1

- 1 -

La gráfica de la función y = x2 -x +1 intersecta al eje x en:

A) X=1 B) X=0 C) X=-1 D) X=-2 E) No la intersecta

El dominio de la función y = f(x) = 352

13

−

+

x

x es:

A) IR - 2

5−

B) IR - 3

4−

C) IR - 2

3−

D) IR - 2

5

El vértice de la parábola f(x) = x2- 4, esta dada por:

Si una función cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas, entonces una posible gráfica es: (Sin desarrollo)

Si f(x)= x2+1 y g(x) = 2x+2 son funciones reales, entonces el valor de

?)2()2(3

)1()1(=

−+

−+

gg

ff

A) 0 B) 2/9 C) 1/4

2

- 2 -

D) 1/3 E) 4

Dada la función f: IR IR definida por f(x) =

−

+

1

32

x

x

Entonces f(1) + f(-3) =?

A) 0 B) 6 C) 15 D) 12 E) N.A.

Para que las soluciones de la ecuación 12x2 + kx + 3 = 0 sean iguales se debe cumplir:

A) K>12 B) K<12 C) K>-12 D) k<-12 E) k= 12±

Determine la función correspondiente de acuerdo a los datos dados: (5 ptos) De la función y = -3x2 -5x-6, determine:

a) Concavidad (1 pto) b) Nº de intersecciones con el eje x (1 pto) c) Intersecciones con el eje x (2 ptos) d) Intersección con el eje y (1 pto) e) Coordenadas del vértice (3 ptos) f) Dominio y recorrido de la función (2 ptos) g) Bosquejo del gráfico (3 ptos)

Encuentre las soluciones de la expresión: bdx2+adx+ac=-bcx (8 ptos)

La trayectoria de un clavadista está dada por: (6 ptos)

y= 109

24

9

4 2++− xx

Donde y es la altura, en pies, y x es la distancia horizontal desde el extremo del trampolín, en pies. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el clavadista?

Sean A = {1, 3, 5,7}y B = {2, 4, 6}. Sea R: A → B una relación definida por R ={(x,

y)/ y = x +1}. Escribir R por extensión. (4 ptos)

si x ≥ 0 si x < 0

3

- 3 -

Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?

a) 3/7 b) 3/5 c) 5/3 d) 7/3 e) 4/3

Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

R: ______, ______, ______

Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas diarias, con el mismo rendimiento?

a) 4 semanas b) 3,5 semanas c) 5 semanas d) 5,5 semanas e) 6 semanas

La edad de Pedro es el doble de la edad de María. Si en cinco años más la suma de sus edades será 43 años. ¿Qué edad tienen actualmente?

a) María: 10 y Pedro: 20 b) María: 11 y Pedro: 22 c) María: 9 y Pedro: 18 d) María: 12 y Pedro: 24 e) María: 13 y Pedro: 26

En un curso de 45 alumnos, 25 practican básquetbol. ¿Qué fracción representa a los que no practican ese deporte?

a) 4/9 b) 3/7 c) 9/4 d) 5/7 e) 5/9

La suma de dos números es 100 y el doble del mayor equivale al triple del menor. Hallar los números.

a) 80 y 20 b) 60 y 40 c) 25 y 75 d) 70 y 100 e) 10 y 90

El valor de ( )04253 zyx , si x = 2 y = -1 z = 1 a) 96 b) -96 c) -1 d) 1 e) -32

6m )2( 3253 nmn −÷ a) -3mn2 b) -3m2n c) 3mn2 d) 3m2n e) -3mn3

4

- 4 -

3

2

2

1−

−

a =

a) 8a6 b) 8a5

c) 6

2

1a

d) 5

2

1a

e) 6

8

1 −a

44 +44 +44 +44 =

a) 410 b) 210 c) 25 d) 216 e) 416

( ) 213−− =

a) 9

b) 9

1

c) 3

d) 3

1

e) -9

4x : 82x =

a) x2

1

b) x42

1

c) x4

1

d) x22

1

e) x44

1

( ) ( ) ( ) =⋅⋅xxx

401.05.0 a) 2x b) 44 c) 20x d) 23x e) Otro

( ) ( ) ( ) =⋅⋅−−−− 211221 333

a) 3

1

b) 9

5

- 5 -

c) 9

1

d) -3 e) -9

( ) ( ) =++−+ yxyx

baba :

a) ( ) xba

2+

b) ( ) xba

2−+

c) ( ) yba

2−+

d) ( ) yba

2+

e) ( )ba +

Si 12 es el 40% de un número. ¿Cuál es el número? a) 3 b) 30 c) 40 d) 48 e) 300

El número 0,0005 expresado en % es: a) 0,0005% b) 0,5% c) 0,05% d) 5% e) 50%

En una construcción de un edificio se necesitan 300 carpinteros. Si se contratan 240, ¿qué % de vacantes queda por proveer?

a) 5 % b) 20 % c) 25 % d) 60 % e) 80 %

El 10% de P es Q y Q es el 10% de 100. Entonces el valor de P es: a) 1000 b) 1 c) 0,1 d) 10 e) 100

El 25% del 50% de un préstamo es $200.000. Entonces, el préstamo es por a) $1.600.000 b) $800.000 c) $160.000 d) $2.400.000 e) N.A.

Cuatro pares de zapatos valen $ t. Entonces dos docenas de zapatos valen:

a) $ 6t b) $ 3t c) $ t/3 d) $ 3t/8 e) $ (t + 3)

Reducir 4p – q – {– r + [ − p + q – (r – p + 5q) – (r – q)] – p} = a) 5p + 2q + 3r b) 4p + 3q – 3r c) -3p + 2q + 3r d) -5p + 3q – 3r

6

- 6 -

e) 3p - 2q + 3r

Reducir 3x − 2y − 7xy − 12x − 9y + 6xy = a) − 8x − 13y − 4xy b) 9x − 11y − xy c) 4x − 12y − xy d) − 9x − 11y − xy e) − 7x + 12y − xy

155

12:

3

1422

2

+

−

+

−

ab

a

abba

a=

a) ab

a )12(5 +

b) ab

a )25(3 +

c) ab

a

2

)12(5 −

d) b

a

3

)12(7 −

e) b

a )1(5 +

El valor de X en 15(x -1) + 4(x + 3) = 2 (x + 7) a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) 3

Resolver la ecuación ( ) ( )225121 −+=+ xx , encontrar X:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

baa

bx

b

ax 11+=− , despejar X:

a) ba −

1

b) ba +

1

c) a

1

d) ba

a

−

e) ba

b

+

2

( ) ( ) ( ) ( )acbxbcxacxbaxcba ++−++=++−++ , encontrar valor de X:

a) bc/a b) b/a c) c/b d) ab/c e) ca/b

7

- 7 -

2 • 10-4 • 4 • 106 = f) 800 g) 8 h) 80 i) 8 • 1010 j) 0,08

(0,25)-3= a) 16 b) 1/64 c) 64 d) ¼ e) 4

=32

2 2:

3 y

x

y

x

f) 6

xy

g) 23 yx

h) 6

5xy

i) 6

3 yx

j) e) N.A. Resolver aplicando todas las propiedades de potencias:

Ejercicio: Nº 1

Resolución: •Se despeja x en la segunda ecuación: x = 15 + y

• Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:

8

- 8 -

215+y - 42y = 0 (Pero 4 = 22) 215+y - (22)2y = 0 215+y - 24y = 0 ⇒ 215+y = 24y

⇒ ⇒ 15 + y = 4y ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 5 • Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y: x = 15 + 5 = 20 • Por tanto, y = 5 x = 20 Nº 2

Resolución: � Se ponen todos los factores como potencia de base 2:

Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquier método resulta, x = -2; y = 1 Nº 3

Resolución:

• Para obtener los valores de x e y hay que deshacer el cambio:

a = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 b = 16 ⇒ 2y = 16 ⇒ 2y = 24 ⇒ y = 4 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Nº 4

9

- 9 -

Nº 5

Nº 6

422

432

−=

x

x

7

6

67

247

:

22

:exp

222

:

4232

:

247

2425

42

=

=

=−

=

=⋅

=⋅

−

−

−

x

x

x

basesigualando

onenteslossumandoybaselaoconservand

basesigualando

extremoslosdeproductoigualmedioslosdeproducto

x

xx

xx

Nº 7

1554321 25,03225,0:4 +−+−⋅=

xxxx

41

14

1441

183546

22

222:2

2

4

132

4

1:4

183546

21025206422

15

54

32

1

=

=

+−=+

=

⋅=

⋅=

+−+

−−−−−−

+

−

+

−

x

x

xx

baseconigualando

xx

xxxx

x

x

x

x

10

- 10 -

Nº 8

Nº 9

Nº 10

11

- 11 -

Nº 11

Nº 12 Ejercicios de ecuaciones exponenciales resueltos

12

- 12 -

PROBLEMAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Obs. Cada desarrollo cuenta con la formula que representa a los enunciados.

EJEMPLO. LA VIDA MEDIA DEL ESTRONCIO 90, ES DE 25 AÑOS. ESTO SIGNIFICA QUE LA MITAD DE CUALQUIER CANTIDAD DADA DE ESTRONCIO 90 SE DESINTEGRARÁ EN 25 AÑOS. A) SI UNA MUESTRA DE ESTRONCIO 90 TIENE UNA MASA DE 24 mg, ENCUENTRE UNA

EXORESIÓN PARA LA MASA m(t) QUE QUEDA DESPUÉS DE t AÑOS. B) ENCUENTRE LA MASA RESTANTE DESPUÉS DE 40 AÑOS.

SOLUCIÓN:

A) ( )m tt

= •

−

24 2 25

B) ( )m 40 24 2 7 9240

25= • =

−

. mg

EJEMPLO. EN CONDICIONES IDEALES, SE SABE QUE CIERTA POBLACIÓN DE BACTERIAS SE DUPLICA CADA 3 HORAS. SUPONGA QUE PRIMERO HAY 100 BACTERIAS. A) ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DEPUÉS DE 15 HORAS? B) ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DESPUÉS DE t HORAS? C) ESTIME EL TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DESPUÉS DE 20 HORAS

SOLUCIÓN:

A)

( )N

N

N

15 100 2

15 100 2

15 3200

15

3

5

= •

= •

=

( )

( ) BACTERIAS

B) ( )N tt

= •100 23

C) ( )N

N

20 100 2

20 10159

20

3= •

=( ) BACTERIAS

EJEMPLO SI UNA POBLACIÓN DE BACTERIAS COMENZÓ CON 100 Y SE DUPLICA CADA TRES HORAS, LA CANTIDAD DE EJEMPLARES DESPUÉS DE t

HORAS ES ( )N f tt

= = •100 2 3

A) ¿CUÁNDO HABRÁ 50000 EJEMPLARES?

SOLUCIÓN:

13

- 13 -

50000 100 2

50000 100 2

50000 1003

2

350000 100

2

26897

3

3

= •

= •

= +

=−

=

t

t

t

t

t

ln ln

ln ln ln

ln ln

ln

. hrs.

EJEMPLO: EN ENERO DEL 2000 ADQUIRISTE UN AUTO EN $100000. SI CADA AÑO DISMINUYE 13% SU VALOR INICIAL, ¿CUÁNTO VALDRÁ EN EL AÑO 2009?

SOLUCIÓN: ( ) ( )

( ) ( )

( )

v t

v

v

t= •

= •

=

100000 087

9 100000 087

9 4

9

.

.

$28554.

EJEMPLO: SI INVIERTES $1500 EN UNA CUENTA BANCARIA QUE PROPORCIONA 23% DE INTERÉS ANUAL A PLAZO FIJO DE 5 AÑOS. ¿CUÁL ES EL MONTO QUE RECIBIRÁS AL CONCLUIR EL PLAZO DEL DEPÓSITO?

SOLUCIÓN: ( )

( ) ( )

( )

v t i

v

v

t= +

=

=

1500 1

5 1500 123

5 96

5

( )

.

$4222.

EJEMPLO: UN ALMACÉN DE APARATOS ELECTRODOMÉSTICOS LIQUIDA MERCANCÍA DE EXHIBICIÓN CON LIGEROS DETERIOROS, MEDIANTE EL SISTEMA DE REDUCIR CADA AÑO 35% EL PRECIO DE ESTA MERCANCÍA QUE VA QUEDANDO ALMACENADA. SI COMPRAS UN REFRIGERADOR ALMACENADO TRES AÑOS, CON UN PRECIO INICIAL DE $12455, ¿CUÁNTO PAGARÁS POR ÉL?

SOLUCIÓN:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

v t

v t

v

v

t

t

= • −

= •

= •

=

12445 1 0 35

12445 0 65

3 12445 0 65

3 70

3

.

.

.

$3417.

EJEMPLO: SI UN CUARTO DE JUGO DE NARANJA CONTIENE 200 mg DE VITAMINA C Y ÉSTA SE OXIDA A RAZÓN DE 12.5 mg CADA MINUTO, ¿CUÁNTOS mg DE VITAMINA HABRÁ EN EL JUGO SI LO CONSUMES DESPUÉS DE TRANSCURRIDOS 35 MINUTOS DESDE SU ELABORACIÓN? SOLUCIÓN:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

O t

O t

O

O

t

t

= • −

= •

= •

=

200 112 5

200

200 0 9375

35 200 0 9375

35 20 89

35

.

.

.

. mg

14

- 14 -

EJEMPLO: EN UNA CIUDAD, DE 9000 HABITANTES SE ESPARCE UN RUMOR DE MODO QUE CADA HORA SE DUPLICA LA CANTIDAD DE PERSONAS QUE SE ENTERAN DEL MISMO. ¿CUÁNTAS PERSONAS CONOCERÁN EL RUMOR AL CABO DE 12 HORAS? SOLUCIÓN:

( )

( )

( )

N t

N t

N t

t=

=

=

2

2

4096

12

PERSONAS

EJEMPLO: SI DEPOSITAS $100000 EN UNA CUENTA BANCARIA QUE TE PRODUCE INTERESES COMPUESTOS A 15% ANUAL. CALCULA EL SALDO EN TU CUENTA AL CABO DE TRES AÑOS, SI LOS INTERESES SE CAPITALIZAN CONTINUAMENTE.

SOLUCIÓN:

( ) ( )

( ) ( )

( )

v t e

v e

v

t= •

= •

=

100000

3 100000

3 22

0 15

0 15 3

.

.

$156831.

EJEMPLO: ¿CUÁNTO TIEMPO DEBES DEJAR $25000 EN UNA CUENTA QUE CAPITALIZA CONTINUAMENTE INTERESES A 18% ANUAL, PARA OBTENER $50000?

SOLUCIÓN:

50000 25000

50000 25000

50000 25000

50000 25000 018

50000 25000

018

385

0 18

0 18

0 18

= •

= •

= +

= +

=−

=

e

e

e

t e

t

t

t

t

t

.

.

.

ln ln

ln ln ln

ln ln . ln

ln ln

.

.

LÍMITES Nº 1

15

- 15 -

Nº 2

Nº 3

16

- 16 -

Nº 4

Nº 5

Nº 6

Nº 7

17

- 17 -

Nº 8

DERIVADAS HALLAR LAS FUNCIONES DERIVADAS DE: Nº 1

;

2. Evaluar los siguientes límites:

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k. l

m. n. o.

p. q. r.

Otros ejercicios:

18

- 18 -

1) ( )163 2

1+−

→xxlim

x 2) ( )122

+−∞→

xxlimx 3)

( )xxlimx

+−−∞→

33

4)

( )22

2 1

ax

axaxlim

ax −

++−

→ 5) 12

22

2

1 +−

−+

→ xx

xxlimx 6)

−+

+∞→ 2

1

2

1

xxlimx

7) 12

22

2

1 +−

−+

−→ xx

xxlimx 8) 44

12

+−∞→ xxlimx

9) 632 34

4

−+−∞→ xx

xlimx

10) 2

2

0

96

x

xxlimx

+−

→ 11) xx

xlimx 5

252

2

5 −

−

→ 12) xx

xxxlimx 62

22

23

−

+−

∞→

13) 15

24

+

−

∞→ x

xxlimx 14) 12

32

25

−

+−

−∞→ x

xxlimx 15) ax

axlim

ax −

−

→

16) x

xlimx

33

0

−+

→ 17)

( )xxlimx

−+→

3 2

52

18) x

xxlimx

21 +−+

∞→

19) 42

11

2

2

−+

−+

∞→ x

xlimx

20) 1

12

+

+

−∞→ x

xlimx

GUÍA DE DERIVADAS

Calcula mediante fórmulas de der ivadas s iguientes func iones:

1.

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 .

8 .

9 .

10.

11.

19

- 19 -

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Ejercicios complementarios:

1) 323 33

23)( xxxxxf +−+= 2)

3

24 632

2

3

4)(

xx

xxxf +−−+= 3)

3 22

31)(

xxxxxxxf −+=

4) 4 3

42

5

23)(

x

xxxxxf

−= 5)

14

25)(

2−

−=x

xxf 6) ( )173 264 −+= xxy 7) 63 24

+−= xxy

8) ( )312

1

+=

xy