TMM-01 Concepto M†Quina Mecanismo

Mecanismos y Máquinas. Conceptos básicos y esquematización 1-1

Área de Ingeniería Mecánica

Tema 1.

Mecanismos y Máquinas. Conceptos básicos y

esquematización

Contenido Tema 1. .............................................................................................................................................. 1-1

1.1. Máquina y Mecanismo ................................................................................................................. 1-2 1.2. Algunos mecanismos básicos y clasificaciones ............................................................................ 1-3

1.2.1. Mecanismos clasificados según los movimientos que transforman ...................................... 1-3 1.2.2. Breve descripción de algunos mecanismos de uso muy extendido. ..................................... 1-5 1.2.3. Mecanismos planos y espaciales ........................................................................................... 1-8 1.2.4. Clasificación de los mecanismos según el movimiento de sus eslabones ............................ 1-8

1.3. Eslabón, barra o elemento ............................................................................................................ 1-9 1.4. Par cinemático ............................................................................................................................ 1-11 1.5. Cadenas cinemáticas ................................................................................................................... 1-14 1.6. Movilidad de un mecanismo. Criterio de Kutzbach ................................................................... 1-15

1.6.1. Definición de movilidad y criterio de Kutzbach ................................................................. 1-15 1.6.2. Ejemplos y casos de interés para la determinación de la movilidad ................................... 1-16 1.6.3. Excepciones al criterio de movilidad de Kutzbach ............................................................. 1-18

1.7. Esquematización de mecanismos ............................................................................................... 1-19 1.8. Inversión cinemática ................................................................................................................... 1-21 1.9. Problemas resueltos .................................................................................................................... 1-27 1.10. Problemas propuestos ................................................................................................................. 1-29

Para ampliar: • Robert L. Norton. Diseño de maquinaria. Segunda edición, McGraw-Hill, México, 2000.

• Arthur G. Erdman y George N. Sandor. Diseño de mecanismos: análisis y síntesis. Tercera

edición. Prentice Hall, México, 1998.

• Alfonso Hernández. Cinemática de mecanismos: análisis y diseño. Editorial Síntesis, España,

2004.

• Pintado Sanjuán, Publio. Teoría de Máquinas. Universidad de Castilla La Mancha, 2002.

1-2 Teoría de Máquinas y Mecanismos BT1. Introducción

UNIVERSIDAD DE OVIEDO

1.1. Máquina y Mecanismo

Franz Reuleaux (1829-1905), ingeniero mecánico alemán pionero en el estudio sistemático de las

máquinas y mecanismos, definió una máquina como una “combinación de cuerpos resistentes de tal

manera que, por medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar

un trabajo acompañado de movimientos determinados”.

Un mecanismo se puede definir como “un conjunto de cuerpos resistentes, conectados entre sí de

modo que pueden moverse unos con respecto a otros, y cuya finalidad es transformar el movimiento de

uno de ellos (la entrada) en otro que tenga unas características determinadas (la salida)”. Como

componentes de las máquinas que son, transmiten fuerza y potencia de un eslabón a otro a través de los

pares cinemáticos. En la Figura 1.1se esquematizan las ideas antes expresadas.

Para entender mejor cada concepto, podemos pensar en qué entendemos por estructura: una

combinación de cuerpos (rígidos) resistentes conectados por medio de articulaciones, pero cuyo propósito

no es efectuar un trabajo ni transformar el movimiento. Una estructura tiene por objeto ser rígida; tal vez

pueda moverse de un lado para otro y en este sentido es móvil, pero carece de movilidad interna (no tiene

movimientos relativos entre sus miembros, mientras que tanto las máquinas como los mecanismos los

tienen). De hecho, el propósito real de una máquina o un mecanismo es aprovechar estos movimientos

internos relativos para transmitir potencia o transformar el movimiento.

Una máquina difiere de un mecanismo en su propósito. En una máquina, los términos fuerza,

momento de torsión (o par motor), trabajo y potencia describen los efectos predominantes. En general

diremos que máquina es un elemento que se interpone entre lo que es la energía y el trabajo, es decir un

medio de producción que aprovecha las fuerzas de la naturaleza para el bienestar de la sociedad, aliviar la

labor de los usuarios y aumentar la productividad del trabajo. Sin embargo, en un mecanismo, el

concepto predominante que tiene presente el diseñador es lograr el movimiento deseado.

Figura 1.1. Esquema de una máquina

TRABAJO ÚTIL

CINEMÁTICA

(Análisis de las fuerzas transmitidas)

(Análisis del movimiento)

MÁQUINA

FUERZAS

SÍNTESIS DISEÑO

CONJUNTO DE MECANISMOS

Elementos RÍGIDOS RESISTENTES

unidos por PARES CINEMÁTICOS

que realizan mvtos. DETERMINADOS

DINÁMICA

(Dimensionamiento) (Resistencia a las fuerzas)



Ejemplos de máquinas:

Un motor de combustión interna transforma la energía de presión del gas en trabajo mecánico

entregándolo en el cigüeñal. Esta máquina por consiguiente transforma un tipo de energía en otro.

Un torno es una máquina herramienta que recibe la energía de un motor eléctrico y la emplea en

sacar viruta de una pieza a la que se le ha de dar determinada forma.

Desde un punto de vista más práctico puede interpretarse que una máquina está constituida por una

serie de mecanismos que en conjunto le confieren a la máquina el propósito para el que fue creada (Figura

1.2).

De una forma genérica, los cuerpos que conforman el mecanismo se denominan eslabones. Uno de

los eslabones ha de ser considerado como fijo, recibiendo el nombre de soporte o bastidor, y las

conexiones entre eslabones recibirán el nombre de par cinemático o articulación.

Máquina Mecanismos

Figura 1.2. Ejemplo de máquina con algunos de sus mecanismos constituyentes

1.2. Algunos mecanismos básicos y clasificaciones

1.2.1. Mecanismos clasificados según los movimientos que transforman

Básicamente, con un mecanismo se pueden conseguir tres tipos de transformaciones de movimiento:

Rotación Rotación. Ejemplos: engranajes, ruedas de fricción, correas, cadenas y cables,

junta de Cardan, junta de Oldham, cuadriláteros articulados, acoplamientos y embragues,

levas con seguidor rotatorio,….

Rotación Traslación o viceversa. Ejemplos: Tornillos, manivela corredera, levas con

seguidor en traslación, piñón-cremallera, ….

Traslación Traslación. Ejemplos: Levas de cuña con seguidor en traslación, Poleas, ...

En las tablas siguientes se ilustran ejemplos.



Figura 1.3. Ejemplos de mecanismos básicos clasificados según los movimientos que transforman

1.2.2. Breve descripción de algunos mecanismos de uso muy extendido.

Mecanismo de leva. Está formado por dos piezas móviles que se encuentran en contacto directo. La

pieza impulsora (leva) tiene la forma precisa para que el movimiento de la pieza conducida (seguidor)

posea unas características que se pueden definir de antemano. Se trata de un mecanismo muy versátil, ya

que permite resolver problemas muy diversos de transformación de un tipo de movimiento en otro. Por

ejemplo, en la Figura 1.4.a la rotación de la leva de cara plana genera una traslación del seguidor, que

dependerá del perfil que tenga la leva; mientras que en la Figura 1.4.b, la leva le comunica al seguidor

otro movimiento de rotación oscilatorio. Nótese que en este caso el contacto entre los dos eslabones se

realiza a través de una pequeña rueda, que tiene por misión minimizar el efecto del rozamiento.



a) seguidor en traslación b) seguidor oscilante de rodillo

Figura 1.4. Leva de cara plana con seguidor

La leva también puede tener movimiento de traslación, que originará otra traslación en el seguidor

(Figura 1.5.a) o una rotación oscilatoria (Figura 1.5.b).

a) seguidor en traslación b) seguidor oscilante de rodillo

Figura 1.5. Leva de cuña con seguidor

Mecanismo de correa y poleas. Se utiliza para transmitir un movimiento de rotación entre ejes, que

pueden estar separados una distancia considerable. Está formado por dos discos (poleas) unidos a los ejes

y enlazados por una correa que los abraza y que ha de mantenerse tensa, con el fin de que el rozamiento

evite su deslizamiento sobre el borde de las poleas.

Cadena y rueda dentada. La capacidad de transmisión del mecanismo de correa y poleas se ve

limitada por la posibilidad de deslizamiento de la correa sobre los bordes de las poleas (aunque se pueden

transmitir potencias más elevadas usando correas trapeciales o correas dentadas). Cuando entran en juego

potencias elevadas se puede recurrir al conjunto de ruedas dentadas y cadena, en los que el papel del

rozamiento se sustituye por el empuje entre los dientes de las ruedas y los eslabones de la cadena.

Figura 1.6. Transmisión por correa y por cadena

Ruedas de fricción. Como los dos anteriores, se utilizan para transmitir movimiento de rotación,

aunque limitándose a potencias pequeñas. Es un mecanismo muy simple, formado por dos discos

solidarios a los ejes giratorios, que se presionan uno contra el otro para que el rozamiento generado al

ponerse en movimiento el eje conductor arrastre al conducido (Figura 1.7).



Engranajes. (Figura 1.8) Si en una pareja de ruedas de fricción la rueda conducida encuentra una

resistencia considerable a su giro, puede ocurrir que la conductora no pueda arrastrarla y patine,

imposibilitándose la transmisión del movimiento. Este problema se evita con las ruedas dentadas o

engranajes, en los que es el empuje entre los dientes el que provoca el giro de la rueda conducida, por lo

que el fallo en la transmisión sólo se puede producir por rotura o deterioro grave de los dientes.

Figura 1.7. Ruedas de fricción

Figura 1.8. Transmisión por engranajes

Mecanismos articulados. Este nombre genérico incluye un grupo amplio de mecanismos cuyas

piezas se conectan entre sí mediante articulaciones, pares prismáticos o semijuntas. Con ellos se puede

transformar un movimiento de traslación en otro (mecanismo de doble corredera, Figura 1.9.a), una

rotación en otra (cuadrilátero articulado, Figura 1.9.b) y una rotación en traslación o viceversa

(mecanismo de manivela-corredera, Figura 1.9.c). Además, con el cuadrilátero articulado se puede

conseguir que un punto de la barra de acoplamiento AB describa una trayectoria predeterminada, o que la

propia barra pase por unas posiciones definidas previamente.

Figura 1.9. Mecanismos articulados

Junta Cardan. Se trata de un mecanismo espacial que permite transmitir un movimiento de rotación

desde un eje a otro que forme un ángulo cualquiera con él. Está formado por tres piezas: dos horquillas

unidas solidariamente a los extremos de los ejes y una cruceta, los extremos de cuyos brazos encajan en

los de las horquillas.



Figura 1.10. Junta Cardan

1.2.3. Mecanismos planos y espaciales

Mecanismo espacial es aquél que tiene algún punto cuyo movimiento no está restringido a un plano.

Un ejemplo es la junta Cardan.

Mecanismo plano, es aquél en el que todos los puntos de los eslabones se mueven en un plano, o en

planos paralelos. En este tipo encajan la gran mayoría de los mecanismos, y de este tipo serán los

mecanismos que se estudien en esta asignatura.

Figura 1.11. Ejemplo de mecanismo plano: grúa portuaria de 35 Tm (Puerto de el Musel)

1.2.4. Clasificación de los mecanismos según el movimiento de sus eslabones

Muchos mecanismos tienen movimiento cíclico, lo cual quiere decir que el mecanismo vuelve a su

posición original después de recorrer un “ciclo”. En un ciclo, el mecanismo recorre infinitas posiciones

intermedias. Cada una de estas posiciones es una “fase” del movimiento.

Analizando cómo se mueven los eslabones que componen el mecanismo, podemos distinguir entre:

Mecanismo alternativo: Cuando un eslabón del mecanismo se detiene e invierte el sentido de

su movimiento dentro del ciclo. Ejemplos: mecanismo manivela corredera, mecanismo de Yugo

escocés (Figura 1.12.a), …

Mecanismo continuo: Cuando no hay ningún eslabón que realice alguna parada a lo largo del

ciclo cinemático del mecanismo. Ejemplo: mecanismo de engranajes (Figura 1.12.b),

mecanismos de correa y poleas, …



a) b)

Figura 1.12. (a) Mecanismo alternativo de Yugo escocés o mecanismo generador de armónicos;

(b) Mecanismo continuo de engranajes

Mecanismo intermitente: Cuando un eslabón realiza una o más paradas a lo largo del ciclo, sin

cambiar el sentido del movimiento. Ejemplo: Mecanismo de cruz de Malta (Figura 1.13).

Figura 1.13. Mecanismo intermitente de cruz de Malta o mecanismo de Ginebra aplicado a una

máquina moldeadora de tejas

1.3. Eslabón, barra o elemento

Eslabón, barra o elemento es el nombre genérico que se da a las piezas de una máquina o

mecanismo. Para nuestro estudio, su característica fundamental es la de ser un sólido rígido.

Un sólido rígido se define como un sistema continuo de partículas cuya forma y dimensiones se

mantienen inalterables con el tiempo. La suposición de rigidez indica que no puede haber cambio de

distancia entre dos puntos arbitrariamente seleccionados de un mismo eslabón.

Cuando un elemento no se adapta a esa hipótesis de rigidez (por ejemplo, un resorte) no tienen

normalmente efecto alguno sobre la cinemática del sistema, (aunque sí sobre las fuerzas presentes en el

mismo). En tal caso, estos elementos no reciben el nombre de eslabones y se suelen ignorar durante el

análisis cinemático (aunque no durante el análisis dinámico).

Puede ocurrir que un elemento posea rigidez unilateral - una correa, una cuerda o una cadena -, en

cuyo caso se considera eslabón en la tracción – que es cuando presentan rigidez -, pero no en la

compresión.

En base a la hipótesis de rigidez, todo conjunto de piezas unidas rígidamente entre sí, sin

movimiento posible entre ellas, es un eslabón (Figura 1.14). Y como resultado de esta hipótesis, muchos



de los detalles complicados que presentan las formas reales de las piezas de una máquina o mecanismo

carecen de importancia cuando se estudia su cinemática; de hecho, la función cinemática de un eslabón

es mantener una relación geométrica fija entre los pares cinemáticos. Por esta razón, una de las

prácticas más comunes es trazar diagramas esquemáticos muy simplificados que contengan las

características más importantes de la forma de cada eslabón, pero en los que se reduce casi al mínimo la

geometría real de las piezas fabricadas. Estas representaciones simplificadas son de gran utilidad porque

eliminan factores que tienden a generar confusiones; no obstante, tienen también la desventaja de que

muestran una semejanza muy limitada con el elemento real, por lo que pueden dar la impresión de que

representan sólo construcciones académicas y no maquinarias reales.

Piezas Eslabón Esquema

Figura 1.14. Eslabón único formado por varias piezas que irán unidas rígidamente

Un eslabón ha de tener al menos dos nodos, o pares cinemáticos y en base al número de nodos

hablaremos de eslabones binarios, ternarios, … (Figura 1.15).

Figura 1.15. Clasificación de los eslabones en función del número de pares cinemáticos.

Finalmente indicar que los eslabones pueden tener un nombre específico en función del movimiento

que realicen:

Manivela: elemento con movimiento de rotación completo de 360° alrededor de un eje fijo.

Balancín (u oscilador): igual que el anterior, pero en un ángulo menor de 360° (sin dar, por

tanto, vueltas completas).

Biela (o acoplador): elemento sin un eje de rotación fijo, es decir, no tiene ningún enlace

con el eslabón fijo.

Corredera: elemento que desliza con respecto a otro elemento llamado guía (fija o móvil).



1.4. Par cinemático

Un par cinemático (o junta, o par de enlace) es la conexión entre dos o más eslabones, que

determinará el movimiento relativo posible entre los eslabones conectados. Ese movimiento posible se

puede visualizar fijando uno de los eslabones que forma el par y moviendo el otro eslabón. Los grados de

libertad (GDL) del par cinemático son el número de movimientos posibles que este eslabón pueda

hacer respecto al fijado. De hecho, la única función cinemática de un par cinemático es determinar el

movimiento relativo entre los eslabones conectados.

Los movimientos que queden impedidos por el par cinemático son las restricciones del par, que

provocarán fuerzas de acción y reacción en el par cinemático.

Atendiendo a la superficie de contacto entre los eslabones que forman el par, Releaux clasificó los

pares cinemáticos en:

Inferiores o de contacto superficial entre los eslabones que forman el par cinemático

(Figura 1.16): (Ventaja: Su mejor capacidad de retener el lubricante).

Figura 1.16. Pares inferiores o de contacto superficial.

Superiores o de contacto lineal o puntual: semijuntas, engranajes, rueda y raíl, leva y

seguidor, bola rodando sobre una superficie, etc..

Figura 1.17. Pares superiores o de contacto puntual.

par de revolución (R) par prismático (P) tornillo par cilíndrico par esférico (rótula) par plano



También se pueden clasificar los pares cinemáticos atendiendo a sus GDL. El movimiento relativo

que se establece entre los eslabones que forman el par, precisará del establecimiento de alguna variable (o

algunas variables) que permita medir o calcular dicho movimiento. Se tendrán tantas variables como GDL

tenga la articulación en cuestión y se denominarán “variables del par”.

Para mecanismos planos, los pares cinemáticos más utilizados son:

Par giratorio, de rotación o articulación de

pasador. En esencia, se consigue practicando

sendos agujeros en los eslabones y para

conectarlos mediante un pasador cilíndrico, el cual

impedirá que las dos piezas se separen,

permitiendo solamente el giro de un eslabón

respecto al otro. (Figura 1.18). Tiene por tanto 1

GDL (el giro), ya que conociendo el ángulo (la

variable del par) medido entre rectas de referencia

fijas a los eslabones adyacentes, queda definida la

posición relativa de las dos piezas.

Par prismático o deslizante. Uno de los eslabones

puede deslizar a lo largo del otro, (Figura 1.19). La

pieza deslizante se conoce genéricamente como

corredera, mientras que la otra es la guía. El par

prismático también es de 1 GDL, ya que sólo

permite el deslizamiento de un eslabón respecto

del otro, y la distancia x es la variable del par, ya

que permite ubicar a la pieza deslizante en relación

a la guía.

Semijunta. En el par prismático la corredera no

puede girar con respecto a la guía, manteniendo

ambos siempre la misma orientación. La semijunta

está formada por una guía por la que se mueve un

pasador cilíndrico ligado al otro eslabón. Como el

pasador puede deslizar y girar con respecto a la

guía, éste es un par de 2 GDL y las variables del

par serán dos: el desplazamiento x y el ángulo .

(Figura 1.20).

Par superior de contacto lineal o puntual entre

eslabones, que puede realizarse en rodadura pura,

en deslizamiento puro, o con rodadura y

deslizamiento.

La rodadura es la rotación alrededor de un eje

perpendicular al plano del movimiento que pasa

por el punto de contacto, de modo que un punto de

la superficie del eslabón que rueda entra en

contacto solamente con un punto de la superficie

del otro eslabón (los arcos girados en ambos

eslabones deben ser iguales). La variable que

define este movimiento es el ángulo girado , y

por ello es de 1 GDL.

El deslizamiento es el desplazamiento según un eje

contenido en el plano del movimiento, tangente a

ambas superficies en contacto, de modo que sólo

un punto de la superficie del eslabón que desliza

Figura 1.18. Par de rotación (par R) (1 GDL)

Figura 1.19. Par prismático (par P) (1 GDL)

Figura 1.20. Semijunta (2 GDL)

Rodadura

Deslizamiento

Figura 1.21. Par superior (1 ó 2GDL)

x



entra en contacto con los puntos de la superficie del otro eslabón. La variable que define este

movimiento es el desplazamiento x, y por ello es de 1 GDL.

Si hay rodadura y deslizamiento, necesita de dos variables (el desplazamiento x y el ángulo de

giro) para conocer la posición relativa de las piezas, por lo que tiene 2 GDL.

El problema estriba en distinguir cuándo en el contacto de par superior, hay rodadura sólo (1 GDL) o

rodadura + deslizamiento (2 GDL). Más adelante, al profundizar en la cinemática, se proporcionarán

más criterios para discernir, pero de momento estableceremos uno de ellos: “para que haya rodadura

pura, el punto de contacto ha de estar situado en la línea que une los centros de rotación de los

eslabones en contacto”. Aplicando este criterio, puede deducirse que el contacto entre engranajes o

entre una leva con un seguidor de cara plana (Figura 1.17) es de 2 GDL, ya que el punto de contacto

no está en la línea de centros.

La tabla siguiente resume los pares cinemáticos posibles en mecanismos de todo tipo, clasificados

por tipos en función de los grados de libertad, donde se puede observar con flechitas, cuáles son los

grados de libertad permitidos:

Al hacer la estimación de los grados de libertad de un par ha de cuidarse que las variables elegidas

sean independientes. Como muestra, considérese el par formado por un tornillo y su tuerca (conocido

como par helicoidal). Aparentemente es de dos grados de libertad, ya que el tornillo gira con respecto a la

tuerca (lo que implica una variable ) y también se desplaza (una segunda variable x). Si embargo, no son

independientes, ya que el paso de rosca (distancia que avanza el tornillo por cada vuelta girada) permite

calcular una de ellas cuando se conoce la otra; por tanto, este par sólo tiene un grado de libertad.



Finalmente, se establece una clasificación de los pares cinemáticos por el tipo de cierre, entendido

como el sistema empleado para mantener unidos a los dos eslabones. Desde este punto de vista se tiene:

El cierre de forma: es la forma de las piezas la

que garantiza que no puedan separarse (por

ejemplo, el par de deslizamiento de la Figura

1.19).

El cierre de fuerza: como su nombre indica,

los eslabones se mantienen unidos por la acción

de una fuerza exterior, por ejemplo, el propio

peso o la acción de un resorte. Es la forma

típica de asegurar el contacto de levas con su

seguidor y de ruedas de fricción, por ejemplo.

En la Figura 1.22 se muestra una aplicación,

donde el tarado del resorte es fundamental para

evitar el despegue del seguidor cuando la leva

gira.

El cierre de cadena: para las transmisiones por

correa o por cadena. El ramal tenso es un

eslabón; no así el flojo (no rígido).

1.5. Cadenas cinemáticas

Cadena cinemática es un conjunto de eslabones

conectados entre sí mediante pares que permiten el

movimiento relativo entre ellos. Por ejemplo, en la

Figura 1.23 se muestra una cadena cinemática de cuatro

eslabones, tres pares de rotación (1-2, 2-3 y 4-4) y uno

prismático (4-1).

Las cadenas cinemáticas pueden ser:

Cerradas: si cada eslabón se conecta, por lo

menos a otros dos; en tal caso la cadena forma

uno o más circuitos cerrados.

Abiertas: aquellas en las que hay al menos un

eslabón que tiene un solo par cinemático (por

ejemplo manipuladores de robots, Figura

1.23.b).

Cuando se fija uno de los eslabones de una cadena

cinemática, convirtiéndolo en soporte, ésta se

convierte en un mecanismo.

Como se puede observar se usa el término cadena cinemática para especificar una disposición

particular de eslabones y pares cinemáticos, cuando no se ha especificado qué eslabón se usará como

marco de referencia. Sin embargo, una vez señalado el eslabón de referencia, la cadena cinemática se

convierte en un mecanismo. Es práctica común identificar a los eslabones mediante números, reservando

el número 1 para el fijo.

Figura 1.22. Cierre de fuerza leva - seguidor

a) Cadena cinemática cerrada

b) Cadena cinemática abierta

Figura 1.23.



1.6. Movilidad de un mecanismo. Criterio de Kutzbach

1.6.1. Definición de movilidad y criterio de Kutzbach

La movilidad es determinar los grados de libertad de un mecanismo. El concepto de grados de

libertad se puede ampliar a un mecanismo en su conjunto, definiéndose entonces como el número mínimo

de parámetros o variables independientes que son necesarios para llevar el mecanismo a una posición

particular. Esas variables independientes serán controladas mediante actuadores, que pueden ser de uno

de estos tipos:

Actuadores Rotatorios. Los más comunes son los motores (eléctricos, hidráulicos, neumáticos,

..), pero también manualmente mediante una manivela o una palanca.

Actuadores lineales. Los cilindros hidráulicos o neumáticos son de esta clase.

Conociendo la movilidad de un mecanismo, podemos conocer cuántos actuadores necesita para

poder controlarlo completamente.

Salvo ciertas excepciones, es posible determinar la movilidad de un mecanismo directamente a

través del recuento del nº de eslabones y del nº y tipo de pares cinemáticos presentes. Antes de conectarse

entre sí, cada eslabón de un mecanismo plano tiene 3 GDL de movimiento en el plano. Por consiguiente,

un mecanismo plano de n eslabones, en el que uno de ellos es fijo, posee 3(n-1) GDL antes de conectar

cualquiera de los pares o articulaciones (el fijo tiene 0 GDL). Al conectar un par con 1 GDL - por ejemplo

un par de revoluta (o articulación de pasador) – se tiene el efecto de introducir dos restricciones entre los

eslabones conectados (2p1). Si se conecta un par con 2 GDL, se introduce una restricción (1p2). Cuando

las restricciones de todos los pares se restan del total del GDL de los eslabones no conectados, se obtiene

la movilidad resultante del mecanismo conectado.

Por tanto la movilidad (m) de un mecanismo plano viene dada por la siguiente expresión:

( 1.1) m = 3(n - 1) - 2p1 - p2

Siendo:

n el número de eslabones (incluido el soporte).

p1 el número de pares con un grado de libertad.

p2 el de pares con dos grados de libertad.

Esta expresión es conocida como criterio de Kutzbach.

Si m > 0, el mecanismo posee “m” GDL. Si m = 1, el mecanismo se puede impulsar con sólo

un movimiento de entrada y si m = 2, entonces se necesitan dos movimientos de entrada

independientes para producir un movimiento específico del mecanismo.

Si m = 0, el movimiento es imposible y el mecanismo forma una estructura.

Si m < 0, entonces hay restricciones redundantes en la cadena y forma una estructura

estáticamente indeterminada.

Existe otro criterio - anterior a este - que lleva el nombre de criterio de Grübler aplicable a

mecanismos con articulaciones de 1 solo GDL (p2=0) en los que la movilidad del mecanismo es 1 (m=1).

Al sustituir p2 = 0 y m = 1 en la ecuación ( 1.1), se obtiene el criterio de Grübler para mecanismos planos:

( 1.2) 1 = 3(n-1) – 2p1 3n - 2p1 - 4 = 0

Esto permite ver, por ejemplo, que un mecanismo plano con movilidad 1 y que sólo tiene pares de 1

GDL, no puede tener un número impar de eslabones.



Para el caso de mecanismos espaciales, bastaría con recordar que cada eslabón posee, en principio,

6 GDL en el espacio, y que un par de 1GDL introduce 5 restricciones, que un par de 2 GDL introduce 4

restricciones, y así sucesivamente, con lo que resultaría una expresión como la siguiente:

( 1.3) m = 6(n-1) - 5p1 - 4p2 - 3p3 - 2p4 – p5

1.6.2. Ejemplos y casos de interés para la determinación de la movilidad

Figura 1.24.

Veamos cómo se aplicaría el criterio de Kutzbach al mecanismo de la Figura 1.24:

Número de eslabones n = 4 (el soporte y las tres barras móviles)

Pares cinemáticos de un grado de libertad p1 = 4 (las articulaciones de pasador O2, O4, A y B).

Pares de dos grados de libertad p2= 0

m = 3(4 – 1) – 2 . 4 = 1

Otros ejemplos son:

(j1 y j2 equivalen a p1 y p2 respectivamente)

Figura 1.25. Ejemplos de determinación de movilidad

Casos de Juntas múltiples

El mecanismo esquematizado en la Figura 1.26, es un mecanismo de 6 eslabones, conectados mediante

articulaciones de pasador y pares prismáticos, todos ellos de un grado de libertad. Es importante notar la

existencia de una junta múltiple, que conexiona a más de dos eslabones, (la articulación que une las barras

2, 3 y 4). Al estimar el valor de p1 deberá tenerse en cuenta que las articulaciones múltiples aportarán un

número de pares igual al de eslabones menos uno; es decir, si la junta enlaza 3 eslabones, como es el caso,

contará como p1 = 2 (obsérvese cómo hay enlace entre 2 y 3 y entre 2 y 4, pero no hay enlace entre 3 y 4).

De este modo tenemos p1 = 7 (2-1, 2-3, 2-4, 3-6, 4-5, 5-1 y 6-1). Por tanto:

m = 3(6 - 1) - 2 . 7 = 1



2

3 4

2

3-4 no enlazan

Figura 1.26. Mecanismo con junta múltiple

Casos de pares superiores

Si en el mecanismo existe algún par de contacto lineal o puntual - par superior - (ruedas y rodillos,

levas, engranajes,…). En este caso, deberá tenerse en cuenta que, si la rodadura va acompañada de

deslizamiento, el par será de dos grados de libertad y deberá incluirse en p2, pero si es de rodadura o

deslizamiento puro sólo habrá un grado de libertad y se anotará en p1. Así, en el caso de la Figura 1.27.b,

sale movilidad 2 porque además de controlar el ángulo de giro del eslabón manivela, hay que controlar

también el giro de la rueda, al deslizar ésta, para que todo el mecanismo quede controlado. Sin embargo,

en la Figura 1.27.c, como la rueda sólo tiene rodadura, su ángulo de giro no es necesario controlarlo, está

relacionado con el desplazamiento de la rueda y éste queda definido para cada valor del ángulo del

eslabón manivela, y por ello su movilidad es 1.

Figura 1.27. Determinación de movilidad con pares superiores

Alteración de pares cinemáticos

En un mecanismo, es posible sustituir un par cinemático de 2 GDL por dos pares cinemáticos de

1GDL más un eslabón, y viceversa, sin que su movimiento se vea alterado (Figura 1.28).

Figura 1.28. Ejemplo de alteración de pares cinemáticos

n=4, j1=4,

j2=0, m=1

(c) rodadura pura rodadura y deslizamiento rodadura y deslizamiento

Alterac de pares.wm2d



Como ejemplo podemos considerar

el estudio de la movilidad de la

plataforma elevadora de la Figura 1.29,

que puede calcularse de dos maneras:

1) Considerando las ruedas 5 y 6

como eslabones en rodadura:

n=6; p1=7 (pares de rotación 2-

1, 2-3, 2-6, 3-4, 3-5, y pares de

rodadura 4-6 y 5-1); p2=0. Por

tanto: m = 3(6 - 1) - 2 . 7 = 1.

2) Considerando que las ruedas 5 y 6 no son eslabones, o dicho de otra manera, realizando una

alteración de pares: n=4; p1=3 (pares de rotación 2-1, 2-3, y 3-4), y p

2=2 (el movimiento de 2

respecto a 4 en D y el de 3 respecto a 1 en B es de 2 GDL). Por tanto: m = 3(4 - 1) – 2 . 3 – 2 =

1.

1.6.3. Excepciones al criterio de movilidad de Kutzbach

Hay casos en los que el criterio de Kutzbach conduce a un resultado incorrecto debido a que en su

desarrollo no se ha hecho consideración alguna respecto a las longitudes de los eslabones u otras

propiedades dimensionales. Así, no es sorprendente encontrar excepciones a este criterio en casos

particulares con longitudes equivalentes de los eslabones, eslabones paralelos u otras características

geométricas especiales. Veamos dos ejemplos:

a) El mecanismo de ruedas de fricción de la Figura 1.30

tiene claramente un grado de libertad, ya que, conocido el

ángulo girado por la rueda motriz, se puede averiguar el que

giró la conducida (siempre y cuando no exista deslizamiento

entre ellas). Si se utiliza el criterio de Kutzbach para

averiguar su movilidad se comprobará que nos engaña

miserablemente, ya que dice que su movilidad es cero.

b) Los mecanismos de la Figura 1.31 son esencialmente

iguales, ya que sólo difieren en las dimensiones de los

eslabones. Al utilizar Kutzbach deducimos que ambos tienen

movilidad cero, (n=5, p1=6, p2=0; m=0), lo que en el caso

(a) es cierto, ya que el mecanismo no puede cambiar de

forma, como se puede comprobar intentando representarlo en

una nueva posición. Sin embargo, el mecanismo (b), que es un doble paralelogramo desfasado, sí puede

moverse, debido a que todas las barras tienen la misma longitud.

(a) (b)

Figura 1.31. Excepción al criterio de movilidad

Figura 1.29. Plataforma elevadora de tijera

m = 3(3-1)-2.3 = 0

Figura 1.30. Excepción al criterio de

movilidad de un mecanismo de ruedas de

fricción



Sin embargo, aunque el criterio tenga excepciones, sigue siendo muy útil gracias a su sencilla

aplicación. Para evitar esas excepciones, sería preciso incluir todas las propiedades dimensionales del

mecanismo y ello aumentaría la complejidad del criterio e impediría su aplicación en las etapas iniciales

del diseño, cuando todavía se desconocen las dimensiones.

1.7. Esquematización de mecanismos

Como resultado de la hipótesis de rigidez de un eslabón, muchos de los detalles complicados que

presentan las formas reales de las piezas de una máquina o mecanismo carecen de importancia cuando se

estudia su cinemática. Por esta razón, una de las prácticas más comunes es trazar diagramas esquemáticos

simplificados con las características más importantes de la forma de cada eslabón, pero en los que se

reduce casi al mínimo la geometría real de las piezas fabricadas. Estas representaciones simplificadas son

de gran utilidad porque eliminan factores que tienden a generar confusiones; no obstante, tienen también

la desventaja de que muestran una semejanza muy limitada con el elemento real, por lo que pueden dar la

impresión de que representan sólo construcciones académicas y no maquinarias reales.

Lo importante para dibujar un esquema cinemático son las posiciones y distancias entre los pares

cinemáticos, y el tipo de par presente. Se indican a continuación algunos de los símbolos utilizados en la

esquematización de mecanismos planos:

Soporte

Articulación de rotación

Par prismático de traslación

Eslabón con dos articulaciones de

rotación en los extremos

Articulación al soporte

Par prismático con el soporte

Articulación de rotación intermedia

La esquematización de mecanismos permite también descubrir cómo mecanismos que en la realidad

parecen muy diferentes entre sí, en realidad son el mismo mecanismo, de modo que su estudio

cinemático sería idéntico.

Como muestra dos ejemplos:

1) El motor de explosión y una sierra mecánica de taller son en esencia el mismo mecanismo: el

mecanismo manivela corredera (Figura 1.32).



Motor de explosión Sierra mecánica Mecanismo manivela corredera

Figura 1.32. Mecanismo manivela corredera, común al motor de explosión y a la sierra mecánica

2) Una cuchara hidráulica de descarga de graneles tiene el mismo mecanismo que un paraguas

(Figura 1.33) y como se ve, es también un mecanismo manivela corredera como el del motor de

explosión, sólo que aquí la manivela no da vueltas completas, ya que es la cuchara y es la varilla

que soporta la tela del paraguas, respectivamente.

Cuchara de graneles Paraguas Esquema del mecanismo

Figura 1.33. Mecanismo del paraguas y de la cuchara de graneles



1.8. Inversión cinemática

Ya se había comentado que cuando se fija uno de los eslabones de una cadena cinemática,

convirtiéndolo en soporte, se obtiene un mecanismo. Si la cadena cinemática tiene n eslabones, es claro

que pueden obtenerse n mecanismos diferentes a partir de una misma cadena cinemática, a los que

se llama inversiones cinemáticas de la cadena. Los movimientos relativos entre los diferentes eslabones

no se alteran, pero como se cambia el eslabón fijo, el sistema de referencia absoluto también se cambia y

esto hace que los movimientos absolutos de los eslabones puedan cambiar drásticamente.

1.8.1. Inversión cinemática del mecanismo de manivela corredera

En la Figura 1.34 se muestran las cuatro inversiones cinemáticas del mecanismo manivela corredera.

La primera inversión, en la que el bastidor es el eslabón 1 (eslabón por el que desliza la

corredera), es el mecanismo manivela corredera que se utiliza en los motores y compresores de

pistón, o en el paraguas y la cuchara hidráulica, como se vio en la Figura 1.32 o en la Figura

1.33.

En la segunda inversión el eslabón fijo es el eslabón 2 (el eslabón manivela de la inversión

cinemática anterior). Con esta inversión se consigue el llamado mecanismo de retorno rápido,

utilizado por ejemplo en antiguas máquinas-herramienta como cepilladoras (Figura 1.36). En

este mecanismo la barra 3 pasa a ser un eslabón manivela.

La tercera inversión, conocida como mecanismo de cilindro oscilante, tiene como eslabón fijo

al eslabón 3 (el eslabón conectado a la corredera por un par de rotación). Este mecanismo fue

utilizado en algunos motores navales de vapor del siglo XIX y como pequeños motores de vapor

para el accionamiento de otras máquinas en fábricas. Son máquinas muy simples, que no

necesitan válvulas para alimentar o extraer el vapor del cilindro (Figura 1.36).

La cuarta inversión tiene como eslabón fijo a la corredera. Constituye uno de los mecanismos de

las bombas manuales de extracción de agua de pozos (Figura 1.37).

Figura 1.34. Inversiones cinemáticas del mecanismo manivela corredera

Inversiones BIELAMAN.wm2d



Figura 1.35. Máquina cepilladora o limadora (el eslabón 3 es el eslabón manivela, el eslabón 1 es el

eslabón ranurado, el eslabón 2 es el bastidor de la máquina y el mecanismo presenta una alteración de

par: no está la corredera 4, sino que en su lugar hay un par de 2GDL entre los eslabones 3 y 1).

Figura 1.36. Máquinas de vapor de cilindro oscilante y principio de funcionamiento



Figura 1.37. Bomba manual de extracción de agua

1.8.2. Inversión cinemática del mecanismo de doble corredera a 90º

Haremos otro ejemplo de inversión cinemática a partir de la cadena cinemática formada por dos

correderas (eslabones 2 y 4) que deslizan a 90º sobre el mismo eslabón (1, que tiene forma de cruz), y que

están conectadas mediante pares de rotación a un mismo eslabón 3. (Este mecanismo deriva de un

cuadrilátero articulado en el que las barras de entrada y salida son de longitud infinita).

La primera inversión se ve en la Figura 1.38, es la que el eslabón fijo es el eslabón en cruz. Este

es un mecanismo generador de elipses: cualquier punto del eslabón 3 traza elipses.

Figura 1.38. Mecanismo generador de elipses

La segunda y tercera inversión generan el mismo mecanismo. En ellas el eslabón fijo es una de

las correderas. El mecanismo que se obtiene se llama mecanismo de yugo escocés o mecanismo

generador de armónicos. En la Figura 1.39 se ha fijado la corredera 2, por lo que el eslabón 3

pasa a ser un eslabón manivela. Esto hace que el centro de la corredera 4 describa una trayectoria



circular que obliga al eslabón en cruz a desplazarse horizontalmente en movimiento alternativo,

de modo tal que este desplazamiento (X) está relacionado con el ángulo () girado por el eslabón

3 mediante la expresión:

X= R.sen

Este mecanismo tiene varias aplicaciones, por ejemplo como agitadores de vaivén lineal, mesas

vibratorias, máquinas simuladoras de seísmos,… (Figura 1.40).

Figura 1.39. Mecanismo de yugo escocés o generador de armónicos

Figura 1.40. Agitador con mecanismo de yugo escocés

La cuarta inversión consiste en fijar el eslabón 3 (Figura 1.41). Las correderas 2 y 4 pasan así a

ser eslabones giratorios con respecto a su par de rotación con 3, (que es fijo). Se consigue así un

mecanismo que transmite rotación de un eslabón giratorio a otro, llamado Junta de Oldham.

X

R



Figura 1.41. Mecanismo de la junta de Oldham

La Junta de Oldham transmite rotación entre dos ejes giratorios que están desalineados

radialmente; esta desalineación además puede variar.

Una imagen más real de cómo es una junta de Oldham se puede ver en la Figura 1.42.

Figura 1.42. Junta de Oldham

4

1



1.9. Problemas resueltos

P-R 1.1

¿Cuántos grados de libertad tiene la pala

excavadora representada en la Figura 1.43? El

movimiento de la pala se controla mediante dos cilindros

hidráulicos, AB y CD.

SOLUCIÓN:

Cada uno de los cilindros consta de dos piezas (el

cilindro propiamente dicho y el émbolo que desliza por

su interior), que constituyen un par prismático. El

mecanismo contiene, por tanto, 9 eslabones, conectados

entre sí mediante 9 articulaciones (2-1, 2-5, 2-3, 3-4, 4-5,

8-1, 9-3, 6-1 y 7-2) y dos pares prismáticos (8-9 y 6-7),

es decir, 11 pares de un grado de libertad. Así pues:

m = 3(9 - 1) - 2 . 11 = 2

P-R 1.2

La Figura 1.44 es el esquema de un mecanismo de

retorno rápido. ¿Cuántos grados de libertad tiene?.

SOLUCIÓN:

Los eslabones ya han sido identificados y hay n = 5.

Hay tres pares de rotación (2 - 1, 2 - 3 y 4 - 1) y dos

pares prismáticos (3 - 4 y 5 - 1), todos ellos de un grado

de libertad, por lo que p1 = 5. Además, existe un par de

rodadura y deslizamiento entre 5 y 4, por lo que p2 = 1.

Así pues:

m = 3(5 - 1) - 2 . 5 - 1 = 1

P-R 1.3

¿Cuántos grados de libertad tiene el mecanismo de

la Figura 1.45?

SOLUCIÓN:

Hay n = 6 eslabones (el soporte, las dos barras

giratorias, el vástago del cilindro hidráulico, el propio

cilindro y, por último, la plataforma). Existen 5

articulaciones o pares de rotación y un par de

deslizamiento (el del émbolo con el cilindro), por tanto

p1 = 6. No hay pares de dos grados de libertad. Usando

Kutzbach:

m = 3(6 – 1) – 2 . 6 = 3 g.d.l.

Figura 1.43

Figura 1.44

Figura 1.45



P-R 1.4

Determinar los grados de libertad de los mecanismos de la Figura 1.46, Figura 1.47 y Figura 1.48.

SOLUCIÓN para la Figura 1.46:

El movimiento de la pala excavadora se

controla mediante dos cilindros hidráulicos;

cada uno de estos dispositivos tiene dos piezas

(el cilindro propiamente dicho y el émbolo que

desliza por su interior) que constituyen un par

prismático. Por tanto, tenemos en total 9

articulaciones y dos pares prismáticos, es

decir, 11 pares de un grado de libertad. Así

pues: m = 3(9 - 1) - 2 . 11 = 2


Los eslabones ya han sido numerados

reservando, como suele ser habitual, el 1 para

el soporte o eslabón fijo, y hay siete miembros.

Los eslabones 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 3-6 y 6-7

están conectados mediante pares giratorios,

mientras que 5-1 y 7-1 lo están mediante pares

prismáticos; como todos ellos son de un grado

de libertad, es p1= 8; no hay pares de dos

grados. Utilizando el criterio de Kutzbach: m =

= 3(7-1)-2.8 = 2


En este mecanismo tenemos una

semijunta entre los eslabones 2 y 8, que tiene

dos grados de libertad; por otra parte, hay 7

articulaciones de pasador (una de las cuales, la

que une 2, 3 y 5, es múltiple, por lo que

contabiliza como dos pares), 2 pares

prismáticos (5-6 y 9-7) y un contacto de

rodadura pura; en total p1= 11 y resulta:

m = 3(9 - 1) - 2 . 11 - 1 = 1

P-R 1.5

¿Cuántos grados de libertad tiene el mecanismo de

vuelco de un contenedor esquematizado en la Figura

1.49? No hay deslizamiento entre las ruedas y el suelo. El

cuerpo del cilíndrico hidráulico está unido al soporte.

SOLUCIÓN:

Tenemos 4 eslabones (tener en cuenta que el cuerpo

del cilindro hidráulico está fijo, por lo que forma parte del

soporte). Hay un par prismático (el pistón con el cilindro),

dos articulaciones y un par de rodadura (que se supone sin

deslizamiento) por lo que p!= 4. El criterio de Kutzbach

nos da como movilidad:

m = 3(4 - 1) - 2 . 4 = 1.

Figura 1.46

Figura 1.47

Figura 1.48

Figura 1.49



1.10. Problemas propuestos

P-P 1.1.-Determinar los grados de libertad de los mecanismos esquematizados:

TMM-01 Concepto M†Quina Mecanismo

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