Trabajo Colaborativo3 Leyner Ramirez Grupo 61

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TRABAJO COLABORATIVO No. 3

MÉTODOS NUMÉRICOS

LEYNER RAMIREZ CORDOBA

COD. 12239766

GRUPO:100401_61

TUTOR:

Ing. OSCAR MAURICIO MORA ARROYO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICA E INGENIERÍA

INGENIERÍA DE SISTEMAS

2011



INTRODUCCION

En este trabajo colaborativo conocimos, indagamos, investigamos sobre la unidad 3 del

módulo Métodos numéricos: ³Diferenciación e Integración Numérica, y Solución de

Ecuaciones Diferenciales´ , donde realizamos ejercicios aplicando diferentes métodos como

el método trapezoidal, el método de Euler, método de Runge Kutta, y el método Adams-

Basforth/Adams-Moulton.

Analizamos los ejercicios para poder escoger método de mejor aproximación entre los

ejercicios 2 y 3.

Se realizó con el fin de que como futuros profesionales seamos capaces de aplicarlos en el

campo de acción laboral y en la toma de decisión para emplear un método en la solución de

ecuaciones Diferenciales.



OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Aplicar con exactitud los métodos de integración numérica generalmente como combinación

de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Obtener solución aproximada de problemas a través del método de Euler.

2. Conocer los diferentes métodos de integración numérica.

3. Identificar la aplicación discreta de Fourier y demás métodos con sus aplicaciones.

4. Estudiar y utilizar las Ecuaciones en Diferencias Finitas.

5. Aproximar integral usando el método trapezoidal.

6. Aplicar métodos de Euler, método de Runge-Kutta y método de Adams-Basforth/Adams-

Moulton para obtener una determinada aproximación a la solución de un problema de valor

inicial.



TRABAJO COLABORATIVO No. 3

1. Calcular la integral empleando la regla trapezoidal, tomando n=10.

a = 0

0,1

b = 1

f(x):

f(0):

= 1

f(0,1):

= 0,990 «

x f(x)0,0 1

0,1 0,990

0,2 0,960

0,3 0,913

0,4 0,852

0,5 0,778

0,6 0,6970,7 0,612

0,8 0,527

0,9 0,444

1,0 0,367

(

0,74565



2. Aplique el método de Euler al problema con valor inicial

y¶ = y + x

y(0) = 0 Tomando h=0,2

Y(0,8)Xo = 0Yo = 0f(x,y) = y + x

n Xn Yn0 0 0

1 0,2 02 0,4 0,04

3 0,6 0,128

4 0,8 0,2736

X1 = 0,2 Xo + h

Y1 = Yo + h . f(Xo,Yo)

Y1 = 0 + 0,2 (0 + 0) 0

X2 = 0,4

Y2 = 0 + 0,2 (0 + 0,2) 0,04

X3 = 0,6

Y3 = 0,04 + 0,2 (0,04 + 0,4) 0,128

X4 = 0,8

Y4 = 0,128 + 0,2 (0,128 + 0,6) 0,2736



3. Aplique el método de Runge-Kutta al problema con valor inicial

y¶ = y + x y(0) = 0

Tomando h=0,2

Y(0,8)Xo = 0Yo = 0f(x,y) = y + x

Primera Iteración.

X1 = Xo + h 0,2

K1 = h . f(Xo, Yo) 0

K2 ��

� �

0,2 (0,1 + 0) 0,02

K3 ��

� �

0,2 (0,1 + 0,01) 0,022

K4 �� 0,2 (0,2 + 0,022) 0,0444

@ Y1 �

Y1

0,0214

Segunda Iteración.

X2 = X1 + h 0,4

K1 = h . f(X1, Y1) 0,2 (0,2 + 0,0214) 0,04428

K2 ��

�

0,2 (0,3 + 0,04354) 0,06870

K3 ��

�

0,2 (0,3 + 0,05575) 0,07115



K4 �� 0,2 (0,4 + 0,09255) 0,09851

@Y2

Y2

0,09181

Tercera Iteración.

X3 = X2 + h 0,6

K1 = h . f(X2, Y2) 0,2 (0,4 + 0,09181) 0,09836

K2 ��

0,2 (0,5 + 0,1409) 1,2819

K3 ��

�

0,2 (0,5 + 0,7327) 0,2465

K4 �� 0,2 (0,6 + 0,3383) 0,1876

@ Y3

Y3

0,6489

Cuarta Iteración.

X4 = X3 + h 0,8

K1 = h . f(X3, Y3) 0,2 (0,6 + 0,6489) 0,2497

K2 ��

�

0,2 (0,7 + 0,7737) 0,2947

K3 ��

0,2 (0,7 + 0,7962) 0,2992

K4 �� 0,2 (0,8 + 0,9481) 0,3496

@ Y4

Y4

0,9467



4. Use el método de Adams-Basforth/Adams-Moulton con h = 0,1 para llegar a unaaproximación a y(0,8) de

y¶ = y

y(0) = 0 Y(0,8)Xo = 0Yo = 0f(x,y) = y

Primera Iteración.

X1 = Xo + h 0,1

K1 = h . f(Xo, Yo) 0

K2 ��

� �

0,1 (0) 0

K3 ��

� �

0,1 (0) 0

K4 �� 0,1 (0) 0

@ Y1 �

0

Segunda Iteración

X2 = 0,2

K1 = 0 K2= 0

K3 = 0 K4 = 0 @ Y20Es claro que todos van a dar cero (0): Yo=0; Y1=0; Y2=0,«,Y8=0

X0=0 X1=0,1 X2=0,2 X3=0,3 X4=0,4 X5=0,5 X6=0,6 X7=0,7 X8=0,8y¶0 = f(x0, y0) = 0y¶1 = f(x1, y1) = 0y¶2 = f(x2, y2) = 0« y¶7 = f(x7, y7) = 0

Todo esto nos conlleva a que @ Y8

0



CONCLUSIONES

Concluimos que el mejor método de aproximación es el que se aplica el método demultipasos o Adams-Basforth/Adams-Moulton, porque es de varios pasos, y su aproximaciónes de mayor acercamiento al valor real, aunque en esta ocasión al ver solo una variable ycon un inicio en 0, nos iba a dar como resultado en la iteración de cero (0).

Entre los puntos 2 y 3 se noto un menor error de truncamiento con el método de Runge-Kunta.

Durante todo este proceso formativo vimos la implementación de diversas fórmulas para lasolución de ecuaciones, integrales, derivadas, las cuales a medida que vamos practicandocada uno de éstos métodos, adquirimos destrezas para la resolución de estos problemas

matemáticos.

Es así como en este último trabajo colaborativo aplicamos los métodos de Euler, Adams-Basforth/Adams-Moulton, Runge Kutta para la solución de ecuaciones diferenciales, ymétodo trapezoidal para diferenciación e integración numérica, los cuales nos permitieronconocer otras fórmulas complejas, que a medida que nos encontremos y/o pongamos enpráctica estas soluciones, iremos adquiriendo mayor destreza en el proceso de desarrollo.

No obstante con la profundización de estos temas que realizamos a través de la web, libros,tutores o matemáticos cercanos, logramos con esfuerzo en nuestro grupo colaborativo, dar solución a los temas propuestos, no solamente en éste el último trabajo, sino en los demás,

con los cuales esperamos haber cumplido las expectativas, así como a nivel personallogramos la adquisición de nuevos conocimientos y métodos existentes para este tipo deejercicios o planteamientos.



BIBLIOGRAFIA

y [BUCHELI CHAVES, Carlos Iván. GOMEZ NARVAEZ, Ricardo. Módulo Métodosnuméricos. 1° Ed. UNAD. 2008. Bogotá D.C. 236 Págs.

y http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf

y http://math.uprm.edu/~josediaz/MetododeEuler.pdf

y http://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Metodos_Numericos/METODOS_DE_RUNGE_KUTTA.pdf

y http://www.cesga.es/telecursos/F90/sec5/cap2/Frame_Tema5_Cap2_2.html

y http://matematicas.uclm.es/ind-cr/metnum/files/edomultipaso .

y http://personales.unican.es/segurajj/prac4cna.pdf

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