TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M

TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M.R

1

INDICE

RESUMEN 3

INTRODUCCIÓN 4

MARCO TEÓRICO 5

MATERIALES Y MÉTODOS 6

RESULTADOS 7

CAPÍTULO I

1.1. El s is tema de los Números Reales .

1.2 Inecuac iones 18

1.3 Valor Abs oluto 33

1.4 Máximo Entero 39

CAPÍTULO II

2.1 Vectores en e l Plano 42

2.2 Vector en e l Es pac io 56

71.1.1 Axiomas de la Adición y Multiplicación de los nú eros reales 81.1.2 Proposiciones 91.1.3 Ecuaciones 14

1.2.1 Inecuaciones Lineales 181.2.2 Inecuaciones Cuadráticas 191.2.3 Inecuaciones Polinómicas 201.2.4 Inecuaciones Racionales 221.2.5 Problemas de aplicación de inecuaciones 26

2.1.1 Definición 422.1.2 Representación Geométrica 422.1.3 Vector Posición 442.1.4 Módulo o Norma de un Vector 442.1.5 Producto punto o escalar de dos vectores 452.1.6 Suma de vectores 462.1.7 Vector Unitario 462.1.8 Vectores paralelos 482.1.9 combinación lineal entre vectores 492.1.10 Proyección Ortogonal 502.1.11 Componente de un Vector 522.1.12 Aplicaciones a las Áreas 53

2.2.1 Definición 562.2.2 Representación Geométrica 56


2

32.2.3 Módulo o Norma de un Vector en 582.2.4 Cosenos Directores 592.2.5 Vector Unitario 592.2.6 Vectores Unitarios Fundamentales 602.2.7 Vectores paralelos 602.2.8 Producto Vectorial 612.2.9 Volumen del Paralelepípedo 622.2.10 Área del paralelogramo 632.2.11 Volumen del Tetraedro 64

3.2.1 Definición 683.2.2 Rectas paralelas 703.2.3 Rectas perpendiculares 703.2.4 Ecuaciones de la Recta 713.2.5 La distancia de un punto a una Recta 723.2.6 La distancia dirigida de un punto a una Recta 723.2.7 Familia de Rectas 753.2.8 Ángulo entre dos Rectas 78

3.3.1 Definición 843.3.2 Ecuaciones de la Circunferencia 843.3.3 Familia de circunferencias 903.3.4 Recta Tangente a una Curva 97

3.4.1 Traslación de los ejes coordenados 1023.4.2 Rotación de los ejes coordenados 1033.4.3Transformación de la Ecuación General. de segundo grado: por Rotación de los ejes Coordenados 1043.4.4 Transformación de coordenadas por traslación y rotación de los ejes coordenados en la forma vectorial 105

3.5.1 Teorema: Ecuación de Segundo Grado 1073.5.2 Propiedades de las Secciones Cónicas 107

3.6.1 Definición 1083.6.2 Elementos de la Parábola 1083.6.3 Ecuaciones de la Parábola 1093.6.4 Recta Tangente a la Parábola 116

3.7.1 Definición 120

¡

CAPÍTULO III

3.1 S is tema de Coorde nadas Cartes ianas 66

3.2 La Recta 68

3.3 La Circunferenc ia 84

3.4 Trans formacio nes de Coordenadas 102

3.5 Las Cónicas 107

3.6 La Parábola 108

3.7 La Elips e 120


3

3.7.2 Elementos de la Elipse 1213.7.3 Ecuaciones de la Elipse 1223.7.4 Recta Tangente a la Elipse 1303.7.5 Propiedades de la Elipse 134

3.8.1 Definición 1353.8.2 Elementos de la Hipérbola 1363.8.3 Ecuación de la Hipérbola 1373.8.4 Recta Tangente a la Hipérbola 1433.8.5 Asíntotas de la Hipérbola 1453.8.6 Hipérbola Equilátera o Rectangular 1463.8.7 Hipérbolas Conjugadas 147

4.1.1 Definición 1574.1.2 Operaciones con Matrices 1584.1.3 Transpuesta de una Matriz 1594.1.4 Traza de una Matriz 1594.1.5 Tipos de Matrices 1604.1.6 Transformaciones Elementales 1614.1.7 Matriz Escalonada 1624.1.8 Matrices escalonadas reducidas por filas 1624.1.9 Rango de una Matriz 1624.1.10 Inversa de una Matriz 1634.1.11 Definición (Matriz inversa mediante matriz de cofactores) 163

4.2.1 Definición 1644.2.2 Propiedades 165

4.3.1. Método de Gauss 1664.3.2 Regla de Cramer 1674.3.3 Método de la Matriz Inversa 168

174

175

177

179

3.8 La Hipérbola 135

CAPÍTULO IV

4.1 Matrices 157

4.2 Determinantes 164

4.3 S is tema de Ecuac iones Lineales 165

DISCUSIÓN

REFERENCIALES

APÉNDICE

ANEXO


4

2 3

RESUMEN

El presente trabajo tiene como objetivo general desarrollar un texto de matemática

básica, con un enfoque ambiental que proporcione a los estudiantes los medios

necesarios para elegir posibles estrategias de solución a los modelos matemáticos

empleados en la ingeniería ambiental, así como en los cursos de su especialidad,

La recopilaron de la información ha sido logrado apoyado básicamente en las notas

de clases y teorías selectas que se tomaron como soporte base del presente trabajo

de investigación, los resultados obtenidos se han ordenado en cuatro capítulos, en

los cuales se desarrollan los diversos temas del curso matemática básica de

acuerdo con los contenidos en el silabo, poniendo énfasis en el modelamiento

matemático y las aplicaciones orientadas a la ingeniería Ambiental.

En el primer capítulo se desarrolla una introducción al sistema de los números

reales revisando con rigor las propiedades y teoremas pues son la base para todos

los cálculos matemáticos, luego se desarrollaron las e iones e inecuaciones,

valor absoluto y máximo entero, para luego resolver ejemplos de aplicación de las

inecuaciones lineales.

En el segundo capítulo se desarrollan los temas de vectores en y y se

muestra la aplicación de las definiciones y propiedade para fortalecer en el

estudiante la orientación en el plano y el espacio vectorial.

En el tercer capítulo se realiza una introducción a la geometría analítica, y se

desarrollan los temas de rectas y cónicas presentando jemplos de aplicación a la

ingeniería Ambiental haciendo uso de las definiciones y propiedades.

En el cuarto capítulo se desarrollan los temas de matrices y determinantes,

resaltando su importancia en la aplicación de los de sistemas de ecuaciones.

El presente trabajo permitirá formar a un estudiante crítico, analítico y sobre todo le

permitirá interpretar y analizar los resultados para una mejor toma de decisiones en

su vida académica y profesional.

¡ ¡


5

El texto de Matemática Básica, un enfoque ambiental, permitirá los

contenidos del curso y mostrará cómo éstos principios aplican a las ciencias

ambientales, permitiendo el proceso enseñanza aprendizaje del curso de

matemática básica impartido en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos

Naturales de la Universidad Nacional del Callao.

La Matemática básica se aplica en diversas disciplinas, pero es necesario contar con

textos orientados a las ciencias ambientales, que expliquen los fundamentos de la

matemática básica y muestre su aplicación en los problemas del medio ambiente,

por lo que es necesario que el estudiante de ingeniería ambiental conozca la

relación de la programación lineal y los contenidos de la matemática básica que le

permitirá resolver modelos matemáticos lineales y de esa manera optimizar los

recursos y aplicarlos en los problemas ambientales.

Por lo expuesto, nos planteamos el siguiente problema ¿Es necesario contar con un

texto de Matemática Básica, orientado a la formación de ingenieros ambientales?.

Debido a que los estudiantes no cuentan con textos en mercado que incluyan

todos los contenidos del silabo, con las exigencias de la asignatura, mostrándoles

las aplicaciones orientadas a la ingeniería ambiental, pues muchos de esos textos

sólo presentan problemas abstractos, se ve la necesidad de contar con un texto

adecuado para su formación profesional que le permitirá contar con los medios

necesarios para elegir posibles estrategias de solución a los modelos matemáticos

empleados en la ingeniería ambiental, así como en los cursos de su especialidad, y

con los objetivos específicos siguientes:

-Desarrollar en los estudiantes la capacidad de plantear, resolver e interpretar

los modelos matemáticos lineales.

- Estudiar los fundamentos de la matemática básica para ser utilizados en los

diversos cursos de su especialidad.

- Motivar al estudiante y despertar el interés en la matemática básica

mostrando diversas aplicaciones relacionadas con los problemas ambientales.

INTRODUCIÓN


6

.

),( 111 ),( 222

2121

21 ,

022

42

MARCO TEÓRICO

Los textos de Matemática básica, trasmiten los principios invariables del análisis

matemático e indican simultáneamente las diversas aplicaciones de sus contenidos

lo que nos permitirá tener acceso a una diversidad modelos matemáticos que nos

brindaran mayor orientación en los modelos del campo mbiental; a continuación

presentaremos el soporte teórico los diversos temas que se desarrollan en el

presente texto:

Respecto al tema de sistema de los números reales, se han escrito varias

definiciones, y comentarios al respecto, como por ejemplo:

El sistema de los números reales es más que tan solo un conjunto de elementos.

Es un conjunto en el que hay dos operaciones y una relación que satisfacen los

axiomas dados. Una operación es completamente diferente de una relación. La

operación de adición asocia con cualesquiera dos elementos de un

elemento único de al que llamamos . Análogamente, la operación de

multiplicación asocia con cualesquiera dos elementos de un elemento único

de al que llamamos o . Por otra parte, no es un elemento de sino

una proposición acerca de los elementos ( es menor que ). (Haaser, N.;

LaSalle, J.; Sullivan J. - 1971).

Respecto a la geometría analítica plana se desarrollan los conceptos básicos como

sistema cartesiano, distancia entre dos puntos, punto entre otros; luego se

desarrolla el tema de la línea recta, una de las definiciones sería:

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos s que tomados dos

puntos diferentes cualesquiera y del lugar, el valor de la

pendiente calculado por medio de la fórmula , resulta

siempre constante. (Lehmann, Charles – 1994)

En el tratamiento de las cónicas, para su identificación existe varios teoremas, como:

La ecuación general de segundo grado, ,

representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según que el

indicador, , sea cero, negativo o positivo. (Lehmann, Charles – 1994).

En relación al tema de matrices una de las definiciones planteadas es:

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se

denominan los elementos de la matriz”. (Anton, Howard -1976).

¡

¡

¡

¡

¡ ¡

a y b

a b

a y b

a b a b a b

a y b a b

yxp yxp

m xxxx

yym

FEyDxCyBxyAx

ACBI

+

<

≠−−

=

=+++++

−=


7

MATERIALES Y MÉTODOS

Para el desarrollo del presente trabajo se utilizaron rsos materiales y métodos,

como los programas WIN QSB (para la optimización) y el MATLAB para algunos

gráficos y los resultados en algunos ejemplos. La recopilaron la información ha

sido logrado apoyado básicamente en las notas de clases y teorías selectas que se

tomaron como soporte base del presente texto, pues se ha tenido el dictado del

curso por varios semestres académicos consecutivos. Los ejemplos se han

plasmado progresivamente a partir de la aplicación directa de la teoría - método

deductivo y luego se ha ido incrementando el grado de dificultad; Algunos de los

ejemplos son los que se han propuesto en las práctica calificadas, prácticas

dirigidas y exámenes evaluados a los estudiantes del curso de Matemática Básica

de la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales.


8

( , , . , )

;

; .

RESULTADOS

CAPÍTULO I

1.1 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Los resultados del presente trabajo de investigación se han ordenado en cuatro

capítulos que detallaremos a continuación:

El presente capítulo comprende el estudio del sistema meros reales, axiomas,

teoremas y propiedades que rigen sobre ellos, pues son indispensables para realizar

cualquier cálculo matemático; Luego se planteará y resolverá sistemas de

desigualdades lineales mediante el gráfico de ellas.

Como aplicación se resolverán problemas de programación lineal relacionados con

fertilizantes y nutrientes. Se desarrollará en los siguientes ítems:

1.1. El sistema de los Números Reales.

1.2. Desigualdades.

1.3. Valor absoluto

1.4. Máximo Entero

Se llama sistema de los números reales a un conjunto , provisto de dos

operaciones internas (suma y producto), y de una relación de orden (< ) que se lee

“menor que”.

El Sistema de los Números reales se denota como

Las operaciones internas son: Suma (+) y

Producto( . )

El Sistema e los Números Reales satisface los siguientes axiomas:

f≠

+ <

∈ ∈ → + ∈

∈ ∈ → ∈

¡

¡

¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡

a b a b

a b a b


9

,, )()(

0 0 ,

0)()(

.

.

)..()..(

.11.

)0

11 1... 11

..).(

..).(

1.1.1 Axio mas de la adic ió n y multiplicac ió n de los números reales :

I.-Axio mas de adic ión

II.-Axio mas de la multiplicac ión

III.-Axio mas de Dis tributividad:

A1. Clausura o Cerrada

A2. Conmutativa

A3. Asociativa

A4. Existe uno y sólo un elemento que llamamos (0); tal que

Elemento neutro de la adición

A5. Para todo , existe uno y sólo un elemento denotado “-a” tal que se

cumple: ; -a se llama Inverso aditivo de a.

M1. Clausura o cerradura

M2. Conmutativa

M3. Asociativa

M4. Existe uno y sólo un elemento, que llamamos “1” tal que para todo , se

cumple , “1” es elemento neutro de la multiplicación

M5. Para todo (a , existe uno y sólo un elemento al que lo denotamos

por: , tal que se cumple

D1. Si :

D2. Si:

Las propiedades de los números reales y de las operaciones (suma y producto), las

mencionaremos en las proposiciones siguientes.

IRbaIRbIRa

abbaIRbIRa

IRcba cbacba

a a a a IR

IRa

aaaa

IRbaIRbIRa

babaIRbIRa

cbacbaIRcIRbIRa

IRa

aaa

IRa

aa aaaa

cabacbaIRcIRbIRa

cbcacbaIRcIRbIRa

∈+→∈∧∈

+=+→∈∧∈

∈ → ++=++

+ = + = ∀ ∈

∈

=+−=−+

∈→∈∧∈

=→∈∧∈

=→∈∧∈∧∈

∈

==

∈ ≠

=− == −−

+=+→∈∧∈∧∈

+=+→∈∧∈∧∈


10

)1

),( 11)( ,0

IRa 00. IRa ,).1(.

, ),.().().(

, ..)).((

0y ..

)000.( 000. 22

)(

0bsi,1

)(

)0(,.b

ac ;

..).(

0

ab ó ba ó

1.1.2 PROPOSICIONES

PROPOSICIÓN I

PROPOSICIÓN II

RELACIÓN DE ORDEN

PROPOSICIÓN III

i) El “cero”, el “uno”(1), el “opuesto de a” (-a) y el” inverso de a” ( son únicos.

ii) iii)

iv) v)

vi)

vii)

viii)Si (Ley de cancelación de la suma).

ix) Si (Ley de cancelación del producto)

x) xi)

La diferencia y el cociente de dos números reales se define como:

1.) (Diferencia)

2.) (cociente)

i)

ii)

iii)

iv) v)

vi) Si y

i) Dados dos números reales a y b sólo una de las condiciones siguientes se verifica:

(Ley de Tricotomía)

−

∈∀−−= −−=≠

∈∀= ∈∀−=−

∈∀−=−=−

∈∀=−−

=→+=+

=→≠=

≠∧≠↔≠=∨=↔= −=∨=↔=

−+=−

≠= −

−−=−

≠=↔=+=↔=−

−=−

+=+

−=−

≠−

=→=+

<<=

a

IRaaa aaaSi

a aa

IRbabababa

IRbababa

bacbca

baccbca

babababa bababa

baba

abb

a

abba

bacbcbacba

cabacba

bd

bcad

d

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

aa

bcxcbax

ba


11

0)a si 0(aIRa,0 22

IRc ,

0

0

)0a0a(si 00 -11

00 11

1100

)00()00(0

)00()00(0

)00()00(0

)00()00(0

00 22

22

00022

)()0( 2

2( 0 ) ( )

5 11, ,

4 9

3 54,5

3 4

00 11 1100

3 5 1(1 ) 4,5

3 4 3 4

ii)

iii) Si (Ley transitiva)

iv) Si (Ley de monotonía en la suma)

v) Si

vi) Si (Ley de monotonía en el producto)

vii) Si

viii)Si

ix) Si a y a-1 tienen el mismo signo

x) Si

Si

Recordemos: solo se puede invertir una desigualdad cuyos extremos tienen el

mismo signo. Por tanto: si un extremo fuese negativo y el otro positivo, la

desigualdad no se puede invertir.

xi)

xii)

xiii)Si ,

xiv)

xv) Si

xvi) Si

Si demostrar

Haciendo uso de las propiedades y

Observe que

≠>∈∀≥

<→<∧<

∈∀+<+→<

+<+→<∧<

<→>∧<

>→<∧<

−>−→<

<→<>→> −

>>→<< −−

−− >>→<<

<∧<∨>∧>↔>

≤∧≤∨≥∧≥↔≥

>∧<∨<∧>↔<

≥∧≤∨≤∧≥↔≤

≥∧≥ <↔<

≤↔≤

=∧=↔=+

−<∨>↔>∧≥

> ∧ < ↔ − < <

− −∈< >

+∈< >

+

>>→<< −− −− >>→<<

+= + ∈< >

+ +

a

cacbba

cbcaba

dbcadcba

bcaccba

bcaccba

baba

aa

baba

baba

babaab

babaab

babaab

babaab

ba baba

baba

baba

bababab

b a b b a b

xx

x

baba baba

x

x x

Ejemplo 1.1:

Soluc ión:


12

5 11, ,

4 9

5 11multiplicando por 3

4 9

15 113 sumando 4

4 3, obtenemos

1 13 4

4 3

13 4

3 4

13 1 1 4 1

3 4

3 54 5

3 4

3 54,5

3 4

2 35

2

2( 0 ) ( )

23 9( ) 5

4 16

23 89( )

4 16

3 89 3 89( ) ( )

4 4 4 4

3 89 3 89

4 4

3 89 3 89. . , ,

4 4

2 1 1

5 25

Como entonces:

Recordemos que solo se puede invertir una desigualdad cuyos extremos tienen el

mismo signo

,

Luego

Resolver e indicar el conjunto solución

Completamos cuadrados y hacemos uso de la propiedad


x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x x

b a b a b a b

x

x

x x

x x

C S x

x x

− −∈< >

− −< <

− −< < < + <

< <+

+ < + < ++

+< <

+

+∈< >

+

− >

≥ ∧ > ↔ > ∨ < −

− − >

− >

− > ∨ − < −

− +< ∨ >

− +∴ = ∈< −∞ > ∪ < +∞ >

− <

Ejemplo 1. 2:

Soluc ión:

Ejemplo 1.3:


13

20 ( ) ( )

21 1 1( )

10 100 25

21 5( )

10 100

5 1 5

10 10 10

1 5 1 5

10 10

1 5 1 5. . ,

10 10

6,8] , 2( 4 ) 12,32]

00 22 22

6 8

4 2 6

216 ( 2) 36

216 4 4 36

212 4 32

2( 4 ) 12,32]

2 5 14 0

)00()00(0

2 5 14 0

( 2)( 7) 0

Soluc ión:

Ejemplo 1. 4:

Soluc ión:

Ejemplo 1.5:

Soluc ión:

Completamos cuadrados y hacemos uso de la propiedad:

Si entonces

Haciendo uso de las propiedades: Si ; ;

Luego la proposición es verdadera.


Haciendo uso de las propiedad

b a b b a b

x

x

x

x

C S x

x x x

ba baba baba

x

x

x

x x

x x

x x

x x

babaab

x x

x x

> ∧ < ↔ − < <

− − <

− <

−< − <

− +< <

− +∴ = ∈< >

∈< − ∈<

≥∧≥ <↔< ≤↔≤

< ≤

< − ≤

< − ≤

< − + ≤

< − ≤

− ∈<

− − ≥

≤∧≤∨≥∧≥↔≥

− − ≥

+ − ≥


14

(( 2) 0 ( 7) 0) (( 2) 0 ( 7) 0)

( 2 7) ( 2 7)

. . ; 2 7 ;

2 5 14 0

)00()00(0

2 5 14 0

( 2)( 7) 0

(( 2) 0 ( 7) 0) (( 2) 0 ( 7) 0)

( 2 7) ( 2 7)

2;7

. . 2, 7

0; 0

23 2 0

3

4 5 7 3 12 4

x x x x

x x x x

C S

x x

babaab

x x

x x

x x x x

x x x x

x x

C S x

ax b a

bx

a

x x

x x x x

+ ≥ ∧ − ≥ ∨ + ≤ ∧ − ≤

≥ − ∧ ≥ ∨ ≤ − ∧ ≤

] [∴ = −∞ − ∪ +∞

− − <

>∧<∨<∧>↔<

− − <

+ − <

+ > ∧ − < ∨ + < ∧ − >

> − ∧ < ∨ < − ∧ >

∈ − ∨ ∈

∴ = ∈< − >

+ = ≠

−=

−+ = ↔ =

+ = − ⇔ = − ⇔ = −

Ejemplo 1. 6:

Soluc ión:

1.1.3 Ecuac iones

I. Ecuac iones Lineales

Ejemplo 1.7:


Haciendo uso de las propiedad

Son ecuaciones de la forma:

Cuya solución es:

1)

2)

f


15

3 2 3 9 2 9

2 0, 0, , ,

. 0 0 0

es equivalente a ( ) ( )

2 4 21 0

2 4 21 0 3 7 0

3 0 7 0

3 7

2 0, 0, 2( )

2 8 14 0

3) (Falso ) independientemente del valor que tome

La ecuación no es satisfecha para ningún valor real de , por lo que la solución es

.

Son ecuaciones de la forma:

Se puede resolver mediante el Teorema:

:

1) Resolveremos la ecuación

Cuando no se puede factorizar de forma sencilla entonces se debe tratar de formar

el Cuadrado de un Binomio.

Con este método trataremos de convertir la expresión cuadrática:

en la forma: . ( pueden ser negativos)

Resolver

Completamos cuadrados:

x x x

x

x

ax bx c a a b c

a b a b

a b a b a b

x x

x x x x

x x

x x

ax bx c a x a b a y b

x x

+ = − ⇔ = −

∈

+ + = ≠ ∀ ∈

= ↔ = ∨ =

= ± = ∨ = −

+ − =

( )( )+ − = ↔ − + =

( ) ( )↔ − = ∨ + =

↔ = ∨ = −

+ + = ≠ + +

+ − =

f

II. Ecuac iones Cuadráticas

Notac ión

Ejemplo 1.8:

Método de co mpletar cuadrados :

Ejemplo 1.9:

(i)

Soluc ión:

¡


16

2 2 2 2

2

2

8 14 ( 2(4) 4 4 ) 14

( 4) 16 14

( 4) 30

2 2

2

8 14 0 ( 4) 30 0

( 4) 30

( 4) 30

4 30

4 30 4 30

2 3 8 0

2 2 2 23 3 32 2 2

23 92 4

23 412 4

3 8 ( 2( ) ( ) ( ) ) 8

( ) 8

( )

2 23 412 4

23 412 4

3 412 4

4132 2

41 413 32 2 2 2

3 8 0 ( ) 0

( )

( )

2 0, 0, , ,

224

,donde el discriminante es = 4 02

x x x x

x

x

x x x

x

x

x

x x

x x

x x x x

x

x

x x x

x

x

x

x x

ax bx c a a b c

b b acx b ac

a

+ − = + + − −

= + − −

= + −

+ − = ↔ + − =

↔ + =

↔ + = ±

↔ = − ±

↔ = − − ∨ = − +

− − =

− − = − + − −

= − − −

= − −

− − = ↔ − − =

↔ − =

↔ − = ±

↔ = − ±

↔ = − − ∨ = − +

+ + = ≠ ∀ ∈

− ± −= ∆ − ≥

1442443

1442443

¡

En (i):

Resolver ……(i)

Completamos cuadrados:

En (i):

También se puede resolver la ecuación , mediante

la fórmula .

Dicha fórmula se obtiene completando cuadrados.

Ejemplo 1.10:

Soluc ión:

Nota:


17

2 3 8 0 1, 3 8

22

41 413 32 2 2 2

( 3) ( 3) 4(1)( 8) 3 413 8 0

2(1) 2

0 1( ) ... 0 0constantes,...,, 10

1 2( ) ( )( )...( ) 0;

3 220 8 35 14 0

24 (5 2) 7(5 2) 0

2(5 2)(4 7) 0

2 2

2 725 4

725 2

7 725 2 2

(5 2)(4 7) 0 (5 2) 0 (4 7) 0

. . ; ;

Ejemplo 1.11:

,

III. ECUACIONES POLINÓMICAS

Ejemplo 1.12:

Soluc ión:

Dada la ecuación cuadrática donde

reemplazamos en la fórmula:

Son de la forma:

; con ;

Luego de factorizar podremos escribir en la forma:

con ,

Donde las raíces o soluciones son los (i=1..n) y se obtienen igualando cada factor

a cero.

Dado el polinomio de tercer grado . Hallar las raíces o

soluciones.

Factorizamos

x x a b y c

x x x

x x

nnP x a a x a x naaa

nP x x r x r x r x

ir

x x x

x x x

x x

x x x x

x x

x x

C S x

− − = = = − = −

− − ± − − − ±− − = ↔ = =

↔ = − − ∨ = − +

= + + + = ≠

= − − − = ∈

+ − − =

+ − + =

+ − =

{ }

−

−

−−

+ − = ↔ + = ∨ − =

= ∨ =

= ∨ = ±

= ∈

¡


18

0; , , 0

, ,

7 9 0

977 9 0

12 3 5

2312 3 5 12 8

23. .

2 13 5 6 8

10 12 5 130 8

3 130 8

54

54. . ;

1.2 INECUACIONES

Definic ión.-

1.2.1 INECUACIONES LINEALES

Ejemplo 1.13:

Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables

llamadas incógnitas que sólo se verifica para determinados valores de las mismas.

Son de la forma:

Para hallar la solución se despeja la variable .

1) Resolver

C.S:

2) Resolver

3.- Resolver:

ax b a b a

x

x

x x

x

x

x x x

C S x

x x x

x x x

x

x

C S x

+ ≤ ∈ ≠

≥ < >

− ≤

− ≤ ↔ ≤

97∈ −∞;

− >

− > ↔ > ↔ >

]= ∈ ;+∞

− + ≤

− + ≤

≤

≤

= ∈ −∞

¡

]


19

2 0, 0, , ,

22 3 9 0

)00()00(0

3 32 2

(2 3)( 3) 0 (2 3 0 3 0) (2 3 0 3 0)

( 3) ( 3)

32; 3;

)()0( 2

22 3 9 0

2 3 9 92 16 16

2 3 9 92 16 8

23 814 8

2( ) 9 0

2( ) 9 0

2( )

32

3 32

3

1.2.2 INECUACIONES CUADRÁTICAS

Ejemplo 1.14:

Soluc ión:

Otro Método de Soluc ión:

Son de la forma:

Los métodos de solución se revisarán en los siguientes ejemplos.

Resolver la inecuación

Utilizamos las propiedades de los números reales:

(Según proposición III.XI )

El Conjunto solución es C. S: .

Completando cuadrados y utilizando las propiedades de meros reales

Si


ax bx c a a b c

x x

babaab

x x x x x x

x x x x

x

bababab

x x

x x

x x

x

+ + ≤ ≠ ∀ ∈

− − ≥

≤∧≤∨≥∧≥↔≥

− −

+ − ≥ ↔ + ≥ ∧ − ≥ ∨ + ≤ ∧ − ≤

↔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤

[∈ −∞ − ∪ + ∞

−<∨>↔>∧≥

− − ≥

− + − − ≥

− + − − ≥

− ≥

− −∨

¡


20

23 81 3 81 3 814 16 4 16 4 16

3 9 3 94 4 4 4

32

32

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

C. S: ; 3;

22 3 9 0

(2 3)( 3) 0

32 , 3

0

32C. S: ; 3; .

...)( 10 0constantes,...,, 10

;0))...()(( 21

32

3

+-+


Utilizamos el método de los puntos o valores críticos:

1º Factorizamos

2° Hallamos los valores críticos, igualando cada factor a cero:

3° Ubicamos los puntos críticos en la recta de los números reales, formandose

intervalos:

Se le da signos alternados “+” y ” -“ a los intervalos, empezando desde la derecha;

como la desigualdad es tomaremos como solución la unión de intervalos de

signos positivos.

Si tenemos una inecuación polinómica en una variable, ordenada de la forma:

; con ; la cual podemos escribir de la

forma: donde , (i=1..n)se llaman puntos o

valores críticos.

i) Estos valores críticos se hallan igualando parcialmente cada factor a cero.

[

− ≥ ↔ − ≥ ∨ − ≤ −

↔ − ≥ ∨ − ≤ −

↔ ≥ ∨ ≤ −

∈ −∞ − + ∞

− − ≥

+ − ≥

= − =

≥

[∈ −∞ − + ∞

+++= ≠

>−−− ∈

−

x x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

nn xaxaaxP naaa

nrxrxrx x ir

U

U

¡

Otro Método de Soluc ión:

1.2.3 INECUACIONES POLINÓMICAS

Inecuac iones polinó micas de grado mayor o ig ual a 2 (fac torizables )


21

y

4 3 28 10 104 105 0

( 1)( 5)( 3)( 7) 0

( 1) 0, ( 5) 0, ( 3) 0, ( 7) 0

V.C.: 1, 5, 3, 7

0

. . ; 7 5;1 3;

+-+-+

-7 -5 1 3

ii) Los valores críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta nu ca real

formando intervalos.

iii) A estos intervalos, se les asignará signos (+) y (-) en forma alternada, del extremo

derecho al izquierdo comenzando siempre por derecha.

i) Si la inecuación tiene el signo >, la solución estará dada por la unión de los

intervalos de signo “+” y si es los intervalos son cerrados.

ii) Si el signo es < , la solución es la unión de los intervalos de signo “-” y si tiene ,

los intervalos serán cerrados.

iii) Los extremos son considerados abiertos en la solución final.

iv) Los términos en “x” ( los coeficientes principales de cada factor) deberán ser

siempre positivos.

Factorizamos

Igualamos cada factor a cero:

Valores críticos

Como la desigualdad es , la solución será la unión de los intervalos “+”

.

Soluc ión de una inecuac ió n

Ejemplo 1.15:

Soluc ión:

≥

≤

∞+∞−

+ − − + ≥

− + − + ≥

− = + = − = + =

= = − = = −

≥

] ]= ∈ −∞ − − +∞

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

C S x U U


22

2 2( 8)(2 2 3)( 7) 0

2( 7) 0, , l 2( 8)(2 2 3) 0

2( 8) 0, (2 2 3) 0

2 2 78,

4

1 7 1 78, ,

2 2

1 7 1 72 2. . ; 8 ;

( )0, ( ) 0

( )

( ) ( )

...)( 10 0constantes,...,, 10

0 1( ) ... 0 1, , ..., constantes 0

1 2

1 2

( )( )...( )0,

( )( )...( )

( 1... )

-

-8 1 72

1 72

++-

Ejemplo 1.16:

Soluc ión:

1.2.4 INECUACIONES RACIONALES

x x x x

x x x x x

x x x

x x

C S x

P xQ x

Q x

P x y Q x

nn xaxaaxP naaa

mmQ x b b x b x mb b b

n

m

x r x r x r

x x x

ir j j m

+ + − + <

+ > ∀ ∈ + + − <

+ = + − =

− ±= − =

− − − + −

− − − += ∈ −∞ −

≥ ≠

+++= ≠

= + + + ≠

− − −≥

− − −

=

− − − +

Como a inecuación equivalente es

Para hallar los valores críticos hacemos:

V.C.=

Como la desigualdad es <0, la solución será la unión de los intervalos “-”

.

Las Inecuaciones Racionales en una variable, tienen la forma:

,

Donde son polinomios tales que.

; con ;

; con ;

Podemos factorizar y reemplazar en la inecuación:

Donde los (i=1…n) y se llaman valores críticos (V.C.)

¡

U

a a a

a


23

y

2

50

7 12

50

( 4)( 3)

Nota

Soluc ión de una inecuac ió n Racional

Ejemplo 1.17:

Soluc ión:

.- Los factores deben ser irreducibles y no se repetirán en el numerador y

denominador, de ser el caso simplificar un factor haciendo que sea diferente de

cero.

i) Los valores críticos se hallan de la siguiente forma:

- En el numerador igualando parcialmente cada factor a cero,

- En el denominador cada factor diferente de cero.

ii) Los puntos críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta numérica real

formando intervalos.

iii) A estos intervalos, se les asignará signos (+) y (-) en forma alternada, empezando

desde el extremo derecho hacia el izquierdo.

i) Si la inecuación tiene el signo > o , la solución estará dada por la unión de los

intervalos “+” ( en el caso los valores críticos del numerador son cerrados es decir

son parte de la solución).

ii) Si el signo es < o , la solución estará dada por la unión de los intervalos “-” (en

el caso , los valores críticos del numerador serán cerrados).

iii) Los extremos son considerados abiertos en la solución final.

iv) Los coeficientes principales de cada factor en x deberán ser siempre positivos.

Hallar el conjunto solución de la inecuación

Factorizamos:

≥

≥

≤

≤

∞+∞−

+≤

− +

+≤

− −

x

x x

x

x x


24

5 0 5 4 0 4

3 0 3

. . 5, 3, 4

. . ; 5 3;4

2

2

( 3) (2 )0

( 4)( 4)

2

2

( 3) ( 2)0

( 4)( 4)

2 4 ( 2)( 2) 2( 3) 0,

( 2)0; ( 3) 0

( 4)( 2)( 2)

( 2)1

0; ( 3) 0; ( 2) 0( 4)( 2)

10; 3; 2

( 4)( 2)

4 0 4

2 0 2

. . 4, 2

-

-5 3 4

++

+-

Hallamos los valores críticos:

Númerador: (V.C.cerrado) Denominador (V.C. abierto)

Hallar el conjunto solución de las siguiente inecuación:

Multiplicamos por -1:

Factorizando y como , (ver la siguiente

nota) la inecuación queda como:

Simplificamos :

La inecuación equivalente es:

(i)

Númerador : (V.C. cerrado) Denominador (V.C. abierto)

x x x x

x x

V C

C S x

x x

x x

x x

x x

x x x x x

xx

x x x

x x xx x

x xx x

x x

x x

V C

+ = → = − − ≠ → ≠

− ≠ → ≠

{ }= −

]= ∈ −∞ −

+ −≥

+ −

+ −≤

+ −

− = − + + ≥ ∀ ∈

−≤ + =

+ − +

− ≤ + = − ≠+ +

≤ = − ≠+ +

+ ≠ → ≠ −

+ ≠ → ≠ −

{ }= − −

U

¡

Ejemplo 1.18:

Soluc ión:


25

4; 2 3 2

( )

( ) ( )

( ) 0 ( ) ( )

( ) 0

( ) ( )( ) 0

( )

( )( )0

( ) ( )

( ) 0

( )

( )( )0

( )( )( ) 0; 0 ( )

( ) 0; 0 ( )( ) 0; 0 ( )

( ) 0; 0

32

1

10

2 3

( 1)(3 ) (2 )0

(2 )(3 )2 24 3 2

0(2 )(3 )

22 2 30

(2 )(3 )22 2 3

0( 2)( 3)

. . 4, 2

-4 -2+

+-+

De (i),

Si encontramos un factor que se repite varias veces , decir si es el factor

que se repite p-veces, procederemos de la siguiente manera:

Tabla N° 1.1. Inecuaciones Racionales Vs. Potencia de un factor lineal

Inecuación

Factor

Inecuación

Equivalente

o

o

,

p: par

- Si p es impar en la práctica se puede considerar como la unidad y la inecuación no

se modifica..

Hallar el conjunto solución de las siguiente inecuación:

Por -1:

{ } { }∈ − − ∪ − −

+

+ ≤ + ≥

+ <

+<

+ >

+>

+ ≤ + = ≤ + = < + ≠ > + ≠

+<

−

+

+− <

− +→

+ + − −<

− +

+ + − +<

− +→

+ +<

− +

+ +>

− +

∴ = ∈ − −

x

px a

px a P x

Q x

px a P x

Q x

px a P x

Q x

p

P x

Q x x a

px a P x

Q x

p

P x

Q x x a

px aP xQ x x a P x

Q x x a P xQ x x a P x

Q x x a

x

x

x

x

x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

C S x

Nota:

Ejempo 1.19:

Soluc ión:


26

22 2 3 20 0

22 2 3 0;

10

( 2)( 3)

2 0 2

3 0 3

. . 3, 2

. . ; 3 2;

1

-3 2+

++ -

Analizamos el factor cuadrático , como el discriminante es

entonces , por lo que la inecuación equivalente quedaría

como:

Númerador : (cerrado) Denominador (abierto)

Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los

requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C.

Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4

por bolsa, con dos unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa,

con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe

Comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de

nutriente?1

Haeussler, Ernest F., Jr.; Paul, Richard S. y Wood Richard J. MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, México: Editorial Pearson Educación, decimosegunda edición, 2008.

x x

x x x

x x

x x

x x

V C

C S x

+ + = − <

+ + > ∀ ∈

>− +

− ≠ → ≠

+ ≠ → ≠ −

{ }= −

∴ = ∈ −∞ − +∞

V

¡

U

1.2.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE INECUACIONES

Ejemplo 1.20 : (Nutrientes en fertilizantes )


27

80

120

240

1 :

2 :

1 24 5

1 22 2 80

1 26 2 120

1 24 12 240

0, 1, 2

1 1 2: 2 2 80 1

2 1 2: 6 2 120 2

3 1 2: 4 12 240 3

Soluc ión:

Se plantea el problema de la siguiente manera:

Tabla N° 1.2 Mezclas Vs. Nutrientes

Mezcla

Nutrientes

Tipo Uno (I) Tipo Dos (II) Requerimiento

mínimo

A 2 2

B 6 2

C 4 12

Costo por bolsa (en dólares) $4 $5

Variables de decisión:

Sea número de bolsas a comprar de la mezcla I

Sea número de bolsas a comprar de la mezcla II

Función Objetivo: Minimizar

Sujeto a las siguientes restricciones:

Requerimiento mínimo semanal del nutriente del tipo A

Requerimiento mínimo semanal del nutriente del tipo B

Requerimiento mínimo semanal del nutriente del tipo C

Condiciones de no negatividad:

Se grafica las inecuaciones en el primer cuadrante, tomando como rectas:

luego de tabular (0;40),(40,0)



Luego se consideran las desigualdades.

Se intersectan los gráficos de las inecuaciones, teniendo como región factible el

conjunto convexo sombreado, cuya solución optima se en en uno de los

vértices.

≥

≥

≥

= +

+ ≥

+ ≥

+ ≥

≥ =

+ = ∈

+ = ∈

+ = ∈

x

x

Z x x

x x

x x

x x

ix i

L x x L

L x x L

L x x L


28

1

1 2

2 3

3

1 24 5

EjeY L

L L

L L

L EjeX

Z x x

I

I

I

I

: (0,60)

:(10;30)

:(30,10)

: (60,0)

Reemplazamos cada punto en la función objetivo Min. , obteniendo:

En el punto (0,60) implica que Z =300

En el punto (10;30) implica que Z =190



Observamos que la función objetivo alcanza su mínimo valor optimo en el punto

(30,10). Por lo tanto:

Tenemos plan de compra 30 bolsas de la mezcla I y 10 bolsas de la mezcla II, con

un costo mínimo óptimo de $170 dólares. Ver gráfico en la figura N°1.1.

Figura N° 1.1 Región factible no acotada

= +

0 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 9 0 9 9 1 0 8

0

6

1 2

1 8

2 4

3 0

3 6

4 2

4 8

5 4

6 0

6 6

7 2

7 8

: 2 x 1 + 2 x 2 = 8 0

: 6 x 1 + 2 x 2 = 1 2 0

: 4 x 1 + 1 2 x 2 = 2 4 0

P a y o f f : 4 x 1 + 5 x 2 = 1 7 0

O p t im a l D e c is io n s (x 1 ,x 2 ) : ( 3 0 , 1 0 )

: 2 x 1 + 2 x 2 > = 8 0

: 6 x 1 + 2 x 2 > = 1 2 0

: 4 x 1 + 1 2 x 2 > = 2 4 0


29

1 :

2 :

1 20.30 0.20

1 215 5 10500

1 240 20 30000

0, 1, 2

2

Ejemplo 1.21: “Control de contaminac ión”

Soluc ión:

Mode lo Matemático .

A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la minación, una compañía

química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o

reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso

anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 mos de partículas a la atmósfera

por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de

azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía

obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en procesos anterior y nuevo,

respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10,500 gramos de

dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos de partículas a la atmósfera cada día,

¿Cuántos litros de químico deben ser producidos diaria , por cada uno de los

procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?2


Sea número de litros producidos en el proceso I

Sea número de litros producidos en el proceso II.

Función Objetivo:

F.O:


Condiciones de no negatividad:

Haeussler, Ernest F., Jr.; Paul, Richard S. y Wood Richard J. MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, México: Editorial Pearson Educación, decimosegunda edición, 2008.

x

x

MaxZ x x

x x

x x

ix i

= +

+ ≤

+ ≤

≥ =


30

3

Siguiendo los pasos de los ejemplos anteriores, determ la solución optima del

modelo matemático.

Solución (0,1500).

Una compañía de petróleos produce en sus refinerías gasóleo (G), gasolina sin

plomo (P) y gasolina súper (S) a partir de dos tipos de crudos, C1 y C2. Las

refinerías están dotadas de dos tipos de tecnologías. La tecnología nueva Tn

utiliza en cada sesión de destilación 7 unidades de C1 y 12 de C2, para producir 8

unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnología antigua Ta, se obtiene en cada

destilación 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de C1 y

8 de C2.

Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir

al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de

crudo C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios por unidad

producida son:

Gasolina G P S

Beneficio/u 4 6 7

La compañía desea conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, q se

pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio

sea el máximo.3

Ríos Insua, Sixto; Ríos Insua, David; Mateos, Alfonso y Martín, Jacinto. PROGRAMACIÓN LINEAL

Y APLICACIONES, México: Grupo editor Alfaomega S.A., 1998.

Ejemplo 1.22: “Des tilac ión de crudos ”

Soluc ión:


31

1

2

1 2 1 2 1 24(8 10 ) 6(6 7 ) 7(5 4 ) 1 2103 110

1 2. 103 110

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

.

7 10 1400 limitacion de crudo c1

12 8 2000 limitacion de crudo c2

8 10 900 demanda de G

6x +7x 300 demanda de p

5x +4x 1700 demanda de S

5 4 800 demanda de S

0 1, 2

Modelo Matemático


Sea: El numero de destilaciones con

El número de destilaciones con

Observe que la función objetivo es maximizar el beneficio Z del producto destilado

Z= (beneficio por unidad de G X unidades producidas de G) + (beneficio por unidad

de P X unidades producidas de P) + (beneficio por unidad de S X unidades

producidas de S)

=

Función Objetivo:


Luego presentamos el gráfico en la figura N°1.2 y la solución al problema.

=

=

= + + + + + +

= +

+ ≤

+ ≤

+ ≥

≥

≤

+ ≥

≥ =

x nT

x aT

z x x x x x x x x

f o MaxZ x x

i

S a

x x

x x

x x

x x

x i


32

Figura N° 1.2. Región factible acotada

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150160170180190200

06121824303642485460667278849096102108114120x2

x1: 7 x1 + 10 x2 = 1400

: 12 x1 + 8 x2 = 2000

: 8 x1 + 10 x2 = 900

: 6 x1 + 7 x2 = 300

: 5 x1 + 4 x2 = 1700

: 5 x1 + 4 x2 = 800Payoff: 103 x1 + 110 x2 = 18975

Optimal Decisions(x1,x2): ( 138, 44)

: 7x1 + 10x2 <= 1400

: 12x1 + 8x2 <= 2000

: 8x1 + 10x2 >= 900

: 6x1 + 7x2 >= 300

: 5x1 + 4x2 <= 1700

: 5x1 + 4x2 >= 800


33

; si 0

; si 0

4 ( 4) 4 , 4 4 , 0 0

IR ;0 IRa; . .

0;

2 2 2 2 2, ( es la raíz cuadrada positiva de )

0

)y x y -( 0y y

(y 0 ( -y x y )

y)- x y x (y

1.3 EL VALOR ABSOLUTO

Definic ión.-

Propiedades de l valor abs oluto:

Teoremas de l Valor Abs oluto

El valor absoluto de un número se denota y se define de la

siguiente manera:

Por ejemplo:

1. 2. 3.- 4.-

5. 6. , desigualdad triangular.

7.-

Para la solución de ecuaciones:

1)

a) |x| 0

b) |x| = 0 x = 0

2) |x| = y y (x = y x = -y)

3) |x| = |y| (x = y x = -y)

4) |x| = |y| |x|² = |y|² : x² = y² : x² - y² = 0

Para la solución de inecuaciones:

5) |x|

6) |x|

7) |x|

IRx x

x xx

x x

aa aa aa a b a b

bb

a

b

ababa

x a x a a a a

x

y

∈

≥=

− <

− = − − = = =

∈∀≥ ∈∀≥ −= =

≠= +≤+

= → = ± =

∀ ∈

≥

↔

↔ ∧≥ ∨

↔ ∨

↔

≤≤∧≥↔≤

< ↔ > ∧ < <

≤∨≥↔≥

¡


34

y)- x y (x

2 29)

( )( ) 0

} ,amax

773 838 717

5 20 15

5 20 15 5 20 15 5 20 15

5 35 5 5

7 1

. . 1, 7

3 0

32

3 0 3 0

3

0 3 3 ( )

0 2 3 3

0 3 0( )

32

32

;0

;0

C. S.= .

8) |x| > y

10) Si

Las propiedades 7 y 8 de las inecuaciones son verdaderas

i) ii) iii)

Resolver

Resolver

<∨>↔

≤ ⇒ ≤

− + ≤

{<→<<

∀ ∈

<→<< <→<<− <→−<<−

− =

{ }

− = ↔ − = ∨ − = −

↔ = ∨ =

↔ = ∨ =

∴ = ∈

− + =

{ }{ }

{ }

− + = ↔ − + =

↔ − = −

↔ − ≥ ∧ − = − ∨ − = − −

↔ ≤ ∧ = ∨ − =

↔ ≤ ∧ = ∨ − =

] { }{ }] { }

∈ −∞ ∈ ∨ ∈

∈ −∞ ∈

∴ ∈

x y x y

x y x y

bxbxa

y

xx xx xx

x

x x x

x x

x x

C S x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x x x x

x x falso

x x x

x x

x

¡

I

I

Ejemplo 1.23:

Ejemplo 1.24:

Soluc ión:

Ejemplo 1.25:

Soluc ión:

f

f


35

4312513

4312513

1 0 1

122 1 0 1 4

2 31, ,

433 4 0

1 2 1 3 4

2 ; 1

( 1) (2 1) (3 4)

120 1;

1 (2 1) (3 4)

1 42 31 ;

1 (2 1) (3 4)

432 ;

1 (2 1) (3 4)

-1 12

43

Ejemplo 1.26:

Soluc ión:

Resolver ………….( )

Hallamos los puntos críticos (igualando cada valor absoluto a cero)

Ubicamos los puntos críticos en la recta de los números reales, separando

intervalos:

Tabla 1.3. Signos de las expresiones lineales por intervalos

valor absoluto

Intervalos

-2+1= -1

2(-2)-1= -5

3(-2)-4= -10

0+1=1

2(0)-1= -1

3(0)-4= -4

1+1=2

2(1)-1=1

3(1)-4= -1

2+1=3

2(2)-1=3

3(2)-4=2

−=−−+

−=−−+

+ = ↔ = −

− = ↔ = { }→ = −

− = ↔ =

+ − −

− ∈ −∞ −

− + − − − −

∈ −+ − − − −

∈ + − − −

∈ +∞+ − −

xxx

xxx

x x

x x PC

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

a


36

; 1

65

3( ( 1)) 5( (2 1)) (3 4)

3 3 10 5 3 4

10 12

; 1

1.

121;

3 18 2

3( 1) 5( (2 1)) (3 4)

3 3 10 5 3 4

16 6

1;

32 8.

1 42 3;

1 42 3

3( 1) 5(2 1) (3 4)

3 3 10 5 3 4

4 4

1 ;

3. 1

IV. Si 43 ; , en

6 45 3

3( 1) 5(2 1) (3 4)

3 3 10 5 3 4

10 12

;

Resolveremos analizando en los cuatro intervalos:

I. Si , en ( ):

II. Si , en ( ):

III. Si , en ( ):

( ):

x

x x x

x x x

x

x

C S

x

x x x

x x x

x

x

C S

x

x x x

x x x

x

x

C S

x

x x x

x x x

x

x

∈ −∞ −

− + − − − = − −

− − + − = − +

=

= ∉ −∞ −

=

∈ −

+ − − − = − −

+ + − = − +

=

= ∈ −

{ }=

∈

+ − − = − −

+ − + = − +

− = −

= ∈

{}=

∈ +∞

+ − − = −

+ − + = −

− = −

= ∉ +∞

a

f

a

a

a


37

4.

1 2 3 4

38

38

. . . . .

1

. ,1

3 2 5

3 74 2

3 2 5 5 0 ( 5) 3 2 5

5 ( 5 3 2 3 2 5)

5 ( 3 4 2 7)

5 ( )

3 74 2. ;

2 1 7

83

2 1 7 2 1 7 2 1 7

2 1 7 2 1 7

(2 1 7 2 1 7) ( 7 0 ( 7 2 1 7))

( 6 3 8) ( 7 ( 7 2 1 2 1 7))

( 6 ) ( 7 (2 8))

( 83

83

83

6 ) ( 7 ( ))

( 6 ) ( )

. . ; 6;

-5 34

72

C S

G

G

C S x C S C S C S C S

x

C S x

x x

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

C S x

x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

C S x

f

f f

f

f

=

{ } {}{ }

= ∈

= ∈

∴ = ∈

− ≤ +

−

− ≤ + ↔ + ≥ ∧ − + ≤ − ≤ +

↔ ≥ − ∧ − − ≤ − ∧ − ≤ +

↔ ≥ − ∧ − ≤ ∧ ≤

↔ ≥ − ∧ ≥ ∧ ≤

−= ∈

+ − ≥

−

+ − ≥ ↔ + − ≥ ∨ + − ≤ −

↔ + ≥ + ∨ + ≤ −

↔ + ≥ + ∨ + ≤ − − ∨ − ≥ ∧ − + ≤ + ≤ −

↔ ≥ ∨ ≤ − ∨ ≥ ∧ − + ≤ + ∧ + ≤ −

↔ ≥ ∨ ≤ ∨ ≥ ∧ ≤ ∧ ≤ −

↔ −

−

−

≥ ∨ ≤ ∨ ≥ ∧ ∈

↔ ≥ ∨ ≤ ∨ ∈

= ∈ −∞ +∞

−∨

Luego el conjunto solución total o general está dado por:

Resolver la siguiente inecuación:

Resolver la siguiente inecuación:

U U U

U U U

U

Ejemplo 1.27:

Soluc ión:

Ejemplo 1.28:

Soluc ión:


38

3 10

4

1 0 1

4 0 41, 4

Ubicamos los puntos críticos en la recta de los números reales, separando intervalos:

1 4

2 ; 1 -2+1= -1

( 1)

(-2)-4= -6

( 4)

0 1;4 0+1=1

1

(0)-4= -4

( 4)

5 4; 5+1=6

1

5-4=1

4

; 1 , en

1 14 4

3 ( ( 1)) 4 10 0 4 1 0 ; ;

( 4) 4

11 4. ; ; 1

1; 4 , en

1 12 2

3 ( 1) 2 10 0 2 1 0 ; ;

( 4) 4

-1 4

Ejemplo 1.29:

Soluc ión:

Resolver la siguiente inecuación: …….( )

Hallamos los puntos críticos, igualando cada factor a cero:

Tabla N°1.4. Signos de las expresiones lineales por intervalos

valor absoluto

Intervalos

i) Si ( ):

ii) Si ( ):

x x

x x

x x

x xPC

x x

x x

x x

x x

x

x x xx x x

x x

C S x x

x x xx x x

x x

− +≥

− +

+ = ↔ = −

− = ↔ ={ }→ = −

+ −

− ∈ −∞ −

− + − −

∈ −+ − −

∈ +∞+ −

∈ −∞ −

− −− − + +≥ → ≥ → + ≥ → ≥ ∈ +∞− − +

−= ∈ +∞ −∞ − = ∈

∈ −

− + −≥ → ≥ → − ≥ → ≥ ∈ +∞− − +

b

b

f

b

I


39

1 12 2 2. ; 1;4 ; 4

4; , en

3 ( 1) 2 10 0

( 4) 2 4

12; 2;

13 2. ; 2; 4; 4;

1 2 3

12

12

. . . .

; 4 4;

. ;

1,

.

1,

0 1, ,

, 1, ,

, 1, , ,

12

2

- ++

[= ∈ +∞ ∈ − = ∈

∈ +∞

− + −≥ → ≥

− + −

]∈ −∞ +∞

]( )= ∈ −∞ +∞ +∞ = ∈ +∞

[[

= ∈

= ∈ ∈ +∞

∴ = ∈ +∞

∈

= ↔ ≤ < + ∈

∈ = ↔ ∈ ≤ < + ∀ ∈

≤ − < ∀ ∈ = + = + ∈

− = − ∈ ≤ ↔ < + ∈ < ↔ < ∈

≥ ↔ ≥ ∈ > ↔ ≥ + ∈ ∀ ∈ ≤ ↔ ≤

C S x x

x

x x x

x x x

x

C S x x

G

G

C S x C S C S C S

x x

C S x

x x

x

x n n x n n

x

x x x x x x x x

x x x x x x n x n n

x n x n n x n x n n x n x n n

x n x n n x n x n n x y x y x y

I

U

U I

U U

U U

¡ § ¨

§ ¨ ¢

§ ¨ ¢ § ¨ ¢ § ¨ § ¨ ¡

§ ¨ ¡ § ¨ § ¨© ¬« ® § ¨ § ¨ ¢

§ ¨ § ¨ ¢ § ¨ ¢ § ¨ ¢

§ ¨ ¢ § ¨ ¢ § ¨ § ¨¡

iii) Si ( ):

El máximo entero de un número “ ”, se denota como y es el mayor de todos

los enteros menores o iguales a , es decir:

El máximo entero es el entero más próximo que está a la izquierda de

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11. 12.

b

f

1.4. MAXIMO ENTERO

Definic ión:

Propiedades de l máximo entero.


40

2 3 2 2

2 23 2 2 2 3 2 3

2 22 3 2 3 2 3

2 23 4 0 3 5 0

2

3 29 3 292 2

( 4)( 1) 0 3 5 0

1, 4 ,

; 1 4 ; 3 29 3 292 2,

. . 1.19; 1 4; 4.19

3 15 11

3 15 11 3 15 12

1

. . ; 1

2 3 4 5,

1 4

+-+ +-+

3 292

3 292

Ejemplo 1.30:

Soluc ión:

Ejemplo 1.31:

Soluc ión:

Ejemplo 1.32:

Resolver la ecuación

Resolver la siguiente inecuación

Resolver la siguiente ecuación

x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

pc pc

x x

C S x

x

x x

x

C S x

x x x

− − =

− − = ↔ ≤ − − <

↔ ≤ − − ∧ − − <

↔ − − ≥ ∧ − − <

{ } { }− +

↔ − + ≥ ∧ − − <

= − =

] [( )∈ −∞ − +∞ ( )− +∈

]∴ = ∈ − −

+ ≤

+ ≤ ↔ + <

↔ < −

∴ = ∈ −∞ −

− = + ∀ ∈

− − +

© ¬ª « ®

© ¬ª « ®

U I

U

§ ¨

§ ¨

§ ¨ ¡

I


41

2 3 4 5

4 5 4 5 2 3 4 6

5, 4 5 2 3 2 3 4 6

45 9

, 44 2

5 9, 4

4 2

9 54

2 4

18 5 16

13 11

12 11

1712

411 4

17. . , 4

4

Soluc ión:

§ ¨¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

{ }

{ }{ }

− = +

+ = ∈ ∈ ∧ + ≤ − < +

−= ∈ ∧ + ≤ − ∧ − < +

− = ∈ ∧ ≤ − ∧ − <

− = ∈ ∧ − < ≤ −

− ∈ ∧ − < ≤ −

∈ ∧ − < − ≤ −

∈ ∧ − < ≤ −

= − ∨ −

− = − → =

= − → = −

− ∴ = ∈ −

x x

x n x x x

nx n x x x x

nx n x x

nx n x

nn

n n

n n

n

Si n x

Si n x

C S x


42

1 2, 21

2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1

2

1 1 1( , )

2 2 2( , )

CAPÍTULO II

2.1 VECTORES EN EL PLANO

2.1.1 Definic ión:

2.1.2 Repres entac ión Geo métrica:

En el presente capítulo se desarrollará el tema de vectores en el plano y el espacio,

resaltando su importancia en la física, se presentaran aplicaciones a áreas y

volúmenes. Se desarrollan los siguientes ítems:

2.1. Vectores en el plano

2.2. Vectores en el espacio.

Consideremos dos puntos , el segmento de recta dirigido de (punto

inicial) a (punto final) se denota por , luego al segmento dirigido se le

llama vector de a y se denota por: .

La dirección del vector está determinada por el ángulo que forma el vector

con la parte positiva del eje , medida en sentido antihorario y con lado inicial al eje

.

Figura N°2.1.Representación Geométrica de un vector en el plano

P P P

P PP PP

P P a PP

PP

X

X

x x

y

y

P x y

P x y

a

X

Y

∈

=

¡

uuur uuur

r uuur

uuur

r

q

q


43

1 2 12

2 2 1 1 = ( , ) ( , )

2 1 2 1 = ( , )

De donde se deduce que el punto final es: 2 1 y el punto inicial 1 2 .

(6, 4) (2, 1)

( , )

( , ) (2, 1) (6, 4)

( , ) (8, 5)

Figura N°2.2. Gráfico del vector (6, 4)

(0,0) 2-1

8

-5

(6, 4)

Las coordenadas de un vector, se calculan mediante:

Dado el vector , cuyo punto inicial es , hallar el punto final y

graficar.

Sea el punto final del vector, entonces el vector se puede denotar como:

De donde las coordenadas del punto final son:

a PP P P

a x y x y

a x x y y

P P a P P a

v A

B m n

v AB B A

B A v

m n

m n

v

X

Y

v

= = −

−

− −

= + = −

= − −

= = −

= +

= − + −

∴ = −

= −

= −

r uuur

r

r

r r

r

r uuur

r

r

r

Ejemplo 2.1:

Soluc ión:


44

( , ) ( , )

( , )

2 2( , )

0

. .

2 .

2 2 2 2 .

( , )

(0, 0)

( , )

(0, 0)

2.1.3 Vector pos ic ión o radio vec tor

2.1.4 Módulo o Norma de un vector:

Propiedades :

:

Está determinado mediante el punto inicial el origen de coordenadas y como punto

final cualquier punto del plano cartesiano, entonces el vector = .

Figura 2.3. Vector Posición

Es la longitud o el tamaño de un vector , se denota y se define como:

Figura 2.4. Modulo de un vector

i)

ii)

iii)

iv)

P a b v a b OP

v x y

v x y x y

v

r v r v

v v v

u v u v u v

X

P x yv

Y

X

P a b

v

Y

=

=

= = +

≥

=

=

± = + ±

r uuur

r

r

r

r r

r r r

r r r r r r

r

r


45

( 3,4)2 2( 3, 4) 3 4 5

1 2 1 2, y ,

1 2 1 2 1 1 2 2. , . ,

4, 3 (6,5) , el producto escalar es:

. 4,3 .(6, 5) 24 15 9 .

El producto punto es conmutativo: . .

: :

Ejemplo 2.2:

2.1.5 Producto Punto o Es calar de dos vec tores :

Ejemplo 2.3:

2.1.6 Suma de Vectores

El módulo del vector es .

Consideremos los vectores , se define el producto punto

como:

Sean los vectores

Figura 2.5. Suma de vectores Figura 2.6. Resta de vectores

v v

u u u v v v

u v u u v v u v u v

u y v

u v

u v v u

u v v u

uv

v

uu v

X

Y

X

X

Y

uv

u

v

v u

= − ( )= − = − + =

( ) ( )= =

( ) ( )= = +

( )= − =

( )= − = − + = −

=

+ −

+ −−

r r

r uuur

r r

r r

r r

r r r r

r r r r

rr

r

rr r rr

r

r

r r

Observación:


46

:

1

.(cos , ) (cos , )

cos.(cos , );

( , )

(0, 0)

: es el ángulo de inclinación del vector con respecto al eje .

u v

u u

aa a u u

a

a u a

a a sen u sen

x r

y r sena r sen donde r a

X

X

a x ya

Y

aX

x

y

uv

v

uu v

X

Y

−

=

= → =

= =

=

== =

=

−−

r r

r r

rr r r r

r

r r r

r r r

r r

rr

r

rr

r

rr r

Figura 2.7. Otra forma de Restar de vectores

Un vector será unitario si su módulo es uno, es decir .

Todo vector del plano, se puede expresar como:

Si el vector tiene vector unitario , entonces todo vector paralelo a dicho vector

tendrá el mismo vector unitario.

Se cumple que ; donde el vector unitario es

En la figura:

, entonces .

Figura N° 2.8. Representación de un vector mediante el ángulo de inclinación

respecto a .

2.1.7 Vector Unitario

q q q q

q

qq q

q

q


47

9

99 (300º ) 9 (30º )

2

99 (300º ) 9cos(30º ) 3

2

.(cos , )

9 9( , 3)2 2

, ,

12

2 :

3 :

24 : , !0 / 0 0

0 (0; 0)

EO

S

30º

N

Ejemplo 2.4:

Soluc ión:

Propiedades :

Sea el vector cuya dirección es 30º sur –este (S - E) y cuyo módulo es 9. Hallar

sus coordenadas:

Figura 2.9. Interpretación geométrica del ejemplo 2.4

El módulo del vector se denota

Luego el vector se obtiene de la siguiente forma

Sean los vectores ; escalares reales:

: . Cerradura.

. Conmutativa.

. Asociativa.

. Existencia del elemento neutro.

Donde es el vector nulo.

v

v

x Cos sen

y Sen

a a sen

v

a b y c r s

A a b

A a b b a

A a b c a b c

A a a a a

y v

x

r

r

r r

r

r r r

r r¡

r r r r

r r r r r r

r r r r r r r¡

r

r

=

= = =

= = − = −

=

= −

+ ∈

+ = +

( ) ( )+ + = + +

∀ ∈ ∃ + = + =

=

q q


48

2 25 : , !( ) / ( ) ( ) 0

21 :

2 : 1. , 1

1 : ( )

2 : ( ) . .

3 : ( . ) ( ).

2, 0

. .

0 :

0 :

2, // .

(0, 0)(0,0)

00

A a a a a a a

M sa

M a a

D r a b ra rb

D a r s a r a s

D r s a rs a

a b

a b b a

a b a b

X

a

Y

a

X

Y

a a

a

∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =

∈

= ∈

+ = +

+ = +

=

∈ ≠

= ∨ =

>

<

∈

<>

r r r r r r r¡ ¡

r¡

r r¡

r r r r

r r r

r ur

r r¡

r r r r

r r¡

r ur

r r r r

r

. Existencia del elemento inverso.

Multiplicación por un escalar:

Distribución:

Dos vectores no nulos son paralelos si existe tal que

.

Si los vectores paralelos tienen el mismo sentido.

Si los vectores paralelos tienen sentidos opuestos.

Figura 2.10. Representación geométrica de vectores paralelos

Si dos vectores son paralelos, se denota o escribe como

2.1.8 Vectores parale los :

Definic ión:

Notac ión:

a

a a

a

a

a a

a aa


49

(12;7) y (2 ; 6) .

// .

(12;7) (2 ;6)

12 2 y 7=6

76 y =

636 / 7

7 72 726 7 7

(12; 7) ( ;6) y ( ;6)

2, 2

, .

21 2( , )

(1, 0) y (0,1) 1 2

.

Ejemplo 2.5:

Soluc ión:

2.1.9 Combinac ión Lineal entre Vectores

Propos ic ión:

Nota:

Dados los vectores paralelos . Hallar el valor de

Como

Luego:

Luego los vectores paralelos son .

Dados dos vectores no nulos y no paralelos, entonces todo vector

se puede escribir de modo único en la forma , donde

Figura 2.11. Combinación lineal de vectores

Todo vector se puede escribir en términos de los vectores

fundamentales , es decir , como mostraremos a

continuación:

a b m m

a b a b

m

m

m

m

a b

a b c

c r a sb r s

a a a

i j a a i a j

ba X

Y

c

r a

s b

= =

→ =

=

=

=

→ =

= = =

∈ ∈

= + ∈

= ∈

= = = +

r r

r r r r

r r

r r¡

r¡

r r r¡

r¡

r r r r r

rr

r

r

r

a

a

a a

a a


50

1 2 1 2 1 2 1 2( ; ) ( ; 0) (0; ) (1; 0) (0;1)

1 2

(5; 8) 5 8 (5; 8)

21 2( , ) 2 1( ; )

2,

bProy

2b

.Proy .

(0,0)

a a a a a a a a i a j

a a i a j

v v i j

a a a a a a a

a

a

a b a

b a

a ba b

b

Xa

Y

a

= = + = + = +

= +

= − = + − = −

= ∈⊥

= −

⊥

∈

=

⊥

r r r

r r r

r r r r

r¡

r r

r

r

r r¡

r

rrr

r

r rr r

rr

Ejemplo 2.6:

Definic ión:

2.1.10 Proyecc ión ortogo nal

Definic ión.-

El vector se puede expresar como

Dado , definimos vector ortogonal de .

Figura 2.12. Vector ortogonal

Observamos que el vector tiene una orientación en sentido antihorario con

respecto al vector .

Dados los vectores no nulos la proyección ortogonal de en

la dirección del vector , se denota y se define como:

A continuación daremos más detalles al respecto:


51

. .

. . . . .

2. .

2

.

2

.. .

.

2b

. =Proy .

2

.. =Proy .

. .b

Proy Proy

.

Figura 2.13. Proyección Ortogonal de vectores

Como el vector se puede expresar

Multiplicamos por

Multiplicamos por

es la proyección ortogonal del vector de en la dirección del vector ,se denota

:

Mediante un desarrollo análogo se obtiene la proyección ortogonal del vector

en la dirección del vector , es decir:

Luego se expresa como:

a a r b s b

b a b r b b s b b

a b r b

a br

b

ba b

r b bb

r b a b

a brb a b

b

a b

b

a bs b a b

b

a r b s bb

a a a

b bX

Y

a

rb

b

s b

r r r r

r r r r r r r

r r r

r r

r

rr r

r rr

r r r

r

r ruur r r

r r

r

r rr r r

r

r r rr r

r r r

r r

r

r

r

r

⊥= +

⊥= +

=

=

=

=

⊥

⊥

⊥⊥ ⊥

⊥=

⊥= + ⊥= +

⊥

⊥

⊥

:

:


52

b y Proy

b y Proy

b90º Proy 0

2

c c cProy ( ) Proy Proy , , , ; c 0

b bProy ( . ) .Proy ,

2b

.Proy .

bProy

bProy

Obs ervac iones :

2.1.11 Componente de un vector

i) Si es un ángulo agudo, tienen el mismo sentido.

Figura 2.14. Proyección ortogonal Observación (i)

ii) Si es un ángulo obtuso tienen sentidos opuestos.

Figura 2.15. Proyección ortogonal Observación (ii)

iii) Si .

Propiedades de la proyección:

i)

ii) ,

Sea el vector proyección ortogonal:

q

q

q

q

q

b a

b a

a

a b a b a b c

t a t a t

a ba b

b

b X

Y

a

a

bX

Y

a

a

rr r

rr r

rr r

r r rr r r r r urr r r

¡

r rr r

¡

r

r rr r

r

r

rr

r

r

rr

= ⇒ =

+ = + ∈ ≠

= ∈

=


53

b

.Proy . .

bProy

b

.

2

c c c( ) , , , ; c 0

b bCp ( . ) . , .

2,

Proy

.1 1 1. . . .

2 2 2 2

1. .

2

h

a b ba

b b

b

b

a b

b

a

a ba b

Cp ab

Cp a b Cp a Cp b a b c

t a t Cp a t

a b

b bh a Cp a

b

a bbA b h b Cp a A a b

b

A a b

b b

X

Y

a

b

=

=

+ = + ∈ ≠

= ∈

∈

⊥ ⊥= =

⊥

⊥

⊥

⊥= = → = =

⊥=

⊥

⊥

r

r r rr

r r

r

r

r r

r

rr

r rr

r rr

r

r r rr r r r r urr r r

¡

r rr r

¡

r r¡

r r

r r

r

r rrr r r r r

r

r r

r r

r

r

; donde es el vector unitario, entonces nos proporciona

la medida o longitud del vector , el cual recibe el nombre de “Componente del

vector en la dirección de ”, se denota como: .

Propiedades de la Componente de un vector:

i)

ii)

Dados los vectores no nulos , como en la siguiente figura:

Figura 2.16. Aplicación de Proyección ortogonal: áreas

Sea la altura

El área del triángulo es

2.1.12 Aplicac ión a las áreas


54

.

( 3;7), B(4;9), C(8;5) y D(12;-4)

(4;9) ( 3; 7) (7; 2)

(8;5) ( 3; 7) (11; 2)

(12; 4) ( 3;7) (15; 11)

21

1 1 1. (7; 2).(2;11) 14 22 18

2 2 2291

2 2

1 1 1. (11; 2).(11;15) 121 30

2 2 2291 127

1 2 2 218

)7;18(y )2;3(

103 104

)3;6( .y

( 3;7)

C(8;5)

D(12;-4)

1

2

B(4;9)

El área del paralelogramo comprendido por los vectores está dado por:

.

Hallar el área del cuadrilátero ABCD que tiene como vértices los puntos

.

Figura 2.17. Gráfico del ejemplo 2.7

Luego el área del cuadrilátero es

Dados los vértices de un trapecio isósceles , la longitud del

segmento es , la altura del trapecio es y la altura bajada desde el

vértice se intersecta con el lado en el punto . Hallar los vértices

a y b

A a b

A

a AB B A

b AC C A

c AD D A

A a b

A b c

TA A A

DA ABCD

BC

B AD P CB

X

AA

A

Y

r r

r r

r uuur

r uuur

r uuur

r r

r r

⊥=

−

= = − = − − =

= = − = − − = −

= = − = − − − = −

⊥= = = + =

⊥= = − = − =

= + = + =

−

Ejemplo 2.7:

Soluc ión:

Ejemplo 2.8:

m

m

m


55

103

104 )7;18(

105 )5;15(

)5;15(105

1

)1;3(10

1)3;1(

10

1

)3;1(10

1.104)3;6(.104)3;6( )15;2(

)1;3(10

1.103)15;2(.103)15;2(

)18;11(

10

10

)2;3()3;6(

Soluc ión:

B

D

ADAD

AD

AD

AD

B B

C

C

X

Y

AP

C

Figura 2.18. Gráfico del ejemplo 2.8.

Formamos el vector

El vector unitario en la dirección del vector es

, entonces su vector ortogonal es

Luego el punto , entones

Luego hallamos el punto , entonces

.

=→=→→

→

==→

→→

=→

−=⊥→

−+=+=⊥→

=

+=+=→

=

m

m m

m

m


56

31 2 3 1 2 3( , , ) /

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , )

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )

1 2, 31

2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1( , , )

2 2 2 2( , , )

2.2. VECTORES EN EL ESPACIO

2.2.1 Definic ión:

2.2.2 Repres entac ión Geo métrica:

Sea el conjunto

Definimos la igualdad de tripletas ordenadas:

Definimos la suma de tripletas ordenadas:

Definimos el producto de un escalar por una tripleta ordenada:

, donde es un escalar.

Consideremos dos puntos , el segmento de recta dirigido de (punto

inicial) a (punto final) se denota por , luego al segmento dirigido se le

llama vector de a y se denota por: .

Figura N° 2.19. Representación geométrica de un vector en el espacio.

{ }= ∈ ∧ ∈ ∧ ∈

= ≡ = ∧ = ∧ =

+ = + + +

=

∈

=

a a a a a a

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

k a a a ka ka ka k

P P P

P PP PP

P P a PP

P x y z

P x y z

Y

X

a

Z

¡ ¡ ¡ ¡

¡

uuur uuur

r uuur

r


57

1 2 12

2 2 2 1 1 1

2 1 2 1 2 1

= ( , , ) ( , , )

= ( , , )

2 1 1 2

3, ,

13

2 :

3 :

3 34 : , !0 / 0 0

0 (0;0; 0)

3 35 : , !( ) / ( ) ( ) 0

1 2 3( ; ; )

31 :

2 : 1. , 1

1 : ( )

2 : ( ) . .

3 : ( . ) ( ).

Las coordenadas de un vector, se calculan mediante:

De donde se deduce que el punto final es: y el punto inicial .

Sean los vectores y escalares reales:

: . Cerradura.

. Conmutativa.

. Asociativa.

. Existencia del elemento neutro.

Donde es el vector nulo.

. Existencia del elemento inverso

aditivo, donde

Multiplicación por un escalar:

Cerradura

Distribución:

a P P P P

a x y z x y z

a x x y y z z

P P a P P a

a b y c r s

A a b

A a b b a

A a b c a b c

A a a a a

A a a a a a a

a a a a

M sa

M a a

D r a b ra rb

D a r s a r a s

D r s a rs a

= = −

−

− − −

= + = −

∈

+ ∈

+ = +

( ) ( )+ + = + +

∀ ∈ ∃ ∈ + = + =

=

∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =

− = − − −

∈

= ∈

+ = +

+ = +

=

r uuur

r

r

r r

r r r¡

r r¡

r r r r

r r r r r r

r r r r r r r¡ ¡

r

r r r r r r r¡ ¡

r

r¡

r r¡

r r r r

r r r

r ur

Propiedades :


58

3

1 2 3( , , )

2 2 21 2 3 1 2 3( , , )

0

. .

2 .

0 0 (0;0;0)

(3, 2, 1)

(5,4, 2)

(5, 4,2) (3, 2, 1)

(2,6,3)

(2,6,3)

2 2 2(2, 6, 3) 2 6 3 7

2.2.3 Módulo o Norma de un vector en :

Propiedades :

Ejemplo 2.9:

Soluc ión:

¡

r

r

r

r r

r r r

r r r

r r r r

r uuur

r uuur

r

r

r

Es la longitud o el tamaño de un vector , se denota y se define como:

i)

ii)

iii)

iv)

v)

Hallar el módulo del vector que tiene como punto de inicio y como punto

final .

1º Sea el vector

2º Hallamos las coordenadas del vector:

3º El módulo del vector es:

a a a a

a a a a a a a

a

r a r a

a a a

a a

a b a b

A

B

v AB

v AB B A

v

v

v

=

= = + +

≥

=

=

= ↔ = =

± ≤ +

− −

=

= = − = − − −

=

=

∴ = = + + =


59

31 2 3( ; ; )

, ,

1 2 3, ,

( ; ; )

2 2 2 1

3 1

3a es el

vector unitario de . .

1

2

3

2.2.4 COSENOS DIRECTORES

2.2.5 VECTOR UNITARIO

Sea el vector

Figura N° 2.20. Representación de los cosenos directores

Donde: son los ángulos que forma el vector con los ejes positivos de X,Y y

Z respectivamente.

Los cosenos directores son:

Todo vector se puede expresar como:

Se cumple:

Un vector no nulo será unitario si su módulo es uno, es decir .

Todo vector , se puede expresar como: , donde

Si el vector tiene vector unitario , entonces todo vector paralelo a dicho vector

tendrá el mismo vector unitario.

a a a a

a

a a aCos Cos Cos

a a a

a a a Cos Cos Cos

Cos Cos Cos

u u

a aa

a a u ua

au

a

a au a

Y

X

a

a

a

a

z

= ∈

= = =

=

+ + =

∈ =

∈ = → =

r¡

r

r r r

r r r

r¡

r

r¡ r r

rr r r r

r rr

r

rr

r r

r

a b g

a b g

a b g

a b g

ag

b


60

3

1 2 3( ; ; )

1 2 3 = ( ;0;0) (0; ; 0) (0; 0; )

1 2 3 = (1; 0; 0) (0; 1; 0) (0; 0; 1)

1 2 3 =

(1; 0; 0), (0; 1; 0) , y

(0; 0; 1) .

3, 0

. .

0 :

0 :

2.2.6 Vectores unitarios fundamentales

2.2.7 Vectores parale los :

Definic ión.-

Cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los

vectores unitarios fundamentales, es decir:

Sí

Donde los vectores unitarios fundamentales son:

Figura N° 2.21. Vectores unitarios fundamentales

Dos vectores no nulos son paralelos si existe tal que

, .

Si los vectores paralelos tienen el mismo sentido.

Si los vectores paralelos tienen sentidos opuestos.

a

a a a a

a a a

a a a

a a i a j a k

i j

k

a b

a b b a

Y

X

i

j

k

Z

∈

=

+ +

+ +

+ +

= =

=

∈ ≠

= ∨ = ∈

>

<

r¡

r

r r r r

r r

r

r r¡

r r r r¡

r

r

r

a

a a a

a

a


61

3, // .

1 2 3( ; ; ) 1 2 3( ; ; )

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) ( ; ; ) + +

3, ,

y

,

0 y 0

y

por x

por x

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

x ( ) ( ) ( )

Notac ión:

Propiedades :

2.2.8 Producto Vectorial

Definic ión:

Si dos vectores son paralelos, se denota o escribe como

Producto punto o escalar

Sean los vectores y definimos el producto punto o

escalar como

Sean los vectores se cumplen las siguientes propiedades:

i)

ii)

iii) Si son vectores no colineales y el ángulo comprendido entre ellos:

Sean los vectores no nulos , no colineales entonces existe un vector

ortogonal a ambos tal que: ; éste vector se obtiene a partir de

los vectores mediante una operación que se denomina el producto vectorial

, se denota .

El producto vectorial , se denota , y se define como:

a b a b

a a a a b b b b

a b a a a b b b a b a b a b

a b c

a b b a

a b c a b a c

a b

a bCos

a b

a b c

a c b c c

a b

a b c a b

a b a b

i j k

a b a a a i a b b a j b a a b k a b b a

b b b

∈

= =

⋅ = ⋅ =

∈

⋅ = ⋅

( )⋅ + = ⋅ + ⋅

⋅=

⋅ = ⋅ =

=

= = − + − + −

r r¡

r ur

r r

r r

r r r¡

r r r r

r r r r r r r

r r

r r

r r

r r r

r r r r r

r r

r r r r r

r r r r

r r r

r r r r r

q

q


62

x x

x x

x = 0

x

3, ,

x

x

x

x

Figura N° 2.22. Representación del producto Vectorial

i)

ii)

iii)

iv)

Sean los vectores las aristas adyacentes del paralelepípedo:

Figura N° 2.23. Paralelepípedo

EL volumen del paralelepípedo está dado por:

Propiedades :

2.2.9 Volumen de l parale lepípedo

a b b a

a b b a

a a

a b a b Sen

a b c

pV h bxc

b c

c

a

b

hb x caCp

b c

a

b

a b

b

aa b

≠

= −

=

∈

= ⋅

r r r r

r r r r

r r r

r r r r

r r r¡

r r

r r

r

r

r

r r

r

r r

r

r

r r

r

rr r

a


63

1

2

1 2 3

1 2 3

1 2 1

Se cumple:

p bxcV a bxcCp

p

a bxcV bxc a bxc

bxc

pV a bxc

a y b

a y b

A a b Sen a x b

a y b

A a x b

a a a

a bxc b b b

c c c

a bxc c axb b cxa

b

a

b Sen

= ⋅

( )⋅

= ⋅ = ⋅

( )= ⋅

= ⋅ =

=

( )⋅ =

( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = ⋅

⋅

r rr r r

r r rr r r r r

r r

r r r

r r

r r

r r r r

r r

r r

r r r

r r r r r r r r r

r

r

r

2.2.10 Área de l parale logramo :

Dados los vectores

Figura N° 2.24. Paralelogramo

El área del paralelogramo formado por los vectores , está dado por:

El área del triángulo formado por los vectores , está dado por:

Triple producto escalar:

q

qq


64

1

6

)9;3;1(D),1;8;3(C),1;6;5( ),0;4;2(

)0;4;2(

)1;6;5(

)1;8;3(C

)9;3;1(D

2.2.11 Volumen de l te traedro :

Ejemplo 2.10:

Soluc ión:

Figura N° 2.25. Tetraedro

El volumen del tetraedro está dado por:

Hallar el volumen y graficar el tetraedro que tiene como vértices

.

A continuación graficamos en el espacio tridimensional:

Figura N° 2.26. Grafico del ejemplo 2.10

( )= ⋅

−−−−

−

−

−

−

TV a bxc

BA

Z

YA

B

X

b

a

c

X

Y

Z

r r r

r

r

r


65

)1;10;3( )1;12;5( )9;7;3(

1

6)1;10;3()1;12;5().9;7;3(

61

)3650()35()1012(103

125

13

15

110

112

1103

1125

)86;2;22(

86;2;22).9;7;3(61

1 166 14 774 722

6 6

3

3361

Luego hallaremos los vectores que se encuentran como aristas que parten de un

vértice:

, ,

Luego el volumen del tetraedro está dado por:

, sustituimos los vectores

El producto vectorial se calcula de la siguiente manera:

−==→→

−==→→

−==→→

( )= ⋅ ( )−−−=

−−+−−−−=−

+−

−−

−=

−

−=→→→→→→

→→→

→→

−−−=→→

( )−−−−=

= − − = −

=

ABc ACb ADa

TV a bxc xVT

kjikji

kji

cxb

cxb

TV

TV

TV

r r r

m


66

'

' '

'

( ; ) se ubica en el eje se ubica en el

eje ; es decir:

CAPÍTULO III

3.1. S is tema de coordenadas cartes ianas .

En el presente capítulo se desarrollará una introducción a la geometría analítica

desarrollaremos temas como la recta y las cónicas; Como aplicación de las cónicas

veremos ejercicios acerca de sistemas de navegación por radio, también

estudiaremos la importancia de los modelos lineales en el estudio del dióxido de

carbono en la atmósfera. Se desarrollarán los siguientes ítems:

3.1. Sistema de coordenadas cartesianas.

3.2. La Recta.

3.3. La Circunferencia

3.4 Transformación de Coordenadas

3.5 Las Cónicas

3.6 La Parábola

3.7 La Elipse

3.8 La Hipérbola

El Sistema de coordenadas en el plano, es el sistema de coordenadas

rectangulares, este sistema está conformado por dos rectas dirigidas y

, llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre La recta se

conoce como eje o eje de las abscisas y la recta se conoce como eje o eje

de las ordenadas; el punto de intersección es el origen O(0;0). Estos jes

coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, en el cual la

dirección positiva del eje es hacia la derecha y la dirección positiva del eje es

hacia arriba.

A cada punto del plano coordenado le corresponden uno y solamente un par de

coordenadas o par ordenado , donde e

X X

Y Y X X

X Y Y Y

X Y

P

x y x X y

Y


67

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ),

1 1 1( ; ) 2 2 2( ; )

2 21 2 1 2 2 1 2 1( , ) ( ) ( )

1 1 1( ; ) 2 2 2( ; )

1 2 1 2( ; )2 2

( ; )

'

'

I II

III IV

O (0;0)

Figura N° 3.1. Sistema de coordenadas cartesianas.

y dos puntos del plano cartesiano, la distancia entre

estos dos puntos está dada por:

El segmento que une a los puntos y , tiene como punto medio a:

.

Suma de pares ordenados :

Res ta de pares ordenados :

Multiplicac ión de un par ordenado por un es calar

Dis tanc ia entre dos puntos de l plano :

Sean

Punto medio de un Seg mento :

a b c d a c b d

a b c d a c b d

k a b ka kb k

P x y P x y d

d P P P P x x y y

P x y P x y

M

x x y yP

P x y

x

y

Y

Y

X X

+ = + +

− = − −

= ∈

= = − + −

+ +

¡


68

);( 111 );( 222

113221

1212

12 ;21

)(

1800

);(1 11

);(2 22

12

12

12

31

1

3.2 LA RECTA

3.2.1 Definic ión

.

Obs ervac ión:

Una recta es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que si se toman dos

puntos diferentes cualesquiera y el valor de la pendiente no

varía.

Figura N° 3.2. La Recta

La pendiente está dada por

La pendiente también se calcula como , donde es el ángulo de

inclinación de la recta con respecto al eje , donde es el ángulo comprendido

por la parte positiva del eje y la parte superior de la recta , .

Figura N° 3.3.Pendiente como ángulo de inclinación res l eje X

L

yxP yxP m

nnii PPPPPPPP mmmmm

xxxx

yymm PP

m Tgm

L X

X L

yxP

yxP

X

Y L

xx

yy

PP

PiP i

Pn

P

X

Y Ln

P

−−======

≠−−

==

=

°≤≤°

−

−

−

−

KK

q q

q

q

q


69

12

12

)(

:

0 0

CACO

mxx

yy

Tgm

X

ky k

Y

kx k

kyLk

X

Y

X

Y L

X

Y

m m

L

==−

−

=

=

=

=

> <

es la razón del cateto opuesto y el cateto adyacente, mos que

dicha razón es la tangente del ángulo , por lo tanto:

El gráfico de la recta varía de acuerdo con los valores que tome la pendiente:

Figura N° 3.4. Gráficos de la Recta, respecto a la pendiente

iii) Si la pendiente es cero, la recta es horizontal o para l eje ; la ecuación de

la recta es , donde es cualquier número real.

Figura N° 3.5. La Recta horizontal

iv) La pendiente no existe cuando la recta es vertical o paralela al eje ; la ecuación

de la recta es , donde es cualquier número real.

Si la pendiente es positiva Si la pendiente es negativa

q q

Cas os :

.

.


70

1 2 21 //

2121 //

1 2 21

21 1. 21

1 2

21

2

1

:

Figura N° 3.6. La Recta vertical

Dos rectas y son paralelas (se denota ) si tienen la misma pendiente, es

decir, si

Figura N° 3.7. Rectas paralelas

Dos rectas y son perpendiculares (se denota ) si el producto de sus

pendientes es igual -1, es decir:

Si

Figura N° 3.8. Rectas perpendiculares

Las rectas y forman 90°.

.

3.2.2 Rectas Parale las :

.

3.2.3 Rectas perpendiculares :

.

L L LL

mmLL

L L LL

LL mm

L L

X

YLL

X

Y

L

L

kxL

kX

Y

=→

⊥

⊥ −=→

=


71

);( 111

)(: 11

:

);0(

);( 111 );( 222

)(: 112

121 12

0

0

1:

0: 0 .0

3.2.4 ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuac ión

Ecuac ión

Ecuac ión

Ecuac ión

Ecuac ión General de la Recta

(Forma punto pendiente)

La ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente

dada tiene por ecuación:

(Dada la pendiente y ordenada al origen)

La ecuación de la recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen es

tiene por ecuación:

La ordenada al origen es el punto de intercepción del eje con la recta y sus

coordenadas son .

(Forma punto pendiente )

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados y

tiene por ecuación:

;

(Simétrica de la recta)

La ecuación de la recta cuyas intercepciones con los ejes e son y

, respectivamente tiene por ecuación:

La ecuación de la recta se puede representar mediante una ecuación lineal en las

variables e , es decir:

; donde o

L yxP

m

xxmyyL

L m b

bmxyL

Y L

b

L yxP yxP

xxxx

yyyyL xx

L X Y a

b

by

ax

L

L

x y

CByAxL A B

−=−

+=

−

−−

=− ≠

≠

≠

=+

=++ ≠ ≠


72

0,:

:

0: );( 111

22

111 ),(

0:

);( 111

22

111 ),(

-

);( 111

Nota:

3.2.5 La Dis tanc ia de un punto a una rec ta:

3.2.6 La Dis tanc ia dirigida de un punto a una rec ta:

Si despejamos la variable , tenemos:

La ecuación (i)

La ecuación ordenada al origen es (ii)

Comparando las ecuaciones (i) y (ii), tenemos que la pendiente es y la

ordenada al origen es .

La distancia de una recta dada a un punto dado se

puede obtener sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la

ecuación de la recta, es decir:

La distancia es el segmento de recta perpendicular a la recta .

La distancia dirigida de una recta dada a un punto dado

se puede obtener mediante la siguiente fórmula:

Para elegir el signo del radical se tomará en cuenta las siguientes condiciones:

Si consideramos una recta que no pasa por el origen:

- La distancia será positiva si el punto y el origen de coordenadas están

en lados opuestos de la recta.

y

BB

Cx

B

AyL

bmxyL

B

Am

B

Cb

d CByAxL yxP

BA

CByAxLPdd

d L

d CByAxL

yxP

BA

CByAxLPdd

d yxP

≠+−=

+=

−=

=

=++

+

++==

=++

+±

++==


73

);( 111

);( 111 );( 111

0952:

0952:

29

8

52

9)1(5)2(2),(

221

29

8

52

9)1(5)2(2),(

221

)1;2(

)0;0(

- La distancia será negativa si el punto y el origen de coordenadas están

del mismo lado de la recta.

- Si la recta pasa por el origen de coordenadas, la distancia es positiva si el

punto está arriba de la recta y será negativa si el punto está debajo

de la recta.

Hallar la distancia de la recta al punto (2;1), interprete el signo de

la distancia como segmento dirigido.

Figura N° 3.9. Gráfico del ejemplo 3.1

La distancia del punto (2;1) a la recta está dada por:

La distancia como segmento dirigido se calcula como:

El signo negativo nos indica que el punto y el origen de coordenadas se encuentran

Del mismo lado de la recta.

d yxP

d

yxP yxP

yxL

yxL

LPdd

LPdd

X

YL

Ejemplo 3.1:

Soluc ión:

.

=+−

=+−

=+

+−==

−=

+−

+−==


74

)2;2(Cy )5;6(B ),4;3(

);(P

1 2

21

0256

02247

);(P 22

);(P 11

21

)2;2(

)0;0(

)4;3(

B(6;5)

);(P

12

Ejemplo 3.2:

Soluc ión:

.

Los vértices de un triángulo son los puntos . Hallar la

ecuación de la bisectriz del ángulo interior .


Los puntos de la bisectriz de un ángulo son equidistantes de los lados del ángulo,

por lo tanto sea el punto un punto cualquiera de la bisectriz , las distancias

dirigidas y de los lados y respectivamente hacia son iguales, es

decir:

(i)

La ecuación del lado es y la ecuación del lado

.

Como y origen están del mismo lado de BC, entonces

Como y origen están en lados opuestos de AC, entonces .

Luego en (i):

(ii)

−−

=

=−+

=−−

−=

=

−=

−

−

A

ACB

yx L

d d AC BC P

dd

AC yx BC

yx

yx dd

yx dd

dd

C

Y

A

L

yx

dd

X


75

2222 47

2247

56

256

06122652614655617656:

3

1 13

0 3

1 13

25

253

Reemplazando las distancias en (ii) obtenemos la ecuación de la bisectriz :

La Familia o haz de rectas está determinada por la tot dad de las rectas que

satisfacen una única condición geométrica.

Hallar la familia de rectas que tienen pendiente 3.

La totalidad de rectas que tienen pendiente 3 forman una familia de rectas paralelas

las cuales las representaremos por la ecuación:

, donde es una constante arbitraria que toma todos los valores reales;

Para cada valor que le asignemos a encontraremos una ecuación de la familia de

rectas, es decir:

Si , la ecuación de la recta es




L

yxyx

yxL

txy t

t

t xy

t xy

t xy

t xy

+

−−−=

+

−+

( ) ( ) =−−−++∴

+=

−= −=

= =

= +=

= +=

3.2.7 Familia de Rectas :

Ejemplo 3.3:


76

)4(5

4

1),4(5

)0;0(

0,5

1,45

3

)0;0(

13

13253


Otro ejemplo de familia de rectas, serian las rectas que pasan por el punto (4;5), la

representación analítica de ésta familia de rectas es:

(i)

donde la pendiente es una constante arbitraria que toma valores reales, a ésta

ecuación también se le conoce como haz de rectas de vértice (4;5).

Como el parámetro no está definido para una recta paralela al eje Y, la ecuación (i)

no incluye a la recta que también pasa por el punto (4;5).


.

Ejemplo 3.4:

.

−=−

=

−=−−=−

==

=−=−

=−=

+=+=

xty

t

t

x

txy

X

Y

ty

txy

xy

X

Y

L

xy

xy

xy


77

1 1 1 1: 0

2 2 2 2: 0

2 2 2 2: 0

1 1 1 2 2 2( ) 0

1 2

1 : 2 16 0 2 : 4 5 10 0 3 : 3 27 0

1 2 y

2 16 (4 5 10) 0, .

(2 4 ) (1 5 ) 10 16 0, .

15

(2 4 ); .

(1 5 )

313

15

(2 4 ) 1= ;

(1 5 ) 3

- 6 12 1 5 1

: 2 6 26 0

Ecuac ión de la rec ta que pas a por la inters ecc ión de dos rec tas :

Ejemplo 3.5:

Soluc ión:

La familia de rectas que pasan por la intersección de ctas y

, se pueden obtener mediante la ecuación (i), con la única

excepción de la recta :

(i)

Donde el parámetro puede tomar todos los valores reales.

Este proceso nos ayuda a hallar la ecuación de la recta buscada sin la necesidad

de hallar el punto de intersección de las rectas y .

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

y y que es paralela a la recta .

La familia de rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas

tiene por ecuación

(i)

Tiene pendiente

Como la recta buscada es paralela a la recta cuya pendiente es , entonces

tienen la misma pendiente, es decir:

Luego los reemplazamos en la ecuación (i), obtenemos:

L A x B y C

L A x B y C

L A x B y C

A x B y C k A x B y C

k

L L

L

L x y L x y L x y

L L

x y k x y k

k x k y k k

km k

k

L

km k

k

k k k

L x y

+ + =

+ + =

+ + =

+ + + + + =

+ − = − + = − + =

+ − + − + = ∀ ∈

+ + − + − = ∀ ∈

+= − ≠

−

+= − ≠

−

− = − → = −

∴ − + − =

¡

¡


78

1 2

2 11 2

1 2

( ) , . 11 .

1 1 2

2

- 1 2 . 1

-

1 1: 0 2 2: 0

1 21 2 2 2

( , )

)0;0(1

2

)0;0(

1

2

3.2.8 Ángulo entre dos rec tas :

.

Notas :

3.2.9 Dis tanc ia entre dos rec tas :

El ángulo comprendido por dos rectas y está determinado por la siguiente

fórmula:

Donde es la pendiente de la recta inicial y es la pendiente de la recta final

.

Figura N° 3.13. Ángulo entre dos rectas

Si , el ángulo que forman las rectas es de 90°.

Cuando dos rectas se interceptan forman dos ángulos uno agudo y el otro obtuso,

por ello es importante determinar la recta inicial y final para hallar el ángulo buscado.

Si las rectas y , son paralelas, entonces la

distancia entre dichas rectas está dada por la siguiente expresión:

Figura N° 3.14. Distancia entre dos rectas paralelas

q

q

q

L L

m mTg m m

m m

m L m

L

m m

L Ax By C L Ax By C

C Cd L L

A B

X

Y

LL

d

X

Y

L

L

−= ≠ −

+

= −

+ + = + + =

−=

+


79

1 :12 5 3 0 2 :12 5 9 0

1 2 2 2

3 9 12( , )

1312 5

);( 111 2 2 2( ; )

3 3 3( ; )

1 1

2 2

3 3

11

12

1

1 ( 3; 2) 2 (4; 7)

3 (5; 1)

3 2 11 1 5 1 5 11 1

5 1 1 3 27 1 4 1 4 72 2

4 7 1

1 613( 1 7) 2(5 4) (35 ( 4))

2 2

261 612 2

Ejemplos 3.6:

Soluc ión:

Área de un triángulo

Ejemplo 3.7:

Soluc ión:

Hallar la distancia entre las rectas paralelas y .

La distancia entre las dos rectas paralelas es:

.

El área del triángulo que tiene como vértices los puntos , y

está determinado por el valor absoluto de la siguiente expresión:

, es decir .

Hallar el área del triángulo que tiene como vértices los puntos , y

.

Reemplazamos las coordenadas de los vértices del triángulo en la expresión :

Luego el área es .

L x y L x y

d L L

A yxP P x y

P x y

x y

K x y

x y

A K

P P

P

K

K

K K

A k

+ − = + + =

− −= =

+

= =

−

−

− − −

= − = − − +

( )= − − − − − + − − → =

= = = m


80

4

Ejemplo 3.8: APLICACIÓN

En la tabla 3.1 se enumera el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera,

medido en partes por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la

información que en ella aparece para encontrar un mode para el nivel de dióxido

de carbono.4

Tabla N° 3.1. Nivel de CO2. Steward (2008)

Stewart, James. CÁLCULO: TRASCENDENTES TEMPRANAS, México: editorial Cengage

Learning, sexta edición, 2008.

Año

Nivel de CO2

(en ppm)

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

338.7

341.1

344.4

347.2

351.5

354.2

356.4

358.9

362.6

366.6

369.4

372.9


81

12 12

1 1

12 12 122

1 1 1

1980 338.71982 341.11984 344.41986 347.21988 351.51990 354.21992 356.41994 358.91996 362.61998 366.62000 369.42002 372.9

Soluc ión:

Mediante un procedimiento de Estadística llamado Regresión Lineal, se obtiene un

mejor modelo lineal.

Un modelo lineal está representado por la ecuación de una recta,

usualmente se emplean las variables , es decir:

La recta se puede expresar con otras variables, como:

(i)

Donde : es la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera medido en (ppm), :

representa el año.

Tomaremos en cuenta las siguientes fórmulas de regresión lineal:

Donde representa el número de datos.

t2

? t2

x e y y ax b

C at b

C t

i ii i

C a t nb

i i ii i i

Ct a bt a t

n

= +

= +

= =

= +∑ ∑

= = =

= +∑ ∑ ∑

AÑO Nivel CO2 Ct

670626 3920400

676060.2 3928324

683289.6 3936256

689539.2 3944196

698782 3952144

704858 3960100

709948.8 3968064

715646.6 3976036

723749.6 3984016

732466.8 3992004

738800 4000000

746545.8 4008004

23892 4263.9 8490312.6 47569544?t ?C ?Ct


82

12 12

1 1

4263.9 23892 12

12 12 122

1 1 1

8490312.6 23892 47569544

( )=1.55192308

( )

( )2734.55385

( )

1.55192308 2734.55385

Sustituyendo los resultados de las operaciones en las ecuaciones de regresión

lineal, obtenemos:

Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante la regla Cramer (ver Capítulo

IV):

DET(S)= - 6864 DET(a)= -10652.4 DET(b)= 18769977.6

(ii)

Luego sustituimos (ii) en (i) y obtenemos la recta de regresión:

El gráfico de la recta de regresión se presenta en la figura N° 3.15.

Figura N° 3.15. Ecuación de la recta por regresión. Steward (2008)

i ii i

C a t nb a b

i i ii i i

Ct a bt a t b a

Det aa

Det s

Det bb

Det s

C t

= =

= +∑ ∑ = +

= = =

= +∑ ∑ ∑ = +

=

= = −

= + −


83

1.55192308 2734.55385 1989

(1989) 1.55192308(1989) 2734.55385 352.22

2012

(2012) 1.55192308(2012) 2734.55385 387.91

387.91

1.55192308 2734.55385 > 400

1.55192308 > 3134.55385

3134.553852019.79

1.55192308

Ejemplo 3.9:

Soluc ión:

Utilice el modelo lineal del ejemplo anterior para est mar el nivel promedio de CO2

correspondiente al año 1989 y predecir el nivel para el año 2012. Según este

modelo, ¿Cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón?

En la ecuación , para , se estima el nivel

promedio de CO2 :

Esto es un ejemplo de interpolación porque ha sido estimado un valor que se

encuentra entre los valores observados.

Cuando , se estima el nivel promedio de CO2 :

De esta manera se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2012 será

ppm.

Este es un ejemplo de extrapolación, pues se pronosticó un valor fuera de la región

de las observaciones. En consecuencia está mucho menos seguro acerca de la

exactitud de su predicción.

El nivel de CO2 excede las 400 partes por millón cuando:

Por lo tanto, se pronostica que el nivel de CO2 excederá de 400 ppm hacia el año

2020. Esta predicción implica un momento remoto con re a sus

observaciones, por lo que es riesgosa.

C t t

C

t

C

t

t

t

= + − =

= − ≈

=

= − ≈

−> ≈


84

2: ( ; ) / ( , ) , 0

( ; )

( ; )

0

)0;0(

( ; )

2 2 2: ( ) ( )

3.3 LA CIRCUNFERENCIA

3.3.1 Definic ión:

.

3.3.2 Ecuac iones de la Circunferenc ia:

A. Ecuac ión Ordinaria de la Circunferenc ia:

Una circunferencia es el conjunto de puntos que pertenecen al plano de tal

manera que se conservan siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese

plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama

radio, es decir:

Figura N° 3.16. La circunferencia

Donde es cualquier punto que pertenece a la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia se puede expresar de diferentes maneras, como

detallamos a continuación:

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es un punto cualquiera del plano

y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación:

C

C p x y d c p r r

p x y

c h k

r

X

Y

c

p x yr

C x h y k r

{ }∈ = >

>

− + − =

¡


85

( ; )

( ; ) ( ; )

0

2: ( ; ) / ( , ) , 0

2 2( ) ( ) , 0

2 2 2: ( ) ( ) , 0

0

2 2 2:

0 0.

)0;0(

( ; )

Figura N° 3.17. Circunferencia de centro

Sea un punto cualquiera que pertenece a la circunferencia de centro y

radio , entonces debe cumplir con la definición de circunferencia:

Aplicamos la definición de distancia entre dos puntos:

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, obtenemos la ecuación

ordinaria de la circunferencia:

La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el ori del sistema de

coordenadas (0;0) y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación:

Notemos que la ecuación canónica es un caso particular de la ecuación ordinaria de

la circunferencia haciendo

c h k

p x y c h k

r

C p x y d c p r r

x h y k r r

C x h y k r r

r

C x y r

h y k

X

Y

c

p x y

r

>

{ }∈ = >

− + − = >

− + − = >

>

+ =

= =

¡

B. Ecuac ión Canónica de la Circunferenc ia:


86

2 2: 0

,

2 2 2: ( ) ( ) , 0

2 2 2 2 2: 2 2 0

2 2: 0 2 2 22 , 2 ,

2 2: 0

2 2 2 22 24 4 4 4

: ( ) ( ) 0

2 22 2 42 2 4

: ( ) ( )

C. Ecuac ión General de la Circunferenc ia:

La ecuación General de la circunferencia se puede escribir en la siguiente forma:

(i)

Donde son constantes reales.

Para hallar la ecuación ordinaria se puede completar cuadrados en (i), lo cual es

recomendable pues la ecuación ordinaria brinda en forma explícita las coordenadas

del centro y radio.

Si tomamos la ecuación ordinaria de la circunferencia:

(ii)

Luego desarrollamos la ecuación (ii) obtenemos:

La cual se puede expresar en la forma:

, donde

Por lo tanto se deduce que la ecuación de una circunferencia se puede escribir en la

forma (i).

Ahora veamos si toda ecuación de la forma (i) representa una circunferencia, para

ello tomaremos a la ecuación (i)y lo pasaremos a la ecuación (ii):

Completando cuadrados:

Obtenemos: (iii)

Comparando las ecuaciones (ii) y (iii), observamos que la ecuación (iii) representa o

no a una circunferencia dependiendo del segundo miembro de dicha ecuación,

consideramos los siguientes casos:

C x y ax by c

a b y c

C x h y k r r

C x y hx ky h k r

C x y ax by c a h b k c h k r

C x y ax by c

a a b bC x ax y by c

a b a b cC x y

+ + + + =

− + − = >

+ − − + + − =

+ + + + = = − = − = + −

+ + + + =

+ + − + + + − + =

+ −+ + + =


87

2 2 44

02 2( ; )

2 2 42

2 2 44

02 2( ; )

2 2 44

0

2 2 8 10 8 0

2 2( 8 16) 16 ( 10 25) 25 8 0

2 2( 4) ( 5) 49

7 ( ; ) ( 4;5)

2 2 2: ( ) ( ) , 0

, .

2 2: 0

, y .

a) Si , la ecuación (iii) representa una circunferencia de centro y

radio .

b) Si , la ecuación (iii) representa un punto de coordenadas .

c) Si , la ecuación (iii) no representa lugar geométrico alguno en la

geometría real. (en este caso también se le conoce como circunferencia imaginaria).

Determinar si la ecuación representa a una circunferencia.

Completamos cuadrados

Obtenemos la ecuación , la cual representa a una

circunferencia de radio y centro .

1. La ecuación de la circunferencia queda

determinada por tres constantes independientes

2. La ecuación de la circunferencia queda determinada por

tres constantes independientes

3. La ecuación de una circunferencia que determinada por puntos que

pertenecen a dicha circunferencia.

a b c a b

a b c

a b c a b

a b c

x y x y

x x y y

x y

r c h k c

C x h y k r r

h k y r

C x y ax by c

a b c

+ − > − −

+ −

+ − = − −

+ − <

+ + − − =

+ + − + − + − − =

+ + − =

= = −

− + − = >

+ + + + =

Ejemplo 3.10:

Soluc ión:

Notas :


88

(6;2), (3; 7) y ( 1; 5)

2 2: 0

, y .

(6; 2) 36 4 6 2 0

(3; 7) 9 49 3 7 0

( 1; 5) 1 25 5 0

6 2 40

3 7 58

5 26

6, 4, y 12

2 2: 6 4 12 0

2 2: ( 3) ( 2) 25

( ; ) (3; 2) 5.

Ejemplo 3.11:

Soluc ión:

Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que para por los tres

puntos .

Sea (i)

la ecuación general de la circunferencia buscada, el problema se reduce a

determinar las constantes

Como los puntos dados pertenecen a la circunferencia , sus coordenadas deberán

satisfacer la ecuación (i):

Luego tenemos el sistema de ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos

Luego lo reemplazamos en la ecuación (i):

Completando cuadrados obtenemos la ecuación ordinaria de la circunferencia:

Cuyo centro es y radio

− − −

+ + + + =

∈ → + + + + =

− ∈ → + + − + =

− − ∈ → + − − + =

+ + = −

− + = −

− − + = −

= − = = −

+ − + − =

− + + =

= − =

C x y ax by c

a b c

C

C a b c

C a b c

C a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

C x y x y

C x y

c h k c r


89

(3;11) ( 2;8)

: 3 2 8 0

2 2 2: ( ) ( ) , 0

(3;11) ( 2;8)

2 2 2(3;11) (3 ) (11 )

2 2 2( 2;8) ( 2 ) (8 )

2 2 29 6 121 22

2 2 22 4 64 16

5 3 32

)0;0(

(3; 11)

( ; )( 2 ; 8)

: 3 2 8 0

Ejemplo 3.12:

Soluc ión:

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y , cuyo

centro está sobre la recta .

Figura N° 3.18. Gráfico del ejemplo3.12

Supongamos que la ecuación ordinaria de la circunferencia buscada es:

(i)

Como los puntos y pertenecen a la circunferencia , entonces sus

coordenadas deberán satisfacer la ecuación (i), es decir:

Las cuales se pueden expresar como:

(ii)

(iii)

Restando las ecuaciones (ii) y (iii), obtenemos:

(iv)

−

− + =

− + − = >

−

∈ → − + − =

− ∈ → − − + − =

− + + − + =

+ + + − + =

+ =

−

− + =

L x y

C x h y k r r

C

C h k r

C h k r

h h k k r

h h k k r

h k

X

c h k

L x yY

g

gg


90

( ; ) ( ; )

: 3 2 8 0

( ; ) 3 2 8

5 3 32

3 2 8

4019

13619

53 219

2 240 136 561819 19 361:

2 21 1 1 1: 0

2 22 2 2 2: 0

1 2 0

1 2 0,

1 2: 0,

2 2 2 21 1 1 2 2 2: ( ) 0,

1 2

2 21 2 1 2 1 2: (1 ) (1 ) ( ) ( ) 0,

1

Sea el centro de la circunferencia, como , entonces sus

coordenadas deberán satisfacer la ecuación , es decir:

(v)

Luego resolvemos el sistema de ecuaciones (iv) y (v):

Obtenemos y reemplazando en (ii) o (iii) hallamos

Reemplazando en la ecuación (i), obtenemos la ecuación de la circunferencia

Consideremos las ecuaciones de dos circunferencias cualesquiera:

La ecuación

Podemos dividir por y obtenemos la ecuación: , es decir:

(i)

La ecuación (i) representa una familia de circunferencias.

Los centros de pasan por la recta llamada recta de los centros.

La ecuación (i) tiene la forma:

(ii)

Si , consideramos los siguientes casos:

c h k c h k L

L x y

c h k L h k

h k

h k

h k r

C x y

C x y a x b y c

C x y a x b y c

mC nC

m nmC kC k

F C kC k

F x y a x b y c k x y a x b y c k

C y C

F k x k y a ka x b kb y c kc k

k

∈

− + =

∈ → − = −

+ =

− = −

= = =

( ) ( )− + − =

+ + + + =

+ + + + =

+ =

+ = =

+ = ∈

+ + + + + + + + + = ∈

+ + + + + + + + + = ∈

≠ −

3.3.3 FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS

¡

¡

¡


91

- 1 2

1 2 2

- 1 2

1 2 2

- 1 2

1 2

-

1

1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

Si las circunferencias se interceptan en dos puntos diferentes, la familia

de circunferencias en (ii) representa todas las circunferencias que pasan por los

dos puntos de intersección de , excepto .

Si son tangentes entre sí, la familia en (ii) representa todas las

circunferencias que son tangentes a en su punto común, excepto .

Si no se interceptan, la familia de curvas en (ii) representa una

circunferencia para cada valor de , ningún par de circunferencias de la familia

tiene un punto en común con alguna de las circunferen s .

Eje Radical:

Si , reemplazamos en la ecuación (ii) y observamos que la familia de curvas

representa una recta de ecuación:

, donde

Dicha recta es llamada eje radical de , si no son concéntricas, luego

se tiene que:

Si se interceptan en dos puntos diferentes, el eje radica por estos

dos puntos, es decir es una cuerda común a las dos circunferencias.

Si son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente mún a ambas

circunferencias.

Si no tienen punto de intercepción, su eje radical no tiene ningún punto en

común con las dos circunferencias.

El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une a los

centros.

C y C

F

C y C C

C y C F

C y C C

C y C F

k F

C y C

k F

a a x b b y c c a a b b

C y C C y C

C y C

C y C

C y C

= −

− + − + − = ≠ ∨ ≠

o

o

o

Nota:


92

2 21

2 22

: 4 4 4 12 6 0

: 8 14 56 0

2 23 31 11 12 2 2 2

2 22 2

: ( ) ( ) 4, cuyo radio es 2 y centro ( ; )

: ( 4) ( 7) 9, cuyo radio es 3 y centro ( 4; 7)

32

12

7 11

4 9

11: 7 ( 4)

9

:11 9 19 0

)0;0(

2( 4 ; 7 )

312 21

( ; )

Ejemplo 3.13:

Soluc ión:

Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias:

,

Y demostrar que el eje radical es perpendicular a la recta que una a los centros.

Completamos cuadrados para hallar las ecuaciones ordinarias de las

circunferencias:

Sea la recta que pasa por los centros de las circunferencias, cuya pendiente es

Entonces la ecuación de la recta está dada por , es decir

Graficamos:


C x y x y

C x y x y

C x y r c

C x y r c

cl

cm

cl cl y x

cl x y

X

c

c

l

+ − + − =

+ + + + =

−− + + = =

+ + + = = − −

− += =

+

+ = +

− − =

− −

−


93

1 2 0, donde 1

2 2 2 233 ( 8 14 56) 0

21

1 04

39 11 56 0

2

:18 22 115 09

11

. 1

0 ( 2; 7)

2 21

2 22

: 10 12 25 0

: 8 18 81 0

)0;0(

1

23

La ecuación del eje radical está dada por:

Reemplazando las ecuaciones de las circunferencias:

, donde

La ecuación del eje radical es , Cuya pendiente es

Como , podemos deducir que el eje radical es perpendicular a la recta

que une a los centros de las circunferencias.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y por la

intersección de las circunferencias:


C kC k

x y x y x y x yC

C

x y

l x ylm

l cm m

p

C x y x y

C x y x y

X

Y

C

CC

+ = = −

+ − + − − + + + + = = =

− − − − =

+ + = = −

= −

−

+ + − + =

+ − − + =

Ejemplo 3.14:

Soluc ión:


94

1 2 y

1 2: 0, donde 1

1 2 y

2 2 2 2: 10 12 25 ( 8 18 81) 0, 1

2 2: (1 ) (1 ) (10 8 ) (12 18 ) 81 25 0, 1

0 ( 2; 7)

2 20 ( 2;7) (1 ) (1 ) (10 8 ) (12 18 ) 81 25 0

(1 )4 (1 )49 (10 8 )( 2) (12 18 )7 81 25 0

24 26 013

12

13 13 13 13 1312 12 12 12 12(1 )4 (1 )49 (10 8( ))( 2) (12 18( ))7 81( ) 25 0

2 23 : 25 25 16 378 1353 0

1 1( ; )

2 2 2: ( ) ( ) , 0

2 2( , )

2 2 2 21 1( ) ( )

La familia de circunferencias que pasan por las intersecciones de está dada

por:

Reemplazamos las ecuaciones de :

factorizando obtenemos:

(i)

El punto pertenece a una de las circunferencias de la familia , por lo

que podemos sustituir sus coordenadas en :

, entonces

Sustituyendo el valor de en la ecuación (i):

Luego la ecuación de la circunferencia es:

Sea la longitud de la tangente trazada desde el punto exterior a la

circunferencia cuya ecuación es

Luego en el triángulo recto en ,

, donde es punto de tangencia,

Entonces

C C

F C kC k

C C

F x y x y k x y x y k

F k x k y k x k y k k

p F

F

p F k x k y k x k y k

k k k k k

k k

k

C x y x y

t p x y

C x h y k r r

tcp p tp

d c p t r tp

t x h y k r

+ = ≠ −

+ + − + + + − − + = ≠ −

+ + + + − − + + + = ≠ −

−

− ∈ → + + + + − − + + + =

+ + + + − − − + + + =

− = =

+ + + + − − − + + + =

+ + − + =

− + − = >

= +

= − + − −

Propiedades de l e je Radical:


95

2 2: 0

2 21 1 1 1

1 1( ; )

1 2 y

2 21 1 1 1: 0 2 2

2 2 2 2: 0

)0;0(

( ; )

1 1( ; )

Figura N° 3.21. Longitud de la tangente

Si la ecuación de la circunferencia está dada en la forma general

, entonces la longitud de la tangente es

.

1. Se puede trazar dos rectas tangentes desde el mismo punto a la

circunferencia con la característica de que sus longitudes son iguales.

2. Dadas tres circunferencias no concéntricas dos a dos, i tomamos el eje radical

de cada par de circunferencias tendremos tres ejes radicales. Si las tres

circunferencias no tienen una recta común a los centros, los tres ejes radicales se

interceptan en un punto llamado centro radical.

3. Sea la recta el eje radical de dos circunferencias no concéntricas , se

cumple que las longitudes de las tangentes trazadas desde cada de a las

dos circunferencias son iguales.

Sean y

Nota:

Propiedades :

C x y ax by c

t x y ax by c

p x y

l C C

l

C x y a x b y c C x y a x b y c

X

Y

c h k

p x y

r

ttp

+ + + + =

= + + + +

+ + + + = + + + + =


96

( ; )

1 2 y ( ; )

1 2 y

2 2 21 1 1 1

2 2 22 2 2 2

1 2 y 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0

1 2 y

(5;6)

2 2: 4 4 40 12 73 0

2 2

2 2 734: 10 3 0

2 21 1 1 1

(5;6)

2 2 7345 6 10(5) 3(6)

445

2

Dos circunferencias no concéntricas. Sea un punto que pertenece al eje

radical y sean las longitudes de las tangentes trazadas desde a

respectivamente, entonces:

Como las longitudes son iguales, tenemos:

Es la ecuación del eje radical de las circunferencias .

Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto exterior a la

circunferencia

.

Debemos hacer que los coeficientes de sean la unidad, es decir:

Como la longitud de la tangente está dada por ,

Sustituimos las coordenadas del punto obtenemos:

Por lo tanto la longitud de la tangente es:

.

p x y

t t p x y

C C

t x y a x b y c

t x y a x b y c

t t a a x b b y c c

C C

p

C x y x y

x e y

C x y x y

t x y ax by c

p

t

t

= + + + +

= + + + +

− + − + − =

+ + − + =

+ + − + =

= + + + +

= + + − +

=

Ejemplo 3.15:

Soluc ión:


97

2 2 0

:

2 0; 0

2 4 0

2 4 0

2 4 0

3.3.4 RECTA TANGENTE A UNA CURVA

3.3.5 RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

Sea la ecuación de Segundo grado de una curva plana de ejes paralelos o

coincidentes a los ejes coordenados:

(i)

Y la ecuación de una recta (ii)

Para resolver el sistema de ecuaciones (i) y (ii) se puede reemplazar por

en la ecuación (i), y obtenemos la ecuación cuadrática en la variable , como:

(iii)

Luego analizamos las soluciones de la ecuación (iii):

1. Si el discriminante , la ecuación (iii) tiene dos soluciones reales y

diferentes, lo que significa que es una recta secante de la curva (i).

2. Si el discriminante , la ecuación (iii) tiene soluciones reales e

iguales ( es decir las ecuaciones i y ii tienen un punto en común), lo que significa

que la recta es una recta tangente a la curva; conocida como la Condición de

Tangencia.

3. Si el discriminante , la ecuación (iii) no tiene soluciones reales, lo

que significa que la recta y la curva no tienen puntos de intercepción.

La ecuación de la recta tangente y de toda recta está determinada por su pendiente

y un punto que pertenece a la recta.

Si contamos con uno de estos datos, el otro dato debe determinarse a partir de las

condiciones del problema.

Ax Cy Dx Ey F

L y mx k

y mx k

x

ax bx c a

b ac

L

b ac

L

b ac

L

+ + + + =

= +

+

+ + = ≠

∆ = − >

∆ = − =

∆ = − <


98

2 2 2: ( ) ( ) , 0 1 1( ; )

21 1: ( )( ) ( )( )

2 2: ( 6) ( 4) 9

(3;10)

)0;0(

(3;10)1

1

2

2

(-6;4)

Tomaremos en cuenta tres procedimientos para determinar la ecuación de la recta

tangente denotada por a una circunferencia , se puede utilizar sólo uno de

ellos:

1. La ecuación de la recta tangente a una circunferencia

en el punto de tangencia está dada por:

.

2. La condición de tangencia.

3. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el

punto de tangencia .

Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia ,

trazados desde el punto .

Bosquejamos el gráfico:


tL C

tL

C x h y k r r tp x y

tL x h x h y k y k r

tp

C x y

p

X

Y

tL

tp

tL

tp

− + − = >

− − + − − =

+ + − =

Ejemplo 3.16:

Soluc ión:


99

(3;10)

: 10 ( 3)

: 10 3 0

1( ; )

2

6 4 10 33

1 2

9 6

1

272 108 27 03 3

4

1

3 3: 10 ( 3)

4

2

3 3: 10 ( 3)

4

(3;10)

Tomaremos en cuenta que la recta tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia .

Como , entonces la ecuación de la recta tangente está dada por:

(i)

La distancia tomada desde el centro de la circunferencia a la recta tangente es

igual al radio de la circunferencia, es decir:

=

Elevando al cuadrado, obtenemos:

Luego como encontramos dos valores para la pendiente, esto significa que dos

rectas tangentes cumplen con las condicione del proble , sustituimos los valores

de en (i) y obtenemos las

ecuaciones de las rectas tangentes:

.

Como , entonces la ecuación de la recta tangente está dada por:

tL C

tp

tL

tL y m x

tL mx y m

tr d C L

m m

m

m

m

m m m

m

tL y x

tL y x

tL

∈

− = −

− + − =

=

− − + −=

+

− +

+

− + =±

→ =

−− = −

+− = −

∈

Otra forma de res olver e l problema, es utilizando la condic ió n de tangenc ia, la

cual aplicaremos a continuac ión:


100

: 10 ( 3)

: ( 3) 10

2 2: ( 6) ( 4) 9

2 2( 6) ( ( 3) 10 4) 9

2 2( 6) ( ( 3) 6) 9

2 2 2 2(1 ) 6( 6 2) 9( 4 7) 0

2 2 2(1 ), 6( 6 2), 9( 4 7)

2 4 0

22 2 26( 6 2) 4(1 )9( 4 7) 0

28 12 3 03 3

4

1

3 3: 10 ( 3)

4

2

3 3: 10 ( 3)

4

2 2: 8 6 0

(7;1)

tL y m x

tL y m x

C x y

x m x

x m x

m x m m m m

a m b m m c m m

b ac

m m m m m

m m m

tL y x

tL y x

C x y x y

p

− = −

= − +

+ + − =

+ + − + − =

+ + − + =

+ − − − + − + =

= + = − − − = − +

− =

( )− − − − + − + =

− + =±

→ =

−− = −

+− = −

+ − + =

(i)

Luego reemplazamos (i) en la ecuación de la circunferencia ,

y obtenemos:

Donde

Aplicaremos la condición de tangencia, para ello haremos que el discriminante sea

igual a cero:

Reemplazando en (i), las ecuaciones de las rectas tangentes son :

.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en

el punto .

Ejemplo 3.17:


101

2 2: ( 4) ( 3) 25

1 ( 3) 4

7 4 3

. 1 y

343 4

( ) 1

3: 1 ( 7)

4

: 3 4 25 0

)0;0(

(4; 3)

( 7 ; 1)

1

Soluc ión:

Hallamos la ecuación ordinaria de la circunferencia:

Graficamos:


Hallamos la pendiente de la recta que pasa por el centro y el punto de tangencia

de la circunferencia, es decir

Como la recta tangente y la recta son perpendiculares, entonces

, donde son las pendientes de las rectas y

respectivamente

La ecuación de la recta tangente está dada por:

Por lo tanto:

C x y

L

Lm

tL L

t Lm m t Lm m tL L

t tm m

tL y x

tL x y

X

Y

c

tp

r

L

− + + =

− −= =

−

= −

= − → = −

−− = −

+ − =

−


102

'( ; )

( ; ) ( '; ')

'

'

'

' ,

5 ' 2

9 ' 3

' 7, ' 6

( ; )

(0;0)

'( ; )'

'

3.4 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

3.4.1 TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

Ejemplo 3.18:

Si queremos trasladar los ejes coordenados a un nuevo origen al cual

denotaremos por , y si las coordenadas de cualquier punto antes de la

traslación son y después de la traslación serán , las ecuaciones de

transformación del sistema inicial al nuevo sistema de coordenadas son:

Figura N° 3.24. Traslación de ejes coordenados.

Si trasladamos el punto p(-5;9) al sistema con el nuevo origen O’(2;3), tomamos en

cuenta las ecuaciones de transformación para el traslado y al sustituir

los datos, obtenemos

Despejando obtenemos que son las coordenadas del punto p en en

nuevo sistema.

X e Y

O h k P

x y x y

x x h

y y k

x x h

y y k

x

y

x y

p x y

O

O h k

h

k

x

y

X

Y

X

Y

= +

= +

= +

= +

− = +

= +

= − =


103

( ; ) ( '; ') , las ecuaciones de transformación del

sistema original al nuevo sistema de coordenadas ' ' están dadas por:

' cos '

' ' cos

( ; ) ( '; ')

'

' '

'

cos( ) (1)

( ) (2)

' '

' ' cos( ) (3)

' ' ( ) (4)

'

'

'

O

3.4.2 ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

Si los ejes coordenados giran un ángulo en torno o alrededor de su origen como

centro de rotación, las coordenadas de un punto cualquiera antes de la rotación

son y después de la rotación es

Figura N° 3.25. Rotación de ejes coordenados

Determinaremos la relación entre las coordenadas y , para ello

trazamos los segmentos que son las ordenadas del punto

correspondientes a los sistemas y respectivamente, , y el ángulo

.

Las coordenadas del punto en el sistema son:

Las coordenadas del punto en el sistema son:

q

q q

q q

b

q b

q b

b

b

q

b

P

x y x y

XY X Y

x x y sen

y x sen y

x y x y

AP y A P P

XY X Y OP r

POA

P XY

x OA r

y AP rsen

P X Y

x OA r

y A P rsen

A

A

P

X

X

YY

r

= −

= +

=

=

= = +

= = +

= =

= =


104

Desarrollamos la ecuación (1) cos( ) cos cos s s

Luego sustituimos las ecuaciones (3) y (4) y obtenemos la ecuación de transformación:

' cos 's

En forma similar:

Desarrollamos la ecuación (2) ( ) cos cos

Luego sustituimos las ecuaciones (3) y (4) y obtenemos la ecuación de transformación:

' 'cos

2 2 0; 0

'cos '

' ' cos

2 2( ' cos ' ) ( ' cos ' )( ' ' cos ) ( ' 'cos )

( ' cos ' ) ( ' ' cos ) 0; 0

2 2 2 2 2 2 2( ' cos 2 ' ' cos ' ) ( ' cos ' ' cos ' '

2 2 2 2 2' cos ) ( ' 2 ' ' cos ' cos ) ( 'cos ' ) ( ' 'cos ) 0

2 2 2 2 2 2' ( cos cos ) ' ( cos cos )

2 2' '( 2 cos cos 2 cos ) '( cos ) '( cos ) 0

x r r r en en

x x y en

y rsen rsen r sen

y x sen y

Ax Bxy Cy Dx Ey F B

x x y sen

y x sen y

A x y sen B x y sen x sen y C x sen y

D x y sen E x sen y F B

A x x y sen y sen B x sen x y x y sen

y sen C x sen x y sen y D x y sen E x sen y F

x A B sen Csen y Asen Bsen C

x y Asen B Bsen Csen x D Esen y Dsen E F

q b q b q b

q q

q b q b q b

q q

q q

q q

q q q q q q q q

q q q q

q q q q q q q q

q q q q q q q q q q

q q q q q q q q

q q q q q q q q q q

= + = −

= −

= + = +

= +

+ + + + + = ≠

= −

= +

− + − + + + +

+ − + + + = ≠

− + + + −

− + + + + − + + + =

+ + + − + +

+ − + − + + + + − + + =

3.4.3 TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUDO GRADO

POR ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

Dada la ecuación general de segundo grado:

(1)

Tenemos en cuenta que las ecuaciones de transformación son:

(2)

Luego sustituimos (2) en (1):

Agrupando términos se tiene:

Lo cual se reduce a:

(3)


105

' '

2 22 cos cos 2 cos 0

2 22( ) cos (cos ) 0

( ) 2 cos 2 0

cos 2 ( ) 2

i) ; 2 ; 0 90 , 0 2 180

ii) ; cos 2 0

0 cos 2 0 45

, en términos del ángulo doble correspondiente:

1 cos(2 )2cos y 1 cos(2 )

2

0

'

'

1

Como la ecuación (3) va a carecer del término , el coeficiente debe anularse,

por lo tanto:

(4)

Se presentan los siguientes casos:

Si donde

Si la ecuación (4) se reduce a

Como , entonces , por lo que .

Podemos apoyarnos en las siguientes fórmulas para determinar el coseno y seno

del ángulo

Figura N° 3.26. Transformación de coordenadas: forma vectorial

x y

Asen B Bsen Csen

C A sen B sen

C A sen B

B A C sen

A CB

TgA C

A C B

B

sen

PX

Y

X

Y

q q q q q q

q q q q

q q

q q

q q q

q

q q

q

qq qq

mm

m

− + − + =

− + − =

− + =

= −

≠ =−

≤ < ° ≤ < °

= =

≠ = = °

+= −=

⊥

=

Nota:

3.4.4 Trans formació n de coordenadas por tras lac ión y ro tac ión de los e jes

coordenados en la forma vectorial:

urur

ur


106

' '

0' .

0' .

( ; )

' '

2 2

2 2

' '1

Si tenemos la ecuación de una cónica en el sistema , y queremos

transformar sus coordenadas al sistema , podemos utilizar las siguientes

ecuaciones, derivadas del análisis vectorial:

(i)

Dichas ecuaciones se sustituyen en la ecuación de la cónica, de esta manera se

obtienen las coordenadas de la cónica en el sistema .

Donde representa a los puntos que pertenecen al plano , es el punto

sobre el cual se trasladan los ejes coordenados.

Para realizar la traslación y rotación a la vez, bastará con sustituir las ecuaciones

dadas en (i), en las ecuaciones canónicas de las cónicas en el plano , por

ejemplo si la cónica es una hipérbola se sustituyen las ecuaciones dadas en (i) en:

.

a

m

m

X Y

XY

x P P

y P P

XY

P x y XY oP

X Y

x y

a b

[ ]= −

[ ]⊥

= −

− =

ur

ur

Obs ervac ión:


107

2 2 0

2 4

5

6

0 1 1

1

( , )

( , )

3.5 LAS CÓNICAS

3.5.1 TEOREMA:

3.5.2 PROPIEDAD DE LAS SECCIONES CÓNICAS :

Obs ervac ión:

La ecuación general de segundo grado,

Representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según que el

indicador , se cero, negativo o positivo.5

Otra propiedad característica de las secciones cónicas se refiere a un concepto

llamado excentricidad. Una sección cónica puede definirse como una curva descrita

por un punto que se mueve en un plano de manera que la razón de sus distancias a

un punto fijo y a una recta fija es constante. Esta razón constante se llama

excentricidad de la curva y se designa por . (No debe confundirse con el número

de Euler.) La curva es una elipse si , una parábola si , y una

hipérbola si . El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz. 6

1. La recta fija y el punto fijo se encuentran en el mismo plano

2. El punto fijo no pertenece a la curva.

3. La excentricidad, se puede expresar como , donde es un punto

cualquiera que pertenece a la curva, es el foco y la directriz.

Lehmann, Charles H. GEOMETRÍA ANALÍTICA, México: editorial Limusa S.A., 1994.

Apóstol, Tom M. CALCULUS VOLUMEN I CÁLCULO CON FUNCIONES DE UNA VARIABLE, CON

UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL, México: Editorial rté, S.A., segunda edición,

1998.

Ax Bxy Cy Dx Ey F

I B AC

e

e e e

e

d P Fe

d P LP

F L

+ + + + + =

= −

< < =

>

=


108

2: ( ; ) / ( , ) ( ; )

)0;0(

( ; )

B

D

3.6 LA PARÁBOLA

3.6.1 DEFINICIÓN:

3.6.2 Elementos de la Parábola

Una parábola es un conjunto de puntos que pertenecen al plano, que equidistan de

una recta fija del plano y de un punto fijo del plano, que no pertenece a la recta fija.

Donde el punto fijo es llamado foco de la parábola y la recta fija se llama

Directriz de la parábola.

Figura N° 3.27. La parábola

: Vértice de la Parábola (es el punto medio del segmento que une a la directriz y

al foco ).

: es el foco de la parábola

: es una recta llamada eje focal de la parábola y en ella se encuentran el vértice y

el foco.

: es la Directriz de la parábola.

: es una cuerda que une a dos puntos cualesquiera de la parábola, si la cuerda

pasa por el foco se llama cuerda focal.

A

{ }∈ =P p x y d p L d p F

F DL

V

F

L

DL

AB

X

Yp x y

F

V

DL

L

L

R

¡


109

( 1)

( , ) ( , )

( ; )

2: ( ) 4 ( )

)0;0(

( ; )

Q

PF

LR

e e

Dp d V F d V L

V h k

P y k p x h

X

Y

p x y

F

h

DL

kV

: es un segmento llamado radio focal o radio vector de la parábola (une

cualquier punto de la parábola con el foco).

: es el lado recto de la parábola (cuerda focal perpendicular al eje focal)

D: el punto de intersección del eje focal con la directriz.

: excentricidad .

Sea

Consideremos el caso en el cual la parábola tiene vértice un punto

cualquiera del plano cartesiano y eje focal paralelo a je X , su ecuación está dada

por:

Veamos:

Figura N° 3.28. Ecuación de la parábola

=

= =

− = −

3.6.3 Las ecuac iones de La Parábola:


110

( ; ) Q( - ; ) Q

:

( ; )

( , ) ( ; )

( ,Q) ( ; )

2 2 2 2( ( )) ( ) ( ( )) ( )

2 2 2( ) ( ) ( )

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ; )

2: ( ) 4 ( )

( ; )

2: ( ) 4 ( )

Las coordenadas del foco son , el punto , el segmento es

perpendicular a , La recta directriz tiene ecuación .

Sea el punto un punto cualquiera que pertenece a la parábola, entonces

satisface la definición

Esto es:

Luego sustituimos las distancias:

Elevando al cuadrado obtenemos:

Luego obtenemos la ecuación cartesiana de la parábola de vértice y eje focal

paralelo al eje X es:

.

A continuación describiremos los elementos de la parábola con sus respectivas

ecuaciones ordinaria, canónica y general:

1. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje X

está dado por:

Tenemos dos casos:

F h p k h p y P

DL DL x h p

p x y

d p L d p F

d p d p F

x h p y y x h p y k

x h p x h p y k

x h p x h p x h p x h p y k

V h k

P y k p x h

V h k

P y k p x h

+

= −

=

=

− − + − = − + + −

− + = − − + −

( )( )− + − − − − + + − − = −

− = −

− = −

Ecuac ión Ordinaria:


111

( ; )

( ; )

4

:

(0;0)

Si 0 la parábola se abre hacia

la izquierda.

(0;0)

Si 0 la parábola se abre hacia la derecha

Figura N° 3.29. Parábola de eje paralelo al eje X (p>o)

Figura N° 3.30. Parábola de eje paralelo al eje X (p<o)

En ambos casos los elementos de la parábola son:

Vértice:

Foco:

Longitud del lado recto:

Ecuación de la recta directriz:

Elementos de la Parábola:

V h k

F h p k

LR p

DL x h p

X

Y

F

h

DL

k

V

p

h p h p

X

Y

F

h

DL

kV

h p

p

h p

+

=

= −

<

+ −

+

>

−


112

( ; )

2: ( ) 4 ( )

0

0

( ; )

( ; )

4

:

)0;0(

)0;0(

2. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje Y

está dado por

Tenemos dos casos:

Si : la parábola se abre hacia arriba

Figura N° 3.31. Parábola de eje paralelo al eje Y (p>o)

Si : La parábola se abre hacia abajo.

Figura N° 3.32. Parábola de eje paralelo al eje Y (p<o)

Vértice:

Foco:



V h k

P x h p y k

p

p

V h k

F h k p

LR p

DL y k p

X

Y

DL

h

k

k pF

V

k p

X

Y

DL

h

k

k p F

F

V

k p

− = −

>

<

+

=

= −

+

−

+

−



113

(0; 0)

2: 4

( ; 0) (0; 0)

Si 0 la parábola se abre

hacia la izquierda.

( ; 0)(0; 0)

Si 0 la parábola se abre hacia la derecha

Nota:

Ecuac ión Canónica:

La ecuación canónica se da cuando el vértice es el origen de coordenadas.

1. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje X

está dado por:

Tenemos dos casos:

Figura N° 3.33. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje X (p>o)

Figura N° 3.34. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje X (p<o)

V

P y px

X

Y

F p

DL

V p

p

X

Y

F p

DL

V

p

p

=

−

<

>

−


114

(0;0)

( ;0)

4

:

(0; 0)

2: 4

0

0

(0; )

(0 ; 0 )

(0; )

(0; 0)


En ambos casos los elementos de la parábola son:

Vértice:

Foco:



2. La ecuación de la parábola de vértice el punto y eje focal paralelo al eje Y

está dado por:

Tenemos dos casos:

Si , la parábola se abre hacia arriba.

Figura N° 3.34. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje Y (p>o)

Si , la parábola se abre hacia abajo.

Figura N° 3.35. Parábola de ecuación canónica, eje paralelo al eje Y (p<o)

V

F p

LR p

DL x p

V

P x py

p

p

X

DL

F p

V

p

Y

X

Y

DL

F p

V

p

=

= −

=

>

<

−

−


115

(0 ;0)

(0; )

4

:

1)

2: 0

2)

2: 0

2: ( 4) 12( 6)

2: ( 4) 12( ( 6))


Ecuac ión general de la parábola

Nota:

Ejemplo 3.19:

Soluc ión:

Vértice:

Foco:



En este bloque consideramos las parábolas de eje para o coincidente a los ejes

coordenados, tenemos dos casos:

La ecuación de la parábola de eje paralelo o coincidente con el eje está dada

por:

La ecuación de la parábola de eje paralelo o coincidente con el eje está dada

por:

Para hallar la ecuación ordinaria de la parábola se debe completar cuadrados.

Hallar los elementos de la siguiente parábola

La ecuación dada es de una parábola de eje paralelo al eje , dándole forma de la

ecuación ordinaria tenemos:

(i)

V

F p

LR p

DL y p

Y

P x ax by c

X

P y ay bx c

P x y

Y

P x y

=

= −

+ + + =

+ + + =

− = − +

− = − − −


116

2: ( ) 4 ( )

4 6 (4; 6)

4 12 3

(4; 9)

4 12 12

:

: 3

2: 4 1 1 1( ; )

1 1: . 2

(0;0) 4

6

9

( 4 ; 6 )

3

1 02

Luego comparamos (i) con la ecuación ordinaria que le corresponde:

Como y , el vértice es

Como es negativo por lo que la parábola se abre hacia abajo.

Luego el foco es




1. La recta tangente a la parábola en cualquier punto que

pertenece a la curva, tiene por ecuación:

P x h p y k

h k V

p p

F

LR p

DL y k p

DL y

tL P x py P x y

tL x x p y y

X

Y

DL

F

V

− = −

= = − −

= − → = −

−

= = − =

= −

= −

=

( )= +

−

−

−

−

−

3.6.4 RECTA TANGENTE A LA PARÁBOLA


117

2: 4 1 1 1( ; )

1 1: 2

2: ( ) 4 ( )

1 1 1( ; )

11: ( )( ) 4

2

2: ( ) 4 ( )

1 1 1( ; )

11: ( )( ) 4

2

2: ( ) 4 ( )

: ( ) , 0

2: ( ) 4 ( )

: ( ) , 0

2. La recta tangente a la parábola en cualquier punto que

pertenece a la curva, tiene por ecuación:

3. La recta tangente a la parábola en cualquier punto

que pertenece a la curva, tiene por ecuación:

4. La recta tangente a la parábola en cualquier punto

que pertenece a la curva, tiene por ecuación:

5. La recta tangente de pendiente a la parábola , tiene

por ecuación:

6. La recta tangente de pendiente a la parábola , tiene

por ecuación:

1. La recta normal a una parábola en un punto que pertenece a dicha parábola, es

perpendicular a la recta tangente a la parábola en dicho punto.

2. La recta normal a una parábola en un punto que pertenece a dicha parábola,

forma ángulos iguales con el radio vector de dicho punto y la recta, que es paralela

al eje focal y que pasa por el punto antes mencionado.

tL P y px P x y

tL yy p x x

tL P x h p y k

P x y

t

y yL x h x h p k

tL P y k p x h

P x y

t

x xL y k y k p h

tL m P x h p y k

t

pL x h m y k m

m

tL m P y k p x h

t

pL y k m x h m

m

=

( )= +

− = −

+ − − = −

− = −

+ − − = −

− = −

− = − + ≠

− = −

− = − + ≠

Propiedades :


118

2: ( 2) 8( 5)

2 , 5, 2

1 1( ; ) (7;6)

7: ( 2)(6 2) 4(2) 5

2

: 1 0

2 22 2 2 3 6 9 0

2, 2 2 1 ,

2 2 2 2(2 ) 2 2

2 1

Nos apoyamos en el siguiente triángulo rectángulo, par en general, pues algunas

veces vamos a trabajar con ángulos no usuales:

13

1

2

2cos

3

13

1

2

1s

3

2

2 23 1cos(2 )

3

Ejemplo 3.20:

Soluc ión:

Ejemplo 3.21:

Soluc ión:

Hallar la recta tangente a la parábola en el punto (7;6).

En la ecuación de la parábola observamos que y el punto dado

es , sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta tangente

en el punto (7;6) obtenemos:

.

Transformar la ecuación en otra que carezca del

término , realizando una rotación de los ejes coordenados.

Comparando la ecuación dada con la ecuación general de segundo grado,

observamos que luego sustituimos esto valores en la

siguiente ecuación:

y

P y x

k h p

x y tL

t

xL y

tL x y

x xy y x y

xy

A B y C

B kTg

A C k

en

k

k

k

− = −

= = =

=

+ − − = −

− − =

+ + + + − =

= = =

= = = =− −

+= = −

= =

=

q

q q

q

q


119

cos y sen

'cos '

' ' cos

2 ' '2 13 3 3

' 2 '213 3 3

' '

' '

2 ' ' 2 ' ' ' 2 ' ' 2 ' 2 ' ' ' 2 '2 2

3 3 3 3 3 32( ) 2 2( )( ) ( ) 3( ) 6( ) 9 0

29 ' 3 3( 2 ' ') 3 6( ' 2 ') 27 0

23 ' 2 2 ' ' 9 0

La cual representa a una parábola en el sistema cartesiano ' ' .

Luego sustituimos los valores de en las ecuaciones de transformación:

, obteniendo

Luego reemplazamos las ecuaciones de transformación en la ecuación de la cónica

dada:

Luego de desarrollar y factorizar, obtenemos la siguiente ecuación:

q q

q q

q q

x x y sen

y x sen y

x y

x y

x x y

y x y

x y x y x y x y x y x y

x x y x y

x x y

X Y

= −

= +

−

+

= − =

= + =

− − + + − ++ + + + − =

+ − + + − =

+ + − =


120

( ; )

( ; )

21 2{ ( , ) / ( , ) ( , ) 2 }

´´

1

2

2

1

1

2

'

'( ; )

(0;0)

3.7 LA ELIPSE

3.7.1 Definic ión:

Es el conjunto de puntos que pertenecen al plano tales que si tomamos un punto

cualquiera de la curva la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese

plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos

fijos.

Los dos puntos fijos son llamados focos de la elipse y se denotan por F1 y F2, está

definición excluye el caso en el que el punto está sobre el segmento que une

a los focos, entonces:

Figura N° 3.37. La elipse

P x y

P x y

E p x y d P F d P F a

XY

DL

DL

F

F

V

V

L

R

L

RP x y

X

Y

C

= ∈ + =¡


121

1 2( ; ) 2

1 2

1 2 1 2( ; ) 2

1 2 1 2( ; ) 2

y ' '

22

1 2 y

1 2 1 2 y

1

3.7.2 Elementos de la e lips e :

Notas :

F1 y F2: focos de la elipse, .

y : vértices de la Elipse.

: centro de la elipse (punto medio del segmento que une a los focos o a los

vértices).

: segmento llamado eje mayor de la elipse,

: segmento llamado eje menor de la elipse,

: cada segmento es llamado lado recto de la elipse, y cada uno tiene

longitud .

: radio focal o radio vector de la elipse (segmento que une un punto

cualquiera de la elipse con uno de los focos).

y : rectas directrices de la elipse correspondientes a los focos

respectivamente.

: excentricidad de la elipse, par toda elipse se cumple que .

1. La recta que pasa por los focos es llamada eje focal de la elipse.

2. La cuerda de una elipse es un segmento de recta que une dos puntos de la

elipse.

3. La cuerda de una elipse que pasa por el centro se lla iámetro de la elipse.

4. La cuerda de una elipse que pasa por alguno de sus focos se llama cuerda focal

de la elipse.

d F F c

V V

C

V V d V V a

B B d B B b

LR L R

b

a

F P F P

DL DL F F

ea

ce

=

=

=

<=


122

( ; )

2 2

2 2

( ) ( ): 1

1 2( ; ) y ( ; )

( ; )

1 2( , ) ( , ) 2

2 2 2 2( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 2

2 2 2 2(( ) )) ( ) 2 (( ) )) ( )

2 2 2 2 2 2 2(( ) ) ( ) 4 4 (( ) ) ( ) (( ) ) ( )

2 2 2 2 2(( ) ) 4 4 (( ) ) ( ) (( ) )

2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 4 (( ) ) ( ) ( ) 2 ( )

( ; )

( ; )

( ; )1( ; )2

3.7.3 ECUACIONES DE LA ELIPSE

Consideremos el caso en el cual la elipse tiene centro un punto

cualquiera del plano cartesiano y eje focal paralelo a je , su ecuación está dada

por:

Figura N° 3.38. Elipse de eje paralelo al eje .

Los focos de la elipse son

Veamos:

Sea un punto cualquiera que pertenece a la elipse , entonces satisface la

definición:

, donde

Elevando al cuadrado:

E C h k

X

x h y kE

a b

X

F h c k F h c k

P x y E

d P F d P F a a c

x h c y k x h c y k a

x h c y k a x h c y k

x h c y k a a x h c y k x h c y k

x h c a a x h c y k x h c

x h c x h c a a x h c y k x h c x h c

k

k b

k b

C h k

h

p x y

X

Y

F h c k F h c k

− −+ =

− +

+ = >

− − + − + − + + − =

− + + − = − − − + −

− + + − = − − − + − + − − + −

− + = − − − + − + − −

− + − + = − − − + − + − − − +

+

−

− +


123

2 2 2(( ) ) ( ) ( )

2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(( ) ) ( ) 2 ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ); , 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) , donde

2 2

2 2

( ) ( ): 1

12

2

2

2

1 2( , 0), ( , 0)

1 2( , 0), ( , 0)

( ; 0 ) ( ; 0 )2 2( ; 0) ( ; 0 )1 1

2 (0, )

(0, )1

a x h c y k a c x h

a x h c a y k a a c x h c x h

a x h a c x h a c a y k a a c x h c x h

a c x h a y k a a c a c a c

b x h a y k a b a c b

x h y kE

a b

b

y

a

xE

V a V a

F c F c

F c V aV a F c

B b

B b

X

Y

− − + − = − −

− − + − = − − + −

− − − + + − = − − + −

− − + − = − > − >

− + − = − =

− −+ =

=+=

−

−

− −

−

Elevando al cuadrado:

Luego la ecuación ordinaria de la elipse es:

A continuación describiremos los elementos de la Elipse con sus respectivas

ecuaciones ordinaria, canónica y general, cuyos ejes f les son paralelos a los ejes

coordenados:

1. La ecuación de la Elipse de centro en el origen de coordenadas y eje focal en el

eje X está dada por: .

Figura N° 3.39. La elipse: ecuación canónica, eje mayor el eje X

Donde:

1) a :Longitud del semi eje mayor yb : Longitud del semi eje menor

2) Los Vértices de la Elipse

3) Los Focos son los puntos

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE


124

1 2(0, ), (0, )22

1

2

222

12

2

2

2

),0(),,0( 21

),0(),,0( 21

)0,(),0,( 21

22

1

2

222

( 0; )2

(0 ; )2

( 0 ; )1

( 0; )1

2 ( ; 0 )1 ( ; 0)

4) Los extremos del eje menor son

5) Lado Recto

6) Excentricidad

7) Ecuación de la directriz

8) a, b y c están ligados por la relación:

2. La ecuación de la Elipse de centro en el origen de coordenadas y eje focal en el

eje Y está dada por:

Figura N° 3.40. La elipse: ecuación canónica, eje mayor el Y

Donde:

1) a : Longitud del semi eje mayor y b : Longitud del semi eje menor




5) Lado Recto

6) Excentricidad



B b B b

a

bLR

a

ce

c

ax

cab

a

y

b

xE

aVaV

cFcF

bBbB

a

bLR

a

ce

c

ay

cab

V a

F c

F c

V a

B bB b

X

Y

−

=

<=

±=

−=

=+=

−

−

−

=

<=

±=

−=

−

−

−


125

1)()(

2

2

2

2

),(),,( 21

),(),,( 21

),(),,( 21

22

1

2

222

( ; )( ; )1( ; )2 2( ; )

1 ( , )

2 ( ; )

1( , )

(0;0)

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE

Es la ecuación de la elipse de centro C (h,k) cualquier punto del plano y ejes focales

paralelos a los ejes coordenados, tenemos:

1. La ecuación de la Elipse de centro en el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje

X, está dada por:

Figura N° 3.41. La elipse, ecuación ordinaria, eje mayor paralelo al eje X

Donde:





5) Lado Recto

6) Excentricidad



=−

+−

=

+−

+−

+−

=

<=

±=

−=

+

−

− + +−

+

−

b

ky

a

hxE

kahVkahV

kchFkchF

bkhBbkhB

a

bLR

a

ce

c

ahx

cab

k

k b

k b

C h k

h X

Y

F h c k F h c k V h a kV h a k

B h k b

B h k b


126

1)()(

2

2

2

2

),(),,( 21

),(),,( 21

),(),,( 21

22

1

2

222

( ; )2

( ; )2

( ; )1

( ; )1

2 ( ; )1 ( ; )

(0;0)

( ; )

2. La ecuación de la Elipse de centro en el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje

Y, está dada por:

Figura N° 3.41. La elipse, ecuación ordinaria, eje mayor paralelo al eje Y

Donde:





5) Lado Recto

6) Excentricidad


8) a, b y c están se relacionan mediante la ecuación: .

=−

+−

=

+−

+−

+−

=

<=

±=

−=

+

+

−

−

+−

+

+

−

−

a

ky

b

hxE

akhVakhV

ckhFckhF

kbhBkbhB

a

bLR

a

ce

c

aky

cab

V h k a

F h k c

F h k c

V h k a

B h b kB h b k

Y

h

k

k c

k a

k c

k a

C h k

X


127

022

2 225 16 100 192 276 0

2 2( 2) ( 6)1

16 25

2 25

2 16

Nota:

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Ejemplo 3.22:

Soluc ión:

En las ecuaciones canónica y ordinaria, El eje focal la elipse es paralelo o

coincidente al eje coordenado asociado a la variable cuyo denominador es mayor.

Si los coeficientes y son del mismo signo, la ecuación:

Representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no

representan ningún lugar geométrico real; para ello co letamos cuadrados y

verificamos si la ecuación es concordante con las ecuaciones canónicas u ordinarias

de la elipse.

Dada la ecuación cuadrática

i) Determinar si la ecuación dada representa a una elipse.

ii) Si se cumple (i), entonces graficar y hallar sus elementos.

i) Completamos cuadrados en la ecuación dada obtenemos:

(1)

La cual representa a una elipse de eje paralelo al eje , pues el denominador mayor

está asociado a la variable .

ii) Para hallar los elementos de la elipse en la ecuación (1) identificamos al mayor

denominador quién será igual al cuadrado de la longitud del semieje mayor “ ” de la

elipse, es decir:

Luego el otro denominador debe ser

A B

EDYCXBYAX

x y x y

x y

Y

y

a

a

b

=++++

+ + − + =

+ −+ =

=

=


128

5 y 4

5 y 4

222

2 2 25 4

2 9 3

1 2( 2;1), ( 2;11)

1 2( 2;3), ( 2;9)

1 2( 6;6), (2; 6)

22 32

5

31

5

( 2 ; 11)2

( 2; 9)2

( 2 ; 3 )1

( 2; 1)1

2 ( 2 ; 6 )1 ( 6; 6)

2

6

9

11

3

1

(0;0)

( 2; 6 )

43:

32

(0;0)

7:

31

De donde .

Luego hallaremos el valor de , sustituimos en la ecuación

En la ecuación (1), el centro de la elipse es el punto C(-2,6).

Figura N° 3.42. Gráfico del ejemplo 3.22.

Donde:

1) a =5 Longitud del semi eje mayor y b = 4 Longitud del semi eje menor




5) Lado Recto

6) Excentricidad

a b

c a b

cab

b

b b

V V

F F

B B

bLR

a

ce

a

V

F

F

V

BB

Y

C

X

L yD

L yD

= =

= =

−=

= −

= → =

− −

− −

−

= =

= = <

−

−

−

−

−

−

−

=

= −


129

1,2

2 25: 6

3

1 2

1 2

25 25: 6 : 6

3 37 43

: : 3 3

( 3; 6) y (5;-6)

3 5 6 6; 1; 6

2 2

2 2

1( , ) 1 ( 3) 6 ( 6) 4

226

226 2 3

4

( 3 ; 6 )1( 5; 6)11; 6

(0;0)


Dados los vértices de una elipse y la longitud de cada lado recto es

6.Hallar la ecuación de la elipse.

Figura N° 3.43.Gráfico del ejemplo 3.23.

Como el centro de la elipse es el punto medio del segmento que une a los vértices,

entonces:

Luego

Por dato del problema

Sustituyendo el valor de , tenemos:

D

aL y k y

c

D D

D D

L y L y

L y L y

C C

d V C a a

bLR

a

ab

LR b

V V

X

Y

C

= ± → = ±

= − = +

= − =

− −

( ) − + − −= −

( ) ( )= = − − + − − − → =

= =

= = → =

− − −( )−

Ejemplo 3.23:

Soluc ión:


130

1)()(

2

2

2

2

1, 6, 4, y 2 3

2 2( 1) ( 6)1

16 12

2 2 2 2 2 2:

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1:

2 2 2 2 2 2:

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1:

( ; 0 ) ( ; 0 )2 2( ; 0) ( ; 0 )1 1

2 (0, )

(0, )1

( ; )1 1 2

Del gráfico, el eje focal es paralelo al eje , entonces la ecuación de la elipse tiene

la forma: (i)

Sustituyendo en la ecuación (i), tenemos la ecuación

de la elipse:

1. La recta tangente a la elipse en cualquier punto

que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:

Figura N° 3.44. Recta tangente a una elipse horizontal.

2. La recta tangente a la elipse en cualquier punto

que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:

X

b

ky

a

hxE

h k a b

x yE

TL E b x a y a b

p x y

TL b x x a y y a b

TL E a x b y a b

p x y

TL a x x b y y a b

F c V aV a F c

B b

B b

X

YL T

p x y

=−

+−

=

= = − = =

− += + =

+ =

+ =

+ =

+ =

− −

−

3.7.4 RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE


131

2 2 2 2 2 2: ( ) ( )

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2: ( ) ( )

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2:

2 2 2:

: 3 3 43 0

2 2 32: ( 6) ( 11)

9

( 0; )2

(0 ; )2

( 0 ; )1

( 0; )1

2 ( ; 0 )1 ( ; 0)

( ; )1 1 2

Figura N° 3.45. Recta tangente a una elipse vertical.

3. La recta tangente a la elipse en cualquier

punto que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:

4. La recta tangente a la elipse en cualquier

punto que pertenece a la elipse, tiene por ecuación:

5. Las rectas tangente de pendiente a la elipse tienen

por ecuación:

6. Para hallar la ecuación de la recta tangente también se puede emplear la

condición de tangencia.

La recta es recta tangente a la circunferencia

y es directriz de la elipse , uno de los focos de la elipse

TL E b x h a y k a b

p x y

TL b x h x h a y k y k a b

TL E a x h b y k a b

p x y

TL a x h x h b y k y k a b

TL m E b x a y a b

TL y mx a m b

L x y

C x y E

V a

F c

F c

V a

B bB b

X

Y

TL

p x y

− + − =

− − + − − =

− + − =

− − + − − =

+ =

= ± +

+ − =

− + − =

−

−

−

Ejemplo 3.24:


132

' '

' '

1 1

1 1( 1) 1 1

C(6;11)

1( ; )

(0; )

: 3 3 43 0, 1

1

8

''

se encuentra sobre el eje , si y la recta divide al segmento que une a

los centros de y en razón de 1 a 8.

i) Hallar la ecuación de la elipse en el Sistema que ha rotado .

ii) Hallar la ecuación de la elipse en el Sistema .

i) Hallaremos la ecuación ordinaria de la elipse en el Sistema que ha rotado

.


Sea la pendiente de la recta la cual es perpendicular a la recta , entonces el

producto de sus pendientes es igual a -1; es decir:

Y E C L

C E

X Y

XY

X Y

m L L

m m

C h k

F p

L x y m

L

n

n

TP

X

Y

XY

f

m

∩ =

− = − → =

+ − = = −

Soluc ión:

ur


133

1

1 : 11 1( 6)

1 : 5 0

1(0; ) 0 5 0 5

1

1

: 3 3 43 0 14 29 14 29 y ;

: 5 0 3 3 3 3

4 2( , )

3 1

32 2( ; ) 8

3

( ) (0;5) (6;11) ( 6; 6) 6 2

1 1 1( 6; 6) ;

6 2 2 2

1 9 .

1 1

4 2 1 1(6;11) 9. ; ( 6; 1)

3 2 2

1( , ) 6 2

( , )1

( , )

( , )

( , )

(8 )

El punto (6;11) pertenece a la recta , cuya ecuación está dada por:

Como , entonces satisface su ecuación

Hallamos el punto de tangencia , para ello resolvemos el sistema de

ecuaciones:

Como y .

De la ecuación:

Donde es un punto de la elipse y es la directriz, se puede tomar al vértice como

el punto , es decir:

L

L y x

L x y

F p L p p

TP L L

T

L x yx y P

L x y

Tn d c P Td C P n

CF F C CF

CF

CF

C C n

C C

d C F c

d P Fe

d P L

P L

P

d V F c

d V L a

a c c

n a a a

− = −

− + =

∈ − + = → =

= ∩

+ − = → = = → − + =

= = = =

= − = − = − − → =

− − = = − − =

= +

− − = + → = − −

= =

= <

=

−=

− −

uuur uuur

uuurur

uuur

ur

m

m


134

2 128 8 232 2

3

2 2 2 2 14

' '

2 2( ' 6) ( ' 1): 1

128 56

1 2( , ) ( , ) 2

2 2 2 2( 12) ( 7) ( ) ( 5) 2

2 2 2 2( 12) ( 7) 2 ( ) ( 5)

2 2: 23 23 18 62 258 1049 0

a c ca a

aa

a c b b

X Y

x yE

XY

d P F d P F a

x y x y a P

x y a x y

E x y xy y x

−= → = → =

−

− = =

+ ++ =

+ =

+ + + + + − =

+ + + = − + −

+ − − + − =

Luego como , reemplazando los valores obtenemos

Luego la ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas es:

ii) Hallaremos la ecuación general de la elipse en el Sistema .

Si aplicamos la definición de elipse

, es un punto de la elipse

Elevando al cuadrado obtenemos:

1. La recta normal a una elipse en cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo

formado por los radios vectores de ese punto.

2. Las rectas tangentes a una elipse trazadas en los extremos de un diámetro son

paralelas entre sí.

3. Si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes

mayor y menor son proporcionales.

3.7.5 PROPIEDADES DE LA ELIPSE:


135

21 2{ ( , ) / ( , ) ( , ) 2 , }

}2),(),(/),({ 212

1

}2),(),(/),({ 212

2

1

2

( , )Y

X

3.8 LA HIPERBOLA

3.8.1 Definic ión:

Obs ervac ión:

Es el conjunto de puntos que pertenecen al plano tales que el valor absoluto de la

diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, siempre será igual a una

cantidad constante positiva y menor que la distancia e puntos fijos.

Es decir:

Donde F1 y F2 son los puntos fijos llamados focos de la Hipérbola, ésta definición

excluye el caso en el que los puntos del plano están sobre la recta que pasa por los

focos, excepto el segmento que une a los focos.

Figura N° 3.47. hipérbola.

Toda Hipérbola se compone de dos ramas H1 y H2 definidas por:

H p x y d P F d P F a a c

aFPdFPdRyxpH

aFPdFPdRyxpH

F

F

p x y

= ∈ − = <

=−∈=

−=−∈=

¡


136

1 2 1 2( ; ) 2

1 2

1 2

1 2( ; ) 2

1 2 1 2 , 1 2( ; ) 2

y ' '

22

´´

1

2

2

1

1

2

'

'

(0;0)

'

1

2

3.8.2 ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

Figura N° 3.48. Elementos de la Hipérbola.

1) : Focos de la hipérbola, ( se denomina distancia focal).

2) y : vértices de la Hipérbola.

3) : centro de la hipérbola y es el punto medio del segmento que une a los focos o

a los vértices.

4) : el segmento que une a los vértices se denomina eje transverso,

.

5) : se llama eje conjugado y son los vértices conjugados, .

6) : son cuerdas focales perpendiculares al eje focal, se denominan

lados rectos de la Hipérbola, y cada uno tiene longitud .

F y F d F F c

V V

C

V V

d V V a

B B B B d B B b

LR L R

b

a

XY

DL

DL

V

V

F

F

L

R

L

R

X

Y

C

T

TE

L

L

=

=

=


137

1 2 y

1 2

1 2 y

1

'

'

, 2 2 2

1 2

( ; )

2 2

2 2

( ) ( ): 1

7) : radio focal o radio vectores de la Hipérbola (segmento que une un

punto cualquiera de la Hipérbola con uno de los focos).

8) y : rectas directrices de la Hipérbola correspondientes a los focos

respectivamente.

9) : excentricidad de la Hipérbola, se cumple que .

10) : cuerda de la Hipérbola es un segmento de recta que une dos puntos

cualesquiera de la Hipérbola.

11) cuerda focal, es la cuerda de la hipérbola que pasa por alguno de sus focos.

12) Las constantes se relacionan mediante la ecuación ,

Donde: “ ” es el semieje transverso, “ ” es el semieje conjugado y “ ” es la

distancia del centro a cada uno de los focos.

13) y : Rectas denominadas asíntotas de la Hipérbola.

1. La recta que pasa por los focos es llamada eje focal de la Hipérbola.

2. La recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal se llama eje

normal.

Consideremos el caso en el cual la Hipérbola tiene centro un punto

cualquiera del plano cartesiano y eje focal paralelo a je , su ecuación está dada

por:

F P F P

DL DL

F F

ec

ea

TT

TE

a b y c b c a

a b c

L L

H C h k

X

x h y kH

a b

= >

= −

− −− =

Notas :

3.8.3 ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA


138

1 2( ; ) y ( ; )

( ; )

1 2( , ) ( , ) 2 ,

2 2 2 2( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(( ) ) ( ) (( ) ) ( ) 2 (i)

(( ) ) ( ) (( ) ) ( ) 2 (ii)

2 2 2 2(( ) ) ( ) 2 + (( ) ) ( )

2 2 2 2 2(( ) ) (( ) ) 4 +4 (( ) ) ( )

2 2 24 ( ) 4 4 (( ) ) ( )

2 2 2(( ) ) ( ) ( )

( ; )

( ; )

( ; )1( ; )2

Figura N° 3.49. Determinación de la ecuación ordinaria de la hipérbola.

Los focos de la Hipérbola son

Veamos:

Sea un punto cualquiera que pertenece a la Hipérbola , entonces

satisface la definición

Desarrollando el valor absoluto se tiene:

Si partimos desde la ecuación (i) o la ecuación (ii) obtendremos el mismo resultado,

por lo tanto tomaremos la primera ecuación:

Elevando al cuadrado y ordenando, obtenemos:

F h c k F h c k

P x y H

d P F d P F a a c




x h c y k a x h c y k

x h c x h c a a x h c y k

c x h a a x h c y k

a x h c y k c x h a

K C h k

h

p x y

X

Y

F h c k F h c k

h c h c

− +

− = <

− − + − − − + + − =

− + + − − − − + − =

∨

− + + − − − − + − = −

− + + − = − − + −

− + − − − = − − + −

− − = − − + −

− − + − = − −

− +

− +


139

2 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(( ) ) ( ) ( ) 2 ( )

( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 0 2 2 2

2 2 2 2 2 2( ) ( )

2 2

2 2

( ) ( ): 1

2 2

2 2: 1

Elevamos al cuadrado:

Como y , hacemos

Reemplazando en la ecuación anterior obtenemos:

Luego la ecuación ordinaria de la Hipérbola es:

A continuación describiremos los elementos de la Hipérbola con sus respectivas

ecuaciones ordinaria, canónica y general, cuyos ejes son paralelo s ejes

coordenados:

1. La ecuación de la Hipérbola con centro en el origen de coordenadas y eje focal

coincidente con el eje X, está dada por:

.

El grafico de una ecuación canónica, es decir de centro (0;0), es:

Figura N° 3.50. Hipérbola de ecuación canónica, de eje focal el eje X.

a x h c y k c x h a a c x h

a x h a c a c x h a y k c x h a a c x h

a c a c a x h a y k

a c a c a c b

b x h a y k a b

x h y kH

a b

x yH

a b

− − + − = − + − −

− + − − + − = − + − −

− = − − − −

< − > − =

− − − =

− −− =

− =

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

x

y

y

x V V F F


140

)0,(),0,( 21

)0,(),0,( 21

1:2

2

2

2

),0(),,0( 21

),0(),,0( 21

(0;0)

1( 0; )

1(0; )

( 0; )2

(0; )2

Sus elementos son:

1. Los vértices de la Hipérbola son:

2. Focos:

3. Eje focal : y = 0

4. Eje conjugado: x = 0

5. Ecuación de las asíntotas:

2. La ecuación de una Hipérbola con centro en el origen de coordenadas y eje focal

coincidente con el eje , está dado por:

Figura N° 3.51. Ecuación canónica de la hipérbola, de eje focal el eje Y.

Sus elementos son:


2. Focos:

3. Eje focal : x = 0

4. Eje conjugado: y = 0


aVaV

cFcF

xa

by

Y

b

x

a

yH

aVaV

cFcF

xb

ay

V a

F c

V a

F c

−

−

±=

=−

−

−

±=

−

−


141

1)()(

:2

2

2

2

),(),,( 21

),(),,( 21

1 2( , ) y ( , )

)(

( ; )

( ; )

121 2

2

1

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA

Es la ecuación de la Hipérbola de centro (h,k) cualqu l plano, cuyos ejes

focales son paralelos a los ejes coordenados:

1. La ecuación de una Hipérbola de centro en el punto (h,k) cualquier punto del

plano y eje focal paralelo al eje X, está dado por:

Figura N° 3.52.Gráfico de la ecuación ordinaria de la hipérbola, de eje focal paralelo

al eje X.

Sus elementos son:


2. Focos:

3. Vértices conjugados

3. Eje focal : y = k

4. Eje conjugado: x = h


=−

−−

+−

+−

− +

−±=−

+

−

− +− +

b

ky

a

hxH

kahVkahV

kchFkchF

B h k b B h k b

hxa

bky

k

k b

k b

C h k

h

p x y

X

Y

FF

h c h ch a

h a

V V

B

B


142

1)()(

:2

2

2

2

),(),,( 21

),(),,( 21

1 2( , ) y ( , )

)(

(0;0)

1

1

2

2

21

2. La ecuación de la Hipérbola de centro en el punto (h,k) cualquier punto del plano

y eje focal paralelo al eje Y, está dado por:

Figura N° 3.53. Gráfico de la ecuación ordinaria de la hipérbola, de eje focal paralelo

al eje Y.

Sus elementos son:


2. Focos:

3. Vértices conjugados

4. Eje focal : x = h

5. Eje conjugado: y = k


=−

−−

+−

+−

− +

−±=−

+

+

−

−

− +

b

hx

a

kyH

akhVakhV

ckhFckhF

B h b k B h b k

hxb

aky

V

F

V

F

h

k

k a

k c

k a

k c

BB

h bh b


143

2 2 0

2 2 2 2 2 2:

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1:

2 2 2 2 2 2:

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1:

2 2 2 2 2 2: ( ) ( )

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2: ( ) ( )

1 1 1( ; )

2 2 2 21 1: ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2: 2 2 2: ,

ECUACION GENERAL DE LA HIPERBOLA

3.8.4 RECTA TANGENTE A LA HIPÉRBOLA

La ecuación:

, donde A,C,D,E y F son constantes; A y C tienen

signos opuestos;

Representa la ecuación general de la hipérbola de ejes paralelos a los ejes

coordenados o un par de rectas que se cortan.

1. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola , en

cualquier punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:

2. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola en cualquier

punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:

3. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola ,

en cualquier punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:

4. La ecuación de la recta tangente a la Hipérbola en

cualquier punto que pertenece a la Hipérbola , tiene por ecuación:

5. Las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente a la hipérbola

, son

AX CY DX EY F

H b x a y a b

p x y

TL b x x a y y a b

H b y a x a b

p x y

TL b y y a x x a b

H b x h a y k a b

p x y

TL b x h x h a y k y k a b

H b y k a x h a b

p x y

TL b y k y k a x h x h a b

m

H b x a y a b T

bL y mx a m b m

a

+ + + + =

− =

− =

− =

− =

− − − =

− − − − − =

− − − =

− − − − − =

− = = ± − >


144

2 2 2 2 2 2:

2 2 2: ,

2 2 2 2 2 2: ( ) ( )

2 2 2: ( ) ,

2 2 2 2 2 2: ( ) ( )

2 2 2: ( ) ,

2 2( 3) ( 4): 1

4 12

: 2 18 0

12

12

:2

2 22 3 ( 4)

14 12


, son:


, son:


, son:

Dada la hipérbola . Hallar la ecuación de la recta tangente a

la hipérbola que es paralela a la recta .

Sea la recta tangente de pendiente , como es paralela a de

pendiente , entonces: .

Luego la recta tangente tiene la forma:

(i)

Mediante la condición de tangencia sustituimos la ecua i) en la ecuación de la

Hipérbola:

m

H b y a x a b

T

bL y mx a b m m

a

m

H b x h a y k a b

T

bL y k m x h a m b m

a

m

H b y k a x h a b

T

bL y k m x h a b m m

a

y xH

H L x y

TL Tm TL L

m Tm m

T

xL y l

x l x

− =

= ± − <

− − − =

− = − ± − >

− − − =

− = − ± − <

− −− =

− + =

=

= =

= +

( )+ − −− =

Ejemplo 3.25:

Soluc ión:


145

2 22 6 ( 4)1

16 12

2 2 212( 4 36 24 2 (2 6)) 16( 8 16) 12(16)

2 2 212 48 12(36) 12(24) 24 (2 6)) 16 16(8) 256 12(16)

2 2(12 16) ( 48 144 128) 48 432 288 256 192 0

2 24 (272 48 ) 48 288 16 0

2 24 (48 272) (48 288 16) 0

2 20 (48 272) 4(4) (48 288 16) 0

2 2(48 272) 4(4) (48 288 16) 0

2 22304 73984 26112 16 48 288 16 0

2 2144 4624 1632 48 288 16 0

2192 1920 4608 0

2 10 24 0

( 6)( 4) 0 6 4

6 , : 6 : 2 12 02

4 , : 4 : 2 8 02

1: 2 12 0 y

2: 2 8 0 .

2 2 2 2 2 2:

1 : 0 2 : 0

( )+ − −− =

+ + − − − − − + =

+ + − − − − + − =

− + − + + + + − − − =

− + − + − − =

+ − − − − =

= → − − − − − =

− − − − − =

+ − + − − =

+ − + − − =

− + =

− + =

− − = ↔ = ∨ =

= = + → − + =

= = + → − + =

− + = − + =

− =

− = + =

x l x

x l l x l x x

x l l x l x x

x l x l l

x l x l l

x l x l l

l l l

l l l

l l l l

l l l l

l l

l l

l l l l

Si lT T

xL y L x y

Si lT T

xL y L x y

H

L

TL x y TL x y

H b x a y a b

L bx ay L bx ay

V

sustituimos en (i), obtenemos

sustituimos en (i), obtenemos

Por lo tanto encontramos dos rectas tangentes a la hipérbola que son paralelas a

la recta , las cuales tienen por ecuación:

Dada la hipérbola , tiene por asíntotas las rectas

y .

3.8.5 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA


146

2 2 2 2 2 2:

2 2 2:

0 y 0

0

2 2: ' ' 2

' '

0

Nota 1:

Nota 2:

3.8.6 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTANGULAR

Cas o particular:

Las asíntotas se obtienen sustituyendo el término constante por cero y aplicando

diferencia de cuadrados, luego se aplican propiedades de los números reales.

Para graficar una hipérbola se sugiere ubicar en el plano cartesiano los vértices y

los vértices conjugados, se forma un rectángulo de lados paralelos a los ejes

transverso y conjugado; luego se trazan las asíntotas por los vértices de este

rectángulo las mismas que coinciden con las diagonales de dicho rectángulo.

Es aquella hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud.

Si la hipérbola es equilátera, entonces , luego la

ecuación toma la forma:

Sus asíntotas son

Dado , la constante (i)

La ecuación (i) también representa una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son los

ejes coordenados.

Si se giran los ejes coordenados un ángulo de 45°, la ecuación (i) se transforma en

ecuación de una hipérbola equilátera en el sistema de coordenadas

.

En la siguiente figura se muestra la grafica de la ecuación (i) para el caso :

H b x a y a b a b

H x y a

x y x y

xy k k

H x y k

X Y

k

− = =

− =

− = + =

= ≠

− =

>


147

2 2

2 2: 1

2 2

2 2: 1

''

45°

Figura N° 3.54. Hipérbola equilátera o rectángular.

Se dice que dos hipérbolas son conjugadas si el eje transverso de cada una es

idéntico al eje conjugado de la otra.

Si la ecuación de la hipérbola es , entonces la hipérbola conjugada

correspondiente es:

.

Figura N° 3.55. Hipérbolas conjugadas.

3.8.7 HIPÉRBOLAS CONJUGADAS

x yH

a b

C

y xH

b a

X

Y

H

CH

X

YXY

− =

− =


148

2 2

: 1144 25

2 2

: 125 144

( 3,5) ( 3,9) ( 3,7)

( , ) 4

( , ) 2

, 2 2 2

2 2 2(4) (2) 2 3

2 2

2 2

( ) ( ): 1 ( , ) ( 3, 5)

2 2

2 2

( 5) ( 3): 1

(2) (2 3)

Las hipérbolas conjugadas y tienen el mismo centro, un par de asíntotas

comunes y todos sus focos equidistan del centro.

Sea , la hipérbola conjugada correspondiente es:

Hallar la ecuación de la hipérbola de centro , foco y vértice

Sabemos que la distancia del centro a uno de los focos es la longitud , es decir:

,

Sabemos que la distancia del centro a uno de los vértices es la longitud , es decir:

,

Luego la ecuación que asocia a los escalares es

Entonces

Luego la ecuación de la hipérbola es de la forma:

, donde

Gráfico:

H CH

x yH

C

y xH

C F V

c

d C F c c

a

d C V a a

a b y c c a b

b b

y k x hH

a bC h k C

y xH

Ejemplo 3.26:

Ejemplo 3.27:

Soluc ión:

− =

− =

− − −

= → =

= → =

− =

− = → =

− −− = = −

− +− =


149

2 23 4 3 2 21 7 2 0

3, 4 3 2 ,

4 3 4 3(2 ) 4 3

3 2

Nos apoyamos en el siguiente triángulo rectángulo, par en general, pues algunas

veces vamos a trabajar con ángulos no usuales:

17

1

2

2cos

7

17

1

2

3s

7

2

4 37 1cos(2 )

7

( 0;0 )

1

1

2

2

3

5

79

3

1

21

3 2 3 3 2 3


Transformar la ecuación en otra que carezca

del término , realizando una rotación de los ejes coordenados.

Comparando la ecuación dada con la ecuación general de segundo grado,

observamos que luego sustituimos esto valores en la


y

Ejemplo 3.28:

Soluc ión:

x xy y x y

xy

A B y C

B kTg

A C k

en

k

k

k

V

F

V

F

BB

+ + + + + =

= = =

= = = =− −

+= =

−= =

=

−− − − +

q

q q

q

q


150

cos y sen

'cos '

' ' cos

2 ' 3 '327 7 7

3 ' 2 '3 27 7 7

' '

' '

2 ' 3 ' 2 ' 3 ' 3 ' 2 ' 3 ' 2 ' 2 ' 3 ' 3 ' 2 '2 2

7 7 7 7 7 73( ) 4 3( )( ) 2( ) 21( ) 7( ) 2 0

2 2 2 ' 3 ' 3 ' 2 '42 ' 7 ' 7 21( ) 7 7 ( ) 14 0

7 7

2 26 ' ' 3 3 ' ' 2 0

La cual representa a una hipérbola en el sistema cartesiano ' ' .

3

4 1 : 4 5 66 0

16 5;

3 3

31

4

3

43 y 4

Luego sustituimos los valores de en las ecuaciones de transformación:

, obteniendo

Luego reemplazamos las ecuaciones de transformación en la ec ión de la cónica

dada:

Luego de desarrollar y factorizar, obtenemos la siguiente ecuación:

Dadas la excentricidad y la recta directriz correspondiente

al foco , ambos de la cónica . Hallar la ecuación de la hipérbola

cuyos focos y vértices son respectivamente los vértices y focos de .

Como la excentricidad , entonces la cónica representa a una elipse, luego

, entonces . ……….(i)

Bosquejamos el gráfico:

q q

q q

q q

b

b

b

x x y sen

y x sen y

x y

x y

x x y

y x y

x y x y x y x y x y x y

x y x yx y

x y x y

X Y

e L x y

F H

e

ce

ac l a l

= −

= +

−

+

= − =

= + =

− − + + − ++ + + + + =

− +− + + + =

− + − + =

= + + =

= <

= = = =

Ejemplo 3.29:

,

Soluc ión:


151

41 5 1

1 1. 1 41 5

54

54:

16 53 3;

5 5 163 4 3( ) 5

5

: 5 4 20 0

1

1 : 4 5 66 0( 4; 10)

: 5 4 20 0

1 : 4 5 66 016 53 3;

52 503 3;

Sea y las pendientes de las rectas y respectivamente, como

, sustituyendo el valor de , obtenemos .

Luego la ecuación de la recta está dada por ……… (ii)

Como el punto , entonces sustituimos sus coordenadas en (ii):

Por lo que sustituyendo el valor de en la ecuación (ii) y desarrollando

obtenemos:

Sea el punto , tal que , para hallar las coordenadas del punto se

debe resolver el sistema de ecuaciones:

m m L L

L L m m m m

L L y x b

L

b b

b

L x y

Q L L Q Q

L x yQ

L x y

L x y

L

F

C

X

Y

H

−=

⊥ → = − −= =

= +

( )∈

= + → = −

= −

− − =

{ }∩ =

+ + =→ − −

− − =

+ + =( )•

( )•


152

'

16 5 73 3 3

; ( 4; 10) 4;5

7 413

1(4;5)

41

2

1( ; )

16 5 23 3

2 2

4( ) 5 66 163

34 5

287 741

33 41

41

3 =3 41 y 4 4 41

( ; )

2

( ; ) ( 4; 10)

16 41 1( ; ) ( 4; 10) . (4;5)

3 41

52 503 3( ; ) ;

3 41 4 41 ,

2 2 2

287

2 2

2 2

' ': 1

(3 41) ( 287 )

' '

52 50 13 3 41

' ( ; ) ( ; ) (4;5) 52 50 13 3 41

' ( ; ) ( ; ) ( 5; 4)

Para hallar el vector unitario en la dirección de

Luego

De la ecuación

Luego sustituimos en la ecuación (i), y obtenemos:

Para hallar las coordenadas del centro de la elipse , consideramos la


Luego las coordenadas del centro de la elipse son:

Para hallar la ecuación de la hipérbola , tomamos en cuenta que

, luego las constantes están asociadas mediante las

siguiente relación , sustituyendo los valores de , obtenemos:

Por lo que la ecuación de la hipérbola, está dada por:

(iii)

Luego consideramos las ecuaciones de transformación para rotación y traslación de

ejes coordenados:

m

m m

b

m

m m

ur

uuur uuur

uuur

uuurur ur

uuur

ur

ur ur

X

QF F Q QF

QF

QF

QF

ad F L c

c

ll

l

ll

l

c l a l

C h k

ah k

c

h k

C h k

H

a y c a b y c

c a b a y c

b

x yH

ox P P oy P P

x x y y x y

( ) ( )= − = − − − → =

=

= → =

= −

( )+ += −

+

= → =

=

= = =

= − − +

= − − +

( )=

= =

− =

=

− =

[ ]= − [ ]⊥

= −

= − = − −


153

12 15 458'

3 41

12 15 60'

3 41

2 2

2 2

12 15 458 12 15 60

3 41 3 41: 1

(3 41) ( 287)

PA PB

x yx

y xy

x y y x

H

+ −=

− +=

+ − − + − =

−

(iv)

Luego sustituimos (iv) en (iii), y obtenemos la ecuación de la hipérbola en las

variables x e y, es decir en el sistema de coordenadas original XY :


En el sistema de navegación por radio LORAN (LOng RAnge Navigation), dos

estaciones de radio localizadas en A y B, transmiten en forma simultánea señales a un

barco o avión localizado en P. La computadora de abordo convierte la diferencia de

tiempo de recibir estas señales en una diferencia , y esto, de acuerdo

con la definición de una hipérbola, localiza al barco o avión en una rama de una

hipérbola (véase la figura N°3.1). Suponga que la estación B se localiza a 400 millas

este de la estación A sobre la costa.

Ejemplo 3.30: (Aplicac ión s is te mas de navegac ión)


154

( )

/

PA PB 2

t(P,A) (P,B) 1200

d(P,A) (P,B)1200

980 980

7

Un barco recibe la señal de B 1200 microsegundos antes de recibir la señal de

A.

(a) Si se supone que la señal de radio viaja a una rapidez de 980 ,

encuentre la ecuación de la hipérbola sobre la que se aliza el barco.

(b) Si el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos de la costa está el

barco?7

Figura N° 3.58. Estaciones de radio. Steward (2008)

(a) Sabemos que la definición de Hipérbola está dada por:

(i)

Tenemos como dato:

, sabemos que , de donde

Stewart, James. CÁLCULO: TRASCENDENTES TEMPRANAS, México: ial Cengage

Learning, sexta edición, 2008.

s

pies s

a

t d vtd

tv

d

m

m

Soluc ión:

− =

− = = =

− =


155

d(P,A) (P,B) 1200(980) 1176000

2 1176000

1 24502 1176000

5280 11

1225

11

2

2 400 200

, 2 2 2

2

2 21225(200)

11

2 3339375

121

2 2

2 21

2 2

21

3339375122512111

2 2121 121: 11500625 3339375

d

a

a mi mi

a mi

c

c mi c mi

a b y c c a b

b

b

x y

a b

x y

x yH

− = =

=

= =

=

= → =

− =

− =

=

− =

− =

∴ − =

(ii)

De las ecuaciones (i) y (ii), tenemos:

pies, pero (1milla = 5280 pies)

Luego, como las antenas se ubican en lugar de los focos y sabemos que la distancia

entre los focos es , así como la distancia entre las antenas es 400 mi, entonces

deducimos que:

La ecuación que asocia a los escalares es

Sustituyendo valores:

Luego la ecuación de la hipérbola tiene la forma canón :


156

2 2121(200) 121: 1

1500625 3339375

247.8200371 . 248 .

(b) Si el barco se dirige al norte de B sus coordenadas serian (200,y),

entonces debe verificar la ecuación de la hipérbola:

Despejando y, obtenemos:

yH

y mi mi

− =

= ≈


157

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3

1 2 3

....

....

....

....

....

CAPÍTULO IV

4.1 Matrices

4.1.1 Definic ión:

Notac ión:

En el presente capítulo se estudiaran las matrices y determinantes así como su

importancia en la solución de sistemas de ecuaciones; mo aplicación

resolveremos problemas de flujo máximo y problemas relacionados con sustancias

químicas que afectan al medio ambiente.

Se desarrollará los siguientes ítems:

4.1. Matrices

4.2. Determinantes

4.3. Sistemas de ecuaciones.

Una Matriz es un arreglo u ordenación rectangular de mxn elementos ( ) ,

dispuestos en “m” filas y n columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis.

El nombre de una matriz se escribe en mayúsculas y lo mentos en minúsculas.

el orden de la matriz es “mxn” (m filas y n columnas)

Los elementos de la matriz se representan por donde representa a las filas y

representa a las columnas.

∈

( ) = =

=

¡

M

M

i j i j mxnmxnA a a

j n

j n

j n

iji i i in

m m m mj mn

a a a a a

a a a a a

a a a a a

A

aa a a a

a a a a a

i ja i

j


158

2 3 4 1

0 1 5 2

4 6 8 323 5

( )

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

Ejemplo 4.1:

4.1.2 Operac iones con matrices :

1. Igualdad de matrices :

2. Suma de Matrices :

3. Multiplicac ión de una cons tante por una matriz :

4. Multiplicac ión de matrices :

Si es una matriz de orden 3x4 y el elemento

Las matrices y son iguales si y sólo si tienen el mismo orden

y sus elementos correspondientes son iguales (para cada y para cada

).

Sean las matrices y

Entonces

Observación:

Sean “c” una constante , y una matriz

Entonces: 3.

Sean las matrices y

Entonces el producto = . =

A a

i jA a i jB b

i j i ja b i j

i j mxnA a i j mxn

B b

i j i j i j i jmxn mxn mxnA B a b a b

A B A B

i j mxnA a

i j i jmxn mxncA c a ca

n n

n n

m m mn m m mn

a a a ca ca ca

a a a ca ca cac

a a a ca ca ca

i j m x nA a i j n x p

B b

AB i j m x na i j n x p

b i j m x pc

− = −

=

= =

=

= =

+ = + = +

− = + −

=

= =

= =

= =

L L

L L

M M M M M M

L L


159

( ) ( )

( )

( ). .( )

.( )

( ).

( ) (k ) ( )

1.

( )

( )

( )

( )

1

( )

Nota

Propiedades :

4.1.3 Trans pues ta de una matriz :

4.1.4 Traza de una matriz

: no siempre son iguales.

O: es la matriz cero, , .

Es la matriz que se obtiene cambiando las filas por co mnas

Si su transpuesta es

Propiedades:

Es la sumatoria de los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada

AB y BA

A B B A

A B C A B C

A O O A A

A A O

AB C A BC

A B C AB AC

A B C AC BC

k AB A B A kB

OA O A A

i j m xnA a T

j i n x mA a

T T TA B A B

T TA A

T TkA kA

T T TAB B A

n

i ii

Tr A a

+ = +

+ + = + +

+ = + =

+ − =

=

+ = +

+ = +

= =

= =

= =

+ = +

=

=

=

=

= ∑


160

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) . ( )

0;

11

22

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Propiedades :

4.1.5 Tipos de Matrices

Matriz cuadrada

Matriz Diagonal

Matriz Es calar

Matriz Identidad

Matriz S imétrica

R mxn

Matriz Antis imétrica:

R mxn

Tr A B Tr A Tr B

Tr AB Tr BA

Tr kA k Tr A

i ja i j

n n

a

a

a

k

k

k

x

I

A

A TA A

TA A

+ = +

=

=

= ≠

=

= −

=

: el número de filas es igual al número de columnas.

: ;

: ;

:

:

se llama simétrica si

se llama antisimétrica si

L

K

M M M

K

L

K

M M M M

K

Î

Î

ó

ó


161

2

2

. .

11 12 1

21 22 2

1 2

Matriz Idempote nte

Matriz Involutiva

Matriz Ortogonal

R nxn

4.1.6 Trans formacio nes e leme ntales :

Obs ervac iones :

A A A

A A I I

A T TA A A A I I

n

n

m m mn m x n

a a a

a a aA

a a a

i jF F

i i jF F F

A B B A

es idempotente

Es involutiva , : matriz identidad

se llama ortogonal si se verifica , : matriz identidad

Sea la Matriz

Establecemos las siguientes operaciones elementales:

i) Intercambiar una fila (o columna) con otra fila (o columna),

ii) Sumar a una fila (o columna) una múltiplo de la otra fila (o columna)

- Las operaciones elementales se efectúan sólo por filas, o solo por columnas.

- Una matriz es equivalente de otra matriz , si se puede obtener de ,

luego de un número finito de transformaciones elementa .

ó

ó

=

=

= =

=

↔

= +

Î

L

L

M M M

L

a


162

3 4 1 2 0 2 1 4 5

0 0 8 2 5 6 0 0 3, 0 0 00 0 0 0 4 1

0 0 00 0 0 0 0 0

0 1 4 0 0 3 00 1 0 5 0 1 4 0 5

0 0 0 1 0 2 00 0 1 2 ; 0 0 0 1 1 ;

0 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4.1.7 Matriz es calonada:

Ejemplo 4.2:

4.1.8 Matriz es calonada reduc ida por filas

Ejemplo 4.3:

4.1.9 Rango de una matriz : Rang o (A)

Cuando el número de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de

una fila, crece fila a fila, hasta llegar a filas que sean nulas.

donde son los elementos distinguidos (no pueden estar en la sma columna)

(Forma Canónica)

Cuando los elementos distinguidos son “1” y son los únicos componentes distintos

de cero en su respectiva columna. La matriz Identidad es una “matriz escalonada

reducida”.

; matriz

identidad

Es el máximo número de Filas no-nulas (diferentes de cero) de una matriz , luego de

haber sido reducida a la forma Escalonada utilizando transformaciones elementales

entre filas.

−

−

−


163

1

1

1

1121

122211 1y 0

11 1211 23 12 22

22 23

det( )

)(1

)(1

y 0 11

)1(

Propiedad:

4.1.10 Invers a de una Matriz:

Definic ión:

4.1.11 Definic ión: (Matriz invers a mediante la matriz de Cofactores )

Obs ervac iones :

El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.

Una matriz A es inversible si existe otra matriz B, (a cuadradas), tal que

i) Mediante transformaciones elementales, es posible hallar la inversa de una

matriz cuadrada.

ii) Una matriz A cuadrada de orden nxn tiene inversa si y sólo si el Rango(A)=n.

iii) El método de Gauss para hallar la matriz inversa es aquel que utiliza las

transformaciones elementales:

La matriz A2x2 tiene inversa

Determinante de la matriz de segundo orden:

La matriz Anxn tiene inversa

i) Al cofactor del elemento de una matriz A es denotado por y está definida

por :

A

AB BA I

A

A I I A

aa

aa

AAAA

a aA A a a a a

a a

tCAA

AadjA

AAA

ija ijA

ijji

ij MA

−

= =

−

[ ] [ ] [ ] − →

−

−=≠↔ −−

= = = −

==≠↔ −−

+−=

M M


164

333231

232221

131211

333231

232221

131211

)()(

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 -1

1) . .

2) ( . ) .

3) ( ) ( )

4) ( ) . ; : constante

5) ( )

:

ijM A i

j

aaa

aaa

aaa

A

AAA

AAA

AAA

CA

tCAAadj

T T

A A A A I

A B B A

A A

KA k A K

A A

nxnMA

RMDet nxn

es el determinante de la matriz que previamente se ha reducido en la fila y

la columna .

ii) Si a cada elemento de la matriz A sustituimos por sus ivos cofactores,

obtenemos una matriz que se denomina matriz de cofactores (CA).

Si , la matriz de cofactores es

iii) La matriz adjunta de A es:

Sea la matriz y la función determinante que satisface:

Entonces es una función que aplicada a una matriz, le igna un valor numérico

único.

Ejemplo 4.4:

Propiedades :

4.2 DETERMINANTES

4.2.1 Definic ión:

=

=

=

− −

− − −

− −

− − −

−

= =

=

=

=

=

∈

→


165

)(det

),,,(det 1 ),,,(det 1 ),,,(det 1

),,,(det 1 ),,,(det 1

),,,,(det 1 ),,,,(det 1

0)(det

0)(det

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1

1 111 12 1

21 22 2 2 2

1 2 1 1

1 1.

Notac ión:

4.2.2 Propiedades :

4.3 S ISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

El determinante de una matriz se denota como o por

1.

2.

3. (intercambio de columnas)

4. Si y tiene una columna cuyos elementos son ceros, entonces .

5. Si y tiene una columna cuyos elementos son ceros, entonces .

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

El cual se puede escribir matricialmente como:

O también de la forma:

A A

nji CCCC ni CCC nj CCC

ni CkCC ni CCCk

nji CCCC nij CCCC

nxnMA A

nxnMA A

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

mxn nx mx

n

n

m m mn n mmxn n x m x

A X B

x ba a a

a a a x b

a a a x b

m x n nx m xA X B

=+ +

=

= −

∈ =

∈ =

= = =

[ ] [ ] [ ]

=

=

KK KK KK

KK KK

KK KK

L

L

M M M

L

L

L

M M M M M

L14444244443 123 14243


166

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

322

522

82

4

3

2

1

1

:

2036

454

7

31211109

28765

1432 ( )

( )

( )

4.3.1 Método de Gaus s

Condic iones :

Ejerc ic ios 4.1:

Formamos la “Matriz Aumentada”

i) El sistema posee solución única s.s.s Rango =Rango = n

(n: número de incognitas).

ii) El sistema no posee solución s.s.s Rango > Rango

iii) El sistema posee infinitas soluciones s.s.s Rango =Rango < n

(n: número de incognitas).

Resolver los sistemas de ecuaciones:

a)

b) ; no posee sol.

c)

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=++

−=−+−

=+−+

−=−+

=

−=

=

=

=++

=+−

=−+

=+++

=+++

=+++

BA

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

BA A

BA A

BA A

wzx

wyx

wzyx

wzx

w

z

y

x

R

zyx

zyx

zyx

tzyx

tzyx

tzyx I

II

III

L

L

M M M M

L


167

( )

5( ) ( ) ).......31284

).........1432

) )

1 1

1 111 12 1

21 22 2 2 2

1 2 1 1

11 12 1

21 22 2

1 2

0

1 12 1

2 22 21

2

11 1 1

21 2 22

1

11 12 1

21 22 2

1 2

......., , , 22

11

Consideramos las ecuaciones:

Si en fijamos z y t encontramos un valor para “y”, luego en encontramos un

valor para “x”

Si fijamos infinitos valores para “z” y “t”, obtendremos infinitos valores para “y” y “x”.

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

(Donde debe ser cuadrada e inversible)

Sean los siguientes determinantes:

Si , el sistema tiene soluciones infinitas o no tiene solución.

; ,………….,

Donde:

I

I II iitzy

itzyx

ii i

mxn nx mx

n

n

m m mn n mmxn n x m x

A X B

x ba a a

a a a x b

a a a x b

A

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

n

n

m m mn

b a a

b a a

b a a

n

n

m m mn

a b a

a b a

a b a

n

m m m

a a b

a a b

a a b

nnxxx

−

−=−−−

=+++

[ ] [ ] [ ]

=

[ ]

∆ = =

=∆

∆ = ∆ = ∆ =

∆

∆=

∆

∆=

∆

∆=

4.3.2 REGLA DE CRAMER

L

L

M M M M M

L14444244443 123 14243

L

L

M M M

L

L

L

M M M

L

L

L

M M M

L

L

L

M M M

L


168

1 1.

1 1

1

1

. .

. .

.

8

4.3.3 Método de la Matriz Invers a

Ejemplo 4.5: Aplicac ión

Soluc ión:

Sea el sistema de ecuaciones lineales

(i)

Donde: es una matriz inversible

El sistema (i) se puede representar de la manera abreviada siguiente:

Desarrollando obtenemos:

Donde es la matriz de incógnitas del sistema.

Un granjero prepara una mezcla de avena y maíz como al mento para su ganado.

Cada onza (28g) de avena produce 4 g de proteína y 18 g de carbohidratos, y cada

onza de maíz produce 3 g de proteína y 24 de carbohidratos. ¿Cuántas onzas de

cada grano se pueden usar para cumplir las

necesidades nutritivas de 200 g de proteína y 1320 g de carbohidratos por ración?8

Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA

ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera edición, 1996.

m x n nx m xA X B

A

AX B

A A X A B

I X A B

X A B

X

=

[ ]

=

− −

−

−

=

=

⇒ =


169

4 3 200

3 4 220

220

200

43

34

1

743

34

74

73

73

74

43

34

711

40

20

7880

7600

7660

7800

220

200

74

73

73

74

Tabla 3.2 Alimento Vs. Nutrientes del ejemplo 4.5

Alimento

nutrientes

avena maíz Pedido de

nutrientes

proteína 4 g 3 g 200g

carbohidratos 18 g 24g 1320g

Sean:

: El número de onzas de avena

: El número de onzas de maíz

Obtenemos el sistema de ecuaciones:

El cual se puede expresar en la siguiente forma matricial:

Luego ( )

Reemplazando en ( ):

x

y

x y

x y

BXA

y

x

BAX

BAX

A A

y

xX

+ =

+ =

=

=

−=

==

−

−

=

−

−=−

=

=

=

+−

−=

−

−

{ 321321

a

a


170

003

5.8)1(5.88610

1

9

Para cumplir las necesidades nutritivas de 200 g de proteína y 1320 g de

carbohidratos por ración se puede usar las siguientes cada tipo de grano:

20 onzas de avena

40 onzas de maíz

La especialidad de un negocio es preparar mezclas de cafés para gourmets. El

propietario desea preparar bolsas de 1 lb mezclando cafés de Perú, Brasil y Kenya,

que cueste a $8.50. El costo de las variedades de café es $10, $6 y $8,

respectivamente, por libra. La cantidad de café de Perú debe ser el triple de la

cantidad del café brasileño. Calcule la cantidad de cada tipo de café en la mezcla.9

Sea:

: El número de lb de café del Perú a usar en la mezcla

: El número de lb de café del Brasil a usar en la mezcla

: El número de lb de café del Kenya a usar en la mezcla

El sistema de ecuaciones asociado al problema es el siguiente:

Para hallar la solución emplearemos el método matricial.

Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGO TRÍA CON GEOMETRÍA

ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera edición, 1996.

=

=

=+−

==++

=++

x

y

x

y

z

zyx

zyx

zyx

Ejemplo 4.6:

Soluc ión:


171

0

5.8

1

031

8610

111

1

031

8610

111

03

86

01

810

31

610

610

11

810

11

86

1131

11

01

11

03

1131

610

01

810

03

86

422

413

36824

( )

4436

218

2324

1 ( )

{ 32144 344 21BXA

z

y

x

BAX

BAX

A

A

tadj A CA

adj AA

A

=

−

=

−=

−− −

+−+

−−+

−−

−+−

−+

−

+−−

−+

=

−+−

−

−

− =

( )

Para hallar la matriz inversa utilizaremos el método de la matriz adjunta.

En primer lugar hallamos el determinante de la matriz :

= = 1 -1 +1 =24+8-36 = -4

En segundo lugar hallaremos la matriz de cofactores:

CA= =

En tercer lugar hallaremos la matriz adjunta de A:

=

Luego la matriz inversa está dada por:

a


172

4436

218

2324

411

11942

41

2

42

43

6

1

11942

41

2

42

43

6

0

5.8

1

2

18183

83

81

21

)(

- y , 2)(

−+−

−

−

−=−

+−

−−

−−

−=

+−

−−

−−

++=

A

BAX

z

y

x

x

y

z

xp

cba cbxaxxp

=

= = =

Los valores de las incógnitas son:

= lb de café del Perú a usar en la mezcla

= lb de café del Brasil a usar en la mezcla

= lb de café del Kenya a usar en la mezcla

Un fabricante de Equipo eléctrico cuenta con la siguiente información, acerca de las

ganancias semanales que se obtienen con la producción y venta de cierto tipo de

motor eléctrico.

Cantidad producida, 25 50 100

Ganancia en dólares, 5250 7500 4500

Determinar de tal manera que la gráfica de se ajuste a

esta información.

Ejemplo 4.7:


173

- )(

450010010000)100(

7500502500)50(

525025625)25(

4500

7500

5250

110010000

1502500

125625

1

10

Según la función cuadrática , ¿ Cuántos motores se deben producir cada

semana para obtener una ganancia máxima?¿Cuál es la ut idad o ganancia

semanal máxima?10

El sistema de ecuaciones asociado al problema es el siguiente:

Emplearemos el método matricial:

Donde

En forma similar a los ejemplos anteriores desarrollados, se determina el resultado

del problema a=-2, b=240, y c=500 x=60 Pmax(60)=$7700.

Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGO TRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera edición, 1996.

xp

cbap

cbap

cbap

BXA

c

b

a

BAX

Soluc ión:

=++=

=++=

=++=

=

−=

{ {444 3444 21


174

DISCUSIÓN

Los diversos textos de consulta que se emplean para el curso de matemática básica

presentan contenidos variados, no habiendo necesariamente textos que incluyan

todo el contenido del curso Matemática Básica dictado la Facultad de Ingeniería

Ambiental y de Recursos Naturales; la mayoría de los abordan el tema de

ecuaciones e inecuaciones con ejercicios en variables definidas, nosotros

asociamos estos temas con la optimización desarrollando los ejemplos de

programación lineal con el método geométrico, dándoles la aplicación orientada a la

ingeniería Ambiental.

Respecto a las cónicas muchos textos desarrollan éstos temas mediante la forma

cartesiana o vectorial, nosotros abordamos el tema de forma cartesiana y

empleamos algunos conceptos de la Geometría vectorial.

Respecto a los temas de matrices y Determinantes se desarrollan los contenidos de

la manera usual describiendo las definiciones y propiedades, resaltando la

importancia de los mismos, para luego desarrollar los mplos, pero además

presentamos ejercicios relacionados con la Ingeniería Ambiental.

El estudiante encontrará relación del curso con su carrera profesional, lo cual

despertará interés en el curso y resaltará la importancia del mismo en su carrera

profesional.


175

REFERENCIALES

1. Anton, Howard. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA LINEAL, México: Editorial

Limusa, primera edición, 1976.

2. Apóstol, Tom M. CALCULUS VOLUMEN I CÁLCULO CON FUNCIONES DE

UNA VARIABLE, CON UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL, xico:

Editorial Reverté, S.A., segunda edición, 1998.

3. Chavez Vega, Carlos. ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDEOS, Lima: Ed

San Marcos E.I.R.L., segunda edición. 1995.

4. Epen, Gould y Schmidt. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES LA CIENCIA

ADMINISTRATIVA, México: editorial Prentice-Hall Hispanoamérica S.A., tercera

edición, 1992.

5. Espinoza Ramos, Eduardo. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA, Lima-Perú: primera

edición, 1995.

6. Figueroa R. MATEMÁTICA BÁSICA I, Lima-Perú: Editorial América, Sexta

edición, 1996.

7. Haaser Norman B., LaSalle, Joseph P. y Sullivan Joseph A. ANÁLISIS

MATEMÁTICO 1 CURSO DE INTRODUCCIÓN, México: Editorial primera

edición, 1971.

8. Haeussler, Ernest F., Jr.; Paul, Richard S. y Wood Richard J. MATEMÁTICA

PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, xico:

Editorial Pearson Educación, decimosegunda edición, 2008.

9. Hoffman, l. D. y Bradley, Gerald. CÁLCULO: PARA ADMINISTRACIÓN,

ECONOMÍA, CIENCIAS BIOLÓGICAS Y SOCIALES, Bogotá-Colombia: editorial Mc

Graw Hill, séptima edición, 2001.


176

10. Lehmann, Charles H. GEOMETRÍA ANALÍTICA, México: editorial Li sa S.A.,

1994.

11. Ríos Insua, Sixto; Ríos Insua, David; Mateos, Alfonso y Martín, Jacinto.

PROGRAMACIÓN LINEAL Y APLICACIONES, México: Grupo editor Alfaomega

S.A., 1998.

12. Stewart, James. CÁLCULO: TRASCENDENTES TEMPRANAS, México: editorial

Cengage Learning, sexta edición, 2008.

13. Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON

GEOMETRÍA ANALÍTICA, México D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, tercera

edición, 1996.

14. Venero B., Armando. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, Lima-

Perú: editorial Gemar, 1991.


177

2 2 0

2 4

2 2 0

11

¿ 0?

¿ 0?

0

0

ImplementarCónica

APÉNDICE

TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUDO GRADO POR

ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS 11

Dada la ecuación general de las cónicas:

( )

Donde el indicador y consideremos la ecuación ( ) que represente a

la parábola, elipse e hipérbola sin tomar en cuenta ca excepcionales.

Dada la ecuación general de segundo grado:

(i)

Elaboración propia.

Clasificación de las Cónicas

es una Parábola

no si

si

es una Hipérbola

no

es una Elipse

Ax Bxy Cy Dx Ey F

I B AC

Ax Bxy Cy Dx Ey F

I

I

I

I

+ + + + + =

= −

+ + + + + =

≠

>

<

=

b

b

b b

b


178

1'

1'

', '

' '

' '' '' ' '' ''

'' ''

Introduciremos una nueva técnica para el estudio de esta ecuación, que nos

permitirá realizar una traslación y rotación sobre el plano .

Consiste en que en el nuevo sistema los coeficientes cuadráticos de

tengan coeficiente uno , luego es claro que el cambio de variable es el

siguiente

, ,estas dos relaciones se sustituyen en la ecuación (i), luego

obtenemos una ecuación (ii) en las variables .

El paso I podría ser llamado dilatación o contracción de coordenadas,

Consiste en hacer desaparecer el producto de la relación (ii).Luego el nuevo

cambio de variable o transformación es:

, , sustituimos estas relaciones en (ii) , obtenemos una

ecuación (iii) en las variables

Luego se observa que tipo de cónica representa la ecuación (iii) y se procede a

hallar sus elementos como centro y excentricidad y también de otras

propiedades.

El paso II, podría ser llamado de rotación de coordenadas.

XY

x xA

y yC

x y

x y

x x y y x y

x y y

Pas o I:

Obs ervac ión:

Pas o II:

Obs ervac ión:

? ?? ?

?? ??? _?? ???

= =

= + = −


179

ANEXOS

Tab

la N

° 1.

Res

umen

rel

ativ

o a

las

cóni

cas.

Fue

nte:

Leh

man

n (1

994)

TEXTO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL J.M

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