UNIVERSIDAD AMERICANA

Licenciatura en Educación con énfasis en la Enseñanza de la Matemática

Evaluación Matemática

Profesor:

Lic. Álvaro Artavia

TRABAJO GRUPAL 1

LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Resolución de problemas de acuerdo a las etapas de Polya

(Grupo c)

Integrantes:

III Cuatrimestre

Octubre, 2013

San José

PROBLEMA 1

Una tubería de descarga necesita 24 min más para llenar el tanque que otra más grande. Las dos tuberías juntas lo pueden llenar en 9 min. ¿Cuánto tiempo tomaría a cada una llenar el tanque por sí sola?

1) Comprender el problema: Hay dos tuberías que surten líquido para llenar un tanque. Uno de ellos tarda 24 min más que otra en llenarlo.

Como desconocemos ambos tiempos de llenado, llamaremos x al tiempo de llenado de la primera tubería y la segunda que dura 24 min más la llamaremos (x+24).

Para este problema es conveniente conocer el concepto de caudal, que es el volumen de líquido

surtido por unidad de tiempo; el cual se define como . Llamaremos C1 al caudal

de la tubería 1 y C2 al caudal de la tubería 2.

Dado que en los tres casos se esta considerando el mismo tanque, el volumen a llenar será la

constante Vo, el caudal usado en la tubería 1 seria , el caudal de la tubería 2 seria ,

y dado que en el tercer caso se combinan las tuberías y el tiempo de llenado es 9 min tenemos

Estos datos los podemos tabular de la siguiente forma:

Tubería Tiempo de llenado en min Caudal por minuto

1

x

2

x + 24

Juntas

9

2) Diseñar un plan:

a) Tomar la ecuación y sustituir los caudales por las expresiones y

respectivamente

b) La nueva ecuación para resolver corresponde a

c) Realizar una serie de despejes en la ecuación para cancelar Vo y finalmente tener una ecuación en términos de x

d) Resolver la ecuación

3) Ejecutar el plan:

(1)

4) Examinar la solución: De las dos soluciones tomamos la positiva ya que como x la definimos como tiempo, un tiempo negativo seria devolverse en el tiempo. Por lo tanto si el tiempo de la tubería 1 es 12 minutos el tiempo de la tubería 2 seria 36 minutos y la comprobación la realizamos con la ecuación (1)

PROBLEMA 2 Suponga que de los jugadores inscritos en el campeonato de fútbol de primera división, el 55% tiene menos de 25 años y el 35% tiene contrato por dos años o más. Además, un 30% tiene más de 25 años y cuenta con un contrato menor a dos años. Determinar la probabilidad de que un futbolista aleatoriamente seleccionado tenga menos de 25 años o cuente con un contrato de dos o más años. Si en total hay 260 futbolistas, ¿cuántos de ellos tienen 25 años o más y tienen un contrato menor de dos años? 1) Comprender el problema:

a) Se refiere a dos eventos:

Edades mayores o iguales a 25 años y menores a 25.

Contratos por dos años o más y por menos de dos años.

b) Datos:

1) El 55% tiene menos de 25 años.

2) El 35% tiene contrato por dos años o más.

3) El 30% tiene más de 25 años y contrato menor a 2 años.

c) En cuanto a lo que requerimos averiguar:

Al tomar un futbolista que este sea: “de menos de 25 años o bien cuente con un contrato

mayor o igual a dos años.

De 260, ¿Cuántos cumplen las condiciones de tener 25 años o más y un contrato menor a dos

años?

En ambos casos habrá que determinar los porcentajes de los eventos combinados.

2) Diseñar un plan: a) Obtener los restantes porcentajes en cada una de las relaciones edad-contrato b) construir un esquema para que tabule información de manera que nos permita deducir los porcentajes para las relaciones solicitadas.

3) Ejecutar el plan: Se ha convenido elaborar un esquema que resume y establece claramente las deducciones de los porcentajes en los diferentes eventos.

(Dato)

Contrato por 2 o más años

35%

(Dato)

EDAD MENOR A 25

AÑOS 55%

(1) EDAD MAYOR O IGUAL A

25 AÑOS 45%

(2) Contrato por menos de 2

años 65%

Contrato por 2 o más años

20% (5)

Contrato por menos de 2

años

35%

(Dato)

Contrato por menos de 2 años

30%

Contrato por 2 o más años

(3) 15%

Nota: Se ha enumerado entre paréntesis el orden en que se van deduciendo los otros porcentajes. Primera pregunta: Bastará con sumar el 55% de los que tienen menos de 25 años y el 15% de los mayores a 25 años que si cumplen con ese contrato. Así: 0.55 + 0.15 = 0.7 ó 70% Segunda pregunta: Ese evento identifica a un 30% que cumple ambas condiciones, así el 30% de 260 es 78. Deduciendo de la misma tabla, habrá 78 futbolistas con esas características. 4) Examinar la solución: La probabilidad de que un futbolista tenga menos de 25 años o cuente con un contrato de dos o más años es del 70%. Además, son 78 jugadores los que tienen 25 años o más y tienen un contrato menor de dos años Las tablas son un modo muy útil para clasificar y reunir toda la información de manera que se pueda analizar sin dejar de lado ningún datos. Esta información de datos podría ordenarse o relacionarse también mediante un mapa conceptual ya que la tabla fue combinada con enlaces.

ENTONCES

(4) menos

PROBLEMA 3 El radio de cada uno de los arcos circulares que forman la figura de seis pétalos es el mismo que el radio de la circunferencia que contiene las puntas exteriores de todos los pétalos. Si la medida del radio es 7, ¿cuál es el área de la figura? 1) Comprender el problema: Este problema presenta una figura que tiene 6 pétalos, por lo que es posible formar un hexágono al unir las puntas exteriores de dichos pétalos. Al leer el problema se comprende que la figura está inscrita en un círculo y resulta que el hexágono que se puede formar es regular. Cada pétalo está formado por 2 arcos de una circunferencia que, al igual que la circunferencia circunscrita al hexágono, tiene un radio de 7u. Con todos los datos anteriores se debe determinar el área de la figura 2) Diseñar un plan: a) A partir de la figura, se puede dibujar los círculos que describe el problema. b) Unir las puntas de los pétalos con segmentos que forman el hexágono regular. c) Trazar los radios correspondientes. e) Distinguir las figuras geométricas involucradas específicamente con por lo menos uno de los pétalos de la figura. f) Determinar cuales son las fórmulas necesarias, de acuerdo a las figuras que se distinguieron por el paso anterior, para resolver el problema. g) Aplicar las fórmulas. h) Dar una respuesta.

3) Ejecutar el plan:

A partir del hexágono podemos distinguir que, en la parte sombreada de la figura anterior, se forma un triángulo equilátero de lado 7u y se puede observar la sombra de un sector circular cuyo radio es 7u y tendría como medida del ángulo 60°. Por lo anterior, el área sombreada de oscuro, se puede determinar tomando el área del sector circular y restando el área del triángulo (modo de calcular el área de un segmento circular). Entonces las fórmulas a utilizar son:

(Pues la flor está compuesta por 12 segmentos circulares)

4) Examinar la solución:

El área de la figura corresponde a Se rectificó que las fórmulas utilizadas fueron las correctas. El procedimiento de solución aplicado puede utilizarse con áreas de figuras que involucren otros polígonos regulares ya sean inscritos o circunscritos.

PROBLEMA 4 El Plutonio (Pu-239) es el isótopo utilizado en las bombas atómicas. La cantidad que queda de

de Plutonio después de t años está dada por . Después de 1000 años, ¿Qué porcentaje de plutonio habrá desaparecido? ¿Cuál es la vida media del Plutonio? 1) Comprender el problema:

Una bomba atómica es un dispositivo que obtiene una gran cantidad de energía explosiva con reacciones nucleares. Su funcionamiento se basa en provocar una reacción nuclear en cadena descontrolada. Se encuentra entre las denominadas armas de destrucción masiva y su explosión produce una distintiva nube en forma de hongo. Su procedimiento se basa en la fisión de un núcleo pesado en elementos más ligeros mediante el bombardeo de neutrones que, al impactar en dicho material, provocan una reacción nuclear en cadena. Para que esto suceda hace falta usar núcleos fisibles o fisionables como el uranio-235 o el plutonio-239. Según el mecanismo y el material usado se conocen dos métodos distintos para generar una explosión nuclear: el de la bomba de uranio y el de la de plutonio.

El problema propone una cantidad inicial de plutonio que queda al transcurrir t años. Ahora bien, la idea es calcular el plutonio que desaparece después de 1000 años; lo que quiere decir que la variable “t” asume un valor de 1000, para calcular la cantidad de plutonio que queda después de transcurrir 1000 años.

Es importante entender aquí al tiempo como la clave principal de la solución y la variable independiente o incógnita que me indicara la disipación de tal elemento nocivo para la salud.

En la primera pregunta cuestiona sobre porcentajes, sin embargo la función exponencial lo que define es la cantidad que queda después de transcurrir cierto tiempo, por lo que sería conveniente encontrar primero la cantidad y luego utilizar regla de tres para encontrar el porcentaje. Además como la pregunta se refiere a lo que ha desaparecido, es necesario realizar una resta a la cantidad inicial antes de sacar el % solicitado.

Por otro lado, en la segunda pregunta, nos hablan de vida media que es precisamente en este caso el momento en que la cantidad de Plutonio es la mitad de la cantidad inicial.

2) Diseñar un plan: a) Se sustituye variable tiempo t el valor 1000 que son los años que han transcurrido para la primer respuesta, y luego de encontrar la cantidad que queda después de 1000 años. b) Como la cantidad inicial es de 50 se le debe restar el resultado del paso anterior para saber la cantidad que ha desaparecido y se determina el porcentaje de esta con respecto a la cantidad inicial. c) Para encontrar la segunda respuesta es bueno aclarar que término vida media se entiende como la cantidad de años que deben transcurrir para que el plutonio que inicialmente era de 50g llegue a ser de 25g, luego con la gráfica de la función definir como conforme el tiempo va en aumento la cantidad de plutonio tiende a ser cero.

3) Ejecutar el plan:

Lo que queda después de 1000 años sería: Lo que habría desaparecido sería:

El porcentaje que habría desaparecido sería:

La vida media del plutonio, se calcula cuando A(t)=25:

4) Examinar la solución: Después de 1000 años el porcentaje que habrá desaparecido será apenas de un 2 % y su vida media la alcanzaría después de transcurridos 24151 años. Las soluciones se pueden concluir a manera gráfica que es una forma sencilla de entender. Podemos ver la consecuencia que trae consigo este tipo de bombas los resultados nos ayudan a crear conciencia en las personas que en algún momento ven esto como una alternativa a la solución de un conflicto.