Elementos de grafica de flujo. 34

Figura 18. Equivalente de flujo de señal. 35

Figura 19. Proceso de Masón. 36

Figura 20. Diagrama de estado general 39

Figura 21. Método de las variables de estado sin integrales. 41

Figura 22. Sistema Mecánico, desplazamiento 42

Figura 23. Variables de estado general. 44

Figura 24. Sistema mecánico, desplazamiento u, y. 45

Figura 25. Circuito RLC. 48

Figura 26. Sistema de nivel. 50

Figura 27. Sistema térmico. 54

Figura 28. Sistema de presión. 55

9

Figura 29. Sistema modelado. 62

Figura 30. Sistema de nivel de líquidos. 62

Figura 31. Sistema de calentamiento de aire. 63

Figura 32. Sistema de movimiento. 63

Figura 33. Sistema complejo de polos. 63

Figura 34. Curva de primer orden. 65

Figura 35. Respuesta de rampa unitaria. 66

Figura 36. Respuesta de impulso unitario. 67

Figura 37. Ejemplo de control para un tanque. 67

Figura 38. Sistema de un servomotor. 70

Figura 39. Casos de amortiguamiento. 77

Figura 40. Representación de la característica de un proceso. 78

Figura 41. Sistema de realimentación general. 81

Figura 42. Sistema de control. 82

Figura 43. Sistema realimentado. 83

Figura 44. Sistema múltiple. 87

Figura 45. Sistema de realimentación. 87

Figura 46. Diagrama todo o nada. 89

Figura 47. Válvula de control en la brecha. 89

Figura 48. Brecha diferencial. 90

Figura 49. Representación de error y salida. 92

Figura 50. Sistema de nivel de líquido. 93

Figura 51. Estado estable en el plano complejo. 96

Figura 52. Sistema de control. 100

Figura 53. Sistema realimentado para estado estable. 101

Figura 54. Sistema complejo de realimentación. 101

Figura 55. Bloque de las etapas de un transmisor neumático. 103

Figura 56. Diagrama esquemático del amplificador tobera-obturador. 104

Figura 57. Curva característica de la presión tobera y la distancia tobera-obturador. 104

Figura 58. Diagrama de un relevador con escape. 105

Figura 59. Diagrama esquemático de un relevador sin escape. 106

10

Figura 60. Diagrama esquemático de transmisor de tipo fuerza-distancia. 107

Figura 61. Diagrama de bloques de un transmisor neumático. 109

Figura 62. Diagrama de un transmisor tipo fuerza-balance. 109

Figura 63. Sistema de temperatura de un reactor. 112

Figura 64. Diagrama en Simulink de un modelo de transmisor. 113

Figura 65. Diagrama del transmisor de equilibrio de fuerzas. 114

Figura 66. Transmisor electrónico de equilibrio de fuerzas tubo bourdon. 114

Figura 67. Diagrama de un detector de posición LVDT. 115

Figura 68. Transmisor digital capacitivo. 117

Figura 69. Transmisor digital inteligente. 117

Figura 70. Controlador neumático proporcional. 119

Figura 71. Acción proporcional. 120

Figura 72. Acción P-D. 121

Figura 73. Controlador P-I. 122

Figura 74. Controlador P-I-D. 124

Figura 75. Controlador Proporcional 125

Figura 76. Controlador Integrativo 125

Figura 77. Controlador Proporcional-Derivativo 126

Figura 78. Controlador Proporcional- Integrativo. 127

Figura 79. Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo. 128

Figura 80. Sistema de realimentación con un controlador digital. 129

Figura 81. Curvas de la características de flujo inherente. 133

Figura 82. Razón de amortiguamiento. 135

Figura 83. Curva de reacción del proceso usando el método de los puntos. 137

Figura 84. Tanque con agitación continúa. 139

Figura 85. Proceso en Simulink. 140

Figura 86. Transmisor de temperatura. 141

Figura 87. Convertidor de corriente a presión. 141

Figura 88. Válvula de control. 142

Figura 89. Controlador P-I-D. 143

Figura 90. Sistema completo de simulación. 143

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Figura 91. Escalón unitario con el bías con lazo abierto. 144

Figura 92. Curva de reacción salida del transmisor. 144

Figura 93. Variable controlada con el controlador sintonizado. 145

Figura 94. Tanque de agitación. 146

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INTRODUCCIÓN

El propósito principal de este texto guía, es presentar las metodologías y procesos para adquirir una idea general de la teoría de control. Con este fin se introducen una serie de conceptos desde lo básico hasta lo más práctico en el campo de los procesos industriales.

Los conceptos y teorías que conforman este texto guía, se basan en libros que aportan fundamentos y material importante, que a su vez son ejemplares recomendados en esta asignaturas, entre estos están: Hostetter, Ogata, Creus y Corripio.

El interés se centra en la realización de un texto guía que sea de gran aporte en los conceptos y fundamentos de la teoría de control, que reúna los requisitos exigidos por el programa académico de ingeniería Electrónica y Electromecánica de la UFPS, a su vez que apoye en forma eficiente a la academia en su respectiva enseñanza, también que proporcione un instrumento fácil de adquirir y de bajo costo para el estudiante.

En el capitulo 1, se muestra conceptos preliminares de los sistemas de control, dando un desarrollo pedagógico en la terminología de estos y a su vez se establecen los modelos y sistemas de ecuaciones como base para la introducción y fortaleza del capitulo 2 que da un lineamiento fundamental de los modelos matemáticos de diferentes sistemas o procesos más comunes de la industria en general.

En el capitulo 3 se presenta, después de haber conformado los modelos, un análisis de la respuesta transitoria, desde el punto de vista de su orden es decir, si es de primer orden o segundo orden.

En el capitulo 4, se establecen las acciones básicas de control y las respuestas del sistema de control, introduciendo el análisis de estabilidad.

En el capitulo 5, se dan los conceptos fundamentales de los elementos que componen un sistema de lazo cerrado desde el punto de vista analítico y práctico.

Después que se obtiene el sistema general en el capitulo 6, se involucra un elemento que se estudio en el capitulo 5 que es el controlador, desde el punto de vista de sintonización o conformación de los parámetros propios, aplicando en el, una serie de métodos que hacen una aproximación para ajustar las constante propias de los controladores PID.

Este texto guía da como resultado, un aporte de gran interés al estudiante en su

formación académica cuando se enfrenta al sector industrial como ingeniero, debido a que ha adquirido unas bases sólidas sobre una teoría de control fundamentada en la experiencia de conocimientos reales y concretos.

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1. CONCEPTOS PRELIMINARES 1.1 INTRODUCCIÓN

La teoría de control análoga ha realizado una labor muy importante en el avance de la ingeniería y la tecnología, desde un punto de vista científico, práctico y académico.

En este capítulo mostraremos los términos y representaciones de los sistemas de

control, como los conceptos de realimentación, los componentes de los sistemas de control básicos, el desarrollo de los sistemas de ecuaciones para diferentes sistemas de entradas simples y salidas simples, sistemas multivariables y por último, expondremos modelos para su compresión general en un sistema. 1.2 SISTEMA DE CONTROL Y TERMINOLOGIA

Para hacer un análisis en un sistema de control ver figura 1, es importante tener conceptos precisos sobre la terminología básica y sus definiciones, como se presenta a continuación: Figura 1. Lazo de control.

� Variable manipulada: Señal que entrega el controlador, para mantener constante la variable de salida o variable controlada.

� Controlador: Dispositivo que controla la variable manipulada para mantener la

variable controlada, a través de condiciones preestablecidas del proceso en general. � Error: Señal producida por la diferencia entre el valor predeterminado con la variable

controlada, dando como resultado una señal a la entrada del controlador. � Proceso: Conjunto de variables que conforman una función específica a controlar.

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� Planta: Conformación de diversos procesos que ejecutan una función particular. � Perturbaciones: Señal que interviene inversamente al valor de la salida de un proceso

o variable a controlar. � Variable controlada: Variable que se mide y se controla para mantener las condiciones

del proceso en régimen estable y permanente. � Válvula: Elemento final que introduce o controla el flujo a la entrada del proceso o

elemento que regula el sistema en general. � Transmisor: Dispositivo que procesa la señal generada del sensor y la convierte en una

señal que se puede comparar con el valor establecido para el proceso. � Sistema: Combinación de componentes que actúan juntos y realizan una función

determinada.

El concepto general de un sistema de control, consiste en controlar una señal de salida a través de una serie de dispositivos que al unísono conforman un equilibrio energético puro y exacto, con el fin que el proceso funcione exactamente sin ningún inconveniente. 1.3 CONCEPTOS DE REALIMENTACIÓN

En los sistemas de control existen dos lazos, uno abierto y otro cerrado. 1.3.1 Lazo abierto. Señal de entrada sin la participación de la variable controlada o sin realimentación de la salida con la entrada, ver figura 2. Figura 2. Lazo abierto.

Para comprender este concepto se debe hacer la discusión de algunos aspectos que

comprometen este tema, como los siguientes:

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Comentarios sobre aspectos de lazo abierto. En lazo abierto no se tiene ningún control directo e instantáneo de la señal

controlada. También se puede decir que son sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control. La precisión del sistema depende de la calibración, ante la presencia de perturbaciones. Un sistema de control de lazo abierto no realiza la tarea deseada, eficientemente. El lazo abierto, se utiliza cuando se conoce la relación entre la entrada y salida y cuando no existen perturbaciones internas ni externas. 1.3.2 Lazo cerrado. Representa la señal de salida conectada con la señal de entrada, a través de un brazo de realimentación (transmisor), ver figura 3. Figura 3. Lazo cerrado.

En un sistema de lazo cerrado se alimenta al controlador, para producir una señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de realimentación, a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente y estable.

El término de control en lazo cerrado, implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema y mantener la señal de salida estable.

Algunas ventajas que ofrece el control de realimentación o lazo cerrado son: � Incremento en la exactitud: El sistema de lazo cerrado se puede diseñar para llevar a

cero el error entre la señal de referencia y la controlada.

� Reducciones de efectos de perturbaciones: El sistema puede atenuar notablemente los efectos de perturbaciones que se presenta en un proceso.

� Incremento en la rápidez de respuesta: Se utiliza para incrementar la gama de

frecuencia sobre la cual un sistema responderá en forma lenta o rápida.

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� Estabilidad: Es una función primordial en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir un exceso de errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante en el tiempo de un proceso.

� Costo: Este sistema es más costoso que el de lazo abierto. Comentarios sobre aspectos de lazos de realimentación o cerrado.

Podemos afirmar que el lazo cerrado es de gran importancia cuando aparecen los disturbios ajenos al sistema o variaciones, ubicados en sus componentes que lo conforman. También podemos decir que el concepto de la energía de salida, nos lleva a plantear en forma parcial los aspectos predominantes en un sistema, como son las características de costo, áreas, tamaños y cantidad de componentes. Otro aspecto importante para tener encuenta, es que en estos sistemas se tiene un gran aliado, como son las herramientas informáticas de simulación, en este caso el (MatLab - Simulink), se facilita el estudio, análisis y selección de todo un sistema de control desde lo particular a lo general, a través de una metodología científica.

El campo de los sistemas de control realimentados no solamente son de la

ingeniería, sino que también son participe en forma directa en diversas áreas de la ciencia, como un caso muy particular en el área de la salud.

1.4 MODELOS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1.4.1 Componentes del sistema de control. La metodología utilizada para el diseño del sistema de control, consiste en obtener las ecuaciones integrales diferenciales del mundo real, manipulación de los modelos matemáticos representados en forma analítica e implementación, manejo de las herramientas informáticas de simulación y la obtención de los componentes que conforman los esquemas adecuados para su optimización en el campo de control análogo.

Generalmente los componentes del sistema de control análogo incluyen elementos

eléctricos, electrónicos, mecánicos y electromecánicos. 1.4.2 Circuitos eléctricos y electrónicos. Estos circuitos están soportados por las leyes de corriente y voltajes de Kirchhoff, en el caso de la técnica de nodos se establece que las sumas de todas las corrientes que llegan o salen a un nodo debe ser cero y las características que se debe tener encuenta en un circuito eléctrico son las siguientes:

� La suma algebraica de los voltajes en un circuito cerrado (paralelo, serie o mixto).

� La suma algebraica de las corrientes en un nodo o malla de un circuito (paralelo, serie o

mixto).

Los elementos de un circuito incluyen resistencias, capacitancias, inductancias, fuentes de voltaje y corriente.

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La relación voltaje-corriente de los modelos matemáticos que conforman este campo de la ciencia aplicadas se presenta en la tabla 1.

Tabla 1. Relación voltaje-intensidad.

Ejemplo

Encuentre el sistema de ecuaciones integral-diferencial de la figura 4.

Figura 4. Circuito RLC.

Solución

Para solucionar esta clase de circuitos eléctricos (serie, paralelo o mixto), se debe hacer primero la escogencia de la técnica de análisis a utilizar, en este caso se escogió la técnica de nodos y se procede a utilizar los modelos presentados en la Tabla 1. Se continúa

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con el desarrollo del planteamiento de las ecuaciones integrales diferenciales, dando como resultado las siguientes ecuaciones (1) y (2):

Nodo 1: Se suman todas las corrientes que entran al nodo 1, suponiendo

condiciones iniciales cero, se obtiene la ecuación integral-diferencial para esta red.

( ) ( ) ( ) ( )( )46

2

1

1

1 2111 =

−++∫ ∞−

t

dt

tvtvdtvdttv (1)

Nodo 2: Se suman todas las corrientes que entran al nodo 1, suponiendo

condiciones iniciales cero, se obtiene la ecuación integral-diferencial para esta red.

)cos())()((

6)(4

1 122 t

dt

tvtvdtv −=

−+ (2)

Agrupando y ordenando los términos correspondientes de las ecuaciones (1) y (2) se

consigue como resultado las ecuaciones integrales-diferenciales presentadas a continuación. Para (1)

4)(

6)(

62

)()( 211

1 =−++∫∞− dt

tdv

dt

tdvtvdttv

t

Para (2)

)cos()(

6)(

64

)( 122 tdt

tdv

dt

tdvtv−=−+

Comentarios sobre aspectos de los circuitos eléctricos.

En los circuitos eléctricos se utilizan más las técnicas de nodos que la de mallas,

por ser fácil, rápida y práctica. También se puede realizar diversas conversiones de los elementos pasivos y activos utilizados en el circuito, como son las conversiones de fuentes (corriente-tensión) y las impedancias en admitancias.

Existe otra herramienta de gran aporte a este tema que es la técnica de Thevening

y otras auxiliares como son los divisores de tensión y corriente. 1.4.3 Circuitos mecánicos de traslación. Estos circuitos mecánicos se fundamentan en las leyes que controlan los sistemas mecánicos, en este caso la ley de Newton aplicable a cualquier sistema mecanico. En este ítem, se centra en el caso de la traslación de masas, según los conceptos de fuerza-velocidad y fuerza-desplazamiento de elementos mecánicos como se presentan en la tabla 2.

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Tabla 2. Circuitos mecánicos de traslación.

La tabla 2, se usa de acuerdo a la siguiente metodología. � Plantear y analizar el circuito propuesto. � Definir las posiciones con sentidos direccionales (x(t), f(t)) para cada cuerpo que

componen el sistema en estudio.

� Dibujar un diagrama de cuerpo libre de cada una de las masas, expresando las fuerzas que actúan sobre ellas en términos de posiciones, según los modelos matemáticos presentados en la tabla 2.

� Conformar las respectivas sumatorias en las masas, teniendo encuenta las direcciones

respectivas de su movimiento. � Establecer la conformación de ecuaciones integrales-diferenciales. Ejemplo Hallar las ecuaciones integrales-diferenciales del siguiente sistema mecánico, presentado en la figura 5. Figura 5. Circuitos mecánicos de traslación.

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Solución Primero: Análisis del sistema: Es un sistema que tiene dos masas, cada masa esta sujeta a los elementos de absorción y liberación de energía como los resortes, amortiguadores. Se le aplica una fuerza F que emitirá un movimiento al lado derecho de la disposición del sistema, esta hace que la masa se muevan en ese sentido, pero los componentes que están sujetos a estas masas efectúan sus respectivas opciones (acción-reacción), en este sistema se desprecia el rozamiento de la ruedas con el piso.

Segundo: Se define las direcciones y sentidos de las masas que compone el sistema mecánico de traslación de la figura 5, como son x1 y x2 hacia la derecha, teniendo encuenta el sentido de la aplicación de la fuerza F.

Tercero: Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada masa figura 6, se coloca

todas las fuerzas en sus respectivas direcciones que afecta a este cuerpo en movimiento. Figura 6. Diagrama de cuerpos libres.

Cuarto: Se escriben las ecuaciones de movimiento según la figura 6, usando la ley

de newton, y ordenando el sistema nos queda las siguientes expresiones:

022192

61

61

42

2

=−+−+ xxdt

dx

dt

dx

dt

xd

Fxxdt

dx

dt

dx

dt

xd =−+−+ )12251

62

62

52

2

1.4.4 Circuitos mecánicos de rotación. Los circuitos mecánicos rotacionales se trabajan de la misma forma que los circuitos mecánicos de traslación, la diferencia radica en que el par reemplaza la fuerza y el desplazamiento lineal al desplazamiento rotacional angular. Los componentes mecánicos rotacionales, con su respectivo modelo matemático se presentan en la tabla 3.

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Tabla 3. Guía de rotación.

Ejemplo Hallar las ecuaciones integrales-diferenciales del siguiente sistema mecánico, de rotación presentado en la figura 7. Figura 7. Circuito rotativo.

Solución Primero: Análisis del sistema: Es un sistema que tiene una masa rotativa con su respectiva inercia J, la masa rotativa esta sujeta a los elementos de absorción y liberación de energía como el resorte y el amortiguador. Se le aplica un movimiento rotativo iθ que generara un movimiento al lado derecho de la disposición del sistema, esta hace que la masa gire en dirección de las manecillas de reloj, pero los componentes que están sujetos a estas masas efectúan sus respectivas opciones (acción-reacción).

Segundo: Se define las direcciones y sentidos de las masas que componen el sistema mecánico de rotación de la Figura 7, como son iθ y oθ , teniendo encuenta el sentido de giro.

Tercero: Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada masa, se coloca todas las

fuerzas en sus respectivas direcciones que afecta a este cuerpo en movimiento, como se presenta en la figura 8.

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Figura 8. Cuerpo libre rotacional.

Cuarto: Se escriben las ecuaciones de movimiento según la figura 8, usando la ley

de newton. Ordenando, nos queda lo siguiente:

dt

odBoiK

dt

odJ

θθθθ −−= )(2

2

02

2

=−++ iKoKdt

odB

dt

odJ θθθθ

1.4.5 Analogía eléctrica – mecánica. El concepto fundamental de las analogías se centra en la obtención de un sistema a otro, al comparar las ecuaciones descriptivas de un circuito ya sea eléctrico, mecánico o rotacional.

A continuación se presentara un ejemplo donde se analizará las analogías eléctricas y mecánicas, desde el punto de vista de sus configuraciones, serie y paralela. Ejemplo Convertir en su análogo serie, el circuito mecánico de traslación de la figura 5. Solución Para realizar la analogía correspondiente, se debe tener encuenta la clase de circuito que se va a trabajar, serie o paralelo, con el objetivo de hacer la conversión de sus componentes mecánicos a eléctricos. Esta conversión se hace utilizando las tablas de analogía presentadas anteriormente Tabla 4 ó 5, en nuestro caso se utiliza la Tabla 4. Tabla 4. Circuito análogo serie.

Mecánico Eléctrico

Masa = M Inductor = M Henrios Amortiguador = B Resistor = B ohmios

Resorte = K Capacitor = 1/K Faradios Fuerza aplicada = F(t) Fuente de voltaje = F(t)

Velocidad = v(t) Corriente = v(t)

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Tabla 5. Circuito análogo paralelo.

Mecánico Eléctrico

Masa = M Capacitor = M Faradios Amortiguador = B Resistor = 1/B ohmios

Resorte = K Inductor = 1/K Henrio Fuerza aplicada = F(t) Fuente de voltaje = F(t)

Velocidad = v(t) Corriente = v(t)

El resultado análogo serie de la figura 5 es el circuito eléctrico presentado en la figura 9. Figura 9. Analogía eléctrica – mecánica.

1/2

1/31/7

6

5

F(t)

4

1.4.6 Circuitos electromecánicos. Figura 10. Modelos electromecánicos. � Sistema oscilante, cambia la capacitancia del condensador por medio del

desplazamiento de la varilla a través de las placas del condensador C.

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� Sistema de momento angular, con el movimiento angular se intercambia a un desplazamiento vertical.

Comentarios sobre aspectos de los circuitos análogos. Podemos decir que estos circuitos mecánicos tienen tres elementos que lo

conforman (resorte, amortiguador y masa), también existen tres componentes en los circuitos eléctricos (resistencia, bobina y condensador), pero lo importante es la característica de almacenamiento o disipación de estos elementos o componentes. El resorte y la masa son elementos que almacenan energía, el amortiguador libera energía. Si hacemos la analogía con el circuito eléctrico establecemos que el condensador y la bobina almacenan energía y la resistencia disipa energía.

Otro aspecto importante para tener encuenta, es la analogía de un circuito eléctrico serie o paralelo respecto a un circuito mecánico, que nos representa un modelo práctico en un sistema real dado.

Lo importante de estas analogías, es la interacción de diversas áreas del saber, es

decir, un lenguaje común de comunicación entre esta. Como ejemplo, podemos indicar que el diseñador mecánico se puede entender en

un lenguaje común y sin ninguna dificultad con el diseñador electrónico o electricista. 1.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar las ecuaciones de movimiento para la siguiente red mecánica, ver figura 11.

25

Figura 11. Circuito mecánico serie.

2. Hallar las ecuaciones de movimiento para la siguiente red mecánica, ver figura 12. Figura 12. Circuito mecánico paralelo.

3. Hallar las ecuaciones de movimiento para la siguiente red mecánica, ver figura 13.

Figura 13. Circuito mecánico mixto.

26

2. RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS 2.1 INTRODUCCION

Los diagramas de bloques y las gráficas de flujo de señal son representaciones de

las relaciones entre las partes de los componentes de un sistema. Después de haber adquirido cierta práctica en las descripciones de los diagramas de bloques y en las gráficas del flujo de señal, se analizará el modelado en el espacio de estados, se comprenderá los conceptos de los sistemas de: movimiento, circuitos eléctricos, nivel, térmicos, neumaticos y se introducirá en la linealización de los modelos matemáticos no lineales. 2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMAS DE BLOQUES 2.2.1 Definición de la función de transferencia. Se define como la relación de la transformada de Laplace de la variable de salida entre la transformada de Laplace de la variable de entrada.

La función de transferencia se representa generalmente por la ecuación (3):

)1...(

)1...(

)(

)()(

11

1

11

1

++++++++

== −−

−−

sbsbsb

sasasaK

sX

sYsG

nn

nn

mm

mm (3)

=)(sG Representación general de una función de transferencia. =)(sY Transformada de Laplace de la variable de salida. =)(sX Transformada de Laplace de la variable de entrada.

=besaesK ,, Constantes. La K , representa la ganancia del sistema y tiene como unidades la de Y(s) sobre las unidades de X(s). Las otras constantes, las ba, tienen como unidades (tiempo), “s” se asocia con la constante particular, lo que da como resultado un término sin dimensiones, ya que la unidad de “s” es 1/tiempo. Nota: En general, la unidad de “s” es el recíproco de la unidad de la variable independiente que se usa en la definición de la transformada de Laplace. En la dinámica y control del proceso la variable independiente es el tiempo y, en consecuencia, la unidad de “s” es 1/tiempo. La función de transferencia define completamente las características de estado estacionario y dinámico de un sistema, es decir, la respuesta total de un sistema que describe mediante una ecuación diferencial lineal. Esta es la característica del sistema y sus términos determinan si el sistema es estable o inestable, también se conoce al denominador de esta relación como polinomio característico.

27

Las siguientes son algunas propiedades importantes de las funciones de transferencia:

� En las funciones de transferencia de los sistemas físicos reales, la potencia más alta de “s” en el numerador nunca es mayor a la del denominador; en otras palabras

mn≥ . � La función de transferencia relaciona las transformadas de las variables de entrada

con las de salida, a partir de algún estado inicial estacionario; de lo contrario, las condiciones iniciales que no son cero originan términos adicionales en la transformada de la variable de salida.

� Para los sistemas estables, la relación de estado estacionario entre el cambio en la

variable de entrada y el cambio en la variable de salida se obtiene con:

)s(Glim0s−

Lo cual se deriva del teorema del valor final, quedando lo siguiente:

)t(xlim)s(Glim

)s(sXlim)s(Glim

)s(X)s(sGlim

)s(sYlim)t(ylim

t0s

0s0s

0s

0st

∞−−

−−

−

−∞−

=

=

=

=

Esto significa que el cambio en la variable de salida, después de un tiempo muy largo, si esta limitado, se obtiene al multiplicar la función de transferencia con s = 0 veces el valor final del cambio en la entrada. Función de Transferencia

Las descripciones de un sistema en el dominio del tiempo permiten predecir el comportamiento transiente (en este caso, el voltaje de salida) de un sistema dado por un período limitado después de haber hecho algún cambio (por ejemplo, conectar la batería a un sistema). Sin embargo, muchas veces estamos interesados en el comportamiento en estado de régimen (steady-state). Para estos casos se usa el análisis en el dominio de la frecuencia, usando técnicas basadas en la transformada de Laplace. Si aplicamos la transformación de Laplace a cada término de la ecuación (4), se obtiene el siguiente arreglo.

)(1

)0()()( sQC

RqssRQsVi +−= (4)

28

Donde las letras mayúsculas son usadas para representar las respectivas transformadas de Laplace.

[ ][ ] )()(

)()(

sQtqL

sVitviL

==

De este modo, en términos de lo que se desea observar, en este caso el voltaje de

salida Vo(s), presentado en la siguiente ecuación (5).

)(1

1)(

1)( sVi

RCssvo

RCs

RCsVo

++

+= (5)

Si nos centramos en la ecuación (5) de estado de régimen (steady-state), y

asumimos que las condiciones iniciales son iguales a cero, podemos entonces determinar el conciente entre la transformada de Laplace del voltaje de salida y el del voltaje de entrada:

RCssVi

sVo

+=

1

1

)(

)( (6)

Observe que el lado derecho de la ecuación (6) depende solamente de los

parámetros R y C, y de la variable de frecuencia compleja ‘s’. Esta forma de ecuación se conoce como función de sistema, o función de transferencia del sistema, que habitualmente se designa como G(s).

Empleando la designación habitual RC = τ para la constante de tiempo, entonces la

función de transferencia del sistema RC serie puede escribirse de la forma:

ssG

τ+=

1

1)(

Por lo tanto, podemos representar (‘simplificar’) el circuito RC serie por el

diagrama equivalente de bloques simple. Con este método, dado cualquier voltaje de entrada que se aplique, podemos calcular la transformada de Laplace del voltaje de salida con la siguiente expresión:

)()()( sVisGsVo =

Y, si quisiéramos la respuesta en el dominio del tiempo, la obtendríamos evaluando

la transformada inversa de Laplace y se obtiene la siguiente ecuación. [ ])()()( 1 sVisGLtvo −=

2.2.2 Elementos del diagrama. Los diagramas de bloques se emplean para describir esquemáticamente los sistemas, ver figura 14.

29

Figura 14. Elementos de diagrama.

En un diagrama de bloques, se utiliza un bloque para indicar una correspondencia proporcional entre dos señales, transformadas según Laplace. La función de proporcionalidad relaciona las señales de entrada con la salida. Un sumador se usa para indicar adiciones o sustracciones de señales. Este sumador puede tener cualquier número de señales entrantes, pero sólo una señal de salida. Una unión indica que la misma señal sale hacia diferentes direcciones.

2.2.3 Reducción de diagramas de entrada simple y salida simple. La agrupación y movimientos de bloques de un sistema es lo que se denomina álgebra de bloques. En un esquema de bloques de entrada y salida simple, se debe hacer la reducción del diagrama general hasta la obtención mínima de un solo bloque, que represente la función de transferencia del valor de referencia con la variable controlada. Existen reducciones importantes para minimizar paso a paso un sistema de bloques, como se presenta en la figura 15. Figura 15 Diagramas de bloques.

2.2.4 Reducción de diagramas de entrada múltiple y salida simple. La reducción de un sistema de entrada y salida múltiple, implica hallar cada una de las funciones reducidas de transferencia del sistema en general entre entradas y salidas. Esto se lleva a cabo de la siguiente forma: se toma una de las entradas del sistema en reducción, se relaciona con todas las salidas que proporciona el diagrama general, a continuación las otras entradas se hacen cero o nulas, se procede a determinar la función de transferencia que relaciona una de las salidas con la entrada elegida y así se procede repetitivamente a realizar con las demás entradas que conforma el sistema.

30

Ejemplo:

Hallar las funciones de transferencias entre las entradas y salidas, correspondiente al sistema mostrado en la figura 16.

Figura 16. Diagrama para el ejemplo.

Solución

Para hallar las funciones de transferencia de la figura 16, debemos aplicar el concepto de la superposición, es decir, la entrada 1 con la salida 1, la entrada 2 con la salida 1 y así sucesivamente con las restantes entradas y salidas.

A continuación describiremos los diagramas de bloque de acuerdo a la función de

transferencia 12222111 ,,, TTTT .

La función de transferencia entre Y1(s) respecto X1(s), se presenta en el siguiente

diagrama de bloques simplificado:

ssYsC

1*)(1)( = (7)

3

3*)()(1

+=

ssEsY

Despejando E(s) nos queda:

3

3*)(1)(

+= ssYsE (8)

)()(1)( sCsXsE −= (9)

31

Reemplazando las ecuaciones (7), (8) en (9) y ordenándola, da la ecuación (10).

ssYsX

ssY

1*)(1)(1

3

3*)(1 −=+

)(11

3

3)(1 sX

s

ssY =

++

s

ssX

sY1

3

31

)(1

)(1

++=

33

3

)(1

)(1)(

211 ++==

ss

s

sX

sYsT (10)

La función de transferencia entre Y1(s) respecto X2(s), se representa a continuación según el siguiente diagrama de bloques:

−

+= 1*

1*

3

3*)(1)(

sssYsC (11)

)(1)()(1 sXsCsY −= (12)

Reemplazando la ecuación (11) en (12), y ordenándola, se obtiene la ecuación (13).

)(11*1

*3

3*)(1)(1 sX

sssYsY −

−

+=

)(1)3(

31*)(1 sX

sssY −=

+−−

32

+−−

−=

)3(

31

1

)(1

)(1

sssX

sY

33

3

)(1

)(1)(

2

2

12 ++−−==ss

ss

sX

sYsT (13)

La función de transferencia entre Y2(s) respecto X1(s), según el siguiente diagrama

de bloques simplificado, se describe a continuación:

+=

sssEsY

1*

3

3*)()(2

3

)3(*)(2)(

+= sssYsE (14)

)(2)(1)( sYsXsE −= (15)

Reemplazando la ecuaciones (14) en (15) y ordenándola, obtenemos la ecuación

(16).

)(2)(13

)3(*)(2 sYsX

sssY −=+

)(113

)3(*)(2 sX

sssY =

++

13

)3(1

)(1

)(2

++=

sssX

sY

33

3

)(1

)(2)(

221 ++==

sssX

sYsT (16)

La función de transferencia entre Y2(s) respecto X2(s), según el siguiente diagrama

de bloque simplificado, se describe a continuación:

33

3

3*)(2)(

+−=

ssYsC (17)

ssEsY

1*)()(2 =

)(2*)( sYssE = (18)

)(2)()( sXsCsE −= (19)

Reemplazando las ecuaciones (17), (18) en (19) y ordenándola, resulta la ecuación (20).

)(23

3*)(2)(2* sX

ssYsYs −

+−=

)(23

3)(2 sX

sssY −=

+−−

+−−

−=

3

31

)(2

)(2

sssX

sY

33

3

)(2

)(2)(

222 ++−−==ss

s

sX

sYsT (20)

Comentarios sobre aspectos de la función de transferencia

Podemos decir que la función de transferencia caracteriza completamente el proceso en estudio, debido a que contiene toda la información referente a las condiciones de este. También afirmamos que con la función de transferencia podemos reconstruir la ecuación diferencial del proceso en estudio.

Otra afirmación respecto a la función de transferencia, es que ésta depende solamente del proceso y no de la entrada o de las condiciones iniciales.

34

¿Para qué sirve la representación de un sistema en forma de una función de transferencia?. Sirve para diseñar sistemas complicados, con decenas o centenares de componentes, que interactúan entre sí en el estado de régimen. En esos casos, hay métodos que permiten ir combinando las múltiples funciones de transferencia hasta llegar a una sola expresión matemática, la cual describe de una sola vez el comportamiento de todo un conjunto de múltiples subsistemas en uno solo. 2.3 GRAFICA DE FLUJO DE LA SEÑAL

La información que se transmite en un diagrama de bloques es la misma que se transmite en una gráfica de flujo de señal, ver Figura 17.

La ventaja de la gráfica del flujo de señal, es que se adapta perfectamente a la

determinación de las funciones de transferencia, es práctico, muy sencillo y se ajusta a cualquier sistema de señales, este método es conocido como la regla de ganancia de Masón.

Figura 17. Elementos de gráfica de flujo.

Las gráficas del flujo de señal, al igual que los diagramas de bloques, representan

las ecuaciones de las transformadas de Laplace de un sistema. Para escribir el conjunto de ecuaciones simultaneas representadas por una gráfica del flujo de señal, primero se identifican las señales en cada nodo, excepto las señales sobrantes en las entradas y salidas de estos. Ejemplo

Hallar las ecuaciones de cada nodo por el método de flujo de señal del siguiente diagrama de bloques.

Solución Para hallar las ecuaciones de los nodos por el método de flujo de señal, se debe hacer lo siguiente:

35

� Analizar y estudiar el diagrama de bloques presentado.

� Reemplazar los elementos que componen el diagrama de bloques por sus similares, es decir, el sumador por un nodo, el bloque por una flecha, el valor de la ganancia se coloca alrededor de la flecha y las variables de entrada-salida se ubica con su respectivo nombre. El resultado se presenta como se muestra en la figura 18.

� Realizar las respectivas sumatorias de cada nodo para obtener las ecuaciones generales,

es decir, se suman las llegadas y salidas de cada rama. Figura 18. Equivalente de flujo de señal.

A continuación se escriben las ecuaciones del sistema que se deducen en la figura 18, se realiza una ecuación por cada nodo, igualando la señal en ese punto con la suma de las señales que llegan a través de las ramas procedentes de otros nodos.

)(4

1)()( 211 sX

ssRsX

++= (21)

)(2

1)(9)()(6)( 2212 sX

ssYsRsXsX

+−−+−= (22)

8

1)()( 2 +

=s

sXsY (23)

Observe que en el ciclo simple, la rama con transmitancia 2

1

+−

s , que principia y

termina en el mismo nodo, contribuyen con un termino que incluyen a la señal nodal 2X

que es la misma del segundo miembro de la ecuación (22) para 2X . No interesa el sentido de un ciclo simple.

2.3.1 Regla de la ganancia de Masón. Las relaciones representadas por las gráficas del flujo de señal, similares a las de los diagramas de bloques, son ecuaciones algebraicas lineales con coeficientes que dependen de la variable (s). La regla de la ganancia de Masón, es una formula que permite determinar la función de transferencia de un señal de entrada y salida simple, a partir de su gráfica del flujo de señal. Puede aplicarse repetidamente a un sistema de entrada y salida múltiples, obteniéndose así, cada una de las funciones de transferencias del sistema dado.

36

Reglas para utilizar el método de Masón.

Trayectoria: Sentido único desde la entrada hasta la salida en sentido de las flechas de las ramas (unión entre nodos), al recorrerla no se debe pasar por ningún nodo más de una vez.

Ganancia de trayectoria: Es el producto de las transmitancias de las ramas que se encuentran al recorrer la trayectoria considerada.

Ciclo: Es cualquier sucesión cerrada de ramas en la dirección de las flechas; cuando

se recorre no pasa por un nodo más de una vez.

Ganancia de ciclo: Es el producto de las transmitancias de las ramas del ciclo. Se dice que dos ciclos se tocan si tienen algún nodo en común. Un ciclo y una trayectoria se tocan si tienen algún nodo en común.

El determinante: Es la unidad, menos la suma de las ganancias de todos los ciclos, más la suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de dos ciclos que se tocan, menos la suma de los productos de las ganancias de todas las ganancias de todas las consideraciones de tres ciclos que no se tocan, más la suma.

El cofactor: Es el determinante de la gráfica del flujo de señal formado por la supresión de todos los ciclos que tocan la trayectoria. Regla de Masón:

∆∆+∆+∆+∆= nnPPPP

sT 332211)( (24)

Ejemplo:

Determinar el proceso de Masón de la figura 19.

Figura 19. Proceso de Masón.

Solución

Para hallar la función de transferencia utilizando el proceso de Masón se debe seguir paso a paso con las reglas descrita anteriormente. Se halla la ganancia de la trayectoria P1, según el diagrama representado a continuación:

37

( ) ( )111

122

6

6

111

+

+=

ssssP (25)

Se halla la ganancia de la trayectoria P2, según el siguiente diagrama:

)1(11

1

2

5

1)1(2

+

+=

ssssP (26)

Se halla la ganancia de los ciclos respectivos, según el diagrama descrito a continuación:

+

+

=

−=+

−=−=+

−=

3

1

4

811)12(

;6

;1

10;;

2

48

5

4321

ssssL

sL

sLsL

sL

(27)

Se halla el determinante de todos sus ciclos:

( ) ( ) ( )4213214232413121543211 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL +−+++++++++−=∆

38

Se halla el cofactor del sistema en general:

( ) ( )2

48

2

4811

11

21212

21

+++

++=++−=∆

+=−=∆

s

ss

sLLLL

sL

(28)

Se aplica la ecuación general de Masón y se reemplazar los valores hallados anteriormente.

∆∆+∆

= 2211)(PP

sT (29)

Comentarios sobre aspectos de flujo de señal y reglas de Masón

La gráfica de flujo de señal es un método muy simple, fácil y sencillo para hallar a través de la reglas de Masón la función de transferencia de un proceso en general. Este procedimiento se puede elaborar para desarrollar diagramas de bloque complicados de diversos sistemas de control. 2.4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

En esta sección mostraremos el material introductorio al análisis en el espacio de

estado de los sistemas de control. A continuación se presenta la terminología o conceptos del espacio de estado.

Estado: Es el conjunto más pequeño de variables de un sistema dinamico

(denominadas variable de estado) tal que el conocimiento de esas variables en 0tt = ,

conjuntamente con el conocimiento de la entrada para 0≥t , determinan completamente el comportamiento de un sistema en cualquier tiempo 0tt ≥ .

Variables de estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del mencionado sistema dinámico. Vector de estado: Es aquel que determina de manera única el estado del sistema, para cualquier tiempo, una vez que se obtiene el estado y se especifica la entrada en un tiempo determinado. Espacio de estado: El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados consisten en el eje 1X , el eje 2X ,…, el eje nX , se denomina Espacio de Estado. Cualquier espacio se

puede representar por un punto en el espacio de estado. Ecuaciones en el espacio de estado: Conjunto de las variables de estado ordenadas en forma unificada, ver figura 20.

39

Figura 20. Diagrama de estado general

( )

( )tUUUXXXfX

tUUUXXXfX

tUUUXXXfX

rnnn

rn

rn

;,...,,;,...,,

;,...,,;,...,,

);,...,,;,...,,(

2121

212122

212111

=

••••••

=

=

•

•

•

(30)

( )

( )tUUUXXXgY

tUUUXXXgY

tUUUXXXgY

rnmm

rn

rn

;,...,,;,...,,

;,...,,;,...,,

);,...,,;,...,,(

2121

212122

212111

=

••••••

=

=

(31)

Las ecuaciones (30 y 31), se presentan de la siguiente forma matematica.

( ) ( )( ) ( )tUXgtY

tUXftX

,,

,,

==

•

(32)

La forma general de las ecuaciones de estado y de salida linealizadas, es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tUtDtXtCtY

tUtBtXtAtX

+=+=

•)( (33)

A(t) = matriz de estado; B(t) = matriz de entrada ; C(t) = matriz de salida; D(t)

= matriz de transición.

40

Nota: Si las funciones vectoriales “f” y “g” no involucran el tiempo “t” explícitamente, el sistema se denomina sistema invariante con el tiempo. 2.4.1 Representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos. Un sistema dinámico formado por una cantidad finita de elementos de parámetros concentrados se describe mediante una serie de ecuaciones diferenciales, en las cuales el tiempo es la variable independiente.

A continuación presentaremos dos procedimientos para determinar la

representación en el espacio de estado de sistemas dinámicos. � El primer procedimiento. Mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales no

contiene derivadas de la función de excitación. Se considera el siguiente sistema:

yayayayu nn

nn

++++=•

−

−

1

1

1 ... (34)

Concluimos que:

1

2

1

−

•

=

••=

=

n

n yx

yx

yx

(35)

Tomando la ecuación general de variable de estado, definimos lo siguiente:

nn xx

xx

xx

=

••=

=

−

•

•

•

1

32

21

(36)

uxaxax nnn +−−−=•

11 ... (37)

Podemos afirmar que:

BuAxx +=•

(38)

41

••=

nx

x

x

x2

1

(39)

−−−−

=

−− 121 ...

...

...

0...100

0...010

aaaa

A

nnn

(40)

=

1

0

.

.

0

0

B (41)

La salida “y” es como se describe a continuación.

[ ]

=

nx

x

x

y.

.0...01

2

1

(42)

[ ]001 ••==

C

Cxy (43)

La representación en diagrama de este proceso se muestra en la figura 21.

Figura 21. Método de las variables de estado sin integrales.

42

Ejemplo Obtener una ecuación de salida, en representación de variables de estado del

proceso que se presenta en la figura 22. Figura 22. Sistema mecánico, desplazamiento

Solución: Para encontrar la ecuación de este sistema mecánico, debemos aplicar los conceptos adquiridos de los circuitos mecánicos de traslación con su metodología apropiada y así, se obtendra la ecuación (44).

ukyybym =++•••

(44)

Al analizar la ecuación (44), vemos que es de segundo orden, y al reemplazarla en las ecuaciones (35)(36), se obtiene la ecuación (45).

( ) ( )( ) )(2

1

tytx

tytx•

=

=

um

xm

bx

m

kx

xx

1212

21

+−−=

=•

•

(45)

La ecuación de salida (46), esta formada de la siguiente manera:

1xy =

43

u

mx

x

m

b

m

kx

x

+

−−=

1

010

2

1

2

1 (46)

La ecuación de salida reducida es:

[ ]

=

2

101x

xy (47)

La aplicación de las ecuaciones de estado nos proporciona la ecuación (48).

,10

−−=

m

b

m

kA ,1

0

=

m

B [ ],01=C D = 0 (48)

El diagrama general obtenido, se presenta a continuación.

� El segundo procedimiento, mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales contiene derivadas de la función de excitación, como la ecuación (49).

ububububyayayay nn

nn

nn

nn

++••++=++••++•

−

−•

−

−

1

1

101

1

1 (49)

Se aplica “n” ecuaciones diferenciales de primer orden.

ubububxaxaxax

xx

xx

n

nn

nnnn +••+++−••−−−=

••=

=

−

−

•

•

•

1

101211

32

21

(50)

Hacemos que yx =1 , esta apreciación no puede concluir a una solución única.

44

uBxuBuBuBuByx

uBxuBuByx

uByx

nnnn

nnn

n 1112

2

1

1

0

1

11102

01

−−

•

−

•

−

−−−

•••

−=−−••−−−=

••••••••

−=−−=

−=

(51)

01111

021122

0111

00

BaBaBabB

BaBabB

BabB

bB

nnnnn −−••−−=••••••

−−=−=

=

−−

(52)

Llevándola a la representación de variables de estado, se obtiene la ecuación (53).

uBxx

uBxx

uBxx

nnn 1

232

121

−

•

•

•

+=

••••+=

+=

(53)

Las ecuaciones anteriores se representan a través de la figura 23.

Figura 23. Variables de estado general.

Comentarios sobre aspectos de las variables de estado Podemos analizar y discutir el siguiente planteamiento propuesto por “Lewis

Chang Yang Sistema de Control en Ingeniería” que dice: Un modelo de estado es un modelo de ecuación diferencial que se expresa en un formato especial que ofrece un método unificado para el estudio de los sistemas. El modelo de estado es particularmente

45

ventajoso cuando se aplica la simulación y el modelo de estado lineal proporciona el fundamento matemático para un importante conjunto de técnicas de análisis y diseño. Si un sistema es lineal el modelo de estado se puede expresar utilizando la ecuación matricial que mantiene el mismo formato sin tomar en consideración el orden del sistema.

2.5 SISTEMAS MECÁNICOS

La ley fundamental que gobierna los modelos matematicos de los sistemas mecanicos, es la segunda ley de Newton, que se aplica a cualquier sistema de desplazamiento lineal o rotativo. 2.5.1 Conceptos principales. � Masa: Cantidad de materia que contiene un cuerpo, se supone constante. Físicamente la masa es la propiedad de un cuerpo que le proporciona inercia, es decir, resistencia a moverse o detenerse.

g

wm = (54)

w = peso, Kg., Lbf g = gravedad, 22 ,s

pies

m

� Fuerza: Es la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento de un cuerpo. Ejemplo

Obtener una ecuación de salida, en representación de variables de estado del

proceso que se presenta en la figura 24. Solución Para encontrar la ecuación del sistema mecánico de la figura 24 se debe hacer lo siguiente: 1. Aplicar los conceptos adquiridos de los circuitos mecánicos de traslación según la tabla 2, con su procedimiento establecido. 2. Realizar la metodología de las variables de estado con múltiples funciones de entradas. Figura 24. Sistema mecánico, desplazamiento u, y.

46

Segunda ley de Newton:

∑ = maF (55)

Se conforma el diagrama de fuerzas libres de la figura 24, según lo propuesto en el

item 1.4.3, teniendo como resultado la siguiente ecuación (56).

kudt

dubky

dt

dyb

dt

ydm +=++

2

2

(56)

A continuación se establecerá el modelo en el espacio de estado:

um

ku

m

by

m

ky

m

by +=++

•••• (57)

La forma general:

ubububyayay 21021 ++=++••••••

(58)

Se dice que:

m

kb

m

bbb

m

ka

m

ba ===== 21021 ,,0,, (59)

Reemplazando los valores de la ecuación (59) en las ecuaciones de estado (52), (53)

según el segundo procedimiento, se obtiene el siguiente resultado:

2

021122

0111

00 0

−=−−=

=−=

==

m

b

m

kBaBabB

m

bBabB

bB

(60)

1

2

21221122

2121

1112

01

xy

um

b

m

kx

m

bx

m

kuBxaxax

um

bxuBxx

um

bxuBxx

yuByx

=

−+−−=+−−=

+=+=

−=−=

=−=

•

•

(61)

47

La ecuación, representada en forma matricial es la siguiente:

u

m

b

m

k

m

b

x

x

m

b

m

kx

x

−+

−−=

•

•

22

1

2

110

(62)

[ ]

=

2

101x

xy (63)

A continuación se realiza el proceso, que tiene encuenta la aplicación de la

transformada de Laplace para hallar la función de transferencia.

( ) ( )

−−=

•)(2

2

2

oYosYsYsmdt

ydmL (64)

[ ])0()( YssYbdt

dybL −=

(65)

[ ] )(skYkyL = (66)

[ ])0()( UssUbdt

dubL −=

(67)

[ ] )(skUkuL = (68)

Se afirma que las condiciones iniciales son ceros en las ecuaciones anteriores, dando

como resultado la siguiente expresión:

( ) ( ) )()(2 sUkbssYkbsms +=++

Resolviendo para la función de transferencia de la salida vs entrada, obtenemos.

kbsms

kbs

sU

sYsG

+++

==2)(

)()( (69)

Comentarios sobre aspectos de sistemas mecánicos

Terminando la definición de este tema mecánico, podemos decir que los sistemas

mecánicos son una parte fundamental de la vida común, ya que cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En general los sistemas mecánicos son gobernados por la segunda ley de Newton, la cual establece para sistemas mecánicos de traslación que "la suma de

48

fuerzas en un sistema, sean estas aplicadas o reactivas, igualan a la masa por la aceleración a que esta sometida dicha masa”. 2.6 SISTEMAS ELECTRICO

En esta sección se involucran los elementos pasivos, como las resistencias, capacitores e inductores y se utiliza las leyes de Kirchhoff. Ejemplo

Obtener una ecuación de salida en representación de variables de estado del circuito

eléctrico que se presenta en la figura 25. Figura 25. Circuito RLC.

Solución Para encontrar la ecuación del sistema eléctrico de la figura 25 se debe hacer lo siguiente: 1. Aplicar los conceptos adquiridos de los circuitos eléctricos según la tabla 1, aplicando su procedimiento establecido. 2. Realizar la metodología de las variables de estado con múltiples funciones de entradas.

∫ =++ iVidtC

Ridt

diL

1 (70)

(71)

Desarrollar la conversión de las ecuaciones en tiempo a Laplace,

)()(11

)()( sVsIsC

sRIsLsI i=++ (72)

)()(11

0 sVsIsC

= (73)

Hallar la función de transferencia del sistema:

(74)

∫ = oVidtC

1

1

1

)(

)(2

0

++=

RCsLCssV

sV

i

49

La representación en el espacio de estado es:

(75)

10

1

02

01

xVy

Vu

Vx

Vx

====

=•

(76)

u

LCx

x

L

R

LCx

x

+

−−=

•

•

1

0

1

10

2

1

2

1 (77)

[ ]

=

2

101x

xy (78)

Comentarios sobre aspectos de sistemas eléctricos

Podemos plantear sobre la importancia de un sistema eléctrico que se convierte en su similar análogo como lo es el sistema mecánico o caso inverso, con el fin que sea útil para el diseñador en cualquiera de las ramas de aplicación y así, este pueda solucionar y obtener respuesta que lo llevaran a una solución acertada y razonable en cualquiera de los campos en estudio. 2.7 SISTEMA DE NIVEL DE LÍQUIDO

Se va analizar sistemas que implican el flujo de líquidos. En esta sección se analizará el modelo matemático de nivel de tanques. 2.7.1 Resistencia y capacitancia de sistemas de nivel de líquido. La R, resistencia para el flujo de líquido, se define como la variación en la diferencia de nivel necesaria para producir una variación de una unidad en la rata del flujo.

sm,flujoderatalaenVariación

m,quetandelnivelelenVariaciónR 3= (79)

Dado que la relación entre la velocidad del flujo y la diferencia de nivel es distinta

para el flujo laminar y el flujo turbulento, se estudiara las dos ecuaciones (80) y (81) y así

iVLC

VLC

VL

RV

11000 =++

•••

50

se tendrá un entorno general para cualquier aplicación en este campo de los procesos industriales. Figura 26. Sistema de nivel.

La relación entre la velocidad del flujo y la altura en el nivel predefinido en el

sistema de la figura 26, se obtiene de la siguiente forma: Flujo laminar:

kHQ = (80)

Q = Velocidad del flujo del líquido. s

m3

K = Coeficiente s

m2

, depende del coeficiente de flujo y del área de restricción.

H = Altura del nivel del líquido en el sistema, m.

Para el flujo laminar la resistencia lR , se presenta en la ecuación (81).

Q

H

dQ

dHRl == (81)

La resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la resistencia eléctrica. Si el flujo es turbulento a través de la restricción, la velocidad del flujo se considera

de la siguiente forma.

HkQ = (82)

La resistencia tR para el flujo turbulento se obtiene derivando la ecuación (82) y

remplazandola en la ecuación (81), llegando como resulado a la ecuación (83), tR .

dHH

kdQ

2=

51

tRQ

H

Q

HH

k

H

dQ

dH ==== 222 (83)

El valor de la resistencia de flujo turbulento tR depende del flujo y la altura, sin

embargo el valor de tR se considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son

pequeños.

La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura).

(84)

Debe señalarse que la capacidad y la capacitancia son diferentes. La capacitancia

del tanque es igual a su área transversal.

2mAh

hAC =

∆∆

= (85)

Consideremos el almacenamiento del líquido, donde V es el volumen.

2

3

mh

mVC = (86)

Derivando respecto al tiempo la ecuación (86), obtenemos un flujo en el que se

representa el almacenamiento del sistema o flujo transitorio sq .

dt

dhC

dt

dVqs == (87)

La ecuación de continuidad puede escribirse como:

iso qqq =+ (88)

Ejemplo:

Hallar la función de transferencia de la figura 26. Solución Se analiza el circuito de la figura 26, se plantea las ecuaciones que lo gobierna desde el punto de vista de su balance de energía, refiriéndonos a la variable controlada y se

mquedelalturalaenVariación

malmacenadoliqidoelenVariaciónC

,tan

, 3

=

52

plantea la ecuación respectiva. A continuación se hace la relación del caudal de salida con las pérdidas del tanque, dando como resultado una ecuación de primer orden y así se establece el críterio de la aplicación de la transformada de Laplace.

(89)

(90)

iRqhdt

dhRC =+ (91)

( ) )()(1 sRQsHRCs i=+

La función de transferencia es de la siguiente forma:

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

sH (92)

Comentarios sobre aspectos del sistema de nivel

Este campo de aplicación como lo es el sistema de nivel, es muy importante en la industria donde se establezca procesos industriales, porque podemos decir que casi en su totalidad, cualquier industria tiene en sus procesos un sistema de nivel implementado. 2.8 SISTEMA TERMICO

Los sistemas térmicos involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. El calor fluye de un medio a otro de tres formas diferentes, como son: Conducción, Convección y Radiación. Para la transferencia de calor por conducción o convección se describe de la siguiente ecuación:

(93)

q = Flujo de calor, s

kcal

=∆T Diferencia de temperatura en el proceso °C.

=oi q;q Flujo de calor en la entrada y salida, s

kcal

k = Coeficiente, s

kcal

El coeficiente K se obtiene mediante las ecuaciones (94) y (95).

( )oi qqdt

dhC −=

R

hqo =

Tkq ∆=

53

(94)

K = HA Convección (95)

=1K Conductividad térmica,cms

kcal

°

A = Area normal para flujo de calor

=∆X Espesor del conductor, m

H = Coeficiente de convección, csm

kcal

°2

2.8.1 Resistencia y capacitancia térmica. Se define la resistencia térmica como:

skcalcalordeflujoelenVariación

CatemperaturdediferencialaenVariaciónR

,

,°= (96)

La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por

convección, es como se presenta a continuación:

( )Kdq

TdR

1=∆= (97)

Dado que los coeficientes de conductividad y convección térmica son

aproximadamente constantes, la resistencia térmica para la conducción o la convección es constante. La capacitancia térmica C se define como:

CprocesodelatemperaturlaenVariación

kcalalmacenadocalorelenVariaciónC

°=

,

, (98)

Ejemplo: Se supone el tanque aislado, ver figura 27, para eliminar las pérdidas de calor hacia

el aire circundante, también se supone que no hay almacenamiento de calor y que el líquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que contiene una temperatura sin ninguna variación. Se supone que la temperatura del líquido no varia, el flujo de calor de salida cambiará en forma gradual y la temperatura del líquido que sale también tendrá sus cambios. Posee una fuente de calor (Resistencias o un, Intercambiador de calor), un sistema de mezclado (Motor con aspas) para mantener la temperatura constante dentro del tanque y dos puertos (Tubería), uno de entrada y el otro de salida con sus respectivos flujos.

ConducciónX

AKK

∆= 1

54

Figura 27. Sistema térmico.

Solución:

R

Tqo = (99)

oi qqdt

dTC −= (100)

iqRTdt

dTRC =+ (101)

La ecuación de continuidad puede escribirse como se describe a continuación:

iso qqq =+ (102)

Donde sq , es la perdida y absorción de calor en el horno de la figura 27 y la función

de transferencia es:

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

sT

i

(103)

Comentario sobre aspectos del sistema térmico

Este campo de aplicación como lo es el sistema térmico, es importante en la

industria, se puede decir que cualquier industria tiene en sus procesos un sistema térmico implementado.

2.9 SISTEMA NEUMATICO En este ítem se presenta el modelo matemático que nos describe la teoría fundamental de los sistemas que involucran la neumática en procesos industriales.

55

2.9.1 Sistemas neumáticos. Las razones para que estos controladores resulten atractivos, es que son a prueba de explosiones, son sencillos, fácil mantenimiento y que han llegado a un alto nivel de perfeccionamiento en su tecnología. 2.9.2 Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión. En los procesos industriales, los controladores neumáticos, realizan sus funciones a través de un flujo de un gas, que es el aire, en recipientes a presión controlada y conectados a través de accesorios y tuberías. Considere el sistema a presión mostrado en la figura 28. Figura 28. Sistema de presión.

El flujo del gas que pasa por la restricción, es una función de la diferencia de

presión del gas Pi – Po. Tal sistema de presión se caracteriza en términos de una resistencia y una capacitancia, como se presenta en las ecuaciones (105) y (106).

seglbgasdelflujoelenCambio

pielbgasdelpresióndediferencialaenCambio

R,

, 2

= (104)

( )dq

pdR

∆= (105)

( )pd ∆ = Cambio pequeño en la diferencia de presión del gas.

dq = Cambio pequeño en el flujo del gas

La resistencia se calcula experimentalmente con facilidad a partir de una gráfica, que relaciona la diferencia de presión contra flujo, calculando la pendiente de la curva en una condición de operación determinada.

La capacitancia del recipiente a presión se define como:

2,

,

pielbgasdelpresiónlaenCambio

lbalmacenadogaselenCambioC = (106)

56

dp

dV

dp

dmC

ρ== (107)

C = Capacitancia lbf

pielb 2−

m = Masa del gas en el recipiente, lb.

p = Presión del gas 2pie

lbf

V = Volumen del recipiente 3pie

ρ = Densidad 3pie

lb

La capacitancia del sistema de presión depende del tipo de proceso de expansión

implícito. La capacitancia se calcula mediante la ley de los gases ideales. Si el proceso de expansión del gas es politrópico y el cambio de estado del mismo está entre isotérmico y adiabático, resulta la ecuación (108).

teconsp

m

Vp

n

n

tan==

ρ (108)

n = Exponente politrópico. Para los gases ideales,

TM

RPVóTRVP

−−−

== (109)

,pie

lbf,absolutaesiónPrP 2=

,mollbpie,gasundemolunporocupadoVoluménV

3

−=−

Rmollblbfpie,gaseslosdeuniversaltetanCosR °−−

−=−

T = Temperatura absoluta, °R

lbpie,gasdelespecificoVoluménV

3

=

mollblb,molporgasdelmolecularPesoM −=

Por tanto:

TRTM

RPPV gas===

−

ρ (110)

57

Rlblbfpie,gasdetetanConsRgas °−

−=

El exponente politrópico “n” es unitario para la expansión isotérmica. Para la

expansión adiabática, “n” es igual al cociente entre los calores específicos v

pC

C , en donde

Cp es el calor especifico a presión constante y Cv es el calor específico a volumen constante. En diferentes casos “n” es aproximadamente constante.

TnRdP

d

gas

1=ρ (111)

La capacitancia:

TnR

VC

gas

= (112)

Para este sistema de presion tenemos la siguiente función de transferencia:

q

PPR oi −

= (113)

ρd

dmC = (114)

qdtCdPo = (115)

R

PP

dt

dPC oio −

= (116)

ioo PP

dt

dPRC =+ (117)

1

1

)(

)(

+=

RCssP

sP

i

o (118)

Comentario sobre aspecto de sistemas neumático

Un sistema neumático se utiliza todavía en los grandes procesos industriales existente en nuestro medio, podemos citar uno de los más importantes de nuestra región Norte Santandereana, como lo es la planta generadora de energía eléctrica “Central Térmica de Tasajero” y también existe otras industrias alrededor de nuestro sistema

58

geográfico como es el caso de las grandes refinerías del vecino país de la Republica Bolivariana de Venezuela, “PDVSA”. Comentario sobre el modelo matemático de un sistema

Se afirma que para efectuar el análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema. Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra, ambas contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés para cada problema en particular. 2.10 LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES

Se presentará una teoría de linealización aplicable a muchos sistemas no lineales. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en la expansión de las funciones no lineales en series de Taylor, alrededor del punto de operación y la retención sólo del término lineal. 2.10.1 Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. Al realizar esta aproximación suponemos que las variables sólo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considere un sistema cuya entrada es x(t) y salida y(t). Primer caso:

La relación entre y(t) y x(t) se obtiene según la siguiente función:

)(xfy = (119)

Si la condición de operación normal −−yx , y la ecuación anterior se expande en series

de Taylor alrededor en ese punto, se obtiene la ecuación (120).

•••+

−+

−+=−−− 2

2

2

!2

1)( xx

dx

fdxx

dx

dfxfy (120)

En donde las derivadas son las siguientes:

2

2

,dx

fd

dx

dfSe evalúan en

−= xx . (121)

59

Si la variación −

− xx es pequeña, es posible no considerar los términos de orden

superior en −

− xx .

)(−−

−+= xxkyy (122)

)(−−

= xfy (123)

| −=

=xxdx

dfk (124)

)(−−

−=− xxkyy (125)

Segundo caso:

Consideremos un sistema no lineal donde la salida depende de una función de dos entradas como se presenta en la ecuación (126).

),( 21 xxfy = (126)

Expandiendo la función anterior (126), se obtiene la ecuación (127).

•••+

−∂∂+

−

−∂∂

∂+

−∂∂

+

−∂∂+

−∂∂+=

−−−−

−−−−

2

2222

2

221121

22

111

2

2

222

111

21

2!2

1

),(

xxx

fxxxx

xx

fxx

x

f

xxx

fxx

x

fxxfy

(127)

Las derivadas parciales se evalúan cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior.

En las condiciones en estado normal evaluamos y realizamos, haciendo que:

−+

−=−−−−

222111 xxkxxkyy (128)

=−−−

21 , xxfy (129)

2211 ,1

1 | −−==∂

∂=xxxxx

fk (130)

60

2211 ,2

2 | −−−=∂

∂=xxxxx

fk (131)

2.10.2 Variables de desviación. La definición de este concepto, se fundamenta en la diferencia entre el valor de la variable o señal y su valor en el punto de operación:

−

−= xtxtX )()( (132) Donde:

)(tX = Variable de desviación.

)(tx = Variable absoluta. −x = Valor base.

Definiendo de otra forma la ecuación (132), podemos decir que la variable de

desviación es la desviación de una variable respecto a su valor de operación o base.

Puesto que el valor base de la variable es una constante, las derivadas de las variables de desviación son siempre iguales a las derivadas correspondientes de las variables:

...,3,2,1)()( == npara

dt

txd

dt

tXdn

n

n

n

(133)

La variable principal en la utilización de variables de desviación se deriva del hecho

de que el valor −x es generalmente, el valor inicial de la variable. Además, el punto de

operación está generalmente en estado estacionario; es decir, las condiciones iniciales de las variables de desviación y sus derivadas son todas ceros;

−= xx )0( X (0) = 0

....,3,2,10)0( == nparadt

Xdn

n

(134)

La transformada de Laplace para cualquier derivada es:

)()(

sXsdt

tXdL n

n

n

=

(135)

)(sX = Transformada de la variable de desviación.

61

Ejemplo: Hallar la linealización de la densidad de un gas ideal expresada mediante la siguiente ecuación (136):

TR

PMd = (136)

La aproximación lineal según la ecuación (136), es:

−∂∂+

−∂∂+=

__

__

_

PPP

PTT

Tdd

ρ (137)

Las derivadas de la función de densidad son las siguientes:

P

d

TR

M

P

d

T

d

TR

PM

T

d −==∂∂−=−=

∂∂

;2

(138)

M = Peso molecular para el aire 29 a 300 K

P = Presión atmosférica 101,300 2mN .

R = Constante de los gases perfecto, 8,314 KKgmolmN

−−

Evaluando las condiciones de base se obtiene:

_

d = 1,178 2mkg ,

Kmkg

T

d3

_

00393,0−=∂∂

,

Nmkg

P

d−=

∂∂ −5

_

10*163,1

La función linealizada es:

)(10*163,1)(00393,0178,1_

5_

PPTTd −+−−= − (139) En términos de la variable de desviación:

PTd 510*163,100393,0 −+−=

62

2.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Obtenga el modelo en el espacio de estado del sistema que aparece en la figura 29.

Figura 29. Sistema modelado.

2. El sistema de nivel de liquido de la figura 30, se supone que la salida Q m3/s de la válvula de salida se relaciona con H m mediante la siguiente ecuación

HQ 02,0= , También se supone que cuando el flujo de entrada Qi es de 0,024 m3/s, la altura permanece constante. En t=0, el ejecutor de entrada cierra y, por tanto no hay entrada para t>=0. Se pide hallar el tiempo necesario para vaciar a la mitad de la altura inicial. La capacitancia del tanque es de 2,5 m2.

Figura 30. Sistema de nivel de líquidos.

3. Linealizar la siguiente ecuación, que representa el modelo matemático de un sistema de nivel de líquido.

C

HKQ

CQHf

dt

dHii −== 1

),( (140)

4. Se consideran desviaciones pequeñas en estado estable, dibujar un diagrama de

bloques del sistema de calentamiento por aire de la Figura 31. Todas las perdidas de calor en este sistema son nulas.

63

Figura 31. Sistema de calentamiento de aire.

5. Obtener un modelo matemático en el espacio de estado para el sistema de la Figura 32.

Figura 32. Sistema de movimiento.

6. Obtener la representación en el espacio de estado del sistema según la siguiente

figura 33. Figura 33. Sistema complejo de polos.

64

3. ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTADO ESTABLE

3.1 INTRODUCCION

En esta sección se analiza un sistema de control de primer orden, conociendo los significados de la señal de salida con la respuesta escalón unitario, rampa e impulso desde el punto de vista del error en la estabilidad del sistema, también se analiza un sistema de segundo orden a través de un sistema de seguimiento, teniendo en cuenta la carga nominal del servomotor a través de las entradas de escalón. Entraremos al sistema de la respuesta transitoria, estableciendo sus conceptos de tiempo de retardo, tiempo de asentamiento, sobrepaso máximo y algunas especificaciones de primer orden, segundo orden y orden superior y se estudiará el concepto fundamental de una respuesta en estado estable. 3.2 SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Considere el sistema de primer orden, según la ecuación (141). Físicamente se representa por un circuito RC, un sistema térmico o algo similar.

La relación entrada y salida se describe a continuación:

1

1

)(

)(

+=

TssR

sC (141)

Todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia, tendrán la misma salida en respuesta a la misma entrada. 3.2.1 Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. La transformada de Laplace

de la función escalón unitario es s1 .

ssR

1)( = (142)

sTssC

1

1

1)(

+= (143)

Expandiendo la ecuación (143) en fracciones parciales, se obtiene la ecuación (144), de la siguiente forma:

65

Ts

sTs

T

ssC

111

1

1)(

+−=

+−= (144)

A continuación se realiza la transformada inversa de Laplace en la ecuación (144), obteniendose como resultado la ecuación (145).

01)( ≥−=−

tparaetC T

t

(145)

La curva de respuesta exponencial )(tC es, para t = T, el valor de )(tC = 0.632 o la respuesta )(tC alcanza 63.2 % de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en )(tC .

632.01)( 1 =−= −eTC (146)

Observe que entre más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. La pendiente de la línea de tangente en t = 0 es 1/T, según la ecuación (147).

Te

Tdt

dCt

T

t 1|

10 == =

− (147)

La respuesta alcanzará el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial (ver figura 34). Figura 34. Curva de primer orden.

66

3.2.2 Respuesta rampa unitaria de sistema de primer orden. La transformada de Laplace de

la función rampa unitaria es 2s

1 , al remplazarla en la ecuacion (141) se obtiene la siguiente

expresión.

+=

2

1

1

1)(

sTssC (148)

Se expande la ecuación (148) en fracciones parciales y se obtiene la ecuación (149).

1

1)(

2

2 ++−=

Ts

T

s

T

ssC (149)

La transformada inversa de Laplace de la ecuación (149), es la ecuación (150) y su

representación gráfica es la que se presenta en la Figura 35.

T

t

TeTttC−

+−=)( (150) Figura 35. Respuesta de rampa unitaria.

La señal de error e(t) es:

)()()( tctrte −= (151)

)1()( T

t

eTte−

−= (152)

Si “t” tiende a infinito, T

t

e−

se aproxima a cero, y por lo tanto la señal de error e(t) se aproxima a T.

Te =∞)(

67

3.2.3 Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. La transformada de Laplace de la función impulso unitario es R(s) = 1, remplazando en la ecuación (141), da como resultado la ecuación (153).

1*1

1)(

+=

TssC (153)

Al aplicar la transformada inversa en la ecuación (153), se obtiene expresión (154) y la representación en grafica se presenta en la figura 36.

01

)( ≥=−

tparaeT

tC T

t

(154)

Figura 36. Respuesta impulso unitario.

Ejemplo

Considere el sistema de control de nivel de líquido y encuentre el error en estado

permanente, según la figura 37. Figura 37. Ejemplo de Control para un tanque.

68

Solución: Se analiza el sistema presentado en la figura 37, se hace el diagrama de bloques, se

obtiene la función de transferencia del sistema y por último se desarrolla el procedimiento para hallar el error de la variable a controlar H(s), en estado permanente.

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

sH

i

(155)

El controlador es proporcional al flujo de entrada iq y al error e, por lo que

ekkq vpi = , en donde pk es el aumento del controlador y vk es la ganancia de la válvula de

control.

)()( sEkksQ vpi = (156)

Donde.

)(1

)( sRk

sXb

= (157)

RCTyRkkkk bvp == (158)

Al analizar h(t) para un cambio en la entrada de referencia, se supone un cambio

escalón unitario en x (t), en donde )(1

)( trk

txb

= .

1)(

)(

++=

kTs

k

sX

sH (159)

)(1

)( sXkTs

ksH

++= (160)

Al aplicar la función escalón unitario en la ecuación (160), se obtiene lo siguiente.

69

skTs

ksH

1

1)(

++= (161)

A continuación se expande la ecuación (161).

Tssk

k

sk

ksH

/)1(

1

1

1

1)(

+++−

+= (162)

Al aplicar la transformada inversa a la ecuación (162), se obtiene la respuesta en el

tiempo, como se presenta en la ecuación (163).

011

)( 1 ≥

−

+=

−tparae

k

kth T

t

(163)

Donde,

11 +=

k

TT (164)

Al reemplazar el valor de “t” que tienda a infinito en la ecuación (163), se obtiene

como resultando la expresión (165).

1)(

+=∞

k

kh (165)

Dado que 1)( =∞x , hay un error en estado estable de 1

1

+k , tal error se denomina

desplazamiento offset, se vuelve más pequeño si “k” se vuelve mayor. 3.3 SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

En esta sección se obtiene la respuesta de un sistema de control típico de segundo orden para una entrada escalón.

En este ítem se desarrolla la metodología para la obtención de un modelo

matemático de un sistema de segundo orden, en este caso tomamos como ejemplo un sistema de un servomotor, que involucra procesos como son: posicionadores (reóstatos de alta resolución), amplificadores (diferenciales), motor de continua con su reductor para poder movilizar la carga con su respectiva inercia y el sistema de realimenmtacion de posición conectando a la salida con la entrada por medio de un sensor de desplazamiento.

Este sistema de posicionamiento se presenta en la figura 38.

70

Figura 38. Sistema de un servomotor.

La diferencia entre la posición angular de entrada “r” y la posición angular de salida

“c” es la señal de error “e”.

cre −= (166)

La diferencia potencial vcr eee =− es el voltaje de error, en donde re es

proporcional a “r” y ce es proporcional a “c”, es decir, tetanconsk,ckeyrke o0c0r === .

El amplificador aumenta el voltaje de error del potenciómetro y su constante de

ganancia es 1K , este voltaje se aplica al motor de CD. Al motor CD se le aplica un voltaje fijo a la bobina de campo. Si existe un error, el

motor desarrolla un par rotor a la carga de salida, de tal forma que el error se reduzca a cero.

Para una corriente de campo constante, el par que desarrolla el motor es:

aikT 2= (167)

En donde 2k es la constante de par del motor e ai es la corriente de armadura.

Observe que si se invierte el signo de la corriente ai , el signo del par T se invierte y proveerá la dirección de giro del rotor se invierta.

Cuando la armadura gira, se induce un voltaje proporcional al producto del flujo y la velocidad angular. Para un flujo constante, el voltaje inducido be es directamente

proporcional a la velocidad angular dt

dθ, como se presenta en la ecuación (168).

71

dt

dkeb

θ3= (168)

En donde be es la fuerza contraelectromotriz, 3k es la constante de la fuerza

contraelectromotriz del motor y θ es el desplazamiento angular de la flecha del motor.

La velocidad del servomotor controlado por armadura está determinada por el voltaje de la armadura v1a eke = . La ecuación resultante de la armadura es (169).

vaaa

a ekdt

dkiR

dt

diL 13 =++ θ

(169)

La ecuación para el equilibrio del par es (170).

aikTdt

db

dt

dJ 202

2

0 ==+ θθ (170)

.,,arg0 rotorengranajesdetrenacladeInerciaJ =

.arg,cos0 engranajedetrenyacmotordelavisfriccióndeeCoeficientb =

La función de transferencia entre el desplazamiento angular de la flecha del motor y

el voltaje de error, es la presentada en la ecuación (171).

( )( ) skkbsJRsLs

kk

sE

s

aav 3200

21

)(

)(

+++=θ

(171)

Se supone que la relación de engranaje del tren de engranajes, es tal que la flecha de

salida gira “n” veces por cada revolución de la flecha del motor y se presenta en la ecuación (172).

)()( snsC θ= (172)

[ ] )()()()( 00 sEksCsRksEv =−= (173)

La función de transferencia en la trayectoria directa se representa en la siguiente

ecuación.

( )( )[ ]3200

210

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

kkbsJRsLs

nkkk

sE

sE

sE

s

s

sCsG

aa

v

v +++== θ

θ (174)

aL = es pequeña,

72

( )[ ]s

R

kkbsJ

R

nkkk

kkbsJRs

nkkksG

a

a

a

++

=++

=32

02

0

210

3200

210)( (175)

,acosvisfriccióndeeCoeficientRkk

ba

320 =

+

Si 0J y

+

aR

kkb 32

0 se multiplican por 2n

1 , la inercia y la función viscosa se

expresa de esta forma:

,salidalaareferidaInerciadeMomentonJ

J20 ==

B =

+

aR

kkb 32

0 2n

1 = Coeficiente de fricción viscosa referida a la salida

,210

anR

kkkk = (176)

( )1)(

2 +=

+=

sTs

k

BsJs

ksG

m

m (177)

320

0,kkbR

JR

B

JT

B

kk

a

amm +

=== (178)

3.3.1 Respuesta escalón de sistema de segundo orden. Según la solución anterior, que da como resultado la ecuación (177) y acondicionandola nos proporciona la ecuación (179) que nos sirve para el desarrollo de la respuesta transitoria de un proceso en general.

kBsJs

k

sR

sC

++=

2)(

)( (179)

Al remplazar los valores de B, J en la ecuación (179), nos resulta la ecuación (180).

73

−

−+

−

++

=

J

k

J

B

J

Bs

j

k

J

B

J

Bs

J

k

sR

sC22

2222

)(

)( (180)

Los polos en lazo cerrado son complejos, si ,0Jk4B2 ≤− y son reales si

,0Jk4B2 ≥− .

Al hacer el análisis de la respuesta transitoria observamos que:

σζ 22,2 === nn wJ

Bw

J

k (181)

σ = Atenuación

nw = Frecuencia natural no amortiguada

ζ = Factor de amortiguamiento relativo

JkBc 2= (182)

Jk

B

B

B

c 2==ζ (183)

Remplazando en la ecuación (180), los valores de las ecuaciones (181), (182) y

(183), nos resulta la ecuación general (184).

22

2

2)(

)(

nn

n

wsws

w

sR

sC

++=

ζ (184)

El comportamiento dinámico del sistema se describe a continuación, utilizando las

siguientes condiciones, .110 =≤≤ ζζ y

Se describen tres casos de gran importancia a continuación:

Primer caso Caso Subamortiguado 10 ζ<

( )( )dndn jwwsjwws

wn

sR

sC

−+++=

ξζ

2

)(

)( (185)

Donde:

74

,1 2 oamortiguadnaturalfrecuenciaww nd =−= ξ (186)

Al aplicar fracciones parciales en la ecuación (185), obtenemos las siguientes

ecuaciones (187) y (188).

22 2

21)(

nn

n

wsws

ws

ssC

+++

−=ξ

ξ (187)

( ) ( ) 2222

1)(

dn

n

dn

n

wws

w

wws

ws

ssC

++−

+++

−=ξ

ξξ

ξ (188)

A continuación se procede aplicar la transformada inversa a los terminos que

conforman la ecuación (188).

( )twe

wws

wsL d

tw

dn

n n cos22

1 ξ

ξξ −− =

+++

(189)

( )tsenwe

wws

wL d

tw

dn

d nξ

ξ−− =

++ 221 (190)

Por consiguiente se obtiene la función en el tiempo, representada en la ecuación

(193).

[ ] )()(1 tCsCL =− (191)

[ ]

−+−= −− tsenwtwesCL dd

twn

2

1

1cos1)(

ξξξ (192)

[ ] 01

tan1

1)(2

1

2

1 ≥

−+

−−= −

−− tparatwsen

esCL d

twn

ξξ

ξ

ξ

(193)

A continuación se determina el error, según el siguiente procedimiento:

)()()( tctrte −=

01

cos)(2

≥

−+= − tparatsenwtwete dd

twn

ξξξ (194)

75

Si 0=ξ

twtc ncos1)( −= (195)

Segundo caso Críticamente amortiguado 1=ξ

Se tiene una entrada escalón unitario s

sR1

)( =

( ) sws

wsC

n

n

2

2

)(+

= (196)

Aplicándo fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace a la ecuación

(196), se obtiene la siguiente expresión (197).

( ) 011)( ≥+−= − tparatwetc n

twn (197)

Suponemos que 1=ξ

twtsenwtsenw

nnd =

−

−=

− →→ 2

2

121 1

1lim

1lim

ξξ

ξ ξξ (198)

Tercer caso Sobreamortiguado 1>ξ

Para una entrada escalón unitario s

1)s(R = .

( )( )swwswws

wsC

nnnn

n

11)(

22

2

−−+−++=

ξξξξ (199)

Al aplicar fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace a la ecuación

(199), se obtiene la ecuación (201).

76

( )( )

( )( ) tw

tw

n

n

e

etc

1

22

1

22

2

2

112

1

112

11)(

−−−

−+−

−−−−

−+−+=

ξξ

ξξ

ξξξ

ξξξ (200)

012

1)(21

2

21

≥

−

−+=

−−

tparas

e

s

ewtc

tstsn

ξ (201)

( ) ( ) nn wsws 1;1 22

21 −−=−+= ξξξξ (202)

Cuando ξ es apreciablemente mayor que la unidad, uno de las dos exponenciales

que decaen disminuye exponencial más rápido que la otra, esta condición se puede no tomar en cuenta. Es decir, si 2s− se localiza mucho más cerca del eje jw, que 1s− . Una vez desaparecido el término exponencial que decae más rápido, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden y de la siguiente forma:

2

2

2

2

1

1

)(

)(

ss

s

wws

ww

sR

sC

nn

nn

+=

−−+

−−=

ξξ

ξξ (203)

La respuesta escalón unitario al remplazarla en la ecuación (203) se obtiene la

ecuación (204).

( )swws

wwsC

nn

nn

1

1)(

2

2

−−+

−−=

ξξ

ξξ (204)

Convirtiendo la ecuación (204), aplicando fracciones parciales y transformada

inversa de Laplace nos resulta la siguiente expresion en una función del tiempo (205).

( ) 01)( 12

≥−= −−− tparaetc twnξξ (205)

La figura 39, nos representa los tres casos generales para el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden.

77

Figura 39. Casos de amortiguamiento.

3.3.2 Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. Las características de desempeño deseadas del sistema de control se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energía no responden instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están sujetos a entradas o perturbaciones.

Con frecuencia las características de desempeño de un sistema de control se especifican términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que esta es fácil de generar y contundente.

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales.

Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una practica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. Las características de respuesta se comparan con facilidad.

La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable.

Las características principales de la respuesta transitoria son: � Tiempo de retardo, “td”: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final. � Tiempo de levantamiento, “tr”: Es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 a 90 %, del 5 al 95 % o del 10 a 100 % de su valor final. � Tiempo pico, “tp”: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.

78

� Sobrepaso máximo, “Mp”: Es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo, se define mediante.

%100)(

)()(

∞∞−

=c

ctcmáximosobrepasodePorcentaje

p (206)

Es la estabilidad relativa del sistema = sobrepaso máximo.

� Tiempo de asentamiento, “ts”: Es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el % absoluto del valor final (por lo general es de 2 a 5 %) y permanezcan dentro de este rango, ver figura 40. Figura 40. Representación de las características de un proceso.

3.3.3 Sistemas de segundo orden y especificaciones de la respuesta transitoria. � Tiempo de levantamiento, “tr”: suponemos )( rtc =1

−+−== −

rdrdtw

r tsenwtwetc rn

21cos11)(

ξξξ (207)

Si afirmamos que 0≠− rntwe ξ

01

cos2

=−

+ rdrd tsenwtwξ

ξ (208)

σξξ d

rd

wtw −=

−−=

21tan (209)

En resumen el tiempo de asentamiento es:

79

d

d

dr w

Bw

wt

−=

−= − π

σ1tan

1 (210)

� Tiempo pico, “tp”:

−++

−+=

−

−

tww

tsenwwe

tsenwtwedt

dc

dd

ddtw

ddw

n

n

cos1

3

1cos

2

2

ξ

ξξξ

ξ

ξ

(211)

Los términos de coseno se cancelan y .ttenevaluasedt

dcp=

( ) 01

|2

=−

= −=

pn

p

twnpdtt e

wtsenw

dt

dc ξ

ξ (212)

Al resolver la ecuación (212) se obtiene el siguiente término:

0=pd tsenw

...,3,2,,0 πππ=pd tw

Dado que el tiempo pico corresponde al primer pico sobrepaso máximo, π=pd tw .

dp w

tπ= (213)

El tiempo pico “ pt ”corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación

amortiguada.

� Sobrepaso máximo, “Mp”:

El tiempo pico o en d

p wtt

π==

1)( −= pp tcM (214)

80

−+=

−

πξ

ξππξ

seneM dn

ww

p 21cos (215)

πξ

ξπσ

−−

−

==21eeM dw

p (216)

� Tiempo de asentamiento, “ts”:

−+

−−= −

−

ξξ

ξ

ξ 21

2

1tan

11)( twsen

etc d

twn

(217)

Las curvas ,121 ξ

ξ

−−

±twn

e son las curvas envolventes de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario. La curva de respuesta c(t) siempre permanece dentro de un

par de curvas envolventes. La constante de tiempo de estas curvas envolventes es .1

nwξ

Al comparar las respuestas de sistemas, se define el tiempo de asentamiento ts,

como:

%244

4 delcriteriow

Ttn

s ξσ=== (218)

%533

3 delcriteriow

Ttn

s ξξ=== (219)

Ejemplo

Considere el sistema de la figura 41, en el que s

rad5.0wy6.0 n ==ξ y

obténgase el tiempo de levantamiento tr, el tiempo pico tp, el sobrepaso máximo Mp y ts, cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario.

A partir de los valores dados de ,nwyξ obtenemos:

.341 2 ===−= nnd wyww ξσξ

81

Figura 41. Sistema de realimentación general.

� Tiempo de levantamiento, “tr”:

4

14.3 B

w

Bt

dr

−=

−=

π

radw

B d 93.03

4tantan 11 === −−

σ

.55.04

93.014.3segt r =

−=

� Tiempo pico, “tp”:

.785.04

14.3seg

wt

dp === π

� Sobrepaso máximo “Mp”:

%95095.0eeM14.3

4

3w

pd ====

−π

σ−

� Tiempo de asentamiento, “ts”:

%2decriterioelpara.seg33.1344

ts ==σ

=

%5decriterioelpara.seg1333

ts ==σ

=

3.4 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR 3.4.1 Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior. Según la figura 42, la función de transferencia en lazo cerrado se representa a través de la ecuación (220).

82

ksHsG

skG

sR

sC

)()(1

)(

)(

)(

+= (220)

Figura 42. Sistema de control.

G(s) y H(s) se obtienen como cocientes de polinomios en “s”.

)(

)()(

)(

)()(

sd

snsHy

sq

spsG == (221)

Donde: p(s), q(s), n(s), d(s) son polinomios en “s”.

)()()()(

)()(

)(

)(

snspsdsq

sdsp

sR

sC

+= (222)

nmasasasa

bsbsbsb

sR

sC

nnnn

mmmm

≤++••++++••++

=−

−−

−

11

10

11

10

)(

)( (223)

La respuesta se obtiene asociando los polinomios en ceros y polos,

))...()((

))...()((

)(

)(

21

21

n

m

pspsps

zszszsk

sR

sC

++++++

= (224)

La ecuación (224) se estudia para una respuesta en escalón unitario. En donde ia es

el residuo del polo es ips −=

( )

( ) ( )∏∏

∏

==

=

+++

+=

r

k

kkk

q

ji

m

ii

wswspss

zsk

sC

1

22

1

1

2

)(

ξ (225)

En donde q + 2r = n

∑= +

+=n

i i

i

ps

a

s

asC

1

)(

83

( )∑∑

== ++−++

++

+=r

k kkk

kkkkkkq

j j

j

wsws

wcwsb

ps

a

s

asC

122

2

1 2

1)(

ξξξ

(226)

A partir de esta última ecuación (226), observamos que la respuesta de un sistema

de orden superior está compuesta de varios términos que contienen las funciones simples encontradas en las respuestas de los sistemas de primer y segundo orden. Por tanto la respuesta escalón unitario c(t), la trayectoria inversa de Laplace de C(s) es:

∑ ∑∑= =

−−

=

− −+−++=r

k

r

kkk

tkwkkk

twk

q

j

tpj tsenwectwebeaatc kkk

1 1

22

1

11cos)( 1 ξξ ξξ (227)

En este caso, la curva de respuesta de un sistema estable de orden superior es la

suma del número de curvas exponenciales y curvas senoidales amortiguadas. 3.5 RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE Es la parte de la respuesta total que permanece después de que la respuesta transitoria ha desaparecido. Por tanto, está relacionada con la precisión del sistema definida por las constantes de error de posición Ep (a una entrada escalón) y error de velocidad Ev (a una entrada rampa). 3.5.1 Característica de la respuesta en estado estable. Una característica importante de funcionamiento de los sistemas de control en estado estable, se refiere al error que presentan dichos sistemas en régimen permanente. Este error es una medida de la precisión de un sistema de control. Para un sistema como el mostrado en la figura 43, se definen las siguientes señales de error:

actuanteerrordeSeñal)s(C)s(H)s(R)s(Ea

errordeSeñal)s(C)s(R)s(E

−=−=

Figura 43. Sistema realimentado.

La expresión del error actuante Ea(s) en función de la excitación es:

84

)s(R)s(H)s(G1

1)s(Ea

+=

El error actuante del sistema en estado estacionario eass , se define como el valor del error actuante ea(t) cuando la respuesta ha adquirido su valor estacionario, esto es:

(228)

(229)

Cuando H(s) = 1, el error es igual al error actuante. El error depende tanto de G(s)·H(s) como de la señal de prueba R(s).

Otra forma de medir el error en estado estacionario para sistemas realimentados es a partir de los coeficientes de error estático que se definen en base al tipo de sistema definido como el valor de N, para N = 0, 1,2,... de la función de transferencia de lazo abierto G(s)·H(s). Sea la función de transferencia de lazo abierto:

)sbsbb(s

sasaa)s(H)s(G

rr

N

mm

++++++

=K

K

10

10

(230)

Donde el tipo de sistema está dado por el valor de N para N = 0, 1, 2, El coeficiente estático de error de posición Kp se determina con una señal de entrada escalón r(t) = P.u(t), y está definido por:

)s(H)s(GlimKps 0→

= (231)

Luego el error de posición “ep “, es:

Kp

Pee assp +

==1

(232)

Su expresión en tanto por uno se obtiene directamente cuando P=1, entonces:

Kpep +

=1

1

El coeficiente estático de error de velocidad Kv se determina con una señal de entrada rampa r(t) = V.t.u(t), y está definido por:

)s(E slim)t(elime as

at

ass0→∞→

==

)s(R)s(H)s(G

s limes

ass +=

→ 1

10

85

)s(H)s(G s limKvs 0→

= (233)

Luego el error de velocidad “ev“, es:

Kv

Vee assv

== (234)

De manera semejante a “ep”, y relacionado por uno se obtiene la expresión:

Kvev

1=

De manera similar el coeficiente estático de error de aceleración Ka se determina

con una señal de entrada parábola r(t) = 21

a.t2.u(t), y está definido por:

)s(H)s(Gs limKa 2

s 0→=

(235)

Luego el error de aceleración “ea”, es:

Ka

aea

= (236)

Y si decimos que a = 1, nos queda la siguiente expresión.

Kaea

1=

La tabla 6, resume los errores estacionarios para sistemas tipo 0, 1 y 2 sometidos a entradas escalón, rampa y parábola, en función de los coeficientes estáticos de error: Tabla 6. Errores relativos en estado estable.

ERROR

Tipo de sistema POSICION

eP VELOCIDAD

ev ACELERACION

ea

Cero ( )Kp+1

1

∞

∞

Uno

0 Kv

1

∞

Segundo

0

0 Ka

1

86

Comentarios sobre los aspectos de la respuesta transitoria y permanente. En muchos casos prácticos, las características de diseño deseadas de los sistemas de control, se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo, esto ocurre debido a que los sistemas con almacenamiento de energía no pueden responder de forma instantánea, y siempre que estén sujetos a entradas o perturbaciones mostraran respuestas transitorias. Con frecuencia, las características de diseño de un sistema de control están especificadas en términos de su respuesta transitoria a una entrada escalón unitario, ya que dicha entrada es fácil de generar, y sirve para proporcionar información útil de las características de la respuesta transitoria. La respuesta transitoria de un sistema a una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por comodidad, al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es frecuente utilizar la condición inicial estándar: el sistema está inicialmente en reposo, y la salida y todas sus derivadas con respecto al tiempo son cero. Las características de respuesta pueden compararse sin dificultad. Se estudia la respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario ya que este tipo de entrada es lo bastante drástica como para probar la bondad del sistema en régimen transitorio. Además si se conoce la respuesta ante este tipo de entrada se puede calcular en forma analítica la respuesta ante cualquier tipo de entrada. Para concluir afirmamos que es deseable que la respuesta sea rápida y amortiguada; para ello ζ debe estar en un rango de 0,4~0,8. Valores pequeños de ζ producen sobre impulso excesivo mientras que valores altos hacen que la respuesta sea lenta. Finalmente la siguiente figura muestra los puntos a especificar para obtener una respuesta transitoria satisfactoria. La respuesta en estado estable, es la parte de la respuesta total que permanece después de que la respuesta transitoria ha desaparecido. Una característica importante de funcionamiento de los sistemas de control en estado estable, se refiere al error que presentan dichos sistemas en régimen permanente. Este error es una medida de la precisión de un sistema de control. 3.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Determinar C y c del sistema que se presenta en la Figura 44, para que el sobrepaso

máximo de la respuesta escalón unitaria sea de 28% y el tiempo pico sea de 2,5 seg, suponer que J es 1 Kg.-m2.

87

Figura 44. Sistema múltiple.

2. Obtener la respuesta impulso unitario y la respuesta escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente, su función de transferencia en lazo abierto es:

2

14)(

s

ssG

+=

3. Calcular la respuesta, en régimen estacionario, a una señal de entrada x(t) = 20sen22t, de

un sistema cuya función de transferencia es:

1209

132)(

2 ++=

sssG

4. Cúal es la respuesta escalón unitario de la siguiente Figura 45. Figura 45. Sistema de realimentación.

5. La función de transferencia de cierto sistema es:

)4)(4)(2(

)6(7)(

jsjss

ssG

++−+++=

6. Considere la respuesta al impulso unitario de un sistema de cualquier orden.

• ¿Con que polos se producirán oscilaciones? • ¿En que afectan los ceros en un sistema? • Si se tienen polos complejos que pueden también ser motivos ¿en qué

afectará el que esos polos sean alejados más del eje real? • Si se tienen polos a la izquierda del eje imaginario y esos polos pueden ser

movidos todavía más hacia la izquierda. ¿en qué se verá afectada la respuesta del sistema?.

88

4. ACCIONES BASICAS DE CONTROL Y RESPUESTA DE SISTEMAS DE CONTROL

4.1 INTRODUCCION

En este capítulo se analizarán las acciones de control básicas que se usan en los sistemas de los procesos industriales. A continuación se estudiará los efectos de las acciones del control integrativo y derivativo en la respuesta del sistema. También se considerará y comprenderá el procedimiento para la verificación de la estabilidad de un proceso de control, a través del criterio de estabilidad de Routh. 4.1.1 Acciones básicas de control. � On – Off, es un sistema de control de dos estados, el elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas que en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. Esta se encuentra en contraste con las otras acciones de control en las cuales el dispositivo de control es capaz, de una variación continua de la respuesta para un rango específico. Estando limitado a dos estados, el control de dos posiciones proporciona demasiada, o muy poca corrección al sistema. En esta forma, la variable controlada debe moverse continuamente entre los dos límites requeridos y hacer que el elemento de control se mueva de una posición fija a la otra.

El rango a través del cual debe moverse la variable controlada se llama diferencial del elemento de control.

La oscilación de la variable controlada entre los dos límites, es una característica

importante del control de dos posiciones y a veces limita su utilización. Sin embargo, un control de dos posiciones es relativamente simple y económico y, por esta razón, es ampliamente usado.

Supongamos que la señal de salida del controlador es m(t) y que la señal de error es

e(t), en el control de dos posiciones, ver figura 46, la señal m(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo que la señal de error sea positiva o negativa.

De este modo, 21 MyM son constantes.

0)()(

0)()(

2

1

<=>=

teparaMtm

teparaMtm (237)

Por lo general, el valor mínimo de 2M es cero o – 1M . Es común que los

controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, se usa extensamente una válvula eléctrica operada por actuadores. Los controladores proporcionales con ganancia

89

muy alta funcionan como controladores de dos posiciones y, se denominan controladores de dos posiciones.

Figura 46. Diagrama todo o nada.

Considere el sistema de control de nivel de líquido de la figura 47, se usa la válvula electromagnética para controlar el flujo de entrada, esta válvula está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es una constante positiva o cero.

Como se aprecia en la figura 47, la señal de salida se mueve continuamente entre los

dos límites requeridos y provoca que el elemento de actuación se mueva de una posición fija a la otra, es decir que se carga o se deja de llenar el líquido al tanque.

Figura 47. Válvula de control en la brecha.

Observe que la curva de la figura 48 de salida, sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Tal oscilación de salida entre dos límites es una respuesta común, y característica de un sistema bajo un control de dos posiciones.

En la figura 48, observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida,

debe disminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial aumenta la cantidad de conmutaciones de encendido y apagado por un minuto, reduce la vida útil del componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de consideraciones, tales como la precisión requerida y la vida del componente.

90

Figura 48. Brecha diferencial.

En la figura 48, representa el rango que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación, esto se denomina brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del controlador m(t), conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido, sin embargo con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado.

� Acción de control proporcional: Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador m(t) y la señal de error e(t) es:

)()( tektm p= (238)

La transformada de Laplace de la ecuación (238) se presenta a continuacion:

pksE

sM =)(

)( (239)

alproporcionGananciaK p=

� Acción de control integral: Para un controlador con acción de control integral, el valor de salida del controlador m(t) cambia a una razón proporcional a la señal de error e(t), como se presenta a continuación:

)()(

tekdt

tdmi= (240)

91

∫=t

i dttektm0

)()( (241)

ki = Constante de integración. La transformada de Laplace de la expresión (241) es la siguiente:

s

k

sE

sM i=)(

)( (242)

Si se duplica el valor de e(t), el valor de m(t) varia dos veces más rápido. Para un

error de cero, el valor de m(t) permanece estacionario.

� Acción de control proporcional-integral: Para un controlador con acción proporcional e integrativa, el valor de salida del controlador m(t) es afectada por e(t) y tiene la siguiente forma:

∫+=t

i

pp dtte

T

ktektm

0

)()()( (243)

La función de transferencia de la ecuación (243) se presenta a continuación:

+=

sTk

sE

sM

ip

11

)(

)( (244)

egralintTiempoT,alproporcionGananciak ip ==

� Acción de control proporcional-derivativa: Para un controlador con acción proporcional y derivativa, el valor de salida del controlador m(t) es afectado por e(t) y tiene la siguiente forma:

dt

tdeTktektm dpp

)()()( += (245)

La función de transferencia la ecuación (245), se escribe a continuación:

( )sTksE

sMdp += 1

)(

)( (246)

derivativaTiempoT,alproporcionGananciak dp ==

� Acción de control proporcional-integral-derivativa: La combinación de una acción de control proporcional, acción de control integral y acción de control derivativa, se

92

denomina “acción de control P-I-D”. Esta acción combinada tiene las ventaja de cada una de las tres acciones de control individuales y se presenta de la siguiente forma:

dt

tdeTkdtte

T

ktektm dp

t

i

pp

)()()()(

0

++= ∫ (247)

La función de transferencia de la ecuación (247) se designa de la siguiente forma:

++= sT

sTk

sE

sMd

ip

11

)(

)( (248)

4.2 EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVO SOBRE EL DESEMPEÑO DE UN SISTEMA.

4.2.1 Acción de control integral. En el controlador proporcional de un proceso, su función

de transferencia no tiene un integrador s

1 , posee un error en estado estable. Esta

remanencia se disminuye si se adiciona la acción integrativa en el controlador.

En el modo integrativo de un proceso, la señal manipulada, es la señal que envía al ejecutor a partir del controlador, es el área bajo la curva de la señal de error. La señal de control m(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero,ver figura 49. Esto no se presenta en el modo proporcional en el controlador, dado que una señal manipulada por el controlador que no es cero, requiere de una señal de error con otro valor que no sea cero. Figura 49. Representación de error y salida.

Al observar detenidamente la figura 49, del modo integrativo vemos que, aunque elimina el error en estado estable, existe una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta, pero al ocurrir el caso contrario da una amplitud creciente.

93

4.2.2 Acción integrativo en los sistemas de control del nivel de líquidos. En el ítem anterior de nivel, el modo proporcional induce un error en estado estable con una entrada escalón. A continuación se presenta como se elimina ese error, al incluir en el controlador una acción integrativa, a través de un sistema de nivel de líquido, según la figura 50.

Figura 50. Sistema de nivel de líquido.

kRsRCs

kR

sX

sH

++=

2)(

)( (249)

kRsRCs

sRCs

sX

sHsX

sX

sE

++

=−

=2

2

)(

)()(

)(

)( (250)

Al hallar la función de transferencia general del sistema de la figura 50, presentada a

través de la ecuación (250) y suponinedo que el proceso es estable, que hay un error en régimen permanente, incluyendo la respuesta escalón y aplicando la metodología del análisis de respuesta transitoria, se obtiene el error final.

)(lim

0ssEe

sss →

= (251)

( )

kRssRCs

sRCsse

sss ++

+=

→ 2

2

0lim (252)

0=sse

94

4.2.3 Acción derivativa en un controlador. Cuando una acción derivativa se adiciona a un controlador proporcional, se obtiene un controlador con alta sensibilidad. Por lo tanto, la acción derivativa incluida en el controlador predice el error, empieza acciones correctivas en un instante adecuado e incrementa la estabilidad del proceso. No obstante, la acción derivativa no perturba directamente el error en régimen permanente, pero adiciona amortiguamiento al proceso, admitiendo un valor más grande en la ganancia k, lo cual induce directamente en la precisión en régimen permanente. Comentarios sobre aspectos de las acciones de control Acción Proporcional

Si el efecto de la variable controlada es muy grande, mayor será el error cometido. Para que este error sea lo más pequeño posible el factor proporcional Kp tendrá que ser muy elevado. Si el error en régimen permanente es infinito se dice que el sistema es totalmente inestable. El control proporcional no es más que un amplificador de ganancia ajustable. Su objetivo es hacer más rápida la respuesta del sistema y reducir el error de régimen, lo que se consigue al incrementar la ganancia del controlador. Sin embargo, este incremento en la ganancia puede provocar que el sistema se haga cada vez más oscilatorio.

Acción Proporcional-Integrativo

En este tipo de controlador, la parte proporcional P ayuda a incrementar la velocidad de respuesta, mientras que la parte derivativa D tiene su mayor efecto en los transitorios, haciendo más amortiguado y estable al sistema. Este control responde a la velocidad de variación del error actuante y puede producir una corrección significativa antes de que el error actuante se haga excesivo, esto significa que la acción derivativa se anticipa el error actuante, iniciando una acción correctiva temprana que tiende a aumentar la estabilidad del sistema. El hecho de que la parte derivativa añada amortiguamiento al sistema nos permite el uso de valores de ganancia KP más elevado, lo que produce a su vez un mejoramiento en la exactitud del estado de régimen. El control PD es un control con alta sensibilidad. Su desventaja radica en que amplifica señales de ruido y puede producir un efecto de saturación en el acondicionador. Para obtener esta característica derivativa se deriva directamente la señal de error y se le afecta por una constante a la que se denomina constante derivativa.

Acción Proporcional – Integrativo

Si la función de transferencia del proceso no contiene un integrador (1/s), ello implicará que exista un error de régimen “ess” en la respuesta a escalón del sistema. Este corrimiento puede ser iluminado si se incluye la acción integrativa. Al aplicar esta acción, se puede dar el caso de que la señal de control u(t) tenga un valor diferente de cero cuando el error e(t) es cero. Este controlador tiene la desventaja de que puede llegar a causar problemas de inestabilidad. Para la obtención de este tipo de acción se añade a la parte

95

proporcional el resultado de integrar la señal de error habiendo afectado a ésta por una cierta constante a la que se denomina constante de integración.

Acción integrativa

La acción integrativa del proceso de nivel de líquido elimina el error en estado permanente en la respuesta a la entrada escalón.

Acción derivativa

Debido a que la acción derivativa aplica sobre la velocidad del cambio del error, y no sobre el error mismo, nunca se usa aislada, siempre se emplea junto con una acción proporcional.

Acción Proporcional – Integrativo – derivativa

Este controlador incorpora las ventajas que proporcionan cada una de las tres acciones individuales descritas anteriormente y es muy usado en el campo industrial.

4.3 CRITERIO DE ESTABILIDAD ROUTH-HURWITZ

El problema más importante en un sistema de control es la estabilidad, es decir ¿bajo que condiciones se vuelve inestable un sistema? si es inestable, ¿como se estabiliza?.

El sistema es inestable si los polos se encuentran en el eje derecho o semiplano

derecho del plano “s”, (ver figura 51). Un criterio simple, conocido como criterio de estabilidad de Routh, permite conocer

la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener que factorizar el polinomio.

El criterio de estabilidad de Routh, plantea que el número de raíces con partes reales

positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo.

El procedimiento para la aplicación del criterio de Routh es el siguiente:

� Escribir el polinomio de la siguiente forma:

011

10 =++•••++ −−

nnnn asasasa (253)

Los coeficientes son cantidades reales, 0≠na

� Observamos si los coeficientes son cero o negativos alrededor de un coeficiente positivo, si existen raíces imaginarias o tienen partes reales positivas.

96

Comentario La condición necesaria, pero no suficiente para la estabilidad, es que todos los

coeficientes se encuentren con valor y sean positivos. Debe señalarse que lo que interesa es el cambio de signo de la primera columna del arreglo.

Figura 51. Estado estable en el plano complejo.

� Si los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en filas y columnas, de acuerdo al siguiente arreglo: •••6420 aaaasn

•••−7531

1 aaaasn

•••−4321

2 bbbbsn (254)

•••−4321

3 ccccsn

97

•••−4321

4 ddddsn

212 ees

11 es +

10 gs

Los coeficientes nnnn m,...d,c,b , se evalúan de la siguiente forma, teniendo

encuenta la ecuación (254):

1

30211 a

aaaab

−=

1

50412 a

aaaab

−=

1

30613 a

aaaab

−=

1

31512

1

21311 b

baabc

b

baabc

−=

−= (255)

1

21211

1

41713 c

cbbcd

b

baabc

−=

−=

Ejemplo

Explicar y decir si es estable o no, el siguiente polinomio.

02643 234 =++++ ssss Solución

Para conocer si el polinomio presentado es estable o no, se debe aplicar la metodología del criterio de Routh, es decir, seguir la metodología desarrollada por el Ítem 4.3.

2

03

22

063

241

0

1

2

3

4

s

s

s

s

s

No existe ningún cambio de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto

significa que el sistema es estable.

4.3.1 Casos especiales. Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son ceros o no hay términos restante, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño E y se evalúa el resto del renglón.

98

Ejemplo Hallar si el sistema es estable o inestable del siguiente polinomio.

033 23 =+++ sss

Solución Realizar la metodología presentada en el ítem 4.3, y al presentarse una dificultad en el desarrollo, se debe aplicar la solución como un caso especial,es decir, se remplaza el valor que da cero en un número positivo E y se desarrolla como un proceso normal.

3

0

33

11

0

1

2

3

s

Es

s

s

≈

El sistema es estable, no hay ningún cambio de signo.

Ejemplo Hallar si el sistema es estable o inestable del siguiente polinomio.

0463 =+− ss Solución

Realizar la metodología presentada en el ítem 4.3, y al conocer que aparece una dificultad en el desarrollo, se debe aplicar la solución como caso especial, en este impace se procede a remplazar el valor que da cero en un numero positivo E.

4

46

40

61

0

1

2

3

s

Es

Es

s

−−

≈

−

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna, el sistema es

inestable. Ejemplo Hallar si el sistema es estable o inestable del siguiente polinomio.

99

0105842 2345 =−−+++ sssss Solución Realizar la metodología presentada en el ítem 4.3, y al presentarse un renglon con una dificultad, en que toda la fila es cero, se procede a resolver como caso especial. En este caso se toma los valores del polinomio anterior, se deriva y el resultado de sus coeficientes se reemplazan en el polinomio donde aparecen los ceros y se continúa su desarrollo hasta obtener su respuesta lógica.

00

1082

541

3

4

5

s

auxiliarpolinomios

s

−−

,ceros3 =

ssds

sdP

sssP

168)(

1082)(

3

24

+=

−+=

Los coeficientes 8 y 16 sustituyen los términos del renglón 3s .

20

056

204

168

1082

541

0

1

2

3

4

5

−

−

−−

s

s

s

s

s

s

El sistema tiene cambio de signo, es decir, el proceso es inestable.

4.3.2 Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control. El criterio tiene una utilidad límitada en el análisis de un sistema, sobre todo no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen la inestabilidad. Ejemplo

Determinar el rango de estabilidad del sistema de la figura 52.

100

Solución Analizar el sistema en estudio según la figura 52, con el polinomio característico del sistema se aplica la metodología correspondiente al criterio de Routh, presentado en el ítem 4.3 y por último se escoge el valor correspondiente que hace que el sistema sea estable o inestable.

Figura 52. Sistema de control.

( )( ) kssss

k

sU

sC

++++=

122)(

)(2

La ecuación característica se presenta a continuación:

0243 234 =++++ kssss

El arreglo del criterio de Routh, es el siguiente:

ks

ks

ks

s

ks

0

1

2

3

4

01092

310

023

41

−

Para la estabilidad, “k” debe ser positiva y todos los coeficientes de la primera

columna deben serlo también, por tanto, se hace la siguiente igualdad en la fila donde aparece una ecuación con raices, en este caso la 1s :

09

20 >> k

Cuando 9

20=k , el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación

se mantiene en una amplitud constante.

101

Comentarios sobre aspectos del criterio de Routh El método de Routh lo podemos utilizar para determinar los intervalos de los

parámetros para los cuales un sistema realimentado permanece estable. Las condiciones necesarias y suficientes para que todas las raíces del polinomio

característico estén en el semiplano izquierdo del plano “s”, son que los determinantes del criteriio de Routh de la ecuación sean todos positivos.

Este criterio de Routh es muy sencillo, práctico y bastante aplicado en los sistemas

de control para hallar su estabilidad.

4.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determinar el error en estado permanente del siguiente sistema, que se presenta en la

Figura 53.

Figura 53. Sistema realimentado para estado estable.

2. Determinar el rango de valores de K de la siguiente ecuación característica.

01234 =++++ ssKss

3. Determinar el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

)4)(2()(

++=

sss

KsG

4. Hallar el dominio de la ganancia K para el sistema que se muestra en la figura 54.

Figura 54. Sistema complejo de realimentación.

102

5. Obtener una solución analítica de la respuesta escalón unitario de un sistema de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:

)175.3)(5(

)25(6)(

2 ++++=

ssss

ssG

6. Explicar detalladamente las acciones de control proporcional, integrativo y derivativo,

orientados a los sistemas donde se utilice los amplificadores operacionales.

103

5. COMPONENTES ESPECÍFICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL

5.1 INTRODUCCION

En este capítulo se presenta los conceptos y principios básicos de los transmisores neumáticos, electrónicos y digitales. También nos concentraremos en los controladores neumáticos, electrónicos y digitales, concluyendo con las teorías de selección de válvulas de control.

En el mundo industrial y comercial, existen diversos tipos de señales de comunicación con los demás dispositivos de control, entre estas señales tenemos las siguientes: Neumática, Electrónica, Dígital, Hidráulica y Telemétricas. La señal hidráulica se utiliza cuando se necesita una gran potencia y las señales telemétricas cuando hay que transmitir a grandes distancias, en este texto no se estudia estas señales. 5.2 TRANSMISORES NEUMÁTICOS

Estos dispositivos suministran una señal neumática variable linealmente de 3 a 15 psi, al controlador o a elementos receptores. En todos los transmisores neumáticos se utiliza un conjunto compuesto por tobera-obturador, el propósito es el de producir una señal de salida proporcional a la salida del sensor, y también se utiliza un relevador neumático o válvula piloto, para la amplificación de la señal, como se representa en el siguiente esquema, ver figura 55. Figura 55. Bloque de las etapas de un transmisor neumático.

5.2.1 Conjunto tobera - obturador. La figura 55, contiene un diagrama esquemático de un amplificador neumático de tobera-obturador. El suministro de energía de aire normalizada a una presión es de (Ps) (1,4 bar ( 20 psi ) ). El conjunto tobera - obturador convierte los cambios pequeños en la posición de la aleta (X), en cambios grandes en la presión trasera de la tobera (Pb). Por lo tanto, una salida de energía grande se controla por medio de la pequeña cantidad de energía necesaria para posicionar la aleta. En la figura 56, el aire presurizado se alimenta a través del orificio Ps y se expulsa de la tobera hacia el obturador. El diámetro del orifico está en el orden de 0,01 in ( 0,25 mm) y el de la tobera está en el orden de 0,016 in ( 0,4 mm ). Para asegurar un funcionamiento adecuado del conjunto tobera - obturador, el diámetro de la tobera debe ser más grande que el diámetro del orificio (el diámetro no es más pequeño para evitar que la tobera se tape por suciedad del aire).

104

Figura 56. Diagrama esquemático del amplificador tobera-obturador.

Al operar este conjunto, el obturador se posiciona contra la abertura de la tobera. La presión trasera de la tobera ( Pb ) se controla mediante la distancia ( X ) tobera - obturador. Conforme el obturador se acerca a la tobera, aumenta la oposición al flujo del aire a través de la tobera, también aumenta la presión trasera ( Pb ) de la tobera. Si la tobera está completamente cerrada por medio del obturador, su presión trasera ( Pb ) se vuelve igual a la presión de suministro ( Ps ). Si la aleta se aleja de la tobera no hay restricción para el flujo y la presión trasera ( Pb ) de la tobera adquiere un valor mínimo posiblemente ( Pa ), presión atmosférica o ambiente. El conjunto tobera - obturador convierte el desplazamiento en una señal de presión. La figura 57, contiene una curva típica que relaciona la presión trasera ( Pb ) de la tobera con la distancia ( X ) tobera - obturador. La parte con gran inclinación y casi lineal de la curva se utiliza en la operación real del amplificador de tobera-obturador, debido a que el rango de los desplazamientos del obturador está limitado a un valor pequeño, también es pequeño el cambio en la presión de salida, a menos que la curva esté muy inclinada. Figura 57. Curva característica de la presión trasera y la distancia tobera-obturador.

105

Comentarios sobre aspectos de tobera - obturador

Dado que los sistemas de control de procesos industriales requieren de una potencia de salida grande, para operar válvulas con actuadores neumáticos grandes, por lo general es insuficiente el incremento de potencia del amplificador de tobera - obturador. En consecuencia, un relevador neumático funciona por lo general como un amplificador de potencia en la conexión con el amplificador de tobera-obturador. 5.2.2 Relevadores (amplificador de potencia). En la práctica en un transmisor neumático, el conjunto tobera - obturador actúa como el amplificador de primera etapa y el relevador neumático como el amplificador de segunda etapa (ver figura 55). El relevador neumático es capaz de manejar un flujo de aire grande.

La figura 58, contiene un diagrama esquemático de un relevador neumático. Conforme aumenta la presión trasera de la tobera ( Pb ), la válvula de diafragma se mueve hacia abajo. La apertura hacia la atmósfera disminuye y la apertura al controlador aumenta, por lo cual aumenta la presión de control ( Pc ). Cuando la válvula de diafragma cierra la abertura hacia la atmósfera, la presión de control ( Pc ) se vuelve igual a la presión de suministro ( Ps ).

Cuando disminuye la presión trasera de la tobera ( Pb ) y la válvula de diafragma se

mueve hacia arriba y cierra el suministro de aire, la presión de control ( Pc ) disminuye hasta la presión ambiente ( Pa ). Por tal razón, se hace que varíe la presión de control ( Pc ) de 0 psig a una presión de suministro completa, por lo general de 20 psig. El movimiento total de la válvula de diafragma es muy pequeño.

En todas las posiciones de la válvula, excepto en la posición que se cierra el suministro de aire, el aire continúa escapando a la atmósfera, incluso después de que se obtiene la condición de equilibrio entre la presión trasera de la tobera y la presión de control, por lo tanto la figura 58, es un relevador con escape. Figura 58. Diagrama de una relevador con escape.

106

Existe otro tipo de relevador como es el sin escape. En éste, el escape del aire se detiene cuando se obtiene la condición de equilibrio y, por tanto no hay una pérdida de aire presurizado en una operación en estado estable. Sin embargo, observe que el relevador sin escape debe tener una salida a la atmósfera para liberar la presión de control ( Pc ). La figura 59, muestra un diagrama esquemático de un relevador sin escape.

Figura 59. Diagrama esquemático de un relevador sin escape.

En cualquier tipo de relevador, el suministro de aire se controla mediante una

válvula, que a su vez, se controla mediante la presión trasera de la tobera. Por tanto, la presión trasera de la tobera se convierte en una presión de control con la amplificación de la potencia. Dado que la presión de control ( Pc ) cambia casi instantáneamente con las modificaciones en la presión trasera de la tobera ( Pb ), la constante del tiempo del relevador neumático es insignificante en comparación con las otras constantes de tiempo más grandes del transmisor neumático.

5.2.3 Transmisor neumático (tipo Fuerza-Distancia). En la industria se usan dos tipos de transmisores neumáticos, el denominado de fuerza - distancia y el de fuerza - balance. Sin tomar en cuenta qué tan distintos parezcan los transmisores neumáticos industriales, estos presentaran una estrecha similitud en las funciones del circuito neumático.

La figura 60, muestra un diagrama esquemático, del conjunto tobera – obturador, es el amplificador de la primera etapa y la presión trasera de la tobera se controla mediante la distancia de la tobera - obturador.

El amplificador de tipo relevador, constituye el amplificador de la segunda etapa. La presión trasera de la tobera determina la posición de la válvula del diafragma

para el amplificador de la segunda etapa, que es capaz de manejar una cantidad grande de flujo de aire.

107

La señal de entrada puede ser cualquier dispositivo primario de desplazamiento. En la mayor parte de los transmisores neumáticos, se emplea algún tipo de

realimentación neumática. La realimentación de la salida neumática reduce la cantidad de movimiento real del obturador. En lugar de montar el obturador en un punto fijo, suele colocarse como pivote en los fuelles de realimentación, como se observa en la figura 56, la cantidad de realimentación se regula introduciendo una unión variable entre el fuelle de realimentación y el punto de conexión del obturador. A su vez el obturador se convierte en un punto flotante. Se mueve tanto por la señal de error como por la señal de realimentación.

Debe señalarse que la operación adecuada del transmisor, requiere que el fuelle de realimentación mueva el obturador menos que el movimiento provocado por la señal del error.

La operación del transmisor es como sigue (ver figura 60): hay una señal de entrada

(sensor primario), el incremento en la señal de entrada mueve el obturador hacia la izquierda. Este movimiento a su vez, aumenta la presión trasera de la tobera y la válvula de diafragma se mueve hacia abajo. Esto provoca un aumento en la presión de control. Este incremento induce que el fuelle F se expanda y se mueva el obturador hacia la derecha, con lo cual se abre la tobera. Debido a esta realimentación, el desplazamiento de tobera obturador es muy pequeño, pero el cambio en la presión de control puede ser grande. Figura 60. Diagrama esquemático de un transmisor de tipo fuerza-distancia.

5.2.4 Análisis dinámico del transmisor neumático. Las ecuaciones para este transmisor se obtienen del modo siguiente (ver figura 60). Cuando la entrada es cero, existe un estado en equilibrio con la distancia tobera - obturador igual a (X ), el desplazamiento del fuelle igual a (Y ), el desplazamiento del diafragma igual a (Z ), la presión trasera de la tobera igual a ( Pb) y la presión de control igual (Pc). Cuando existe un valor de entrada o desplazamiento de la distancia tobera - obturador, el desplazamiento del fuelle, el desplazamiento del

108

diafragma, la presión trasera de la tobera y la presión de control se desvían de sus valores de equilibrio respectivos.

Supongamos las desviaciones de las variables cb PPzyx ,,,, respectivamente.

Suponiendo que la relación entre la variación en la presión trasera de la tobera y la variación en la distancia tobera - obturador es lineal.

xkPb 1= (256)

1k Es una constante positiva. Para la válvula de diafragma.

zkPb 2= (257)

2k Es una constante positiva. La posición de la válvula de diafragma determina la presión de control. Si la válvula

de diafragma es tal que la relación entre (Pc) y (z) es lineal, entonces nos queda asi:

zkPc 3= (258)

3k Es una constante positiva.

A partir de las ecuaciones (257), (258), se obtiene la siguiente expresión (260).

bc Pk

kP

2

3= (259)

kxPc = (260)

2

13

k

kkk = Es una constante positiva.

Para el movimiento del obturador obtenemos la siguiente relación:

yba

ae

ba

bx

+−

+= (261)

El fuelle funciona como un resorte y su ecuación es la siguiente:

ykAP sc = (262)

A es el área efectiva del fuelle y “sK ” es la constante de elasticidad equivalente, que

es la rigidez provocada por la acción del lado lateral del fuelle.

109

Suponiendo que todas las variaciones de las variables están dentro de un rango lineal, obtenemos un diagrama de bloques como se aprecia en la figura 61.

Para el diagrama reducido tenemos la siguiente función de trasferencia:

(263)

Comentario

Los transmisores neumáticos que no tienen mecanismos de realimentación, tienen

una alta sensibilidad.

Figura 61. Diagrama de bloques de un transmisor neumático.

5.2.5 Transmisor neumático (tipo Fuerza - Balance). La figura 62, muestra un diagrama esquemático de un transmisor neumático de fuerza balance. El principio de operación básico, no es diferente del que se emplea en el transmisor de fuerza - distancia. La principal ventaja del transmisor fuerza – balance, es que elimina muchos enlaces mecanismos y uniones de pivote, con lo cual reduce los efectos de la fricción. Figura 62. Diagrama de un transmisor tipo fuerza-balance.

p

s

c k

k

A

ba

ak

kba

b

sE

sP=

++

+=1)(

)(

110

En el transmisor la presión de la entrada de referencia (Pr) y la presión de salida (Po) se introducen en las cámaras superior e inferior, correspondientes a sus respectivos diafragmas (A1 y A2). Observe que un transmisor neumático de fuerza - balance sólo opera sobre señales de presión. Por lo tanto, es necesario convertir la entrada de referencia y la salida del sistema en las señales de presión correspondientes. Al igual que el transmisor fuerza - distancia, este transmisor emplea un obturador, una tobera y algunos orificios.

El diafragma A1 inferior es el obturador y la abertura perforada en la cámara

inferior es la tobera. La operación del controlador fuerza - balance se resume así: (Ps) 20 Psig de aire fluyen desde un suministro a través de un orificio, provocado una presión reducida en la cámara inferior. El aire de esta cámara escapa a la atmósfera a través de la tobera. El flujo a través de la tobera depende de la brecha y la disminución de la presión a través de la misma.

Un incremento en la presión de la entrada de (Pr), al tiempo que la de salida (Po)

permanente igual, provoca que el vástago de la válvula se mueva hacia abajo, disminuyendo la brecha entre la tobera y el diafragma del obturador. Esto provoca que la presión de control (Pc) aumente. 5.2.6 Análisis dinámico de transmisor Fuerza - Balance. Supongamos que:

ore PPP −= (264)

Si Pc = 0, existe un estado de equilibrio con la distancia tobera-obturador igual a X ,

la presión de control igual a cP .

En este caso de equilibrio:

KPP c=1 1>K (265)

Y

)( 11 KAPAPX cc −= α (266)

En donde α es una constante.

Supongamos que Pc ≠ 0 y definamos las pequeñas variaciones en la distancia

tobera-obturador y la presión de control (x) y (Pc) respectivamente. En este caso obtenemos:

)()()[( 1211 AAPKAPPAPPXX ecccc −−+−+=+ α ] (267)

Según las ecuaciones anteriores obtenemos:

111

[ ])()1( 121 AAPAKPX ec −−−= α (268)

En este punto, debemos examinar la cantidad (X). La distancia tobera-obturador se

hace muy pequeña.

En vista de que αX

es un término de orden mayor que 1)1( AKPc − o

)( 12 AAPe −= es decir, para 0≠cP .

1)1( AKPX

C −<<<α

(269)

)( 12 AAPX

e −<<<α

(270)

Es posible no considerar el termino X en nuestro análisis.

Entonces se hace:

)()1( 121 AAPAkP ec −=− (271)

La función de transferencia es la presentada a continuacion:

(272)

Comentario

El valor de” K” tiende a la unidad conforme la resistencia al flujo en el orificio de

tubo de entrada se hace más pequeña. “K”, depende de los diámetros de los orificios de los tubos de entrada y salida de la cámara de realimentación. 5.2.7 Velocidad de respuesta de los transmisores neumáticos. Cada lazo de control (Transmisor y Receptor), es determinado por sus características específicas, como el retardo aceptable en la transmisión. Desde el punto de vista del análisis dinámico, la función de transferencia del transmisor corresponde a un sistema de primer orden con una constante de tiempo RC=τ . Es evidente que cuando mayor sea esta constante de tiempo, es decir, la longitud del tubo que da lugar a la resistencia (R), tanto mayor será el retardo en la transmisión. Ejemplo

Presentar el modelo matemático, del retardo del transmisor en el sistema de temperatura de un reactor, según la figura 63, e implementarlo en ambiente Simulink.

pe

c KKA

AA

sP

sP=

−

−=

1

1

)(

)(

1

12

112

Solución Se analiza el proceso presentado en la figura 63, se concentra en el trasmisor utilizado en la medición de la variable controlada de temperatura, teniendo encuenta el tiempo muerto de este hacia el controlador, a continuación se realiza el modelo respectivo del transmisor y se concluye con el diagrama esquemático que se utiliza en la herramienta SIMULINK. b = Señal del transmisor en una escala de 0 a 1 P.U. T = Temperatura en el proceso.

mT = Límite inferior del rango de transmisor.

TT∆ = Rango calibrado del transmisor.

Tτ = Tiempo de retardo del sensor-transmisor y es de 0,4 min según la distancia y proceso.

Figura 63. Sistema de temperatura en un Reactor.

La siguiente ecuación representa la relación de la señal del transmisor con el proceso.

113

−

∆−

= bT

TT

dt

db

T

m

Tτ1

(273)

Se realiza el estudio en condiciones en estado estático, con el fin de colocar los

valores iniciales al sistema y a continuacion se simula, para obtener lo propuesto:

0=dt

db (274)

0=−∆−

bT

TT

T

m (275)

Tmín = -10 % de T Tmáx = + 10 % de T =∆ TT Tmáx - Tmín

La herramienta para establecer el paso de simulación a través de los diagramas de

bloques es el Simulink, ver figura 64. Figura 64. Diagrama en Simulink de un modelo de transmisor.

5.2.8 Otra configuracion de transmisores neumáticos. � Transmisor de equilibrio de fuerzas: Se puede ver según la figura 65, el elemento de medición (diafragma) ejerce una fuerza en el punto A sobre la palanca AC que tiene su punto de apoyo en B.

Cuando se aumenta la fuerza ejercida por elemento de medición a través del diafragma en A, la palanca AC, se desequilibra hacia abajo, se bloquea la salida del aire de la tobera (X), la presión de salida o de control (Pc) aumenta y el diafragma unido a D, ejerce una fuerza hacia arriba alcanzándose un nuevo equilibrio en la barra AC.

114

Hay que señalar, como se ha dicho, que este transmisor los movimientos son inapreciables.

Figura 65. Diagrama del transmisor de equilibrio de fuerzas.

Comentarios sobre aspectos de trasmisores neumáticos.

Las variaciones en la presión del aire de alimentación (20 psi) influyen en el proceso de ejecución o la señal de salida. También se afirma que las vibraciones mecánicas producidas por los elementos como el obturador o elementos de medidas afecta directamente a la señal de salida. Para solucionar estos inconvenientes es necesario disminuir la ganancia del conjunto por realimentación negativa de la señal posterior a la tobera sobre el obturador. También se procede a utilizar con otros sistemas expuestos anteriormente como son transmisores de equilibrio, equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos. 5.3 TRANSMISORES ELECTRÓNICOS 5.3.1 Transmisor electrónico de equilibrio de fuerzas Bourdon. El transmisor electrónico de equilibrio de fuerzas se presenta en la figura 66. Figura 66. Transmisor electrónico de equilibrio de fuerzas tubo Bourdon.

115

Consisten en su forma más sencilla, en una barra rígida apoyada en un punto, sobre la que actúa dos fuerzas en equilibrio: � Las fuerza ejercida por el elemento mecánico de medición (tubo Bourdon). � La fuerza electromagnética (Bobina sensorica, módulo magnético).

El desequilibrio entre estas dos fuerzas da lugar a una variación de posición relativa de la barra, excitando un convertidor de señal que convierte en corriente normalizada de 4 – 20 mA. Un circuito que ajusta o alimenta una unidad magnética (módulo magnético) y la fuerza generada reposiciona la barra de equilibrio de fuerzas. Se completa así un circuito de realimentación variando la corriente de salida en forma proporcional al intervalo de la variable del proceso.

Estos transmisores debido a su constitución mecánica, presentan un ajuste de cero y un alcance tedioso, una alta sensibilidad a vibraciones. Su precisión es del orden del 0,5 – 1 %. 5.3.2 Trasmisor electrónico de equilibrio de fuerza LVDT. La figura 67, consiste en un núcleo magnético con tres o más polos bobinados. El bobinado central está conectado a una línea de alimentación estabilizada y se denomina arrollamiento primario. Los otros dos están bobinados idénticamente con el mismo número de espiras y en la misma disposición. El transformador se cierra magnéticamente con la barra de equilibrio de fuerzas, al variar la presión cambia la posición de la barra induciendo tensiones distintas en las dos bobinas, mayor en la bobina arrollada en el palo con menor entrehierro y menor en la opuesta. Las bobinas están conectadas en oposición y la señal de tensión diferencial producida es introducida a un convertidor que alimenta la unidad magnética de reposición de la barra (módulo magnético) y que convierte la salida del LVDT en señal normalizada de corriente de 4 a 20 mA. Figura 67. Diagrama de un detector de posición LVDT.

116

5.3.3 Análisis dinámico del transmisor electrónico. El detector puede ser Bourdon o LVDT representa la tobera - obturador del instrumento neumático.

La unidad magnética de realimentación constituye el fuelle o el diafragma de realimentación. El convertidor representa la válvula piloto o relevador.

3

11

K

KA

X

I = (276)

5.3.4 Velocidad de respuesta del transmisor electrónico. La velocidad de respuesta es prácticamente instantánea ya que la corriente circula a la velocidad de la luz. Esta es su característica principal. Comentario sobre aspectos de trasmisores electrónicos.

Estos instrumentos, debido a su conformación mecánica, presentan un ajuste del cero y alcance, también una alta sensibilidad a vibraciones. Tienen una gran precisión. 5.4 TRANSMISORES DIGITALES

Hay dos modelos básicos de transmisores digitales e inteligentes que son: 5.4.1 Capacitivo. A partir de la figura 68, este transmisor está basado en la variación de la capacidad (sensor) que se produce en un condensador formado por dos placas fijas y un diafragma sensible interno y unido a las mismas cuando se les aplica una presión o presión diferencial a través de dos diafragmas externos. La transmisión de la presión del proceso se realiza a través de un fluido (aceite) que rellena el interior del condensador.

El desplazamiento del diafragma sensible es de sólo de 0,1 mm como máximo. Un circuito formado por un oscilador y demodulador que transforma la variación de capacidad en señal analógica. (Controlador), esta a su vez es convertida a digital, y pasa después a un microprocesador que la transforma a la señal analógica de transmisión en 4 - 20 mA. 5.4.2 Semiconductor. La figura 69, utiliza las propiedades eléctricas de los semiconductores al ser sometido a tensiones. El modelo de semiconductor difundido está fabricado a partir de una delgada película de silicio y utiliza la técnica de dopaje para generar una zona sensible a los esfuerzos. Se comporta como un circuito dinámico de un puente de Wheatstone aplicable a la medida, de presión, presión diferencial y Temperatura, formado por una pastilla de silicio difundido en el que se halla embebidas las resistencias eléctricas de un puente. El desequilibrio del puente originado, por cambios en la variable, da lugar a una señal de salida de 4-20 mA.

La pastilla de silicio contiene normalmente dos puentes de Wheastone uno de presión, presión diferencial y una termoresistencia.

117

Figura 68. Transmisor digital capacitivo.

Figura 69. Transmisor digital inteligente.

El microprocesador compensa las no linealidades de los elementos o sensores

individuales, convierte las tres señales analógicas a impulsos, calcula mediante datos prefijados en fábrica, y almacenados en su memoria un valor digital de salida que es transformado a la señal de salida analógica de 4-20 mA. Estos transmisores pueden disponer también de autocalibración, cambian su cuerpo de medida y diagnostican sus variables internas. 5.4.3 Análisis dinámico del transmisor digital. En el transmisor digital el elemento de semiconductor o capacitivo está sometido directamente a la variable de proceso, por lo cual no tiene prácticamente retardo. Sin embargo, en variables tales como la temperatura hay que añadir el retardo correspondiente al elemento (sonda de resistencia o termopar

118

introducida en una vaina) y en otras variables de captación rápida como la presión o el caudal, el retardo inherente al trabajo del microprocesador. 5.4.4 Velocidad de respuesta del transmisor digital. La velocidad de respuesta es prácticamente instantánea ya que la corriente circula a la velocidad de la luz. Sin embargo pueden existir retardos debido a las funciones que debe realizar el microprocesador particularmente en variables rápidas, por ejemplo el caudal. Comentarios sobre aspectos de trasmisores digitales. Existe un inconveniente al utilizar este transmisor digital, cuando se emplea para transmitir una señal de flujo o presión, en este caso se procesa mucha información, existen tareas paralelas y también se hacen muchos cálculos en una variable de tiempo muy corta, haciendo que este funcione en forma incorrecta por la adquisición de datos en tiempo real y así produce error en la lectura, por esto se debe utilizar un trasmisor electrónico como solución. Estos transmisores tienen una dificultad en el mercado, que es la estandarización en la normativa en el campo de las comunicaciones. Estos instrumentos están evolucionados en paso gigantesco teniendo encuenta su utilización, tamaño, aplicación, precisión y otros conceptos que interesan a la industria. 5.5 COMPARACIÓN DE LOS TRANSMISORES UTILIZADOS. Tabla 7. Comparación de transmisores.

119

5.6 CONTROLADORES NEUMÁTICOS

En el campo de la ingeniería el término neumática describe los sistemas de fluidos que usan aire o gases.

Los sistemas neumáticos se usan mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los procesos industriales que utilizan controladores automáticos. Por ejemplo tienen un amplio uso los circuitos neumáticos que convierten la energía del aire comprimido en energía mecánica y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la industria.

5.6.1 Controladores neumáticos proporcionales y su acción proporcional. Las figuras 70 y 71, muestran diagramas esquemáticos de un controlador proporcional. El amplificador de tobera - aleta es el amplificador de la primera etapa y la presión trasera de la tobera se controla mediante la distancia de la tobera - aleta. El amplificador de tipo relevador constituye el amplificador de la segunda etapa. La presión trasera de la tobera determina la posición de la válvula de diafragma para el amplificador de la segunda etapa, es capaz de manejar una cantidad grande de flujo de aire. Figura 70. Controlador neumático proporcional.

La operación del controlador es la siguiente: La señal de entrada para el amplificador neumático de dos etapas es la señal de error. El incremento en la señal de

120

error mueve la aleta hacia la izquierda. Este movimiento a su vez aumenta la presión trasera de la tobera y la válvula de diafragma se mueve hacia abajo. Esto provoca un aumento en la presión de control. Este incremento provoca que el fuelle F se expanda y mueva la aleta hacia la derecha, con lo cual se abre la tobera. Debido a esta realimentación, el desplazamiento de tobera-aleta es muy pequeño, pero el cambio en la presión de control puede ser grande. Las ecuaciones para este controlador se obtienen del modo siguiente:

(277)

2

31

2

3

k

kkkkxP

k

kP bc === (278)

yba

ae

ba

bx

+−

+= (279)

ykAP sc = (280)

p

s

c k

k

A

ba

ak

kba

b

sE

sP=

++

+=1)(

)( (281)

Figura 71. Acción proporcional.

zkP

zkP

xkP

c

b

b

3

2

1

===

121

5.6.2 Principio básico para obtener una acción de control derivativa. Según la figura 72, se inserta en la acción proporcional un elemento que tenga la función de transferencia

)1Ts(1

+ en la trayectoria de realimentación. Si se toma en cuenta cambios pequeños en las

variables, podemos dibujar un diagrama de bloques de este controlador.

Ahora mostraremos que la adición de una restricción en la trayectoria de realimentación negativa modifica el controlador proporcional en un controlador P-D.

Considere el controlador neumático de la figura 72, si suponemos una vez más

cambios pequeños en el error, la distancia tobera - aleta y la presión de control, podemos resumir la operación de este controlador del modo siguiente: se considera un cambio pequeño en “e”. El cambio de la presión (Pc) de control será instantáneo, la restricción (R) sirve para que se retarde el fuelle de realimentación el cambio de presión (Pc). Por tanto, el fuelle de realimentación no responderá momentáneamente y la válvula con actuador neumático detectará el efecto completo del movimiento de la aleta. El fuelle de realimentación se expandirá o se contraerá. El cambio de la distancia tobera - aleta (X) y el cambio de la presión de (Pc) se estable en la siguiente ecuación:

1

11)(

)(

+++

+=

RCsk

A

ba

ka

kba

a

sE

sP

s

c (282)

Figura 72. Acción P-D.

122

Al suponer que el denominador de la ecuación anterior es mucho mayor que la unidad, nos queda la siguiente ecuación:

( )sTksE

sPdp

c += 1)(

)( (283)

RCTaA

bkk d

sp == (284)

5.6.3 Acción de un control neumático P-I. Consideremos el controlador neumático de la figura 73, cuyo funcionamiento es: el fuelle se conecta a la fuente de presión de control a través de una restricción. Se asume un cambio escalón pequeño en el error. Esto provoca que la presión trasera en la tobera cambie de manera rápida. También ocurrirá rápido un cambio en la presión de control (Pc). Debido a la restricción de la válvula habrá un descenso en la presión a través de la válvula. El aire fluirá a través de la válvula de un modo tal que el cambio en la presión del fuelle, alcanzará el valor (Pc). Figura 73. Controlador P-I.

Por lo tanto, el fuelle se expandirá o contraerá, de modo que moverá la aleta en

dirección “e”. La presión (Pc) cambiará en forma continua. Observe que la acción de control integral en el controlador adopta una forma tal que cancela lentamente la

123

realimentación que aportó originalmente el control proporcional. La función de transferencia de este controlador es la siguiente:

+−

++

+=

1

111

)(

)(

RCss

A

ba

ka

kba

b

sE

sPc (285)

.resortedeltetanConsk,fuelledeAreaA,tetanConsk s ===

Haciendo el denominador mucho mayor que 1, nos queda la siguiente ecuación

(286):

+=

sTk

sE

sP

ip

c 11

)(

)( (286)

RCTaA

bkk i

sp == (287)

5.6.4 Acción de control neumático P-I-D. La figura 74, muestra un diagrama esquemático de este controlador.

La función de transferencia del diagrama de bloques de la figura 73, es:

( )( )( )11

1)(

)(

++−

++

+=

CsRCsR

sCRCR

k

A

ba

kaba

bk

sE

sP

id

di

s

c (288)

CRTCRT ddii == (289)

Si hacemos el denominador mayor que 1 y Ti >> Td, nos quedará la ecuación (291).

( )( )( )sTT

sTsT

aA

bk

sE

sP

di

idsc

−++

=11

)(

)( (290)

++= sT

sTk

sE

sPd

ip

c 11

)(

)( (291)

124

aA

bkk s

p = (292)

Figura 74. Controlador P-I-D.

Comentarios sobre aspectos de controladores neumáticos. Estos instrumentos están en estos momentos muy desarrollados y se afirma que han llegado a su límite de perfeccionamiento. Están conformados por etapas de diversas técnicas de control en forma modular. Estos elementos se pueden instalar en campos peligrosos donde ningún otro controlador lo haría. Ahí un aspecto importante en este controlador es que cuando no ahí fluido eléctrico el funciona normalmente eso si mientras halla aire el las tuberías. Los inconvenientes son las del tratamiento de señal y de la información. 5.7 CONTROLADORES ELECTRÓNICOS

En esta sección se analizará los controladores electrónicos más utilizando con los dispositivos amplificadores operacionales, como son (P, I, PD, PI y PID).

125

5.7.1 Controlador P (Proporcional). Según la figura 75. Figura 75. Controlador Proporcional.

Desarrollo de la función de transferencia del controlador “P”, de la figura 75.

4

)(

3

)(

2

)(

1

)(

R

sVo

R

sV

R

sV

R

sVi −=∧−=

Se igualan respecto a V(s) las ecuaciones anteriores y se obtiene lo siguiente:

4

3*)(

1

)(*2

R

RsVo

R

sViR −=−

3*1

4*2

)(

)(

RR

RR

sVi

sVo = (293)

El valor característico de control en “Kp” es:

3*1

4*2

RR

RRKp =

5.7.2 Controlador I (Integrativo). Según la figura 76. Figura 76. Controlador Integrativo.

126

Desarrollando de la función de transferencia del controlador “I”, de la figura 76.

4

)(

3

)(

21

)(

1

)(

R

sVo

R

sV

sC

sV

R

sVi −=∧−=


4

3*)(

2*1

)(

R

RsVo

sCR

sVi −=−

21*3

4

)(

)(

CsRR

R

sVi

sVo = (294)

El valor característico de control en “Ki” es:

2*1*3

4

CRR

RKi =

5.7.3 Controlador P-D (Proporcional-Derivativo). Ver figura 77. Figura 77. Controlador Proporcional-Derivativo.

Desarrollando de la función de transferencia del controlador “P-D”, de la figura 77.

4

)(

3

)(

2

)(

1

)111(*)(

R

sVo

R

sV

R

sV

R

CsRsVi −=∧−=+


4

3*)(

1

)(*)111(*2

R

RsVo

R

sViCsRR −=+−

127

1*3

)111(*2*4

)(

)(

RR

CsRRR

sVi

sVo += (295)

El valor característico de control en “Kd, Kp” es:

3

1*2*4

R

CRRKd =

1*3

2*4

RR

RRKp =

5.7.4 Controlador P-I (Proporcional – Integrativo). Ver figura 78. Figura 78. Controlador Proporcional- Integrativo.

Desarrollando de la función de transferencia del controlador “P-I”, de la figura 78.

4

)(

3

)(

212

)(

1

)(

R

sVo

R

sV

sCR

sV

R

sVi −=∧+

−=


4

3*)(

1

)(*212

R

RsVo

R

sVisCR−=

+−

12*3

)221(*4

)(

)(

RsCR

CsRR

sVi

sVo += (296)

El valor característico de control en “Ki, Kp”, es:

2*1*3

4

CRR

RKi =

1*3

2*4

RR

RRKp =

128

Ahí que entender que los valores utilizados para la sintonización de estos controladores son los siguientes:

Kp

KdTd

Ki

KpTi == ^

5.7.5 Controlador P-I-D (Proporcional-Integrativo-Derivativo). Ver figura 79. Figura 79. Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo.

Desarrollando de la función de transferencia del controlador “P-I-D”, de la figura 79.

4

)(

3

)(

)221(*2

2*)(

1

)111(*)(

R

sVo

R

sV

CsRR

sCsV

R

CsRsVi −=∧+

−=+


4

3*)(

21

)(*)221(*)111(

R

RsVo

CsR

sViCsRCsR −=++−

21*3

)221(*)111(*4

)(

)(

CsRR

CsRCsRR

sVi

sVo ++= (297)

El valor característico de control en “Kp, Kd, Ki”, es:

3

1*2*4

R

CRRKd =

2*1*3

4

CRR

RKi =

2*1*3

)2211(*4

CRR

CRCRRKp

+=

129

Comentarios sobre aspectos de controladores electrónicos. Los valores de R y C para el control integral y el control derivativo dependerán de los parámetros Ti y Td calculados. Los valores de polarización de los integrados más recomendados es de nivel de 12 Voltios, los condensadores utilizados son electrolíticos y resistencias con autocompensación de temperatura. 5.8 CONTROLADORES DIGITALES

Este tipo de controlador funciona con señales digitales o discretizadas y esta conformado por las siguientes etapas:

• Procesamiento • Conversión Análoga – Digital • Conversión Digital – Análoga • Algoritmo de Control • Tiempo

La gran diferencia entre un lazo de control análogo con un lazo de control digital, es

que el digital toma la implementación en algoritmos y patrones lógicos, dando como resultados perfeccionamientos sustánciales en los cálculos efectuados por el controlador, mediante el uso de tablas que nos permiten almacenar datos del sistema. A continuación se muestra la figura 80, donde se presenta los componentes de un controlador en un sistema general de control. Figura 80. Sistema de realimentación con un controlador digital.

Un controlador digital se compone de un procesador o microcontrolador CPU y la

memoria principal, comunicados entre si y con los periféricos, a través de los canales de señales o buses, el bus de datos, el bus de direcciones y el bus control. La unidad de control constituye el verdadero “cerebro” del ordenador y organiza el trabajo de la unidad aritmética y lógica, mediante los pulsos de frecuencia del reloj de microprocesador, que determina el tiempo de ejecución de las tareas confinadas al ordenador.

Existen controladores digitales individuales, en particular para procesos discontinuos (batch), que llevan a cabo un control multifunción, actúan como instrumentos

130

reguladores (para variables como presión, el caudal, el nivel, la temperatura, etc), control lógico y control secuencial, efectúan operaciones aritméticas, monitorizan entradas, salidas y tienen capacidad grafica con representaciones de balance de materia. Este tipo de controladores permiten la creación de software para definir todos los enclavamientos y secuencias de la operación.

Los controladores digitales, al estar dotados de microprocesadores, realizan

directamente las funciones de control auxiliar expuestas antes en los instrumentos neumáticos, electrónicos, y no precisan de ningún otro instrumento. 5.8.1 Algoritmos. Los controladores dígitales permiten el ajuste de sus acciones de control ante las perturbaciones periódicas del proceso. Por este motivo pueden trabajar con varios algoritmos de control “P-I-D”. El algoritmo convencional, donde las acciones interactúan y que corresponde a los controladores clásicos neumáticos y electrónicos, es el siguiente:

epTa

pTd

pTiKporitmosA )

*1

*1)(

*

11()(lg

+++= (298)

=p Operador (di/dt) =e Error =K Ganancia del controlador =Ti Tiempo de acción integral =Td Tiempo de acción derivativa

El algoritmo llamado industrial es el siguiente:

))*1

*1()(

*

11()(lg PV

pTa

pTdPC

pTiKporitmoA

++−+= (299)

=Ta Constante de tiempo del filtro. =PV Variable del proceso. =PC Punto de consigna.

Este tipo de algoritmos implementado en el microprocesador permiten cambiar los datos del proceso y de los instrumentos para ejecutarse en la compresión práctica del comportamiento de los lazos de control. Dentro de la evolución del controlador clásico “PID” esta el controlador digital universal que es capaz de controlar industrialmente una unidad de operación de la planta. Por ejemplo, el control de un reactor o el control de un horno o el de un compresor. En este sentido, el controlador debe manipular una serie de entradas-salidas y debe efectuar varias operaciones, cálculos de control para los lazos de la unidad de procesos, aparte de proporcionar las secuencias de enclavamientos de bombas y de válvulas de proceso.

131

Comentarios sobre aspectos de controladores digitales.

El desarrollo de la tecnología neumática y electrónica esta en estos tiempos siendo amenazada por la gran evolución tecnológica en el campo digital, por muchas razones, entre estas: la exactitud, la flexibilidad en las comunicaciones, retención de información, autodiagnóstico, tratamiento de señal y otras.

Existen controladores dígitales individuales, en particular en los procesos

discontinuos (batch), que llevan a cabo un control multifuncional y actúan como instrumentos reguladores con control lógico y secuencial, este tipo de controlador tienen la capacidad aritmética y monitorizan las entradas y salidas. Estos controladores ajustan las acciones de control ante las perturbaciones periódicas del proceso.

5.9 VALVULAS DE CONTROL

Las válvulas de control son los elementos finales de control más usuales y se encuentran en los procesos, donde se manejan los flujos para mantener los puntos de control con las variables que se deben controlar.

La válvula de control actúa como una resistencia variable en la línea de proceso;

mediante el cambio de su apertura se modifica la resistencia del flujo y en consecuencia el flujo mismo. Las válvulas de control no son más que reguladores de flujo.

5.9.1 Dimensionamiento de la válvula de control. El dimensionamiento de la válvula de control es el procedimiento por el cual se calcula el coeficiente de flujo de la válvula, (Cv). Cuando se calcula el (Cv) y se conoce el tipo de válvula a trabajar, el diseñador obtiene el tamaño de la válvula con base a catálogos del fabricante.

El coeficiente se define como, la cantidad de agua en galones U.S. que fluye por minuto a través de una válvula completamente abierta, con una caída de presión de 1 psi en la sección transversal de la válvula.

5.9.2 Cv con los líquidos. La ecuación para el dimensionamiento de la válvula de control es la siguiente:

P

GqC f

v ∆= (300)

q = Flujo de líquido en “gpm” U.S

=∆P Caída de presión P1-P2, en “psi” en la sección de la válvula. P1 = Presión de entrada a la válvula “psi”. P2 = Presión de salida de la válvula “psi”.

=fG Gravedad específica del líquido = 1 a 60 °F.

Algunas veces las unidades de flujo son “lbm/hr”, y nos queda la ecuación (301):

132

PG

WC

f

v ∆=

500 (301)

W = Flujo del líquido en “lbm/hr”. � En el dimensionamiento de las válvulas de control, es necesario hacer aproximaciones o

relaciones importantes para su sobrediseño en la selección de dicha válvula, como es:

requeridodiseño qq 0.2= (302)

Este sobrediseño se orienta en la capacidad de la válvula, tomado el 200% de caudal

requerido. Si la válvula se establece la apertura del 5% cuando se está realizando el control en condiciones normales, se dice que la válvula esta sobrediseñada y si se encuentran en un porcentaje de apertura del 95%, decimos que esta subdimensionada.

� La relación del flujo máximo que se puede controlar versus el flujo mínimo que se

puede controlar se denomina el ajuste de rango, esta relación depende del diseñador del sistema, se pueden tomar valores como 3%-97%, 5%-95%, 2%,98. Según los investigadores en estos temas formulan intervalos donde el ajuste de rango varia entre 20 y 50, la relación de ajuste de rango se representa como:

controlarpuedesequemínimo

controlarpuedesequemáximo

q

qR= (303)

� La selección de la caída de presión en una válvula depende del sistema de tuberías agua

abajo y aguas arriba, y se puede determinar a través de dos reglas inmediatas y aproximadas para un diseño apropiado, estas aproximaciones son:

Primera aproximación:

25% para su presión des sistema de tubería.

25.0=∆+∆

∆

vp

v

PP

P (304)

Esta primera aproximación se utiliza hallando el valor de “ psi2Pv =∆ ” y después

se remplaza en la ecuación del dimensionamiento y se halla Cv.

pP∆ = Presión en el sistema de teoría

VP∆ = Caída de presión en la válvula

133

Segunda aproximación:

psiPv 10=∆

5.9.3 Característica del flujo de la válvula. Se define como la relación entre el flujo a través de la válvula y la posición de la misma conforme varía la posición de 0% a 100%. � Flujo inherente: La característica que se observa cuando existe una caída de presión

constante a través de la válvula

� Flujo en instalación: La característica que se observa cuando la válvula está en servicio y hay variaciones en la caída de presión.

La figura 81, nos ubica en unas curvas más comunes de la característica de flujo

inherente. La forma de la curva se establece de acuerdo al contorno de la superficie del émbolo cuando pasa cerca del asiento de la válvula.

� Característica de flujo lineal: Produce un flujo directamente proporcional al

desplazamiento de la válvula o posición de la válvula. � Característica de flujo de porcentaje igual: Produce un cambio muy pequeño en el

flujo al inicio del desplazamiento de la válvula, pero conforme éste se abre hasta la posición de abertura máxima, el flujo aumenta considerablemente.

� Característica de flujo rápido de abertura: Produce un gran flujo con un pequeño

desplazamiento de la válvula.

Figura 81. Curvas de las características de flujo inherente.

134

5.9.4 Ganancia de la válvula de control. Se define como característica inherente al flujo característico que pasa a través de la válvula cuando se mantiene constante la caída de presión en la misma. Válvula líneal:

( )vpCC vpvv 1| == (305)

Válvula de porcentaje igual:

( ) 11| −

= ∞= vpvpvv CC (306)

válvulaladeajustedeParámetro=∞

válvulaladePosiciónvp = Comentarios sobre aspectos neumáticos, electrónicos y digitales. Las válvulas de control se han desarrollado en su totalidad desde el punto de vista de fabricación (cuerpo) y también en la etapa ejecutora o posicionadora como son el electro-mecánica o la dígito-neumática. 5.10 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Explicar las etapas que conforman un transmisor neumático.

2. Explicar y describir el concepto de un relevador sin escape.

3. Describir y dibujar un transmisor neumático tipo fuerza – distancia.

4. Describir y dibujar un transmisor neumático de equilibrio de fuerzas.

5. Describir y dibujar el transmisor electrónico de equilibrio de fuerzas con sensor

primario Bourdon.

6. Describir y dibujar los controladores neumáticos, P, PI, PD.

7. Describir y dibujar un controlador neumatico, PID.

8. Describir y dibujar un controlador electrónico, PID.

9. Describir y dibujar un controlador digital, PID.

10. Que es el dimensionamiento de una válvula de control y su característica de flujo.

135

6. SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES TRADICIONALES

6.1 INTRODUCCION

Cuando se establece la conformación del lazo de control, en su totalidad, podemos decir que el elemento último, es el controlador. El controlador como se ha definido anteriormente, es un elemento que se debe ajustar para obtener la condición deseada en la variable de salida o controlada.

Cuando se controla la variable de salida, a través del ajuste del controlador, se debe tener en cuenta la respuesta del lazo de control, al existir una perturbación.

Los conceptos importantes para establecer estas consideraciones se presentan a

continuación: � La variable de salida o controlada debe alcanzar en el tiempo más rápido la condición

preestablecida en el sistema. � La respuesta de la variable controlada no debe oscilar.

En el ítem 6.2 y 6.3 se analizará dos métodos muy utilizados para la sintonización de los controladores tradicionales, como son: lazo cerrado y lazo abierto. 6.2 METODO DE LAZO CERRADO

Este método se denomina con el nombre de última ganancia, el principio es el ajustar el controlador para una curva de respuesta con una razón de amortiguamiento igual a ¼, ver figura 82. Figura 82. Razón de amortiguamiento.

136

Este método se fundamenta en hallar la ganancia de un controlador de tipo proporcional, con la finalidad de que el lazo oscile indefinidamente a una amplitud constante. Esta es la máxima ganancia para la cual el lazo es estable, por eso se le denomina ganancia última.

La metodología para la sintonización de un controlador es la siguiente: � Se dispone el controlador en acción proporcional, se anula la acción derivativa e

integrativa, a continuación se coloca el controlador en modo automático (lazo cerrado). � Se introduce un escalón con un valor del 20% en el lazo, se procede ajustar la ganancia

Kc, hasta que la respuesta oscile continuamente a una amplitud constante. � Se determina los ajustes a partir de las ecuaciones establecidas en la tabla 8. Tabla 8. Ecuaciones para ajuste de controladores.

Controlador Ajuste de parámetros Lazo Cerrado Nichols-Ziegler

P Kc Kcu/2

P-D Kc Td

Kcu/1,7 Pu/8

P-I Kc Ti

Kcu/2,2 Pu/1,2

P-I-D Kc Ti Td

Kcu/1,7 Pu/2 Pu/8

6.3 METODO A LAZO ABIERTO

Este método recibe el nombre de curva de reacción, se coloca el controlador en manual (lazo abierto). Los datos requeridos para el ajuste, se obtiene mediante la prueba de escalón que proporciona una curva de reacción como respuesta. Estos datos son los parámetros de “ 0t,,K τ ”, obtenidos bien sea de un sistema de primer orden más tiempo muerto o de un sistema de segundo orden más tiempo muerto.

Este método se realiza de la siguiente forma: � Colocar el controlador en modo manual, y esperar que el proceso se estabilice. � Realizar un cambio escalón en la señal de salida del controlador. � Registrar la curva de respuesta del proceso en la salida del proceso o transmisor.

La expresión general de los procesos de primer orden se describe a continuación:

137

1)(

)( 0

+=

−

s

Ke

sI

sO st

τ (307)

La ecuación representativa de los procesos de segundo orden, es de la forma:

( )( ) ( )111)(

)(

21 +•••++=

−

sss

Ke

sI

sO

n

sto

τττ (308)

Los procesos de orden mayor son inicialmente aproximados a procesos de primer

orden más tiempo muerto o procesos de segundo orden más tiempo muerto.

La figura 83, muestra la curva de reacción de un proceso, usando el método de los dos puntos, que aproxima un proceso de orden mayor a un proceso de primer orden. Figura 83. Curva de reacción del proceso usando el método de los dos puntos.

Uno de los métodos para obtener los valores de 0t,τ , se denomina método de los dos puntos, y consiste en obtener dos puntos de los datos extraídos de la curva de reacción del proceso. Estos dos puntos son: el tiempo que demora el proceso en alcanzar el 63.2%

del cambio total en la salida ( )

∆Ot

632.0 y el tiempo que demora el proceso en alcanzar

el 28,3% del cambio total en la salida ( )

∆Ot

283.0 .

Al obtener estos dos puntos procedemos a remplazar en las siguientes ecuaciones:

138

( )τ

τ−=

−=

∆

∆∆

0632.00

0283.00632.0

|

||5.1

tt

tt (309)

El parámetro K (ganancia del proceso) debe estar en %, tao (constante de tiempo) y

to (tiempo muerto) deben estar en minutos.

6.3.1 Método de Ziegler-Nichols a lazo abierto. Al igual que el método de lazo cerrado, con los ajustes encontrados al aplicar este método, se intenta obtener una curva de respuesta de lazo cerrado que tenga una razón de amortiguador igual a ¼. A partir de la tabla 9, se puede determinar los coeficientes de ajuste de los valores de K, to y tao. Tabla 9. Parámetros de sintonización de Ziegler-Nichols a lazo abierto.

Acción del controlador Constantes del controlador Ecuación

Proporcional, P pK

1

1−

τot

K

Proporcional + Integrativo PI

pK

iτ

1

9.0−

τot

K

3.33 ot

Proporcional + Integrativo + Derivativo, PID

pK

iτ

dτ

1

2.1−

τot

K

2.0 ot

2ot

6.3.2 Método de Dahlin. Dahlin propone unos parámetros de ajuste de controladores de acuerdo al tipo de proceso al cual se le introducirá el controlador. Ver tabla 9 de sintonización.

Nota: Cuando se utiliza Simulink, se debe hacer una conversión en las constantes:

cp KK = (310)

139

i

ci T

KK = (311)

dcd TKK = (312)

Tabla 10. Parámetros de sintonización de un controlador por Dalhin.

Controlador Parámetro de ajuste Ecuación

Proporcional – Integral –

Derivativo PID

Kp

Ti

Td

1

2

1−

t

to

K

t

to/2

Ejemplo.

A continuación se presenta un ejemplo, donde se hallan los valores respectivos de una sintonización de un controlador “PID”. El tanque almacena un líquido a una temperatura que se va a controlar a 80 °C, donde entra un flujo qi(t) a una temperatura Ti, la salida del tanque es qo(t) a To(t), como se representa en la figura 84. Figura 84. Tanque con agitación continúa.

La metodología a seguir para la solucion de este ejemplo, es la siguiente: � Realizar el modelo matemático del sistema mostrado en la figura 84.

140

dt

tdTVtTtqtTtq o

ooii

)()()()()(

=−δ

(313)

Para el proceso en Simulink (ver figura 85):

Figura 85. Proceso en Simulink.

3

3 1,300m

KgmV == δ

� Hallar los valores en estado estable del proceso, según la ecuación (313).

CTs

mqCT oii °==°= 80,16,100

3

Reemplazando estos valores obtenemos el siguiente valor:

s

mqo

3

20=

� Realizar el montaje del sistema, de acuerdo con los elementos que conforman el lazo de

realimentación.

En este ítem se harán los modelos matemáticos correspondiente a cada elemento que conforma el lazo de control y su respectiva represtación esquemática, soportada por la herramienta informática SIMULINK.

Las variables y datos correspondientes a los modelos matemáticos de los elementos

utilizados, son establecidos por las condiciones del proceso y por sus fabricantes. Para el transmisor de temperatura (TT), ver figura 86.

141

Figura 86. Transmisor de temperatura.

)(410

mAT

I o += (314)

Para el convertidor de corriente a presión (TY), ver figura 87: Figura 87. Convertidor de corriente a presión.

142

4*3

IP = (315)

Para la válvula de control, ver figura 88: Figura 88. Válvula de control.

103

10 −= Pqo (316)

143

Para el controlador PID, ver figura 89: Figura 89. Controlador PID.

Sistema de control completo, ver figura 90:

Figura 90. Sistema completo de simulación.

Para obtener la curva de reacción se remplaza con un escalón unitario el lazo de

control en el punto que se encuentra el controlador y la señal que va al convertidor, ver figura 90, es decir se elimina la salida del PID, dejándose solamente el bias (12 mA) con el escalón unitario, con un valor no mayor del 10% de la señal a controlar (1.2 mA), ver figura 91 y se gráfica la respuesta del sistema en la salida del transmisor, ver figura 92, con el fin de tomar los datos que nos proporciona la entrada del escalón respecto a la salida del transmisor y así reemplazarlos en la tabla 9, hallando los parámetros de sintonización según Ziegler-Nichols, teniendo pendiente que las condiciones iniciales de la variable de salida son cero.

144

Figura 91 Escalón unitario con el bías, en lazo abierto.

Curva de Reacción, ver figura 92.

Figura 92. Curva de reacción salida del transmisor.

Los valores tomados de la curva anterior y utilizando la ecuación (292), obtenemos

los siguientes valores:

145

mAmAKt

tt

o 92.72.1

5,9min,405.0min)605.1301.14(

min605.13min)94.401.14(5.1min,01.14min,94.4 21

===−=

=−=== τ

Sintonización PID:

min2025.02

405.0min,81.0)405.0(0.2,1,5

92,7405.0

605.132.1

====== dipK ττ

Después de haber obtenido los valores anteriores de sintonización e introducidos en

el controlador, se coloca en el escalón de la entrada un disturbio con una variación del 20% por encima del valor de sus condiciones iniciales, corriendo el sistema completo implementado en la herramienta Simulink, se analiza la salida To, que nos indica si el sistema esta bajo el mando del controlador o no, como se observa en la figura 93. Figura 93. Variable controlada con el controlador sintonizado.

6.4 PROBLEMA PROPUESTO Control de temperatura para un tanque de calentamiento con agitación continúa

El tanque con agitación que se ilustra en la figura 94, se utiliza para calentar una corriente en proceso, de manera que se logre una composición uniforme de los componentes premezclados. El control de temperatura es importante, porque con una alta temperatura se tiende a descomponer el producto, mientras que, con una temperatura baja, la mezcla resulta incompleta. El tanque se calienta mediante el vapor que se condensa en

146

un serpentín; se utiliza una estrategia tradicional para controlar la temperatura en el tanque, mediante el manejo de la posición de la válvula del vapor. Se desea obtener el diagrama de bloques completo y la ecuación característica del circuito para los siguientes datos de diseño. Figura 94. Tanque de agitación.

PROCESO

La densidad de la alimentación ρ es de 68.0 3pieslb , la capacidad calorífica pC , de

0.80 FºlbBtu . En el reactor se mantiene constante el volumen V de líquido a 120 3pies . El

serpentín consta de 205 pies de tubo de acero de 4 pulgadas, calibre 40, con un peso de 10.8

pielb , capacidad calorífica de 0.12 Fºlb

Btu y diámetro externo de 4.500 pulg; el coeficiente

total de transferencia de calor, U, se estima que es de 2.1 Fºpiemin

Btu2 , con base en el área

externa del serpentín. El vapor que se dispone está saturado a una presión de 30 psia; se puede suponer que el calor potencial de condensación λ es constante, con un valor de 966

lbBtu .

Condición de diseño

En las condiciones de diseño, el flujo de alimentación f es de 15 minpies3

, a una

temperatura Ti de 100 ºF. El contenido del tanque se debe mantener a una temperatura T de

147

150 ºF. Las posibles perturbaciones son cambios en la tasa de alimentación y en la temperatura.

Sensor y trasmisor de temperatura

El sensor de temperatura se calibra para un rango de 100 a 200 ºF y una constante

de tiempo iτ de 0.75 min.

Válvula de control

La válvula de control se diseña con una sobrecapacidad del 100 %, las variaciones en la caída de presión se pueden despreciar. La válvula es de igual porcentaje, con un parámetro de ajuste de rango de 50; la constante de tiempo vτ del actuador es de 0.20 min.

Balance de energia en el tanque

[ ] )()()()()()()(

tTCtftTtTUAtTCtfdt

tdTCV psipP ρρρ −−+= (317)

A es el área de transferencia de calor 2pies ; )t(Ts es la temperatura de condensación del vapor.

Balance de energia en el serpentin

[ ])()()(

)( tTTUAtwdt

tdTC ts

sM −−= λ (318)

)t(w Es la tasa del vapor, min

lb ; MC es la capacidad calorífica del metal del serpentín,

FºBtu

)º

)(__)(__(__Flb

Btu

ft

lbftCM = (319)

148

BIBLIOGRAFÍA

HOSTETTER, G. H. y SAVANT, C. J. Sistema de control. México.,

Interamericana, 1984. Primera edición. 584 p.

SMITH, Carlos y Corripio, Armando. Control automático de procesos. México., Limusa, 1995. Segunda edición. 717 p.

OGATA, Katsuhiko, Ingeniería de control moderna., México., Prentice hall, 1998, Tercera edición. 997 p.

CAMACHO, Oscar. Guías de control, Venezuela, 2002, 105 p.

CREUS, Antonio, Instrumentación industrial, México, Alfa y omega, 1998, Segunda edición. 387 p.

149

TEXTO GUIA DE TEORIA DE CONTROL

JOSE RICARDO BERMÚDEZ SANTAELLA

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA CUCUTA

2009

150

TEXTO GUIA DE TEORIA DE CONTROL

JOSE RICARDO BERMÚDEZ SANTAELLA

Trabajo presentado como requisito para obtener la categoría de asociado

UNIVERSIDAD FRACISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA CUCUTA

2009

Texto Guia teoria Control 2009 - Ingeniería ... · Circuito análogo serie 22 Tabla 5. Circuito...

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