Tópicos de Álgebra Enero 2016

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Laboratorio # 1 Algebra de Matrices

I.- Calcular las operaciones indicadas, dadas las siguientes matrices.

A = (−𝟒 −𝟑 𝟓𝟐 −𝟒 𝟏𝟎 𝟔 −𝟕

) B = (−𝟐 𝟒 𝟎𝟏 −𝟓 −𝟖𝟔 −𝟑 −𝟏

) C = (𝟎 𝟐𝟒 𝟏

−𝟐 −𝟏)

D = (𝟑 𝟐𝟓 𝟒

) E = (−𝟏𝟏𝟐

) F = (𝟑 𝟏

−𝟓 𝟐)

1) 2B + 3A

2) CD

3) BE + F

4)At Bt

5) F – D

6) ( Ct + Bt )A

7) 3Ft - Bt

II.- Hallar la matriz X tal que:

1) 𝑋 − 4 𝐴 = 𝐵 2) 3 𝐴 + 5 𝑋 = 𝐵

Siendo

𝐴 = (−2 3 22 −1 1

−1 −1 0) , 𝐵 = (

−1 4 00 2 6

−3 0 2)

III.- Hallar la inversa de la siguiente matriz mediante la definición.

𝐴 = (−1 13 −2

)

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Laboratorio # 2 Formas Reducidas

I.- Obtener la Forma Reducida Inferior y Forma Reducida en Escalón de las siguientes

matrices.

11.

II.- Hallar la inversa, si existe, de la matriz dada, utilizando transformaciones elementales.

1. 𝐴 = (3 6 92 4 67 −9 5

)

2. 𝐵 = (2 3 18 4 3

−2 5 −1)

3. 𝐶 = (2 1 −13 2 54 −3 6

)

4. 𝐷 = (

2 3 2 33 6 1 57 14 3 56 12 5 4

)

1. A = (1 7 −3 0 −65 −2 2 14 106 4 9 −8 1

)

2.

3. D = (6 2 1 43 3 1 54 6 3 5

)

4. 5.

6. B = (2 1 −34 −2 53 2 −7

)

7. E = (

2 −13 −23 −13 7

)

8.

9. C = (

−2 3 −5 25 −2 7 34 −3 6 5

−3 2 2 4

) 10. F = (

3 24 −11 −2

−1 3

)

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Laboratorio # 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

I.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, mediante el método indicado.

1) −3𝑥 − 𝑦 = 5 2𝑥 + 3𝑦 = 6

; Inversa de la matriz de coeficientes

2)

2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 63𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2

; Elegir el método

3)

7𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 15𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1

9𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = −1 ; Gauss

4)

−7𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 09𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0

2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 = 0 ; Gauss

5)

𝑤 − 𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 32𝑤 + 3𝑥 + 𝑦 − 11𝑧 = 15𝑤 − 2𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 5

3𝑤 + 4𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 = −7

; Gauss-Jordan

6)

5𝑤 + 7𝑥 − 𝑦 + 8𝑧 = 17𝑤 + 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11

−𝑤 − 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 11𝑤 + 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −3

; elegir el método

7) 10𝑥 + 𝑦 = 0

3𝑥 + 2𝑦 = −17 ; Inversa de la matriz de coeficientes.

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Laboratorio # 4 Determinantes

I.- Considere el siguiente determinante |

−3 −1 4 34 −2 2 −12 1 −1 −21 3 −1 −4

| y calcule:

1) Los menores 𝑀13, 𝑀22, 𝑀23, 𝑀44 .

2) Los cofactores 𝐶12, 𝐶33, 𝐶32, 𝐶22 .

II.- Resolver para x.

1) 𝐼 = |3𝑥 −2 13 2𝑥 −2

−𝑥 −3 1| = 8

2) 𝐼 = |4𝑥 −2𝑥 3𝑥 −5𝑥 22 4 2𝑥

| = 10𝑥

III.- Hallar la inversa de la matriz dada, si existe, utilizando determinantes.

1) (3 2 14 −3 −2

−1 −2 3)

2) (

3 −1 −4 02 −2 2 30 1 1 1

−1 3 2 −3

)

III.- Calcular las siguientes determinantes, utilizando propiedades y el desarrollo por

menores.

𝐴 = |4 3 20 −2 11 −1 3

|

𝐵 = |4 −2 33 −1 26 5 1

|

𝐶 = |

4 2 0 1−1 3 1 24 3 −1 −21 −3 −1 2

|

𝐷 = |

0 2 −2 31 1 −1 13 3 −1 0

−1 0 0 2

|

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Laboratorio # 5 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por

Determinantes

I.-Resolver el sistema dado por el método indicado.

1)

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 32𝑦 − 𝑧 = 1−𝑥 + 𝑦 = 1

Cramer

2)

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4

3𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 6 Cramer

3)

3𝑥 − 𝑦 = 42𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 3−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0

Inversa

4)

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −1𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 2

Inversa

5)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0−2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 5𝑤 = 3

−3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 6𝑤 = −12𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 2

Elegir el método

6)

3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 2𝑤 = 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑤 = 12𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 02𝑥 + 𝑦 + 9𝑧 − 𝑤 = 5

Elegir el método

II.-Determina los valores de k tales que el sistema dado tenga:

a) solución única, b) ninguna solución, c) una infinidad de soluciones.

1)

𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 23𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1

2)

𝑘𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 02𝑥 + 𝑘𝑦 + 4𝑧 = 2

2𝑥 + 𝑘𝑦 + 6𝑧 = 𝑘 − 2

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Laboratorio # 6 Fracciones Parciales

I.-Indicar la descomposición en fracciones parciales de las fracciones siguientes.

1) 3𝑥+17

(𝑥+3)3

2) 𝑥3+8𝑥2−16

(𝑥2+2𝑥+1)(𝑥2+1)

3) 5𝑥+1

(𝑥−1)2(𝑥+1)

4) 53+𝑥+2

(𝑥2−1)(𝑥2+1)

5) 𝑥2+5𝑥+2

(𝑥−7)(𝑥+1)2

II.-Descomponer en sus fracciones parciales simples la fracción dada.

1) 6𝑥2+15𝑥+7

(𝑥+2)2(𝑥2−2𝑥+4)

2) −4𝑥3+6𝑥2−2𝑥+10

4𝑥4+12𝑥2+9

3) 1

(𝑥−1)(𝑥+2)2

4) 𝑥3−2𝑥+1

(𝑥2+1)2

5) 𝑥2−2𝑥+2

𝑥(𝑥+1)(𝑥2+1)

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Laboratorio # 7 Logaritmos

I.-Expresar el logaritmo dado en términos de logaritmos más simples.

1) log𝑏𝑥2−1

𝑥2−4

2) log𝑏𝑥(𝑥+2)2

(𝑥−2)4

3) log𝑏 √𝑥2+1

𝑥2+2

4) log𝑏𝑥2

𝑥3+1

5) log𝑏√𝑥2+1

3𝑥2

II.-Expresar como un solo logaritmo.

1) 3 log𝑏 𝑥𝑦 − 4 log𝑏 𝑧

2) log5(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − (log5 3 + 2 log5 𝑥)

3) 2 log10 3 + 3 log10 2 − 2

4) 1

2log10 16 −

1

3log10 8 + 1

5) 2𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥 + 1) − 𝑙𝑛(𝑥 + 1)

6) 3𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑙𝑛 𝑦 − 4𝑙𝑛 𝑧

7) log(𝑥 + 5) + log(2𝑥 + 8) + 4 log(3𝑥 + 1) − 2log(𝑥 − 3)

8) log2(𝑥 + 𝑦) − log2(𝑥2 + 1) + 10 +1

2log2(𝑥𝑦2)

III.-Expresa “x” en términos de “y”.

1) ln(25 − 𝑥) = −2𝑦 + ln 30

2) 𝑦 =35𝑥

35𝑥+2

3) log3(𝑥𝑦) = 2 log3 𝑦

4) ln(5 − 𝑥) = −2𝑦

5) ln(𝑥𝑦)3

ln 𝑧4

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Laboratorio #8 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

I.-Resuelve las siguientes ecuaciones.

1) log4(𝑥 + 6) − log4 10 = log4(𝑥 − 1) − log6 2

2) 1

2log5(𝑥 − 2) = 3 log5 2 −

3

2log5(𝑥 − 2)

3) log2 𝑥 + log2(𝑥 + 1) = 3 log2 4

4) log5 𝑥 + log5(𝑥 + 6) =1

2log5 9

5) log10 𝑥2 = log10 𝑥

6) log(𝑥2 + 4) − log(𝑥 + 2) = 3 + log(𝑥 − 2)

7) 42𝑥+3 = 5𝑥−2

8) 36𝑥+4 = 31−3𝑥2

9) 3𝑥2= 5𝑥+1

10) 2𝑥2. 4 = 83𝑥

11) 𝑒3𝑥 − 3𝑒2𝑥 + 4𝑒𝑥 − 4 = 0

12) 3𝑒3𝑥 − 7𝑒2𝑥 − 19𝑒𝑥 − 5 + 4𝑒−𝑥 = 0

13) log 2 + log(11 − 𝑥2) = 2 log(5 − 𝑥)

14) log8(𝑥 + 1) + log8(𝑥 + 3) = 1

15) log5(𝑥2 + 21𝑥 − 10) − log5(5𝑥 − 1) = 1

16) log(16−𝑥2)

log(3𝑥−4) = 2

17) log(𝑥3 − 1) − log(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 1

18) log3 𝑥2 − log27 𝑥 = −1

19) 2𝑥2= 25𝑥+6

20) 3𝑥+2 = 7

21) 52+3𝑥 = 84𝑥−1

22) 4𝑒2𝑥 + 8𝑒𝑥 − 5 − 2𝑒−𝑥 + 𝑒−2𝑥 = 0

23) 𝑒4𝑥 + 𝑒3𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 + 1 = 0

24) 4𝑒5𝑥 − 4𝑒4𝑥 − 5𝑒3𝑥 + 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥 = 0

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Laboratorio # 9 Permutaciones y Combinaciones

I.- Simplifica la expresión dada.

1) 13!

11!

2) 7!

10!

3) 4!7!

11!

4) 𝑛!

(𝑛−1)!

5) (𝑛+2)!

𝑛!

II.- Halla “n” o “y”, si:

1) 𝑃(𝑛, 2) = 72

2) 𝑃(𝑛, 4) = 42𝑃(𝑛, 2)

3) 2𝑃(𝑛, 2) + 50 = 𝑃(2𝑛, 2)

4) 𝑃(𝑛, 𝑟) = 120 𝑦 𝐶(𝑛, 𝑟) = 20

III.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Si no se permiten repeticiones

a) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los 6 dígitos 2,3,5,6,7,9?

b) ¿Cuántos de éstos son menores que 400?

c) ¿Cuántos son pares?

d) ¿Cuántos son impares?

e) ¿Cuántos son múltiplos de 5?

2) ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un

grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

3) ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas,

a) En una fila de 7 sillas

b) Alrededor de una mesa redonda

c)

4) Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los años para asistir a la

asamblea anual de la asociación de estudiantes.

a) ¿De cuántas maneras puede escogerse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles?

b) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo?

c) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles son casados y sólo asistirán si

van ambos?

5) De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila

a) Si los niños se sientan juntos y las niñas también.

b) Si justamente las niñas se sientan juntas.

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6) ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños, si el menor recibe 3 y cada

uno de los otros recibe 2?

7) ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden

formarse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas?

8) En una clase hay 12 estudiantes de cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar tres

pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes.

9) Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de c/u de las palabras.

a) Tema

b) Campana

c) Estadísticas

10) Supóngase que una urna contiene 8 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño

3.

a) Con sustitución

b) Sin sustitución

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Laboratorio # 10 Probabilidad

I.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Si tres esferas son tomadas aleatoriamente de una urna con 6 blancas y 5 negras, ¿Cuál

es la posibilidad de que una sea blanca y dos negras?

2) Un comité de cinco se selecciona de un grupo de seis hombres y nueve mujeres. Si la

selección es hecha aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el comité consista

de tres hombres y dos mujeres?

3) Una urna contiene ocho esferas rojas y cuatro esferas blancas, suponga que tenemos

dos esferas sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las dos esferas sean rojas?

4) En un juego de cartas las cincuenta y dos se reparten en cuatro jugadores; M, S, E, O. Si

M y S tienen ocho espadas entre sus veintiséis cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que el

jugador E tenga tres de las cinco espadas restantes?

5) Cuantas señales distintas existen de nueve banderas que se acomodan en una línea de

un conjunto de cuatro blancas, tres rojas, dos azules si todas las banderas del mismo

color son idénticas.

6) Se saca una bola de una caja que contiene 4 bolas rojas y 5 verdes. Se devuelve la bola

a la caja y se saca una segunda. Encuentra la probabilidad de que a) ambas sean

rojas, b) ambas sean verdes, c) la primera sea roja y la segunda sea verde.

7) Se sacan dos naipes de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas

sean a) reinas, b) corazones, c) del mismo palo?

8) Encuentra la probabilidad de que en 5 tiros de un dado salgan: a) ningún seis, b) dos

seises, c) 4 o 5 seises.

9) Se toma una carta al azar de una baraja de 52 cartas, y enseguida se devuelve. Si está

acción se efectúa 4 veces, encontrar la probabilidad de que las 4 cartas sean de los

cuatro diferentes palos.

10) Una caja contiene 15 tornillos buenos y 3 defectuosos. Si se sacan 3 tornillos, calcula la

probabilidad de que ninguno este defectuoso.

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Laboratorio # 11 Sucesiones

I.- Determine si la sucesión dada es monótona creciente o monótona decreciente.

1) Sea

𝑎1 = √2⋮

𝑎𝑛 = √2 + √𝑎𝑛−1

; 𝑛 = 2,3, …

6) {𝑛+2

2𝑛−1}

2) {2𝑛

𝑛}

7) {(−1)𝑛−1 2𝑛}

3) {𝑒𝑛

𝑛}

8) {1,4

3,

9

5,

16

7,

25

9 , … }

4) {1

𝑛}

9) {cos (𝑛 − 1)𝜋}

5) 1

3 ,

2

5 ,

3

7 ,

4

9, …

10) {2𝑛 + 3}

II.- Determine si la sucesión dada es convergente o divergente.

1) {𝑛2+1

𝑛}

4) {ln 𝑛

𝑛2 }

2) {3−2𝑛2

𝑛2+1}

5) {(−1)𝑛−1 (2

3)

𝑛}

3) {𝑛

2𝑛}

III.- Calcule el límite indicado.

1) lim𝑥→∞

𝑥2

𝑒𝑥

6) lim𝑥→

𝜋

2

1−𝑠𝑒𝑛 𝑥

1+cos 2𝑥

2) lim𝑥→∞

(ln 𝑥)3

𝑥

7) lim𝑡 →0

𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡

1−cos 𝑡

3) lim𝑥→2

(5

𝑥2+𝑥−6−

1

𝑥−2)

8) lim𝑥→0

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

4) lim𝑥→∞

𝑥2+2𝑥

𝑒3𝑥−1

9) lim𝑥 →∞

ln 3𝑥

3𝑥2

5) lim𝑥→∞

ln(𝑥+𝑒𝑥)

3𝑥

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Laboratorio # 12 Series

I.- Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta.

1) ∑1

[ln(𝑛+1)]𝑛∞𝑛=1

5) ∑5𝑛+1

2𝑛+3∞𝑛=1

2) ∑1

𝑛2𝑛∞𝑛=1

6) ∑1

𝑛√ln 𝑛∞𝑛=2

3) ∑(𝑛−1)!

(𝑛+1)!∞𝑛=1

7) ∑3

2(

1

5)

𝑛∞𝑛=1

4) ∑ 𝑛𝑒−𝑛2∞𝑛=1

8) ∑ 𝑛3

𝑒𝑛∞ 𝑛=1

II.- Halle el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

1) ∑𝑛

5𝑛 𝑥𝑛∞𝑛=0

4) ∑ 𝑛! 𝑥𝑛∞𝑛=0

2) ∑𝑥𝑛

√𝑛∞𝑛=1

5) ∑ (𝑥−2)𝑛+1

(𝑛+1)3𝑛+1∞𝑛=0

3) ∑ 𝑥2𝑛+1

(2𝑛+1)!∞𝑛=1

III.- Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado. Además halle

una serie de Maclaurin.

1) 𝑓(𝑥) = cos( 4𝑥 ) , 𝑥 = 𝜋

2) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 , 𝑥 = 2

3) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 , 𝑥 = 𝜋6⁄