TP "Estudio de Variaciones en los Parámetros de la Función Trigonométrica Seno" Prof: Marcelo Stigliano

TP "Estudio de Variaciones en los Parámetros de la Función Trigonométrica Seno"

Condiciones de entrega:

• Este TP está diseñado para ser elaborado usando programas de computación tipo "Geogebra" • Pueden realizarlo individualmente o en grupos de hasta dos alumnos. • Cada trabajo debe estar bien identificado en una carátula que consigne: título, autores, escuela, curso,

división y año lectivo. La entrega se hará únicamente impreso y en un folio o carpeta • La precisión, completitud, organización y prolijidad serán tenidos muy en cuenta para la calificación del TP

Gráficos

• Unidad eje "X": π (sub-unidad π/2) • Unidad eje "Y": 1 • Marquen la cuadrícula como referencia visual • Ambos ejes deben mostrar al menos una unidad negativa • El eje "Y" debe tener un máximo (mínimo) de una o dos unidades mayor (menor) que el máximo

(mínimo) de la función • El eje "X" debe tener un desarrollo tal que muestre al menos un período completo de la función • Se trata de tener una idea del comportamiento de la curva y aprovechar al máximo el gráfico

Consignas:

Partiendo de la función sinusoidal general: g(x) = a.sen(b.x+c)+d , deberán contestar las siguientes cuestiones teóricas:

1) Hagan una descripción detallada de la gráfica de la función madre f(x)= sen (x) ; con a = 1; b = 1; c = 0 y d = 0

2) Cuando sólo variamos el parámetro a ( )0a ≠ , ¿qué permanece sin cambios?; ¿qué varía en la curva?,

¿cómo lo hace?, ¿qué ocurre con la curva con los valores negativos de a ?, ¿idea de qué nos da este parámetro?, ¿cómo se puede calcular a partir de la fórmula? Incluyan una gráfica con ejemplos y la función madre, den las fórmulas usadas e identifíquenlas en el gráfico.

3) Cuando sólo variamos el parámetro b (b>0) , ¿qué permanece sin cambios?; ¿qué varía en la curva?, ¿cómo lo hace? ¿Qué relación hay entre b y el período T?, exprésenlo mediante una fórmula. Den su nombre. Incluyan una gráfica con ejemplos y la función madre, den las fórmulas usadas e identifíquenlas en el gráfico.

4) Cuando sólo variamos el parámetro c, ¿qué permanece sin cambios?; ¿qué varía en la curva?,¿cómo lo hace?,¿qué ocurre con los valores negativos de c ? Den su nombre. Incluyan una gráfica con ejemplos y la función madre, den las fórmulas usadas e identifíquenlas en le gráfico.

5) Cuando sólo variamos el parámetro d, ¿qué permanece sin cambios?; ¿qué varía en la curva?, ¿cómo lo hace?, ¿qué ocurre con los valores negativos de d ? Den su nombre. ¿qué relación hay entre el máximo, el mínimo y el parámetro d ? Exprésenlo mediante una fórmula. Incluyan una gráfica con ejemplos y la función madre, den las fórmulas usadas e identifíquenlas en el gráfico.

6) Graficar y analizar por completo (dar máximo, mínimo, amplitud, período, ángulo de fase y raíces) de una función f, una g, una h y otra, t (a elección). Las gráficas deben cumplir las especificaciones dadas al principio del TP

f(x) = -2 sen(x) f(x) = -½ sen(x) f(x) = 5/2 sen(x)

g(x)= sen(2x) g(x)= sen(1/2x) g(x)= sen(3/2x)

h(x)= -sen(1/2x) h(x)= 3/2sen(2x) h(x)= -sen(2/3x)

t(x)= -sen(2x-pi/3) t(x)= 3sen(2x-pi/3) t(x)= -2sen(1/2x+pi/2)

TP "Estudio de Variaciones en los Parámetros de la Función Trigonométrica Seno" Prof: Marcelo Stigliano

7) Establezcan la relación existente entre fórmulas y gráficas. Den una breve explicación de cómo llegaron a sus conclusiones.

π−−=

2xsen)x(f

π−=

4xsen3)x(g

π−=

32x

sen2)x(r

( )x3sen3)x(t −=

π+−=

2x3sen2)x(q

π−=

22x

sen)x(h

Gráfico 1

Gráfico 2

Gráfico 3

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Gráfico 4

Gráfico 5

Gráfico 6

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Notas teóricas Amplitud:

Llamamos "amplitud" a la distancia media entre el máximo y el mínimo de la onda de la función:

2mínMÁX

A−

= noten que siempre dará positiva (es una distancia)

Una analogía podría ser considerar a la amplitud como la "altura de la ola referida al nivel del mar". Período:

En el caso de la función madre f(x) = sen (x) , el trozo de gráfica representado para valores de "x" comprendidos entre x1 = 0 y x2 = 2π configura una onda completa. Todas las ondas a derecha e izquierda

de ésta son réplicas de la trazada entre x1 = 0 y x2 = 2π Cuando se obtiene una onda completa se dice

que ha transcurrido un período de la función. Su notación es "T" y para la función madre del seno T = 2π En general se considera que un período comienza en x1 = 0 , aunque es fácil ver que, sin importar por dónde se

dé inicio al período, la onda completa se repite para un mismo intervalo de "x". Algo similar ocurre con la función trigonométrica coseno. Esto es así porque a dos ángulos que difieren en un

número exacto de vueltas les corresponde el mismo punto en la circunferencia trigonométrica y, por lo tanto, el mismo valor funcional.

Ángulo de fase:

Es el valor angular que representa el "corrimiento" de la onda, ya sea a derecha como a izquierda. Si se tiene una función del tipo:

g(x) = a . sen (bx + c) siendo b distinto de 1 y c distinto de 0, para calcular el ángulo de fase debemos tener en cuenta que la onda de

la función trigonométrica madre de f(x) = sen(x) puede decirse que "comienza" en el punto (0; 0) puesto que f(0) = sen (0), es decir f(0) = 0

Por lo cual, lo único que debemos hacer es igualar g(x) a cero para obtener el valor de "x" correspondiente, es

decir:

bc

- x 0cbx cero es cero de seno el como 0)cbx(sen

a0

)cbx(sen

0)cbx(sen.a

=⇒=+⇒=+

=+

=+

que es como obtendremos el ángulo de fase bc

f −=α

Raíces:

Como con cualquier otra función, se trata del conjunto de valores de x para los cuales la curva corta al eje X. Para esto tomamos en cuenta la cantidad de raíces en un período y el ángulo de fase, es decir: π.k : raíces de la función madre (k número entero)

b.k π

: raíces de acuerdo con el período

bc

− : corrimiento horizontal

Si los combinamos obtenemos todas las raíces de las sinusoidales: b

ckbc

b.k

x i−π

=−π

=