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Asimetría

La asimetría muestre si la curva que forman los valores de la serie presenta lamisma forma a izquierda y derecha de un valor central (media aritmética). Lasmedidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría oasimetría que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sintener que hacer su representación gráfica.

La asimetría presenta tres distribuciones:

  Simetría: Es una distribución cuando a la derecha y a la izquierda de la mediaexiste el mismo número de valores, equitativos de ambos lados (partes), y conla misma frecuencia.

  Asimetría a la izquierda: Es una distribución cuando los valores de lafrecuencia son mayores del lado izquierdo que el lado derecho, es decir si Mo  Mn  Media aritmética. 

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  Asimetría a la derecha: Es una distribución cuando los valores de lafrecuencia son mayores del lado derecho que el lado izquierdo, es decir si Mo

Coeficiente de Asimetría de Pearson

El coeficiente de asimetría de Pearson mide la desviación respecto de lasimetría expresando la diferencia entre la media y la mediana en relación con ladesviación estándar o típica del grupo de medidas.

A partir del dato se define el coeficiente de la siguiente manera:

  Si AP > 0, la distribución es asimétrica positiva o a la derecha.  Si AP = 0, la distribución es simétrica.

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  Si AP < 0, la distribución es asimétrica negativa o a la izquierda.

La Curtosis 

El concepto de curtosis compara la forma de dicha distribución con la formade la distribución normal, es decir, es una medida de la forma o apuntamiento de lasdistribuciones. Asi la medidas tratan de estudiar la mayor o menor concentraciónde frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la distribución.

Los grados de curtosis se dividen en:

  Mesocúrtica: Si la distribución de los datos es la misma que de la variablenormal, en ese caso su coeficiente de curtosis es cero 0.  

g2 = 0

  Leptocúrtica: La distribución presenta un elevado grado de concentraciónalrededor de los valores centrales de la variable, en ese caso su coeficiente decurtosis es positivo.

g2 > 0

  Platicúrtica: La distribución presenta un reducido

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grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable, enese caso su coeficiente de curtosis es negativo

g2 < 0

Probabilidad 

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado oconjuntos de resultados al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocentodos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos

de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de  p cae entre 0 y 1. Por otraparte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p yse denota con la letra q:

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativaasociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimentocrece.

  La frecuencia relativa del suceso A:

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  Propiedades de la frecuencia relativa:

1.  0  f r (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.

2.   f r ( ) = f  r (A) + f r (B) si = Ø. 

3.   f r (E) = 1  f r (Ø) = 0.

Los métodos que usan en la probabilidad son:

  Regla de la adición: La regla de la adición o regla de la suma establece que laprobabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la sumade las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamenteexcluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo: 

  P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamenteexcluyente.

  P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo:

  P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A.

  P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B.

  P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y

B.  Regla de la multiplicación: La regla de la multiplicación establece que la

probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamenteindependientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. 

  P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes.

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  P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.

Distribuciones de Probabilidad 

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que puedenrepresentarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo, es decir,describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye unaherramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar unescenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversosfenómenos naturales.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puedetomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), ypuede ser de dos tipos:

1.  Variable aleatoria discreta (x): Porque solo puede tomar valores enteros y unnúmero finito de ellos. Por ejemplo:

  x: Variable que define el número de alumnos aprobados en la materia deprobabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40). 

  Propiedades de una variable aleatoria discreta (x):

a.  0≤p(xi)£1: Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma xdeben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

b.  Sp(xi) = 1: La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de losvalores que toma x debe ser igual a 1.

Ejemplo para variable aleatoria discreta:

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Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados: o cara(50%), o cruz (50%).

La siguiente tabla muestra los posibles resultados de lanzar dos veces unamoneda:

PRIMERLANZAMIENTO

SEGUNDOLANZAMIENTO

NUMERO DE CARAS EN2 LANZAMIENTOS

PROBABILIDAD DELOS 4 RESULTADOS

POSIBLES

CARA CARA 2 0.5 X 0.5 = 0.25

CARA CRUZ 1 0.5 X 0.5 = 0.25

CRUZ CARA 1 0.5 X 0.5 = 0.25

CRUZ CRUZ 0 0.5 X 0.5 = 0.25

Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que resulta delanzar una moneda dos veces, se obtiene:

NÚMERO DE CARAS LANZAMIENTOS

PROBABILIDAD DE ESTERESULTADO

P(CARA)

0 (CRUZ, CRUZ) 0.25

1

(CARA, CRUZ)

+(CRUZ, CARA)

0.50

2 (CARA, CARA) 0.25

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2.  Variable aleatoria continua (x): Porque puede tomar tanto valores enteroscomo fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Por ejemplo:

  x ® Variable que define la concentración en gramos de plata de algunasmuestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …,

 ¥ ).

  Propiedades de una variable aleatoria continua (x):

a.  p(x)³0: Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben

ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad deprobabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.

b.  El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de 1.

Distribuciones de Probabilidades de las Variables Aleatorias

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventosindependientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial,que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino osi/no.

1.  Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo uobservación.

2. 

La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.3.  La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir elproceso es estacionario.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelode la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

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En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y defracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de

probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Por ejemplo:

a.  ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma

moneda 6 veces?.

Donde:

  P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento.  p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5).  q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define

comoq = 1 – p (0.50).

  X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tablabinomial tómese como r).

  n = número de intentos = 6.

Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:

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Resolviendo:

Diagrama de Árbol

El diagrama del árbol es una representación gráfica de los posibles resultadosdel experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde uno de los pasos tiene unnúmero finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteoy probabilidad.

Para la construcción de un diagrama de árbol se partirá poniendo una ramapara cada una de las probabilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una deestas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, unnudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,según las probabilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posiblefinal del experimento (nudo final).

Por ejemplo:

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres alazar, hallar la probabilidad de:

1.  Seleccionar tres niños.

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2.  Seleccionar exactamente dos niños y una niña:

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3.  Seleccionar exactamente dos niñas y un niño:

4.  Seleccionar tres niñas:

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Introducción

El informe abarca las distintas medidas de distribución, a través de ellas llegara una aproximación cuantitativa describiendo sus características deseando ser lo máselaborado posible.

En el contenido se desglosa los siguientes puntos:

1)  Asimetría.2)  Coeficiente de Asimetría de Pearson.3)  La Curtosis.4)  Probabilidad.5)  Diagrama de Árbol.

Estas medidas describen la manera como los datos tienden a reunirse deacuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la información. Las

predicciones estadísticas, difícilmente hacen referencia a sucesos concretos, perodescriben con considerable precisión en el comportamiento global de grandesconjuntos de sucesos particulares. Son predicciones que, en general, no acostumbranresultar útiles.

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Conclusión

Las medidas de distribución en un conjunto de datos están diseñadas paraproporcionar al individuo algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de losdatos en una muestra. 

En las medidas de distribución se trata de encontrar medidas que sinteticen lasdistribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables,tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuenciasmediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor

central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. Ladescripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia laubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles. 

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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Instituto Universitario Jesús Obrero

Cátedra: Estadística

3er Semestre de Informática

Los Flores-Catia

Medidas de Distribución

Profesora: Integrantes:

Aná Lopez Bastidas Roselyn C.I. 23630177

Carvallo José C.I. 20639703

Echenagucía Karina C.I 18528938

Méndez Gabriela C.I. 18363227

Nelo Abigail C.I. 22029626

Pernia Yennifer C.I. 21089568Rada Felix C.I. 16429171

Caracas, marzo de 2012

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