Topologa euclidianaEn matemtica, y especialmente entopologa general, latopologa euclidianaotopologa eucldeaes un ejemplo de topologa dado por el conjunto de losnmeros reales, denotados medianteR. Dado el conjuntoRuna topologa significa decir que lossubconjuntosdeRson abiertos, y hacerlo de tal manera que los siguientesaxiomasse cumplan: 1. Launinde conjuntos abiertos es un conjunto abierto.2. Lainterseccinfinita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.3. El conjuntoRy elconjunto vaco son conjuntos abiertos.ConstruccinSe requiere que el conjuntoRy el conjunto vaco sean conjuntos abiertos, as que se definirRy como conjuntos abiertos en esta topologa. Dados dos nmeros reales, por ejemploxey, conx 0, d(x, y) = 0. d(x, y) = d(y, x). d(x, y) d(x, z) + d(y, z).Sea a R y sea r R // r > 0, se defineBola Abiertade centro a y radio r al conjunto de puntos // d(r, a) < r: B (a, r). En una dimensin: B (a, r) = (a r, a + r) = x R // a r < x < a + r., y en dos dimensiones: B (a, r) = x1, x2 R // (x1 a1)^2 + (x2 a2)^2 < r.Sea S R^n y sea a S a se denominaPunto Interiorde S si existe una Bola Abierta centrada en a y contenida en S.Sea S R^n, elInteriorde S es el conjunto de todos los Puntos Interiores: S = S.Sea S R^n, S es un Conjunto Abierto si: S = S.Un espacio topolgico X es un conjunto de objetos junto con una coleccin de subconjuntos de X que vamos a denotar por Y = X, satisfaciones que: El vaco pertenece a Y X Y La unin de una subcoleccin arbitraria de Y pertenece a Y. La interseccin de una coleccin infinita de elementos de Y pertenece a Y. A los elementos de Y se les llama Conjuntos Abiertos.R^n es un Espacio Topolgico La unin de una coleccin arbitraria de Abiertos de R^n es un Abierto, y la interseccin de los mismos es finita.Un conjunto S R esCerradosi su complementario es Abierto.La unin de una coleccin finita de conjuntos cerrados es cerrada, al igual que la interseccin de una coleccin arbitraria de conjuntos cerrados.Sea S R^n y sea x R^n, se dice que x esAdherentea S si toda Bola Cerrada en x contiene al menos un punto de S. AdhS = S.Al conjunto de todos los puntos Adherentes se le llamaAdherencia.Sea S R^n sea x R^n, se dice que x es unPunto de Acumulacinde S si cada Bola B(x) contiene por lo menos un punto de S distinto de x.Al conjunto de todos los Puntos de Acumulacin se le llamaConjunto Derivado.Sea x un conjunto de acumulacin de S R^n cada Bola B (x) tiene infinitos puntos de S.Si un conjunto tiene un Punto de Acumulacin, es conjunto es infinito.Sea S un conjunto de R^n S es cerrado si S S.eTeorema de Encaje de Cantor:Sean Q1, Q2 una coleccin de R^n numerable de conjuntos no vacos tales que Qk+1 Qk, y que cada uno de los Qk es cerrado y Q1 acotado Una coleccin F de conjuntos se denominaRecubrimientode un conjunto S R^n si S unin de los conjuntos.Teorema del Recubrimiento de Linde Lf:Sea S R^n y F un Recubrimiento Abierto de S Existe una subcoleccin numerable que tambin recubre a S.Teorema de Heine-Borel:Sea S R^n cerrado y acotado, y sea F un Recubrimiento Abierto de S Existe una subcoleccin numerable que tambin recubre a S.Sea S R^n, se dice que S es conjunto si todo Recubrimiento Abierto de S contine un Recubrimiento finito.Sea S R^n, S esCompacto S es Cerrado y acotado.Sea S R^n, y x R^n x es un Punto frontera de S si cada Bola centrada en el punto x contiene al menos un punto de S y un punto de R^n S: FronS = S S.