TIPOS DE VOLUMEN DE CONTROLTeorema del transporte de Reynolds (TTR)Para convertir el anlisis de un sistema en el anlisis de un volumen de control debemos utilizar nuestras matemticas para poder aplicar las leyes bsicas a regiones especficas en lugar de a masas concretas. Examinando estas leyes bsicas, (3.1) a (3.3) y (3.5), vemos que todas se refieren a deri- vadas temporales de propiedades fluidas m, V, H y E. Por tanto, lo que necesitamos es relacionar la derivada temporal de una propiedad del sistema con la variacin de dicha propiedad dentro de una regin concreta.

La frmula de conversin difiere ligeramente segn se trate de volmenes fijos, mviles o deformables. La Figura 3.2 ilustra los tres casos.

Volumen de control fijo unidimensional

El volumen de control seleccionado es la regin de conducto entre la seccin a y la seccin b, que coincide exactamente con el sistema 2 en un instante determinado t. En el instante t + dt, el sistema 2 ha comenzado a salir del volumen de control y una pequea parte del sistema 1 ha entrado por la izquierda. Las reas rayadas muestran un volumen saliente AbVb dt y un volumen entrante AaVa dt.La cantidad total de B en el volumen de control es

La derivada temporal de BVC est definida por la expresin

El primer trmino del segundo miembro es la variacin temporal de B dentro del sistema 2 en el instante en que ocupa el volumen de control. Reagrupando la Ecuacin (3.8) obtenemos la frmula de conversin deseada para relacionar las variaciones de cualquier propiedad B de un sistema concreto en movimiento uni- dimensional con lo que ocurre en el volumen de control fijo que en cierto instante encierra el sistema:

Esta expresin es el teorema del transporte de Reynolds en forma unidimensional y para un volumen de control fijo. Los tres trminos del segundo miembro son, respectivamente:

1. Variacin temporal de B dentro del volumen de control.2. Flujo de B hacia el exterior a travs de la superficie de control.3. Flujo de B hacia el interior a travs de la superficie de control.

Volumen de control fijo arbitrario

Cuando la propiedad B es la masa, la cantidad de movimiento, el momento cintico o la energa tenemos las leyes bsicas en forma de volumen de control o forma integral. Ntese que las tres integrales que aparecen estn relacionadas con la propiedad intensiva . Como el volumen de control est fijo en el espacio, los vo- lmenes elementales d no varan con el tiempo, de forma que la derivada temporal que aparece en el se- gundo miembro se anular a menos que o varen con el tiempo (flujo no estacionario).

Volumen de control movindose a velocidad constante

Si el volumen de control se mueve con velocidad uniforme Vs, como en la Figura 3.2b,

Un observador fijo al volumen de control ver al fluido atravesar la superficie de control con una velocidad relativa Vr, definida por Vr = V VsDonde V es la velocidad del fluido respecto al mismo sistema de referencia para el que la velocidad del volumen de control es V

El teorema del transporte de Reynolds en este caso de movimiento uniforme del volumen de control queda

Volumen de control de forma constante para velocidad variable

Si el volumen de control se mueve con una velocidad Vs(t), pero conservando su forma, los elementos de volumen no cambiarn con el tiempo, aunque la velocidad relativa Vr = V(r, t) Vs(t) queda algo ms complicada. La Ecuacin sigue siendo vlida para este caso, aunque el clculo de la integral puede ser muy laborioso

Volumen de control con deformacin y movimiento arbitrarios

El flujo de volumen a travs de la superficie de control es de nuevo proporcional a la velocidad relativa normal Vr n, como en la Ecuacin (3.15). Sin embargo, como la superficie de control se deforma, con velocidad Vs = Vs(r, t), la velocidad relativa Vr = V(r, t) Vs(r, t) puede ser una funcin complicada, aunque la integral del flujo sea la misma que en la Ecuacin

La derivada temporal debe ser tomada despus de la integracin. Para un volumen de control deformable, el teorema del transporte adopta la forma

La Ecuacin (3.16) del volumen de control mvil y deformable slo contiene dos complicaciones: (1) la derivada temporal de la integral triple debe ser tomada fuera de la integral, y (2) la segunda integral involucra velocidades relativas Vr entre el fluido y la superficie de control