Anlisis Matemtico II5 Topologa y funciones en 2 y 3

Docentes : Lic.Bruno MeszProf. Luciana Volta

Ejercicio 1Estudiar las superficies de 3 representadaspor las siguientes funciones utilizando curvas de nivel

i > z = x2 y ii > z = 1 + x2 y2 iii > z = yx

iv > z = 2 x2 + y2 v > z = cos Hx yL vi > z = 1 x2

4 y29

Ejercicio 2Hallar y graficar las curvas de nivel de las siguientes funcionesi > z = x + y ii > z = y

x2iii > z = x2 + y2

iv > z = ln Ix2 + yM v > z = x y vi > z = x2 y2

Ejercicio 3Hallar y graficar las superficies de nivel de las siguientes funcionesi > u = x + y + z ii > u = x2 + y2 + z2 iii > u = x2 + y2 z2

Ejercicio 4Clasificar Hen caso que se puedaL las siguientes funciones en trayectorias ,campos escalares y campos vectorialesIndicar dominio y codominio de las mismasi > f Hu, vL = Iu + v, 2 u v2, 5Mii > f Hu, v, wL = Iu + v, 2 u v2, 5Miv > f Hx, y, z, tL = x2 + y2 z2 tv > f HxL = Ix + 5, cos HxL, x5, 2 xMEjercicio 5Hallar y graficar el dominio de las siguientes funcionesi > f Hx, yL = 1x ii > f Hx, yL =

1x + y

iii > f Hx, yL = x y2

iv > f Hx, yL = x y23 v > f Hx, yL = xy vi > f Hx, yL = 1

x y2

vii > f Hx, yL = x

y 11 + t2

t viii > f Hx, yL = 1 x2 y2 ix > f Hx, yL = 1sen Hx yL

x > f Hx, yL = ln Hx + yLsen HxL xi > f Hx, yL = arcsen Hx + yL xii > f Hx, yL = x Hy 3L

xiii > f Hx, yL =x2 + y2 25

y 4 xiv > f Hx, yL =x2 + y2 25

x + y

Ejercicio 6Calcular

i > limHx,yLH1,0L x + y ii > limHx,yLH0,2L

y + sen Hx yLy

iii > limHx,yLH0,0L

sen Ix2 + y2Mx2 + y2

iv > limHx,yLH0,0L

x yx + y

v > limHx,yLH0,0L

x yx + y vi > limHx,yLH2,1L

2 x2 8 yx + 5 y

vii > limHx,yLH2,1L

x + 5 y2 x2 8 y

viii > limHx,yLH0,0L

sen HxLy

ix > limHx,yLH0,0L

sen Ix2 + y2Mx y + y x x > limHx,yLH0,0L

1x +

1y

xi > limHx,yLH0,0L

x2 + y2x2 y2

xii > limHx,yLH0,0L

x2 y2x2 + y2

xiii > limHx,yLH0,0L

x y2x2 + y4

xiv > limHx,yLH0,0L Ix

2 + y2M sen 1x y

xv > limHx,yLH0,0L x sen

y + y sen K

x O xvi > limHx,yLH0,0L Ix

2 + y2Mx2 y2

xvii > limHx,yLH0,0L

x2 + y2

x2 + y2 + 1 1xviii > lim

Hx,yLH0,0L sen xy

xix > limHx,yLH0,0L

x y x + y xx > limHx,yLH0,0L

sen Hx yL x y

xxi > limHx,yLH0,0L

x

x2 + y2xxii > lim

Hx,yLH0,0Lx.y.sen HxyL

x2 + y2

xxiii > limHx,yLH1,0L

Hx 1L7

4 Hx 1L6 + 3 y4

Ejercicio 7Calcular

i > limHx,yLH1,0L I x + y, x y, x

2M ii > limxsen HxLx ,

1 + cos HxLIx2 2M Hx L

Ejercicio 8Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados

i > f Hx, yL =x2y2x2+y2 si Hx, yL H0, 0L0 si Hx, yL = H0, 0L

en H1, 0L y H0, 0L

ii > f Hx, yL = y x H1 + xLy si Hx, yL H0, 0L , x > 11 si Hx, yL = H0, 0L en H1, 1L y H0, 2L

iii > f Hx, yL = x + y si Hx, yL H0, 0L1 si Hx, yL = H0, 0L en H1, 1L y H0, 0L

iv > f Hx, yL = sen@x cos HyLD en H1, 1L y H0, 2L

v > f Hx, yL = ln Ix2 + y2M si Hx, yL H0, 0L

1 si Hx, yL = H0, 0L en H1, 0L y H0, 0L

2 5-Topologa y funciones en R2 y R3 1.nb

vi > f Hx, yL = 1 si x y 00 si x y = 0 en H1, 1L y H0, 0L

Ejercicio 9Hallar el dominio de continuidad de las funciones i, iii, iv, y v del ejercicio anterior

Ejercicio 10Dada la funcinf Hx, yL = x y sen 1x sen

1y

i > Calcular el dominioii > Definirla si es posible en 2 de modo que resulte continua en 2

Ejercicio 10

Dada la funcin f Hx, yL = x2

x yi > Calcular el dominioii > Probar que lim

HxL 0 f Hx, axnL = 0 n en N, a en R, a 0

iii > Probar que limHxL 0 f Hay

n, yL = 0 n en N, a en R, a 0iv > Sea g HxL = x + x2, calcular lim

HxL 0 f Hx, g HxLLv > Qu conclusin saca sobre lim

Hx,yLH0,0L f Hx, yL?

Ejercicio 11Estudiar la continuidad de las siguientes funcionesi > f HxL = Ix, x2M

ii > f Hx, yL = Jsen Hx2+y2L

x2+y2 , Ix2+y2M1x2+y2 N si Hx, yL H0, 0L

H1, 1L si Hx, yL = H0, 0LProblemas tericosi > Defina disco y bolaii > Defina campo escalar, campo vectorial y trayectoriaiii > Defina curva de nivel

5-Topologa y funciones en R2 y R3 1.nb 3