Topología Conceptos Básicos (B)

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 Topología Conceptos básicos de Topología  En griego el término “topos” significa lugar, extensión o posición y el término “logos” significa ciencia o saber, por ello “ topologí a” será la ciencia de la extensi ón o del lugar. Según una leyenda, la fundaci ón de Cartago fue obra de un grupo de fugitivos de la ciudad fenicia de Tiro, que hacia el siglo IX a.C. alcanzaron la entonces  floreciente ciudad de Camb  é y solicitaron al rey libio–fenicio Yarba autorización  para establecerse all í . Contestó   é  ste accediendo a concederles la extensi ón de ter ren o que pudie ra aba rcar un a pie l de buey. Entonces Di do, reina de los  fugitivos, orden ó partir la piel de buey en estrechas tiras que uni ó para formar un largo cordón y con  é  ste puedo acotar una extensi ón de terreno suficiente para  formar la colonia. Ningún matemático griego pensó en sacar má  s partido de este problema. Para nuestro tiempo es natural pensar qu  é hubiera ocurrido si llamándose a engaño  el rey Yarba hubie ra exi gido como con di ci ón suple men taria que la pie l no hu bie se quedado “de sconex a”, esto es, pro hib ir tod a pos ibi lid ad de cos er o anudar lo rasgado. ¿Podrí a en estas condiciones acotarse un terreno de consideración? La respuesta es afirmativa, y a ella se llega te óricamente por deducciones topoló  gicas. Como fundamento de la topolog ía tenemos la idea de continuidad o “proximidad”. Es decir, un estudio topológico se basará en precisar qué se entiende por continuo Curiosidades 1 Conceptos básicos

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Topología

Conceptos básicos de

Topología 

En griego el término “topos” significa lugar, extensión o posición y el término “logos”

significa ciencia o saber, por ello “topologí a” será la ciencia de la extensión o del lugar.

Según una leyenda, la fundación de Cartago fue obra de un grupo de fugitivos

de la ciudad fenicia de Tiro, que hacia el siglo IX a.C. alcanzaron la entonces

 floreciente ciudad de Camb é y solicitaron al rey libio–fenicio Yarba autorización

  para establecerse allí . Contestó   é  ste accediendo a concederles la extensión de

terreno que pudiera abarcar una piel de buey. Entonces Dido, reina de los

  fugitivos, ordenó

partir la piel de buey en estrechas tiras que unió

para formar

un largo cordón y con  é ste puedo acotar una extensión de terreno suficiente para

 formar la colonia.

Ningún matemático griego pensó en sacar má  s partido de este problema. Para

nuestro tiempo es natural pensar qu é hubiera ocurrido si llamándose a engaño

  el rey Yarba hubiera exigido como condición suplementaria que la piel no

hubiese quedado “desconexa”, esto es, prohibir toda posibilidad de coser o

anudar lo rasgado. ¿Podrí a en estas condiciones acotarse un terreno de consideración? La

respuesta es afirmativa, y a ella se llega teóricamente por deducciones topoló gicas.

Como fundamento de la topología tenemos la idea de continuidad o “proximidad”.

Es decir, un estudio topológico se basará en precisar qué se entiende por continuo

Curiosidades

1Conceptos básicos

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Topología

( o si se prefiere contiguo) y qué   transformaciones conservan esta

continuidad. Con más precisión:

 

Topología

La topologí a es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar los

conjuntos estructurados mediante relaciones que nos permitan decir cuándo

un elemento del conjunto es “contiguo” o “pró  ximo” a una parte del mismo.

Dibujemos un diagrama de Venn A sobre una hoja de papel P:

 

Podemos considerar que el conjunto que estudiamos es toda la hoja de papel y el

diagrama de Venn es una parte de él. La forma más intuitiva de introducir una

topología en el conjunto P es definir la proximidad de un punto al subconjunto A

utilizando la “distancia” entre dicho punto y el subconjunto. De esta forma, el

punto r es contiguo al conjunto A y el punto q no lo es (ver figura).

 

Definición 1

Ejemplo 1

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Topología

Si ahora arrugamos la hoja de papel sin romperla tendremos una transformación topológica

pues en la hoja arrugada los puntos q y r tienen las mismas relaciones de proximidad con el

subconjunto A.

 

Trasladaremos las ideas expuestas en el ejemplo 1 al conjunto de los números

reales. En particular, nos interesa definir la distancia en este conjunto y para ello

necesitamos del valor absoluto.

  Valor absoluto de un número real

  El valor absoluto a de un número real a es:

  aa a

a a=

− <

si

si

0

0.

 Es decir, se trata del mismo número si  é ste es positivo o nulo y de su opuesto

 si  é ste es negativo.

Por definición, el valor absoluto de un número es siempre no negativo y verifica:

i) a a a= − ∀ ∈R . El valor absoluto de un número y de su opuesto son siempre los

mismos.

ii)ab a b a b= ∀ ∈, R

. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los

valores absolutos.

 Definición 2

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Topología

iii) a a= ⇔ =0 0 . El valor absoluto de un número es cero si y sólo si éste es cero.

iv) a b a b+ ≤ + . El valor absoluto de una suma es como máximo igual a la suma de

los valores absolutos (desigualdad triangular).

 Vamos a calcular el valor absoluto de algunos números:

  − =3 3 ; 4 4= ; − + =3 5 2 ; − + =5 3 2 .

El valor absoluto de las expresiones literales no puede darse explícitamente y

nos tenemos que referir a la definición. Por ejemplo:

 ( )

 x y  x y x y

  x y x y+ =+ + ≥

− + + <

si

si

0

0;

Cuando manejemos funciones conocidas también debemos utilizar la definición y

resolver posteriormente las inecuaciones obtenidas:

 1

1 10

1 10

sen

sen sen

sen sen

 x

 x x

 x x

=≥

− <

si

si

.

Comprobemos con un ejemplo que el valor absoluto de una suma es como máximo

igual a la suma de los valores absolutos. En efecto:

  − + =2 2 0

mientras que:

  − + = + =2 2 2 2 4 ,

por lo que escribimos:

  − + ≤ − +2 2 2 2 .

Sin embargo, el valor absoluto del producto:

  ( )− = − =2 2 4 4

coincide con el producto de los valores absolutos:

  − = ⋅ =2 2 2 2 4 .

 El valor absoluto puede ser definido de otras maneras. Por ejemplo:

Ejemplo 2

Ejemplo 3

 Observación 1

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Topología

  { }  x x x= −max , ,

o bien:

   x x= +2 .

 Así para − 3 su valor absoluto obtenido por la primera f órmula es:

  { } { }− = − − − = − =3 3 3 3 3 3max , ( ) ,max

 y por la segunda:

  − = + − = + =3 3 9 32( ) .

Con el valor absoluto pasamos a definir la distancia entre dos puntos de la recta real.

Distancia

La distancia entre dos puntos  x y, ∈R se define como el valor absoluto de

  su diferencia:

  ( )d x y x y, = − .

La distancia entre los números reales − 3 y 3 es igual a:

  ( )d ( , )− = − − = − =3 3 3 3 6 6 ,

mientras que la distancia entre 4 y 0 es:

  d ( , )4 0 4 0 4= − = .

La distancia verifica las propiedades:

i) d x y x y( , ) ,≥ ∀ ∈0 R . La distancia entre dos puntos es siempre no negativa.

ii) d x y x y( , ) = ⇔ =0 . La distancia entre dos puntos es nula si y sólo si ambos

coinciden.

iii) d x y d y x x y( , ) ( , ) ,= ∀ ∈R . La distancia entre  x e  y es la misma que entre  y y  x .

 

Definición 3

Ejemplo 4

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Topología

iv) d x y d x y d y z x y z  ( , ) ( , ) ( , ) , ,≤ + ∀ ∈R . La distancia entre dos puntos es siempre menor

que la suma de distancias de estos dos puntos a un tercero (desigualdad triangular).

El lector puede comprobar que esas propiedades son deducibles a partir de las del

valor absoluto.

Los números reales son, a menudo, representados geométricamente como puntos de

una recta (que llamaremos eje real  o recta real). Se elige un punto para que

represente el 0 y otro a la derecha del 0 para que represente el 1. Esta elección

determina la escala (figura abajo):

Con un conjunto adecuado de axiomas para la geometría euclídea, a cada punto de la

recta real corresponde un número real y uno sólo, y recíprocamente, cada número real

está representado por un punto de la recta real y uno solo. Acostumbramos a

referirnos al punto  x en vez del punto de la recta asignado al número real  x .

  La relación de orden puede interpretarse ahora de una forma gráfica. Si  x y< ,

entonces el punto  x está a la izquierda del punto y (figura abajo):

 

Esta recta es también un marco apropiado para interpretar la anterior definición de

distancia. En efecto, comprobaremos que lo que entendemos por distancia entre dos

números reales coincide con la “distancia” entre los puntos de la recta que representan

a tales números1

(figura abajo):

1 Además, las propiedades de la distancia tienen una traducción gráfica inmediata.

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Topología

 

  A nivel práctico, mediante la definición de distancia y estas representaciones

podemos deducir algunas propiedades adicionales y resolver inecuaciones donde

interviene el valor absoluto.

Demostrar que la expresión  x r < equivale a las desigualdades: − < <r x r  .

Podemos interpretar el valor absoluto  x como la distancia de  x a 0 pues es

evidente que:

 x x= − 0 .

De esta forma:

    x r x r d x r  < ⇒ − < ⇒ <0 0( , )

y su solución pasa por hallar los números reales  x cuya distancia a cero es menor

que el valor r  . Gráficamente:

Lo que implica que − < <r x r  como buscábamos.

Hallar la solución de la siguiente inecuación:

   x − ≥3 1 .

Ejemplo 5

Ejemplo 6

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Topología

Podemos interpretar la desigualdad en el sentido de las distancias, resultando:

  d x( , )3 1≥ .

Gráficamente significa que debemos encontrar todos los puntos cuya distancia a 3 sea mayor o

igual que uno. Es decir (figura abajo)

 Así, la solución está formada por el conjunto de todos los números reales mayores o iguales

que 4 unión con el conjunto de todos los números reales menores o iguales que 2 . En

símbolos:

  ] ] [ [− ∞ ∪ +∞, ,2 4

o bien:

  ( ] [ )− ∞ ∪ +∞, ,2 4 .

Hallar la solución de  x2 1 2+ > .

De nuevo, utilizando el concepto de distancia resulta:

    x x d x2 2 2

1 2 1 2 1 2+ > ⇒ − − > ⇒ − >( ) ( , ) .

Esto significa que debemos buscar aquellos valores:  x2 cuya distancia a −1 sea

superior a 2 . Por tanto habrá de cumplirse:

   x2

1> o  x2

3< −  

(figura abajo):

La segunda inecuación ( x2 3< − ) no tiene solución por lo que sólo deberemos

resolver la primera:  x2

1> . Como se trata de una inecuación polinómica de

Ejemplo 7

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Topología

segundo grado en una variable emplearemos el método de las regiones, que nos ofrece la

solución: ] [ ] [− ∞ − ∪ +∞, ,1 1 .

Hallar la solución de la siguiente inecuación:

   x + <3 2 .

Como la distancia se define en términos de valores absolutos de diferencias

debemos transformar la expresión  x + 3 en una diferencia. Esto es sencillo pues

basta escribir la suma como resta de un número negativo:

   x x+ = − −3 3( ) .

 Aplicando esta transformación a la inecuación tenemos:

    x x d x+ < ⇒ − − < ⇒ − <3 2 3 2 3 2( ) ( , ) .

En resumen, buscamos aquellos números reales cuya distancia a − 3 sea inferior a

2 (figura abajo):

La solución es pues el intervalo abierto ] [− −5 1, .

  La inecuación del ejemplo 8 podrí amos haberla resuelto empleando la propiedad

que demostramos en el ejemplo 5 (la expresión  x r < equivale a las

desigualdades: − < <r x r  ). En efecto, esa propiedad hace referencia a valores

absolutos sin precisar si la expresión sobre la que se aplica está formada por un

 sólo t érmino o varios. De esta manera:

   x + <3 2

 equivale a:

  − < + <2 3 2 x

Ejemplo 8

 Observación 2

9Conceptos básicos

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Topología

 por lo que para despejar  x sumamos a todos los miembros de la inecuación el valor − 3 y se

tiene:

  − + − < + + − < + − ⇒ − < < −2 3 3 3 2 3 5 1( ) ( ) ( ) x x .

¿Cómo podemos determinar la mayor o menor proximidad de un punto  x ∈R a un

subconjunto  A ⊂ R ? Pues bien, mediante ciertos conjuntos que llamamos entornos

abiertos.

Entorno abierto 2

de centro  x ∈R y radio r ≥ 0 .

Un entorno abierto centrado en un punto de la recta real  x y de radio r ≥ 0  

  es el conjunto formado por todos aquellos puntos que se encuentran a una

distancia estrictamente menor de dicho punto que el valor del radio. En

 sí mbolos:

  ( ) { } E x r y d x y r  ; / ( , )= ∈ <R .

Hallar el entorno abierto de centro 3 y radio r  = 1.

Según la definición debemos encontrar los puntos  y que se encuentren a una

distancia menor que 1 del punto 3 . En símbolos:

  d y y( , )3 1 3 1< ⇒ − < .

Para ello utilizamos la propiedad demostrada en el ejemplo 5:

  3 1 1 3 1− < ⇒ − < − <

 y y

y sumando a todos los miembros el valor − 3 resulta:

  − < − < ⇒ − + − < − + − < + − ⇒ − < − < −1 3 1 1 3 3 3 1 3 4 2  y y y( ) ( ) ( ) .

Multiplicamos todos los miembros por ( )−1 (lo que invierte el sentido de los

símbolos de desigualdad):

  − < − < − ⇒ − − > − − > − − ⇒ > >4 2 4 1 1 2 1 4 2  y y y( )( ) ( )( ) ( )( ) .

2 También suele denominarse entorno simétrico abierto de centro  x y radio r  .

 Definición 4

Ejemplo 9

10 Conceptos básicos

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Topología

El entorno abierto de centro 3 y radio 1es pues el intervalo abierto ] [2 4, (figura abajo):

  Los entornos abiertos centrados en  x y de radio r  son intervalos abiertos cuyo

centro es este punto y cuya longitud es igual al doble del radio r  (figura abajo):

 

  En el caso de que el radio sea cero se obtiene el conjunto vací o ya que la

inecuación: d y x( , ) < 0 no puede ser satisfecha por ningún número real

La primera definición sobre “proximidad” que podemos dar mediante el uso de

entornos es la que sigue:

Punto adherente y adherencia de un conjunto

Un punto  x es contiguo (adherente) a un determinado conjunto  A si todos

los entornos de  x tienen puntos del conjunto  A . La colección de todos los

 puntos adherentes a  A se denomina adherencia de  A y se nota por ( )adh A o

bien  A .

El punto 0 es adherente al conjunto [ ] A = −11, ya que todo entorno de 0 (cuyos

extremos representamos con paréntesis) “corta” a este intervalo (figura abajo):

 

Del mismo modo, el punto 1 es adherente al conjunto  A pues también todos sus

entornos tienen puntos de dicho conjunto.

 

Observación 3

 

Definición 5

Ejemplo 10

11Conceptos básicos

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Topología

 

  A partir de ahora para representar sobre la recta entornos centrados en un punto

  y de un radio dado, utilizaremos par éntesis o corchetes. Por ejemplo, para el

 entorno de centro 1 y radio 0 5, se tiene (figura abajo):

 entendiendo que todos los puntos que se hallen entre los par éntesis, a excepción de

los extremos, son los que forman el entorno. Alternativamente, con corchetes

(figura abajo):

 

¿Es adherente el punto 0 al conjunto   A x xn

n= ∈ = =

R / , , , ,...1 1 2 3 ?

Conviene representar el conjunto  A (figura abajo en rojo):

  Vemos que todo entorno abierto de cero corta a algún punto de  A ya que los

elementos de este conjunto se “acercan” todo lo que queramos a cero. Esto significa

que 0 es adherente a  A (aunque no pertenece a tal conjunto).

En el ejemplo 9 apreciamos que pueden existir dos diferentes grados de

adherencia o contigüidad. En efecto, en ese ejemplo, tanto el 0 como el 1 son

Observación 4

Ejemplo 11

12 Conceptos básicos

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Topología

adherentes a [ ]−11, pero el 0 está en el “interior” mientras que el 1 está en la

“frontera”.

Punto interior de un conjunto

Se dice que un punto  x es interior a un conjunto  A  , si es posible hallar al

menos un entorno abierto centrado en  x que est é incluido en  A .

Demostrar que el punto 0 es interior al conjunto ] ]− ∞,2 .

En efecto, el entorno de centro 0 y radio 1 se encuentra incluido en el conjunto

(figura abajo):

 

La colección de todos los puntos interiores a un determinado conjunto  A se llamará el

interior de  A y se notará mediante: ( )int A o bien  Ao

.

Existe una importante relación entre los puntos interiores de un conjunto y este

conjunto.

Relaciones entre un conjunto y su interior

Todo conjunto  A ⊂ R contiene a su interior. Es decir:

  ( )int A A⊂ .

 Demostración:

Si el conjunto  A fuera vacío su interior también sería vacío por lo que la

inclusión se daría de forma trivial. Supongamos ahora que el interior de  A  

es no vacío: ( )int A ≠ ∅ . En ese caso, todo punto que pertenezca a este

Definición 6

Ejemplo 12

 Proposición

1

13Conceptos básicos

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Topología

interior: ( ) x A∈int , tiene un entorno abierto incluido en  A . Como  x es elemento de

todos sus entornos, también se hallará en  A y por tanto: ( )int A A⊂ .

c.q.d.3

Punto frontera de un conjunto

Se dice que un punto  x es frontera de un conjunto  A  , si es posible hallar en

todo entorno abierto centrado en  x  , puntos de  A y puntos del

complementario 4

de  A .

Demostrar que el punto 1 es frontera del conjunto de los números

racionales.

Los números reales se pueden clasificar en dos tipos disjuntos: racionales e

irracionales. Para simbolizar el conjunto de los números racionales escribiremos

Q mientras que los irracionales se notarán por I . Así es: R Q I Q I= ∪ ∧ ∩ = ∅ y

estos subconjuntos son complementarios uno del otro. También se caracterizan por

tener elementos “por doquier” en la recta. Es decir, si elegimos un intervalo de la

recta real nos encontraremos en él al menos un número racional y al menos un

número irracional. Por ejemplo, en el intervalo ] ]0 1, hay una infinidad de números

racionales: 13

14

110, , ,... ,… e infinidad de números irracionales: 0 30300300030000, .... ,

0 997835625141, ...., ........ Como los entornos del punto 1 son intervalos de la recta

hallaremos en todos ellos puntos de Q y puntos su complementario I por lo que dicho punto

es frontera de Q ( y por la misma razón también de I ).

La colección de todos los puntos frontera de  A se dirá que es la frontera de  A y se

notará por ( )Fr A . A diferencia del interior, no podemos garantizar que la frontera de

un conjunto esté incluida en dicho conjunto.

3 Esta es la abreviatura de “como queda demostrado”.4 El complementario de un conjunto de la recta está formado por todos aquellos puntos de la recta que no pertenezcan a dicho conjunto.

 

Definición 7

Ejemplo 13

14 Conceptos básicos

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Topología

Las definiciones que hemos dado de interior y frontera permiten demostrar la

siguiente proposición:

  Adherencia de un conjunto

La adherencia de un conjunto  A es la unión disjunta de su interior y su

 frontera.

 Demostración:

Es claro que todo punto interior y todo frontera de un conjunto  A son

adherentes a éste, pues verifican la condición de tener en todos sus entornos

al menos un punto de  A . Además, si un punto es interior hallaremos que

alguno de sus entornos está incluido en  A y, en consecuencia, no puede ser

frontera. Recíprocamente, si es frontera no podrá ser interior ya que no es

posible encontrar un entorno con todos sus puntos pertenecientes a  A .

Resumiendo:

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )adh int Fr , int Fr    A A A A A= ∪ ∩ = ∅ .

c.q.d.

Cuando un punto  x no es adherente a un conjunto dado  A entonces podemos hallar

al menos un entorno abierto que no tiene ni un sólo punto de  A . En tal caso, decimos

que el punto  x es exterior al conjunto  A y a la colección de todos estos puntos la

llamamos exterior de  A . Formalmente:

Punto exterior de un conjunto

Un punto de la recta real es exterior a un subconjunto dado  A cuando sea

  posible encontrar al menos un entorno abierto centrado en el punto que no

Proposición

2

 

Definición 8

15Conceptos básicos

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Topología

contenga a ningún elemento del conjunto. El conjunto de todos los puntos con esta

  propiedad se llamará exterior de  A y se notará por ( )ext A

El punto 2 es exterior al conjunto [ ] A = −11, ya que el entorno centrado en 2 y de

radio1

2tiene intersección vacía con el conjunto  A (figura abajo):

 

Supongamos que  A es un subconjunto de la recta real. Entonces si  x es un punto de

esta recta puede ser adherente o no a este subconjunto. En el caso de que no

sea adherente será exterior y en el caso de que sea adherente será o bien

interior o bien frontera. En consecuencia, todos los puntos de la recta pertenecerán

al interior, al exterior o a la frontera de  A y sólo a uno de ellos.

Hallar el interior, el exterior y la frontera del conjunto: ] [− +∞1, .

El interior de este conjunto es él mismo:

  ] [( ) ] [int , ,− +∞ = − +∞1 1

ya que si ] [ x ∈ − +∞1, siempre podremos hallar un entorno abierto incluido en

] [− +∞1, (figura abajo):

 Además ningún otro punto que no pertenezca al intervalo puede ser interior (ver

proposición 1).

Ejemplo 14

Ejemplo 15

16 Conceptos básicos

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Topología

El exterior del conjunto es: ] [− ∞ −, 1 . El único punto que no es ni interior ni exterior es , −1  

por lo tanto: ] [( )Fr ,− +∞ = −1 1 .

 

17Conceptos básicos