INTRODUCCIÓN

Los estudiantes desarrollamos la capacidad de abstracción y análisis teórico en relación con la teoría y la práctica para adquirir herramientas que nos permitan en el futuro solucionar problemas haciendo uso del cálculo diferencial, de la misma manera la búsqueda de soluciones a diferentes problemas aplicándolos en los campos donde tengamos la oportunidad de desarrollarnos como futuros profesionales. El presente trabajo contiene la solución de una serie de ejercicios propuestos para la profundización en los contenidos de la unidad numero tres referente al análisis y aplicación de las derivadas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

FASE 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1. y=x2−2 x−3 para x=1

Para encontrar la recta tangente a la curva en el punto dado debemos encontrar la su derivada.

y '=2 x−2

Para x=1 tenemos que

y ' (1 )=2 (1 )−2=0

En este punto encontramos un mínimo con lo cual la pendiente de la recta tangente al punto es 0. La recta tangente es una constante. A partir de la ecuación de la recta tenemos:

y− y1=m(x−x1)

Con x1=1

y1= y (1 )=(1 )2−2 (1 )−3=−4

Por último nos queda:

y− y1=m(x−x1)

y− (−4 )=(0)(x−1)

y=−4

2. Si f ( x )=x 4− 1

x4−ln 4 halle el valor de f ' (1 ).

Dada la función:

f ( x )=x 4− 1

x4−ln 4

f ( x )=x 4−x−4−ln 4Calculamos su derivada

f ' ( x )=4 x3−(−4) x−5

f ' ( x )=4 x3+ 4x5

Evaluamos f ' (1 ) con lo cual nos queda

f ' (1 )=4(1)3+ 4

(1)5=4+4=8

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

3. f ( x )=sen22 x

Sea f (u )=u2 con g(w)=senw y h( x)=2 x

Por definición tenemos que:

ddx

[ f (g (h(x )))]= f ' (g (h (x ) ) ) . g' (h ( x ) ). h' ( x )

Evaluando las derivadas tenemos:

h( x)=2 xh' (x )=2

g(w)=senwg' (w)=cosw

f (u )=u2

f ' (u )=2u

Con lo cual

f ' ( x )=2 sen 2x .cos2x . (2 )f ' ( x )=4 sen 2x .cos2x

FASE 2

4. f ( x )= ln x7

ln x3

f ( x )= ln x7

ln x3

Usandolas propiedades de los logaritmos nos queda

f ( x )=7 ln x3 ln x

=73

Con lo cual

f ' ( x )=0

5. f ( x )= x

ex

Siendo g ( x )=x y h ( x )=e x, podemos definir

f ( x )= g ( x )h (x )

f ' ( x )=h( x ) . g' ( x )−g ( x ) . h' ( x )

h2 ( x )

Calculando las derivadas tenemos

g ( x )=xg' (x )=1

h ( x )=e x

h' ( x )=ex

f ' ( x )=(ex ) . (1 )−( x ) . (ex)

(ex )2

f ' ( x )=1−xex

= 1

ex− x

ex

Derivadas de orden superior

6. Hallar la tercera derivada de: f ( x )=2 sen2x

Calculando la primera derivada tenemos

f (u )=2 senu con u=2x

f ' ( x )=2cos2 x . (2 )=4cos 2x

Calculando la segunda derivada tenemos

f ' (u )=4cos u con u=2x

f ' ' ( x )=−4 sen2 x . (2 )=−8 sen2 x

Calculando la tercera derivada tenemos

f ' ' (u )=−8 senu con u=2x

f ' ' ' ( x )=−8cos2x . (2 )=−16cos 2x

7. Hallar la segunda derivada de: f ( x )=ex ln x

Siendo g ( x )=ex y ln x, podemos definir

f ( x )=g ( x ) . h ( x )

f ' ( x )=g ( x ) . h' ( x )+h (x ) . g ' ( x )

f ' ( x )=e x .( 1x )+( ln x ) . (ex)

f ' ( x )= ex

x+ex ln x

Calculando la segunda derivada tenemos

f ' ' ( x )=i'(x )+f ' (x ) con i (x )=ex

x

Siendo j ( x )=e x y k ( x )=x, podemos definir

i (x )= j ( x )k ( x )

i' ( x )= k( x ) . j' ( x )− j ( x ) . k ' ( x )

k2 ( x )Calculando las derivadas tenemos

j ( x )=e x

j' ( x )=ex

k ( x )=xk ' ( x )=1

i' ( x )=( x ) . (e x)−(ex ) .(1)

(x )2

i' ( x )= x ex−ex

x2= e

x

x− e

x

x2

Resolviendo

f ' ' ( x )=i'(x )+f ' (x )

f ' ' ( x )=( exx − ex

x2 )+( exx +ex ln x )f ' ' ( x )=2e

x

x− e

x

x2+ex ln x

FASE 3

8. Usando L’Hopital hallar el límite de: limx→2

x2+2x−8x2−x−2

Evaluando el límite tenemos

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=(2 )2+2 (2 )−8(2 )2−(2 )−2

=00

Esta forma indeterminada se puede resolver usando L’Hopital

limx→c ( f (x )g(x ))=limx→c ( f

' (x )g' (x))

Si f ( x )=x2+2 x−8 y g ( x )=x2−x−2

f ' ( x )=2 x+2

g' (x )=2x−1Con lo cual

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=limx→2

2 x+22 x−1

=2 (2 )+22 (2 )−1

limx→2

x2+2x−8x2−x−2

=63=2

9. De la curva f ( x )=x2−x Hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

Los valores críticos de son aquellos donde la primera derivada es igual a cero o no existe, con lo cual:

f ' ( x )=0

2 x−1=0

x=12

Con x=12

el valor de f (x) es:

f ( 12 )=(12 )2

−( 12 )=14−12=−14

La coordenada del punto crítico es Pc ( 12 ,−14 )b. Los puntos de inflexión si los hay.

Los puntos de inflexión son aquellos donde la segunda derivada es igual a cero, con lo cual:

f ' ' ( x )=0

2≠0

Por lo cual la función f ( x )=x2−x no tiene puntos de inflexión.

Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización.

10. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

Formulacosto totaldel pedidoC (x )

CT ( x )=100000000x

+100 x+50

Para que el costo sea mínimo se debe encontrar el punto de las graficas

donde CT' ( x )=0 con lo cual:

CT ( x )=100000000 x−1+100 x+50

CT' ( x )=−100000000x−2+100

CT' ( x )=100−100000000

x2

100−100000000x2

=0

100( x2−1000000x2 )=0x2−1000000=0

( x−1000 ) ( x+1000 )=0

x=−1000,1000

Dado que los valores de x son enteros positivos se descarta el resultado negativo. Para comprobar que este punto corresponde a un mínimo y no a un máximo se evalúa la segunda derivada en este punto

CT' ( x )=−100000000x−2+100

CT' ' ( x )=200000000 x−3=200000000

x3

CT' ' (1000 )=200000000

(1000)3= 2000000001000000000

=15>0

EL mínimo costo total se logra con 1000 bultos y corresponde a:

CT (1000 )=1000000001000

+100 (1000 )+50=100000+100000+50=200050

CONCLUCIONES

"El análisis y la aplicación de las derivadas", importantísima en esta unidad ya que hace referencia al proceso de transferencia significativa de conceptos de cálculo diferencial.

A través del desarrollo de la actividad se afianzaron conocimientos adquiridos en la unidad 3 referente a la aplicación de las derivadas.

Se pudo comprobar las aplicaciones de las derivadas que van desde algo muy básico como lo es la tangente en una curva hasta problemas de optimización y minimización de recursos.

Se lograron obtener resultados producto del esfuerzo colectivo.

REFERENCIAS

RONDON, J.E (2006) Calculo Diferencial. Primera edición, UNAD Ciencias básicas.