ALGEBRA LINEAL (E-LEARNING)

TRABAJO COLABORATIVO 1

TAREA (VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES)

PRESENTADO POR:

KELLY JOHANA GIRALDO MONSALVE CÓDIGO: 1.036.133.829

JANNER GALEANO COGIDO: 1056783612

ALEXANDER BUELVAS CODIGO: 1028006954

LAURA CRISTINA BARRERO ALZATE CODIGO: 1039456051

CARLOS ANDRES JIMENEZ CODIGO:

PRESENTADO A: LEONARDO FABIO GARCIA

208046_113

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 22 DE MARZO DE 2016

INTRODUCCION

El presente trabajo contiene el estudio de temas comprendidos en el álgebra

lineal; los cuáles sirven para dar solución a problemas que se generan en

nuestro entorno, movilidad, desplazamiento, determinar distancias, valores,

pues, se emplean temas tales como: Determinantes, matrices y vectores. La

importancia y relevancia de aprender a identificar y solucionar matrices por

métodos como: Cofactores, gauss, gauss- jordan, al igual que; aprender

sobre determinantes; pues son éstas la solución a grandes problemas

matemáticos.

ACTIVIDAD COLABORATIVA

1. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda

de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas

cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que

tiene coordenadas (2, 1) m.

(A) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto?.

(B) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

DEASARROLLO:

- Para solucionar el problema iniciamos por determinar la distancia

mediante la fórmula: 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

Reemplazamos:

𝒓 = √𝟐𝟐 + 𝟏𝟐

𝒓 = √𝟒 + 𝟏

𝒓 = √𝟓

r = 2,23m

- La mosca está a 2,23 m de la esquina del cuarto.

Luego: procedemos a hallar la posición en coordenadas polares de la

siguiente forma: Punto de coordenadas (2,1) que representa x y Y

respectivamente.

𝑻𝒂𝒏𝒈 = 𝒚

𝒙=

𝟏

𝟐= 𝟎. 𝟓

𝜽 = 𝑻𝒂𝒏𝒈−𝟏 𝟎. 𝟓

𝜽 = 𝟐𝟓. 𝟓𝟔º

- En coordenadas polares : ( 𝒓, 𝜽)

( 𝒓, 𝜽) = (𝟐. 𝟐𝟑, 𝟐𝟓. 𝟓𝟔º)

2. Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al

Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo

del punto de inicio en forma algebraica y grafica

Para desarrollar el problema iniciamos identificando el recorrido del carro tal y como

se aprecia en la gráfica anterior, posteriormente hallamos las componentes en X y

Y.

�̅�𝒙 = 300. 𝑠𝑒𝑛60 = 259,80

�̅�𝒚 = 300. 𝑐𝑜𝑠60 = 150

�̅�𝒙 = 500. 𝑠𝑒𝑛30 = 250

�̅�𝒚 = −500. 𝑐𝑜𝑠30 = −433,01

�̅�𝒙 = 0

�̅�𝒚 = −300

Una vez hallados los componentes, se procede a realizar la sumatoria de las mismas de la

siguiente forma:

∑𝒙 = 259,80 + 250 + 0 = 509,8

∑𝒚 = 150 − 433,01 − 300 = −583,01

�̅� = √∑𝑥2

+∑𝑦2

= √(509,8)2 + (−583,01)2

�̅� = 774

Una vez hallada la distancia, procedemos a buscar la dirección; para la cual empleamos la

siguiente fórmula:

Tan 𝜽 =𝒔𝒚

𝒔𝒙

𝑻𝒂𝒏−𝟏 = −583.01

509.8

𝜽 = −48.74

RTA: El auto quedó a 774 m del punto de inicio; en dirección 𝜃 = −48,74

3. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano,

como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija

el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle:

(A) Las componentes de cada desplazamiento.

(B) Las componentes del desplazamiento resultante.

(C) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante.

(D) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el

punto del arranque.

Desarrollo:

1- Graficamos el problema.

2. Hallamos los componentes: (componentes de cada desplazamiento).

𝑨𝒙=𝑨 𝒙 𝑪𝑶𝑺 𝜽 𝑩𝑿 = 𝐵 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑪𝑿 = 𝐶 𝑥 𝐶𝑂𝑆 𝜃

𝑨𝒙=𝟒.𝟏𝟑 𝒎 𝒙 𝑪𝑶𝑺 𝟐𝟐𝟓º 𝑩𝑿 = 5.26𝑚 𝑥 𝐶𝑜𝑠 0º 𝑪𝒙 = 2.94𝑚 𝑥 𝐶𝑂𝑆 26º

𝑨𝒙=𝑨−𝟐.𝟗 𝒎 𝑩𝑿 = 5.26 𝑚 𝑪𝒙 = 5.34 𝑚

𝑨𝒚=𝑨 𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝜽 𝑩𝒚 = 𝐵 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑪𝒚 = 𝐶 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑨𝒚=𝟒.𝟏𝟑𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟐𝟓º 𝑩𝒚 = 5.26 𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 0º 𝑪𝒚 = 5.94𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 26º

𝑨𝒚= −𝟐.𝟗 𝒎 𝑩𝒚 = 0 𝑚 𝑪𝒚 = 2.6 𝑚

Ahora sumamos: (componentes del desplazamiento resultante)

Dónde: A = 𝑨𝑿 𝒊 + 𝑨𝒚 𝒋 dónde: B = 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋

Dónde: A = (-2.9 i - 2.9 j) m dónde: B = (5.26 i + 0 j ) m

Dónde: C = 𝑪𝑿 𝒊 + 𝑪𝒚 𝒋

Dónde: C = (5.3 i + 2.6 j) m

Componentes: A = (-2.9 i - 2.9 j) m

B = (5.26 i + 0 j ) m

C = (5.3 i + 2.6 j) m

- Para hallar C usamos la siguiente fórmula:

S = + √𝒔𝒙 𝟐 + 𝒔𝒚 𝟐

Reemplazamos:

S = + √(𝟕.𝟕) 𝟐+ (−𝟎. 𝟑)𝟐

S= 7.7 m

Dirección

Tan 𝜽 =𝒔𝒚

𝒔𝒙

𝑻𝒂𝒏−𝟏 = −𝟎. 𝟑

𝟕. 𝟕

𝜽 = −𝟐. 𝟐º

D) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo la partícula hasta el

punto de arranque es de 7.7 m, en una dirección de 𝜃 = −2.2º

4. Dados los vectores: u = -i + 2j -4k ; w = 2i-3j+k y v= -4i+3j+2k

Calcular:

A) u . w, w . v

DESARROLLO

u.v

U= (𝒖𝒙, 𝒖𝒚, 𝒖𝒛) U = (-1, 2, -4)

W= (𝑾𝒙,𝑾𝒚,𝑾𝒛) W = (2, -3, 1)

u. w= (-1.2 + 2.-3 + -3 + (-4))

u.w= -2 + (-6) +(-4)

u.w = -12 RTA

w . v

W= (𝑾𝒙,𝑾𝒚,𝑾𝒛) W = (2, -3, 1)

v= (𝑽𝒙, 𝑽𝒚, 𝑽𝒛) U = (-4, 3, 2)

w.v= 2. -4 + (-3). (3) + 1.2

w.v = -8 + (-9) +2

w.v = -15 RTA

B) u x v , u x w

𝑢 = −i + 2j − 4k

𝑣 = −4i + 3j + 2k

𝐮 𝐗 𝐯 Por regla de Cramer.

U x v = i j k i j

-1 2 -4 -1 2

-4 3 2 -4 3

= 4i +16j -3k + 8k + 12i + 2j

= (16i +18j + 5k)

= 16,18, 5 RTA.

𝐮 𝐗 𝐰

𝑢 = −i + 2j − 4k

𝑤 = 2i − 3j + k

U x W = i j k i j

-1 2 -4 -1 2

2 -3 1 2 -3

= 2i -8j + 3k -4k -12i – 12i +1j

= (-10i – 7j -1k)

= -10, -7, -1 RTA

C) (u x w ). V

DESARROLLO

𝑢 = −i + 2j − 4k

𝑤 = 2i − 3j + k

U x W = i j k i j

-1 2 -4 -1 2

2 -3 1 2 -3

= 2i -8j + 3k -4k -12i – 12i +1j

= (-10i – 7j -1k)

= -10, -7, -1 RTA

𝐮 × 𝐰 = (−10,−7, −1)

(u × w) ∗ v

(u × w) ∗ v = (−10,−7,−1) ∗ (−4, 3, 2)

(u × w) ∗ v = (−10 ∗ −4) + (−7 ∗ 3) + (−1 ∗ 2)

(u × w) ∗ v = (40,−21,−2) RTA.

D) Cos ( u, w)

DESARROLLO

𝒄𝒐𝒔(𝒖,𝒘)

𝒄𝒐𝒔(𝒖)

= 𝒄𝒐𝒔(−1, 2, −4)

= 𝒄𝒐𝒔 (0.99, 0.99, 0.99) RTA

𝒄𝒐𝒔(𝒘)

= 𝒄𝒐𝒔(2,−3, 1)

= 𝒄𝒐𝒔 (0.99,0.99 ,0.99 ) RTA.

5. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La

bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de

camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso

anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de

roquefort y 80 g de camembert.

- Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén

matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las

tres clases de quesos.

DESARROLLO:

Para llevar a cabo la solución del problema iniciamos organizando los datos que

tenemos en matrices; su producto nos da la raíz que buscamos con las cantidades

en gramos.

A B C

M = 40 120 150 A 50 M 26.600

160 120 80 B 80 = R 25.600

80 120 80 C 100 CA 21.600

A . X = C

Expresados en Kg.

𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎 .

𝟐𝟔. 𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟓. 𝟔𝟎𝟎 𝟐𝟏. 𝟔𝟎𝟎

= 𝑴𝑹𝑪𝑨

𝟐𝟔. 𝟔 𝟐𝟓. 𝟔 𝟐𝟏. 𝟔

RTA:- Para sacar 50 bandejas de queso tipo A; es necesario 26.6 kg del mismo.

- Para sacar 80 kg de queso tipo B, es necesario 25.6 kg.

- Para sacar el queso tipo C, es necesario 21.6 kg de queso.

5.1) Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de

fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras,

2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3

kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1,

las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2

euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y

las naranjas 2 euros / kg

A) Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras,

manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss

Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula

DESARROLLO:

P M N 𝑭𝟏 𝑭𝟐

A) 𝐴𝐵𝐶{2 1 62 2 41 2 3

} P 1.5 1.8

M 1 0.8

N 2 2

- solución por método de Gauus- Jordan.

P M N MATRIZ IDENTIDAD

𝐴𝐵𝐶{2 1 62 2 41 2 3

} = {2 1 62 2 41 2 3

| 1 0 00 1 00 0 1

}

1

2F1→{

1 1 12⁄

1 2 26 4 3

|

12⁄ 0 0

0 1 00 0 1

}

F2-F1 →{

1 1 12⁄

0 1 32⁄

6 4 3

|

12⁄ 0 0

−12⁄ 1 0

0 0 1

}

F3-6F1 →{

1 1 12⁄

0 1 32⁄

0 -2 0

|

12⁄ 0 0

−12⁄ 1 0

-3 0 1

}

F1-F2 →{

1 0 −1

0 1 32⁄

0 -2 0

|

1 -1 0−1

2⁄ 1 0

-3 0 1

}

F3+2F2 →{

1 0 −1

0 1 32⁄

0 0 3

|

1 -1 0−1

2⁄ 1 0

-4 2 1

}

1

3F3 →{

1 0 −1

0 1 32⁄

0 0 1

|

1 -1 0−1

2⁄ 1 0

−43⁄

23⁄

13⁄

}

F2 −3

2F1 →{

1 0 −10 1 00 0 1

|

1 -1 032⁄ 0 −1

2⁄

−43⁄

23⁄

13⁄

}

F1 + F3 →

{

1 0 00 1 00 0 1

||

−13⁄

−13⁄

13⁄

32⁄ 0 −1

2⁄

−43⁄

23⁄

13⁄ }

𝐴−1

{

−1

3⁄−1

3⁄13⁄

32⁄ 0 −1

2⁄

−43⁄

23⁄

13⁄ }

Por determinantes: Empleando el método de cofactores.

𝐴−1 = 1

𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑑𝑗 𝐴

A = {2 2 11 2 26 4 3

}

det A; lo realizamos por cofactores.

Tomo la fila 2.

det (A) = 1A21 + 2(A22) + (2)A23 =

A21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3 {2 14 3

} = -[(2)(3)-(4)(1)]

= −(6 − 4) = −2

A22 = (-1)2+2 M22 = (-1)4 {2 16 3

} = [(2)(3)-(6)(1)]

= (6 − 6) = 0

A23 = (-1)2+3 M23 = (-1)5 {2 26 4

} = -[(2)(4)-(6)(2)]

= −(8 − 12) = 4

Por tanto

det(𝐴) = 1(−2) + 2(0) + 2(4)

= −2 + 0 + 8

= 𝟔

Los cofactores son:

A11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 {2 24 3

} = - 2

A12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 {1 26 3

} = - 9

A13 = (-1)1+3 M13 = (-1)4 {1 26 4

} = - 8

A21 = (-1)2+1 M21 = (-1)3 {2 14 3

} = - 2

A22 = (-1)2+2 M22 = (-1)4 {2 16 3

} = 0

A23 = (-1)2+3 M23 = (-1)5 {2 26 4

} = - 4

= 4

A31 = (-1)3+1 M31 = (-1)4 {2 12 2

} = 2

A32 = (-1)3+2 M32 = (-1)5 {2 11 2

} = 2

= - 3

A33 = (-1)3+3 M33 = (-1)6 {2 21 2

} = 2

Matriz de cofactores

𝐶 = {−2 9 −8−2 0 42 −3 2

}

Transpuesta de la matriz

𝐶−1 = {−2 −2 29 0 −3−8 4 2

}

Resolvemos la inversa

𝐴−1 = 1

𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑑𝑗 𝐴

𝐴−1 = 1

6{−2 −2 29 0 −3−8 4 2

}

=

{

−1

3⁄−1

3⁄13⁄

32⁄ 0 −1

2⁄

−43⁄

23⁄

13⁄ }

P m n

RTA: La matriz inversa de 𝐴𝐵𝐶{2 1 62 2 41 2 3

} =

{

−1

3⁄−1

3⁄13⁄

32⁄ 0 −1

2⁄

−43⁄

23⁄

13⁄ }

CONCLUSIONES

Con este trabajo se busca fortalecer el conocimiento analítico y resolutivo,

obteniendo a partir de dicha fortaleza las virtudes y recursos para avanzar

dentro del curso, además busca mejorar la forma en cómo se trabaja de

manera colaborativa, dando así un paso agigantado a lo que se avecina

dentro de la carrera y el curso como tal, sin dejar por fuera la fuente de

conocimiento que en si representa este documento y que puede servir como

guía en un caso dado a quien lo requiera.

BIBLIOGRAFÍA.

YouTube. (2016). Matriz Inversa - Metodo Gauss Jordan - Matrices - Video 093. [En

línea] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=098Zu8JUZPI [Acceso

21 Febrero 2016].

Dieumsnh.qfb.umich.mx. (2016). Inversa. [En línea] Disponible en:

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/inversa.htm [Acceso 22 Febrero

2016].