Trabajo Calculo IV
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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICERRECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Asignatura: Matemática IV ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD III: (PARTE 1) TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENTREGA HASTA EL DÌA 11-12-2015. HASTA LAS 23:50 pm. VALOR: 10 PUNTOS. Prof.: Marleny de Parra 1.- UTILIZAR LA DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y RESOLVER LA SIGUIENTE FUNCION F ( t ) = 5 √ 2 3 senh √ 2 t Solución : L [ F ( t) ] = ∫ 0 ∞ e −st F ( t ) dt= 5 √ 2 3 ∫ 0 ∞ e −st senh √ 2 tdt= 5 √ 2 3 lim b→∞ ∫ 0 ∞ e −st senh √ 2 tdt La integral se resuelve por partes y se consigue: ∫ 0 ∞ e −st senh √ 2 tdt= 5 √ 2 3 ( 2 2−s 2 ) lim b→∞ e −st ( s 2 senh √ 2 t+ cosh √ 2 t √ 2 ) | b 0 ¿ ( 10 √ 2 3 ( 2−s 2 ) ) lim b→∞ [ s 2 senh √ 2 b+ cosh √ 2 b √ 2 e sb − 1 √ 2 ]
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Trabajo de Calculo IV
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UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERÍADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Asignatura: Matemática IV
ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD III: (PARTE 1) TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENTREGA HASTA EL DÌA 11-12-2015. HASTA LAS 23:50 pm. VALOR: 10 PUNTOS.
Prof.: Marleny de Parra
1.- UTILIZAR LA DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y RESOLVER LA SIGUIENTE FUNCION
F ( t )=5√23senh √2 t
Solución:
L [F (t) ]=∫0
∞
e−st F ( t )dt=5√23 ∫
0
∞
e−st senh √2 tdt=5√23
limb→∞
∫0
∞
e−st senh √2 tdt
La integral se resuelve por partes y se consigue:
∫0
∞
e−st senh√2tdt=5√23 ( 2
2−s2 ) limb→∞
e−st( s2 senh√2t+ cosh√2t√2 )|b0
¿( 10√23 (2−s2 ) ) lim
b→∞ [ s2 senh√2b+ cosh √2b√2
esb− 1
√2 ]Al evaluar el límite del primer término dentro del paréntesis da como resultado cero y en consecuencia se obtiene como resultado final:
L [F (t) ]= 103 ( s2−2 )
2.- UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE RESOLVER. SIMPLIFIQUE LOS RESULTADOS.
a ) F (t )=72e4 t(2
3cos 2√5 t−2√3 )
b ) F (t )=35t (6 cosh2 t−5 sen3 t
t2 )c ) F (t )=L¿¿
¿
Solución:
a)L [F (t) ]=7
3L [ e4 t cos2√5 t ]−7√3L [e4 t ]
L [F (t) ]=73 [ s−4
(s−4 )2+(2√5 )2 ]−7√3( 1s−4 )
L [F (t) ]=73 [ s−4
(s−4 )2+20 ]−7√3( 1s−4 )
b)
F ( t )=35t (6cosh 2t−5 sen3 t
t 2 )=185tcosh2 t−3 sen3 t
t
L [F (t) ]=185L [ tcosh 2t ]−3 L[ sen3 t
t ]
L [F (t) ]=185 ( s
2+4( s2−4 )2 )−3 tan−1( 3
s )
c)
F (t)'=−65sen2 t+21 e−3 t+3 t 4
F (t)' '=−125
cos2t−63e−3 t+12t 3
F ( s )=L[−125
cos2t−63e−3 t+12 t 3]
F ( s)=−125L [ cos2 t ]−63L [e−3 t ]+12 L [ t 3 ]
F ( s)=−125 ( s
s2+4 )−63 ( 1s+3 )+12( 3 !
s4 )
F ( s)=¿− 125 ( ss2+4 )−63( 1
s+3 )+ 72s4
3.-Aplicar Tabla, simplificación y método correspondiente para determinar L−1 { f (s ) }=F (t )
a )L−1{7 (s−34 )−√5
3(s−34 )
2−12
+5 (s−5 )+√7
9 ( s2−10 s+25 )3−
4√5
5 s2+47 }
b )L−1{− 4 s+7
s2+ 53s+17
4
− 6 s−4
s2−13s+20 }
c )L−1{ s2+2 s+3( s+2 ) ( s2+2 s+5 ) }
Solución:
a)
L−1 {7 (s−34 )−√5
3(s−34 )
2
−12+
5 (s−5 )+√7
9 ( s2−10 s+25 )3−
4√5
5 s2+ 47 }=¿
73 L
−1 { (s−34 )
(s−34 )
2
−4 }−√53 L−1{ 1
(s−34 )
2
−4 }+ 59 L
−1 { 1( s−5 )5 }
+√79 (s−5 )6
+ 4√55 ( 1
s2+ 435 )
L−1 {7 (s−34 )−√5
3(s−34 )
2
−12+
5 (s−5 )+√7
9 ( s2−10 s+25 )3−
4√5
5 s2+ 47 }=¿
73e
34 t cosh 2 t−√5
6e
34 t senh2 t+ √7
216t 5 e5 t−2√7 sen( 2
√35t )
b)
L−1 { −4 s+7
s2+53s+17
4
− 6 s−4
s2−13s+20 }=−L−1{ 4 s+7
s2+ 53s+ 17
4 }−2L−1 { 3 s−2
s2−13s+20 }
Completando cuadrados en los denominadores de las dos fracciones se consigue:
L−1 { −4 s+7
s2+53 s+
174
−6 s−4
s2−13 s+20 }=−L−1{ 4 s+7
(s+ 56 )
2
+ 329 }−2L−1{ 3 s−2
(s−16 )
2
+ 71936 }
¿−4 L−1{ (s+ 56 )+ 11
12
(s+ 56 )
2
+ 329
}−6 L−1 { (s−16 )−1
2
(s−16 )
2
+71936
}
¿−4 [L−1{ (s+56 )
(s+ 56 )
2
+329
}+ 1112L
−1
{ 1
(s+ 56 )
2
+329 }]
−6 [L−1 { (s−16 )
(s−16 )
2
+ 71936
}−12L
−1
{ 1
(s−16 )
2
+ 71936 }]
¿−4 [e−56tcos √32
3t+ 11
4√32e
−56tsenh √32
3t ]
−6 [e16tcos √719
6t− 3
√719e
16tsenh √719
6t ]
c)s2+2 s+3
(s+2)( s2+2 s+5 )= As+2
+ Bs+Cs2+2 s+5
s2+2 s+3=( A+B ) s2+(2 A+2B+C ) s+5 A+2C
A+B=1;2 A+2B+C=2 ;5 A+2C=3
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene:
A=35;B=2
5;C=0
Entonces:
s2+2 s+3(s+2)( s2+2 s+5 )
=
35s+2
+
2 s5
s2+2 s+5
L−1 { s2+2 s+3(s+2) (s2+2 s+5 ) }=3
5L−1{ 1
s+2 }+ 25L−1{ 1
s2+2 s+5 }
L−1 { s2+2 s+3(s+2) (s2+2 s+5 ) }=3
5L−1{ 1
s+2 }+ 25L−1{ s+2
(s+2 )2+1 }
−45 L−1 { 1
(s+2 )2+1 }
L−1 { s2+2 s+3(s+2) (s2+2 s+5 ) }=3
5e−2 t+ 2
5e−2 t(cost−2 sent)
