UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

VICERRECTORADO ACADÉMICO

ÁREA DE INGENIERÍA

CARRERA INGENIERÍA DE SISTEMAS

TRABAJO PRÁCTICO:

ASIGNATURA:

GRAFOS Y MATRICES

CÓDIGO: 332

NOMBRE DEL ESTUDIANTE:

BERNARD OSWALDO

CEDULA DEL ESTUDIANTE: 8.961.131

CORREO ELECTRONICO: SIROBE64@HOTMAIL.COM

TELEFONO: 0416-2980234

CENTRO LOCAL: BOLÍVAR

FIRMA DEL ESTUDIANTE:

LAPSO: 2012-1

INTRODUCCION

La realización de este Trabajo Practico, contempla la resolución de los Problemas planteados en los objetivos 6, 8, 9 y 10 del Curso (GRAFOS Y MATRICES), en la que se nos presentan situaciones de problemas complejos, donde debemos aplicar la teoría combinatoria, como el diseño y el desarrollo de redes de comunicación. Mediante este Curso se aprenderá a utilizar las herramientas básicas para Desarrollar fenómenos discretos, que son fundamentales para la compresión y análisis de las estructuras de datos y los algoritmos, así como también, los diferentes lenguajes de programación y sus aplicaciones de paquetes matemáticos, para resolver los ejercicios Planteado en el trabajo desarrollado. También se desarrollaran las aptitudes y destrezas necesarias que usaremos en el análisis y lógica, al plantear, formular y/o proponer soluciones a problemas matemáticos, surgidos de una situación real.Los Grafos y dígrafos, se han convertido en modelos altamente eficiente para los problemas de redes de navegación, diseño, cableado, selección de rutas de comunicación etc. Por lo tanto es de principal interés el dominio de este curso.

OBJETIVO 6

El Gerente de Costos de la Compañía CP, desea analizar los costos de sus cuatro líneas de Producción, para sus cuatro productos mas importante. El siguiente Sistema de ecuación muestra la relación costo/hora.

1. Dado el Siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales:

4x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 44

3X1 + 8x2 + 3x3 + 2x4 = 79

2X1 + 5x2 + 8x3 + 5x4 = 87

5X1 + 2x2 + 4x3 + 6x4 = 74

Y analizando los métodos de Jacobi y Gauss & Seidel, Realice lo siguiente.

a). Una breve explicación de los algoritmos de Jacobi y Gauss & Seidel.

b). Calcule los primeros tres términos de la sucesión generada a partir, del punto. P0 = (2,-1,0,1) c). Explique, si la sucesión de la matriz de costo converge y a qué punto o no y porque con cada algoritmo.

d). De un análisis comparativo de los dos algoritmos, según sus resultados.

e). Conclusiones sobre cuál de los dos métodos converge más rápido a la solución exacta.

A)Resp -En forma general podemos decir que ambos son métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Un método iterativo es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. Un método iterativo consta de los siguientes pasos.1. inicia con una solución aproximada (Semilla),

2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La formula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.

3. se repite el paso anterior pero usando como semilla, la aproximación obtenida.

De manera general, estos métodos parten de rescribir

el sistema siguiendo al del punto fijo como: Ax = b,

siendo A una matriz cuadrada de orden n; y luego buscar una

matriz B y un vector C de tal forma de obtener una

ecuación, equivalente a la anterior:

x = Bx + C

METODO DE JACOBI

El método Jacobi, es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mas simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1.- Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i, se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx ,donde x es el vector de incógnitas.

2.- Se toma una aproximación para las soluciones y a ´esta se le designa por xo

3.- Se itera en el ciclo que cambia la aproximación.

La ecuación que define el Método de Jacobi o Método de las

Iteraciones Simultaneas es la siguiente:

Para k >= 1, i = 1, ... ,n

Con respecto a la Convergencia y no convergencia en Jacobi

Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la garantía de que el método va a converger, es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente más próximas a la solución. En el caso del método de Jacobi no existe una condición exacta para la convergencia. Lo mejor es una condición que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente:

Si la matriz de coeficientes original del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el método de Jacobi seguro converge.

El Método de Gauss-Seidel:

El método de Gauss-Seidel, es muy semejante al método de Jacobi, Mientras que en el de Jacobi, se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel, se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el primer cálculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración. En el método de Gauss-Seidel, en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de xi+1, de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recién calculadas.

La ecuación obtenida por Gauss y Seidel, que define el

Método de las Iteraciones Sucesivas o de Gauss-Seidel es la

siguiente:

B)Resp -

P0 = (2,-1,0,1)

Las formulas iterativas son las siguientes:

K+1X1= (44-2X2-2X3-2X4) 4 K+1X2= (79-3X1-3X3-2X4) 8 K+1X3= (87-2X1-5X2-5X4) 8 K+1X4= (74-5X1-2X2-4X3) 6

METODO JACOBI.

X1= (44-2X2-2X3-2X4) 4

X2= (79-3X1-3X3-2X4) 8

X3= (87-2X1-5X2-5X4) 8

X4= (74-5X1-2X2-4X3) 6

PRIMERA INTERACCION

-2(-1)-2(0)-2(1)+44X1 = _______________________ = 44/4 DONDE X1= 11 4

-3(2)-3(0)-2(1)+79 X2 = _______________________ = 71/8 DONDE X2 = 8,875 8

-2(2)-5(-1)-5(1)+87 X3 = _______________________ = 83/8 DONDE X3 = 10,375 8

-5(2)-2(-1)-4(0)+74 X4 = _______________________ = 66/6 DONDE X4 = 11 6

SEGUNDA INTERACCION.

-2(8,875)-2(10,375)-2(11)+44X1 = ____________________________ = -16,5/4 DONDE 4

X1 = -4,125

-3(11)-3(10,375)-2(11)+79 X2 = ___________________________ = -7,125/8 DONDE 8

X2 = 0,8906

-2(11)-5(8,875)-5(11)+87 X3 = __________________________ = -34,375/8 DONDE 8

X3 =-4,2968

-5(11)-2(8,875)-4(10,375)+74 X4 = ______________________________ = -40,25/6 DONDE 6

X4 = -6,7083

TERCERA INTERACCION.

-2(-0,8906)-2(-4,2969)-2(-6,7083)+44X1 = ___________________________________ = 67,7916/4 DONDE 4

X1 = 16,9479

-3(-4,1250)-3(-4,2969)-2(-6,7083)+79 X2 = ____________________________________= 117,6823/8 DONDE 8

X2 = 14,7102

-2(-4,1250)-5(-0,8906)-5(-6,7083)+87 X3 = ____________________________________ =133,2445/8 DONDE 8

X3 = 16,6555

-5(-4,1250)-2(-0,8906)-4(-4,2969)+74 X4 = ____________________________________= 113,5938/6 DONDE 6

X4 = 189323

METODO DE JACOBI

m X1(m) X2

(m) X3(m) X4

(m)

0 2 -1 0 1

1 11,0000 8,8750 10,3750 11,0000

2 -4,1250 -0,8906 -4,2969 -6,7083

3 16,9479 14,7103 16,6556 18,9323

  3 Iteraciones

METODO GAUSS-SEIDEL.

X1= (44-2X2-2X3-2X4) 4

X2= (79-3X1-3X3-2X4) 8

X3= (87-2X1-5X2-5X4) 8

X4= (74-5X1-2X2-4X3) 6

PRIMERA INTERACCION

-2(-1)-2(0)-2(1)+44X1 = _______________________ = 44/4 DONDE X1= 11 4

-3(11)-3(0)-2(1)+79 X2 = _______________________ = 44/8 DONDE X2 = 5,5 8

-2(11)-5(5,5)-5(1)+87 X3 = _______________________ = 32,5/8 DONDE X3 = 4,0625 8

-5(11)-2(5,5)-4(0)+74 X4 = _______________________ = 8,25/6 DONDE X4= -1,375 6

SEGUNDA INTERACCION

-2(5,5)-2(4,0625)-2(-1,375)+44X1 = ______________________________ = 27,625/4 DONDE 4 X1 = 6,9062

-3(6,9062)-3(4,0625)-2(-1,375)+79 X2 = _________________________________ = 48,8438/8 DONDE 8

X2 = 6,105475

-2(6,9062)-5(6,1054)-5(-1,375)+87 X3 = _________________________________ = 49,5352/8 DONDE 8

X3 = 6,1919

-5(6,9062)-2(6,1054)-4(6,1919)+74 X4 = _________________________________ = 24,7676/6 DONDE 6

X4 = 0,4150

TERCERA INTERACCION

-2(6,1054)-2(6,1919)-2(0,4150)+44X1 = _________________________________ = 18,5754/4 DONDE 4 X1 = 4,6438

-3(4,6438)-3(6,1919)-2(0,4150)+79 X2 = _________________________________ = 45,6629/8 DONDE 8

X2 = 5,7078

-2(4,6438)-5(5,7078)-5(0,4150)+87 X3 = _________________________________ = 47,0984/8 DONDE 8

X3 = 5,8873

-5(4,6438)-2(5,7078)-4(5,8873)+74 X4 = _________________________________ = 15,8162/6 DONDE 6

X4 = 2,6360

METODO DE GAUSS –SEIDEL

m X1(m) X2

(m) X3(m) X4

(m)

0 2 -1 0 1

1 11,0000 5,5000 4,0625 -1,375

2 6,9062 6,1054 6,1919 0,4150

3 4,6438 5.7078 5,8873 2,6360

  3 Iteraciones

Resp (c)-

En primer lugar se utilizo un programa para el cálculo de ecuaciones simultáneas para conocer de antemano la solución, que dio como resultados los siguientes:

Método gauss-seidel.

X1=11, X2=8,88 X3= 10,38, X4=11.

Método jacobi.

X1=3,5 X2=7,5 X3= 4,4 X4=6,5

En el caso del método de jacobi y gauss seidel, aun en la tercera iteración no es posible ver la convergencia a una solución específica.Ambos métodos comienzan con un vector inicial o semilla. De la cercanía de este al área de solución real depende en mucho la rapidez del hallazgo de la solución, por Ejemplo, Si probamos con un vector más cercano este dará una solución más próxima. Donde por los resultados obtenidos podemos decir que en ambos métodos DIVERGE.

Resp (d)-

En las tres primeras interacciones

En el caso del método de Jacobi. Diverge

En el caso del método de Gauss – Seidel. Diverge

E)Resp.

Para los dos casos estudiados los resultados NO son Convergente. Pero el método Gauss – Seide según lo estudiado o Leído, converge más rápidamente que el método Jacobi. Algunos criterios garantizan la convergencia del método de Gauss-Seidel. El Método De Las Iteraciones Sucesivas (GAUSS-SEIDEL), resulta más eficiente y converge más rápido a la solución. La razón es que este método al incluir las soluciones inmediatamente anteriores (ecuaciones) en forma de cascada, produce una convergencia más rápida que el Método De Jacobi.

OBJETIVO 8 2. Una Distribuidora de Alimentos esta analizando los costos de transporte, analizando las distancias desde su

almacén a los diferentes clientes obteniendo los siguientes resultados. Las distancias están representadas en kilómetros.

1 2 3 4 5 61 43 50 55 60 652 43 25 30 35 403 50 25 15 20 254 55 30 15 10 205 60 35 20 10 156 65 40 25 20 15

Con dichos costos de envió, analice los métodos de ordenamiento de matrices aplicando el algoritmo de Cuthill – McKee, y realice lo que se le indica a continuación.

a) Construya el grafo asociado con la matriz de costo de envió entre los diferentes estados.

0 43 50 55 60 6543 0 25 30 35 4050 25 0 15 20 2555 30 15 0 10 2060 35 20 10 0 2065 40 25 20 20 0

Los Vértices del Grafo son : 1-2-3-4-5-6

b)Halle la matriz dispersa asociada al grafo.

1 * * * * ** 2 * * * ** * 3 * * ** * * 4 * ** * * * 5 ** * * * * 6

c)Calcule el ancho de banda de la matriz.

Fila i €i (A) Βi (A) = i - €i (A)1 1 02 1 13 1 24 1 35 1 46 1 5

β (A) = 5

Puesto que el ancho de banda de la matriz es el máximo de los valores de la última columna, tenemos entonces que: B(A) = 5 para las filas 6.

OBJETIVO 9

3.- con el grafo construido en el objetivo anterior, analice el proceso de eliminación Gaussiana, para obtener una sucesión de grafo.

Los vértices del Grafo son: 1-2-3-4-5-6

Paso 1:Elimino el vértice 1=V1 junto a sus aristas incidentes

GH1

H1=

2 * * * *

* 3 * * *

* * 4 * *

* * * 5 *

* * * * 6

Paso 2:Elimino el vértice 2=V2 junto a sus aristas incidentes

GH2

H2= 3 * * *

* 4 * *

* * 5 *

* * * 6

Paso 3: Elimino el vértice 3=V3 junto a sus aristas incidentes

GH3

H3= 4 * *

* 5 *

* * 6

Paso 4: Elimino el vértice 4=V4 junto a sus aristas incidentes

GH4

H4= 5 *

* 6

Paso 5: Elimino el vértice 5=V5 junto a sus aristas incidentes

GH5

V6

OBJETIVO 10

4.- Analice el grafo que obtuvo en el objetivo Nº 8 y aplíquele el algoritmo de Mínimo Grado.

Grafos de Eliminación Mínimo Grado Vértice seleccionado

 

5

 

4

 

3

 

2

1

V5

V6

V1

V2

V3

 

 

0

CONCLUSION

V4

El desarrollo de este trabajo fue muy enriquecedor ya que aquí aplicamos los conocimiento adquiridos en este curso (Grafos y Matrices), esto constituye una poderosa herramienta para ser aplicada en el campo laboral, investigación y cotidiano, en cuanto a la resolución de problemas, donde tengamos que aplicar grafos en su diferentes modalidades. El conocimiento aquí adquirido es y serán siempre una base fundamental del ingeniero en sistema que esta formando esta Prestigiosa Universidad.