IV.-FUNDAMENTOS TEORICOS

METODOS PARA MEDIR EL TIEMPO DE ESCURRIMIENTO EN CILINDROS.

Método de Bird-Crosby

Cuando en depósito en el que está contenido un líquido que se está descargando, desciende

el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá a medida que va

descendiendo el nivel del líquido y por tanto el tiempo de descarga de un volumen dependerá

de aquel nivel.

Considerando un tanque cilíndrico vertical que contiene un líquido Newtoniano sobre el nivel

H. Tanto las superficies de salida están expuestas a la atmósfera. Así, el líquido sale del

tanque por acción de la gravedad.

Primero, se podría escribir un balance macroscópico de masa para el líquido en el sistema,

que está definido como el volumen total desde la superficie hasta la salida. La masa total del

líquido en el sistema es:

mtotal

= d x pi x (Ro².L+ R².h) (1)

donde: d : densidad

R : radio

Ro : radio del tubo

L : longitud

d mtotal

= - d x pi x Ro².V (2)

dt

V1

= V2

: velocidad promedio a la salida del tubo. No aparece el término V1

porque no

hay velocidad en la superficie del tanque.

Tomando la densidad constante y reemplazando la ecuación (1) en la ecuación (2)se obtiene:

dH = _ Ro 2

. V (3)

dt R

Para desarrollar esta ecuación,. se debe conocer la velocidad V como función del nivel

del líquido H. Esta relación proviene de un balance macroscópico de energía.

Entonces, la ecuación de Bernoulli puede escribirse como :

1 . V - g. (L+H ) = 1 . V 2 f L + E evi

(4)

2 2 Ro

Donde la suma de los factores de pérdidas incluyen todos los obstáculos y disturbios

que encuentra el fluido. Todos los términos de la ecuación (4) pueden ser vistos como

energía por unidad de masa del fluido que circula. El primer término del lado izquierdo

representa la energía cinética. Haciendo un arreglo en la ecuación, se obtiene una expresión

para la velocidad instantánea en la tubería:

½

V = 2 g ( L + H ) (5)

1 + 2 f L + E evi

Antes de sustituir la ecuación (5) en la ecuación (3), es necesario establecer las magnitudes

de los términos en el denominador. En particular, si el término que contiene el factor de

fricción es significativo y f varía con Re, es necesario detallar que la velocidad depende de ese

término.

Primero, se supone que el líquido está en régimen laminar:

f = 16 . u (6)

2 Ro V d

Si reemplazamos (6) en (5) y se desprecia la energía cinética :

V = d g Ro² ( L + H ) (7)

8 u L

Si esta expresión para V es reemplazada en la ecuación (3), se obtiene el tiempo de

escurrimiento:

te

= 8 u L R² ln L + Ho (8)

Dvg Ro² L + Hf

De otro lado, si el flujo es suficientemente turbulento o la tobera es suficientemente rugosa, f

es una constante, entonces el resultado de la ecuación es:

3/7

te

= 2 R² 1 + 2 f (L/Ro) + E evi

(L + Ho)3/7

– (L + Hf)3/7

(9)

3 Ro² 2 g

Finalmente, en el rango intermedio de flujo turbulento, para 2100< Re < 105

1/7

V = 2 (L + H)4 Ro

5 g

4 d (10)

0.07914 L

4 u

te

= 7 R² 0.0791 L u1/4

4/7

[( L + Ho )3/7

- ( L + Hf )3/7

] (11)

8 Ro² g (2d Ro5)

1/4

Es posible, como un líquido drena de un tanque y el nivel H decae, que el número de

Reynolds en la tubería puede cambiar de un régimen a otro. En ese caso, la integral de la

ecuación (3) debe ser evaluada en varias partes, usando la expresión apropiada para la

velocidad en cada región de H.

Método de Ocon-Tojo

Al considerar un punto de un depósito a una altura Z, al descender el nivel dz en el tiempo dt,

el caudal vendrá dado por:

Q = Adep

_ dz (12)

dt

En ese instante, a través de del tubo de sección A2

circulará el mismo caudal.

Q = A2

V2

(13)

Se puede considerar que la velocidad V1

del agua dentro del deposito es despreciable frente al

la velocidad V2

en el tubo. Si se toma como plano de referencia para las alturas el, punto

inferior del tubo ( Z2

= 0 ), la aplicación de la ecuación de Bernoulli conduce a la ecuación:

V2

² - Z1

+ Hf = 0 (14)

2g

V2

= 2 g Z ½ (15)

1 + K +f L/D

Al igualar las expresiones (12) y (13) y una vez sustituido el valor V2

de en (13)se tendrá:

½

te

= 2 R1

² 1 + K +f L/D ( Z ½

- Z1/2

) (16)

R2

²

2g

Donde Z = L + H

Método de Armijo

Se hace u balance de materia en el tanque , por lo que se tiene :

dm s

+ Em f

= 0 (17)

dt

donde m s

: masa del sistema

m f

:.flujos de masa

dm s

+ msale

- mentra

= 0

dt

dm s

= msale

= d V pi d²

4

por otro lado ms

= d. Vol = d pi D² H

4

d pi D² dH = _ d V pi d²

4 dt 4

D ² dH = dt

d V

te

= _ D ² (Hf – Ho)

d V

Utilizando la ecuación de la energía mecánica

a V² + Lwf = g ( H + L )

2gc

gc

donde a : factor de corrección si el perfil de velocidades no está completamente desarrollado.

Para régimen laminar a = 2

Para régimen turbulento a = 1

Lwf : pérdidas por fricción

Lwf = fD

L V² + K V² K = 0.45 si D >> 4

d 2 gc

2 gc

d

por lo tanto:

a V² + fD

L V² + Kcontracción

V² = g ( H + L )

2gc

d 2 gc

2 gc

gc

fD

depende del número de Reynolds.

fD

= a para régimen laminar a = 64, b = 1

Reb para régimen turbulento a = 0.316, b = 0.25

F(V)

= ( a + K ).V² + m.V 2 – b

+ - 2.g (H + L) = 0

Donde: m = 64 u L para régimen laminar

d D²

m = 0.316 u 0.25

L para régimen turbulento.

d

V.- DETALLES EXPERIMENTALES

Equipo Experimental

03 tanques cilíndricos; de base plana y de bases cónicas, con medidor de nivel.

05 tubos de vidrio de diferentes longitudes y diámetros.

04 tubos de aluminio de diferentes longitudes y diámetros.

03 soportes de metal para los cilindros.

01 Vernier

01 cinta métrica

02 probetas graduadas de 1 L.

01 cronómetro de mano .

Agua potable.

Procedimiento Experimental

1) Calibrar el medidor de profundidad en el tanque como sigue:

- Introducir el tapón en la parte inferior del tanque.

- Llenar el tanque por adición sucesiva de volúmenes conocidos de agua y anotar el

cambio del nivel en el medidor con cada porción que es adicionada.

2) Determinar los tiempos de escurrimiento para el drenado del tanque como sigue:

- Tapar uno de los tubos de salida o el orificio por la parte inferior del tanque vacío, y

llenar el tanque y tubo con agua. Durante el llenado, sellar por fuera el final del tubo

con una yema del dedo o un tapón.

- Empezar con un tanque lleno, permitir al líquido empezar a fluir del tubo.

- Tomar los tiempos a los cuales el nivel de líquido en el medidor de profundidad pasa

a lugares predeterminados

- Medir el tiempo total que toma al nivel del líquido viajar de la parte superior a la

inferior del medidor de profundidad

3) Realizar las medidas anteriores con todos los tubos, tomar los tiempos en cada caso.

4) Repetir los pasos anteriores para todos los tanques.

5) Tomar las dimensiones de los tubos.

VI.- DISCUCIÓN DE RESULTADOS

Los resultados experimentales de los tiempos de escurrimiento han sido comparados

mediante tres métodos : con el método de Bird-Crosby, con el método de Ocon-Tojo y con

el método de Armijo.

Al comparar el tiempo de escurrimiento experimental con el obtenido por el método de

Bird-Crosby, hay una desviación que varia en torno del 27 % al 35 % en promedio,.

desviación debida a que este método desprecia los términos de energía cinética y el de

pérdidas por fricción..

Al comparar el tiempo de escurrimiento experimental con el obtenido por el método de

Ocon-Tojo la desviación que arroja varia de 4 % al 25 % en promedio, la cual es

relativamente menor que la calculada por el método de Crosby. Ocon y Tojo en su método

sólo desprecian el termino de energía cinética mas no el término de pérdidas por fricción y

de acuerdo con la literatura este último sería el que mas se acerca al real, lo que se pudo

comprobar debido al menor grado de desviación en los tiempos.

El nuevo método de cálculo propuesto por Armijo, considera la energía cinética y las

perdidas de fricción por lo que lo hace mas aceptable, en este caso las desviaciones son

menores.

El cilindro de base plana, tiene una contracción es muy brusca, lo cual se refleja como

pérdidas por fricción; por el contrario en el cilindro de base cónica la contracción es

gradual lo que reduce estas pérdidas, por lo que el tiempo de escurrimiento en este último

cilindro resulta menor, lo cual se verificó en la experiencia.

Experimentalmente se tiene que para tubos de diámetros iguales con longitudes diferentes,

el tiempo de escurrimiento es menor para el tubo de menor longitud. Mientras que para

tubos de igual longitud con diferentes diámetros, el tiempo de escurrimiento es menor para

el tubo de diámetro mayor.

VII.- CONCLUSIONES

El tiempo de escurrimiento en el tanque de base cónica es menor al tiempo d escurrimiento

cen el tanque de base plana debido a que la contracción gradual del primero reduce las

pérdidas por fricción del mismo.

El tiempo de escurrimiento varía en forma directa con la longitud y el diámetro del tubo.

Al considerar las pérdidas por fricción y la variación de la energía cinética, como lo hace el

método de Armijo la desviación del tiempo de escurrimiento con respecto al tiempo

experimental es relativamente pequeña.

Las ecuaciones utilizadas en los cálculos son válidas para flujos turbulentos es decir para

números de Reynolds mayores a 2100.

VIII.- RECOMENDACIONES

Para poder obtener los mejores resultados se debe tener cuidado en medir el tiempo en

cada intervalo; esto se realizó en la práctica sólo observando el tiempo en el cronómetro en

cada intervalo, esta observación es muy subjetiva y poco aproximada ; debido a la carencia

de presición y exactitud los tiempos obtenidos podrían alejarse de manera sustancial del

valor real y así mismo tener una mayor desviación de métodos de cálculo con una buena

aproximación como el del método de Armijo

IX.- BIBLIOGRAFÍA

Bird, Bayron, “ Fenómenos de Transporte” . Primera Edición .

Editorial Reverté S.A., Barcelona – España 1995, pags: 7–2, 7–11 .

Crosby E. J., “ Experimentos sobre fenómenos de transporte en

operaciones unitarias en la industria química” . Editorial

Hispanoamericana. pags: 55–63 .

Ocon García, Joaquin y Tojo Barreido “ Problemas de Ingeniería

Química” Tomo I , Segunda Edición. Editorial Aguilar S.A., Chile

1967, pag: 33–36.

X.- APÉNDICE

EJEMPLO DE CÁLCULO

1.- DETERMINACIÓN DEL DIÁMETRO DEL TANQUE # 1

Se plotean los valores dela tabla 4, colocando en el eje X las alturas y en eje Y el volumen, la

figura resultante es una línea recta, cuya pendiente es la relación Volumen/Altura del cilindro,

por lo que se tiene:

Área del cilindro = Volumen = pi x D² = pendiente de la recta

Altura 4

Por lo que el diámetro de l tanque #1 es 15.21 cm

2.- CALCILO DE LAS VELOCIDADES EXPERIMENTALES

Se utiliza la ecuación (3) pag. 4:

V= _ R . ² dH

Ro dt

donde se tiene para el primer caso:

Vo = - 15.21 cm . ² 24 – 26 cm

0.329 cm 24 – 0 s

Vo = 178.11 cm/s

Y

Vf = – 15.21 cm ² 0 – 2 cm

0.329 cm 390 – 355 s

Vf = 146.76 cm/s.

Los resultados están representado en la tabla 8 , 10 y 11 para cada tanque.

3.- CALCULO DE LAS VELOCIDADES TEÓRICAS

Método de Bird – Crosby :

A partir de la ecuación (10) página 6 se tiene

1/7

Vo = 2 (L + H)4 Ro

5 g

4 d

0.07914 L

4 u

entonces 1/7

Vo = [2.( 19.8 + 31.5 )cm]4.(0.329 cm)

5.(980 cm/s² )

4.0.99843 g/cm³

0.07914 .(19.8 cm)

4. 0.0103 g/cm – s

donde

Vo = 219.8 cm/s

Método de Ocon – Tojo :

Para calcular la velocidad teórica , se utilizará el método de iteraciones sucesivas.

Primero se asume un valor para la velocidad inicial, luego se calcula el número de Reynolds:

Re =(D . V . d ) / µ . Para tubos lisos el factor de fricción es:

f = 0.0014 + 0.0125 / (Re0.32

); luego el valor f se reemplaza en la ecuación:

V = 2.g .Z ½ si la velocidad asumida es igual ala velocidad calculada

1+ K +f.L/D la iteración se detiene.

Finalmente para el primer valor, V = 221.15 cm/s

Método de Armijo:

Los cálculos para este método fueron realizados por un software.

Los datos ingresados al programa fueron: Para el primer caso

- d = 0.998 g/cm³

- µ = 0.0130 g/cm – s

- D cilindro = 15.21 cm

- D tubo = 0.329 cm

- L tubo = 19.5 cm

- Ho = 31.5 cm

- Hf = 5.5 cm

Del cual, la velocidad iniciales Vo = 177.56 cm/s y la velocidad final Vf

=120.56cm/s.

4.- CALCULO DEL TIEMPO DE ESCURRIMIENTO

Método de Bird – Crosby :

Se utiliza la ecuación (11) página 6, al reemplazar valores se tiene:

4/7

te

= 7. (15.21 cm )². 0.0791 . 19.5 cm . (0.0103 g/cm – s )4 . .[(19.8+31.5 cm)

3/7

980 cm/s²[2. 0.99842g/cm³.(0.319cm)5 ]¼ – (19.8+5.5 cm)

3/7

entonces

te

= 301 s; los resultados están representados en la tabla 8, 10 y 11 para cada tanque.

Método de Ocon – Tojo :

Se utiliza la ecuación (16) pagina 7; al reemplazar los valórese tiene:

½

te

= 2. (15.21 cm )² . 1 +0.0085 . 19.8 cm /0.329 cm .[ (51.3 cm)1/2

– (25.3 cm )1/2

]

(0.329 cm )² 2. 980 cm/s²

entonces

te

= 332 s, los resultados están representados en la tabla 8, 10 y 11 para cada tanque.

Método de Armijo:

Los cálculos para este método fueron realizados por un software.

Los datos ingresados al programa fueron: Para el primer caso

- d = 0.998 g/cm³

- µ = 0.0130 g/cm – s

- D cilindro = 15.21 cm

- D tubo = 0.329 cm

- L tubo = 19.5 cm

- Ho = 31.5 cm

- Hf = 5.5 cm

Finalmente el tiempo de escurrimiento fue de 374s

I.- RESUMEN

La presente práctica tiene como tema el estudio del tiempo de escurrimiento en un cilindro.

Se pretende desagotar agua de tres tanques cilíndricos verticales , de base plana y

cónicas, mediante un tubo, también vertical, conectado a su fondo, utilizaran tubos de

diferentes diámetros y longitudes .

Los resultados experimentales de los tiempos de escurrimiento se compararon con lo métodos

de cálculo propuestos por, Bird y Crosby , Ocon y Tojo, y por Armijo, obteniéndose

desviaciones promedios del 29.10 %, 17.65 % y 12.1 % para cada método respectivamente..

Se comparará los tiempos de escurrimiento para los tanques de base plana y cónica y a su vez

para los diferentes tubos con diversos diámetros y longitudes, de lo cual se concluye que el

tiempo de escurrimiento e s mayor para cilindros de base cónica y varia en forma directa con

la longitud del tubo e inversamente con el diámetro del mismo.

TABLA DE CONTENIDO

Pag.

o INTRODUCCIÓN........................................................................ 3

o FUNDAMENTOS TEÓRICOS.................................................... 4

o DETALLES EXPERIMENTALES.............................................. 9

o TABULACION DE DATOS Y RESULTADOS......................... 10

o DISCUSIÓN DE RESULTADOS................................................ 20

o CONCLUSIONES........................................................................ 21

o RECOMENDACIONES............................................................... 21

o BIBLIOGRAFÍA.......................................................................... 22

o APENDICE................................................................................... 23

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERIA QUÍMICA

ESCUELA ACADEMICO – PROFESIONAL DE INGENIERIA QUÍMICA

DEPARTAMENTO DE OPERACIONES UNITARIAS

EXPERIMENTO # 2

TIEMPO DE ESCURRIMIENTO

Profesor : Ing. CONDORHUAMAN

Integrantes :

MARIN FLORES, Luis 971202

IBERICO RODRÍGUEZ, Edwin 971189

CARNERO SOLIS, Rossy 971176

HERENCIA ORTEGA, Jose 921528

Fecha de realizada

el experimento : 05 – 09 – 2000

Fecha de entrega

del informe : 18 – 09 – 2000

Setiembre , Ciudad Universitaria, 2000.

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERIA QUÍMICA

ESCUELA ACADEMICO – PROFESIONAL DE INGENIERIA QUÍMICA

DEPARTAMENTO DE OPERACIONES UNITARIAS

EXPERIMENTO # 2

TIEMPO DE ESCURRIMIENTO

Profesor : Ing. CONDORHUAMAN

Integrantes :

..............................................................................................

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Fecha de realizada

el experimento : 05 – 09 – 2000

Fecha de entrega

del informe : 18 – 09 – 2000

Setiembre , Ciudad Universitaria, 2000.

II.- INTRODUCCIÓN

Cuando un depósito en el que se está contenido un líquido se está descargando,

desciende el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá a medida que

va descendiendo el nivel del líquido, y por tanto el tiempo de descarga de un volumen

determinado de líquido, dependerá de aquel nivel.