1 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces con un número complejo

Potencias de números complejos

Ya que la potenciación es un caso especial de la multiplicación, y recordando que la operación de multiplicar es que se multiplican los módulos y se suman los argumentos, y por consecuencia tenemos que si dos números complejos son iguales y se multiplican, su producto sería.

Como también:

Esto nos hace pensar que para cualquier número entero y positivo N tendremos:

La cual se le conoce como el Teorema de MOIVRE

Ejemplo: Elevar                                     a la quinta potencia

Las potencias también se pueden resolver por el triángulo de pascal

Triángulo de Pascal

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia, 19 de junio de 1623 - París, 19 de agosto de 1662)

Fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés, considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Fue un niño prodigio, educado por su padre,un juez local. Sus primeros trabajos abarcan las ciencias naturales y aplicadas, donde realizó importantes contribuciones para la invención y construcción de calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío, generalizando la obra de Evangelista Torricelli. También escribió en defensa del

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método científico.Pascal fue un matemático de primer orden. Ayudó a crear dos grandes áreas de investigación, escribió importantes tratados sobre geometría proyectiva a los dieciséis años, y más tarde cruzó correspondencia con Pierre de Fermat sobre teoría de la probabilidad, influenciando fuertemente el desarrollo de las modernas ciencias económicas y sociales. Siguiendo con el trabajo de Galileo y de Torricelli, en 1646 refutó las teorías aristotélicas que insistían en que la naturaleza aborrece el vacío, y sus resultados causaron grandes discusiones antes de ser generalmente aceptados.En 1653, Pascal publica el Tratado del triángulo aritmético en el que describe las propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético o triángulo de Pascal, manera de presentar coeficientes binomiales. En 1654 abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología, publicando en este periodo sus dos obras más conocidas: Cartas provinciales y Pensamientos. Ese año también escribió un importante tratado sobre el triángulo aritmético. Pascal tuvo una salud muy endeble a lo largo de toda su vida, y su muerte acaeció dos meses después de haber cumplido 39 años.

Ejemplos1. (2 + 3i)2 = 1.2^2 +2.2.3i + 1(3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = -5 + 12i 2. (1 – i)3= 1.1^3 – 3 . 1^2. i+ 3. 1. i^2 – 1i^3= 1 - 3i + 3i2 - i3 3. (2 + i)4= 1.2^4 + 4.2^3i + 6.2^2.i^2 + 4.2i^3 + 1.i^4 = 16 + 32i + 24i^2 + 8i^3 + i^4 = 16 + 32i -24 – 8i + 1= -7+24i

3 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces con un número complejo

Extracción de Raíces de números complejos

Para calcular la raíz n-ésima de un número complejo usamos una variable de Euler esa fórmula indica que doto numero complejo tiene exactamente raíces complejas. Como podemos ver tenemos esta fórmula en la que nos dice que:

Si Z= Ρ (cosӨ+isenӨ)

n√Z=Ρ1/n[cos(Ө+K (360 )n )+isen(Ө+K (360 )

n )]Donde K= o,1,2... n-1 va generando cada una de las raíces. n= al número de la raíz es decir si solo es raíz cuadrada se dice que n=2 y si es cubica decimos que n=3 y así sucesivamente

Ejemplo: calcular =√1+i

Como ya sabemos primero se gráfica en forma polar de ahí se resuelve el problema utilizando la formula de arriba.

El cual nos quedara de la siguiente forma.

√1+1=¿

Ρ=√12+12

Tan-1( 11 )=45 °1ra raíz: K=0

1

1

4 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces con un número complejo

K=0√12+12 (√2 )12 [cos( 452 )+isen( 452 )]

Z= (√2 )12 [(0.92387 )+(0.38268 ) ]

Zdaraíz: K=1

Z= (√2 )12 [cos( 45+3602 )+isen( 45+3602 )]

Z= -1.0986 – 10.45508

Una vez resolviéndolo de forma polar empezamos a utilizar la formula que vimos arriba y donde se ocupa k.

En este ejemplo tenemos que sacar la primera raíz y segunda raíz; para poder sacar la primera raíz decimos que k=0

En el caso de la segunda raíz tenemos que k=1.que son las máximas raíces que nos piden porque solo es cuadrada.

Tenemos otro ejemplo donde tenemos que calcular

3√−1+3 i

Como ya sabemos primero se hace forma polar. Y una vez haciendo dolo de forma polar empezamos a ocupar las formulas ya vistas.

3√−1+3 i=¿

1

3

5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces con un número complejo

Ρ=√12=10

Tan-1( 31 )=71.5605°180- 71.5605 °=108.45495

n=3

1ra raíz: K=0

K=0 √1+3 i=(√10 )13 [cos( 108.454953 )+isen( 108.454953 )]

Z= (√10 )13 [ (0.807527 )+(0.58983 ) ]

2da raíz: K=1

(√10 )13 [cos (108.45495+7203 )+isen( 108.45495+7203 )]

3ra raíz: K= 2

Z=(√10 )13 (0.10704−0.99425 )

= 0.15711 – 1.45935

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Bibliografía

Grossman Stanley J.

Álgebra Lineal

Mc. Graw-Hill

Murria R. Spiegel

Variables Complejas (Series Schaum)

Mc. Graw-Hill

http://www.oocities.org/mx/aescamifime/temas/numeroscomplejos/numeroscomplejosa.htm

altarcielo.blogspot.com/2009/03/potencias-y-raices-de-numeros-complejos_19.html