TOMO I - Programacion Lineal

8/16/2019 TOMO I - Programacion Lineal

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ING. SANTIAGO JAVEZ VALLADARES

TOMO I

Ing. Santiago Javez Valladares Formulación de Modelos Lineales

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Aun recuerdo aquella tarde de 1990 cuando nuestro ro!esor entro al aula"

todos nosotros nos u#icamos en nuestros asientos" nos miro casi de reo$o %

con voz ausada se di$o&'les vo% a ense(ar Investigación de )eraciones' *+ue es eso, !ue la

regunta que lanzamos algunos de nosotros" algunas risas se escuc-aron

como siemre en el aula" el ro!esor sin inmutarse rosiguió su monólogo

diciendo &'es una nueva ciencia que aareció durante la Segunda uerra

Mundial % que a%udó a derrotar a Alemania % a-ora se -a trasladado a la

guerra que li#ran d/a a d/a las emresas en las cuales -a% vencedoras %

vencidas '"*que tan oderosa es esa nueva ciencia de la cul nunca antes

-a#/a %o escuc-ado, *que armas tan otentes de#e usar , * como -ace ara

que algunas emresas crezcan % otras queden destruidas, reguntas como

estas emezaron a -acerse eco en mi ca#eza" % -asta a-ora siguen

sorrendentemente siendo analizadas an todav/a en todo el mundo or muc-as ersonas.

2reo que ese momento marcó ara m/ el rum#o de mi vida "oder

resonder esas reguntas % muc-as ms -icieron que me interese de

so#remanera en Investigación de )eraciones orque era algo nuevo 3 %

muc-os veces an todav/a lo sigue siendo4 % que a trav5s de este tiemo

nuevas interrogantes -an aarecido en esta aventura de estudiar esta

ciencia %a sea ersonalmente o mediante las c-arlas con los alumnos de las

universidades de 6ru$illo.

7o% esto% !rente a ti a trav5s de estas l/nea" ara acoma(arte en esta

aventura de ingresar a un nuevo % !ascinante mundo" cumliendo uno de

los ma%ores sue(os que -e tenido" -acer realidad la u#licación de un li#roel cual no -a sido !cil" -ace algunos a(os -ice u#licaciones de

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Investigación de )eraciones e Ingenier/a conómica que tuvieron

acetación or los muc-ac-os de las di!erentes universidades de 6ru$illo" %

a trav5s de estos a(os que -e estado a%udndoles con sus cursos mediantec-arlas de conocimientos" me segu/a dando vuelta esa idea de realizar un

li#ro ero el tiemo asa#a & ro#lemas económicos" oco tiemo ara

lasmar ideas que sean de lo ms simles ara que t que estas le%endo

estas l/neas te sea ms atractiva la lectura % que no sea tan solo un li#ro

r/gido en conocimientos si no que adems sea de lectura amena % ersonal.

Mis ideas se lasmaron en realidad -o%" or eso es que esero que este

es!uerzo sea recomensado con tu re!erencia % que arovec-es de me$or

manera los conocimientos a desarrollar en los di!erentes ca/tulos.

Ing. Santiago Javez Valladares

Santiagoinvoe1:-otmail.com

;

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CAPITULO I

Introducción a la Investigación de Operaciones Pag. 4

Capitulo II

2.1 Forulación de un odelo Lineal Pag. !

2.2 Pro"lea para #orular$ %ivel A Pag. &

Capitulo III

'.1 Pro"leas para #orular $ %ivel ( Pag. 21

Capitulo I)

4.1 Modelos para #orular Pag. 41

CAPITULO )

Casos *e Aplicación *e Modelos Lineales Pag.+&

A%,-O 1

,ntrevista a eorge *ant/ig$

Fundador de la Prograación Lineal Pag.&4

A%,-O 2

0istoria de los todos cuantitativos Pag.&

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Fundaentos de la Investigación de Operaciones 3I.O.

=e!inición&>ara iniciar el estudio de una nueva discilina de#emos sa#er so#re quetrata % cul es su alicación mediante una de!inición" ero dar unade!inición de I.). es #astante comle$a" de#ido al lugar % al tiemo -acam#iando? ara la )@SA 3 6-e )erations @esearc- Societ% o! America 4'La I.). concierne con la decisión cient/!ica de como dise(ar % oerar elme$or sistema -om#remquina" usualmente #a$o condiciones de asignar recursos'.Fases en un estudio de I.O.&a4 =e!inir el ro#lema 3alcances" l/mites" restricciones" o#$etivos4.

#4 2onstrucción o !ormulación del modelo 3la realidad se eBresa en !ormamatemtica4.c4 Solución del modelo 3se utilizan di!erentes algoritmos4.d4 Validación del modelo 3valores osi#les ara dar un resultado eserado4.(5,), 0I6TO5IA *, LA I%),6TIACIO% *, OP,5ACIO%,6

1CD9 7U,6%A8& Eso de Modelos >rimitivos de >rogramaciónMatemtica

1C< 9AL5A6 & uso de t5cnicas similares a +ESGAH.

P5,CU56O5,6 *, LO6 MO*,LO6 LI%,AL,6&1C; Jordan " Minos% en 19K % Faras en 190;.Modelos =inmicos >ro#a#ilisticos& Marov a !ines del siglo I.Modelos de inventarios" de 6iemo % Movimientos & en los a(os 80 delsiglo .Modelos de Asignación & onig % gervar% en la segunda % tercera d5cadadel siglo .studios de las L/neas de seras& rlang a rinciios del siglo .6eor/a de Juegos & Von Geman en 19;C.6eor/a de >re!erencias& Von Geman con Morgenstern. Modelos de =istri#ución& antorovic- en 19;9.=urante la Segunda uerra Mundial eBist/an gruos que asesora#an conrelación a las acciones #5licas a realizar& Anlisis de estrategias de

#om#ardeo" de!ensa a5rea % rogramación de oeraciones log/sticas? en19;C cient/!icos a%udaron a detectar aerolanos enemigos mediante elradar. n el verano de 19


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cient/!icos !ueron conocidos como los ).@" or ser los rimerosinvestigadores oeracionales. Al !inal de la guerra un gruo de ellos sededica a la industria % al go#ierno" emezando la ala#ra I.). ara designar a aquellos cient/!icos que se reocua#an or resolver los ro#lemas queaarec/an en la administración.Se le de#e a ran Nreta(a el -a#er iniciado la I.). % a stados Enidos or el rido crecimiento de esta discilina.l auge emieza en 19@)@AMA2I)G =IGAMI2A& NLLMAG.

>@)@AMA2I)G G) LIGAL& E7G H 6E2@. >@)@AMA2I)G G6@A& )M)@H. @=S = )>6IMIOA2I)G& F)@= H FEL@S)G. SIMELA2I)G & MA@)QI6O. IGVG6A@I)S& A@@)Q" A@LIG" S2A@F"Q7I6IG. AGALISIS = =2ISI)GS& @AIFFA. >@)2S)S MA@)VIAG)S = =2ISI)G& 7)QA@=. =e#emos ser claros que los avance de los modelos matemticos de la

Investigación de oeraciones se -an #asado en estudios -ec-os de 2lculo=i!erencial e Integral 3Geton" Lagrange" Lalace" Le#esgue" Lei#nitz"@eimman" Stielt$es" or mencionar algunos4" la >ro#a#ilidad % lastad/stica 3 Nernulli" >oisson" auss" Na%es" osset" Snedecor" etc.4.R A(o en que se dio inicio a la rogramación % con el uso de lascomutadoras se emezó a eBtender la Investigación de )eraciones.l tiemo va avanzando % ara 19K;" se -a#/an clasi!icado las alicacionesen I.)." en ro#lemas estructurales" de !ormas #sicas& 1. Asignación. 8. Inventario.

K

K


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;. @eemlazo.


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CAPITULO II

Modelos de Prograación Lineal

Se llama rogramación lineal al con$unto de t5cnicas matemticas que retenden resolver la situación siguiente&)timizar 3maBimizar o minimizar4 una !unción o#$etivo" !unción lineal devarias varia#les" su$eta a una serie de restricciones" eBresadas orinecuaciones lineales.Función O":etivo 3F.).4&

>ara seleccionar que !unción o#$etivo de#e elegirse se toma en cuenta losiguiente&a4 Si vamos a encontrar situaciones en las cuales tendremos solo costos %asea de materia rima" costo de mano de o#ra" costo de uso de mquina"costos de transorte" costos de dereciación "etc. esto indica queinduda#lemente la F.). ser de MI%IMI;ACIO%.

#4 Si el enunciado solo da datos económicos de ganancia" recio de venta odinero a reci#ir or unidad roducida la F.). ser de MA-IMI;ACIO%.

c4 Si el enunciado nos da al mismo tiemo costos % ganancias restaremosde la siguiente manera&AGAG2IAS 2)S6)S E6ILI=A=" la que tendr como F.).MAIMIOA2I)G.d4 Si no nos dan ningn datos económico % solo se da tiemos" el tiemo seminimiza" si nos da solo roducción" la roducción se -a de maBimizar" siel modelo corresonde a contratar al ersonal" la !unción o#$etivo seminimiza.5estricciones$

stas limitaciones o restricciones en los modelos lineales tienen sólo lassiguientes estructuras& T " U" .Muc-os ro#lemas tienen eBresiones caracter/sticas que nos uedenanunciar que tio de restricción de#emos usar" or e$emlo&

Esar >ara eBresiones como &T como mBimo" a lo ms" disoni#ilidad" demanda mBima.U como m/nimo" or lo menos" al menos" demanda m/nima.

total" roorción


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Finalmente las restricciones de#en tener las mismas unidades en tanto en sulado izquierdo como derec-o.La no negatividad de algunas varia#les son mu% imortante ara de!inir lasolución de algunos modelos" or lo tanto se dice que todas las varia#lesson U0.

Prograación Lineal

Forulación

n esta arte de#emos considerar algo mu% imortante" -a% una variedadde alicaciones de modelos lineales" en las siguientes aginas vamos atratar de considerar modelos lineales % so#re todo de mas alicación al

inicio del arendiza$e de !ormulación de modelos lineales.

Givel A&

>ro#lema 1.3roducción4Ena industria vin/cola roduce vino % vinagre. l do#le de la roducción devino es siemre menor o igual que la roducción de vinagre ms cuatrounidades. >or otra arte" el trile de la roducción de vinagre sumado con

cuatro veces la roducción de vino se mantiene siemre menor o igual a 1unidades. 7alla el nmero de unidades de cada roducto que se de#en roducir

ara alcanzar un #ene!icio mBimo" sa#iendo que cada unidad de vino de$aun #ene!icio de S % cada unidad de vinagre de S8. Solución&

Vino VinagreNene!icio S unidad S 8 unidad

Varia#le de decisión&i Gmero de unidades roducidas de i3iVino"vinagre1"84 a ela#orar.Función )#$etivo&MaBB1W8B8@estricciones&l do#le de la roducción de vino es siemre menor o igual que la

roducción de vinagre ms cuatro unidades&

8B1TB8W<

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el trile de la roducción de vinagre sumado con cuatro veces la roducción de vino se mantiene siemre menor o igual a 1 unidades.;B8W


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@estricciones&=eartamento ACB1W8B8T;00=eartamento N;B1W;B8T8C0

Go negatividad&iU0

>ro#lema ;.3inversión4Ena entidad !inanciera cata deósitos % resta dinero. La catación dedeósitos lleva una -ora ara convencer al cliente % otra de tra#a$o

#urocrtico. l r5stamo de dinero lleva una -ora ara convencer al cliente

% dos -oras de tra#a$o #urocrtico. l mBimo nmero de -oras de tra#a$odisoni#les es de restamos =isoni#le7oras de tra#a$o

ara convencer alcliente

1-oeración 1-oeración


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>ro#lema roorciona al#ergues ara cac-orros. lalimento ara erros ennel se -ace mezclando dos roductos de so%a arao#tener una 'dieta ara erros #ien #alanceada'. n la !igura se dan losdatos ara los dos roductos. Si Alice quiere asegurarse de que sus errosreci#an al menos onzas de rote/nas % 1 onza de grasa diariamente" cul

ser/a la mezcla del costo m/nimo de los dos alimentos ara erro,.

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Solución&>roductode so%a

2osto>or onza

>roteina 3Y4 rasas 3Y4

1 X0"K0 D0 108 X0"1D 80 80

Varia#le de decisión&i Gmero de onzas del roducto i3i1"84 a comrar.

Función )#$etivo&Minimizar costosMin0"K0B1W0"1DB8

@estricciones&>rote/nas&0"D0B1W0"80B8Urasas&0"10B1W0"80B8U1

Go negatividad&iU0.

>ro#lema K.3Mezcla4>earce =ears" un antiguo entrenador de gruos de c-oque" se -a convertidoen avicultor. =esea alimentar a sus animales en !orma tal que se cu#ran susnecesidades de nutrición a un costo m/nimo. >earce est estudiando el usode ma/z" so%a" avena % al!al!a. n la !igura se muestra la in!ormacióndiet5tica imortante or li#ra de grano 3or e$emlo" 1 li#ra de ma/z

roorciona 1D miligramos de rote/na4. la#ore un modelo de >L aradeterminar la mezcla diet5tica que satis!ar los requisitos diarios a un costom/nimo.

Gutrientes or li#ra de grano Gutriente3mg4

Ma/z So%a Avena Al!al!a Gecesidades3mg4

>rote/na 1D ;0 1D C M/nimo D02alcio


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Solución&varia#les de decisión &i$ nmero de llamadas realizadas en el -orario i 3idiurnonocturno1"84Función )#$etivo&Minimizar costosMinimizar 8B1 W DB8@estricciones&sosas encuestadas& 0.;0B1W0.;0B8U1D0Maridos encuestados& 0.10B1W0.;0B8U180

Solteros encuestados& 0.10B1W0.1DB8U100Solteras encuestados& 0.10B1W0.80B8U110realizar a lo ms la mitad de estas llamadas en la noc-eB8T31843B1WB84

Go negatividad& iU0

>ro#lema .3>esca4Las restricciones esqueras imuestas or la 2 o#ligan a cierta emresaa escar como mBimo 8.000 toneladas de merluza % 8.000 toneladas derae" adems" en total" las caturas de estas dos esecies no ueden asar de las ;.000 toneladas. Si el recio de la merluza es de S10g % el reciodel rae es de S1Dg" *qu5 cantidades de#e escar ara o#tener el mBimo

#ene!icio,Solución&

Merluza @ae>esca MBimo

8000 tnMBimo8000 tn

6otal MBimo;000 tn

>recio deVenta

S10g S1Dg

Varia#le de decisión&i Gmero de toneladas de escado tio i3imerluza"raa1"84 a escar.

1D

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Función )#$etivo&MaBimizar ingresosMaB3S 10g4R31000 g4B1 tnW3S1Dg4R31000 g4B8 tn

@estricciones&6oneladas de merluza&1T80006oneladas de @ae&8T80006oneladas mBimas a escar&1W8T;000

Go negatividad&

iU0

>ro#lema 9.32omra4En -iermercado necesita como m/nimo 1K ca$as de langostino" D ca$as den5coras % 80 de erce#es. =os ma%oristas" A % N" se o!recen al-iermercado ara satis!acer sus necesidades" ero sólo venden dic-omarisco en contenedores comletos. l ma%orista A env/a en cadacontenedor ca$as de langostinos" 1 de n5coras % 8 de erce#es. >or su

arte" N env/a en cada contenedor 8" 1 % C ca$as resectivamente. 2adacontenedor que suministra A cuesta S810" mientras que los del ma%orista Ncuestan S;00 cada uno. *2untos contenedores de#e edir el -iermercadoa cada ma%orista ara satis!acer sus necesidades m/nimas con el menor coste osi#le,Solución$

2ontenedor A 2ontenedor N GecesidadLangostino ca$ascontenedor 8ca$ascontenedor 1K ca$as

G5coras 1 ca$ascontenedor 1ca$ascontenedor D ca$as>erce#es 8 ca$ascontenedor Cca$ascontenedor 80 ca$as2osto S810contenedor S;00contenedor

Varia#le de decisión&i 2antidad de contenedores tio i3iA"N1"84 a edir.Función o#$etivo&Minimizar el costoMin810B1W;00B8

@estricciones&1K

1K


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LangostinosB1W8B8U1K

G5coras&1B1W1B8UD

>erce#es&8B1WCB8U80

Go negatividad&iU0 >ro#lema 10.Ena lanta roduce dos tios de roductos" en la misma l/nea de ensam#le.

La l/nea de ensam#le consta de tres deartamentos. Los tiemos deensam#la$e en los deartamentos son&

3Enidadesminuto4=eartamento >roducto 1 >roducto 8

1 98 D K; D ;

2ada deartamento tiene disoni#le las -oras de tra#a$o diario. Sin

em#argo los deartamentos requieren mantenimiento diario" que utilizan elDY" Y % KY del tiemo disoni#le ara cada deartamento diariamente.La lanta desea sa#er las unidades semanales 3 se tra#a$a K dias a lasemana4 que se ensam#laran a !in de minimizar la suma de tiemos noocuados 3ociosos4 en los tres deartamentos.

Solución&Induda#lemente es una roducción en l/nea or que el roducto ara

ensam#larse de#e asar or los tres deartamentos" entoncesVaria#le de =ecisión &i nmero de unidades del roducto i3i1"84 a ela#orar semanalmente.S$ tiemo ocioso del deartamento $3$1"8";4.

Función )#$etivo & minimizar el tiemo ociosoMin s1 minutos W s8 minutos W s; minutos

@estricciones&1C

1C


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=eartamento 1&31 minuto unidades431 unidadessemana4 W 31minuto9 unidades438unidadessemana4W3s1 minutossemana43ro#lema 11.Ena emresa manu!acturera -a descontinuado la roducción de cierta l/neade roductos no rovec-osa. sto creó un eBceso considera#le en lacaacidad de roducción. l gerente est considerando dedicar estacaacidad en eBceso a uno o ms de tres roductos" llam5moslos

losroductos1"8"%;.La caacidad disoni#le de la mquinas que odr/alimitar la roducción se resume en la ta#la siguiente&6I>) = MA+EIGA 6IM>) =IS>)GINL

F@SA=)@A D007SMAGA6)@G) ;D0

@26IFI2A=)@A 1D0

l nmero de -oras de mquina requerida or cada unidad de los roductos

resectivos es&2oe!iciente de >roductividad3en -oras mquina or unidad46I>) = MA+EIGA >@)=E26)

1>@)=E26) 8 >@)=E26)

;F@SA=)@A 9 ; D

6)@G) D < 0@26IFI2A=)@A ; 0 8

1

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l deartamento de ventas indica que el otencial de ventas ara los roductos 1 % 8 es ma%or que la tasa de roducción mBima % que el otencial de ventas ara el roducto ; es de 80 unidades or semana.La utilidad unitaria ser de X;0" X18 % X1D" ara los roductos 1"8 %;"resectivamente.

Formlese el modelo >L ara determinar cunto de#e roducir la emresade cada roducto ara maBimizar la utilidad.Solución &Varia#le de decisión&i 2antidad a roducir del roducto i3i1"8";4

Función )#$etivo&MaBimizar;0B1W18B8W1DB;@estricciones&6iemo&Fresadora& 9B1W;B8WDB;TD006orno& DB1Wotencial de ventas del roducto;&

;T80 Go negatividad&BiU0

>ro#lema 18.2armac 2oman% !a#rica carros comactos % su#comactos. La

roducción de cada carro requiere una cierta cantidad de materia rima %mano de o#ra" como se eseci!ica en la siguiente ta#la&

Materia >rima Mano deo#ra

2omacto 800 1Su#comacto 1D0 802osto unitario X10 XC06otal disoni#le 0 000 9 000

La división de comercialización -a estimado que a los ms 1D00 comactos ueden venderse a X10 000 cada uno % que a lo mas 800 su#comactos ueden venderse a X000 cada uno.2omo viceresidente de rogramación"!ormule un modelo ara determinar la cantidad a !a#ricar de cada tio de

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carro ara maBimizar la ganancia total3ingresos menos gastos4.=e!ina todaslas varia#les de decisión.

Solución&Varia#le de decisión&i Gumero de unidades del roducto i 3i1"84 a ela#orar.

Función )#$etivo&MaB3X10000unidad43B1 unidades4W3X000unidad43B8 unidades43X10unidad de materia rima43800unidades de materia rimaunidad43B1unidades43XC0unidad de materia rima431 unidades de materia

rimaunidad43B1 unidades43X10unidad de materia rima431D0 unidades

de materia rimaunidad43B8 unidades43XC0unidad de materia rima4380unidades de materia rimaunidad43B8 unidades4 @estricciones& 800B1 W 1D0B8 T 0000 3@estricción de materia rima4 1B1 W 80B8 T 9000 3@estricción de mano de o#ra4 B1 T 1D00 3Gmero mBimo de comactos4 B8 T 800 3Gmero mBimo de su#comactos4 B1 " B8 U 0

>ro#lema 1;.La emresa lit ela#ora %ogurt % $ugos a #ase de mango % durazno" estaemresa comra su materia rima al recio de X0"D0 or ilogramo demango % X0";0 or ilogramo de durazno" las cantidades mBimas que

uede comrar es de 1K00 ilogramos de mango % 8100 ilogramos dedurazno.l mercado de venta de %ogurt es de 9000 #otellas como mBimo % ara

$ugo no -a% limite"el recio de venta del %ogurt % de $ugo es de XD % X; or cada #otella resectivamente?estos datos % otros se dan en la siguienteta#la&

Hogurt Jugos =ison. 2ostoMango 8 g#otella ; g#otella 1K00 g X0.D0g=urazno ; g#otella 1 g#otella 8100 g X0.;0gVenta T9000 #otellas>.Venta XD#otella X;#otella

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la#ore un modelo lineal ara la emresa lit.Solución&Varia#le de decisión&i Gumero de #otellas de roducto i3iHogurt"Jugos1"84 a roducir.Función )#$etivo&MaBDB1W;B8 Z0.D03 8B1W;B840";03;B1W1B84

@estricciones&Mango&38 g#otella43B1 #otella4 W3 ; g#otella43B8 #otella4T1K00 g=urazno&3; g#otella43B1 #otella4W31 g#otella43 B8 #otella4T8100 g

Hogurt&B1 #otella T9000 #otella

Go negatividad&iU0

81

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CAPITULO III

Modelos para #orular$

GIVL N

>ro#lema 1.3mezcla4Ested a decidido entrar en el negocio de los dulces. st considerando

roducir dos tios de dulces& as% )ut 2and% % Slugger 2and% " que secomonen solamente de azcar" nueces % c-ocolate. Actualmente" tiene en

#odega 100 onzas de azcar" 80 oz de nueces % ;0 oz de c-ocolate. Lamezcla ara roducir as% )ut 2and% tiene que contener or lo menos 80Yde nueces.

La mezcla ara roducir Slugger 2and% tiene que contener or lo menos10Y de nueces % or lo menos 10Y de c-ocolate. 2ada onza de as% )ut2and% se vende a 8D centavos3de dólar4" % una onza de Slugger 2and% a 80centavos. Formule un >L que le ermita maBimizar sus ingresos or laventa de dulces.

Solución&as% )ut 2and% Slugger 2and% =isoni#le

Azcar 100 onzas Gueces >or lo menos 80Y >or lo menos 10Y 80 onzas2-ocolate >or lo menos 10Y ;0 onzas

>recio de Venta X0"8D X0.80

Varia#le de decisión&i$ Esar onzas del ingrediente i 3i azcar" nueces" c-ocolate 1" 8 ";4

ara ela#orar el tio de dulce $ 3 $ as% )ut 2and% " Slugger 2and%1"84.

Función )#$etivo&MaBimizar el ingreso or el recio de venta&MaB 0.8D11 W 0.8D81 W 0.8D;1W 0.8018 W 0.8088 W 0.80;8@estricciones&Azcar&11 W 18 T 100

Gueces&81 W 88 T 802-ocolate&;1 W ;8 T ;0

88

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>orcenta$e de nueces en as% )ut 2and%& 81U 0.80311W81W;14

>orcenta$e de nueces en Slugger 2and%& 88U 0.10318W88W;84

>orcenta$e de c-ocolate en Slugger 2and%& ;8U 0.10318W88WB;84

Go negatividad&i$U0

>ro#lema 8.3>roducción4Sunco roduce dos tios de acero en tres di!erentes acer/as. =urante un mesdado" cada acer/a disone de 800 -oras de alto -orno . l tiemo % costo de

roducción de una tonelada 3ton4 de acero " di!iere de una !#rica a otra "de#ido a las di!erencias en los -ornos de cada !#rica n la ta#la " se

muestran el tiemo % costo de roducción ara cada !#rica . 2ada mes .Sunco tiene que roducir or lo menos D00 ton de acero 1 % K00 ton deacero 8. Formule un >L ara minimizar los costos ara roducir el acerodeseado.

6a#la& >roducir una tonelada de aceroAcero 1 Acero 8

2osto tiemo 2osto 6iemoAcer/a 1 X10 80 min X11 88 min

Acer/a 8 X18 8< min X9 1 minAcer/a ; X1< 8 min X10 ;0 min

Solución&Varia#le de decisión&i$ 6oneladas que la acer/a i3i1"8";4 roduce del acero $3$1"84.Función )#$etivo&Minimizar costosMin 10B11W11B18W18B81W9B88W1


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Acer/a 1& 380 minton43B114ton W3 88 minton43B184tonT 3800-4 3K0min-4

Acer/a 8& 38< minton43B814ton W 31 minton43B884tonT3800-4 3K0 min-4Acer/a ;& 38 minton43B;14ton W 3;0 minton43B;84tonT3800-4 3K0 min-4>roducción&Acero 1& 3 B11WB81WB;14 tonUD00 tonAcero 8& 3B18WB18WB;84 tonUK00 ton

Go negatividad&i$U0

>ro#lema ;.3roducción 4Funco !a#rica mesas % sillas. 7a% que !a#ricar cada mesa % cada sillacomletamente de ro#le o de ino. Se disone de un total de 1D0 ies deta#la de ro#le % de 810 ies de ta#la de ino. Ena mesa requiere 1C .t. dero#le" o #ien ;0 .t. de ino % una silla necesita D .t. de ro#le" o #ien" 1;

.t. de ino. Se uede vender cada mesa a L que se uede usar ara maBimizar los ingresos.Solución&

Mesa Silla =isoni#le@o#le 1C D 1D0>ino ;0 1; 810>recio de Venta X


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i$U0

>ro#lema rogramación lineal.

=eartamento 2aacidad3-oras4

6asa de >roducción 3unid-4 2 1 2 8 2 ;

1 8D0 18 10 18 ;00 9 18 11; ;K0 10 D 18

Solución&Varia#le de decisión&i$ Gumero de -oras a la#orar ara la roducción del comonentei3i1"8";4en el deartamento $3$1"8";4.Función )#$etivo&

MaBimizar roducciónMaBimizar >@estricciones&

Gumero de unidades del comonente 1&1811 W 918W101; >

Gumero de unidades del comonente 8& 1081 W 1888 WD8; >

Gumero de unidades del comonente ;& 1;1 W 11;8 W 18;;>

2aacidad de -oras del deartamento 1&11 W 81W ;1T 8D0

2aacidad de -oras del deartamento 8&18 W 88 W ;8 T ;00

2aacidad de -oras del deartamento ;&8D

8D


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1; W 8; W ;; T ;K0 Go negatividad& i$U0

>ro#lema D. 3ersonal4 En cierto restaurante oera C d/as a la semana . A las camareras se lescontrata ara tra#a$ar K -oras diarias . l contrato del sindicato eseci!icaque cada camarera tiene que tra#a$ar D d/as consecutivos % desu5s tener 8d/as consecutivos de descanso . 2ada camarera reci#e el mismo sueldosemanal. n la ta#la se resentan las necesidades de contratación.Suóngase que este ciclo de necesidades se reite en !orma inde!inida % notoma en cuenta el -ec-o de que el nmero de camareras contratadas tieneque ser un nmero entero. l gerente desea encontrar un rograma de

emleo que satis!aga estas necesidades a un costo m/nimo. Formule este ro#lema como un rograma lineal. Gecesidades de contratación de camareras GEM@) MIGIM) = 7)@AS ==IA 2AMA@@AS G2SA@I) Lunes 1D0Martes 800Mi5rcoles


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K3 L W M W MI W J W = 4 U;00

Viernes&K3 L W M W MI W J W V 4 U C00

S#ado &K3 M W MI W J W V W S 4 U 00

=omingo&K3 MI W J W V W S W= 4 U ;00

Go negatividad&

iU0

>ro#lema K.3mezcla4En vi(edo desea mezclar cuatro cosec-as di!erentes ara roducir tres tiosde vino mezclado. Se esta#lecen restricciones al orcenta$e de lacomosición de las mezclas .Se uede vender cualquier cantidad de la mezcla N % de la mezcla 2 ero ala mezcla A se le considera una mezcla de alta calidad % or consiguiente

no se venden ms de D0 galones. la#ore un modelo de >L que -ar elme$or uso de las cosec-as con que se cuenta .2omosición de las mezclas

MO2LA VG=IMIA >@2I) = VG6A

1 8 ; < >)@ AL)G

A >)@ L) MG)S CDY = 1 H 8 R 2EAG=) MAS D0Y XC0

N >)@ L) MG)S ;DY = 1 H 8 R R


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Solución&Vendimia 1 Vendimia 8 Vendimia ; Vendimia <

Mezcla A 1a 8a ;a


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)!erta&Vendimia 1 tiene en o!erta 10 galones" como esto es lo mBimo que sedisone entonces la restricción queda& 3B1a W 1# W 1c4 gal T 10 gal.

Vendimia 8 tiene en o!erta 8D0 galones" como esto es lo mBimo que sedisone entonces la restricción queda&

38a W 8# W 8c 4 gal T 8D0 gal.

Vendimia ; tiene en o!erta 800 galones" como esto es lo mBimo que sedisone entonces la restricción queda & 3;a W ;# W ;c 4 gal T 800 gal.

Vendimia < tiene en o!erta


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Formule un modelo ara determinar la cantidad de cada cido concentrado or diluir ara maBimizar las ganancias totales.Solución&Varia#le de decisión& B1 nmero de litros de 78S)< concentrado B8 nmero de litros de 72L concentrado %1 nmero de litros de agua ara concentrado de 78S)< %8 nmero de litros de agua ara concentrado de 72l 1 nmero de litros de 78S)< ara venta 8 nmero de litros de 72l ara ventaFunción )#$etivo&MaB < 3X0"100"10 litros41 litros W3X0"100"10 litros4384litros

3X0"1Dlitros3%1W%84litros 3X18litro43B143X1litro43B84litros

@estricciones&2antidad de 78S)roorción& 1 1 1 8

80 H1 ;0 H8 >roducción&

1 B1 W %1 8 B8 W %8

=e no negatividad& iU0 Otra anera de solución$

;0

;0


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i 2antidad de litros de i3 cido sul!rico" cido clor-/drico1"84 a roducir.Función )#$etivo&MaB < 3X0"100"10 litros4B1 litros W3X0"100"10 litros43B84litros 3X0"1Dlitros43808143B14litros Z3X0"1Dlitros43;0;143B84litros

- 3X18litro4318143B143X1litro431;143B84litros-

@estricciones&Notellas&B10.10W B80.10 TD0000Acido sul!rico&31814B1T800

Acido 2lor-/drico&31;14B8T1D0?

no negatividad&iU0

>ro#lema .3$uegos4En matemtico desea distri#uir !ic-as de valor entre 1 % K en un ta#lero de

; !ilas % ; columnas" con tal que la suma de este de K" *2ul de#e ser elvalor de cada !ic-a a colocar con tal que se cumla el o#$etivo rouesto,Solución&Varia#le de =ecisión&i$ Valor de la !ic-a de la !ila i3i1"8";4 % la columna $3$1"8";4Función )#$etivo&Min B11WB18WB1;WB81WB88WB8;WB;1WB;8WB;;@estricciones&Filas11WB18WB1;K81WB88WB8;K;1WB;8WB;;K2olumnas11WB81WB;1K18WB88WB;8K1;WB8;WB;;KValores

11U 111TK

;1

;1


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18U118TK1;U11;TK81U 181TK88U188TK8;U18;TK;1U 1;1TK

;8U1;8TK;;U1;;TK

Go negatividad& i$U0

>ro#lema 9 . 3Agricultura4

Ena cooerativa agricola grande del suroeste de los stados Enidos de Gorteam5rica oera cuatro gran$as.La roducción de cada gran$a estlimitada or la cantidad de agua disoni#le ara irrigación % or el nmerode acres disoni#les ara cultivo. Los datos de la ta#la A descri#en lasgran$as. Gormalmente" la cooerativa cultiva ; tios de roductos" aunquecada una de las gran$as no necesariamente cultiva todos ellos. =e#ido a lalimitación en la disoni#ilidad de equio ara cosec-ar" eBistenrestricciones so#re el nmero de acres de cada roducto que se cultivan encada gran$a. Los datos de la ta#la N re!le$an el mBimo de acres de cadacultivo que ueden roducirse en cada gran$a. l agua que se requiere3eBresada en millares de ies c#icos or acre4 ara los resectivoscultivos son& K" D % ara mantener una carga de tra#a$o equili#rada entre las < gran$as" lacooerativa -a adotado la ol/tica de -acer que en cada gran$a se cultiveun orcenta$e igual de terreno disoni#le. >lantee un modelo de >L ara el

ro#lema que ermita la cooerativa a determinar la cantidad 3acres4 de

cada cultivo que de#en lantarse en cada gran$a ara que se maBimice lautilidad total eserada ara la cooerativa.

;8

;8


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6a#la A =isoni#ilidad de Agua =isoni#ilidad de 6ierra

ran$a 3ies c#icos4 3acres4 1


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B;1 acres T 100 acres B;8 acres T 1D0 acres B;; acres T 800 acres B


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>ro#lema 10. 3Mezcla4La eorgia )utdoors 2oman% !a#rica tres tios de com#inacionesenerg5ticas de semillas que se venden a ma%oristas los cuales asu vez losvenden a eBendios al menudeo. Los tres tios son normal" esecial % eBtra% se venden en X1.D0 " X8.80 % X;.D0 or li#ra" resectivamente. 2adamezcla requiere los mismos ingredientes& man/" asas % algarro#o. Loscostos de estos ingredientes son& Man/& X0.90 or li#ra >asas& X1.K0 or li#ra Algarro#o& X1.D0 or li#raLos requerimientos de las mezclas son&

Gormal& cuando menos DY de cada ingrediente.secial& cuando menos 80Y de cada ingrediente % no mas de D0Y decualquiera de ellos.Btra& cuando menos 8DY de asas % no mas de 8DY de man/.Las instalaciones de roducción -acen que -a%a disoni#les or semanacomo mBimo 1000 li#ras de man/" 8000 de asas % ;000 de algarro#o.Biste un costo !i$o de X8000 ara la !a#ricación de las mezclas. Bistetam#i5n la condición de que la mezcla normal de#e limitarse al 80Y de la

roducción total. lantee un ro#lema de >L ara maBimizar las utilidades.Solución&Varia#les de =ecisión&i$ 2antidad de li#ras a utilizar del ingrediente i 3i Man/" >asas"Algarro#o 1"8";4 ara ela#orar la mezcla tio $3$ Gormal " secial"Btra 1"8";4Función )#$etivo&MaBimizar 3X1.D0li#43B11 W B81 W B;14li# W 3X8.80li#43B18 W B88 WB;84 W 3X;.D0li#43B1; W B8; W B;;4li# 3X0.90li#43B11 W B18 W B1;4li# 3X1.K0li#43B81 W B88 W B8;4li#3X1.D0li#43B;1 W B;8 W B;;4li#@estricciones&=isoni#ilidad de Man/& 3B11 W B18 W B1;4li# T 1000 li#=isoni#ilidad de asas& 3B81 W B88 W B8;4li# T 8000 li#=isoni#ilidad de algarro#o& 3B;1 W B;8 W B;;4li# T ;000 li#

2antidad de cada ingrediente en la mezcla normal&3B11 li#4 U 0.0D3B11 W B81 W B;14li#

;D

;D


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3B81 li#4 U 0.0D3B11 W B81 W B;14li# 3B;1 li#4 U 0.0D3B11 W B81 W B;14li# 2antidad de cada ingrediente en la mezcla normal& 3B18 li#4 U 0.80 3B18 W B88 W B8;4li# 3B88 li#4 U 0.80 3B18 W B88 W B8;4li# 3B8; li#4 U 0.80 3B18 W B88 W B8;4li# 3B18 li#4 T 0.D0 3B18 W B88 W B8;4li# 3B88 li#4 T 0.D0 3B18 W B88 W B8;4li# 3B8; li#4 T 0.D0 3B18 W B88 W B8;4li# 2antidad de asas en la mezcla normal& B8; li# U 0.8D3B1; W B8; W B;;4li#2antidad de man/ en la mezcla normal&

B1; li# T 0.8D3B1; W B8; W B;;4li#Mezcla normal con resecto a la roducción total& 3B11 W B81 W B;14 T 0.803B11 W B18 W B1; W B81 W B88 W B8; W B;1 WB;8 WB;;4

Go negatividad& i$U0

>ro#lema 11.3A#astecimiento4La Fargo Qater 2o. tiene tres deósitos con una entrada diaria estimada de1D"80 % 8D millones de litros de agua !resca" resectivamente. =iariamentetiene que a#astecer cuatro reas A"N"2 % =" las cuales tienen una demandaeserada de " 10" 18 % 1D millones de litros " resectivamente . l costo de

#om#eo or millón de litros es como sigue.

A@A=eosito A N 2 =

1 8 ; < D8 ; 8 D ;; < 1 8 ;

Formule el ro#lema de la Fargo Qater 2o. como un modelo de rogramación lineal . Asuma que el eBceso de agua no reresenta un costo ara la coma(/a.

Solución&Varia#le de decisión&

;K

;K


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i$ Millones de litros de agua que se trasladan desde el deósito i3i1"8";4 -acia el rea $ 3$ A"N"2"=4.

Función )#$etivo&Minimizar 3X8litro43B1a litro4W3X;litros43B1# litros4

W 3X


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lantas de car#ón . ;. Los en!luentes que salen a la atmós!era no de#en eBceder

los l/mites eseci!icados en la ta#la 8olvo

=esec-osSólidos

2ar#ón 1"D 1"8 0"C 0"<as Gatural 0"8 0"D

Guclear 0"1 0"8 0"C7idroel5ctrica

>etróleo 0"< 0" 0"D 0"1

g mBimos ermitidos

CD K0 ;0 8D

Solución&Varia#les de =ecisión&

2E= M- roducido or 2ar#ón de uso domestico.2E M- roducido or 2ar#ón de uso eBterno.GE= M- roducido or as natural de uso domestico.

G M- roducido as natural de uso eBterno. GE= M- roducido Guclear de uso domestico.

;

;


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GE M- roducido Guclear de uso eBterno.7E= M- roducido 7idróelectrica de uso domestico.7E M- roducido 7idróelectrica de uso eBterno.>E= M- roducido >etróleo de uso domestico.

>E M- roducido >etróleo de uso eBterno.

Función )#$etivo&Minimizar K.0M-32E=W=E4M-WD.DM-3E=WE4M- WE=W>4M-

@estricción&

=emanda de energ/a de uso domestico32E=WGE=WGE=W7E=W>E=4M-D0000M-

=emanda de energ/a de uso eBterno32EWGEWGEW7EW>E4M-10000M-

1.

nerg/a generada or material nuclear 3GE=WGE4M-T0.8032E=W2EWGE=WGEWGE=WGEW7E=W7E W>E=W>E4M-8.2aacidad de roducción de la lanta de car#ón32E=W2E4M-U0.03E 4 M-TCDg31000@1g4

MonoBido de car#ono&R31.8@ = M)G)I=) = 2A@N)G)M-432E=W2E4M-W30.D@= M)G)I=) = 2A@N)G)M-43GE=WGE4M-W30.1@ = M)G)I=) =2A@N)G)M-43GE=WGE4M-W3 0. @ = M)G)I=) = 2A@N)G) M- 43>E=W>E4M-TK0g31000@1g4

>art/culas de >olvo&;9

;9


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R30.C@ = >A@6I2ELAS = >)LV)M-432E=W2E4M-W30.8@ = >A@6I2ELAS = >)LV)M-43GE=WGE4M-W3 0.D @ = >A@6I2ELAS = >)LV) M- 43 >E=W>E 4M-T;0g31000@1g4

=esec-os sólidos&R30.)LV)M-43GE=WGE4M-W30.1@ = =S27)S = >)LV)M-43>E=W>E4M-T8Dg31000@1g4

E=W>E4M-

Go negatividad2E=U02EU0GE=U0

GU0 GE=U0 GEU07E=U07EU0>E=U0>EU0

>ro#lema 1;.3>roducción42ada semana Florida 2itrus" Inc." usa una sola mquina durante 1D0 -oras aradestilar $ugo de naran$a % de toron$a en concentrados" estos $ugos estanalmacenados en dos tanques searados de 1000 galones cada uno antes decongelarlos.La mquina uede rocesar 8D galones de $ugo de naran$a or -ora"

ero sólo 80 galones de $ugo de toron$a. 2ada galón de $ugo de naran$a cuestaX1.D0 % ierde ;0Y de contenido de agua al destilarse en concentrado.l concentrado de $ugo de naran$a se vende desu5s en XK or galón" cada galón de

$ugo de toron$a cuesta X8 % ierde 8DY de contenido de agua al destilarse enconcentrado. l concentrado de $ugo de toron$a se vende desu5s en X or galón.Formule un modelo de >L ara determinar un lan de roducción que maBimice laganancia ara la siguiente semana.


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Solución&Varia#les de decisión&i nmero de galones de $ugo tio i3i naran$a" toron$a1" 84

a usar en la roducción.

Función o#$etivo& MaBimizar utilidades >recio de Venta 2ostos

MaB 3XKgalón430.C0 1 galón4 W 3Xgalón430.CD 8 galón4 3X1.D0galón431 galón43X8galón438 galón4

@estricciones&

6iemo de roducción& 31-8D galón431 galón4 W 31-80 galón438 galón4 T 1D0 -

alones de $ugo de naran$a a usar& 31 galón4 T 1000 galones

alones de $ugo de toron$a a usar& 38 galón4 T 1000 galones

Go negatividad& 1 U0" 8 U0.


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Capitulo I)

Modelos para #orular

GIVL 2

>ro#lema 1. Se esta dise(ando un ve-/culo esacial ara llevar astronautas a Marte %traerlos de regreso. ste ve-/culo tendr tres comartimentos " cada unocon su roio sistema de mantenimiento de la vida indeendiente. lelemento clave en cada uno de estos sistemas es una eque(a unidad

oBidante que rovoca un roceso qu/mico ara roducir oBigeno. Sinem#argo" no ueden ro#arse con anticiación % solo se logra algo en

rovocar este roceso qu/mico. >or lo tanto" es imortante tener unidadesde ao%o ara cada sistema. n virtud de la di!erencia en losrequerimientos ara los tres comartimentos" las unidades que se necesitan

ara cada uno tienen caracter/sticas un tanto di!erentes. A-ora de#e tomarseuna decisión so#re cuantas unidades roorcionar a cada comartimento"tomando en cuenta las limitaciones de dise(o so#re la cantidad total de

esacio" eso % costo que ueden ser asignadas a estas unidades en relacióncon la nave comleta. La ta#la siguiente resume estas limitaciones as/ comolas caracter/sticas de las unidades individuales or cada comartimento&

2omartimento sacio3ulg;4

>eso3l#4

2osto3X4

>ro#a#ilidadde !alla

1


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una ro#a#ilidad de no mas del 0.0D de que todas sus unidades !allen.>lant5ese el modelo de rogramación lineal ara este ro#lema.3sugerencia& sense logaritmos4

Solución&Varia#le de decisión&Sea i el numero de unidades de ao%o en el comartimento i 3i1"8";4

@estricciones & sacio

eso 1D1 W 808 W 10; T800

2osto ;00001 W ;D0008 W 8D000; T ro#a#ilidad de !alla

2omartimento 1 30.;041 T0.0D2omartimento 8 30.


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@estricciones&sacioeso1DB1 W 80B8 W 10B; T 800

costo;0B1 W ;DB8 W 8DB; T


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Fri$ol de so%a Ma/z Avena7oras -om#re en

invierno80 ;D 10

7oras -om#re enverano

D0 CD lant5ese el modelo de rogramación lineal ara este ro#lema.

Solución& Varia#les de =ecisión&1 nmero de acres de tierra asignados a !ri$ol de so%a8 nmero de acres de tierra asignados a ma/z; nmero de acres de tierra asignados avena


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>ro#lema ;.La cororación Nrad% roduce armarios. Gecesitan semanalmente 90 000

ie c#ico de madera rocesada. >uede conseguir madera rocesada de dosmaneras.>rimero" uede comrar madera de un roveedor eterno " % desu5s secarlaen su roio -orno . Segundo" uede cortar troncos en sus roios terrenos "convertidos en madera en su roio aserradero % " !inalmente" secar la madera en su roio -orno . Nrad% uede comrar madera clase 1 o clase 8. La madera clase 1 cuesta ; dólaresie c#ico % roduce 0.C ie c#ico demanera til luego de secarla . La madera clase 8 cuesta C dólaresie c#ico% roduce 0.9 ie c#ico de madera til %a seca. Le cuesta ; dólares a la

coma(/a cortar un tronco . =esu5s de cortarlo % secarlo " un tronco roduce 0. ie c#ico de madera . Nrad% incurre en un costo de <dólaresie c#ico de madera seca. 2uesta 8.D0 dólaresie c#ico rocesar troncos en el aserradero . l aserradero uede rocesar semanalmente -asta;D 000 ie c#ico de madera . Se uede comrar cada semana -asta 2L8Gmero de ies c#icos de madera comrada de clase8 semanalmenteFunción )#$etivo&Min.& 3;ie;4>2L1ie;semanaW3Cie;43>2L843ie;tronco4364troncosemanaW32L14ie;semanaW32L84ie;semanaW32L1ie;semana4 W 38.Die;util430.19ie;utilie;43>2L8ie;semana4 W 38.Die;430.ie;tronco4364troncosemana


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@estricciones&2omra&2lase1& 3>2L14ie;semana T 2L84ie;semana T K0000 ie;semana

6iemo de secado&38segie;4>2L1 iesemana W 30.segie;4>2L8ie;semanaW 364troncos31.;segtronco4 T32L14ie; W 30.9ie;utilie;43>2L84ie;W 30.ie;utiltronco436tronco4 T;D000 ie;semana

>edido&30.Cie;util43ie;43>2L13ie;semana44W30.9ie;utilie;43>2L83ie;semana44W30.ie;util4tronco364tronco90000 ie;utilsemana

>ro#lema


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Función )#$etivo& Minimización 3XDunid43>1 unid4 W 3Xunid43>8 unid4 W3X; unid4 W 3XCunid43>< unid4 W3X8unid43I1 W I8 W I;4unid

3XKunid43I1=1 =1D0

IGVG6A@I) G L MS 8& =MAG=A G L MS 8&

I8I1>8=8 =8KD

IGVG6A@I) G L MS ;& =MAG=A G L MS ;& I;I8>;=; =;100

IGVG6A@I) G L MS or e$emlo" si se renta una comutadora or tres meses"

a rinciios de ma%o" entonces se tendr que alicar una cuota or la renta8;3


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Periodos

1 2 3 Por lo

menos

Enero E1 E2 E3 9

Febrero F1 E2+F2 E3+F3 5Marzo M1 F2+M2 E3+F3+M3 7

Abril A1 M2+A2 F3+M3+A3 9

Mayo MY1 A2+MY2 M3+A3+MY3 10

Junio J1 MY2+J2 A3+MY3+J3 5

Coso !200 !350 !"50

Varia#les de decisión&

i Gmero de comutadoras a alquilar en el mes de nero durante imeses 3i1"8";4. Fi Gmero de comutadoras a alquilar en el mes de Fe#rero durante imeses 3i1"8";4. Mi Gmero de comutadoras a alquilar en el mes de Marzo durante imeses 3i1"8";4. Ai Gmero de comutadoras a alquilar en el mes de A#ril durante imeses 3i1"8";4.

MHi Gmero de comutadoras a alquilar en el mes de Ma%o durante imeses 3i1"8";4.Ji Gmero de comutadoras a alquilar en el mes de Junio durante i

meses 3i1"8";4.

Función )#$etivo& Minimizar3X800unid431 W F1 W M1 W A1 W MH1 W J14unid

W3X;D0unid438 W F8 W M8 W A8 W MH8 W J84unid W3X


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@estricciones&

nero& 1 W 8 W ; U 9 Fe#rero& F1 W F8 W F; W 8 W ; UD

Marzo&M1 W M8 W M; W F8 W F; W ; U C

A#ril& A1 W A8 W A; W M8 W M; W F; U 9

Ma%o& MH1 W MH8 W MH; W A8 W A; W M; U 10 Junio& J1 W J8 W J; W MH8 W MH; W A; U D

Go Gegatividad 1" 8" ; " F1" F8" F; " M1" M8" M;" A1" A8" A;" MH1" MH8" MH; " J1" J8 "J; U0

>ro#lema K.En roveedor de#e rearar con D #e#idas de !ruta en eBistencias" al menosD00 galones de un onc-e que contenga or lo menos 80Y de $ugo denaran$a" 10Y de $ugo de toron$a % DY de $ugo de arndano. Si los datos delinventario son los que se muestran en la ta#la siguientes *+u5 cantidad decada #e#ida de#er emlear el roveedor a !in de o#tener la comosiciónrequerida a un costo total m/nimo,

Jugo de Garan$a

Jugo de6oron$a

Jugo deArndano

Bistencia[gal\

2osto[Xgal\

Ne#ida A


51/101


jugo dentro de una determinada bebida.

Solución&)#$etivo& Minimizar costos cumliendo todos los requisitos.Varia#les& X i & cantidad de #e#ida 'i' en galones incororada al

onc-e 3i=A..E 42onstantes C i & costo or galón de #e#ida tio 'i'.

N i & orcenta$e de $ugo de naran$a en #e#ida tio 'i'. T i & orcenta$e de $ugo de toron$a en #e#ida tio 'i'.

Ai & orcenta$e de $ugo de arndano en #e#ida tio 'i'. E i & eBistencia de #e#ida tio 'i'

Función )#$etivo& Min ∑= ⋅E

Aiii C X

@estricciones&

14 ∑=

≥E

Ai

i X 500 32antidad de onc-e requerida4

84

∑∑ ==⋅≥⋅E

Ai

i

E

Ai

ii X.N X 20 3>roorción de $ugo de naran$a requerida4

;4 ∑∑==

⋅≥⋅E

Ai

i

E

Ai

ii X.T X 10 3>roorción de $ugo de toron$a

requerida4

roorción de $ugo de arndano

requerida4D4 E.. AiE X ii =∀≤ 3Go ms de la eBistencia or

#e#ida4K4 E.. Ai Xi =∀≥0 3Gaturaleza de las varia#les4

>ro#lema C.En eque(o taller arma disositivos mecnicos" %a sea como un roducto

D1

D1


52/101


terminado que entrega al mercado" o como un roceso intermedio araentregar a una gran !#rica. 6ra#a$an ; ersonas en $ornadas de


53/101


=

terminado

temrinasequeermedioint

ermedioint

i

3

2

1

=

calificadoobrerocalificadonoobrero j

21

Función )#$etivo& MaB CIU −=( )321 1556 X X X.I ++⋅= 3Ingresos or venta4

121 4240142402190604016040402 Z..ZZ..Z..C ⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=

32ostos or salarios % gastos de oeración4

@estricciones&

14150

100

1

1

≤

≥

X

X3=emanda de roductos intermedios4

84

( )20

806050

1

1321

≤

+=⋅++

Z

Z X. X X.

37oras de tra#a$o de o#rero

no cali!icado4

;410

4050750250

2

2321

≤

+=⋅+⋅+⋅

Z

Z X. X. X.37oras de tra#a$o de

o#rero cali!icado4

ro#lema .En inversionista tiene oortunidad de realizar las actividades A % N al

rinciio de cada uno de los róBimos D a(os 3llmense a(os 1 al D4. 2adadólar invertido en A al rinciio de cualquier a(o retri#u%e X1.


54/101


Adems" la actividad 2 estar disoni#le ara inversión una sola vez enel !uturo. 2ada dólar invertido en 2 al rinciio del a(o 8 da X1.90 al!inal del a(o D. La actividad = estar disoni#le sólo 8 veces" al iniciodel a(o 1 % del a(o D. 2ada dólar invertido en = al rinciio de a(oretri#u%e X1.;0 al !inal de ese a(o. l inversionista tiene XK0000 arainiciar % desea sa#er cul lan de inversión maBimiza la cantidad dedinero acumulada a(o rinciio del a(o K.Formule el modelo de rogramación lineal ara este ro#lema.

Solución&

La situación se uede ilustrar gr!icamente como&

Las l/neas segmentadas indican el t5rmino del a(o en curso % el inicio dela(o siguiente. Las !lec-as reresenta la duración de cada una de las

D<

D<

1 8 ; < D

a1a8

a;a<

d1

#1#8

#;

c8

dD


55/101


inversiones" antes de o#tener los retornos.Se de#e considerar que al inicio de cada a(o sólo se uede destinar

a inversión el dinero roveniente de inversiones que terminan en esemomento" o #ien que sean eBcedentes del er/odo inmediatamente anterior.

)#$etivo& MaBimizar utilidades al !inal del quinto a(o.Varia#les& X ij & cantidad invertida de tio 'i' 3i=A.."4 al inicio del a(o' j' 3 j=1..#4

j & eBcedente no invertido al inicio del a(o '$' 3 j=1..$4.Función )#$etivo&MaB 5234 31917141 DCB A X. X. X. X. ⋅+⋅+⋅+⋅

@estricciones&

14 600001111 =+++ Z X X X BD A 3Inversiones al inicio dela(o 1484 112222 31 Z X.Z X X X DCB A +⋅=+++ 3Inversiones al inicio dela(o 84;4 21333 41 Z X.Z X X AB A +⋅=++ 3Inversiones alinicio del a(o ;4


56/101


An cuando la emresa uede agar el costo de los ve-/culosinmediatamente" uede tam#i5n decidir di!erir arte del costo de losve-/culos al !inal del rimer o segundo a(o. l costo del cr5dito es de1


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84 31201 ..i XC.Y iii =∀⋅⋅≥ 380Y inicial m/nimo4

;4 3111 ..iY XCZ iiii =∀−⋅= 3Saldo inicial4

ro#lema 10.2onsidere el ro#lema de rogramación de la roducción de un con$unto dem tios di!erentes de art/culos ara los róBimos n meses en una !#rica.

n cuanto al uso de materias rimas" el costo de roducción decada art/culo de tio i se estima en ci.

La roducción de un art/culo tio i requiere moi -oras de mano de

o#ra" disoniendo la !#rica de ' j -oras de mano de o#ra durante elmes j. n ciertos meses" la !#rica uede emlear -oras eBtras araaumentar sus recursos de mano de o#ra. n general" se uededenotar or st j la cantidad mBima de -oras eBtras disoni#les en elmes j" cada una de las cuales tiene un costo unitario de cst.

La demanda de art/culos tio i en el mes j se estima en d ij" lascuales necesariamente de#en ser satis!ec-as.

l eBceso de roducción uede ser almacenado a un costo mensual

unitario de s. Biste caacidad ara almacenar un volumen mBimode (" udi5ndose reresentar or (i el volumen de un art/culo de

DC

DC


58/101


tio i. >ol/ticas de roducción eBigen que al !inal del er/odo #a$oconsideración eBista un inventario m/nimo de si unidades deart/culos tio i.

Formule un modelo de rogramación lineal que ermita lani!icar laoeración de la !#rica durante los róBimos n meses de !orma tal deminimizar el costo total.Solución&Suuesto& Se tra#a$a or lo menos el total de -oras ''j' de cada mes"

nunca menos.)#$etivo& Minimizar costos.

Varia#les&ij & 2antidad de art/culos tio 'i' 3i=1..m4 roducidos en mes

' j'3 j=1..n4. O j & 2antidad de mano eBtra emleada en mes ' j'. Vij & 2antidad de art/culos tio 'i' almacenados en mes ' j'.

Función )#$etivo& ∑∑∑∑∑= === =

⋅+⋅+⋅m

i

n

j

ij

n

j

j

m

i

n

j

iji VsZcst Xc1 111 1

@estricciones&

14 n.. j

stZ

Zh Xmo

j j

m

i

j jiji1

1 =∀

≤

+=⋅∑= 32aacidad de mano de o#ra mensual

normal % eBtra4

84n.. jm..iVdV X

m..iVd X

ijijijij

iii

21

1

1

111

=×=∀+=+

=∀+=

−

3Se de#e satis!acer la demanda mensual con art/culos roducidos%o almacenados4

;4 ∑=

=∀≤⋅m

i

iji n.. jvVv1

1 3Go se uede almacenar ms que la

caacidad de la #odega en cada mes4


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D4n.. jZ

n.. jm..ienterosyV, X

j

ijij

10

110

=∀≥

=×=∀≥ 3Gaturaleza de

las varia#les4

2A>I6EL) V2AS)S = A>LI2A2I]G = M)=L)S LIGALS

2AS) 1&racias a una adecuada estrategia de mareting % a la calidad del roducto"

cierta eque(a !#rica de canastos de mim#re -a reci#ido edidos quesueran su actual caacidad de roducción. =urante las róBimas cuatrosemanas de#e entregar D8" KD" C0 % D canastos" resectivamente.Actualmente cuenta con seis artesanos.La gerencia general de la !#rica -a decidido contratar ersonal nuevo ara

oder cumlir sus comromisos comerciales. =ada la escasez de artesanos"se de#er contratar ersonal sin eBeriencia. En novato uede ser entrenado ara llegar a ser arendiz durante una semana. La segundasemana tra#a$a como arendiz ara ganar eBeriencia. 2omenzando latercera semana 3desu5s de dos semanas de tra#a$o4 se trans!orma enartesano.

La roducción estimada % sueldos de los emleados es la siguiente&

>@)=E22I^G SALA@I)S2anastossemana Xsemana

Artesano dedicadosólo a la roducción

10 ;0.000

Artesano dedicado a rod. % entrenamiento

D


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Los analistas de la emresa estiman que la demanda semanal decanastos di!/cilmente suerar los noventa canastos" or lo que -andecidido terminar el er/odo sin novatos % arendices" ero con al menosnueve artesanos. Los reglamentos sindicales de la emresa ro-i#en losdesidos or reducción de ersonal.

Formule un modelo de rogramación lineal que ermita de!inir lascontrataciones a realizar" de modo de cumlir los comromisos comercialesa costo m/nimo.

)oluci*n.

+ara resol(er el problema se utili,arn las siguientes (ariables dedecisi*n:

Bi$ & ersonal de tio _i` tra#a$ando en semana _$`.z $ & so#reroducción de semana _$`.

"onde:

=

novato4

aprendiz3

instructorartesano2productorartesano1

i 4..1 j=

bjeti(o: cumplir con los compromisos a costo m/nimo.

Min ∑∑= =

⋅α=4

1 j

4

1i

iji xZ

donde "i"tipoempleadodesalario:iα 0estricciones:3Semana 14

6 x x 2111 =+

52 x x5 x10z

x2 x

52 x x5 x10

4121111

2141

412111

−+⋅+⋅=

⋅≤

≥+⋅+⋅

K0

K0

10


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3Semana 84

65z x5 x x5 x10z

x2 x65z x5 x x5 x10

x x x x

x x

1324222122

2242

132422212

21112212

4132

−+⋅++⋅+⋅=

⋅≤≥+⋅++⋅+⋅

+=+

=

3Semana ;4

70z x5 x x5 x10z

x2 x

70z x5 x x5 x10 x x x x x

x x

2334323133

2343

233432313

3222122313

4233

−+⋅++⋅+⋅=

⋅≤

≥+⋅++⋅+⋅++=+

=

3Semana


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2aso 8La ciudad 1 roduce D00 toneladas de #asura or d/a % la ciudad 8 roduce


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•)upuestos &− 6oda la #asura roducida en un d/a de#e ser incinerada durante ese

mismo d/a.− Los #otaderos no co#ran or reci#ir las cenizas.− Biste indi!erencia en escoger el incinerador 1 ó 8 con relación a

cualquier varia#le que no sea el costo or tonelada incinerada.− l co#re de transorte es una !unción eBclusiva de la distancia

recorrida" de$ando de lado cualquier otro !actor.

− La decisión se tomar eBclusivamente desde el unto de vista delos costos.

− l anlisis se realizar en el er/odo de un d/a" dado los datosentregados.

• ormulaci*n:

=e acuerdo al o#$etivo %& suuestos lanteados" se escoger lassiguientes varia#les de decisión&− i$ & cantidad de #asura en toneladas transortada desde la ciudad

_i` -asta el incinerador _$`" as/" i1..8 % $1..8.− Hi$ & cantidad de ceniza en toneladas transortada desde el

incinerador _i` -asta el #otadero _$` as/" i1..8 % $1..8.2on la ta#la de distancias dadas % los costos de incineración" se lanteala !unción o#$etivo&

[ ] [ ] [

2221121122211211

co

11

transportedecosto

2221121122211211

Y18 Y27 Y24 Y15 X156 X148 X45 X130

X40 Y6 Y9 Y8 Y53 X42 X36 X5 X303Z

+++++++=

+⋅++++⋅++++⋅=

2on la in!ormación de la roducción de #asura" caacidad deincineración % la caacidad mBima de receción de ceniza de los

#otaderos" se constru%en las restricciones del ro#lema&

K;

K;


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variableslasdenaturalezalaaRelativo0 Y&0 X-

2 botaderodelmáximaRecepción200 Y Y

1 botaderodelmáximaRecepción200 Y Y

2ciudadlade basuradeProducción400 X X

1ciudadlade basuradeProducción500 X X

2rincineradodelmáximaCapacidad500 X X

1rincineradodelimamáxCapacidad500 X X

ijij

2212

2111

2221

1211

2212

2111

≥≥

≤+−

≤+−

=+−

=+−

≤+−

≤+−

2a#e destacar que todas las varia#les de#en ser ositivas % nonecesariamente enteras dado a que reresentan eso de #asura o de ceniza.s imortante agregar tam#i5n dos condiciones relativas a que cada

tonelada de #asura que entra al incinerador es trans!ormada en 0.8toneladas de ceniza" luego&

( )

( ) inalRelativo0 Y Y X2.0 X2.0 Y Y X X2.0

inalRelativo0 Y Y X2.0 X2.0 Y Y X X2.0

2221221222212212

1211211112112111

=−−+⇒+=+⋅

=−−+⇒+=+⋅

Las condiciones anteriores ueden ser agregadas al ro#lema como dosrestricciones ms" o #ien dese$ar dos de ellas en !unción de otras tres"

de modo de reducir el ro#lema a un total de seis varia#les.La !ormulación anterior ermite resolver el ro#lema %a sea utilizandoel m5todo SimleB o #ien algn so!tare esecializado como LIG=).

K<

K


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Caso 3.-Silicon Valley Corporation (Silvco) fabrica transistores. Un

aspecto importante en la fabricación de los transistores es fundir

un elemento denominado G (germanium) en un horno.

Lamentablemente el proceso de fundido varía mucho en cuanto a la

calidad que se obtiene del elemento G. Hay dos métodos que se

pueden usar para fundir el elemento G: el método 1 cuesta US$50

por transistor, y el método 2 US$70 por transistor. Las calidades del

elemento se muestran en la tabla. Silvco puede realizar un proceso

adicional para aumentar la calidad del elemento fundido. Este

cuesta US$25 por transistor. Los resultados del proceso adicional se

muestran en la tabla. Silvco tiene suficiente capacidad de horneado ya sea para fundir o hacer el retratamiento de a lo más 20000

transistores al mes. Las demandas mensuales son 1000 de

transistores de nivel 4, 2000 del nivel 3, 3000 del nivel 2, y 3000 del

nivel 1. Use programación lineal para minimizar el costo de

producir los transistores que se requieren.

%ivel del

#undido1Porcenta:e producido por

#undición

Mtodo 1 Mtodo 2*e#ectuoso ;0 80

%ivel 1 ;0 80%ivel 2 80 8D%ivel ' 1D 80%ivel 4 D 1D

1. Givel 1es o#re? nivel < es eBcelente. La calidad del transistor !a#ricadoest en directa relación con.

%ivel deleleento

reprocesado

Porcenta:eproducido por

el proceso

adicional

*e#ectuoso %ivel 1 %ivel 2 %ivel '

*e#ectuoso ;0 0 0 0%ivel 1 8D ;0 0 0%ivel 2 1D ;0


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0espuesta.

• bjeti(o & el o#$etivo del ro#lema es minimizar los costosinvolucrados en la roducción de los transistores" satis!aciendo lademanda ara cada nivel de ellos. Se considerarn dos m5todos de

roducción adems de un m5todo de retratamiento ara me$orar lacalidad de dic-os transistores. >ara conseguir este o#$etivo se de#econsiderar las osi#les decisiones que admite el ro#lema&

− La cantidad transistores a roducir or el m5todo 1 % or el m5todo 8.−

La cantidad transistores de cada nivel& ;" 8" 1 % los de!ectuosos que seenv/an a retratamiento con la eseranza de me$orar su nivel % con ellosu recio. videntemente no tiene sentido enviar los transistores denivel < al roceso adicional. s imortante considerar or searado lostransistores rovenientes de cada roceso.

• )upuestos &− Los orcenta$es entregados en las ta#las son eBactos o 100Y

con!ia#les" es decir que si se !a#rican 100 or el m5todo 1 esseguro que ;0 de ellos van a ser de!ectuosos" ni uno ms ni unomenos. Se entiende tam#i5n que se utilizar la mismaconsideración ara los datos del roceso adicional.

− Biste indi!erencia entre los transistores de cada m5todo" es decir que un transistor de un nivel dado roducido or el m5todo 1 eseBactamente igual a uno del mismo nivel roducido or el m5todo8.

− Similarmente ara el roceso adicional" no eBiste ningunadi!erencia entre los transistores de un nivel dado roveniente deuno de los dos m5todos de !a#ricación que los rovenientes delretratamiento.

− l o#$etivo es roducir eBactamente la cantidad demandada" ni unode ms ni uno de menos. Se considera adems que los valores deesta demanda son 100Y con!ia#les.

− Sólo se considerar que el roceso adicional se uede realizar una

vez" es decir la decisión de cuantas varia#les mandar alretratamiento se realiza una vez.

KK

KK


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− Go es necesario roducir a lena caacidad 380000 transistores almes4" uede roducirse esta cantidad o menos" la roducción sea$ustar al resultado de este estudio.

− 2omo los datos entregados estn re!eridos a un mes" el anlisis se-ar ara este intervalo de tiemo" ero en t5rminos de cantidades

roducidas al mes no de varia#les temorales roiamente tales.

• ormulaci*n:

=e acuerdo al o#$etivo %& suuestos lanteados" se escoger lassiguientes varia#les de decisión&

− 1 & cantidad de transistores roducidos or el m5todo 1.− 8 & cantidad de transistores roducidos or el m5todo 8.− i$ & cantidad de transistores rovenientes del m5todo _i` % de clase

_$` que se env/an a rerocesar" as/" i1..8 % $0...;. Se entiende or clase _$`& de nivel _$`" considerando como de!ectuoso de clase _0`.s claro que no tiene sentido rerocesar los transistores de nivel


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( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) 3000 X X3.0 X X25.0 X X2.0 X X3.0:1niveldeestransistordeDemanda

X X4.0 X X3.0 X X15.0 X X25.0 X X2.0:2niveldeestransistordeDemanda

X X3.0 X X2.0 X X2.0 X X2.0 X X15.0

:3niveldeestransistordeDemanda

X5.0 X X3.0 X X2.0 X X1.0 X15.0 X05.0

:4niveldeestransistorporDemanda

X X:máximoproduccióndeNivel-

procesadosRe

21112010

osreprocesadNo

212121

procesadosRe

21221112010

osreprocesadNo

222121

procesadosRe

221221112010

osreprocesadNo

232131

procesadosRe

13221221112010

osreprocesadNo

21

21

=++++−+−

−

++++++−+−−

++++++−+−

−

+++++++++

−

+

223113

222112

221111

220110

ij

X2.0 X X15.0 X

X25.0 X X2.0 X

X2.0 X X3.0 X

X2.0 X X3.0 X

: X variableslasdeCotas

≤≤

≤≤

≤≤

≤≤

−

0ij21 I0 X, X, X

: vaiableslasdenaturalezaladadanesRestriccio

Ν∈≥

−

2a#e destacar que todas las varia#les de#en ser ositivas % enteras dadoque reresentan nmero de unidades de transistores.

La !ormulación anterior ermite resolver el ro#lema %a sea utilizandoel m5todo SimleB o #ien algn so!tare esecializado como LIG=).

2aso < >LAGA2I)G = >@)=E22I)G = 2ASSIGLLI 7IJ)S S.A.2

K

K


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La emresa de #e#idas gaseosas nrique 2assinelli e 7i$os S.A. es deorigen tru$illano"se dedica a la roducción % comercialización de #e#idasgaseosas cassinelli" en di!erentes resentaciones % sa#ores.Su comercialización se realiza tanto en la ciudad de 6ru$illo como en lazona norte 32-icla%o">iura"6alara4 % nor )riente 3Nagua"Jaen"6araoto4.Actualmente 2assinelli tiene una articiación en el mercado de 6ru$illo de10Y"2oncordia 1or lo tanto la erencia eneral -a encomendado al =eartamento de>roducción realizar un lan de >roducción ara maBimizar sus gananciasmensuales.

>LAGA2I)G = >@)=E22I)G = 2ASSIGLLI 7IJ)S S.A.2.2omo se menciono "la emresa nrique 2assinelli e -i$os se dedica a la!a#ricación de #e#idas gaseosas "siendo las resentaciones comercializadas

las que se demuestran a continuación&6I>) = NNI=A >@SG6A2I)Gaseosa G@ de 8.KD Lt. 2a$a B 18 unidadesaseosa G@ de 1.CD Lt. 2a$a B 18 unidadesaseosa G@ de 0.K0 Lt. 2a$a B 18 unidadesaseosa G@ de 0.89KLt. 2a$a B 8< unidades 6a#la 1 >resentación de las #e#idas gaseosas

La emresa en estudio cuenta con una lanta de roducción que oera las


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Las -oras requeridas en am#os deartamentos ara roducir 1000 ca$as decada uno de los roductos mencionados en la ta#la 1"se muestran en la ta#la8. >@SG6A2I)G

8.KD lt. 1.CDlt 0.K0 lt 0.89K lt=to. la#oración 8.KD 1.CD 1.CD 1.0C=to. nvasado roducción semanalótimo ara el mes de octu#re 8008.

C0

C0


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=esarrollo del 2aso)#$etivo eneralla#orar un modelo lineal que ermita -allar el lan de roducción ótimo)#$etivos eseci!icos&1.7allar la cantidad de cada tio de gaseosa que se de#e ela#orar semanalmente.8.)#tener la mBima utilidad en la roducción de gaseosas 2assinelli.

Modelo LinealVaria#le de =ecisión&i$ Gmero de ca$as a roducir de gaseosa tio $3$G@ de 8.KD lt"G@ de1.CD lt"G@ de 0.K0 lt"V@ de 0.89K lt1"8";"


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6iemo de roducción en el deartamento de ela#oración en la semana 1&38.KD-ca$a4R3B11 ca$a4W31.CD -ca$a4R3B81 ca$a4W31.1C -ca$a4R3B;1 ca$a4W31.0C -ca$a4R3B


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2AS) FIGALTCorporaci*n para el desarrollo del lago )A""LE2AC.

LS=2 est desarrollando una comunidad de casas % condominios en losalrededores del lago Saddle#ac" 6eBas. La idea es utilizar ;00 acresde tierra de tal !orma de maBimizar sus ganancias o!reciendo unaaroiada variedad de di!erentes alternativas de casas constitu%endodi!erentes roductos. Adems" la cororación desea analizar la!acti#ilidad de desarrollar 10 acres ara un comle$o deortivo % derecreación.

L)"C est o4reciendo $ productos: 516 La serie 7ran Estado 5!6 Lacolecci*n 7len 8ood 536 Casas con (ista al lago 9 5$6 casas en

Condominio. Cada uno de estos productos tiene $ planos con di4erentesestilos tal como se describe en la siguiente lista:

>lano >recio venta3ESX4

6ama(o3!t84

=ormitorios Na(os >isos 6ama(oarage3autos4

ran

,sta

do

Trump C00.000


74/101


Golden

'ier

800.000 1800 8 8 1 8

Condoio

$tream 880.000 1K00 ; 8 8 Weeping

Wilo

!

1K0.000 1800 8 8 1

'icket

(en

ce

1or e$emlo" el modelo 6rum a ESXC00.000 se vender/a enESX9K0.000 si se situara en el lago4. 2ada una de la serie ranstado de#e tener al menos oc-o unidades en el lago.

Algunos modelos ran 2ir5s 3de la serie len Qood4 odr/an construirseso#re lotes _remiados` de uncuartoacre. stas casas se venden enESX


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tama(os de los lotes ara ciertos modelos ueden ser ma%ores si elsiguiente clculo eBcede a 110 acre.Tama;o Lote= 5ard/n65Tama;o del 7arage6.

Area de la Casa.

l rea de la casa de cualquier casa de un iso es el metra$e cuadrado delaviso de la casa. l rea de la casa ara casas de dosisos es de CDY delmetra$e cuadrado del aviso de la casa.

Area para >ard/n.

>ara casas de la serie len Qood" el $ard/n es de 1800 ies cuadrados aracasas de uniso % lo mismo que el rea de la casa ara casas con dosisos.>ara casas con vista al lago el tama(o del $ard/n es 900 ies cuadrados aracasas de uniso. >ara casas de dosisos de esta misma serie de casas eltama(o de $ard/n ser de K00 ies cuadrados ms D0Y del rea de la casa.

Tama;o del 7arage.

arage ara dos autos ocuan D00 ies cuadrados de rea % ara tres autosocua CD0 ies cuadrados. Gote que los modelos en el condominio no tieneterreno ara garage.

+ar?ing.

La le% eBige tener un esacio de aring or dormitorio ara cada unidadconstruida. >or e$emlo"un esacio eBterior de aring ara dos autos esnecesario ara una casa de < dormitorios que osee un garage ara dosautos. 2ada aring eBterior ocuar 800 ies cuadrados de esacio. 7astaun mBimo de 1D acres del ro%ecto odrn utilizarse ara aring eBterior.6odos los aring del condominio son eBteriores.

Carreteras [email protected]

En total de 1000 ies cuadrados or casa se est ensando ara laconstrucción de carreteras % eque(os arques ara -acer el ro%ecto ms

agrada#le est5ticamente -a#lando.

CD

CD


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ariedad.2omo arte del ro%ecto se -an de!inido ciertos requerimientos mBimos %m/nimos arro$ados or el deartamento de estudios de mercado32ondominio est inclu/do4.

Casas con )*+imo ),nimo

!-dormitorios !#B 1#B3-dormitorios $B !#B$-dormitorios $B !#B#-dormitorios 1#B #B

Adems" ninguno de los cuatro roductos 3ran stado" len Qood" Vista

al lago" % 2ondominio4 ueden ser ms que el ;DY ni menos que el 1DY de

las unidades construidas en el desarrollo. Ms an" dentro de cada roducto" cada lano de#e ocuar entre 80Y % ;DY del total de unidades deese roducto. >or razones de est5tica -asta un mBimo del C0Y de las casasde uniso 3salvo las de condominio4 ueden ser casas de dosisos.

Abordables.

n el rea del lago cualquier casa avaluada en ESX800.000 o menos esconsiderada _a#orda#le`. l go#ierno eBige al menos 1DY del ro%ecto

ueda ser considerado como a#orda#le.

7anancias.LS=2 -a determinado los siguientes orcenta$es de los recios de ventascomo ganancias netas&

7ran Estado !!B7len 8ood 1DBista al lago !BCondominio !#B

bjeti(os.1. LS=2 necesita determinar el nmero de unidades de cada lano de

cada roducto a construir" de tal manera de maBimizar sus ganancias.

8. Si LS=2 constru%e un comle$o de recreación % deortivo en 10acres"esto odr/a reducir el rea utiliza#le en 10acres % a un costo de

CK

CK


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lote m/nimo para casas de las series 7len 8ood 9 ista al Lago.− )e supondr tambiHn @ue cuando se 'abla del a(iso de la casaF se

re4iere a la in4ormaci*n del primer cuadro del enunciado.− Las man,ardas no se considerarn como dormitorios 5para el clculo

del par?ing6.− Los porcentajes @ue aparecen asociados a la (ariedad se trabajarn

sobre el total de todas las casas.− +ara la condici*n asociada a la proporci*n de las casas de dos pisos

4rente a las de un piso no se considerarn las casas del condominio deun piso es decir s*lo se considerarn las casas del condominio de dos

pisos para esta restricci*n.−

+ara la segunda parte se considerar @ue los porcentajes @ueaparecen en la Jltima tabla se re4ieren al (alor 5precio de (enta6 de lascasas 9 no a un aumento porcentual eIclusi(amente de las utilidadesde cada casa.

− +ara lle(ar todo a un mismo sistema de unidades se utili,ar lacon(ersi*n:1 acre = $3.#K 4t !

+lanteamiento. +ara poder resol(er el problema es importante (isuali,ar en 4orma

clara las distintas posibilidades para la construcci*n esto se re4iere no s*lo a los $ series 9 1# planos distintos dados sino @ue tambiHn a lasdistintas posibilidades permitidas para cada plano. El anlisis de lasdistintas posibilidades a9udar a determinar el nJmero de (ariables dedecisi*n con el objeto de resol(er el problema (/a programaci*n lineal.

)imilarmente es importante distinguir cada restricci*n obser(ando

el e4ecto @ue est produciendo esto se re4iere si tiene un e4ecto en la super4icie utili,adas por las casas cantidad de ellas relaciones encantidad de los distintos tipos etc.

"e esta 4orma se puede distinguir:

− +roducto 7ran Estado.Cada plano tiene dos posibilidades: estar o no en el lago.

Esto de4ine D (ariables de decisi*n distintas.

− +roducto 7leen 8ood.C

C


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EIiste una Jnica posibilidad para cada plano a eIcepci*n de la 7ranCiprHs @ue puede ser o no premiada.

Esto de4ine # (ariables de decisi*n.

− +roducto ista al Lago.)imilarmente al producto anterior eIiste un Jnica posibilidad paracada plano a eIcepci*n de la 2a9(ie @ue puede ser o no premiada.

Esto de4ine # (ariables de decisi*n.

− +roducto Condominio. En este caso s*lo se puede distinguir una posibilidad para cada plano. Esto de4ine 3 (ariables.

En resumen se tiene D##3=!1 (ariables de decisi*n.

+ara denominar cada posibilidad para cada casa con una (ariable seutili,ar la siguiente con(enci*n:

i $

i1..< 3ran stado" leen Qood"...resectivamente4

$1..< 3l signi!icado deender del valor de i4 1..8 3l signi!icado deender del valor de i % $4

El detalle de cada (ariable con los respecti(os sub/ndices seencuentra en la tabla1 de la siguiente pgina.

Antes de plantear las restricciones es con(eniente plantear en 4orma ordenada las caracter/sticas de cada casa en cuanto a super4icie@ue se le asigna en el pro9ecto precio de (enta par?ing re@ueridos por esacasa ganancia asociada a ella caracter/sticas generales etc. La 4ormams con(eniente de presentar esta in4ormaci*n es con la a9uda de uncuadro 5Tabla 16.

C9

C9

roducto lano

caracter/sticas


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Tabla 1: Signi!icado de cada varia#le % sus caracter/sticas.

ars. "escripci*n


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4= 1#$UX111 !11!UX11! 1$RUX1!1 !#$DUX1!! 1$3UX131 1RKRUX13! 1!RDUX1$1 1QRQ$UX1$! Q#KUX!11 D!DUX!1! KD$UX!!1 #QKUX!31 #$UX!$1 KUX31! #$UX3!1 $DUX331 $UX3$1 ##UX$11 $UX$!1 3#UX$31

Corresponde a la multiplicaci*n de las ganancias por las unidades de cadatipo de casa.

0estricciones.

1. Cantidad de casas de serie 7ran Estado.

X111X11! X1!1 X1!!X131 X13!X1$1 X1$!=#

!. Cantidad de casas 7ran Estado en el lago.8 X142; 8 X132; 8 X122; 8 X112 ≥≥≥≥

3. Cantidad de casas 7ran CiprHs premiadas.( ) 02112123 X212 X2110,25 X212 ≤−⇒+≤ X X

$. Cantidad de casas 2a9(ie premiadas.( ) 03113123 X312 X3110,25 X312 ≤−⇒+≤ X X

#. )uper4icie mIima para par?ing.( )[ ]

3267331321241231212211132

43124212312231122212112211124413

4356015331321241 X231212211

1214113 X431 X421 X312 X311 X221 X112- X1112200

≤+++++++

++++++++⇒

×≤+++++

++++++++

X X X X X X X

X X X X X X X X X

X X X X X

X X

K. )uper4icie para carreteras 9 par@ues.∑∑∑=i j k

Xijk1000 TOTPYC

Q. Condici*n de (ariedad.8 dormitorios&

∑∑∑∑∑∑ ≤++≤i j ki j k

Xijk250, X431 X421 X341 Xijk0,15

; dormitorios&

∑∑∑ ≤++++++≤i j k

X411 X331 X321 X241 X231 X142 X141 Xijk0,25

8

8


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< dormitorios&

∑∑∑ +++++++≤i j k

X31 X221 X212 X211 X132 X131 X122 X121 Xijk0,25

# dormitorios&

∑∑∑∑∑∑ ≤+≤i j ki j k

Xijk50,1 X112 X111 Xijk0,05

D. Condici*n de nJmero total de casas por serie.ran stado&

∑ ∑ ∑ +++++++≤i j k

X141 X132 X131 X122 X121 X112 X111 Xijk0,15

len Qood&

∑∑∑∑∑∑ ≤++++≤i j ki j k

50,3 X241 X231 X221 X212 X211 Xijk0,15

Vista al Lago&

∑∑∑∑∑∑ ≤++++≤i j ki j k

50,3 X341 X331 X321 X312 X311 Xijk0,15

2ondominio&

∑∑∑∑∑∑ ≤+++≤i j ki j k

Xijk50,3 X341 X431214 X411 Xijk0,15 X

R. Condici*n de cantidad dentro de cada serie.

ranstado& X142 X141 X132 X131 X122 X121 X112 X111 TGE +++++++=

6rum& 0,35TGE X112 X1110,2TGE ≤+≤Vander#ilt& 0,35TGE X122 X1210,2TGE ≤+≤7ug-es& 0,35TGE X132 X1310,2TGE ≤+≤Jacson& 0,35TGE X142 X1410,2TGE ≤+≤

len Qood& X241 X231 X221 X212 X211 TGG ++++=ran 2ir5s& 0,35TGG X212 X2110,2TGG ≤+≤Laz% )a& 0,35TGG X2210,2TGG ≤≤Qind @o& 0,35TGG X2310,2TGG ≤≤)range Qood& 0,35TGG X2410,2TGG ≤≤

Vista al Lago& X341 X331 X321 X312 X311 TVL ++++=Na%vie& 0,35TVL X312 X3110,2TVL ≤+≤

S-oreline& 0,35TVL X3210,2TVL ≤≤=ocs dge& 0,35TVL X3310,2TVL ≤≤

;

;


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olden >ier& 0,35TVL X3410,2TVL ≤≤2ondominio& X431 X421 X411 TC ++=Stream& 0,35TC X4110,2TC ≤≤Qeeing Qilo& 0,35TC X4210,2TC ≤≤>icet Fence& 0,35TC X4310,2TC ≤≤

1. Condici*n de proporci*n entre casas de uno 9 dos pisos.

(

PISOSDECASASDECANTIDAD

X X X X X X X X X X

2

312311231221212211122121112111 ++++++++++

11. Condici*n de abordables. ∑∑∑≥++i j k

Xijk0,15 X431 X421 X341

1!. Condici*n de super4icie total de 3 acres.2onsiderando que la serie ran stado utilizan eBactamente 8D acres"la restricción uede ser escrita como&

( ) ++++ ESTADOGRANCASASSUPERFICIE

X141 X131 X121 X11121780

[

([

[ 3321241231212211132131122121200

4213123112211121112200 Xijk1000

X331 X321 X311 X241 X231 X221435610890X2124950X211

i j k

+++++++++

++++++++

++++++++

∑ ∑ ∑

PARKINGSUPERFICIE

PARKINGSUPERFICIE

PARQUESYCARRETERAS

CASASSUPERFIETOTAL

X X X X X X X X X X

X X X X X X

13. Condici*n por la naturale,a de las (ariables.enteros y0 Xijk≥

<


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ANEX)

eorge *ant/ig$ Fundador de la Prograación Lineal

SIAM Ges" Goviem#re de 199<

A esar de los grandes adelantos en la otimización comutacionalocurridos durante los ltimos 80 a(os 3or e$emlo" los avances en losm5todos de unto interior4" el m5todo SimleB inventado or eorge N.=antzig en 19


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asignación 3C0 ersonas ara C0 tareas4 % el enorme oder comutacionalque se requerir/a ara analizar todas las ermutaciones % seleccionar lasolución ótima" o#servó lo siguiente& 'sólo toma un momento encontrar lasolución ótima usando una comutadora ersonal % un aquete quemane$e el m5todo simleB estndar'.=antzig escri#ió en 1991& 'es interesante notar que el ro#lema originalque ocasionó mi investigación est todav/a endiente" es decir" el ro#lemade la laneación dinmica a trav5s del tiemo" articularmente #a$ocondiciones de incertidum#re. Si este tio de ro#lemas udieranresolverse satis!actoriamente" se odr/a contri#uir 3tras una #uena

laneación4 al me$oramiento de este mundo % del ser -umano.'

La contri#ución de =antzig" segn sus eBlicaciones" nació de sueBeriencia en el >entgono durante la Segunda uerra Mundial" en dondese convirtió en eBerto en rogramación 3m5todos de laneación -ec-oscon calculadoras4. n 19


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