TEMA

CARRERA PROFESIONAL

COMPUTACIN E INFORMTICA ALUMNA

: DOCENTE

:

CICLO

:

FECHA DE ENTREGA:

HUANCAVELICA 2015PER

ndice: 3INTRODUCCIN

4CAPITULO I

41.MARCO TERICO

51.1CONCEPTO:

6CAPITULO II

62.INECUACIONES LOGARITMO

62.1.INECUACIONES

62.1.1.DESIGUALDAD:

72.1.2.PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

72.1.3.INECUACIONES:

82.1.4.INECUACIONES DE PRIMER GRADO:

102.1.5.SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA:

112.1.6.INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO:

122.1.7.INECUACIONES FACTORIZADAS O DE GRADO MAYOR QUE 1:

132.1.8.INECUACIONES FRACCIONARIAS:

173.CONCLUSIN:

184.BIBLIOGRAFA:

184.1.LIBROS

184.2.PGINA WEB:

INTRODUCCINTradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente acompaado de las tablas logartmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa, caracterstica, cologaritmo...

Hoy en da esto ya no es necesario. Con la creciente utilizacin de las calculadoras en todos los niveles, el clculo logartmico se ha simplificado enormemente.

Una inecuacin es una expresin algebraica en la que se hace la comparacin de dos valores, donde podemos encontrar una variable (la llamaremos x) y se pretende que sta sea resuelta y as poder encontrar los valores posibles de x tal que cumpla la inecuacin.

Las Ecuaciones Logartmicas, trata de dar a conocer a los estudiantes varios puntos referentes al tema que estn, relacionados con los logaritmos y ecuaciones que sern de gran ayuda para un mejor desenvolvimiento en el desarrollo de ejercicios adems de un adecuado aprendizaje en la unidad educativa. Como objetivo general se tiene que profundizar los conocimientos acerca delas ecuaciones logartmicas para poder aplicarlos en temas ms avanzados. El contenido de este trabajo esta reforzado con conocimientos adquiridos durante nuestra vida estudiantil, adems cuenta con ejercicios de aplicacin y resolucin de problemas que se pueden presentar en la vida diaria. CAPITULO I

1. MARCO TERICO

Para resolver una desigualdad debemos aislar la variable en un lado del signo de desigualdad. Para aislar la variable, usamos las mismas tcnicas basadas utilizadas en la resolucin de ecuaciones.

Podemos resolver algunas desigualdades, aadiendo o restando una constante de un lado de la desigualdad Desigualdades o inecuaciones

Una desigualdad o inecuacin es una expresin algebraica con una o ms incgnita y que solo se demuestra para ciertos valores de las incgnitas

Desigualdades Cuadrticas

Se dice que una inecuacin es cuadrtica cuando podemos escribirla en la forma: en donde los trminos a, b, y c son constantes y a Cabe mencionar que en estos casos los valores de x deben ser estrictamente positivos para satisfacer esta desigualdad. Por ejemplo: Inecuaciones racionales:

Las inecuaciones racionales son aquellas, las cuales constan de una fraccin racional o cociente de polinomio en cada uno de sus trminos.

Logaritmo: El logaritmo de un nmero en una base dada es el exponente de aquella base que produce como potencia, adems los logaritmos fueron idea dos como una herramienta para facilitar el uso de las potencias y las races. La palabra logaritmo proviene de las voces griegas. Logos: estilo, manera, relacin, razn Arithms: nmero

1.1 CONCEPTO:

En matemticas, el logaritmo de un nmero en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho nmero. Por ejemplo, el logaritmo de De la misma manera que la operacin opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicacin la divisin, el clculo de logaritmos es la operacin inversa a la exponenciacin de la base del logaritmo.

Para representar la operacin de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subndice la base y despus el nmero resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, . Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

CAPITULO II2. INECUACIONES LOGARITMO

2.1. INECUACIONES2.1.1. DESIGUALDAD: Se llama desigualdad a toda relacin entre expresiones numricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,

Por ejemplo: , etc....

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, as, en los ejemplos:

la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es verdadera.

Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.

2.1.2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

Se denominan tambin transformaciones de equivalencia.

Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresin o cantidad, la desigualdad no vara:

Transposicin: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los trminos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no vara, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad: , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad. , si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad. Simplificacin: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no vara:

, si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.2.1.3. INECUACIONES: Son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o ms variables, o incgnitas. Una inecuacin se verifica solo para algunos valores de las variables.

Los valores numricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma. Resolver una inecuacin consiste en hallar los valores numricos para los cuales la desigualdad es verdadera. Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones. Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia: Ejemplos:

, es una inecuacin equivalente a la primera. , operando nos queda, , que es equivalente a la dada, y por ltimo , y de ah pasaramos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solucin, en este caso , que es la solucin, es decir, todos los valores de la variable menores que catorce tercios.2.1.4. INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Son aquellas en las que las variables que intervienen estn elevadas a un exponente igual a la unidad. Inecuaciones de primer grado con una incgnita, tienen por expresin general , y todas sus equivalentes.

.Ejemplos:

E1.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable x menor o igual que noventa y nueve ciento nueveavos. E2.- , es decir, se cumple para todo valor de la variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos. Luego para resolver una inecuacin se sigue un proceso similar al de resolver ecuaciones. Mtodo analtico:

Para resolver una inecuacin de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresin general de una inecuacin de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del clculo en general:

Quitar parntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a comn denominador.

Reducir trminos semejantes en ambos miembros.

Pasar a un miembro los trminos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir trminos. (Aplicar los principios de equivalencia de inecuaciones)

Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1) IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, as: ya que hemos tenido que multiplicar por 1 ambos miembros por ser stos negativos, luego proseguiramos de modo normal. Ejemplos:

E1.-, la solucin son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3. E2.- , como nos queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por 1, as , la solucin son todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios. Modo de dar las soluciones:

Por intervalos, como en los ejemplos anteriores. Grficamente, por su representacin en la recta real. En los casos anteriores sera:

2.1.5. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA:Son aquellos en los que la nica variable que interviene en todas las ecuaciones est elevada a un exponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresin general:

, y todas sus equivalentes , , etc. ... Tcnicas de resolucin: no existe ms que un modo de resolverlos, independientemente del nmero de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuacin por separado, y al final se busca la solucin en la interseccin de todas ellas, es decir, el intervalo de solucin comn a todas. Ejemplos:

E1.- , los intervalos de solucin son para la primera y para la segunda. Luego la solucin

comn a ambas est en la interseccin de ambos, es decir, en , grficamente tal vez se vea mejor. E2.- Sea x el largo de un rectngulo de 3 cm. de ancho, el lado de un tringulo equiltero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el permetro de rectngulo sea superior al del tringulo e inferior al del cuadrado. El planteamiento nos lleva a . Esta es una inecuacin de primer grado que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema , la primera tiene por solucin el intervalo , y la segunda , luego la solucin comn es la interseccin de ambos, es decir . Ver la solucin grfica.2.1.6. INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO: Son aquellas en las que parte de la inecuacin, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Expresin general: , o todas sus equivalentes, o , etc. Mtodo de resolucin: aplicamos la definicin de valor absoluto de una cantidad y pasamos a un sistema de dos ecuaciones cuya solucin es la solucin de la inecuacin. por definicin , recuerda que al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa, cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplos:

E1.- , para la primera la solucin es el intervalo y para la segunda , la solucin de la inecuacin inicial ser la interseccin de ambos, es decir, el intervalo . E2.- , la solucin de la primera es y la de la segunda , la solucin de la inecuacin inicial es la interseccin de ambas, ten en cuenta que , luego es .2.1.7. INECUACIONES FACTORIZADAS O DE GRADO MAYOR QUE 1: Son inecuaciones en las que la variable est elevada a un exponente mayor que la unidad. Expresin general: son todas del tipo , o bien cualquier otro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra. Mtodo de resolucin: descomponer factorialmente el polinomio, aplicando Ruffini, complitud de cuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte.Ejemplos:

E1.- , pasamos todos los trmino a un nico miembro, el que ms te interese, en este caso lo haremos al primero, as: , ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en este caso , y pasamos a la inecuacin , que podemos leer como, Cundo el producto de dos nmeros es negativo?. Digo dos ya que el signo del factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a influir en el resultado final. La respuesta es cuando ambos tienen signos contrarios. Cmo averiguar el signo de un binomio?.

Una expresin de primer grado en x no es ms que la ecuacin de una recta, en este caso se trata de dos rectas , y . Sabemos, o deberamos saber que si la pendiente de la recta es positiva sta toma valores positivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a su izquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, Por qu?. Porque el coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y ambos son positivos. Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que y = 0, en nuestro caso son y , luego toma valores positivos a la derecha de y a la derecha de, as:

Luego la solucin ser el intervalo indicado, donde el signo del producto es negativo. Como la desigualdad es estricta, el intervalo ser abierto .

+

++

Producto++

No es solucinSolucinNo es solucin

E2.- , descomponiendo factorial mente , y pasamos a la inecuacin . En este caso tenemos tres factores, y por lo tanto, tres rectas a estudio. Haciendo lo mismo de antes:Ahora la solucin, adems de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta, debemos incluir los extremos de los mismos, as, la solucin ser

.

2.1.8. INECUACIONES FRACCIONARIAS: Son inecuaciones en las que tenemos una fraccin algebraica formando parte de la misma. Expresin general: son del tipo , o todas sus equivalentes , o , etc. y de grados mayores que uno.

++

+++

+

Producto++

SolucinNo es solucinSolucin

Mtodo de resolucin: descomponer factorial mente los polinomios numerador y denominador, aplicando Ruffini, completa de cuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte. Una vez descompuestos nunca simplificar ya que podramos perder soluciones. Posteriormente se procede como con las inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos de binomios. Ejemplos: E1.- , en este caso ya tenemos el numerador y el denominador descompuestos en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, as: Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los lmites o extremos de los intervalos en la misma, as pues la solucin ser .

++

+++

+

Producto++

SolucinNo es solucinSolucinNo es solucin

E2.- , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaramos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuacin y compara los resultados. Para nuestro caso, operando , y todo se reduce a averiguar cul es el signo del denominador, cundo ste es negativo, y lo es en .

++

++

++

Producto++

SolucinSolucinNo es solucin

E3.-Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos, fijarnos bien en la pendiente real de las rectas, as, sea la inecuacin , recuerda, no simplificar.Como el segundo factor del numerador tiene la pendiente negativa cambian los signos respecto al punto de corte, as en este caso es todo al revs de antes, a la derecha negativa y a la izquierda positiva. La solucin, por tratarse de una desigualdad no estricta, es .

Observacin: en la siguiente grfica tienes indicados los signos que toman los valores de las rectas segn sea su pendiente en funcin de la distancia al punto de corte con el eje de abscisas.

3. CONCLUSIN:

Despus de este trabajo pudimos conocer las mltiples ayudas que proporcionan los logaritmos a carreras sper importantes en nuestra sociedad. Adems que no pudimos dejar de notar la facilidad en que pudimos manejar el contenido ya que estbamos en nuestro territorio es decir con la Internet de nuestro lado.

Notamos que los logaritmos no es nada de otro mundo y que con practica y el conocimiento de sus propiedades y haciendo memoria de un poquito de materia pasada se hace muy fcil.

Es muy bueno que nuestros profesores integren esta nueva metodologa de trabajos ya que los contenidos se vuelven ms a menos y ms fciles de llevar.

4. BIBLIOGRAFA:4.1. LIBROS

Walter Fleming, Dale Varberg (1991). lgebra y trigonometra con geometra analtica. Delta Publicaciones. ISBN 968-880-222-0.

Carlos Gonzlez Garca (2008). Matemticas 1 Bachillerato. Editex.

Ayres, Frank (1991): "lgebra moderna". ISBN: 968-422-917-8.

Spiegel, Murray R. (1991): "lgebra superior". ISBN: 968-422-925-9.

4.2. PGINA WEB:

http://www.vitutor.com/al/log/ecu3_Contenidos.html

http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/PaginasWeb/Inicio/Logaritmos.htm

http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmetica/logaritm.htm

INECUACIONES LOGARTMICAS

DEDICATORIA

Quiero dedicarles a mis amigos, quienes me han apoyado y a todos los que me prestaron ayuda, con cario y un muy grande agradecimiento.

- 3

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EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

m < 0

m > 0

xc

xc

EMBED Equation.DSMT4

b

b

negativa

Negativa

positiva

Positiva

18

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