TNumero Real R - MATVALLmatvall.es/file.php/1/ApuntsSecundaria/TNumero_Real_R.pdf · 2012. 12....

Número Real R

� ⊆ � ⊆ � ⊆ �

� ⊆ �

R

N I Q Z

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);

Departament de Matemàtiques

I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna

2n Cicle de Secundària

Pàg.:2

Números

Número Enter Z

Conjunt Z

* = ,… − 5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … 6 7 ⊆ *

Operacions en Z + suma - resta *multiplicació

Propietats de la suma +

1.- La + en Z és ll. c. i. � ∈ *, � ∈ * → � + � ∈ *

2.- La + en Z és commutativa � + � = � + � ∀�, � ∈ *

3.- La + en Z és associativa 9� + �: + � = � + 9� + �: = � + � + � ∀�, �, � ∈ *

4.- L’element neutre de + en Z és 0 � + 0 = 0 + � = � ∀� ∈ *

5.- L’element simètric de � ∈ * és −� ∈ * � + 9−�: = 9−�: + � = 0 ∀� ∈ *

Propietats de la multiplicació * (.) (cap signe)

1.- La * en Z és ll. c. i. � ∈ *, � ∈ * → � ∗ � ∈ *

2.- La * en Z és commutativa � ∗ � = � ∗ � ∀�, � ∈ *

3.- La * en Z és associativa 9� ∗ �: ∗ � = � ∗ 9� ∗ �: = � ∗ � ∗ � ∀�, �, � ∈ *

4.- L’element unitat de * en Z és 1 � ∗ 1 = 1 ∗ � = � ∀� ∈ *

Regla dels signes

+ ∗ += + + ∗ −= − − ∗ += − − ∗ −= +

Multiplicació per un número negatiu

Si el número negatiu no està al principi de l’expressió es posarà entre ( )

Ex1: 4*(-3)=-12 Ex2: -3*7=-21 Ex3: -5*(-6)=30

Propietats distributives de la multiplicació * respecte de la suma +

� ∗ 9� + �: = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ * [→ 9==>?@A B@AèDE>FG: ← 9EA@IA> J@KELA KLMú:]

9� + �: ∗ � = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ *

Potència d’exponent natural I base entera

Definim �P = Q 1 � = 0 � � ≠ 0� · �PTU � > 0 W on ∈ 7 � � ∈ *

Propietats de les potències

�U = � ∀� ∈ *

�P ∙ �Y = �YZP ∀� ∈ * � %, ∈ 7

[\[] = �PTY ∀� ∈ *∗ � %, ∈ 7

9�Y:P = �Y∙P ∀� ∈ * � %, ∈ 7

�P ∙ �P = 9� ∙ �:P ∀�, � ∈ * � ∈ 7

Thales de Mileto (Turquia)

639 -aC-. 547 aC

Filòsof, Físic i Matemàtic

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:3

Números

Divisió entera. Regles de divisibilitat més utilitzades.

• Cap número és divisible per 0

• Tots els números són divisibles per 1

• Un número és divisible per 2 si acaba en 0 o en xifra parell

• Un número és divisible per 3 si la suma de les seues xifres és 3 o múltiple de 3

• Un número és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5

• Un número és divisible per 11 si la suma de les xifres que ocupen lloc parell menys

la suma de les xifres que ocupen lloc imparell és 0 o múltiple d’11

Prioritat de les operacions

Sempre en aquest ordre: (), potències i arrels, multiplicació o/i divisió, suma o/i resta

Aquest ordre pot ser alterat per ( ). En cas de la mateixa prioritat sempre d’esquerre a dreta.

Màxim comú divisor(MCD) i mínim comú multiple(MCM)

^_`9�, �: = ∏9$�� %� �� %�� )��:

^_^9�, �: = ∏9$�� %� � � ��%� �� %�� )��:

MCD(18,45)=9 MCM(2,6,18)=18 MCM(5,15,20)=60

Propietat MCD(a,b)*MCM(a,b)=a*b

Números primers Direm que un número és primer si sols és divisible per 1 i per ell mateix

Sedàs d’Eratostenes del números primers 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91,93,97,…

Eratóstenes

Naix a: Cirene, 276 a.C.

Mor a: C.Alejandría, 194 a. C.

Matemàtic, Filòsof, Astrònom i Geògraf

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:4

Números

Instruccions per construir el sedàs

Ratlla tots els múltiples de 2 exceptuant el 2, ratlla tots els múltiples de 3 exceptuant el 3 (alguns d’ells

ja els trobaràs ratllats).

Els múltiples de 4 no cal que els ratlles ja que són múltiples de 2, seguim ratllant de la mateixa manera

els múltiples de 5, de 7, d’11, i de 13, etc

D’aquesta manera has obtés uns nombres que no han quedat ratllats, són els nombres PRIMERS. No

tenen cap divisor, exceptuant l’1 i ell mateix.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

161 162 163 164 165 166 167 168 169 170

171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

181 182 183 184 185 186 187 188 189 190

191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:5

Números

Exercicis resolts

1.- Calculeu:

9−3:b = 9 −3b = −9 −2d = −8 9−2:d = −8

3 − 4 · 5 + 3 · 92 − 3: · 4 − 5b = 3 − 20 + 3 · 9−1: · 4 − 25 = 3 − 20 − 12 − 25 = −54

39−4: − 4 · 5 + 3 · 98 − 3: · 4 + 3 · 9−5:b = −12 − 20 + 3 · 5 · 4 + 3 · 25 = −32 + 60 + 75 = 103

2.- Calculeu:

� ∙ 9) − �: + � ∙ � = � ∙ ) − � ∙ � + � ∙ � = � ∙ )

% + % ∙ 9) − 1: + %) = % + %) − % + %) = 2%)

2% ∙ 9 − 2: − % + 4% + % ∙ = 2% − 4% − % + 4% + % = 2%

3.- Calculeu la descomposició factorial dels següents números:

18480 = 2h ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 135000 = 2d ∙ 3d ∙ 5h

4.- Calculeu tots els divisors del número:

ijj = ik ∙ li 7ú%�� "� "�m� �� = 93 + 1: ∙ 92 + 1: = 12

Divisors

* ij = n in = i ii = o ik = p lj = n 1 2 4 8 ln = l 5 10 20 40 li = il 25 50 100 200

Pitágoras (582 aC - 507 aC)

Filòsof i Matemàtic grec.

"Tot són Matemàtiques"

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:6

Números

Exercicis Z

1.-Calculeu:

a 5 + 3 ∙ 2 + 6 ∙ 2 + 4 = b 5 − 3 ∙ 9−2: + 6 ∙ 2 − 4 =

c 3 ∙ 4 ∙ 2 + 5 ∙ 3 + 7 ∙ 2 = d −5 + 3 ∙ 2 − 6 ∙ 9−2: ∙ 2 + 4 =

e 5 ∙ 6 ∙ 2 + 3 ∙ 9 ∙ 1 ∙ 0 + 7 = f 3 ∙ 9−5: − 3 ∙ 9−1: ∙ 2 + 6 ∙ 2 + 4 =

g 45 + 23 + 5 ∙ 7 = h 5 ∙ 9−1: ∙ 9−2: − 3 ∙ 2 + 6 − 2 ∙ 4 =

2.- Calculeu:

a 7b = b 9−2:b = c 2d = d 9−2:d =

f 9−3:b = g 9−3:d = h −2b = i −3b =

j 9−1:b = k −1b = l 9−2:U = m 9−1:Ubd =

n 9−2:q = o −2q = p 9−1:q = q 6q =

3.- Calculeu:

a 4 − 3b = b 5 − 9−2:d = c 5 ∙ 7 + 9−3:b =

d 9 − 4b = e 7 − 2d = f 4b − 3b =

g 94 − 3:b= h 93 − 1:d = i 4 − 93 − 3:b + 5 =

4.- Calculeu:

a 7 ∙ 95 − 2 + 8 − 4: − 5 ∙ 3 − 3 − 4 ∙ 5 =

b 9−2:d =

c −2d =

d −2d ∙ 9−2:9−2:h + 5 ∙ 92 − 3 + 5: ∙ 9−1: =

e −39−3:b + 92b − 3:d − 5 ∙ 9−2:d + 3 =

f 9−2:h − 2d + 9−2:b + 2 =

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:7

Números

5.- Calculeu:

a 5 ∙ 9−5b: + 4 ∙ 93 − 8 + 4:b − 5 =

b 4 ∙ 9−3b + 3 ∙ 5: − 5 − 2 ∙ 3 =

c 9−3 + 8 − 5: ∙ 92d − 3b: − 5 ∙ 2 =

d 93 − 5: ∙ 2 − 94 − 6 + 1:b =

6.- Calculeu:

a 93 − 5:b ∙ 2 − 94 − 6 + 1:d =

b 1 − 94 − 8:b + 3 ∙ 91 − 7: =

c 2 + 3 ∙ 93 − 1:b − 2b ∙ 3=

d 1 − [93 − 1:b ∙ 92 − 4: − 91 + 6: + 6]b =

7.- Calculeu:

a −95 − 9:b + 3 ∙ 92 + 4: =

b 5∙ 3b ∙ 2 − 2 ∙ 5 ∙ 9−1:d + 7 − 2 ⋅ 5b + 2 =

c −93 − 9:b + 5 ∙ 92 + 4:b =

d 1 − 94 − 5:d + 3 ∙ 91 − 6:b =

8.- Calculeu:

a −5 ∙ 3b ∙ 1 − 2 ∙ 3 ∙ 9−1:hd + 7 − 2 ⋅ 5b + 2 =

b 9−3 + 2 − 1: ∙ 92d − 3b: − 5 ∙ 2d =

c 1 − 94 − 5:UUb + 3 ∙ 91 − 4:d + 5 =

d −93 − 2:Ub + 5 ∙ 92 − 4:b ∙ 9−1:s + 6 =

9.- Calculeu:

a 5 ∙ 9−2b: + 4 ∙ 93 − 8 + 4:b ∙ 2 − 4 =

b 4 ∙ 9−2b − 3 ∙ 5: − 5 − 2 ∙ 9−3: =

c 9−9 + 8 − 5: ∙ 92d − 3q: − 5 ∙ 2 =

d −2 ∙ 93 − 5: ∙ 2 − 94 − 6 − 1:b =

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:8

Números

10.- Calculeu:

a 93 − 5:d ∙ 2 − 9−1: ∙ 94 − 6 − 1:d =

b 1 − 94 − 5:d − 3 ∙ 91 − 7: ∙ 9−1: =

c −2 + 3 ∙ 91 − 1:b − 2b ∙ 9−3:=

d 1 − [93 − 1:d ∙ 92 − 4: − 91 + 6: − 6]b =

11.- Calculeu:

a −95 − 9:b − 3 ∙ t−2 − 4 ∙ 9−2:u =

b -5∙ 9−3b: ∙ 2 − 2 ∙ 9−5: ∙ 9−1:d + 7 − 2 ⋅ 9−5b: + 2 =

c −93 − 9:b + 5 ∙ 92 − 4:b =

d −1 + 94 − 1:d + 3 ∙ 91 − 6:b =

12.- Calculeu:

a −5 ∙ 3d ∙ 1 − 2 ∙ 3 ∙ 9−1:bhv + 7 − 2 ⋅ 3b − 2 =

b 9−12 + 2 + 10: ∙ 92d − 3b: − 5 ∙ 2d =

c 1 − 94 − 5:UUb − 9−1: ∙ 91 − 4:d − 5 =

d −93 − 2:UUb + 5 ∙ 93 − 4:UUb ∙ 9−1:UUb + 6 =

13.- Calculeu la descomposició factorial dels següents números:

a 151.200 b 277.200 c 31.500 d 27720 e 385

14.- Calculeu:

a MCD(20,36,28) b MCD(77,121,44) c MCD(16,80,112)

15.- Calculeu:

a MCM(35,50,60) b MCM(12,45) c MCM(9,27,12)

16.- Quina xifra(es) escriureu perquè:

a [ ]473 siga divisible per 11 b [ ]413 siga divisible per 9

c [ ]25 siga divisible per 2 i per 7 d [ ] [ ]423 siga divisible per 2 i per 11

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:9

Números

17.- Escrigueu números:

a divisibles per 3 i no divisibles per 6

b divisibles per 2 i no per 3

c divisibles per 5 i per 3

d divisibles per 0

e de tres xifres divisibles per 5 i per 11

18.- Calculeu tots els divisors naturals dels següents números:

a 28 b 75 c 17 d 42 e 30

19.- Calculeu:

a ( ) =34,12MCD b ( ) =330,121MCD c ( ) =105,35,15MCD

20.- Calculeu:

a ( ) =62,31MCM b ( ) =54,30,6MCM c ( ) =0,89MCM

21.- El dia 10 d’octubre, Toni i Fabian coincidiren a la biblioteca. Toni va cada 3 dies i Fabian

cada 5 dies, quin dia tornaran a coincidir?

22.- Quines seran les dimensions del taulell més gran per poder entaulellar una habitació rectangular de dimensions 234cm X 455cm sense partir cap taulell?. 23.- Recorda la propietat: ( ) ( ) babaMCMbaMCD ⋅=⋅ ,,

1.- Què val ( )baMCM , si a i b són primers entre ells?

2.- Què val ( ) ( ) =⋅ 100,345.12100,345.12 MCDMCM

24.- Completa el següent esquema:

divisible per

0 1 2 3 5 7 9 11 Primer? Número

1.848 si

5.005

1.716

167

2.145

3.465

378 no

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:10

Números

25.- Calculeu tots els divisors naturals dels números. Quants divisors té cada número?.

a 50 b 54 c 300 d 360 e 250

26.- Calculeu:

a � ∙ 9� − �: + � ∙ � =

b % + % ∙ 9) − 1: + %) =

c 2% ∙ 9 − 2: − % + 4% =

d 2) ∙ 9) − 2: − )b + 4) =

e % ∙ 9 + 1: − % + 4% =

27.- Calculeu:

a 9 − 2:b + 4 − 4 =

b 9) + 2: + 4) − )b − 4 =

c 9) + �: ∙ ) − �9� + ): =

d 9� + �: ∙ 9� − �: + �b =

e 9� + �:b − �9� − 2�: =

28.- Traeu factor comú:

a 5 + 15 − 25 + 20 =

b 12%) − 15% + 6%� =

c 3%) − 2% + 5%� =

d %)b − %) + �%) =

e 4%) − 10% + 6%� =

29.- Un número de tres xifres iguals pot ser primer?

30.- Quins valors pot tenir a perquè M.C.M.(a,36)=36?

31.- Descomposeu 756 en factors primers i trobeu dos números consecutius on el seu

producte siga 756.

32.- Trobeu el primer múltiple de 21 divisible per 5. Trobeu el primer múltiple de 15 divisible

per 12.

33.- Quin és el major múltiple de 9 que té 5 xifres?

34.-Demostreu que la suma de dos números imparells consecutius és un número múltiple de 4.

35.- Sense fer la divisió, quin és el residu de la divisió de 7414 per 9?

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:11

Números

Ampliació

1.- Si ∈ 7 definim n-factorial a: ! = x1 � = 0 · 9 − 1:! � > 0W Calculeu:

a 3! = b 5! = c 1! = d y!d! = e

h!9dTU:! =

2.- Si , % ∈ 7 � ≥ % definim número combinatori n sobre m a: { %| = P!Y!·9PTY:! Calculeu:

a {31| = b {70| = c {55| = d {76| = e {43| =

3.- Construeix el sedàs d’Eratostenes dels números primers.

4.- Hi ha infinits números primers. (Euclides ja ho va demostrar)

5.- Observa:

1*2-1=1 és primer

1*2*3-1=5 és primer

1*2*3*5-1=29 és primer

1*2*3*5*7-1=209 és primer

Quina propietat generalitzaria el que has observat?.

6.- Observa que qualsevol número parell és la suma de dos números primers (considerant el 1

com número primer) (conjetura de Goldbach. Euler va intentar demostrar-la. Fins ara no s’ha

pogut)

Euclides.

325 aC-265 aC

Matemàtic grec

Euler.

Físic i Matemàtic.

Naix a Basilea (Suissa) el 1707 i mor a

Sant Petesburg (Russia) el 1783

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:12

Números

Número Racional Q

Fracció

Una fracció és una expressió de la forma YP � %, ∈ * � ≠ 0

Fraccions equivalents

Direm que [} = ~� ↔ � ⋅ " = � ⋅ � ex:

vh = db; Tbv = TUd

Propietat de les fraccions

Si multipliquem o dividim el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix número

enter (diferent de 0) la fracció resultant és equivalent a la primera.

[} = [∙~}∙~

[} = [/~}/~

Conjunt Q

Q= QYP � %, ∈ * ��%�� ≠ 0� 7 ⊆ * ⊆ �

Operacions en Q + suma - resta *multiplicació /divisió

Suma +(-) @� + K� = @∙�Z�∙K�∙�

@� − K� = @∙�T�∙K�∙�


1.- La + en Q és ll. c. i. � ∈ �, � ∈ � → � + � ∈ �

2.- La + en Q és commutativa � + � = � + � ∀�, � ∈ �

3.- La + en Q és associativa 9� + �: + � = � + 9� + �: = � + � + � ∀�, �, � ∈ �

4.- L’element neutre de + en Q és 0 � + 0 = 0 + � = � ∀� ∈ �

5.- L’element simètric d’ � ∈ � és −� ∈ � � + 9−�: = 9−�: + � = 0 ∀� ∈ �

Multiplicació *(÷) @� ∗ K� = @∙K�∙�

@� ÷ K� = @∙��∙K


1.- La * en Q és ll. c. i. � ∈ �, � ∈ � → � ∗ � ∈ �

2.- La * en Q és commutativa � ∗ � = � ∗ � ∀�, � ∈ �

3.- La * en Q és associativa 9� ∗ �: ∗ � = � ∗ 9� ∗ �: = � ∗ � ∗ � ∀�, �, � ∈ �

4.- L’element unitat de * en Q és 1 � ∗ 1 = 1 ∗ � = � ∀� ∈ �

5.- L’element invers de � ∈ �∗ és U[ ∈ � � ∗ U[ = U[ ∗ � = 1 ∀� ∈ �∗


� ∗ 9� + �: = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ � [→ 9==>?@A B@AèDE>FG: ← 9EA@IA> J@KELA KLMú:]

9� + �: ∗ � = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ �

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:13

Números

Potència d’exponent enter i base racional

Definim � �P = Q 1 � = 0 � � ≠ 0� · �PTU � > 0 W�TP = U[\ � � ≠ 0 W on ∈ 7 � � ∈ �


1. �U = � ∀� ∈ �

2. �P ∙ �Y = �YZP ∀� ∈ � � %, ∈ *

3. [\[] = �PTY ∀� ∈ �∗ � %, ∈ *

4. 9�Y:P = �Y∙P ∀� ∈ � � %, ∈ *

5. �P ∙ �P = 9� ∙ �:P ∀�, � ∈ � � ∈ *

6. [\}\ = {[}|P ∀� ∈ �, � ∈ �∗ � ∈ *


Sempre en aquest ordre: (), potències i arrels, multiplicació o/i divisió, suma o/i resta.

Aquest ordre pot ser alterat per ( ). En cas de la mateixa prioritat sempre d’esquerre a dreta.

Números decimals racionals "��%�� "��%�� )��"��%�� ò"�� x��ò"�� ò"�� %�)WW

Fracció generatriu Qualsevol decimal racional pot expressar-se com una fracció. La forma de calcular-la:

Decimal exacte: 15�5 = UssUq = dUb

Decimal periòdic: ) = 2′3� 10) = 23′3�) = 2′3�_______________9) = 21 per tant ) = bU� = yd

La fracció com operador

Si volem calcular una determinada part d’una quantitat, procedim de la següent manera:

MD B@AEF �> � = MD ∙ �

Arquímedes (287 aC – 212 aC)

Matemàtic grec, Físic, Ingenier,

Inventor i Astrònom

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:14

Números

Exercicis resolts:

1.- Calculeu (denominador comú)

ds + hd − bUs = �ZbqTbUs = byUs = �s b� − hd − bs = UqTvqTU�hs = Tv�hs

2.- Calculeu (prioritat de les operacions)

�s − ds ⋅ {bs − UUs| ∙ �h + 3 = �s − ds ⋅ vTUUs ⋅ �h + 3 = �s − ds ⋅ sUs ⋅ �h + 3 = �s − d⋅s⋅d⋅ds⋅s⋅d⋅h + 3 =

= �s − �bq + 3 = dbT�Zvqbq = �dbq

3.- Calculeu

a 3Tb = Ud� = U� b {bd|Tb = {db|b = d�b� = �h c sh − {bd|TU = sh − db = sTvh = TUh

d {sd|TU + {sh|TU − {sb|TU = ds + hs − bs = ss = 1 e �{sd|TU�b = {sd|Tb = {ds|b = �bs

4.- Calculeu

a d�∙s�∙�U∙9Tb:�vh∙9Td:�∙9Ts:� = d�∙s�∙b�b�∙d�∙s� = sb�∙d = sUb b

[��Z[�[��Z[� = [�9�ZU:[�9�ZU: = �[

5.- Calculeu

a UUZ ��

= UUZ ��= UUZ ��

= UUZ ��= UUZ�� = U�� = �Ud

b bdZ ��

= bdZ ��= bdZ �� = bdZ �� = b�� = bbdh = UUUy

6.- Quant són les set terceres parts de 21.234? yd ∙ 21.234 = 49.546

7.- Des de Simat a Barx hi ha 5.212 metres i hem recorregut les tres quartes parts del camí.

Quants metres ens queden per recórrer?

Hem recorregut dh ∙ 5.212 = 3.909 m. Queden per recórrer 5.212-3.909=1.303 m

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:15

Números

Exercicis Q

1.- Simplifiqueu al màxim les següents fraccions:

a hsUbs = b

sbs = c Ubbq = d

h�bU = e ddUbU =

f sbqq = g

Ubhqq = h ybbhd = i

bvUdq = j ��Uyv =

2.- Expresseu en forma de fracció les següents potències:

a 3TU = b 2d ∙ 5Tb = c 7TU ∙ 5Tb = d 2Tb ∙ 5 = e 3 ∙ 15Tb =

3.- Simplifiqueu al màxim les següents fraccions:

a d∙s��∙s�� = b

b∙d��∙s��h∙��∙s�� = c [��∙d∙s��[��∙�∙s�� =

d d∙}�∙[��∙s��∙[��∙s��∙9[∙}:� = e

s∙d�∙b�∙yh�∙dv∙bs =

f d∙s�∙b�∙yh�∙d∙v∙bs = g

s∙d��∙b�∙y∙b��h�∙�∙d��⋅v∙bs =

4.- Representeu a la recta real les següents fraccions:

a bd b

Tdb c sh

5.- Expresseu amb el mateix denominador les següents fraccions i ordena-les de menor a

major

dh

bd Tbs

bUUb TyUs

sb

6.- Calculeu:

a dh + sh + Uh = b

yb + 2 + �v =

c yd − Ub − UUU = d

UqUU + Uqy − UbUU =

e 3 − UbU − Uy + b� = f db + sUv − d� =

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:16

Números

7.- Calculeu:

a Ubs ∙ Usv = b

s� : db =

c 7: d� = d Tb y ∙ Td s =

e hd ∙ {− sy| = f

�Us : {− vs| =

8.- Calculeu:

a hs − Uh ∙ Uqd = b 9 − Uh ∙ yd + bs =

c {hs − Uh| ∙ Uqd = d bd : dh − Us ∙ dy =

e �d : s� : {vs − Ud| = f

by + sy : bd =

9.- Calculeu:

a =−5

8

5

3 b =−

3

5

4

13

c =−+2

5

3

7

5

6 d =⋅−

2

5

3

7

3

2

e =⋅−⋅2

5

5

7

3

2

4

9 f =−+−

9

4

6

15

4

3

3

7

10.- Calculeu:

a =⋅−++5

4

6

15

14

3

7

12

3

1 b =⋅

+⋅−4

5

7

5

14

3

5

12

7

3

c =+

+

10

3

5

2

15

2

d =⋅−+−3

2

10

1

15

3

5

12

5

7

e =⋅⋅⋅⋅9

4

6

15

14

3

5

12

3

7 f =−⋅+⋅

9

4

6

15

14

3

5

12

3

7

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:17

Números

11.- Calculeu:

a =+

−+ 7

4

2

33

21

1 b =+

−+ 9

4

2

13

21

1

c =+

+−⋅−2

1

3

5

15

7

5

3

3

2

3

5 d =−⋅+ 2:

15

2

2

5

10

1

15

2:

5

4

e =

++

3

51

9

8:

3

2 f =+

−⋅

+4

1

4

7:1

4

51

4

3

12.- Calculeu:

a =⋅++6

23

6

51

3 b =

−⋅⋅⋅3

2:

5

31

4

15

9

8

5

3

c =

++

++

2

11

11

11

11 d =

+⋅+−6

11

7

3

7

4:35

e =

−+

−12

2

5

5

4

2

3 f =+

+

−

8

5

8

7

3

402

13.- Calculeu:

a =

++⋅5

2

6

53

1

2

5

7

5 b =

+

+

+

3210

2

1

2

1

2

1

2

1

c =

+

+

+

−−− 3210

2

1

2

1

2

1

2

1 d =+++

1000

1

100

1

10

11

e =⋅⋅3

5:

9

7

14

5:

7

5

3

2:

5

3 f =−−−+−+

5

11

5

32

5

21

5

1

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:18

Números

14.- Calculeu:

a =

+5

4

4

3:

4

7 b =

+3

11:

7

6

5

2

c =

+−+−3

2

5

1

2

6

4

15 d =

−⋅−

−+6

1

5

1

3

4

2

1:

8

1

4

2

12

6

e =

+−

−+4

33

2

5:

5

21

7

3 f =

−+

−

2

1

6

14

5

6:

7

1

4

3

15.- Calculeu:

a =−

18

12

3

5:

9

14 b =

−

++

2

11

2

11

1

c =+⋅

+ 2

3:5

25

23

4 d =

+

+−

+

++

9

18

4

15

6

6

15

2

13

4

16.- Calculeu:

a =++

128

164

132

116

1

8

14

1

2

1 b =

+

+−− 11

2

5

3

5

5

3

c =

+

+−

− 012

5

13

2

27

3

1

3

2 d =

+

−

−

−−

−1

7

3

3

5

5

41

5

3

11

2

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:19

Números

17.- Calculeu el 15% de 250.000 €.

18.- El 7% d’una quantitat de diners són 28.000 €. De quina quantitat es tracta?

19.- Un pantaló que val inicialment 50€ el venem per 65€. Quin percentage sobre el preu inicial

hem augmentat en la venda? Quin operador aplicaríem al preu inicial del pantaló per obtindre

el preu de venda?

20.- Les cinc quartes parts d’un recorregut són la meitat de les cinc terceres parts de 12 Km. De

quants Km és el recorregut?

21.- Una moto val 47.200 €. En comprar-la hem pagat 15

4del seu valor. Quant ens queda per

pagar?

22.- En una cantera hi ha 900 tones de pedra. Per transportar-la utilitzem camions que porten

3

7de tona. Quants camions necessitarem?

23.- En un dinar, les persones majors es mengen 16

9 parts de paella i els menuts

3

1 de paella.

Quanta paella queda?

24.- Un obrer cobra 2.450 € i paga en impostos 50

7d’aquesta quantitat. Quant paga en

impostos i quant li queda per a ell?

25.- Un litre de llet val 1€. Què valdrà 4

7 de litre?

26.- Quin número multiplicat per 4

3 dóna 8

5?

27.- Els guanys d’un negoci són 620.000€. Un soci s’emporta 9

5d’aquesta quantitat i la resta

s’ho reparteixen entre els altres dos socis. Quants diners s’emporta cadascú?

28.- Un terreny de 2

153 hectàrees es divideix en parcel·les de 8

3 hectàrees cadascuna. Quantes

parcel·les hi haurà?

29.- Un corredor ha fet 8

5 parts d’un recorregut de 13.200m. Quants metres li queden per

recórrer?

30.- Què val els tres cinquéns dels set huitens de la meitat de 1.800?

31.- Per mecanografiar 8

5 d’un treball em paguen 600€. Què em pagarien de tot el treball?

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:20

Números

32.- Un alumne compra un llibre que val 36€, li descompten el 10% del seu valor, però sols té

6

5 del que li demanen. Quants diners li falten?

33.- A una classe de 36 alumnes la tercera part de la meitat porten ulleres. Quants alumnes no

porten ulleres?

34.- Classifiqueu els següents números racionals segons la seua part decimal:

a3

7 b

4

15 c2

361 d7

3 e

15

8 f

5

100 g

7

23

35.- Expresseu en forma de fracció els següents números racionals:

a 4'3⌢

=x b 31'2⌢

=x c 50'12=x d 61'21⌢

=x

36.- Calculeu i simplifiqueu al màxim:

a =+

+−⋅−2

1

3

5

15

7

5

3

3

2

3

5 b =−⋅+

45

1:

15

2

2

5

10

1

15

2:

5

4

c =+

−⋅

+4

1

4

7:1

4

51

4

3

37.- Calculeu i simplifiqueu al màxim =−+60

13

30

731'2

38.- Calculeu i simplifiqueu al màxim:

a =+⋅

−+5

15

2

3

4

5

5

2

5

3 b =

⋅⋅+

+

−⋅+

3

2

2

9

3

1

5

2

13

21

5

3

3

1

39.- Simplifiqueu al màxim: ( )

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−

−−

3132

4233

23982

169342

x

x

40.- Passeu a fracció i calculeu:

a 1, 3� + 3,4 = b 0, 3� + 0, 6� = c 4, 5� + 6, 7� =

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:21

Números

Número Irracional I

Definició

Direm que un número és irracional si no pot expressar-se com una fracció.

Com a conseqüència de la definició, qualsevol decimal racional (exacte, periòdic pur o periòdic

mixt) no serà número irracional.

És irracional el número x=1,123456789101112131415161718192021… (les xifres decimals són

els números naturals)

√2, √3, 1 + √5, √4� … també són irracionals.

Al conjunt format per tots els números irracionals s’anomena I

Propietat �� ∈ � � � ∈ � → � + � ∈ � � � ∙ � ∈ �

√i, , >, ¡

Es pot demostrar que √2 és Irracional.

El número és un número Irracional i, per tant, no pot expressar-se en forma de fracció. Té infinites xifres decimals i aproximadament val 3,14159265358979…

No és possible dibuixar amb regla i compàs un punt en R a distància de l’origen.

Leibniz va demostrar que la següent sèrie convergeix a

= hU − hd + hs − hy + h� − hUU + hUd − hUs + hUy − hU� +··· Un altre número interessant > =2,718281828… també és irracional

I també el número d’or ¡ = nZ√li

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:22

Números

Número Real R

El conjunt format per la unió dels racionals Q i dels irracionals I formen el conjunt dels nombres

reals � = � ∪ �

W� ⊂ � ⊂ �∪�£ = �

N 0∙ 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ 5∙ 6∙

Z -4∙ -3∙ -2∙ -1∙ 0∙ 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ 5∙ 6∙ Q -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

R -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Intervals

[@, �] ,¤ ∈ �/@ ≤ ¤ ≤ �6 a b ]@, �[ ,¤ ∈ �/@ < ) < �6 ao ob [@, �[ ,¤ ∈ �/@ ≤ ¤ < �6 a ob ]@, �] ,¤ ∈ �/@ < ) ≤ �6 ao b [@, +∞[ ,¤ ∈ �/¤ ≥ @6 a ]@, +∞[ ,¤ ∈ �/¤ > �6 ao ]−∞, �] ,¤ ∈ �/¤ ≤ �6 b ]−∞, �[ ,¤ ∈ �/¤ < �6 ob ]−∞, +∞[ R

Operacions amb intervals. Unió ∪ i Intersecció ∩

definim � ∪ ¨ = ,) ∈ ©/) ∈ � � ) ∈ ¨6 definim � ∩ ¨ = ,) ∈ ©/) ∈ � � ) ∈ ¨6

Centre i radi de l’interval [@, �] ó ]@, �[ centre K = @Z�i i radi A = |�T@|i

La recta real R és densa i completa

R

N I Q Z

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:23

Números

Valor absolut

Si � ∈ © definim |�| = +√�b . Aquesta definició és equivalent a: |�| = Q−� � � ≤ 0� � � > 0W

Notació científica Un número decimal en notació científica s’expressa de la forma � ∙ 10P � 1 ≤ |�| < 10 � ∈ * El valor de a rep el nom de mantissa i el valor de n rep el nom ordre de magnitud.

Ex.- ) = 3�12 ∙ 10h Ex.- ) = −2�0342 ∙ 10Td

Operacions amb notació científica

Per sumar o restar dos números amb notació científica han de tenir el mateix ordre de

magnitud.

1�23 ∙ 10h + 2�34 ∙ 10h = 3′57 ∙ 10h

Per multiplicar o dividir dos números en notació científica, es multipliquen o es divideixen les

mantisses, per un costat, i les potències de 10, per altre.

1�23 ∙ 10Tb ∙ 2�34 ∙ 10s = 4′3911 ∙ 10d

Operacions en R + suma - resta *multiplicació /divisió


1.- La + en R és ll. c. i. � ∈ ©, � ∈ © → � + � ∈ ©

2.- La + en R és commutativa � + � = � + � ∀�, � ∈ ©

3.- La + en R és associativa 9� + �: + � = � + 9� + �: = � + � + � ∀�, �, � ∈ ©

4.- L’element neutre de + en R és 0 � + 0 = 0 + � = � ∀� ∈ ©

5.- L’element simètric d’ � ∈ © és −� ∈ © � + 9−�: = 9−�: + � = 0 ∀� ∈ ©


1.- La * en R és ll. c. i. � ∈ ©, � ∈ © → � ∗ � ∈ ©

2.- La * en R és commutativa � ∗ � = � ∗ � ∀�, � ∈ ©

3.- La * en R és associativa 9� ∗ �: ∗ � = � ∗ 9� ∗ �: = � ∗ � ∗ � ∀�, �, � ∈ ©

4.- L’element unitat de * en R és 1 � ∗ 1 = 1 ∗ � = � ∀� ∈ ©

5.- L’element invers d’ � ∈ ©∗ és U[ ∈ © � ∗ U[ = U[ ∗ � = 1 ∀� ∈ ©∗


� ∗ 9� + �: = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ © [→ 9��m�� è� �: ← 9�� $�� %ú:] 9� + �: ∗ � = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ ©

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:24

Números

Radicals

Radical d’índex n

Siga @ ∈ � � D ∈ �, anomenem radical d’índex n del número a a: √�\

Arrel n-èssima

Direm que √�\ = � ↔ �P = �

Radicand Índex Número d’arrels reals

√�\

a>0 n imparell Una arrel positiva

n parell Dos arrels (+,-)

a=0 n parell o imparell Una arrel (0)

a<0 n imparell Una arrel negativa

n parell Cap arrel

√9 = ±3 ∄√−8 √16� = ±2 √−8� = −2

Propietats dels radicals

Si existeixen les arrels, s’acompleixen les següents propietats:

√�P\ = � t √�\ uP = �

√�\ ∙ √�\ = √� ∙ �\

√[\√}\ = [}\

® √�]\ = √�\∙] √�P\∙] = √�]

Traure factors d’un radical

Ens basem en la següents propietats: √�P\ = � √�\ ∙ √�\ = √� ∙ �\

Ex: ®)s ∙ �h ∙ 81 ∙ �d� = ®)d)b ∙ �d ∙ � ∙ 3d ∙ 3 ∙ �d� = ) ∙ � ∙ 3 ∙ � ∙ √)b ∙ � ∙ 3�

Introduir factors a un radical

Per introduir factors farem el procés invers a traure factors. Ex: ) ∙ ®�� = ®)h ∙ ��

Radicals semblants

Direm que dos radicals són semblants si tenen el mateix radical i el mateix radicand.

Ex: ®) ∙ �b ∙ � √) ∙ �

Propietat: Sols poden sumar-se o restar-se radicals semblants:

Ex: 3√� − √� = 2√�; 5®)�b� + 2 ®)�b� = 7®)�b�

radical índex

radicand

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:25

Números

Radicals amb índex comú

L’índex comú de diversos radicals és el MCM(dels índex dels radicals)

√9� √20�

√7 amb el mateix índex √9b� √20�

√7d�

Propietat: Sols poden multiplicar-se o dividir-se radicals que tinguen el mateix índex

Potència d’exponent racional i base real

Definim °̄±°²� �P = Q 1 � = 0 � � ≠ 0� · �PTU � > 0 W�TP = U[\ � � ≠ 0 W

� \] = √�P] W on ∈ 7, % ∈ 7∗ � � ∈ ©


1. �U = � ∀� ∈ ©

2. �P ∙ �Y = �YZP ∀� ∈ © � %, ∈ �

3. [\[] = �PTY ∀� ∈ ©∗ � %, ∈ �

4. 9�Y:P = �Y∙P ∀� ∈ © � %, ∈ �

5. �P ∙ �P = 9� ∙ �:P ∀�, � ∈ © � ∈ �

6. [\}\ = {[}|P ∀� ∈ ©, � ∈ ©∗ � ∈ �

Simplificació de radicals √@DD∙M = √@M Ex: √9� = √3b� = 3�� = 3�� = √3


Sempre en aquest ordre: (), potències i arrels, multiplicació o/i divisió, suma o/i resta

Aquest ordre pot ser alterat per ( ). En cas de la mateixa prioritat sempre d’esquerre a

dreta.

Igualtats notables

9@ + �:i = @i + i@� + �i 9@ − �:i = @i − i@� + �i;

9@ + �: ∙ 9@ − �: = @i − �i 9@ ± �:k = @k ± k@i� + k@�i ± �k

Racionalització

El procés de transformar una fracció amb radicals en el denominador, en un altra

fracció equivalent, que no els tinga, es coneix amb el nom de racionalitzar.

Ex: Uq√s = Uq∙√s√s∙√s = Uq∙√ss = 2√5

3√7 − 2 = 3 ∙ t√7 + 2ut√7 − 2u ∙ t√7 + 2u = 3 ∙ t√7 + 2u7 − 4 = 3 ∙ t√7 + 2u3 = t√7 + 2u

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:26

Números

angle recte

Representació gràfica d’arrels quadrades Ens basarem en les següents propietats:

teorema de l’altura ³i = M ∙ D angle inscrit que abarca una semicircumferència

√8 = √4 ∙ 2

©=-1

2

-4

√8

c=-1

h

n m

John Napier

Naix: 1550 en Edinburg, Escòcia

Mor: 4 de Abril de 1617 en Edinburg, Escòcia

Matemàtic

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:27

Números

Exercicis resolts:

1.- Calculeu:

√4 = ±2 √8� = 2 √81� = ±3

√225 = ±5 √−8� = −2 √16� = ±2

√0 = 0 √−1� = −1 √0� = 0

∄√−25 = √27� = 3 √1� =

√�b = ±� √�d� = � √)h� = ±)

√�b = ±� ®9−�:d� = −� ®9−):h� = ±)

�Uv = ± dh TU�� = TUb bsUv = ± sh

2.- Considereu sols el valor positiu de les arrels d’índex parell i digueu a quin conjunt

pertanyen els següents números (N,Z,Q o I)

√�b ∈ �

√Ubs√s ∈ 7 3 + √2 ∈ � √2 · √8 ∈ 7 2√−1� ∈ *

3.- Calculeu:

t√2ub = 2 t√�ub = � t√−5� ud = −5

4.- Traeu factors dels següents radicals:

√�s · �v · �d� = � · �b · � · √�b� √27 · �d = √3d · �d = 3 · � · √3 · �

[�·}�Ubs = [·}·√[s·√s bhddb = d�b� = d�b� · db = �·√dh·√b

5.- Introduïu factors en el radical:

) · √)h� = √)y� 2 · �b · √� = √2b · �h · �

6.- Calculeu:

√2 · √8 = √16 = ±4 √−1� · √8� = √−8� = −2

√db√b = dbb = √16 = ±4 √� · √�d = √�h = ±�b

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:28

Números

7.- Calculeu:

√2 · √4� = √2d� · √4b� = √2d · 4b� = √2d · 2h� = √2y� = 2 · √2�

√d�√b� = √d��

√b�� = byUv�� √2 · √4� = √2 · √2b� = √2 · √2 = ±2

8.- Expresseu en forma de radical les següents potències:

3�� = √3 2�� = √2b� = √4� 5�� = √5d = 5√5

9.- Simplifiqueu els següents radicals:

√3b� = √3 √64� = √2v� = √2d� = √8� √27� = √3d� = √3

10.- Calculeu:

t√3 + 2u · t√3 − 2u = t√3ub − 2b = 3 − 4 = −1

t√5 − 3ub = t√5ub − 2 · √5 · 3 + 3b = 5 − 6 · √5 + 9 = 14 − 6 · √5

11.- Calculeu:

√125 − 2 · √5 + √45 = √5d − 2 · √5 + √3b · 5 = 5 · √5 − 2 · √5 + 3 · √5 = 6 · √5

12.- Calculeu:

√U�Z√dbTs√b√�T√b = √d�·bZ®b�Ts√b√b�T√b = d√bZh√bTs√bb√bT√b = b√b√b = 2

13.- Racionalitzeu les següents expressions:

a bs√s = bs·√s√s·√s = bs·√ss = 5 · √5 b

d√yTb = d·t√yZbut√yTbu·t√yZbu = d·t√yZbud = √7 + 2

14.- Calculeu:

|5| = 5 |−3| = 3 ´1 − √3´ = −t1 − √3u = √3 − 1

�� ≥ 1; |1 − 5| = −91 − 5: = 5 − 1

15.- Expresseu en notació científica els següents números:

312�345678 = 3�12345678 · 10b 0�00234 = 2�34 · 10Td

16.- Calculeu i expresseu en notació científica:

2�56 · 10h + 3�45 · 10b = 2�56 · 10h + 0�0345 · 10h = 2�5945 · 10h

8�2 · 10d · 3�5 · 10b = 28�70 · 10s = 2�87 · 10v

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:29

Números

17.- Calculeu la unió i intersecció dels intervals: � = ] 2 , 6 [ i ¨ = [−1 , 3 ]

I

J

� ∪ ¨ = [−1 , 6 [

� ∩ ¨ = ] 2 , 3 ]

18.- Calculeu el centre i el radi de l’interval: � = [−2 , 6 ]

Centre � = TbZvb = 2 radi � = |vT9Tb:|b = 4

19.- Expresseu en forma d’entorn l’interval següent: � = ]−2 , 3 [

Centre � = TbZdb = Ub radi � = |dT9Tb:|b = sb � = µ�� {Ub|

20.- Expresseu en forma d’interval el següent entorn: � = µb9−3:

Centre c=-3 radi r=2

� = ]−5 , −1 [

21.- Si els intervals I i J són disjunts és perquè � ∩ ¨ = ∅, per exemple:

I

J

� ∩ ¨ = ∅

2 6

-1 3

-1 6

2 3

c=-3 r=2r=2-5 -1

-1 3

4 8

Leonardo de Pisa, conegut com Fibonacci,

Naix a Itàlia en 1.170 i mor en 1.250

Matemàtic

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:30

Números

Exercicis R

1.- Calculeu amb dues xifres decimals els següents nombres:

a 23 b 7 c 53− d3

881 − e 1226−

2.- A quin conjunt pertanyen els següents nombres:

a ..232323'0 b100

3 c ..3478556931234321156'5 d 23

e 36+ f3 8− g 52− h 17− iπ

3.- Representeu a la recta real els següents nombres:

a 2 b 3 c 5− d 21+

e 53+− f 24 −

4.- Ordeneu de major a menor els següents nombres:

a3

5

b 3 c 21+ d 15−

e6

7

f 27 −

5.- Calculeu

a ( ) =2

3 b ( ) =25 c ( ) =3 3

2 d =−3 8

e =3 8 f =9 g ( ) =2

9 h =144

6.- Calculeu:

a =−925 b =− 925 c =−136 d =− 136

e =+925 f =+ 925 g =+164 h =+ 164

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:31

Números

7.- Traeu factors dels següents radicals

a =316 b =8 c =1000 d =⋅⋅ 556144 a

e =⋅3 58 a f =⋅⋅3 8 2764x g =⋅⋅5 6510 ayx h =3

8

a

i =⋅⋅b

a

16

125 2

j =−⋅ 99 2b k =+169

aa l =−3 54

8.- Calculeu:

a =⋅416 b =16

81 c =⋅936 d =

121

25

e =169

256 f =⋅289196

9.- Calculeu:

a =− 22 35 b =⋅ 205 c =⋅6

758 d =⋅

8

27

3

2

10.- Introduïu factors en els següents radicals

a =⋅ 124 b =⋅⋅⋅⋅ 32 5 baba c =⋅ 35

11.- Expresseu en forma radical les següents potències

a =5

1

3 b =

2

1

2

1

5

3 c =

−3

1

5 d =−

3

1

7 e =4

1

16

12.- Expresseu en forma de potències els següents radicals

a =3 4 b =5 c =5 3

1 d =4 3

27

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:32

Números

13.-Simplifiqueu els radicals següents:

a√27� = b√16� = c√0′04� =

d√−8� = e √32�¶ = f√0�027 =�

g√0�0016� = h1 + Uv�� =

14.- Expresseu amb un sol radical:

a®√2�� = b®2√8� = c√�d� ∙ √�h� : √�s� =

15.- Desenvolupeu els següents productes:

a ( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa2

b ( ) ( ) ( ) =−⋅−=− bababa2

c ( ) ( ) =−⋅+ baba

d ( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa23

e ( ) ( ) ( ) =−⋅−=− bababa23

16.- Calculeu:

a ( ) =−2

13 b ( ) ( ) =−⋅+ 3535

c ( ) ( ) =+⋅− 3535 d ( ) =−2

27

e ( ) =+2

26 f ( ) =+2

87

g ( ) ( ) =−⋅+ 2828 h ( ) =+3

21

i ( ) =−2

23 j ( ) =−3

51

k ( ) ( ) =+⋅+− 111111 l ( ) ( ) =+⋅− 7171

m ( ) =+2

132 n ( ) ( ) =−⋅+ 314314

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:33

Números

17.- Calculeu

a =++ 81850 b =++ 32712 c =+− 322232

d 5√125 + 6√45 − 7√20 + √80 = e√16� + 2√2� − √54� − √250� =

18.- Calculeu

a =−+503

2328 b =−+

80

4512520 c =+−

175

63728

19.- Racionalitzeu les següents expressions

a =+ 31

7 b =

− 27

5 c =

5

3 d =

3 5

4

e =− 68

4 f =

− 15

3 g =

+−

81

21 h =

125

5

20.- Calculeu:

a ·− yd· = b ´+√3 − 1´ = c ´2 − √5´ = d 3 − ´1 − √2´ =

21.- Expresseu en notació científica els següents números:

a 16.000.000.000 = b 0,0087651 = c 0,000000007 =

22.- Calculeu i expresseu el resultat en notació científica:

a 7,2 ∙ 10d ∙ 5,3 ∙ 10Td = b 8,3 ∙ 10v ∙ 5,4 ∙ 10b = c 3,1 ∙ 10h ∙ 5,3 ∙ 10d =


a 97,2 ∙ 10d:: 95,3 ∙ 10Td: = b 98,3 ∙ 10v:: 95,4 ∙ 10b: =


a 1,32 ∙ 10h + 2,5 ∙ 10d = b 5,3 ∙ 10Td − 3,2 ∙ 10Tb =

25.- Calculeu la unió i la intersecció dels següents intervals: � = ]−5, 2[ ¨ = ]−1, 3] 26.- Expresseu en forma d’entorn els intervals:

a � = [2, 6] b ¨ = ]−3, 2[ c ¸ = ]−1, 5[ 27.- Calculeu el centre i el radi dels intervals:

a � = ,) ∈ ©/−3 ≤ ) ≤ 76 b ¨ = ,) ∈ ©/−1 < ) < 36

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:34

Números

Exercicis (***)

1.- Escriu sis 1 i signes d’operar en una fila de manera que obtingues un total de 24 (hi ha més

d’una solució) 1 1 1 1 1 1

2.- Troba els nombres que corresponen a cada lletra (un nombre, una lletra i lletres iguals,

nombres iguals)

GOTA

GOTA

GOTA

+ GOTA

GOTA

_____________

AGUA

3.- En una caixa n’hi ha 24 calcetins blancs i 24 calcetins negres. Quin és el menor nombre de

calcetins que he de traure de la caixa per estar segur de que en tinc, almenys, dos del mateix

color?

4.- Escriu els nombres de l’1 al 13 en les caselles, de forma que la suma de les tres columnes I,

II i III, i en la fila horitzontal siga la mateixa.

5.- El producte de tres nombres imparells consecutius és 357.627; troba els nombres.

6.- Troba tots els divisors del número 1001.

7.- En la resta següent totes les xifres estan equivocades: cadascuna és 1 més o 1 menys de la

que hauria de ser. Escriu-la bé.

216648

- 90135

__________

13780

8.- Troba un nombre que la seua arrel quadrada menys la seua arrel cúbica val 18.

9.- El número 43 té una curiosa propietat 43 = 32 34 + . Sols n’hi ha un altre núm. de dues

xifres amb la mateixa propietat, és a dir, el núm. és igual al quadrat de la xifra de l’esquerra

més el cub de la xifra dreta. Quin núm. és?

10.- Podries escriure 31 amb cinc 3?

11.- Separa les següents cartes en tres grups, de manera que la suma de les puntuacions de les

cartes siga la mateixa en els tres grups.

3 7 6 8 2 4 9 5 1

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:35

Números

12.- Si tres gats atrapen tres rates en tres minuts, quants gats atraparan 100 rates en 100

minuts?

13.- El nombre de sis xifres 1k31k4 és múltiple de 12, però no és divisible per 9. Troba el valor

de k.

14.- Esbrina quina és l’última xifra del nombre ( ) 301114 9·3153143−

15.- Si tenim 25 soldats de plom, com formaries 6 fileres amb 5 soldats cadascuna?

16.- Calcula el núm. de ma casa sabent que:

o Si és múltiple de 3 està entre 50 i 59

o Si no és múltiple de 4, està entre 60 i 69

o Si no és múltiple de 6, està entre 70 i 79

17.- En fer el producte següent 15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2 i anotar el resultat:

1307?74368000, una taca de tinta cobreix la cinquena xifra i no sabem exactament quina és.

Podries trobar-la sense repetir l’operació?

18.- Les lletres de cada operació tenen un valor del 0 al 9. Calcula el valor de cada lletra.

TIME NINE

+TIME - FOUR

______ ________

MONEY FIVE

19.- Troba el nombre ABCDEFGH, sabent que:

o Entre les huit xifres hi ha un 0

o B i D són iguals

o E y H són iguals

o La suma de A més B és 6

o La suma de D més E és 5

o La suma de les 8 xifres és igual a 30

20.- Si p i q són dos nombres primers de forma que 3<p<q, calcula els seus valors sabent que

qx

pqp

32323232 =+

21.- Quants múltiples de 4 hi ha entre 1000 i 2000, ambdós inclosos? ¿I múltiples de 7?

22.- Un cargol és al fons d’un pou de 10m de fondària. Vol sortir del pou i durant el dia

ascendeix 3m, però durant la nit descendeix 2m. Quants dies tardarà a arribar al brocal del

pou?

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:36

Números

23.- Una aranya teixeix la teranyina en el marc d’una finestra. Cada dia duplica la superfície

feta fins aleshores. D’aquesta manera tarda 30 dies a cobrir el buit de la finestra. Si en comptes

d’una aranya en fossen dues treballant al mateix ritme, quant tardaran a cobrir la finestra?

24.- Es vol partir un tronc amb una serra en cinc trossos iguals. Per a cada tall es tarda 2

minuts. Quants minuts hi hem d’invertir?

25.- Dos fumadors consumeixen 3 paquets diaris de tabac. Quants fumadors de les mateixes

característiques seran necessaris per consumir 90 paquets en 30 dies?

26.- Escriu els nombres 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 10 utilitzant cinc vegades la xifra 5 i les operacions

bàsiques (suma, resta, multiplicació i divisió)

27.- Un nombre té 4 xifres i és cap-i-cua. La suma de les seues xifres és 16. Si s’intercanvia la

xifra de les unitats amb la xifra de les desenes, i la de les centenes amb la dels milers, el nou

nombre també és cap-i-cua, però la diferència entre l’actual i el primer nombre és 5346. Quin

és aquest nombre?

28.- Quants quadrats es poden dibuixar amb els vèrtexs en els punts assenyalats? Quina

llargària tenen els seus costats?

29.- Localitza tots els quadrats (20 en total) i també la llargària dels seus costats.

Niccolò Fontana

Naix en 1500. Mor 13 de desembre 1557

Matemàtic italià conegut com Tartàglia (el tartamut)

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:37

Números

Món i Matemàtiques

PREMSA I NÚMEROS

Troba al diari els següents nombres

Un núm. romà

Unitats de volum,

mesura, i altres

unitats

Un núm. decimal Un número racional

(fraccionari)

Dues edats, una major

i l’altra menor de 20

anys

Un preu major de

6.000 €

Un percentatge Un núm. negatiu

Una expressió de

mesura de temps

Una ciutat amb

temperatura menor

de 15º

Una data anterior a

2.000 i altra

posterior

Un programa de

televisió que comence

a les 20h30’

L’última cotització de

les accions de

Telefònica i Repsol

Un pis amb un preu

> 6000.000 €

Alguna expressió

amb notació

científica

El major núm. que

trobes com a quantitat

de diners

Una quantitat que

aparega en un sondeig

o enquesta

Un núm. ≥ un milió Un núm. irracional Un núm. que trobes

interessant

2.- Calcula en % el desnivell mitjà de la rampa de l’entrada del nostre Institut.

3.- L’edifici que trobeu més a prop de l’IES, quants pisos té? Estima l’altura de l’edifici. Com ho

calcules?

4.- Dibuixa a escala el pati del nostre institut. Quina escala has utilitzat?

5.- Observa en quin núm. es troba el nostre centre. Quins són els divisors d’eixe núm.? Quants

divisors té?

6.- A la façana de l’Església apareixen dos sistemes de numeració diferents. Sabries dir quins

són? Coneixes l’equivalència entre ambdós?

Hipàtia

Naix a “Alejandria“

Matemàtica, Astrònoma i Filòsofa

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:38

Números

Matemàtiques a La Valldigna

1.- Busca en la pàgina web de l’Institut Valencià d’Estadística , IVE, la població dels quatre

municipis de la Valldigna i dóna el resultat exacte. Després, aproxima’l amb 3 xifres

significatives fent ús de la notació científica. Les dades de 2009 són: . Quina és la variació

percentual de la població?

2.- Aproxima en m3 el volum d’aigua que conté la piscina municipal. Quina és la superfície de la

zona per prendre el sol? I la superfície de la zona de jocs dels xiquets més menuts? Dóna el

resultat en m2.

3. - El passat hivern una arrova de taronges Navel es va pagar a 3.75€ i en la botiga venien 2

quilos d’aquestes taronges per 3€. En quin percentatge es va incrementar el preu del

producte?

4.- En la plaça de l’Ajuntament hi ha un edifici de 3 plantes. En la tercera planta, hi viuen 2

famílies de 4 i 5 components respectivament. En la segona planta de l’edifici, 3 famílies de 5, 4

i 3 persones respectivament. Finalment, en la planta primera, només una família, però de 8

membres. Quin és el botó més emprat de l’ascensor?

5.- Aproxima l’altura de la Torre de Guaita fent ús d’un espill i una cinta mètrica. Observa en la

figura el procés:

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:39

Números

6.- Estima l’altura del teu institut amb un bolígraf!! Fixa’t en la figura:

1r Pas: bolígraf vertical

2n pas: bolígraf horitzontal

Cal col·locar dos companys davant l’edifici i manar-los que s’allunyen fins que la distància entre

ells coincidisca amb la longitud del bolígraf en horitzontal.

NOTA: La persona que té el bolígraf no s’ha de moure del lloc.

7.- Simat es troba a 150 metres d’altura respecte del nivell del mar i Barx a 540 metres. Per

anar d’una població a l’altra hi ha una carretera de 5Km de longitud. Quin és el pendent mitjà

de la carretera?

8.- Per anar de Tavernes a la platja, un ciclista pedaleja amb una cadència de 90 pedalades per

minut, la roda de la bicicleta té de radi 33.34 cm, i està utilitzant un “desarrollo” de manera

que, per cada pedalada la roda fa 3 revolucions. A quina velocitat (Km/h) està anant el ciclista?

9.- Amb l’ajuda del GPS dissenya una ruta ciclista per La Valldigna de manera que es passe pels

llocs més interessants que tu consideres. En cada lloc has de fer referència del punt

quilomètric des de l’eixida, temps, desnivell respecte del mar i interés paisatgístic, històric, etc.

Fes un mapa de la ruta.

∩ �� ó; ∪ ��ó; ∅ �� ; ∈ ��; ∀ �� ; → �� ℎ�� ; ⊆ ��ó �; ⊓ !��"��; /"� $��%� &��; ↔ � � �� ; ∃ �)� ��);




Pàg.:40

Números

TNumero Real R - MATVALLmatvall.es/file.php/1/ApuntsSecundaria/TNumero_Real_R.pdf · 2012. 12....

Documents

Transcript of TNumero Real R - MATVALLmatvall.es/file.php/1/ApuntsSecundaria/TNumero_Real_R.pdf · 2012. 12....