Todos los exámenes finales de probabilidad y estadística

8/16/2019 Todos los exámenes finales de probabilidad y estadística

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FACULTAD DE INGENIERÍADIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICASEGUNDO EXAMEN FINAL

SOLUCIÓNSemestre: 2007-2

1.- Para la siguiente tabla de datos agrupados:

Fronteras

de

clase

Marca

de

clase

Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Acumulada

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Acumulada

Relativa

10 20 15 121 121 0.1092 0.1092 1815 125967.34

20 30 25 160 281 0.144 0.2536 4000 79319.28

30 40 35 182 463 0.1643 0.4179 6370 27379.83

40 50 45 170 633 0.1534 0.5713 7650 872.40

50 60 55 140 773 0.1264 0.6977 7700 8375.49

60 70 65 126 899 0.1137 0.8114 8190 39629.28

70 80 75 112 1011 0.1011 0.9125 8400 86151.65

80 90 85 97 1108 0.0875 1 8245 138118.72

1108 1 52370 505813.99

Obtener:

a) La media.

b) La variancia y la desviación estándar.

c) El coeficiente de variación.

d) La mediana.

15 PuntosResolucióna) La media se define como:

sustituyendo:

Por lo tanto, al sustituir de la tabla:

Usando las frecuenci

b) La variancia está dad

sustituyendo la inform

entonces:

Usando las frecuenci

de la tabla se sustituy

O bien:

sustituyendo los valo

La desviación estánd

por lo que:

O bien, para:


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c) El coeficiente de variación está definido como:

sustituyendo, se tiene:

entonces:

En el otro caso, se tiene:

sustituyendo los valores obtenidos:

por lo tanto:

d) La mediana es para el , el cual está en la

clase cuatro. Los datos a considerar son:

Frontera

superior

Frecuencia

acumulada

relativa

40 0.4179

0.5

50 0.5713

Realizando una interpolación con la información anterior:

sustituyendo, se tiene:

si , sustituyen

despejando, se obtien

2.- En cierta fábrica las máquinas porcentaje de tornillos defec

máquina C 1%. La producción

A produce el triple que la B m

parte de la máquina A. Si se

defectuoso, ¿cuál es la probab

15 PuntosResoluciónSea el evento que represent

Sea el evento que represent



Del enunciado se tienen los da

Con respecto de se tiene:

se sabe que:

sustituyendo:

entonces:


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sustituyendo, en cada caso:

Del Teorema de Probabilidad Total:

o bien:

sustituyendo los datos:

Se quiere calcular la probabilidad que si un tornillo es defectuoso, haya sido

producido por la máquina , entonces:

el numerador se escribe como:

sustituyendo el resultado y los datos:

3.- La dieta de los atletas requiere cuando mucho el consumo de tres vitaminas ydos minerales. Usando un sistema de pares ordenados, por ejemplo ( 1,2 ) para

representar que los atletas tom

la misma probabilidad a cada e

a) La distribución de

acumulativa para la v

vitaminas y minerale

b) La media y la desviacc) Las probabilidades

15 PuntosResoluciónLa dieta requiere tres vitamin

mucho, se tiene que consider

enunciado, esto es, que

minerales.

Se define como la variable a

y minerales que toma un atleta

El espacio muestral del experi

cada evento simpl

a) La distribución de pr

0 1

La función de distribu

entonces se tiene:

0 1

b) Para determinar la m

La media se define po


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sustituyendo:

Para calcular la desviación estándar se tiene que determinar la

variancia, la cual está definida por:

sustituyendo los valores:

En forma compacta la variancia está dada por:

Se obtiene el segundo momento con respecto del origen:

sustituyendo:

La variancia queda como:

entonces la desviación estándar en ambos casos es:

c) Para calcular las prob

la función de probabi

c1)

c2)


c3) Por último,


Para calcular las prob

función de distribució

4.- Indicar el tipo de distribucióenunciados, justificar su respu

a) Número de familias c

seleccionadas al azar

b) Analizar 125 muestra

contaminada_______

c) En una hora determ

personas___________

d) La caída al azar de un

longitud__________

e) El número de tiros qu

fútbol para anotar dos

20 Puntos


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Resolucióna) Binomial

b) Geométrica

c) Poisson

d) Uniforme continua

e) PascalLa justificación es a criterio del profesor.

5.- Considerar la siguiente función de densidad conjunta:

Obtener:

a)

b)

c) La covariancia.

20 Puntos

ResoluciónLa región donde la función es de densidad de probabilidad es:

a) La región para calcular la probabilidad es:

ya que se quiere dete

entonces:

b) La región para calcul

porque se va a determ

que es igual que calcu

c) La covariancia está d

sobre la región donde

los valores esperados


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sustituyendo la función y los valores esperados correspondientes:

sustituyendo para obtener la covariancia:

6.- Los costos de afinación en un taller mecánico son de 300 pesos para un auto decuatro cilindros, 360 para uno de seis y 420 para uno de ocho. De los registros

de ventas se sabe que el 50% de las afinaciones se hacen para autos de cuatro

cilindros, 40% para los de seis y 10% para los de ocho. Se seleccionan al azar

dos autos para la afinación.

a) Calcular la distribución muestral para el promedio de los costos delservicio.

b) Determinar la media, variancia y desviación estándar para la muestra.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al llevar un auto al servicio el costo de

este sea de 390 pesos?

15 PuntosResoluciónSea la variable aleatoria que representa los costos de afinación para autos.

El recorrido de la variable aleatoria es , con función

de probabilidad dada por:

300 360 420

El espacio muestral para el promedio de los costos del servicio de afinación, es:

entonces los promedios de los costos de afinación son:

a) La distribución de probabilidad muestral de los promedios de los

costos de afinación e

300 330

b) Se quiere hallar la

muestral:

La media se define co

sustituyendo valores:

Para la desviación e

respecto del origen, p

sustituyendo valores:

La variancia en térm

definida por:


Otra forma para calcu

respecto de la media:


media muestral:


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Entonces la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la

variancia es:

c) La probabilidad pedida es:


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Dist ribuc ión d

0,0000

0,05000,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

1,5 7 14

Marc

F r e c u e n c i a R e l a t i v a f i *

FACULTAD DE INGENIERÍADIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADASDEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPrimer Examen Final

SoluciónSemestre: 2007-2

1.- La siguiente información agrupada representa el número de puntos anotados por equipo y por juego en la Liga Nacional de fútbol americano durante la

temporada 2006

Grupo Frecuencia

0 - 3 27

4 - 10 66

11 - 17 91

18 - 24 70

25 - 31 57

32 - 38 34

39 - 45 16

46 - 52 3

a) Trazar la gráfica de la distribución de frecuencia relativa.

b) Calcular la media y la moda.

c) Calcular la variancia y la desviación estándar.

20 PuntosResolucióna) La gráfica de la distribución de frecuencia relativa es:

b )

La media que es el valor más re

lo equipos y juegos:

Grupo Frecuencia M

0 - 3 27

4 - 10 66

11 - 17 91

18 - 24 70

25 - 31 57


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32 - 38 34 35

39 - 45 16 42

46 - 52 3 49

364

sustituyendo:

La moda es la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia:

c) La variancia es:

sustituyendo se tiene:

La desviación estándar es la raíz de la variancia:

esto es:

2.- Una fábrica tiene tres tipos de capacitación para los nuevos técnicos quecontrata y envía al 20% al curso básico, 65% al curso normal y 15% al curso

avanzado. La probabilidad de que cada técnico cometa un error durante cierto

proceso es de 15%, 10% y 5% según haya asistido al curso básico, normal o

avanzado, respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un técnico cualquiera cometa un error?

b) ¿Cuál es la probabilid

asistido al curso norm

15 PuntosResoluciónSea el evento que represent

tomar un curso básico de capaSea el evento que represent

tomar un curso normal de capa


tomar un curso avanzado de ca


Del enunciado:

a) Se pide la probabilida

sustituyendo:

b) Se quiere la probabili

error haya asistido al


3.- Un constructor planea la adqu para un nuevo proyecto en una

tractores similares, estima que

permanezca trabajando al men

a) ¿Cuál es la probabilid

seis meses en el proy

b) Usando como va


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número de tractores operando después de seis meses? Calcular la

distribución de probabilidad.

15 PuntosResoluciónSea la variable aleatoria que representa el número de tractores que

permanecen trabajando después de seis meses.

a) Se pide exactamente uno:

b) Sea la variable aleatoria que representa el número de tractores

operando después de seis meses.

La distribución de probabilidad queda en forma analítica como:

sustituyendo:

La distribución en forma tabular es:

0 1 2 3

0.125 0.375 0.375 0.125

4.- Las líneas telefónicas del sistema de reservaciones de una aerolínea estánocupadas 40% del tiempo. Supóngase que los eventos de que las líneas están

ocupadas en llamadas sucesivas son independientes y supóngase que entran 10

llamadas a la aerolínea:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas no estén ocupadas para

exactamente tres llamadas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las líneas no estén ocupadas para al

menos una llamada?

c) ¿Cuál es el número e

ocupadas?

15 PuntosResolución

Sea la variable aleatoria queno están ocupadas.

a) Se piden exactamente

b) Se desea obtener al m

que es igual a:

c) El número esperado d

es el valor esperado p

Se espera tener cuatro

5.- Considerar la siguiente funció

a) Dibujar la gráfica

b) Obtener y

c) ¿Las variables aleato

15 PuntosResoluciónPrimero se determinará el val

densidad se tiene:


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para este caso, sustituyendo:

resolviendo la integral:

por lo tanto

Sustituyendo el valor de en la función:

a) La gráfica es:

b) Para encontrar las funciones de distribución acumulativa, conviene

hallar previamente las funciones marginales que se definen como:

y

sustituyendo:

y la otra función mar

Entonces las funcion

sustituyendo:

y

c) Para que las variable

debe cumplir que:

sustituyendo las fun

aleatorias conjuntas,

por lo tanto, sí son va

6.- La estatura de los jugadores d12.51% de los jugadores tiene

una estatura menor de 1.80 [m

la distribución de probabilidad


Sea la variable aleatoria qu NBA.

.

Del enunciado se sabe que:

se quiere determinar y


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De tablas de la distribución normal estándar:

L a p a r a e s l a d e

por lo que:

La para seobtiene directamente de la distribución

acumaulada

por lo que:

Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

resolviendo el sistema ecuaciones:

sustituyendo en la segunda ecuación:

por lo tanto

entonces la media es:


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Facultad de IngenieríaDivisión de Ciencias Básicas

Coordinación de Ciencias AplicadasDepartamento de Probabilidad y Estadística

Probabilidad y EstadísticaPrimer Examen Final

Resolución Tipo A

Semestre: 2008-1Duración máxima: 2.5 h

1. Considerar la siguiente muestra (la resistencia de 50 lotes de algodón, libras necesarias pararomper una madeja).

76 100 90 99 97 89 108 94 87 79

101 90 105 83 91 96 81 98 81 98

105 110 91 99 101 94 106 98 93 82

90 86 96 88 97 103 85 106 92 115

97 101 102 96 100 76 96 81 101 93 a) Completar la tabla de distribución de frecuencias siguiente:

M a r c a d e

c l a s e

F r ec ue nc ia F r ec ue nc ia

a c u m u l a d a

F r e c u e n c i a

re lat iva

F r e c u e n c i a

r e l a t i v a

a c u m u l a d a

in f s u p7 5 .5 8 1 .5

8 1 .5 8 7 .5

8 7 .5 9 3 .5

9 3 .5 9 9 .5

9 9 .5 1 0 5 .5

1 0 5.5 1 11 .5

1 1 1.5 1 17 .5

F r o n t e r a s d e

c l a s e

i x

i f

i F *

i f

*

i F

b) Dibujar el histograma.c) Calcular la media, la moda, la mediana, la desviación estándar y el sesgo.

20 puntosResolucióna) La tabla de distribución de frecuencias está dada por:

Marca de clase Frecuencia Frecuencia

acumulada

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativaacumulada

inf sup75.5 81.5 78.5 6 6 0.12 0.12

81.5 87.5 84.5 5 11 0.10 0.22

87.5 93.5 90.5 10 21 0.20 0.42

93.5 99.5 96.5 14 35 0.28 0.70

99.5 105.5 102.5 10 45 0.20 0.90

105.5 111.5 108.5 4 49 0.08 0.98

111.5 117.5 114.5 1 50 0.02 150

Fronteras de clase

i x

i f

i F *

i f *

i F

b) El histograma es:

Histograma

0

5

10

15

78.5 84.5 90.5 96.5 102.5 108.5 114.5

Marcas de clase

F r e c u e n c i a

a b s o l u t a


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c) La media de los datos agrupados está dada por:

*

1 1

1 6 5 10 14 10 4 178.5 84.5 90.5 96.5 102.5 108.5 114.5

50 50 50 50 50 50 50

m m

i i i i

i i

x x f x f n = =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑

94.46 x = La mediana de los datos agrupados está en:

Fronteras de

clase

Frecuencia

relativa

acumulada

93.5 0.42

0.5099.5 0.70 x

Realizando una interpolación, la ecuación de la recta dados dos puntos está definida por:

( )1 00 01 0

y y y y x x

x x

−− = −

−

la pendiente se obtiene de sustituir:

1 0

1 0

0.70 0.42 0.28 70.047

99.5 93.5 6 150

y ym

x x

− −= = = = =

− −

sustituyendo los valores se tiene: 0.7 0.047( 99.5) y x− = − la recta en forma ordenada al origen es:

0.047 4.676 0.7 0.047 3.976 y x x= − + = − sustituyendo el punto ( ),0.5P x : 0.5 0.047 3.976 x= −

despejando de la expresión anterior: 95.234 x ≈

La moda es la marca de clase con mayor frecuencia, entonces: 96.5mo x =

Para la variancia de los datos de la muestra, se sabe que:

( )22

1

1

1

1

m

n i i

i

s x x f n

−=

= −−

∑

sustituyendo:

( )2 12 2 2 2 2 2 21 78.5 94.46 6 (84.5 94.46) 5 (90.5 94.46) 10 (96.5 94.46) 14 (102.5 94.46) 10 (108.5 94.46) 4 (114.5 94.46) 1

49ns

− ⎡ ⎤= − + − + − + − + − + − + −

⎣ ⎦

[ ]

2

1

14075.92 83.18

49ns

−

= ≈

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia, por lo que:2

1 1 83.18 9.12

n ns s

− −= = ≈

Por la posición de las medidas de tendencia central se puede determinar de manera empírica el

sesgo de la muestra, esto es: mo x x x<


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2. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones de unacompañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es degran interés para el inversionista. Con base en la información de la bolsa de valores, se observaque la cotización se relaciona con el valor del oro en el mercado internacional. Si el valor del oroaumenta en el mundo, la probabilidad de que aumenten las acciones es de 0.8; si el valor del oroes el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.17; si el valor del orodisminuye, la probabilidad es de sólo 0.13. Si para los siguientes meses los analistas asignan lasprobabilidades de 0.5, 0.3 y 0.2 a los eventos: el oro sube, es el mismo o disminuye en su valor,respectivamente:

a) Determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses.b) ¿Cuál es la probabilidad de que el valor del oro aumente dentro de seis meses, no obstante

que el valor de las acciones aumente?15 puntosResoluciónSean los eventos:

: A El valor del oro aumenta en el mercado internacional.

: B El valor del oro permanece constante en el mercado internacional.

:C El valor del oro disminuye en el mercado internacional.

: D Aumentan las acciones.

Del enunciado se tienen los siguientes datos:( ) 0.5P A = ( ) 0.3P B = ( ) 0.2P C =

( ) 0.8P D A = ( ) 0.17P D B = ( ) 0.13P D C =

a) Se pide calcular la probabilidad total para:( ) ( ) ( ) ( )P D P A D P B D P C D= ∩ + ∩ + ∩

que equivale a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P A P D A P B P D B P C P D C = + +

sustituyendo los valores se tiene:( ) (0.5)(0.8) (0.3)(0.17) (0.2)(0.13)P D = + +

( ) 0.477P D =

b) Para el cálculo de la probabilidad se utiliza el Teorema de Bayes:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

P A P D AP A D

P A D P D P D

∩

= = sustituyendo los valores se tiene:

(0.5)(0.8)( ) 0.8386

0.477P A D = ≈

3. El PH con que se mide la acidez del agua, es importante en los estudios de lluvia ácida. Paradeterminado lago en Veracruz, se llevan a cabo mediciones testigo de acidez para que se puedanotar cualquier cambio originado por la lluvia ácida. El PH de las muestras del agua es unavariable aleatoria X , cuya función de densidad de probabilidad es:

( ) ( )

2

X

37 - x ; 5 x 7

f x = 8

0 ; en otro caso

⎧<


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a) La función de distribución que muestra el comportamiento acumulado está definida por:

( ) ( )

x

X X F x f t dt

−∞

= ∫ sustituyendo para la función de densidad:

2

5

3( ) ( ) (7 )

8

x x

X X F x f t dt t dt −∞

= = −∫ ∫ por cambio de variable:

2

5

3( ) (7 )8

7

x

X F x t dt

u t

du dt

dt du

= −

= −

= −

= −

∫

( )

2 3 3

55 5

3 3 1 1( )

8 8 3 8

x x x

X F x u du u u⎛ ⎞

= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

3 3 3

5

1 1( ) (7 ) (7 ) (7 5)

8 8

x

X F x t x⎡ ⎤= − − = − − − −⎣ ⎦

3 31 1( ) (7 ) 8 1 (7 ) , 5 78 8

X F x x x x⎡ ⎤= − − − = − − <


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( ) ( )13.5 15 17 15 1.5 2

1.06 1.412 2 2 2

P Z P Z P Z P Z P Z P Z ⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≈ ≤ + ≥ = ≤ + ≥ = ≤ − + ≥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( 1.06) 1 (1.41) Z Z F F = − + −

usando la tabla de la función de distribución acumulativa normal estándar se tiene:

( 13.5) ( 17) ( 1.06) (1 (1.41)) 0.1446 0.0793 0 .2239 Z Z

P T P T F F ≤ + ≥ = − + − = + =

5. Un ingeniero para su empresa de fabricación de computadoras compra, a un proveedor, grandescantidades de un cierto componente electrónico y ha adoptado un plan para aceptar cada uno delos envíos de componentes, el cual consiste en inspeccionar una muestra aleatoria de 10componentes. Si el comprador encuentra a lo más dos componentes defectuosos en la muestra,acepta el lote enviado por el proveedor. Se sabe por registros de la empresa que los envíos deeste proveedor traen el 16% de componentes defectuosos.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado?b) ¿Cuál es el promedio de los componentes defectuosos que deberá esperar el ingeniero

siempre que revise una muestra de 10 componentes?10 puntosResoluciónSea X la variable aleatoria que representa el número de componentes defectuosos en la muestra.

( )10, 0.16 X Binomial n p= =∼

a) La probabilidad de que el lote sea aceptado, es la probabilidad de que X sea menor o igual ados.

( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X ≤ = = + = + =

0 10 1 9 2 810 10 10

( 2) (0.16) (0.84) (0.16) (0.84) (0.16) (0.84) 0 1 2

P X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( 2) 0.7936P X ≤ ≈

b) El promedio de componentes defectuosos es la media, esto es:10(0.16) 1.6npμ = = =

El ingeniero espera obtener dos componentes defectuosos al revisar una muestra de diez.

6. Sean X el precio de un producto en dólares y Y las ventas totales, la función de densidad deprobabilidad está dada por:

-x y

XY

5 x e ; 0.20 < x < 0.40 , y >0 f (x, y)=

0 ; en otro caso

⎧⎨⎩

a) Determinar la probabilidad de que el precio sea menor de 30 centavos y las ventassobrepasen las 20000 unidades.

b) Dadas las funciones marginales

X

5 ; 0.20 < x < 0.40 f (x)=

0 ; en otro caso

⎧⎨⎩

-0.2y -0.4y

2 2

Y

5 5

e (1+0.2y)- e (1+0.4y) ; y >0 y y f (y)=

0 ; en otro caso

⎧

⎪⎨⎪⎩

¿son variables aleatorias conjuntas independientes? 15 puntosResoluciónLa gráfica de la función de densidad de probabilidad es:


18/234

a) La probabilidad pedida es que el precio sea menor de 30 centavos y las ventas sobrepasen las20000 unidades, entonces:

0.3 0.3

0.2 2 0.2 2

( 0.3 2) 5 lim 5

R

xy xy

RP X Y xe dydx xe dydx

∞

− −

→∞< ∩ > = = =∫ ∫ ∫ ∫

0.3 0.3 0.3 0.3

2 2 2

20.2 0.2 0.2 0.2

5 lim 5 lim 5 5

R xy xR x x x

R Re dx e e dx e dx e dx− − − − −

→∞ →∞

⎤ ⎡ ⎤= − = − − = − − = =⎣ ⎦⎦

∫ ∫ ∫ ∫0.32 2(0.3) 2(0.2) 2(0.2) 2(0.3)

0.2

5 5 50.3038

2 2 2

xe e e e e− − − − −⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − = − ≈⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) Para que las variables aleatorias conjuntas sean independientes, es suficiente que se cumpla:

( , ) ( ) ( ) XY X Y

f x y f x f y=

sustituyendo las funciones marginales, se tiene:

0.2 0.4

2 2

5 55 5 (1 0.2 ) (1 0.4 ) xy y y x e e y e y

y y

− − −⎛ ⎞≠ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

por lo tanto no son independientes; es decir, son variables aleatorias conjuntas dependientes.

7. Una compañía fabrica focos que tienen un periodo de vida distribuido aproximadamentenormal, con media igual a 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Calcular laprobabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de775 horas.

15 puntosResoluciónSea X la variable aleatoria que representa el periodo de vida, en horas, de un foco.

( )2 2800, (40) X Normal μ σ = =∼

con 16n = , ( )2 2800, (40) , 1, 2, 3, ... , 16i X Normal iμ σ = = =∼ se quiere calcular la probabilidad de que la vida promedio de los 16 focos, sea cuando mucho de 775

horas, entonces:( ) ( )775


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Facultad de IngenieríaDivisión de Ciencias Básicas

Coordinación de Ciencias Ap licadasDepartamento de Probabilidad y Estadística

Probabilidad y EstadísticaSegundo Examen Final

SOLUCIÓNSemestre: 2008-1

Duración máxima: 2.5 h

1. En la siguiente tabla se muestra la clasificación combinada del número de millas y el volumen del motor por partede la APA en 49 estados (todos menos California) para nueve automóviles subcompactos con transmisiónestándar, de cuatro cilindros y que utilizan gasolina. El tamaño del motor se da en pulgadas cúbicas totales decilindrada.

Automóvil Cilindrada (x) mpg (combinado) (y)

VW Rabbit 97 24

Datsun 210 85 29

Chevette 98 26

Dodge Omni 105 24

Mazda 626 120 24

Oldsmobile Starfire 151 22

Mercury Capri 140 23

Toyota Celica 134 23

Datsun 810 146 21 a) Representar los datos en un diagrama de dispersión.

b) Ajustar a los datos un modelo lineal de regresión, empleando el criterio de mínimos cuadrados.c) Dibujar la gráfica de la recta de los mínimos cuadrados para ver qué tan bien se ajusta a los datos.d) Utilizar la recta de los mínimos cuadrados para estimar el promedio de millas por galón para un automóvil

subcompacto que tiene un volumen del motor de 125 pulgadas cúbicas.e) Calcular la covariancia, el coeficiente de correlación y de determinación. Interpretar los resultados de la

relación de las variables.20 PuntosResolucióna) El diagrama de dispersión es:

Diagrama de disper sión

0

10

20

30

40

80 100 120 140

Cilindrada (x)

m p g ( c o m b i n a d o )

( y )

b) El ajuste de los datos a un modelo lineal de regresión por el criterio de mínimos cuadrados está dado por:

0 1ˆ ˆˆ y x β β = +

donde:

0 1

ˆ ˆ y x β β = − y

1ˆ xy

xx

SS

SS β =

realizando los productos y las sumas, se tiene:


20/234 2

97 24 9409 576 2328

85 29 7225 841 2465

98 26 9604 676 2548

105 24 11025 576 2520

120 24 14400 576 2880

151 22 22801 484 3322

140 23 19600 529 3220

134 23 17956 529 3082

146 21 21316 441 3066

Sumas: 1076 216 133336 5228 25431

x y 2 x 2 y xy

de donde:

( )

2

2

12

1

1076133336 4694.222

9

n

in

i

xx i

i

x

SS xn

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= − = − =∑

∑

( ) ( )1 1

1

1076 21625431 393

9

n n

i in

i i xy i i

i

x y

SS x yn

= =

=

= − = − = −∑ ∑

∑ sustituyendo :

1

393ˆ 0.0844694.222

xy

xx

SS

SS β

−= = = −

para encontrar los promedios, se tiene:

( )1

1 11076 119.556

9

n

i

i

x xn

=

= = =∑ y

( )1

1 1216 24

9

n

i

i

y yn

=

= = =∑ sustituyendo:

( ) ( )0ˆ 24 0.084 119.556 34.043 β = − − = por lo tanto el modelo lineal de regresión es:

ˆ 34.043 0.084 y x= − c) La gráfica es:

Diagrama de dispersióny = -0.084x + 34.043

0

5

10

1520

25

30

35

80 90 100 110 120 130 140 150

Cilindrada (x)

m p g ( c o m b i n

a d o ) ( y )

d) Un automóvil subcompacto que tiene un volumen del motor de 125 pulgadas cúbicas, sustituyendo en el modelo,

se tiene:


21/234 3

( )ˆ 34.043 0.084 125 23.543 y = − = e) La covariancia está dada por:

393ˆ ( , ) 43.667

9

xySS Cov X Y

n

−= = = −

El coeficiente de correlación está definido por:

xy

xx yy

SS r

SS SS =

calculando:

( )

2

2

12

1

2165228 44

9

n

in

i

yy i

i

y

SS yn

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= − = − =∑

∑ por lo que el coeficiente de correlación es:

( ) ( )

3930.865

4694.222 44r

−= = −

El coeficiente de determinación está definido por:

( ) ( )2 2 20.865 0.748 R r = = − =

Se concluye que las variables tienen una buena relación lineal, puesto que: 0.865r = −

2. Una urna contiene 40 bolas blancas y 10 bolas negras. Si dos bolas se sacan aleatoriamente, determinar laprobabilidad de que las dos sean blancas si:a) la primera bola es reemplazada antes de sacar la segunda.b) la primera bola no es reemplazada antes de sacar la segunda.

10 PuntosResolucióna) Sea A el evento que representa que se selecciona aleatoriamente una bola blanca de la urna, con reemplazo, si

la primera bola que se selecciona es blanca.

( )2 2

40 40 40 4 160.64

50 50 50 5 25P A A

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Sea B el evento que representa que se selecciona aleatoriamente una bola blanca de la urna, sin reemplazo, si la

primera bola que se selecciona es blanca.

( ) 40 39 4 39 156

0.63750 49 5 49 245

P B B ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. Se tiene la siguiente función de densidad:

⎧⎨⎩

-2x

X

2e ; x >0 f (x)=

0 ; en otro caso

a) Obtener el valor esperado de la función.b) Calcular la variancia de la función.

10 PuntosResoluciónSea X una variable aleatoria con distribución exponencial con 2λ = a) El valor esperado es:

( ) 1 1

0.52

E X λ

= = =

o bien:

( ) 2 20 0

12 lim 2 0.5

2

R

x x

R E X x e dx x e dx

∞

− −

→∞= = = =∫ ∫

b) La variancia es:

( ) 2 21 1 1

0.252 4

Var X λ

= = = =


22/234 4

o bien:

( )2 2

2 2

0 0

1 1 12 lim 2 0.25

2 2 4

R

x x

RVar X x e dx x e dx

∞

− −

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 4. Los conductores que se fabrican para utilizarse en determinado sistema de cómputo, necesitan resistencias que

varíen entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias reales medidas de los conductores que produce la compañía Atienen un distribución normal con promedio de 0.13 y desviación estándar de 0.005 ohm, respectivamente.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor seleccionado al azar de la producción de la compañía A

cumpla con las especificaciones?b) Si se usan cuatro de estos conductores en el sistema de la compañía A, ¿cuál es la probabilidad de que el

cuarto conductor sea el primero que cumple con las especificaciones?c) Si se usan cuatro de estos conductores en el sistema de la compañía A, ¿cuál es la probabilidad de que el

cuarto componente sea el segundo componente que cumple con las especificaciones?15 PuntosResoluciónSea Y la variable aleatoria que representa el valor de las resistencias que fabrica la compañía A .

( )0.13, 0.005Y Y Y Normal μ σ = =∼ a) Se quiere calcular:

( ) ( ) ( )0.12 0.13 0.14 0.13

0.12 0.14 0.12 0.14 2 20.005 0.005

P Y P Y P Z P Z − −⎛ ⎞

≤ ≤ = < < ≈ < < = − <


23/234 5

6. Sean las distribuciones marginales de probabilidad de las variables aleatorias X eY :1 2 0 1 2 3

0 .4 0 .6 0 .2 0 .3 0 .4 0 .1

X Y ( ) X f x ( )Y f y

Si X y Y son estadísticamente independientes:a) obtener la distribución de probabilidad conjunta.b) demostrar que el coeficiente de correlación es cero.

15 PuntosResoluciónSi las variables aleatorias conjuntas son independientes, entonces:

( ), ( ) ( ) XY X Y f x y f x f y=

a) La distribución de probabilidad conjunta es:

1 2

0 0.08 0.12

1 0.12 0.18

2 0.16 0.24

3 0.04 0.06

( ), X Y f x y x

y

b) El coeficiente de correlación es cero, esto es, en particular:

( , ) ( ) ( ) ( )Cov X Y E X Y E X E Y = − realizando los cálculos:

( ) ( , ) XY y x

E X Y xy f x y

∀ ∀

= ∑ ∑ sustituyendo:

( ) (1)(1)(0.12) (1)(2)(0.16) (1)(3)(0.04) (2)(1)(0.18) (2)(2)(0.24) (2)(3)(0.06) E X Y = + + + + +

( ) 2.24 E X Y = Los promedios de las funciones marginales son:

( ) ( ) (1)(0.4) (2)(0.6) 1.6 X x

E X x f x

∀

= = + =∑ ( ) ( ) (1)(0.3) (2)(0.4) (3)(0.1) 1.4Y

y

E Y y f y

∀

= = + + =∑ sustituyendo en la covariancia:

( , ) 2.24 (1.6)(1.4) 0Cov X Y = − = se verifica que son variables aleatorias conjuntas independientes.

7. Se tomó una muestra aleatoria de 16 calificaciones de una población estudiantil de 100 estudiantes, en donde seencontró una desviación estándar muestral de las calificaciones de cuatro puntos y media muestral de 20 puntos,¿cuál es la probabilidad de seleccionar a un alumno que tenga más de 21.753 puntos como promedio?

15 PuntosResoluciónDel enunciado se tiene:

16n = 2 21 4nS − = 20 x =

Se quiere determinar la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga al menos 21.753 puntos comopromedio muestral, no se conoce la variancia poblacional ni la media poblacional pero se sabe que es igual a la mediamuestral, entonces:

( ) ( ) ( )1

21.753 20 (21.753 20)(4)21.753 21.753 1.7534 4

16

n

X P X P X P P T P T S

n

μ −

⎛ ⎞⎜ ⎟

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟> = ≥ ≈ > = > = > =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

de la tabla de la distribución t de Student, con 15 grados de libertad y 1.753, se tiene:

( )1.753 0.05P T > =


24/234 6

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 ν 0.001 0.002 0.003 0.004

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 1 318.2888 159.1444 106.0963 79.5722

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 2 22.3285 15.7638 12.8517 11.1130

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 3 10.2143 8.0524 6.9944 6.3221

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 4 7.1729 5.9514 5.3213 4.9076

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 5 5.8935 5.0303 4.5703 4.2620

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 6 5.2075 4.5242 4.1517 3.8982

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 7 4.7853 4.2071 3.8868 3.6666

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 8 4.5008 3.9909 3.7049 3.50670.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 9 4.2969 3.8345 3.5726 3.3899

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 10 4.1437 3.7163 3.4721 3.3010

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 11 4.0248 3.6238 3.3933 3.2311

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 12 3.9296 3.5495 3.3298 3.1747

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 13 3.8520 3.4887 3.2777 3.1282

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 14 3.7874 3.4379 3.2341 3.0893

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 15 3.7329 3.3948 3.1971 3.0563

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 16 3.6861 3.3579 3.1653 3.0279

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 17 3.6458 3.3259 3.1376 3.0032

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 18 3.6105 3.2979 3.1135 2.9815

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 19 3.5793 3.2732 3.0921 2.9624

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 20 3.5518 3.2512 3.0731 2.9453

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

α

Distribución acumulativa normal estándar Distribución t de Student


25/234


26/234


27/234


28/234


29/234


30/234


31/234


32/234


33/234


34/234


35/234


36/234

SEMESTRE 2009-1 TIPO 1DURACIÓN MÁXIMA 2.5 HORAS DICIEMBRE 3 DE 2008

NOMBRE______________________________________________________________________ 1. Los alumnos de la carrera de ingeniería industrial de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, realizaron

un estudio de las cotizaciones del trigo con el fin de emprender un negocio de distribución. Los datos(en miles de pesos) de la muestra, se presentan en la tabla de distribución de frecuencias siguiente.

Clase Marcas de Clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia Acumulada Frecuencia Acumulada Relativa

1 97.25 120.95 109.1 18 0.300 18 0.300 1963.8 31555.744

2 120.95 144.65 132.8 21 0.350 39 0.650 2788.8 6933.127

3 144.65 168.35 156.5 6 0.100 45 0.750 939.0 183.485

4 168.35 192.05 180.2 2 0.033 47 0.783 360.4 1708.786

5 192.05 215.75 203.9 2 0.033 49 0.817 407.8 5603.170

6 215.75 239.45 227.6 8 0.133 57 0.950 1820.8 46977.255

7 239.45 263.15 251.3 2 0.033 59 0.983 502.6 20132.218

8 263.15 286.85 275.0 1 0.017 60 1.000 275.0 15383.441

60 1.000 9058.2 128477.226

Fronteras de Clas

L i

L s i f i

* f i F i

*F i

x f i i ( )2

x x f i i−

a) Calcular la media, la mediana y la moda de la muestra.b) Determinar la variancia muestral y el coeficiente de variación.c) Dibujar el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva.


a) La media de los datos está dada por:*

1 1

1 m m

i i i i

i i

x x f x f n

= =

= =∑ ∑

sustituyendo: [ ]8

1

1 11963.8 275.0 150.97

60 60i i

i

x x f

=

= = + + =∑ … La mediana es el valor de x que divide en dos partes a la muestra dada, entonces:

Ls Fi*

120.95 0.3

x 0.5

144.65 0.65

Realizando una interpolación:

0.65 0.3 0.350.015

144.65 120.95 23.7m

−= =

− =

con la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente, se tiene:

( )0.65 0.015 144.65 y x− = −

con , sustituyendo:0.5 y =

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASCOORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPRIMER EXAMEN FINAL

RESOLUCIÓN


37/234

( )0.5 0.30 0.015 120.95

0.2120.95

0.015

134.283

x

x

x

− = −

= +

=

La moda es el valor de la marca de clase con mayor frecuencia:132.8mo

x = De otra forma, usando la fórmula para datos agrupados:

inf mo Mo Mo

a x L c

a b

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥+⎣ ⎦

donde:

1 1 , Mo Mo Mo Moa f f b f f − += − = −

Mo f : Es la frecuencia absoluta de la clase que contiene a la moda

Moc : Es la longitud de la clase que contiene a la moda

Moinf L : Es el límite inferior de la clase que contiene a la moda

sustituyendo:

( )3

120.95 23.73 15

mo x ⎡ ⎤

= + ⎢ ⎥+⎣ ⎦

realizando las operaciones:

124.90mo

x =

b) La variancia muestral está definida por: ( )22

1

1

1

1

m

n i

i

is x x f n

−=

= −−

∑ sustituyendo la información dada:

[ ]

[ ]

2

1

2

1

131555.744 15383.441

591

128477.226 2177.58059

n

n

s

s

−

−

= + +

= =

…

El coeficiente de variación se define por:1. . n

S C V

x

−=

sustituyendo: 2177.580 46.665

. . 0.309150.970 150.970

C V = = =

c) El histograma es:

Histograma

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

109.1 132.8 156.5 180.2 203.9 227.6 251.3 275.0

Marcas de Clase

F r e c u e n c i a R e l a t i v a


38/234

El polígono de frecuencias es:

Polígono de Frecuencia

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

85.4 109.1 132.8 156.5 180.2 203.9 227.6 251.3 275.0 298.7

Marcas de Clase

F r e c u a n c i a R e l a t i v a

La ojiva es:

Ojiva

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11.2

97.25 120.95 144.65 168.35 192.05 215.75 239.45 263.15 286.85

Fronteras de Clase

F r e c u e n c i a A c u m u l a

d a

R e l a t i v a

2. Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0.05 y falso-negativo de 0.1. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0.15 tiene

un resultado negativo con igual probabilidad. Calcular la probabilidad de que no esté enferma. Elcoeficiente falso-positivo se refiere a: el resultado es positivo, dado que la mujer no tiene laenfermedad y, el coeficiente falso-negativo se refiere a: el resultado es negativo, dado que la mujertiene la enfermedad.

15 PuntosResoluciónSea el evento que representa que la mujer tenga la enfermedad. E Sea A el evento que representa el resultado de la prueba es positivo.

Del enunciado se tiene: ,( ) = 0.15P E ( ) = 0.85P E , ( ) = 0.05P A E y

( ) = 0.10P A E

Se quiere calcular: ( )P E A Por el Teorema de Bayes:

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P E P A E P A E P E A

P A P E P A E P E P A E

∩= =

+

sustituyendo:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

0.85 0.95 0.80750.9818

0.15 0.10 0.85 0.95 0.8225P E A = =

+ =


39/234

3. Por saturación de vuelos, algunas líneas aéreas venden más pasajes que los disponibles en un vuelo.Una compañía ha vendido 205 boletos que corresponden a un avión con capacidad de 200 asientos.

Sea X la variable aleatoria que representa el número de pasajeros que tramita su pase de abordaren el aeropuerto. La distribución de probabilidad está dada por

x 198 199 200 201 202 203 204 205

( ) X f x 0.05 0.09 0.15 0.20 0.23 0.17 0.09 0.02

a) Determinar la probabilidad de que todos los pasajeros tengan asiento.b) Calcular la probabilidad de que alguno de los pasajeros se quede sin asiento.c) Determinar el número promedio de pasajeros que llegan a tomar el vuelo.

Supóngase que la compañía aérea recibe 250 euros por cada boleto que vende, pero que tieneque devolver el precio del boleto y además, pagar una multa de 1000 euros a cada pasajero queno pueda tomar el avión y que adquirió su boleto. Calcular la cantidad esperada de dinero queganará la compañía.


a) Se pide calcular , entonces:( 200P X ≤ )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

200 198 199 200

200 0.05 0.09 0.15 0.29

P X P X P X P X

P X

≤ = = + = + =

≤ = + + =

b) Se pide determinar , entonces:( 200P X > )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( )

200 201 202 203 204 205

200 0.20 0.23 0.17 0.09 0.02 0.71

P X P X P X P X P X P X

P X

> = = + = + = + = + =

> = + + + + =

)

también se puede obtener como:

( ) ( )200 1 200 1 0.29 0.71P X P X > = − ≤ = − =

c) Calculando el valor esperado,

( ) E X :

( ) ( ) X x

E X x f x

∀

= ∑ sustituyendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

E X = 198 0.05 +199 0.09 + 200 0.15 + 201 0.2 + 202 0.23 + 203 0.17 + 204 0.09 + 205 0.02

E X = 201.44

se espera que lleguen 202 personas. Entonces para calcular la cantidad esperada de dinero:

U I E = − El modelo es:

( )250 1250 200U X X = − −

Aplicando valor esperado a la utilidad:

( ) ( )( ) ( ) ( )250 1250 200 250 1250 200 E U E X X E X E X = − − = − − se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

250 1250 200 250 201.44 1250 201.44 200

50360 1800

48560

E U E X E X

E U

E U Euros

= − − = − −

= −

=

4. La aceptación de un tubo capilar para un congelador se encuentra midiendo la presión que ejerce (enlibra por pulgada cuadrada, [psi]) en los extremos del mismo. Información obtenida anteriormente enun proceso de manufactura de tubos capilares hace suponer que estas presiones están distribuidas

normalmente, con media de 130 [psi] y desviación estándar de cuatro [psi].a) Si no se pueden aceptar presiones por debajo de 121.5 [psi], ¿cuál es el porcentaje de tubos

rechazados?


40/234

b) Si no se quiere rechazar más del 10% de los tubos con presiones bajas, cuál es la presión mínimaque debe tener cualquier tubo para ser aceptado?

15 PuntosResolución a) Sea X la v.a. que representa la presión que ejerce un tubo capilar en los extremos.

( )130 [ ] , 4 [ ] X X X Normal psi psiμ σ ∼ = =

Se pide calcular la probabilidad de que la presión que da la probabilidad de que

un tubo sea rechazado y usando tablas de la función de distribución acumulativa normal estándar:

( < 121.5)P X

( )121.5 130

( < 121.5 ) < 2.13 0.01664

P X P Z P Z −⎛ ⎞

≈ = < −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

entonces el porcentaje de tubos que serán rechazados es: 1.67%

b) Se pide determinar ( < ) 0.10P X x = que representa que no se requiera rechazar más de 10%de los tubos con presiones bajas, entonces:

( )0130

( < ) < 0.104

xP X x P Z P Z z

−⎛ ⎞≈ =


41/234

( )( )4 = 2 2

4 = 4

xy x

xy xy

y

2

por lo tanto, sí son variables aleatorias conjuntas estadísticamente independientes.

c) El valor esperado de2

Z X Y = + está dado por:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

E Z E X Y E X E Y = + = + entonces:

( )

2 2

-

( ) X

E X x f x

∞

∞

= ∫ dx sustituyendo:

( ) 1 1 1

2 2 3 4

0 0 0

2 1(2 ) 2

4 2 E X x x dx x dx x

⎤= = = ⎥⎦∫ ∫ =

Por simetría:

( )21

2

E Y =

Por lo tanto el valor esperado es: ( ) ( ) ( )2 21 1

12 2

E Z E X E Y = + = + =

6. Considérese una enlatadora que produce latas de ocho [onzas] de maíz procesado. Los ingenieros decontrol de calidad han determinado que el proceso está funcionando correctamente cuando la

variación verdadera2

σ de la cantidad de llenado por lata es de menos de 0.0025. Se selecciona una

muestra aleatoria de 10 latas de la producción del día y se registra la cantidad de llenado (en onzas)

para cada una. Lo que interesa es la variancia de la muestra, . Si en verdad , calcular

la probabilidad de que será mayor que 0.0025. Supóngase que las cantidades de llenado tienen

una distribución normal.

2S

2 0.001σ =2

S

15 PuntosResolución Sea la v.a. que representa la cantidad de maíz procesado que debe contener una lata de ocho[onzas].

X

( )2 , 0.001 X X X Normal μ σ =∼ Sea i X una muestra aleatorias de 10 latas de la producción. 1,2,...,10i =

( )2 , 0.001 ; i=1,2,...,10i X X X Normal μ σ =∼ se pide calcular:

2

1( S 0.0025 )nP − > entonces:

( ) ( ) ( )( )

( )( )2

12 2

1 92

S 1 0.0025 9 S 0.0025 22.5 0.00742

0.001

n

n

nP P P

σ

−−

⎛ ⎞−> ≈ > = Χ > =⎜ ⎟

⎝ ⎠

por lo que es poco probable de que exceda la cantidad de llenado.De otra forma, usando las tablas de la distribución Ji-cuadrada, se tiene que con nueve grados delibertad y 22.5, realizando una interpolación:

21.666 0.01

22.5 y

23.589 0.005

0.01 0.005 0.005

0.002621.666 23.589 1.923m

−

= = = −− − de la ecuación de la recta punto-pendiente:


42/234

( )0.01 0.0026 21.666 y x− = − −

con 22.5 x =

( )0.0026 22.5 21.666 0.01

0.0078

y

y

= − − +

=

donde se observa que es poco probable que se exceda la cantidad de llenado.

De otra forma de la tabla de la distribución Ji cuadrada, con nueve grados de libertad y , es:22.5 x =

( )( )290.005 22.5 0.01P< Χ > <


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SEMESTRE 2009-1DURACIÓN MÁXIMA 2.5 HORAS DICIEMBRE 10 DE 2008NOMBRE______________________________________________________________________

1. Supóngase que un ingeniero toma una muestra aleatoria de 10 embarques recientemente enviadospor camión de una compañía y registra la distancia en kilómetros y el tiempo de entrega, al mediodíamás cercano, y a partir del momento en que el embarque estuvo listo para su transportación.

Distancia

( ) x , [Km] 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

Tiempo deentrega

( ) y , [días]3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0

a) Construir la gráfica de dispersión.b) Estimar la recta de regresión.c) Calcular el coeficiente de determinación e interpretar el resultado.

20 PuntosResolucióna) El diagrama de dispersión es:

Diagrama de Dispersión

y = 0.0036x + 0.11

R2 = 0.9005

0

1

2

3

4

5

6

0 215 430 645 860 1075 1290 1505

Distancia (x)

T i e m p o ( y )

La recta de regresión está dada por: 1 0 y x= β + β donde:

0 1 y x β β = −

y

1

xy

xx

SS

SS β =

Con , se sabe que:10n =

10

1

1 in

x xn =

= ∑ ,

10

1

1 in

y yn =

= ∑ ,

10 10

10

1 1

1

i i

xy n ni i

n

x y

SS x yn

= ==

= −

∑ ∑∑



PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICASEGUNDO EXAMEN FINAL

RESOLUCIÓN


44/234

y

210

10

2 1

1

i

xx

n

i

n

x

SS xn

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= −∑

∑

sustituyendo en cada caso:

7620 = = 762

10 x

28.5 = = 2.85

10 y

( )( )7620 28.526370 4653

10 xySS = − =

( )2

xx

76207104300 1297860

10SS = − =

sustituyendo:

1

4653 0.0036

1297860β = =

( ) ( )0 2.85- 0.0036 762 = 0.11β = por lo tanto el ajuste a una recta está dado por:

0.0036 0.11 y x= +

c) Se requiere

210

10

2 1

1

i

i yy

n

n

y

SS y

n

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= −∑

∑

sustituyendo:

( )2

yy

28.599.75 18.525

10SS − ==

se sabe que:

( )( )

46530.9489

1297860 18.525

xy

xx yy

SS r

SS SS = = =

entonces:

( )

22

0.9489 0.9004r = = La tendencia lineal es muy buena.

2. Una fábrica de computadoras recibe circuitos provenientes de tres distintos fabricantes 1 2 3, y A A A .

El 50% del total se compra a 1 A , mientras que a 2 3 A y A

3

, se les compra un 25% a cada uno. El

porcentaje de circuitos defectuosos para 1 2, y A A A , es de 5, 10 y 12%, respectivamente. Si los

circuitos se almacenan en la planta sin importar quien fue el proveedor.a) Determinar la probabilidad de que una computadora contenga un circuito defectuoso.b) Si un circuito no está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el

proveedor 2 A ?

15 PuntosResoluciónSean los eventos:


45/234

:i

A El circuito proviene del fabricante ; 1, 2, 3.i i = D : El circuito está defectuoso.a) Empleando el Teorema de Probabilidad Total:

( ) ( ) ( ) ( )1 2P D = P D A + P D A + P D A∩ ∩ ∩ 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3P D = P A P D | A + P A P D | A + P A P D | A3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )P D = 0.5 0.05 + 0.25 0.1 + 0.25 0.12

( )P D =0.08 Entonces la probabilidad de que no esté defectuoso es:

( ) ( )P D = 1- P D = 1-0.08 = 0.92 b) Del Teorema de Bayes y empleando el resultado del inciso anterior:

( ) ( )

( )2

2

P A DP A | D =

P D

∩

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

P A P D | AP A | D =

P D

( ) ( ) (( ))2 2

2

P A P 1 - P D | AP A | D =

0.92

( ) ( ) ( )

2

0.25 1 - 0.1P A | D = = 0.2446

0.92

3. El pH con el que se mide la acidez del agua, es importante en los estudios de lluvia ácida. Para

determinado lago de cierta región de México, se llevan a cabo mediciones testigo de acidez para quese pueda notar cualquier cambio originado por la lluvia acida. El pH de las muestras de agua del lago

es una variable aleatoria , cuya función de densidad de probabilidad es X

2 8; 2 5

90

9( ) ; 5 9

16

0 ;

X

x x

x f x x

en otro caso

+⎧ < ≤⎪⎪

−⎪=


46/234

( ) ( )

2

2 2

2 8 1 8

90 90

x x

X

t F x dt t t

+= = +∫

( ) ( ) ( )2 21 1 1

8 - 4 16 - 20 ; 2 590 90 90

X F x x x x x x⎡ ⎤= + + = +


47/234

4. Investigaciones y análisis recientes se centran en el número de enfermedades relacionadas con elorganismo Escherichia Coli, que provoca la descomposición de los glóbulos rojos y hemorragiasintestinales en sus victimas. En cierta ciudad han ocurrido brotes esporádicos de E. Coli a una tasa de2.5 por 100,000 durante un periodo de dos años. Supóngase que la tasa se conserva.a) ¿Cuál es la probabilidad de que halla más de dos casos de E. Coli por 100,000 en dicha ciudad

en un determinado año?

b) ¿Alrededor de cuántos casos a lo sumo se relacionan con el 95% de los brotes de E. Coli?15 PuntosResolución Sea la v.a. que representa el número de brotes de Escherichia Coli . X

( )~ , X Binomial n p sustituyendo:

2.5~ 100000 ,

100000 X Binomial n p

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

o bien

( )~ 100000 , 0.000025 X Binomial n p= = se sabe que, se puede hacer una aproximación por la distribución de Poisson, ya que, es grande yn

p es pequeña, entonces: 2.52

brotesnp

añosλ

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦, en un año, se tiene:

1.25brotes

npaño

λ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

por lo tanto:

1.25brotes

Poissonaño

λ ⎛ ⎞⎡ ⎤

⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠∼

a) La probabilidad de que halla más de dos casos de Escherichia Coli , es:

( ) ( ) ( )( 2) 3 4 5P X P X P X P X > = = + = + = + +…

( ) ( ) ( )

0 2

1.25 1.25 1.251.25 1.251.25

( 2) 1 2 10! 1! 2!

P X P X e e e− − −

⎡ ⎤> = − ≤ = − + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 1.2597

( 2) 1 2 1 0.131532

P X P X e− ⎡ ⎤> = − ≤ = − ≈⎢ ⎥⎣ ⎦

b) Para determinar el valor de x , de tal forma que ( ) 0.9P X x 5≤ = , se tiene:

1.25brotes

X Poissonaño

λ ⎛ ⎞⎡ ⎤=⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

∼

Utilizando el comportamiento acumulado:

x ( )P X x≤

0

( )0

1.251.25 ( 0) 0.2865

0!P X e

−= = ≈

1

( ) ( )0 1

1.25 1.251.25 1.25

( 1) 0.64460! 1!

P X e e− −≤ = + ≈

2

( ) ( ) ( )0 1 2

1.25 1.25 1.251.25 1.25 1.25 ( 2) 0.86850! 1! 2!

P X e e e− − −≤ = + + ≈

3( ) ( ) ( )

0 2 3

1.25 1.25 1.25 1.251.25 1.25 1.251.25 ( 3) 0.96170! 1! 2! 3!

P X e e e e− − − −≤ = + + + ≈

Por lo tanto serían a lo más tres casos para tener la probabilidad pedida


48/234

5. Supóngase que , y son variables aleatorias con1Y 2Y 3Y ( )21 11, 2μ σ = = , ,, ,

( )22 23, 1μ σ = =

( )23 30, 4μ σ = = ( )1 2, 1Cov Y Y = − ( )1 3, 2Cov Y Y = y ( )2 3, 1Cov Y Y = . Calcular la media y lavariancia de .1 22 3T Y Y Y = + − 3

15 Puntos

ResoluciónPara obtener la media de la variable aleatoria T , se sabe que es un operador lineal, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 32 3 2 3 E T E Y Y Y E Y E Y E Y = + − = + − sustituyendo:

( ) ( ) ( )2 1 3 3 0 5 E T = + − = La variancia de la variable aleatoria T está dada por:

( ) ( )2 31 2 3Var T Var Y Y Y = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 9 2 2 1 , 2 2 3 , 2 1 3 ,1 2 3 1 2 1 3 2Var T Var Y Var Y Var Y Cov Y Y Cov Y Y Cov Y Y = + + + + − + − 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 1 9 4 2 2 1 1 2 2 3 2 2 1 3 1Var T = + + + − + − + −

( ) 11Var T =

6. El tiempo en el que un cajero de un banco con servicio en el automóvil atiende a un cliente, es unavariable aleatoria con distribución aproximadamente normal, con media 3.2 minutos y desviaciónestándar 1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, calcular la probabilidad deque su tiempo medio en el cajero seaa) más de 3.5 minutos; yb) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4.

15 PuntosResolución Sea la v.a. que representa el tiempo que tarda un cajero de un banco en brindar servicio enautomóvil a un cliente.

Y

( )( )22 23.2 [min] , 1.6 [min]

Y Y Y Normal μ σ = =∼

Sea la muestra aleatoria tomada de una población normal, por el teorema del

límite central, se tiene:

; 1,2, ... ,64i

Y i =

( )2 23.2 , 1.6 ; i=1,2,...,64i ii Y Y

Y Normal μ σ = =∼

la variable aleatoria para los 64 clientes de un banco en brindar servicio en automóvil:

( )64

1 2 64

1

1 1...

64 64 i

i

Y Y Y Y

=

= + + + = ∑Y entonces:

( )222 1.6=3.2 ,64 64

Y Y Y Y

Y Normal σ

μ μ σ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

a) Del enunciado se pide determinar ( )3.5P Y > , entonces:

( ) ( )3.5 3.2

3.5 1.51.6

64

P Y P Z P Z

⎛ ⎞⎜ ⎟−

> ≈ > = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

usando tablas de la función de distribución acumulativa normal estándar:

( )1.5 1 ( 1.5) 1 0.9332 0.0668 Z P Z F Z > = − = = − =


49/234

b) La probabilidad de que la media muestral esté en ( ) ( )3.2 3.4 3.2 3.4P Y P Y ≤ ≤ = < < ,entonces:

( ) ( )3.2 3.2 3.4 3.2

3.2 3.4 0 1

1.6 1.664 64

P Y P Z P Z

⎛ ⎞⎜ ⎟− −

< < ≈ < < = <


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PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 1

SEMESTRE 2009-2 TIPO 1

DURACIÓN MÁXIMA 2.5 HORAS JUNIO 11 DE 2009

NOMBRE______________________________________________________________________

1. "Scram" es el término que utilizan los ingenieros nucleares para describir un rápido cierre de emergenciade un reactor nuclear. La industria nuclear ha hecho esfuerzos por reducir significativamente el númerode cierres no planeados. La tabla muestra el número de "Scrams" en cada uno de 56 reactores nuclearesen E.U.A.; 2004a) Agrupar los datos en ocho intervalos, con un ancho de clase de dos y comenzando en la frontera

inferior -1.5 b) Calcular la media del número de “Scrams” para datos agrupados.c) Obtener el segundo cuartil (la mediana) para datos agrupados.

Marcas de

clase

Frecuencia

absoluta-0.5 6

1.5 13

3.5 18

5.5 6

7.5 8

9.5 3

11.5 1

13.5 1


a)

La tabla de distribución de frecuencias es

Límites Fronteras Marcasde clase

f i f i* Fi Fi*

-1 - 0 -1.5 - 0.5 -0.5 6 0.107 6 0.107

1 - 2 0.5 - 2.5 1.5 13 0.232 19 0.339

3 - 4 2.5 - 4.5 3.5 18 0.321 37 0.660

5 - 6 4.5 - 6.5 5.5 6 0.107 43 0.767

7 - 8 6.5 - 8.5 7.5 8 0.142 51 0.910

9 - 10 8.5 - 10.5 9.5 3 0.053 54 0.964

11 - 12 10.5 - 12.5 11.5 1 0.017 55 0.982

13 - 14 12.5 - 14.5 13.5 1 0.017 56 1.000

56

b)

El promedio de “Scrams” para datos agrupados está dada por la expresión

*

1 1

1m m

i i i i

i i

x x f x f n

= =

= =∑ ∑ sustituyendo



DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPRIMER EXAMEN FINAL

RESOLUCIÓN


51/234

PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 2

( )( ) ( ) ( )

8

1

1 1 2260.5 6 13.5 1 4.036

56 56 56i i

i

x x f

=

= = − + + = =⎡ ⎤⎣ ⎦∑ …

c) El segundo cuartil es un valor que divide al conjunto de datos en dos subconjuntos de igual tamaño,

se obtiene mediante una interpolación lineal, entre las fronteras y la frecuencia acumulada, de talmanera que se acumulen 28 datos, el valor de la frontera resultado de la interpolación, será elsegundo cuartil, mismo que coincide con la mediana.

37 19 189

4.5 2.5 2m

−= = =

−

con la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente, se tiene:

( )19 9 2.5 y x− = −

con ( ), 28 x , sustituyendo:

( )28 19 9 2.5

1 2.5

3.5

x

x

x

− = −

= +

=

Se observa que en este caso, la mediana coincide con el punto medio de las fronteras de la clase encuestión.

2. En una planta de artículos electrónicos, se sabe por experiencia que la probabilidad de que un nuevo

trabajador que haya asistido al programa de capacitación conozca la cuota de producción es 0.86 y quela probabilidad correspondiente es 0.35 para otro que no haya asistido. Si el 80 % de todos losempleados de ingreso reciente asisten al programa, determinar la probabilidad de que un nuevoempleado conozca la cuota de producción.


Sean los eventos

: .

: .

A El trabajador asistió al programa de capacitación

B El trabajador conoce la cuota de producción

Se pide calcular la probabilidad de que un nuevo empleado conozca la cuota de producción, ( )P B .

De los datos se tiene: ( ) 0.8P A = , ( ) 0.2P A = , ( ) 0.86P B A = y ( ) 0.35P B A = Del teorema de probabilidad total

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P B P A B P A B

P B P A P B A P A P B A

= ∩ + ∩

= +

sustituyendo

( ) ( ) ( )0.8 0.86 0.2 0.35 0.758P B = + =

Fronteras Fi

2.5 19

x 28

4.5 37


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PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 3

3. Una tienda de computadoras adquirió tres computadoras Dell a $4000.00 cada una. Las venderá a$5500.00 cada una. El fabricante se comprometió a adquirir cualquier computadora que no se hayavendido después de un periodo especificado a $2000.00 cada una. Sea X la variable aleatoria que

representa el número de computadoras vendidas y supóngase que ( )0 0.1P X = = , ( )1 0.2P X = = ,

( )2 0.3P X = = y ( )3 0.4P X = = . Donde ( )U X denota la utilidad asociada con la venta de X unidades,

la información dada implica que ( ) ( )5500 2000 3 12000 3500 6000U X Ingresos Costos X X X = − = + − − = − .

a)

Calcular la utilidad esperada. b) Determinar la desviación estándar de la utilidad.


La función de probabilidad de X se puede escribir, como

x 0 1 2 3

( ) X f x 0.1 0.2 0.3 0.4

a)

La utilidad está dada por

( ) ( )5500 2000 3 12000 3500 6000U X Ingresos Costos X X X = − = + − − = −

entonces la utilidad esperada es

( ) ( ) ( )3500 6000 3500 6000 E U X E X E X ⎡ ⎤ = − = −⎣ ⎦

El valor esperado del número de computadoras vendidas está definido por

( ) ( ) X x

E X x f x

∀

= ∑ sustituyendo

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4 E X = + + +

( ) 2 E X =

sustituyendo en la utilidad esperada

( ) ( )3500 2 6000 1000 E U X ⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦

b)

La variancia de la utilidad esperada es el segundo momento con respecto de la media, o bien, elsegundo momento con respecto del origen menos el primero al cuadrado

( ) ( ) ( ) ( )2

3500 6000 3500Var U X Var X Var X ⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦

Se sabe que la variancia está definida por

( ) ( ) ( )2

2Var X E X E X ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

Calculando el segundo momento con respecto del origen

( ) ( )2 2 X x

E X x f x

∀

= ∑ sustituyendo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 22

2

0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.4

5

E X

E X

= + + +

=

La variancia es

( ) [ ]2

5 2 1Var X = − =

La variancia de la utilidad es

( ) ( )2

3500Var U X ⎡ ⎤ =⎣ ⎦

La desviación estándar de la utilidad es la raíz de la variancia

( )( ) ( )2

3500 3500U

Var U X σ = = =


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PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 4

4.

El chef de un restaurante de comida cantonesa prepara una ensalada que contiene, en promedio, cincovegetales. Obtener la probabilidad de que la ensalada contenga más de cinco vegetales:a)

en un día dado, b)

por primera vez en abril, el quinto día.15 PuntosResolución

Sea X la variable aleatoria que representa el número de vegetales que contiene la ensalada.

5vegetales

X Poissonensalada

λ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

a) La probabilidad de que la ensalada tenga más de cinco vegetales en un día dado, es

( )

55

0

55 1

!

x

x

eP X

x

−

=

> = −∑ desarrollando

( )0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 55 5 5 5 5 5

5 11 1 2 6 24 120

e e e e e eP X

− − − − − −⎡ ⎤> = − + + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) 5 25 125 625 31255 1 1 52 6 24 120

P X e− ⎡ ⎤> = − + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) 51097

5 1 0.38412

P X e−> = − ≈

b) Sea Y la variable aleatoria que representa el quinto día de abril es el primer día que la ensaladacontiene más de cinco vegetales.

( )0.384Y Geométrica p =∼

entonces4( 5) (0.616) (0.384) 0.055P Y = = ≈

5. Sea la función de densidad conjunta

; 0 4 , 1 5( , ) 96

0 ; XY

xy x y f x y

en otro caso

⎧≤ ≤ ≤ ≤⎪= ⎨

⎪⎩

a) Obtener las funciones de densidad marginal.

b) ¿Son X y Y variables aleatorias conjuntas independientes?c) Obtener el coeficiente de correlación.


a)

Las funciones marginales están definidas por:

-

( ) ( , ) X XY

f x f x y dy

∞

∞

=

∫ y ( ) ( , )

Y XY f y f x y dx

∞

−∞

=

∫

sustituyendo se tiene5 5

2

1 1

1 1 1 24 1( ) ; 0 4

96 96 2 192 8 X

f x xy dy x y x x x⎛ ⎞

= = = = <


54/234

PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 5

para la función marginal de Y

( ) 4 4

2

0 0

1 1 1 1 16( ) 16 0 ; 1 5

96 96 2 192 192Y f y xy dx y x y y y

⎛ ⎞= = = − = <


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PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 6

De tablas de la distribución acumulativa normal estándar:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 0.9772 0.0228 0.9544 Z Z P Z F Z F Z − < < = = − = − = − =

7. En la producción de herramientas de acero, se ha considerado ilustrar la relación entre la deformación

( ) x y la dureza Brinell ( ) y .a) Obtener la ecuación de la recta de regresión. b)

Calcular el coeficiente de determinación.c) La dureza cuando la deformación es de 25 [mm]

[ ] x mm 6 9 11 22 26 28 33 35

2

kg y

mm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

68 67 65 44 40 37 34 32

Usar los cálculos siguientes

Suma: 170 387 4496 20423 7012

x y 2 x 2 y xy


a) El ajuste de los datos a un modelo lineal de regresión por el criterio de mínimos cuadrados está dado por

0 1ˆ ˆˆ y x β β = +

donde

0 1ˆ ˆ y x β β = −

1ˆ xy

xx

SS

SS β =

realizando los productos y las sumas, se tiene

6 68 36 4624 408

9 67 81 4489 603

11 65 121 4225 715

22 44 484 1936 968

26 40 676 1600 1040

28 37 784 1369 1036

33 34 1089 1156 1122

35 32 1225 1024 1120

Suma: 170 387 4496 20423 7012

x y 2 x 2 y xy

de donde

( )

2

2

12

1

1704496 883.5

8

n

in

i

xx i

i

x

SS xn

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= − = − =∑

∑


56/234

PyE_ EF1_TIPO1_2009-2 7

( )( )1 1

1

170 3877012 1211.75

8

n n

i in

i i

xy i i

i

x y

SS x yn

= =

=

= − = − = −∑ ∑

∑ sustituyendo

1 1211.75ˆ 1.372883.5

xy

xx

SS SS

β −= = = −

para calcular los promedios, se tiene

( )1

1 1170 21.25

8

n

i

i

x xn

=

= = =∑ y

( )1

1 1387 48.375

8

n

i

i

y yn

=

= = =∑ sustituyendo

( ) ( )0ˆ

48.375 1.372 21.25 77.53 β = − − = por lo tanto el modelo lineal de regresión es

ˆ 77.53 1.372 y x= − b) El coeficiente de correlación está definido por

xy

xx yy

SS r

SS SS =

calculando

( )

2

2

12

1

38720423 1701.875

8

n

in

i

yy i

i

y

SS yn

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= − = − =∑

∑ por lo que el coeficiente de correlación es

( )( )

1211.750.988

883.5 1701.875r

−= = −

El coeficiente de determinación está definido por

( ) ( )2 2 20.988 0.976 R r = = − =

Se concluye que las variables tienen una buena relación lineal, puesto que:2 0.976 R =

c) Si la deformación es de 25 [mm], entonces

( )ˆ 77.53 1.372 25 43.23 y = − =


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PyE_ EF1_TIPO2_2009-2 1

SEMESTRE 2009-2 TIPO 2

DURACIÓN MÁXIMA 2.5 HORAS JUNIO 11 DE 2009

NOMBRE______________________________________________________________________

1. "Scram" es el término que utilizan los ingenieros nucleares para describir un rápido cierre de emergenciade un reactor nuclear. La industria nuclear ha hecho esfuerzos por reducir significativamente el númerode cierres no planeados. La tabla muestra el número de "Scrams" en cada uno de 56 reactores nuclearesen E.U.A.; 2004a) Agrupar los datos en ocho intervalos, con un ancho de clase de dos y comenzando en la frontera

inferior -0.5 b) Calcular la media del número de “Scrams” para datos agrupados.c) Obtener el segundo cuartil (la mediana) para datos agrupados.

Marcas de

clase

Frecuencia

absoluta0.5 10

2.5 19

4.5 13

6.5 7

8.5 4

10.5 1

12.5 1

14.5 1


a)

La tabla de distribución de frecuencias es

Límites Fronteras Marcasde clase

f i f i* Fi Fi*

0 – 1 -0.5 – 1.5 0.5 10 0.178 10 0.178

2 – 3 1.5 – 3.5 2.5 19 0.339 29 0.518

4 – 5 3.5 – 5.5 4.5 13 0.232 42 0.750

6 – 7 5.5 – 7.5 6.5 7 0.125 49 0.875

8 – 9 7.5 – 9.5 8.5 4 0.071 53 0.946

10 – 11 9.5 – 11.5 10.5 1 0.018 54 0.964

12 – 13 11.5 – 13.5 12.5 1 0.018 55 0.982

14 – 15 13.5 – 15.5 14.5 1 0.018 56 1.000

56

b)

El promedio de “Scrams” para datos agrupados está dada por la expresión

*

1 1

1m m

i i i i

i i

x x f x f n

= =

= =∑ ∑ sustituyendo

( ) ( ) ( ) ( )

8

1

1 1 2280.5 10 14.5 1 4.071

56 56 56i i

i

x x f

=

= = + + = =⎡ ⎤⎣ ⎦∑ …



DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPRIMER EXAMEN FINAL

RESOLUCIÓN


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PyE_ EF1_TIPO2_2009-2 2

c)

El segundo cuartil es un valor que divide al conjunto de datos en dos subconjuntos de igual tamaño,se obtiene mediante una interpolación lineal, entre las fronteras y la frecuencia acumulada, de talmanera que se acumulen 28 datos, el valor de la frontera resultado de la interpolación, será elsegundo cuartil, mismo que coincide con la mediana.

29 10 199.5

3.5 1.5 2m

−= = =

−

con la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente, se tiene

( )10 9.5 1.5 y x− = −

con ( ), 28 x , sustituyendo

( )28 10 9.5 1.518 129

1.59.5 38

3.395

x

x

x

− = −

= + =

=

2. En una planta de artículos electrónicos, se sabe por experiencia que la probabilidad de que un nuevotrabajador que haya asistido al programa de capacitación conozca la cuota de producción es 0.9 y que la probabilidad correspondiente es 0.4 para otro que no haya asistido. Si el 75 % de todos los empleados deingreso reciente asisten al programa, determinar la probabilidad de que un nuevo empleado no conozcala cuota de producción.


Sean los eventos: .

: .

A El trabajador asistió al programa de capacitación

B El trabajador conoce la cuota de producción

Se pide calcular la probabilidad de que un nuevo empleado no conozca la cuota de producción, ( )P B .

De los datos se tiene: ( ) 0.75P A = , ( ) 0.25P A = , ( ) 0.9P B A = y ( ) 0.4P B A = Del teorema de probabilidad total

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P B P A B P A B

P B P A P B A P A P B A

= ∩ + ∩

= +

sustituyendo

( ) ( ) ( )0.75 0.9 0.25 0.4 0.775P B = + = entonces

( ) ( )1 1 0.775 0.225P B P B= − = − =

Fronteras Fi

1.5 10

x 28

3.5 29


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PyE_ EF1_TIPO2_2009-2 3

3. Una tienda de computadoras adquirió tres computadoras Acer a $3900.00 cada una. Las venderá a$5750.00 cada una. El fabricante se comprometió a adquirir cualquier computadora que no se hayavendido después de un periodo especificado a $2250.00 cada una. Sea X la variable aleatoria que

representa el número de computadoras vendidas y supóngase que ( )0 0.1P X = = , ( )1

Todos los exámenes finales de probabilidad y estadística

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