Trabajo de Analisis 4 Segunda Practica
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5. m (emn+m)dn+n (emn+2m )dm=0 , n (0 )=0
solución :
M (n ,m)=emn+m⟹ ∂M∂m
=nemn+1
N (n ,m )=emn+2m⟹ ∂ N∂n
=memn
∎ LaEDO noesexacta .
2.2xdy=(2 x3− y )dx
solución :
2 xdy=(2 x3− y )dx
2 xdydx
−2x3+ y=0
2 xdydx
+ y=2 x3
dividiendo entre 2x :
dydx
+ y2 x
=x2
⟹ P (x )= 12 x
;Q (x )=x2
⟹ y=e−∫ 1
2xdx
∫ [ (x2)e∫ 12 x
dx ]dx+Cy=e
−12ln x
∫ [ (x2 )e12ln x]dx+C
⟹ y=e− ln x12∫ [ (x2 )eln x
12 ]dx+C
⟹ y=x−12 ∫ [ (x2 ) x
12 ]dx+C
⟹ y=x−12 ∫ x
52 dx+C
⟹ y=x−12 ( x
72
72
+C1)+C⟹ y=2
7x3+x
−12 C 1+C
∎ y=27x3+k ;donde : x
−12 C1+C=k
7. x2dt+(3 xt−4 x3 )dx=0
solución :
x2dtdx
+3xt=4 x3
dividiendo entre : x2
⟹ P (x )=3x;Q ( x )=4 xdonde : dt
dx=dydx
⟹ t=e−∫ 3x dx∫ [ (4 x ) e
∫ 3xdx]dx+C
t=4e−3 ln x∫ [ (x ) e3 ln x ]dx+C
t=4e−ln x3∫ [ ( x )e ln x3 ]dx+C
t=4 x−3∫ [ ( x ) x3 ]d x+C
t=4 x−3∫ x4dx+C
t=4 x−3( x55 +C1)+Ct=45x2+4 x−3C1+C
∎ t=45x2+k ; donde :4 x−3C1+C=k
12. ( y3+x+1 )dx=3 y2dy
solución :
( y3+x+1 )=3 y2 dydx
( y3+x+1 )−3 y2 dydx
=0
3 y2dydx
−( y3+x+1 )=0
dividiendo entre : 3 y2
dydx
− y3=( x+13 ) y−2
donde n=−2
luego hacemos :
z= y1−n= y3⟹ dzdx
=3 y2 y ´
reemplazandoa los valores de :dzdx
=3 y2 y ; z= y3
3 y2dydx
−( y3+x+1 )=0
dzdx
−( z+x+1 )=0
dzdx
−z=x+1
⟹ dzdx
−z=x+1
P ( x )=−1 ;Q ( x )=x+1
u=e−∫−1dx⟹u=ex
⟹ z=ex [∫ ( x+1 ) e−xdx+C ]
⟹ z=ex [∫ x e−xdx+∫ e−x dx+C ]resolviendo por partes el integral :
∫ x e−x dx=¿ (−e−x )x−∫−e−x dx=−x e−x−e−x¿
u=x⟹du=dx
dv=e−x dx⟹ v=∫e− xdx=−e−x
reemplazando :
⟹ z=ex [−x e−x−e− x+∫ e−x dx+C ]
⟹ z=ex [−xe− x−e− x−e−x+C ]
⟹ z=ex [−xe− x−2e−x+C ]
⟹ z=−x−2+exC
⟹ z=−x−2 ;donde : exC=k
∎ y3=−x−2 ;donde : exC=k
4.1+( y ´ )2+ yy ´ ´=0
solución :
1+( y ´ )2+ yy ´ ´=0
Sabiendoque :
v=dydx
; y ´ ´=dvdx
=dvdy
dydx
=vdvdy
reemplazando :
1+( v )2+ y (v dvdy )=0
ordenando :
dvdy
+ vy=−1
yv
dvdy
+ vy=(−1y )v−1…A
Entonces :n=−1
z=v2
d zdy
= dzdv
dvdy
=2v dvdy
reemplazandoen A y multiplicando por2 v :
2vdvdy
+(2v ) vy
=2v (−1y )v−1
2vdvdy
+(2v ) vy
=2v (−1y )v−1
dzdy
+ 2 zy
=−2y
Entonces :P ( y )=2y,Q ( x )=−2
y
u=e−∫ P ( y )dy
u=e−∫( 2y )dy
u=e−2 ln y
u=e−ln y2
u= y−2
⟹ z= y−2[∫(−2y ) y2dy+C]⟹ z= y−2 [ y2+C1+C ]
⟹ z=1+ y−2C1+ y−2C
2.ex , e2x , e3 xen cualquier intervalo I
Solución por ladeterminate el bronskiano
W [ex , e2 x , e3x ]
n=3 ; tenemosque derivar2 veces
f 1 ( x )=ex
f 2 ( x )=e2 x
f 3 ( x )=e3 x
W [ex , e2 x , e3x ]=|ex e2x e3x
ex 2e2x 3e3x
ex 4 e2 x 9e3x|
W [ex , e2 x , e3x ]=e x (18e5x−12e5x )−e2x (9e4 x−3e4x )+e3x (4 e3 x−2e3 x )
W [ex , e2 x , e3x ]=6 e6 x−6e6x+2e6 x
⟹W [ex , e2 x , e3 x ]=2e6 x
⟹2e6 x≠0
∴las funciones ex , e2 x y e3 x son L. I ; pasa porun solo punto
7. x2 ,|x|, x ;encualquier intervalo I
Solución por ladeterminate el bronskiano
W [ x2 ,|x|, x ]
n=3 ; tenemosque derivar2 veces
f 1 ( x )=x2
f 2 ( x )=|x|
f 3 ( x )=x
a¿ Si x ≥0
f 1 ( x )=x2
f 2 ( x )=x
f 3 ( x )=x
W [ x2 , x , x ]=| x2
x x2x 1 12 0 0|
W [ x2 , x , x ]=x2 (0−0 )−x (0−2 )+x (0−2 )
W [ x2 , x , x ]=0
∴las funciones f 1 ( x ) , f 2 ( x ) y f 3 ( x ) son L. D
a¿ Si x<0
Entonces :
f 1 ( x )=x2
f 2 ( x )=−x
f 3 ( x )=x
W [ x2 ,−x , x ]=| x2 −x x2 x −1 12 0 0|
W [ x2 , x , x ]=x2 (0−0 )−x (0−2 )+x (0+2 )
W [ x2 , x , x ]=4 x
∴las funciones f 1 ( x ) , f 2 ( x ) y f 3 ( x ) son L. I
2. x ´ ´+4 x ´−21 x=0
Solución:
x ´ ´+4 x ´−21x=0
x ´=D
⟹D2+4D−21=0
⟹ (D+7 ) (D−3 )=0
D=−7 ; D=3
CASO I :Cuando susraíces sonreales y lineales
Entonces lasolución es :
y=C1 ekx+C2 e
rx
y=C1 e−7x+C2 e
3x
7.( d2 xd t 2−6 dx
dt+9x )
3
=0
Solución:
( x ´ ´−6 x ´+9 x )3=0
x ´=D
⟹ (D2−6D+9 )3=0
⟹ ((D−3 )2 )3=0
⟹ (D−3 ) (D−3 ) (D−3 ) (D−3 ) (D−3 ) (D−3 )=0
⟹D1=3 , D2=3 , D3=3 , D4=3 ,D5=3 ,D6=3
CASO II :Cuando susraíces soniguales .
Entonces lasolución es :
y=C1 eα x+C2 x e
αx
y=C1 e3 x+C2 x e
3x+C3 e3x+C4 x e
3x+C5 e3x+C6 x e
3 x
12.4 y(6)−20 y (5)+25 y (4 )=0
Solución:
4 y(6)−20 y (5 )+25 y (4 )=0
y ´=D
4 D6−20D5+25D4=0
⟹D4 (4D2−20D+25 )=0
⟹D4 (2D−5 )2=0
⟹D1=0 , D2=0 , D3=0 ,D 4=0 , D5=52, D6=
52
CASO II :Cuando susraíces soniguales .
Entonces lasolución es :
y=C1 eαx+C2 x e
αx
y=C1 e0 x+C2 xe
0x+C3e0 x+C4 x e
0 x+C1 e52x+C2 x e
52x