Tipos de Interes
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3/2/2015 interes http://www.sectormatematica.cl/contenidos/interes1.htm 1/5 Tipos de interés Imagínese la siguiente situación: dos personas A y B invierten al mismo tiempo un capital C, y con una misma tasa de interés i . Al cabo de un año, A retira los intereses producidos por el capital y vuelve a dejar el mismo capital invertido. En el segundo año, vuelve a retirar los intereses y a invertir el mismo capital, etc. Cada año retira los intereses producidos por su capital C durante ese año. En cambio, al cabo del primer año, el individuo B no retira el interés, lo invierte junto al capital anterior durante un año más. Y así sucesivamente. En el primer caso, los intereses producidos son siempre por el mismo capital C. En el segundo caso, el capital varía, aumenta. La siguiente tabla resume la situación: Interés simple y compuesto Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En el ejemplo anterior, el interés de la persona A es un interés simple. Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo. El interés de la persona B en el ejemplo, es un interés compuesto. Fórmula del interés simple El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i: I=C·i ·t donde i está expresado en tanto por uno y t en años. Ejercicio: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Resolución: Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06 I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t El interés es de 6 000 pesos Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Resolución: ? = C·i·t
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TiposdeintersImagneselasiguientesituacin:dospersonasAyBinviertenalmismotiempouncapitalC,yconunamismatasadeintersi.Alcabodeunao,Aretiralosinteresesproducidosporelcapitalyvuelveadejarelmismocapitalinvertido.Enelsegundoao,vuelvearetirarlosinteresesyainvertirelmismocapital,etc.CadaaoretiralosinteresesproducidosporsucapitalCduranteeseao.Encambio,alcabodelprimerao,elindividuoBnoretiraelinters,loinviertejuntoalcapitalanteriorduranteunaoms.Yassucesivamente.Enelprimercaso,losinteresesproducidossonsiempreporelmismocapitalC.Enelsegundocaso,elcapitalvara,aumenta.Lasiguientetablaresumelasituacin:InterssimpleycompuestoInterssimpleeselqueseobtienecuandolosinteresesproducidos,durantetodoeltiempoquedureunainversin,sedebennicamentealcapitalinicial.Enelejemploanterior,elintersdelapersonaAesuninterssimple.Interscompuestoeselqueseobtienecuandoalcapitalselesumanperidicamente(engeneral,losperiodossonanuales)losinteresesproducidos.As,alfinaldecadaperiodo,elcapitalquesetieneeselcapitalanteriormslosinteresesproducidosporesecapitalendichoperiodo.ElintersdelapersonaBenelejemplo,esuninterscompuesto.FrmuladelinterssimpleElintersIqueproduceuncapitalesdirectamenteproporcionalalcapitalinicialC,altiempot,yalatasadeintersi:I=Citdondeiestexpresadoentantoporunoytenaos.Ejercicio:Calcularacuntoasciendeelinterssimpleproducidoporuncapitalde25000pesosinvertidodurante4aosaunatasadel6%anual.Resolucin:Sehadeexpresarel6%entantoporuno,yseobtiene0,06I=250000,064=6000?=CitElintersesde6000pesosCalcularelinterssimpleproducidopor30000pesosdurante90dasaunatasadeintersanualdel5%.Resolucin:
?=Cit
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Alcabodeunao,unbancohaingresadoenunacuentadeahorro,enconceptodeintereses,970pesos.Latasadeintersdeunacuentadeahorroesdel2%.Culeselsaldomedio(capital)dedichacuentaeneseao?Resolucin:
I=?itElsaldomediohasidode48500pesosUnprstamode20000pesosseconviertealcabodeunaoen22400pesos.Culeslatasadeinterscobrada?Resolucin:Losintereseshanascendidoa:2240020000=2400pesosI=C?tAplicandolafrmulaI=Cit
Latasadeintersesdel12%.Uncapitalde300000pesosinvertidoaunatasadeintersdel8%duranteunciertotiempo,hasupuestounosinteresesde12000pesos.Cuntotiempohaestadoinvertido?Resolucin:AplicandolafrmulaI=Cit12000=300000=:0,08tI=Ci?
Eltiempoquehaestadoinvertidoesde0,5aos,esdecir,6meses.FrmuladelinterscompuestoSeaCuncapitalinvertidodurantenaosaunatasaideinterscompuestoporcadaao.DuranteelprimeraoelcapitalCproduceunintersI1=Ci.Elcapitalfinalser:C1=C+Ci=C(1+i)
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Despusdelsegundoao,elcapitalC1produceunintersI2=C(1+i)i=C(i+i2).ElcapitalfinalC2ser:C2=C1+I2=C(1+i)+C(i+i2)=C(i2+2i+1)==C(1+i)2AlcabodenaoselcapitalinicialC,invertidoenlamodalidaddeinterscompuestoseconvertirenuncapitalfinalCn,Cn=C(1+i)nPuestoqueelintersesladiferenciaentreelcapitalfinalyelinicial:I=CnC=C(1+i)nC,ysacandofactorcomnC:
LatasadeintersseobtienedespejandoenlafrmuladeCn:Cn=C(1+i)n
Aunquelafrmuladelinterscompuestosehadeducidoparaunatasadeintersanualdurantenaos,todosiguesiendovlidosilosperiodosdeconversinsonsemestres,trimestres,das,etc.,sinmsqueconvertirstosaaos:Silosperiodosdeconversinsonsemestrales,
Silosperiodosdeconversinsontrimestrales,
Ejercicio:Averiguarenquseconvierteuncapitalde1200000pesosalcabode5aos,yaunatasadeinterscompuestoanualdel8%.Resolucin:AplicandolafrmulaCn=C(1+i)n?=C(1+i)n
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C5=1200000(1+0,08)5=12000001,4693280=1763193,6Elcapitalfinalesde1763194pesos.Unciertocapitalinvertidodurante7aosaunatasadeinterscompuestoanualdel10%sehaconvertidoen1583945pesos.Calcularelcapitalinicial,sabiendoquelosinteresessehanpagadosemestralmente.Resolucin:
Comolosinteresessehanpagadosemestralmente,lafrmulaquesehadeaplicares:
1583945=C(1+0,05)141583945=C1,97993160,ydespejandoC:
Elcapitalinicialfuede800000pesos.Calcularlatasadeinterscompuestoanualquesehaaplicadoauncapitalde1500000pesosparaquealcabode4aossehayaconvertidoen2360279pesos.Resolucin:Cn=2360279C=1500000n=42360279=1500000(1+i)4
1+i=1,1199999i=1,11999991=+0,1199999 0,12Latasadeintershasidodel12%.
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